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CALCULO VECTORIAL Alumno:MINCHOLA MENDOZA , WALTER Profesor:Dr. MACO VASQUEZ, WILSON ARCENIO 1 de junio de 2018

1. calcular los valores propios y vectores propios   2 2 A= 3 1 Solucion     2 2 2−λ 2 A= det(A − λ) = = (λ − 4)(λ + 1) 3 1 3 1−λ los auto valores propios (λ − 4)(λ + 1) (λ = 4),(λ = −1)     0 x1 2−4 2 = para λ = 4 0 3 1 − 4 x2     1 −1 −2 2 ∼ 0 0 3 −3     x r = r y   1 =r 1 para λ = −1       2+1 2 x 0 = 3 1+1 y 0    3 3 2 ∼ 0 3 2  3 0 A= 1 2 −2 2

 2 los vectores propios v1 (1, 1), v2 = (−2, 3) 0  1 1  1 solucion









3 0 1 1 0 0    1 2 1 − 0 1 0  A= −2 2 1 0 0 1   3−λ 0 1 2−λ 1  p(λ) = det(A − λ1) = det  1 −2 2 1−λ     2−λ 1 1 2−λ = (3 − λ) +1 2 1−λ −2 2

1

= (3 − λ)[(2 − λ)(1 − λ) − 2] + (2 − (−4 + 2λ) = (3 − λ)(λ2 − 5λ + 6) = (λ − 3)(λ − 3)(λ − 2) = 0 los valores propios son: λ = 3; λ = 2 hay dos valores propios que se repiten. para  λ=3        3−3 0 1 0 0 1 x1 0 2−3 1  =  1 −1 1 x x2  =  0  A= 1 −2 2 1−3 −2 2 −2 x3 0   1 v1 =  2  0 ahora para λ = 2         3−2 0 1 1 0 1 x1 0        1 2−2 1 1 0 1 A= = x x2 = 0  −2 2 1−2 −2 2 −1 x3 0   1 v2 =  2  1

 2) A =

2 0 0 3

 solucion

calculando los autovalores      2 −1 1 0 2 1 − = λI − A = λ λA= 0 3 0 1 0 3   λ − 2 −1 det(λI − A) = = (λ − 2)(λ − 3) = 0 0 λ−3



De donde λ = 2, λ = 3 son valores propios de A , para landa λ = 2 calculamos los vectores propios.             X1 λ − 2 −1 x1 0 0 −1 0 (λI − A) = 0 donde x = ⇒ = X1 0 λ−3 x2 0 0 −1 0 0x1 − x2 = 0 0x1 − x2 = 0 

   x1 1 =⇒ [x2 = 0; x1 = 1] =⇒ = x2 0 paraλ = 3calculamos los vectores propios de A  0 (λI − A)x = 0     1 −1 0 = 0 0 0 x = (x1 , x2 ) = (x1 , x1 = x1 (1, 1)

2

por lo tanto los vectores de la matriz A son v1 = (1, 0) y v2 = (1, 1) x1 − x2 = 0 ⇒ x1 = x2   3 −2 0 A =  −2 5 0  0 0 5 solucion    3 −2 0 1 0 0 3 −2 0 A =  −2 3 0  = |λI − A|  0 1 0  −  −2 3 0  = 0 0 0 5 0 0 1 0 0 5   λ − 3 −2 0 0  = 0 , de donde (λ − 5)(λ − 3)3 = 0 ⇒ λ = 3, λ = 5 son los A =  −2 λ − 3 0 0 λ−5 valorespropios de A.  x1 sea x= x2  vector propio de A x3 x es un vector propio A corresponde a λ si y solo si x es una solucion no tribial de (λI −A)x = 0 es decir, solucion   no tribial  de:  λ − 3 −2 0 x1 0 0   x2  =  0  A =  −2 λ − 3 0 0 λ−5 x3 0 si λ = 3      1 −2 0 x1 0  −2 1 0   x2  =  0  0 0 −1 x 0    3 x1 x1 x =  x2  =  x1  x 0  3 1 x1  1  0 si λ − 5      2 −2 0 x1 0  −2 2 0   x2  =  0  0 0 0 x3 0 2x1 + 2x2 = 0 ⇒ x2 = −x1 , x3 εR         x1 x1 1 0 x= x2  =  −x2  = x1  −1  + x3  0  x3 x3 0 1 





v1 = [1, −1, 0] = v2 , v3 = [0, 0, 1]   3 −1 4). A = −2 2 solucion    3 −1 λ − 3 −1 A= det(λI − A)= =0 −2 2 2 λ−2 

λ − 3)(λ − 2) − 2 = 0 donde λ2 − 5λ + 4 = 0

3

λ1 = 1, λ2 = 4 son valores propios 

    λ − 3 −1 X1 0 λI − A)x = 0 ES DECIR = 2 λ − 2 X2 0 para λ = 1,      −2 1 X1 0 = ⇒ 2 −1 X2 0 −2x1 + x2 = 0 2x1 − x2 = 0 ⇒ x2 = 2x1   X1 x x = 1 = v1 [1, 2] 2X1 x2      1 1 X1 0 para λ = 4, = 1 2 X2 0 x2 =−x1   X1 X1 x= = = , v2 = [1, −1] X2 −x1 los vectores propios: v1 = [1, 2], v2 = [1, −1]

II. FORMA CUADRATICA obtenga la expresion matricial de las formas cuadraticas. 1. q(x1 , x2 ) = 2x21 − 8x1 x2 + 3x22 . solucion    2 −4 x1 2 2 q(x1 , x2 ) = 2x1 − 8x1 x2 + 3x2 ; q(x1 , x2 ) = −4 3 x2 2. q(x1 , x2 ) = x21 + 2x22 − x23 − 4x1 x2 + 6x1 x3 − 2x2 x3 solucion q(x1 , x2 )  = x21 + 2x22 − x23  − 4x1 x2 + 6x1 x3 − 2x2 x3 ; 1 −2 3 x1    x2  q(x1 , x2 , x3 ) −2 2 −1 3 −1 −1 x3 3. q(x1 , x2 , x3 ) = 5x21 − 2x23 + 4x1 x3 − 8x2 x3 solucion q(x1 , x2 , x3 ) = 5x21 − 2x23 +4x1 x3 − 8x2 x3   5 0 2 x1 q(x1 , x2 , x3 ) = (x1 , x2 , x3 )  0 0 −4   x2  2 −4 −2 x3 4.   3 −1 −2 A =  −1 2 −3  −2 −3 1 4

solucion 



3 −1 −2  A = −1 2 −3  ⇒ q(x1 , x2 , x3 ) = 3x21 + 2x22 + x23 − 2x1 x2 − 4x1 x3 − 6x2 x3 −2 −3 1 5.



 0 1/2 0 A =  1/3 2 −1  0 −1 0 solucion 



0 1/2 0  A = 1/3 2 −1  ⇒ q(x1 , x2 , x3 ) = 3x22 + x1 x2 − 2x2 x3 0 −1 0

5