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• Daniela Merchan

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Ecuaciones de Aguas poco profundas

Las ecuaciones de aguas poco profundas son un conjunto de ecuaciones diferenciales parciales hiperbólicas (o parabólicas si se considera un corte viscoso) que describen el flujo debajo de una superficie de presión en un fluido (a veces, pero no necesariamente, una superficie libre). Las ecuaciones de aguas poco profundas en forma unidireccional también se denominan ecuaciones de Saint-Venant, después de Adhémar Jean Claude Barré de SaintVenant (consulte la sección relacionada a continuación).

Las ecuaciones se derivan [1] de las ecuaciones de Navier-Stokes que se integran en profundidad, en el caso de que la escala de longitud horizontal sea mucho mayor que la escala de longitud vertical. Bajo esta condición, la conservación de la masa implica que la escala de velocidad vertical del fluido es pequeña en comparación con la escala de velocidad horizontal. Se puede demostrar a partir de la ecuación de momento que los gradientes de presión verticales son casi hidrostáticos y que los gradientes de presión horizontales se deben al desplazamiento de la superficie de presión, lo que implica que el campo de velocidad horizontal es constante en toda la profundidad del fluido. La integración vertical permite eliminar la velocidad vertical de las ecuaciones. Las ecuaciones de aguas poco profundas se derivan así.

Si bien no existe un término de velocidad vertical en las ecuaciones de aguas poco profundas, tenga en cuenta que esta velocidad no es necesariamente cero. Esta es una distinción importante porque, por ejemplo, la velocidad vertical no puede ser cero cuando el piso cambia de profundidad y, por lo tanto, si fuera cero, solo se podrían usar pisos planos con las ecuaciones de aguas poco profundas. Una vez que se ha encontrado una solución (es decir, las velocidades horizontales y el desplazamiento de la superficie libre), la velocidad vertical se puede recuperar a través de la ecuación de continuidad.

Las situaciones en la dinámica de fluidos donde la escala de longitud horizontal es mucho mayor que la escala de longitud vertical es común, por lo que las ecuaciones de aguas poco profundas son ampliamente aplicables. Se utilizan con las fuerzas de Coriolis en el modelado atmosférico y oceánico, como una simplificación de las ecuaciones primitivas del flujo atmosférico.

Los modelos de ecuaciones de aguas poco profundas tienen un solo nivel vertical, por lo que no pueden abarcar directamente ningún factor que varíe con la altura. Sin embargo, en los casos en que el estado medio es lo suficientemente simple, las variaciones verticales pueden separarse de la horizontal y varios conjuntos de ecuaciones de aguas someras pueden describir el estado.

FORMA CONSERVADORA Las ecuaciones de aguas poco profundas se derivan de ecuaciones de conservación de masa y conservación de momento lineal (las ecuaciones de Navier-Stokes), que se mantienen incluso cuando las suposiciones de aguas poco profundas se descomponen, como en un salto hidráulico. En el caso de un lecho horizontal, sin fuerzas de Coriolis, fuerzas de fricción o viscosas, las ecuaciones en aguas poco profundas son:

Aquí η es la altura total de la columna de fluido (profundidad instantánea del fluido en función de x, y y t), y el vector 2D (u, v) es la velocidad de flujo horizontal del fluido, promediada a través de la columna vertical. Además, g es la aceleración debida a la gravedad y ρ es la densidad del fluido. La primera ecuación se deriva de la conservación de masas, la segunda de la conservación del momento. [2]

