ECONOMIA DE LOS PROCESOS PI 510 FACULTAD DE INGENIERIA QUÍMICA Y TEXTIL Emilio Porras Sosa 1 Índice • Conceptos Gen
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ECONOMIA DE LOS PROCESOS PI 510 FACULTAD DE INGENIERIA QUÍMICA Y TEXTIL
Emilio Porras Sosa
1
Índice •
Conceptos Generales
•
Proyectos de Inversión
•
Matemáticas Financieras
•
Estados Financieros Proyectados
•
Análisis de Mercado
•
Inversión en Equipos, Unidades de Proceso y Capital de Trabajo
•
Depreciación de Activo Fijo y Amortización de Intangibles
•
Financiamiento de la Inversión
•
Costos de Producción
•
Criterios de Evaluación de Inversiones
•
Alternativas de Reemplazo
•
Análisis de Riesgo e Incertidumbre
•
Modelamiento Matemático
•
Optimización de Proceso
•
Optimización de Procesos de Destilación
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1 CONCEPTOS GENERALES Y REVISION DE TERMINOS
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Producto Bruto Interno (PBI) Es una medida de la producción de una economía y refleja el flujo de bienes y servicios producidos en el territorio de un país, durante un período determinado. Existen tres maneras de medir el PBI: • Por el valor añadido en cada uno de los sectores de la economía (agropecuario, pesca, minería, etc..) • Por el gasto final, que viene a ser la suma de las compras finales o demandas finales de la economía (consumo familiar, de gobierno, Inversión, Exportaciones-Importaciones). • Por la suma los ingresos de todos los factores de producción (salarios, ingresos independientes, excedentes, impuestos subsidios)
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Producto Bruto Interno Per Cápita Es la relación entre el producto Bruto Interno (PBI) y la población de un país durante un período determinado. Es una variable muy utilizada para indicar el grado de desarrollo de un país.
Deuda Externa Es el conjunto de obligaciones de los residentes derivados de operaciones de crédito contraídos con acreedores del exterior. La deuda externa incluye la deuda del sector público y privado, ya sea a corto o a largo plazo.
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Bienes de Capital Es la denominación que reciben los bienes que intervienen en el proceso productivo y que generalmente no se transforman, ejemplo los equipos, maquinarias, edificios, etc. Los bienes de capital son utilizados para crear mayores beneficios.
Arancel Es el impuesto que se paga por los bienes importados y se puede calcular sobre el valor o el volumen de las importaciones. Este impuesto se paga para obtener el derecho de internar en el país un producto importado.
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Costos Costos son todos aquellos desembolsos efectuados por el proyecto para la adquisición de bienes y servicios, incluyen aquellos desembolsos incurridos para la adquisición de bienes de capital y en la generación de capital de trabajo
Gastos Gastos son aquellos egresos, durante la operación del proyecto, correspondientes a los productos vendidos. Por ejemplo si se compra materia prima por 20 MUS$ e ingresa al proceso productivo el equivalente a 15 MUS$, el costo será de 20 MUS$, el gasto será de 15 MUS$ y la generación de inventario de 5 MUS$.
Costos Laborales Es el costo total efectivo que representa para el empleador la contratación de mano de obra. Además de la remuneración que perciben los trabajadores, incluye las diversas contribuciones y/o aportes (pagos al seguro social, FONAVI, compensación por tiempo de servicio, gratificaciones, seguros de vida y contra accidentes, etc.)
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Costo y Gasto de Producción A ventas A Inventario 20 TM 20 M$
70 TM 175 M$ 2.5 M$/TM
M. Prima Materiales 100 TM 100 M$ 1 M$/TM
80 TM 80 M$ PROCESO PRODUCTIVO Cargos Operativos 120 M$ 1.5 M$/TM
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Gasto de Producción
A Inventario Costo de Producción
10 TM 25 M$
80 TM 200 M$ 2.5 M$/TM
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Impuesto al Valor Agregado Es un impuesto que grava el mayor valor que se incorpora en cada etapa del proceso de manufactura o comercialización. El impuesto pagado en cada una de dichas etapas constituye crédito fiscal de la siguiente, de esta manera la carga total del impuesto la recibe el consumidor final. Precio : 100.0
150.0
170.0
19.0
28.5
32.3
Total : 119.0
178.5
202.3
IVA :
Extracción de Materia Prima
Transformación
Comercial
Recibe :
119.0
178.5
202.3
Impuesto :
19.0
9.5
3.8
Neto :
100.0
169.0
198.5
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Canasta de Consumo Es el conjunto de bienes y servicios adquiridos por un consumidor representativo de la economía, y sirve de base para el cálculo del Índice de Precios al consumidor (IPC). La canasta de consumo en el Perú está conformada por los siguientes grupos de consumo: • • • • • • •
Alimentos y bebida Vestido y calzado Alquiler de vivienda, combustible y electricidad Muebles y enseres y mantenimiento de vivienda. Cuidados, conservación de la salud y servicios médicos. Transportes y comunicaciones. Esparcimiento, diversión, servicio cultural y de enseñanza, Etc.
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Precios Son aquellos que recibe o da el sujeto económico al momento de realizar una transacción en el mercado. Es la cantidad de dinero que se paga o recibe al adquirir o vender un bien o servicio.
Inflación Inflación es el incremento general y permanente de precios de bienes y servicios. Se la mide con la Tasa de Inflación, que refleja el alza promedio de precios de los bienes y servicios durante un período determinado. La tasa de inflación es una medida relativa.
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Poder Adquisitivo Este término tiene dos enfoques: El primero se entiende como la capacidad económica para adquirir bienes y/o servicios y el segundo a la cantidad de bienes y/o servicios que se obtiene con una suma de dinero determinada respecto a la cantidad que se hubiera obtenido en un período anterior.
Precios Reales Son aquellos que reflejan la relación de intercambio entre los bienes y servicios, se expresan en términos monetarios de un año base. Para excluir los efectos de la inflación en la evaluación de inversiones se trabaja en moneda real.
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Conceptos Relacionados a Deuda Servicio de la Deuda Un préstamo implica pagos futuros que incluyen la amortización de la deuda, los intereses y las comisiones, estos pagos se conocen como servicio de la deuda. Plazo: Es el período que se otorga para amortizar la deuda, no incluye el período de gracia. Período de Gracia Es el período que se otorga antes de iniciar la amortización de la deuda. Durante este período los intereses pueden ser pagados o capitalizados, en caso de ser capitalizados la deuda se verá incrementada. Emilio Porras Sosa
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Utilidad Neta (UN) La utilidad neta es determinada en el Estado de Ganancias y Perdidas, también es conocida como utilidad después de impuestos. Existen Utilidad Neta Económica que no considera los efectos de financiamiento y Financiera donde se contempla los intereses y comisiones debido al financiamiento. Las ecuaciones para el cálculo de la utilidad neta son las siguientes: UNEi = (INGi-EGi-Di) · (1-t) i UNE UNF ING EG I D t
UNFi = (INGi-EGi-Ii-Di) · (1-t)
Año ( 0, 1, 2, 3, ..., n) Utilidad Neta Económica Utilidad Neta Financiera Ingreso por ventas y por otros conceptos Egresos (Gastos de Producción, Administrativos y Ventas) Intereses (Gastos financieros) Depreciación de activo fijo y amortización de intangibles. Tasa Impositiva
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Flujo Neto de Fondos (FNF) El flujo neto de fondos representa el efecto combinado de las entradas y salidas de dinero de la empresa o proyecto, y se determina restando a los ingresos los egresos. Si el FNF es negativo implica salida de dinero y si es positivo es entrada de dinero al proyecto o empresa. Las ecuaciones para su cálculo son las siguientes: FNFEi = UNEi + Di + VSi - INVi FNFFi = UNFi + Di + VSi - (INVi-PRESi) - AMORTi i FNFE FNFF UNE UNF D VS INV PRES AMORT Emilio Porras Sosa
Año ( 0, 1, 2, 3, ..., n) Flujo Neto de Fondos Económico Flujo Neto de Fondos Financiero Utilidad Neta Económica Utilidad Neta Financiera Depreciación de activo fijo y amortización de intangibles. Valor de rescate Inversión Total (capital fijo y capital de trabajo) Préstamo Amortización de la deuda 15
Efecto de la Depreciación Combinando las ecuaciones de Utilidad Neta y Flujo Neto de Fondos: FNFEi = (INGi-EGi) ·(1-t) + t · Di + VSi - INVi FNFFi = (INGi-EGi-Ii) · (1-t) + t · Di + VSi - (INVi-PRESi) - AMORTi En las ecuaciones anteriores del flujo neto fondos se aprecia que la depreciación no representa una salida de dinero sino un ahorro por menor pago de impuesto.
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Vida Útil Es el período de duración de los bienes, desde que inician su operación hasta que sean inservibles.
Vida Económica Es el período en el cual se minimizan los costo de inversión, operación y mantenimiento de los bienes. La vida económica, de los equipos principales, es una de las variables más importantes para determinar la vida de los proyectos. Ejemplo.- El costo de un equipo es de 100 MUS$, se estima que sus costos de operación y mantenimiento para el primer año de operación sea de 20 MUS$; el costo de operación y de mantenimiento se incrementará en términos reales a razón de 20%/año. Determinar la vida económica de este equipo.
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Vida Económica Solución: Para simplificar se asume que el tiempo no tiene valor. La inversión de 100 MUS$ se ejecuta en el año cero, si trabajamos dos años con el equipo la inversión anual equivalente será de 50 MUS$ (100/2) para los años 1 y 2; si se operará 4 años la inversión anual será de 25 MUS$ (100/4). El costo operativo para el primer año es de 20 MUS$, para el segundo año es de 24 MUS$ (1.2*20), para en año 3 es de 28.8 MUS$ (1.2*24) y así sucesivamente se incrementará en 20%. El costo operativo promedio anual para los dos primeros años de operación es de 22 MUS$ ((20+24)/2), para los tres primeros años de operación será 24.3 MUS$ ( (20+24+28.8)/3 ). En la siguiente tabla y figura se muestran los costos operativos, la inversión anualizada, los costos promedios anualizados y el costo total anualizado; todos expresados en MUS$/año.
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Vida Económica Costo Promedio Anual
Año
Costo Operativo
Inversión
Operativo
Total
1
20.0
100.0
20.0
120.0
2
24.0
50.0
22.0
72.0
3
28.8
33.3
24.3
57.6
4
34.6
25.0
26.8
51.8
5
41.5
20.0
29.8
49.8
6
49.8
16.7
33.1
49.8
7
59.7
14.3
36.9
51.2
8
71.7
12.5
41.2
53.7
9
86.0
11.1
46.2
57.3
10
103.2
10.0
51.9
61.9
Se aprecia que el costo total anualizado es mínimo en el año 6, lo que significa que la vida económica de este equipo es 6 años. En la siguiente figura se muestra el gráfico para la determinación de la vida económica, debemos tener presente que en el siguiente ejemplo no se ha considerado el valor del tiempo. Emilio Porras Sosa
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Vida Económica 120
Costo Anual
100 80 Costo Total
Costo Mínimo
60 40
Costo Operativo y de Mantenimiento
20 Costo de Inversión
Vida Económica
0 0
2
4
6
8
10
12
Año de Operación Emilio Porras Sosa
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Mercado Perfecto Mercado es el lugar donde converge la oferta y la demanda, cuando los precios y cantidades son determinadas exclusivamente por la oferta y demanda se le denomina mercado perfecto. El mercado perfecto no existe y se le utiliza como un patrón de referencia, para comparar los mercados reales, los cuales están efectos de impuestos, subsidios, controles, etc.
Precio (P)
Mercado Perfecto
.
Oferta
Demanda
Cantidad (Q) Emilio Porras Sosa
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Costo de Producción Generalmente el costo de producción se divide en costo variable y costo fijo, el costo variable es directamente proporcional a la producción mientras que el fijo es constante y no depende del nivel de producción. Un componente del costo de producción y que no es considerado en el siguiente análisis, son los costos regulados; estos varían con el nivel de producción pero no en forma proporcional CT = CV + CF CV = v · Q CT = v · Q + CF Donde:
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CT CV CF v Q
Costo total de producción Costo variable Costo fijo Costo variable unitario Producción 22
Costo de Producción
Costo Anual
al t o oT t s Co
sto o C
ble a i r Va
Costo Fijo
Producción (Q) Emilio Porras Sosa
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Costo Unitario de Producción El costo de producción también puede ser estudiado desde al punto de vista de costos unitarios, para lo cual es necesario dividir la ecuación de costos de producción entre la producción (Q). CT Cu =
v · Q + CF =
Q Donde:
= v+ Q
Cu v f Q
CF = v+f Q
Costo unitario de producción Costo variable unitario Costo fijo unitario Producción
En este análisis el costo variable unitario se mantiene constante con el nivel de producción, mientras que el costo fijo unitario disminuye con el incremento del nivel de producción. Emilio Porras Sosa
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Costo Unitario
Costo Unitario de Producción
Costo Total
Costo Variable Costo Fijo
Producción (Q) Emilio Porras Sosa
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Economía de Escala Al estudiar los costos unitarios de producción, para un tamaño determinado de planta, se observa que estos disminuyen al incrementar el nivel de producción. Los costos fijos totales se incrementan con el tamaño de la planta, mientras que el costo. Resumiendo, al incrementar el tamaño de planta el costo unitario disminuye hasta alcanzar un mínimo, luego del cual se incrementa debido a que se opera por debajo de su capacidad (producción limitada por el mercado). El tamaño de planta que origina el costo mínimo de producción es denominado como tamaño óptimo y su determinación es conocida como economía de escala. El tamaño óptimo no sólo depende de las características propias del proceso sino también de la capacidad de compra del mercado, un determinado tipo de planta puede tener un tamaño óptimo en un país y otro en un país de mercado diferente. Emilio Porras Sosa
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Costo Unitario
Economía de Escala
Tamaño Óptimo
Tamaño (Q) Emilio Porras Sosa
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Punto de Equilibrio Punto de equilibrio es aquel en el cual los ingresos son iguales a los egresos (costos de producción), los ingresos estarán dados por el producto de las cantidades vendidas por el precio. ING = P · Q U = ING - CT U = P * Q - (v · Q + CF) Donde:
ING P Q U
Ingresos Precio Cantidad Utilidad
Lo importante es determinar el nivel de producción (Q) que iguale los ingresos con los egresos o que la utilidad sea cero. Emilio Porras Sosa
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Unidades Moneraias/Año
Punto de Equilibrio
Punto de Equilibrio
re g n I
s so
C
Utilidades
tal o T osto
Pérdidas
Producción (Q) Emilio Porras Sosa
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Punto de Equilibrio La determinación del punto de equilibrio, también se puede realizar con los costos e ingresos unitarios. Para obtener la ecuación de la utilidad unitaria (Uu), se divide la ecuación utilidad entre la cantidad producida (Q): CF Uu = P - v Q Para niveles de producción inferiores al determinado por el punto de equilibrio, los ingresos son inferiores a los egresos lo cual origina pérdidas. Las utilidades se darán cuando la producción es superior al determinado por el punto de equilibrio. El punto de equilibrio está íntimamente ligado al tamaño de la planta o proyecto, ya que los costos de producción dependen del tamaño o escala. También depende de la localización de la planta; es muy importante entender que el nivel óptimo de producción no es único, sino que depende de muchas variables como son el tamaño, costos de transporte, de materia prima, de los servicios (agua, electricidad, combustible, etc.), de mano de obra, de la inversión en capital fijo, etc. Emilio Porras Sosa
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Unidades Monetarias/Unidad
Punto de Equilibrio
Punto de Equilibrio Pérdidas
Ingreso = Precio Utilidades Costo Un itario Tota
l
Producción (Q) Emilio Porras Sosa
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Tamaño del Proyecto El tamaño de un proyecto es aquel que genere la máxima rentabilidad, la relación de los factores más importantes se muestra en el siguiente diagrama: CAPACIDAD FINANCIERA CAPACIDAD EMPRESARIAL MERCADO
TAMAÑO
PROCESO TECNOLOGIA
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DISPONIBILIDAD DE MATERIA PRIMA MATERIALES E INSUMOS
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Escala del proyecto vs Tamaño del Mercado
Cantidad (Q)
El tamaño del mercado va cambiando en forma continua con el tiempo, no es una variable estática, mientras que el tamaño de una planta no puede ser modificada con la misma frecuencia. El fenómeno explicado origina que la capacidad de la planta, generalmente, no sea igual al tamaño del mercado.
da n ma e D
Déficit de Capacidad Tamaño
Exceso de Capacidad
Tiempo (T) Emilio Porras Sosa
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Costo del Dinero
Tasa de Interés (i)
El costo del dinero estará dado por la tasa de interés que se cobra o paga por el, al igual que existe el mercado de bienes y servicios existe el mercado de capitales, donde la oferta de dinero está dada por los ahorros y la demanda por el dinero requerido para inversión y gastos operativos. La demanda de dinero siempre es mayor que la oferta, originando que la tasa de interés pagada a los ahorristas sea menor a la cobrada a los inversionistas.
= a t er f O
Tasa Activa
Tasa Pasiva
or h A
ro
Demand a = Inve rsión
Cantidad de Dinero(Q) Emilio Porras Sosa
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2 PROYECTO DE INVERSION
Emilio Porras Sosa
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PROYECTO DE INVERSION Es un conjunto de actividades y asignación de recursos de capital destinados a: • Incrementar la producción de bienes/servicios, mediante la instalación de nuevas unidades productivas o ampliación de unidades existentes. • Aumentar la eficiencia o productividad de los medios existentes. • Incrementar el factor de capacidad o servicio de las unidades existentes.
Con la finalidad de obtener mayores beneficios de lo que se obtienen actualmente con los recursos existentes.
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Proyecto de Inversión Etapas de un Proyecto de Inversión US$
Liquidación
+ Operación Pre-Operación
0
a
b
TIEMPO
a: Pre-inversión b: Inversión o ejecución
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Horizonte de Planeamiento 37
Proyecto de Inversión El Papel de la Evaluación de Proyectos El objetivo de cualquier empresa es maximizar su valor para sus accionistas. El precio de mercado de las acciones representa el valor de una empresa particular. Ese valor está gobernado por las ganancias actuales y futuras por acción; la distribución en el tiempo, la duración y riesgo de estas ganancias y otros factores. La evaluación de proyectos juega un papel demasiado importante y que se resume a continuación: • • • • •
Impedir que los proyectos malos sean los aprobados. Evitar que los buenos proyectos sean desechados o rechazados. Determinar si los componentes del proyecto son congruentes. Evaluar las fuentes y magnitudes de los riesgos. Determinar cómo reducir los riesgos y compartirlos de manera eficiente.
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Proyecto de Inversión
US$
Rentabilidad: En general un proyecto de inversión será rentable cuando genera más dinero de lo que cuesta y más de lo que rinde la actividad corriente (rendimiento que estamos obteniendo con los recursos empleados).
Actividad Corriente Inversión Emilio Porras Sosa
Proyecto 1
Ingresos Netos
Proyecto 2
Ganancia o Rentabilidad 39
3 MATEMATICAS FINANCIERAS
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MATEMATICAS FINANCIERAS Estudia el cambio del valor del dinero en el tiempo (valor del tiempo). Nomenclatura Vo: VN : I: A: N: i : π: i R: iN : n:
Cantidad de dinero actual (año 0) Cantidad de dinero en el año N. Interés "Anualidad" Flujo uniforme de dinero. Número de períodos. Tasa efectiva de interés por período. Tasa de inflación por período. Tasa real de interés por período. Tasa nominal de interés. Número de divisiones de un período.
Regla General: VN = Vo + I
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MATEMATICAS FINANCIERAS El Valor del Dinero Regla General:
VN = Vo + I
VN
I
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V0
V0
0
N 42
INTERES COMPUESTO
N=1
I1 = i Vo
V1 = Vo + I1 = Vo (1+i)
N=2
I2 = i V1 = Vo i (1+i)
V2 = V1 + I2 = Vo (1+i)2
N=3
I3 = i V2 = Vo i (1+i)2
V3 = V2 + I3 = Vo (1+i)3
Generalizando: VN = Vo (1 + i) N
Emilio Porras Sosa
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VALOR PRESENTE Y FUTURO VN
1
2
3
N-1
N
Vo
VN Valor Presente
Vo = (1 + i)N
Valor Futuro VN
VN = Vo (1 + i)N
y Vo son financieramente equivalentes.
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44
VALOR PRESENTE Y FUTURO Ejemplo: Se hace un depósito de 200 US$ en una cuenta de Ahorros que paga una tasa de interés de 6% anual, ¿A cuánto ascenderá la cuenta después de 5 años? Datos:
Vo = 200 US$ i = 6%/año
VN = Vo (1+i)N
N=5
V5 = ??
V5 = 200 (1+0.06)5 = 267.6 US$
La equivalencia financiera estará dada por: 267.6
1
2
3
4
5
200.0 Emilio Porras Sosa
45
VALOR PRESENTE Y FUTURO Ejemplo: Una persona desea contar con 10,000 US$ dentro de 10 años ¿Cuánto se debe depositar hoy en una cuenta que paga 8%/año.? Datos: V10 = 10,000 US$
i = 8%/año N = 10 años
VN
Vo = ??
10000
Vo =
Vo = (1 + i) N
= 4631.9 (1+0.08)10
El depósito hoy debe ascender a 4631.9 US$, la equivalencia financiera estará dada por: 10,000 1
2
3
8
9 10
4,631.9 Emilio Porras Sosa
46
ANUALIDADES Vo
1
A
2
3
N-1
N
A
A
A
A
La equivalencia financiera estará dada por: A
A
Vo =
+ (1+i)
A +
(1+i)2
A ········
(1+i)3
+ (1+i)N-1
(1+i)N - 1 Vo = A
A (1+i)N i (1+i)N
A = Vo i (1+i)N
Emilio Porras Sosa
(1+i)N - 1 47
ANUALIDADES Ejemplo: Se obtiene un préstamo bancario de 1000 US$ para pagarlo en doce cuotas mensuales iguales. ¿Cuál será el valor de las mensualidades si la tasa de interés es 1%/mes? Datos: Vo = 1000 US$
i = 1%/mes N = 12 meses 1000
i (1+i)N M = Vo (1+i)N - 1
0.01 (1+0.01)12 M = 1000
= 88.8
M
M
M
M
M
M
(1+0.01)12 - 1 Las mensualidades ascenderán a 88.8 US$. Emilio Porras Sosa
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ANUALIDADES Ejemplo: Una persona hoy (año 0) desea hacer un depósito en una cuenta de ahorros que paga 9%/año de tasa de interés, con la finalidad de efectuar 6 retiros anuales de 1000 $ c/u a partir del año 5. ¿Cuánto deberá ser el depósito? A
A
A
A
A
A 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
2
3
A
A
A
A
A
A
5
6
7
8
9
10
4
10
Vo (1+i) 4
Vo
Equivalencia financiera (1+i)6 - 1 Vo (1+i)4 = A i (1+i)6
(1+i)6 - 1 Vo = A i (1+i)10
(1+0.09)6 - 1 Vo = 1000
= 3,177.9 US$ 0.09 (1+0.09)10
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INTERES NOMINAL Y EFECTIVO La tasa de interés efectivo es la que se paga o cobra, la tasa de interés nominal es la que se ofrece. i
: Tasa de interés efectiva por período
iN
: Tasa de interés nominal por período
n
: Numero de sub-períodos (divisiones de un período)
iSUB =
iN n
i = ( 1 + iSUB ) i=(1+
iN
n
-1
n
) -1
n
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50
INTERES NOMINAL Y EFECTIVO Ejemplo: La tasa de interés nominal es 8%/año, determinar la tasa efectiva de interés para diferentes periodos de capitalización. 0.08
) -1 n
n 1 2 3 4 6 12 360
i (%/Año) 8.00 8.16 8.22 8.24 8.27 8.30 8.33
Emilio Porras Sosa
8.30 Interés Efectivo (%/año)
i=(1+
8.35
n
8.25 8.20 8.15 8.10 8.05 8.00 1
10 100 Nro de Capitalizaciones
1000
51
INTERES CONTINUO Es la tasa de interés efectiva cuando se hace un número infinito de capitalizaciones por período. iN i = Lim (1+ ) nÆ ∞ n
n
-1
iN i = e
-1
En el ejemplo anterior, la tasa de interés continua estará dada por : i = e 0.08 - 1 i = 2.71828 0.08 - 1 = 0.0833 = 8.33%/año.
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INTERES REAL Y CORRIENTE La tasa de interés corriente ( i ) es la que pagan o cobran los bancos (i), y tasa de interés real ( iR ) es el incremento del poder adquisitivo del dinero. Año 0 Vo
Depósito en el Banco Precio de un bien en el mercado
iR =
V1 - V1*
=
V1* iR =
1+i 1+π
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Vo
Año 1 V1 = Vo (1+i) V1* = Vo (1+π)
Vo (1+i) - Vo (1+π) Vo (1+π)
-1
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INTERES REAL Y CORRIENTE Ejemplo: Un banco paga 8%/año de tasa de interés ¿En cuánto se incrementará el poder adquisitivo de un depósito en un año, si la tasa anual de inflación es 3%?. El perfil de flujos de dinero estará dado por: V1 = Vo (1.08) 0 1
Vo
1+i iR =
1+π
1.08 -1
iR =
- 1 = 0.044 = 4.4 %/año 1.03
Lo que quiere decir que en el año 1 con V1 podremos adquirir 4.4% más de lo que se hubiera adquirido con Vo en el año cero. Emilio Porras Sosa
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PRECIOS REALES Y CORRIENTES Precios Corrientes.- Son aquellos que se dan en el momento de la transacción y son validos sólo para ese momento. Se utilizan en la vida cotidiana. Precios Reales.- Miden la relación de intercambio entre bienes y/o servicios y se expresan en unidades monetarias de un año base (moneda constante). Valor Corriente: VN , Flujo del año N, expresado en moneda del año N. Valor Constante: VNO, Flujo del año N, expresado en moneda del año 0. VNK Flujo del año N y expresado en moneda del año K. VN VNO =
(1 + π) N
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VN VNK =
(1 + π) N-K
55
PRECIOS REALES Y CORRIENTES Ejemplo: El precio de un bien en el año 1995 es de 200 US$ (corriente). Expresar este precio en moneda de 1990 y del año 2000 considerando 3% como tasa de inflación. Precio corriente:
V1995 = 200 US$ de 1995
Precio constante, base 1990: 200 200 V19951990 = = = 172.5 US$ de 1990 (1.03) 1995-1990 (1.03) 5 Precio constante, base 2000: 200 V19952000 = = 200 (1.03) 5 = 231.9 US$ de 2000 (1.03) 1995-2000 200 US$ de 1995 = 172.5 US$ de 1990 = 231.9 US$ de 2000 Emilio Porras Sosa
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PRECIOS REALES Y CORRIENTES
172.5 US$ de 1990
200 US$ de 1995
1990
1995
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2000
1990
1995
2000
231.9 US$ del 2000
1990
1995
2000
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4 ANALISIS DE MERCADO
Emilio Porras Sosa
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Estudio de Mercado Mercado es el lugar donde converge la oferta y demanda de bienes y servicios. Determina la cantidad de bienes y servicios (actuales y futuras), provenientes de una nueva unidad productiva o de la ampliación de unidades existentes, que la comunidad consumiría. También proporciona los precios, el período y las formas de llegar a los demandantes. La información necesaria, las técnicas utilizadas, la profundidad y detalle del análisis depende de la etapa del proyecto para la cual se efectúa el estudio de mercado. Para estudio preliminar es suficiente el precio vigente en el mercado y un pronóstico sin mayor detalle. Para la etapa de prefactibilidad se recopila información histórica y consulta publicaciones relacionados al tema, la información que se reúne es de segunda mano. En el estudio de factibilidad es obligatorio efectuar investigación de campo; la información recogida debe ser actualizada, precisa y confiable. Las técnicas utilizadas en esta etapa son más sofisticadas y comprenden las fases de investigación, encuestas, experimentación y pronóstico. Emilio Porras Sosa
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Clasificación del Mercado Según el Número de Oferentes y Demandantes
O F E R E N T E S
UNO
DEMANDANTES POCOS
UNO
Monopolio Bilateral
Monopolio Parcial
Monopolio
POCOS
Monopsonio Parcial
Oligopolio
Oligopolio de la Oferta
MUCHOS
Monopsonio
Oligopsonio
Competencia Perfecta
Emilio Porras Sosa
MUCHOS
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Clasificación del Mercado Según la Intervención del Estado • No intervención Estatal: Si el mercado es de competencia perfecta (muchos oferentes y demandantes) se origina el "Mercado Perfecto"; en el que el precio y la cantidad son determinados por la libre concurrencia de los oferentes y demandantes. • Impuestos y Subsidios: En todos los países es práctica común la aplicación de impuestos, y en algunos los subsidios. Es la primera distorsión del Mercado Perfecto, los impuestos disminuyen la demanda (menor beneficio de oferentes) y los subsidios la incrementan (mayor beneficio de demandantes). • Control de Precios: Es una extrema distorsión del Mercado Perfecto. Origina desabastecimiento y escasez, con la consiguiente aparición de mercados negros o especulativos, donde los demandantes son los más perjudicados. • Control de Cantidades: Al igual que el control de precios, también es una desviación extrema del Mercado Perfecto y sus efectos son similares.
Emilio Porras Sosa
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Clasificación del Mercado Según su Tamaño El mercado puede ser local, regional, nacional o internacional. En mercados de gran tamaño las influencias individuales de sus componentes (oferta y demanda) se hacen relativamente no representativas, el ingreso de un nuevo oferente o demandante tendrá muy poca influencia en el precio. Cuando se estudian estos tipos de mercado es suficiente pronosticar el precio. Cuando los mercados son pequeños, el proyecto tiene cierta importancia en la determinación del precio y cantidad. En este caso es muy importante determinar la relación entre precios y cantidades. En el caso de mercados internacionales, aparte de determinar los precios FOB (Free on Board) y CIF (Custom, Insurance and Freight), es muy importante considerar los aranceles, impuestos y subsidios a las exportaciones o importaciones, según sea el caso. Emilio Porras Sosa
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Clasificación del Mercado Por las Características de los Productos Los mercados pueden ser de bienes o servicios. Estos a su vez pueden ser de consumo final, de consumo intermedio y bienes de capital. Cuando se trata de bienes o servicios de consumo final será de interés determinar la relación entre la cantidad y precios de dicho producto. En el caso de bienes y servicios de consumo intermedio y bienes de capital; en adición a la relación precio y cantidad, es importante determinar la demanda incremental originada por la demanda de los productos finales. La demanda de un colorante para bebidas estará fuertemente influenciada por la demanda de dichas bebidas, la demanda de unidades de conversión en la industria de petróleo (tipo FCC, craqueo catalítico fluido) estará fuertemente influenciada por la demanda de gasolina de alto octanaje, la demanda de telares estará determinada por la demanda de telas. Emilio Porras Sosa
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TOPICOS DEL ANALISIS DE MERCADO Definición del Producto: El primer paso del estudio de mercado es definir en forma precisa la naturaleza, características y calidad de los bienes o servicios que se producirán. La definición correcta del producto permitirá determinar en qué tipo de industria y mercado se desenvolverá la nueva unidad productiva. Los Consumidores: Los consumidores son la parte esencial del análisis de mercado y a ellos se deben la existencia de proyectos productores de bienes y servicios. Debe determinarse, con la mayor precisión posible, las características de los demandantes (personas, instituciones, empresas, etc.) que consumirán los bienes y/o servicios producidos por el proyecto. • Naturaleza de los consumidores (personas naturales, empresas, instituciones educativas, de salud, sanitarias, de investigación, etc.). • Distribución geográfica y concentración, también la cantidad de demandantes actuales y los potenciales. • Función de producción, consiste en analizar como el producto es utilizado, sirve para definir nuevas estrategias de marketing. Emilio Porras Sosa
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TOPICOS DEL ANALISIS DE MERCADO Competencia: Con la definición correcta del producto y el tipo de industria se identifica las empresas que producen productos similares y sustitutos y aquellas que pueden cambiar fácilmente su línea de producción. No debe perderse de vista el sector informal. • Número de empresas y tipo de propiedad (privada, estatal, pública, de derecho privado, accionariado difundido, etc.). • Concentración de la oferta. Que qué empresas controlan y cuánto. • Análisis de la competencia potencial (planes futuros). • Utilidades de las empresas (estabilidad de las utilidades y ratios financieros).
Barreras: El estudio de las barreras de entrada y/o salida permitirán determinar con anticipación la viabilidad de operación del proyecto. • • • • • •
Licencias y permisos de operación. Acceso al mercado de capitales. Disponibilidad y acceso a la materia prima, materiales e insumos. Aranceles y protección por parte del estado. Acceso a la tecnología (patentes). Protección del medio ambiente.
Emilio Porras Sosa
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FUNCIONES DE LA OFERTA Y DEMANDA Las funciones de la oferta y demanda son las relaciones entre el precio de los bienes y/o servicios y las cantidades ofrecidas o demandadas; esto no quiere decir que el precio es la única variable explicativa de la oferta o demanda, pero sí la más importante. Nomenclatura: P U Bmg Img Cu GT
Precio Utilidades Beneficio marginal Ingreso marginal Costo unitario Gasto total
Q B I CT Cmg Gmg
Cantidad (oferta o demanda) Beneficios Ingresos Costo total Costo marginal Gasto Marginal
Para eliminar los efectos distorsionantes de la inflación; los precios, ingresos, egresos, costos, gastos, etc.. deberán ser expresados en moneda real (moneda constante de un año base).
