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• Sebastian Soto Perdomo

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Departamento de Análisis Matemático Universidad de La Laguna

Ecuaciones en Derivadas Parciales

Curso de Introducción

José C. Sabina de Lis

La Laguna, 26 de septiembre de 2014

Índice general INTRODUCCIÓN

vi

1. Algunas Edp’s de referencia 1.1. Definiciones básicas. Ecuaciones de primer orden . . . . . . . . . 1.1.1. Recapitulación de ecuaciones diferenciales ordinarias . . . 1.2. Ecuaciones de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1. Ecuación del transporte simple . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2. Ecuaciones lineales: coeficientes constantes . . . . . . . . 1.2.3. Ecuación de Burgers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4. Funciones radiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.5. Funciones homogéneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.6. Introducción a los coeficientes variables . . . . . . . . . . 1.3. Ecuaciones de segundo orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1. Ecuación de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2. Problema de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.3. La ecuación de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.4. La ecuación del calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.5. Ecuación de las superficies mínimas: un ejemplo de ecuación cuasilineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.6. El problema de Cauchy: generalidades . . . . . . . . . . . 1.4. Ecuaciones de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5. La Ecuación de Ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1. La ecuación de las ondas unidimensional . . . . . . . . . . 1.5.2. Ecuación de las ondas bidimensional . . . . . . . . . . . . 1.6. La Ecuación del Calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7. La ecuación del calor unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.1. La ecuación del calor n-dimensional . . . . . . . . . . . . 1.7.2. Difusión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 1 1 3 4 5 6 7 7 8 9 10 12 13 14 15 15 17 18 18 24 28 28 32 35 36

2. Primer orden 47 2.1. Ecuaciones lineales y cuasilineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.1.1. Ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.2. Ecuaciones cuasilineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 iii

ÍNDICE GENERAL

iv 2.3. 2.4. 2.5. 2.6. 2.7.

La ecuación general de Integrales primeras . . Integrales completas . Lagrange-Charpit . . . Ejercicios . . . . . . .

primer . . . . . . . . . . . . . . . .

orden . . . . . . . . . . . . . . . .

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55 61 63 65 68

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75 75 79 84 86

4. Ecuación de ondas 4.1. Clasificación de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Transformación de operadores de segundo orden . . . . . . . . . 4.3. Clasificación de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1. Operadores en el plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2. Operadores con coeficientes constantes . . . . . . . . . . . 4.4. Ecuación de ondas unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1. El problema de valor inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.2. Velocidad de propagación finita de las perturbaciones . . 4.4.3. Soluciones generalizadas. Propagación de discontinuidades 4.4.4. Soluciones simétricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.5. El problema no homogéneo . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5. Problemas de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.1. Problemas de Dirichlet y Neumann homogéneos . . . . . . 4.5.2. Oscilaciones libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.3. Problemas de Dirichlet y Neumann no homogéneos . . . . 4.5.4. Problemas de contorno perturbados . . . . . . . . . . . . 4.6. Problemas semilineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.1. Problemas de valor inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.2. Problemas de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7. Ecuación de ondas n-dimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7.1. Unicidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7.2. Medias esféricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7.3. El problema de valor inicial en el caso n = 3 . . . . . . . . 4.7.4. Propagación de ondas en el plano n = 2 . . . . . . . . . . 4.8. El caso n-dimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8.1. Dimensiones impares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8.2. Método del descenso de Hadamard . . . . . . . . . . . . . 4.9. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

93 93 95 98 98 103 105 105 106 107 109 110 112 116 118 118 120 120 120 123 123 123 125 127 130 131 131 134 135

3. El problema de Cauchy 3.1. Funciones analíticas . . . . . . 3.2. El problema general de Cauchy 3.3. Teorema de Cauchy-Kowalevski 3.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . .

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ÍNDICE GENERAL 5. Ecuación del calor 5.1. Problema de valor inicial . . . . . . . 5.2. El problema perturbado . . . . . . . 5.3. No unicidad de soluciones . . . . . . 5.4. Soluciones analíticas . . . . . . . . . 5.5. Problemas de valor inicial y contorno 5.6. Principios del máximo . . . . . . . . 5.7. Principios del máximo . . . . . . . . 5.8. Soluciones positivas . . . . . . . . . . 5.9. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . .

v

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147 147 152 152 154 154 156 160 163 164

6. Series de Fourier 6.1. Series de Fourier: introducción . . . . . 6.2. Espacios de Hilbert . . . . . . . . . . . . 6.3. Series de Fourier: primeras propiedades 6.4. Resultados de convergencia puntual . . . 6.5. Cuestiones complementarias . . . . . . . 6.6. Convergencia uniforme . . . . . . . . . . 6.7. Fenómeno de Gibb . . . . . . . . . . . . 6.8. Teorema de Lusin . . . . . . . . . . . . . 6.9. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . .

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173 173 174 179 181 185 187 190 193 194

7. Separación de Variables 7.1. Ecuación del calor . . . . . . . . . . . . . . . 7.2. Función de Green . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3. Ecuación de ondas . . . . . . . . . . . . . . . 7.4. Ecuación de ondas amortiguada . . . . . . . . 7.5. Problemas no homogéneos: función de Green 7.5.1. El problema de Dirichlet . . . . . . . . 7.5.2. Propiedades del operador solución . . 7.6. Funciones de Green . . . . . . . . . . . . . . . 7.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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199 199 201 203 205 207 211 212 218 220

8. Ecuación de Laplace (n = 2) 8.1. Fórmula de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.1. Dominios simplemente conexos . . . . . . . . . 8.1.2. Deducción geométrica de la fórmula de Poisson 8.1.3. Problema de Dirichlet en un rectángulo . . . . 8.2. Ecuación de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3. Singularidades evitables . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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225 225 229 230 232 233 240 241

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ÍNDICE GENERAL

vi 9. Ecuación de Laplace (Rn ) 9.1. Identidades de Green. Solución fundamental 9.2. Propiedades de las funciones de Green . . . 9.3. Ecuación de Laplace en la bola . . . . . . . 9.4. Funciones armónicas: propiedades . . . . . . 9.5. Método de Perron . . . . . . . . . . . . . . 9.6. El semiespacio . . . . . . . . . . . . . . . . 9.7. La ecuación de Poisson . . . . . . . . . . . . 9.8. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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247 247 249 251 252 254 258 259 264

A. Funciones diferenciables

269

B. Series Múltiples

273

C. Superficies. Integrales de superficie

277

D. Diferenciación bajo el signo integral

285

BIBLIOGRAFÍA

287

Introducción Estas son unas notas “dinámicas” sobre ecuaciones en derivadas parciales(“edp’s” en lo que sigue), es decir, en continua remodelación. Al estar colgadas en la red nos podemos permitir ese lujo. Disculpe el posible lector el número inmoderado de erratas tipográficas y algunas de las otras (que he tratado de disipar hasta el exterminio con el paso del tiempo). Las edp’s dan al estudiante de matemáticas la impresión –ese fue al menos mi caso– de materia caprichosa. Se aplica un enorme esfuerzo al estudio de tres “meros” casos particulares de segundo orden. Esto, en mis tiempos, donde la carrera ponía gran énfasis en materias tan abstractas como la topolgía general o el cáculo diferencial en espacios de Banach, resultaba desolador para el principiante. Otro agravante, cada pequeño avance en el análisis de estas ecuaciones (v. g. de “coeficientes constantes” a “coeficientes variables”) supone un esfuerzo considerables incluso en las situaciones más humildes (v. g. la ecuación de ondas con velocidad variable). Como subrayaba mi querido profesor de entonces, Carlos Fernández Pérez, nada que ver con las “ode’s” donde teoremas de existencia, unicidad y dependencia continua se formulan limpia y concisamente desde el principio. Pues bien, en lo que aquí se expone, más de lo mismo. . . . Las lecciones que siguen tratan de imitar las que hace ya muchos años recibí sobre edp’s. Las actuales materias de licenciatura/grado contemplan metas mucho menos ambiciosas (en la generalidad de los centros se estudia muy poco de edp’s). Tras la lectura del índice resulta evidente que hay temas suficientes para surtir varias de estas nuevas asignaturas. Es un placer reconocer las deudas contraídas en la redacción de estas notas. La científica espero haberla saldado unas líneas atrás. Sobre textos, un buen número de los ejercicios provienen de [21]. Ya de estudiante, el de Folland [9] me resultó siempre muy sugestivo. Por su cuidada exposción y detalle en los cálculos, [16] ha sido siempre un importante pilar para mi docencia. Nada se trata aquí sobre soluciones débiles. Si ese fuese el caso, aparte de [16] los textos de [1] y [5] serían de referencia obligada. Espero que el lector saque el mejor provecho de este manuscrito virtual. José C. Sabina de Lis (http://josabina.wbs.ull.es) La Laguna 26 de septiembre de 2014. vii

viii

ÍNDICE GENERAL

Capítulo 1

Algunas ecuaciones de referencia en la teoría 1.1.

Definiciones básicas. Ecuaciones de primer orden

1.1.1.

Recapitulación de ecuaciones diferenciales ordinarias

Una función F :

R × Rk+1 (t, y0 , . . . , yk )

−→ 7−→

R F (t, y0 , . . . , yk ),

define la ecuación diferencial ordinaria de orden k, F (t, x, x′ , . . . , x(k) ) = 0.

(1.1)

Se dice que x = x(t), x : J ⊂ R → R, J un intervalo, x diferenciable, es una solución de (1.1) si, F (t, x(t), x′ (t), . . . , x(k) (t)) = 0, para cada t ∈ J. El marco de referencia para el que se hace la teoría de las ecuaciones (1.1) corresponde al caso en que F tiene la estructura: F (t, y0 , . . . , yk ) = yk − f (t, y0 , . . . , yk−1 ), y (1.1) se puede escribir en la forma que se suele llamar “normalizada”: x(k) = f (t, x, . . . , x(k−1) ). 1

(1.2)

2

CAPÍTULO 1. ALGUNAS EDP’S DE REFERENCIA

En el curso de ecuaciones diferenciales ordinarias se estudian la “teoría” y “aplicaciones” de la ecuación (1.2). Los hechos teóricos más significativos se pueden describir en los siguientes términos: • Bajo condiciones muy generales sobre f = f (y0 , . . . , yk−1 ) la ecuación (1.2) admite infinitas soluciones. • Se pueden hallar soluciones de (1.2) que satisfacen condiciones adicionales “prefijadas” en un instante arbitrario t0 . Esto sugiere que bajo condiciones adecuadas el conjunto de soluciones de (1.2) es finito dimensional. El siguiente resultado –que lleva asociado los nombres de Cauchy, Peano, Lipschitz y Lindelöff– resume los aspectos fundamentales de las ecuaciones diferenciales ordinarias. Como se tratará de explicar en el presente curso no existe una contrapartida para ecuaciones en derivadas parciales –salvo que se impongan condiciones muy restrictivas– del mismo. Teorema 1.1. Si la función f es continua, el problema (llamado de valor inicial o de Cauchy),  x(k) = f (t, x, . . . , x(k−1) )    x(t0 ) = ξ0 (P ) ..   .    (k−1) x (t0 ) = ξk−1 , admite al menos una solución no prolongable (x, J), J = (α, ω), para cada (t0 , ξ0 , . . . , ξk−1 ) ∈ R × Rk . Si f es además localmente Lipschitziana en (y0 , . . . , yk−1 ) (por ejemplo si ...,

∂f , ∂y0

∂f existen y son continuas) tal solución es única. ∂yk−1

Observaciones 1.1. a) El problema de Cauchy está inspirado en el principio determinista de Galileo según el cual el comportamiento futuro de una partícula queda determinado por su velocidad y posición iniciales. En el caso unidimensional se estaría hablando, por ejemplo, del problema de valor inicial:  ′′  x = f (x) x(t0 ) = x0   ′ x (t0 ) = v0 . Revísese el caso del oscilador armónico f (x) = −x. La solución del problema precedente es x(t) = x0 cos(t − t0 ) + v0 sen(t − t0 ).

1.2. ECUACIONES DE PRIMER ORDEN

3

b) La teoría se desarrolla de una forma más simétrica en formato n dimensional. Se consideran campos F = F (t, u), F : R×Rn → Rn con lo que u : J ⊂ R → Rn y el problema (P) adopta la forma: { du dt = F (t, u) u(t0 ) = u0 . La ecuación (1.2) se escribe en forma equivalente como,   u′ = u2   1 .. .   u′ = f (t, u , . . . , u ), 1 k k en donde x(t) = u1 (t). c) Una cuestión nada trivial es la determinación del intervalo máximo (α, ω) de existencia. Si por ejemplo ω < +∞ la solución sufrirá con toda seguridad una singularidad en t = ω. Como en el caso u′ = u2 este tipo de singularidades (comúnmente llamadas de tipo “blow-up”) no se detectan en el segundo miembro de la ecuación. Como balance final podemos afirmar que una ecuación diferencial ordinaria admite, bajo condiciones muy poco restrictivas, infinitas soluciones. Las soluciones se determinan con unicidad cuando se imponen condiciones iniciales. Ejercicio 1.1. Se define x(θ) = |x|θ−1 x, θ > 0. Para x ̸= 0 prúebese que (x(θ) )′ = ( )−1 θ|x|θ−1 , (|x|θ )′ = θx(θ−1) , mientras x(θ) = x(1/θ) . Discútase con todo detalle la existencia y unicidad de soluciones para el problema, { x′ = |x|θ x(t0 ) = x0 . Nos ocuparemos en lo que sigue de la discusión de diversos aspectos elementales de la teoría de ecuaciones en derivadas parciales.

1.2.

Ecuaciones de primer orden

Se considera la función, F :

Ω × R × Rn (x, z, p1 , . . . , pn )

−→ 7−→

R F (x, z, p1 , . . . , pn ),

donde Ω ⊂ Rn es un dominio (conjunto abierto y conexo). Definición 1.2. Una función u ∈ C 1 (Ω) define una solución de la ecuación en derivadas parciales de primer orden: F (x, u, ∇u) = 0, si F (x, u(x), ∇u(x)) = 0 para cada x ∈ Ω.

4

CAPÍTULO 1. ALGUNAS EDP’S DE REFERENCIA

Ejemplos 1.2.

∑n a) Cuando F (x, z, p1 , . . . , pn ) = i=1 ai (x)pi + a0 (x)z − f (x) es lineal en (p, z) la ecuación (1): n ∑ ∂u ai (x) + a0 (x)u = f (x), ∂x i i=1 se llama lineal. b) Si F (x, z, p1 , . . . , pn ) =

∑n i=1 n ∑

ai (x, z)pi −b(x, z) sólo es lineal en p, la ecuación:

ai (x, u)

i=1

∂u = b(x, u), ∂xi

se llama cuasilineal. c) Una ecuación no englobada en los casos anteriores se llamará fuertemente no lineal. Por ejemplo la así denominada ecuación eikonal (ecuación de la óptica geométrica): |∇u|2 = c2 , donde c es la velocidad de la luz. En los siguientes ejemplos se efectúa una prospección de cómo responden las ecuaciones de primer orden a las cuestiones de existencia y número de soluciones así como a la posibilidad de imponer condiciones adicionales de tipo “valor inicial”.

1.2.1.

Ecuación del transporte simple

Toma la forma, ut + cux = 0.

(1.3)

Admite como soluciones en R a los llamados frentes de onda (“travelling waves"), u(x, t) = h(x − ct), 2

donde se conoce a c como velocidad de propagación. Como en el caso de las edo’s, un problema de Cauchy permite determinar todas las soluciones de (1.3). A tal efecto es más sugestivo escribir (1.3) en la forma, ut = −cux , e imaginarse que el valor inicial es toda una función de x mientras que el “lugar” de los datos iniciales es, en vez de un punto, todo el eje x. Teorema 1.3. Para cada φ ∈ C 1 (R) el problema, { ut + cux = 0 u(x, 0) = φ(x) sólo admite u = φ(x − ct) como solución. Demostración. Basta probar que las soluciones se conservan sobre las rectas x = x0 + ct.

1.2. ECUACIONES DE PRIMER ORDEN

1.2.2.

5

Ecuaciones lineales: coeficientes constantes

La ecuación: a1 ux + a2 uy + a0 (x, y)u = f (x, y), ai ∈ R constantes, de la que la del transporte es un caso particular, puede tratarse por métodos absolutamente elementales. El caso más sencillo a2 = 0, { a1 ux + a0 (x, y)u = f (x, y) u(w1 s, w2 s) = φ(s), admite inmediatamente como solución: u(x, y) = h(y)e−

∫x 0

a0 (t,y) a1

dt

−

1 a1

∫

x

e−

∫x t

a0 (τ,y) a1

dτ

f (t, y) dt,

0

en la que h se determina resolviendo la ecuación: ∫ w1 s ∫ w s ∫ w1 s a0 (t,w2 s) 1 1 dt a1 φ(s) = h(w2 s)e− 0 − e− t a1 0

a0 (τ,w2 s) a1

dτ

f (t, y) dt. (1.4)

Se observa inmediatamente que (1.4) se puede resolver para φ’s arbitrarias siempre que w2 ̸= 0. El caso general: { a1 ux + a2 uy + a0 (x, y)u = f (x, y) u(w1 s, w2 s) = φ(s), se puede tratar por reducción al caso anterior. Como v = (a1 , a2 ) ̸= (0, 0) basta con transformar las coordenadas para anular uno de los coeficientes de las derivadas de primer orden. En otras palabras, la ecuación se puede escribir, ∂u + a0 u = f, ∂v y basta elegir nuevas coordenadas x′ , y ′ para que ∂u/∂v = ∂u/∂x′ . Por ejemplo, (x, y) = x′ v + y ′ w Es decir,

w = (−a2 , a1 ) .

( ) ( ) ( ′) x a1 −a2 x = , y a2 a1 y′ ( ′) ( )( ) 1 x a1 a2 x = . y′ y a21 + a22 −a2 a1

La ecuación transformada adopta la forma, u ˜ x′ + a ˜0 (x′ , y ′ )˜ u = f˜(x′ , y ′ ),

6

CAPÍTULO 1. ALGUNAS EDP’S DE REFERENCIA

donde, a ˜0 = a0 (a1 x′ − a2 y ′ , a2 x′ + a1 y ′ ) mientras,

f˜ = f (a1 x′ − a2 y ′ , a2 x′ + a1 y ′ ),

u(x, y) = u ˜(|v|−2 (a1 x + a2 y), |v|−2 (−a2 x + a1 y)).

La condición inicial se transforma en, u ˜(|v|−2 (a1 w1 + a2 w2 )s, |v|−2 (−a2 w1 + a1 w2 )s) = φ(s).

1.2.3.

Ecuación de Burgers

Una magnitud fundamental para describir el comportamiento de un fluido es el campo de velocidades. Si se busca el campo de velocidades u = u(x, t) de un fluido unidimensional, x ∈ R, de forma que cada partícula fluida se mueve con velocidad constante, se llega a la ecuación: ut + uux = 0. Es similar a la del transporte simple con la particularidad de que la velocidad de propagación c queda reemplazada por la propia función incógnita u. Para la resolución del problema de valor inicial: { ut + uux = 0 (P ) u(x, 0) = φ(x), φ ∈ C 1 (R), puede intentarse –por analogía con el caso anterior– la ecuación implícita, u = φ(x − ut). (E) Se comprueba inmediatamente que si tal u existe, u resuelve (P). Por otro lado, el teorema de la función implícita permite asegurar la existencia de una única solución u de (E) definida en un entorno U de t = 0 que cumple la condición u(x, 0) = φ(x). Podemos enunciar así el siguiente resultado. Teorema 1.4. El problema (P) admite una única solución u ∈ C 1 (U) en el sentido de que si u1 ∈ C 1 (U1 ) es otra solución con U1 ⊃ U, u = u1 en U. Demostración. La unicidad consiste en probar que toda posible solución v = v(x, t) satisface la ecuación funcional (E). Para ello recordamos que las partículas fluidas tienen velocidad constante. Es decir, si resolvemos: { x′ = v(x, t) x(0) = x0 , se tiene que v(x, t) = v(x0 , 0) sobre la solución x = x(t). Pero v(x0 , 0) = h(x0 ) mientras x(t) = x0 + h(x0 )t. Por tanto v(x, t) = h(x0 ), luego: v(x, t) = h(x − vt), que era el objetivo.

1.2. ECUACIONES DE PRIMER ORDEN

1.2.4.

7

Funciones radiales

Una función u ∈ C 1 (R2 \ {0} se dice radial si u = h(r), r = Satisfacen la ecuación: yux − xuy = 0

√ x2 + y 2 .

(x, y) ∈ R2 \ {0}.

Otra vez, un problema de valor inicial permite caracterizar sus soluciones. En el siguiente resultado la sugerencia es observar la ecuación como un problema de primer orden en y donde el dato inicial se toma en una curva “transversal” a la dirección con respecto a la que se deriva. Teorema 1.5. Para cada φ ∈ C 1 (R+ ) el problema: { xuy = yux u(x, 0) = φ(x), admite una única solución, que es radial. Demostración. La unicidad es consecuencia de la conservación de las soluciones sobre las circunferencias r = r0 .

1.2.5.

Funciones homogéneas

Una función u ∈ C 1 (Rn \ {0}) se dice homogénea de grado α si: u(tx) = tα u(x)

∀t > 0.

Derivando con respecto a t: n ∑ i=1

xi

∂u (tx) = αtα−1 u(x), ∂xi

y haciendo t = 1 se llega a la ecuación (denominada) de Euler, n ∑ i=1

xi

∂u = αu. ∂xi

Es fácil decidir qué tipo de comportamiento exhiben las soluciones sobre los semirayos x = tx0 , t > 0. Teorema 1.6. El problema de Cauchy,  ∑n x ∂u = αu i=1 i ∂xi  u(x) = φ(x) |x| = 1, admite para cada φ una única solución que es una función homogénea.

8

CAPÍTULO 1. ALGUNAS EDP’S DE REFERENCIA

Demostración. Para x fijo el grupo t−α u(tx) se conserva en t para las soluciones de la ecuación de Euler. Observación 1.3. Nótese que la condición inicial determina ella sola una única función homogénea de grado α: ( ) x u(x) = |x|α φ . |x|

1.2.6.

Introducción a los coeficientes variables

Si a1 = a1 (x, y), a2 = a2 (x, y) son funciones de clase C 1 en R2 , la ecuación de primer orden: a1 (x, y)ux + a2 (x, y)uy = 0, describe aquellas funciones que se conservan cuando se las observa en la dirección variable del campo X = (a1 , a2 ). Nada más natural que considerar las curvas del plano γ que son tangentes a X. Por definición tales curvas son las órbitas de la edo: { x′ = a1 (x, y) (S) y ′ = a2 (x, y). Es inmediato comprobar que u se conserva sobre cualquier órbita γ de (S) si y sólo si u cumple la edp propuesta. Resolver el problema: { a1 (x, y)ux + a2 (x, y)uy = 0 (P ) u(x, 0) = φ(x), es construir u = u(x, y) que cumple: u(x, y) = φ(x0 ), sobre órbita γx0 que pasa por (x0 , 0) y esto para cada x0 . La posible arbitrariedad en la elección del dato φ requiere suponer que: a2 (x, 0) ̸= 0

x ∈ R.

El cálculo de órbitas de (S) que pasan por el eje 0x se hace como sigue. El problema,   dx = a1 (x, y) dy a2 (x, y)  x(0) = x0 , admite una única solución x = X(y, x0 ). En la ecuación, x − X(y, x0 ) = 0, x0 se puede despejar en términos de (x, y) bajo la forma de una función C 1 , ξ = ξ(x, y). Si se quiere, las órbitas por el eje x son la familia uniparamétrica de curvas, ξ(x, y) = x0 ,

1.3. ECUACIONES DE SEGUNDO ORDEN

9

con x0 el parámetro. Cubriendo todos los detalles con el debido rigor –y la ayuda de la teoría de edo’s– puede probarse el siguiente resultado. Teorema 1.7. Para cada φ ∈ C 1 (R) y bajo la condición de transversalidad de órbitas a2 (x, 0) ̸= 0, x ∈ R el problema (P) admite una única solución u ∈ C 1 (U) definida en un cierto entorno U del eje x. Demostración. La solución no puede ser otra que u(x, y) = φ(ξ(x, y)). Ejemplo 1.4. El problema: {

xux + uy = 0 u(x, 0) = φ(x),

conduce a la ecucación:

dx = x. dy

La condición x(0) = x0 lleva a x0 = xe−y . La solución es pues u = φ(xe−y ).

1.3.

Ecuaciones de segundo orden

Si Ω ⊂ Rn es un dominio de Rn , una función: F :

2

Ω × R × Rn × Rn (x, z, p, q)

−→ 7−→

R F (x, z, p, q),

donde p = (pi ), q = (qij ), define la ecuación en derivadas parciales de segundo orden: F (x, u, (∂i u), (∂ij u)) = 0, (1) en el sentido de que u ∈ C 2 (Ω) resuelve (1) si F (x, u(x), (∂i u(x)), (∂ij u(x))) = 0 en cada x ∈ Ω. Una ecuación lineal en el grupo de variables (p, q) se llama lineal: n ∑

aij (x)∂ij u +

i,j=1

n ∑

ai (x)∂i u + a0 (x)u = f (x),

i=1

mientras que una ecuación cuasilineal es aquella en la que F sólo es lineal en el grupo q y la ecuación toma la forma: n ∑

aij (x, u, ∇u)∂ij u = b(x, u, ∇u).

i,j=1

La generalidad de los cursos avanzados de ecuaciones en derivadas parciales, incluso los más ambiciosos, sólo alcanza a tratar las ecuaciones lineales de segundo orden. En especial las tres ecuaciones de la física matemática: las ecuaciones de Laplace (y Poisson), del calor y de las ondas que pasamos a presentar a continuación.

10

1.3.1.

CAPÍTULO 1. ALGUNAS EDP’S DE REFERENCIA

Ecuación de Laplace

Una masa puntual M localizada en el origen 0 ∈ R3 crea una perturbación en el medio circundante de forma que una partícula puntual en la posición x = (x1 , x2 , x3 ) sufre una fuerza por unidad de masa F (x) = −

GM x GM =− 3 x 2 |x| |x| r

r = |x|,

donde G es la constante de gravitación. La fuerza F deriva de un potencial V = V (x), es decir: F (x) = ∇V (x). En efecto, ensayando una función radial V (x) = U (r), el que Vxi = −(GM/r3 )xi = −(GM/r2 )xi /r nos lleva a que GM . r Se conoce a V como el potencial Newtoniano. Por otro lado, ( ′) ( ′ )′ 2 U U′ U xi U′ Vxi xi = xi + = + . r xi r r r r V (x) =

En nuestro caso U ′ /r = −GM/r3 , (U ′ /r)′ = 3GM/r4 . Por tanto, 3 ∑

( Vxi xi = r

i=1

U′ r

)′ +3

U′ = 0. r

Para una función u ∈ C 2 (Ω), Ω ⊂ Rn , el grupo: ∆u :=

n ∑

∂ii u =

i=1

n ∑ ∂2u i=1

∂x2i

,

se conoce como el Laplaciano de u (se llamará a ∆ el operador Laplaciano). Se ha comprobado que el potencial Newtoniano V = GM/r satisface la ecuación: ∆V = 0 en R3 \ {0}. Se llama a: ∆u = 0

x ∈ Ω,

(L)

la ecuación de Laplace en Ω. Decimos que u es armónica en Ω si satisface (L). El potencial Newtoniano es armónico en R3 \ {0}. Un ejemplo fundamental de función armónica en el plano lo dan las determinaciones de la función argumento θ = θ(x, y). Para construir una de

1.3. ECUACIONES DE SEGUNDO ORDEN

11

ellas sea “arctag x” la inversa de la tangente en (−π/2, π/2). Sobre el dominio Ω = R2 \ {(0, y) : y ≥ 0} definimos:   x>0 arctag (y/x) θ(x, y) = π/2 y > 0, x = 0   arctag (y/x) + π x < 0. Es inmediato ver que θ ∈ C ∞ (Ω) y que es armónica en Ω. Se verá más adelante que todas las funciones armónicas se generan a partir de la función argumento. Otra gran clase de ejemplos de funciones armónicas en el plano lo suministran las funciones holomorfas. Si Ω ⊂ C es un domino del plano complejo, z = x + iy, y f : Ω → C es una función derivable en sentido complejo en Ω, es decir, el límite: f (z0 + z) − f (z0 ) f ′ (z0 ) = l´ım , (2) z→0 z existe para cada z0 ∈ Ω, entonces escribiendo: f (z) = u(x, y) + iv(x, y) es fácil ver que se cumplen las ecuaciones de Cauchy-Riemann: ux = vy

uy = −vx .

(3)

Basta para ello tomar z real en (2) e igualar el límite al correspondiente valor cuando z es imaginario puro (Ejercicio). Admitiendo la existencia de las derivadas de orden dos para u y v es inmediato concluir de (3) que u y v son armónicas en Ω. La experiencia del curso nos enseñará que el operador Laplaciano se relaciona bien con las rotaciones de Rn . De hecho, si u es radial, u = U (r) entonces, ∆u = U ′′ (r) +

n−1 ′ U (r) r

De ahí la ecuación de Laplace en Rn \ 0 para funciones radiales da como soluciones (módulo constantes):   Cn n≥3 U (r) = rn−2 C log r n = 2 . 2 A efectos de cálculo suele hacerse una elección precisa de las constantes Cn (ver más adelante la solución fundamental del operador Laplaciano). Finalmente, la teoría de gravitación proporciona otro modelo de ecuación asociada al operador Laplaciano. Supongamos ahora que la masa M que perturba el espacio no está localizada en un punto sino que ocupa un dominio Ω ⊂ R3 (un planeta) en la que está distribuida según una densidad de masa ρ = ρ(x). La fuerza neta de atracción por unidad de masa sobre una partícula en la posición espacial x viene dada por la integral: ∫ Gρ(y) F (x) = − (y − x) dy. |x − y|3 Ω

12

CAPÍTULO 1. ALGUNAS EDP’S DE REFERENCIA

Dicha fuerza deriva del potencial, ∫ V (x) = Ω

Gρ(y) dy, |x − y|

que se llama potencial Newtoniano con densidad ρ. Si –como es natural– ρ ∈ L1 (Ω) entonces, una aplicación escrupulosa de los resultados de derivación bajo el signo integral (cf. Anexo) permite concluir que: x ∈ R3 \ Ω.

∆V = 0

Si además ρ es un poco más regular, por ejemplo, ρ ∈ C 1 (Ω) ∩ L∞ (Ω) (Ω acotado) entonces V satisface la ecuación: ∆V = −4πGρ(x)

x ∈ Ω.

Los cálculos implicados ahora en la demostración son más delicados que una mera derivación bajo el signo integral y se desarrollarán en los Capítulos VIII y IX correspondientes a la teoría del potencial. Para f definida en un dominio Ω ⊂ Rn se conoce a: ∆u = f (x)

x ∈ Ω,

se conoce como la ecuación de Poisson.

1.3.2.

Problema de Dirichlet

A la luz de lo explicado, existe una infinidad de funciones armónicas u en un dominio Ω. Basta construir los potenciales u ∈ C 2 (Ω) asociados a las infinitas distribuciones de masa ρ ∈ C 1 (Ω1 ) con Ω1 ∩ Ω = ∅. La siguiente definición se atribuye a Riemann. Definición 1.8. Sea Ω ⊂ Rn un dominio con frontera no vacía ∂Ω y φ una función dada que es continua en ∂Ω. Se dice que u ∈ C 2 (Ω) ∩ C(Ω) es solución del problema de Dirichlet para la ecuación de Laplace si: { ∆u = 0 x∈Ω (1.5) u=φ x ∈ ∂Ω. El contexto en el que surgió dicho problema es el de la teoría de las funciones complejas. Para hallar una solución del problema se introdujo el funcional: ∫ D(u) = |∇u|2 dx, Ω

donde se supone que Ω es un dominio acotado de Rn y u varía en la clase D = {u ∈ C 1 (Ω) : u = φ si x ∈ ∂Ω}.

