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• LuisGalvezPacheco

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Problemas 111

RESUMEN


Por lo regular, las instituciones financieras cotizan el interés como una tasa porcentual anual (tpa). Sin embargo, la capitalización a menudo ocurre con más frecuencia. Multiplicar la tpa por el monto de la deuda no representa el efecto de esta capitalización más frecuente. Esta situación lleva a la distinción entre interés nominal y efectivo.




El interés nominal es una tasa de interés para un periodo dado (por lo general, un año).




El interés efectivo es la tasa de interés real, que representa el monto de los intereses acumulados en un periodo dado. La tasa efectiva se relaciona con la tpa mediante i=(1+r/M)M-1, donde r=tpa, M=número de periodos de capitalización, e i=la tasa de interés efectiva




En cualquier problema de equivalencia, la tasa de interés que debe usarse es la tasa de interés efectiva por periodo de pago, que se expresa como i=[1+r/CK]C-1, donde C=número de periodos de capitalización por periodo de pago, K=número de periodos de pago por año y r/K=la tasa de interés nominal por periodo de pago.




La ecuación para determinar el interés efectivo de la capitalización continua es como sigue: i=er/K-1.




La diferencia en el interés acumulado entre capitalización continua y diaria es relativamente pequeña.




Cuando difieren entre sí los periodos de pago y de capitalización, se recomienda calcular la tasa de interés efectiva por periodo de pago. La razón es que, para proceder con el análisis de equivalencia, los periodos de capitalización y de pago deben ser iguales.




El costo de un préstamo dependerá de muchos factores, como el monto del préstamo, el término del préstamo, la frecuencia del pago, las comisiones y la tasa de interés.




Al comparar opciones de financiamiento diferentes, la tasa de interés que utilizamos es la que refleja el valor en el tiempo del dinero de quien toma la decisión, no la tasa de interés cotizada por la institución (o instituciones) que presta(n) el dinero.

PROBLEMAS Tasas de interés del mercado (tasas de interés nominal contra tasa de interés efectiva) 3.1 Una compañía de préstamos ofrece dinero al 1.5% por mes, compuesto mensualmente. a) ¿Cuál es la tasa de interés nominal? b) ¿Cuál es la tasa de interés anual efectiva? 3.2 Cierta tienda departamental le ofrece una tarjeta de crédito que cobra un interés del 0.95% mensual, compuesto mensualmente. ¿Cuál es la tasa de interés nominal (porcentaje anual) para esta tarjeta de crédito? ¿Cuál es la tasa de interés anual efectiva?

112 CAPÍTULO 3 Estudio de la administración del dinero

3.3

3.4

3.5

3.6

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3.8

Un banco de California, el Berkeley Savings and Loan, anunció la siguiente información: interés del 7.55% y rendimiento anual efectivo del 7.842%. En el anuncio no se hace ninguna mención del periodo de capitalización. ¿Puede usted determinar el esquema de capitalización que utiliza el banco? La compañía American Eagle Financial Sources, que hace pequeños préstamos a estudiantes universitarios, ofrece prestar a un estudiante $400. El prestatario debe pagar $26.61 al final de cada semana durante 16 semanas. Determine la tasa de interés semanal. ¿Cuál es la tasa de interés nominal anual? ¿Cuál es la tasa de interés efectiva anual? Una institución financiera está dispuesta a prestarle $1,000. Sin embargo, usted debe pagar $1,080 en una semana. a) ¿Cuál es la tasa de interés nominal? b) ¿Cuál es la tasa de interés anual efectiva? Se financia un préstamo de $15,000 para contribuir a la educación universitaria de una persona. Con base en una capitalización mensual por 36 meses, el pago regular al fin de cada mes se establece en $493.93. ¿Qué tasa de interés nominal se está cobrando? Usted adquiere un auto usado en $16,000, los cuales deben liquidarse en 36 abonos mensuales de $517.78. ¿Qué tasa de interés nominal está usted pagando sobre este acuerdo de financiamiento? Usted obtuvo un préstamo de $20,000 para financiar las reparaciones de su casa. Con base en una capitalización mensual durante 24 meses, el pago regular al final de cada mes se estableció en $922.90. ¿Cuál es la tpa fijada para este préstamo?