Emilio Porras Sosa
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Curva de la Función Oferta La función oferta es la ecuación que relaciona las cantidades ofrecidas y el precio al cual son vendidas, y es aquella que permite maximizar las utilidades del oferente. Ingresos: I = P*Q Utilidad: U = I - CT = P*Q - CT El precio (P) que determina la utilidad máxima, se calcula derivando la ecuación de la Utilidad con respecto a Q e igualando a cero. δU
δ CT = P -
δQ
= 0 δQ
Se define como costo marginal (Cmg) a la variación del costo total por la producción de una unidad adicional. δ CT / δ Q = Cmg Combinando las ecuaciones anteriores: Emilio Porras Sosa
P = Cmg = f(Q) 67
Curva de la Función Oferta La ecuación P = Cmg = f(Q) representará la función oferta sólo si el precio es superior al costo unitario, razón muy importante para definir la relación entre el costo unitario y el costo marginal. CT = Cu * Q Derivando: δ CT
δ Cu = Cmg = Cu + Q
δQ
δQ
La igualdad del Cmg y el Cu se dará cuando el segundo término del lado derecho de la ecuación sea nulo (δCu / δQ = 0), lo que implica que el punto de cruce de las curvas de Cmg y la de Cu es en el mínimo de los Cu. La función de la oferta quedará definida por la siguiente ecuación: Curva de la Oferta:
Emilio Porras Sosa
P = Cmg = f(Q)
para Cmg > CuMIN 68
Cmg, Cu (UM/Unidad)
Curva de la Función Oferta
va r Cu
de
la
O
ta r fe
Cmg
Cu
Cu Mínimo
Q Emilio Porras Sosa
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La oferta total en el mercado estará dada por la suma de las cantidades que ofrece cada oferente. Esta oferta total es conocida como oferta agregada (Qag). Para un determinado precio (P) cada oferente estará dispuesto a vender cierta cantidad (Qi) del bien o servicio; la demanda agregada, para el precio (P), será la suma de las ofertas (Qi).
Precio (P)
Oferta Agregada
Qag
Qag = Q1 + Q2 + .. + QN = f(P) Cantidad (Q)
Emilio Porras Sosa
70
Oferta del Proyecto y Oferta Agregada Ejemplo 4.1: Se ha encontrado que la oferta agregada existente tiene la siguiente ecuación: Q = 165 * P 0.5
donde: Q [TM/mes] y P [MUS$/TM]
Se dispone de un proyecto para producir el mismo producto, la ecuación de costos totales del proyecto está dada por la siguiente relación: Q3 CT =
+ 140
[MUS$/mes]
1875 Determinar la curva de oferta del proyecto y la oferta agregada con proyecto.
Emilio Porras Sosa
71
Oferta del Proyecto y Oferta Agregada Solución: La curva de la oferta del proyecto es igual a la curva de costos marginales. δCT Cmg =
3 Q2
Q2
= P = δQ
= 1875
625
Despejando la oferta del proyecto (Qp):
Qp = 25 P 0.5
La ecuación anterior representará la ecuación de la oferta si el precio (P) es mayor que el costo unitario mínimo. Q2
CT Cu =
= Q
δCu δQ
+ 1875
2Q =
140 Q
140 -
1875
Emilio Porras Sosa
= 0
Q = 50.82
Cu MIN = 4.13
Q2 72
Oferta del Proyecto y Oferta Agregada La Oferta del Proyecto (Qp) estará dado por: Qp = 25 P 0.5
para P > 4.13 MUS$/TM.
La curva de la oferta agregada con proyecto (Qcp),será la oferta sin proyecto (Qsp) más la del proyecto (Qp). Qcp = Qsp + Qp Qcp = 165 P 0.5 + 25 P 0.5 = 190 P 0.5 Para un precio de 4.5 MUS$/TM resulta: Qsp = 350.0 TM/mes Qp = 53.0 TM/mes Qcp = 403.0 TM/mes.
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73
Oferta del Proyecto y Oferta Agregada 8
P (MUS$/TM)
7
Qp
Qsp
Qcp
6
5
Qcp = Qsp + Qp 4 0
100
200
300
400
500
600
Q (TM/Mes)
Emilio Porras Sosa
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Curva de la Función Demanda La demanda es función de muchas variables como son el precio del bien o servicio, el precio de sustituto, ingreso familiar, ingreso per cápita, población, número de familias, créditos, etc. Q = f (P, Psus, Ing, Ing fam, Pob, Fam, etc.) Para un año determinado, todas las variables independientes,a excepción del precio, tienen un valor fijo convirtiéndose en constantes. Q = A f(P)
A es función de las otras variables.
El demandante, al igual que el oferente, maximizará sus utilidades. Utilidad del Demandante: U = B – GT
Gastos Totales: GT = P*Q
U = B - P*Q El precio (P) que determina la utilidad máxima del demandante, se obtiene derivando la ecuación anterior con respecto a Q e igualando a cero.
Emilio Porras Sosa
75
Curva de la Función Demanda δU
δB =
δQ
- P = 0 δQ
Beneficio Marginal (Bmg) es la variación del beneficio por el consumo de una unidad adicional. δB Bmg =
Función demanda: P = Bmg = f(Q) δQ
La función demanda [P = f(Q) ó Q = f*(Q)] supone que las otras variables explicativas de la demanda permanecen constantes. Los demandantes maximizarán sus utilidades si compran a un precio igual a su beneficio marginal. El beneficio marginal es decreciente con respecto a Q (pendiente negativa), esta tendencia es resultado de la menor disposición a pagar por las cantidades adicionales que se consumen. Emilio Porras Sosa
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Demanda Agregada (Qag): Al igual que la oferta agregada, la demanda agregada es la suma de las funciones demanda de cada consumidor y representa la relación del precio que los demandantes estarían dispuestos a pagar por una determinada cantidad de producto.
Precio (P)
Curva de la Función Demanda
P = Bmg
Qag = Q1 + Q2 + .. + QN = f(P) Cantidad (Q)
Emilio Porras Sosa
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Elasticidad (E) Elasticidad es la relación de la variación relativa (%, tanto por uno, etc.) de la demanda y el cambio relativo de una variable explicativa. ΔQ Q E=
δQ Q =
ΔX X
δ Ln(Q) =
δX X
δ Ln(X)
Cuando el valor de E es alto, se dice que la demanda (Q) es elástica con respecto a la variable X y pequeñas variaciones de X originan grandes variaciones de Q. Si el valor de E es pequeño se dice que la demanda (Q) es in-elástica respecto a la variable X. La elasticidad es muy importante para determinar los cambios en la demanda, cuando ocurren pequeños cambios en las variables explicativas. Existirán tantos tipos de elasticidad, como variables explicativas tenga la función demanda. Emilio Porras Sosa
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Elasticidad (E) Elasticidad al Precio.- Es la más importante y tiene signo negativo, un incremento en los precios traerá como consecuencia una retracción de la demanda. Elasticidad al Ingreso.- Es generalmente de signo positivo, el incremento de los ingresos (per cápita, familiar, sueldo mínimo, etc) incrementará la demanda. En ciertos casos poco frecuentes puede ser negativa, el incremento en los ingresos permitiría a los consumidores demandar productos de mejor calidad y mayores precios, cambiando los hábitos de consumo. Elasticidad al Precio del Sustituto.- A mayor precio del sustituto, la demanda por el producto será mayor, originando que esta elasticidad sea de signo positivo. Elasticidad a la Publicidad.- En la mayoría de los casos es de signo positivo, en ciertos casos la publicidad abundante puede traer desconfianza en los consumidores. La Elasticidad (E) es particular a cada consumidor o demandante; así por ejemplo, la demanda de alimentos de primera necesidad presentará una alta elasticidad al ingreso en los sectores deprimidos de la población; mientras que en los sectores de economía próspera presentará una baja elasticidad.
Emilio Porras Sosa
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MERCADO PERFECTO Mercado Perfecto es cuando hay libertad para que la Oferta y Demanda fijen precios y cantidades, es un mercado ideal que no se dá en el mundo real. Se le utiliza como referencia para comparar otros tipos de mercado (imperfecciones del Mercado Perfecto). Las condiciones para que se dé son: • Gran número de oferentes y demandantes, de tal manera que nadie controle precios ni cantidad. • El producto de los oferentes deben ser de la misma calidad (homogéneos), para evitar preferencias de los demandantes. • Libre entrada y salida de los oferentes y demandantes. • Libre determinación del precio y cantidad. • Perfecto conocimiento de los precios y cantidades por los oferentes y demandantes.
La cantidad ofrecida (QO) es igual a la demandada (QD), de la misma manera los precios de la oferta y demanda son iguales. QO = QD Emilio Porras Sosa
PO = PD 80
Mercado Perfecto Es regla general que la cantidad demandada es igual a la cantidad ofrecida. En el caso de mercado perfecto el precio que paga el demandante (beneficio marginal) es el mismo que recibe el oferente (costo marginal).
Precio (P)
O
P
D
Q Cantidad (Q) Emilio Porras Sosa
81
Efecto del Proyecto en el Mercado Perfecto
Qcp = Qsp + Qp
Osp
Ocp
Precio (P)
El proyecto al ingresar al mercado incrementará la oferta agregada, lo que originará una disminución en el precio y un crecimiento del mercado (incremento de la cantidad comercializada).
Po
D
P
Qsp
Qo
Q
Cantidad (Q)
Emilio Porras Sosa
82
Mercado Perfecto Ejemplo 2: En el Ejemplo 1 determinar, en un Mercado Perfecto, cuánto y a qué precio vende la oferta existente (oferta sin proyecto). Se ha encontrado que la demanda agregada tiene la siguiente ecuación: Q = 10000 * P -1.5 Solución:
Demanda: Oferta:
donde: Q [TM/mes] y P [MUS$/TM] QD = 10000 P -1.5 QO = 165 P 0.5
PD = 464.16 Q 2/3 PO = 165 -2 Q 2
Mercado Perfecto: QD = QO = Q y PD = PO = P QD = QO = Q = 10000 P -1.5 = 165 P 0.5 Resolviendo: P = 7.785 MUS$/TM Q = QD = QO = 165 * (7.785) Emilio Porras Sosa
0.5
= 460.38 TM/mes 83
Mercado Perfecto Ejemplo 3: En el Ejemplo 2 determinar, en un Mercado Perfecto, cuánto y a qué precio se comercializa con el proyecto. Solución: La oferta con proyecto se determinó en el Ejemplo 1: Oferta sin proyecto
Qsp = 165 P 0.5
Oferta del proyecto
Qp = 25 P 0.5
Oferta con proyecto
Qcp = Qsp + Qp = 190 P 0.5
En el mercado perfecto: QD = QO = Q = 10000 P -1.5 = 190 P 0.5 Resolviendo: P = 7.255 MUS$/TM Qcp = 190 * (7.255) 0.5 = 511.76 TM/mes Qsp = 165 * (7.255) 0.5 = 444.42 TM/mes Qp = 25 * (7.255) 0.5 = 67.34 TM/mes Emilio Porras Sosa
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MERCADO CON SUBSIDIO En este de mercado el demandante paga un precio inferior al que recibe el oferente, la diferencia es cubierta por el Estado. Los subsidios son para fomentar el consumo y favorecer a las clases más necesitadas. El efecto directo del subsidio es incrementar el beneficio de los demandantes. Generalmente el subsidio se expresa como un porcentaje del precio recibido por el oferente (PO). Sea la tasa de subsidio t, la relación entre el precio de la oferta (PO) y el precio subsidiado (PSUB) estará dada por: SUBSIDIO = t * PO
PO = PSUB + SUBSIDIO
PSUB = PO * (1-t)
En el mercado el demandante pagará el precio subsidiado: PD = PSUB El consumo (demanda) es mayor debido a que el precio que paga el demandante es menor, el precio y las ventas del oferente son mayores que en el Mercado Perfecto. El subsidio incrementa los beneficios y utilidades de los oferentes y demandantes; este incremento en las utilidades es aportado por el Estado. Emilio Porras Sosa
85
Mercado con Subsidio O
Precio (P)
SUBSIDIO
PO
PD = PSUB
PSUB
D
Q
Cantidad (Q) Emilio Porras Sosa
86
Mercado con Subsidio Ejemplo 4: En el Ejemplo 2, considerar un mercado subsidiado (subsidio 10%) en lugar de Mercado Perfecto. Determinar cuánto y a qué precio vende la oferta existente (oferta sin proyecto). Solución: Las funciones oferta y demanda (Q [TM/mes] y P [MUS$/TM]) son: Demanda:
QD = 10000 P-1.5
PD = 464.16 Q -2/3
Oferta:
QO = 165 P 0.5
PO = 165 -2 Q 2
PSUB = PO * (1-t) PSUB = (1-0.1) * 165 -2 Q 2 En el Mercado: PD = PSUB
PSUB = 173.93 -2 Q 2
464.16 Q -2/3 = 173.93 -2 Q 2
Resolviendo: Q = QD = QO = 478.93 TM/mes PD = PSUB = 173.93 -2 * (478.93) 2 = 7.583 MUS$/TM PO = 1.111 PSUB = 165 -2 (478.93) 2 = 8.425 MUS$/TM SUBSIDIO = PO - PSUB = 0.1 PO = 0.843 MUS$/TM Emilio Porras Sosa
87
Mercado con Subsidio Ejemplo 5: En el Ejemplo 4 determinar cuánto y a qué precio se comercializa con el proyecto. Solución: Demanda: Oferta:
QD = 10000 P-1.5
PD = 464.16 Q -2/3
Qcp = QO = 190 P 0.5
PO = 190 -2 Q 2
PSUB = PO * (1-t) PSUB = (1-0.1) * 190 -2 Q 2 En el Mercado: PD = PSUB
PSUB = 200.27 -2 * Q 2
464.16 Q -2/3 = 200.24 -2 Q 2
Resolviendo: Q = QD = QO = 532.38 TM/mes PD = PSUB = 200.24 -2 * (532.38) 2 = 7.067 MUS$/TM PO = 1.111 PSUB = 190 -2 * (532.38) 2 = 7.851 MUS$/TM SUBSIDIO = PO - PSUB = 0.1 PO = 0.785 MUS$/TM Qsp = 165 * (7.851) 0.5 = 462.33 TM/mes Qp = 25 * (7.851) 0.5 = 70.05 TM/mes Emilio Porras Sosa
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MERCADO CON IMPUESTOS La aplicación de impuestos (captación de recursos del Estado) es común en todos los mercados, representando la primera distorsión del Mercado Perfecto. Los impuestos encarecen los productos y disminuyen las utilidades y beneficios de oferentes y demandantes, el efecto inmediato es la retracción de la demanda. Generalmente el impuesto se expresa como un porcentaje del precio recibido por el oferente (PO). Sea la tasa de impuesto t, la relación entre el precio de la oferta (PO) y el precio con impuesto (PIMP) estará dada por: IMPUESTO = t * PO
PIMP = PO + IMPUESTO
PIMP = PO * (1+t)
Al darse la transacción en el mercado (convergencia de la oferta y demanda) el precio pagado por los demandantes será igual al precio con impuesto. PD = PIMP Emilio Porras Sosa
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Mercado con Impuestos
O
PD = PIMP
PO
IMPUESTO
Precio (P)
PIMP
D
Q
Cantidad (Q) Emilio Porras Sosa
90
Mercado con Impuestos Ejemplo 6: En el Ejemplo 2, considerar una tasa de impuesto del 10% y determinar cuánto y a qué precio vende la oferta existente (oferta sin proyecto). Solución:
Demanda:
QD = 10000 P-1.5
PD = 464.16 Q -2/3
Oferta:
QO = 165 P 0.5
PO = 165 -2 Q 2
PIMP = PO (1+t) En el mercado: PD = PIMP
PIMP = (1+0.1) * 165 -2 Q 2
PIMP = 157.32 -2 * Q 2
464.16 Q -2/3 = 157.32 -2 Q 2
Resolviendo: Q = QD = QO = 444.21 TM/mes PD = PIMP = 157.32 -2 * (444.21) 2 = 7.973 MUS$/TM PO = 0.909 PIMP = 165 -2 * (444.21) 2 = 7.248 MUS$/TM IMPUESTO = PIMP - PO = 0.1 * PO = 0.725 MUS$/TM
Emilio Porras Sosa
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Mercado con Impuestos Ejemplo 7: En el Ejemplo 6 determinar cuánto y a qué precio se comercializa con el proyecto. Solución:
Demanda:
QD = 10000 P-1.5
PD = 464.16 Q -2/3
Oferta:
Qcp = QO = 190 P 0.5
PO = 190 -2 Q 2
PIMP = PO (1+t) En el mercado: PD = PIMP
PIMP = (1+0.1) * 190 -2 Q 2
PIMP = 181.16 -2 Q 2
464.16 Q -2/3 = 181.16 -2 Q 2
Resolviendo: Q = QD = QO = 493.79 TM/mes PD = PIMP = 181.16 -2 * (493.79) 2 = 7.430 MUS$/TM PO = 0.909 * PIMP = 190 -2 * (493.79) 2 = 6.754 MUS$/TM IMPUESTO = PIMP - PO = 0.1 PO = 0.675 MUS$/TM Qsp = 165 * (6.754) 0.5 = 428.82 TM/mes Qp = 25 * (6.754) 0.5 = 64.97 TM/mes Emilio Porras Sosa
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MERCADO CON CONTROL DE PRECIOS El control de precios es una distorsión extrema del Mercado Perfecto. El Estado controla los precios de ciertos productos con la finalidad de fomentar su consumo, en especial en las clases de bajos ingresos económicos, el precio fijado siempre es menor al determinado en un Mercado Perfecto. Cuando no existen los medios adecuados para orientar y controlar la comercialización, se distorsiona el objetivo y se crea escasez y sobreprecio, lo que da origen a la especulación y a la aparición de mercados negros, donde los beneficiarios son los especuladores y los perjudicados son los sectores de menores ingresos (el objetivo del control de precios es favorecer a estos sectores). Los precios del mercado negro muchas veces resultan inalcanzables para determinados sectores de la sociedad (clase de bajos ingresos).
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Mercado con Control de Precios
Emilio Porras Sosa
O
Precio (P)
En la figura se aprecia que el precio controlado (PC) es inferior al determinado por el Mercado Perfecto. A este precio la Demanda requiere de QD y la Oferta proporciona QO; se observa que QD es mayor que QO, esta diferencia crea escasez. La Demanda estará dispuesta a pagar PD, conocido como precio de mercado negro PMN y que es mayor que PC, por la cantidad ofrecida QO, originando sobreprecio.
PD = PMN Precio Controlado PO = PC
D
QO
QD
Cantidad (Q)
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Mercado con Control de Precios Ejemplo 8: En el Ejemplo.2, considerar que el precio controlado es 7 MUS$/TM y determinar cuánto y a qué precio vende la oferta existente (oferta sin proyecto). Solución:
Demanda:
QD = 10000 P -0.5
PD = 464.16 Q -2/3
Oferta:
QO = 165 P 0.5
PO = 165 -2 Q 2
Reemplazando el precio controlado PC = 7.00 MUS$/TM: QD = 10000 * (7.0) -1.5 = 539.95 TM/mes QO = 165 * (7.0) 0.5 = 436.55 TM/mes La Demanda, para adquirir QO, pagará un precio igual a su Bmg: PD = 464.16 * (436.55) -2/3 PMN = PD = 8.066 MUS$/TM
Emilio Porras Sosa
95
Mercado con Control de Precios Ejemplo 9: En el Ejemplo 8 determinar cuánto y a qué precio se comercializa con el proyecto. Solución:
Demanda:
QD = 10000 P -1.5
PD = 464.16 Q -2/3
Oferta:
Qcp = QO = 190 P 0.5
PO = 190 -2 Q 2
Reemplazando el precio controlado PC = 7.00 MUS$/TM, Q en [`TM/mes]: QD = 10000 * (7.0) -1.5 = 539.95
Qcp = 190 * (7.0) 0.5 = 502.69
Qsp = 165 * (7.0) 0.5 = 436.55
Qp = 25 * (7.0) 0.5 = 66.15
La Demanda, para adquirir Qcp, pagará un precio igual a su Bmg: PD = 464.16 * (502.69) -2/3 PMN = PD = 7.342 MUS$/TM
Emilio Porras Sosa
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MERCADO MONOPÓLICO El monopolista como único oferente tiene el poder de manejar la oferta y el precio. No vende a su costo marginal (Cmg), sino al precio que los demandantes estarían dispuestos a pagar (PD). Sus ingresos estarán dados por el producto de la cantidad vendida por el precio que recibe (PD). I = PD * Q
Utilidad del monopolio: U = I - CT
El monopolio venderá la cantidad que le permitirá maximizar sus utilidades: δU
δ I =
δ CT -
δQ
δQ
= 0
Img = Cmg
δQ
La ecuación anterior indica que el monopolista maximiza sus utilidades cuando su ingreso marginal (Img) es igual a su costo marginal (Cmg). δ (PD * Q) Img = δQ
Emilio Porras Sosa
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Mercado Monopólico
O = Cmg
Precio (P)
PD = PM
D = Bmg
PO
Img
Q
Cantidad (Q) Emilio Porras Sosa
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Mercado Monopólico Ejemplo 10: En el Ejemplo 2, considerar un mercado monopólico. Determinar cuánto y a qué precio vende la oferta existente (oferta sin proyecto). Demanda: QD = 10000 P -1.5
Solución:
Oferta:
PD = 464.16 Q -2/3
QO = 165 P 0.5
Cmg = PO = 165 -2 Q 2
El ingreso del monopolio: I = PD * Q = 464.16 Q -2/3 Q = 464.16 Q 1/3 δ (464.16 * Q 1/3 ) = 154.72 Q -2/3
Img = δQ Máximas utilidades : Img = Cmg Resolviendo:
154.72 Q -2/3 = 165 -2 Q 2
Q = QD = QO = 304.93 TM/mes
PD = PMONOPOLIO = 464.16 * (304.93) 1/3 = 10.246 MUS$/TM PO = 165 -2 * (304.93) 2 = 3.415 MUS$/TM Emilio Porras Sosa
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Mercado Monopólico Ejemplo 11: En el Ejemplo 6 determinar cuánto y a qué precio se comercializa con proyecto. Solución:
Demanda: QD = 10000 P -1.5 Oferta:
QO = 190 P 0.5
PD = 464.16 Q -2/3 Cmg = PO = 190 -2 Q 2
El proyecto se comportará frente al monopolio de dos formas, competirá o se le unirá. Si compite y es representativo se tenderá al Mercado Perfecto o será totalmente desplazado por el monopolio, si se colude al monopolio su comportamiento será similar: I = PD Q = 464.16 Q -2/3 Q = 464.16 Q -1/3 Sus utilidades serán máximas si: Img = Cmg Resolviendo:
Img = 154.72 Q -2/3 154.72 Q -2/3 = 190 -2 Q 2
Q = QD = QO = 338.96 TM/mes
PD = PMONOPOLIO = 464.16 * (338.96) -2/3 = 9.548 MUS$/TM PO = 190 -2 * (338.96) 2 = 3.183 MUS$/TM Emilio Porras Sosa
100
MERCADO MONOPSÓNICO El monopsonio (un solo demandante) gobierna los precios variando su volumen de compras. El monopsonio compra al precio que aceptaría la oferta y no a su beneficio marginal (Bmg). El gasto del monopsonio está dado por el producto de la cantidad demandada (Q) y el precio que paga. Este precio viene a ser el precio del oferente (PO): GT = PO Q
La utilidad del monopsonio: U = B - GT
El monopsonio vende la cantidad que maximiza sus utilidades: δU
δB =
δ GT -
δQ
δQ
= 0
Bmg = Gmg
δQ
El monopsonio maximiza utilidades cuando su beneficio marginal (Bmg) es igual a su gasto marginal (Gmg); y su Gasto está dado por el producto de PO y la cantidad comprada (Q): δ (PO Q) Gmg = δQ
Emilio Porras Sosa
101
Mercado Monopsónico
Precio (P)
Gmg
O = Cmg PD
D = Bmg
PO = Pm Q
Cantidad (Q) Emilio Porras Sosa
102
Mercado Monopsónico Ejemplo 12: En el Ejemplo 2, considerar un mercado monopsónico (en lugar de Mercado Perfecto). Determinar cuánto y a qué precio vende la oferta existente (oferta sin proyecto). Demanda: QD = 10000 P -1.5
Solución:
Oferta: Gastos del monopsonio:
PD = 464.16 Q -2/3
QO = 165 P 0.5
Cmg = PO = 165 -2 Q 2
GT = PO Q = 165 -2 Q 2 Q = 165 -2 Q 3
δ (165 -2 Q 3) = 95.26 -2 Q 2
Gmg = δQ
Máximas utilidades: Gmg = Bmg Resolviendo:
95.26 -2 Q 2 = 464.16 Q -2/3
Q = QD = QO = 304.93 TM/mes
PD = 464.16 * (304.93) -2/3 = 10.246 MUS$/TM PO = PMONOPSONIO = 165 -2 * (304.93) 2 = 3.415 MUS$/TM Emilio Porras Sosa
103
Mercado Monopsónico Ejemplo 13: En el Ejemplo 6 determinar cuánto y a qué precio se comercializa con el proyecto. Solución:
Demanda: Oferta:
Gastos del monopsonio:
QD = 10000 P-1.5 Qcp = QO = 190 P 0.5
PD = 464.16 Q -2/3 PO = 190 -2 Q 2
GT = PO Q = 190 -2 Q 2 Q = 190 -2 Q 3
δ (190 -2 Q 3) = 109.70 -2 Q 2
Gmg = δQ
Máximas utilidades: Gmg = Bmg Resolviendo:
109.70 -2 Q 2 = 464.16 Q -2/3
Q = QD = QO = 338.96 TM/mes
PD = 464.16 * (338.96) -2/3 = 9.548 MUS$/TM PO = PMONOPSONIO = 190 -2 * (338.96) 2 = 3.183 MUS$/TM La función oferta del proyecto es válida sólo si el precio es superior a 4.13 Emilio Porras Sosa
104
Comparación Oferta Actual (sin Proyecto)
QSP = 165 * P 0.5
Po = ( QSP / 165) 2
Proyecto
CT = Q 3 /1875 + 140
Cmg = 3 Q 2 / 1875
Oferta Con Proyecto
QCP = 190 * P 0.5
Po = ( QCP / 190) 2
Demanda
QD = 10000 P-1.5
PD = (10000/Q)2/3
M. Perfecto
QSP QP QD P0 PD
M. con Impuesto
M. Subsidiado
Qp = 25 * P 0.5
M. Monopólico
Sin Poyecto
Con Proyecto
Sin Poyecto
Con Proyecto
Sin Poyecto
Con Proyecto
Sin Poyecto
460.38
444.42 67.34 511.76 7.255 7.255
444.21
428.82 64.97 493.79 6.754 7.430
478.93
462.33 70.05 532.38 7.851 7.067
304.93
460.38 7.785 7.785
Emilio Porras Sosa
444.21 7.248 7.973
478.93 8.425 7.583
304.93 3.415 10.246
Con Proyecto
M. Monopsónico Sin Poyecto
Con Proyecto
304.93 338.96 3.183 9.548
304.93 10.246 3.415
No Ex. 338.96 9.548 3.183
105
SECUENCIA DEL ESTUDIO DE MERCADO Tecnología BUSQUEDA DE INFORMACION (Muestreo) EL PRODUCTO
Los Consumidores
Ambito Espacial
Canales de Comercialización
Cantidades Consumidas Cantidades Producidas Precios, Precios del sustituto Ingresos, PBI Población, N° de familias Imperfecciones del mercado Elasticidades
BÚSQUEDA DE MODELOS EXPLICATIVOS Análisis de Correlación
Oferta Agregada
Demanda Agregada
Marco Institucional Demanda para el proyecto
MODELO DEFINITIVO Emilio Porras Sosa
Modelos de Pronóstico 106
METODO ESTADISTICO DE ESTIMACION DE LA DEMANDA La finalidad es establecer la ecuación de la demanda en función de todas las variables explicativas. El método es válido para los diferentes bienes y servicios, sean de consumo final, consumo intermedio, bienes duraderos o bienes de capital. Variables Explicativas: El primer paso es determinar la relación de todas las variables explicativas, las variables dependientes están muy relacionadas con el tipo de producto. En el caso de bienes intermedios y de capital, una variable explicativa importante es la demanda del bien final, la demanda de telares dependerá de la demanda de telas. La demanda de cemento será función del crecimiento del sector construcción. La demanda de estos bienes también dependerá del crecimiento de las empresas que la utilizan. En el caso de bienes de capital, en adición, también se debe considerar la frecuencia de reposición de estos bienes en las empresas que la utilicen. Emilio Porras Sosa
107
Método Estadístico de Estimación de la Demanda
Variables Precio Ingreso Percapita Ingreso Familiar Población Nro de Familias Precio del Sustituto Publicidad Crédito Obsolescencia Intereses Tecnología Usos de Capacidad Bien Final Indicadores Macroeconómicos
Emilio Porras Sosa
Bienes de Consumo Bienes de Consumo no Duraderos Duraderos XXX XXX XXX X X XXX XXX X X XXX XXX XXX X XXX XXX XX
XX
Bienes Intermedios XXX
Bienes de Capital XX
XXX
XX XXX XXX XXX XXX XXX XXXX XXXX
XXX
XXXX
XX XX
108
Método Estadístico de Estimación de la Demanda Búsqueda de la Información Histórica: Identificadas las variables explicativas se procede a la búsqueda de la información histórica de demanda y de sus correspondientes variables explicativas. Esta búsqueda se realiza en publicaciones, revistas, estadísticas, etc. especializadas. Las variables en unidades monetarias deben ser expresadas en moneda real . La información debe presentarse en forma tabular o matricial : Año
Demanda Precio (Q) (P)
Ingreso (Ing)
Población (Pob)
Precio del Sustituto (Ps)
1990 1991 1992 .. .. 2005 Emilio Porras Sosa
109
Método Estadístico de Estimación de la Demanda Formulación de la Función Demanda: Consiste en encontrar las ecuaciones que mejor representen la relación entre la demanda (Q, variable dependiente o explicada) y las variables explicativas. Las ecuaciones son determinadas mediante el ajuste de curvas (regresión o ajuste mínimos cuadrados). Se establecen ecuaciones con todas las combinaciones de las variables independientes, a veces se utiliza como variable explicativa la demanda del pasado. A continuación se muestra algunas ecuaciones típicas: Q = a + b P + c Ing + d Pob + e Ps Q = a + b Ln(P) + c Ln(Ing) + d Ln(Pob) + e Ln(Ps) Ln(Q) = a + b P + c Ing + d Pob + e Ps Ln(Q) = a + b Ln(P) + c Ln(Ing) + d Ln(Pob) + e Ln(Ps) La regresión de los datos se efectúa mediante el uso de paquetes estadísticos y proporciona las constantes de las ecuaciones (a, b, c, d, e, etc.) y los indicadores estadísticos (R2, desviación estándar, T estadístico, Durbin-Watson, F estadístico, etc.).
Emilio Porras Sosa
110
Método Estadístico de Estimación de la Demanda Análisis de la Regresiones: Consiste en seleccionar, de todas las ecuaciones determinadas en el paso anterior, aquellas que cuentan con el mejor significado estadístico y que mejor representen la relación entre la demanda y las variables explicativas. Elegido las mejores ecuaciones desde el punto de vista estadístico, se analiza el sentido económico de cada una de ellas. Sentido económico es criterio común en economía, el concepto de elasticidad es muy importante en este análisis; si en una ecuación la elasticidad al precio es positiva, está será desechada por no tener sentido económico. Como resultado de la verificación del sentido económico, el número de ecuaciones de demanda se reduce a 3 ó 4; de las cuales se elegirá aquella que tenga el más alto significado estadístico y a la vez sea sencilla. Si los términos de la ecuación no guardan un correcto sentido económico, a pesar que la ecuación posee valores altos de los indicadores estadísticos, deberá se rechazada.
Emilio Porras Sosa
111
Método Estadístico de Estimación de la Demanda Ejemplo14: Se ha efectuado el ajuste de la información histórica para la demanda y se ha encontrado la siguiente ecuación que tiene un significado estadístico sumamente alto, verificar su sentido económico.: Q = 134 + 0.156 Ln(P) + 0.00051 Ing - 1.0001 Ln (Pob) + 0.01 Ps Solución: Precio: Según la ecuación al subir el precio del producto, subirá la demanda (elasticidad positiva). No tiene sentido económico. Ingreso: Un incremento en el ingreso de la población incrementará la demanda (elasticidad positiva). Tiene sentido económico. Población: El crecimiento de la población retrae la demanda (elasticidad negativa). No tiene sentido económico. Precio del sustituto: El incremento en el precio del sustituto incrementará la demanda (elasticidad positiva). Tiene sentido económico. Por lo tanto, la ecuación anterior es rechazada por no tener sentido económico. Emilio Porras Sosa
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Método Estadístico de Estimación de la Demanda Pronóstico de la Variables Explicativas: Para el pronóstico de la demanda se debe contar con la proyección de todas las variables explicativas, algunas son micro-económicas y/o macroeconómicas. Muchas de estas variables dependen de las políticas seguidas por el gobierno (PBI, PBI sectoriales, Exportaciones, Importaciones, Inflación, devaluación, tasa de cambio, etc.), otras son obtenidas de los Censos (población, familias, tasa de crecimiento de la población, etc.). Las proyecciones de estas variables, deben ser obtenidas de informaciones estadísticas y publicaciones especializadas; el proyectista no debe pronosticar estas variables, y en su defecto debe evitar su proyección. La presentación de las proyecciones de las variables explicativas, al igual que la información histórica, se efectúa en forma tabular o matricial. El valor de algunas dependen del crecimiento de la economía, lo que da origen a los escenarios; generalmente se tratan de escenarios optimista, moderado y pesimista y habrán tantas tablas de proyecciones de la variables independientes como escenarios haya. Emilio Porras Sosa
113
Método Estadístico de Estimación de la Demanda Ecuación de Pronóstico de la Demanda: La ecuación de pronóstico de demanda se determina reemplazando las proyecciones de las variables independientes, excepto el precio, en la ecuación genérica elegida en le paso "análisis de regresiones". Este procedimiento se repite para cada año de operación del proyecto, determinándose tantas ecuaciones como períodos de operación tenga el proyecto. QJ = AJ f(PJ) Donde:
Q A P J
Demanda Constante que depende del valor de las variables explicativas excepto el precio Precio Año de operación
Para un mismo año de operación, habrán tantas funciones de demanda como escenarios se hayan considerado. La demanda y precio para cada año se determinará con las ecuaciones de demanda y oferta agregada. Emilio Porras Sosa
114
Método Estadístico de Estimación de la Demanda Ejemplo 15: En el siguiente cuadro se detalla la demanda histórica de gasolinas y sus posibles variables explicativas, la demanda está dada en miles de barriles por día (MB/DC), el precio en UM del año 16 por galón , el parque automotor a gasolina en miles, el producto bruto interno en millones de UM del año 16 y la población en miles. Encontrar la ecuación que mejor represente la relación entre la variables independientes y la demanda de gasolinas. En la siguiente tabla se muestra la información histórica de las variables relevantes: • • • • •
DEMAND: En miles de barriles por día calendario (MBDC). PRECIO: En unidades monetarias por galón (UM/GLL). PARQUE: Parque automotor (Miles). PBI: Producto Bruto Interno en millones (MM UM). POBLACION: En miles de habitantes (Miles).