1.3. ECUACIONES DE SEGUNDO ORDEN

13

Se propuso el siguiente problema de tipo variacional: hallar u ∈ D tal que (1.6)

D(u) = ´ınf D(v). v∈D

En su tiempo –mediados del XIX– se daba por sentado la existencia de una solución de éste último. La conexión con el problema de Dirichlet (1.5) se resume en las siguientes propiedades. Propiedad 1.9. Si u ∈ D resuelve (1.6): ∫ ∇u∇v dx = 0 ∀v ∈ C 1 (Ω) y v|∂Ω = 0. Ω

Propiedad 1.10. Si u, v ∈ C 1 (Ω) entonces:

∫

D(u) = D(v) + D(u − v) + 2

∇u∇(u − v). Ω

En particular (1.6) admite a lo más una solución. Propiedad 1.11. Sea u ∈ D ∩ C 2 (Ω). Entonces u resuelve (1.5) ⇔ u resuelve (1.6). Observaciones 1.5. Las condiciones bajo las que (1.6) admite solución no son en absoluto obvias. Dependen de la geometría del dominio. Un ámbito natural lo proporcionan los dominios de clase C 1 (Anexo). Cuando φ sólo es continua la existencia de (1.6) queda en entredicho incluso en el círculo. Si (1.6) admite solución no es inmediato probar que dicha solución es dos veces derivable y cumple la ecuación de Laplace. Que (1.6) admite solución es lo que se dio en llamar (palabras de Riemann) el “principio de Dirchlet”.

1.3.3.

La ecuación de ondas

Una magnitud u = u(x, t), (x, t) ∈ Ω × R, mide la “desviación” de un medio continuo –dotado de propiedades elásticas– con respecto a la configuración de equilibrio, representada por u = 0 (u puede representar una cualquiera de las componentes del vector desplazamiento que señala la desviación con respecto al equilibrio). El medio puede ser unidimensional (una cuerda), bidimensional (una membrana) o tridimensional (un sólido elástico). Como comprobaremos en la Sección 1.5, cuando el medio detenta propiedades de elasticidad adecuadas, u cumple –bajo la hipótesis de variaciones de pequeña amplitud– la ecuación: ∂2u = c2 ∆u, ∂t2

14

CAPÍTULO 1. ALGUNAS EDP’S DE REFERENCIA

conocida como ecuación de ondas. El número c > 0 representa, como veremos, la velocidad de propagación de las perturbaciones. La propagación de señales acústicas, la radiación de energía y la propagación de señales electromagnéticas son otros de los fenónmenos que pueden describirse mediante la ecuación de ondas. La conservación de la energía es una característica de los procesos gobernados por dicha ecuación. La variable t tiene el sentido de tiempo. Si el medio puede considerarse “ilimitado”, un problema de valor inicial “natural” para la ecuación de ondas es:  2  ∂ u = c2 ∆u    ∂t2  u(x, 0) = φ0 (x)    ut (x, 0) = φ1 (x) , para posición y velocidad φ0 , φ1 prefijadas. Otros términos representando fricción aerodinámica o fuentes de perturbación externas pueden aparecer en la ecuación (Sección 1.5): ∂2u + but = c2 ∆u + F (x, t). ∂t2

1.3.4.

La ecuación del calor

La energía calorífica, bajo condiciones de variabilidad pequeña, es transportada por un proceso denominado difusión, de regiones de alta temperatura hasta zonas de temperatura inferior. En términos de la ley de Fourier (de la que hablaremos en la S. 1.6) este fenómeno de transporte se describe en función de la temperatura u = u(x, t) mediante la ecuación del calor: ∂u = k∆u, ∂t

(4)

en la que la constante k resume las propiedades de conductividad del medio (aquí supuesto isótropo). De nuevo t representa el tiempo y si estamos suponiendo que el medio es ilimitado (las condiciones externas pueden considerarse despreciables), un problema de valor inicial natural para (4) es,   ∂u = k∆u ∂t  u(x, 0) = φ(x), donde φ es la temperatura inicial. Una característica de los procesos simulados por (4) es su carácter disipativo en el sentido de degradar la energía (son además de naturaleza fuertemente irreversible). Como veremos más adelante, (4) tiene la propiedad de velocidad infinita de propagación de las perturbaciones.

1.3. ECUACIONES DE SEGUNDO ORDEN

1.3.5.

15

Ecuación de las superficies mínimas: un ejemplo de ecuación cuasilineal

El siguiente ejemplo pertenece al círculo de los problemas variacionales –fundamentales en física teórica– cuyo estudio general se desarrolla en el Cálculo de Variaciones. Consideremos un dominio acotado Ω ⊂ Rn de clase C 1 (cf. Anexo) y h = h(x) ∈ C 1 (Ω) una función prefijada. En X = {u ∈ C 1 (Ω) : u|∂Ω = h} introducimos el funcional: J : X −→ R u 7−→ J(u), definido por:

∫ √ J(u) = 1 + |∇u|2 dx. Ω

J mide el área de la superficie S = {z = u(x) : x ∈ Ω} en Rn+1 . Un problema natural es hallar u tal que: J(u) = ´ınf J(v). v∈X

(P ).

Una condición necesaria para que u sea solución de (P) es que: d (J(u + tφ))|t=0 = 0, dt para toda φ ∈ C01 (Ω). Esto significa que: ∫ ∇u∇φ √ dx = 0 1 + |∇u|2 Ω

∀φ ∈ C01 (Ω).

(5)

Si se hace la hipótesis adicional de que u ∈ C 2 (Ω) entonces el teorema de la divergencia (cf. Anexo) nos lleva a: ( ) ∫ ∇u div √ φ dx = 0 ∀φ ∈ C01 (Ω), 1 + |∇u|2 Ω por lo que llegamos a que u resuelve el problema: ( )   div √ ∇u =0 x∈Ω 1 + |∇u|2   u=h x ∈ ∂Ω.

1.3.6.

El problema de Cauchy: generalidades

Como en el caso de edo’s y algunos ejemplos de edp’s de primer orden vistos en el §I.1.2 nos planteamos la existencia de condiciones similares a las de valor inicial que determinen “con unicidad” las soluciones de una edp. Esto ya presupone algo nada trivial en el caso de edp’s como es la propia existencia de un

16

CAPÍTULO 1. ALGUNAS EDP’S DE REFERENCIA

número suficiente de soluciones que permita ajustar éste u otro tipo concebible de condiciones. En efecto, se dará en el Capítulo III un ejemplo de edp lineal con coeficientes complejos que no admite soluciones en absoluto. Módulo un estudio más profundo en el Capítulo III trataremos ahora de sugerir que el problema de Cauchy para una edp de segundo orden en el plano consiste en prefijar, de manera arbitraria, sobre una curva C 1 dada Γ = {(x, y) = (f (s), g(s)) : s ∈ I} los valores de la solución u = u(x, y) y√ de su derivada normal a Γ, es decir ∂u/∂ν donde, por ejemplo, ν = (−g ′ , f ′ )/ f ′ 2 + g ′ 2 (′ = d/ds, mientras se supone (f ′ , g ′ ) ̸= (0, 0) en Γ). A tal efecto consideramos:   uyy = f (x, y, u, uy ) (6) u(x, 0) = φ0 (x)   uy (x, 0) = φ1 (x), que es ciertamente un caso muy particular de un problema más ambicioso que consideraremos más tarde como es:   uyy = f (x, y, u, ux , uy , uxy , uyy ) (7) u(x, 0) = φ0 (x)   uy (x, 0) = φ1 (x). En el caso en que (6) toma la forma uyy + u = 0, u(x, 0) = φ0 (x), uy (x, 0) = φ1 (x) la solución es u = φ0 (x) cos y + φ1 (x) sen y. En general un teorema de existencia y unicidad de soluciones para (6) está ya recogido en la teoría de edo’s. En efecto para, pongamos, G = G(x, z, p, λ), G : R × R × R × R → R, de clase C 1 , el problema:  ′′ ′  u = G(x, u, u , λ) (8) u(x0 ) = ξ0   ′ u (x0 ) = ξ1 , admite una única solución u = U (x, x0 , ξ0 , ξ1 , λ). Se puede así construir una única solución local de (6) si, usando la jerga de (8) observamos en (6) a x como el parámetro λ y ponemos como solución: u = U (y, 0, φ0 (x), φ1 (x), x). No obstante, adelantamos que sólo podremos garantizar la existencia de soluciones de (7) bajo condiciones muy restrictivas. Si por otra parte nos limitamos al caso lineal: a11 uxx + 2a12 uxy + a22 uyy + a1 ux + a2 uy + a0 u = F (x, y), una de las posibilidades es, por ejemplo, la ecuación: uxy = F (x, y).

(9)

1.4. ECUACIONES DE ORDEN SUPERIOR

17

Si nos limitamos a cualquiera de los ejes como curva destinataria de las condiciones iniciales se observa que (9) no es propiamente de segundo orden con respecto a la variable x o y. Eso da lugar a la introducción de otro tipo posible de problema de valor inicial donde las condiciones se toman en ejes distintos. Por ejemplo,   uxy = F (x, y) u(0, y) = φ(y)   ux (x, 0) = ψ(x). Una integración directa nos da que la solución de (10) –problema que se llama de tipo Goursat– es: ∫ x ∫ x∫ y u = φ(y) + ψ(ξ) dξ + F (ξ, η) dη dξ. 0

0

0

En los ejercicios abundaremos un poco más sobre este tipo de cuestiones.

1.4.

Ecuaciones de orden superior

Si consideramos funciones u de clase C k en un dominio Ω ⊂ Rn (u ∈ C (Ω)) es decir funciones que admiten todas las posibles derivadas parciales ∂ l u/∂xi1 . . . ∂xil de órdenes l ≤ k de forma que tales derivadas parciales definen funciones continuas en Ω, se sabe –ver Capítulo III para detalles precisos– que todas esas posibles derivadas parciales coinciden con alguna de las derivadas canónicas: ∂ |α| u ∂αu = αn , 1 ∂xα 1 . . . ∂xn k

donde α = (α1 , . . . , αn ) ∈ (N ∪ {0})n , |α| = α1 + · · · + αn . Si N (k) designa el número de α′ s con |α| ≤ k (la “derivada de orden cero” una de ellas), una función F : Ω × RN (k) −→ R (x, (yα )) 7−→ F (x, (yα )), define la edp de orden k: F (x, (∂ α u)) = 0, en el sentido de que u ∈ C k (Ω) resuelve (1) si F (x, (∂ α u(x))) = 0 en cada x ∈ Ω. Las ecuaciones lineales corresponden a ∑ elecciones de F ’s que son lineales en la variable y = (yα ), es decir F (x, (yα )) = |α|≤k aα (x)yα − f (x): ∑ aα (x)∂ α u = f (x). |α|≤k

En relación con las ecuaciones diferenciales es muchas veces convenientes hablar de operadores diferenciales lineales, en este caso con coeficientes aα en un dominio Ω, es decir aplicaciones: L:

C k (Ω) u

−→ 7−→

C(Ω) ∑ Lu = |α|≤k aα (x)∂ α u,

18

CAPÍTULO 1. ALGUNAS EDP’S DE REFERENCIA

Figura 1.1: Cuerda elástica donde se supone que las aα ∈ C(Ω). La ecuación anterior se abrevia como Lu = f . La ecuación lineal de orden superior al segundo más estudiada quizás sea: ∆2 u = f (x), ∆ el operador Laplaciano, que aparece en teoría de elasticidad. Se conoce a ∆2 como el operador biarmónico. Las ecuaciones cuasilineales corresponden a F ′ s lineales en el grupo de variables yα con |α| = k, ∑ aα (x, (∂ β u)|β|≤k−1 )∂ α u = b(x, (∂ β u)|β|≤k−1 ). |α|=k

Se puede decir que salvo para clases especiales de ecuaciones (por ejemplo las lineales) no se conoce una teoría general para edp’s de orden superior a dos. Deberíamos citar como ejemplo interesante la ecuación de Korteweg-de Vries (KdV) que aparece en el estudio de ondas de agua (“water waves”) y teoría de solitones: ut + uux + uxxx = 0.

1.5. 1.5.1.

La Ecuación de Ondas La ecuación de las ondas unidimensional

Consideramos una cuerda elástica que se halla en en estado de reposo -en ausencia de fuerzas exteriores- por el efecto de una fuerza de tensión T0 a lo largo de la misma, al estar anclada entre los puntos O y P del eje Ox. Supondremos que tiene longitud l (Figura 1.1). La situación física a describir consiste en separar la cuerda de su posición de equilibrio, creando la deformación una fuerza recuperadora que genera el movimiento de la misma. El estado futuro de la cuerda -en términos del tiempo t- se representará por las ecuaciones: x = x(s, t)

y = y(s, t)

0≤s≤l

t ≥ 0,

1.5. LA ECUACIÓN DE ONDAS

19

donde s es un parámetro que se define mediante el convenio de que X(s, t) = (x, y) represente el punto de la cuerda que inicialmente (t = 0) se hallaba en la posición (x, y) = (s, 0). Admitiremos que en cada instante, la masa de un tramo s1 ≤ s ≤ s2 viene expresada por: ∫ s2 ρ(s) ds, s1

donde la función continua ρ(s) designa la densidad lineal de masa, ρ(s) > 0 en 0 ≤ s ≤ l. En todo momento suponemos que el movimiento tiene lugar en el plano x-y. Las condiciones iniciales son: { { x(s, 0) = s y(s, 0) = f (s) (CI) xt (s, 0) = 0 yt (s, 0) = g(s), en donde 0 ≤ s ≤ l. Por otra parte, el proceso impone las condiciones de contorno: x(0, t) = 0,

x(l, t) = l,

y(0, t) = y(l, t) = 0,

t ≥ 0.

(CC)

Suponemos que sobre cada porción s1 ≤ s ≤ s2 de la cuerda actúa una fuerza vertical neta (dirigida hacia abajo) de módulo: ∫ s2 F (s1 , s2 ) = ρ(s)F (x(s, t), t) ds. s1

En otros términos F = F (x, t) es una densidad de fuerzas verticales por unidad de masa en el punto ∫ s x y en el instante t. Por ejemplo, en el caso del peso, F = g y F (s1 , s2 ) = g s12 ρ(s) ds, donde la integral representa la masa del trozo de cuerda. Para determinar las ecuaciones del movimiento analizaremos las fuerzas sobre un trozo de cuerda si−1 ≤ s ≤ si , 0 = s0 ≤ s1 ≤ · · · ≤ sn = l. Su momento lineal viene dado por: (∫ ) ∫ si

p¯i =

si

ρ(s)yt ds. ,

ρ(s)xt ds, si−1

si−1

Las ecuaciones del movimiento se obtendrán escribiendo la segunda ley de Newton (para la variación del momento lineal): d¯ p = FiE + F¯iI , dt con F¯iE (respectivamente F¯iI ) la fuerza exterior (respectivamente interior) neta actuando sobre el trozo si−1 ≤ s ≤ si . Por hipótesis, si−1 ≤ s ≤ si está sometido a la fuerza exterior: ( ) ∫ si F¯iE = (0, −F (si−1 , si )) = 0, − ρ(s)F (x(s, t), t) ds . si−1

20

CAPÍTULO 1. ALGUNAS EDP’S DE REFERENCIA

Falta por precisar quiénes son las fuerzas internas (de corto alcance) que actúan sobre la porción si−1 ≤ s ≤ si de la cuerda. Para ello es necesario dar una ley que describa cómo es la naturaleza de las fuerzas de tensión en los extremos. Esto equivale a describir las propiedades elásticas de la cuerda. En primer lugar medimos el alargamiento neto sufrido por si−1 ≤ s ≤ si en el instante t: ∫ si √ x2s + ys2 ds − ∆s (∆s = si − si−1 ), si−1

donde xs = xs (s, t), ys = ys (s, t). El alargamiento medio por unidad de longitud, 1 ∆s

∫

si

√ x2s + ys2 ds − 1.

si−1

Así, el alargamiento puntual por unidad de longitud o densidad de alargamiento es finalmente: √ e = x2s + ys2 − 1. Una primera hipótesis de elasticidad es que en cada punto s la fuerza de tensión T¯(s, t) vaya dirigida en la dirección de la tangente, es decir (si T (s, t) designa el módulo): T¯(s, t) = T (s, t)t¯(s, t), √ con t¯(s, t) = (xs , ys )/ x2s + ys2 el unitario tangente en s. Esto significa que el material que constituye la cuerda es tal que su ”reacción a la deformación”, cuando uno quiere ”separar” una sección transversal imaginaria de su contigua, es puramente normal a dicha sección. En otras palabras, no hay fricciones tangenciales (fatigas), o si se quiere, no hay ”oposición” a la flexión. La segunda hipótesis de elasticidad es que el módulo de la tensión sea una función exclusiva de e y de s, T (s, t) = T (e, s), con T (0, t) = T0 , donde T0 es la tensión de la cuerda en reposo. Desarrollando T se obtiene: T = T0 + Te′ (0, s)e + O(e2 ). Por ejemplo, el caso particular T = T0 + ke (k constante, el módulo de elasticidad) da lugar a la conocida ley de Hooke. De aquí se deduce que la resultante de las fuerzas internas sobre si−1 ≤ s ≤ si resulta ser: si F¯iI = T (si , t)t¯(si , t) − T (si−1 , t)t¯(si−1 , t) = T (s, t)t¯(s, t) . si−1

Como,

si T (s, t)t¯(s, t)

si−1

∫

si

= si−1

∂ (T (s, t)t¯(s, t)) ds, ∂s

1.5. LA ECUACIÓN DE ONDAS

21

Figura 1.2: Elemento de cuerda la identidad para la derivada del momento lineal da lugar a las ecuaciones:  ( ) T xs ∂   = ρxtt  ∂s ( e + 1 ) (1.7) ∂ T ys   = ρytt + ρF.  ∂s e + 1 El problema consiste entonces en determinar las funciones x = x(s, t), y = y(s, t) a partir de (1), y las condiciones (CI) y (CC), donde f , g y T son datos del problema. El carácter fuertemente no lineal de las ecuaciones (1.7) sugiere, en primera aproximación, su linealización, para llegar a un modelo más sencillo. La forma de llevar a cabo este proceso es como sigue. Vamos a imaginarnos que el tiempo t y las funciones f , g junto con sus derivadas hasta el orden dos son pequeñas. Más precisamente consideramos el vector Φ = (t, f, g, f ′ , g ′ , f ′′ , g ′′ ) con módulo |Φ| = (|t|, |f |∞ , . . . , |g ′′ |∞ ), siendo, por ejemplo |f |∞ = sup0≤x≤l |f (x)|. A continuación, separaremos en (1.7) los términos ”lineales”, e. d. O(|Φ|), de los de orden superior o(|Φ|), despreciando éstos últimos frente a los primeros. La ecuación resultante (1.9) es la aproximación lineal a (1.7). Conviene recordar la notación u(x) = o(v(x)) (respectivamente u(x) = O(v(x)) cuando x → 0 si u(x)/v(x) → 0 (respectivamente |u(x)| ≤ M |v(x)|, M > 0) cuando x → 0. En primer lugar obsérvese que: xs = 1 + O(t2 ),

xss = O(t2 ),

o si se quiere, xs = 1 + O(|Φ|2 ),

xss = O(|Φ|2 ).

Por tanto, para t ∼ 0 la ecuación x = x(s, t) define s = s(x, t). Podemos considerar entonces v(x, t) = y(s(x, t), t) y resulta que:   ys = vx xs yt = vx xt + vt   ytt = vtt + vxx x2t + 2vxt xt + vx xtt ,

22

CAPÍTULO 1. ALGUNAS EDP’S DE REFERENCIA

que llevado a (1.7), y teniendo en cuenta que: ) ( ) ( ) ( ∂ T ys ∂ T xs ∂ T ys 2 = vx = ρxtt vx + x vxx , ∂s e + 1 ∂s e + 1 ∂s e + 1 s da lugar a

( ρvtt =

T x2 − ρx2t e+1 s

) − 2ρxt vxt − ρF,

que se puede escribir como: vtt = −F +

T0 1 vxx + ρ ρ

(

) T x2s − T0 − ρx2t vxx − 2xt vxt , e+1

es decir, vtt = −F +

T0 vxx − ρ(x) T0 ρ(s) − ρ(x) 1 vxx + ρ(s) ρ(x) ρ

(

) T 2 2 x − T0 − ρxt vxx − 2xt vxt , e+1 s

En el segundo miembro de dicha ecuación, −F = O(1). Enseguida se ve que: T0 vxx = O(|Φ|), ρ(x) mientras que (

) T x2s − T0 − ρx2t vxx − 2ρxt vxt = o(|Φ|), e+1

(1.8)

ya que, de hecho, tal cantidad es del orden de |Φ|2 , mientras que T0 ρ(s) − ρ(x) vxx = O(|Φ|3 ) ρ(s) ρ(x) cuando t, f y g son pequeños. En conclusión, vtt =

T0 vxx − F, ρ(x)

(1.9)

es la aproximación lineal de (1.7). Comencemos estudiando los órdenes de magnitud de vxx y vxt . Se tiene, v(x, t) = y(s(x, t), t) vx = ys sx , vxx = yss s2x + ys sxx vxt = yss st sx + yst sx + ys sxt . De x = x(s(x, t), t) se tiene que 1 = xs sx ,

1.5. LA ECUACIÓN DE ONDAS

23

0 = xss s2x + xs sxx , de donde sx = O(1), mientras que sxx = O(t2 ). Por tanto, vxx es del orden de ϕ, es decir vxx = O(|Φ|). Sin embargo, st = O(t), sxt = O(t) pues derivando con respecto a t la identidad 1 = xs sx se llega a 0 = xss st sx + xst xs + xs sxt y basta tener en cuenta que xst = O(t). Así vxt = O(t)(yss + ys ) + O(|yst ). Como yss + ys = f ′′ + f ′ + (g ′′ + g ′ )t + O(t2 ) = O(|Φ|), yst = g ′ + O(t) = O(|Φ|), entonces vxt = O(|Φ|). Así, el término xt vxt en la ecuación, vtt = −F +

T0 vxx − ρ(x)

T0 ρ(s) − ρ(x) 1 vxx + ρ(s) ρ(x) ρ

(

) T x2s − T0 − ρx2t vxx − 2xt vxt , (1.10) e+1

es despreciable frente a vxx . En cuanto al coeficiente de vxx en (1.8) (ver (1.10)) sabemos que ys = O(|Φ|). Luego, √ √ √ e = x2s + ys2 − 1 = 1 + O(t2 + |Φ|2 ) − 1 = 1 + O(|Φ|2 ) − 1 = O(|Φ|2 ), √ pues 1 + u = 1 + O(u), xs = 1 + O(t2 ). Por otro lado, T = (T0 + O(e))(1 + O(e)) = T0 + O(e) = T0 + O(|Φ|2 ), (1 + e) mientras que ρx2t = O(t2 ), por ello dicho coeficiente es de orden 2 en Φ, luego de orden 3 en Φ al multiplicar por vxx . También será entonces despreciable frente a vxx . En cuanto a ρ(s(x, t)) − ρ(x), nótese que ρ(s(x, t)) − ρ(x) = ρ′ (x + θ(s(x, t) − x))(s(x, t)−x), con 0 < θ < 1. Como s(x, t) = x+O(t2 ), ρ(s(x, t))−ρ(x) = O(t2 ). Al ser ρ > 0 en 0 ≤ s ≤ 0, tenemos que el tercer sumando en el segundo miembro de (4) es del orden de |Φ|3 y podemos despreciarlo frente a vxx . Resumiendo, (1.9) es la linealización de (1.10). Si volvemos a las condiciones iniciales, como s(x, 0) = x, mientras st (x, 0) = 0 resulta que v = v(x, t) satisface el problema de contorno y valor inicial:  utt = c2 uxx − F (x, t) 0 < x < l, t > 0    u(x, 0) = f (x), 0 ≤ x ≤ l (1.11)  u(x, 0) = f (x), 0 ≤ x ≤ l    u(0, t) = u(l, t) = 0 t ≥ 0. Hemos puesto c2 = T0 /ρ(x), donde c se define como la velocidad de propagación de las perturbaciones. Las condiciones de contorno en (1.11) se llaman de tipo Dirichlet homogéneas. Otras posibles condiciones de contorno (de tipo Neumann): ux (0, t) = ux (l, t) = 0,

24

CAPÍTULO 1. ALGUNAS EDP’S DE REFERENCIA

o (de tipo Robin), −ux (0, t) + β1 u(0, t) = ux (l, t) + β2 u(l, t) = 0. Por otra parte, pueden considerarse problemas mixtos de contorno donde se alternan condiciones de diferente tipo en los extremos. También pueden considerarse condiciones de contorno no homogéneas, por ejemplo: u(0, t) = α(t),

u(l, t) = β(t),

que en este caso (α y β datos) se llamarían de tipo Dirichlet no homogéneo. La ecuación (1.9) puede contener más términos, por ejemplo: vtt =

T0 vxx − bvt − F, ρ

(1.12)

donde el término −bvt representa una fricción aerodinámica. Se conoce a (1.12) como la ecuación de las ondas “amortiguada” mientras que (1.9) es la ecuación de las ondas “forzada” o “perturbada” por F .

1.5.2.

Ecuación de las ondas bidimensional

Vamos a repetir la experiencia del caso unidimensional con una membrana elástica sujeta a un bastidor ∂Ω que es la frontera –regular, es decir una curva de clase C k , k ≥ 1– de un dominio Ω del plano. La extensión directa del caso anterior sugeriría considerar los movimientos en la forma: x = x(s1 , s2 , t) y = y(s1 , s2 , t) z = z(s1 , s2 , t)

(s1 , s2 ) ∈ Ω,

sin embargo, supondremos para simplificar que el movimiento es puramente vertical y así, supondremos que si inicialmente, la membrana M está en reposo bajo el efecto de una tensión constante T0 , e. d., x ≡ s1 ,

y ≡ s2 ,

z ≡ 0,

consideramos que x ≡ s1 y y ≡ s2 en los movimientos futuros, con lo que el perfil de la membrana se puede escribir como: u = u(x, y, t),

(x, y) ∈ Ω.

Cada trozo D de la membrana, D = D(t) = {z = u(x, y, t)/(x, y) ∈ D}, está sometido a la acción de fuerzas exteriores al sistema (gravedad, fricción aerodinámica) y a fuerzas interiores debidas a la variación de la tensión por elasticidad del material. La segunda ley de Newton establece las ecuaciones del movimiento en la forma: p¯′ = FiI + FiE ,

1.5. LA ECUACIÓN DE ONDAS

25

Figura 1.3: Balance de fuerzas en la membrana donde p¯ es el momento lineal de D que vale: (∫ ) ∫ ∫ ρ(x, y)xt dxdy, ρ(x, y)yt dxdy, ρ(x, y)ut dxdy , p¯ = D

D

D

y donde admitiremos que las dos primeras componentes son cero. Contabilizamos la fuerza externa neta sobre D en la forma: ( ) ∫ F¯iE = 0, 0, − ρ(x, y)F (x, y, t) dxdy , (de nuevo ρ > 0 en Ω representa la densidad de M). Para las fuerzas interiores introducimos la tasa (densidad) de deformación puntual: e=

√ 1 + |∇u|2 − 1,

a la que se llega por el mismo razonamiento que en el caso de la cuerda. Ahora, las fuerzas de tensión sobre D en un punto P actúan siguiendo la dirección de la normal unitaria exterior ν¯ a D que es además tangente a M en dicho punto. Para calcular ν¯ en P = (x0 , y0 , u(x0 , y0 )) suponemos que f y g son regulares en √ ∂D = {x = f (s), y = g(s)}1 ; tomamos el vector unitario tangente ′ τ¯ = (f ′ , g√ )/ f ′ 2 + g ′ 2 y la normal unitaria exterior a ∂D en el plano: n ¯ = ′ ′ (g , −f )/ f ′ 2 + g ′ 2 , y entonces: ν(P ) = √ =√

1 1 + |∇u|2 1 1 + |∇u|2

√ √

1 + u2τ 1 + u2τ

(n1 + uτ uy , n2 − uτ ux , un ) (¯ n + uτ (uy , −ux ), un ),

donde uτ = ∇u · τ¯, y un = ∇u · n ¯. Una vez establecida la dirección de la fuerza de tensión T¯(P, t) en el punto P e instante t, es necesario observar que en elasticidad, el módulo T (P, t) de T¯ va a medir la magnitud de la tensión por unidad de longitud de arco dl en ∂D. 1 Se

supone que f , g recorren ∂D siguiendo las agujas del reloj.

26

CAPÍTULO 1. ALGUNAS EDP’S DE REFERENCIA

En otras palabras, para conocer la magnitud de la fuerza neta sobre un arco Γ de ∂D, basta con efectuar la integral de línea: ∫ ∫ b √ T (P, t) dl = T (P ) f ′ 2 + g ′ 2 + |∇u · (f ′ , g ′ )|2 ds, Γ

a

en donde hemos parametrizado Γ en la forma {(f (s), g(s), u(f (s), g(s))|a < s < b}. De ahí, la resultante de las fuerzas internas sobre D será: ∫ FiI = T¯(P ) dl ∂D (∫ ) ∫ n ¯ + uτ (uy , −ux ) un √ √ = T (P ) √ dl, T (P ) √ dl , 1 + |∇u|2 1 + u2τ 1 + |∇u|2 1 + u2τ ∂D ∂D en donde, si M no sufre desplazamientos horizontales habrá de ser: ) (∫ n ¯ + uτ (uy , −ux ) √ dl = 0. T (P ) √ 1 + |∇u|2 1 + u2τ ∂D Falta pues definir la relación que liga la tensión T (P ) con la deformación e. Como antes (Ley de Hooke), admitiremos que: T (P ) = T (e, P ) = T0 + O(e). Podemos ya escribir las ecuaciones del movimiento que establecen: p¯′ = FiE + FiI , es decir, (∫ ) ( ) ∫ ∫ ∫ ρxtt dxdy, ρytt dxdy, ρztt dxdy = 0, 0, − F (x, y, t) dxdy Ω Ω Ω Ω ( ) ∫ ∫ un n ¯ + uτ (uy , −ux ) √ √ + dl, T (P ) √ dl . T (P ) √ 1 + |∇u|2 1 + u2τ 1 + |∇u|2 1 + u2τ ∂Ω ∂Ω (1) Ahora pasamos al capítulo de linealizaciones. Vamos a suponer que a lo largo del movimiento los desplazamientos son lo suficientemente pequeños como para que lo sean u y ∇u (en estado de reposo u ≡ 0) 2 . En este caso: √ √ f ′ 2 + g ′ 2 + |∇u · (f ′ , g ′ )|2 = f ′ 2 + g ′ 2 + O(|∇u|2 ) e = O(|∇u|2 ), T (P ) = T (e, P ) = T0 + O(|∇u|2 ) un 1 √ √ √ = 1 + O(|∇u|2 ), √ = un + O(|∇u|3 ), 1 + |∇u|2 1 + u2τ 1 + |∇u|2 1 + u2τ 2 Este es el tipo de argumento que se usa en la ecuación del péndulo θ ′′ = −k sen θ donde se hace la aproximación sen θ ∼ θ cuando la amplitud de la oscilación es pequeña.

