Ecuaciones diferenciales

ECUACIONES DIFERENCIALES UNIDAD TRES SERIES DE POTENCIA Y TRANSFORMADA DE LA PLACE Presentado a: FRANCISCO JAVIER CAST

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ECUACIONES DIFERENCIALES

UNIDAD TRES SERIES DE POTENCIA Y TRANSFORMADA DE LA PLACE

Presentado a: FRANCISCO JAVIER CASTELLANOS Tutor

Entregado por: DANIEL FABIAN DUARTE GALEANO Código: 1101756915

Grupo: 100412_119

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, INGENIERÍAS Y TECNOLOGÍAS CURSO DE ECUACIONES DIFERENCIALES 09 mayo de 2019 VÉLEZ 2019

INTRODUCCIÓN

Con el desarrollo de la presente actividad planteada por el tutor estaremos aplicando los conocimientos adquiridos por medio de información, videos y web conferencia que nos brindan las bases para desarrollar los ejercicios por medio de series de potencia y transformada de laplace.

OBJETIVOS

OBJETIVO PRINCIPAL:  El objetivo principal de esta actividad es el desarrollo de las situaciones planteadas sobre series de potencia y transformada de laplace.

OBJETIVOS ESPECIFICOS  Seleccionar el rol y los ejercicios para el desarrollo de esta fase tanto grupal como individual.  Solución de los ejercicios escogidos de la parte individual.  Solución de ejercicios de manera grupal.

PASO 2 ELECCIÓN DE EJERCICIOS A DESARROLLAR PARTE INDIVIDUAL Tabla de elección de ejercicios: Nombre del estudiante Anyie Quiroga

Rol a desarrollar Entregas

Grupo de ejercicios a desarrollar paso 1. El estudiante desarrolla los ejercicios a en todos los tres tipos propuestos.

Daniel Duarte

Alertas

El estudiante desarrolla los ejercicios b en todos los tres tipos propuestos.

Sebastian Ariza

Evaluador

El estudiante desarrolla los ejercicios c en todos los tres tipos propuestos. El estudiante desarrolla los ejercicios d en todos los tres tipos propuestos. El estudiante desarrolla los ejercicios e en todos los tres tipos propuestos.

DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD COLABORATIVA PASO 3 EJERCICIOS INDIVIDUALES A continuación, se definen los 3 Tipos de ejercicios para presentar en el Paso 3. TIPO DE EJERCICIOS 1 – MÉTODO DE SERIES DE POTENCIAS PARA ECUACIONES DIFERENCIALES El método de series de potencias para resolver ecuaciones diferenciales es simple y natural, se empieza describiendo el procedimiento práctico y se ilustra con ecuaciones simples cuyas soluciones ya se conocen, con el fin de ver lo que está ocurriendo.

Para una ecuación dada:

𝑦 ,, + 𝑝(𝑥)𝑦 , + 𝑞(𝑥)𝑦 = 0

se representa primero 𝑝(𝑥)y 𝑞(𝑥) por series de potencias en potencias de 𝑥 (o de (𝑥 − 𝑥0 ) si se desea obtener soluciones de potencias de 𝑥 − 𝑥0 ). En muchas ocasiones 𝑝(𝑥)y 𝑞(𝑥) son polinomios y entonces no es necesario hacer nada en primer paso. Después se supone una solución en la forma de una serie de potencias con coeficientes desconocidos.



y = ∑ 𝑎𝑚 𝑥 𝑚 = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥 2 + 𝑎3 𝑥 3 + ⋯ 𝑚=0

Y esta serie y la obtenida al derivar terminó a término:

∞ ,

y = ∑ 𝑚𝑎𝑚 𝑥 𝑚−1 = 𝑎1 + 2𝑎2 𝑥 + 3𝑎3 𝑥 2 + ⋯ 𝑚=1

∞ ,,

y = ∑ 𝑚(𝑚 − 1)𝑎𝑚 𝑥 𝑚−2 = 2𝑎2 + 3 ∗ 2𝑎3 𝑥 + 4 ∗ 3𝑎4 𝑥 2 + ⋯ 𝑚=1

Se introduce en la ecuación. A continuación se agrupan las potencias semejantes de 𝑥 y la suma de los coeficientes de cada potencia de 𝑥 que se presente se iguala a cero, empezando con los términos constantes, los términos que incluyen a 𝑥, los términos que incluyen a 𝑥 2 etc. Se obtienen así relaciones a partir de las cuales es posible determinar de manera sucesiva los coeficientes desconocidos en 𝑦.