Cálculo de las tasas de interés efectivas con base en los periodos de pago 3.9 Jaime García compra un automóvil de $24,000, que debe liquidar en 48 abonos mensuales de $583.66. ¿Cuál es la tasa de interés anual efectiva para este financiamiento? 3.10 Calcule la tasa de interés efectiva por periodo de pago para una tasa de interés del 9% compuesto mensual para cada uno de los siguientes programas de pago: a) mensual b) trimestral c) semestral d ) anual 3.11 ¿Cuál es la tasa de interés efectiva por trimestre si la tasa de interés es del 6% compuesto mensual? 3.12 ¿Cuál es la tasa de interés efectiva mensual si la tasa de interés es del 6% compuesto continuo? Cálculos de equivalencia con tasa de interés efectiva 3.13 ¿Cuál será la cantidad acumulada por cada una de las siguientes inversiones actuales? a) $4,500 en 10 años al 9% compuesto semestral. b) $8,500 en 15 años al 8% compuesto anual. c) $18,600 en siete años al 6% compuesto mensual. 3.14 ¿Cuál es el valor futuro de cada una de las siguientes series de pagos?

Problemas 113

a) $5,000 al final de cada periodo de seis meses durante 10 años al 8% compuesto semestral. b) $9,000 al final de cada trimestre durante seis años al 8% compuesto trimestral. c) $3,000 al final de cada mes durante 14 años al 9% compuesto mensual. 3.15 ¿Cuáles series de pagos iguales deben pagarse a un fondo de amortización para acumular cada una de las siguientes cantidades? a) $15,000 en 10 años al 8% compuesto semestral cuando los pagos son semestrales. b) $2,000 en 15 años al 6% compuesto trimestral cuando los pagos son trimestrales. c) $48,000 en cinco años al 7.35% compuesto mensual cuando los pagos son mensuales. 3.16 ¿Cuál es el valor presente de cada una de las siguientes series de pagos? a) $1,000 al final de cada periodo de seis meses durante 10 años al 9% compuesto semestral. b) $7,000 al final de cada trimestre durante cinco años al 8% compuesto trimestral. c) $6,000 al final de cada mes durante ocho años al 9% compuesto mensual. 3.17 ¿Cuál es la cantidad C de depósitos trimestrales que le permitirá retirar las cantidades indicadas en el siguiente diagrama de flujo de efectivo, si la tasa de interés es del 8% compuesto trimestral?

$2,500

8% compuesto trimestral $1,500

0

1

2

$1,500

3

4

$1,500

Trimestres 5 6

7

8

C (depósito)

3.18 Una serie de depósitos trimestrales iguales de $1,000 se extiende por un periodo de tres años. Se desea calcular el valor futuro de esta serie de depósitos trimestrales al 12% compuesto mensual. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones es correcta para esta operación? a) F=4($1,000)(F/A, 12%, 3). b) F=$1,000(F/A, 3%, 12). c) F=$1,000(F/A, 1%, 12). d ) F=$1,000(F/A, 3.03%, 12). 3.19 Suponga que deposita $1,000 al término de cada trimestre durante cinco años a una tasa de interés del 9% compuesto mensual. ¿Cuál de las siguientes fórmulas determinará el monto del depósito igual anual de fin de año que acumularía el

114 CAPÍTULO 3 Estudio de la administración del dinero

mismo saldo al cabo de cinco años, de acuerdo con la misma capitalización de intereses, que $1,000 depositados trimestralmente? a) A=[$1,000(F/A, 2.25%, 20)] × (A/F, 9%, 5). b) A=$4,000(F/A, 9%, 5).