1.5. LA ECUACIÓN DE ONDAS

27

mientras que uτ (uy , −ux ) = O(|∇u|2 ). Despreciando en (1) los términos de orden superior a u y |∇u| llegamos a las identidades: (∫ ) T0 n ¯ dl = 0, ∂Ω

que es compatible con el hecho de que xtt = ytt = 0 en Ω, y: ∫ ∫ ∫ ρutt dxdy = − ρF (x, y, t) dxdy + T0 un dl. Ω

Ω

(2)

∂Ω

Por el teorema de la divergencia: ∫ ∫ T0 un dl = T0 div (∇u) dxdy. ∂Ω

Ω

Llegamos así a la relación: ∫ ρutt − T0 ∆u + ρF dxdy = 0, Ω

que es la versión integral de la ecuación que deseamos obtener. El mismo argumento nos conduce a la ecuación: ∫ ρutt − T0 ∆u + ρF dxdy = 0,

(3)

D

siendo D cualquier subdominio regular pequeño (por ejemplo un rectángulo) contenido en Ω. Por tanto, la función u(x, y, t) es la solución del problema de contorno y valor inicial:  T0   ∆u − F (x, y) ∈ Ω utt =   ρ   u(x, y, 0) = φ(x, y) (x, y) ∈ Ω (P )    ut (x, y, 0) = ψ(x, y) ∈ Ω    u(x, y, t) = 0 (x, y) ∈ ∂Ω. Se conoce a (P) como un problema de contorno de tipo Dirichlet homogéneo. Como en el caso unidimensional pueden considerarse otro tipo de condiciones de contorno como la de tipo Neumann: ∂u (x, y, t) = 0 (x, y) ∈ ∂Ω, ∂n ¯ o Robin:

∂u (x, y, t) + βu(x, y, t)u = 0 (x, y) ∈ ∂Ω, ∂n ¯ en donde n ¯ es la normal unitaria exterior a ∂Ω y β es una función continua y positiva. Todas las condiciones pueden considerarse en versión no homogénea, por ejemplo: ∂u (x, y, t) + βu(x, y, t)u = α(x, y, t) (x, y) ∈ ∂Ω, ∂n ¯

28

CAPÍTULO 1. ALGUNAS EDP’S DE REFERENCIA

en la que α es un dato. La ecuación de las ondas puede contener otros téminos en el segundo miembro, por ejemplo: utt =

T0 ∆u − but − F, ρ

que se llama ecuación de las ondas amortiguada. De nuevo el término T0 /ρ se designa por c2 y a c se la denomina velocidad de propagación.

1.6.

La Ecuación del Calor

1.7.

La ecuación del calor unidimensional

Las siguientes consideraciones tienen por objeto describir cómo se alcanza el equilibrio térmico en los sólidos y cómo se transporta el calor de unas zonas a otras del mismo, bajo ciertas condiciones razonables 3 . De una manera completamente informal podemos decir que la temperatura u de un sólido es una medida del estado de movimiento de sus moléculas, evaluado a través de la energía cinética promedio de las mismas. Es por tanto una energía a la que se puede asignar una escala de medidas (usando bien unidades típicas de trabajo, o bien el grado centígrado). Dos sólidos distintos en contacto o bien dos zonas de un mismo sólido a distinta temperatura intercambian “calor” Q. Más precisamente. Al ponerse en contacto, el que posee un estado de movimiento más agitado en sus moléculas (más caliente), transmite parcialmente dicho estado de movimiento (energía cinética) al de menor grado (más frío), hasta alcanzar finalmente un estado de equilibrio. Sin embargo, la cantidad de energía liberada por el de temperatura más alta no coincide con la diferencia de temperaturas. La tal energía liberada (por definición el incremento de calor ∆Q) es proporcional al incremento de temperatura: ∆Q = m c ∆u = ρ c v∆u, donde m es la masa, ρ la densidad, v el volumen y c es el calor específico, que es la cantidad de calor –característica de cada substancia– necesaria para elevar la temperatura de una unidad de masa en un grado. Es decir, la misma cantidad de masa de substancias distintas “liberan” distinta cantidad de energía cuando su temperatura “baja” un grado. En otras palabras, si se comunica una cantidad de calor Q (= energía) a un sólido, sólo una fracción de dicha energía pasa a incrementar el valor neto de la energía cinética de las moléculas (= incremento de temperatura). Una propiedad fundamental de la energía calorífica es que ésta se transporta por difusión. Genéricamente, si se calienta un sólido en una zona, el calor se desplaza con una cierta velocidad de zonas de alta temperatura a zonas de baja 3 cf. Landau, Ajiezer, Lifshitz, “Curso de Física General, Mecánica y Física Molecular”, Editorial Mir, Moscú (1984).

1.7. LA ECUACIÓN DEL CALOR UNIDIMENSIONAL

29

Figura 1.4: Experimento fundamental temperatura. Eso se pone de manifiesto, por ejemplo, con el siguiente experimento. Consideramos el sistema abierto formado por una placa de un cierto material homogéneo, delimitada por dos planos paralelos separados una distancia l considerablemente menor que la superficie de las placas, que así, pueden considerarse infinitas. La tapa superior se mantiene a una temperatura u0 mientras que la inferior se mantiene a una temperatura u1 < u0 (por eso el sistema se dice abierto). Si u0 − u1 no es muy grande se observa al cabo de cierto tiempo –el suficiente para que el sistema alcance el equilibrio– que la energía calorífica “fluye” hacia abajo a razón de: Φ=k

u0 − u1 l

unidades de energía por unidad de tiempo y unidad de área. La magnitud Φ se llama flujo calorífico y k el coeficiente de conductividad que depende de cada material. Si A designa el área de una sección paralela a las caras exteriores, la cantidad de calor que atraviesa A por unidad de tiempo es: ΦA=k

u0 − u1 A. l

Así mismo, la temperatura a lo largo de la sección toma el perfil: u(x) = u0 + ((u1 − u0 )/l) x, por lo que la ley para el flujo se puede escribir en la forma: Φ = −kux . En el experimento anterior hemos esperado una cantidad de tiempo suficiente como para que se “estabilice” la temperatura de todas las secciones de la placa. Si en las mismas condiciones, suponemos que el sistema no ha alcanzado el equilibrio, e. d. no ha transcurrido un tiempo característico, podemos formular todavía una ley para el flujo. Para ello razonamos como sigue (las alturas se miden en sentido decreciente). Tomamos dos secciones de alturas x0 , x0 + h, con h pequeño como para que u(x0 + h) ∼ u(x0 ). En este caso, el flujo calorífico en la sección x0 y el instante t vendrá dado por: Φ(x0 , t) = −k

∂u u(x0 + h, t) − u(x0 , t) ∼ −k (x0 , t). h ∂x

30

CAPÍTULO 1. ALGUNAS EDP’S DE REFERENCIA

Figura 1.5: Flujo estacionario

Obsérvese que al no haber alcanzado el sistema el estado de equilibrio la temperatura depende del tiempo. Hemos deducido así lo que se conoce como ley de Fourier. A saber: en un cuerpo en el que el calor fluye únicamente en una dirección y en el que las variaciones de temperatura u(x, t) (temperatura en un instante t y en una sección x0 ) no son muy altas la cantidad de calor que atraviesa la unidad de área transversal por unidad de tiempo viene dada por: Φ(x0 , t) = −k

∂u (x0 , t). ∂x

(1)

En términos físicos, la magnitud que designa cómo varía otra magnitud por unidad de área transversal a una superficie S y por unidad de tiempo, se llama flujo de esa magnitud (aquí Φ es el flujo de calor y la identidad (1) es la ley de Fourier). La ley de Fourier nos lleva a la ecuación que satisface la temperatura u(x, t) antes de alcanzar el estado de equilibrio. La ecuación es consecuencia de la ley de conservación de la energía. En efecto, consideremos dos secciones suficientemente próximas x0 y x1 . La variación de calor por unidad de tiempo en dicho intervalo viene dada por: ∫ x1 ∂u A ρc dx, ∂t x0 en donde A mide el área transversal de una tal sección del sólido. Como el único mecanismo por el que hay variaciones de calor en la sección es –de momento– el transporte por difusión, tal variación de la energía se debe únicamente al calor que ha salido o entrado a través de las paredes x = x0 , x1 . Sea A(t0 , h) la cantidad de calor que ha entrado en la sección durante el intervalo t0 ≤ t ≤ t0 + h mientras que B(t0 , h) se define como la cantidad de calor que ha abandonado la sección entre dichos instantes. Así mismo, sea Q(t) la cantidad de calor acumulada en la sección en el instante t. Evidentemente se tiene: Q(t0 + h) − Q(t0 ) = A(t0 , h) − B(t0 , h).

1.7. LA ECUACIÓN DEL CALOR UNIDIMENSIONAL

31

Figura 1.6: Diversos perfiles unidimensionales Por tanto, la variación de energía por unidad de tiempo en el intervalo también se puede calcular en la forma: Q(t0 + h) − Q(t0 ) A(t0 , h) B(t0 , h) dQ ˙ 0 ) − B(t ˙ 0 ). = l´ım = l´ım − l´ım = A(t h→0 h→0 h→0 dt h h h (2) Para hacerse una idea del balance (2), es conveniente observar la siguiente figura y notar que: A˙ = −kux (x1 , t0 )A, A˙ = −kux (x2 , t0 )A,

B˙ = −kux (x2 , t0 )A en (a) B˙ = kux (x1 , t0 )A en (b) A˙ = −kux (x1 , t0 )A + kux (x2 , t0 )A, B˙ = 0 en (c) A˙ = 0,

B˙ = −kux (x2 , t0 )A + kux (x1 , t0 )A

en (d).

Nótese que en todos los casos: { } ˙ 0 ) − B(t ˙ 0 ) = −ku( x0 , t0 ) + kux (x1 , t0 ) A. A(t De la ley de conservación de la energía se tiene entonces que: ∫ x2 x2 ρcut (x, t) dt = kux x1 , x1

de donde: ρcut = kuxx ,

(3)

32

CAPÍTULO 1. ALGUNAS EDP’S DE REFERENCIA

que es la ecuación del calor (o de difusión) unidimensional. Hemos llegado así a la conclusión de que la evolución de la temperatura u(x, t) en un sólido en el que el calor se propaga en una dirección x, cuyos extremos se encuentran a temperaturas u0 , u1 se describe mediante el problema de valor inicial y de contorno:    ρcut = uxx , t > 0, 0 < x < l u(x, 0) = φ(x), 0 < x < l   u(0, t) = u0 , u(l, t) = u1 , t > 0. Se pueden considerar otro tipo de condiciones. Por ejemplo, la de aislamiento térmico (condiciones de Neumann): ux (0, t) = ux (l, t) = 0,

t > 0.

También las de enfriamiento con el medio a través de las paredes (ley de Newton, condiciones de Robin): ux (0, t) = ν(u(0, t) − T0 ),

ux (l, t) = −ν(u(l, t) − T0 ),

donde ν > 0 y T0 es la temperatura del medio. Por otra parte, (3) puede incluir otros términos. Si por ejemplo f (x, t) designa una densidad de producción de calor dentro del sólido –hay un “calentador” en su interior– por unidad de masa y unidad de tiempo, entonces (3) se convierte en: k cut = uxx + f (x, t). ρ En este modelo los términos producción (f > 0) y consumo (f < 0) se pueden intercambiar, dando lugar a la misma ecuación.

1.7.1.

La ecuación del calor n-dimensional

Consideremos ahora un sólido Ω encerrado por una superficie regular ∂Ω constituido por un material que en todas las direcciones goza de las mismas propiedades de conductividad (isótropo). Queremos hacer el siguiente experimento. Inicialmente el cuerpo ha acumulado calor no homogéneamente, e. d. hay zonas más calientes que otras. Dentro de Ω consideramos una superficie regular S y queremos estudiar cómo es el flujo de calor de una parte a otra de la superficie (si la zona de un lado está más caliente que la del otro, habrá trasvase de calor ΦS de un lado a otro de la superficie). Para ello orientamos S con uno de sus campos unitarios normales ν = ν(P ), P ∈ S. Nos fijamos en un punto P0 ∈ S y consideramos un trozo pequeño S0 de superficie que rodee a P0 , tan pequeño que se pueda aproximar bien por un trozo homólogo π0 del plano tangente π, (x − P0 )ν(P0 ) = 0, a S en P0 . De momento nos conformamos con estudiar el flujo calorífico a través de π0 . Para ello, estudiamos la evolución de la temperatura sobre un pequeño segmento de la recta normal x = P0 + ξν, |ξ| < ε. Si U (ξ, t) = u(P0 + ξν, t) representa la temperatura en el segmento. Este problema es esencialmente unidimensional,

1.7. LA ECUACIÓN DEL CALOR UNIDIMENSIONAL

33

Figura 1.7: Flujo en un elemento de superficie

Figura 1.8: Sección unidimensional de la temperatura si estamos en las proximidades de P0 . La ley de Fourier unidimensional predice que la cantidad de calor que pasa a través de π0 en la dirección de ν por unidad de tiempo, e. d. el flujo calorífico a través de π0 , Φ(P0 , π0 ), viene dado por: Φ(P0 , π0 , ν) = −k

∂U área(π0 ) = −k∇u(P0 ) · ν área(π0 ) ∂ξ |t=0 = −k

∂u (P0 ) área(π0 ). ∂ν

Como S0 ∼ π0 y área(S0 ) := dS ∼ área(π0 ) (dS es el elemento de área de la superficie S), podemos aproximar el flujo a través de S0 en la dirección de ν como: ∂u Φ(S0 , ν) = −k (P0 ) dS. ∂ν El flujo en S0 se globaliza a toda la superficie S de la manera obvia: ∫ ∂u dS. (4) Φ(S, ν) = −k S ∂ν La identidad (4) sugiere una versión vectorial Φ del flujo de temperatura en el siguiente sentido. Definimos el campo de flujo calorífico Φ (abreviado el flujo)

34

CAPÍTULO 1. ALGUNAS EDP’S DE REFERENCIA

como aquél que permite calcular el flujo a través de S en la dirección ν, Φ(S, ν), en la forma: ∫ Φ(S, ν) = S

Φ · ν dS.

Hemos llegado así a le versión n dimensional de la ley de Fourier que establece que el vector flujo Φ se expresa: Φ = −k∇u.

(5)

Para hallar la versión n dimensional de la ecuación del calor (3) razonamos usando el argumento del caso unidimensional. Sea B una pequeña bola en Ω, de frontera ∂B. Por un lado, la variación de calor por unidad de tiempo en B se expresa como: ∫ B

ρcut dx.

˙ 0 ) se vuelve a Por otro lado, la variación de calor por unidad de tiempo Q(t expresar (ver notación anterior) como: ˙ Q˙ = A˙ − B. Para hacernos una idea de cómo son A˙ y B˙ consideramos ∂B− = {x ∈ ∂B|∇u · ν < 0} y ∂B+ = {x ∈ ∂B|∇u · ν > 0}, siendo ν el campo unitario exterior a ∂B. Entonces, A˙ es como antes, la cantidad de calor que entra en B por unidad de tiempo (en t0 ) mientras que B˙ es la correspondiente cantidad de calor que sale de B por unidad de tiempo en t = t0 . Se tienen entonces las relaciones: ∫ ∫ A˙ = k∇u · ν dS, B˙ = −k∇u · ν dS. ∂B+

∂B−

De donde,

∫ A˙ − B˙ =

k B

∂u dS. ∂ν

De la ley de conservación de la energía tenemos entonces que: ∫ ∫ ∂u ρcut dx = k dS, B B ∂ν que por el teorema de la divergencia –o directamente suponiendo que B es un pequeño cubo en Ω– se transforma en: ∫ ∫ ρcut dx = k∆u dx, B

B

y siendo B una bola arbitrariamente pequeña llegamos a: cρut = k∆u x ∈ Ω,

t > 0.

1.7. LA ECUACIÓN DEL CALOR UNIDIMENSIONAL

35

Si el sólido estaba inicialmente a una temperatura φ(x) y las paredes se mantienen, por ejemplo a cero grados (condiciones de Dirichlet homogéneas) concluimos que el comportamiento de la temperatura en Ω a lo largo del tiempo sigue la solución del problema de contorno y valor inicial:    ρcut = ∆u, t > 0, x ∈ Ω u(x, 0) = φ(x), x ∈ Ω   u(x, t) = 0, x ∈ ∂Ω, t > 0. La condición de contorno se puede sustituir por otra de aislamiento térmico (condición de contorno de tipo Neumann): ∂u = 0, ∂n

x ∈ ∂Ω,

t > 0,

o bien por una condición de intercambio con el medio (condición de Robin): ∂u = −τ u, ∂n

x ∈ ∂Ω,

t > 0,

en la que hemos supuesto que la temperatura exterior a Ω es de cero grados y τ es el coeficiente de transferencia.

1.7.2.

Difusión

Cuando una substancia soluble en un fluido se deposita en una cierta zona de éste (el fluido se considera en reposo y localizado en un dominio Ω ⊂ Rn ) se observa que la substancia difunde y es transportada de zonas de alta a baja concentración. Si u(x, t) representa la concentración (masa por unidad de volumen) se observa experimentalmente que el (vector) flujo de masa viene dado por: Φ = −D∇u, (1) en donde D se llama el coeficiente de difusión. En otras palabras, si S es un trozo de superficie regular en Ω con campo unitario normal ν se tiene que la integral de superficie: ∫ ∂u −D dS, ∂ν S proporciona la cantidad de masa que es transportada a través de S por unidad de tiempo, en la dirección del campo ν. La relación (1), equivalente a la ley de Fourier, se conoce en como la ley de Fick. Argumentando de la misma manera (invocando ahora el principio de conservación de la masa) se obtiene que la concentración u = u(x, t) satisface: ut = D∆u,

x ∈ Ω,

t > 0,

(2)

que se conoce como ecuación de difusión. Como en el caso de la ecuación del calor, las soluciones de (2) se determinan con la ayuda de condiciones iniciales y de contorno sobre ∂Ω, idénticas a las de dicha ecuación.

36

CAPÍTULO 1. ALGUNAS EDP’S DE REFERENCIA

1.8.

Ejercicios

1. Decídase cuál de los siguientes operadores son lineales: a) Lu = ux + xuy b) Lu = ux + uuy c) Lu = ux + u2y d) Lu = ux + uy + 1 √ f) Lu = 1 + x2 (cos y)ux + uyxy − arctag(y/x)u. 2. Se considera el operador lineal L, con coeficientes aα (x) definidos en un dominio Ω ⊂ Rn : ∑ Lu = aα (x)∂ α u, u ∈ C m (Ω). |α|≤m

Asociadas a L se consideran las ecuaciones homogéneas: Lu = 0,

(H)

Lu = f (x).

(C)

y no homogénea: Pruébese que el conjunto Sh de soluciones de (H) forma un espacio vectorial, mientras que el de (C), Sc , es un espacio afín. 3. Para n = 1, es decir, u = u(x) con x ∈ R, hállese la dimensión del espacio de soluciones de: u′′′ − 3u′′ + 4u = 0. 4. Si ahora n = 2, e. d., u = u(x, y), ¿Es finito-dimensional el espacio de soluciones Sh = {u ∈ C 2 (R2 )/Lu = 0} si la ecuación 4 es: uxx + u = 0? 5. Prúebese que u(x, y) = f (x)g(y) es solución de la e.d.p. uuxy = ux uy , cualesquiera que sean f, g ∈ C 1 (R). 6. Prúebese que para cada n > 0: un (x, y) = sen nx senh ny es una solución de uxx + uyy = 0. ¿Es finita la dimensión del espacio de soluciones de la ecuación de Laplace? 4 La misma cuestión para la ecuación de Laplace u xx + uyy = 0 es menos inmediata, pero la respuesta está implícita en el problema 6.

1.8. EJERCICIOS

37

7. Hállense las soluciones de las siguientes ecuaciones, en cada caso, sometidas a las condiciones dadas. a) 3uy + uxy = 0. b) (1 + x2 )ux + uy = 0. c) yux + xuy = 0 junto con u(0, y) = e−y . 2

d) aux + buy + cu = 0. e) ux + uy + u = ex+2y junto con u(x, 0) = 0. 8. Hállese la solución general de la ecuación aux + buy = f (x, y), donde f (x, y) es una función continua arbitraria, escribiendo la solución en la forma: ∫ 1 u(x, y) = (a2 + b2 )− 2 f ds + g(bx − ay), L

donde g es una función C 1 arbitraria, L es el arco de característica del eje y al punto (x, y), y la integral es una integral de línea. 9. Resuélvase, mediante el método del cambio de coordenadas la ecuación: ux + 2uy + (2x − y)u = 2x2 + 3xy − 2y 2 . 10. Un fluido unidimensional con velocidad u = u(x, t) (u de clase C 1 en R2 ) transporta una cierta substancia en la dirección x cuya concentración viene dada por la función ρ = ρ(x, t), (ρ también C 1 ) sin que intervenga otro fenómeno en dicho transporte. Demuéstrese que satisface la ecuación: (ρu)x + ρt = 0,

ecuación de continuidad.

Nota. Un resultado análogo se tiene en n dimensiones (problema 15). Sin embargo, debe ser preparado convenientemente. 11. Se considera el campo de velocidades de un fluido- u = u(x, t), u : Rn × R → Rn , de clase C 1 . Para t0 , y cada y ∈ Rn , el problema de Cauchy: { x′ = u(x, t) x(t0 ) = y, admite una única solución que escribimos: x = x(t, y) (Teorema de PicardLindelöff). Además x = x(t, y) es también de clase C 1 en (t, y). Escríbase: n Φ(t) = ∂x ∂y (t, y) (donde y ∈ R se mantiene fijo).

38

CAPÍTULO 1. ALGUNAS EDP’S DE REFERENCIA

12. Pruébese que Φ(t) es una matriz fundamental de la ecuación: z ′ = A(t)z, donde A(t) = Φ(t0 ) = I.

∂u ∂x (x(t, y), t).

Es decir, que Φ′ (t) = A(t)Φ(t), mientras que

13. Utilícese el teorema de Jacobi

5

para concluir que: {∫ t } detΦ(t) = detΦ(t0 ) exp div u(x(s, y), s) ds . t0

14. Sea Ω un dominio acotado de Rn . Si t es suficientemente pequeño, se puede definir: Ωt = {x(t, y)/y ∈ Ω}. Consideremos ahora una función C 1 , ρ = ρ(x, t). Hállese la derivada, con respecto a t de la función M = M (t), dada por: ∫ ρ(x, t) dx. M (t) = Ωt

Nota. Cuando ρ es una densidad de masa y u es la velocidad de un fluido, M (t) describe la variación, por unidad de tiempo, de la masa que en t = t0 estaba localizada en el dominio Ω. 15. Consideramos el movimiento de un fluido n-dimensional cuyas párticulas fluidas describen las trayectorias de x′ = u(x, t) (u : Rn × R → Rn de clase C 1 el campo de velocidades). Como en 10 suponemos que la concentración ρ = ρ(x, t), ρ : Rn × R → R es C 1 . Demuéstrese que la ecuación de continuidad tiene la forma: div(ρu) + ρt = 0. La misma situación que en el 10 pero ahora 16. El movimiento ondulatorio (p.e. sonido) en un medio unidimensional (p. e. un gas o un fluido) con viscosidad despreciable se describe mediante el campo de velocidades u(x, t), la densidad ρ = ρ(x, t) o la presión p(x, t) (generalmente hay una ley de estado que liga presión y densidad), bajo las ecuaciones: { ρux + uρx + ρt = 0, 0 < x < l ρut + ρuux + px = ρF, 0 < x < l, donde F (x, t) mide una fuerza dada por unidad de masa que actua sobre el fluido. Hállense la velocidad u(x), presión p(x) y densidad ρ(x) de equilibrio (e. d., no dependientes de t) siempre que F = −g, p = αργ (α > 0, γ > 1) y u(0, t) = 0, p(l, t) = p0 . 5 Sea x′ = A(t)x una ecuación lineal donde la matriz A(t) es continua y sea Φ(t) una matriz fundamental de la ecuación. Si se pone ξ(t) = det Φ(t) entonces ξ(t) satisface a su vez la ecuación lineal ξ ′ = traza A(t) ξ.

1.8. EJERCICIOS

39

17. Se considera la ecuación de orden k = β1 + β2 (n = 2): ∂1β1 ∂2β2 u(x, y) = 0,

(x, y) ∈ R2 .

Defínase adecuadamente un problema de tipo Goursat para dicha ecuación con β1 datos funcionales en el eje Ox y β2 datos funcionales en el eje Oy. Prúebese el correspondiente teorema de existencia y unicidad de soluciones. 18. Estúdiese la existencia y unicidad de soluciones de los problemas:      uxy = 0  uxy = 0 u(x, 0) = f (x) ux (x, 0) = f (x)     uy (0, y) = g(y), u(0, y) = g(y), siendo f y g adecuadamente regulares, y satisfaciéndose la condición de compatibilidad: f (0) = g(0). 19. Hállense las soluciones generales de los problemas:    uxy = F (x, y) ux (x, 0) = f (x)   u(0, y) = g(y),    uxy = F (x, y) ux (x, 0) = f (x)   uy (0, y) = g(y),    uxy = F (x, y) u(x, 0) = f (x)   u(0, y) = g(y),

(P1 )

(P2 )

(P3 )

siendo F ∈ C(R2 ), f , g adecuadamente regulares y f (0) = g(0) en los casos (P2 y (P3 ). 20. Para F (x, y) continua en R2 , hállese la solución del problema    uxy = −F (x, y) u(x, x) = 0   ux (x, x) = uy (x, x). 21. Sea J0 (z) la solución regular (cerca del origen) de la ecuación de Bessel de orden cero: du d2 u + z 2 u = 0, z2 2 + z dz dz que satisface: u(0) = 1. Defínase: √ i2 = −1. v0 (x, y) = J0 (i2 xy)

40

CAPÍTULO 1. ALGUNAS EDP’S DE REFERENCIA a) Demuéstrese que u = v0 (x, y) es una solución de la ecuación de Helmholtz compleja: uxy − u = 0. b) Para φ(t) y ψ(t) contínuas en R, determinar qué ecuaciones satisfacen las funciones: ∫ x φ(t)v0 (x − t, y) dt, v1 (x, y) = 0 ∫ y ψ(t)v0 (x, y − t) dt. v2 (x, y) = 0

c) Dése por conocido el hecho de que para toda f ∈ C 1 y toda g ∈ C 2 el problema:    uxy = u ux (x, 0) = f (x)   u(0, y) = g(y), admite una única solución C 2 . Pruébese entonces que la solución general de la ecuación de Helmholzt compleja tiene la forma: ∫ x ∫ y u(x, y) = φ(t)v0 (x − t, y) dt + ψ(t)v0 (x, y − t) dt + Cv0 (x, y), 0

0

donde C es una cierta constante que debe ser identificada. 22. Desígnense por x = x(s, t), y = y(s, t) (x e y funciones de clase C 2 ), 0 ≤ s ≤ l, t ≥ 0 las ecuaciones paramétricas de una cuerda elástica que se mantiene sujeta en los extremos (x, y) = (0, 0) y (x, y) = (l, 0) y que en condiciones de equilibrio – e. d. no sometida a fuerzas exteriores– satisface x(s, t) = s, y(s, t) ≡ 0 estando sometida a una tensión en cada punto igual a T0 . Se supondrá que en todo instante la densidad de masa de la cuerda viene dada por la función continua ρ = ρ(s), que su movimiento sólo tiene lugar en el plano x, y, estando sometida a una densidad de fuerzas vertical (en el sentido de (0, −1)) F (x, t). La hipótesis de elasticidad se entenderá en el sentido de que la tensión T¯(s, t) actúa tangencialmente y el módulo T (s, t) satisface la relación: T (s, t) = T (e, s) = T0 +

∂T (0, s)e + O(e2 ), ∂e

√ donde T = T (e, s) es C 2 y e = x2s + ys2 −1 es la tasa de deformación local por unidad de longitud. Demuéstrese que las ecuaciones del movimiento vienen dadas por:  ( ) ∂ T ∂x   = ρxtt ∂s e+1 ∂s ( )  T ∂y ∂ = ρytt − ρF (x, t), ∂s e+1 ∂s

1.8. EJERCICIOS

41

junto con las condiciones de contorno: x(0, t) = x(l, t) = y(0, t) = y(l, t) = 0, para cada t ≥ 0. Se supondrá siempre que las condiciones iniciales para x(t, s) son x(s, 0) = s,

xt (s, 0) = 0,

0 ≤ l ≤ l,

mientras que las de y(s, t) son y(s, 0) = f (s),

xt (s, 0) = g(s),

0 ≤ l ≤ l,

donde f es C 1 y g es C 2 . Véase el Cap. I del libro de Weinberger. 23. Vamos a considerar ahora un camino alternativo para linealizar las ecuaciones del ejercicio anterior, bajo las mismas hipótesis sobre la tensión de la cuerda. La idea es imaginar el proceso como una pequeña perturbación (de orden ε) de la situación de equilibrio. Vamos a considerar que la fuerza F y las condiciones iniciales dependen de ε en la forma siguiente: F (x, t, ε) = εG(x, t), x(s, 0, ε) = s, xt (s, 0, ε) = 0, y(s, 0, ε) = f (s)ε, yt (s, 0, ε) = g(s)ε, manteniendo, para todo valor de ε las condiciones de contorno del problema anterior. Tenemos así una familia parametrizada de movimientos, x = x(s, t, ε), y = y(s, t, ε) que para ε = 0 debe ser: x = s, y = 0. Uno debe tener -suponiendo regularidad por doquier- que: x(s, t, ε) = s + x1 (s, t)ε + O(ε2 ), y(s, t, ε) = y1 (s, t)ε + O(ε2 ). Pruébese entonces que y1 (s, t) satisface la ecuación de las ondas: y1 tt =

T0 y1 − ρG(s, t). ρ xx

24. Consideremos las ecuaciones de la propagación de perturbaciones en un gas compresible (Ejercicio 16): { (ρu)x + ρt = 0, 0 < x < l, (1) ρut + ρuux + px = ρF, 0 < x < l. Vamos a linealizar las ecuaciones (1) imitando el camino del ejercicio anterior. Para ello supondremos que p = p(ρ) es una función regular (C 1 ) de ρ, que F = F (x, t, ε) es una función regular en ε de la forma F = ε G(x, t) con G continua y que las funciones incógnita u y ρ son funciones regulares de un pequeño parámetro ε (de clase C 1 ), e. d. u = u(x, t, ε), ρ = ρ(x, t, ε) que satisfacen u(x, t, 0) = 0, ρ(x, t, 0) = ρ0 > 0. En otras palabras, estamos suponiendo que el régimen del gas es una pequeña perturbación de la situación de equilibrio ρ = ρ0 , u = 0 en la que no hay fuerzas exteriores ∂u (x, t, 0) y (F = 0 para ε = 0). Demuéstrese que las funciones u1 = ∂ε ∂ρ ρ1 = (x, t, 0) verifican sendas ecuaciones de ondas, a determinar. ∂ε

42

CAPÍTULO 1. ALGUNAS EDP’S DE REFERENCIA

25. Consideremos una cadena flexible u = u(s, t), x = x(s, t), 0 ≤ s ≤ l que pende verticalmente del punto (0, 0) sometida a la fuerza de gravedad y que se mueve horizontalmente -en el sentido del eje u- debido a los efectos de la tensión. Supondremos que en cada punto, la fuerza de tensión -que actúa tangencialmente- nivela –e. .d, es igual– al peso de la cuerda de ese punto hacia abajo. Hállense las ecuaciones del movimiento. 26. Una cable –ahora inextensible– pende de dos puntos situados a la misma altura y se halla en reposo (formando una figura característica parecida a una parábola). Se supone que la tensión del cable en cada punto siempre actúa tangencialmente. Si ρ(s) (s la longitud de arco) es la densidad lineal del cable y τ0 la tensión en el punto más bajo, hállese la ecuación diferencial (ahora ordinaria) que satisface la curva que lo describe. Hállese explícitamente si ρ es constante (la curva resultante se llama Catenaria). 27. Hállense las posibles soluciones estacionarias (i. e. no dependientes de t) de la ecuación de las ondas: vtt =

T0 vxx − F (x), ρ(x)

0 < x < l,

bajo condiciones de Dirichlet homogéneas: u(0, t) = u(l, t) = 0,

t ≥ 0,

y bajo condiciones de Neumann homogéneas: ux (0, t) = ux (l, t) = 0,

t ≥ 0.

