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• Jorge Gutierrez Balderrama

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1 UNIDAD ACADEMICA EMI-LA PAZ CIENCIAS DE LA TIERRA BOLIVIA

Misión de la carrera “Formar ingenieros civiles competentes, responsables y eficientes en el campo de su especialidad, con la capacidad de generar, aplicar y difundir el conocimiento para servir a la sociedad boliviana en las tareas del desarrollo nacional” Competencias generales “Desarrollar proyectos de infraestructura realizando el diseño, construcción, supervisión de la ejecución y fiscalización de carreteras, aeropuertos, vías férreas, edificaciones, puentes, obras de contención, obras hidráulicas y sanitarias; utilizando normas legales, técnicas y administrativas vigentes; aplicando parámetros de estabilidad, seguridad, funcionalidad, estética, economía y medio ambiente”

ECUACIONES ESTÁTICAS Y CINEMÁTICAS DOCENTE: Calmt. Miyashiro Ludwick Becerra NOMBRE: Adrian Alexander Laura Tiñini Willian Quiroga Choque Jorge Gutieres Balderrama

6805625 LP 7969845 CBBA 6147937 LP

PARALELO: 7º “B” FECHA: 21-05-2018 MATERIA: ANALISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS

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1. INTRODUCCION Cuando una estructura tiene más reacciones externas o fuerzas internas que las que pueden determinarse con las ecuaciones de la estática, tal estructura es estáticamente indeterminada o Hiperestática. Una carga situada en alguna parte de una estructura hiperestática o continua producirá fuerzas cortantes, momentos flexionantes y deflexiones en las otras partes de la estructura. Las fuerzas redundantes son aquellas que son prescindibles para la estabilidad de la estructura en cuestión, todas las estructuras hiperestáticas tienen fuerzas externas y/o internas redundantes. Toda estructura debe cumplir con las condiciones que se derivan de las tres componentes que intervienen en su cálculo que son: estático, cinemática y leyes de comportamiento. Todo se traducen en ecuaciones de equilibrio, ecuaciones de compatibilidad y ecuaciones constitutivas. Calcular una estructura implica determinar tanto las incógnitas estáticas que son reacciones, esfuerzos de extremo de barra y solicitaciones como las cinemáticas que abarcan el movimientos y funciones de desplazamiento. Ambos grupos de incógnitas están relacionadas entre sí, por lo que, para abordar el cálculo, debe decidirse, en primer lugar, qué incógnitas son las principales las estáticas o las cinemáticasy en segundo lugar, de qué tipo de estructura se trata, Si la elección recae en las incógnitas estáticas es imprescindible determinar su número o grado de indeterminación estática de la estructura con el fin de utilizar un método adecuado para su resolución estática en función de su clasificación. Por otra parte, debe identificase si la estructura es un mecanismo y por lo tanto, presenta problemas de estabilidad. 2. DESARROLLO 2.1. FUERZAS REDUNDANTES Para poder identificar las fuerzas redundantes en una estructura primero hay que definir la estructura primaria que es de fácil análisis y por supuesto que se pueda resolver mediante las ecuaciones de la estática. Todas las fuerzas que no sean necesarias para la estabilidad de la estructura serán las fuerzas redundantes. Luego por efecto de superposición se podrá sumar cada efecto que genera cada fuerza redundante. En el análisis matricial el número de ecuaciones adicionales es el grado de indeterminación estática, es decir, el número de fuerzas redundantes. 2.2. INESTABILIDAD CINEMATICA En general, las piezas que forman las estructuras de barras, trabajan a flexión compuesta y a torsión. Por tanto, las rebanadas diferenciales de las piezas están sometidas a la acción combinada de esfuerzos axiales, cortantes, momentos flectores y torsores. Cada uno de los esfuerzos produce una cierta deformación. Así, por ejemplo,