Emilio Porras Sosa
115
Método Estadístico de Estimación de la Demanda
AÑO 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Emilio Porras Sosa
DEMANDA PRECIO (MBDC) (UM/GLL) 27.9 7.48 27.0 7.88 27.1 7.74 28.5 6.19 29.9 5.90 29.5 6.52 26.8 7.68 27.1 7.61 25.8 9.63 28.0 8.26 30.4 5.84 29.0 5.04 27.0 2.40 25.7 3.84 25.8 3.61 25.9 3.25
PARQUE (Miles) 472.13 472.66 473.97 486.97 520.62 554.01 566.48 565.10 566.17 574.65 578.64 577.47 573.94 572.35 592.12 623.98
PBI (MM UM) 144.652 145.059 153.483 160.365 167.449 163.404 146.626 153.687 157.168 171.693 186.226 170.684 150.870 143.546 147.285 143.308
POBLACION (Miles) 16004 16435 16867 17295 17720 18144 18558 18992 19417 19840 20261 20684 21113 21550 21998 22454
116
Método Estadístico de Estimación de la Demanda Solución: Se efectuará el análisis de regresión para diferentes ecuaciones e inmediatamente se efectuará el análisis del sentido económico, la nomenclatura a utilizar será la siguiente: Q P PBI POB PAR PBIP
Demanda de gasolinas Precio de la gasolina Producto bruto interno Población Parque automotor a gasolina Producto Bruto Interno per cápita
a) Función lineal con el precio: QJ = 27.95 + 0.0795 PJ
R2 = 0.0117 Durbin-Watson = 1.0082 F Estadístico = 0.1662
La ecuación anterior tiene pobre sentido estadístico, tampoco tiene sentido económico ya que la elasticidad al precio es positiva, por tanto la ecuación es rechazada. Emilio Porras Sosa
117
Método Estadístico de Estimación de la Demanda b) Función lineal con el precio y el parque QJ = 31.34 + 0.0045 PJ - 0.0068 PARJ
R2 = 0.0479 Durbin-Watson = 1.0119 F Estadístico = 0.3268
La ecuación anterior muestra pobre significado estadístico y no tiene sentido económico, por lo que es rechazada. c) Función lineal con el precio, el parque y el PBI QJ = 19.41 - 0.1863 PJ - 0.0145 PARJ + 0.1104 PBIJ R2 = 0.8083 Durbin-Watson = 1.0369 F Estadístico = 16.8624 La ecuación anterior tiene un aceptable significado estadístico pero no tiene sentido económico con la variable parque automotor a gasolina (elasticidad negativa).
Emilio Porras Sosa
118
Método Estadístico de Estimación de la Demanda d) Función lineal con el precio, el parque, el PBI y la población QJ = 23.68 - 0.5316 PJ + 0.0230 PARJ + 0.1039 PBIJ - 0.0011 POBJ R2 = 0.8083
Durbin-Watson = 1.0369
F Estadístico = 16.8624
La ecuación anterior tiene un aceptable significado estadístico pero no tiene sentido económico con la variable población (elasticidad negativa). En las siguientes ecuaciones consideraremos como variable explicativa el Producto Bruto Interno per cápita (PBIP). e) Función lineal con el precio, el parque y el PBIP QJ = 0.548 - 0.4255 PJ + 0.0197 PARJ + 2285.8755 PBIPJ R2 = 0.9766
Durbin-Watson = 2.0423
F Estadístico = 152.727
La ecuación anterior tiene un alto significado estadístico y tiene sentido económico. Esta ecuación explica la demanda de gasolinas con bastante aceptación.
Emilio Porras Sosa
119
Método Estadístico de Estimación de la Demanda f) Relación semi logarítmica con el precio, el parque y el PBIP QJ = 58.58 - 2.484 Ln(PJ) + 10.358 Ln(PARJ) + 18.715 Ln(PBIPJ) R2 = 0.9488
Durbin-Watson = 2.4266
F Estadístico = 67.9629
La ecuación anterior tiene una alta significancia estadística y tiene sentido económico. g) Relación semi logarítmica de la demanda con el precio, el parque y el PBIP Ln(QJ) = 2.354 - 0.01516 PJ + 0.00069 PARJ + 81.8354 PBIPJ R2 = 0.9753
Durbin-Watson = 2.0469
F Estadístico = 144.6226
La ecuación anterior tiene una alta significancia estadística y tiene sentido económico.
Emilio Porras Sosa
120
Método Estadístico de Estimación de la Demanda h) Relación doble logarítmica de la demanda con el precio, el parque y el PBIP Ln(QJ) = 4.397 - 0.089 Ln(PJ) + 0.365 Ln(PARJ) + 0.671 Ln(PBIPJ) R2 = 0.9503
Durbin-Watson = 2.4641 F Estadístico = 70.1201
La ecuación anterior tiene un alta significado estadístico y tiene sentido económico. De todas las relaciones que tienen sentido económico, la que tiene la más alto significado estadístico y es la ecuación más sencilla es la función: QJ = 0.548 - 0.4255 PJ + 0.0197 PARJ + 2285.8755 PBIPJ Las relaciones anteriores pueden ser mejoradas considerando, como otra variable explicativa la demanda del período anterior (QJ-1). Emilio Porras Sosa
121
Método Estadístico de Estimación de la Demanda Ejemplo 16: Con la ecuación de demanda del Ejemplo 15 y el pronóstico de las variables explicativas, determinar la ecuación de la demanda como función del precio para los años 17 al 24. A continuación se detalla las proyecciones de las variables independientes.
Año 17 18 19 20 21 22 23 24
Emilio Porras Sosa
PARQUE (Miles) 649.44 670.65 689.79 706.52 724.13 742.34 761.71 779.47
PBI (MM UM) 147.894 153.514 153.207 159.335 170.011 177.661 187.255 197.367
POBLACION (Miles) 22926 23384 23852 24329 24815 25312 25793 26283
122
Método Estadístico de Estimación de la Demanda Solución: Reemplazando el valor de las variables explicativas en la ecuación determinada en el Ejemplo 15, se obtienen las ecuaciones de la función demanda, de la forma Q = f (P), para los años 17 a 24. Año 17 Año 18 Año 19 Año 20 Año 21 Año 22 Año 23 Año 24
P= P= P= P= P= P= P= P=
66.0554 - 2.3507*Q 67.6492 - 2.3507*Q 67.7785 - 2.3507*Q 69.2289 - 2.3507*Q 71.6666 - 2.3507*Q 73.4132 - 2.3507*Q 75.6088 - 2.3507*Q 77.7714 - 2.3507*Q
En la Figura siguiente se muestran las curvas de demanda de acuerdo a las ecuaciones anteriores.
Emilio Porras Sosa
123
Método Estadístico de Estimación de la Demanda 10 9
Precio (UM/Gll)
8 7 6 5 4 3
Año 17
2
18
19
20
21
22
23
24
1 0 25
26
27
28
29
30
31
32
33
Demanda de Gasolina (MBDC) Emilio Porras Sosa
124
5 INVERSION EN CAPITAL FIJO Y CAPITAL DE TRABAJO
Emilio Porras Sosa
125
INVERSION EN CAPITAL FIJO Y CAPITAL DE TRABAJO La inversión incluye dos conceptos completamente diferentes, uno se refiere a los costos que se incurren para construir el proyecto y el otro se refiere al capital necesario para garantizar el normal desarrollo del proceso productivo. La inversión fija o capital fijo permanece colocada durante todo el horizonte de planeamiento, mientras que la inversión en capital de trabajo o capital circulante cambia su valor durante la etapa de operación del proyecto. Activo Fijo Capital Fijo Intangibles Inversión Activo Circulante Capital de Trabajo Pasivo Circulante Emilio Porras Sosa
126
INVERSION EN CAPITAL FIJO Esta inversión generalmente se realiza en la etapa de preoperación de un proyecto e involucra todos los costos incurridos durante la pre-inversión y construcción hasta completar el último detalle que permita la operación segura y confiable de la planta. Como ya se mencionó esta inversión permanece colocada durante toda la vida del proyecto y esta compuesta por estudios, equipos, maquinarias, terreno, edificios, etc.. Durante la pre-operación se incurren en costos para la adquisición de bienes que son identificables al final del proceso de construcción, como por ejemplo: edificios, equipos, vehículos, maquinarias, terreno, etc.., esta fracción de la inversión fija se denomina Activo Fijo. La fracción de la Inversión Fija que no es identificable al término de la construcción se denomina Intangibles y está compuesto por los costos de los estudios (posteriores al momento del estudio que se está realizando), asesorías, gastos pre-operativos, etc. Emilio Porras Sosa
127
Componentes del Capital Fijo Activo Fijo:
Terreno (no se deprecia) Edificios y obras civiles Maquinarias y equipo Vehículos Muebles y enseres Instalaciones
Intangibles:
Estudios (posteriores) Gastos de construcción Gastos de supervisión Gastos de asesoría Patentes y regalías Gastos generales de pre-operación Gastos de puesta en marcha Gastos de comercialización durante la pre-operación Intereses, comisiones y garantías durante la construcción.
Emilio Porras Sosa
128
Estructura del Capital Fijo Costos Directos (Activo Fijo): 1. Costo del equipo: valor de los equipos puesto en el terreno 2. Costo de instalación de los equipos 3. Control e instrumentación: valor de los componentes y su respectiva instalación 4. Tuberías y accesorios: instalados 5. Material y equipo eléctrico: instalados 6. Edificios y estructuras 7. Delimitaciones: Pistas, veredas, áreas de estacionamiento, cerco perimétrico, etc. 8. Servicios y facilidades: Generación de vapor, tratamiento de agua, laboratorio, sistema contra-incendio, tratamiento de residuos, etc. 9. Terreno
Costos Indirecto (Intangibles): 1. 2. 3. 4.
Ingeniería y supervisión Gastos de construcción Utilidad del contratista Contingencias
Emilio Porras Sosa
129
Calculo de la Inversión Fija En la industria de los proceso existen tres métodos para estimar los precios de los equipos, unidades de procesos y plantas completas. • Índices de Costo • Exponente de Capacidad • Factores de Costo
Emilio Porras Sosa
130
Método de los Índices de Costo Los índices de costo permiten comparar el costo del presente con el de alguna fecha del pasado. Son muy parecidos al índice inflacionario, pero en lugar de estar referido a una canasta básica familiar está basado a una estructura de costos de Inversión entre los que se considera: • • • •
Costo de construcción Costo del material Costo de mano de Obra Productos químicos, etc.
La relación de índices de dos años diferentes es igual a la relación de costos de capital fijo de estos dos años. IJ
INDJ
IJ e IK : Costo del capital fijo para los años J y K.
INDK
INDJ e INDK : Índice de costo de los años J y K .
= IK
Emilio Porras Sosa
131
Método de los Índices de Costo Los principales índices utilizado en ingeniería química son: • Marshal y Swift (Industrial Process); base = 1926 • Nelson (Industria del Petróleo); base = 1946 • Chemical Engineering (Industria de Procesos); base = 1957
El año base de los índices es relativo y carece de importancia, lo realmente importante es la relación entre los valores de los años que se están comparando. Los datos de costos de equipos con menos de 10 años de antigüedad son bastantes aceptables, los datos con antigüedades entre 10 y 20 años deberán ser utilizados con mucha cautela y los datos con más de 20 años de antigüedad son obsoletos. Cuando la metalurgia de los equipos o de sus partes y las tecnologías de fabricación han mejorado sustancialmente, es mucho más versátil y recomendable utilizar datos de costos lo menos antiguo posible. Los índices de costo se utilizan para convertir costos de plantas y/o equipos del pasado (datos) a costos del tiempo presente, es una conversión en moneda corriente, similar al utilizado en matemáticas financieras con la tasa de inflación. Emilio Porras Sosa
132
Método de los Índices de Costo INDICE DE COSTOS DE PLANTAS DE LA CHEMICAL ENGINEERING Base: 1957 - 59 = 100 Indice Chemical Engineering Equipos Intercambiadores de Calor & Tanques Equipos y Maquinarias de Procesos Tuberías, Válvulas & Conexiones Instrumentos de Procesos Bombas y Compresores Equipo Eléctrico Soporte Estructural y Misceláneos Mano de Obra construcción Edificios y Construcciones Ingeniería y Supervisión Emilio Porras Sosa
133
Método de los Índices de Costo INDICE DE COSTOS DE EQUIPOS DE MARSHALL & SWIFT Base: 1926 = 100
Indice M&S Industria de los Procesos Cemento Químicos Productos de Arcilla Vidrio Pintura Papel Productos de Petróleo Plásticos Industrias Relacionadas Planta Eléctrica Minería, Molienda Refrigeración Planta de Fuerza (vapor) Emilio Porras Sosa
134
Método de los Índices de Costo INDICE DE NELSON - CONTRUCCION DE REFINERÍAS Base: 1946 =100
Índice Nelson - Construcción Bombas, Compresores, etc. Equipos Eléctricos Motores de Combustión Interna Instrumentación Intercambiadores de Calor Equipos Misceláneos Componentes Materiales Componentes Mano de Obra
Emilio Porras Sosa
135
Método de los Índices de Costo INDICE DE COSTOS VATABUK - CONTROL DE CONTAMINACION DEL AIRE Base: 1er Trimestre 1994 =100
Índice VATABUK Absorbedores de Carbón Incineradores Catalíticos Precipitadores Electrostáticos Filtros Quemadores de Campo Absorbedores de Gas Colectores Mecánicos Sistemas de Refrigeración Oxidadores Térmicos Regenerativos Incineradores Térmicos Purificadores Húmedos Emilio Porras Sosa
136
Método de los Índices de Costo Indice CE
Indice M&S
Indice Nelson
1900 1700 1500 1300 1100 900 700 500 300 100 1979 Emilio Porras Sosa
1984
1989
1994
1999
2004 137
Método de los Índices de Costo Ejemplo: La construcción de una planta química en 1986 costó 60MMUS$, ¿Cuánto costará una planta similar en 1991?. Solución: Los índices de la Chemical Engineering son 318.9 y 361.3 para 1986 y 1991 respectivamente. 361.3 Costo en 1991 = 60
= 68.1 MMUS$ 318.9
En 1991 una planta similar costará 68.1 MMUS$ de ese año.
Emilio Porras Sosa
138
Método de los Índices de Costo Chemical Engineering Vatavuk Marshall & Swift
Emilio Porras Sosa
139
Método de los Índices de Costo Chemical Engineering:
Emilio Porras Sosa
140
Método de los Índices de Costo Vatavuk:
Emilio Porras Sosa
141
Método de los Índices de Costo Marshal & Swift:
Emilio Porras Sosa
142
Método de los Índices de Costo Nelson:
Emilio Porras Sosa
143
Método del Exponente de Capacidad Este método es utilizado para estimar el costo de equipos y de unidades de procesos o plantas químicas. La regla indica que la relación entre las inversiones es directamente proporcional al tamaño del equipo o planta elevado a un exponente m. QA
m
IA = IB QB
IA : Inversión para equipo o planta A IB : Inversión para equipo o planta B (dato) QA: Tamaño o capacidad de A QB : Tamaño o capacidad de B (dato) m: Exponente de capacidad.
Tomando logaritmo a ambos lados de la ecuación: Ln IA = Ln IB + m (Ln QA - Ln QB) Ln IA = (Ln IB - m Ln QB )+ m Ln QA Y = Cte + m X La relación inversión y tamaño tendrá la ecuación de una recta cuando se la representa en un gráfico de escala doble logarítmica.
Emilio Porras Sosa
144
Costo, Inversión
Costo de Inversión vs Capacidad
Capacidad (Q) Emilio Porras Sosa
145
Variación del Exponente con la Tamaño
Costo, Inversión
Exp: 0.56
Exp: 0.95
Exp: 0.40
Capacidad (Q) Emilio Porras Sosa
146
Exponentes de Capacidad en Intercambiadores de Calor Material Casco/Tubos
Longitud de Tubos (Metros)
Presión de Trabajo (Atm)
Rango de Tamaño (m2)
Exponente
Ac. al carbono/Ac. al carbono
6
10
< 140
0.47
Ac. al carbono/Ac. al carbono
6
11
> 140
0.78
Ac. al carbono/Ac. al carbono
6
325
20-460
0.26
Ac. al carbono/Ac. Inox. 304
6
-
2-10
0.36
Ac. al carbono/Ac. Inox. 304
6
-
10-280
0.62
Ac. al carbono/Ac. Inox. 316
6
-
1-20
0.36
Ac. al carbono/Ac. Inox. 316
6
-
20-360
0.73
Emilio Porras Sosa
147
Exponentes de Capacidad en Intercambiadores de Calor Ejemplo.- Se dispone de información sobre el costo de un intercambiador de calor de acero al carbono de 6 m de longitud, 115 m2 de área de transferencia y con presión de trabajo de 9-12 atmósferas, el costo instalado de dicho equipo es de 35 MUS$. Determinar el costo de un intercambiador para prestar el mismo servicio pero de 160 m2 de área de transferencia. Solución: El exponente de capacidad es de 0.47 hasta 140 m2 de área y 0.78 para áreas superiores a 140 m2. I140 = I115 (140/115) 0.47 = 35.0 (140/115) 0.47 I140 = 38.4 MUS$ I160 = I140 (160/140) 0.78 = 38.4 (160/140) 0.78 I160 = 42.6 MUS$ Emilio Porras Sosa
148
Exponentes de Capacidad de Tanques Atmosféricos
Material
Rango de Tamaño (m3)
Exponente
Acero carbono
1-3800
0.46
Acero Inoxidable 304
0.5-1900
0.50
Acero Inoxidable 316
1-190
0.54
Aluminio
0.2-380
0.61
Emilio Porras Sosa
149
Exponentes de Capacidad de Bombas Centrífugas
Material
Incremento de Presión (Atm)
Rango de Potencia (Hp)
Exponente
Acero carbono
0 el proyecto debe ser postergado.
Emilio Porras Sosa
325
Valor Presente Neto Incremental (VPNI) Simplificación: El período de pre-operación es 1 año. Los FNF son independientes de cuando se inicia el proyecto (año de operación). N es muy grande y hace FNFN+1 / (1+TD)N+1 sea despreciable. FNF 0 - FNF 1 VPNI TD, 0 = - FNF 0 + (1+ TD) De donde resulta sí: TD > - FNF1 / FNF 0
Postergar el proyecto e invertir en el año 1.
TD < - FNF 1 / FNF 0
Invertir en el año 0.
Emilio Porras Sosa
326
Discrepancia entre el VPN y la TIR Muchas veces se presentan discrepancias entre los dos indicadores de rentabilidad más utilizados (VPN y TIR), esto ocurre cuando se debe elegir entre dos o más proyectos, mientras un indicador recomienda realizar un proyecto el otro indicador recomienda uno distinto. A continuación un ejemplo de discrepancia. FNF (MMUS$ de 0) Proyecto A Proyecto B
0 -80 -100
1 50 50
2 40 50
3 40 65
VPN10%,0 28.6 35.6
TIR(%) 30.3 28.4
Según el criterio del VPN el proyecto B es mejor, pero según el criterio de la TIR el proyecto A es mejor. VPN A
TIR B
Se recomienda el proyecto A
Emilio Porras Sosa
327
Discrepancia entre el VPN y la TIR Evaluación del VPN a diferentes tasas del ejemplo anterior: TD (%) VPNATD, 0
0 50.0
5 38.5
10 28.6
15 20.0
20 12.6
25 6.1
30 0.3
35 -4.8
VPNB TD, 0
65.0
49.1
35.6
24.0
14.0
5.3
-2.4
-9.1
50 VPNB 10%, 0
40
VPN
30 20
VPNA 10%, 0
10
TIRA
0 .
-10
5
10
15
20
25
TIRB
30
35
Tasa Emilio Porras Sosa
328
Discrepancia entre el VPN y la TIR Razones de la Discrepancia 1. Diferencia de Escala o Tamaño (Inversión):
A
B
2. Diferencia de Perfil:
A
B
3. Diferencia de Horizonte de Planeamiento o número de años de operación.
A
B
Cuando la discrepancia se da por diferencia de escala o perfil prevalece el criterio de VPN. Emilio Porras Sosa
329
Discrepancia entre el VPN y la TIR Discrepancia por Diferencia de Tamaño y/o Perfil Se cuentan con dos proyectos A y B de diferentes perfiles y tamaños, determinar cual de ellos es el más rentable si la TD es 10%/año. MMUS$ de 0 Proyecto A Proyecto B Proyecto C = B-A
0 -100 -150 -50
1 40 35 -5
FNF 2 40 60 20
3 40 60 20
4 45 85 40
VPN 10%, 0 TIR (%) 30.2 34.5 4.3
23.1 18.9 12.8
Si alguien decide por el criterio de la TIR elegiría el proyecto A, se le propone un nuevo proyecto C (B-A) y como tiene un VPN positivo y TIR mayor que 10% (TD) es aceptado. Seleccionado inicialmente: A También se elige: C Total elegido: A+C=A+B-A=B Al final se elige el proyecto B, de mayor VPN, prevalece el Criterio del VPN. Emilio Porras Sosa
330
Discrepancia entre el VPN y la TIR Discrepancia por Diferencia de Horizonte de Planeamiento VPNA
A: 0 1
2
3
4
0
1
2
3
4
1
2
3
4
VPNB
B: 0 1
2
3
4
5
0
5
Los VPN´s no son comparables, el VPNA es valido para 4 años de operación y el VPNB es válido para 5 años. Para resolver la discrepancia entre el VPN y la TIR por diferencia de horizonte de planeamiento existen los tres métodos siguientes: • Multiplicación de los proyectos para que terminen el mismo año. • Valor Presente Neto Ajustado (VPN*) • Factor de Recuperación de Capital (FRK)
Emilio Porras Sosa
331
Discrepancia entre el VPN y la TIR – Diferencia de H/P Multiplicación de los Proyectos 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
A A2 A3 A4 A5
B B2 B3 B4
.
Emilio Porras Sosa
332
Discrepancia entre el VPN y la TIR – Diferencia de H/P Ejemplo de Discrepancia por Diferencia de H/P: Se cuenta con dos proyectos A y B y cuyos VPN se muestran a continuación, determinar que proyecto es el mejor:
MMUS$ de 0 Proyecto A Proyecto B
0 -100 -120
1 45 35
FNF 2 55 45
3 55 55
4 60
El proyecto A tiene 3 años de operación y el proyecto B, 4 años. La tasa de descuento es 10%. Solución: Cálculo del VPN y la TIR de cada Proyecto:
Proyecto A Proyecto B
VPN 10%, 0 (MMUS$ de 0) 27.69 31.31
TIR (%) 24.6 20.5
Años de Operación (a) 3 4
Hay una clara discrepancia entre el VPN y la TIR. El VPN de A es para 3 años de operación mientras que el de B es para 4 años, razón por la cual no se pueden comparar.
Emilio Porras Sosa
333
Discrepancia entre el VPN y la TIR – Diferencia de H/P Para levantar la discrepancia multiplicaremos los proyectos para que ambos terminen el mismo año. El proyecto A lo multiplicaremos por 4 y B por 3, de esta manera habrá un total de 12 años de operación en ambos proyectos: Proyecto A A A2 A3 A4 Total A
0 -100
VPN 10%, 0 =
75.86
Proyecto B B B2 B3 Total B
0 -120
VPN 10%, 0 =
67.30
-100
-120
1 45
45
2 55
55
3 55 -100
-45
4
5
6
7
8
9
10
11
12
45
55
55 -100
45
55
45 45
55 55
55 55
45
55
-45
45
55
55 -100 -45
5
6
7
8
9
10
11
12
35
45
55
60 -120 -60
35 35
45 45
55 55
60 60
TIR (%) 24.6 1 35
35
2 45
45
3 55
55
4 60 -120 -60
35
45
55
TIR (%) 20.5
Se aprecia que el proyecto A es mejor que B, también se puede observar que al multiplicar los proyectos para que tengan el mismo numero de años de operación, la discrepancia entre el VPN y la TIR desaparece.
Emilio Porras Sosa
334
Discrepancia entre el VPN y la TIR – Diferencia de H/P Valor Presente Neto Ajustado (VPN*) Consiste en multiplicar todos los proyecto por infinito y de esta manera nos aseguramos que todos ellos tengan el mismo número de años de operación (infinito). 0
1
…
…
a
a+1 …
…
2a 2a+1 …
…
3a 3a+1 …
…
4a 4a+1 …
…
5a
FNF
A A2 A3 A4 A5 Equivalente a VPN
VPN
VPN
VPN
VPN OO
a años
a años
a años
a años
a años
El VPN* viene a ser el Valor Presente de los VPN´s, apréciese que es una serie uniforme de flujos espaciados por “a” años y su correspondiente Valor Presente se calculará como un anualidad de periodicidad “a”. Emilio Porras Sosa
335
Discrepancia entre el VPN y la TIR – Diferencia de H/P
VPN
VPN
VPN* TD, 0, a =
+ (1+TD)0
N
VPN* TD, 0, a = Σ J=0
VPN
VPN
+ (1+TD)a
+ (1+TD)2a
VPN +
(1+TD)3a
+ ..... (1+TD)4a
VPN (1+TD)J a
(1+TD)a VPN* TD, 0, a = VPNTD, 0
a: Años de Operación (1+TD)a - 1
El proyecto que se elija será aquel que tenga el más alto VPN*, obsérvese los parámetros del VPN *: Año al cual se le actualiza (generalmente el año cero), la Tasa de Descuento y el número de años de operación (a).
Emilio Porras Sosa
336
Discrepancia entre el VPN y la TIR – Diferencia de H/P Ejemplo de Discrepancia por Diferencia de H/P: Se cuenta con dos proyectos A y B y cuyos FNF se muestran a continuación, determinar que proyecto es el mejor:
MMUS$ de 0 Proyecto A Proyecto B
0 -100 -120
1 45 35
FNF 2 55 45
3 55 55
4 60
El proyecto A tiene 3 años de operación y el proyecto B, 4 años. La tasa de descuento es 10%. Solución: Cálculo del VPN y la TIR de cada Proyecto:
Proyecto A Proyecto B
VPN 10%, 0 (MMUS$ de 0) 27.69 31.31
TIR (%) 24.6 20.5
Años de Operación (a) 3 4
Hay una clara discrepancia entre el VPN y la TIR. El VPN de A es para 3 años de operación mientras que el de B es para 4 años, razón por la cual no se pueden comparar. Para hacerlos comparables determinaremos el VNP* para cada uno de ellos. Emilio Porras Sosa
337
Discrepancia entre el VPN y la TIR – Diferencia de H/P Proyecto A:
(1+0.10)3 VPN* 10%, 0, 3 = 27.69 (1+0.10)3 - 1 VPN* 10%, 0, 3 = 111.3 Proyecto B:
(1+0.10)4 VPN* 10%, 0, 4 = 31.31 (1+0.10)4 - 1 VPN* 10%, 0, 4 = 98.8 Se aprecia que el Proyecto A es mejor que el proyecto B. Emilio Porras Sosa
338
Discrepancia entre el VPN y la TIR– Diferencia de HP Factor de Recuperación de Capital (FRK) Para hacer comparables los VPN´s hay que expresarlos en un mismo número de años de operación (VPN anualizado) conocido como Factor de Recuperación de Capital (FRK) que sí es comparable por estar en base anual. VPNA FRKA FRKA FRKA FRKA 0 0
1
2
3
1
4
2
3
4
VPNB FRKB FRKB FRKB FRKB FRKB 0 0
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
La selección se realiza por aquel proyecto que cuente con el mayor FRK (VPN anualizado): (1+TD)a TD FRK TD, a = VPNTD, 0
a: Años de Operación (1+TD)a - 1
Emilio Porras Sosa
339
Discrepancia entre el VPN y la TIR – Diferencia de HP Ejemplo de Discrepancia por Diferencia de H/P: Se cuenta con dos proyectos A y B y cuyos VPN se muestran a continuación, determinar que proyecto es el mejor.:
MMUS$ de 0 Proyecto A Proyecto B
0 -100 -120
1 45 35
FNF 2 55 45
3 55 55
4 60
El proyecto A tiene 3 años de operación y el proyecto B, 4 años. La tasa de descuento es 10%. Solución: Cálculo del VPN y la TIR de cada Proyecto:
Proyecto A Proyecto B
VPN 10%, 0 (MMUS$ de 0) 27.69 31.31
TIR (%) 24.6 20.5
Años de Operación (a) 3 4
Hay una clara discrepancia entre el VPN y la TIR. El VPN de A es para 3 años de operación mientras que el de B es para 4 años, razón por la cual no se pueden comparar.
Emilio Porras Sosa
340
Discrepancia entre el VPN y la TIR – Diferencia de HP Para hacerlos comparables debemos expresarlos en la misma base, esto es VPN por año de operación (VPN anualizado, también conocido como FRK) (1.1)3 0.1 A:
FRK10%, 3 = 27.69
= 11.13 MMUS$ de 0/Año (1.1)3 - 1
(1.1)4 0.1 B:
FRK10%, 4 = 31.31
=
9.88 MMUS$ de 0/Año
(1.1)4 - 1
El proyecto A es mejor, por tener un mayor VPN anualizado (FRK).
Emilio Porras Sosa
341
11 SELECCION DE ALTERNATIVAS DE REEMPLAZO
Emilio Porras Sosa
342
Selección de Alternativas de Reemplazo Es una herramienta muy útil que permite operar con los equipos que originan el mínimo costo o egreso. En las plantas industriales se efectúan reemplazos de equipos antiguos básicamente por las razones siguientes: • • • •
Altos costos de mantenimiento y/o operativos, Baja eficiencia, Períodos continuos de mantenimiento y Obsolescencia.
Generalmente los equipos nuevos o aquellos que reemplazarán a los antiguos prestarán los mismos servicios que los equipos reemplazados, razón por la cual no se genera ingresos adicionales sino ahorros o disminución de costos. Dado que no habrá modificación en los ingresos, la selección realiza desde el punto de vista de costos, y la mejor alternativa será aquella que representen menores costos. Emilio Porras Sosa
343
Selección de Alternativas de Reemplazo Partiremos de la ecuación del Flujo Neto de Fondos: FNFi = (INGi -EGi -Di) * (1 - t ) + Di + VSi - INVi Eliminando los ingresos de la ecuación anterior y cambiando de signo para obtener el Flujo de Egresos. FEGi = (EGi) * (1-t) - t * Di - VSi + INVi Donde: i FEG EG D t VS INV
Año ( 0, 1, 2, 3, ..., n) Flujo Egresos Egresos (Gastos de Producción, Administrativos y Ventas) Depreciación Tasa Impositiva Valor de Rescate Inversión
El Valor de Salvamento (VS) es el flujo de dinero que ingresaría a la empresa por venta de los equipos usados y no el valor en libros de estos activos. Emilio Porras Sosa
344
Selección de Alternativas de Reemplazo Un efecto que no debe perderse de vista es que si se vende el activo usado a un precio superior al valor en libros, se deberá pagar impuesto a la renta por el mayor valor (Precio de Venta - Valor en Libros) Valor en Libros: Precio de Venta: Mayor Valor:
100 MUS$ 120 MUS$ 20 MUS$
Deberá efectuarse un pago de impuesto a la renta por los 20 MUS$. Si se vende el activo usado a un precio inferior al valor en libros, se deberá considerarse el escudo fiscal generado por el menor valor (Precio de Venta Valor en Libros) y que se traduce en un menor pago de impuesto a la renta Valor en Libros: Precio de Venta: Menor Valor:
150 MUS$ 120 MUS$ 30 MUS$
Deberá efectuarse un menor pago de impuesto a la renta por los 30 MUS$.
