Eje 3

FUNDACION UNIVERSITARIA DEL AREA ANDINA ECUACIONES DIFERENCIALES EJE 3 JENNIFFER AGUIRRE MARTINEZ NOV 2019 Situaci

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FUNDACION UNIVERSITARIA DEL AREA ANDINA

ECUACIONES DIFERENCIALES

EJE 3

JENNIFFER AGUIRRE MARTINEZ

NOV 2019

Situación 1

A = posición de la masa m en el t = 0 𝑃1 = 𝑙𝑎 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑚 𝑒𝑛 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑖𝑒𝑟 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑝𝑜𝑠𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑡

𝑑2𝑥 =𝑔 𝑑𝑡 2 𝑣 = 𝑔𝑡 𝑥=

1 2 𝑔𝑡 2

Diagrama de fuerza

𝑃 = 𝑚 ∗ 𝑎𝑔 ∑ 𝑓𝑛 = 𝑚𝑎 Donde la fuerza del peso es:

𝑃 = 𝑚𝑔 𝑚

𝑑𝑣 𝑑𝑣 = 𝑚𝑔 ó =𝑔 𝑑𝑡 𝑑𝑡

La masa cae del reposo es decir 𝑣 = 0 cuando 𝑡 = 0, 𝑉𝑂 = 0 Valor inicial problema o también

𝑑𝑜 = 𝑔 𝑉𝑜 = 0 𝑑𝑡 Ecuación 2 orden variables x y t

𝑚

𝑑2 𝑥 = 𝑚𝑔 𝑑𝑡 2

Condiciones para determinar x

𝑑𝑥 =0 𝑑𝑡 𝑣 = 0 𝑒𝑛 𝑡 = 0 Formulación matemática

𝑑2𝑥 =𝑔 𝑑𝑡 2 𝑥=0 𝑑𝑥 =0 𝑑𝑡 𝑡=0 Resolviendo la ecuación

𝑑𝑣 𝑑𝑡

= 𝑔 por variables separadas tendremos

∫ 𝑑𝑣 = ∫ 𝑔 ∗ 𝑑𝑡 𝑣 = 𝑔 ∗ 𝑡 + 𝑐1 𝑣 = 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑡 = 0 𝑐1 = 0 𝑣 = 𝑔𝑡 =>

𝑑𝑥 =𝑔∗𝑡 𝑑𝑡

Otra Integración:

1 ∫ 𝑎𝑥 = ∫ 𝑔𝑡 ∗ 𝑑𝑡 => 𝑥 = 𝑔 ∗ 𝑡 2 + 𝑐 2 2 𝑣 = 0 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑡 = 0 𝑐2 = 𝑜 1

𝑥 = 2 𝑔 ∗ 𝑡2

Supongamos que deseamos conocer dónde está el objeto después de 2 segundos. Sistema C.G.S

𝑥=

1 𝑐𝑚 (981 ) (2 𝑠𝑒𝑔)2 = 1962 𝑐𝑚 2 𝑠𝑒𝑔2

P.L.S 𝑥 = (32,2

𝑝𝑖𝑒𝑠 ) (2 𝑠𝑒𝑔) 𝑠𝑒𝑔2

𝑥 = 64,4 𝑃𝑖𝑒𝑠 Velocidad después de 2 segundos 𝑑𝑥 𝑑𝑡

= 𝑔𝑡 = 32,2

𝑣 = 64,4

𝑝𝑖𝑒𝑠 𝑠𝑒𝑔

𝑥 2 𝑠𝑒𝑔

𝑝𝑖𝑒𝑠 𝑠𝑒𝑔

C.G.S 𝑑𝑥 𝑝𝑖𝑒𝑠 = 𝑔𝑡 = 32,2 𝑥 2 𝑆𝑒𝑔 𝑑𝑡 𝑠𝑒𝑔 𝑣 = 3,924

𝑐𝑚 𝑠𝑒𝑔

Situación 2 𝐸 = 𝑅𝐼 + 𝐿

𝑑𝑙 𝑑𝑡

Interruptor cierra en 𝑡 = 0 debemos tener 𝐼 = 0 𝑒𝑛 𝑡 = 0 𝐸 = 𝑅𝐼 + 𝐿

𝑑𝑙 𝑑𝑡

Es una ecuación de primer orden lineal exacta Buscando factor integrante 𝜇(𝑓)

=

𝑅 𝑒2

1

Multiplicando P0 este factor es = 𝑅

𝑅

𝑅

𝐸𝑒 2 1 = 𝑅𝐼𝑒 2 1 +

𝑅 𝑑𝐼 𝑅 1 = 1= 𝐿𝑒 2 𝑑𝑡 𝐸𝑒 2

𝑑 (𝐼𝑒 2 ) 𝑑𝑡

Interrogando 𝑅

𝑅 𝐼𝑒 2 𝐼

𝐸𝑒 2 𝐼 = +𝑐 10

Condiciones para obtener constante C 𝐼 = 0 𝑒𝑛 𝑡 = 0