Ecuaciones-diferenciales 2019

ECUACIONES DIFERENCIALES –APLICACIONES DE LAS E.D.O. APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS MODELOS PO

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ECUACIONES DIFERENCIALES –APLICACIONES DE LAS E.D.O. APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

MODELOS POBLACIONALES: 1. Suponga que la población P de bacterias en un cultivo al tiempo t cambia a una razón proporcional a P2 - P. Asuma que P2- P > 0. a) Sea k la constante de proporcionalidad. Escriba una ecuación diferencial para P(t) y obtenga la solución general. b) Encuentre la solución si hay 1000 bacterias al tiempo t = 0 horas. c) Determine la constante k suponiendo además que hay 100 bacterias en t =5 horas. d) Determine lim 𝑃(𝑡) 𝑡→+∞

2. Si el alimento y el espacio vital son ilimitados, algunas poblaciones aumentan a una razón proporcional a la población. Se calcula que la población del mundo en 1900 era de 1600 millones de personas y que para 1950 había aumentado a 2510 millones. ¿Cuál será la población del mundo en el año 2020, suponiendo que hay alimento y espacio vital ilimitados? 3. Un cultivo bacteriano tiene una densidad de población de 100 mil organismos por pulgada cuadrada. Se observó que un cultivo que abarcaba un área de una pulgada cuadrada a las 10:00 A.M. del martes a aumentado a 3 pulgadas cuadradas para el medio día del jueves siguiente. ¿Cuántas bacterias habrá en el cultivo a las 3:00 P.M. del domingo siguiente, suponiendo que la densidad de población cambia a una tasa proporcional a sí misma?, Cuántas bacterias habrá el lunes a las 4:00 P.M.? 4. La población de una comunidad crece con una tasa proporcional a la población en cualquier momento. Su población inicial es 500 y aumenta el 15% en 10 años. ¿Cuál será la población pasados 30 años? 5. En cualquier momento dado la cantidad de bacterias en un cultivo crece a una tasa proporcional a las bacterias presentes. Al cabo de tres horas se observa que hay 400 individuos. Pasadas 10 horas, hay 2000 especímenes. ¿Cuál era la cantidad inicial de bacterias? 6. En un modelo demográfico de la población P(t) de una comunidad, se supone 𝑑𝑃 𝑑𝐵 𝑑𝐷 que: 𝑑𝑡 = 𝑑𝑡 − 𝑑𝑡 en donde dB/dt y dD/dt son las tasas de natalidad y mortalidad, respectivamente: 𝑑𝐵 𝑑𝐷 a) Determine P(t) si : 𝑑𝑡 = 𝑘1 𝑃 , 𝑑𝑡 = 𝑘2 𝑃 b) Analice los casos 𝑘1 > 𝑘2 , 𝑘1 = 𝑘2 , 𝑘1 < 𝑘2 𝑑𝑃 7. La ecuación diferencial: 𝑑𝑡 = (𝑘. cos 𝑡). 𝑃 en que “k” es una constante positiva, se usa con frecuencia para modelar una población que sufre fluctuaciones estacionales anuales. Determine P(t) y grafique la solución. Suponga que . 𝑃(0) = 𝑃0 . 8. La masa inicial de cierta especie de pez es 7 millones de toneladas. Dicha masa, de dejarse sola, aumentaría a una razón proporcional a la masa. Con

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una constante de proporcionalidad de 2/año. Sin embargo, la pesca comercial elimina una masa de peces a una razón constante de 15 millones de toneladas por año. ¿En que momento se terminarán los peces? Si la razón de pesca se modifica de modo que la masa de peces permanezca constante, ¿cuál debería ser la razón? DECAIMIENTO RADIOACTIVO: 9. La vida media de uranio 238 es aproximadamente de 4.5x109 años. ¿Qué cantidad de un bloque de 10 kilogramos de U-238 estará presente dentro de 1000 millones de años? 10. Dado que 12 gramos de U-238 se desintegran a 9.1 gramos en solo 4 minutos, calcule su vida media. 11. El Pb-209, isótopo radiactivo del plomo, se desintegra con una razón proporcional a la cantidad presente en cualquier momento y tiene un periodo medio de vida de 3.3 horas. Si al principio había 1 gramo de plomo, ¿cuánto tiempo debe transcurrir para que se desintegre el 90%? 12. Si en un principio se tienen 50g de una sustancia radiactiva y después de tres días solo restan 10 g, ¿Qué porcentaje de la cantidad original quedará después de 4 días? 13. Si en un principio se tienen 300 g de una sustancia radiactiva y después de 5 años restan 200g, ¿cuánto tiempo deberá transcurrir para que sólo queden 10g?