Emilio Porras Sosa
345
Selección de Alternativas de Reemplazo El resultado de la evaluación dependerá si existe impuesto a la renta o no, en caso de no existir la depreciación no será un elemento que influya en el resultado. Todo ingreso o ahorro deberá ser considerado, en el flujo de egresos, como un egreso negativo. Dependiendo del caso, la formula del FEG se modifica para t = 0 (sin impuesto a la renta) y t = valor (con impuesto a la renta). • Sin Impuesto a la Renta:
FEGi = EGi - VSi + INVi
• Con Impuesto a la Renta:
FEGi = EGi * (1-t) - t * Di - VSi + INVi
Normalmente el resultado (la selección de la alternativa) no cambia pero hay excepciones por lo que es recomendable hacer ambos análisis. Emilio Porras Sosa
346
Selección de Alternativas de Reemplazo Método del Valor Presente Se aplica en alternativas que tienen los mismos años de operación y es conocido el perfil de egresos para todo el horizonte. El flujo de egresos se convierte en el valor presente de egresos. La mejor alternativa es aquella cuyo valor presente de egresos (costos) sea el menor. Flujo de Egresos (FEgr i)
0
1
2
3
4
5
....
N
Se convierten en el Valor Presente de Egresos: VP Egr TD, 0
. Emilio Porras Sosa
0
1
2
3
4
5
....
N
347
Método del Valor Presente Ejemplo: Selección de Equipos Una refinería debe instalar un sistema de filtración y se tiene dos alternativa: El Plan A utiliza un filtro prensa de placas y el Plan B utiliza un filtro continuo, ambos sistema operarán por 10 años. Determinar cual de los sistemas debe elegirse si el costo del capital (TD) es 10%/año.
Inversión Mano de Obra Mantenimiento Valor de rescate
Plan A 10,000 18,600 800 600
Plan B 30,000 11,000 3,000 1,000
US$ de US$ de US$ de US$ de
0 0/año 0/año 0
Se asumirá que la inversión se realiza en el año 0 y que el valor de rescate se recupera en el último año de operación (año 10) y que la depreciación es lineal. Resolveremos el problema para los dos escenarios: con y sin impuesto a la renta.
Emilio Porras Sosa
348
Método del Valor Presente Tasa de Impuesto a la Renta = t = 0%
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Inversión 10,000
(600)
Plan A Costos Depreciación 19,400 19,400 19,400 19,400 19,400 19,400 19,400 19,400 19,400 19,400 VPEg 10%,0
940 940 940 940 940 940 940 940 940 940
FEgr 10,000 19,400 19,400 19,400 19,400 19,400 19,400 19,400 19,400 19,400 18,800 128,973
Inversión 30,000
(1,000)
Plan B Costos Depreciación 14,000 14,000 14,000 14,000 14,000 14,000 14,000 14,000 14,000 14,000 VPEg 10%,0
2,900 2,900 2,900 2,900 2,900 2,900 2,900 2,900 2,900 2,900
FEgr 30,000 14,000 14,000 14,000 14,000 14,000 14,000 14,000 14,000 14,000 13,000 115,638
El plan B resulta más económico.
Emilio Porras Sosa
349
Método del Valor Presente Tasa de Impuesto a la Renta = t = 30%
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Inversión 10,000
(600)
Plan A Costos Depreciación 19,400 19,400 19,400 19,400 19,400 19,400 19,400 19,400 19,400 19,400 VPEg 10%,0
940 940 940 940 940 940 940 940 940 940
FEgr 10,000 13,298 13,298 13,298 13,298 13,298 13,298 13,298 13,298 13,298 12,698 91,479
Inversión 30,000
(1,000)
Plan B Costos Depreciación 14,000 14,000 14,000 14,000 14,000 14,000 14,000 14,000 14,000 14,000 VPEg 10%,0
2,900 2,900 2,900 2,900 2,900 2,900 2,900 2,900 2,900 2,900
FEgr 30,000 8,930 8,930 8,930 8,930 8,930 8,930 8,930 8,930 8,930 7,930 84,485
El plan B resulta más económico, de la misma manera cuando t = 0%. Conclusión: El egreso equivalente de comprar el Equipo A es mayor al de comprar el equipo B, es conveniente comprar el equipo B ya que significa un menor egreso de dinero. Emilio Porras Sosa
350
Método del Valor Presente Ejemplo: Comprar o Reparar Un equipo de servicio de pozos se encuentra malogrado y su valor en libros es 30 MUS$. Para operarlo nuevamente se requiere invertir 70 MUS$ (en el año 0) en reparaciones mayores. La reparación permitirá operar 5 años más (1-5) al cabo del cual no tendrá valor residual, los costos de mantenimiento y operación serán de 30 MUS$/año. Puede ser reparado nuevamente al final de año 5 podrá operar 5 años más (6-10) para lo cual debe invertirse 60 MUS$ y los costos de operación y mantenimiento serán de 46 MUS$/año. La alternativa es comprar un equipo nuevo cuyo costo instalado es de 160 MUS$. En este caso se revendería el equipo antiguo a 5 MUS$ (en el año 1). Después de 10 años de operación no tendrá valor residual y su costo de operación y mantenimiento será de 28 MUS$/año. Determinar cuál de las posibilidades es más ventajosa para una tasa de descuento de 15%. Emilio Porras Sosa
351
Método del Valor Presente Depreciación en Reparar: Si se repara el equipo cuyo valor en libros es 30 MUS$ se invertirá 70 MUS$ y por lo tanto su valor en libros se incrementará a 100 MUS$ los cuales se depreciarán totalmente en cinco años. D 1/5 = (70+30)/5 = 20 La reparación al final del año 5 (60 MUS$) será depreciada totalmente en los años 6 al 10. D 6/10 = 60/5 = 12 Depreciación en Comprar: La inversión en el equipo nuevo se depreciará totalmente en los diez años de operación D 1/10 = 160/10 = 16 De repararse el equipo, se dejará de percibir los 5 MUS$ en el año 1 por no venderlo.
Emilio Porras Sosa
352
Método del Valor Presente Tasa de Impuesto a la Renta = t = 0%
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Inversión 70.0 5.0
60.0
Reparar Costos Depreciación 30.0 30.0 30.0 30.0 30.0 46.0 46.0 46.0 46.0 46.0 VPEg 15%,0
20.0 20.0 20.0 20.0 20.0 12.0 12.0 12.0 12.0 12.0
Fegr 70.0 35.0 30.0 30.0 30.0 90.0 46.0 46.0 46.0 46.0 46.0 281.4
Inversión 160.0
Comprar Costos Depreciación 28.0 28.0 28.0 28.0 28.0 28.0 28.0 28.0 28.0 28.0 VPEg 15%,0
16.0 16.0 16.0 16.0 16.0 16.0 16.0 16.0 16.0 16.0
Fegr 160.0 28.0 28.0 28.0 28.0 28.0 28.0 28.0 28.0 28.0 28.0 300.5
La alternativa de reparar es más conveniente por ser la más barata.
Emilio Porras Sosa
353
Método del Valor Presente Tasa de Impuesto a la Renta = t = 30%
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Inversión 70.0 5.0
60.0
Reparar Costos Depreciación 30.0 30.0 30.0 30.0 30.0 46.0 46.0 46.0 46.0 46.0 VPEg 15%,0
20.0 20.0 20.0 20.0 20.0 12.0 12.0 12.0 12.0 12.0
Fegr 70.0 20.0 15.0 15.0 15.0 75.0 28.6 28.6 28.6 28.6 28.6 202.1
Inversión 160.0
Comprar Costos Depreciación 28.0 28.0 28.0 28.0 28.0 28.0 28.0 28.0 28.0 28.0 VPEg 15%,0
16.0 16.0 16.0 16.0 16.0 16.0 16.0 16.0 16.0 16.0
Fegr 160.0 14.8 14.8 14.8 14.8 14.8 14.8 14.8 14.8 14.8 14.8 234.3
La alternativa de reparar es más conveniente por ser la más barata. Conclusión: El egreso equivalente de reparar el equipo antiguo es menor que el de adquirir uno nuevo, es conveniente reparar el equipo antiguo ya que significa un menor egreso de dinero. Emilio Porras Sosa
354
Método del Valor Presente Ejemplo: Reparar o Alquilar En una refinería hay un grupo de bombas malogradas cuyo valor en libros es cero, repararlas costaría 145 MUS$. Los costos de operación y mantenimiento serían 42 MUS$/año para los 5 años operación, después de los cuales tendrían 14.5 MUS$ como valor residual. Existe la propuesta de alquilar bombas de las mismas características y cuyo costo de alquiler sería de 65 MUS$/año, esta cifra incluye los costos de mantenimiento. El costo de operación (energía eléctrica, lubricantes, refrigerante, etc.) de estas bombas asciende a 13 MUS$/año. Determinar cuál de las alternativas es más atractiva. Utilizar 15% como tasa de descuento. Emilio Porras Sosa
355
Método del Valor Presente Depreciación en Reparar: Si se repara el grupo de bombas su valor en libros llegará a 145 MUS$, costo de la inversión en reparaciones mayores. Dicha inversión se depreciará en cinco años hasta llegar a una valor de rescate de 14.5 MUS$. D 1/5 = (145.0 – 14.5)/5 = 26.1 Depreciación en Alquiler: En el caso de alquilar no existirá el cargo por depreciación, por no ser los dueños de los equipos.
Emilio Porras Sosa
356
Método del Valor Presente Tasa de Impuesto a la Renta = t = 0%
0 1 2 3 4 5
Inversión 145.0
(14.5)
Reparar Costos Depreciación 42.0 42.0 42.0 42.0 42.0 VPEg 15%,0
26.1 26.1 26.1 26.1 26.1
Fegr 145.0 42.0 42.0 42.0 42.0 27.5 278.6
Inversión
Alquilar Costos Depreciación 78.0 78.0 78.0 78.0 78.0 VPEg 15%,0
Fegr 78.0 78.0 78.0 78.0 78.0 261.5
La alternativa de alquilar es más conveniente que la de reparar, por ser la más barata.
Emilio Porras Sosa
357
Método del Valor Presente Tasa de Impuesto a la Renta = t = 30%
0 1 2 3 4 5
Inversión 145.0
(14.5)
Reparar Costos Depreciación 42.0 42.0 42.0 42.0 42.0 VPEg 15%,0
26.1 26.1 26.1 26.1 26.1
Fegr 145.0 21.6 21.6 21.6 21.6 7.1 210.1
Inversión
Alquilar Costos Depreciación 78.0 78.0 78.0 78.0 78.0 VPEg 15%,0
Fegr 54.6 54.6 54.6 54.6 54.6 183.0
La alternativa de alquilar es más conveniente que la de reparar, similar resultado cuando la t = 0%. Conclusión: El egreso equivalente de reparar el equipo antiguo es mayor que el de alquilar, es conveniente alquilar ya que significa un menor egreso de dinero.
Emilio Porras Sosa
358
Método del Valor Presente Ejemplo: Reemplazo Mantenimiento
por
altos
costos
de
Operación
y
Hace tres años se compró una bomba por 1300 US$, actualmente su valor en libros es 500 US$, sus costos de operación y mantenimiento son de 1000 US$/año y puede continuar operando durante cinco años más después de los cuales no tendrá valor de rescate. Evaluar si es conveniente reemplazar la bomba antigua por una nueva que cuesta 2000 US$, que tiene una vida útil de 5 años sin valor de rescate y cuyo costo anual de operación es de 400 US$/año. Al adquirir la nueva bomba se venderá la antigua a 100 US$. Asumir 15% como tasa de descuento. Emilio Porras Sosa
359
Método del Valor Presente El reemplazo de una bomba no requiere de un período largo para su cambio, por lo que se considerará un tiempo mínimo para este efecto. Bomba Antigua: De continuar operando con la bomba antigua, la empresa dejará de recibir 100 US$ en el año 1 por no venderla (no los 500 US$ que es su valor en libros); este ingreso negativo se reporta como una inversión en el año 1. D1/5 = 500/5= 100 US$/año. Los 500 US$ de valor se depreciará en los 5 años siguientes. Bomba Nueva: La inversión de 2000 US$ se depreciará totalmente en 5 años. D1/5 = 2000/5 = 400 US$/año. Emilio Porras Sosa
360
Método del Valor Presente Tasa de Impuesto a la Renta = t = 0%
Inversión 0 1 2 3 4 5
100.0
Bomba Antigua Costos Depreciación 1,000.0 1,000.0 1,000.0 1,000.0 1,000.0 VPEg 15%,0
100.0 100.0 100.0 100.0 100.0
Fegr 1,100.0 1,000.0 1,000.0 1,000.0 1,000.0 3,439.1
Inversión 2,000.0
Bomba Nueva Costos Depreciación 400.0 400.0 400.0 400.0 400.0 VPEg 15%,0
400.0 400.0 400.0 400.0 400.0
Fegr 2,400.0 400.0 400.0 400.0 400.0 3,080.0
Es conveniente reemplazar la bomba antigua por una nueva.
Emilio Porras Sosa
361
Método del Valor Presente Tasa de Impuesto a la Renta = t = 30%
Inversión 0 1 2 3 4 5
100.0
Bomba Antigua Costos Depreciación 1,000.0 1,000.0 1,000.0 1,000.0 1,000.0 VPEg 15%,0
100.0 100.0 100.0 100.0 100.0
Fegr 770.0 670.0 670.0 670.0 670.0 2,332.9
Inversión 2,000.0
Bomba Nueva Costos Depreciación 400.0 400.0 400.0 400.0 400.0 VPEg 15%,0
400.0 400.0 400.0 400.0 400.0
Fegr 2,160.0 160.0 160.0 160.0 160.0 2,275.5
Es conveniente reemplazar la bomba antigua por una nueva, similar resultado cuanto la t = 0. Conclusión: El egreso equivalente de comprar una bomba nueva ES menor al de seguir operando con la bomba existente, es conveniente reemplazar la bomba existente por una nueva.
Emilio Porras Sosa
362
Selección de Alternativas de Reemplazo Método del Costo Anualizado Este método se aplica necesariamente cuando las alternativas que se comparan tienen diferentes tiempos de vida o de operación, en estos casos el VPEg no es aplicable para la toma de decisiones. También se aplica en los casos en que no haya diferencia de tiempo de operación, para no abarcar todo el horizonte. En ambos casos es necesario calcular la anualidad de la inversión y del valor de rescate, y cualquier otro costo que no sea constante durante los años de operación del equipo. La formula de anualidad es la siguiente: (1+TD)a TD FRK TD, a = Anualidad TD, a = Inversión (1+TD)a - 1 a: Número de Años de Operación
Emilio Porras Sosa
363
Método del Costo Anualizado Ejemplo: Selección de Equipos Una refinería debe instalar un sistema de filtración y se tiene dos alternativa: El Plan A utiliza un filtro prensa de placas y el Plan B utiliza un filtro continuo, ambos sistema operarán por 10 años. Determinar cual de los sistemas debe elegirse si el costo del capital (TD) es 10%/año.
Inversión Mano de Obra Mantenimiento Valor de rescate
Plan A 10,000 18,600 800 600
Plan B 30,000 11,000 3,000 1,000
US$ de US$ de US$ de US$ de
0 0/año 0/año 0
Se asumirá que la inversión se realiza en el año 0 y que el valor de rescate se recupera en el último año de operación (año 10) y que la depreciación es lineal. Resolveremos el problema para los dos escenarios: con y sin impuesto a la renta.
Emilio Porras Sosa
364
Método del Costo Anualizado Determinación de la inversión y valor de rescate anualizados: 1.10 10 * 0.1 Plan A: FRK 10%, 10 = (10000 – 600/1.1010)
= 1589.8 1.10 10 - 1 1.10 10 * 0.1
Plan B: FRK 10%, 10 = (30000 –1000/1.1010)
= 4819.6 1.10 10 - 1
El egreso operativo se calcula mediante: Egreso Operativo = Egreso (1 - t) – D t
Emilio Porras Sosa
365
Método del Costo Anualizado
US$ de 0/año Inversión Anualizada Mantenimiento Mano de Obra Depreciación Egreso Operativo Egreso Total Anual
Sin Impuesto (t=0) Plan A Plan B 1,589.8 4,819.6 18,600.0 11,000.0 800.0 3,000.0 940.0 2,900.0 19,400.0 14,000.0 20,989.8 18,819.6
Con Impuesto (t=30%) Plan A Plan B 1,589.8 4,819.6 18,600.0 11,000.0 800.0 3,000.0 940.0 2,900.0 13,298.0 8,930.0 14,887.8 13,749.6
Se aprecia que el Plan B es más conveniente, en ambas evaluaciones, con y sin impuesto a la renta. Resultados similares se obtuvieron por el Método de Valor Presente de Egresos.
Emilio Porras Sosa
366
Método del Costo Anualizado Ejemplo: Selección con diferente Horizonte de Planeamiento Se requiere de un reactor para oxidar cera parafínica y producir ácidos grasos. Se disponen de dos alternativas. Alternativa A: Reactor de acero inoxidable de US$ 13000 de costo instalado, 2 años de vida y US$ 100 de valor de rescate y Alternativa B: Reactor de acero inoxidable revestido de fibra de vidrio de US$ 32000 de costo instalado, 6 años de vida y US$ 800 de valor de rescate. El costo de mano de obra y costos operativos es similar para ambas alternativas, en el caso de la alternativa A se gastará US$ 500 en el segundo año de operación para mantenimiento, y en la alternativa B estos gastos serán de US$ 400 en el tercer año y 600 en el quinto año. Se espera que el rendimiento en la alternativa B sea ligeramente superior, lo que equivale a US$ 400 anuales de incremento en las utilidades. El costo del dinero es de 10%/año. Determinar cual de las alternativas es más atractiva, no considere impuesto a la renta. Emilio Porras Sosa
367
Método del Costo Anualizado Dado que años de operación son diferentes, es necesario determinar el egreso total anual. No es necesario calcular la depreciación ya que t=0%.
0 1 2
Reactor de Acero Inoxidable Inversión Costo Feg 13,000 13,000 (100) 500 400 VPEg 10%, 0 13,331 7,681 FRK 10%, 2
0 1 2 3 4 5 6
Reactor de Fibra de Vidrio Inversión Mantenimiento Mejoras 32,000 (400) (400) 400 (400) (400) 600 (400) (800) (400) VPEg 10%, 0 FRK 10%, 6
Feg 32,000 (400) (400) (400) 200 (1,200) 30,479 6,998
Se aprecia que es más conveniente adquirir el reactor de fibra de vidrio, por ser más económico.
Emilio Porras Sosa
368
Método del Costo Anualizado Ejemplo: Selección con diferente Horizonte de Planeamiento Se requiere transportar un material corrosivo por una tubería de 2 pulgadas de diámetro, se dispone de tres tipos de material (Acero al Carbono, Plomo y Monel), desde el punto de vista de costos y asumiendo 1%/mes como tasa de descuento, y que el espesor mínimo es la mitad del original, determinar cual de las alternativas es la que debe elegirse de acuerdo a la información siguiente: Tubería Fierro Plomo Monel
Velocidad de Corrosión (pulgadas/año) 0.1190 0.0400 0.0112
Emilio Porras Sosa
Espesor de la Tubería (pulgadas) 0.218 0.192 0.154
Costo Relativo (US$/metro) 16.0 38.5 86.4
369
Método del Costo Anualizado En la solución no se considerará impuesto a la renta, la vida de las tuberías es diferente y por lo tanto la inversión en ellas no es comparable y es necesario calcular la “anualidad” de las inversiones para compararlas y tomar la decisión. Tubería de Fierro: Operación = 12 * 0.50 * 0.218 / 0.119 = 11.0 meses “Anualidad” (mensualidad) de la inversión: 1.01 11 * 0.01 FRK 1%, 11 = 16.0
= 1.543 US$/mes 1.01 11 - 1
Emilio Porras Sosa
370
Método del Costo Anualizado Tubería de Plomo: Operación = 12*0.50*0.192/0.040 = 28.8 meses 1.01 28.8 * 0.01 FRK 1%, 28.8 = 38.5
= 1.545 US$/mes 1.01 28.8 - 1
Tubería de Monel: Operación = 12*0.50*0.154/0.0112 = 82.5 meses 1.01 82.5 * 0.01 FRK 1%, 82.5 = 86.4
= 1.543 US$/mes 1.01 82.5 - 1
Prácticamente las tres alternativas son iguales, ligera ventaja muestran las tuberías de fierro y monel.
Emilio Porras Sosa
371
Método del Costo Anualizado Vida Económica Es el período en el cual se minimizan los costos de inversión, operación y mantenimiento de los equipos. Define el período de operación de los equipos. Ejemplo: El costo de un compresor es de 30 MUS$ y tiene una vida útil de 10 años, los costos anuales de mantenimiento y operación se incrementan con el tiempo debido al envejecimiento del equipo, y disminuye el Valor de Rescate (recuperado al año siguiente del último de operación). Los datos (expresados en MUS$) relativos a este equipo se muestran en la siguiente tabla: Año Costos Op. y Mant. Valor de Rescate
1 2.2 10.0
2 2.8 9.0
3 3.5 8.0
4 4.4 7.0
5 5.5 6.0
6 7.0 5.0
7 8.8 4.0
8 11.1 3.0
9 14.0 2.0
10 17.6 1.0
¿Cada cuánto tiempo debe cambiarse el equipo?. Considere una tasa impositiva (t) de 30% y una Tasa de Descuento (TD) de 15%/año. Emilio Porras Sosa
372
Método del Costo Anualizado Solución: Es necesario construir la tabla de costos operativos, mantenimiento, inversión, valor de rescate y depreciación en base a la información proporcionada. El número de alternativas estará dado por la cantidad de posibles reemplazos antes que culmine su vida útil. En el ejemplo se cuenta con 10 alternativas. Años de Operación Inversión Valor residual Depreciación Costo operativo y de mantenimiento 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Emilio Porras Sosa
1 30.00 10.00 20.00
2 30.00 9.00 10.50
3 30.00 8.00 7.33
4 30.00 7.00 5.75
5 30.00 6.00 4.80
6 30.00 5.00 4.17
7 30.00 4.00 3.71
8 30.00 3.00 3.38
9 30.00 2.00 3.11
10 30.00 1.00 2.90
2.20
2.20 2.80
2.20 2.80 3.50
2.20 2.80 3.50 4.40
2.20 2.80 3.50 4.40 5.50
2.20 2.80 3.50 4.40 5.50 7.00
2.20 2.80 3.50 4.40 5.50 7.00 8.80
2.20 2.80 3.50 4.40 5.50 7.00 8.80 11.10
2.20 2.80 3.50 4.40 5.50 7.00 8.80 11.10 14.00
2.20 2.80 3.50 4.40 5.50 7.00 8.80 11.10 14.00 17.60
373
Método del Costo Anualizado Flujo de Egresos Años de Operación --> J 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 VPEg 15%, 0 FRK 15%, J
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
30.00 30.00 30.00 30.00 30.00 30.00 30.00 30.00 30.00 30.00 (4.46) (1.61) (0.66) (0.19) 0.10 0.29 0.43 0.53 0.61 0.67 (10.00) (1.19) (0.24) 0.24 0.52 0.71 0.85 0.95 1.03 1.09 (9.00) 0.25 0.73 1.01 1.20 1.34 1.44 1.52 1.58 (8.00) 1.36 1.64 1.83 1.97 2.07 2.15 2.21 (7.00) 2.41 2.60 2.74 2.84 2.92 2.98 (6.00) 3.65 3.79 3.89 3.97 4.03 (5.00) 5.05 5.15 5.23 5.29 (4.00) 6.76 6.84 6.90 (3.00) 8.87 8.93 (2.00) 11.45 (1.00) 18.56 21.78 24.83 27.79 30.69 33.62 36.60 39.69 42.92 46.33 21.34
13.40
10.88
9.73
9.15
8.88
8.80
8.84
8.99
9.23
Se aprecia que el costo mínimo ocurre cuando el equipo se opera 7 años, esta es la vida económica del equipo. Emilio Porras Sosa
374
Método del Costo Anualizado Diagrama de Egresos Anualizados
FRK de Egresos (Egreso Anualizado)
9.9 9.7 9.5 9.3 9.1 8.9 8.7
Vida Económica del Equipo
8.5 4
5
6
7
8
9
10
Año de Liquidación (Años de Operación)
La vida económica del equipo es 7 años. Emilio Porras Sosa
375
Método del Costo Anualizado Ejemplo: Reemplazo Total o Parcial Hace 4 años se instaló por 81 MUS$ un oxidador de asfaltos que aún puede continuar trabajando por 6 años, el costo anual de operación y mantenimiento es de 8 MUS$/año. Dadas las condiciones del mercado se debe duplicar la producción de asfaltos oxidados los próximos veinte años. Se puede instalar por 75 MUS$ una nueva unidad de igual capacidad que la existente y similares costos de operación y mantenimiento. La instalación de una unidad de doble capacidad que la presente costaría 112 MUS$ y sus costos de operación y mantenimiento serían de 14 MUS$/año con una vida útil de 10 años. El oxidador actual se puede vender hoy a 26 MUS$. En el momento de su retiro todas las unidades estudiadas tendrán un valor de rescate de 10% de su costo original. Asumir 15% como tasa de descuento y 30% como tasa impositiva. Emilio Porras Sosa
376
Método del Costo Anualizado La alternativa “A” será operar con el oxidador antiguo y uno nuevo de similar capacidad durante los próximos 6 años, el año 6 es último año de operación del antiguo equipo, y a partir del año 7 operarán en paralelo dos oxidadores nuevos de capacidad similar al antiguo. La Alternativa “B” será operar con un nuevo oxidador del doble de capacidad que el antiguo, y se venderá el antiguo.
Alternativa A Oxidador Antiguo Nuevo de igual Capacidad Alternativa A Nuevo de doble de Capacidad
Emilio Porras Sosa
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
qA
qA
qA
qA
qA
qA
qN
qN
qN
qN
qN
qN
qN
qN
qN
qN
qN
qN
qN
qN
QN
QN
QN
QN
QN
QN
QN
QN
QN
QN
377
Método del Costo Anualizado Alternativa “A”: Complementar Capacidad Oxidador Antiguo: Operar con el oxidador antiguo implica que en el año 1 no se recibirá 26 MUS$ por no venderla y la depreciación será (818.1)/10=7.29 MUS$. 0 1 2 3 4 5 6 7
Inversión
Costos
Depreciación
26.00
8.00 8.00 8.00 8.00 8.00 8.00
7.29 7.29 7.29 7.29 7.29 7.29
(8.10) VPEg 15%, 0 FRK 15%, 6
Fegr 29.41 3.41 3.41 3.41 3.41 3.41 (8.10) 32.48 8.58
Continuar operando con el oxidador antiguo implica un egreso anual de 8.58 MUS$ durante los próximos 6 años. Emilio Porras Sosa
378
Método del Costo Anualizado Oxidador Nuevo de Similar Capacidad: D = (75-7.5)/10 = 6.75 MUS$/año. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Inversión 75.0
Costos
Depreciación
8.00 8.00 8.00 8.00 8.00 8.00 8.00 8.00 8.00 8.00
6.75 6.75 6.75 6.75 6.75 6.75 6.75 6.75 6.75 6.75
(7.50) VPEg 15%, 0 FRK 15%, 6
Fegr 75.0 3.58 3.58 3.58 3.58 3.58 3.58 3.58 3.58 3.58 3.58 (7.50) 91.33 18.20
El equipo nuevo de la misma capacidad que el oxidador antiguo generará egresos anuales de 18.20 MUS$ durante los próximos 10 años. Emilio Porras Sosa
379
Método del Costo Anualizado Flujo de Egresos del Conjunto de la Alternativa “A”: 1 2 3 4 5 6 7 . . 20
Oxidador 1 Oxidador 2 8.58 18.20 8.58 18.20 8.58 18.20 8.58 18.20 8.58 18.20 8.58 18.20 18.20 18.20 18.20 18.20 18.20 18.20 18.20 18.20 VPEg 15%, 0 FRK 15%, 20
Total 26.78 26.78 26.78 26.78 26.78 26.78 36.40 36.40 36.40 36.40 191.42 30.58
Esta alternativa implica un egreso anual de 30.58 MUS$ durante los próximos 20 años. Emilio Porras Sosa
380
Método del Costo Anualizado Alternativa “B”: Reemplazo Total por Oxidador de Doble Capacidad 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Inversión 112.0
Costos
Depreciación
14.00 14.00 14.00 14.00 14.00 14.00 14.00 14.00 14.00 14.00
10.08 10.08 10.08 10.08 10.08 10.08 10.08 10.08 10.08 10.08
(11.20) VPEg 15%, 0 FRK 15%, 6
Fegr 112.0 6.78 6.78 6.78 6.78 6.78 6.78 6.78 6.78 6.78 6.78 (11.20) 143.60 28.61
Esta alternativa implica un egreso anual de 28.61 MUS$ durante los proximos 20 años. Emilio Porras Sosa
381
Método del Costo Anualizado Conclusión.- Dado que los Egresos anualizados (FRK) de la alternativa A (30.58 MUS$/año) son mayores que los de B (28.61 MUS$/año), es conveniente vender el triturador antiguo y comprar uno nuevo del doble de capacidad. La elección de la alternativa B generará un ahorro anual de 30.5828.61=1.97 MUS$ durante los próximos 20 años.
Emilio Porras Sosa
382
Método del Costo Anualizado Momento Óptimo para Reemplazar un Equipo Este análisis se realiza cuando el equipo que viene operando está en condiciones de continuar trabajando pero existen en el mercado equipos que pueden prestar el mismo servicio y por sus mejores características, tienen costos de operación y mantenimiento inferiores. Se plantea varias alternativas que se caracterizarán por variar el tiempo de operación con el equipo antiguo antes de reemplazarlo por el nuevo.
Alternativa Alternativa Alternativa Alternativa Alternativa Alternativa
1 2 3 4 5 6
1 A A A A A N
A: Equipo Antiguo Emilio Porras Sosa
2 A A A A N N
3 A A A N N N
4 A A N N N N
5 A N N N N N
N: Equipo Nuevo 383
Método del Costo Anualizado Ejemplo: Se estudia el reemplazo de un equipo que viene operando hace 4 años. El equipo puede operar 3 años más (años 1, 2 y 3) y sus costos de operación y de mantenimiento serán de 26.0, 28.0 y 30.0 MUS$/año respectivamente. Si se adquiere uno nuevo en este momento (año 0), su costo será 40 MUS$ y sus costos de operación y mantenimiento serán de 20.0 MUS$/año. Este equipo tiene una vida útil de 5 años y un valor de salvamento de 10.0 MUS$. La compañía que vende el equipo nuevo pagará 9.0 MUS$ por el antiguo. Si se demora la adquisición del equipo nuevo en 1, 2 ó 3 años el valor que se recibirá por la unidad actual será de 7.0, 5.0 y 3.0 MUS$ respectivamente. Considerar 2 MUS$/año como depreciación del equipo antiguo. ¿Cuándo se debe reemplazar el equipo? Asumir 30% de tasa de impuesto a la renta y 15% de tasa de descuento?. Emilio Porras Sosa
384
Método del Costo Anualizado Solución: Con el equipo antiguo se puede operar hasta el tercer año. Sea A el año en que se opera con el equipo antiguo y N con el nuevo.
Alternativa A B C D
1 N A A A
2 N N A A
3 N N N A
4 N N N N
5 N N N N
Reemplazo Reemplazo Reemplazo Reemplazo
en en en en
el el el el
año año año año
1 2 3 4
En la matriz anterior se aprecia que la diferencia entre las cuatro alternativas son los tres primeros años de operación. Por lo tanto, bastará con analizar los tres primero años y elegir en base a este análisis la mejor alternativa. En todas las alternativas lo que ocurra del año 4 para adelante es igual y en consecuencia no influyen en la decisión. Emilio Porras Sosa
385
Método del Costo Anualizado Un Año de Operación con el Equipo Antiguo
0 1
Inversión Costos Depreciación 9.0 (7.0) 26.0 2.0 VPEg 15%, 0 FRK 15%, 1
Fegr 9.0 10.6 18.22 20.95
Dos Años de Operación con el Equipo Antiguo
0 1 2
Emilio Porras Sosa
Inversión Costos Depreciación 9.0 26.0 2.0 (5.0) 28.0 2.0 VPEg 15%, 0 FRK 15%, 2
Fegr 9.0 17.6 14.0 34.89 21.46 386
Método del Costo Anualizado Tres Años de Operación con el Equipo Antiguo
0 1 2 3
Emilio Porras Sosa
Inversión Costos Depreciación 9.0 26.0 2.0 28.0 2.0 (3.0) 30.0 2.0 VPEg 15%, 0 FRK 15%, 3
Fegr 9.0 17.6 19.0 17.4 50.11 21.95
387
Método del Costo Anualizado Equipo Nuevo 0 1 2 3 4 5
Emilio Porras Sosa
Inversión Costos Depreciación 40.0 20.0 6.0 20.0 6.0 20.0 6.0 20.0 6.0 (10.0) 20.0 6.0 VPEg 15%, 0 FRK 15%, 5
Fegr 40.0 12.2 12.2 12.2 12.2 2.2 75.92 22.65
388
Método del Costo Anualizado Flujo de Egresos de las Alternativas Las cuatro alternativas se diferencian sólo en los tres primeros años (1, 2 y 3 ), a partir del cuarto año se operará con el equipo nuevo sea cual fuere la alternativa. Sólo es necesario construir perfil de egresos para los años 1, 2 y 3.
Alternativa A B C D
1 22.65 20.95 21.46 21.95
2 22.65 22.65 21.46 21.95
3 22.65 22.65 22.65 21.95
VPEg 15%, 0 51.71 50.24 49.78 50.11
La alternativa que genera menos egresos a la empresa es la C, por lo tanto conviene operar con el equipo antiguo hasta el año 2 y el equipo nuevo iniciaría su operación en el año 3. Emilio Porras Sosa
389
Selección de Alternativas de Reemplazo Método de Alternativas Equivalentes En algunas oportunidades resulta de suma importancia buscar las condiciones en que las alternativas resulten equivalentes. A las condiciones y/o valor de las variables que hacen equivalentes a las diferentes alternativas se les conoce como puntos isocostos. Muchas veces es necesario efectuar un análisis de este tipo, especialmente cuando una variable no es conocida, se busca el valor de dicha variable que hace que las alternativas sean equivalentes.
