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• Barbara Barrientos

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Universidad de Oriente Núcleo de Anzoátegui Unidad de cursos básicos Estadística General Sección 20

Trabajo 2 Unidad 3 Profesora: Lissette Marcano

Bachilleres: Esther Salmerón C.I 25.528.818 Patricia Fernández C.I: 25.429.123 Elvis Alejandro Marín C.I: 25.532.898 Javier Aguilera Mundarain C.I: 25.413.552 Gisell Barreto C.I: 27.072.578 Daniela Márquez C.I: 25.360.971 Sección 20

Introducción

El cálculo de probabilidad de un evento se toma en cuenta todos los casos posibles de ocurrencia del evento; es decir, de cuántas formas puede ocurrir determinada situación. Uno de los métodos más utilizados es aplicando la Regla de Laplace. Los eventos son el resultado posible o un grupo de resultados posibles de un experimento. Mientras que el espacio muestral Es el conjunto de todos los posibles resultados de una experiencia aleatoria.

1.- Calculo de la Probabilidad: Para calcular la probabilidad de un evento se toma en cuenta todos los casos posibles de ocurrencia del evento; es decir, de cuántas formas puede ocurrir determinada situación. Uno de los métodos más utilizados es aplicando la Regla de Laplace: define la probabilidad de un suceso como el cociente entre casos favorables y casos posibles. Por ejemplo: el tiro de una moneda tiene 2 casos posibles de ocurrencia (o cae águila o cae sol) y sólo 1 caso favorable de que pueda caer águila (pues sólo hay un águila en la moneda). Para calcular la probabilidad de un evento se utiliza la siguiente fórmula:

Para nuestro ejemplo: Probabilidad de "que caiga un águila" tenemos:

Por lo tanto, existe una probabilidad del 50% que yo obtenga un águila al tirar una moneda. Para poder aplicar la Regla de Laplace el experimento aleatorio tiene que cumplir dos requisitos:  

a) El número de resultados posibles (sucesos) tiene que ser finito. Si

hubiera infinitos resultados, al aplicar la regla "casos favorables / casos posibles" el cociente siempre sería cero.

b) Todos los sucesos tienen que tener la misma probabilidad. Si al lanzar un dado, algunas caras tuvieran mayor probabilidad de salir que otras, no podríamos aplicar esta regla. A la regla de Laplace también se le denomina "probabilidad a priori", ya que para aplicarla hay que conocer antes de realizar el experimento cuales son los posibles resultados y saber que todos tienen las mismas probabilidades. 2.- ¿Qué es evento? Un evento es el resultado posible o un grupo de resultados posibles de un experimento y es la mínima unidad de análisis para efectos de cálculos probabilísticos Los eventos se clasifican de la siguiente forma: Mutuamente excluyentes: aquellos que no pueden ocurrir al mismo tiempo. Ejemplo: cara o escudo. Independientes: Estos

no

se

ven

afectados

por

otros

independientes. Ejemplo: el color del zapato y la probabilidad que llueva hoy. Dependientes: cuando un evento afecta a la probabilidad de ocurrencia de otro. Ejemplo: repaso, calificaciones. No excluyentes entre sí: cuando la ocurrencia de uno de ellos no impide que ocurra el otro. Ejemplo: que una persona sea doctor que tenga 56 años, ser estudiante y ya estar casado. 3.- ¿Qué es espacio muestral? Es el conjunto de todos los posibles resultados de una experiencia aleatoria, lo representaremos por E (o bien por la letra griega Ω). Espacio muestral de una moneda: E = {C, X}. Espacio muestral de un dado: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. 4.- ¿Qué son sucesos independientes? Un suceso es cada uno de los resultados posibles de una experiencia aleatoria. Los sucesos, A y B, son independientes cuando la probabilidad de que suceda A no se ve afectada porque haya sucedido o no B. Al lazar dos dados los resultados son independientes.

5.- propiedades de la función probabilidad: 1.- La suma de las probabilidades de un suceso y su contrario vale 1, por tanto la probabilidad del suceso contrario es:

2.- Probabilidad del suceso imposible es cero.

3.- La probabilidad de la unión de dos sucesos es la suma de sus probabilidades restándole la probabilidad de su intersección.

4.- Si un suceso está incluido en otro, su probabilidad es menor o igual a la de éste.