TEMPERATURA 14. La ley de enfriamiento de Newton señala que la tasa a la cual se enfría un cuerpo es proporcional a la diferencia de temperatura entre el cuerpo y el medio que lo rodea. Se coloca un objeto con una temperatura de 90 grados Fahrenheit en un medio con una temperatura de 60 grados. Diez minutos después, el objeto se ha enfriado a 80 grados Fahrenheit. ¿Cuál será la temperatura del cuerpo después de estar en este ambiente durante 20 minutos? ¿En cuánto tiempo llegará a 65 grados Fahrenheit la temperatura del cuerpo? 15. Un termómetro se lleva al exterior de una casa la cual tiene una temperatura ambiente es de 70 grados Fahrenheit. Al cabo de 5 minutos, el termómetro registra 60 grados Fahrenheit y, 5 minutos después, registra 54 grados Fahrenheit. ¿Cuál es la temperatura del exterior? 16. Una cerveza fría, inicialmente a 35°F, se calienta hasta 40°F en 3 minutos, estando en un cuarto con temperatura 70°F. ¿Qué tan caliente estará la cerveza si se deja ahí durante 20 minutos? 17. Supongamos una mañana de sábado caluroso en una tienda, mientras las personas están trabajando el aire acondicionado mantiene la temperatura de la tienda a 20°C. A mediodía se apaga el aparato de aire acondicionado y la gente se va a sus casas. La temperatura exterior permanece constante a 35°C. Si la constante de tiempo del edificio es de 4 horas (reemplazar la constante del edificio se usa como el inverso de la constante de proporcionalidad en la ecuación diferencial es decir : multiplicarla por la CALCULO II-AGRONOMIA

diferencia entre la temperatura del cuerpo y la del medio), ¿cuál será la temperatura del edificio a las 2 de la tarde?, ¿en qué momento la temperatura en el interior será de 27°C? 18. Un taller mecánico sin calefacción ni aire acondicionado tiene una constante de tiempo de 2 horas. Si la temperatura exterior varía según la función: 𝐸 (𝑡) = 30 − 15cos(2𝜋𝑡/24), determinar la temperatura del taller a lo largo del día. 19. En un día caluroso con una temperatura exterior de 40°C, se enciende dentro de un edificio un aparato aire acondicionado que disipa 24000 kilocalorías por hora. El aprovechamiento es de medio grado por cada 1000 kilocalorías y la constante de tiempo del edificio es de 3 horas. Si inicialmente la temperatura del edificio era de 35°C, determinar la temperatura al cabo de 3 horas. ¿Cuál es el valor máximo de temperatura que puede tener el edificio en estas condiciones? Sugerencia: Adicionar a la ecuación diferencial del enfriamiento el aprovechamiento efectivo por cada ½ grado. 20. La ley del enfriamiento de Newton también es válida cuando un objeto absorbe calor del medio que le rodea. Si una barra metálica pequeña, cuya temperatura inicial es 20°C se deja caer en un recipiente con agua hirviente, ¿cuánto tiempo tardara en alcanzar 90°C si se sabe que su temperatura aumentó 2°C en un segundo? ¿Cuánto tiempo tardará en llegar a 98°C? MEZCLAS 21.Un tanque de 500 galones contiene inicialmente 100 galones de solución salina en la que se ha disuelto 5 libras de sal. Se agrega solución salina que contiene 2 libras/galón a razón de 5 galones/minuto, y la mezcla sale del tanque a razón de 3 galones/minuto. Determine cuanta sal hay en el tanque al momento que se desborda. 22. Un tanque de 400 galones se llena con una solución salina que contiene 45 libras de sal. En cierto momento, la solución salina comienza a salir de una válvula abierta en la base del tanque a razón de 5 galones/minuto. En forma simultánea, se agrega al tanque una mezcla de solución salina que contiene 1/8 libra/galón a razón de 3 galones/minuto. Tres horas después se abre una válvula de agua dulce, la cual suministra 2 galones/minuto al tanque además de la mezcla salina que ya se agrega al tanque. Calcule la cantidad de sal que hay en el tanque en cualquier tiempo 𝑡 ≥ 0. ¿Cuál es la cantidad de sal estacionaria en el tanque? 23.Un recipiente de 30 litros de capacidad contiene inicialmente 10 litros de solución salina en la que se ha disuelto 100 gramos de sal. Se agrega solución salina con concentración de 20 gramos/litro a razón de 5 litros/minuto, y simultáneamente la mezcla sale del recipiente a razón de 1 litro/minuto. a) Determine la cantidad de sal que hay en el recipiente para cualquier tiempo 𝑡≥0 b) Determine la concentración de sal en el recipiente al momento que este se desborda. 24.Una piscina cuyo volumen es de 10000 galones contiene agua con cloro al 0.01%. A partir del instante t=0, se bombea agua al servicio público con cloro al 0.001% hacia la alberca, a razón de 5 galones /minuto. El agua sale de la alberca con la misma razón. ¿Cuál es el porcentaje de cloro en la alberca

