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Derivadas parciales de orden superior Extremos relativos

Logros esperados  Aplica las reglas de derivación para calcular derivadas parciales de orden superior.  Resuelve problemas y ejercicios intra-extra matemáticos haciendo uso de las derivadas parciales de orden superior.  Calcula los extremos relativos de funciones de varias variables mediante las propiedades de las derivadas parciales.  Resuelve problemas de optimización en diversos contextos que involucran el uso de los criterios del Hessiano y del Hessiano Orlado.

Funciones de varias variables El estudio de la biodiversidad es un tema central en ecología de comunidades y ecosistemas. La biodiversidad, se refiere a la extensa variedad de seres vivos existentes en el planeta. El índice de Shannon es uno de los más comúnmente usados en ecología y en agroforestería para medir la diversidad de la población, y se define como 𝑛

𝐻 𝑥1 ; 𝑥2 ; … ; 𝑥𝑛 = −

𝑥𝑖 log 2 (𝑥𝑖 ) 𝑖=1

¿Cómo calcularías la diversidad máxima de 𝑛 tipos de flores silvestres?

Derivadas parciales de orden dos Sea la función 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 3 𝑦 4 − sen (𝑥𝑦) Derivadas parciales de orden uno: 𝜕𝑓 𝜕𝑓 2 4 = 3𝑥 𝑦 − 𝑦cos(𝑥𝑦) = 4𝑥 3 𝑦 3 − 𝑥cos(𝑥𝑦) 𝜕𝑥 𝜕𝑦

Derivadas parciales de orden dos: 𝜕 𝜕𝑓 = 6𝑥𝑦 4 + 𝑦 2 sen(𝑥𝑦) 𝜕𝑥 𝜕𝑥

NOTACION

𝜕 𝜕𝑓 = 12𝑥 2 𝑦 3 − cos 𝑥𝑦 + 𝑥𝑦sen(𝑥𝑦) 𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝜕 𝜕𝑓 = 12𝑥 2 𝑦 3 − cos 𝑥𝑦 + 𝑥𝑦sen(𝑥𝑦) 𝜕𝑥 𝜕𝑦

𝜕2𝑓 𝜕𝑥 2 𝜕2𝑓 𝜕𝑦𝜕𝑥 𝜕2𝑓 𝜕𝑥𝜕𝑦

𝜕 𝜕𝑓 = 12𝑥 3 𝑦 2 + 𝑥 2 sen(𝑥𝑦) 𝜕𝑦 𝜕𝑦

𝜕2𝑓 𝜕𝑥 2

Derivadas parciales de orden dos Otra notación para las derivadas parciales muy usada es: 𝜕

𝜕𝑓

𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕 𝜕𝑓 𝜕𝑦 𝜕𝑦

𝜕 𝜕𝑓 𝜕𝑦 𝜕𝑥

=

𝝏𝟐 𝒇 𝝏𝒙𝟐

= 𝒇𝒙𝒙

: Se deriva respecto de 𝑥 dos veces

=

𝝏𝟐 𝒇 𝝏𝒚𝟐

= 𝒇𝒚𝒚

: Se deriva respecto de 𝑦 dos veces

=

𝝏𝟐 𝒇 𝝏𝒚𝝏𝒙

= 𝒇𝒚𝒙 : Primero se derivada respecto de 𝑥, luego respecto de 𝑦

𝜕 𝜕𝑓 𝜕𝑥 𝜕𝑦

=

𝝏𝟐 𝒇 𝝏𝒙𝝏𝒚

= 𝒇𝒙𝒚 : Primero se derivada respecto de 𝑦, luego respecto de 𝑥

Derivadas parciales de orden superior Ejemplo 1 Una función es llamada armónica cuando satisface la ecuación 𝜕2𝑓 𝜕2𝑓 + 2=0 2 𝜕𝑥 𝜕𝑦 en todo su dominio. Demuestre que la función 𝑓 𝑥; 𝑦 = ln 𝑥 2 + 𝑦 2 es armónica

Solución

Caso para que analice el estudiante: 1 Sea la función no constante 𝑧 = 𝑢 𝑥, 𝑦 𝑒 𝑎𝑥+𝑏𝑦 tal que satisface