5.- Si A1, A2, ..., Ak son incompatibles dos a dos entonces:

6.- Si el espacio muestral E es finito y un suceso es S = {x 1, x2, ..., xn} entonces:

Por ejemplo la probabilidad de sacar par, al tirar un dado, es: P (par) = P(2) + P(4) + P(6). 6.- Probabilidad suma y producto: Las reglas de suma y multiplicación de probabilidad se refieren a los métodos de calcular la probabilidad de dos eventos, dada la probabilidad de cada evento. La regla de la suma es para encontrar la probabilidad de cualquiera de los dos eventos que no pueden ocurrir simultáneamente. La regla de la multiplicación es para encontrar la probabilidad de ambos eventos que son independientes. Explicando la regla de la suma 1.- Escribe la regla de la suma y explícala con palabras. Esta se da por P(A + B) = P(A) + P(B). Explica que A y B son eventos que pueden ocurrir, pero no pueden hacerlo al mismo tiempo.

2.- Da ejemplos de eventos que no pueden ocurrir simultáneamente y muestra cómo funciona la regla. Un ejemplo: La probabilidad que la siguiente persona que entre alsalón sea un estudiantes y la probabilidad de que la siguiente persona sea un maestro. Si la probabilidad de que la persona sea un estudiante es 0,8 y la que sea un maestro es 0,1, entonces la probabilidad de que la persona sea un maestro o un estudiante es 0,8 + 0,1 = 0,9. 3.-Da ejemplos de eventos que pueden ocurrir al mismo tiempo y muestra cómo falla la regla. Un ejemplo: La probabilidad de que el siguiente tiro de una moneda sea cara o de que la próxima persona al entrar a la clase sea un estudiante. Si la probabilidad de que sea cara es de 0,5 y la de que sea un estudiante es de 0,8, entonces la suma es 0,5 + 0,8 = 1,3; pero todas las probabilidades deben de estar entre 0 y 1. Regla de la multiplicación 1.- Escribe la regla y explica el significado. La regla es P( E*F) = P(E)*P(F) donde E y F son eventos independientes. Explica que independientes significa que un evento ocurriendo no tiene efecto en la probabilidad de que otro ocurra. 2.- Da ejemplos de cómo la regla funciona cuando los eventos son independientes. Un ejemplo: Al seleccionar cartas de una baraja de 52 cartas, la probabilidad de obtener un As es de 4/52 =1/13, porque hay 4 Ases entre las 52 cartas (esto debió de haberse explicado en otra lección anterior). La probabilidad de seleccionar corazón es 13/52 = 1/4. La probabilidad de escoger un As de corazones es de 1/4*1/13 =1/52. 3.- Da ejemplos de donde la regla falla porque los eventos no son independientes. Un ejemplo: la probabilidad de escoger un As es de 1/13, la probabilidad de seleccionar un 2 es también de 1/13. Pero la probabilidad de escoger un As y un dos en la misma baraja no es de 1/13*1/13, sino que es 0, porque los eventos no son independientes.

7.- probabilidad condicional: Sean A y B dos sucesos de un mismo espacio muestral E. Se llama probabilidad del suceso A condicionada al B y se representa por P(A/B) a la probabilidad del suceso A una vez ha ocurrido el B .

Ejemplo Calcular la probabilidad de obtener un 6 al tirar un dado sabiendo que ha salido par.

8.- Teorema de Bayes: El teorema de Bayes parte de una situación en la que es posible conocer las probabilidades de que ocurran una serie de sucesos. Si A   1 , A   2   ,.., A n   son: Sucesos incompatibles 2 a 2. Y cuya unión es el espacio muestral (A 1   A 2  ...   A n = E). Y B es otro suceso. Resulta que:

Las probabilidades p(A1) se denominan probabilidades a priori. Las probabilidades p(Ai/B) se denominan probabilidades a posteriori. Las probabilidades p(B/Ai) se denominan verosimilitudes. 9.- Distribución de Probabilidad discreta y continua: La variable aleatoria discreta (x). Se le denomina variable porque puede tomar diferentes valores, aleatoria, porque el valor tomado es totalmente al azar y discreta porque solo puede tomar valores enteros y un número finito de ellos.