¯ Demostrar que, 28. Sea Ω = (a, b) × (c, d) y u ∈ C 2 (Ω). ∫ ∫ T0 un ds = T0 ∆u dx, ∂Ω

Ω

donde T0 es constante y un representa la derivada normal exterior en ∂Ω (ds denota el elemento de longitud de arco). Pruébese también que si γ es una curva cerrada y C 1 , siendo n ¯ un campo unitario normal a γ, entonces ∫ T0 n ¯ ds = 0. γ

29. Una versión tridimensional de las ecuaciones del Ejercicio 16 resulta ser: { ∂ρ = 0, ∂t( + div (ρu) ) ∂u ∂u ρ ∂t + ∂ x¯ u + ∇p = ρF (¯ x, t), en donde ahora x ¯ = (x, y, z), u = u(x, t) es un campo C 2 en R3 , p = p(¯ x) es la presión que como allí es una función regular de la densidad p = p(ρ)

1.8. EJERCICIOS

43

en donde F = F (¯ x, t) es un campo C 1 de fuerzas con valores en R3 . El sistema de ecuaciones describe las perturbaciones en un gas tridimensional (p.e. la propagación del sonido en el aire) y, suponiendo que u, ∂u ∂x ¯ y ρ − ρ0 son pequeños en módulo una versión linealizada de las ecuaciones tiene la forma: { ∂ρ ∂t + ρ0 div u = 0, ∂u ∂t

+

c20 ρ0 ∇ρ

= 0,

donde escribimos c20 = p′ (ρ0 ) y suponemos por simplicidad que F = 0. Demuéstrese que si rot u = 0 en t = 0 entonces rot u(¯ x, t) = 0 para todo t ≥ 0. Demuéstrese además que el campo u y la densidad ρ satisfacen la ecuación de las ondas: { 2 ∂ u = c20 ∆u, ∂t2 ∂2ρ ∂t2

= c20 ∆ρ.

30. (Concepto de Flujo). Sea u = u(x, t) un campo C 1 en Rn , S una superficie simple y S1 , S¯1 compacta, una porción de S transversal a u, e. d., u(x, t) · ν(x) ̸= 0,

∀t ≥ 0, x ∈ S1 .

Para normalizar supongamos que u · ν > 0 (se recuerda que ν designa el campo normal a S1 ). Fijado t0 y t > t0 , “convenientemente” próximo a t0 definimos V (t) el “volumen” ocupado por las partículas que han cruzado a través de S1 -en el sentido de u- entre los instantes t0 y t, e. d. el volumen de fluido que ha penetrado por S1 entre esos instantes, siguiendo el campo de velocidades x′ = u(x, t). Prúebese que: ∫ d V (t)|t=t0 = u · ν dσ. (1) dt S1 Se conoce a (1) como el flujo de volumen a través de S1 en t = t0 . 31. En las condiciones del Ejercicio 30 sea A una cierta substancia que es transportada por u(x, t) y que tiene por concentración c = c(x, t), c(x, t) continua. Hállese la cantidad de masa de A que atraviesa S1 por unidad de tiempo en t = t0 . Prúebese que dicha cantidad vale (flujo de masa a través de S1 ) ∫ S1

c(x, t)u · ν dσ.

32. Un fenónmeno análogo al del transporte de calor por difusión es el del transporte de masa, también por difusión, de una cierta substancia A. Cuando una concentración inicial c0 (x) (i.e. masa por unidad de volumen) de la misma se deposita en un fluido (disolvente) en reposo, ésta es transportada -por efectos de la dinámica molecular del fluido- por difusión siguiendo la ley de Fick (que es completamente análoga a la de Fourier). Esto significa físicamente que la substancia es transportada desde zonas de

44

CAPÍTULO 1. ALGUNAS EDP’S DE REFERENCIA alta concentración hacia zonas de baja concentración. Es decir, si tenemos una porción compacta S1 de una superficie simple S, la cantidad de masa transportada (¡aunque el fluido esté en reposo!) a través de S1 siguiendo su campo normal ν(x) y por unidad de tiempo vendrá dada por: ∫ ∂c ΦS1 = − d . (1) S1 ∂ν ΦS1 es el flujo de masa a través de S1 debido a la difusión. d es el coeficiente de difusión. Otra forma de expresar la ley de Fick es decir que el vector “flujo de masa” Φ en cada punto x es: Φ(x) = −d∇c(x, t), donde c = c(x, t) representa la concentración de A como función de la posición espacial y el tiempo.

33. Si el fluido ocupa una región del espacio Ω y el único mecanismo que interviene en el transporte de masa es la difusión (fluido en reposo), pruébese que c satisface la ecuación del calor: ∂c = d∆c. ∂t 34. Supongamos ahora que el fluido está en movimiento en Ω, bajo un campo de velocidades u(x, t). Así la substancia A es transportada, además de por difusión, por el arrastre u(x, t) a que la somete el fluido. Pruébese que ahora la concentración c satisface: ∂c = div (d∇c) − div (cu). ∂t (Véase el Ejercicio 10). 35. (Teorema de Liouville). Supongamos que un fluido con campo C 1 de velocidades u(x, t) ocupa una región abierta Ω de Rn , y que Ω1 ⊂ Ω1 ⊂ Ω, con Ω1 compacto. Para t > t0 convenientemente próximo a t sea (Ω1 )t el lugar ocupado en el instante t por las partículas que estuvieron en Ω1 en t = t0 . Prúebese que: ∫ ∫t div u(x(s,y),s) ds vol (Ω1 )t = e t0 dy, Ω1

donde x(t, y) denota la única solución del problema x′ = u(x, t), con x(t0 ) = y, y ∈ Ω1 . ¿ Se te ocurre alguna explicación a por qué se llaman “incompresibles” los fluidos que cumplen la ecuación: div u(x, t) = 0,

t ≥ 0, x ∈ Ω?

1.8. EJERCICIOS

45

36. Se considera una barra de longitud l en la dirección del eje x que tiene sección A lo suficientemente pequeña como para que el calor difunda solamente en la dirección de x, luego la temperatura será de la forma u = u(x, t). Admitamos además que el flujo de calor Φ a través de la pared lateral de la barra sigue la Ley de Newton, es decir, que Φ es proporcional a la diferencia (u − T0 ), donde T0 es la temperatura ambiente. Dedúzcase la ecuación para la temperatura. 37. Se considera una barra cilíndrica y tridimensional en la que el calor difunde transversalmente al eje de simetría mientras que las variaciones de temperatura son despreciables en el sentido de dicho eje. Suponiendo que la temperatura u sólo depende de la distancia al eje de la barra, hállese una ecuación para dicha temperatura u(x, y, z, t) en el interior de la barra (tómese por ejemplo el eje Oz en la dirección como eje de la barra). 38. Hállese la ecuación de difusión del calor en coordenadas esféricas de R3 . 39. Se considera una barra homogénea de longitud l, coeficiente de conductividad térmica k; lo suficientemente fina como para que la difusión del calor sólo se considere en sentido longitudinal. Se ha realizado un experimento en el que, tras comenzar con una temperatura homogénea de T0 grados en la barra, y mantenerla a una temperatura constante T1 en los extremos, se observa que la temperatura en el punto medio viene dada por una función f (t). Si repetimos el experimento con una barra de las mismas características (mismo ancho y conductividad térmica), inicialmente sometida a T0∗ grados y mantenida permanentemente a T1∗ grados en sus extremos, y de longitud l∗ ¿Qué ley f ∗ (t) seguirá la temperatura en el punto medio de la barra? Indicación. Dése por conocida la unicidad de solucines para el problema de valor inicial y de Dirichlet para la ecuación del calor. 40.

6 cf.

6

El tiempo de cocción de un asado de 5 libras que inicialmente se hallaba a una temperatura de 40 grados, al introducirlo en un horno de 350 grados, es de dos horas ¿Cuál será el tiempo de cocción de una asado de 10 libras con la misma forma y en las mismas condiciones?

M. S. Klamkin, SIAM Review, Vol. 3, n. 2, pp. 167-169.

46

CAPÍTULO 1. ALGUNAS EDP’S DE REFERENCIA

Capítulo 2

Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden 2.1. 2.1.1.

Ecuaciones lineales y cuasilineales Ecuaciones lineales

La ecuación en derivadas parciales lineal de primer orden más general es (Capítulo 1) Lu = f (x), x ∈ Ω, (2.1) donde, L=

n ∑

ai (x)

i=1

∂ + b(x), ∂xi

siendo Ω ⊂ R un dominio (abierto y conexo), ai (x) ∈ C 1 (Ω), para cada i, b(x), f (x) ∈ C(Ω). Mantendremos estas hipótesis a lo largo de todo el capítulo. ∂ Se denotará A(x) = (a1 , · · · , an ), así Lu = ∂A + b. k Una superficie simple S ⊂ Ω de clase C viene definida una parametrización (g, U ), U ⊂ Rn−1 un dominio y g = g(s), g : U → Rn de clase C k (k ≥ 2) de forma que S = g(U ) y tal que: n

N=

∂g ∂g ∧ ··· ∧ ̸= 0, ∂s1 ∂sn−1

∀s ∈ U.

N Si S es una superficie simple ν = |N | representa el campo unitario normal a S asociado a (g, U ), mientras que el espacio tangente a S en x0 = g(s0 ) es: { } ∂g ∂g T Sx0 = span (s0 ), · · · , (s0 ) . ∂s1 ∂sn−1

Finalmente, se dice que una funcón ϕ : S → R es de clase C 1 en S si ϕ ◦ g ∈ C 1 (U ). Véase el Anexo para más detalles. 47

48

CAPÍTULO 2. PRIMER ORDEN

Es fácil ver que si y(t) = g(σ(t)), a < t < b, σ = σ(t) de clase C 1 , σ(0) = s0 es una curva en S entonces su vector tangente en x0 , y(0) ˙ ∈ T Sx0 . Definición 2.1. Sea ϕ ∈ C 1 (S). El problema de Cauchy para (2.1) en S consiste en hallar (u, U), S ⊂ U ⊂ Ω, U abierto, u : U → R de clase C 1 tal que: Lu = f,

x∈Ω

u|S = ϕ.

(2.2)

Por analogía con el curso de ecuaciones diferenciales ordinarias diremos que (u, U) es una solución local de (2.2). Como allí, la siguiente noción parece natural a primera vista: (2.2) goza de la propiedad de unicidad de soluciones si para cada par de soluciones locales (ui , Ui ), i = 1, 2, resulta que u1 = u2 sobre U1 ∩U2 . Esta definición parece sugerir que en caso de darse la unicidad de soluciones, todas las soluciones locales (u, U) acaban siendo restricciones de una cierta solución maximal (u∗ , U ∗ ) de (2.2). Sin embargo, comprobaremos que ni siquiera en el caso del problema (2.2) se verifica la propiedad de unicidad de soluciones en el sentido que se ha enunciado. Sí se demostrará que todas las soluciones locales (u, U) coinciden en un cierto entorno de la superficie S. Por tanto, nociones básicas en la teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias como solución local y prolongabilidad no pueden extenderse al contexto de (2.2). La función ϕ se llama dato de Cauchy. En general (Capítulo 1) no toda superficie sirve para imponer datos de Cauchy. Por ejemplo, supongamos que Γ = {x(t)/a < t < b} es una solución de x′ = A(x) cuya gráfica Γ ⊂ S. Entonces S no admite datos ϕ arbitrarios. En efecto, sobre Γ, u = ϕ. Si ponemos ˆ = ϕ(x(t)), ϕˆ debe satisfacer: ϕ(t) ϕˆ′ + ˆb = fˆ

a < t < b,

con fˆ = f (x(t)), ˆb = b(x(t)). Luego ϕ no se puede elegir arbitrariamente. Las superficies adecuadas son las siguientes. Definición 2.2. Una superficie S se dice no característica con respecto a (2.1) si: A(x) · ν(x) ̸= 0, ∀x ∈ S. (2.3) S es característica si A(x) · ν(x) = 0,

∀x ∈ S.

(2.4)

Observación 2.1. De lo dicho más se deduce que aquellas superficies que contengan órbitas de x′ = A(x) no son admisibles para el problema de Cauchy. Las superficies características son siempre la unión de órbitas de dicha ecuación. Lema 2.3. Sea S ⊂ Rn una superficie simple y F = F (x) ∈ C 1 (Rn , Rn ) un campo C 1 . Entonces S es invariante frente a x′ = F (x) si y sólo si F (x) es tangente a S en cada x ∈ S. En particular, si S es característica, S es la unión de órbitas de x′ = A(x).

2.1. ECUACIONES LINEALES Y CUASILINEALES

49

Demostración. ∑ Si x0 ∈ S, ponemos x0 ′ = g(s0 ) mientras para cada s ∈ U , A(g(s)) = αi (s)∂g/∂si . Resolvemos s = α(s) junto con s(0) = s0 . Resulta que x(t) = g(s(t)) es la solución de x′ = A(x), x(0) = x0 que por construcción está es S. El recíproco es inmediato. Definición 2.4. Las órbitas de x′ = A(x) se denominan curvas características de la ecuación (2.1). Las superficies no caracterí sticas son las adecuadas para el problema de Cauchy. Esto se apoya en el hecho –que precisamos ahora– de que la ecuación es “de orden 1” en la dirección de la normal a S. La filosofía del argumento, aunque formal, es la misma para ecuaciones de orden superior. Si f (t, x) es C ∞ y no se sabe cómo resolver el problema x′ = f (t, x) x(t0 ) = x0 , lo que está claro es que dicho problema permite al menos obtener una expresión formal de la solución x(t) si ésta fuese C ∞ : x(t) =

∞ ∑

an (t − t0 )n .

n=0

Consideramos el siguiente caso particular de (2.2): ∂U = −ˆ a−1 n ∂t

{n−1 ∑

∂U a ˆi + bU − f ∂si i=1

} (2.5)

ˆ U (s, 0) = ϕ(s). Hemos tomado S = {xn = 0} y llamado s = (s1 , · · · , sn−1 ) = (x1 , · · · , xn−1 ), t = xn . Naturalmente hemos supuesto que a ˆn ̸= 0 para |t|, |s| pequeños. Si todos los datos son C ∞ entonces U (t, s) puede obtenerse formalmente como: U (s, t) =

∑

aα,m (s − s0 )α tm .

α,m

(¡Hágase con dos variables (n = 2)!). Si ahora tratamos con una superficie no característica S, el problema (2.2) se transforma en (2.5) si hacemos el cambio de variable local: U (s, t) = u(g(s) + tν(s)),

ˆ = ϕ(g(s)), ϕ(s)

donde |s − s0 |, |t| son pequeños. Nótese que bajo dicho cambio: x = g(s) + tν(s),

t = T (x), s = S(x)

(2.6)

50

CAPÍTULO 2. PRIMER ORDEN

se tiene que: ∂lU dl ∂lu (s , 0) = (u(g(s ) + tν(s )) = (x0 ) 0 0 0 | t=0 ∂tl dtl ∂ν l ∂U ∂g (s0 , 0) = ∇u(x0 ) , ∂si ∂si en donde x0 = g(s0 ) ∈ S. Por tanto, las derivadas con respecto a t de U representan derivadas normales de u en S mientras que las derivadas de U con respecto a si representan derivadas tangenciales. Haciendo el cambio (2.6) se llega a que U satisface (2.5) con los valores: a ˆn (s, t) = A(x) · ∇T (x),

a ˆi = A(x) · ∇Si ,

para 1 ≤ i ≤ n − 1. Nótese que ∇T = ν en S, por eso a ˆn (s, t) ̸= 0 si |s − s0 |, |t| son pequeños. En efecto: a ˆn (s, t) = A(x) · ν(x) ̸= 0, en virtud a la condición de no caractericidad. Teorema 2.5. Sea S una superficie no característica para la ecuación (2.1). Entonces, cualquiera que sea el dato de Cauchy ϕ ∈ C 1 (S) el problema (P) admite una solución local (u, U) que es única en el sentido siguiente: si (u1 , U1 ) es otra solución local, existe una abierto V1 ⊂ Ω, S ⊂ V1 ⊂ U ∩ U1 tal que u = u1 en V1 . Observaciones 2.2. a) La técnica de la prueba del teorema se llama “método de las características”. b) La existencia de soluciones locales no se puede mejorar en general para obtener soluciones definidas globalmente donde lo estén los coeficientes. Tómese por ejemplo S = {(x, y) = (s, 0) : s > 0}, ϕ(s) = 0 y la ecuación: yux − xuy = 1

(x, y) ∈ R2 − {(0, 0)}.

Este problema admite infinitas soluciones no prolongables (ver e)). Tales soluciones presentan discontinuidades donde los coeficientes son regulares. Véase también la sección de problemas. c) No es difícil ver que la solución obtenida por el métdodo de las características depende continuamente del dato ϕ. Es decir, si ϕn es una sucesión de funciones C 1 que converge uniformemente sobre compactos de S a una ϕ de clase C 1 entonces un (x) → u(x) uniformemente sobre compactos. d) El entorno U es A-convexo en el sentido de que cada x ∈ U se escribe: x = X(t, g(s)) para algún t y g(s) ∈ S (notamos por x(t) = X(t, y) a la única solución de x′ = A(x), junto con x(0) = y) y además: [g(s), x]A = {x = X(τ, g(s))/0 ≤ τ ≤ t} está contenido en U. Pues bien, dada otra solución local (u1 , U1 ), el entorno V1 que se menciona en el teorema 1 se puede expresar como: V1 = {x ∈ U ∩ U1 : [g(s), x]A ⊂ U1 , si x = X(t, g(s))}.

2.2. ECUACIONES CUASILINEALES

51

e) [No unicidad local]. Consideremos el problema: yux − xuy = 1 u(x, 0) = h(x),

x > 0.

(P )

Sean 0 < α1 < α2 < 2π dos ángulos y sean θ1 (x, y) y θ2 (x, y) dos determinaciones del argumento con líneas de corte en las semirrectas ri , x = t cos αi , y = t sen αi , t ≥ 0. Pues bien, los pares (ui , Ui ) con: √ ui = h( x2 + y 2 ) − θi (x, y), con (x, y) ∈ Ui = R2 − ri son dos soluciones locales tales que u1 ̸= u2 en {α1 < arg (x, y) < α2 }. Por tanto no se cumple que u1 = u2 en U1 ∩ U2 . Véase también la sección de ejercicios.

2.2.

Ecuaciones cuasilineales

La ecuación cuasilineal de primer orden más general toma la forma: n ∑ i=1

ai (x, u)

∂u = b(x, u) ∂xi

x ∈ Ω,

(2.7)

donde se supone en lo que sigue que las funciones ai (x, y), b(x, y) ∈ C 1 (Ω × R), mientras que S representa una superficie simple parametrizada por x = g(s), g ∈ C k (U, Rn ), U abierto de Rn−1 , k ≥ 2. Denotaremos análogamente por A al campo: A(x, y) = (a1 (x, y), · · · , an (x, y)). El estudio de las soluciones de (2.7) es de nuevo abordable mediante ecuaciones diferenciales ordinarias. En efecto, las soluciones u de (2.7) definen superficies en Rn × R (las superficies integrales), y − u(x) = 0, cuya normal (∇u, −1) debe ser ortogonal al campo (A(x, y), b(x, y)) en cada punto (x, y) = (x, u(x)). En otras palabras, el campo (A(x, y), b(x, y)) caracteriza las soluciones de (2.7) como sus superficies invariantes. Esto es consecuencia del Lema 2.3 o del siguiente razonamiento directo. Si y = u(x) es invariante frente a la ecuación: x′ = A(x, y) (2.8) y ′ = b(x, y), y(t) = u(x(t)) para toda solución, con lo que derivando, ∑ ai (x(t), u(x(t)))∂xi u(x(t)) = b(x(t), u(x(t))), y u resuelve (2.1). Recíprocamente, si u resuelve (2.7) tomamos x0 , y0 = u(x0 ). Formamos la solución (x(t), y(t)) de (2.8) con dato (x0 , y0 ) y por otro lado y1 (t) = u(x(t)). Sabemos que y ′ = b(x(t), y), y(0) = y0 . Derivando se tiene

52

CAPÍTULO 2. PRIMER ORDEN

y1′ = b(x(t), y1 ), y1 (0) = y0 . Por tanto y = y1 con lo que y(t) = u(x(t)) luego {y = u(x)} es invariante frente a (2.8). La (2.8) se llama la ecuación de las características asociada a (2.7). Se recuerda la siguiente definición. Definición 2.6. Sea V = V (x) una función real C 1 en Ω y sea F : Ω → Rn un campo C 1 en Ω. Decimos que V (x) es una integral primera para la ecuación x′ = F (x) si V (x(t)) = constante para cada solución de la ecuación. Es inmediato comprobar que V es una integral primera de x′ = F (x) en Ω sí y sólo sí ∇u(x)F (x) = 0 en Ω. La siguiente propiedad expresa el hecho de que las superficies de nivel de integrales primeras de la ecuación (2.8) dan lugar a superficies integrales de (2.7). Propiedad 2.7. Sea V = V (x, y) de clase C 1 en Ω × R una integral primera de (2.8). Supongamos que, para c ∈ R la ecuación V (x, y) = c define a y = u(x) donde u ∈ C 1 (Ω1 ), Ω1 ⊂ Rn un dominio, de forma que ∂V ∂y ̸= 0 en y = u(x), x ∈ Ω1 . Entonces u define una solución de u en Ω1 . La estructura local de las integrales primeras de una ecuación se recoge en la siguiente propiedad. Propiedad 2.8. Sea F = F (x), F ∈ C 1 (Rn , Rn ) un campo tal que F (x0 ) ̸= 0, e. d. x = x0 no es una singularidad de F . Existe entonces un entorno U de x0 y n − 1 integrales primeras V1 (x), . . . , Vn−1 (x), con rango (V1 , . . . , Vn−1 )′ (x) = n − 1 para cada x ∈ U , de forma que si V (x) es otra integral primera en U entonces V (x) = H(V1 (x), . . . , Vn−1 (x)), x ∈ U , para una cierta aplicación C 1 , H = H(y1 , . . . , yn−1 ). Como en el caso lineal, nos ocupamos del problema de Cauchy para (2.7), considerando las mismas definiciones de solución local y de unicidad de soluciones. Específicamente, de la existencia de soluciones (u, U) de:  n ∑ ∂u   ai (x, u) = b(x, u), x ∈ Ω ∂x i (2.9) i=1   u|∂Ω = ϕ, donde S es una superficie regular y U es un abierto de Ω, S ⊂ U ⊂ Ω, u ∈ C 1 (Ω) satisface (2.7) y u(x) = ϕ(x) en S. Se supone, por tanto, que ϕ es C 1 y que la superficie S es C 2 . Para poder considerar la clase más amplia posible de datos iniciales ϕ es necesario -como en ecuaciones lineales- imponer condiciones a S. Sin embargo, en el caso cuasilineal, también deben imponerse restricciones a los propios datos ϕ. La condición de no caractericidad que vamos a introducir, está justificada si pensamos que para resolver (2.9) vamos a construir soluciones u = u(x) trazando órbitas de (2.8) desde {(x, ϕ(x))/x ∈ S} . En la siguiente definición se establece la condición de no caractericidad con la que trabajaremos.

2.2. ECUACIONES CUASILINEALES

53

Definición 2.9. Diremos que la superficie S y el dato ϕ ∈ C 1 (S) satisfacen la condición de transversalidad si: A(x, ϕ(x)) · ν(x) ̸= 0,

∀x ∈ S.

(2.10)

Otra manera de escribir (2.10) es ∂g1 ∂s 1 .. . ∂gn ∂s1

··· .. . ···

a1 (g(s), ϕ(g(s))) .. ̸= 0. . an (g(s), ϕ(g(s)))

Observaciones 2.3. a) Es muy fácil interpretar la condición de transversalidad en n = 2 tomando S = {(x, y) = (g1 (s), g2 (s))/a < s < b}, h(s) = ϕ(g1 (s), g2 (s)). b) Supongamos que (S, ϕ) son característicos, es decir: A(x, ϕ(x)) · ν(x) = 0,

x ∈ S.

Si (2.9) admite una solución u = u(x) con dato ϕ entonces A(x, ϕ(x)) es tangente a S. Por tanto, x0 ∈ S implica x(t) ∈ S si x(t) es la solución de: x′ = A(x, ϕ(x)) x(0) = x0 . Como x(t) ∈ S y u = ϕ en S tendremos que y(t) = u(x(t)) = ϕ(x(t)) junto con x(t) es una solución de (2.8), con datos iniciales (x0 , y0 ) = (x0 , ϕ(x0 )). Eso quiere decir que la variedad de datos {(x, ϕ(x))} es invariante frente a (2.8). Puede probarse que entonces (2.9) admite infinitas soluciones, lo que va contra nuestros propósitos. En el caso n = 2, a1 ux + a2 uy = b(x, y, u) u(f (s), g(s)) = h(s), a < s < b. Que (f, g, h) sean caracterí sticos equivale a que (f, g, h) parametrice una órbita de (2.8). No es difí cil comprobar que en ese caso el problema precedente admite infinitas soluciones. Teorema 2.10. En las hipótesis precedentes para A, b, ϕ, S supongamos que ϕ y S satisfacen la condición de transversalidad (2.10). Entonces el problema (2.9) admite una solución local (u, U) que es única en los mismos términos que en el Teorema 2.5. Demostración. Se construye la solución (x(t), y(t)) de (2.8) con dato (x0 , y0 ) = (g(s), h(s)). El teorema de la función implícita permite hallar u tal que y(t) = u(x(t)). Toda otra solución u1 que pase por (x0 , y0 ) cumplirá y(t) = u1 (x(t)). Por tanto, la unicidad. De aquí es fácil hallar un dominio mínimo de unicidad.

54

CAPÍTULO 2. PRIMER ORDEN

La ecuación de Burgers Un caso particular de las ecuaciones de la dinámica de gases define el campo de velocidades de un gas cuyas partículas se mueven con velocidad constante: uy + uux = 0. Tal es la ecuación de Burgers (v. Capítulo 1). Supongamos que tenemos un dato inicial: u(x, 0) = h(x),

x∈R

con h ∈ C 1 . Veamos que el problema de valores inciales carece de soluciones definidas en todo y ≥ 0 salvo que h(x) sea creciente: x1 ≤ x2 ⇒ h(x1 ) ≤ h(x2 ), para cualesquiera x1 , x2 . En efecto, si g1 (s) = s, g2 (s) = 0, entonces ecuación de las características es: x′ = z,

y ′ = 1,

z ′ = 0,

con las condiciones iniciales: x(0) = s,

y(0) = 0,

z(0) = h(s).

De ahí se deduce que una expresión implícita para u es (cf. Capítulo 1): u = h(x − uy). Las proyecciones x, y de las curvas características tienen la forma: x = s + th(s), y = t, es decir 1 y= (x − s). (rs ) h(s) Sobre rs la solución siempre toma el valor h(s). Por eso, si h(s1 ) ̸= h(s2 ), rs1 y rs2 se cortan en x=

s1 h(s2 ) − s2 h(s1 ) , h(s2 ) − h(s1 )

y=−

s2 − s1 , h(s2 ) − h(s1 )

de lo que se deduce que las soluciones no pueden estar definidas en dicho punto. Cerca de un tal punto u experimenta una salto de magnitud |h(s2 ) − h(s1 )| cuando nos aproximamos por la caraterí sticas. Es natural que ux “explote” en dichos puntos. En efecto, sobre rs se tiene que: ux =

h′ (s) . 1 + yh′ (s)

Si h′ (s) ̸= 0, |ux | se hará infinita si y → − h′1(s) .

2.3. LA ECUACIÓN GENERAL DE PRIMER ORDEN

2.3.

55

La ecuación general de primer orden

La ecuación en derivadas parciales de primer orden más general es: F (x, u, ∇u) = 0,

x ∈ Ω.

(2.11)

Suponemos que las soluciones u ∈ C 1 (Ω) mientras que F : Ω × R × Rn → R es una función de clase C 2 . Como en los casos precedentes, todavía es posible estudiar la existencia de soluciones de (2.11) mediante una ecuación diferencial ordinaria. Como en las secciones precedentes, S designará una superficie simple regular de clase C 2 parametrizada por x = g(s), s ∈ U ⊂ Rn−1 , U un cierto dominio. El primer paso en el estudio de (2.11) consiste en obtener -aunque sólo sea formalmente- cuál es el equivalente para (2.11) de la ecuación de las características. Para ello escribimos F = F (x, y, p), x = (xi ), p = (pj ). La hipótesis básica consiste en admitir que es posible determinar la solución u = u(x) sobre ∂u ciertas curvas x = x(t). Así pues escribimos y(t) = u(x(t)) y yj (t) = ∂x (x(t)) y j tratamos de hallar una ecuación diferencial para las funciones x(t), y(t), yj (t), es decir, funciones ai (x, y, Y ), b(x, y, Y ), cj (x, y, Y ), Y = (yj ), de forma que: x′i = ai (x, y, Y ) y ′ = b(x, y, Y ) yj′

(2.12)

= cj (x, y, Y ),

1 ≤ i, j ≤ n.

Pues bien, si x′ = A(x, y, Y ) entonces se tiene que n n ∑ ∑ ∂u ′ xj (t) = yj ak = A(x, y, Y ) · Y. ∂xj j=1 j=1

y ′ (t) =

Con ello sólo falta hallar un posible candidato para A y las ecuaciones para ∂u (x(t)) al yj′ (t). Vamos a hacer las dos cosas a la vez. Por un lado si yj (t) = ∂x j derivar: yj′ (t) =

n ∑ k=1

∑ ∂2u ∂2u (x(t)) = ak (x, y, Y ) (x(t)). ∂xj ∂xk ∂xj ∂xk n

x′k (t)

(2.13)

k=1

Por otra parte si F (x, u(x), ∇u(x)) = 0, al derivar con respecto a xj y hacer x = x(t): n ∑ ∂2u Fxj + Fy uxj (x(t)) + Fpk (x(t)) = 0. (2.14) ∂xk ∂xj k=1

Es decir,

n ∑ k=1

Fpk

∂2u (x(t)) = −Fxj − Fy yj (t). ∂xk ∂xj

(2.15)

Ahora obsérvese que si se compara el segundo miembro de (2.13) con el primero de (2.15), ámbas expresiones coinciden si tomamos ai (x, y, Y ) = Fpi (x, y, Y ) (lo

56

CAPÍTULO 2. PRIMER ORDEN

∑n que es coherente con el caso cuasilineal donde F (x, y, p) = i=1 ai (x, y)pi y ∂F ai (x, y, Y ) = ai (x, y) = ∂p ). Bajo esta elección de los a (x, y, Y ) se pueden al i i menos cerrar las ecuaciones para x(t), y(t) y yj (t), sin necesidad de introducir como incógnitas las derivadas de orden superior: yα (t) = ∂ α u(x(t)), observadas sobre x(t). En efecto, se tiene: yj′ (t) = −Fxj − Fy yj . Así las ecuaciones en conjunto son:  ∂F   , 1≤i≤n x′i =   ∂pi     n  ∑ ∂F y′ = yi ∂p  i  i=1     ∂F  ′  − Fy yj . 1 ≤ j ≤ n  yj = − ∂xj

(2.16)

Se llama a (2.16) la ecuación de las caracterí sticas de (2.11). Si (x(t), y(t), Y (t)) satisface (2.16), se “espera” que los valores de las soluciones de (2.11), u = u(x) y de ∇u(x) sobre x(t) se deduzcan de (2.16) mediante y(t) = u(x(t)) y que se cumpla Y (t) = ∇u(x(t)). Como en las secciones precedentes, si ϕ ∈ C 1 (S) es lícito plantearse el problema de Cauchy: { F (x, u, ∇u) = 0 (2.17) u = ϕ x ∈ S. Asimismo, la naturaleza de las técnicas que se van a emplear sólo permiten establecer la existencia de soluciones locales (u, U) cuya definición no repetiremos. Para resolver entonces (2.17) se tienen que determinar las condiciones iniciales para (2.16). Es obvio cuáles son las condiciones para x(t), y(t): x(0) = g(s),

y(0) = ϕ(g(s)).

