Ecuaciones diferenciales

ECUACIONES DIFERENCIALES UNIDAD TRES SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES MEDIANTE TRANSFORMADA DE LAPLACE. Present

Views 105 Downloads 0 File size 589KB

Report DMCA / Copyright

DOWNLOAD FILE

Recommend stories

Citation preview

ECUACIONES DIFERENCIALES UNIDAD TRES SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES MEDIANTE TRANSFORMADA DE LAPLACE.

Presentado a: Fausto Miguel Castro Tutor(a)

Entregado por: Camilo Andrés Buitrago Arévalo

Código: 1005752304 Grupo: 50

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, INGENIERÍAS Y TECNOLOGÍAS CURSO DE ECUACIONES DIFERENCIALES FECHA 31-julio 2022

INTRODUCCIÓN En el presente documento buscamos enseñar algunos de los caminos posibles para poder resolver las ecuaciones dadas por la transformadas de Laplace, enseñando de esta manera diferentes ejercicios resueltos aplicando distintas reglas y obteniendo así una respuesta.

OBJETIVOS  

Utilizar adecuadamente la transformada de Laplace, para llegar a la solución de las ecuaciones diferenciales lineales de orden n con problemas de valores iniciales Observar y distinguir las diferentes reglas aplicadas a diferentes casos de ecuaciones diferenciales posibles.

ELECCIÓN DE EJERCICIOS A DESARROLLAR Nombre del estudiante Camilo Andres Buitrago

Letra Asignada ejercicios 1 al 4 E

Ejercicio 5 5E

DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD EJERCICIOS 1. TRANSFORMADA DE LAPLACE DE FUNCIONES ENUNCIADO EJERCICIO: 𝑓 (𝑡) = {𝑒 −2𝑡 (10 sin ℎ(5𝑡) + cosh(3𝑡)}

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

Primer teorema de traslación ℒ

{𝑒 𝑎𝑡

𝑓(𝑡)} = ℒ{𝑓(𝑡)}|𝑠→𝑠−𝑎 = 𝑓(𝑠)|𝑠→𝑠−𝑎

= 𝐹 (𝑠 − 𝑎) ; 𝑎 = −2

= (10 sinh(5𝑡) + cosh(3𝑡))(𝑠 + 2)

ℒ {𝐶1 𝑓1 + 𝐶2 𝑓2 } = 𝐶1 ℒ {𝑓1 } + 𝐶2 ℒ {𝑓2 }

ℒ {10 sinh(5𝑡) + cosh(3𝑡)} ⟹ 10 ℒ {(sinh(5𝑡) + ℒ(cosh(3𝑡)}

10 ℒ {sinh(5𝑡)} =

𝑠2

5 50 ⟹ 2 − 25 𝑠 − 25

Tenemos que para 𝑓(𝑡) = (10 sinh(5𝑡) + cosh(3𝑡))

La suma de las transformadas de las funciones

Para

Tabla de transformadas

ℒ {cosh(3𝑡)} = =(

𝑠2

𝑠 𝑠2 − 9

50 𝑠 + 2 ) (𝑠 + 2) − 25 𝑠 − 9

50 2 +𝑠+ 2 (𝑠 + 2) − 25 ( 𝑠 + 2)2 − 9

Por la primera propiedad de corrimiento tenemos que

Respuesta

EJERCICIOS 2. TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE DE FUNCIONES ENUNCIADO EJERCICIO: 2 𝐿−1 {( )} 𝑠

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

Sabemos por la tabla que 1 2 ℒ {2} = 2 ( ) ⟹ 𝑠 𝑠

2 1 ℒ −1 {( )} ⟹ 2 ℒ −1 { } 𝑠 𝑠

Entonces el inverso sería

2 ℒ −1 { } = 2 𝑠

Finalmente (Respuesta)

EJERCICIOS 3. TRANSFORMADA DE LAPLACE DE LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN ENUNCIADO EJERCICIO:

𝑆𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑟 𝐿[𝑦´´ − 3𝑦´ − 2𝑦] 𝑐𝑜𝑛 𝑦(0) = −1 ,

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

𝑦´(0) = −3

RAZÓN O EXPLICACIÓN

Por la propiedad de linealidad sabemos que = ℒ{𝑦´´} − 3 ℒ{𝑦´} − 2 ℒ{𝑦}

∗ ℒ{𝑦´´} = 𝑠 2 𝑌 (𝑠) − 𝑠 𝑦(0) − 𝑦´(0) = 𝑠 2 𝑌 (𝑠) − 𝑠(−1) − (−3)

Según la tabla, las transformadas de las derivadas son

= 𝑠 2 𝑌 (𝑠 ) + 𝑠 + 3 ∗ ℒ{𝑦´} = 𝑠 𝑌(𝑠) − 𝑦(0) = 𝑠 𝑌(𝑠) − (−1) = 𝑠 𝑌 (𝑠 ) + 1 ∗ ℒ{𝑦} = 𝑌 (𝑠) 𝑠 2 𝑌(𝑠) + 𝑠 + 3 − 3(𝑠 𝑌(𝑠) + 1) − 2(𝑌(𝑠))