𝜕2 𝑢 𝜕𝑥𝜕𝑦

y 𝑏, tales que

Solución

= 0. Determine los valores de las constantes 𝑎

𝜕2𝑧 𝜕𝑧 𝜕𝑧 − − +𝑧 =0 𝜕𝑥𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑦

Teorema de Schwarz: Igualdad de las derivadas parciales mixtas Sea 𝑓: 𝑈 ⊂ ℝ𝑛 → ℝ una función definida en el abierto 𝑈 y 𝑥0 ∈ 𝑈. Si para todo 𝑖, 𝑗 ∈ 1; 2; ⋯ ; 𝑛 con 𝑖 ≠ 𝑗 se cumple que: • Existen

𝜕2𝑓 𝜕𝑥𝑗 𝜕𝑥𝑖

• La función

𝑥 ;∀ 𝑥 ∈ 𝑈

𝜕2𝑓 𝜕𝑥𝑗 𝜕𝑥𝑖

: 𝑈 → ℝ es continua en 𝑥0

entonces se cumple la igualdad: 𝜕2𝑓 𝜕2𝑓 𝑥0 = 𝑥0 ; ∀ 𝑖 ≠ 𝑗 𝜕𝑥𝑗 𝜕𝑥𝑖 𝜕𝑥𝑖 𝜕𝑥𝑗

Teorema de Schwarz: Igualdad de las derivadas parciales mixtas Lo que el teorema de Schwarz afirma es que, bajo las hipótesis adecuadas, las derivadas parciales mixtas son iguales Para una función de dos variables: 𝑓: ℝ2 → ℝ 𝒇𝒙𝒚 = 𝒇𝒚𝒙 Para una función de tres variables: 𝑓: ℝ3 → ℝ 𝒇𝒙𝒚 = 𝒇𝒚𝒙 ; 𝒇𝒙𝒛 = 𝒇𝒚𝒛 ; 𝒇𝒚𝒛 = 𝒇𝒛𝒚

Igualdad de las derivadas parciales mixtas Ejemplo 1 Calcule todas las derivadas parciales de segundo orden de las siguientes funciones y muestre que las derivadas parciales mixtas son iguales a.- 𝑓(𝑥; 𝑦) = 𝑥𝑒 −2𝑥+3𝑦 b.- 𝑓 𝑥; 𝑦 = 𝑒 −𝑥+2𝑦 cos 2𝑦

Solución

EXTREMOS RELATIVOS Sea 𝑓 una función definida en 𝐷 ⊂ ℝ𝑛 y 𝑥0 ∈ 𝐷 𝑥0 es un punto de mínimo local de 𝑓 cuando: 𝑓 𝑥 ≥ 𝑓(𝑥0 ) para todo 𝑥 ∈ 𝐷 suficientemente cerca de 𝑥0

𝑥0 es un punto de máximo local de 𝑓 cuando: 𝑓 𝑥 ≤ 𝑓(𝑥0 ) para todo 𝑥 ∈ 𝐷 suficientemente cerca de 𝑥0 𝑧

𝑧 𝒇 𝒙; 𝒚 = 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟏

𝒇 𝒙; 𝒚 = 𝒚𝟐

𝑦 𝑥 Cualquier punto del eje X es punto de mínimo local

𝑥

𝑦 El punto (0; 0) es punto de máximo local. ¿Existen puntos de mínimo local?

Máximos y mínimos Funciones de dos variables Sea 𝑓(𝑥; 𝑦) una función con derivadas parciales de segundo orden continuas. Para hallar los extremos relativos de la función 𝑓, se siguen los siguientes pasos: Paso 1. Se hallan los puntos críticos (𝑎; 𝑏) que son las soluciones del sistema: 𝜕𝑓(𝑥; 𝑦) =0 𝜕𝑥 𝜕𝑓(𝑥; 𝑦) =0 𝜕𝑦 Paso 2. Para cada punto crítico (𝒂; 𝒃) se calcula el siguiente determinante, llamado Hessiano 𝜕 2 𝑓(𝑎; 𝑏) 𝜕 2 𝑓(𝑎; 𝑏) 𝜕𝑥 2 𝜕𝑥𝜕𝑦 𝑑= 2 𝜕 𝑓(𝑎; 𝑏) 𝜕 2 𝑓(𝑎; 𝑏) 𝜕𝑦𝜕𝑥 𝜕𝑦 2

Máximos y mínimos Funciones de dos variables Paso 3. para hallar los máximos y mínimos se tiene en cuenta 𝑺𝒊 𝒅 > 𝟎 𝒚

en (𝑎; 𝑏) 𝑺𝒊 𝒅 > 𝟎 𝒚

𝝏𝟐 𝒇(𝒂;𝒃) 𝝏𝒙𝟐

> 𝟎, entonces 𝑓 tiene un mínimo relativo

𝝏𝟐 𝒇(𝒂;𝒃) 𝝏𝒙𝟐

< 𝟎 , entonces 𝑓

tiene un máximo

relativo en (𝑎; 𝑏)

𝑺𝒊 𝒅 < 𝟎 , entonces 𝑓 no tiene ni máximo ni mínimo en

(𝑎; 𝑏). Punto silla 𝑺𝒊 𝒅 = 𝟎, entonces el criterio no da ninguna conclusión.