3 el esfuerzo axial produce un alargamiento uniforme de todas las fibras, el momento flector produce un giro diferencial entre las secciones extremas, el esfuerzo cortante produce una distorsión media y alabeo diferencial y el momento torsor produce un giro de torsión. Conocidas las leyes de esfuerzos de una estructura, es posible cuantificar el valor de los efectos sobre las diferentes rebanadas de una pieza y calcular los movimientos (relativos) que se producen entre unos puntos y otros de la pieza. El número mínimo de movimientos (desplazamientos y giros) que es preciso conocer para determinar completamente el estado deformacional de una estructura se llama grado de indeterminación cinemática. La deformación que sufre la estructura debe cumplir las condiciones de compatibilidad, por tanto, suponiendo que los movimientos en las piezas individuales son continuos, el grado de indeterminación cinemática k puede calcularse como la diferencia: 𝐾 = 𝑔𝑙 ∗ 𝑛𝑛 − 𝑐𝑎 Donde: gl: es el número de grados de libertad por nudo. nn: es el número de nudos de la estructura. ca: es el número de grados de libertad prescritos por las condiciones de apoyo. El número de grados de libertad por nudo está determinado por el tipo de estructura y por las condiciones de compatibilidad de las barras que a él concurren. En estructuras articuladas espaciales el número de grados de libertad por nudo es 3 (tres traslaciones), téngase presente que en este tipo de estructuras los giros relativos entre las barras concurrentes son libres. En estructuras reticuladas espaciales, los grados de libertad por nudo son 6 (tres traslaciones y tres giros), ya que los giros relativos entre las barras están impedidos. En los emparrillados planos, gl (grados de libertad) es igual atres correspondientes a dos giros en el plano de la estructura y una traslación perpendicular a éste.

2.3 ELEMENTOS DE REACCION, LIBERACION DE FUERZAS, RESTRICCIONES DE DESPLAZAMIENTOS MÉTODOS DE ANÁLISIS Todos los métodos de análisis de estructuras articuladas y reticuladas hacen uso de tres condiciones básicas que deben satisfacer tanto las fuerzas como los movimientos determinados en los extremos de las barras y en los nudos: 1) Las fuerzas que actúan en el extremo de una barra y los movimientos de la misma, deben satisfacer las ecuaciones deducidas del diagrama σ - ε del material que la forma. 2) Los movimientos de los extremos de las barras deben ser compatibles con los de los nudos a los que están unidas dichas barras: condiciones de compatibilidad. 3) Las fuerzas que actúan en los extremos de cada barra deben mantener el equilibrio: condiciones de equilibrio.

4 Método de compatibilidad. Básicamente consiste en transformar la estructura hiperestática en otra isostática, suprimiendo apoyos o enlaces redundantes, sustituyéndolos por fuerzas o esfuerzos incógnita. El número de incógnitas del problema es el grado de hiperestatismo del mismo. Sobre esta estructura isostática base pueden aplicarse las condiciones de equilibrio a priori, particularmente pueden expresarse los movimientos de la misma en función de las incógnitas hiperestáticas. Por tanto, se pueden imponer a posteriori las condiciones de compatibilidad, anteriormente liberadas, obteniéndose el número de ecuaciones necesarias para resolver las incógnitas hiperestáticas. El proceso secuencial consiste en, a partir de la geometría de la estructura y de la definición de las secciones: 1. definir la estructura isostática base, seleccionando las incógnitas hiperestáticas y liberando las correspondientes condiciones de compatibilidad 2. resolver la estructura isostática base, en función de las incógnitas hiperestáticas y satisfaciendo las condiciones de equilibrio 3. determinar las incógnitas hiperestáticas, imponiendo las necesarias condiciones de compatibilidad 4. determinar las reacciones, esfuerzos y movimientos en la estructura hiperestática original. Nótese que en este método se utilizan primero las condiciones de equilibrio, y posteriormente, las condiciones de compatibilidad. Se le conoce también por los nombres de “método de las fuerzas”, dado que las incógnitas hiperestáticas seleccionadas para resolver el problema son fuerzas hiperestáticas, o “método de flexibilidad”, ya que los coeficientes que aparecen en las ecuaciones que se plantean son de flexibilidad.