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después de 1 hora? ¿En qué momento el agua de la alberca tendrá 0.002% de cloro?. 25. Un tanque tiene 500 gal de agua pura y le entra salmuera con 2 Ib de sal por galón a un flujo de 5 gal/min. El tanque está bien mezclado, y sale de él el mismo flujo de solución. Calcule la cantidad A(t) de libras de sal que hay en el tanque en cualquier momento t. 26. Resuelva el problema anterior suponiendo que la solución sale a un flujo de 10 gal/min, permaneciendo igual lo demás. ¿Cuando se vacía el tanque? MISCELANEA: 27. Se estima que dentro de “t” meses la población de cierta ciudad cambiara a razón de 4 + 5𝑡 2/3 personas por mes. Si la población actual es 10000, ¿Cuál será la población dentro de 8 meses? 28. Un objeto se mueve de manera que su velocidad después de t minutos es 𝑣(𝑡) = 3 + 2𝑡 + 6𝑡 2 metros por minuto. ¿Qué distancia recorre el objeto durante el segundo minuto? 29. Un minorista recibe un cargamento de 12000 libras de semillas de soya que se consumirá a razón constante de 300 libras por semana. Si el costo de almacenar las semillas de soya es de 0.2 centavos por libra a la semana. ¿Cuánto tendrá que pagar el minorista en costos de almacenamiento durante las próximas 40 semanas? 30. La utilidad marginal de cierta compañía es 100 − 2𝑞 dólares por unidad cuando se producen “q” unidades. Si la utilidad de la compañía es 700 dólares cuando se producen 10 unidades. ¿Cuál es la utilidad máxima posible de la compañía? 31. Halle la función cuya tangente tiene como pendiente 𝑥 3 −

2 𝑥2

+ 2 para cada valor de x,y cuya

grafica pasa por el punto (0,6). 32. Se introduce una toxina en una colonia de bacterias, y “t” horas más tarde la población P(t) de la colonia cambia a razón de :

𝑑𝑃 𝑑𝑡

= −(𝑙𝑛3)34−𝑡 .

. Si había 1 millón de bacterias en la

colonia cuando se introdujo la toxina, ¿Cuál es el valor de P(t)? 33. En cierto suburbio, el nivel de ozono L(t) a las 7:30 am es 0.25 partes por millón (ppm) . El pronóstico del clima afirma que durante las 12 horas siguientes el nivel de ozono “t” horas más tarde cambiará a razón de : 𝐿′ (𝑡) =

0.24−0.03𝑡 √36+16𝑡−𝑡 2

partes por millon por hora (ppm/h). Encuentre

el nivel de ozono como función del tiempo. ¿Cuándo ocurre el nivel máximo de ozono?. ¿Cuál es el máximo nivel de ozono?. 34. Bejax Corporation estableció una línea de producción para fabricar un nuevo tipo de teléfono celular. La tasa de producción de los teléfonos es:

𝑑𝑃 𝑑𝑡

= 1500 (2 −

𝑡 ) 2𝑡+5

𝑢nidades /mes.

¿Cuántos teléfonos se producen durante el tercer mes? (P(3)-P(2)). 35. Los residentes de una ciudad han decidido descontinuar la fluorización del suministro de agua. La represa local actualmente contiene 200 millones de galones de agua fluorizada con 1600 libras de fluoruro. El agua fluorizada sale de la represa a razón de 4 millones de galones al día y se está reemplazando a la misma razón por agua no fluorizada. En todo momento, el CALCULO II-AGRONOMIA

fluoruro restante se distribuye homogéneamente en la represa. Exprese la cantidad de fluoruro de la represa como una función de tiempo. 36. Para analizar la degradación de ciertos desechos peligrosos que tienen alto contenido toxico, los investigadores biológicos algunas veces utilizan la ecuación de Haldane :

𝑑𝑆 𝑑𝑡

=

𝑎𝑆 𝑏+𝑐𝑆+𝑆 2

,

donde a, b, c son constantes positivas y S(t) es la concentración de sustrato (sustancia sobre la cual actúan las bacterias en el material de desecho). Halle la solución general de la ecuación de Haldane. Exprese la respuesta en forma explícita. 37. En Economía, la Ley de Pareto establece que la razón de cambio (decrecimiento) del número de personas P, en una economía estable, que tiene un ingreso de por lo menos x dólares es directamente proporcional al número de tales personas e inversamente proporcional al ingreso. Exprese esta ley como una ecuación diferencial y despeje P en término de x. 38. Calcule la razón a la que fluye la sangre (en centímetros cúbicos por segundo) por una arteria de radio 0.1 centímetros , si la velocidad de la sangre esta dada por 𝑆(𝑟) = 𝑘(𝑅 2 − 𝑟 2 ) . Demuestre que la velocidad media de la sangre es la mitad de la velocidad máxima.

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