Emilio Porras Sosa
390
Método de Alternativas Equivalentes Ejemplo: Una planta de separación de líquidos de Gas Natural reemplazará los quemadores de un horno por otros de mejor rendimiento. Se dispone de dos alternativa cuyas características se muestran a continuación:
Inversión Costos Operativos Valor de rescate Vida Útil
A 12,000 4,800 1,000 10
B 25,000 US$ 3,800 US$/año 1,000 US$ ¿? Años
¿Cual sería la vida útil de la alternativa B, para que ambas sean equivalentes?. Considere como Tasa de Descuento 8%/año y cero de impuesto a la renta.
Emilio Porras Sosa
391
Método de Alternativas Equivalentes Solución: Las alternativas serán equivalentes si sus costos anualizados son iguales, sea N la Vida Útil de la Alternativa B. Alternativa A: 1.08 10 * 0.08 Costo anual = (12000 - 1000 / (1.08) 10 )
+ 4800 = 6519.32 1.08 10 - 1
Alternativa B: 1.08 N * 0.08 Costo anual = (25000 - 1000 / (1.08) N )
+ 3800 = 6519.32 1.08 N - 1
Resolviendo: N = 16.9 años. B deberá tener una vida útil igual 16.9 años, para que las alternativas sean equivalentes. Si la vida útil de B es menor, la alternativa A resulta más atractiva Emilio Porras Sosa
392
Método de Alternativas Equivalentes N FRK A 8%, 10 FRK B 8%, N
13 6,519 6,917
14 6,519 6,791
15 6,519 6,684
16 6,519 6,591
17 6,519 6,511
18 6,519 6,441
19 6,519 6,379
20 6,519 6,324
21 6,519 6,276
22 6,519 6,233
7000 Costo Anualizado
6900
Alternativa B
6800
Equivalencia de las Alternativas
6700 6600
Alternativa A
6500 6400 6300 6200 13
Emilio Porras Sosa
15 17 19 Vida Útil de la Alternativa B
21
393
Método de Alternativas Equivalentes Ejemplo: Una planta de fuerza está estudiando la alternativa más ventajosa para generar electricidad, una es con motores Diesel y la otra es con turbinas de vapor. A continuación los datos relativos a dichas alternativas:
Inversión Costos Variable Costos Fijos Valor de Rescate Vida Útil
Motores Turbinas a Diesel Vapor 160 120 US$/Hp 0.004 0.006 US$/Hp-hr 14% 14% Inversión 16 12 US$/Hp 10 10 Años
Ignore los efectos tributarios y determine el número de horas operativas que hace que las alternativas sean equivalentes, asuma 10%año como tasa de descuento. Emilio Porras Sosa
394
Método de Alternativas Equivalentes Solución: Las alternativas serán equivalentes si sus costos anualizados son iguales, sea n las horas anuales de operación. Motores Diesel: 1.10 10 * 0.10 Costo anual = (160 - 16 / (1.10) 10)
+ 0.14*160 + 0.004 n 1.10 10 - 1
Costo anual = 47.435 + 0.004 n US$/Hp-año Turbinas a Vapor: 1.10 10 * 0.10 Costo anual = (120 - 12 / (1.10) 10)
+ 0.14*120 + 0.006 n 1.10 10
- 1
Costo anual = 35.577 + 0.006 n US$/Hp-año Igualando: 47.435 + 0.004 n = 35.577 + 0.006 n
n = 5929.4 horas.
Para que ambas alternativas sean equivalentes, las horas de operación al año deberán ser 5929.4, si es menor, será mas atractivo el uso de turbinas de vapor.
Emilio Porras Sosa
395
Método de Alternativas Equivalentes n FRK A 10%, 10 FRK B 10%, N
5000 67.4 65.6
5200 68.2 66.8
5400 69.0 68.0
5600 69.8 69.2
5800 70.6 70.4
6000 71.4 71.6
6200 72.2 72.8
6400 73.0 74.0
6600 73.8 75.2
6800 74.6 76.4
Costo Anualizado (US$/Hp-hr)
77 75 Equivalencia de las Alternativas
73 71 69
Mot
sel e i or D
67
Tu 65 5000
Emilio Porras Sosa
na i b r
a
r po a V
5500 6000 Horas Anuales de Operación
6500
396
Método de Alternativas Equivalentes Ejemplo: Se instaló un intercambiador de calor para recuperar energía a un costo de US$ 19600, con un rendimiento garantizado de 600000 Btu/hora. Después de las pruebas efectuadas se encontró que recupera el 95% de la energía garantizada. El costo de la energía es de 0.95 US$/10 6 BTU, el costo de capital 8%/año y 6 años de operación durante 7000 horas/año. Determinar cual deberá ser la penalidad a aplicarse en el precio del intercambiador debido a su menor eficiencia. Solución: Pérdidas = 600000*0.05* 0.95 US$/10 6 * 7000 = 199.5 US$/año 1.08 6 - 1 VP Perdida 8%, 0 = 199.5
= 922.26 US$ 1.08 6 * 0.08
Deberá penalizarse con US$ 922.26, esto es pagar por el intercambiador US$ 18677.74 Emilio Porras Sosa
397
Método de Alternativas Equivalentes Ejemplo: Se desea montar un sistema de bombeo y se cuentan con dos tipos de bombas cuyas características se resumen a continuación: Bomba A Bomba B Inversión 12,000 17,000 Eficiencia 86 90 Costo de Operación y Mantenimiento 840 1,190 Valor de rescate 600 850
US$ % US$/año US$
La potencia neta requerida es de 40 HP y el costo de la energía es de 0.16 US$/Kw-hr, la vida útil de los equipos es de 12 años y la tasa de descuento 12%año. Determinar cuantas horas de operación hacen equivalentes a ambas alternativas.
Emilio Porras Sosa
398
Método de Alternativas Equivalentes Solución: Sea N las horas de operación por año. Bomba A: Costo Energía: (40*0.7457) * N * 0.16 /0.86 = 5.5494 N US$/año Anualidad de la Inversión y Valor de Rescate: 1.12 12 * 0.12 (INV+VS) 12%, 12 = (12000 - 600/1.1212 )
= 1912.38 US$/año 1.12 12 - 1
Costo Total = Energía + Inversión + Operación y Mantenimiento Costo Total = 5.5494 N + 1912.38 + 840 = 2752.38 + 5.5494 N US/año
Emilio Porras Sosa
399
Método de Alternativas Equivalentes Bomba B: Costo Energía: (40*0.7457) * N * 0.16 /0.90 = 5.3028 N US$/año Anualidad de La Inversión y Valor de Rescate: 1.12 12 * 0.12 (INV+VS) 12%, 12 = (17000 - 850/1.1212 )
= 2709.20 US$/año 1.12 12 - 1
Costo Total = 5.3028 N + 2709.20 + 1190 = 3899.20 + 5.3028 N US$/año Igualando los costos anuales: 2752.38 + 5.5494 N = 3899.20 + 5.3028 N N = 4650 horas. Si la horas operativas son menores a 4650 horas, la Bomba A es mejor. Emilio Porras Sosa
400
Método de Alternativas Equivalentes N (Hrs Operativas) Bomba A Bomba B B-A
4,000 24,959 25,119 160
4,200 26,069 26,180 111
4,400 27,180 27,241 61
4,600 28,290 28,302 12
4,800 5,000 5,200 5,400 29,400 30,511 31,621 32,731 29,363 30,424 31,485 32,546 (38) (87) (136) (186)
200
Costo Anualizado (B-A)
150 100
Equivalencia de las Alternativas
50 0 4000 -50
4200
4400
4600
4800
5000
5200
5400
-100 -150 -200 Horas Anuales de Operación
Emilio Porras Sosa
401
Método de Alternativas Equivalentes Ejemplo: La inversión en la reparación mayor de un equipo de refrigeración (actualmente, año cero, en operación) es de US$ 6000, se realizará en el año cero para que el equipo pueda permanecer operativo en el año 1. Luego se efectuarán reparaciones mayores en el año 4 por US$ 15000 y en el año 5 por US$ 60000, el equipo permanecerá operativo hasta el año 10 y no tendrá valor de rescate. Como alternativa se puede comprar un equipo nuevo, el viejo se vendería a US$ 3000 en el año 1, que tendrá una vida útil de 10 años sin valor de rescate. El nuevo diseño originará ahorros en costos laborales de 2000 US$/año y requerirá de 600 US$/año adicional en mantenimiento. Si la tasa de descuento es de 10% año e ignorando el efecto del impuesto a la renta, determine el precio máximo a pagar por el sistema nuevo. Emilio Porras Sosa
402
Método de Alternativas Equivalentes Solución: En el caso del equipo antiguo, los mantenimientos mayores son inversiones ya que se ejecutan para prolongar su vida útil. El hecho de no venderlo en el año 1, implica que la empresa no dispondrá del ingreso de US$ 3000. Los costos operativos del equipo nuevo serán el ahorro (-2000 US$) más los costos de mantenimiento adicionales (US$ 600), haciendo un neto de –1400 US$.
Emilio Porras Sosa
403
Método de Alternativas Equivalentes Flujo de Egresos de las Alternativas:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Equipo Antiguo Inversión Costos 6,000 3,000 15,000 6,000
VPEg 10%,0
Fegr 6,000 3,000 15,000 6,000 23,723
Equipo Nuevo Inversión Costos Fegr X X (1,400) (1,400) (1,400) (1,400) (1,400) (1,400) (1,400) (1,400) (1,400) (1,400) (1,400) (1,400) (1,400) (1,400) (1,400) (1,400) (1,400) (1,400) (1,400) (1,400) VPEg 10%,0 X - 8602
Equivalencia: X - 8602 = 23723
X = 32325 US$
En caso el sistema nuevo costara más de 32325 US$, será mas ventajoso continuar operando con el sistema antiguo. Emilio Porras Sosa
404
12 ANALISIS DE RIESGO
Emilio Porras Sosa
405
Análisis de Riesgo Cuando la rentabilidad de un proyecto, no es conocida con plena certidumbre, sino su distribución de probabilidades de ocurrencia se dice que hay riesgo.
P
P
P
VPN
VPN CERTIDUMBRE
Emilio Porras Sosa
RIESGO
VPN INCERTIDUMBRE
406
Análisis de Riesgo Riesgo e Incertidumbre
INCERTIDUMBRE
Emilio Porras Sosa
+
DISTRIBUCION DE PROBABILIDADES DE OCURRENCIA
RIESGO
407
Análisis de Riesgo Fuentes de Riesgo e Incertidumbre Los FNF´s fueron calculados de los Estados Financieros que fueron elaborados para el escenario esperado, para lo cual se proyectaron las variables relevantes del proyecto como son: • • • • • •
Inversión. Precios (Venta, M.P., insumos). Niveles de Producción. Volumen de Ventas. Eficiencia de proceso (rendimientos). Consumo de Materia prima, materiales y servicios.
Cuanto más lejano del presente está el período proyectado, la probabilidad de ocurrencia del escenario esperado, y por lo tanto del FNF esperado, en dicho período es menor.
Emilio Porras Sosa
408
Análisis de Riesgo Riesgo y Tiempo Cuanto más lejano del presente esté el período proyectado, menor será la probabilidad de ocurrencia del valor esperado de las variables. VMAX Valor de la Variable V
E
V
do a er p Es
(V
)
VMIN
. Tiempo Emilio Porras Sosa
409
Análisis de Riesgo Ejemplo de Variables Relevantes en la Industria del Petróleo A.- Reservas recuperables
B. Perforación y producción
• Área Productiva • Espesor de formación • Porosidad • Saturación de Agua • Factores de Recuperación. • Factor de volumen de formación de petróleo. • Porcentaje petróleo y gas en la estructura. • Temperatura y presión del reservorio. • Compresibilidad, etc.
• Número de pozos perforados. • Recuperación/pozo. • Potencial Inicial/pozo. • Velocidad de declinación. • Velocidad de Abandono. • Numero de pozos secos. • Número de Plataformas. • Tamaño de ductos. • Producción diferida por perforación o construcción de ductos, etc.
C.- Costos e ingresos • Costo de Perforación. • Costo de Plataforma. • Precios de petróleo y gas. • Costos Operativos. • Costo de facilidades de producción. • Impuestos. • Regalías, etc. Emilio Porras Sosa
410
Análisis de Riesgo Medición del Riesgo El VPN esperado (VPNE) es la esperanza de los VPN´s VPNE = Σ Pi VPNi P
σ 2 = Σ Pi (VPNi - VPNE ) 2 P
P VPNE = 100
VPNE = 100
VPN
VPNE = 100
VPN
VPN
A pesar que el VPNE de las tres alternativas es el mismo, estos no pueden ser comparados ya que involucran diferentes niveles de riesgo. El VPN no es un buen indicador cuando hay riesgo o incertidumbre de por medio. Emilio Porras Sosa
411
Análisis de Riesgo VPN Esperado y Riesgo Existen dos proyectos excluyentes, A y B, los ingresos dependen del escenario sea prospero o recesivo, los egresos son similares en ambos proyectos y no dependen de los escenarios.
Probabilidad
A
B
VP Ingresos Escenario 1 Escenario 2 VP Esperado de Ingresos VP Esperado de Egresos VPNE
0.80 0.20
2000 100 1620 1000 620
1750 1100 1620 1000 620
ING EA = 0.8*200 + 0.2*100 = 1620 ING EB = 0.8*1750 + 0.2*1100 = 1620 Según el VPNE ambos proyectos son iguales. Debido a que el nivel de riesgo es diferente en cada uno de ello, los VPNE no son comparables. Emilio Porras Sosa
412
Análisis de Riesgo Distribución de Probabilidades y Riesgo Utilizaremos el ejemplo anterior para verificar que ambos proyectos no tienen el mimo nivel de riesgo. P
A
B
VPN Escenario 1 0.80 Escenario 2 0.20 VPNE Varianza - σ 2 Desviación Estandar - σ E σUNITARIO = σU = σ / VPN
1000 -900 620 577600 760 1.23
750 100 620 67600 260 0.42
• A presenta más riesgo que B. • A tiene 20% de probabilidad de ser no rentable, B tiene 100% de probabilidad de ser rentable. • A pesar que los VPN esperados son iguales, los proyectos no son equivalentes y por lo tanto sus VPN´s esperados no son comparables. Emilio Porras Sosa
413
Análisis de Riesgo VPN Esperado en Perforación de Desarrollo
Pozo Seco Pozo Productivo
Probabilidad de Ocurrencia 0.4 0.6
VPN Esperado = VPNE =
VPN 15%, 0 -20.0 60.0 28.0
El VPN esperado indica que el proyecto es rentable, el análisis de la distribución de probabilidades señala que existe 40% de probabilidad que el proyecto no sea rentable. El VPN esperado es un indicador de rentabilidad riesgoso o incierto ya que se determinó de los FNF esperados (que también son riesgosos o inciertos). Emilio Porras Sosa
414
Análisis de Riesgo Introducción del Riesgo en el Análisis de Inversiones Hay varios métodos, que en cierta medida, tratan de introducir el factor de riesgo o incertidumbre en la evaluación de inversiones: • Tasa de Descuento Ajustada. • Método del Equivalente de Certeza. • Árboles de decisión. • Análisis de Sensibilidad. • Método de Simulación.
El método que mejor muestra el efecto del riesgo (distribución de probabilidades de ocurrencia de la variables) en la evaluación de inversiones es el método de simulación.
Emilio Porras Sosa
415
Tasa de Descuento Ajustada (TDA) Este método, modifica el denominador de la ecuación del VPN: N
FNFEJ
J=0
(1+TD)J
VPNE TD, 0 = Σ
El FNFE es riesgoso y la TD es certera Æ VPNE es riesgoso. Para corregir el riesgo, a la TD se le adiciona una prima por riesgo (PR ) convirtiéndola en la TDA (que es una tasa riesgosa). De manera que el numerador y denominador sean riesgosos y por lo tanto se anulen, resultando el VPN certero. TDA = TD + PR
PR es función del riesgo ( σ ): PR ≈ σ
Si existen dos proyectos que comparar:
PRA = PRB σAU / σBU
Proyectos de alto riesgo (σ grande) tendrán PR mayores. N
VPN certero = VPNC TDA, 0 = Σ
J=0
Emilio Porras Sosa
FNFEJ (1+TDA)J
N
= Σ J=0
FNFEJ (1+TD+PR)J 416
Tasa de Descuento Ajustada (TDA) Ejemplo: En el ejemplo de los Estados Financieros determinar el VPN si la PR es 5%, compararlo con el VPN (VPN esperado). TD = 15%
PR = 5% Æ
0 FNFE (MMUS$ de 0) Ev. Económica -136.0 Ev. Financiera -76.0
Ev. Económica Ev. Financiera
1 -60.2 -78.7
TDA = 20%. 2 53.4 36.6
3 61.4 46.2
4 79.7 66.0
Rentabilidad Esperada VPNE 15%, 0 TIRE 113.3 26.1% 126.7 29.9%
5 70.1 70.1
6 46.3 46.3
7 82.0 82.0
8 67.0 67.0
9 62.2 62.2
10 202.3 202.3
Rentabilidad Certera VPNC 20%, 0 TIRC 51.8 69.3 -
Se aprecia que el proyecto sigue siendo rentable en un escenario certero. Se observa que la rentabilidad certera es menor que la esperada, esto debido a que el proyecto se ve castigado por la Prima por Riesgo. La desventaja del método de la TDA es que no puede determinar la TIR certera.
Emilio Porras Sosa
417
Método del Equivalente de Certeza (MEC) A diferencia del método de la TDA que actúa sobre el denominador de la ecuación del VPN, este método actúa sobre el numerador y convierte el FNF esperado (riesgoso) en FNF certero multiplicándolo por un factor de equivalencia de certeza (α). FNFC J = α J FNFE J El factor de equivalencia de certeza será inversamente proporcional al riesgo, para el FNF que no muestra riesgo será igual a 1. Los FNF futuros más alejados del presente serán más riesgosos y por lo tanto su factor de equivalencia de certeza será menor. α J ≈ 1/σ
J ↑ Æ σ ↑ Æ αJ ↓ N
FNFCJ
J=0
(1+TD)J
VPN certero = VPNC TD, 0 = Σ
N
= Σ J=0
α J FNFEJ (1+TD)J
En el método TDA se corrige el denominador y en el MEC se corrige el numerador de la ecuación del VPN, pero ambos métodos deben ser equivalentes, puesto que deben proporcionar el mismo VPN certero. Al Contar con el FNF certero ya se puede calcular la TIR certera.
Emilio Porras Sosa
418
Equivalencia entre la TDA y el MEC
FNFCJ
N
N
VPNC TD, 0 = Σ J=0
FNFCJ
VPNC TDA, 0 = Σ (1+TD)J
J=0
α J FNFEJ
FNFEJ =
(1+TD)J
FNFEJ (1+TD+PR)J
FNFEJ =
(1+TD+PR)J
(1+TD)J
1 + TD
(1+TD+PR)J
J
αJ = 1 + TD + PR Si la TD es real, la PR también deberá ser real, lo mismo que α. Si la TD es corriente, la PR también deberá ser corriente, lo mismo que α.
Emilio Porras Sosa
419
Método del Equivalente de Certeza (MEC) Ejemplo: Determinar el FNF y la rentabilidad certeros del ejemplo de los Estados Financieros asumir que la Prima por Riesgo Real es 5%/Año (PR). TDA = TD + PR
α J = [ (1+TD) / (1+TDA) ] J
α J = ( 1.15 / 1.20 ) J
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 FNFE (MMUS$ de 0) Ev. Económica -136.0 -60.2 53.4 61.4 79.7 70.1 46.3 82.0 67.0 62.2 202.3 Ev. Financiera -76.0 -78.7 36.6 46.2 66.0 70.1 46.3 82.0 67.0 62.2 202.3 1.0000 0.9583 0.9184 0.8801 0.8435 0.8083 0.7746 0.7424 0.7114 0.6818 0.6534 αJ C FNF (MMUS$ de 0) Ev. Económica -136.0 -57.7 49.1 54.1 67.2 56.7 35.9 60.9 47.7 42.4 132.2 Ev. Financiera -76.0 -75.4 33.6 40.7 55.7 56.7 35.9 60.9 47.7 42.4 132.2
Ev. Económica Ev. Financiera
Rentabilidad Esperada VPNE 15%, 0 TIRE 113.3 26.1% 126.7 29.9%
Rentabilidad Certera VPNC 15%, 0 TIRC 51.8 20.8% 69.3 24.5%
Se verifica la equivalencia entre los métodos de la TDA y del MEC, también se muestra que el MEC en el único método que proporciona la TIRC. Emilio Porras Sosa
420
Árboles de Decisión Se utiliza cuando el proyecto involucra muchas actividades o alternativas excluyentes para su ejecución, y por lo tanto se debe tomar la decisión de que alternativa realizar. Cada alternativa tiene una distribución de probabilidades de ocurrencia (eventos), o sea que es un escenario de riesgo.
.
Decisión
Primero se deben tomar las decisiones más internas
Eventos (Probabilidad de Ocurrencia) Emilio Porras Sosa
421
Árboles de Decisión Ejemplo: El futuro presenta dos escenarios: próspero (demanda alta) y recesivo (demanda baja), se desea determinar si la Planta a instalar debe ser de gran capacidad o de tamaño medio. Utilizar como Tasa de Descuento Real (TD) 10%/año. D. Alta D. Alta P = 0.6
(4 00 $)
R G
DE N A
200 $
(100 $)
D. Baja P = 0.4
A AN DI ) ME 0 0 $ (2
D. Alta100 $ P = 0.6
ediana Otra m 0$) (20
0$
D. Baja P = 0.4
. Emilio Porras Sosa
AÑO 0
0$
AÑO 1
P = 0.8
1000$
D. Baja P = 0.2
50$
D. Alta P = 0.3
500$
D. Baja P = 0.7
(500$)
800$ D. Alta P = 0.8 D. Baja 200$ P = 0.2 400$ D. Alta P = 0.8 D. Baja P = 0.2 D. Alta P = 0.3 D. Baja P = 0.7 AÑO 2
200$ 300$ 0$ 422
Árboles de Decisión Se toma la decisión más interna, construir o no otra planta mediana en el año 1: (200$)
0$
Año 1
D. Alta P = 0.8
800$
D. Baja P = 0.2
200$
D. Alta P = 0.8 D. Baja P = 0.2 Año 2
400$ 200$
Construir otra planta: - 200 0.8*800 + 0.2*200 E VPN 10%, 1 = + = 418.2 $ (1.1)0 (1.1)1 No Construir: 0.8*400 + 0.2*200 E VPN 10%, 1 = = 327.3 $ 1 (1.1) De acuerdo al VPNE, es conveniente construir otra planta mediana en el año 1. Emilio Porras Sosa
423
Árboles de Decisión Incluyendo la decisión anterior en el árbol principal. AÑO 0
AÑO 1
AÑO 2
D. Alta
200 $
G R (4 AN 00 D $) E
P = 0.6
A AN DI ) ME 00$ (2
D. Alta P = 0.6
D. Baja P = 0.4 Emilio Porras Sosa
(100 $)
D. Baja P = 0.4 100 $ -200 $ -100 $
0$
D. Alta P = 0.8
1000$
D. Baja P = 0.2
50$
D. Alta P = 0.3
500$
D. Baja P = 0.7
(500$)
D. Alta P = 0.8
800$
D. Baja P = 0.2
200$
D. Alta P = 0.3
300$
D. Baja P = 0.7
0$ 424
Árboles de Decisión Construir Planta Grande -400 VPNE 10%, 0 =
0.6*200+0.4(-100)
0.6(0.8*1000+0.2*50)+0.4(0.3*500+0.7(-500))
+
+
1.10
1.11
1.12
VPNE 10%, 0 = 8.3 $ Construir Planta Mediana -200 VPNE 10%, 0 =
0.6*(-100)+0.4*0 +
1.10
0.6(0.8*800+0.2*200)+0.4(0.3*300+0.7*0) +
1.11
1.12
VPNE 10%, 0 = 112.4 $ Es mucho más conveniente construir la planta mediana. Emilio Porras Sosa
425
Árboles de Decisión Ejemplo: Evalúe si es conveniente efectuar sísmica o no en el siguiente diagrama: (TD: 15%) Se encuentra petróleo
De
No
No s e
sfa p= vo 0.3 ra ble
(3 0
Ha
ce r
sí s M mic $) a
e abl r o Fav p=0.7
a Perfor $) (100 M
perfo ra
a Perfor $) (100 M
No s e pe
rfor
No se encuentra petróleo p = 0.15 Se encuentra petróleo p = 0.10 p = 0.90 No se encuentra petróleo
Se encuentra petróleo p = 0.55
a Perfor $) (100 M
No s e pe
AÑO 0
rfor
400 M$
0 M$ 0 M$ 400 M$ 0 M$ 0 M$
a
ha ce rs ísm ica
Emilio Porras Sosa
p = 0.85
p = 0.45 No se encuentra petróleo
400 M$ 0 M$ 0 M$
a
AÑO 1 426
Árboles de Decisión Hay tres decisiones internas que se deben evaluar: 1. Perforar o no en sísmica favorable. • Perforar: VPNE 15%, 0 = -100 / (1.15)0 + (0.85*400+ 0.15*0 ) / (1.15)1 = 195.7 M$ • No Perforar: VPNE 15%, 0 = 0
* Conviene perforar
2. Perforar o no en sísmica desfavorable. • Perforar: VPNE 15%, 0 = -100 / (1.15)0 + (0.1*400+ 0.9*0) / (1.15)1 = - 62.2 M$ • No Perforar: VPNE 15%, 0 = 0
* No conviene perforar.
3. Perforar o no sin sísmica. • Perforar: VPNE 15%, 0 = -100 / (1.15)0 + (0.55*400+ 0.45*0) / (1.15)1 = 91.3 M$ • No perforar: VPNE 15%, 0 = 0
Emilio Porras Sosa
* Conviene perforar.
427
Árboles de Decisión Ingresando las decisiones tomadas en el árbol principal: AÑO 1
AÑO 0
Se encuentra petróleo p = 0.85 p = 0.15 No se encuentra petróleo
f. Des
0.3 p=
ica ísm s r $) ce M a H (30
p= 0.7
Fav .
(100 M$)
400 M$
0 M$
0 M$
No r ce ha ca mi sís
Se encuentra petróleo (100 M$)
400 M$
p = 0.55 p = 0.45 No se encuentra petróleo
Emilio Porras Sosa
0 M$ 428
Árboles de Decisión Hacer Sísmica: -30 VPNE 15%, 0 =
-100 + 0.7
1.150
0.85*400+0.15*0 +
1.150
0.3*0 +
1.151
= 107.0 M$ 1.151
No hacer Sísmica: -100 VPNE 15%, 0 =
0.55*400+0.45*0 +
1.150
= 91.3 M$ 1.151
Conviene efectuar sísmica. Emilio Porras Sosa
429
Árboles de Decisión Ejemplo: Determinar cual de los proyectos es de mayor riesgo en el siguiente árbol de decisión, indicar el VPNC. La tasa de descuento certera (TD) es 10% y la prima por riesgo (PR ) es de 5% para un proyecto de σ unitario (σ U) de 8. Año 0
Año 1 P=0.7 80
-100
-120
.
P=0.3 30
P=0.7 100
P=0.3 20 Emilio Porras Sosa
Año 2 P=0.9
90
P=0.1
25
P=0.3
85
P=0.7
-10
P=0.9
120
P=0.1
0
P=0.3
85
P=0.7
-30
430
Árboles de Decisión Solución: Es necesario determinar los escenarios y las probabilidades de ocurrencia de cada uno de ellos. En el árbol se observa que existen 4 escenarios.
A Probabilidad Año 1 Año2 Probabilidad de Ocurrencia del Escenario
Escenarios B C
D
0.7 0.9
0.7 0.1
0.3 0.3
0.3 0.7
0.63
0.07
0.09
0.21
σB U PR B = PR A σA U
Emilio Porras Sosa
431
Árboles de Decisión Alternativa 1. A 0.63
Escenarios B C 0.07 0.09
D 0.21
Probabilidad FNF 0 1 2 VPN 10%, 0 TIR (VPN-VPNE) 2
-100 80 90 47.11 43.0% 1,233.7
-100 80 25 -6.61 4.0% 345.8
Varianza = σ 2 =
2,635.6
Desviación Estándar = σ =
-100 30 85 -2.48 8.4% 209.2
-100 30 -10 -80.99
Escenario Esperado 1.00 -100 65 64 11.98 18.8%
8,644.4 51.34
Desviación Estándar Unitario = σ U = 4.28 Prima por Riesgo = PR =4.28 * 0.05 / 8 = 0.027 = 2.7% TDA = 10% + Emilio Porras Sosa
2.7% =
12.7%
VPN C 12.7%, 0 = 8.10 432
Árboles de Decisión Alternativa 2.
A 0.63
Probabilidad FNF 0 1 2 VPN 10%, 0 TIR (VPN-VPNE) 2
-120 100 120 70.08 50.0% 3,294.4
Varianza = σ 2 =
6,448.7
Escenarios B C 0.07 0.09
D 0.21
-120 100 0 -29.09
-120 20 85 -31.57
-120 20 -30 -126.61
1,745.3
1,958.6
19,403.8
Desviación Estándar = σ =
Escenario Esperado 1.00 -120 76 76.95 12.69 17.8%
80.30
Desviación Estándar Unitario = σ U = 6.33 Prima por Riesgo = PR =6.33 * 0.05 / 8 = 0.04 = 4.0% TDA = 10% +
4% =
14.0%
VPN C 14.0%, 0 = 5.95
Es mejor la Alternativa 1, cuya inversión es 100. Emilio Porras Sosa
433
Análisis de Sensibilidad Estudia la variación de la rentabilidad con las variables más importantes del proyecto. También determina que variables son las que más influyen en el proyecto desde el punto de vista de variabilidad. Los pasos para realizar el análisis de sensibilidad son los siguientes: 1. Se identifican las variables relevantes e independientes del proyecto. 2. En adición al valor esperado de las variables, se identifican los valores mínimos y máximos que alcanzarían las variables. Estos valores se expresan como tanto por uno del valor esperado. Valor mínimo:
VMIN
Æ
VMIN / VE = β MIN
Valor esperado:
VE
Æ
β E = 1.0
Valor máximo:
VMAX
Æ
VMAX / VE = β MAX
En general: β = V / VE Emilio Porras Sosa
V = β VE 434
Análisis de Sensibilidad 3. Se varía el valor de la primera variable relevante e independiente desde su VMIN (β MIN) hasta su VMAX (β MAX), mientras que las otras permanecen en su valor esperado, y se determina la rentabilidad del proyecto. 4. Se retorna la variable anterior a su valor esperado VE (β = 1), y se repite el paso 3 para todas las variables identificadas en el paso 1. 5. Con los resultados se construye la matriz de rentabilidad.
Emilio Porras Sosa
435
Análisis de Sensibilidad Matriz de Rentabilidad β 0.70 0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 Escenario Esperado
VPN TD, 0 Variable 1 Variable 2 Variable 3 Variable 4 Variable 5
1.00 1.05 1.10 1.15 1.20 1.25 1.30
Emilio Porras Sosa
436
Análisis de Sensibilidad 6. En la matriz anterior se determina el número de puntos (#VPNs) y el número de VPN negativos (#VPN(-)). La siguiente relación proporciona un indicio de la probabilidad que el proyecto no sea rentable. # VPN´s (-) δ = # VPN´s 7. Para determinar la sensibilidad de la rentabilidad (sensibilidad del proyecto) respecto a cada variable, se grafica el VPN vs β .