Máximos y mínimos Ejemplo 1 Determine los extremos relativos de las siguientes funciones: a.- 𝑓 𝑥; 𝑦 = 𝑥 3 + 𝑦 3 + 9𝑥 2 − 3𝑦 2 + 15𝑥 − 9𝑦 + 20 b.- 𝑓 𝑥; 𝑦 = 𝑥(𝑥 + 4𝑦 − 2𝑦 2 ) c.- 𝑓 𝑥; 𝑦 = 𝑥 2 𝑦 2 + 𝑥 2 − 4𝑦 2 + 5𝑥 − 3

Solución:

Máximos y mínimos Ejemplo 2 Una caja rectangular cerrada con un volumen de 16 𝑚3 se construye con dos clases de material. La parte superior e inferior se hace con un material que cuesta 10 dólares el metro cuadrado; los lados, con un material que cuesta 5 dólares el metro cuadrado. Calcule las dimensiones de la caja para que el costo sea mínimo.

Solución:

Caso para que analice el estudiante: 1 La empresa sajita S.A . Produce un solo producto en dos plantas ubicadas en Arequipa y Trujillo. Los costos mensuales totales de producción en cada planta son: 𝐶𝐴 𝑥 = 50𝑥 2 + 1000 y 𝐶𝑇 𝑦 = 8𝑦 3 − 400𝑦 + 2000 donde 𝑥 e 𝑦 son las cantidades producidas en cada planta. El precio del mercado para el producto es de 2000 soles la unidad. ¿Cuántas unidades debería producir mensualmente la empresa en cada planta para generar la mayor utilidad posible?

Solución:

Caso para que analice el estudiante: 1 Sea la función 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑦 − 𝑥 sen(𝑥) Determine los puntos críticos de 𝑓 y clasifíquelos (máximo relativo, mínimo relativo, punto silla).

Solución: PASO 1: Hallamos los puntos críticos resolviendo el sistema: 𝑓𝑥 = 0 → − sin 𝑥 + 𝑦 − 𝑥 cos 𝑥 = 0 𝑓𝑦 = 0 → sin 𝑥 = 0 Reemplazamos la segunda ecuación en la primera y obtenemos: 𝑦 − 𝑥 cos 𝑥 = 0 de donde 𝑦 = 𝑥 ∨ cos 𝑥 = 0 y de la segunda ecuación sin 𝑥 = 0 Como las funciones «seno» y «coseno» nunca se anulan simultáneamente, tenemos que: 𝑦 = 𝑥 ∧ sin 𝑥 = 0 De donde obtenemos las soluciones: 𝑦 = 𝑥 = 𝑛 𝜋 donde 𝑛 ∈ ℤ Luego todos los puntos críticos son de la forma: 𝑛 𝜋; 𝑛 𝜋 donde 𝑛 ∈ ℤ

Caso para que analice el estudiante: 1 PASO 2: Calculemos el Hessiano, para ello hallemos las derivadas parciales de segundo orden: 𝑓𝑥𝑥 = − 2cos 𝑥 − 𝑦 − 𝑥 sin 𝑥 ; 𝑓𝑥𝑦 = cos 𝑥 ; 𝑓𝑦𝑦 = 0 luego: − 2cos 𝑥 − 𝑦 − 𝑥 sin 𝑥 cos 𝑥 𝐻 𝑥; 𝑦 = cos 𝑥 0 PASO 3: Analizamos en cada punto crítico: 𝑑 = det 𝐻 𝑛 𝜋; 𝑛 𝜋 = − cos 𝑛 𝜋 2 = −1 < 0 (note que este resultado es cierto para cualquier valor de 𝑛 ∈ ℤ) En consecuencia, todos los puntos críticos son puntos de silla para la función 𝑓.

