ECUACIONES DIFERENCIALES UNIDAD TRES SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES MEDIANTE TRANSFORMADA DE LAPLACE. Present
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ECUACIONES DIFERENCIALES UNIDAD TRES SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES MEDIANTE TRANSFORMADA DE LAPLACE.
Presentado a: Fausto Miguel Castro Tutor(a)
Entregado por: Camilo Andrés Buitrago Arévalo
Código: 1005752304 Grupo: 50
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, INGENIERÍAS Y TECNOLOGÍAS CURSO DE ECUACIONES DIFERENCIALES FECHA 31-julio 2022
INTRODUCCIÓN En el presente documento buscamos enseñar algunos de los caminos posibles para poder resolver las ecuaciones dadas por la transformadas de Laplace, enseñando de esta manera diferentes ejercicios resueltos aplicando distintas reglas y obteniendo así una respuesta.
OBJETIVOS
Utilizar adecuadamente la transformada de Laplace, para llegar a la solución de las ecuaciones diferenciales lineales de orden n con problemas de valores iniciales Observar y distinguir las diferentes reglas aplicadas a diferentes casos de ecuaciones diferenciales posibles.
ELECCIÓN DE EJERCICIOS A DESARROLLAR Nombre del estudiante Camilo Andres Buitrago
Letra Asignada ejercicios 1 al 4 E
Ejercicio 5 5E
DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD EJERCICIOS 1. TRANSFORMADA DE LAPLACE DE FUNCIONES ENUNCIADO EJERCICIO: 𝑓 (𝑡) = {𝑒 −2𝑡 (10 sin ℎ(5𝑡) + cosh(3𝑡)}
PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA
RAZÓN O EXPLICACIÓN
Primer teorema de traslación ℒ
{𝑒 𝑎𝑡
𝑓(𝑡)} = ℒ{𝑓(𝑡)}|𝑠→𝑠−𝑎 = 𝑓(𝑠)|𝑠→𝑠−𝑎
= 𝐹 (𝑠 − 𝑎) ; 𝑎 = −2
= (10 sinh(5𝑡) + cosh(3𝑡))(𝑠 + 2)
ℒ {𝐶1 𝑓1 + 𝐶2 𝑓2 } = 𝐶1 ℒ {𝑓1 } + 𝐶2 ℒ {𝑓2 }
ℒ {10 sinh(5𝑡) + cosh(3𝑡)} ⟹ 10 ℒ {(sinh(5𝑡) + ℒ(cosh(3𝑡)}
10 ℒ {sinh(5𝑡)} =
𝑠2
5 50 ⟹ 2 − 25 𝑠 − 25
Tenemos que para 𝑓(𝑡) = (10 sinh(5𝑡) + cosh(3𝑡))
La suma de las transformadas de las funciones
Para
Tabla de transformadas
ℒ {cosh(3𝑡)} = =(
𝑠2
𝑠 𝑠2 − 9
50 𝑠 + 2 ) (𝑠 + 2) − 25 𝑠 − 9
50 2 +𝑠+ 2 (𝑠 + 2) − 25 ( 𝑠 + 2)2 − 9
Por la primera propiedad de corrimiento tenemos que
Respuesta
EJERCICIOS 2. TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE DE FUNCIONES ENUNCIADO EJERCICIO: 2 𝐿−1 {( )} 𝑠
PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA
RAZÓN O EXPLICACIÓN
Sabemos por la tabla que 1 2 ℒ {2} = 2 ( ) ⟹ 𝑠 𝑠
2 1 ℒ −1 {( )} ⟹ 2 ℒ −1 { } 𝑠 𝑠
Entonces el inverso sería
2 ℒ −1 { } = 2 𝑠
Finalmente (Respuesta)
EJERCICIOS 3. TRANSFORMADA DE LAPLACE DE LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN ENUNCIADO EJERCICIO:
𝑆𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑟 𝐿[𝑦´´ − 3𝑦´ − 2𝑦] 𝑐𝑜𝑛 𝑦(0) = −1 ,
PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA
𝑦´(0) = −3
RAZÓN O EXPLICACIÓN
Por la propiedad de linealidad sabemos que = ℒ{𝑦´´} − 3 ℒ{𝑦´} − 2 ℒ{𝑦}