Emilio Porras Sosa
437
Análisis de Sensibilidad Sensibilidad a las Variables. VAR 1
VPN TD, 0
VAR 2 VPN E
VAR 3 VPN = 0
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4 VAR 4
β El proyecto es más sensible a las variables VAR 1 y VAR 4, es más estas variables podrían hacer que el proyecto no sea rentable Emilio Porras Sosa
438
Análisis de Sensibilidad Ejemplo: En el ejemplo de los Estados Financieros efectuar el correspondiente análisis de sensibilidad a las siguientes variables. Variables Inversión Precio de la Materia Prima Precio del Producto Costos Variables
Valor Mínimo Valor Máximo (β MAX) (β MIN ) 0.80 0.90 0.90 0.80
1.30 1.10 1.15 1.30
Solución: Se varía una variable por vez y se construye los cuadros de FNF e indicadores de rentabilidad. Emilio Porras Sosa
439
Análisis de Sensibilidad Sensibilidad a la Inversión Evaluación Económica FNF (MMUS$ de 0)
β
0
1
Rentabilidad
2
3
4
5
6
7
8
9
10
VPN 15%, 0 TIR (%)
0.80
-108.8 -58.5
54.9
62.9
81.2
71.6
47.8
83.5
68.5
63.7
203.4
148.1
31.4
0.85
-115.6 -58.9
54.5
62.5
80.8
71.2
47.4
83.1
68.1
63.3
203.1
139.4
29.9
0.90
-122.4 -59.4
54.1
62.2
80.5
70.9
47.1
82.8
67.7
63.0
202.9
130.7
28.5
0.95
-129.2 -59.8
53.8
61.8
80.1
70.5
46.7
82.4
67.4
62.6
202.6
122.0
27.3
1.00
-136.0 -60.2
53.4
61.4
79.7
70.1
46.3
82.0
67.0
62.2
202.3
113.3
26.1
1.05
-142.8 -60.7
53.0
61.1
79.4
69.8
46.0
81.7
66.6
61.9
202.0
104.6
24.9
1.10
-149.6 -61.1
52.7
60.7
79.0
69.4
45.6
81.3
66.3
61.5
201.7
95.9
23.9
1.15
-156.4 -61.6
52.3
60.3
78.6
69.0
45.2
80.9
65.9
61.1
201.4
87.2
22.9
1.20
-163.2 -62.0
51.9
60.0
78.2
68.7
44.9
80.6
65.5
60.8
201.1
78.6
21.9
1.25
-170.0 -62.5
51.6
59.6
77.9
68.3
44.5
80.2
65.2
60.4
200.8
69.9
21.0
1.30
-176.8 -62.9
51.2
59.2
77.5
67.9
44.1
79.8
64.8
60.0
200.5
61.2
20.1
Emilio Porras Sosa
440
Análisis de Sensibilidad Sensibilidad a la Inversión Evaluación Financiera FNF (MMUS$ de 0)
β
Rentabilidad
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0.80
-60.8
-73.2
41.5
50.7
70.2
71.6
47.8
83.5
68.5
63.7
203.4
158.8
36.1
0.85
-64.6
-74.6
40.3
49.6
69.2
71.2
47.4
83.1
68.1
63.3
203.1
150.8
34.4
0.90
-68.4
-76.0
39.0
48.5
68.1
70.9
47.1
82.8
67.7
63.0
202.9
142.8
32.8
0.95
-72.2
-77.3
37.8
47.4
67.1
70.5
46.7
82.4
67.4
62.6
202.6
134.8
31.3
1.00
-76.0
-78.7
36.6
46.2
66.0
70.1
46.3
82.0
67.0
62.2
202.3
126.7
29.9
1.05
-79.8
-80.1
35.4
45.1
64.9
69.8
46.0
81.7
66.6
61.9
202.0
118.7
28.6
1.10
-83.6
-81.4
34.2
44.0
63.9
69.4
45.6
81.3
66.3
61.5
201.7
110.7
27.4
1.15
-87.4
-82.8
33.0
42.9
62.8
69.0
45.2
80.9
65.9
61.1
201.4
102.7
26.2
1.20
-91.2
-84.2
31.8
41.7
61.8
68.7
44.9
80.6
65.5
60.8
201.1
94.7
25.1
1.25
-95.0
-85.5
30.6
40.6
60.7
68.3
44.5
80.2
65.2
60.4
200.8
86.6
24.0
1.30
-98.8
-86.9
29.4
39.5
59.7
67.9
44.1
79.8
64.8
60.0
200.5
78.6
23.0
Emilio Porras Sosa
VPN 15%, 0 TIR (%)
441
Análisis de Sensibilidad Sensibilidad al Precio de la Materia Prima Evaluación Económica FNF (MMUS$ de 0)
β
0
1
2
3
4
5
6
Rentabilidad 7
8
9
10
VPN 15%, 0 TIR (%)
0.80 0.85 0.90
-136.0 -12.8
94.7
102.4 119.7 110.3
88.4
121.0 108.3 103.2 234.1
321.5
47.8
0.95
-136.0 -36.5
74.1
81.9
99.7
90.2
67.4
101.5
87.7
82.7
218.2
217.4
36.7
1.00
-136.0 -60.2
53.4
61.4
79.7
70.1
46.3
82.0
67.0
62.2
202.3
113.3
26.1
1.05
-136.0 -84.0
32.8
40.9
59.7
50.0
25.3
62.6
46.4
41.8
186.4
9.2
15.9
1.10
-136.0 -107.7 12.1
20.5
39.7
29.9
1.7
45.7
25.7
21.3
170.5
-95.0
6.0
1.15 1.20 1.25 1.30
Emilio Porras Sosa
442
Análisis de Sensibilidad Sensibilidad al Precio de la Materia Prima Evaluación Financiera FNF (MMUS$ de 0)
β
4
5
6
Rentabilidad
0
1
2
3
7
8
9
10
VPN 15%, 0 TIR (%)
0.90
-76.0
-31.2
77.9
87.2
106.0 110.3
88.4
121.0 108.3 103.2 234.1
334.9
59.5
0.95
-76.0
-55.0
57.3
66.7
86.0
90.2
67.4
101.5
87.7
82.7
218.2
230.8
43.8
1.00
-76.0
-78.7
36.6
46.2
66.0
70.1
46.3
82.0
67.0
62.2
202.3
126.7
29.9
1.05
-76.0 -102.4 16.0
25.7
46.0
50.0
25.3
62.6
46.4
41.8
186.4
22.7
17.5
1.10
-76.0 -126.2
5.4
26.0
29.9
1.7
45.7
25.7
21.3
170.5
-81.6
6.3
0.80 0.85
-4.8
1.15 1.20 1.25 1.30
Emilio Porras Sosa
443
Análisis de Sensibilidad Sensibilidad al Precio del Producto Evaluación Económica FNF (MMUS$ de 0)
β
0
1
Rentabilidad
2
3
4
5
6
7
8
9
10
VPN 15%, 0 TIR (%)
0.80 0.85 0.90
-136.0 -113.1
-6.8
2.5
26.8
14.5
-17.3
29.8
10.7
3.2
144.6
-171.5
-2.1
0.95
-136.0 -85.8
25.8
33.6
51.4
42.2
18.7
54.2
38.7
34.4
172.5
-25.1
12.5
1.00
-136.0 -60.2
53.4
61.4
79.7
70.1
46.3
82.0
67.0
62.2
202.3
113.3
26.1
1.05
-136.0 -34.7
81.0
89.3
108.0
98.0
74.0
109.9
95.3
90.1
232.0
251.7
39.7
1.10
-136.0
-9.1
108.6 117.1 136.3 125.9 101.6 137.7 123.6 118.0 261.8
390.1
53.7
1.15
-136.0 16.4
136.2 145.0 164.6 153.8 129.3 165.6 151.9 145.9 291.5
528.5
68.1
1.20 1.25 1.30
Emilio Porras Sosa
444
Análisis de Sensibilidad Sensibilidad al Precio del Producto Evaluación Financiera FNF (MMUS$ de 0)
β
0
1
2
Rentabilidad
3
4
5
6
7
8
9
10
VPN 15%, 0 TIR (%)
0.80 0.85 0.90
-76.0 -133.3 -24.8
-13.5
12.7
14.5
-17.3
29.8
10.7
3.2
144.6
-161.3
-2.7
0.95
-76.0 -104.3
9.0
18.4
37.7
42.2
18.7
54.2
38.7
34.4
172.5
-11.7
13.7
1.00
-76.0
-78.7
36.6
46.2
66.0
70.1
46.3
82.0
67.0
62.2
202.3
126.7
29.9
1.05
-76.0
-53.1
64.2
74.1
94.3
98.0
74.0
109.9
95.3
90.1
232.0
265.1
47.7
1.10
-76.0
-27.6
91.8
101.9 122.6 125.9 101.6 137.7 123.6 118.0 261.8
403.5
67.5
1.15
-76.0
-2.0
119.5 129.8 150.9 153.8 129.3 165.6 151.9 145.9 291.5
541.9
89.3
1.20 1.25 1.30
Emilio Porras Sosa
445
Análisis de Sensibilidad Sensibilidad a los Costos Variables Evaluación Económica FNF (MMUS$ de 0)
β
0
1
Rentabilidad
2
3
4
5
6
7
8
9
10
VPN 15%, 0 TIR (%)
0.80
-136.0 -43.3
68.5
76.6
94.8
85.2
61.5
97.2
82.1
77.4
215.5
190.4
33.8
0.85
-136.0 -47.5
64.8
72.8
91.1
81.5
57.7
93.4
78.3
73.6
212.2
171.1
31.9
0.90
-136.0 -51.7
61.0
69.0
87.3
77.7
53.9
89.6
74.6
69.8
208.9
151.8
29.9
0.95
-136.0 -56.0
57.2
65.2
83.5
73.9
50.1
85.8
70.8
66.0
205.6
132.6
28.0
1.00
-136.0 -60.2
53.4
61.4
79.7
70.1
46.3
82.0
67.0
62.2
202.3
113.3
26.1
1.05
-136.0 -64.5
49.6
57.7
75.9
66.3
42.6
78.2
63.2
58.5
199.0
94.1
24.2
1.10
-136.0 -68.7
45.9
53.9
72.2
62.6
38.8
74.5
59.4
54.7
195.6
74.8
22.3
1.15
-136.0 -73.0
42.1
50.1
68.4
58.8
35.0
70.7
55.7
50.9
192.3
55.5
20.4
1.20
-136.0 -77.2
38.3
46.3
64.6
55.0
31.2
66.9
51.9
47.1
189.0
36.3
18.5
1.25
-136.0 -81.5
34.5
42.5
60.8
51.2
27.4
63.1
48.1
43.3
185.7
17.0
16.6
1.30
-136.0 -85.7
30.7
38.8
57.0
47.4
23.7
59.3
44.3
39.6
182.4
-2.3
14.8
Emilio Porras Sosa
446
Análisis de Sensibilidad Sensibilidad a los Costos Variables Evaluación Financiera FNF (MMUS$ de 0)
β
Rentabilidad
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0.80
-76.0
-61.7
51.8
61.4
81.1
85.2
61.5
97.2
82.1
77.4
215.5
203.8
39.9
0.85
-76.0
-66.0
48.0
57.6
77.3
81.5
57.7
93.4
78.3
73.6
212.2
184.5
37.4
0.90
-76.0
-70.2
44.2
53.8
73.6
77.7
53.9
89.6
74.6
69.8
208.9
165.3
34.8
0.95
-76.0
-74.5
40.4
50.0
69.8
73.9
50.1
85.8
70.8
66.0
205.6
146.0
32.4
1.00
-76.0
-78.7
36.6
46.2
66.0
70.1
46.3
82.0
67.0
62.2
202.3
126.7
29.9
1.05
-76.0
-82.9
32.9
42.5
62.2
66.3
42.6
78.2
63.2
58.5
199.0
107.5
27.5
1.10
-76.0
-87.2
29.1
38.7
58.4
62.6
38.8
74.5
59.4
54.7
195.6
88.2
25.2
1.15
-76.0
-91.4
25.3
34.9
54.7
58.8
35.0
70.7
55.7
50.9
192.3
68.9
22.9
1.20
-76.0
-95.7
21.5
31.1
50.9
55.0
31.2
66.9
51.9
47.1
189.0
49.7
20.6
1.25
-76.0
-99.9
17.7
27.3
47.1
51.2
27.4
63.1
48.1
43.3
185.7
30.4
18.4
1.30
-76.0 -104.2 14.0
23.6
43.3
47.4
23.7
59.3
44.3
39.6
182.4
11.2
16.2
Emilio Porras Sosa
VPN 15%, 0 TIR (%)
447
Análisis de Sensibilidad Resumen del Análisis de Sensibilidad
β 0.80 0.85 0.90 0.95 1.00 1.05 1.10 1.15 1.20 1.25 1.30
Evaluación Económica VPN 15%, 0 Precio de Precio del Inversión Materia Prima Producto 148.1 139.4 130.7 321.5 -171.5 122.0 217.4 -25.1 113.3 113.3 113.3 104.6 9.2 251.7 95.9 -95.0 390.1 87.2 528.5 78.6 69.9 61.2
Emilio Porras Sosa
Costos Variables 190.4 171.1 151.8 132.6 113.3 94.1 74.8 55.5 36.3 17.0 -2.3 448
Análisis de Sensibilidad Análisis de Sensibilidad - Evaluación Económica 600 500
VPN 15%, 0
400 300 200 100 0 -100
0.8
0.9
1.0
-200
1.1
1.2
1.3
β Inversión
Emilio Porras Sosa
Precio M P
Precio Prod
C Var 449
Análisis de Sensibilidad Resumen del Análisis de Sensibilidad
β 0.80 0.85 0.90 0.95 1.00 1.05 1.10 1.15 1.20 1.25 1.30
Evaluación Financiera VPN 15%, 0 Precio de Precio del Inversión Materia Prima Producto 158.8 150.8 142.8 334.9 -161.3 134.8 230.8 -11.7 126.7 126.7 126.7 118.7 22.7 265.1 110.7 -81.6 403.5 102.7 541.9 94.7 86.6 78.6
Emilio Porras Sosa
Costos Variables 203.8 184.5 165.3 146.0 126.7 107.5 88.2 68.9 49.7 30.4 11.2 450
Análisis de Sensibilidad Análisis de Sensibilidad - Evaluación Financiera 600 500
VPN 15%, 0
400 300 200 100 0 -100
0.8
0.9
1.0
-200
1.1
1.2
1.3
β Inversión
Emilio Porras Sosa
Precio M P
Precio Prod
C Var 451
Análisis de Sensibilidad Resumen del Análisis de Sensibilidad En ambas evaluaciones hay un total de 33 puntos, y tres puntos con valores negativos del VPN. Una indicación de la probabilidad que el proyecto no sea rentable estará dada por la relación de número de puntos con VPN negativo y el número total de puntos. Nro de VPN´s Negativos δ = Nro de VPN´s δ ECONOMICO = 4 / 33 = 12.1% δ FINANCIERO = 3 / 33 = 9.1% Emilio Porras Sosa
452
Simulación de Montecarlo A diferencia del Análisis de Sensibilidad, este método varía todas las variables a la vez, y se requiere la distribución de probabilidades de ocurrencia de cada variable. 1. Estimar la distribución de Probabilidades de ocurrencia de cada una de las variables relevantes e independientes. P
P
V1
P
V2
V3
, etc.
2. Seleccionar aleatoriamente un valor para cada variable utilizando su correspondiente distribución de probabilidades. 3. Calcular el FNF para el juego de valores de las variables determinadas en el paso anterior y luego la rentabilidad (VPN a la TD libre de riesgo). 4. Repita los pasos 2 y 3 muchas veces (1000 o más), de preferencia múltiplo de 100 Emilio Porras Sosa
453
Simulación de Montecarlo 5. Ordenar el indicador de rentabilidad (VPN) en forma ascendente y agrúpelos por rangos y determine su distribución de frecuencia. VPN de -50 a -30 de -30 a -10 de -10 a 10 de 10 a 30 de 30 a 50 de 50 a 70
Número (N) 50 150 300 350 200 50 (-)
N
A(-)
A(+) 0
(+)
6. La relación de A(-)/A T proporciona la probabilidad de que proyecto no sea rentable.
Emilio Porras Sosa
VPN
el
454
Simulación de Montecarlo Probabilidad Acumulada Una de las dificultades de trabajar con la distribución puntual de probabilidades de ocurrencia es realizar la selección aleatorio en función de dicha distribución. Los números aleatorios generados en las computadoras son entre 0 y 1, razón por la cual resulta conveniente trabajar con la distribución de probabilidades acumulada (PAC), cuyo valor mínimo es 0 y el máximo 1. La distribución puntual de probabilidades de ocurrencia se pasan a distribución de probabilidades acumulada (que va de 0 a 1) integrando al curva de distribución puntual.
Emilio Porras Sosa
455
Simulación de Montecarlo
0.25
1.00
0.20
0.80
Probabilidad Acumulada (P AC)
Probabilidad (P)
Probabilidad Acumulada
0.15
0.10
0.05
0.00
0.60
0.40
0.20
0.00
Valor de la Variable
Emilio Porras Sosa
Valor de la Variable
456
Simulación de Montecarlo Probabilidad Acumulada
• Con el valor anterior y la ecuación: V = f (PAC) Se determina el valor de la variable V. • De esta manera se ha elegido en forma aleatoria y de acuerdo a su distribución de probabilidades un valor para la variable V
Emilio Porras Sosa
1.0
Probabilidad Acumulada (PAC )
• Se elige un número aleatorio entre 0 y 1 (random), viene a ser la Probabilidad Acumulada.
0.8
V = f (PAC) o PAC = g (V)
0.6
PAC 0.4
0.2
V 0.0
Valor de la Variable V
457
Montecarlo con Probabilidades Acumuladas 1. Determinar la distribución de Probabilidad Acumulada (PAC) para cada una de las variables relevantes e independientes. PAC
PAC
V1
PAC
V2
V3
, etc
2. Generar números random entre 0 y 1 (PAC) para cada variable y determinar un valor V (V = f (PAC)). PAC es la probabilidad que el valor de la variable sea menor o igual a V. 3. Calcular el FNF y luego la rentabilidad (VPN a la TD libre de riesgo). 4. Repetir los pasos 2 y 3 muchas veces (100 o más), de preferencia múltiplo de 100. Emilio Porras Sosa
458
Montecarlo con Probabilidades Acumuladas 5.
Ordenar el indicador de rentabilidad (VPN) en forma ascendente, de esta manera se habrá determinado la distribución de probabilidades acumuladas del VPN (no es necesario agrupar por rangos).
Probabilidad Acumulada (P AC )
1.0
0.8
0.6
0.4
Probabilidad de que el Proyecto no sea rentable
0.2
0.0
VPN(-)
0
VPN(+)
VPN
6.
La PAC para VPN = 0, será la probabilidad de que el proyecto no sea rentable (VPN < 0). Emilio Porras Sosa
459
Simulación con Distribución de Probabilidades Triangular Muchas veces es muy difícil trabajar con la distribución de probabilidades real, en su lugar se utiliza la distribución triangular. El error que se comete es mínimo, pero la simplificación en el cálculo y el ahorro de recursos es grande. El área total del triángulo es uno (1) H (VMAX - VMIN) / 2 = 1 H = 2 / (VMAX - VMIN) La probabilidad que el valor de la variable sea menor o igual a V estará dada por el área A (PAC). VMIN β MIN Emilio Porras Sosa
H
A V β
VE β=1
VMAX β MAX 460
Simulación con Distribución de Probabilidades Triangular PARA V < = VE H = 2 / (VMAX - VMIN) PAC = A = h (V - VMIN) / 2 Semejanza de triángulos h
H
V - VMIN =
H
VE - VMIN A
V - VMIN
h
h = 2 (VMAX - VMIN) ( VE - VMIN) VMIN
V
VE
VMAX
(V - VMIN) 2 PAC = A = (VMAX - VMIN) ( VE - VMIN) V = VMIN +
PAC (VMAX - VMIN) ( VE - VMIN)
Emilio Porras Sosa
Para: PAC VE PAC = 1 - A = 1 - h (VMAX - V) / 2 H = 2 / (VMAX - VMIN) Semejanza de triángulos: h
H
VMAX - V =
H
VMAX - VE
h
VMAX - V
A
h = 2 (VMAX - VMIN) ( VMAX - VE )
VMIN
VE
V
VMAX
(VMAX - V) 2 PAC = 1 - A = 1 (VMAX - VMIN) ( VMAX - VE ) V = VMAX Para
(1 - PAC ) (VMAX - VMIN) ( VMAX - VE )
PAC > (VE – VMIN) / (VMAX – VMIN)
Emilio Porras Sosa
462
Simulación con Distribución de Probabilidades Triangular Ejemplo: En el ejemplo de los Estados Financieros efectuar el correspondiente análisis de riesgo a las siguientes variables. Variables Inversión Precio de la Materia Prima Precio del Producto Costos Variables
Valor Mínimo Valor Máximo (β MAX) (β MIN ) 0.80 0.90 0.90 0.80
1.30 1.10 1.15 1.30
Solución: Primero determinaremos las ecuaciones para determinar el β conocidos probabilidad acumulada y los valores máximos y mínimos de β, recordar que el β esperado es 1.0.
Emilio Porras Sosa
463
Simulación con Distribución de Probabilidades Triangular Inversión y Costos Variables: Para: PAC 0.40 β = 1.30 - ( (1- PAC ) (1.30 - 0.80) (1.30 - 1.00) ) 0.5
β = 1.30 - 0.387298 (1- PAC ) 0.5
PAC 1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0
H = 2/(1.30-0.80)
.
0.80
1.00 Emilio Porras Sosa
1.30
0.80
0.90
1.00
1.10
1.20
1.30
β 464
Simulación con Distribución de Probabilidades Triangular Precio de la Materia Prima: Para: PAC 0.50 β = 1.10 - ( (1- PAC ) (1.10 - 0.90) (1.10 -1.00) ) 0.5
β = 1.10 - 0.141421 (1- PAC ) 0.5
PAC 1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0
H = 2/(1.10-0.90)
. 0.90
1.00 Emilio Porras Sosa
1.10
0.90
0.95
1.00
1.05
1.10
β 465
Simulación con Distribución de Probabilidades Triangular Precio del Producto: Para: PAC 0.40 β = 1.15 - ((1- PAC )(1.15 - 0.90)(1.15 - 1.00) ) 0.5 β = 1.15 - 0.158114 (1- PAC ) 0.5 1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0
H = 2/(1.15-0.90)
. 0.90 Emilio Porras Sosa
1.00
1.15
0.90
0.95
1.00
1.05
1.10
1.15 466
Simulación con Distribución de Probabilidades Triangular Se generarán números aleatorios (random) para cada variable y luego se determinarán los β correspondientes (utilizando las ecuaciones descritas). Los valores esperados de las variables son multiplicados por los calculados para determinar los valores de las variables.
β
Con estos nuevos valores de todas las variables relevantes se calculan los indicadores de rentabilidad. El proceso se repite, en este ejemplo, 100 veces.
. Emilio Porras Sosa
467
Simulación con Distribución de Probabilidades Triangular Resultados de la Simulación:
1 2 3 4 5 . 17 18 19 20 21 22 23 24 25 . 96 97 98 99 100
VAN 15%,0 -396.95 -387.88 -244.37 -203.47 -187.71
Evaluación Económica TIR B/C 15% IVP 15% 0.91 -1.66 0.91 -1.82 0.94 -1.02 -5.9% 0.95 -0.99 -2.5% 0.95 -0.82
-24.66 -24.63 -10.91 -3.18 -2.05 -1.43 -0.33 4.51 8.11
12.7% 12.6% 13.9% 14.7% 14.8% 14.9% 15.0% 15.5% 15.7%
0.99 0.99 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00
-0.11 -0.11 -0.05 -0.01 -0.01 -0.01 0.00 0.02 0.03
479.17 484.30 519.41 530.69 587.46
57.7% 66.2% 68.3% 67.0% 70.9%
1.12 1.13 1.13 1.13 1.15
1.97 2.34 2.43 2.38 2.54
Emilio Porras Sosa
PR15%
VAN 15%,0 -386.72 -377.66 -234.15 -193.25 -177.49
Evaluación Financiera TIR B/C 15% IVP 15% 0.91 -1.77 0.91 -1.96 0.94 -1.08 0.95 -1.05 -3.0% 0.96 -0.85
PR15%
9.90 9.83
-11.24 -11.21 2.51 10.24 11.37 11.99 13.08 17.93 21.53
13.8% 13.8% 15.3% 16.2% 16.3% 16.4% 16.3% 17.1% 17.3%
1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.01
-0.05 -0.06 0.01 0.05 0.06 0.06 0.06 0.10 0.10
9.94 9.76 9.75 9.73 9.72 9.61 9.54
2.55 2.26 2.19 2.22 2.07
492.59 497.72 532.83 544.11 600.88
70.9% 88.0% 90.4% 86.7% 91.2%
1.12 1.13 1.13 1.13 1.15
2.22 2.68 2.77 2.69 2.86
2.24 1.90 1.85 1.89 1.76 468
Simulación con Distribución de Probabilidades Triangular Resultados de Simulación – Evaluación Económica 100
Probabilidad Acumulada (%)
90 80 70 60 50 40
23.1 % de probabilidad que el Proyecto sea no Rentable
30 20 10 0 -400
-300
-200
-100
0
100
200
300
400
500
600
VPN Emilio Porras Sosa
469
Simulación con Distribución de Probabilidades Triangular Resultados de Simulación – Evaluación Financiera 100
Probabilidad Acumulada (%)
90 80 70 60 50 40
18.8 % de probabilidad que el Proyecto sea no Rentable
30 20 10 0 -400
-300
-200
-100
0
100
200
300
400
500
600
VPN Emilio Porras Sosa
470
Simulación con Distribución de Probabilidades Triangular Resultados de Simulación – Evaluación Económica y Financiera 29
Ev. Económica
Probabilidad Acumulada (%)
27 25 23
Ev. Financiera 21 19 17 15 -30
-20
-10
0
10
20
30
VPN Emilio Porras Sosa
471
13 MODELO MATEMATICO
Emilio Porras Sosa
472
Modelo Matemático El desarrollo de la computadoras ha convertido a los modelos matemáticos en una técnica indispensable de ingeniería, particularmente la Ingeniería Química ha sido una de las más beneficiadas con esta técnica. Los procesos son formados por diferentes combinaciones de varias unidades de operación con muchas interacciones que las relacionan. El modelamiento contribuye al diseño de los procesos químicos permitiendo una mejor comprensión y diseño de sistemas cada vez más complejos, otra ventaja es el mayor grado de confianza al diseñar procesos que anteriormente presentaban altos riesgos. Un modelo de procesos requiere del conocimiento de cinética química, diseño en ingeniería química, costos, contabilidad, matemáticas y programación. Emilio Porras Sosa
473
Modelo Matemático Una empresa es un sistema que interactúa con otros sistemas (entorno) que tienen influencias en los resultados de Ella. • • • • • •
Mercado Competencia Capacidad financiera Disponibilidad de mano de obra Restricciones gubernamentales Provisión de materia prima y materiales.
La compañía está compuesta por sub-sistemas como el departamento de producción, de ventas, de investigación, de diseño de procesos, etc.. Los departamentos pueden ser divididos en módulos más pequeños, la inter-relación entre estos para lograr un resultado objetivo de la empresa es lo que debe ser modelado. La rentabilidad de una empresa no es tarea de un solo departamento sino de todos en conjunto, y la solución óptima para un departamento no necesariamente significa que sea lo mejor para la empresa. Emilio Porras Sosa
474
Modelo Matemático Un modelo matemático es un conjunto de ecuaciones que describen el comportamiento de un sistema que está siendo investigado, debe quedar claro que el modelo es una aproximación del sistema físico. Cuando esta aproximación sea grande el modelo será más confiable y sus resultados más útiles. Los modelos matemáticos no ambicionan representar el comportamiento integral de los sistemas, sino sólo de las partes que afectan los aspectos que se quieren estudiar o investigar. Un modelo matemático sirve sólo para el problema específico para el cual fue construido. Si se quiere obtener otro tipo de información para el mismo sistema, se deberán efectuar las modificaciones correspondientes en el modelo. Emilio Porras Sosa
475
Etapas de Construcción de un Modelo Matemático La construcción de un modelo matemático involucra varias fases, que deben ser desarrolladas en orden cronológico y con la suficiente rigurosidad para que sus resultados sean útiles, las etapas son las siguientes: 1. 2. 3. 4.
Identificación del Objetivo. Selección de la Ecuaciones. Construcción del Modelo. Ajuste del Modelo.
Emilio Porras Sosa
476
Etapas de Construcción de un Modelo Matemático Identificación del Objetivo.- El primer paso en la construcción de un modelo matemático es decidir que sistema debería ser modelado. El éxito en la aplicación de modelos a cualquier proyecto está en la habilidad para anticipar las preguntas que surgirán durante el desarrollo del proyecto y evaluarlas para decidir si justifican la construcción del modelo. Para tomar una decisión es necesario listar las preguntas que surgirían durante el desarrollo del proyecto. Si las preguntas no se pueden responder con un cálculo simple y aislado, sino que requiere de la evaluación de una proporción considerable del sistema, es conveniente construir un modelo matemático. Si los cálculos no son simples y se efectuarán repetidas veces en el desarrollo del proyecto, se justifica plenamente la construcción de un modelo matemático. La construcción del modelo se justifica por las preguntas que se realizarían en el desarrollo del proyecto y no por la complejidad del proceso. En otras palabras si el proceso es simple o complejo es irrelevante para la toma de decisión de construir un modelo.
Emilio Porras Sosa
477
Etapas de Construcción de un Modelo Matemático Selección de la Ecuaciones.- Una vez que se ha decidido construir el modelo matemático, el siguiente paso es seleccionar las ecuaciones matemáticas que representan el sistema e identificar todas la variables que interviene en dichas ecuaciones. Las ecuaciones seleccionadas deben ser independientes, ninguna debe ser combinación de las otras. Las ecuaciones deberán describir el sistema en la suficiente profundidad, de tal manera que todos los factores relevantes sean considerados. En el campo de la química e ingeniería es posible escribir las ecuaciones para todos los procesos encontrados. El flujo de fluidos es gobernado por las ecuaciones de balance de materia y energía, las reacciones químicas por la ecuaciones de velocidad de reacción, la transferencia de masa y calor por las ecuaciones generales. En adición todos los procesos físicos tienen sus ecuaciones características y sus propias restricciones. En la generalidad de los casos las restricciones se presentan en forma de inecuaciones. Emilio Porras Sosa
478
Etapas de Construcción de un Modelo Matemático Construcción del Modelo.- Consiste en ordenar y combinar todas las ecuaciones de tal manera que sean fácilmente resueltas y proporcionar la respuesta requerida por el modelo, los resultados deben ser dados en un formato entendible (unidades de medida). Resolver un sistema de ecuaciones en forma consecutiva es mucho más fácil que la solución en forma simultánea. La combinación de las ecuaciones se adecuan a la respuesta que se está buscando, lo que da origen a la existencia de varios modelos para un mismo sistema, la diferencia entre ellos es la combinación y secuencia de solución de las ecuaciones. En un modelo para el diseño de una planta nueva los datos serán la producción y se calculará, entre otras variables, la alimentación de materia prima. Las ecuaciones se resuelven en orden inverso al proceso productivo. Un modelo para determinar los cuellos de botella de plantas existentes utilizará como dato la alimentación de materia prima y resolverá las ecuaciones en la misma secuencia del proceso productivo. Emilio Porras Sosa
479
Etapas de Construcción de un Modelo Matemático Ajuste del Modelo.- Construido el modelo, este debe ser probado para verificar que los resultados sean los correctos, si no los fueran se deben hacer ajustes en los parámetro de las ecuaciones (constantes de las diferentes relaciones para el cálculo de propiedades). Muchas veces los resultados iniciales difieren de la realidad debido a que en su construcción se han asumido cierta idealidad. La verificación de la validez de los resultados del modelos se pueden efectuar con datos de publicaciones o datos experimentales. Ejemplo de parámetros: Calor específico
CP = a + b T + c T 2 + d T 3
Velocidad de reacción
K = A e - E/RT
Los parámetros de las ecuaciones anteriores son las constantes a, b, c, d, A y E. Emilio Porras Sosa
480
Variables de un Modelo Las ecuaciones que forman parte del modelo están conformadas por variables y constantes de las propiedades físicas que son denominadas parámetros. Las propiedades físicas tales como la viscosidad, entalpía, entropía, calor específico, densidad, etc.. no deben ser consideradas como variables, ya que estas propiedades se determinan con las variables como la temperatura, presión, composición, etc.. Variables Independientes.- La variables independientes son aquellas que son alimentadas al modelo como datos, conforman toda la información necesaria para la resolución del modelo. Se dividen en variables de operación y de equipo. • Las variables de operación son las referidas a la condiciones de operación del proceso como la temperatura, presión, flujos y composición. • Las variables de equipos se refieren básicamente a las dimensiones como volúmenes, diámetro, longitud, número de platos, etc..
Emilio Porras Sosa
481
Variables de un Modelo Variables Dependientes.- La variables dependientes son aquellas cuyos valores son calculados mediante la solución de las ecuaciones. Ellas son la respuesta que se busca con el modelo. Se dividen en variables de performance e intermedias. • Las variables de performance son las respuestas finales y más valiosas del modelo, por ejemplo, la rentabilidad, dimensiones de equipos, etc. • Las variables intermedias tienen poca relevancia como resultado final pero son muy importantes durante la solución de las ecuaciones. Estas variables son el resultado de algunas ecuaciones y a su vez son datos de otras.
Restricciones.- En los sistema reales o físicos, las variables están restringidas a límites mínimos y máximos, lo que se denomina como restricciones. La suma de fracciones molares siempre es igual a uno. Las temperaturas de operación se restringen para evitar descomposición de los productos, la presión no debe sobrepasar determinados límites dados por el material y espesor de los equipos, etc. Emilio Porras Sosa
482
Aplicaciones al Diseño de Procesos Los modelos tienen una amplia aplicación en el diseño de procesos, se utilizan en investigación, desarrollo, planeamiento, ingeniería, producción, control etc.. Investigación.- Los modelos tiene una amplia aplicación en la fase de investigación de nuevos procesos, la alternativa es efectuar experimentos en unidades prototipos, pero esto resulta mucho mas costosa y requiere de un mayor tiempo. La razón fundamental de la investigación es buscar nuevos procesos que incurran en menores costos. Sólo de esta manera se justificará el reemplazo del proceso actual. En la fase de investigación no sólo se utiliza los modelos para simular procesos, sino también para calcular costos operativos, costos de inversión, ingresos, etc.. con los que se determinará la rentabilidad del proceso investigado. Emilio Porras Sosa
483
Aplicaciones al Diseño de Procesos Desarrollo.- La fase de desarrollo de los procesos requiere de modelos mucho más sofisticados y muchas veces se debe recurrir al diseño por experiencia, los conocimientos teóricos deben ser profundizados y debe desarrollarse ecuaciones más representativas. También es necesario realizar trabajos experimentales con la finalidad de obtener condiciones óptimas de operación. Las condiciones óptimas para un proceso aislado no necesariamente son las mismas para todo el sistema, tener presente esta afirmación es muy importante, porque al final lo que se busca es optimizar todo el sistema.