(2.18)

Las condiciones iniciales y1 (0) = y¯1 (s), · · · , yn (0) = y¯n (s) vienen dadas por el sistema (se obtiene derivando u(g(s)) = ϕ(g(s)) respecto a si , 1 ≤ i ≤ n − 1):  n ∑  ∂gj   ∂ϕ ◦ g = y¯j (s) 1≤i≤n−1 ∂si ∂si (2.19) j=1    F (g(s), ϕ(g(s)), y¯ (s), · · · , y¯ (s)) = 0. 1

n

Teniendo en cuenta la última ecuación en (2.19) una hipótesis que nos vemos obligados a admitir es la existencia, para cada s ∈ U , de al menos una solución Y¯ (s) = (¯ yj (s)) de dicho sistema siendo las y¯j (s) de clase C 1 en U . Otra hipótesis ya familiar que introducimos es la condición de transversalidad (2.21).

2.3. LA ECUACIÓN GENERAL DE PRIMER ORDEN

57

Suponemos que sobre las soluciones Y¯ (s) de (2.19) se satisface: ∂g1 ∂s 1 .. . ∂gn ∂s1

··· .. . ···

Fp1 (g(s), ϕ(g(s)), Y¯ (s)) .. ̸= 0. . ¯ Fpn (g(s), ϕ(g(s)), Y (s))

(2.20)

Debe advertirse que puede haber más de una familia y¯j (s) de funciones que satisfagan (2.19) y (2.21). Esto ocurrirá si, por ejemplo, (2.11) es de “grado” superior a 1 en el gradiente |∇u|. Ejemplo 2.4. Para la ecuación u2x + u2y = 1 si S viene definida por (g1 (s), g2 (s)), a < s < b, h(s) = ϕ(g1 (s), g2 (s)) = 1, las posibles elecciones de (¯ y1 , y¯2 ) son: 1 (¯ y1 , y¯2 ) = ± √ (g2′ , −g1′ ). 2 2 ′ ′ g1 + g2 Nótese que al ser (g1′ , g2′ ) ̸= 0, se da (2.21). Estúdiese el caso general correspondiente a un dato h(s). Envolvente de una familia de superficies. Se considera una familia de superficies {Sλ }, dada por H(x, y, z, λ) = 0, H de clase C 2 , ∇H(·, λ) ̸= 0 en Sλ . Una envolvente de la familia es otra superficie E, dada por g(x, y, z) = 0 de forma que E = ∪ λ γλ γλ ⊂ Sλ ∩ E, y tal que ∇g = ∇H(·, λ) en cada γλ 1 . Es decir E hace un contacto de primer orden con cada Sλ . Una manera de hallar E es proceder como sigue. Para λ fijo, las secciones de Sλ por superficies próximas Sµ son γλ,µ , es decir: {

H(x, y, z, λ) = 0 H(x, y, z, µ) = 0

es decir

  H(x, y, z, λ) = 0 H(x, y, z, µ) − H(x, y, z, λ)  = 0. µ−λ

Si µ → λ la curva límite γλ tiene por ecuación a: { H(x, y, z, λ) = 0 Hλ (x, y, z, λ) = 0.

(γλ )

La unión de tales curvas genera la superficie envolvente E. Una manera analítica de proceder es como sigue. Genéricamente Hλ = 0 se puede resolver despejando 1 A efectos de su uso posterior no necesitamos pedir la condición más fuerte γ = S ∩ E. El λ λ cálculo de la envolvente que sigue no permite probar esa identidad. En resumen la envolvente que calcularemos es una superficie constituida por curvas γλ donde E hace un contacto de orden 1 con cada Sλ para cada λ.

58

CAPÍTULO 2. PRIMER ORDEN

λ en términos de (x, y, z), en la forma λ = Gk (x, y, z), para quizás varias Gk , k ∈ K. Así, γλ puede representarse como la unión de varias γk,λ con: {

H(x, y, z, λ) = 0 λ = Gk (x, y, z).

(γk,λ )

La unión de las curvas γk,λ constituye una superficie Ek que tiene la propiedad buscada y se puede describir mediante la ecuación gk (x, y, z) = 0 donde gk = H(x, y, z, Gk (x, y, z)). En efecto si gk (x, y, z) = 0 entonces P = (x, y, z) cumple H(P, λ) = 0, λ = Gk (P ) y P ∈ γk,λ . Está claro que Ek tiene la propiedad deseada. Más tarde haremos uso de las superficies envolventes que acabamos de construir. Ejemplo 2.5. Considérese la familia de esferas (x − λ)2 + y 2 + z 2 − 1 = 0, λ ∈ R. Deducción geométrica de la ecuación de las características 2 . Para n = 2 tomamos x, y como variables independientes, z = u, p = ux , q = uy y escribimos F = F (x, y, z, p, q). La ecuación (2.11) es: F (x, y, u, ux , uy ) = 0. De nuevo la idea es construir las soluciones u = u(x, y) de una forma geométrica. Es decir, considerar su gráfica z = u(x, y) 3 como la unión de las gráficas de soluciones 4 x = x(t), y = y(t), z = z(t) (z(t) = u(x(t), y(t))) de una cierta ecuación diferencial ordinaria. Para ello necesitamos deducir (geométricamente) cómo es el campo (dx, dy, dz). Procedemos como sigue. Si u(x, y) es solución de (2.11), en cada P0 = (x0 , y0 , z0 ), z0 = u(x0 , y0 ), la normal (p0 , q0 , −1), p0 = ux (x0 , y0 ), q0 = uy x(x0 , y0 ) a la superficie z = u(x, y): F (x0 , y0 , z0 , p, q) = 0,

(2.21)

para p = p0 , q = q0 . La ecuación (2.21) define entonces en P0 = (x0 , y0 , z0 ) una familia uniparamétrica de planos tangentes 5 : z − z0 = p(x − x0 ) + q(y − y0 ),

(2.22)

cuya envolvente E se llama el cono de Monge en P0 . Se razona ahora como sigue: el plano tangente a una superficie integral z = u(x, y) en P0 , al pertenecer a la familia (2.22) corta a E en una curva γp 6 . El vector tangente (dx, dy, dz) a γp 2 cf.

el libro de Fritz John. superficie integral. 4 Órbitas. 5 (2.21) expresa, v. g., q como una función de p. 6 Es una recta generatriz del cono. 3 Una

2.3. LA ECUACIÓN GENERAL DE PRIMER ORDEN

59

en P0 es tangente a E y a z = u(x, y). ¡ Ese es el vector que estamos buscando! Según lo dicho, γp viene dada por:   z − z0 = p(x − x0 ) + q(y − y0 ) dq  0 = x − x0 + (y − y0 ) , dp luego,

  dz = pdx + qdy dq  0 = dx + dy. dp

dq Fp dx dy 7 = − la última ecuación se puede escribir = . En consedp Fq Fp Fq cuencia, en cada punto (x, y, u(x, y)) de una superficie integral, el campo:

Como

x′ = Fp (x, y, u(x, y), ux (x, y), uy (x, y)) y ′ = Fq (x, y, u(x, y), ux (x, y), uy (x, y)) z ′ = pFp (x, y, u(x, y), ux (x, y), uy (x, y)) + qFq (x, y, u(x, y), ux (x, y), uy (x, y)), con p = ux (x, y), q = uy (x, y) debe ser tangente a dicha superficie. Si llamamos p(t) = ux (x(t), y(t)), q(t) = uy (x(t), y(t)) entonces, para hallar las ecuaciones de p y q se procede como antes: p′ = uxx x′ + uxy y ′ = uxx Fp + uxy Fq q ′ = uyx x′ + uyy y ′ = uyx Fp + uyy Fq , mientras que derivando (2.11) primero con respecto a x y después con respecto a y obtenemos: Fx + Fz ux + Fp uxx + Fq uyx = 0 Fy + Fz uy + Fp uxy + Fq uyy = 0, de donde se tiene que:

p′ = −Fx − Fz p q ′ = −Fy − Fz q,

que completan las ecuaciones diferenciales buscadas. Es costumbre llamar a una solución de la ecuación característica: x′ = Fp y ′ = Fq z ′ = pFp + qFq ′

p = −Fx − Fz p q ′ = −Fy − Fz q, 7 Esto

se debe leer como x′ = αFp , y ′ = αFq , para algún α.

(2.23)

60

CAPÍTULO 2. PRIMER ORDEN

una banda característica. En efecto (x(t), y(t), z(t), p(t), q(t)) puede interpretarse como una curva (x(t), y(t), z(t)) con un plano asociado: ζ − z = p(t)(ξ − x) + q(t)(η − y). Como dz = pdx + qdy se tiene que la curva es tangente al plano en cada punto. Nos podemos así imaginar una superficie integral como la envolvente de una familia de bandas características. Obsérvese que cada banda queda determinada si se fija un punto y un plano inicial. Eso permite plantearse la posibilidad de resolver el problema de Cauchy para (2.11) sobre una curva dato Γ: x = f (s), y = g(s), z = h(s), a < s < b, donde f, g, h son de clase C 2 . Integramos así (2.23) bajo las condiciones: x(0) = f (s) y(0) = g(s) z(0) = h(s).

(2.24)

Sin embargo, para resolver (2.23) necesitamos los valores iniciales de p y q. Como se vio más arriba los valores iniciales p(0) = φ(s), q(0) = ψ(s) tienen que cumplir: h′ (s) = φf ′ + ψg ′ (2.25) F (f, g, h, φ, ψ) = 0. Al considerar entonces el problema de Cauchy: { F (x, y, u, ux , uy ) = 0 u(f, g) = h, a < s < b

(2.26)

siempre se supone que los datos f, g, h habilitan la existencia de funciones C 1 , φ, ψ que satisfacen el sistema (2.25) y además la condición de transversalidad: f′ g′ (2.27) Fp (f, g, h, φ, ψ) Fp (f, g, h, φ, ψ) ̸= 0. Podemos enunciar por fin el siguiente resultado. Teorema 2.11. Supongamos que Γ = {(f, g, h)/a < s < b} es una curva C 2 y que existen funciones C 1 , φ(s), ψ(s), a < s < b que satisfacen (2.25) y (2.27) , entonces el problema (2.26) admite una solución local (u, U). Además, toda otra solución local (u1 , U1 ) que coincida hasta el orden 1 con u(x, y) en S = {(f, g)/a < s < b} también coincide con u(x, y) en un cierto entorno abierto V1 ⊂ U ∩ U1 de S. Observación 2.6. Se dice que dos funcionesu(x, y), v(x, y), de clase C 1 coinciden hasta el orden 1 en (x0 , y0 ) si: u(x0 , y0 ) = v(x0 , y0 ),

ux (x0 , y0 ) = vx (x0 , y0 ),

uy (x0 , y0 ) = vy (x0 , y0 ).

Por otra parte el Teorema 2.11 habla de unicidad de soluciones locales –en el sentido que se ha usado en el capítulo– cuando, de acuerdo con la ecuación y la curva Γ, se elige un campo gradiente ∇u = (φ, ψ) sobre S.

2.4. INTEGRALES PRIMERAS

61

Demostración del Teorema 2.11. La existencia sigue las ideas del caso cuasilineal. Sin embargo hay algún detalle que no es trivial. Lo primero es resolver (2.23) bajo las condiciones (x(0), y(0), z(0), p(0), q(0)) = (f (s), g(s), h(s), φ(s), ψ(s)), para obtener (x, y, z, p, q) = (X(t, s), Y (t, s), Z(t, s), P (t, s), Q(t, s)). Es fácil invertir x = X(t, s), y = Y (t, s) en la forma s = S(x, y), t = T (x, y), lo que permite proponer u = Z(T, S) como posible solución. Derivando con respecto a t se concluye que: F (X(t, s), Y (t, s), Z(t, s), P (t, s), Q(t, s)) = 0. Pero comprobar que u es solución pasa por justificar que: ux (X(t, s), Y (t, s)) = P (t, s) Unas cuentas prueban que: ( ) ( )( ) Zt Xt Yt ux = Zs Xs Ys uy

uy (X(t, s), Y (t, s)) = Q(t, s). (

Zt Zs

)

( =

Xt Xs

Yt Ys

)( ) P . Q

(2.28)

(2.29)

De todas las relaciones la más delicada es la última que se prueba observando que A(t, s) = P Xs + QYs − Zs cumple A(0, s) = 0 mientras At = Fz A. De (2.29) se sigue (2.28). Para la unicidad se toma una solución u de la ecuación y se plantea la ecuación diferencial ordinaria: x′ = Fp (x, y, u(x, y), ux (x, y), uy (x, y)) y ′ = Fq (x, y, u(x, y), ux (x, y), uy (x, y)), con lo que, z(t) = u(x(t), y(t)), cumple z ′ = ux Fp + uy Fq . Si, por ejemplo, p(t) = ux (x(t), y(t)) se tiene p′ = uxx Fp + uxy Fq , que vía la ecuación en derivadas parciales se puede escribir p′ = −Fx − pFz .

2.4.

Ecuaciones cuasilineales e integrales primeras

Recordemos que si V = V (x1 , · · · , xn , y) es una integral primera de la ecuación: x′i = ai (x1 , · · · , xn , y) 1 ≤ i ≤ n (2.30) y ′ = b(x1 , · · · , xn , y)

62

CAPÍTULO 2. PRIMER ORDEN

en un cierto dominio Ω ⊂ Rn × R, entonces, para cada λ ∈ R donde V (x1 , · · · , xn , y) = λ , define y = u(x1 , · · · , xn ) se tiene que u es una solución de: n ∑

ai uxi = b(x1 , · · · , xn , u).

(2.31)

i=1

Consideremos por simplicidad el problema de Cauchy en el caso n = 2. Nos proponemos hallar una solución y = u(x1 , x2 ) (la denotaremos z = u(x, y)) que satisfaga: u(f (s), g(s)) = h(s), a < s < b, para ciertas funciones dato f, g, h, de clase C 1 , que cumplen la condición de transversalidad. Basta con hallar una integral primera V (x, y, z) de: x′ = a1 (x, y, z) y ′ = a2 (x, y, z)

(2.32)

′

z = b(x, y, z) de forma que V (f (s), g(s), h(s)) = 0 para a < s < b. El siguiente método para encontrar V , por su naturaleza sólo tiene validez local. En la práctica los resultados suelen ser por regla general globales. Siempre existen dos integrales primeras independientes de (2.32), Vi = Vi (x, y, z), i = 1, 2. Las órbitas de (2.32) que pasan por los puntos P (s) = (f (s), g(s), h(s)) -cuya unión genera la superficie solución-vienen dadas por los sistemas: V1 (x, y, z) = c1 (s) V2 (x, y, z) = c2 (s) para ciertas funciones C 1 , c1 , c2 (véase la sección de Ejercicios). En general, y1 = c1 (s), y2 = c2 (s) definen una curva en el plano y1 –y2 (razónese, por ejemplo, qué sucedería si c′1 (s) ≡ 0). Por tanto existe una función F = F (y1 , y2 ) de clase C 1 tal que F (c1 (s), c2 (s)) = 0 para cada s. Como F (V1 (x, y, z), V2 (x, y, z)) también es una integral primera, V (x, y, z) = F (V1 (x, y, z), V2 (x, y, z)) es la integral primera buscada. Ejemplo 2.7. Tomemos y + uuy = 0 junto con u(x, 0) = h(x) de forma que h(x) ̸= 0 para cada x. Bien, se tiene que V1 = x y V2 = y 2 + z 2 son integrales primeras de (2.32). El sistema V1 (P (s)) = c1 (s) y V2 (P (s)) = c2 (s) da c1 = s, c2 = h2 (s). Así, F = y2 − h(y1 )2 , V = V2 − h(V1 )2 y la solución estará implícita en y 2 + z 2 − h(x)2 = 0. Integrales Primeras. Una integral primera de (2.32) es una función C 1 , V (x, y, z), que satisface (en un cierto dominio de R3 ): Vx a1 + Vy a2 + Vz b = 0.

2.5. INTEGRALES COMPLETAS

63

En la práctica el cálculo de una integral primera consiste en hallar funciones P, Q, R tales que P a1 + Qa2 + Rb = 0 de forma que, para alguna función V se tenga P = Vx , Q = Vy , R = Vz . Una manera de facilitar la búsqueda de P, Q, R consiste en partir de la ecuación orbital de (2.32): dx dy dz = = a1 a2 b Por la propiedad fundamental de las fracciones equivalentes: dy dz P dx + Qdy + Rdz dx = = = . a1 a2 b P a1 + Qa2 + Rb Si se consigue P a1 + Qa2 + Rb = 0 entonces P dx + Qdy + Rdz = 0. Integrar ésta última ecuación es –por definición– hallar las funciones V . Ejemplo 2.8.

x′ = x(y − z) y ′ = y(z − x) z ′ = z(x − y).

Al escribir:

dy dz dx = = x(y − z) y(z − x) z(x − y)

se ve que: 1 1 1 dy dx dz y x = = z (y − z) (z − x) (x − y) de donde, 1 1 1 dx + dy + dz = 0, x y z con lo que V = log (xyz). Nótese que también se puede tomar V = xyz.

2.5.

Superficies integrales y envolventes. Integrales completas

Consideremos la ecuación general en dos variables: F (x, y, u, ux , uy , ) = 0.

(2.33)

Llamaremos superficie integral de (2.33) a la gráfica en R3 , {(x, y, z) : z = u(x, y)} de cualquier solución u(x, y) de (2.33). Una superficie integral, puede también expresarse en la forma H(x, y, z) = 0. En la Sección 2.3 del presente capítulo se introdujo la noción de superficie envolvente E, g(x, y, z) = 0, de una familia {Sλ } de superficies H(x, y, z, λ) = 0, así como un método para hallar g. En estos términos, vamos a probar que si las Sλ son superficies integrales, entonces también la envolvente es una superficie integral.

64

CAPÍTULO 2. PRIMER ORDEN

Recordemos que E consta de la unión de curvas γλ de forma que cada γλ ⊂ Sλ . Comprobamos que para cada λ, E y Sλ no sólo hacen un contacto de orden uno en γλ sino que además: ∇g(x, y, z) = ∇H(x, y, z, λ),

(2.34)

para (x, y, z) ∈ γλ . Así, para cada punto (x, y, z) ∈ γλ de la envolvente se tiene gx Hx gy Hy que − =− y− =− . La solución u definida por H(x, y, z, λ) = 0 gz Hz gz Hz Hy x verifica ux = − H Hz y uy = − Hz , mientras la función U definida por g(x, y, z) = 0 satisface Ux = ux , Uy = uy en γλ . Por eso: F (x, y, U, Ux , Uy , ) = 0, pues U = u, Ux = ux , Uy = uy en γλ . En consecuencia g(x, y, z) = 0 define una superficie integral. Verificamos (2.34). La envolvente es E = ∪λ γλ donde γλ se define mediante el sistema: H(x, y, z, λ) = 0 λ = G(x, y, z) donde Hλ = 0 define a λ como función de (x, y, z) mediante λ = G. La ecuación implícita de E es g(x, y, z) = 0 con g = H(x, y, z, G). Así si el punto P = (x, y, z) ∈ E entonces P ∈ γλ donde λ viene dado por λ = G(P ). Como: gx = Hx + Hλ Gx , gy = Hy + Hλ Gy , gz = Hz + Hλ Gz , al ser Hλ (P ) = 0 se tendrá ∇g(P ) = ∇H(P ). Se llama integral completa de (2.33) a una familia biparamétrica H(x, y, z, λ, µ) = 0, de superficies integrales de (2.33). Una integral general de (2.33) es una envolvente de una subfamilia uniparamétrica de una integral completa. La envolvente -si existe- de todas las integrales generales de una ecuación constituye una integral singular de dicha ecuación. Vamos a mostrar cómo la existencia de una integral completa puede llevar a la resolución del problema de Cauchy. Para ello suponemos que los datos de Cauchy (f (s), g(s), h(s)), a < s < b satisfacen las hipótesis del Teorema 2.11. La idea consiste en determinar una subfamilia uniparamétrica λ = λ(s), µ = µ(s) de forma que su envolvente contenga a la curva Γ = {(f, g, h) : a < s < b}. Ello requiere que se satisfaga el sistema: H(f (s), g(s), h(s), λ(s), µ(s)) = 0 Hλ (f (s), g(s), h(s), λ(s), µ(s))′ (s) + Hµ (f (s), g(s), h(s), λ(s), µ(s))µ′ (s) = 0. Por tanto, las funciones λ, µ buscadas se determinan despejando λ, µ en términos de s en el sistema: H(P (s), λ(s), µ(s)) = 0 Hx (P (s), λ(s), µ(s))f ′ + Hy (P (s), λ(s), µ(s))g ′ + Hz (P (s), λ(s), µ(s))h′ = 0,

2.6. LAGRANGE-CHARPIT

65

con P (s) = (f (s), g(s), h(s)). Una vez determinadas las funciones λ(s), µ(s) la envolvente de la familia H(x, y, z, λ(s), µ(s)) = 0 proporciona la solución buscada. Ejemplo 2.9. Consideremos la ecuación de tipo Clairaut: 1 u = xux + yuy + (u2x + u2y ) 2 y la condición u(x, 0) = 12 (1 − x2 ). Una familia de superficies integrales es: z = λx + µy + 12 (λ2 + µ2 ). El sistema es: 1 1 λs + (λ2 + µ2 ) = (1 − s2 ) 2 2 λ = −s. Luego λ = −s, µ = ±1. Las subfamilias uniparámetricas son z = −sx ± y + 1 2 2 (s + 1). Para hallar las envolventes: 1 − sx ± y + (s2 + 1) = 0 2 s = x, siendo la ecuación de las envolventes (por tanto las soluciones): z = −x2 ± y + 1 2 2 (x + 1). Observación 2.10. La idea de integral completa se inspira en la de integral general en el caso de ordinarias. Allí, una familia uniparamétrica de curvas genera una ecuación. Análogamente, una familia biparamétrica de superficies H(x, y, z, λ, µ) = 0 define en general una ecuación de primer orden. En efecto, basta con despejar λ, µ en el sistema: Hx + Hz p = 0 Hy + Hz q = 0 en términos de x, y, z, p, q. La ecuación buscada es F (x, y, u, ux , uy ) = 0 con F = H(x, y, z, λ(x, y, z, p, q), µ(x, y, z, p, q)).

2.6.

Cálculo de integrales completas. Método de Lagrange–Charpit

El método de Lagrange–Charpit proporciona una técnica para hallar integrales completas de ecuaciones de primer orden del tipo (2.33). Consiste en lo siguiente. Se supone que H = H(x, y, z, p, q)

66

CAPÍTULO 2. PRIMER ORDEN

es una integral primera de la ecuación característica: x′ = Fp y ′ = Fq z ′ = pFp + qFq p′ = −Fx − pFz q ′ = −Fy − qFz de forma que se satisface:

∂(F, H) Fp = Hp ∂(p, q)

Fq ̸= 0. Hq

Se admite también que para cada λ el sistema: F (x, y, z, p, q) = 0 H(x, y, z, p, q) = λ

(2.35)

define p, q como funciones C 1 de (x, y, z, λ), es decir, (2.35) define: p = ϕ(x, y, z, λ) q = ψ(x, y, z, λ).

(2.36)

∂(F, H) junto con el teorema de la función implícita im∂(p, q) plican que ϕ y ψ son funciones C 1 . Genéricamente, una solución u(x, y) de (2.33) se describe por el método de las características, en el sentido de que localmente se tiene la existencia de una solución x(t), . . . , q(t) de la ecuación de las curvas características tal que z(t) = u(x(t), y(t)), p(t) = ux (x(t), y(t)), q(t) = uy (x(t), y(t)) (ver la sección de Ejercicios). Por eso, H(x(t), . . . , q(t)) = λ (constante). Se admite que todas las soluciones x(t), . . . , q(t) que generan u(x, y) hacen H(x(t), . . . , q(t)) = λ. Entonces u satisface el sistema: La hipótesis sobre

ux = ϕ(x, y, u, λ) uy = ψ(x, y, u, λ).

(2.37)

En conclusión, la existencia de H en las condiciones prescritas permite obtener algunas soluciones de (2.33) - ¡no todas satisfacerán que H = λ! - siempre que se sepa cómo trabajar con las ecuaciones (2.37), más sencillas que la (2.33). En el curso de ecuaciones diferenciales ordinarias se estudia un caso particular: el de las ecuaciones exactas. Para M (x, y) y N (x, y) funciones dato, se trata de hallar las soluciones de ux = M, uy = N . El siguiente resultado (véase el Ejercicio 23) establece las condiciones precisas de existencia y unicidad. Propiedad 2.12. Supongamos que ϕ, ψ son funciones C 1 en un dominio Ω ⊂ R4 . Entonces (2.37) admite soluciones locales en Ω sí y sólo sí se tiene que: ϕ + ϕz ψ = ψx + ψz ϕ,

(2.38)

en Ω. Además, para λ fijado, dado un punto (x0 , y0 , z0 ) existe una única solución local u(x, y) de (2.37) tal que u(x0 , y0 ) = z0 .

2.6. LAGRANGE-CHARPIT

67

Si H es una integral primera en las condiciones dadas se demuestra –ver Ejercicio 24– que las funciones ϕ y ψ definidas en (2.36) como soluciones de (2.35) satisfacen la condición de integrabilidad (2.38). Por tanto, la integración de (2.37) da lugar –con λ fijo– a una familia uniparamétrica –tómese µ = z0 como parámetro– de soluciones. Finalmente al hacer variar λ se obtiene una familia biparamétrica de soluciones z = u(x, y, λ, µ). Este es el método de LagrangeCharpit para el cálculo de una integral completa de la ecuación (2.33). Como se ha dicho, el primer paso consiste en hallar una integral primera H de la ecuación característica. Para ello conviene escribir la ecuación orbital asociada: dx dy dz dp dq = = =− =− , Fp Fq pFp + qFq Fx + pFz Fy + qFz y proceder como se ha indicado más arriba. Una vez halladas H, ϕ, ψ se debe integrar la ecuación: ϕdx + ψdy − dz = 0, (2.39) es decir, hallar una función V (x, y, z) de clase C 1 tal que Vx = ϕ, Vy = ψ, Vz = −1 8 . Las ecuaciones V (x, y, z) = µ proporcionarán las soluciones de (2.37). Por razones de cálculo algunas veces conviene multiplicar (2.39) por un factor integrante ζ(x, y, z). Si V es una solución de la nueva ecuación, es decir Vx = ζϕ, Vy = ζψ, Vz = −ζ, entonces las ecuaciones V = µ también dan las soluciones de (2.37). Ejemplo 2.11. Consideremos la ecuación: zpq = p + q. Tomando F = p + q − zpq, escribimos para el cálculo de una integral primera: dx dy dz dp dq = = =− 2 =− 2 . 1 − zq 1 − zp p + q − 2zpq p q q p 1 1 p De la última igualdad dp− dq = 0 y una integral primera es H = . Llegamos p q q así al sistema: zpq = p + q p = λq. Se tienen dos opciones: ϕ = ψ = 0, que pone de manifiesto que todas las 1+λ constantes son soluciones y ϕ = 1+λ z , ψ = λz . Finalmente, integramos: 1+λ 1+λ dx + dy − dz = 0, z λz la que, multiplicada por ζ = z –para separar las variables– da: (1 + λ)dx + 8 La

1+λ dy − zdz = 0. λ

condición (2.38) asegura la existencia de tales V (x, y, z).

68

CAPÍTULO 2. PRIMER ORDEN

La integral completa es: (1 + λ)x +

1+λ z2 y− = µ. λ 2

Observación 2.12 (Superficies Ortogonales). Se considera una familia uniparamétrica {Hλ } de superficies, H(x, y, z, λ) = 0, que podría obtenerse alternativamente en la forma Λ(x, y, z) = λ, λ ∈ R. Si se tiene una superficie fija z = u(x, y) (S) ésta corta genéricamente a cada una de las Hλ según una curva Γλ en R3 : { { H(x, y, z, λ) = 0 Λ(x, y, z) = λ (Γλ ) z = u(x, y) z = u(x, y), es decir, si γλ ⊂ R2 designa la curva plana γλ = {(x, y) : Λ(x, y, u(x, y)) = λ} entonces, Γλ = {(x, y, z) : (x, y) ∈ γλ z = u(x, y)}. Diremos que la superficie S es ortogonal a la familia {Hλ } (ver Ejercicio 15) si las normales a S y Hλ son ortogonales en Γλ para cada λ. En ese caso habrá de tenerse: Hx (x, y, z, λ)ux + Hy (x, y, z, λ)uy = Hz (x, y, z, λ)

(x, y, z) ∈ Γλ λ ∈ R.

De manera equivalente, Hx (x, y, u, Λ(x, y, u))ux + Hy (x, y, u, Λ(x, y, u))uy = Hz (x, y, u, Λ(x, y, u)), (2.40) donde (x, y) ∈ Ω ⊂ R2 (Ω es típicamente un cierto abierto de R2 ). La ecuación (2.40) es la de las superficies ortogonales a la familia {Hλ }.

2.7.

Ejercicios

1. Hállense las soluciones de los siguientes problemas de Cauchy: a) ux + uy = u2 ; u(x, 0) = h(x). b) uy = xuux ; u(x, 0) = x. c) xux + yuy + uz = u; u(x, y, 0) = h(x, y). d) xuy − yux = u; u(x, 0) = h(x), x ∈ R+ . 2. Considérese la ecuación aux + buy = 0 y la curva de datos S = {(x, 0)/x ≥ 0}. Para el dato ϕ = 0 hállense dos soluciones locales (u, U) y (u1 , U1 ) que no coincidan sobre U ∩ U1 .

2.7. EJERCICIOS

69

3. Ecuación de Burgers. Se considera la ecuación: uy + uux = 0,

(B)

en la que y representa el tiempo y u = u(x, y) representa el campo de velocidades de un gas en la dirección del eje x. a) Demostrar que si u es solución de (B), la velocidad de cada partícula es constante. b) Si h = h(x) es C 1 y no decreciente, entonces la ecuación (B) sometida a la condición: u(x, 0) = h(x), x ∈ R (C) admite una única solución definida en todo y ≥ 0. c) Si además h es Lipschitz en R pruébese que la solución de (B) - (C) existe para |y| ≤ ε para un cierto ε > 0. ¿Qué sucede si h no es Lipschitz? d) Hállese la solución correspondiente al dato h = s2 − 1. 4. Se considera el problema de Cauchy: ut = ux + u(1 − u);

u(x, 0) = ϕ(x).