Al sumar las transformadas

= 𝑠 2 𝑌 (𝑠) + 𝑠 + 3 − 3𝑠 𝑌(𝑠) − 3 − 2 𝑌(𝑠)

= 𝑠 2 𝑌 (𝑠) − 3𝑠 𝑌(𝑠) − 2 𝑌(𝑠) + 𝑠

Respuesta

EJERCICIOS 4. SOLUCIÓN DE LAS ED MEDIANTE TRANSFORMADA DE LAPLACE ENUNCIADO EJERCICIO: 𝑦´´ − 𝑦´ − 2𝑦 = 2𝑒 𝑡 ; 𝑦(0) = 1 , 𝑦´(0) = 0

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

Propiedad de linealidad

ℒ{𝑦´´} − ℒ {𝑦´} − 2 ℒ{𝑦} = 2 ℒ{𝑒 𝑡 }

∗ ℒ{𝑦´´} = 𝑠 2 𝑌 (𝑠) − 𝑠 𝑦(0) 1 − 𝑦´(0) 0

Según la tabla las transformadas son

= 𝑠 2 𝑌 (𝑠 ) − 𝑠 ∗ ℒ{𝑦´} = 𝑠 𝑌(𝑠) − 𝑦(0) 1 = 𝑠 𝑌 (𝑠 ) − 1 ∗ ℒ{𝑦} = 𝑌 (𝑠) ∗ ℒ {𝑒 𝑡 } =

1 𝑠−1

⟹ 𝑠 2 𝑌 (𝑠 ) − 𝑠 − 𝑠 𝑌 (𝑠 ) + 1 − 2 𝑌 (𝑠 ) = ⟹ 𝑠 2 𝑌 (𝑠 ) − 𝑠 𝑌 (𝑠 ) − 2 𝑌 (𝑠 ) =

2 𝑠−1

2 +𝑠−1 𝑠−1

2 + (𝑠 − 1)2 (𝑠 − 𝑠 − 2) 𝑌 (𝑠 ) = 𝑠−1 2

𝑌 (𝑠 ) =

Al sumar las transformadas tenemos

Simplificamos

2 + 𝑠 2 − 2𝑠 + 1 𝑠 2 − 2𝑠 + 3 = (𝑠 − 1)(𝑠 2 − 𝑠 − 2) 𝑠 3 − 2𝑠 2 + 2 =

𝑠 2 − 2𝑠 + 3 (𝑠 − 1)(𝑠 + 1)(𝑠 − 2)

𝑠 2 − 2𝑠 + 3 𝐴 𝐵 𝐶 = + + (𝑠 − 1)(𝑠 + 1)(𝑠 − 2) 𝑠 − 1 𝑠 + 1 𝑠 − 2

𝑠 2 − 2𝑠 + 3 = 𝐴(𝑠 + 1)(𝑠 − 2) + 𝐵(𝑠 − 1)(𝑠 − 2) + 𝐶 (𝑠 − 1)(𝑠 + 1)

𝐴 = −1 𝐵=1

Hacemos las fracciones parciales

Multiplicamos por el denominador y simplificamos

Hallamos las raices

𝐶=1 −

1 1 1 + + 𝑠−1 𝑠+1 𝑠−2

𝑌 (𝑠 ) = −

∗ 𝑦(𝑡) = −ℒ −1 {

1 1 1 + + 𝑠−1 𝑠+1 𝑠−2

Tenemos la siguiente expresión

Aplicamos la transformada inversa de Laplace

1 1 1 } + ℒ −1 { } + ℒ −1 { } 𝑠−1 𝑠+1 𝑠−2

= ℒ −1 { = ℒ −1 {

1 } = 𝑒𝑡 𝑠−1

Aplicando ℒ −1 {

1 𝑠−𝑥

} = 𝑒 −𝛿𝑡

1 } = 𝑒 −𝑡 𝑠+1

1 } = 𝑒 2𝑡 = ℒ −1 { 𝑠−2

𝑦(𝑡) = −𝑒 𝑡 + 𝑒 −𝑡 + 𝑒 2𝑡

Reemplazamos y obtenemos la respuesta

EJERCICIO 5. VIDEO DE SUSTENTACIÓN Nombre Estudiante

Ejercicios sustentados

Link video explicativo

Camilo Andres Buitrago

4E

https://www.loom.com/share/5d992ab34a004 8bc865b630f94f7ff73

EVIDENCIAS APORTES AL FORO N° EVIDENCIAS APORTE 1:

APORTE 2: APORTE 3:

PANTALLAZO

CONCLUSIONES En conclusión, se llegó a una adecuada comprensión del uso de las diferentes reglas aplicadas en distintos casos de ecuaciones diferenciales lineales con y sin problemas de valores iniciales.

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS 

 

García Hernández, A. E. (2015). Ecuaciones diferenciales. Grupo Editorial Patria. (pp. 169-192). https://elibronet.bibliotecavirtual.unad.edu.co/es/ereader/unad/39438?page=169 Castellanos, F. (2020). Transformada de Laplace. [video]. Repositorio Institucional UNAD. https://repository.unad.edu.co/handle/10596/33575 Ruiz, P. J. (2017). OVI Unidad 3. Transformada de Laplace. [video]. Repositorio Institucional UNAD. https://repository.unad.edu.co/handle/10596/12271