FORMA NO CONSERVADORA

Al expandir los derivados de lo anterior utilizando la regla del producto, se obtiene la forma no conservativa de las ecuaciones de aguas poco profundas. Dado que las velocidades no están sujetas a una ecuación de conservación fundamental, las formas no conservadoras no se mantienen a través de un choque o un salto hidráulico. También se incluyen los términos apropiados para Coriolis, fuerzas de fricción y viscosas, para obtener (para densidad de fluido constante):

dónde: u es la velocidad en la dirección x, o velocidad zonal v es la velocidad en la dirección y, o velocidad meridional h es la desviación de altura de la superficie de presión horizontal desde su altura media H: η = H + h H es la altura media de la superficie de presión horizontal g es la aceleración debida a la gravedad f es el coeficiente de Coriolis asociado con la fuerza de Coriolis. En la Tierra, f es igual a 2Ω sin (φ), donde Ω es la velocidad de rotación angular de la Tierra (π / 12 radianes / hora), y φ es la latitud b es el coeficiente de arrastre viscoso ν es la viscosidad cinemática

A menudo ocurre que los términos cuadráticos en u y v, que representan el efecto de la advección masiva, son pequeños en comparación con los otros términos. Esto se llama equilibrio geostrófico y es equivalente a decir que el número de Rossby es pequeño. Suponiendo también que la altura de la ola es muy pequeña en comparación con la altura media (h ≪ H), tenemos (sin fuerzas de viscosidad laterales):

Ecuaciones de Saint-Venant unidimensionales

Las ecuaciones unidimensionales (1-D) de Saint-Venant fueron derivadas por Adhémar Jean Claude Barré de Saint-Venant, y se usan comúnmente para modelar el flujo transitorio de canal abierto y la escorrentía superficial. Pueden verse como una contracción de las ecuaciones de aguas someras bidimensionales (2-D), que también se conocen como ecuaciones de Saint-Venant bidimensionales. Las ecuaciones 1-D de Saint-Venant contienen hasta cierto punto las principales características de la forma de la sección transversal del canal.

Las ecuaciones 1-D se usan ampliamente en modelos informáticos como HEC-RAS, [4] SWMM5, ISIS, [4] InfoWorks, [4] Flood Modeller, SOBEK 1DFlow, MIKE 11, [4] y MIKE SHE porque son significativamente más fácil de resolver que las ecuaciones completas de aguas poco profundas. Las aplicaciones comunes de las ecuaciones 1-D de Saint-Venant incluyen enrutamiento de inundaciones a lo largo de los ríos (incluida la evaluación de

medidas para reducir los riesgos de inundación), análisis de ruptura de presas, pulsos de tormenta en un canal abierto, así como escorrentía de tormenta en el flujo terrestre. ECUACIONES El sistema de ecuaciones diferenciales parciales que describe el flujo incompresible 1-D en un canal abierto de sección transversal arbitraria, como lo deriva y lo plantea Saint-Venant en su artículo de 1871 (ecuaciones 19 y 20).

donde x es la coordenada del espacio a lo largo del eje del canal, t denota el tiempo, A (x, t) es el área de la sección transversal del flujo en la ubicación x, u (x, t) es la velocidad del flujo, ζ (x, t ) es la elevación de superficie libre y τ (x, t) es el esfuerzo de corte de la pared a lo largo del perímetro mojado P (x, t) de la sección transversal en x. Además ρ es la densidad del fluido (constante) yg es la aceleración gravitacional.

El cierre del sistema hiperbólico de ecuaciones (1) - (2) se obtiene a partir de la geometría de las secciones transversales, al proporcionar una relación funcional entre el área A de la sección transversal y la elevación de la superficie ζ en cada posición x. Por ejemplo, para una sección transversal rectangular, con ancho de canal constante B y elevación de lecho de canal zb, el área de sección transversal es: A = B (ζ - zb) = B h. La profundidad instantánea del

agua es h (x, t) = ζ (x, t) - zb (x), con zb (x) el nivel del lecho (es decir, la elevación del punto más bajo en el lecho por encima del nivel de referencia, consulte la sección figura). Para las paredes de los canales que no se mueven, el área de la sección transversal A en la ecuación (1) se puede escribir como:

con b (x, h) el ancho efectivo de la sección transversal del canal en la ubicación x cuando la profundidad del fluido es h, entonces b (x, h) = B (x) para canales rectangulares. [6] La tensión de cizallamiento de la pared τ depende de la velocidad de flujo u, pueden relacionarse mediante el uso de, p. La ecuación de Darcy-Weisbach, la fórmula de Manning o la fórmula de Chezy. Además, la ecuación (1) es la ecuación de continuidad, que expresa la conservación del volumen de agua para este fluido homogéneo incompresible. La ecuación (2) es la ecuación de impulso, que proporciona el equilibrio entre fuerzas y tasas de cambio de impulso. La pendiente del lecho S (x), la pendiente de fricción Sf (x, t) y el radio hidráulico R (x, t) se definen como:

En consecuencia, la ecuación de impulso (2) se puede escribir como:

(3)

Conservación de momento

La ecuación de impulso (3) también se puede convertir en la llamada forma de conservación, a través de algunas manipulaciones algebraicas en las ecuaciones de Saint-Venant, (1) y (3). En cuanto a la descarga Q = Au

(4) donde A, I1 e I2 son funciones de la geometría del canal, descritas en los términos del ancho del canal B (σ, x). Aquí σ es la altura sobre el punto más bajo en la sección transversal en la ubicación x, vea la figura de la sección transversal. Entonces σ es la altura sobre el nivel de la cama zb (x) (del punto más bajo en la sección transversal):

Arriba: en la ecuación de impulso (4) en forma de conservación: A, I1 e I2 se evalúan en σ = h (x, t). El término g I1 describe la fuerza hidrostática en una cierta sección transversal. Y, para un canal no prismático, g I2 da los efectos de las variaciones de geometría a lo largo del eje del canal x. En las aplicaciones, dependiendo del problema en cuestión, a menudo hay una preferencia por usar la ecuación de impulso en la forma de no conservación, (2) o (3), o la forma de conservación (4). Por ejemplo, en el caso de la descripción de saltos hidráulicos, se prefiere la forma de conservación ya que el flujo de impulso es continuo a través del salto. Características

Las ecuaciones de Saint-Venant (1) - (2) se pueden analizar utilizando el método de las características. [8] [9] [10] [11] Las dos celeridades dx / dt en las curvas características son:

El número de Froude F = | u | / c determina si el flujo es subcrítico (F 1). Para un canal rectangular y prismático de ancho constante B, es decir, con A = B hyc = √gh, los invariantes de Riemann son: [8]

por lo que las ecuaciones en forma característica son

Modelado derivado Ola dinamica La onda dinámica es el término usado para describir la ecuación completa de Saint-Venant en una dimensión. Resulta numéricamente difícil de resolver, pero es válido para todos los escenarios de flujo de canal. La onda dinámica se utiliza para modelar tormentas transitorias en programas de modelado que incluyen HEC-RAS, [16] InfoWorks_ICM, [17] MIKE 11, [18] Wash 123d [19] y SWMM5.

Onda cinemática

Para la onda cinemática se supone que el flujo es uniforme y que la pendiente de fricción es aproximadamente igual a la pendiente del canal. Esto simplifica la ecuación completa de Saint-Venant a la onda cinemática:

La onda cinemática es válida cuando el cambio en la altura de la onda con respecto a la distancia y la velocidad a lo largo de la distancia y el tiempo es insignificante en relación con la pendiente del lecho, por ejemplo. para caudales poco profundos en pendientes pronunciadas. [20] La onda cinemática se utiliza en HEC-HMS. [21]

Ola difusiva Para la onda difusiva, se supone que los términos inerciales son menores que los términos de gravedad, fricción y presión. Por lo tanto, la onda difusiva puede describirse con más precisión como una onda sin inercia, y se escribe como:

La onda difusiva es válida cuando la aceleración inercial es mucho más pequeña que todas las demás formas de aceleración, o en otras palabras cuando hay un flujo principalmente subcrítico. Los modelos que utilizan el supuesto de onda difusiva incluyen MIKE SHE [22] y LISFLOOD-FP. Derivación de las ecuaciones de Navier-Stokes