(P )

a) Demostrar que la solución de (P) está definida en todo (x, t) ∈ R2 si ϕ ∈ C 1 , 0 ≤ ϕ(x) ≤ 1, para cada x ∈ R. b) ¿Qué sucede si ∃x0 ∈ R tal que ϕ(x0 ) ∈ / [0, 1]? 5. Una función u(x), x ∈ Rn se dice homogénea de grado α ̸= 0 si: u(tx) = tα u(x),

∀t > 0, x ∈ Rn .

(H)

El teorema de Euler establece que u ∈ C 1 (Rn \ {0}) cumple (H) si y sólo si u satisface la e.d.p.: n ∑ i=1

xi

∂u = αu, ∂xi

x ∈ Rn \ {0}.

(E)

Estúdiense las soluciones de (E) con las técnicas de las ecuación en derivadas parciales’s de primer orden. 6. Calcular la ecuación en derivadas parcialesde primer orden que satisfacen todas las funciones radiales u en R2 . Estudiar el problema de Cauchy para la ecuación resultante. 7. Calcular la ecuación en derivadas parcialesde primer orden que satisfacen todas las esferas de radio 1 en R3 con centro en el plano x–y. Descríbanse los conos de normales y de Monge para la ecuación resultante así como 1 la solución del problema de Cauchy con dato h(x, 0) = . 2

70

CAPÍTULO 2. PRIMER ORDEN 8. Hállese la edp de primer orden que satisfacen las funciones u = f (x2 − y 2 ), para f ∈ C 1 (R). Estúdiese el problema de Cauchy correspondiente. 9. Estúdiense desde el punto de vista geométrico las soluciones del problema de Cauchy para la ecuación: mux + nuy − p = 0

(x, y) ∈ R2 ,

siendo m, n, p constantes. Hállese la solución con dato u(x, 0) = f (x), f ∈ C 1. 10. Sobre una curva C 1 , Γ = {(g1 , g2 ))/a < s < b} estúdiese la solución del problema de Cauchy para la ecuación Eikonal: c2 (u2x + u2y ) = 1, con dato u(g1 (s), g2 (s)) = h(s). En el caso h constante se llama frente de ondas Γt en el instante t a la curva de nivel u = t. Determinar Γt en el caso en que Γ es la circunferencia unidad y en el de la elipse x2 /a2 + y 2 /b2 = 1. 11. Supongamos que u = u(x, y) es una solución de: a(x, y)ux + b(x, y)uy = −u

¯ (x, y) ∈ Ω,

donde u ∈ C 1 (Ω) y Ω es la bola unidad de R2 . Supongamos que ax+by > 0 para todo (x, y) ∈ ∂Ω. Demuéstrese que entonces u se anula idénticamente en todo Ω. 12. Se considera la ecuación en derivadas parciales: u2x + u2y = u2 . Estúdiense las soluciones de la ecuación característica. Hállense las soluciones de los problemas correspondientes a datos: u(cos s, sen s) = 1, u(s, 0) = 1. 13. Estúdiense los problemas de Cauchy:  1 {  3  u = xux + yuy + (u2x + u2y ) uy = ux 2 1 u(x, 0) = 2x3/2 ,  2  u(x, 0) = (1 − x ). 2 14. Para F de clase C 2 demuéstrese que toda solución u de: uy = F (ux ),

u(x, 0) = h(x),

se puede escribir como: u = (F (p) − pF ′ (p))y + h(x − yF (p)), donde p se expresa en términos de x e y mediante la relación: p = h′ (x + yF ′ (p)).

2.7. EJERCICIOS

71

15. Superficies ortogonales. Consideremos una familia uniparamétrica de superficies {Sλ }, λ ∈ R, definidas como H(x, y, z, λ) = 0, λ ∈ R. Pruébese que una cierta superficie definida en R3 por z = u(x, y), (H y u regulares) es ortogonal a la familia Sλ sí: Hx ux + Hy uy = Hz , siempre que z = u(x, y). Hállese una familia ortogonal a la familia: x2 + y 2 = 2λz. Hállese asimismo una superficie ortogonal a todas las de la familia: z(x + y) = λ(3z + 1), que pase además por el círculo x2 + y 2 = 1, z = 1. 16. Teorema de rectificación de campos. Sea G ⊂ Rn un abierto, f ∈ C 1 (G, Rn ) un campo C 1 , x0 ∈ G un punto no singular de f , es decir f (x0 ) ̸= 0. Demuéstrese que existe un entorno U de x0 y un difeomorfismo C 1 , T ∈ C 1 (U, Rn ), sobre T (U ) tal que T ′ (x)f (x) = en = (0, · · · , 1), x ∈ Rn . Si en U se efectúa el cambio de variable y = T (x) hállese la expresión para la ecuación transformada de x′ = f (x). Indicación. La idea es empezar desde la parte final: ¿cómo transformar las soluciones de x′ = f (x) mediante y = T (x) de forma que y ′ = en . 17. Estructura de las integrales primeras. Sean f y x0 como en el problema 16. Demuéstrese que existen n − 1 integrales primeras Hi = Hi (x1 , · · · , xn ) ∈ C 1 (U, R), 1 ≤ i ≤ n − 1 de forma que si H = H(x1 , · · · , xn ) es otra integral primera definida en U entonces H = F (H1 , · · · , Hn−1 ), para una cierta función F = F (y1 , · · · , yn−1 ) de clase C 1 . Además H1 , . . . , Hn−1 son funcionalmente independientes en el sentido de que rango (∇H1 (x), . . . , ∇Hn−1 (x)) = n − 1 x ∈ U. 18. Considérense un campo f y un punto no singular x0 de f . Sea V1 (x),. . . , Vn−1 (x), x ∈ U una familia de integrales primeras independientes de x′ = f (x) en un entorno U de x0 . Para los valores V1 (x0 ) = c1 , . . . , Vn−1 (x0 ) = cn−1 se considera el sistema:    V1 (x) = c1  .. (2.41) .    Vn−1 (x) = cn−1 . Pruébese que las únicas soluciones de (2.41) en un entorno U ′ ⊂ U de x0 forman una curva Γ = {ϕ(t)/|t| < ε} que es una órbita de x′ = f (x).

72

CAPÍTULO 2. PRIMER ORDEN

19. Calcúlense dos integrales primeras independientes para las ecuaciones: x′ = x(y − z) x′ = x2 (y 3 − z 3 )

y ′ = y(z − x) y ′ = y 2 (z 3 − x3 )

z ′ = z(x − y) z ′ = z 2 (x3 − y 3 ).

20. Para a1 (x, y, z), a2 (x, y, z), b(x, y, z) de clase C 1 en R3 se considera el problema de Cauchy con datos u(f (s), g(s)) = h(s), a < s < b, f, g, h de clase C 1 . Admitiendo que se satisface la condición de transversalidad y la existencia de dos integrales primeras independientes V1 (x, y, z), V2 (x, y, z) de la ecuación característica, utilícense éstas para hallar una solución local de dicho problema. 21. Estúdiese el problema de Cauchy para las siguientes ecuaciones: a) y + uuy = 0 (n = 2). √ b) uux = 1 − u2 , u(x, x) = h(x). c) yux − xuy = 0 con gráfica z = u(x, y) pasando por la curva z = my, x2 + (y − α)2 = R2 . d) x2 ux + y 2 uy = (x + y)u. e) (2xy − 1)ux + (u − 2x2 )uy = 2(x − yu), pasando por la curva y = 0, z = 1. f) (x−y)ux +(y −x−u)uy = u, pasando por la curva z = 0, x2 +y 2 = 1. Indicación Un par de integrales para (5) son por ejemplo: V1 = y + xz, V2 = x2 + y 2 + z. 22. Sea F = F (x, y, z, p, q) ∈ C 2 (R5 ), y u = u(x, y) una solución C 2 de la ecuación: F (x, y, u, ux , uy ) = 0. Estúdiese bajo qué condiciones es posible asegurar la existencia de una solución x(t), y(t), z(t), p(t), q(t) de la ecuación característica de forma que se tengan -localmente- las identidades: z(t) = u(x(t), y(t)),

p(t) = ux (x(t), y(t)),

q(t) = uy (x(t), y(t)).

Nota. El problema pregunta cuándo una solución dada de la ecuación se puede obtener por el método de las carcterísticas. 23. Sean ϕ(x, y, z), ψ(x, y, z) funciones C 1 en un abierto Ω de R3 . Pruébese que una condición necesaria y suficiente para la existencia de soluciones locales de la ecuación: ux = ϕ(x, y, u),

uy = ψ(x, y, u),

(E)

viene dada por la identidad: ϕy + ϕz ψ = ψx + ψz ϕ,

en Ω.

(2.42)

Demuéstrese que fijado un punto x0 ∈ Ω, en un cierto entorno U de x0 existe una familia uniparamétrica de soluciones de (E).

2.7. EJERCICIOS

73

24. (Método de Lagrange–Charpit). Sea F = F (x, y, z, p, q) ∈ C 2 (R5 ) y supongamos que H = H(x, y, z, p, q) ∈ C 1 (R5 ) es una integral primera de la ecuación característica asociada a la ecuación en derivadas parciales: F (x, y, u, ux , uy ) = 0. Admitamos que para cada λ ∈ R el sistema de ecuaciones: { F (x, y, z, p, q) = 0 H(x, y, z, p, q) = λ, ∂(F, H) ̸= 0 (de donde ∂(p, q) se deduce que ϕ, ψ son C 1 ). Demuéstrese entonces que ϕ y ψ satisfacen la condición de integrabilidad (2.42). define p = ϕ(x, y, z, λ), q = ψ(x, y, z, λ), con det

25. Se recuerda que una integral completa de la ecuación en derivadas parciales F (x, y, u, ux , uy ) = 0, es una familia biparamétrica de superficies integrales (soluciones) z = u(x, y, λ, µ). Pruébense los siguientes resultados. a) (Ecuación de Clairaut). Si la ecuación tiene la forma u = xux + yuy + f (ux , uy ) entonces u = αx + βy + f (α, β) es una integral completa. b) La ecuación de la forma uy = f (ux ) admite una integral completa de la forma u = λx + f (λ)y + µ. c) Si la ecuación es ∫de la forma ux = f (x, uy ) admite una integral completa x de la forma: u = a f (s, λ) ds + λy + µ. d) Considérese la ecuación ux = f (u, uy ) y supóngase que la identidad p = f (z, λp) define a p = P (λ, z). Pruébese que dicha ecuación admite una integral completa de la forma: ∫ u ds = x + λy + µ. a P (λ, s) e) Para f1 (x, ux ) = f2 (y, uy ): ∫ x ∫ u= ϕ1 (s, λ) ds + a

y

ϕ2 (s, λ) ds + µ,

b

es una integral completa. 26. Hállese una integral completa de las ecuaciones: p + q = pq zpq = p + q zpq = p2 (p2 + xq) + q 2 (q 2 + yp) px5 − 4q 3 x2 + 6x2 z = 2

p2 z 2 + q 2 = 1 qz = (p2 + q 2 )y c2 (p2 + q 2 ) = 1 2(z + xp + pq) = yp2 .

74

CAPÍTULO 2. PRIMER ORDEN

27. Hállese la (o las soluciones) de los problemas de Cauchy: a) ux uy = u, pasando por la curva Γ definida por x = 0, y 2 = z. b) xu2x + yuy = u, pasando por Γ dada por y = 1, x − z = 0. c) u2x − u2y = u, pasando por 4z + x2 = 0, y = 0. d) u2x + u2y = 1, pasando por la curva definida por y = 1, z 2 − x2 = 1. 28. Resuélvanse los problemas de Cauchy: a)

   pq + 1 − u = 0 u = 2x + 1   y = 2,

b)

   pq − 3xy − 2u = 0 u = 15y   x = 5,

c)

 2 2   p + q − 4u = 0 u = y2   x = 0.

Capítulo 3

Problema de Cauchy. Teorema de Cauchy–Kowlevski 3.1.

Funciones analíticas reales

Se revisan en el Anexo los conceptos básicos de diferenciabilidad en varias variables. Se presenta asimismo una introducción a las series múltiples. Se muestran allí ejemplos no triviales de la siguiente clase de funciones. Definición 3.1. Se dice que una función u : Ωabto. ⊂ Rn → R es analítica en x0 ∈ Ω si existe un entorno N (x0 ) ⊂ Ω de x0 y una familia de coeficientes {cα } tales que1 : ∑ u(x) = cα (x − x0 )α , ∀x ∈ N (x0 ). α

Se dice que u es analítica en Ω si lo es en cada uno de los puntos x ∈ Ω. Propiedad 3.2. Si u : Ω → R es analítica en Ω entonces u es de clase C ∞ en Ω y para cada x0 ∈ Ω se tiene que u(x) =

∑ 1 ∂ α u(x0 )(x − x0 )α α! α

x ∈ N (x0 ) ,

siendo N (x0 ) un entorno de x0 en Ω. Además, para cada x0 existen M, r > 0 tales que: |α|! (3.1) |∂ α u(x)| ≤ M |α| , ∀x ∈ N (x0 ), α ∈ Nn . r Observación 3.1. Las estimaciones locales (3.1) de las derivadas caracterizan la analiticidad de una función u, supuesta de clase C ∞ en Ω. 1 Obsérvese

que la convergencia ya conlleva convergencia absoluta (véase el Anexo).

75

76

CAPÍTULO 3. EL PROBLEMA DE CAUCHY

Propiedad 3.3. Sea u : Ωabto. ⊂ Rn → R de clase C ∞ . Entonces, u es analítica sí y sólo sí para cada K ⊂ Ω compacto existen constantes M, r > 0 que sólo dependen de K tales que: |∂ α u(x)| ≤ M

|α|! , r|α|

∀x ∈ K, α ∈ Nn .

∑ α Definición 3.4. Se dice que la serie de potencias es mayorada por α cα x ∑ ∑ ∑ a α α α aα x si |cα | ≤ aα para cada α. Se denotará: α cα x ≪ α aα x . Para r = (r1 , . . . , rn ) ∈ Rn+ , x0 = (x0i ) ∈ Rn , designaremos por D(x0 , r) = {x/|xi − x0i | < ri , 1 ≤ i ≤ n}. Se tienen las siguientes propiedades. ∑ α Propiedad 3.5. ∑ Si es analítica en un entorno α aα x ∑ ∑D(0, r¯) de x = 0, α r¯ = (r, . . . , r), y α cα x ≪ α aα xα entonces c(x) = α cα xα también es analítica en D(0, r¯). ∑ de x = 0. EnPropiedad 3.6. Sea c(x) = α cα xα analítica en un entorno ∑ tonces existen M, r > 0 tales que la serie ϕM,r (x) = M α r−|α| xα mayora a la serie c(x). Nótese que: ϕM,r (x) =

M rn , (r − x1 ) . . . (r − xn )

∑ |α|! −|α| α ∑ en ∥x∥∞ < r mientras que la serie α r−|α| xα es mayorada por α r x . α! Luego ésta última serie también puede utilizarse para mayorar a la serie de la ∑ |α|! −|α| α propiedad anterior. Obsérvese que α r x converge en ∥x∥1 < r a la α! función: Mr ψM,r (x) = . r − (x1 + · · · + xn ) Nótese asimismo que si cα = 0 para α = 0, es decir la serie no tiene término de orden cero, entonces se puede tomar como mayorante a: ψM,r (x) =

M (x1 + · · · + xn ) . r − (x1 + · · · + xn )

Teorema 3.7 (Regla de la Cadena). Sean f : Ωabto. ⊂ Rn → Rp , f = (f1 (x), . . . , fp (x)), g : Ωabto. ⊂ Rp → R, g = g(u) funciones analíticas. En1 tonces, para cada x ∈ Ω donde f (x) ∈ Ω1 se tiene que g ◦ f = g(f (x)) es analítica en x. Demostración. La función g ◦ f es C ∞ en Ω luego basta con demostrar que la serie de Taylor converge a la función en un entorno adecuado de cada punto x0 ∈ Ω. Sin pérdida de generalidad puede asumirse que x0 = 0 y que f (0) = 0.

3.1. FUNCIONES ANALÍTICAS

77

Se necesita información precisa sobre la relación entre los coeficientes de los desarrollos en serie de las funciones fi , g y g ◦ f . A tal fin ponemos: ∑ fi = aiα xα , 1 ≤ i ≤ p, α̸=0

y g=

∑

bβ uβ ,

u = (u1 , . . . , up ).

β

Representemos la serie formal de Taylor de g ◦ f como: ∑ g(f (x)) = cγ xγ . γ

Obsérvese que los coeficientes cγ son calculables y responden a una expresión de la forma: ( ) cγ = Pγ,|γ|+1 (a1α )|α|≤|γ| , . . . , (apα )|α|≤|γ| , (bβ )|β|≤|γ| ( ) donde Pγ,k (yα1 )|α|≤|γ| , . . . , (yαp )|α|≤|γ| (zβ )|β|≤|γ| es un polinomio con coeficientes positivos y grado k en las variables: ((yα1 )|α|≤|γ| , . . . , (yαp )|α|≤|γ| , (zβ )|β|≤|γ| ) ∈ RNn (|γ|) × . . . RNn (|γ|) × RNp (|γ|) , y donde Nn (k) = card {α ∈ Nn : |α| ≤ k}. Es importante subrayar que tales polinomios Pγ,k son universales en el sentido de que no dependen de las funciones f y g. De esta relación se sigue que si mayoramos las fi y g, la serie formal correspondiente a la composición de las mayorantes, mayora a la serie formal de g ◦ f. Nótese ahora que: fi ≪

M rs r−s

i = 1, . . . , p s =

∑

xi ,

pues f (0) = 0. Por otro lado, g≪

Mr r−σ

luego g◦f ≪

σ=

∑

uj ,

r−s M r 1 − pMr2+r s

siendo ésta última analítica en |s| < r2 /(pM + r) luego analítica en |x1 | + · · · + |xn | < r2 /(pM + r). Como corolario, g ◦ f es analítica. Observación 3.2. La función: )n ∞ ( ∞ ∑ ∑ r−s pM + r n = (r − s) s =r+ cn sn , r2 1 − pMr2+r s n=0 n=1

78

CAPÍTULO 3. EL PROBLEMA DE CAUCHY

donde cn = Luego:

pM r

(

r + Pm r2

)n−1 n ≥ 1.

∑ r−s |α|! α = c|α| x . pM +r α! 1 − r2 s α

Esto prueba la afirmación de analiticidad formulada más arriba La siguiente propiedad se conoce como el principio de prolongación analítica (compárese con el caso de una variable compleja). Propiedad 3.8. Supongamos que f, g : Ω → R son analíticas en un dominio Ω ⊂ Rn y que ∃x0 ∈ Ω tal que ∂ α f (x0 ) = ∂ α g(x0 ) para cada α ∈ Nn . Entonces f (x) = g(x) para todo x ∈ Ω. Demostración. El conjunto {x ∈ Ω : ∀α ∂ α f (x) = ∂ α g(x)} es no vacío, cerrado y abierto. Teorema 3.9 (Teorema de la Función Implícita [11]). Sean f:

U abierto ⊂ Rn × Rm (x, y)

−→ 7−→

Rm f (x, y),

una función real analítica, (x0 , y0 ) ∈ U tales que: i) f (x0 , y0 ) = 0, ∂f ii) (x0 , y0 ) ∈ Mm×m (R) es no singular. ∂y Entonces existe un entorno de (x0 , y0 ) en el que las soluciones de la ecuación f (x, y) = 0, son exactamente de la forma (x, y) = (x, h(x)) donde h : V ⊂ Rn → Rm es una función real analítica, x0 ∈ V y h(x0 ) = y0 . Demostración. La existencia y unicidad de h, con h de clase C ∞ en un cierto entorno de x0 es consecuencia de la versión estándar del teorema de la función implícita. Se trata de probar que la serie formal de Taylor de h ∑ h(x) = cα (x − x0 )α , α

converge en un entorno de x0 . Para probar este extremo suponemos sin pérdida de generalidad que x0 = 0 ∂f e y0 = 0. Llamando L0 = (x0 , y0 ) escribimos la ecuación en la forma: ∂y y = g(x, y),

3.2. EL PROBLEMA GENERAL DE CAUCHY donde

79

∂g (0, 0) = 0. ∂y

g(0, 0) = 0

Basta tomar g(x, y) = y − L−1 0 f (x, y). Se tiene ahora que: cα = Pα ((∂xβ ∂yγ g(0, 0))|α|+|β|≤|α| , (cθ )|θ| 0 sino también en −ε < t, con ε > 0.

92

CAPÍTULO 3. EL PROBLEMA DE CAUCHY

21. (*) Sea u(x, y) una solución de ∆u = 0 expresada en coordenadas polares x = r cos θ, y = r sen θ. En el círculo unidad r = 1 tómense los datos de Cauchy: u = f (θ), ur = g(θ), donde f y g son reales analíticas y periódicas de periodo 2π. Demuéstrese que existe una solución analítica definida para todo θ real y |r − 1| suficientemente pequeño. Prúbese que si f y g son polinomios trigonométricos (es decir, de la forma p(cos θ, sen θ) donde p es un polinomio) entonces las soluciones existen en todo R2 \{0}. Indicación. Utilícense soluciones especiales de la forma einθ r±n .

Capítulo 4

Clasificación de ecuaciones lineales. Ecuación de ondas 4.1.

Clasificación de ecuaciones lineales

Como se dijo en el Capítulo 1, un operador diferencial (lineal) de orden m y coeficientes en Ω es una aplicación: L:

−→ 7−→

C m (Ω) u

donde, Lu =

∑

C(Ω) Lu,

aα (x)∂ α u,

|α|≤m

con los coeficientes aα ∈ C(Ω). Se define la parte principal de L como el operador: ∑ aα (x)∂ α u. L0 u = |α|=m

La forma característica en el punto x del operador L se define como el polinomio homogéneo de grado m dado por: ∑ σx (L, ξ) = σx (ξ) = aα (x)ξ α . |α|=m

Un vector ξ ∈ Rn \ 0 se dice característico para L si se tiene que: σx (ξ) = 0.

(4.1)

La variedad característica carx (L) de L en x se define como el conjunto de los ξ ∈ Rn que cumplen (4.1). Finalmente, una noción que nos encontramos en el Capítulo 3 es la de superficie característica. Se dice que una superficie C 1 , S es “no característica” (r. 93

94

CAPÍTULO 4. ECUACIÓN DE ONDAS

“característica”) si para cada x ∈ S se tiene que σx (ν(x)) = 0 (r. σx (ν(x)) ̸= 0), con ν(x) un campo normal a S. Ejercicio 4.1. Demuéstrese que si ξ es no característico para L en x entonces L es de orden m en la dirección de ξ en el sentido de que una transformación, digamos lineal, x → x′ que lleve la dirección de ξ al eje x′1 transformará el operador en otro donde aparece la derivada pura de orden m en la variable x′1 , afectada de un coeficiente que no se anula en las proximidades del punto x′ = x′ (x). Ejercicio 4.2. Sea L0 la parte principal del operador L. Pruébese que: L0 (e⟨x,ξ⟩ ) = σ(ξ)e⟨x,ξ⟩ , donde hemos suprimido la referencia a x tanto en L0 como en σ y ⟨x, ξ⟩ =

n ∑

xi ξi .

i=1

Ejemplo 4.1. Los operadores que siguen tienen las variedades características señaladas: 1. Lu = ∂1 u, carx (L) = {ξ1 = 0} en Rn . 2. Lu = ∆u (operador Laplaciano), carx (L) = {0} en Rn . 3. Lu = ∂n+1 u − ∆u (operador del calor), carx (L) = {ξ1 = · · · = ξn = 0} en Rn+1 . 2 2 = u − ∆u (operador de ondas), carx (L) = {ξn+1 4. Lu = ∂n+1 n+1 R .

∑n

2 i=1 ξi }

en

5. Lu = ∂1 u + i∂2 u (operador de Cauchy-Riemann), carx (L) = {0} en R2 . 6. Lu = ∆2 u (operador biarmónico), carx (L) = {0}. La siguiente definición es crucial en la teoría de ecuaciones en derivadas parciales lineales. Definición 4.1. Se dice que un operador diferencial lineal L es elíptico en Ω si carece de vectores característicos en todo x ∈ Ω. En otros términos, si para todo x ∈ Ω ∑ aα (x)ξ α = 0 ⇒ ξ = 0. |α|=m

4.2. TRANSFORMACIÓN DE OPERADORES DE SEGUNDO ORDEN 95

4.2.

Transformación de operadores de segundo orden

Un operador general de segundo orden tiene la forma: ∑ ∑ Lu = aij ∂ij u + ai ∂i u + a0 u, i,j=1,...,n

i=1,...,n

donde podemos suponer, al ser u ∈ C 2 (Ω), que aij = aji pues el grupo: aij ∂ij + aji ∂ji u =

1 1 (aij + aji ) ∂ij u + (aij + aji ) ∂ji u = a′ij ∂ij + a′ji ∂ji u, 2 2

donde ahora a′ij = a′ji . Si para sendos dominios Ω, Q de Rn se tiene un difeomorfismo C 2 g:

Ω x

−→ 7−→

Q y = g(x),

es decir un cambio de las coordenadas x por las y entonces el operador sufre una transformación: ˜ y )˜ L(∂x )u = L(∂ u, donde u ˜(y) = u(g −1 (y)) y ˜ y )˜ L(∂ u=

∑

a ˜ij ∂ij u +

i,j=1,...,n

∑

a ˜ i ∂i u + a ˜0 u.

i=1,...,n

˜ y los Se trata de establecer la relación entre los nuevos coeficientes (los de L) antiguos (los de L). Ahora: ∂xi u =

∑ ∂u ∂yk ∑ ∂yk = ∂y u ∂yk ∂xi ∂xi k k

k

∑ ∂yk ∂yl ∑ ∂ 2 yk ∂x i x j u = ∂yk yl u + ∂y u ∂xi ∂xj ∂xi ∂xj k k,l k (( ) )α t ∑ ∂y α ∂x u = ∂y u + bβ ∂yβ u, ∂x |β| 0, 0 < θ < 2π, se tiene: ˜ r + e˜uθ , ∆u = a ˜urr + 2˜burθ + c˜uθθ + du

4.2. TRANSFORMACIÓN DE OPERADORES DE SEGUNDO ORDEN 97 donde:

a ˜ = ⟨∇r, ∇r⟩ = 1 ˜b = ⟨∇r, ∇θ⟩ = 0 c˜ = ⟨∇θ, ∇θ⟩ =

1 r2

1 d˜ = ∆r = r e˜ = ∆θ = 0.

Por tanto, ∆u = urr +

1 1 uθθ + ur . r2 r

2) Laplaciano en coordenadas cilíndricas. Cuando:   x = r cos θ y = r sen θ   z = z, r > 0, 0 < θ < 2π, z ∈ R, el Laplaciano toma la forma: ∆u = urr +

1 1 uθθ + uzz + ur . r2 r

3) Laplaciano en coordenadas esféricas. Ahora,   x = r sen ϕ cos θ y = r sen ϕ sen θ   z = r cos ϕ, r > 0, 0 < ϕ < π, 0 < θ < 2π. Un poco de geometría, por ejemplo, nos lleva a que: ⟨∇r, ∇θ⟩ = ⟨∇r, ∇ϕ⟩ = ⟨∇θ, ∇ϕ⟩ = 0. Como ϕ = arccos (z/r): 1 (x, y, z) r 1 ∇θ = (− sen θ, cos θ, 0) r sen ϕ 1 ∇ϕ = √ (zx, zy, −x2 − y 2 ) 2 r x2 + y 2 ∇r =

2 r ∆θ = 0 ∆r =

∆ϕ =

cos ϕ , (r2 sen ϕ)

con lo que |∇ϕ|2 = 1/r2 , con lo que: ∆u = urr +

1 1 2 cos ϕ uθθ + 2 uϕϕ + ur + 2 uϕ . r2 sen2 ϕ r r r sen ϕ

Equivalentemente, ∆u = urr +

1 1 2 uθθ + 2 (sen ϕ uϕ ) ϕ + ur . r2 sen2 ϕ r sen ϕ r

98

4.3. 4.3.1.

CAPÍTULO 4. ECUACIÓN DE ONDAS

Clasificación de ecuaciones lineales Operadores en el plano

En el caso del plano tenemos un operador de segundo orden L con coeficientes continuos y definidos en un dominio plano Ω ⊂ R2 , Lu = a(x, y)uxx + 2b(x, y)uxy + c(x, y)uyy + d(x, y)ux + e(x, y)uy + f (x, y)u = L0 u + d(x, y)ux + e(x, y)uy + f (x, y)u. Nos proponemos encontrar nuevas coordenadas (ξ, η) en las que la parte principal L0 de L adopte la forma más sencilla posible. En otras palabras, hallar funciones: { ξ = ξ(x, y) η = η(x, y), que simplifiquen la expresión de L˜0 . Los coeficientes de L˜0 son: a ˜ = σ(∇ξ, ∇ξ) = a(x, y)ξx2 + 2b(x, y)ξx ξy + c(x, y)ξy2 ˜b = σ(∇ξ, ∇η) = a(x, y)ξx ηx + b(x, y)(ξx ηy + ξy ηx ) + c(x, y)ξy ηy c˜ = σ(∇η, ∇η) = a(x, y)ηx2 + 2b(x, y)ηx ηy + c(x, y)ηy2 . Nada más natural que estudiar la edp de primer orden: a(x, y)ϕ2x + 2b(x, y)ϕx ϕy + c(x, y)ϕ2y = 0.

(4.2)

Como las construcciones que siguen son locales, trabajaremos en entornos adecuados de puntos P0 = (x0 , y0 ) ∈ Ω. Por otra parte supondremos que: a, b, c ∈ C 1 (Ω). Admitiremos que a(P0 ) ̸= 0. Caso contrario tendríamos b(P0 ) ̸= 0, salvo que a y b se anulen en un entorno U de P0 . En ese caso: L0 = 2b(x, y)ux,y

en U.

Entonces, como la forma característica es: σ(v, w) = b(v1 w2 + v2 w1 ), para el cambio:

{

x1 = x + y y1 = x − y

tendremos: a ˜ = 2b = −˜ c, ˜b = 0 y (3) toma la forma: L˜0 u = 2b{ux1 x1 − uy1 y1 }. Luego (3) no es otra cosa que el operador de ondas (módulo b).

(4.3)

4.3. CLASIFICACIÓN DE ECUACIONES LINEALES

99

Por tanto, supondremos que a ̸= 0 cerca de P0 ∈ Ω. La ecuación (2) se escribe entonces: ( )2 ϕx ϕx a + 2b + c = 0. (4.4) ϕy ϕy Cabe considerar tres opciones. Caso hiperbólico. El discriminante: d = b2 − ac > 0, en Ω. La ecuación (4) equivale al par de ecuaciones: √ −b ± d ϕx = (:= λ± ), ϕy a también: ϕx − λ± ϕy = 0.