∗ ℒ{𝑦´´} = 𝑠 2 𝑌 (𝑠) − 𝑠 𝑦(0) − 𝑦´(0) = 𝑠 2 𝑌 (𝑠) − 𝑠(−1) − (−3)
Según la tabla, las transformadas de las derivadas son
= 𝑠 2 𝑌 (𝑠 ) + 𝑠 + 3 ∗ ℒ{𝑦´} = 𝑠 𝑌(𝑠) − 𝑦(0) = 𝑠 𝑌(𝑠) − (−1) = 𝑠 𝑌 (𝑠 ) + 1 ∗ ℒ{𝑦} = 𝑌 (𝑠) 𝑠 2 𝑌(𝑠) + 𝑠 + 3 − 3(𝑠 𝑌(𝑠) + 1) − 2(𝑌(𝑠))
Al sumar las transformadas
= 𝑠 2 𝑌 (𝑠) + 𝑠 + 3 − 3𝑠 𝑌(𝑠) − 3 − 2 𝑌(𝑠)
= 𝑠 2 𝑌 (𝑠) − 3𝑠 𝑌(𝑠) − 2 𝑌(𝑠) + 𝑠
Respuesta
EJERCICIOS 4. SOLUCIÓN DE LAS ED MEDIANTE TRANSFORMADA DE LAPLACE ENUNCIADO EJERCICIO: 𝑦´´ − 𝑦´ − 2𝑦 = 2𝑒 𝑡 ; 𝑦(0) = 1 , 𝑦´(0) = 0
PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA
RAZÓN O EXPLICACIÓN
Propiedad de linealidad
ℒ{𝑦´´} − ℒ {𝑦´} − 2 ℒ{𝑦} = 2 ℒ{𝑒 𝑡 }
∗ ℒ{𝑦´´} = 𝑠 2 𝑌 (𝑠) − 𝑠 𝑦(0) 1 − 𝑦´(0) 0
Según la tabla las transformadas son
= 𝑠 2 𝑌 (𝑠 ) − 𝑠 ∗ ℒ{𝑦´} = 𝑠 𝑌(𝑠) − 𝑦(0) 1 = 𝑠 𝑌 (𝑠 ) − 1 ∗ ℒ{𝑦} = 𝑌 (𝑠) ∗ ℒ {𝑒 𝑡 } =
1 𝑠−1
⟹ 𝑠 2 𝑌 (𝑠 ) − 𝑠 − 𝑠 𝑌 (𝑠 ) + 1 − 2 𝑌 (𝑠 ) = ⟹ 𝑠 2 𝑌 (𝑠 ) − 𝑠 𝑌 (𝑠 ) − 2 𝑌 (𝑠 ) =
2 𝑠−1
2 +𝑠−1 𝑠−1
2 + (𝑠 − 1)2 (𝑠 − 𝑠 − 2) 𝑌 (𝑠 ) = 𝑠−1 2
𝑌 (𝑠 ) =
Al sumar las transformadas tenemos
Simplificamos
2 + 𝑠 2 − 2𝑠 + 1 𝑠 2 − 2𝑠 + 3 = (𝑠 − 1)(𝑠 2 − 𝑠 − 2) 𝑠 3 − 2𝑠 2 + 2 =
𝑠 2 − 2𝑠 + 3 (𝑠 − 1)(𝑠 + 1)(𝑠 − 2)
𝑠 2 − 2𝑠 + 3 𝐴 𝐵 𝐶 = + + (𝑠 − 1)(𝑠 + 1)(𝑠 − 2) 𝑠 − 1 𝑠 + 1 𝑠 − 2
𝑠 2 − 2𝑠 + 3 = 𝐴(𝑠 + 1)(𝑠 − 2) + 𝐵(𝑠 − 1)(𝑠 − 2) + 𝐶 (𝑠 − 1)(𝑠 + 1)
𝐴 = −1 𝐵=1
Hacemos las fracciones parciales
Multiplicamos por el denominador y simplificamos
Hallamos las raices
𝐶=1 −
1 1 1 + + 𝑠−1 𝑠+1 𝑠−2
𝑌 (𝑠 ) = −
∗ 𝑦(𝑡) = −ℒ −1 {
1 1 1 + + 𝑠−1 𝑠+1 𝑠−2
Tenemos la siguiente expresión
Aplicamos la transformada inversa de Laplace
1 1 1 } + ℒ −1 { } + ℒ −1 { } 𝑠−1 𝑠+1 𝑠−2
= ℒ −1 { = ℒ −1 {
1 } = 𝑒𝑡 𝑠−1
Aplicando ℒ −1 {
1 𝑠−𝑥
} = 𝑒 −𝛿𝑡
1 } = 𝑒 −𝑡 𝑠+1
1 } = 𝑒 2𝑡 = ℒ −1 { 𝑠−2
𝑦(𝑡) = −𝑒 𝑡 + 𝑒 −𝑡 + 𝑒 2𝑡
Reemplazamos y obtenemos la respuesta
EJERCICIO 5. VIDEO DE SUSTENTACIÓN Nombre Estudiante
Ejercicios sustentados
Link video explicativo
Camilo Andres Buitrago
4E
https://www.loom.com/share/5d992ab34a004 8bc865b630f94f7ff73
EVIDENCIAS APORTES AL FORO N° EVIDENCIAS APORTE 1:
APORTE 2: APORTE 3:
PANTALLAZO
CONCLUSIONES En conclusión, se llegó a una adecuada comprensión del uso de las diferentes reglas aplicadas en distintos casos de ecuaciones diferenciales lineales con y sin problemas de valores iniciales.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
García Hernández, A. E. (2015). Ecuaciones diferenciales. Grupo Editorial Patria. (pp. 169-192). https://elibronet.bibliotecavirtual.unad.edu.co/es/ereader/unad/39438?page=169 Castellanos, F. (2020). Transformada de Laplace. [video]. Repositorio Institucional UNAD. https://repository.unad.edu.co/handle/10596/33575 Ruiz, P. J. (2017). OVI Unidad 3. Transformada de Laplace. [video]. Repositorio Institucional UNAD. https://repository.unad.edu.co/handle/10596/12271