De acuerdo a lo anterior, resuelva por el método de series de potencias: ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: DANIEL DUARTE b. 𝑦 , = 2𝑥𝑦 PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓNMATEMÁTICA 𝑦 , − 2𝑥𝑦 = 0

RAZÓN O EXPLICACIÓN Propiedad uniforme



Solucionamos usando serie de potencia.

𝑦 = ∑ 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 ∞

𝑛=0

𝑦 ′ = ∑ 𝑛. 𝑎𝑛 𝑥 𝑛−1 𝑛=1



∑ 𝑛. 𝑎𝑛 𝑥

𝑛−1

Aplicamos derivada



− 2 ∑ 𝑎𝑛 𝑥 𝑛+1 = 0

𝑛=1 ∞

𝑛=0



𝑘

∑(𝑘 + 1). 𝑎𝑘+1 𝑥 − 2 ∑ 𝑎𝑘−1 𝑥 𝑘 𝑘=0

Reemplazamos en la ecuación diferencial:

𝑘=1

Para el primer término hacemos n=k+1, n=k-1 para el segundo término:

=0 ∞

∞ 𝑘

𝑎1 + ∑(𝑘 + 1). 𝑎𝑘+1 𝑥 − 2 ∑ 𝑎𝑘−1 𝑥 𝑘 𝑘=1

𝑘=1

Reemplazamos el valor k=0, en el primer término

=0 ∞

𝑎1 + ∑[(𝑘 + 1). 𝑎𝑘+1 − 2𝑎𝑘−1 ]𝑥 𝑘 = 0 𝑘=1

𝑎1 = 0 ; (𝑘 + 1). 𝑎𝑘+1 − 2𝑎𝑘−1 = 0 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠: 𝑎1 = 0

Aplicamos propiedades de las series y Factorizamos. A partir de la identidad se concluye que todos los sumandos deben ser iguales a cero

𝒂𝑘+1 =

2𝑎𝑘−1 (𝑘 + 1)

Resolvemos para hallar la ecuación de recurrencia

𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑘 = 1,2,3 … 𝑎2 = 𝑎0 ; 𝑎3 =

2𝑎1 3

= 0; 2𝑎2 𝑎0 2𝑎3 𝑎4 = = ; 𝑎5 = =0 4 2 5 2𝑎4 𝑎0 2𝑎5 𝑎6 = = ; 𝑎7 = =0 6 3.2 7 𝑎0 𝑎0 𝑎0 𝑦 = 𝑎0 + 𝑥 2 + 𝑥 4 + 𝑥 6 + ⋯ 1! 2! 3! 𝑎0 2 1 𝑎 0 2 2 𝑎0 2 3 𝑦 = 𝑎0 + (𝑥 ) + (𝑥 ) + (𝑥 ) 1! 2! 3! +⋯ 𝒚 = 𝒂𝟎 𝒆𝒙

Hallamos los coeficientes a partir de la ecuación de recurrencia

Solución general de la ecuación diferencial propiedades de la potenciación Definición de ex como series de potencia

𝟐

TIPO DE EJERCICIOS 2. TRANSFORMADA DE LAPLACE

En el modelo matemático de un sistema físico como el de la masa 𝑚 sujeta a un resorte o el de un circuito eléctrico en serie, el lado derecho de la ecuación diferencial.

𝑑2 𝑥

dx

m 𝑑𝑡 2 + 𝛽 𝑑𝑡 + 𝑘𝑥 = 𝑓(𝑡)

𝑑2 𝑞

dq

L 𝑑𝑡 2 + 𝛽 𝑑𝑡 + 𝑘𝑞 = 𝐸(𝑡)

Es una función que representa una fuerza externa 𝑓(𝑡) o un voltaje 𝐸(𝑡) en ecuaciones diferenciales se resuelve este problema para funciones 𝑓(𝑡) continuas. Sin embargo, no es raro encontrarse con funciones continuas a trozos por ejemplo en circuitos eléctricos son muy comunes los voltajes dientes de sierra o escalón. Es difícil, pero no imposible resolver la ecuación diferencial que describe el circuito en este caso pero la transformada de laplace es una valiosa herramienta para resolver problemas de este tipo

La transformada de Laplace es muy útil en la solución de ecuaciones integrales y sistemas de ecuaciones diferenciales así con la obtención de algunas interesantes integrales.