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c) A=$1,000(F/A, 9%/12, 20) × (A/F, 9%, 5). d ) Ninguna de las anteriores. Suponga que una pareja de recién casados está planeando comprar una casa dentro de dos años. Para reunir el enganche requerido al momento de comprar una casa que vale $250,000 (supongamos que este enganche es del 20% del valor de venta o $50,000), la pareja ha decidido ahorrar una porción de sus salarios al final de cada mes. Si la pareja puede ganar el 6% de interés (compuesto mensual) sobre sus ahorros, determine la cantidad constante que la pareja debe depositar cada mes para poder hacer la operación de compra de la casa dentro de dos años. El señor Rodríguez deposita $3,000 en una cuenta de ahorros que paga el 6% de interés compuesto mensual. Después de tres años, deposita $4,000. Dos años después del depósito de $4,000, realiza otro depósito por $6,000. Cuatro años después del depósito de $6,000, transfiere la mitad del dinero a un fondo que paga el 8% de interés compuesto trimestral. ¿Cuánto dinero habrá en cada cuenta seis años después de la transferencia? Un hombre planea retirarse en 25 años. Desea depositar una cantidad regular cada tres meses hasta que se jubile para que, un año después de su jubilación, comience a recibir pagos anuales de $53,000 por los siguientes 10 años. ¿Cuánto debe depositar si la tasa de interés es del 8% compuesto trimestral? El precio de un edificio es de $155,000. Si un comprador realiza el pago de un enganche de $55,000 y un pago de $1,000 cada mes a partir de esa fecha, ¿cuántos meses tardará en liquidar por completo el edificio? El interés cobrado es del 9% compuesto mensual. Una pareja está planeando financiar la educación universitaria de su hijo de tres años de edad. La pareja puede depositar dinero al 6% compuesto trimestral. ¿Qué depósito trimestral deben hacer a partir del tercer cumpleaños del hijo hasta que cumpla 18 para proveerle $50,000 en cada cumpleaños del 18 al 21? (Note que el último depósito se hace en la fecha del primer retiro.) Santiago Núñez está planeando retirarse en 15 años. Puede depositar dinero al 8% compuesto trimestral. ¿Qué depósito debe realizar al final de cada trimestre hasta que se jubile para que pueda hacer un retiro semestral de $45,000 los cinco años siguientes después de su jubilación? Suponga que su primer retiro se efectúa seis meses después de su jubilación. Tamara recibió $500,000 de una compañía de seguros después de la muerte de su esposo. Quiere depositar esta cantidad en una cuenta de ahorros que gana un interés del 6% compuesto mensual. Después quisiera hacer 60 retiros mensuales iguales durante cinco años para que, cuando haga el último retiro, la cuenta tenga un saldo de cero. ¿Cuánto debería retirar cada mes? Anita Hayes, dueña de una agencia de viajes, compró una antigua casa para utilizarla como oficina para su negocio. Descubrió que el techo está mal aislado y que podría evitar considerablemente la pérdida calor si se instalan seis pulgadas de material aislante. Estima que, con la reparación, podría ahorrar $80 al mes por consumo de calefacción y $50 al mes en el sistema de aire acondicionado. Suponiendo que el verano dura tres meses del año (junio, julio y agosto), ¿cuál es la cantidad máxima que Anita puede gastar en material aislante para que la instalación valga la pena, considerando que espera quedarse con la propiedad durante

Problemas 115

cinco años? Suponga que ni la calefacción ni el aire acondicionado se requerirían durante el otoño y la primavera. Si decide instalar el aislante, el trabajo se hará a principios de mayo. La tasa de interés de Anita es del 9% compuesto mensual. 3.28 Usted desea elaborar un plan de ahorros para su jubilación. Está considerando las siguientes dos opciones:
Usted deposita $1,000 al final de cada trimestre durante los primeros 10 años. Después de 10 años, no realiza ningún depósito, pero deja la cantidad acumulada al término de 10 años, durante los siguientes 15 años.
No hace nada los primeros 10 años. Después deposita $6,000 al final de cada año durante los siguientes 15 años. Si sus depósitos o inversiones ganan el 6% de interés compuesto trimestral y usted elige la opción 2 y no la 1, después de 25 años a partir de ahora, usted habrá acumulado a) $7,067 más. b) $8,523 más. c) $14,757 menos. d) $13,302 menos. 3.29 El salario actual de María Anguiano es de $65,000 al año y está planeando retirarse en 25 años. Prevé que su salario anual aumentará $3,000 cada año. (Esto es, en el primer año ganará $65,000, en el segundo año $68,000, en el tercero $71,000, y así sucesivamente.) Planea depositar el 5% de su salario anual en un fondo de jubilación que gana el 7% de interés compuesto diario. ¿Cuál será la cantidad acumulada cuando se jubile?