Máximos y mínimos Funciones de tres variables Sea 𝑓(𝑥; 𝑦; 𝑧) una función con derivadas parciales de segundo orden continuas. Para hallar los extremos relativos de la función 𝑓, se siguen los siguientes pasos: Paso 1. Se hallan los puntos críticos (𝑎; 𝑏; 𝑐), que son las soluciones del sistema: 𝑓𝑥 (𝑥; 𝑦; 𝑧) = 0 𝑓𝑦 (𝑧; 𝑦; 𝑧) = 0 𝑓𝑧 (𝑥; 𝑦; 𝑧) = 0 Paso 2. Se calculan los siguientes valores: 𝑓𝑥𝑥 (𝑥; 𝑦; 𝑧) 𝑓𝑥𝑦 (𝑥; 𝑦; 𝑧) 𝐻1 𝑥; 𝑦; 𝑧 = 𝑓𝑥𝑥 𝑥; 𝑦; 𝑧 , 𝐻2 𝑥; 𝑦; 𝑧 = 𝑓𝑦𝑥 (𝑥; 𝑦; 𝑧) 𝑓𝑦𝑦 (𝑥; 𝑦; 𝑧) 𝑓𝑥𝑥 (𝑥; 𝑦; 𝑧) 𝑓𝑥𝑦 (𝑥; 𝑦; 𝑧) 𝑓𝑥𝑧 (𝑥; 𝑦; 𝑧) y 𝐻3 (𝑥; 𝑦; 𝑧) = 𝑓𝑦𝑥 (𝑥; 𝑦; 𝑧) 𝑓𝑦𝑦 (𝑥; 𝑦; 𝑧) 𝑓𝑦𝑧 (𝑥; 𝑦; 𝑧) 𝑓𝑧𝑥 (𝑥; 𝑦; 𝑧) 𝑓𝑧𝑦 (𝑥; 𝑦; 𝑧) 𝑓𝑧𝑧 (𝑥; 𝑦; 𝑧)

Máximos y mínimos Funciones de tres variables Paso 3: y para cada punto crítico a; b; c seguimos el siguiente criterio: 𝑺𝒊 𝑯𝟏 (𝒂; 𝒃; 𝒄) > 𝟎; 𝑯𝟐 (𝒂; 𝒃; 𝒄) > 𝟎 𝒚 𝑯𝟑 (𝒂; 𝒃; 𝒄) > 𝟎, entonces 𝑓 tiene

un mínimo relativo en (𝑎; 𝑏; 𝑐)

𝑺𝒊 𝑯𝟏 𝒂; 𝒃; 𝒄 < 𝟎; 𝑯𝟐 𝒂; 𝒃; 𝒄 > 𝟎 𝒚 𝑯𝟑 𝒂; 𝒃; 𝒄 < 𝟎, entonces 𝑓 tiene

un máximo relativo en (𝑎; 𝑏; 𝑐)

𝑺𝒊 𝑯𝟑 (𝒂; 𝒃; 𝒄) ≠ 𝟎, y cualquier otra posibilidad, entonces 𝑓 no tiene

ni máximo ni mínimo en (𝑎; 𝑏; 𝑐) es Punto silla

𝑺𝒊𝑯𝟑 (𝒂; 𝒃; 𝒄) = 𝟎, entonces el criterio no da ninguna

conclusión.

EXTREMOS CONDICIONADOS Sea 𝒇 una función definida en 𝐷 ⊂ ℝ𝒏 , 𝐶 ⊂ 𝐷 y 𝑥0 ∈ 𝐷 ∩ 𝐶 • 𝒙𝟎 es un punto de mínimo de 𝒇 sujeto a 𝐂 cuando: 𝑓 𝑥 ≥ 𝑓(𝑥0 ) para todo 𝑥 ∈ 𝐷 ∩ 𝐶 • 𝑥0 es un punto de máximo de 𝑓 sujeto a 𝑪 cuando: 𝑓 𝑥 ≤ 𝑓(𝑥0 ) para todo 𝑥 ∈ 𝐷 ∩ 𝐶 Gráfica de 𝒇 𝑧

𝑧

Ptos. de max Ptos. de min

𝑪 𝑥

𝑦 Función con mínimo pero sin máximo.

𝑥

𝑦 𝑪 Función con mínimo y máximo condicionado.

