• Author / Uploaded
• Angelica Croz

Citation preview

La investigación de operaciones o investigación operativa o investigación operacional (conocida también como teoría de la toma de decisiones o programación matemática) (I.O.) es una rama de la ingeniería industrial que consiste en el uso de modelos matemáticos, estadística y algoritmos con objeto de realizar un proceso de toma de decisiones. Frecuentemente trata del estudio de complejos sistemas reales, con la finalidad de mejorar (u optimizar) su funcionamiento. La investigación de operaciones permite el análisis de la toma de decisiones teniendo en cuenta la escasez de recursos, para determinar cómo se puede optimizar un objetivo definido, como la maximización de los beneficios o la minimización de costos. El Club Baloncesto Unicaja de Málaga ante la lesión de Daniel Santiago y la escasa aportación del pívot brasileño Vitor Faverani se plantea reforzar el juego interior para la disputa de los play-offs por el título a partir del 17 de mayo, para ello la secretaria técnica del equipo ha sondeado el mercado y ha encontrado a 5 jugadores que pueden adaptarse a lo requerido por el entrenador. Para reforzar el equipo el Unicaja dispone de un presupuesto máximo de 50.000 $ / mes. En la siguiente tabla aparece una relación de los candidatos a ser fichados junto con su aportación esperada y el sueldo que percibirían.

JUGADOR/EQUIPO SUELDO APORTACIÓN Esteban Batista (Hawks) 50000 $ 15 Jared Reiner (Sioux Falls) 25200 $ 8 Chriss Burgess (Ulsan Phoebus) 36000 $ 15 Marcus Goree (Benetton) 47000 $ 17 K.C. Walekowski (Farho Vigo) 12000 $ 7

Como puede apreciarse, en este caso, estamos aplicando el problema de la mochila a una situación de índole económico. Nuestra intención es elegir los mejores jugadores –aquellos cuya aportación es mayor, es decir, los que proporcionan una mayor utilidad – para el Unicaja optimizando también el desembolso que conlleva una nueva contratación. Sin perder en ningún momento de vista la restricción de 50.000 $.

Formulación del problema[editar] Una vez se ha planteado el problema, el siguiente paso lógico es formularlo en términos matemáticos, recuérdese que se está intentando llegar a una solución cuantitativa concreta y no simplemente intuitiva.

Maximizar 15x1 + 8x2 + 15x3 + 17x4 +7x5 sujeto a: 50000x1 + 25200x2 + 36000x3 + 47000x4 + 12000x5 < 50000 x1,x2,x3,x4,x5 Є {0,1}

siendo: x1 Esteban Batista (Hawks) x2 Jared Reiner (Sioux Falls) x3 Chriss Burgess (Ulsan Phoebus) x4 Marcus Goree (Benetton) x5 K.C. Walekowski (Farho Vigo)

El conjunto de ecuaciones que aparecen en las líneas precedentes constituyen la formulación matemática del problema que estamos tratando de resolver. Para una mejor comprensión del lector, analizaremos lo que representa cada una de ellas. La primera ecuación: 15x1 + 8x2 + 15x3 + 17x4 +7x5 es la suma de las utilidades que reporta cada jugador, representa, por tanto, la utilidad que percibirá Unicaja en función de la combinación de jugadores que elija, puesto que se trata de la utilidad (en este caso, estará medida por el número de partidos que el jugador haga ganar o en los que tenga un peso importante) al club de Baloncesto le interesará que sea lo mayor posible. De ahí que el objetivo sea maximizar la función. Las otras dos inecuaciones representan el conjunto de restricciones del problema, la primera de ella: 50.000x1 + 25.200x2 + 36.000x3 + 47.000x4 + 12.000x5 < 50.000, se corresponde con la expresión [Sumatoria (ci*xi) desde i=1 hasta n] < P, donde, los ci o pesos del objeto “i”, se corresponden con los salarios de cada jugador y las xi representan a cada jugador, al igual que ocurre en la ecuación anterior. P es la restricción presupuestaria del equipo, es decir, son los 50.000 $ mensuales de los que puede disponer para remunerar a sus nuevos jugadores.

La última inecuación: x1,x2,x3,x4,x5 Є {0,1}, trata de indicar que estamos ante un problema dicotómico en el que cada variable puede tomar sólo el valor 1 o el valor 0. En este caso, si x toma el valor 1 querrá decir que el jugador es contratado y si toma el valor 0, será señal de que el club prefiere prescindir de él.

Solución del problema planteado[editar] El problema de elección que afronta el Club Baloncesto Unicaja se puede resolver por distintas vías: - Por el método tradicional: a través de la maximización del problema anteriormente formulado mediante métodos de programación lineal entera. - Por algoritmos: existen tipos de algoritmos (genéticos, voraces), pero en esta ocasión mostraremos el algoritmo más intuitivo y sencillo de ver. Este algoritmo es el denominado "voraz". Dejamos a un lado el algoritmo genético ya que al ser poco intuitivo y tener cierta complejidad (no en su teoría, sino en su práctica) podría hacer que el lector tuviera cierta reticencia a continuar con su lectura y comprensión.

Método tradicional(Programación Lineal Entera)[editar] Retomemos el problema formulado e reinterpretemos dicha formulación para comprender mejor cómo vamos a resolver el problema de elección de jugadores (vamos a repetir de forma resumida el desarrollo del punto 3.2.) Maximizar 15x1 + 8x2 + 15x3 + 17x4 +7x5 sujeto a: 50000x1 + 25200x2 + 36000x3 + 47000x4 + 12000x5 < 50000

x1,x2,x3,x4,x5 Є {0,1}

Lo que pretendemos es maximizar el valor que los jugadores contratados aportarían al equipo, teniendo en cuenta que hay un presupuesto al que ajustarse (50000 $/mes). No hemos de olvidar que la solución a este problema habrá de darse en números enteros, ya que es imposible contratar una porción de jugador. ¿Por qué las variables sólo pueden tomar los valores “0” ó “1”? - Si x =0 el jugador no debe ser contratado, ya que su aportación no maximizaría el valor aportado al equipo. - Si x =1 el jugador deberá ser contratado, ya que su aportación maximizará el valor que los jugadores dan al equipo.

Con todo esto, y comprendida la formulación planteada, procedamos a resolver el problema con los métodos tradicionales. Aquí utilizaremos el programa Mathematica 5.0, el cual nos dará una rapidísima solución sin ninguna dificultad en su obtención.

Así lo introduciremos en Mathematica: P =NMaximize[{15x1+8x2+15x3+17x4+7x5 , 5000x1+25200x2+36000x3+47000x4+12 000x5≤50000, x1≥0, x2≥0, x3≥0, x4≥0, x5≥0, x1≤1, x2≤1, x3≤1, x4≤1, x5≤1, x1

Integers, x2 Integers, x3 Integers, x4 Integers, x5 Integers},{x1,x2,x3,x4,x5}] Y la solución que obtendremos será la siguiente: {22., {x1->0, x2->0, x3->1, x4->0, x5->1} Esto es, contrataremos a los jugadores correspondientes a las variables 3 y 5: Chriss Burgess (del Ulsan Phoebus) y K.C. Walekowski (del Farho Vigo). Y haciendo esto obtendremos una aportación (utilidad para el equipo)de los jugadores al equipo de 22.