Suponga que la función 𝑦(𝑡) está definida para 𝑡 ≥ 0 y la integral impropia converge para 𝑠 > 𝑠0 . Entonces la transformada de Laplace 𝑦(𝑡) existe 𝑠 > 𝑠0 y está dada por: ∞

ℒ{𝑦(𝑡)} = ∫ 𝑒 −𝑠𝑡 𝑦(𝑡)𝑑𝑡 0

2. Con respecto a lo anterior calcule la transformada de Laplace de:

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: DANIEL DUARTE b. ℒ{𝑡} PROPOSICIÓN ENUNCIADO O RAZÓN O EXPLICACIÓN EXPRESIÓN MATEMÁTICA Partimos de la condición inicial ℒ{𝑦(𝑡)} = ℒ{𝑡} 𝑝𝑜𝑟 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜: 𝑦(𝑡) = 𝑡 𝑦(0) = 0 derivamos 𝑦 ′ (𝑡) = 1 ′ (𝑡)} Teorema de la transformada de la ℒ{𝑦 = 𝑠ℒ{𝑦(𝑡)} − 𝑦(0) derivada reemplazamos, teniendo en cuenta que ℒ{1} = 𝑠ℒ{𝑡} − 0 1 1 ℒ{1} = 𝑠 = 𝑠ℒ{𝑡} 𝑠 𝟏 despejamos ℒ{𝑡} y solución de la 𝓛{𝒕} = 𝟐 transformada 𝒔

EJERCICIOS 3. SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES CON TRANSFORMADA DE LAPLACE Use la transformada de Laplace para resolver el problema de valor inicial.

{

𝑦 , − 3𝑦 = 𝑒 2𝑡 } 𝑦(0) = 1

Aplicando la Transformada de Laplace a ambos lados de la ecuación diferencial ℒ{𝑦 , − 3𝑦} = ℒ{𝑒 2𝑡 }

ℒ{𝑦 , } − 3ℒ{𝑦} =

1 𝑠−2

𝑠𝑌(𝑠) − 𝑦(0) − 3𝑌(𝑠) = 𝑠𝑌(𝑠) − 1 − 3𝑌(𝑠) = 𝑌(𝑠) =

1 𝑠−2

1 𝑠−2

𝑠−1 (𝑠 − 2)(𝑠 − 3)

𝑌(𝑠) = −

1 2 + 𝑠 − 2 (𝑠 − 3)

Ahora se aplica transformada de Laplace para hallar: 𝑦(𝑡)

1 1 ℒ −1 {𝑌(𝑠)} = −ℒ −1 ( ) + 2ℒ −1 ( ) 𝑠−2 𝑠−3 𝑦(𝑡) = −𝑒 2𝑡 + 𝑒 3𝑡

3. A partir de lo anterior, resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales:

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: DANIEL DUARTE b.

𝑑𝑦 𝑑𝑡

+ 2𝑦 = 𝑡𝑒 −2𝑡 ; 𝑦(0) = 0

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA ℒ{𝑦 , + 2𝑦} = ℒ{𝑡𝑒 −2𝑡 } ℒ{𝑦 , } + 2ℒ{𝑦} = ℒ{𝑡𝑒 −2𝑡 } 1! (𝑠 + 2)2 1 𝑠𝑌(𝑠) + 2𝑌(𝑠) = (𝑠 + 2)2

𝑠𝑌(𝑠) − 𝑦(0) + 2𝑌(𝑠) =

RAZÓN O EXPLICACIÓN Aplicando la Transformada de Laplace a ambos lados de la ecuación diferencial aplicamos propiedades de la transformada Ahora se resuelve la transformada de Laplace tenemos en cuenta la condicion inicial

1 (𝑠 + 2)2 1 𝑌(𝑠) = (𝑠 + 2)3 1 2 ℒ −1 {𝑌(𝑠)} = ℒ −1 [ ] (𝑠 + 2)3 2 𝟏 𝒚(𝒕) = 𝒕𝟐 𝒆−𝟐𝒕 𝟐

factorizando

𝑌(𝑠)(𝑠 + 2) =

despejamos 𝑌(𝑠) aplicamos propiedad uniforme y la inversa de las transformada aplicamos inversas de las transformadas

PASO 4 EJERCICIO 4. SITUACIÓN PROBLEMA

A partir de la situación problema planteada el grupo debe realizar los aportes respectivos en el foro colaborativo con el fin de reconocer las características del problema que se ha planteado y buscar el método de solución más apropiado según las ecuaciones diferenciales de primer orden seleccionando la respuesta correcta de las 4 alternativas. Usar el teorema de Taylor para hallar la solución en serie de 𝑦 ′ = 𝑦 2 − 𝑥 con la condición inicial 𝑦 = 1 en 𝑥 = 0. A. 1 + 𝑥 + B. 1 + C. 1 + D. 1 +

1

1

4

𝑥 2 + 3! 𝑥 3 + 14

2

4

𝑥 2 + 3! 𝑥 3 + 14

2 𝑥

+

2 4𝑥 2

+

1 3

𝑥4 4!