Multiplicadores de Lagrange Sean 𝑓: 𝐷 ⊂ ℝ𝑛 → ℝ y 𝑔: 𝐷 ⊂ ℝ𝑛 → ℝ funciones con derivadas de orden dos que son continuas.. Para determinar los extremos relativos de 𝑓 (máximos y mínimos) sujetos a la condición 𝑔 𝑥 = 0, se siguen los siguientes pasos: PASO 1. Considere la función 𝐿 de Lagrange definida por: 𝑳 𝝀; 𝒙 = 𝒇 𝒙 + 𝝀 𝒈 𝒙 PASO 2. Halle los puntos críticos (𝜆0 ; 𝑥0 ; 𝑦0 ) de la función 𝐿, que son las soluciones del sistema: 𝛻𝑓 𝑥 + 𝜆 𝛻𝑔 𝑥 = 0 𝑔 𝑥 =0

Método del Hessiano Orlado PASO 3. Se define el Hessiano orlado como: 0 𝟐

En ℝ

En ℝ𝟑

𝜕𝑔 ∆3 𝜆; 𝑥; 𝑦 = 𝑑𝑒𝑡 𝜕𝑥 𝜕𝑔 𝜕𝑦 0 𝑔𝑥 ∆4 𝜆; 𝑥; 𝑦; 𝑧 = 𝑑𝑒𝑡 𝑔𝑦 𝑔𝑧

𝜕𝑔 𝜕𝑥 𝜕2𝐿 𝜕𝑥 2 𝜕2𝐿 𝜕𝑦𝜕𝑥 𝑔𝑥 𝐿𝑥𝑥 𝐿𝑦𝑥 𝐿𝑧𝑥

𝜕𝑔 𝜕𝑦 𝜕2𝐿 𝜕𝑥𝜕𝑦 𝜕2𝐿 𝜕𝑦 2 𝑔𝑦 𝐿𝑥𝑦 𝐿𝑦𝑦 𝐿𝑧𝑦

𝑔𝑧 𝐿𝑥𝑧 𝐿𝑦𝑧 𝐿𝑧𝑧

Método del Hessiano Orlado y para cada punto crítico (𝜆0 ; 𝑥0 ; 𝑦0 ) seguimos el siguiente criterio:

En ℝ𝟐 Si ∆3 𝜆0 ; 𝑥0 ; 𝑦0 < 0 entonces hay un mínimo en (𝑥0 ; 𝑦0 ) para la función 𝑓 sujeta a la restricción 𝑔 = 0 Si ∆3 𝜆0 ; 𝑥0 ; 𝑦0 > 0 entonces hay un máximo en (𝑥0 ; 𝑦0 ) para la función 𝑓 sujeta a la restricción 𝑔 = 0

Método del Hessiano Orlado En ℝ𝟑 Denotemos por:

0 ∆3 𝜆; 𝑥; 𝑦 = 𝑔𝑥 𝑔𝑦

𝑔𝑥 𝐿𝑥𝑥 𝐿𝑦𝑥

𝑔𝑦 𝐿𝑥𝑦 𝐿𝑦𝑦

Si ∆3 (𝜆0 ; 𝑥0 ; 𝑦0 ) < 0 y ∆4 (𝜆0 ; 𝑥0 ; 𝑦0 ) < 0 entonces hay un mínimo en (𝑥0 ; 𝑦0 ) para la función 𝑓 sujeta a 𝑔 = 0

Si ∆3 𝜆0 ; 𝑥0 ; 𝑦0 > 0 y ∆4 (𝜆0 ; 𝑥0 ; 𝑦0 ) < 0 entonces hay un máximo en (𝑥0 ; 𝑦0 ) para la función 𝑓 sujeta a 𝑔 = 0

Multiplicadores de Lagrange Ejemplo 1 Determine los puntos donde las siguientes funciones alcanzan sus extremos relativos condicionados a.- 𝑓 𝑥; 𝑦 = 𝑥 2 + 𝑦 2 sujeto a 𝑥 + 𝑦 = 4 b.- 𝑓 𝑥; 𝑦 = 𝑥 + 𝑦 sujeto a 𝑥 2 + 𝑦 2 = 1 c.- 𝑓 𝑥; 𝑦 = 4𝑥𝑦 sujeto a

Solución:

𝑥2 9

+

𝑦2 16

=1

Multiplicadores de Lagrange Ejemplo 2 A un editor se le han asignado 60 mil soles para invertir en el desarrollo y la promoción de un nuevo libro. Se calcula que si se gastan “𝑥” miles de soles en desarrollo y “𝑦” miles de soles en promoción se venderán aproximadamente 𝑓 𝑥, 𝑦 3 2