Método de equilibrio. El método consiste en identificar el número de movimientos incógnita que determinan la deformación de la estructura, satisfaciendo a priori las condiciones de compatibilidad de movimientos en los nudos de la estructura. El número de incógnitas del problema es, por tanto, el grado de indeterminación cinemática del problema. De forma general, dichos movimientos son los giros y los desplazamientos de los nudos, que luego pueden reducirse según las condiciones adicionales de compatibilidad del problema. Imponiendo a posteriori las condiciones de equilibrio de fuerzas y momentos en los nudos en que concurren diferentes barras y en los apoyos, se obtiene el número de ecuaciones necesarias para resolver las incógnitas cinemáticas. Este procedimiento de resolución puede verse en la Figura 1.24; el proceso secuencial consiste en, a partir de la geometría de la estructura y de la definición de las secciones: 1. identificar el número mínimo de movimientos incógnitas que determinan la deformación de la estructura, teniendo en cuenta las correspondientes condiciones de compatibilidad en los nudos,

5 2. resolver las piezas individuales, en función de las incógnitas cinemáticas, en base a satisfacer las condiciones de compatibilidad en las piezas, 3. determinar las incógnitas cinemáticas, imponiendo las necesarias condiciones de equilibrio en los nudos 4. determinar los movimientos, esfuerzos y reacciones en la estructura. La comprobación del equilibrio en alguno o todos los nudos de una estructura no forma estrictamente parte del proceso de resolución, sino que es más bien una manera de verificar que los resultados obtenidos son consistentes, y por tanto, probablemente libres de errores. Es importante señalar igualmente que este procedimiento no es específico para cálculo matricial de estructuras, por lo que podría aplicarse a cualquier otro método de resolución. El proceso de comprobación del equilibrio para un cierto nudo i consiste en reunir todas las acciones (cargas externas puntuales), reacciones (en caso de tratarse de un apoyo) y esfuerzos (para cada una de las barras que incidan en el nudo) y representarlas tal y como actúan sobre el nudo, teniendo especial cuidado en la dirección y sentido de cada fuerza y momento. A continuación, se debe verificar que se cumplen las tres ecuaciones de equilibrio para el punto del nudo i:  Fx = 0  Fy = 0  Mi = 0 Siendo Fx y Fy las componentes horizontales y verticales de cada una de las fuerzas, respectivamente. Se deben plantear todas las fuerzas que actúan sobre el nudo. Para contar el efecto de todas las barras se puede asumir que todas ellas han sido “cortadas” muy cerca del nudo (en teoría, infinitesimalmente cerca). En cada punto de corte aparecerán, en el lado de la barra, los esfuerzos axiles (N), cortantes (V) y el momento flector (M) de dicha barra, y en el lado del nudo, las reacciones de cada una de estas fuerzas y momentos. Los desplazamientos pueden calcularse por medio del principio del trabajo virtual para cuerpos elásticos. Los ∆0i siempre podrán calcularse sin problemas a través de este principio, pero los ∆ji solo pueden calcularse por medio del coeficiente de flexibilidad como sigue:

Escrito en forma matricial:

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Las fuerzas no necesarias para mantener a una estructura en equilibrio y estable son las fuerzas redundantes. Dichas fuerzas redundantes pueden ser tanto fuerzas de reacción como solicitaciones de miembros que forman parte de la estructura. Se aplican las fuerzas redundantes como cargas desconocidas sobre la estructura primaria y en base a ello se formulan ecuaciones de condición que implican que las deformaciones de esa estructura primaria, debido al efecto combinado de las fuerzas redundantes y las acciones externas dadas, deben ser iguales a los desplazamientos y/o las deformaciones de la estructura indeterminada original. Se escriben tantas ecuaciones como redundantes existan, y los valores de dichas redundantes se determinan al resolver el sistema de ecuaciones de compatibilidad. 3. EJEMPLO DE APLICACIÓN: q

