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• Omar S. Pérez Velásquez

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ECUACIÓN CUADRÁTICA 2

Una ecuación de segundo grado es toda expresión de la forma: ax + bx + c = 0 con a ≠ 0. 2 2 2 2 Las ecuaciones cuadráticas pueden ser completas (ax  bx  c  0) ó incompletas (ax  0 ó bien ax  bx  0 ó bien ax  c  0) . SOLUCIONES O RAÍCES DE UNA ECUACIÓN CUADRÁTICA Las soluciones o raíces de una ecuación cuadrática son los puntos donde la parábola se intercepta con el eje de las abscisas(eje x); una ecuación cuadrática puede tener una solución cuando la parábola corta al eje x en un único punto, dos soluciones cuando la parábola corta al eje x en dos puntos y puede no tener solución a lo que llamamos solución imaginaria y se da cuando la parábola no corta en ningún punto al eje x. SOLUCIÓN UNICA DOS SOLUCIÓNES NO TIENE SOLUCIÓN (RAIZ IMAGINARIA) La parábola corta al eje x en un solo La parábola corta al eje x en dos puntos La parábola no intercepta al eje x en punto ningún punto.

METODOS DE RESOLUCIÓN Tenemos tres formas de resolución: TRANSPOSICIÓN DE TERMINOS, FACTORIZACIÓN Y FORMULA GENERAL 2 2 MEDIANTE TRANSPOSICIÓN DE TERMINOS: solo funciona en las incompletas de la forma ax  0 ó bien ax  c  0 ; no se puede aplicar cuando la parábola no corta al eje x. EJEMPLOS 3x 2  0 0 x2  3 2 x 0

x 0 x  0 x1  0  x2  0  x1  0  x2  0

Como x1=x2=0, decimos que hay única solución

2 x 2  8  0 2 x 2  8

  1 

2x  8 2

8 2 x2  4 x2 

x 4 x  2 x1  2  x2  2

MEDIANTE FACTORIZACIÓN: Este método consiste en factorizar la ecuación dada e igualar cada factor a cero, así obtenemos dos ecuaciones lineales, donde cada factor es la raíz de la ecuación. Este procedimiento Solamente funciona en las incompletas de la 2 2 2 forma ax  c  0  ax  bx  0 y completas de la forma ax  bx  c  0 , no se puede aplicar este método cuando la parábola no corta al eje x. EJEMPLOS

2 x 2  5x  0

x2  2x  3  0

x 2x  5  0

 x  3 x  1  0

x  0  2x  5  0

x 3  0  x 1  0  x1  3  x2  1

x  0  2 x  5 5 x1  0  x2   2 x1  0  x  x2  2,5 x  x2 Como 1 decimos que la ecuación tiene dos soluciones

MEDIANTE LA FORMULA GENERAL: Consiste en sustituir los coeficientes en una fórmula que nos permite determinar las raíces de la ecuación; este método siempre funciona, aunque la parábola no intercepte al eje x. (no tiene solución real pero tiene solución imaginaria) FORMULA GENERAL DE UNA ECUACION CUADRATICA CON UNA INCOGNITA

ax 2  bx  c  0 b  b2  4ac x 2a EJEMPLOS 2x 2 -x-6=0 solución si ax 2  bx  c  0, entonces en la ecuación 2x

2

- 1x

- 6=0

a=2; b=-1; c=-6 x x x

b  b2  4ac 2a   1  

 1  4 2  6  2 2 2

NOTA:  Tomar en cuenta los signos de los coeficientes.  La fórmula tiene doble signo (  ), porque tenemos dos raíces posibles.

1  1  48 4

1  49 4 17 x 4 17 17 x1   x2  4 4 8 6 x2   x2  4 4 3  x2  2  x2    1,5 2 x

2x 2 -4x+5=0 solución si ax 2  bx  c  0, entonces en la ecuación 2x 2 - 4x

Intentemos imaginarias

x

+ 5=0

a=2; b=-4; c=5

x

encontrar

las

raíces

4  24 4 4  24  1 

4 4  24 1 x 2   4    4   4  2  5  4 x 22 4  46 i x 4  16  40 4 x 4 4 2 6 i x 1  24 4 x 4 4 2 6 i 4 2 6 i No tiene solución real x1   x2  4 4 Porque ningún número elevado a dos daría -24. 4 2 6 i 4 2 6 i x  x 4 4 x

b  b2  4ac 2a

Recuerde que: 1  i (unidad imaginaria)

OBSERVE QUE LA PARABOLA EN NINGUN MOMENTO CORTA AL EJE X.

TAREA RESOLVER LOS EJERCICIOS 265,266, 268 y 269 (los pares)