= 20𝑥 𝑦 ejemplares del libro.Determine la cantidad de dinero que debe asignar el editor al desarrollo y promoción para maximizar las ventas (justifique su respuesta usando el Hessiano orlado)

Solución:

Multiplicadores de Lagrange (Cuando la curva de restricción sea acotada). Se sigue el procedimiento: Varios puntos críticos de la forma 𝝀𝟏 ; 𝑷𝟏 , 𝝀𝟐 ; 𝑷𝟐 , 𝝀𝟑 ; 𝑷𝟑 , … VARIOS PUNTOS CRÍTICOS

VALOR DE LA FUNCIÓN

𝑃1

𝑓(𝑃1 )

𝑃2

𝑓(𝑃2 )

𝑃3

𝑓(𝑃3 )

Se busca el mayor o menor valor según sea el caso

Multiplicadores de Lagrange Un solo punto crítico de la forma 𝝀𝟎 ; 𝑷𝟎

Cualquier punto que satisface la condición

UN SOLO PUNTO CRÍTICO

VALOR DE LA FUNCIÓN

𝑃1

𝑓(𝑃1 )

𝑃

𝑓(𝑃)

Se busca el mayor o menor valor con respecto a 𝒇(𝑷)

Multiplicadores de Lagrange Ejemplo 3 Determine los valores extremos de la función 𝑓 𝑥; 𝑦 = 𝑥 + 2𝑦 2 sujeta a la condición 𝑥 2 + 𝑦 2 = 1

Solución:

Multiplicadores de Lagrange Ejemplo 4 Una plancha de aluminio rectangular se enrolla para obtener un cilindro circular recto. Se desea inscribir el cilindro formado en una esfera de radio 10 cm de tal manera que el área lateral del cilindro sea la máxima posible.Determine las dimensiones de la plancha de aluminio para cumplir con el objetivo del problema. a.- Use el Hessiano Orlado. b.- Use el criterio para curvas acotadas.

Solución:

Lo que no debes olvidar • Una función puede tener varios puntos donde ocurre un máximo (o mínimo), pero su valor máximo (o mínimo) es único. Máximo valor de la función: 2

𝑧

𝑥 𝑦

Mínimo valor de la función: −2

• Para un problema de optimización: 1. Con restricciones, use el criterio del HESSIANO ORLADO. 2. Sin restricciones, use el criterio del HESSIANO.

Lo que no debes olvidar • En un sistema de ecuaciones no debes eliminar expresiones que contienen variables (a menos que el ejercicio garantice que éstas son diferentes de cero) 𝑓𝑥 = 𝑥 + 2𝑦 − 𝑦 2 = 0 𝑥 + 2𝑦 = 𝑦 2 Si → 𝑓𝑦 = 2𝑥 − 2𝑥𝑦 = 0 𝑥 = 𝑥𝑦

Al eliminar 𝑥 en la segunda ecuación obtenemos 𝑦 = 1 y al reemplazar en la primera ecuación resulta 𝑥 = −1. Por lo tanto habría un solo punto crítico 𝑃(−1; 1). Pero en realidad existen tres puntos críticos: 𝑃1 −1; 1 , 𝑃2 0; 0 y 𝑃3 0; 2

• Cuando en el criterio del Hessiano se obtiene 𝒅 = 𝟎, el criterio no da ninguna conclusión. Se tiene que aplicar otros procedimientos (graficando la función, analizando las curvas de nivel, etc.)

Para reflexionar Responde las siguientes interrogantes:

 ¿Qué dificultades encontré al hallar los extremos relativos de una función de varias variables?  ¿Por qué es importante conocer los criterios para hallar máximos y mínimos de una función?  ¿Cómo contribuye los aprendido en mi formación profesional?

BIBLIOGRAFÍA • [1] Larson, R.; Hostetler, R. y Edwards,B. (2010) Cálculo Esencial 1ª ed. México: Cengage Learning • [2] Stewart, J. (2010) Cálculo de varias variables conceptos y contextos. 4ª ed. México. Cengage Learning • [3] Anton, H. (2009) Cálculo Multivariable. 2ª ed. México: Limusa Wiley. • [4] Edwards, H. y Penney, D. (2008) Cálculo con trascendentes tempranas. 7ª ed. México: Pearson Educación. • [5] Thomas, G. (2006) Cálculo varias variables. 11ª ed. México: Pearson