Cálculos de equivalencia con interés compuesto continuo 3.30 ¿Cuántos años tardará una inversión en triplicarse si la tasa de interés es del 9% compuesto a) trimestral? b) mensual? c) continuo? 3.31 ¿A qué cantidad actual es equivalente una serie de pagos trimestrales iguales de $3,000 durante 15 años a una tasa de interés del 9% compuesto a) trimestral? b) mensual? c) continuo? 3.32 ¿Cuál es el valor futuro de una serie de pagos iguales de $2,000 por año durante ocho años, si la tasa de interés es del 7% compuesto continuo? 3.33 Suponga que se depositan $1,500 en una cuenta bancaria al final de cada trimestre durante los próximos 20 años. ¿Cuál es el valor futuro de la cuenta después de 20 años si la tasa de interés es del 8% compuesto a) semestral? b) mensual? c) continuo? 3.34 Si la tasa de interés es del 8.5% compuesto continuo, ¿cuál es el pago trimestral requerido para liquidar un préstamo de $15,000 en cuatro años? 3.35 ¿Cuál es el valor futuro de una serie de pagos mensuales iguales de $5,000, si la serie se extiende por un periodo de seis años al 9% de interés compuesto a) trimestral?

116 CAPÍTULO 3 Estudio de la administración del dinero

b) mensual? c) continuo? 3.36 ¿Cuál es el pago trimestral requerido para liquidar un préstamo de $20,000 en cinco años, si la tasa de interés es del 8% compuesto continuo? 3.37 Una serie de pagos trimestrales iguales de $1,500 se extiende por un periodo de cinco años. ¿Cuál es el valor presente de esta serie de pagos trimestrales al 9.75% de interés compuesto continuo? 3.38 ¿A qué cantidad total futura es equivalente una serie de pagos trimestrales iguales de $3,000 durante 10 años, al término de 15 años a una tasa de interés del 8% compuesto continuo?

Préstamos con tarjetas de crédito 3.39 Usted acaba de recibir solicitudes de tarjetas de crédito de dos bancos, A y B. Los términos de interés sobre su saldo insoluto son los siguientes: 1. Banco A: 18% compuesto trimestral. 2. Banco B: 17.5% compuesto diario. ¿Cuál de los siguientes enunciados es incorrecto? a) La tasa de interés anual efectiva para el banco A es del 19.25%. b) La tasa de interés anual nominal para el banco B es del 17.5%. c) Las condiciones del banco B representan un mejor trato porque usted pagará menos intereses sobre su saldo insoluto. d) Las condiciones del banco A representan un mejor trato porque usted pagará menos intereses sobre su saldo insoluto. 3.40 Angélica, una estudiante de ingeniería de tercer año, ha recibido dos solicitudes de línea de crédito garantizada de dos bancos diferentes. Cada banco cobra una comisión anual y un cargo por financiamiento diferentes. Angélica espera que su saldo mensual promedio después del pago sea de $300 y planea conservar la tarjeta que elija sólo durante 24 meses. (Después de graduarse, solicitará una nueva tarjeta.) La tasa de interés de Angélica (en su cuenta de ahorros) es del 6% compuesto diario. a) Calcule la tasa de interés anual efectiva para cada tarjeta. b) ¿Cuál de las dos tarjetas debe elegir Angélica?

Banco A

Términos

Banco B

Comisión anual

$20

Gratis

Cargo por financiamiento

Tasa de interés mensual del 1.55%

Tasa porcentual anual del 19.5%

Préstamos comerciales 3.41 Un préstamo para adquirir un automóvil de $20,000, a una tasa nominal del 9% compuesto mensual, por 48 meses, requiere pagos iguales de $497.90 cada fin de mes. Complete la siguiente tabla para los primeros seis pagos como usted esperaría que un banco calculara los valores:

Problemas 117

Fin de mes (n) 1 2 3 4 5 6

Pago de intereses

Liquidación del capital

Saldo remanente del préstamo $19,652.10

$350.51 $353.14 $142.11 $139.44 $17,873.07

3.42 Usted solicita un préstamo de $150,000 con un término de liquidación de deuda de 30 años y una tpa variable que comienza en 9% y puede modificarse cada cinco años. a) ¿Cuál es el pago mensual inicial? b) Si, al cabo de cinco años, la tasa de interés del prestamista cambia al 9.75% (tpa), ¿cuál sería el nuevo pago mensual? 3.43 Sara Maddox desea comprar un auto que costará $18,000. Pagará un enganche de $4,000. Le gustaría pedir al banco el resto del dinero a una tasa de interés del 9% compuesto mensual. Ella accede a realizar pagos mensuales por un periodo de dos años para así liquidar el préstamo. Seleccione la respuesta correcta para cada una de las siguientes preguntas: a) ¿A cuánto asciende el pago mensual (A)? 1. A=$14,000(A/P, 0.75%, 24). 2. A=$14,000(A/P, 9%, 2)/12. 3. A=$14,000(A/F, 0.75%, 24). 4. A=$14,000(A/F, 9%, 2)/12. b) Sara ha realizado 12 pagos y quiere saber su saldo remanente inmediatamente después del decimosegundo pago. ¿Cuál es el saldo remanente? 1. B12=12A. 2. B12=A(P/A, 9%, 1)/12. 3. B12=A(P/A, 0.75%, 12). 4. B12=10,000-12A. 3.44 El señor Guzmán está pensando comprar un auto usado. El precio, incluyendo título de propiedad e impuestos, es de $9,530. Guzmán puede dar un enganche de $2,530. El saldo, $7,000, lo solicitará en préstamo a su cooperativa de crédito a una tasa de interés del 9.25% compuesto diario. El préstamo debe liquidarse en 48 pagos mensuales iguales. Calcule el pago mensual. ¿Cuál es la cantidad total de interés que el señor Guzmán tiene que pagar durante la vigencia del préstamo? 3.45 Julia pidió un préstamo bancario de $15,000 a una tasa de interés del 9% compuesto mensual. Este préstamo debe liquidarse en 36 plazos mensuales iguales durante tres años. Inmediatamente después de su vigésimo pago, Julia quiere liquidar el préstamo en un solo pago. Calcule las cantidades totales que debe pagar en ese momento. 3.46 Usted va a comprar una casa de $260,000. Si da un enganche de $50,000 e hipoteca el resto al 8.5% compuesto mensual, ¿cuál será su pago mensual si la hipoteca debe pagarse en 15 años? 3.47 Para la hipoteca de una casa de $350,000 a un plazo de 20 años al 9% de tpa compuesto mensual, calcule los pagos totales sobre capital e intereses durante los primeros cinco años que se tiene la propiedad.

118 CAPÍTULO 3 Estudio de la administración del dinero

3.48 Un prestamista requiere que los pagos hipotecarios mensuales no excedan del 25% del ingreso bruto mensual, en un plazo máximo de 30 años. Si usted solamente puede dar un enganche del 15%, ¿cuál es el mínimo ingreso mensual que necesitaría para comprar una casa de $300,000 si la tasa de interés es del 9% compuesto mensual? 3.49 Para comprar un condominio de $180,000, usted paga $30,000 y firma una hipoteca por $150,000 a una tpa del 9% compuesto mensual. Cinco años después, usted vende el condominio en $205,000 (después de que se han descontado todos los gastos por concepto de la venta). ¿Qué capital (la cantidad que usted puede conservar antes de aplicar cualquier impuesto) podría usted amortizar en un plazo de liquidación de hipoteca de 30 años? (Asegúrese de que el préstamo haya sido liquidado cuando se venda el condominio por un pago único.) 3.50 Justo antes del vigésimo pago,
La familia A tenía un saldo de $100,000 sobre una hipoteca de 30 años al 9%;
La familia B tenía un saldo de $100,000 sobre una hipoteca de 15 años al 9%, y
La familia C tenía un saldo de $100,000 sobre una hipoteca de 20 años al 9%. Todas las tpa son tasas compuestas mensuales. ¿Cuánto interés pagó cada familia en su vigésimo pago? 3.51 Los prestamistas hipotecarios a menudo cobran puntos sobre un préstamo para así evitar exceder un límite legal sobre tasas de interés o para hacer que sus tasas parezcan competitivas ante las de los otros prestamistas. Como un ejemplo, con un préstamo de dos puntos, el prestamista prestaría sólo $98 por cada $100 solicitados. El prestatario sólo recibiría $98, pero tendría que realizar pagos como si hubiera recibido $100. De esta forma, el prestamista puede hacer más dinero en tanto que mantiene su tasa de interés baja. Suponga que usted recibe un préstamo de $130,000 pagaderos al final de cada mes durante 30 años con una tasa de interés del 9% compuesto mensual, pero le han cobrado tres puntos. ¿Cuál es la tasa de interés efectiva sobre este préstamo hipotecario? 3.52 Un restaurante está considerando la adquisición del lote adyacente a su negocio para proveer un espacio de estacionamiento adecuado para sus clientes. El restaurante necesita solicitar $44,000 en préstamo para asegurar el lote. Se ha hecho un trato entre un banco local y el restaurante para que los dueños de este último paguen el préstamo en un periodo de cinco años, con los siguientes términos de pago: 15%, 20%, 25%, 30% y 35% del préstamo inicial al final del primero, segundo, tercero, cuarto y quinto años, respectivamente. a) ¿Qué tasa de interés está ganando el banco en esta transacción de préstamo? b) ¿Cuál será el interés total pagado por los dueños del restaurante en el periodo de cinco años? 3.53 Alicia González quería comprar un auto nuevo por $18,400. Un concesionario le ofreció un financiamiento a través de un banco local a una tasa de interés del 13.5% compuesto mensual. El financiamiento del concesionario requería un enganche del 10% y 48 pagos mensuales iguales. Como la tasa de interés era muy alta, Alicia consultó otras opciones de financiamiento con su cooperativa de crédito. El funcionario de la cooperativa de crédito le cotizó una tasa de interés del 10.5% para un préstamo para un auto nuevo y del 12.25% para un préstamo para un auto usado. Pero para ser sujeto de crédito, Alicia tiene que haber sido miembro de la cooperativa de crédito por seis meses, como mínimo. Como se unió a la