(4.5)

Hallar soluciones de (5) es hallar integrales primeras de:  dx   =1  dt  dy   = −λ± . dt A tal fin, resolvemos:

   dy = −λ± dx  y(x ) = ξ, 0

y en la solución y = Y (x, ξ) despejamos –cerca de P0 – ξ = ξ(x, y) (habrá un par ξ, η correspondientes a los dos valores λ± de λ). En efecto, consideramos: H(x, y, ξ) = 0,

(4.6)

con H(x, y, ξ) = y − Y (x, ξ) y (6) se cumple en (x0 , y0 , y0 ) mientras Hξ (x0 , y0 , y0 ) = −1. Basta entonces aplicar el teorema de la función implícita. Es importante observar que: 1 − Yξ (x, ξ)ξy = 0, luego ξy (P0 ) = 1 (luego ξx = λ± ). Por otro lado, √ d ∂(ξ, η) ξx ξy = = ξ η (λ − λ ) = 2ξ η . y y + − y y ηx ηy ∂(x, y) a √ El valor del jacobiano es 2 d/a en P0 , luego cerca de tal punto (ξ, η) define un genuino cambio de variable. Las coordenadas ξ, η se llaman coordenadas

100

CAPÍTULO 4. ECUACIÓN DE ONDAS

características del operador L (terminología que es coherente con los Capítulos 2 y 3, en particular ξ(x, y) = c1 y η(x, y) = c2 serán curvas características). Bajo esta elección de coordenadas la parte principal del operador transformado es: L˜0 u = 2˜buξη , donde, ˜b = a(x, y)ξx ηx + b(x, y)(ξx ηy + ξy ηx ) + c(x, y)ξy ηy 2d = {aλ+ λ− + b(λ+ + λ− ) + c}ξy ηy = − ξy ηy . a Resumiendo, en el caso hiperbólico la nueva parte principal es, 4d L˜0 u = − ξy ηy uξη . a Como mayor conclusión todo L hiperbólico en Ω puede escribirse localmente como el operador de ondas. Ejemplos 4.3. 1) Para el operador de ondas: c u = utt − c2 uxx , la ecuación de las curvas características es: ϕ2t − c2 ϕ2x = 0, es decir ϕt ∓ cϕx = 0, luego una elección de las coordenadas características es: ξ = x + ct

η = x − ct.

Así(d = c2 ): c u = −4c2 uξη . 2) La ecuación: uxx − 2 sen xuxy − cos2 xuyy − cos xuy = 0, se escribe: −2uξη = 0 en las coordenadas: ξ = y − cos x + x, ξ = y − cos x − x. Nótese que d = 1, λ± = sen x ± 1, la ecuación que da las características es: dy/dx = − sen x ∓ 1, mientras L(ξ) = L(η) = 0.

4.3. CLASIFICACIÓN DE ECUACIONES LINEALES

101

Caso parabólico. Es el correspondiente a: d = b2 − ac = 0, en Ω. Tenemos una sola raíz:

b a de aλ2 + 2bλ + c = 0, y eligiendo una solución como en el caso anterior de: λ=−

ϕx − λϕy = 0, es decir, de: b ϕx + ϕy = 0, a (con ξy = ̸ 0 cerca de P0 ) y tomando por ejemplo: η = x, llegamos a que: a ˜=0 ˜b = aξx + bξy = 0 c˜ = a, con lo que la nueva forma principal es: L˜0 u = auηη . Finalmente,

∂(ξ, η) ξx = ηx ∂(x, y)

ξy = ξy ̸= 0, ηy

por lo que tenemos un verdadero cambio de variable local. Ejemplo 4.4. 1) La ecuación del calor L(u) = ut − uxx es el ejemplo por antonomasia de operador parabólico. 2) La ecuación: x2 uxx − 2xyuxy + y 2 uyy + xux + yuy = 0, es parabólica con: d = x2 y 2 − x2 y 2 = 0, con lo que una elección de ξ sale de la solución general de dy/dx = −y/x es decir ξ = yx. Con η = x la ecuación transformada es ηuηη + uη = 0, pues L(ξ) = 0, L(η) = η. Las soluciones son de la forma: u = F (ξ)+G(ξ) log η = F (xy) + G(xy) log x.

102

CAPÍTULO 4. ECUACIÓN DE ONDAS

Caso elíptico 1 . Cuando: d = b2 − ac < 0 en Ω –caso denominado elíptico 2 – la ecuación (2) carece de soluciones reales. La función: √ −b(x, y) + b2 (x, y) − a(x, y)c(x, y) λ= , a(x, y) toma valores complejos. Supondremos que λ = λ(x, y) puede extenderse a una función C 1 en C2 (una condición necesaria y suficiente es que a, b, c sean analíticas reales en (x, y)). El problema:   dy = −λ(x, y) dx y(x ) = ξ, 0

admite una solución compleja y = Y (x, ξ) que es C 1 en la variable (x, ξ) ∈ C2 de donde se puede despejar ξ = ϕ(x, y), ϕ una función compleja y C 1 que cumple: aϕ2x + 2bϕx ϕy + cϕ2y = 0. Poniendo ϕ = ξ + iη la ecuación lleva a las igualdades: a(ξx2 − ηx2 ) + 2b(ξx ξy − η − xηy ) + c(ξy2 − ηy2 ) = 0 aξx ηx + b(ξx ηy + ξy ηx ) + cξy ηy = 0. Por tanto ˜b = 0 mientras a ˜ = ˜b. La nueva expresión de la forma principal será: L˜0 = a ˜{uξξ + uηη }. Es decir, y módulo un factor multiplicativo, el caso elíptico es localmente el operador Laplaciano (en los términos de orden superior). Ejemplo 4.5. La ecuación de Tricomi: yuxx + uyy = 0, √ tiene d = −y. Es hiperbólica en y < 0. En este caso tenemos: λ± = ∓1/ −y que dan posibles ξ, η bajo la forma: 2 2 ξ = x + (−y)3/2 η = x − (−y)3/2 , 3 3 √ mientras L(ξ) = −L(η) = 1/(2 −y), ˜b = 2y. En la región y < 0 la ecuación de Tricomi adopta la forma: uξη − 1 Ver

1 (uξ − uη ) = 0. 8(−y)3/2

[25]

2 Terminología

coherente con la de la Sección 4.1.

4.3. CLASIFICACIÓN DE ECUACIONES LINEALES La ecuación es elíptica en y > 0 con λ =

√i . y

103

√ Integrando dy/dx = −i/ y

obtenemos como candidatas a ξ, η las funciones: ξ = 2/3y 3/2 , η = x con lo √ que a ˜ = y. Asímismo L(ξ) = 1/(2 y), L(η) = 0. La ecuación en coordenadas características adopta la forma: 3 uξξ + uηη + uξ = 0. ξ

4.3.2.

Operadores con coeficientes constantes

Cuando los coeficientes de la parte principal L son constantes, aún en el caso n-dimensional L0 puede simplificarse considerablemente usado álgebra lineal. Se recuerda el siguiente resultado. Teorema 4.2 (Teorema Espectral). Sea A una matriz real simétrica n × n. Existe entonces una matriz ortogonal P (P −1 = P t ) tal que:  λ1 0 . . .  n+ ) n− )  0 λ2 . . . P t AP = P −1 AP = diag (λ1 → . . . λn+ → . . . λn+ +n− 0 . . . 0) =  . .. . .  .. . . 0

0

...

donde λ1 , . . . , λn+ son los autovalores positivos de A, λn+ +1 , . . . , λn+ +n− son los correspondientes autovalores negativos mientras r = n+ + n− es exactamente el rango de A. Si representamos: P = col (P1 . . . Pn ) e introducimos el cambio de variable: yi = gi (x) = Pit X =

∑

pli xl ,

l=1,...,n

es decir Y = P t X tenemos: σ(∇gi , ∇gj ) = Pit APj = λi δij , por lo que: ∑

˜ = Lu

λi

i=1,...,n

∑ ∂2u ∂u +a ˜0 (y)u, + a ˜i (x) 2 ∂yi ∂yi i=1,...,n

en donde a ˜i = ⟨(ai (x)), Pi ⟩, 1 ≤ i ≤ n. Concluimos asíque: L˜0 u =

∑ i=1,...,n+

λi

∂2u + ∂yi2 i=n

∑ + +1,...,n+ +n−

λi

∂2u . ∂yi2

0 0 .. . λn

    

104

CAPÍTULO 4. ECUACIÓN DE ONDAS

√ √ haciendo el cambio ηi = yi / λi si 1 ≤ i ≤ n+ , ηi = yi / −λi si n+ + 1 ≤ i ≤ n+ + n− , yi = ηi si se da el caso en que el rango r = n+ + n− < n, L˜0 toma finalmente la forma: L˜0 u =

∑ i=1,...,n+

∂2u − ∂yi2 i=n

∑

+ +1,...,n+ +n−

∂2u . ∂yi2

(4.7)

De acuerdo con las cuentas efectuadas tenemos la siguiente clasificación de operadores con coeficientes constantes. El operador L se dice • elíptico si r = n+ + n− = n mientras n+ = n o n− = n. Es este caso L˜0 = ±∆n , • estrictamente hiperbólico si r = n+ + n− = n mientras n+ = n − 1 o n− = n − 1. En este caso L˜0 = ∆n−1 − ∂ 2 /∂x2n o L˜0 = ∂ 2 /∂x21 − ∆n−1 , • ultrahiperbólico si r = n+ + n− = n pero 2 ≤ n+ , n− (n ≥ 4), • parabólico si r = n+ + n− = n − 1 mientras n+ = n − 1 o n− = n − 1. En este caso L˜0 = ±∆n−1 . Observación 4.6. Cuando r = n se dice que L es no degenerado (degenerado en caso contrario). Los números n+ , n− y r sólo dependen de la matriz A. En caso de coeficientes variables A = A(x) = (aij (x)) se dice que el operador L es elíptico, parabólico o hiperbólico en x ∈ Ω si A(x) lo es. Por la continuidad del espectro con respecto a los coeficientes, si éstos son continuos y A es no degenerada, las propiedades de elipticidad e hiperbolicidad se mantendrán en las proximidades de un punto de referencia. Ejercicio 4.3. Comprobar que para n = 2 y coeficientes constantes las definiciones de elíptico, parabólico e hiperbólico coinciden con las ya dadas. Ejercicio 4.4. Pruébese que L es elíptico en x ∈ Ω (se suponen coeficientes variables) si y sólo si: ∑ 2 a (x)ξ ξ ij i j ≥ λ(x)|ξ| , i,j=1,...,n para alguna constante positiva λ(x) > 0 y todo ξ ∈ Rn . Observación 4.7. Se probó en el plano la reducción de la parte principal L˜0 a los tres tipos:   {uξξ + uηη } ˜ L0 = µ(x, y) {uξξ }   {uξξ − uηη },

4.4. ECUACIÓN DE ONDAS UNIDIMENSIONAL

105

en los casos elíptico, parabólico e hiperbólico. En coeficientes variables no es posible en general reducir L para llegar a una parte principal:    ∑ 2 ∂ u  L˜0 u = µ(x) εi 2 ,  ∂yi  i=1,...,n

donde los εi ’s toman valores ±1 y 0. Ello nos llevaría a buscar n funciones g = gi (x) satisfaciendo por un lado: ⟨∇gi , ∇gj ⟩ = 0

1 ≤ i < j ≤ n,

(4.8)

((n − 1)n/2 ecuaciones) junto con, ⟨∇gi , ∇gi ⟩ = ⟨∇gi0 , ∇gi0 ⟩

i ̸= i0 ,

(n − 1 ecuaciones adicionales). Como: (n − 1)(n + 2) ≤ n, 2 sólo si n ≤ 2 tendremos para n ≥ 3 más ecuaciones que incógnitas lo que no hará factible en general la resolubilidad del correspondiente sistema.

4.4. 4.4.1.

Ecuación de ondas unidimensional El problema de valor inicial

Basados por ejemplo en el modelo de la cuerda vibrante, nos planteamos en primer lugar el estudio del problema de valor inicial:  2  x ∈ R, t > 0 utt = c uxx (4.9) u(x, 0) = f (x) x ∈ R   ut (x, 0) = g(x) x ∈ R . Usaremos la notación del operador D’Alambertiano: c u = utt − c2 uxx para representar en algunos casos el operador de ondas. Teorema 4.3 (Fórmula de D’Alambert). problema de valor inicial (4.9):  2  utt = c uxx u(x, 0) = f (x)   ut (x, 0) = g(x)

Para cada f ∈ C 2 (R), g ∈ C 1 (R) el x ∈ R, t > 0 x∈R x ∈ R.

admite como única solución clásica a: u(x, t) =

1 1 {f (x + ct) + f (x − ct)} + 2 2c

∫

x+ct

g(s) ds. x−ct

(4.10)

106

CAPÍTULO 4. ECUACIÓN DE ONDAS

Observaciones 4.8. a) Las posibles soluciones de (P) pueden extenderse a t ∈ R. De hecho la ecuación es reversible en t en el sentido de que es invariante frente al cambio t → −t. b) Es conveniente representar por u = u(x, t, t0 , f, g) a la solución del problema:  2  x ∈ R, t > t0 utt = c uxx u(x, t0 ) = f (x) x ∈ R   ut (x, t0 ) = g(x) x ∈ R . Tal solución viene dada en términos de la del problema en t = 0 como sigue: u(x, t, t0 , f, g) = u(x, t − t0 , 0, f, g) . Demostración del Teorema 4.3. La introducción de las coordenadas características: ξ = x + ct η = x − ct, permite escribir: c u = −4c2 uξη . Toda solución de c u = 0 en t ≥ 0 adopta entonces la forma: u = F (ξ) + G(η).

(4.11)

Cálculos elementales llevan a que: ∫ 1 1 ξ {f (ξ) + g(s) ds} + C 2 c 0 ∫ 1 η 1 g(s) ds} − C , G(η) = {f (η) − 2 c 0 F (ξ) =

(4.12)

con C una constante arbitraria. Esta construcción lleva implícita tanto la existencia como unicidad de soluciones clásicas. Observación 4.9. La expresión (4.11), (4.12) asegura que la solución de (4.9) es la superposición de dos ondas viajeras con velocidades de propagación respectivas dadas por ±c.

4.4.2.

Velocidad de propagación finita de las perturbaciones

Dado el punto (¯ x, t¯) con t¯ > 0 las rectas características: ξ = ξ¯

η = η¯,

con ξ¯ = x ¯ + ct¯, η¯ = x ¯ − ct¯ delimitan las regiones donde “el pasado"de la solución, t ≤ t¯, influye sobre el valor de u en (¯ x, t¯) y donde el valor u(¯ x, t¯) influirá sobre

4.4. ECUACIÓN DE ONDAS UNIDIMENSIONAL

107

los valores futuros de la solución. Tales son respectivamente el cono pasado de luz: ¯ η ≥ η¯}, Γ− (¯ x, t¯) = {(x, t) : ξ ≤ ξ, y el cono futuro de luz: ¯ η ≤ η¯}, Γ+ (¯ x, t¯) = {(x, t) : ξ ≥ ξ, por el punto (¯ x, t¯). En efecto para t¯ > 0 y según (1): u(¯ x, t¯) =

1 1 ¯ + f (¯ {f (ξ) η )} + 2 2c

∫

ξ¯

g(s) ds η¯

Luego la solución usa la información en Γ− (¯ x, t¯) ∩ {t = 0}. Alternativamente, ¯ para cualquier t0 < t la solución puede observarse como la que tomó datos iniciales u y ut en t = t0 . Usando la notación precedente: u(x, t) = u(x, t, t0 , u(·, t0 , 0, f, g), ut (·, t0 , 0, f, g)), que dice que u(¯ x, t¯) también se construye usando la información de la propia u confinada en Γ− (¯ x, t¯) ∩ {t = t0 }. Un argumento simétrico muestra que Γ+ (¯ x, t¯) es la región donde la información en el punto (¯ x, t¯) afectará a la solución u. Por eso a Γ+ (¯ x, t¯) también se le llama la “región de influencia"del punto (¯ x, t¯). El mismo género de argumentos geométricos llevan al siguiente resultado. Teorema 4.4. Sean f ∈ C 2 (R), g ∈ C 1 (R) funciones con somporte compacto. Entonces la solución de (P) es tal que u(·, t) tiene soporte compacto para cada t. Además, cualquiera que sea el intervalo [a, b] cumpliendo: sop f ∪ sop g ⊂ [a, b], se tendrá que sop u(·, t) ⊂ [a(t), b(t)] con a(t) = a − ct, b(t) = b + ct. Observaciones 4.10. a) Nótese que el soporte se expande con velocidad c, eso justifica la terminología de velocidad de propagación finita de las perturbaciones. b) Es muy formativo el estudio de los casos particulares: f con soporte compacto, g = 0, f = 0, g con soporte compacto, respectivamente.

4.4.3.

Soluciones generalizadas. Propagación de discontinuidades

La fórmula de D’Alambert requiere muy poca regularidad en los datos f y g para dar sentido al segundo miembro de (4.10). Si f y g no son tan regulares como en el Teorema 4.3 podemos decir que la fórmula de D’Alambert define una solución generalizada de (??). Puede justificarse la definición por el artificio de aproximar f y g por fn y gn regulares. Bajo condiciones muy generales en

108

CAPÍTULO 4. ECUACIÓN DE ONDAS

los límites fn → f , gn → g se tiene un → u y se concluye que la solución generalizada u es límite de soluciones clásicas. Por ejemplo si los límites de fn , gn son uniformes o uniformes sobre compactos, un → u uniformemente sobre compactos de R2 . Una segunda intuición que se hace evidente es que la ecuación de ondas preserva las discontinuidades, que se propagan con velocidad constante c a través de las características ξ = ξ0 , η = η0 . Para uso posterior es conveniente fijar la siguiente definición. Definición 4.5. Diremos que f es de clase C k a trozos si existen a1 < . . . < aN y existen N +1 funciones fi ∈ C k (R) tales que f (x) = f1 (x) para x < a1 , f (x) = fN +1 (x) en x > aN , f (x) = fi (x) en ai < x < ai+1 para cada i ∈ {1, . . . , N −1}. Resumiendo, tales funciones f junto con sus derivadas hasta el orden k admiten a lo más discontinuidades de salto en los puntos x = ai . Representaremos por, σf (l) (ai ) = f (l) (ai +) − f (l) (ai −), el salto de la derivada l-ésima de f en x = ai . Admitamos ahora que f y g son respectivamente C 2 y C 1 a trozos e investiguemos dónde dejan de ser regulares la solución generalizada u de (P) y sus derivadas hasta el orden dos. No se pierde generalidad si se supone que los ai ’s son los mismos para f y g. Recordando que:

u=

1 1 {f (ξ) + f (η)} + 2 2c

∫

ξ

g(s) ds, η

tenemos, ux = uxx = ut = utt = uxt =

1 1 ′ {f (ξ) + f ′ (η)} + {g(ξ) − g(η)} 2 2c 1 ′′ 1 {f (ξ) + f ′′ (η)} + {g ′ (ξ) − g ′ (η)} 2 2c c ′ 1 {f (ξ) − f ′ (η)} + {g(ξ) + g(η)} 2 2 c2 ′′ c {f (ξ) + f ′′ (η)} + {g ′ (ξ) + g ′ (η)} 2 2 c ′ 1 ′ ′ {f (ξ) − f (η)} + {g (ξ) + g ′ (η)} . 2 2

Considerando cada una de las derivadas como una función de x para cada t fijo

4.4. ECUACIÓN DE ONDAS UNIDIMENSIONAL

109

tenemos para x∓ i (t) = ai ∓ ct, 1 σf (ai ) 2 1 1 σux (x∓ σg (ai ) i (t)) = σf ′ (ai ) ± 2 2c 1 1 σuxx (x∓ σg′ (ai ) i (t)) = σf ′′ (ai ) ± 2 2c c 1 σut (x∓ i (t)) = ± σf ′ (ai ) + σg (ai ) 2 2 c c ∓ σutt (xi (t)) = σf ′′ (ai ) ± σg′ (ai ) 2 2 c 1 ∓ σuxt (xi (t)) = ± σf ′′ (ai ) + σg (ai ) . 2 2 σu (x∓ i (t)) =

∓ + − siempre que x∓ i (t) ̸= xj (t) cuando i ̸= j. Si para ai < aj tenemos xi = xj (en ese caso t = (aj − ai )/2c) entonces:

σu (x+ i (t)) = σux (x+ i (t)) = σuxx (x+ i (t)) = σut (x+ i (t)) = σutt (x+ i (t)) = σuxt (x+ i (t)) =

1 (σf (ai ) + σf (aj )) 2 1 1 (σf ′ (ai ) + σf ′ (aj )) + (σg (aj ) − σg (ai )) 2 2c 1 1 (σf ′′ (ai ) + σf ′′ (ai )) + (σg′ (aj ) − σg′ (ai )) 2 2c 1 c (σf ′ (aj ) − σf ′ (ai )) + (σg (aj ) + σg (ai )) 2 2 c c (σf ′′ (aj ) + σf ′′ (ai )) + (σg′ (aj ) − σg′ (ai )) 2 2 1 c (σf ′′ (aj ) − σf ′′ (ai )) + (σg (aj ) + σg (ai )) . 2 2

Resumiendo, las discontinuidades “circulan” a través de las características, con velocidad constante y manteniendo la magnitud del salto. Este hecho es típico de las ecuaciones hiperbólicas (ver [11] para más información).

4.4.4.

Soluciones simétricas

La propiedad de unicidad de soluciones permite transvasar las simetrías de los datos a la solución. Diremos que f = f (x) es • periódica de período T si f (x + T ) = f (x) para todo x ∈ R, • par (impar) con respecto a x0 si f (x′ ) = f (x) (f (x′ ) = −f (x)) para todo x ∈ R, donde x′ = 2x0 − x. Teorema 4.6. Supongamos que f ∈ C 2 (R), g ∈ C 1 (R). 1. Si f , g son impares con respecto a x0 , u(·, t) es impar con respecto a x0 para todo t ∈ R.

110

CAPÍTULO 4. ECUACIÓN DE ONDAS

2. Si f , g son pares con respecto a x0 , u(·, t) es par con respecto a x0 para todo t ∈ R. 3. Si f , g son T-periódicas, u(·, t) es T-periódica para todo t ∈ R.

4.4.5.

El problema no homogéneo

Suponemos ahora que F (x, t) y Fx (x, t) son continuas en R × [0, +∞). Nos proponemos resolver el problema perturbado:  2  utt = c uxx + F (x, t) x ∈ R, t > 0 (4.13) u(x, 0) = f (x) x∈R   ut (x, 0) = g(x) x ∈ R. Como se sabe basta con hallar la solución u0 (x, t) de:  2  utt = c uxx + F (x, t) x ∈ R, t > 0 u(x, 0) = 0 x∈R   ut (x, 0) = 0 x ∈ R.

(4.14)

Lo más difícil es dar con el candidato a u0 . En la ecuación de ondas se dispone de diversas opciones para determinar u0 . A) Fórmula de variación de las constantes de Lagrange. Es común a todos los problemas lineales. Si A es un operador lineal en RN la solución de du = Au dt

u(0) = ξ0 ,

es u = eAt ξ0 que puede visualizarse como una acción lineal sobre ξ0 que depende del tiempo t. La fórmula de variación de las constantes de Lagrange proporciona la solución u0 de: du = Au + F (t) u(0) = 0, dt en la forma: ∫ t

eA(t−τ ) F (τ ) dτ.

u0 = 0

Estas ideas se aplican inmediatamente a nuestro caso y al de todos los problemas lineales concebibles. En efecto, (P) se puede interpretar como: dw = Aw dt

w(0) = w0 ,

donde w = (w1 , w2 ) = (u, ut ), w0 = (f, g), el operador A: A:

C 2 (R) × C 1 (R) w

−→ 7−→

C 1 (R) × C(R) . Aw = (w2 , c2 w1xx )

(4.15)

4.4. ECUACIÓN DE ONDAS UNIDIMENSIONAL

111

La solución de (P) se puede escribir como: w = Φ(t)w0 = (Φ1 (t)w0 , Φ2 (t)w0 ), con: Φ1 (t)w0 = Φ1 (t)(f, g) =

1 1 {f (ξ) + f (η)} + 2 2c

∫

ξ

g(s) ds. η

Una manera abstracta de interpretar (5) es considerar: dw = Aw + (0, F(t)) dt donde:

F:

R t

−→ 7−→

w(0) = 0,

(4.16)

C 1 (R) F(t) = F (·, t).

Una solución formal de (6) es, según la fórmula de variación de las constantes de Lagrange, ∫ t wp (t) = Φ(t − τ )(0, F(τ )) dτ. 0

Si seleccionamos la primera componente wp1 de wp tenemos que: wp1 (t)

1 = 2c

∫ t∫

·−c(t−τ )

F (s, τ ) dsdτ. 0

·+c(t−τ )

Precisamente wp1 es la candidata a solución u0 de (5). Una espresión más razonable es: ∫∫ 1 u0 (x, t) = F (s, τ ) dsdτ. 2c Γ− (x,t)∩{t≥0} La región Γ− (x, t) ∩ {t ≥ 0} se llama triángulo característico con vértice en (x, t). B) Coordenadas características. El problema (4.14) en coordenadas características adopta la forma:  1 ¯  uξη = − 4c2 F (ξ, η) (4.17) u(ξ, ξ) = 0   uξ (ξ, ξ) = uη (ξ, ξ), con F¯ (ξ, η) = F ((ξ + η)/2, (ξ − η)/2c). La solución de (4.17) resulta ser, ) ∫ ξ (∫ η 1 F¯ (s1 , s2 ) ds2 ds1 . (4.18) u = φ(ξ) + ψ(η) − 2 4c 0 0 Un cálculo elemental revela que: ) ∫ ξ (∫ s1 1 φ(ξ) = 2 F¯ (s1 , s2 ) ds2 ds1 + α 4c 0 0 ) ∫ η (∫ s2 1 ψ(η) = 2 F¯ (s1 , s2 ) ds1 ds2 − α. 4c 0 0

112

CAPÍTULO 4. ECUACIÓN DE ONDAS

Al substituir en (4.18) tenemos (obsérvense con cuidado los distintos recintos de integración implicados): ∫∫ 1 u(ξ, η) = 2 F¯ (s1 , s2 )ds1 ds2 , 4c T¯ donde T¯ es el triángulo característico: T¯ = {(s1 , s2 ) : s1 > s2 , s1 < ξ, s2 > η}, con ξ = x + ct, η = x − ct. Si efectuamos el cambio de variable: s1 − s2 s1 + s2 τ= , 2 2c en la integral doble obtenemos de nuevo la expresión para u0 , ∫∫ 1 F (s, τ ) dsdτ. u0 (x, t) = 2c Γ− (x,t)∩{t≥0} s=

C) Método de Duhamel. Una tercera técnica para construir la solución de (4.14) es el llamado método de Duhamel que se desarrolla en los Ejercicios 24 y 25 de este capítulo. Resumiendo, hemos probado el siguiente resultado. Teorema 4.7. Sean f ∈ C 2 (R), g ∈ C 1 (R), la solución del problema perturbado:  2  utt = c uxx + F (x, t) u(x, 0) = f (x)   ut (x, 0) = g(x) tiene como única solución a: 1 1 u = {f (x + ct) + f (x − ct)} + 2 2c

4.5.

∫

x+ct

x−ct

F, Fx ∈ C(R × [0, +∞)). Entonces, x ∈ R, t > 0 x∈R x ∈ R,

1 g(s) ds + 2c

∫ t∫

x−c(t−τ )

F (s, τ ) dsdτ. 0

x+c(t−τ )

Problemas de contorno

El problema físico que genera el modelo de la ecuación de ondas sugiere que la unicidad de soluciones sólo se podrá conseguir cuando además de condiciones iniciales se impongan condiciones de contorno si se trabaja en un dominio con frontera no vacía (un intervalo con alguno de sus extremos finito). En esta sección trataremos con intervalos finitos Ω = (0, l) (relegamos Ω = (a, +∞) a la sección de ejercicios). Nos ocuparemos de estudiar los problemas:  utt = c2 uxx + F (x, t) 0 < x < l, t > 0     u(x, 0) = f (x) 0≤x≤l (4.19)  ut (x, 0) = g(x) 0≤x≤l    B0 u = α(t) Bl u = β(t) t > 0 ,

4.5. PROBLEMAS DE CONTORNO

113

donde Bx0 representa el operador de contorno en la frontera {a, b} de un intervalo Ω = (a, b), es decir x0 = a o x0 = b. La condición de contorno se dirá de tipo: • Dirichlet si Bx0 u = u(x0 , t), • Neumann si Bx0 u = ν ∂u ∂x (x0 , t) donde ν = −1 si x0 = a, ν = 1 si x0 = b ∂ (el operador ν ∂x se llama derivada normal exterior). • Robin si Bx0 u = ν ∂u ∂x (x0 , t) + bu(x0 , t) con b ≥ 0. El problema (4.19) se dirá de tipo Dirichlet, Neumann o Robin si, respectivamente, ambas condiciones en (4.19) son Dirichlet, Neumann o Robin. Si en cada extremo hay condiciones distintas hablaremos de problema mixto. Diremos que u = u(x, t) es una solución clásica de (4.19) si u ∈ C 2 ([0, l] × [0, +∞)). Nuestro primer resultado es de unicidad. La elección del coeficiente procede de la deducción física (Capítulo 1). Teorema 4.8. El problema de contorno y valor inicial:  utt = c2 (x)uxx + F (x, t)    u(x, 0) = f (x)  ut (x, 0) = g(x)    B0 u = α(t) Bl u = β(t)

0 < x < l, t > 0 0≤x≤l 0≤x≤l t > 0,

con c2 (x) = T0 /ρ(x), ρ ∈ C[0, l], ρ(x) > 0 para x ∈ [0, l], admite a lo más una solución clásica. Demostración. Si u es solución de: utt = c2 (x)uxx + F (x, t), entonces:

ρutt − T0 uxx = ρF ρutt ut − T0 uxx ut = ρF ut ρutt ut + T0 ux uxt − (T0 uxx ut + T0 ux uxt ) = ρF ut 1 (ρu2t + T0 u2x )t − T0 (ux ut )x = ρF ut . 2

Integrando de 0 a l con respecto a x: 1 2

∫

∫

l

(ρu2t + T0 u2x )t dx − T0 ux ut |l0 = 0

l

ρ(s)F (s, t)ut (s, t) ds. 0

Escribamos, E(t) =

1 2

∫

l

(ρu2t + T0 u2x ) dx. 0

(4.20)

114

CAPÍTULO 4. ECUACIÓN DE ONDAS

Integrando (4.20) con respecto a t entre t = 0 a t = t¯ llegamos a: (∫ ¯ ) t T 0 E(t¯) − E(0)− (ux (l, τ )ut (l, τ ) − ux (0, τ )ut (0, τ )) dτ 2 0 ∫ t¯ ∫ l = ρ(s)F (s, τ )ut (s, τ ) dsdτ. 0

0

Si u1 , u2 son dos soluciones clásicas del problema, la diferencia v = u1 − u2 satisface un problema donde F , f , g, α y β son nulos, con lo que se llega a que: 1 2

∫

l

(ρu2t + T0 u2x ) dx = 0, 0

para cada t, de donde se deduce fácilmente que v(x, t) = 0 en (x, t) ∈ [0, l] × [0, +∞). Observación 4.11. Si en el problema de contorno las fuerzas exteriores son cero (F = 0) junto con las condiciones de contorno (α = β = 0), de los cálculos anteriores se deduce: ∫ ∫ 1 l 1 l (ρu2t (s, t) + T0 u2x (s, t)) dx = (ρg(s)2 + T0 (f ′ (s))2 ) dx. 2 0 2 0 En otras palabras, se conserva la energía total del proceso. Región de influencia 3 sobre un punto (¯ x, t¯). En la demostración del teorema precedente hemos probado que cuando f = g = 0, si además F , α, β son nulas en t < t¯ entonces u = 0 en R = [0, l] × [0, t¯]. Comprobaremos cómo hay una región más pequeña que R y con vértice en cada (¯ x, t¯), 0 ≤ x ¯ ≤ l, donde se observa el mismo fenómeno. Supondremos que la tal región de influencia P está limitada por dos curvas t = Q1 (x), t = Q2 (x) incidentes en (¯ x, t¯) con Qi (x) ≤ t¯, Q1 definida en [0, x ¯], Q2 en [¯ x, l] (ver Figura 9). En P se tiene, según hemos visto, 1 (ρu2t + T0 u2x )t − T0 (ux ut )x = 0. 2

(4.21)

Si definimos por t = Q(x) la unión de las dos curvas e integramos (4.21) sobre P tenemos: ∫∫ ∫ ∫ 1 1 l Q(s) (ρu2t + T0 u2x )t dsdτ = (ρu2t + T0 u2x )t dsdτ 2 2 P 0 0 ∫ 1 l = (ρu2t (s, Q(s)) + T0 u2x (s, Q(s))) ds. 2 0 3 Ver

[26]

4.5. PROBLEMAS DE CONTORNO

115

Figura 4.1: Dominio de influencia sobre el punto (¯ x, t¯) Por otro lado: ∫∫

∫ t¯ ∫

l2 (τ )

(ux ut )x dsdτ = P

(ux ut )x dsdτ 0

∫

l1 (τ )

t¯

(ux (l2 (τ ), τ )ut (l2 (τ ), τ ) − ux (l1 (τ ), τ )ut (l1 (τ ), τ )) dτ,

= 0

donde si t1 = Q1 (0), t2 = Q2 (l) se tiene l1 = 0 en τ ≤ t1 , l2 = l para t ≤ t2 . Si por simplicidad suponemos condiciones Dirichlet o Neumann resulta que: ∫∫ (ux ut )x dsdτ = ∫

P t¯

∫

−1 ux (Q−1 2 (τ ), τ )ut (Q2 (τ ), τ )

t¯

dτ −

t2

−1 ux (Q−1 1 (τ ), τ )ut (Q1 (τ ), τ ) dτ.

t1

Haciendo el cambio s = Q−1 i (τ ), ∫∫

∫

l

ux ut Q′2 (s) ds −

(ux ut )x dsdτ = − P

x ¯

∫

l

=−

ux ut 0

Por tanto:

dQ ds = − ds

∫

x ¯

ux ut Q′1 (s) ds

0 l

ux ut 0

∫

dt dx. dx

∫∫

1 { (ρu2t + T0 u2x )t − T0 (ux ut )x } dsdτ P 2 ] ∫ l[ 1 2 1 dt 2 = ρu + T0 ux + T0 ux ut dx = 0, 2 t 2 dx 0

entendiéndose en la última integral que t = Q(x). Recordando que c2 = T0 /ρ(x)

116

CAPÍTULO 4. ECUACIÓN DE ONDAS

resulta que: ∫ l ∫

0 l 0

[ ] 1 dt 2 2 2 2 ρ ut + c ux + 2c ux ut dx = 2 dx {[ [ ]2 ( )2 ]} 1 dt 1 dt 2 4 2 ρ ut + c ux + c ux 2 − dx = 0. 2 dx c dx

Si:

(

dt dx

)2 =

(4.22)

1 , c2

tendremos, si tenemos en cuenta que P ⊂ {t ≤ t¯}, las expresiones de t = Qi (x), i = 1, 2:  ∫ x¯ 1  ds 0 < x < x ¯ t¯ − x c(s) t(x) = (4.23) ∫ 1  t¯ − x¯x ds x ¯ < x < l. c(s) De (4.22) y (4.23) se deduce que ut = ux = 0 en (¯ x, t¯) y con el mismo argumento se tiene que ux = ut = 0 en P . De ahí, u = 0 en P si F , α, β son nulas en P , a parte de f = g = 0 en [0, l].