4

3

𝑥3 +

66 4!

4!

+ 66

𝑥 3 + 4! 𝑥 4 + 14

14

𝑥4

𝑥5 5!

+ 66 𝑥5 5!

𝒚=∑ 𝒏=𝟎

5!

+⋯

+⋯

+ 66

𝑥6 6!

+⋯

𝑥4

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA ∞

𝑥5

𝒇𝒏 (𝒙𝟎 ) (𝒙 − 𝒙𝟎 )𝒏 𝒏!

RAZÓN O EXPLICACIÓN

Según el teorema de Taylor.

𝒚 = 𝒇(𝒙𝟎 ) +

𝒇′ (𝒙𝟎 ) (𝒙 − 𝒙𝟎 ) 𝟏! 𝒇′′ (𝒙𝟎 ) (𝒙 − 𝒙𝟎 )𝟐 + 𝟐! 𝒇′′′ (𝒙𝟎 ) (𝒙 − 𝒙𝟎 )𝟑 + 𝟑! 𝒇(𝟒) (𝒙𝟎 ) (𝒙 − 𝒙𝟎 )𝟒 + ⋯ + 𝟒!

𝒚 = 𝒇(𝒙𝟎 ) +

+

𝒇′ (𝟎) 𝒇′′ (𝟎) (𝒙) + (𝒙)𝟐 𝟏! 𝟐! 𝒇′′′ (𝟎) (𝒙)𝟑 + 𝟑!

Resolviendo la sumatoria se tiene que

evaluando 𝑥0 = 0

𝒇(𝟒) (𝟎) 𝒇(𝟓) (𝟎) (𝒙)𝟒 + (𝒙)𝟓 𝟒! 𝟓! 𝑦′ = 𝑦 2 − 𝑥

Ecuación diferencial propuesta en el enunciado

𝑓 ′ (0) = (1)2 − 0

Calculando el valor de la primera derivada en cero

𝑓 ′ (0) = 1 𝑓 ′′ (𝑥) = 2𝑦𝑦 ′ − 1 𝑓 ′′ (0) = 2(1)(1) − 1 = 1 𝑓 ′′′ (𝑥) = 2𝑦 ′ 𝑦 ′ + 2𝑦𝑦′′ 𝑓 ′′′ (𝑥) = 2(𝑦 ′ )2 + 2𝑦𝑦′′

Calculando el valor de la segunda derivada en cero Calculando el valor de la tercera derivada en cero

𝑓 ′′′ (0) = 2(1)2 + 2(1)(1) = 4 𝑓 (4) (𝑥) = 4𝑦′𝑦′′ + 2𝑦 ′′ 𝑦′ + 2𝑦𝑦′′′ 𝑓 (4) (𝑥) = 6𝑦′𝑦′′ + 2𝑦𝑦′′′

Calculando el valor de la cuarta derivada en cero

𝑓 (4) (0) = 6(1)(1) + 2(1)(4) = 14 𝑓 (5) (𝑥) = 6(𝑦 ′ )2 𝑦 ′′ + 6𝑦 ′ 𝑦 ′′′ + 2𝑦 ′′′ + 2𝑦𝑦 ′′′′ 𝑓 (5) (0) = 6(1)2 (1) + 6(1)(4) + 2(4) + 2(1)(14) 𝑓 (5) (0) = 6 + 24 + 8 + 28 = 66

Calculando el valor de la quinta derivada en cero

1 2 4 3 𝑥4 𝑦= 1 + 𝑥 + 𝑥 + 𝑥 + 14 2! 3! 4! 𝑥5 + 66 +⋯ 5!

Reemplazando en la ecuación de Taylor por lo tanto la respuesta es A.