Problemas 119

cooperativa de crédito hace dos meses, tiene que esperar cuatro meses más para solicitar el préstamo. Alicia decide aceptar el financiamiento del concesionario y, cuatro meses después, refinancia el saldo a través de la cooperativa de crédito a una tasa de interés del 12.25% por 48 meses (porque el auto ya no es nuevo). a) Calcule el pago mensual al concesionario. b) Calcule el pago mensual a la cooperativa de crédito. c) ¿Cuál es el pago total de intereses para cada transacción de préstamo? 3.54 David Castañón pidió dinero prestado a un banco para financiar un pequeño bote pesquero. Los términos del préstamo del banco le permitieron diferir los pagos (el interés se cobra aunque el pago sea diferido) por seis meses y después realizar 36 pagos iguales cada fin de mes a partir de ese momento. El préstamo del banco fue de $4,800, con una tasa de interés del 12% compuesto mensual. Después de 16 pagos mensuales, David pasó por un aprieto financiero y fue a la compañía de préstamos para que le ayudaran a reducir sus pagos mensuales. Por fortuna, la compañía de préstamos le ofreció pagar sus deudas con una cantidad global, siempre y cuando David pague a la compañía $104 al mes durante los siguientes 36 meses. ¿Qué tasa de interés mensual está cobrando la compañía de préstamos sobre esta transacción? 3.55 Se debe liquidar un préstamo de $15,000 en un periodo de 24 meses. La agencia cotiza una tasa de interés nominal del 8% para los primeros 12 meses y una tasa de interés nominal del 9% para cualquier saldo insoluto remanente después de los 12 meses, ambas tasas compuestas mensualmente. Con estas tasas, ¿qué pago regular al final de cada mes, durante 24 meses, se requiere para liquidar el préstamo? 3.56 Roberto financió el mobiliario de su oficina a través de un comerciante de muebles. Los términos del comerciante le permitían diferir sus pagos (con intereses) por seis meses y después hacer 36 pagos iguales al final de cada mes a partir de esa fecha. El pagaré original era por $12,000, con un interés del 12% compuesto mensual. Después de 26 pagos mensuales, Roberto tuvo problemas económicos y pidió ayuda a una compañía de préstamos. La compañía de préstamos le ofreció pagar sus deudas con una cantidad global, siempre y cuando Roberto pague a la compañía $204 al mes durante los próximos 30 meses. a) Determine el pago mensual original hecho a la mueblería. b) Determine la cantidad global que desembolsará la compañía de préstamos. c) ¿Qué tasa de interés mensual está cobrando la compañía sobre este préstamo?

Comparación de las diferentes opciones financieras 3.57 Suponga que usted está en busca de un auto nuevo que valga $18,000. Le ofrecen un trato para que pague $1,800 como enganche ahora y el saldo en pagos iguales de $421.85 cada fin de mes durante un periodo de 48 meses. Considere las siguientes situaciones: a) En vez de aceptar el financiamiento del concesionario, prefiere dar un enganche de $1,800 y solicitar un préstamo bancario al 11.75% compuesto mensual. ¿Cuál sería su pago mensual para liquidar el préstamo en cuatro años? b) Si aceptara la oferta del concesionario, ¿cuál sería la tasa de interés efectiva mensual cobrada por el concesionario sobre su financiamiento? 3.58 Un comerciante local ofrece arrendar un vehículo utilitario deportivo durante 24 meses por $520 a pagar a principios de cada mes. El arrendamiento requiere un enganche de $2,500, más un depósito de garantía reembolsable de $500. Como una alternativa, la compañía ofrece un plan de arrendamiento de 24 meses con un solo pago por adelantado de $12,780, más un depósito de garantía reembolsable de $500. El depósito de garantía se reembolsará al finalizar el contrato de 24