Emilio Porras Sosa
484
Aplicaciones al Diseño de Procesos Planeamiento.- Los modelos se aplican perfectamente en los trabajos de planeamiento de los proyectos, en los cuales se deben decidir de que tamaño debe ser la planta y donde será su ubicación. Existen muchas variables que determinan en forma aproximada tanto la ubicación como el tamaño: • • • • • • • • • •
Tamaño del mercado Disponibilidad de recursos financieros Disponibilidad de materia prima y materiales Tecnología disponible Capacidad administrativa Localización del Mercado Concentración de la demanda Ubicación de la materia prima y materiales Disponibilidad de mano de obra, servicios y facilidades Licencias de operación
El tamaño y localización finales serán los que maximizan la rentabilidad integral del proyecto.
Emilio Porras Sosa
485
Aplicaciones al Diseño de Procesos Ingeniería del Proyecto.- Los modelos son utilizados para especificar el diseño de los equipos. Antes de proceder al diseño de los equipos debe disponerse de toda la data física necesaria. En esta etapa del desarrollo de un proyecto no hay excusa para no emplear el mejor método de diseño y la mejor data física disponible, no debe utilizarse de ninguna manera métodos simplificados. Producción.- Durante la etapa de producción los modelos resultan muy útiles en la determinación de las condiciones óptimas de operación de la planta, estas condiciones cambian día a día, ya que dependen de la calidad de materia prima disponible y del requerimiento de productos por el mercado. Control.- Los modelos son utilizados para determinar los mejores y económicos arreglos en el sistema de control de las plantas, sobre todo se utilizan para determinar la variabilidad de los resultados con los cambios en las variables de operación. Se determina la sensibilidad a estas variables, las que presentan mayor sensibilidad y a su vez mayor variabilidad son las postulantes a ser controladas.
Emilio Porras Sosa
486
Especificación de Procesos Los modelos de los sistemas de separación de multi-componentes, en varias etapas que a su vez manejan varias etapas, requieren de la solución interactiva de cientos de ecuaciones en forma simultanea. El proceso de solución se vuelve más complicado si hay reacción química entre los componentes. Para iniciar la solución de los modelos el número de variables desconocidas deberá ser igual al número de ecuaciones independientes, generalmente el número de variables es mayor que el número de ecuaciones independientes, razón por la cual es necesario dar valores a un grupo de variables (fijar variables) para que el modelo pueda ser resuelto. El número de variables fijadas se conoce como grados de libertad del sistema o modelo. ND = NV - NE Donde:
Emilio Porras Sosa
ND : Número de grados de libertad NV : Número de variables NE : Número de ecuaciones independientes 487
Especificación de Procesos El sistema quedará completamente definido cuando el número de ecuaciones independientes es igual al número de variables desconocidas y cuando existe una única solución para el modelo matemático, para lo cual será necesario fijar (dar valores) a tantas variables como grados de libertad tenga el sistema. Tampoco se trata de dar valores a cualquier variable, en un sistema real las variables que normalmente tienen valor (están fijas) son aquellas que corresponden a las corrientes de entrada al sistema. Las variables pueden ser intensiva (no dependen de la masa) como las composiciones molares, temperatura, presión, etc.. y extensivas como flujos de corriente, de calor y dimensiones de los equipos. Todo proceso puede ser dividido en sub-sistemas cada vez mas pequeños cuyos modelos son más sencillos, estos sub-sistemas pueden ser las etapas de equilibrio, condensadores, separadores de corriente, rehervidores, reactores, etc.. Emilio Porras Sosa
488
Especificación de Procesos Análisis de una Corriente Una corriente real puede contener diferentes fases y no necesariamente ser homogénea, para el análisis las corrientes reales o físicas se deben descomponer en líneas de corrientes de fase homogénea. Gas
Corriente Real Líquido
Sólido
. Emilio Porras Sosa
489
Especificación de Procesos Grados de Libertad de una Corriente En una corriente de fase homogénea y de C componentes se pueden definir las siguientes variables: Intensivas:
Extensiva:
Fracciones molares (X1, X2, X3,.......,XC) Presión Temperatura Flujo molar
Variables de una corriente:
C 1 1 1
NV = C + 3
La única ecuación es la sumatoria de fracciones molares igual a 1. C
Ecuación:
Σ Xi = 1 i =1
Grados de Libertad:
ND = C + 2
Para que una corriente de fase homogénea quede plenamente especificada (se conozca todo sobre ella) se necesitan fijar (dar valores) a C+ 2 variables. Emilio Porras Sosa
490
Especificación de Procesos Grados de Libertad de una Corriente Al unirse dos sub sistemas con una misma línea de corriente se liberarán C+ 2 grados de libertad.
Sub Sistema 1
Unión de una Corriente
ND1
Sub Sistema 2
ND2 Sistema ND
Grados de Libertad del Sistema: ND = ND1 + ND2 - (C+2) Emilio Porras Sosa
491
Especificación de Procesos Ecuaciones Típicas Balance de Materia Balance General Balance parcial
C 1 C-1
Balance de energía C
(FJ Σ
1 C
hJ i
i =1
Xi )ENTRADA + Q - W = (FJ Σ hJ i Xi )SALIDA i =1
Sumatoria de fracciones molares:
Nº de corrientes
C
Σ Xi = 1 i =1
Ecuaciones de equilibrio:
C
K i = Yi / Xi = f(PL,PV, TL, TV, Yi, Xi) Las otras ecuaciones son las de diseño de los equipos, las restricciones y condiciones de operación. Emilio Porras Sosa
492
Especificación de Procesos Caso de un Intercambiador de Calor Simple
F
L
Q Variables: El número de variables debe incluir la variable Q de calor transferido: NV = 2 (C + 3) + 1 = 2 C + 7 F PF TF Zi Emilio Porras Sosa
L PL TL Xi
Q
493
Especificación de Procesos Ecuaciones: Balance de Materia Balance global Balance parcial
C F=L F Zi = L Xi
1 C-1
Balance de Energía C
F Σ Zi
1 C
hF i
+ Q = L Σ Xi hL i
i =1
i=1
Sumatoria de fracciones molares C
C
i =1
i =1
Σ Zi = 1 y
Σ Xi = 1
Número de ecuaciones: Grados de Libertad: Emilio Porras Sosa
2
NE = C + 3 ND = (2 C + 7) - (C+ 3) = C + 4 494
Especificación de Procesos Para que el sistema quede definido se deben fijar C+4 variables. especificamos la corriente de entrada F quedarían fijadas C+2 variables: F
PF
TF
Z1
Z2 ..... ZC-2
Si
ZC-1
La variable ZC no puede ser fijada para no ir contra la ecuación de sumatoria de fracciones molares en la corriente F. Las variables que aún no se han fijado son las siguientes:
ZC
L PL TL Xi
Q
La variable L no se podrá fijar porque se atentaría a la ecuación del balance general de materia. Las composiciones X i en la corriente L no se pueden fijar ya que se calcularían con las ecuaciones de balance parcial de materia y la sumatoria de las fracciones molares en L. Para completar las C+4 variables faltarían fijar 2, que pueden ser cualquiera de las tres siguientes: PL Emilio Porras Sosa
TL
Q 495
Especificación de Procesos Caso de un Vaporizador Flash V
Variables: El número de variables debe incluir la variable Q de calor transferido: NV = 3 (C + 3) + 1 = 3 C + 10 F
F PF TF Zi
L PL TL Xi
V PV TV Yi
Q Q
L
Emilio Porras Sosa
496
Especificación de Procesos Ecuaciones: Balance de Materia Balance global Balance parcial
C F=L+V F Zi = L Xi + V Yi
1 C-1
Balance de Energía C
1 C
C
F Σ Zi hF i + Q = L Σ Xi hL i + V Σ Yi hV i i =1
i =1
i =1
Sumatoria de fracciones molares C
Σ Zi = 1 i =1
C
Σ Xi = 1 i =1
3 C
Σ Yi = 1 i =1
Ecuaciones de equilibrio
C
K i = Yi / Xi = f (PV, PL, TV, TL, Y i, X i ) Condiciones de operación (equilibrio) PV = PL Emilio Porras Sosa
2
TV = TL 497
Especificación de Procesos Número de ecuaciones:
NE = 2C + 6
Grados de Libertad:
ND = 3C + 10 - (2C + 6) = C + 4
Para que el sistema quede definido se deben fijar C+4 variables. Si especificamos la corriente de entrada F quedarán fijadas C+2 variables que son las siguientes: F
PF
TF
Z1
Z2
.....
ZC-2
ZC-1
La variable ZC no puede ser fijada por que iría contra la ecuación de sumatoria de fracciones molares en la corriente F. Las variables que aún no se han fijado son las siguientes:
ZC
L PL TL Xi
V PV PV Yi
Q
Fijada la corriente F faltarían fijar 2 variables, no puede ser la variable ZC, si se fija PV no se podrá fijar PL , de la misma manera TL y TV son excluyentes para no atentar a las condiciones de operación. De las variables L y V sólo se podrá fijar una de ellas para no atentar a el balance global de materia. Emilio Porras Sosa
498
Especificación de Procesos Caso de un Mezclador Variables: El número de variables debe incluir la variable Q de calor transferido: F
NV = 3 (C + 3) + 1 = 3 C + 10 G
F PF TF Zi
L PL TL Xi
Emilio Porras Sosa
G PG TG Yi
Q
L
Q
499
Especificación de Procesos Ecuaciones: Balance de Materia Balance global F + L = G Balance parcial F Zi + L Xi = G Yi
C 1 C-1
Balance de Energía C
F Σ Zi
1 C
hF i
+ L Σ Xi
i =1
C
hL i
+ Q = G Σ Yi hG i
i =1
i =1
Sumatoria de fracciones molares C
Σ Zi = 1 i =1
C
Σ Xi = 1 i =1
Número de ecuaciones: Grados de Libertad: Emilio Porras Sosa
3 C
Σ Yi = 1 i =1
NE = C + 4
ND = 3C + 10 - (C + 4) = 2C + 6 500
Especificación de Procesos Para que el sistema del mezclador de corriente quede especificado se deben fijar 2C+ 6 variables. Si especificamos las corrientes de entrada F y L quedarían fijadas 2C+ 4 variables que son las siguientes: F
PF
TF
Z1
Z2
.....
ZC-2
ZC-1
L
PL
TL
X1
X2
.....
XC-2
XC-1
Las variables ZC y XC no pueden ser fijadas por que se atentaría a las sumatorias de fracciones molares en las corrientes F y L. Las variables que aún no se han fijado son las siguientes:
ZC
XC
G PG TG Yi
Q
Para definir el sistema faltarían fijar 2 variables, G no puede ser por que atenta la balance global de materia, las variables Yi tampoco podrían fijarse para no ir contra las ecuaciones de balance parcial de materia. Por lo sólo se podrán fijar dos variables de las tres siguientes: PG , TG y Q Emilio Porras Sosa
501
Especificación de Procesos Caso de un Separador Las corrientes L y G se encuentra en la misma fase (líquido o vapor), el número de variables incluirá la variable Q que representa el calor ganado o perdido por el sistema:
L
F
NV = 3 (C + 3) + 1 = 3 C + 10
F PF TF Zi
L PL TL Xi
Emilio Porras Sosa
G PG TG Yi
Q
Q
G
502
Especificación de Procesos Ecuaciones: Balance de Materia Balance global Balance parcial
C F= L+G F Zi = L Xi + G Yi
1 C-1
Balance de Energía
1
C
C
C
i =1
i =1
i =1
F Σ Zi hF i + Q = L Σ Xi hL i + G Σ Yi hG i Sumatoria de fracciones molares C
Σ Zi = 1 i =1
Condiciones de operación PG = PL TG = TL Xi = Yi Número de ecuaciones:
Emilio Porras Sosa
3
C
C
Σ Xi = 1
Σ Yi = 1
i =1
i =1
C+ 1 1 1 C-1 NE = 2C + 5
503
Especificación de Procesos Grados de Libertad:
ND = 3C + 10 - (2C + 5) = C + 5
El divisor de corriente quedará definido si se fijan C+5 variables. Si especificamos la corriente de entrada F quedarían fijadas C+2 variables que son las siguientes: F
PF
TF
Z1
Z2
.....
ZC-2
ZC-1
La variable ZC no puede ser fijada para que se atentar a la ecuación de sumatoria de fracciones molares en la corriente F. Las variables que aún no se han fijado son las siguientes:
ZC
L PL TL Xi
G PG TG Yi
Q
Para que el sistema quede definido faltarían fijar 3 variables. Las variables L y G, PL y PG , TL y TG son excluyentes (sólo se puede fijar una de ellas), ninguna de las composiciones de las corrientes L y G podrán ser fijadas por que se atentaría a las ecuaciones del balance de parcial de materia y de condiciones de operación.
Emilio Porras Sosa
504
Especificación de Procesos Caso de una Etapa de Equilibrio Variables: La variable Q que representa el calor ganado o perdido por el sistema: LN+1
VN
ETAPA DE EQUILIBRIO N
SV
F SL Q LN
VN-1
NV = 7 (C + 3) + 1 = 7 C + 22 F PF TF Zi
LN PL TL Xi
Emilio Porras Sosa
LN+1 P*L T*L X*i
VN PV TV Yi
VN-1 P*V T*V Y*i
SL PSL TSL XSi
SV PSV TSV YSi
Q
505
Especificación de Procesos Ecuaciones: Balance de Materia: Balance global F+LN+1+VN-1 = LN+VN+SL+SV Balance parcial F Zi+LN+1 X*i+VN-1 Y*i = LN Xi+VNYi +SLXSi+SVYSi
C
Balance de Energía: F HF+LN+1H*L+VN-1H*V + Q = LNHL+VNHV+SLHSL+SVHSV
1
Sumatoria de fracciones molares:
7
C
Σ Zi = 1 i =1
C
Σ Y*i = 1 i =1
C
Σ Xi = 1 i =1
C
ΣX i i =1 S
C
C
i =1
i =1
Σ X*i = 1
Σ Yi = 1
C
=1
Σ YSi = 1
i =1
Ecuaciones de Equilibrio:
C
K i = Yi / Xi = f (PV, PL, TV, TL, Yi, Xi )
Emilio Porras Sosa
506
Especificación de Procesos Condiciones de operación: PV TV Xi Yi
= = = =
2C+ 4
PL = PSV = PSL T L = TSV = TSL XSi YSi
Número de ecuaciones: Grados de Libertad:
3 3 C-1 C-1 NE = 4C + 12
ND = 7C + 22 - (4C + 12) = 3C + 10
Para definir la etapa de equilibrio es necesario 3C+10 variables. Si especificamos la corriente de entrada F, LN+1 y VN-1 quedarían fijadas 3C+6 variables que son las siguientes: F LN+1 VN-1
PF P*L P*V
TF T*L T*V
Z1 X*1 Y*1
Z2 X*2 Y*2
..... ..... .....
ZC-2 X*C-2 Y*C-2
ZC-1 X*C-1 Y*C-1
.
Emilio Porras Sosa
507
Especificación de Procesos Para que el sistema quede definido faltan fijar cuatro variables, las variables que aún no se han fijado son las siguientes:
ZC
Emilio Porras Sosa
XC
X*C
VN PV TV Yi
LN PL TL Xi
SL PSL TSL XiS
SV PSV TSV YiS
Q
508
Especificación de Procesos Secuencia de Solución de las Ecuaciones El algoritmo que se explica a continuación permitirá encontrar la mejor secuencia de solución de las ecuaciones para resolver el modelo matemático. Dado que el número de variables es mayor que el número de ecuaciones es necesario fijar tantas variables como grados de libertad tenga el sistema. El procedimiento no proporcionará la secuencia de solución si las variables fijadas son equivocadas, de ahí la importancia de especificar correctamente las variables.
Emilio Porras Sosa
509
Secuencia de Solución de las Ecuaciones Caso de un Intercambiador de Calor Simple Se determinará la secuencia de solución de las ecuaciones para un sistema de intercambiador simple y para el caso de dos componentes (C=2).
F
L
Q Variables: NV = 2 (C + 3) + 1 = 2 C + 7 = 2 · 2 + 7 = 11 F PF TF Z1 Z2 Emilio Porras Sosa
L PL TL X1 X2
Q
510
Secuencia de Solución de las Ecuaciones Ecuaciones: NE = C + 3 = 2 + 3 = 5 1. 2. 3. 4. 5.
Balance global: Balance parcial: Balance de Energía: Fracciones molares en F: Fracciones molares en L:
Grados de Libertad:
F=L F Z1 = L X1 F ( Z1 hF1 + Z2 hF2 ) + Q = L ( X1 hL2 + X2 hL2 ) Z1 + Z2 = 1 X1 + X2 = 1
ND = (2 C + 7) - (C+ 3) = C + 4 = 2 + 4 = 6
Para que el sistema quede definido deben fijarse 6 variables y las 5 restantes deberán determinarse mediante la solución de las 5 ecuaciones. Al fijar la corriente F (generalmente se fijan las corrientes de entrada a los sistemas) se fijarán cuatro variables (F, PF , TF , Z1), quedando pendiente por fijar 2 variables, asumiremos que estas son PL y TL . Emilio Porras Sosa
511
Secuencia de Solución de las Ecuaciones Se detalla la matriz de las ecuaciones con las variables desconocidas (no se consideran las variables fijadas, ya que se comportan como constantes al tener un valor definido), la matriz se completa con "x" en la intersección de aquellas variables que intervienen en las correspondientes ecuaciones. Z2 1 2 3 4 5
BGM: F = L BPM: F Z1 = L X1 BGE: F HF + Q = L HL Σ fm F: Z1 + Z2 = 1 Σ fm L: X1 + X2 = 1 Número de "x"
x x 2
L x x x
3
X1
X2
Q
x x
x
x
x 3
x 2
1
Se aprecia que la variable Q interviene solo en la ecuación 3 (B.G.E.), esta variable será necesariamente calculada mediante la solución de la ecuación 3. Para resolver la ecuación 3 debe conocerse el valor de las otras variables desconocidas, lo que implica que la ecuación 3 deberá ser la última en resolverse. Emilio Porras Sosa
512
Secuencia de Solución de las Ecuaciones Al utilizar la ecuación 3 para resolver la variable Q, tanto la variable y la ecuación desaparecen de la matriz; la variable fue resuelta (ya no es desconocida) y la ecuación ya fue usada. Z2 1 2 4 5
BGM: F = L BPM: F Z1 = L X1 Σ fm F: Z1 + Z2 = 1 Σ fm L: X1 + X2 = 1 Número de "x"
L x x
X1
X2
x
x 1
2
x 2
x 1
3
Q
Se observa que la variable Z2 sólo se obtiene de la solución ecuación 4 y la variable X2 de la ecuación 5. Tanto la variables resueltas y las correspondientes ecuaciones deben ser retiradas de la matriz. Emilio Porras Sosa
513
Secuencia de Solución de las Ecuaciones Resolviendo las ecuaciones 4 y 5.
1 BGM: F = L 2 BPM: F Z1 = L X1 Número de "x"
L x x 2
X1 x 1
4
Z2 3
5
Q
X2
En la matriz remanente anterior se aprecia que la variable X1 necesariamente será calculada mediante la solución de la ecuación 2 (balance parcial de materia del componente 1)., y la variable L será resuelta con la ecuación 1 (balance general de materia). Emilio Porras Sosa
514
Secuencia de Solución de las Ecuaciones Resolviendo la Ecuación 2.
1
L x 1
BGM:F = L Número de "x"
4 2
Z2
X1
3 5
Q
X2
La variable L será resuelta necesariamente con la ecuación 1 (balance general de materia).
Emilio Porras Sosa
515
Secuencia de Solución de las Ecuaciones La secuencia de solución de las ecuaciones y las variables que proporcionarán cada una de ellas se detallan a continuación: Variables Dato: F PF TF Z1 PL TL
Emilio Porras Sosa
4 1
L
2
Z2
X1
3 5
Q
X2
516
Secuencia de Solución de las Ecuaciones Para generar el algoritmo de solución del modelo se re-ordenan las ecuaciones de acuerdo a la secuencia determinada en el gráfico anterior. Variables datos: F, PF , TF , Z1 , PL , y TL BGM (ecuación 1):
L=F
BPM (ecuación 2):
X1 = F Z1 / L
Σfm en F (ecuación 4): Z2 = 1 - Z1 Σfm en L (ecuación 5): X2 = 1 - X1 BGE (ecuación 3):
Q = L (X1 hL1 +X2 hL2 ) - F (Z1 hF1 +Z2 hF2 )
. Emilio Porras Sosa
517
Secuencia de Solución de las Ecuaciones Caso de un Separador Número sistema (C=2):
de Variables para un de dos componentes L
NV = 3 (C + 3) + 1 = 3 C + 10 F
NV = 3 · 2 + 10 = 16 F PF TF Z1 Z2
L PL TL X1 X2
G PG TG Y1 Y2
Q
Q
G
.
Emilio Porras Sosa
518
Secuencia de Solución de las Ecuaciones Ecuaciones: NE = 2C + 5 = 2 · 2 + 5 = 9 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.
BGM BPM BGE Σ fm en F Σ fm en L Σ fm en G Cond. Oper. Cond. Oper. Cond. Oper.
F= L+G F Z1 = L X1 + G Y1 F (Z1 hF1 + Z2 hF2) + Q = L (X1 hL1 + X2 hL2) + G (Y1 hG1 + Y2 hG2) Z1 + Z2 = 1 X1 + X2 = 1 Y1 + Y2 = 1 PG = PL TG = TL X1 = Y1
Grados de Libertad:
ND = C + 5 = 7
Para que el divisor de corriente quede especificado se deben fijar 7 variables. Al especificar la corriente F quedan fijadas las 4 variables siguientes: F
PF
TF
Z1
Las otras variables a fijar serán L, PL y Q, quedando 9 variables como incógnitas y que serán calculadas mediante la solución de las 9 ecuaciones. Emilio Porras Sosa
519
Secuencia de Solución de las Ecuaciones La matriz de las ecuaciones con las variables desconocidas es la siguiente: Z2 1 2 3 4 5 6 7 8 9
BGM: BPM: BGE: Σ fm F: Σ fm L: Σ fm G: C.Op. C.Op. C.Op.
TL
X1
x
x x
x
x
x
F=L+G F Z1 = L X1 + G Y1 F HF + Q = L HL + G HG Z1 + Z2 = 1 X1 + X2 = 1 Y1 + Y2 = 1 PG = PL TG = TL X1 = Y1 Número de "x"
x x
X2
G x x x
PG
x
TG
Y1
Y2
x
x x
x
x
x
x 4
2
x x 2
2
x x 4
2
3
2
2
En la matriz anterior ninguna variable interviene en una única ecuación, para forzar es necesario eliminar temporalmente una ecuación de la matriz. Aparentemente la ecuación que debería eliminarse es el balance general de energía (ecuación 3). La ecuación 3 será resuelta para determinar cualquiera de las variables que intervienen en dicha ecuación. Emilio Porras Sosa
520
Secuencia de Solución de las Ecuaciones Eliminando temporalmente la ecuación 3 se utiliza la ecuación pero se desconoce que variable se calculará con dicha ecuación): Z2 1 2 3 4 5 6 7 8 9
BGM: BPM: BGE: Σ fm F: Σ fm L: Σ fm G: C.Op. C.Op. C.Op.
TL
X1
z
x z
z
x
x
F=L+G F Z1 = L X1 + G Y1 F HF + Q = L HL + G HG Z1 + Z2 = 1 X1 + X2 = 1 Y1 + Y2 = 1 PG = PL TG = TL X1 = Y1 Número de "x"
z x
X2
G x x z
PG
z
TG
Y1
Y2
z
x z
z
x
x
x 3
1
x x 1
1
x x 3
1
2
1
1
3
?
Existen 6 variables (Z2 , TL , X2 , PG , TG y Y2 ) que intervienen cada una en una única ecuación. Con la ecuación 4 se determinará Z2 , con 8 la variable TL , con 5 la variable X2 , con 7 la variable PG (la ecuación 8 no se puede utilizar para resolver TG porque ya fue usada para determinar TL) y la variable Y2 será determinada resolviendo la ecuación 6. Emilio Porras Sosa
521
Secuencia de Solución de las Ecuaciones Luego de Resolver las ecuaciones anteriores (eliminación) que la siguiente matriz: X1 1 2 3 9
BGM: BPM: BGE: C.Op.
F=L+G F Z1 = L X1 + G Y1 F
L
G
FH +Q = LH +GH X1 = Y1 Número de "x"
x z x 2
G x x z
TG
2
0
z
Y1 x z x 2 4
Z2
8
TL
5
X2
7
PG
6
Y2
3
?
Ninguna variable participa en una única ecuación, para lograr este requisito se debe eliminar temporalmente una de las tres ecuaciones: 1, 2 o 9. Emilio Porras Sosa
522
Secuencia de Solución de las Ecuaciones Eliminación temporal de la ecuación 9: X1 1 2 3 9
BGM: BPM: BGE: C.Op.
F=L+G F Z1 = L X1 + G Y1 F HF + Q = L HL + G HG X1 = Y1 Número de "x"
x z z 1
G x x z
TG
2
0
z
Y1 x z z 1
9
?
4
Z2
8
TL
5
X2
7
PG
6
Y2
3
?
En la matriz anterior la ecuación 2 se puede utilizar para calcular una de las siguientes variables: X1 o Y1. La usaremos para determinar X1. Emilio Porras Sosa
523
Secuencia de Solución de las Ecuaciones Eliminación de la ecuación 2: 1 BGM: 3 BGE: 9 C.Op.
F=L+G F HF + Q = L HL + G HG X1 = Y1 Número de "x"
G x z
TG
Y1
z
1
0
z z 0
2
X1
9
?
4
Z2
8
TL
5
X2
7
PG
6
Y2
3
?
En la matriz anterior la ecuación 1 se debe utilizar para calcular la variable G.
Emilio Porras Sosa
524
Secuencia de Solución de las Ecuaciones Eliminación de la ecuación 1: 3 BGE: 9 C.Op.
TG z
F HF + Q = L HL + G HG X1 = Y1 Número de "x"
0
1
G
Y1 z z 0
2
X1
9
?
4
Z2
8
TL
5
X2
7
PG
6
Y2
3
?
En la matriz anterior hay dos variables que no se han resuelto y dos ecuaciones pendiente de determinar a que variables darán solución. La variable TL deberá obtenerse de la ecuación 3 y la variable Y1 se determinará con la ecuación 2. Emilio Porras Sosa
525
Secuencia de Solución de las Ecuaciones
1
G
2
X1
9
Y1
4
Z2
8
TL
5
X2
7
PG
6
Y2
3
TG
Se aprecia que para resolver la ecuación 2 se requiere conocer la variable Y1 , que es calculada posteriormente. Es necesario, al inicio, asumir un valor de Y1 y resolver la ecuación 2 y con el valor calculado de X1 se deberá resolver la ecuación 9 para obtener un nuevo valor de Y1. Si Y1 calculado es diferente al asumido se debe efectuar un cálculo iterativo hasta que el valor de Y1 obtenido sea igual al calculado en la iteración anterior. Lo mismo ocurre con la ecuación 7, que requiere del valor de TG que es determinado por la ecuación 3 pero en una etapa de cálculo posterior, se debe asumir un valor inicial de TG y establecer un proceso de convergencia. Emilio Porras Sosa
526
Secuencia de Solución de las Ecuaciones Secuencia de solución:
Variables datos F PF TF Z1 L PL Q
1
Variables asumidas Y1 TG
G
2
X1
9
Y1
4
Z2
8
TL
5
X2
7
PG
6
Y2
3
TG
. Emilio Porras Sosa
527
Secuencia de Solución de las Ecuaciones Descripción del Método Para encontrar la mejor secuencia de solución de un modelo es imprescindible haber realizado correctamente la selección de variables (fijar variables), para que el sistema quede especificado. 1. Especificar el Sistema: Determinar el número de variable, ecuaciones (deben ser independientes) y grados de libertad. Fijar tantas variables como grados de libertad tenga el sistema. 2. Construir la matriz (distribución estructural) de las ecuaciones con las variables desconocidas (no fijadas), colocar una "x" en la intersección de la variable con la ecuación sí la variable interviene en dicha ecuación. 3. Iniciar la eliminación con la variable que esté contenida en una sola ecuación (sólo una "x" en la columna correspondiente a la variable). Se eliminan variable y ecuación, lo que quiere decir es que la variable eliminada será calculada con la ecuación eliminada. 4. Se repite el paso 3 con la matriz remanente hasta terminar, este algoritmo proporcionará el orden inverso de solución de las ecuaciones del modelo. Emilio Porras Sosa
528
Secuencia de Solución de las Ecuaciones Sí en el paso 4 no se logra eliminar todas las ecuaciones porque las variables intervienen en más de una ecuación (más de una "x" en las columnas), seguir el siguiente procedimiento. i.
Definir ρ (x i ) como la sumatoria de "x" en cada una de las columnas
ii. Definir "k" como:
k = mínimo (ρ (x i ) ) -1
iii. Se identifican el conjunto de k ecuaciones tal que si se eliminan de la matriz queda una estructura en la que al menos una variable intervenga en una única ecuación (por lo menos un ρ (x i ) igual a 1. iv. Se elimina temporalmente uno de los conjuntos de k ecuaciones identificados en el paso iii y se aplica el algoritmo de descrito en los pasos 3 y 4 a la estructura residual. v. Si no se obtiene un orden de precedencia de solución se selecciona otro conjunto de k ecuaciones identificados en el paso iii y se retorna al paso iv.
Emilio Porras Sosa
529
Secuencia de Solución de las Ecuaciones vi. Si la eliminación de cualquiera de los conjuntos de k ecuaciones identificados en el paso iii no proporciona una estructura que pueda resolverse ordenadamente, se incrementa k en una unidad (k = k+1) y se retorna al paso iii. vii. Una vez terminado de resolver la matriz residual, quedarán tantas variables no resueltas como ecuaciones eliminadas de manera temporal, se debe identificar que ecuaciones proporcionarán la solución de dichas variables. viii.La eliminación temporal de ecuaciones indica que para resolver el modelo se deben dar valores iniciales a las variables calculadas con las ecuaciones eliminadas temporalmente. También señala que será necesario establecer un proceso de convergencia para obtener la solución final de estas variables.
Emilio Porras Sosa
530
Secuencia de Solución de las Ecuaciones Caso de un Vaporizador Flash Variables: Sean componentes ( C = 2 ).
V
dos
NV = 3 (C + 3) + 1 = 3 C + 10 F
NV = 3 · 2 + 10 = 16 F PF TF Z1 Z2
L PL TL X1 X2
Emilio Porras Sosa
V PV TV Y1 Y2
Q Q
L
531
Secuencia de Solución de las Ecuaciones Ecuaciones: NE = 2 C + 6 = 2 · 2 + 6 = 10 1. BGM 2. BPM 3. BGE 4. Σ fm en F 5. Σ fm en L 6. Σ fm en G 7. Equil. 1 8. Equil. 2 9. Cond. Op. 10. Cond. Op.
F= L+V F Z1 = L X1 + V Y1 F (Z1 hF1 + Z2 hF2) + Q = L (X1 hL1 + X2 hL2) + V (Y1 hV1 + Y2 hV2) Z1 + Z2 = 1 Y1 + Y2 = 1 X1 + X2 = 1 K 1 = Y1 / X1 = f (PV, PL, TV, TL, Y i, X i ) K 2 = Y2 / X2 = f (PV, PL, TV, TL, Y i, X i ) PV = PL TV = TL
Grados de Libertad:
ND = C + 4 = 2 + 4 = 6
Para que el vaporizador flash quede definido se deben especificar 6 variables. Si especificamos la corriente de entrada F quedarían fijadas las 4 variables siguientes: F Emilio Porras Sosa
PF
TF
Z1 532
Secuencia de Solución de las Ecuaciones Se asumirá que se busca las condiciones de operación y adición de energías necesarios para obtener una calidad de vapor (Y1 ) y una cantidad V en la corriente gaseosa, con esta 2 variables fijadas se completan los grados de libertad, quedando especificado el sistema del vaporizador flash. Resumiendo las variables fijadas son las siguientes: F
PF
TF
Z1
Y1
V
Las diez variables restantes (incógnitas) serán determinadas con las diez ecuaciones que gobiernan el sistema. La matriz de distribución estructural de variables desconocidas y ecuaciones de la siguiente página se utilizará para encontrar la mejor secuencia de solución de las ecuaciones, y se utilizará paso a paso el procedimiento descrito. ´. Emilio Porras Sosa
533
Secuencia de Solución de las Ecuaciones
Z2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
BGM: BPM: BGE: Σ fm F: Σ fm L: Σ fm G: Equil 1: Equil 2: C. Op.: C. Op.:
PV
TV
Y2
F=L+G F Z1 = L X1 + V Y1 F HF + Q = L HL + V HV Z1 + Z2 = 1 Y1 + Y2 = 1 X1 + X2 = 1 K1 = Y1 / X1 K2 = Y2 / X2 PV = PL TV = T L Número de "x"
x x
x
x
x
L x x x
PL
x
TL
X1
X2
Q
x
x x
x
x
x x
x x x
x x x
x 4
5
4
x x x x 2
4
x x x 4
x x
4
x x x 3
4
1
La variable con que inicia la eliminación es Q que interviene solo en la ecuación 3 de balance de energía (la ecuación 3 será resuelta para obtener la variable Q).