PASO 5

EJERCICIO 5. ANÁLISIS Y EVALUACIÓN DE LA SOLUCIÓN DE UNA SITUACIÓN PLANTEADA. Se presenta un problema junto con su solución, de forma colaborativa deben evaluar y analizar toda la solución a la situación plantea, si consideran que todo el proceso y respuesta se encuentra de manera correcta, deben realizar aportes en cuanto a procedimiento faltante y fórmulas utilizadas, resaltando en otro color los aportes extras a la solución. Si el grupo considera que el proceso y/o respuesta se encuentra incorrecto, deben realizar la observación y corrección al error o errores encontrados resaltando en otro color la corrección y aportes extras a la solución. Situación y solución planteada:

Situación y solución planteada:

La ecuación diferencial que modela un circuito eléctrico RLC dispuesto en serie es:

𝑑𝑖 1 t 𝐿 + 𝑅𝑖 + ∫ i(τ)dτ = E(t) 𝑑𝑡 𝑐 0

Utilizando la transformada de Laplace encuentre i(τ), si L = 0.005H; R = 1 Ω ; c=0.02 F y E(t) = 100[1 − U(t − 1)]v e i(0) = 0

EJERCICIO Y SOLUCIÓN PLANTEADA Solución 1. Se reemplazan los valores

OBSERVACIONES, ANEXOS, MODIFICACIONES A LA SOLUCIÓN PLANTEADA El procedimiento es correcto

0.005

t 𝑑𝑖 1 +𝑖+ ∫ i(τ)dτ 𝑑𝑡 0.02 0 = 100[1 − U(t − 1)]

El cálculo Correcto

2. se divide por 0.005 t 𝑑𝑖 + 200𝑖 + 10000 ∫ i(τ)dτ 𝑑𝑡 0 = 20000 − 20000U(t − 1)

la aplicación de la transformada es correcta

3. A cada término se le halla la transformada de Laplace INCORRECTO: forma correcta 𝐼(𝑠) 𝑠𝐼(𝑠) − 𝑖(0) + 200𝐼(𝑠) + 10000 𝑠 20000 20000 −𝑠 = − 𝑒 𝑠 𝑠

𝑠 2 + 200𝑠 + 10000 20000 (1 − 𝑒 −𝑠 ) 𝐼(𝑠) ( )= 𝑠 𝑠

4. Se agrupan los términos de I(s)

Factorización numerador (𝑠 + 100)2 20000 (1 − 𝑒 −𝑠 ) 𝐼(𝑠) ( )= 𝑠 𝑠

𝑠 2 + 200𝑠 + 10000 𝐼(𝑠) ( ) 𝑠(𝑠 + 100)2 20000 (1 − 𝑒 −𝑠 ) = 𝑠 5. Se factoriza el numerador del lado izquierdo y se despeja I(s). Se reescribe el resultado para aplicar Transformada inversa.

Despeje y simplificación 20000 (1 − 𝑒 −𝑠 ) 𝐼(𝑠) = (𝑠 + 100)2 1 𝑒 −𝑠 𝐼(𝑠) = 20000 [ − ] (𝑠 + 100)2 (𝑠 + 100)2

20000𝑠 (1 − 𝑒 −𝑠 ) 𝐼(𝑠) = 𝑠(𝑠 + 100)2 𝐼(𝑠) = 20000 [

1 𝑒 −𝑠 − ] (𝑠 + 100)2 (𝑠 + 100)2

aplicando transformada inversa 1 } (𝑠 + 100)2 𝑒 −𝑠 −1 −ℒ { }] (𝑠 + 100)2 correcto se aplica el segundo teorema de traslación, para la segunda transformada. ℒ −1 {𝐼(𝑠)} = 20000 [ℒ −1 {

6. Se aplica la transformada inversa para hallar i(t) 𝑖(𝑡) = 20000[𝑡𝑒 −100𝑡 − (𝑡 − 1)𝑒 −100(𝑡−1) 𝑈(𝑡 − 1)]

la transformada queda: 𝒊(𝒕) = 𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎[𝒕𝒆−𝟏𝟎𝟎𝒕 − (𝒕 − 𝟏)𝒆−𝟏𝟎𝟎(𝒕−𝟏) 𝑼(𝒕 − 𝟏)]

PASO 8 TABLA LINKS VIDEOS EXPLICATIVOS Nombre Estudiante

Ejercicios Link video explicativo sustentados DANIEL FABIAN B https://youtu.be/3_xp5xgj-8s DUARTE GALEANO Transformada de Laplace

CONCLUSIONES

Con la realización de este trabajo se conocieron diferentes métodos para el desarrollo de problemas planteados de series de potencia y transformada de laplace. Con el desarrollo de esta actividad se logró poner en práctica los conocimientos que se tenían y reforzar nuevos de acuerdo con la bibliografía suministrada por medio del entorno de conocimiento.

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

 García, A. (2014). Ecuaciones diferenciales. Larousse - Grupo Editorial Patria. (pp. 123-130).

 García, A. (2014). Ecuaciones diferenciales. Larousse - Grupo Editorial Patria. (pp. 179-185).