120 CAPÍTULO 3 Estudio de la administración del dinero

meses. Suponiendo que usted tiene acceso a una cuenta de depósito que paga un interés del 6% compuesto mensual, ¿qué contrato es más favorable? 3.59 Usted desea comprar una casa de $85,000 y cuenta con $17,000 en efectivo disponibles para dar un enganche. Está considerando las siguientes dos opciones de financiamiento:
Opción 1: Conseguir una nueva hipoteca estándar con el 10% (tpa) de interés compuesto mensual a un plazo de 30 años.
Option 2: Aceptar la antigua hipoteca del vendedor que tiene una tasa de interés del 8.5% (tpa) compuesto mensual, y un plazo 25 años de un plazo original de 30, un saldo remanente de $35,394 y pagos de $285 al mes. Usted puede obtener una segunda hipoteca para el saldo insoluto, $32,606, por parte de su cooperativa de crédito al 12% (tpa) compuesto mensual, con un periodo de liquidación de deuda de 10 años. a) ¿Cuál es la tasa de interés efectiva para la opción 2? b) Calcule los pagos mensuales para cada opción durante la vigencia de la hipoteca. c) Calcule el pago total de intereses para cada opción. d) ¿Cuál de las tasas de interés de los propietarios (el valor en el tiempo del dinero de los propietarios) hace que las dos opciones sean equivalentes?

Breves estudios de caso con Excel 3.60 Considere el caso de Gizmo, una pequeña compañía manufacturera cuya administración desea reducir los gastos generales mediante la instalación de un nuevo sistema de calefacción de bajo consumo de energía. El nuevo sistema cuesta $100,000. Ante las bajas reservas de efectivo de la compañía, la administración determinó que solicitar un préstamo es la única forma de financiar esta conveniente mejora. Surge un problema cuando el contador de Gizmo señala que un préstamo de reducción directa estándar limitará severamente el flujo de efectivo de la compañía durante la temporada que se necesita la calefacción. Para superar esta dificultad, el contador sugiere un esquema de pagos en una serie gradiente periódica lineal con el gradiente G=$75 en un préstamo de pagos alternados. El contador propuso el siguiente programa de liquidación: Duración del préstamo: 4 años Mes enero–agosto septiembre–abril mayo–Septiembre octubre–marzo abril–octubre noviembre–febrero marzo–diciembre

Pago sí no sí no sí no sí

El prestamista cotizó una TPA del 12%. Determine el programa de pagos a lo largo de cuatro años. (Fuente: Formato R.A., “Generalized Formula for the Periodic Payment in a Skip Payment Loan with Arbitrary Skips,” The Engineering Economist, vol. 37, núm. 4, verano de 1992.)

Problemas 121

3.61 Usted está considerando la compra de un automóvil nuevo que vale $15,000. Puede financiar el auto retirando efectivo de su cuenta de ahorros, que genera el 8% de interés compuesto mensual, o solicitando un préstamo de $15,000 de su concesionario por cuatro años con un interés del 11% compuesto mensual. Podría ganar $5,635 de intereses de su cuenta de ahorros en cuatro años si deja el dinero en la cuenta. Si pide prestados $15,000 de su concesionario, sólo paga $3,609 de intereses en cuatro años, por lo que tiene sentido solicitar el préstamo para su auto nuevo y conservar su efectivo en su cuenta de ahorros. ¿Está usted de acuerdo o en desacuerdo con el enunciado anterior? Justifique su razonamiento con un cálculo numérico. 3.62 Suponga que va a comprar una casa de $110,000, dando un enganche de $50,000. El resto lo liquidará con un préstamo del Capital Savings and Loan Bank. El funcionario le ofrece los dos siguientes planes de financiamiento para la propiedad:
Option 1: Un préstamo fijo convencional con una tasa de interés del 13% compuesto mensual por 30 años con 360 pagos mensuales iguales.
Un programa de pagos escalonados (el plan fha 235) con una tasa de interés del 11.5% compuesto mensual con el siguiente programa de pagos mensuales: Para el plan fha 235, el seguro hipotecario es obligatorio. a) Calcule el pago mensual para la opción 1.