Emilio Porras Sosa
534
Secuencia de Solución de las Ecuaciones Eliminación de la ecuación 3: Z2 1 2 4 5 6 7 8 9 10
BGM: F = L + V BPM: F Z1 = L X1 + V Y1 Σ fm F: Z1 + Z2 = 1 Σ fm L: Y1 + Y2 = 1 Σ fm G: X1 + X2 = 1 Equil 1: K1 = Y1 / X1 Equil 2: K2 = Y2 / X2 C. Op.: PV = PL C. Op.: TV = TL Número de "x"
PV
TV
Y2
L x x
PL
TL
X1
X2
x
x x x x x 1
3
x x x 3
x x
3
x x x 2
3
x x
x x x
x x x
x 3
4
3
3
Q
En la matriz anterior podrá eliminar la ecuación 4 que se utilizaría para resolver la variable Z2. Emilio Porras Sosa
535
Secuencia de Solución de las Ecuaciones Eliminación de la ecuación 4: 1 2 5 6 7 8 9 10
BGM: F = L + V BPM: F Z1 = L X1 + V Y1 Σ fm L: Y1 + Y2 = 1 Σ fm G: X1 + X2 = 1 Equil 1: K1 = Y1 / X1 Equil 2: K2 = Y2 / X2 C. Op.: PV = PL C. Op.: TV = TL Número de "x"
PV
TV
Y2
L x x
PL
TL
X1
X2
x
x x x x 3
x x x 3
x x
3
x x x 2
3
4
x x
x x x
x x x
x 3
4
3
Z2
3
Q
En la matriz residual no existe ninguna variable con ρ(x i )=1 k = min ( ρ (x i ) ) - 1 = 2 - 1 = 1 Debe eliminarse temporalmente una ecuación, el siguiente paso es determinar que ecuación debe eliminarse. Emilio Porras Sosa
536
Secuencia de Solución de las Ecuaciones Observando la matriz se aprecia que las únicas ecuaciones que después de eliminadas (sólo una de ellas) dejan por lo menos un ρ(x i ) =1 son la ecuaciones 1 o 2. Si se elimina la ecuación 1 (o la 2 ) podrá resolverse la otra ecuación pero no podrá continuarse con el proceso ya que después de la eliminación de estas dos ecuaciones (1 y 2), la matriz no presenta ninguna variable con ρ(x i ) = 1. Por lo tanto k debe ser incrementado en una unidad. k=k+1=2 Debemos identificar los conjuntos de 2 ecuaciones tal que al ser eliminados de la matriz deje por lo menos una variable con ρ (x i ) = 1. Los conjuntos de dos ecuaciones son los siguientes: 5 y 7, 5 y 8, 6 y 7, 6 y 8, 7 y 8, 7 y 9, 7 y 10, 8 y 9, y las ecuaciones 8 y 10, que hacen un total de 9 conjuntos de 2 ecuaciones. También se aprecia que las ecuaciones que más variables contienen son la 7 y 8, y que a su vez son las que más participan en los 9 conjuntos de dos ecuaciones; razón por la cual son las mejores postulantes para considerarse como las ecuaciones que se eliminarán temporalmente, al final del proceso se determinarán las variables que serán determinadas por estas ecuaciones. Emilio Porras Sosa
537
Secuencia de Solución de las Ecuaciones Eliminación temporal de las ecuaciones 7 y 8: PV 1 2 5 6 7 8 9 10
BGM: BPM: Σ fm L: Σ fm G: Equil 1: Equil 2: C. Op.: C. Op.:
F=L+V F Z1 = L X1 + V Y1 Y1 + Y2 = 1 X1 + X2 = 1 K1 = Y1 / X1 K2 = Y2 / X2 PV = PL T V = TL Número de "x"
TV
Y2
L x x
PL
TL
X1
X2
x
x z z x 1
z z x 1
z z
1 7
z z x 2
1
x z z
x 1
2
1
? 4
8
z z
x z z
Z2
3
Q
?
La variable PV se calculará con la ecuación 9 y TV con la ecuación 10, la variable Y2 con la ecuación 5, las variables PL y TL no podrán ser determinada en este nivel del cálculo porque la ecuaciones 9 y 10 ya fueron utilizadas, y por último la variable X2 se resolverá con la ecuación 6. Emilio Porras Sosa
538
Secuencia de Solución de las Ecuaciones 1 2 7 8
BGM: BPM: Equil 1: Equil 2:
F=L+V F Z1 = L X1 + V Y1 K1 = Y1 / X1 K2 = Y2 / X2 Número de "x"
L x x
PL
2
z z 0
9
PV
5
Y2
TL
X1
z z 0
x z z 1
7
? 4
6
X2
10
TV
8
Z2
3
Q
?
En la matriz residual se aprecia que la variable X1 será determinada por la ecuación de balance parcial del componente 1 (ecuación 2)
Emilio Porras Sosa
539
Secuencia de Solución de las Ecuaciones 1 7 8
L x
BGM: F=L+V Equil 1 K1 = Y1 / X1 Equil 2 K2 = Y2 / X2 Número de "x"
2
PL
TL
1
z z 0
z z 0
9
PV
5
Y2
7
?
X1
4 6
X2
10
TV
8
Z2
3
Q
?
Con la ecuación 1 (balance general de materia) se determinará la variable L.
Emilio Porras Sosa
540
Secuencia de Solución de las Ecuaciones 7 8
PL z z 0
Equil 1 K1 = Y1 / X1 Equil 2 K2 = Y2 / X2 Número de "x"
1
L
2
TL z z 0
9
PV
5
Y2
7
?
X1
4 6
X2
10
TV
8
Z2
3
Q
?
En la última matriz residual aparecen las dos variable (PL y TL ) pendientes de calcular y las dos ecuaciones eliminadas temporalmente (7 y 8), se aprecia que dichas variables pueden ser determinadas indistintamente por cualquiera de las dos ecuaciones. Si empleamos la ecuación 7 para determinar PL , la ecuación 8 se utilizará para calcular TL. Emilio Porras Sosa
541
Secuencia de Solución de las Ecuaciones
1
L
2
9
PV
5
Y2
7
PL
X1
4 6
X2
10
TV
8
Z2
3
Q
TL
Los valores de PL y TL son necesarios para resolver las ecuaciones 9 y 10 y que se encuentran en un nivel anterior de la etapa de cálculo, razón por la cual será necesario dar valores iniciales a PL y TL y establecer reciclo de información y el correspondiente método de convergencia. Emilio Porras Sosa
542
Secuencia de Solución de las Ecuaciones Secuencia de Solución de las ecuaciones:
Variables datos F PF TF Z1 V Y1 Variables asumidas PL TL
Emilio Porras Sosa
1
L
2
9
PV
5
Y2
7
PL
X1
4 6
X2
10
TV
8
Z2
3
Q
TL
543
Secuencia de Solución de las Ecuaciones Caso de un Vaporizador Flash con Combinación de Ecuaciones V
La combinación previa de ecuaciones nos permitirá simplificar la solución del modelo. Variables: Sean dos componentes ( C = 2 ). NV = 3 (C + 3) + 1 = 3 C + 10
F
NV = 3 · 2 + 10 = 16 F PF TF Z1 Z2
L PL TL X1 X2
Emilio Porras Sosa
V PV TV Y1 Y2
Q
Q
L
544
Secuencia de Solución de las Ecuaciones Ecuaciones: NE = 2 C + 6 = 2 · 2 + 6 = 10 1. BGM 2. BPM 3. BGE 4. Σ fm en F 5. Σ fm en L 6. Σ fm en G 7. Equil. 1 8. Equil. 2 9. Cond. Op. 10. Cond. Op.
F= L+V F Z1 = L X1 + V Y1 F (Z1 hF1 + Z2 hF2) + Q = L (X1 hL1 + X2 hL2) + V (Y1 hV1 + Y2 hV2) Z1 + Z2 = 1 Y1 + Y2 = 1 X1 + X2 = 1 K 1 = Y1 / X1 = f (PV, PL, TV, TL, Y i, X i ) K 2 = Y2 / X2 = f (PV, PL, TV, TL, Y i, X i ) PV = PL TV = TL
Grados de Libertad:
ND = C + 4 = 2 + 4 = 6
Para que el vaporizador flash quede definido se deben especificar 6 variables. Si especificamos la corriente de entrada F quedarían fijadas las 4 variables siguientes: F Emilio Porras Sosa
PF
TF
Z1 545
Secuencia de Solución de las Ecuaciones Se asumirá que se busca las condiciones de operación y adición de energías necesarios para obtener una calidad de vapor (Y1 ) y una cantidad V en la corriente gaseosa, con esta 2 variables fijadas se completan los grados de libertad, quedando especificado el sistema del vaporizador flash. Resumiendo las variables fijadas son las siguientes: F
PF
TF
Z1
Y1
V
Las diez variables restantes (incógnitas) serán determinadas con las diez ecuaciones que gobiernan el sistema. La matriz de distribución estructural de variables desconocidas y ecuaciones de la siguiente página se utilizará para encontrar la mejor secuencia de solución de las ecuaciones, y se utilizará paso a paso el procedimiento descrito. Previamente a la solución de la matriz, se efectuarán combinación de las ecuaciones a fin de que participen el menor número de variables en cada una de ellas, de esta manera la matriz será menos densa Emilio Porras Sosa
546
Secuencia de Solución de las Ecuaciones Efectuaremos la combinación entre las ecuaciones a fin de disminuir el número de variables que participan en cada una de ellas, esto redundará en una mas fácil solución del modelo: 1. BGM 2. BPM 3. BGE (1-Y1) hV2) 4. Σ fm en F 5. Σ fm en L 6. Σ fm en G 7. Equil. 1 8. Equil. 2 9. Cond. Op. 10. Cond. Op.
F= L+V F Z1 = (F-V) X1 + V Y1 F (Z1 hF1 + (1-Z1) hF2) + Q = (F-V) (X1 hL1 + (1-X1) hL2) + V (Y1 hV1 + Z1 + Z2 = 1 Y1 + Y2 = 1 X1 + X2 = 1 K 1 = Y1 / X1 = f (PV, TV, Y1, X1 ) K 2 = Y2 / X2 = f (PV, TV, Y1, X1 ) PV = PL TV = TL
.
Emilio Porras Sosa
547
Secuencia de Solución de las Ecuaciones Z2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
BGM: F = L + V BPM: F Z1 = (F-V) X1 + V Y1 BGE: F HF + Q = (F-V) HL + V HV Σ fm F: Z1 + Z2 = 1 Σ fm L: Y1 + Y2 = 1 Σ fm G: X1 + X2 = 1 Equil 1 K1 = Y1 / X1 Equil 2 K2 = Y2 / X2 C. Op. PV = PL C. Op. TV = TL Número de "x"
PV
x
TV
Y2
L x
PL
TL
X1
X2
x x
x
Q
x
x x x x x 1
4
x x
x x x
x
5
1
x x 4
1
1
1
x 1
1
Se aprecia que hay 7 variables que pueden ser determinadas en esta primera etapa. La variable Z2 se determina con la ecuación 4, la variable Y2 se determina con la ecuación 5, la variable L se determina con la ecuación 1, la variable PL se determina con la ecuación 9, la variable TL se determina con la ecuación 10, la variable X2 se determina con la ecuación 6 y la variable Q se resuelve con la ecuación 3 (balance de energía. Emilio Porras Sosa
548
Secuencia de Solución de las Ecuaciones Eliminando las ecuaciones 4, 5, 1, 9, 10, 6 y 3: 2 BPM: F Z1 = L X1 + (F-L) Y1 7 Equil 1 K1 = Y1 / X1 8 Equil 2 K2 = Y2 / X2 Número de "x"
PV
TV
x x 2
x x 2
X1 x x x 3 4
Z2
5
Y2
1
L
9
PL
10
TL
6
X2
3
Q
Para proseguir se debe eliminar temporalmente una ecuación. Emilio Porras Sosa
549
Secuencia de Solución de las Ecuaciones Eliminación temporal de la ecuación de la ecuación 8: 2 BPM: F Z1 = L X1 + (F-L) Y1 7 Equil 1 K1 = Y1 / X1 8 Equil 2 K2 = Y2 / X2 Número de "x"
PV
TV
x z 1
x z 1
X1 x x z 2
8
La ecuación 7 puede utilizarse para resolver PV o TV. Emilio Porras Sosa
?
4
Z2
5
Y2
1
L
9
PL
10
TL
6
X2
3
Q
550
Secuencia de Solución de las Ecuaciones Eliminación de la ecuaciones 7 para resolver PV: TV 2 BPM: F Z1 = L X1 + (F-L) Y1 8 Equil 2 K2 = Y2 / X2 Número de "x"
2
X1
z 0
7
X1 x z 1
PV
8
?
4
Z2
5
Y2
1
L
9
PL
10
TL
6
X2
3
Q
Con la ecuación 2 se determinará X1. Emilio Porras Sosa
551
Secuencia de Solución de las Ecuaciones TV z 0
8 Equil 2 K2 = Y2 / X2 Número de "x"
2
X1
La ecuación 8 resolverá la variable TV.
Emilio Porras Sosa
7
PV
8
?
4
Z2
5
Y2
1
L
9
PL
10
TL
6
X2
3
Q
552
Secuencia de Solución de las Ecuaciones
2
X1
7
PV
8
TV
4
Z2
5
Y2
1
L
9
PL
10
TL
6
X2
3
Q
Para resolver la ecuación 7 se requiere conocer TV. Emilio Porras Sosa
553
Secuencia de Solución de las Ecuaciones Secuencia de Solución de las ecuaciones: Variables datos F PF TF Z1 V Y1
Variables asumidas
2
X1
7
PV
8
TV
4
Z2
5
Y2
1
L
9
PL
10
TL
6
X2
3
Q
TV
Emilio Porras Sosa
554
14 OPTIMIZACIÓN DE PROCESOS
Emilio Porras Sosa
555
Optimización de Procesos El proceso de optimización consiste en encontrar un valor óptimo (máximo o mínimo) para una función respuesta, más que el valor de la función respuesta lo que se busca son las condiciones del proceso para que la respuesta sea óptima. Para alcanzar una meta existen muchos cursos de acción posibles, la selección del mejor camino es denominado como proceso de optimización. La función respuesta (denominada función objetivo, FO) relaciona los criterios de optimización (costos, ingresos, utilidad, rendimientos, eficiencias, tiempo, etc) con las condiciones, parámetros o variables del proceso. La función objetivo debe escribirse en termino absolutos (US$/día, US$/mes, US$/año) y no en termino relativos (US$/Kg, US$/ciclo). Las condiciones óptimas para un sistema de múltiples unidades son diferentes a las condiciones óptimas si las unidades trabajaran separadamente.
Emilio Porras Sosa
556
Optimización de Procesos F = FO = f ( X1 , X2 , X3 , ....... , X N ) Para encontrar el valor de las variables que optimicen la función objetivo: δF/δXi=0 Sí la función objetivo depende de una sola variable:
F = f (X)
δ F / δ X = f ' (X) = 0
Se determina X al que denominaremos Xo
Si
F es mínimo F es máximo
f '' (Xo) > 0 f '' (Xo) < 0
Encontrado las condiciones óptimas debe verificarse la factibilidad de la solución, los procesos tienen asociados ciertas restricciones que pueden hacer que la solución esté fuera del área factible..
Emilio Porras Sosa
557
Optimización de Procesos Métodos Analíticos Los métodos analíticos se emplean cuando la función objetivo puede escribirse en forma explícita con las variables independientes, otra condición necesaria para aplicar los métodos analíticos es la factibilidad para determinar las derivadas parciales de primer orden. • • • •
Procesos no cíclicos Procesos cíclicos Multiplicadores de Lagrange Programación Lineal
Métodos no Analíticos Estos métodos se utilizan cuando no se puede determinar analíticamente las derivadas parciales de la función objetivo respecto a cada variable independiente. Estos métodos también son conocidos como métodos numéricos.
Emilio Porras Sosa
558
Métodos Analíticos – Procesos no Cíclicos Caso: Compresor de dos Etapas En los procesos de compresión el trabajo que se efectúa sobre el sistema es mayor a medida que la temperatura del gas se incrementa, es por todos conocido que al comprimir un gas la temperatura de este aumenta. Los incrementos de presión (ΔP) son más costosos al aumentar la presión . Cuando ΔP son grandes se efectúa la compresión por etapas, después de cada etapa el gas es enfriado para disminuir los requerimientos de energía. El objetivo es determinar la presión inter-etapas que haga que la energía suministrada al compresor para elevar la presión del gas sea la mínima, por la tanto la función objetivo estará dada por: Función Objetivo = Trabajo consumido por el compresor = Ws Se hace notar que la función objetivo no está contemplando otros costos relacionados como inversión, costo del enfriamiento, etc. Sólo contempla la energía requerida para lograr elevar la presión del gas. Emilio Porras Sosa
559
Métodos Analíticos – Procesos no Cíclicos W1
W2 P2 , T2
P1 , T1
P2 , T1
P3 , T3
Presión
Q
Temperatura Emilio Porras Sosa
560
Métodos Analíticos – Procesos no Cíclicos
Trabajo Consumido
Total
m Pri
pa a t aE
er
Seg und a
Etap a
P2 Óptimo
P1 Emilio Porras Sosa
Presión Inter-etapa (P2)
P3 561
Métodos Analíticos – Procesos no Cíclicos Para escribir la ecuación general de energía el contenido unitario de energía (e) como la suma de la energía interna, energía cinética y energía potencial: v2 e=u+
g +
2 gC
z gC
Energía - Energía que ingresa + Energía que sale = Calor cedido por - Trabajo realizado Acumulada con el fluido con el fluido el entorno por el sistema
δ ρe VOL
δt
δ Vol - e1
δ M1 δt
δ M2 + e2
δQ =
δt
δW -
δt
δt
El trabajo realizado por el sistema (W) se divide en trabajo efectivo o trabajo de eje (WS) y trabajo para el movimiento del fluido (Wf). W = WS + Wf Emilio Porras Sosa
562
Métodos Analíticos – Procesos no Cíclicos δ Wf
δ M1 = - P1 v1
δt
δt
δ M2 + P2 v2
δt
Reemplazando las dos relaciones en la ecuación general de energía. δe VOL
δt
δ Vol - (e1+ P1 v1 )
δ M2
δ M1 δt
+ (e2 + P2 v2 )
δQ =
δt
δ WS -
δt
δt
Si la energía cinética y la potencial son despreciables respecto a la energía interna o no varían en el proceso la ecuación anterior se modificaría a: δu VOL
δt
δ Vol - (u1+ P1 v1 )
Emilio Porras Sosa
δ M1 δt
δ M2 + (u2 + P2 v2 )
δQ =
δt
δ WS -
δt
δt 563
Métodos Analíticos – Procesos no Cíclicos δu VOL
δt
δ M1 d Vol - h1
δt
δ M2 + h2
δQ =
δt
δ WS -
δt
δt
Las otras ecuaciones termodinámicas que ayudan a resolver la relación anterior son: δU=TδS-PδV δH=TδS+VδP Un compresor es un sistema abierto y si trabaja en estado estacionario la acumulación de energía en el sistema es cero. Si el proceso es adiabático y reversible el calor transferido y la variación de entropía son nulos. δ M1 - h1
δt
Emilio Porras Sosa
δ M2 + h2
δ WS = -
δt
δt 564
Métodos Analíticos – Procesos no Cíclicos δ M1 = δ M2 = δ M δM (h2 - h1 )
δ WS = -
δt
δt
- WS = (h2 - h1) δ M = δ H
- WS = Δ H =
VδP
Cuando se trata de un gas ideal:
PV = NRT
Compresión adiabática: PV λ = P1 V1 λ = Constante T P (1 − λ)/λ = T1 P1 (1 − λ)/λ = Constante Emilio Porras Sosa
565
Métodos Analíticos – Procesos no Cíclicos Reemplazando e integrando desde P1 a P2 para determinar el trabajo entregado en la primera etapa: W1 = NRT1 λ / (λ−1) [ (P2 / P1 ) (λ−1)/λ - 1 ] De la misma manera para la segunda etapa. W2 = NRT1 λ / (λ−1) [ (P3 / P2 ) (λ−1)/λ - 1 ] El trabajo total estará dado por la suma de los trabajos de cada una de las etapas. WT = W1 + W2
Emilio Porras Sosa
566
Métodos Analíticos – Procesos no Cíclicos WT = W1 + W2 = NRT1 λ / (λ−1) [ (P3 / P2 ) (λ−1)/λ + (P2 / P1 ) (λ−1)/λ - 2] Para determinar la presión inter-etapas que minimice el trabajo derivaremos la función objetivo (WT) respecto a P2 y la igualaremos a cero. δ WT =0 δ P2 Resolviendo se obtiene: P2 ÓPTIMO = (P1 P3 )0.5
Emilio Porras Sosa
567
Métodos Analíticos – Procesos no Cíclicos Caso: Espesor de Aislamiento en Tuberías En los procesos donde se transportan fluidos por tuberías y debe mantenerse su temperatura se utiliza aislamiento para evitar que gane o pierda calor del/al ambiente. No necesariamente a grandes espesores la pérdida (ganancia) de calor es mínima, al aumentar el espesor aumenta el área de transferencia incrementando el flujo de calor. K R2 T0
T2
R1
h Th
Existe un espesor de aislamiento que minimiza la pérdida de calor, pero que no es el espesor que minimiza los costos totales relacionados con el uso del aislamiento. La variable explicativa de la función objetivo será el espesor del aislamiento o el radio externo (R2). Emilio Porras Sosa
568
Métodos Analíticos – Procesos no Cíclicos Para desarrollar el caso asumiremos la siguiente información: • • • • • •
k: Conductividad térmica [Kcal/hr-m-ºC] h: Coeficiente de convección [Kcal/hr-m2-ºC] Y: horas de operación al año CQ: Costo de la energía (US$/Kcal) Costo del aislamiento: CA = a + b R2 (US$/m) donde a y b = f (R1) Costos fijos anuales= θ CA
Función objetivo = costo de la pérdida de calor + costos fijos CT = CQ Q Y + θ (a + b R2) Para encontrar el espesor de aislamiento óptimo se deberá escribir la relación de costos totales en función del radio externo, para lo cual la variable Q debe expresarse como una función de R 2. Emilio Porras Sosa
569
Métodos Analíticos – Procesos no Cíclicos Pérdida de calor por conducción:
-Q=2 πRk
δT δR
Integrando desde R1 a R2 y desde T1 hasta T2 (temperatura en la pared exterior del aislamiento). 2 π k ( T1 - T2 ) Q= Ln (R2 / R1 ) Pérdida de calor por convección:
Q = 2 π R2 h (T2 - Th )
Combinando ambas ecuaciones: 2 π R2 (T1 - Th ) Q= 1/h + (R2 /k) Ln (R2 / R1 )
Emilio Porras Sosa
570
Métodos Analíticos – Procesos no Cíclicos La función objetivo quedará descrita con la siguiente ecuación. 2 π R2 (T1 - Th ) CT =
CQ Y + θ (a + b R2 )
1/h + (R2/k ) Ln (R2 / R1 ) Para encontrar el radio óptimo que minimice los costos se deriva la función anterior con respecto a R2 e iguala a cero. δ CT =0 δ R2 Resolviendo se obtiene: 2 π (T1 - Th ) (R2 /k - 1/h ) CQ Y = θ b [1/h + (R2 /k) Ln (R2 / R1 ) ] 2 Conocidos los valores de los diferentes parámetros se podrá resolver para calcular el espesor de aislamiento óptimo, R2 - R1. Emilio Porras Sosa
571
Métodos Analíticos – Procesos no Cíclicos Espesor Óptimo de Aislamiento en Tuberías
Costo (US$/metro)
CT = CQ + CF Costo Mínimo
CF
Mínima Pérdida de Calor
CQ
Espesor del Aislamiento Emilio Porras Sosa
572
Métodos Analíticos – Procesos no Cíclicos El caso resuelto determina el espesor de aislamiento que minimiza el costo de operación (pérdida de calor y costos operativos y de mantenimiento), si se quisiera considerar el costo de inversión, se deberá adicionar la inversión anualizada que depende de la tasa de descuento (TD) y la vida del aislamiento (N). TD (1 + TD) N FRK = (1 + TD) N - 1 La función objetivo de costos totales (pérdida de calor, costos de operación y mantenimiento, e inversión anualizada) será la siguiente: 2 π R2 (T1 - Th ) CQ Y + (θ + FRK) (a + b R2 )
CT = 1/h + (R2/k) Ln (R2 / R1 )
El espesor que minimiza el costo total será diferente al espesor que minimiza el costo de operación. Si se quiere minimizar el flujo de egresos habría que considerar en adición la depreciación y el impuesto a la renta. Emilio Porras Sosa
573
Métodos Analíticos – Procesos no Cíclicos Caso: Aislamiento en Superficies Planas El caso es aplicable a superficies planas o sectores circulares con diámetros de gran magnitud, para simplificar se asumirá que el efecto de la convección es despreciable. k: Conductividad térmica [Kcal/hr-m-ºC] Y: Horas operación/año e: Espesor del aislamiento [m] ΔT: Diferencia de temperatura entre las paredes del aislamiento [ºC] CA: Costo del aislamiento instalado [US$/m3] CQ: Costo de la energía térmica [US$/Kcal] θ : Costos fijos anuales como fracción de la inversión N: Tiempo de vida del aislamiento TD: Tasa real de descuento Emilio Porras Sosa
574
Métodos Analíticos – Procesos no Cíclicos T1
ΔT
T2
A = Área transversal (de transferencia) k
e Emilio Porras Sosa
575
Métodos Analíticos – Procesos no Cíclicos Recordemos la formula de anualidad: TD (1 + TD) N FRK = (1 + TD) N - 1 Base: Área Transversal = 1 m2 de superficie aislada. Volumen de aislamiento: e m 3
Inversión: CA e US$
Inversión anualizada: CA e FRK US$/año Costos fijos: θ CA e US$/año Pérdida de calor: Q = k A ΔT / ΔX = k ΔT / e Kcal/hr Costo del calor perdido: CQ Y k ΔT/e US$/año Costo total Emilio Porras Sosa
CT = CQ Y k ΔT / e + (θ + FRK) CA e US$/año 576
Métodos Analíticos – Procesos no Cíclicos Para encontrar el espesor óptimo derivaremos la función de costos totales con respecto al espesor y los igualaremos a cero. δ CT δe
= - CQ Y k
DT/e
2
+ (θ + FRK) CA = 0
CQ Y k ΔT e2 =
m ( θ + FRK) CA
La relación anterior se utiliza para generar nomogramas, que faciliten la selección del espesor óptimo de aislamiento. La construcción de nomogramas se deben realizar en forma genérica sin dar valor a ninguno de los parámetros, solo de esta manera el nomograma podrá ser utilizado en cualquier tiempo y lugar.
Emilio Porras Sosa
577
Métodos Analíticos – Procesos no Cíclicos Nomograma para la determinación del espesor óptimo de aislamiento en superficies planas cm
m =
e
e
8
15
20 c
9
e=
K Y (T-Th) CQ [US$/m-año]
10
=
12
cm e=
7
c 10
m
8 e=
6
cm
5 4
e=6c
m
3 2
e = 4 cm
1
e = 2 cm
0 0
100
Emilio Porras Sosa
200
300
400
500
600
700
(FRK+θ ) CA [US$/m3 -año]
800
900 1000
578
Métodos Analíticos – Procesos no Cíclicos Caso: Evaporadores de Múltiple Efecto En los procesos de evaporación y concentración de soluciones acuosas se utiliza vapor como fuente de energía térmica para lograr la evaporación del agua de las soluciones. El consumo de vapor y por lo tanto los costos en vapor disminuyen con el número de efectos. A continuación se muestra una relación empírica entre el consumo de vapor y el número de efectos. WE WS = 0.75 N 0.95 Donde:
Emilio Porras Sosa
WE: Agua evaporada [Kg/hr] WS: Consumo de vapor [Kg/hr] N : Número de efectos
579
Métodos Analíticos – Procesos no Cíclicos
F
Emilio Porras Sosa
WS
580
Métodos Analíticos – Procesos no Cíclicos El número de efectos disminuye los costos en vapor y a su vez incrementa la inversión y por consiguiente los costos fijos que dependen de la inversión. Para determinar el número óptimo de efectos que minimicen los costos totales se requerirá la siguiente información: INVE: Costo instalado de un efecto CS: Costo del vapor [US$/Kg] θ : Costos fijos como fracción de la inversión total Y: Horas de operación al año J: Tiempo de vida de los equipos [años] TD: Tasa real de descuento FO = CT = Costo del vapor + Costos fijos + Inversión anualizada Emilio Porras Sosa
581
Métodos Analíticos – Procesos no Cíclicos Costo del vapor = WS CS Y = (4/3) WE N
-0.95
CS Y
US$/año
Inversión total = N INVE US$ Costos fijos = θ N INVE US$/año Inversión anualizada = N INVE FRK US$/año CT = (4/3) WE N
-0.95
CS Y + θ N INVE + N INVE FRK
CT = (4/3) WE N -0.95 CS Y + ( θ + FRK ) N INVE
Emilio Porras Sosa
582
Métodos Analíticos – Procesos no Cíclicos Para encontrar el número óptimo de efectos se toma la primera derivada de los costos totales con respecto a N y se iguala a cero: δ CT δN
= - 0.95 (4/3) WE N -1.95 CS Y + ( θ + FRK ) INVE = 0
Resolviendo: 1.267 WE CS Y N 1.95 = ( θ + FRK ) INVE Con la relación anterior se puede construir el nomograma correspondiente. Emilio Porras Sosa
583
Métodos Analíticos – Procesos no Cíclicos
WE CS Y / INVE
Ef ec to s
4
6
7E
fec
to s
Nomograma para la determinación del número óptimo de efectos en evaporadores 5
5
os t ec f E
4
t os c e Ef
3 c 3 Efe
2
tos
s 2 Efecto
1
1 Efecto
0 0
0.1
0.2
0.3
0.4
θ + FRK Emilio Porras Sosa
584
Métodos Analíticos – Procesos Cíclicos Los procesos cíclicos se caracterizan por tener una etapa de operación (producción) seguida de un período en que no se produce ya que los equipos están en procesos (no productivos) de descarga, limpieza, carga, regeneración, etc. Casos típicos: reactores por lotes, filtros prensa, torres desionizadoras de agua, evaporadores sujetos a ensuciamiento, equipos con lecho fijo de catalizadores que requieren ser regenerados, etc. En los procesos cíclicos la producción, eficiencia o performance disminuyen conforme transcurre el tiempo de producción u operación, incrementando los costos unitarios. TC = TO + TL
Operación (TO ) Emilio Porras Sosa
TC : Tiempo de ciclo TO : Tiempo de operación o producción TL : Tiempo de no producción
No operación (TL ) 585
Métodos Analíticos – Procesos Cíclicos Caso: Reactor por Lotes En un reactor por lotes la velocidad de formación del producto disminuye con el tiempo debido al descenso en la concentración de los reactantes y está dado por la siguiente ecuación: R = 150 TR-0.5
TM/día
TR: Tiempo (días) desde que se inicia la reacción. El costo de operación es de 4260 US$/día, el período de descarga, limpieza y carga es de 0.75 días y su costo es de 10500 US$. Encontrar el tiempo de reacción óptimo que minimiza el costo de producción si se desea producir 3000 TM/mes, si se desea que la producción sea de 4800 TM/mes. Emilio Porras Sosa
586
Métodos Analíticos – Procesos Cíclicos
Velocidad de Formación
Velocidad de Formación del producto en un reactor por lotes
Tiempo de Reacción Emilio Porras Sosa
587
Métodos Analíticos – Procesos Cíclicos Primero debemos determinar es la producción por ciclo, lo que se logrará integrando la ecuación de la velocidad de formación del producto. TO QC =
150 TR-0.5 δTR = 300 TO0.5
TM/ciclo
0 Sea N el número de ciclos por mes y Q la producción mensual. Q = N QC = 300 N TO 0.5
N =Q/( 300 TO 0.5 )
Los costos de operación estarán dados por la suma del costo de reacción y el costo de limpieza: Costo mensual:
C = 4260 N TO +10500 N
Reemplazando el valor de N:
C = Q (14.2 TO 0.5 + 35.0 TO-0.5 )
Emilio Porras Sosa
588
Métodos Analíticos – Procesos Cíclicos Para encontrar el tiempo óptimo de reacción habrá que derivar la función objetivo de costo de operación con respecto a la variable TO y luego igualarlo a cero. δC δ TO
= Q (14.2 · 0.5 TO-0.5 - 35.0 · 0.5 TO-1.5 ) = 0
Resolviendo: TO = 2.465 días
TC = 2.465 + 0.75 = 3.215 días
Se aprecia que el tiempo óptimo de reacción es independiente del requerimiento de producción mensual. Caso: Producción mensual = 3000 TM/mes N =3000/[300 (2.465) 0.5 ] = 6.37 Ciclos Tiempo total: N TC = 6.37 · 3.215 = 20.48 días Producción factible ya que se logra en menos de 30 días (1 mes) Emilio Porras Sosa
589
Métodos Analíticos – Procesos Cíclicos Caso: Producción de 3000 TM/mes
180 170 160
25
150 140
20
130
Días Trabajados/Mes
Costo Mensual (MUS$)
30
Costo Mínimo
120
15 0
Emilio Porras Sosa
1
2 3 4 5 6 Tiempo de Reacción (Dias)
7
8 590
Métodos Analíticos – Procesos Cíclicos Caso: Producción mensual = 4800 TM/mes N =4800/[300 (2.465) 0.5 ] = 10.19 Ciclos Tiempo total: N TC = 10.19 · 3.215 = 32.76 días Producción no factible, trabajando con tiempo de reacción igual a 2.465 días se logra en más de 30 días (1 mes). Este resultado se debe a que no se consideró la siguiente restricción: N (To + 0.75 )