La ecuación de momento de Saint-Venant 1-D se puede derivar de las ecuaciones de NavierStokes que describen el movimiento del fluido. El componente x de las ecuaciones de NavierStokes, cuando se expresa en coordenadas cartesianas en la dirección x, se puede escribir como:

donde u es la velocidad en la dirección x, v es la velocidad en la dirección y, w es la velocidad en la dirección z, t es el tiempo, p es la presión, ρ es la densidad del agua, ν es la viscosidad cinemática, y fx es la fuerza del cuerpo en la dirección x. 1. Si se supone que la fricción se tiene en cuenta como una fuerza corporal, entonces se puede asumir como cero, por lo que:

2. Suponiendo un flujo unidimensional en la dirección x, se sigue que

3. Suponiendo también que la distribución de la presión es aproximadamente hidrostática, se sigue que:

o en forma diferencial:

Y cuando estas suposiciones se aplican al componente x de las ecuaciones de NavierStokes:

4. Hay 2 fuerzas del cuerpo que actúan sobre el fluido del canal, la gravedad y la fricción:

donde fx, g es la fuerza del cuerpo debido a la gravedad y fx, f es la fuerza del cuerpo debido a la fricción. 5. fx, g se puede calcular utilizando la física básica y la trigonometría: [25]

donde Fg es la fuerza de gravedad en la dirección x, θ es el ángulo y M es la masa. La expresión para sin θ se puede simplificar utilizando la trigonometría como:

Para ángulos pequeños se puede asumir que,

y dado que fx representa una fuerza por unidad de masa, la expresión se convierte en

6. Suponiendo que la línea de grado energético no es la misma que la pendiente del canal, y para un alcance de pendiente constante hay una pérdida de fricción constante, se deduce que

7. Todas estas suposiciones combinadas llegan a la ecuación de Saint-Venant de una dimensión en la dirección x:

donde (a) es el término de aceleración local, (b) es el término de aceleración convectiva, (c) es el término de gradiente de presión, (d) es el término de fricción y (e) es el término de gravedad. Condiciones La aceleración local (a) también se puede considerar como el "término inestable", ya que describe algún cambio en la velocidad a lo largo del tiempo. La aceleración convectiva (b) es una aceleración causada por algún cambio en la velocidad sobre la posición, por ejemplo, la aceleración o desaceleración de un fluido que entra en una constricción o una abertura, respectivamente. Ambos términos constituyen los términos de inercia de la ecuación de Saint-Venant de una dimensión.

El término de gradiente de presión (c) describe cómo la presión cambia con la posición y, dado que la presión se supone hidrostática, este es el cambio en la posición de cabeza sobre cabeza. El término de fricción (d) explica las pérdidas de energía debidas a la fricción, mientras que el término de gravedad (e) es la aceleración debida a la pendiente del lecho.

Modelado de olas por ecuaciones en aguas poco profundas.

Las ecuaciones de aguas poco profundas se pueden usar para modelar las ondas de Rossby y Kelvin en la atmósfera, ríos, lagos y océanos, así como las ondas de gravedad en un dominio más pequeño (por ejemplo, ondas de superficie en un baño). Para que las ecuaciones en aguas poco profundas sean válidas, la longitud de onda del fenómeno que se supone que deben modelar tiene que ser mucho mayor que la profundidad de la cuenca donde ocurre el fenómeno. Las longitudes de onda algo más pequeñas se pueden manejar extendiendo las ecuaciones de aguas poco profundas usando la aproximación de Boussinesq para incorporar efectos de dispersión. [28] Las ecuaciones de aguas poco profundas son especialmente adecuadas para modelar mareas que tienen escalas de longitud muy grande (más de cien kilómetros). Para el movimiento de las mareas, incluso un océano muy profundo puede considerarse tan poco profundo como su profundidad siempre será mucho menor que la longitud de onda de la marea.