Año (n)

Pago mensual

Seguro hipotecario mensual

1 2 3 4 5

$497.76 $522.65 $548.78 $576.22 $605.03

$25.19 $25.56 $25.84 $26.01 $26.06

6–30

$635.28

$25.96

b) c) d) e)

¿Cuál es la tasa de interés anual efectiva que pagaría en la opción 2? Calcule el saldo remanente para cada opción al término de cinco años. Calcule el pago total de intereses para cada opción. Suponiendo que su única alternativa de inversión es una cuenta de ahorros con una tasa de interés del 6% compuesto mensual, ¿cuál opción representa el mejor trato? 3.63 La señora Ortega solicitó un préstamo bancario de $4,909 para financiar la compra de un auto con una tasa de interés complementaria3 del 6.105%. El banco calculó el pago mensual de la siguiente manera:
Monto del contrato  $4,909 y periodo del contrato  42 meses (o 3.5 años). Así, el interés complementario es  $4,909(0.06105)(3.5)  $1,048.90.
Comisión por adquisición  $25, así el cargo total del préstamo  $1,048.90+$25  $1,073.90. 3

El préstamo complementario es totalmente diferente del conocido préstamo amortizado. En este tipo de préstamo, el interés total a pagar se precalcula y se añade al capital. Entonces, el capital más la cantidad de interés precalculado se paga en plazos iguales. En tal caso, la tasa de interés cotizada no es la tasa de interés efectiva, sino lo que se conoce como un interés complementario.

122 CAPÍTULO 3 Estudio de la administración del dinero


Total de pagos=$4,909+$1,073.90=$5,982.90 y el plazo mensual=$5,982.90/42=$142.45. Después de realizar el séptimo pago, la señora Ortega desea liquidar el saldo justo antes de hacer el octavo pago. La siguiente es la carta del banco explicando el saldo neto que debe la señora Ortega: Estimada Sra. Ortega, La siguiente es una explicación de cómo llegamos a la cantidad de liquidación de deuda sobre su cuenta de préstamo: Monto del pagaré original $5,982.90 Menos 7 pagos de $142.45 cada uno 997.15 4,985.75 Cargo por préstamo (interés) 1,073.90 Menos comisión por adquisición 25.00 $1,048.90 El factor de descuento de la tabla de la Regla de los 78 es 0.6589. (Transcurrieron 8 meses del préstamo, de un plazo de 42 meses.) $1,048.90 multiplicado por 0.6589 es $691.12. $691.12 representa el descuento de intereses no ganados. Por lo tanto, la cantidad de su liquidación se calcula de la siguiente manera: Saldo $4,985.75 Menos descuento de intereses no ganados 691.12 Cantidad de liquidación $4,294.63

Problemas 123

Si tiene más preguntas respecto a este asunto, por favor, comuníquese con nosotros. Atentamente, S. Govia Vicepresidente Nota: La Regla de los 78 se utiliza en algunas instituciones financieras para determinar el saldo remanente de un préstamo. De acuerdo con la Regla de los 78, el interés cobrado durante un mes determinado se calcula aplicando una fracción cambiante al interés total sobre el periodo del préstamo. Por ejemplo, en el caso de un préstamo a un año, la fracción utilizada para determinar el cargo por intereses para el primer mes sería 12/78; el 12 es el número de meses del préstamo que quedan y el 78 es la suma de 1  2  ∙∙∙+11+12. Para el segundo mes, la fracción sería 11/78, y así sucesivamente. En el caso de un préstamo a dos años, la fracción durante el primer mes es 24/300, porque hay 24 periodos de pago restantes y la suma de los periodos del préstamo es 300=1  2  ∙∙∙  24. a) Calcule la tasa de interés anual efectiva para este préstamo. b) Calcule la tasa porcentual anual (tpa) para este préstamo. c) Muestre cómo calcularía usted el factor de descuento (0.6589). d ) Verifique la cantidad de liquidación usando la fórmula de la Regla de los 78. e) Calcule el monto de liquidación usando el factor de interés (P/A, i, N). 3.64 Considere la siguiente tabla que compara los diferentes programas disponibles de préstamos para estudiantes universitarios de tiempo completo. Si necesita un préstamo de $20,000, ¿cuál programa de préstamo elegiría y por qué?