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• Jhonatan Chamorro Cervantes

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EJEMPLO 1 (Ingresos) Una empresa tiene un ingreso total de $500 al día sin considerar el precio de su producto. Determine la relación de la demanda y grafique la curva de demanda. Solución Si p denota el precio (en dólares) por unidad del producto y x es el número de unidades que pueden venderse al precio p, entonces con el propósito de obtener $500, debemos tener que: 500 = Precio por unidad x Número de unidades vendidas = 𝑝𝑥 Es decir:

X

25

50

100

125

250

500

p

20

10

5

4

2

1

Algunos valores de 𝑥 𝑦 𝑝 = 500/𝑥 aparecen en la tabla 5. Graficando estos puntos y uniéndolos por una curva suave, obtenemos la curva de la figura 20. Restringimos la gráfica al primer cuadrante porque ni el precio ni cantidad vendidos pueden ser negativos. La gráfica es la mitad de una hipérbola rectangular. P

20

16

12

9

4

0

x 400

200 FIGURA 20

Círculos Un círculo es el conjunto de puntos que están situados a una distancia constante (llamada el radio) de un punto dado (denominado el centro). Determinemos la ecuación del círculo con centro en el punto (h, k) y radio r (Véase la figura 21). Sea (x, y) cualquier punto sobre el círculo. La distancia entre este punto (x, y) y el centro (h, k) está dada por la fórmula de la distancia que es:

√(𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2

y

r (h,k)

x

0 FIGURA 21

Haciéndola igual al radio dado r, obtenemos la ecuación

√(𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 = 𝑟 La cual, después de elevar al cuadrado, da la ecuación siguiente: (𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 = 𝑟2

………(1)

Ésta se conoce como la forma centro-radio de la ecuación de un círculo. En particular, si el centro es el origen, ℎ = 𝑘 = 0 y la ecuación (1) se reduce a

𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑟2 ………(2)

EJEMPLO 2 Determine la ecuación del círculo con centro en (2, - 3) y radio 5. Solución Aquí ℎ = 2, 𝑘 = 3 𝑦 𝑟 = 5. Usando la ecuación estándar de un círculo, tenemos que:

(𝑥 − 2)2 + (𝑦 − (−3))2 = 5

2

𝑜 𝑏𝑖𝑒𝑛 (𝑥 − 2)2 + (𝑦 + 3)2 = 25

Desarrollando los cuadrados y simplificando: 2 2 𝑥 2 + 𝑦 2 − 2ℎ𝑥 − 2𝑘𝑦 + (ℎ + 𝑘 − 𝑟2 ) = 0

⇒ 18

La ecuación (1), cuando se desarrolla y simplifica, puede escribirse como: 2 2 𝑥 2 + 𝑦 2 − 2ℎ𝑥 − 2𝑘𝑦 + (ℎ + 𝑘 − 𝑟2 ) = 0

Ésta es de la forma 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝐵𝑥 + 𝐶𝑦 + 𝐷 = 0

………..(3)

con B, C y D constantes dadas por: 𝐵 = −2ℎ

𝐶 = −2𝑘

𝑦 𝐷 = ℎ2 + 𝑘 2 − 𝑟 2

La ecuación (3) se llama forma general de la ecuación de un círculo. Dada cualquier ecuación en la forma general, fácilmente podemos determinar el centro y el radio del círculo que representa. Debido a que: ℎ=−

𝐵 2

𝑦

𝑘=−

𝐶 2

dan de inmediato las coordenadas del centro. Luego, el radio se obtiene de la manera siguiente 𝑟 2 = ℎ2 + 𝑘 2 − 𝐷. Sin embargo, en lugar de tratar de recordar estas fórmulas, es más fácil utilizar el método de completar el cuadrado como en el ejemplo siguiente.