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• Fernando Jordan

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Problemas de Probabilidad y Estadística

PROBLEMAS TEMA 3 (V. A. DISCRETA.- DISTRIBUCIONES) 1) En una determinada especie animal, en cada parto hay igual probabilidad de macho que de hembra (un sólo descendiente por parto). Cuando de una pareja nace una hembra, esta no tiene más descendencia. El mayor número de partos posibles es 4 y el menor es 1. Se quiere estudiar la variable aleatoria X = Nº de descendientes varones de la pareja. a) Construir el espacio muestral correspondiente y determinar las probabilidades de los sucesos elementales. b) Obtener y dibujar la función de probabilidad de la v. a. X. c) Idem con la función de distribución. d) Calcular E[X], V(X) y σ(X). e) Calcular P(X>0), P(0 < X < 3) y P(X >1). f) Sea la v.a. Y = Nº de descendientes. Calcular Py, E[Y] y V(Y). g) ¿Son independientes X e Y?. Calcular E[XY] y V(XY). 2) Un embarque de 7 televisores contiene 2 aparatos defectuosos. Un hotel realiza una compra aleatoria de 3 de ellos. Si X es el nº de unidades defectuosas que se compran: a) Encuentre la distribución de probabilidad de X. b) Representarla gráficamente. c) Encuentre la distribución acumulada de X. d) Representarla gráficamente. e) Utilizando F(x) encuentre P(X=1) y P(0 < X ≤ 2). f) Calcule Varianza y Media de X. 3) Determinar el valor de k para que la función P(x) = k/x, probabilidad de X . Determinar P(1≤ X ≤ 3).

x = 1,2,3,4, sea la función de

4) Se selecciona a un empleado de un grupo de 10 para supervisar un cierto proyecto, escogiendo aleatoriamente una placa de una caja que contiene 10 numeradas del 1 al 10. Encuentre la fórmula para la distribución de probabilidad de X que representa el número de la placa que se saca. ¿Cúal es la probabilidad de que el número que se saque sea menor que 4?. 5) La probabilidad de que un paciente se recupere de una extraña enfermedad de la sangre es 0.4. Si se sabe que 15 personas han contraído esa enfermedad, ¿Cuál es la probabilidad de que: a) al menos 10 sobrevivan. b) sobrevivan entre 3 y 8 personas. c) sobrevivan exactamente 5 personas?. 6) Considérese un fabricante de automóviles que compra los motores a una compañía donde se fabrican bajo estrictas especificaciones. El fabricante recibe un lote de 40 motores. Su plan para aceptar el lote consiste en seleccionar 8, de manera aleatoria, y someterlos a prueba. Si encuentra que ninguno de los motores presenta serios defectos, el fabricante acepta el lote; de otra forma lo rechaza. Si el lote contiene 2 motores con serios defectos, ¿Cúal es la probabilidad de que sea aceptado?. 7) Un lepidopterista desea capturar un ejemplar de una clase de mariposas que se encuentra con un porcentaje del 15%. Hallar la probabilidad de que tenga que cazar 10 mariposas de la clase no deseada antes de encontrar: a) Un ejemplar de la clase deseada.

Problemas de Probabilidad y Estadística

b) Tres ejemplares de la clase deseada. 8) Una empresa ha medido el número de errores que cometen las secretarias recién contratadas a lo largo de los últimos tres años (X), encontrando que éstas cometen hasta cinco errores en una página de 20 líneas y que esta variable aleatoria representa la siguiente función de probabilidad:

Calcule:

a) La representación gráfica de la función de probabilidad y la función de distribución b) El valor esperado de X c) La varianza de X d) La media y la varianza en el caso de que cada error se pondere por 1/5

9) La variable X = “número de pólizas vendidas por un agente de una empresa de seguros” tiene la siguiente distribución de probabilidad:

Calcule:

a) Calcule el valor esperado de X b) Calcule la varianza de X c) ¿Cuál es la probabilidad de que el agente venda más de una póliza? d) ¿y la de que venda menos de 3? e) ¿y entre 1 y 4 pólizas (ambas inclusive)? En el supuesto de que el director de la empresa premie con 100 puntos cada producto vendido; f) ¿Qué representa Y? ¿Cuál es su distribución de probabilidad? g) Calcule el valor esperado y varianza de Y

10) Sea X una variable aleatoria discreta tal que: P (X = a) = 1/10; con a = 2, 3, ... , 11 a) Calcule la función de distribución de X b) P (X > 7) c) P (X ≤ 5) d) P (3 ≤ X ≤ 8) 11) Un psicólogo cognitivo realiza un experimento en el que presenta a cinco sujetos un par de estímulos luminosos. La tarea consiste en que cada sujeto debe indicar si ambos estímulos son iguales o no en intensidad. Obtener la función de probabilidad asociada al número de aciertos de los sujetos, suponiendo que éstos han respondido al azar. Representar gráficamente el resultado de dicha distribución. 12) De una población de 300 pacientes con depresión, de los cuales el 30 por 100 sufre alteraciones somáticas, un psicólogo clínico extrae una muestra aleatoria simple de 16 sujetos. Según esto: ¿Cuál es la probabilidad de que haya como mínimo 10 sujetos que sufran alteraciones somáticas en esta muestra? 13) Suponiendo que según los últimos datos del I.N.E. (Instituto Nacional de Estadística) la probabilidad de nacimiento de niñas en la población española es 0,51, averiguar la probabilidad de que una familia de seis hijos tenga: a) como mínimo una niña; b) como mínimo un niño.

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14) En un sondeo sobre la actitud hacia la donación de órganos se encuentra que en una determinada población hay un 80% de sujetos que están a favor. Si se extrae una muestra aleatoria de 10 sujetos obtenga lo siguiente: a) Probabilidad de que 4 personas estén a favor b) Probabilidad de que más de 4 personas estén a favor c) Probabilidad de que menos de 4 personas estén a favor d) Probabilidad de que como máximo 4 personas estén a favor e) Probabilidad de que como mínimo haya 7 personas a favor f) Probabilidad de que estén a favor al menos el valor esperado de sujetos que están a favor g) ¿Qué puntuación le corresponde al centil 90? h) Probabilidad de que estén en contra 4 o más personas