Ejemplos:

x.- Variable que nos define el número de burbujas por envase de vidrio que son generadas en un proceso dado. x.- 0, 1, 2, 3, 4, 5, etc, etc. burbujas por envase x.- Variable que nos define el número de productos defectuosos en un lote de 25 productos. x.- 0, 1, 2, 3,....,25 productos defectuosos en el lote. x.- Variable que nos define el número de alumnos aprobados en la materia de probabilidad en un grupo de 40 alumnos. x.- 0, 1, 2, 3, 4, 5,....,40 alumnos aprobados en probabilidad. Con los ejemplos anteriores nos damos cuenta claramente que los valores de la variable x siempre serán enteros, nunca fraccionarios. Variable aleatoria continua (x). Se le denomina variable porque puede tomar diferentes valores, aleatoria, porque los valores que toma son totalmente al azar y continua porque puede tomar tanto valores enteros como fraccionarios y un número infinito de ellos. Ejemplos: Variable que nos define el diámetro de un engrane en pulgadas. x.- 5.0”, 4.99, 4.98, 5.0, 5.01, 5.0, 4.96 x.- Variable que nos define la longitud de un cable o circuito utilizado en un arnés de auto. x.- 20.5 cm, 20.1, 20.0, 19.8, 20,6, 20.0, 20.0 x.- Variable que nos define la concentración en gramos de plata de algunas muestras de mineral. x.-14.8gramos, 12.0, 10.0, 42.3, 15.0, 18.4, 19.0, 21.0, 20.8.

10.- Ajuste o aproximaciones que existen entre las distribuciones: Binomial, Poisson y Normal. Aproximación Poisson a la distribución binomial Si n es “grande” y p es “pequeño” tenemos la siguiente aproximación: k  n  k nk  np ( np ) e  p q k! k 

Teorema Si n y p0 en forma tal que npa entonces C(n,k) pkqnk  ea ak / k! Aproximación poisson a la distribución normal Aunque para n finito las distribuciones de Poisson y Normal no coinciden, es posible aproximar la primera por la segunda, de acuerdo a la regla siguiente:

λ ≥ 10

λ < 10

aproximar a la Normal de media λ, varianza λ no aproximar, calcular con la variable original

Por ejemplo una Poisson (16) es aproximadamente una Normal (16, 4). Aproximación binomial a la normal: Cuando "n" es grande, la distribución Binomial resulta laboriosa y complicada, por lo que el matemático Abraham de Moivre (1667-1754) demostró que cuando se dan ciertas condiciones una distribución Binomial se puede aproximar a una distribución Normal de media µ = n·p y desviación típica: σ = n ⋅ p

⋅ q µ = n·p σ = n ⋅ p ⋅ q B(n, p) ≅ N (n·p, n ⋅ p ⋅ q ) Si estudiamos la gráfica de varias distribuciones binomiales vemos que, a medida que aumenta el parámetro "n" (tamaño muestral), su gráfica se asemeja cada vez más a la gráfica de una distribución normal. Una diferencia entre los gráficos de la normal y de la Binomial es que la distribución Binomial se va desplazando hacia la derecha a medida que aumenta el tamaño muestral. Para evitar esta desviación se realiza el ajuste entre ambas distribuciones restando a la variable la media y dividiendo por la desviación típica de la distribución Binomial con la que se trabaja.

Conclusión

La probabilidad toma en cuenta todos los casos posibles de ocurrencia del evento más utilizados es aplicando la Regla de Laplace también se le denomina "probabilidad a priori". Además, los puntos más importantes y que enfocan para un entendimiento mejor sobre la probabilidad son los evento, espacio

muestral,

sucesos

independientes,

propiedades

de

la

función

probabilidad, Teorema de Bayes y Distribución de Probabilidad discreta y continua.

Finalmente

es

de

gran

importancia

tener

claro

aproximaciones entre las distribución normal, binomial y Poisson.

las

distintas

Bibliografía

http://www.aulafacil.com/cursos/l11228/ciencia/estadisticas/estadisti cas/calculo-de-probabilidades

http://www.ditutor.com/probabilidad/espacio_muestral.html

http://www.ehowenespanol.com/explicar-reglas-sumamultiplicacion-probabilidades-como_240842/

http://www.ub.edu/stat/GrupsInnovacio/Statmedia/demo/Temas/Cap itulo5/B0C5m2c2t6.htm