M A

VA

VB

ql2/2 Mx1

q

𝑀𝑥1 =

𝑞𝑙2 2

+

𝑞𝑥 2 2

− 𝑞𝑙𝑥

L

𝑀𝑥2 = 𝑥 − 𝐿

Mx2 1 𝛿𝐵 = ∫

𝑀𝑥1𝑀𝑥2𝑑𝑥 𝑀𝑥2𝑀𝑥2𝑑𝑥 + 𝑉𝐵 ∫ 𝐸𝐼 𝐸𝐼

7 𝑞𝐿2

(

+

𝑞𝑥 2

− 𝑞𝐿𝑥) (𝑥 − 𝐿)

(𝑥 − 𝐿)(𝑋 − 𝐿) 𝑑𝑥 𝐸𝐼 𝐸𝐼 1 𝑞𝐿4 𝑞𝐿4 𝑞𝐿4 𝑞𝐿4 𝑞𝐿4 𝑞𝐿4 𝑉𝐵 𝐿3 0= ( + − − − + )+ ( − 𝐿3 + 𝐿3 ) 𝐸𝐼 4 8 3 2 6 2 𝐸𝐼 3 0=∫

2

2

𝑽𝑩 =

𝑑𝑥 + 𝑉𝐵 ∫

𝟑𝒒𝑳 𝟖

4. RESUMEN Las fuerzas redundantes son aquellas que están en demasía o las cuales podemos prescindir sin comprometer la estabilidad de la estructura, para identificarlas es necesario designar una estructura principal la cual sea Las estructuras estáticamente indeterminadas contienen más fuerzasincógnitas que ecuaciones de equilibrio estático disponibles para obtener su solución, entendiéndose como solución el conocer las solicitaciones, desplazamiento de nodos y deformaciones de sus miembros; en resumen, conocer la respuesta estructural ante determinadas acciones. Por esta razón, estas estructuras no pueden analizarse utilizando solo las ecuaciones de equilibrio estático, se requieren de ecuaciones adicionales. Existen métodos de análisis para poder determinar las reacciones, mediante restricciones y liberación de fuerzas aplicadas en la estructura, conociéndolo mediante determinadas acciones que se realicen en la estructura Las estructuras estáticamente indeterminadas contienen más fuerzas incógnitas que ecuaciones de equilibrio estático disponibles para obtener su solución, entendiéndose como solución el conocer las solicitaciones, desplazamiento de nodos y deformaciones de sus miembros; en resumen conocer la respuesta estructural ante determinadas acciones. Por esta razón, estas estructuras no pueden analizarse utilizando solo las ecuaciones de equilibrio estático, se requieren de ecuaciones adicionales. Esto lleva a proceder al análisis del método de flexibilidad para obtener la solución de una estructura mediante las solicitaciones que se dé en un ejercicio. 5. ANEXO

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Figura 1: Viga estáticamente indeterminada de primer grado

6. BIBLIOGRAFIA Da Fonseca, Z. (2016). ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS RETICULARES . Maracaibo: FONDO EDITORIAL BIBLIOTECA . McGuire, W. (2000). Matrix Structural Analysis. METU LIBRARY. Basset, L. (2001). Calculo matricial de estructuras. Desconexiones y vínculos. Blanco, E., Cervera, M., Suarez, B. (2015). Análisis matricial de estructuras. Blanco Claraco, José Luis;González HerreraAntonio; yGarcía ManriqueJosé Manuel, (2012) Análisisestático de estructuras por el método matricial. Departamento de Ingeniería Civil, Materiales y Fabricación Universidad de Málaga. Ing. Malavé Cariello, Jorge A. Ing. Ojeda Meléndez, Ana G, (2017), Método De Las Fuerzas. Universidad De Carabobo Facultad De Ingeniería Escuela De Ingeniería Civil Departamento De Ingenieria Estructural Introducción Al Análisis Estructural. Blanco DíazElena, Cervera RuizMiguel, Suárez ArroyoBenjamín, (2015), ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS. Centro Internacional De Métodos Numéricos En IngenieríaBarcelona, España.