4.5.1.

Problemas de Dirichlet y Neumann homogéneos

Supongamos que el problema de Dirichlet homogéneo:  2 0 < x < l, t > 0  utt = c uxx  u(x, 0) = f (x) 0≤x≤l ut (x, 0) = g(x) 0≤x≤l    u(0, t) = u(l, t) = 0 t > 0 ,

(4.24)

admite una solución clásica u. Entonces f y g, supuestas C 2 y C 1 respectivamente en [0, l], han de satisfacer las condiciones de compatibilidad siguientes: { f (0) = f (l) = f ′′ (0) = f ′′ (l) = 0 (4.25) g(0) = g(l) = 0. Análogamente, para el problema de Neumann,  utt = c2 uxx 0 < x < l, t > 0    u(x, 0) = f (x) 0≤x≤l  u (x, 0) = g(x) 0 ≤x≤l t    ux (0, t) = ux (l, t) = 0 t > 0 , habrá de tenerse:

{ f ′ (0) = f ′ (l) = 0 g ′ (0) = g ′ (l) = 0.

(4.26)

(4.27)

4.5. PROBLEMAS DE CONTORNO

117

Así pues (4.25) y (4.27) son condiciones necesarias para la existencia de soluciones clásicas. Ahora unas consideraciones elementales de simetría. Si f = f (x) ∈ C(R) es impar con respecto a x = 0 y 2l-periódica entonces f es también impar con respecto a x = l. En efecto, f (2l − x) = f (−x) = −f (x). Por tanto, f (0) = f (l) = 0. Supongamos por otra parte que f ∈ C 2 [0, l] satisface (4.25). Si efectuamos la extensión impar a [−l, l] y después la extensión 2lperiódica a R obtenemos además una función f¯, de clase C 2 , que es impar con respecto a x0 = 0. En efecto, si x ∈ R, x = x0 + 2kl para k ∈ Z, x0 ∈ [−l, l]. Si x0 ∈ [0, l]: f¯(x) = f¯(x0 + 2kl) = f (x0 ) = −f¯(−x0 ) = −f¯(−x0 − 2kl) = −f¯(−x). Si x0 ∈ [−l, 0] resulta: f¯(x) = f¯(x0 + 2kl) = f¯(x0 ) = −f (−x0 ) = −f¯(−x0 ) = −f¯(−x0 − 2kl) = −f¯(−x). Análogamente, f = f (x) ∈ C(R), par con respecto a x = 0 y 2l-periódica implican que f es también par con respecto a x = l. Si, por otro lado, f ∈ C 2 [0, l] satisface (4.27), la extensión par a [−l, l] primero y 2l-periódica después a R dan lugar una función C 2 , f¯, que es par con respecto a x0 = 0. Teorema 4.9. Sean f ∈ C 2 [0, l], g ∈ C 1 [0, l] funciones que satisfacen las condiciones (4.25). Entonces el problema de Dirichlet (4.24) admite una única solución clásica u ∈ C 2 ([0, l] × [0, +∞)). La misma conclusión se obtiene para el problema de Neumann (4.26) bajo datos f ∈ C 2 [0, l], g ∈ C 1 [0, l] satisfaciendo (4.27). Demostración. Para (4.24) efectuamos las extensiones impares y 2l-periódicas f¯, g¯ de f y g y resolvemos el problema de valor inicial:  2  x ∈ R, t > 0 utt = c uxx ¯ u(x, 0) = f (x) x ∈ R   ut (x, 0) = g¯(x) x ∈ R . Su solución u = u ¯(x, t) da la única solución del problema de Dirichlet. Análogas consideraciones llevan a la solución del problema de Neumann (4.26). Ejercicio 4.5 (Condiciones mixtas). Sea f ∈ C 2 [0, l] tal que f (0) = f ′ (0) = l. Efectuamos sucesivamente: la extensión impar a [−l, 0], la extensión par con respecto a x0 = l a [l, 3l] y la extensión 4l-periódica a R. Pruébese que tal extensión f¯ es C 2 , impar en x0 = 0 y par en x0 = l. Probar, bajo condiciones

118

CAPÍTULO 4. ECUACIÓN DE ONDAS

de compatibilidad adecuadas, la existencia de una única solución clásica del problema mixto:  utt = c2 uxx 0 < x < l, t > 0     u(x, 0) = f (x) 0≤x≤l (4.28)  u (x, 0) = g(x) 0≤x≤l t    u(0, t) = ux (l, t) = 0 t > 0.

4.5.2.

Oscilaciones libres

Es conveniente recordar el siguiente, Ejercicio 4.6. Sea g ∈ C(R) T-periódica. Entonces G(t) = ∫T si y sólo si 0 g = 0.

∫t 0

g es T -periódica

El próximo resultado evidencia la existencia de oscilaciones libres en el problema de la cuerda vibrante bajo diversas condiciones de contorno. Teorema 4.10. Sean f ∈ C 2 [0, l], g ∈ C 1 [0, l]. Entonces, 1. La solución u de (4.24) (respectivamente, (4.28)), f , g cumpliendo las condiciones de compatibilidad (4.25) (r. las correspondientes condiciones 2l 4l de compatibilidad) es -periódica (r. -periódica) en t. c c 2. La solución u de (4.26), f , g cumpliendo las condiciones de compatibilidad ∫l 2l (4.27) es -periódica en t si y sólo si 0 g = 0. c Ejercicio 4.7 (Propagación de discontinuidades). Usar el teorema precedente para probar que si f y g son, respectivamente, C 2 y C 1 a trozos (esto incluiría posiblemente la violación de alguna de las condiciones de compatibilidad) entonces las discontinuidades se propagan con velocidad c en los dos sentidos, mantienen la magnitud del salto y se reflejan en los bordes x = 0, x = l.

4.5.3.

Problemas de Dirichlet y Neumann no homogéneos

Consideramos ahora los problemas,  utt = c2 uxx    u(x, 0) = f (x) ut (x, 0) = g(x)    u(0, t) = α(t), u(l, t) = β(t) y

 utt = c2 uxx     u(x, 0) = f (x)  ut (x, 0) = g(x)    ux (0, t) = α(t),

0 < x < l, t > 0 0≤x≤l 0≤x≤l t > 0,

0 < x < l, t > 0 0≤x≤l 0≤x≤l ux (l, t) = β(t) t > 0 .

(4.29)

(4.30)

4.5. PROBLEMAS DE CONTORNO

119

La búqueda de soluciones clásicas requiere en cada caso las condiciones de compatibilidad:  β(0) = f (l)   α(0) = f (0)   y,

α′ (0) = g(0) ′′

β ′ (0) = g(l)

2 ′′

α (0) = c f (0)

{

α(0) = f ′ (0) α′ (0) = g ′ (0)

′′

(4.31)

2 ′′

β (0) = c f (l) β(0) = f ′ (l) β ′ (0) = g ′ (l),

(4.32)

respectivamente. Por simplicidad vamos a construir la solución a (4.29). La hallaremos bajo la forma: u = F (ξ) + G(η). Las condiciones iniciales nos dan F , G en [0, l] como: ∫ ξ 1 1 f (ξ) + g 2 2c 0 ∫ η 1 1 g. G(η) = f (η) − 2 2c 0 F (ξ) =

La validez de la condición de contorno en x = 0 nos lleva a: α(t) = F (ct) + G(−ct). Esto permite definir G en [−l, 0] como: η G(η) = α(− ) − F (−η). c

(4.33)

La condición en x = l: β(t) = F (l + ct) + G(l − ct), permite definir F en el intervalo [l, 3l] en la forma: F (ξ) = β(

ξ−l ) − G(2l − ξ). c

(4.34)

En definitiva, las relaciones (4.33), (4.34) permiten extender F y G de forma que u define la solución de (4.29). Las condiciones (4.30) aseguran la regularidad de las extensiones. Para (4.31) (y condiciones de contorno adecuadas) se procede de la misma forma. En todos los casos, G debe extenderse a η ≤ 0, F a ξ ≥ l. Ejercicio 4.8. Calcúlense algunas etapas de la construcción de F y G para las condiciones u(0, t) = α(t), ux (l, t) + bu(l, t) = β(t), b ≥ 0. Ejercicio 4.9. En el problema de Dirichlet, comprobar la regularidad de G en η = 0 y la de F en ξ = l.

120

4.5.4.

CAPÍTULO 4. ECUACIÓN DE ONDAS

Problemas de contorno perturbados

Considérese a título de ejemplo el problema  2  utt = c uxx + F (x, t)  u(x, 0) = f (x) ut (x, 0) = g(x)    u(0, t) = α(t), u(l, t) = β(t)

de Dirichlet: 0 < x < l, t > 0 0≤x≤l 0≤x≤l t > 0,

(4.35)

en el que se supone que F, Fx ∈ C([0, l] × [0, +∞)). Una manera de proceder es extender primero F a una F¯ de suerte que F¯ , F¯x ∈ C(R × [0, +∞)). Después resolver el problema:  2 ¯  utt = c uxx + F (x, t) x ∈ R, t > 0 u(x, 0) = 0 x∈R   ut (x, 0) = 0 x ∈ R, con solución u ¯ que al restarla de la de (4.35) nos lleva a:  vtt = c2 vxx 0 < x < l, t > 0    u(x, 0) = f (x) − u ¯(x, 0) 0≤x≤l ut (x, 0) = g(x) − u ¯t (x, 0) 0≤x≤l    u(0, t) = α(t) − u ¯(0, t), u(l, t) = β(t) − u ¯(l, t) t > 0 , problema del que se ha tratado. Ejercicio 4.10. Considérese una distribución de densidad de fuerzas de clase C 1 en [0, l] que cumple F (0) = F (l) = 0. Demuéstrese que la solución de:  utt = c2 uxx + F (x) 0 < x < l, t > 0    u(x, 0) = f (x) 0≤x≤l  u (x, 0) = g(x) 0 ≤x≤l t    u(0, t) = α(t), u(l, t) = β(t) t > 0 , es también 2l/c-periódica en t.

4.6.

Problemas semilineales

4.6.1.

Problemas de valor inicial

Las ideas precedentes se aplican –apoyándonos en las ecuaciones diferenciales ordinarias– al estudio de la existencia y unicidad de soluciones locales para el problema semilineal:  2  utt = c uxx + F (x, t, u, ux , ut ) x ∈ R, t > 0 u(x, 0) = f (x) x∈R   ut (x, 0) = g(x) x ∈ R,

4.6. PROBLEMAS SEMILINEALES

121

donde por brevedad supondremos que F = F (x, t, y1 , y2 , y3 ) es de clase C 1 en R5 . La idea es fabricar una solución local (u, U), u ∈ C 1 (U), U un abierto que contiene al eje x. La versión del problema en coordenadas características es:  1  uξη = − 2 F¯ (ξ, η, u, uξ , uη )   4c (4.36) u(ξ, ξ) = f (ξ)     uξ (ξ, ξ) − uη (ξ, ξ) = g(ξ), donde F¯ se deduce de manera obvia a partir de F . Si fijamos x0 toda posible solución de (4.36) cerca de ξ = η = x0 ha de satisfacer la identidad de punto fijo: ∫ ξ ∫ s1 1 u = u0 + 2 F¯ (s1 , s2 , u, uξ , uη ) ds2 ds1 , (4.37) 4c η η ∫ξ 1 con u0 = 12 {f (ξ) + f (η)} + 2c g(s) ds. η Para δ > 0 llamamos Qδ = [x0 − δ, x0 + δ] × [x0 − δ, x0 + δ]. Si fijamos δ0 , R0 , números positivos y K = {(ξ, η, z, p, q) ∈ R5 : (ξ, η) ∈ Qδ , |z − u0 (ξ, η)|, |p − u0ξ (ξ, η)|, |q − u0η (ξ, η)| ≤ R0 }, definimos: L=

sup

|F¯ | + |F¯ξ | + |F¯η |.

(ξ,η,z,p,q)∈K

Para resolver la ecuación de punto fijo (4.37) cerca de (x0 , x0 ) tomamos δ, δ1 menores que δ0 y R0 , respectivamente, construimos: Xδ,δ1 = {u ∈ C 1 (Qδ ) : |u − u0 |1 ≤ δ1 }. Definimos el operador: T : donde:

Xδ,δ1 v

−→ 7−→

C 1 (Qδ ) , T (v)

∫ ξ ∫ s1 1 ¯ 1 , s2 , v) ds2 ds1 , T (v) = u0 + 2 F(s (4.38) 4c η η siendo F(s1 , s2 , v) = F¯ (s1 , s2 , v, vξ , vη ). Se pueden elegir δ y δ1 de forma que T sea contractivo de Xδ,δ1 sobre si mismo. En efecto: ∫ ξ 1 ¯ s2 , v) ds2 F(ξ, T (v)ξ = u0ξ + 2 4c η ∫ ξ 1 ¯ 1 , η, v) ds1 , T (v)η = u0η − 2 F(s 4c η

122

CAPÍTULO 4. ECUACIÓN DE ONDAS

con lo que, para cada v ∈ Xδ,δ1 : Lδ 2 c2 Lδ |T (v)ξ − u0ξ | ≤ 2 2c Lδ |T (v)η − u0η | ≤ 2 2c |T (v) − u0 | ≤

mientras:

Lδ 2 |v1 − v2 |1 c2 Lδ |T (v1 )ξ − T (v2 )ξ | ≤ 2 |v1 − v2 |1 2c Lδ |T (v1 )η − T (v2 )η | ≤ 2 |v1 − v2 |1 . 2c Una elección adecuada de δ > 0 permite probar la invariancia de Xδ,δ1 junto con la contractiviad de T en Xδ,δ1 . Hemos probado asíel siguiente resultado. |T (v1 ) − T (v2 )| ≤

Teorema 4.11. Sea F = F (x, t, y1 , y2 , y3 ) una función de clase C 1 . Entonces para cada f ∈ C 2 (R), g ∈ C 1 (R) el problema de valor inicial:  2  utt = c uxx + F (x, t, u, ux , ut ) x ∈ R, t > 0 u(x, 0) = f (x) x∈R   ut (x, 0) = g(x) x ∈ R, admite una única solución local (u, U). ◦

Demostración. Basta con asociar a cada x0 ∈ R la solución local (ux0 , Qδ (x0 )) ◦

◦

que hemos construido con unicidad. Como ux0 = ux′0 si Qδ (x0 ) ∩ Qδ (x′0 ) ̸= ∅ resultará que: ◦

U = ∪x0 ∈R Qδ (x0 ). Observación 4.12. Las dimensiones del dominio de existencia U de las posibles soluciones locales están sometidas esencialmente a las mismas condiciones de variabilidad y finitud que en el caso de ecuaciones diferenciales ordinarias. En el ejemplo:  2 α  x ∈ R, t > 0 utt = c uxx + (α + 1)u u(x, 0) = u0 x∈R   ut (x, 0) = 0 x ∈ R, donde α > 1 y se toma u0 > 0 constante. La solución explota uniformemente cuando t → T + donde: ∫ +∞ ds 1 √ . T =√ 2 u0 uα+1 − uα+1 0

4.7. ECUACIÓN DE ONDAS N -DIMENSIONAL

4.6.2.

123

Problemas de contorno

Las resultados de la sección se aplican al problema de contorno semilineal:  utt = c2 uxx + F (u) x ∈ (0, l), t > 0     u(x, 0) = f (x) x ∈ [0, l]  u (x, 0) = g(x) x[0, l], t    u(0, t) = u(l, t) = 0, con tal que F sea C 1 e impar en u (F (−u) = −F (u)) (f ∈ C 2 [0, l], g ∈ C 1 [0, l] cumpliendo las condiciones de compatibilidad (4.25)). En efecto basta extender f , g a R como en el problema de Dirichlet y probar que u detenta las simetrías adecuadas.

4.7. 4.7.1.

Ecuación de ondas n-dimensional Unicidad de soluciones para el problema de valor

Las superficies carcterísticas del operador de ondas c u = utt − ∆x u son ϕ(x, t) = 0, (x, t) ∈ R × Rn , donde ϕ2t + |∇ϕ|2 = 0. El caso más importante de tales superficies son los “conos de luz”. Para (x0 , t0 ) ∈ Rn × R la unión de las rectas: x = x0 + c¯ u(τ − t0 )

t=τ

τ ∈ R,

con u ¯ ∈ Rn , |¯ u| = 1, constituyen los conos de luz Γ− (τ ≤ t0 ) y Γ+ (τ ≥ t0 ). La + sección de Γ con t = τ ≥ t0 es el lugar geométrico de los puntos que se han alejado rectilíneamente de x = x0 a una velocidad c (típicamente, la velocidad de la luz). La ecuación de los conos de luz es: Γ(x0 , t0 ) = {(x, t) : |x − x0 |2 = c|t − t0 |}. (Γ+ corresponde por ejemplo a t ≥ t0 ). El primer resultado fundamental es el siguiente (prueba inspirada en la de [24] para n = 3). Teorema 4.12 (Unicidad). Sea u ∈ C 2 (Rn × R) una solución clásica del problema de valor inicial:  2 n  utt = c ∆u (x, t) ∈ R × R n u(x, 0) = 0 x ∈ R   ut (x, 0) = 0 x ∈ Rn .

124

CAPÍTULO 4. ECUACIÓN DE ONDAS

Entonces u(x, t) = 0 para todo (x, t) ∈ Rn f (x), g = g(x), F = F (x, t) el problema:  2  utt = c ∆u + F (x, t) u(x, 0) = f (x)   ut (x, 0) = g(x)

× R. En particular, para cada f = (x, t) ∈ Rn × R x ∈ Rn x ∈ Rn .

admite a lo más una solución clásica. Demostración. Tenemos, para u ∈ C 2 (Rn × R): 2ut c u = 2ut utt − c2

∑

2ut uxi xi ∑ ∑ = 2ut utt − c2 (2ut uxi xi + 2utxi uxi ) + c2 2utxi uxi ∑ = (u2t + |∇u|2 )t − 2c2 (ut uxi )xi

= (u2t + |∇u|2 )t − 2c2 div (ut ∇u). Para P0 = (x0 , t0 ), t0 > 0, tomamos (comparar con el triángulo característico): T (P0 ) = {(x, t) : t ≥ 0 , c2 (t0 − t) ≥ |x − x0 |}, cuya superficie lateral llamaremos por abuso de notación Γ− (P0 ). Como ut c u = 0 integrando en T (P0 ) y aplicando el teorema de la divergencia: ∫ 0= (−2c2 ut ∇u, u2t + c2 |∇u|2 ).(0, −1) dx |x−x0 |≤ct0 ∫ 1 x − x0 +√ (−2c2 ut ∇u, u2t + c2 |∇u|2 ).( , c) dS 2 |x − x0 | 1 + c Γ− ∫ 1 x − x0 =√ −2c2 ut ∇u + c(u2t + c2 |∇u|2 ) dS 2 |x − x0 | − 1+c Γ ∫ c x − x0 =√ u2t + c2 |∇u|2 − 2c2 ∇uut dS |x − x0 | 1 + c2 Γ− 2 ∫ x − x0 c =√ ut − c∇u dS. 2 |x − x0 | − 1+c Γ

Concluimos que sobre Γ− (P0 ) (de ecuación c(t − t0 ) = |x − x0 |) se tiene: ut

x − x0 = c∇u(x). |x − x0 |

Para cualquier curva en Γ− (P0 ): x = x(s)

1 t = − |x − x0 | + t0 , c

4.7. ECUACIÓN DE ONDAS N -DIMENSIONAL

125

se cumple que: d 1 u(x(s), t0 − |x − x0 |) = ds c

( ) 1 x − x0 ∇u − ut x′ (s) c |x − x0 | ( ) 1 x − x0 = c∇u − ut x′ (s) = 0. c |x − x0 |

Por tanto u se conserva sobre la superficie lateral Γ− (P0 ) y como en la base es cero se tiene en particular u(P0 ) = 0. Como P0 es arbitrario, u = 0. Un corolario inmediato de la demostración es la propiedad de velocidad de propagación finita de las perturbaciones. Teorema 4.13. Sea u ∈ C 2 (Rn × R) una solución del problema:  2  utt = c ∆u u(x, 0) = f (x)   ut (x, 0) = g(x)

(x, t) ∈ Rn × R x ∈ Rn x ∈ Rn .

en la que f y g tienen soporte compacto. Entonces u(·, t) tiene soporte compacto para todo t ∈ R.

4.7.2.

Medias esféricas

Una aplicación lineal T L(Rn ) se dice ortogonal si T −1 = T t . O(Rn ) denotará el conjunto de tales transformaciones. Es un ejercicio probar que si u es solución de la ecuación de ondas c u = 0 entonces todas sus rotaciones uT (x, t) = u(T x, t) también satisfacen la ecuación de ondas. Sea h ∈ C(Rn ), r > 0 y Sr (x) = {y : |y − x| = r} la esfera de centro x y radio r (ωn = área (S1 )). Representamos por: ∫ ∫ 1 1 Mh (x, r) = h(y) dS = h(x + rw) dSw , y ωn rn−1 Sr (x) ωn S1 la media de h sobre Sr (x) (es un promedio de las “rotaciones” de h alrededor de x y a una distancia r > 0). Propiedad 4.14. Sea h ∈ C(Rn ) entonces: 1. Mh (x, r) se puede extender de forma par a todo r ∈ R: Mh (x, −r) = Mh (x, r) con l´ımr→0 Mh (x, r) = h(x). 2. Si h ∈ C s (Rn ) entonces Mh (x, r) es C s en (x, r): Mh ∈ C s (Rn × R). Observación 4.13. Si h es C 1 , Mh es también C 1 en r y por tanto ∂Mh /∂r(x, 0) = 0.

126

CAPÍTULO 4. ECUACIÓN DE ONDAS

Lema 4.15. Sea h ∈ C 2 (Rn ). Entonces: ∂ 1 Mh (x, r) = n−1 ∆x ∂r r

(∫

)

r n−1

ρ

Mh (x, ρ) dρ .

0

En particular: ∂ ∂r

( rn−1

) ∂ Mh (x, r) = rn−1 ∆x Mh (x, r). ∂r

Es decir ∂2 n − 1 ∂Mh = ∆x Mh (x, r). Mh + ∂r2 r ∂r

(4.39)

Observación 4.14. Se conoce a (4.39) como la ecuación de Darboux. Lema 4.16. Si u = u(x, t) ∈ C 2 (Rn ×R) satisface la ecuación de ondas c u = 0 entonces, para x ∈ Rn fijo: ∂2 Mu (x, r, t) = c2 ∂t2

(

∂2 n−1 ∂ + ∂r2 r ∂r

) Mu (x, r, t).

(4.40)

Consecuencia de los Lemas 4.15 y 4.16 es el siguiente resultado. Corolario 4.17. Sea u = u(x, t) ∈ C 2 (Rn × R) una solución del problema de valor inicial:  2  (x, t) ∈ Rn × R utt = c ∆u u(x, 0) = f (x) x ∈ Rn   ut (x, 0) = g(x) x ∈ Rn . Entonces, para cada x ∈ Rn fijo se tiene que: ( 2 )  2 ∂ n−1 ∂ ∂  2  M (x, r, t) = c + Mu (x, r, t)  u  ∂t2 ∂r2 r ∂r

r ∈ R, t > 0

 Mu (x, r, 0) = Mf (x, r)    (Mu )t (x, r, 0) = Mg (x, r)

r∈R r ∈ R.

(4.41)

Observación 4.15. La ecuación (4.40) es la ecuación de ondas para una función radial. La media Mu resuelve, como función radial, el problema de valor inicial correspondiente a las medias de los datos iniciales. Demostración del Lema 4.15. Tenemos: Mh (x, r) =

1 ωn

∫ |ξ|=1

h(x + rξ) dSξ .

4.7. ECUACIÓN DE ONDAS N -DIMENSIONAL

127

Por tanto:

∫ ∑ ∂Mh 1 (x, r) = ∂i h(x + rξ)ξi dSξ ∂r ωn |ξ|=1 ∫ ∑ 1 = ∂ξi (∂i h(x + rξ)) dξ ωn |ξ|≤1 ∫ 1 r∆x h(x + rξ) dξ = ωn |ξ| 0 vtt = c vrr v(r, 0) = rMf (x, r)   vt (r, 0) = rMg (x, r). Entonces, r¯ u(r, t) =

1 (r + ct)Mf (x, r + ct)+ 2 ∫ r+ct 1 1 (r − ct)Mf (x, r − ct) + sMg (x, s) ds. 2 2c r−ct

128

CAPÍTULO 4. ECUACIÓN DE ONDAS

De la paridad de Mf en r: Mu (x, r, t) = (r + ct)Mf (x, ct + r) − (ct − r)Mf (x, ct − r) 1 + 2r 2cr =

1 2r

∫

r+ct

sMg (x, s) ds r−ct

) ( 1 ∂Mf (x, ct)r + o(r) + η(r)Mg (x, η(r))2r, 2rMf (x, ct) + 2ct ∂r 2rc

con ct − r < η(r) < ct + r. Al hacer tender r a cero: ∂Mf ct (x, ct) + Mg (x, ct) ∂r c ∂ = tMg (x, ct) + (tMf (x, ct)) . ∂t Se ha obtenido entonces el siguiente resultado. u(x, t) = Mf (x, ct) + ct

Teorema 4.18 (Fórmula de Kirchhoff). Si u ∈ C 2 (R3 × R) es la solución del problema (4.42) entonces u = u(x, t) se puede representar en la forma: ( ) ∫ ∫ 1 ∂ 1 u(x, t) = (4.43) g(y) dSy + f (y) dSy 4πc2 t Sct (x) ∂t 4πc2 t Sct (x) Asímismo podemos concluir el recíproco. Teorema 4.19. Para f ∈ C 3 (R3 ), g ∈ C 2 (R3 ) (regularidad que es precisa para que el segundo miembro de (4.43) sea C 2 ), la identidad (4.43) proporciona la solución clásica de (4.42). Demostración. Escribiendo (4.43) como u = u1 + u2 basta con probar que u1 cumple (4.42) con f = 0. En efecto, si g es suficientemente regular u2 = u1t cumple u2 = 0 y u2 = g, u2t = 0 en t = 0. Ahora, ∫ t u1 = g(x + ctw) dSw , 4π |w|=1 luego, ∆u1 =

t 4π

mientras, u1t = = = =

u1 t u1 t u1 t u1 t

+ + + +

∫ |w|=1

∆g(x + ctw) dSw ,

∫ t c∇g(x + ctw)w dSw 4π |w|=1 ∫ 1 ∇g(x + ctw)w dSct 4πct Sct (x) ∫ 1 ∆g(y) dy 4πct Bct (x) 1 I(t), 4πct

4.7. ECUACIÓN DE ONDAS N -DIMENSIONAL con I(t) =

∫ Bct (x)

u1tt

129

∆g(y) dy. Asímismo,

1 = t

(

u1 1 + I t 4πct

) −

u1 1 1 ′ 1 ′ − I+ I = I. t2 4πct2 4πct 4πct

Sin embargo, ′

(∫

ct

(∫

) ∆g dSρ

I = 0

Sρ (x)

)′ dρ

∫ =c

∆g dSct Sct (x)

∫

= c(ct)2 |w|=1

∆g(x + ctw) dSw .

Luego u1tt = ∆u1 . Por otra parte está claro que u1 satisface las condiciones iniciales. Ejercicio 4.11. Sea f continua en Rn . Prúebese que: (∫ ) ∫ d f (x) dx = f (x) dSx . dr |x−x0 |≤r |x−x0 |=r Principio de Huygens La identidad de Kichhoff (4.43) encierra una interesante propiedad de la propagación de perturbaciones en el espacio. A tal efecto, supongamos que f y g tienen soporte compacto en (4.42) y sea K = sop f ∪ sop g. Tomemos un punto del espacio x0 inicialmente en reposo, x0 ∈ / K. Podemos definir: d := dist (x0 , K) D := sup{|x0 − y| : y ∈ K}. De la fórmula (4.43) se sigue que la solución u(x0 , t) = 0 para t < t0 := d/c, es decir la perturbación emplea d/c unidades de tiempo en alcanzar x0 , mientras de nuevo u(x0 , t) = 0 para t > D/c, es decir el medio “recupera” el reposo al cabo de un tiempo finito. Este efecto se conoce como principio fuerte de Huygens. Una lectura posible: en el espacio podemos distinguir los sonidos porque las diversas señales acústicas tras perturbar un punto se dejan unas a otras el medio “limpio” de excitaciones. Alternativamente: la estela de las ondas desaparece en tiempo finito. Por otro lado, el conjunto: Γt = {x ∈ R3 : dist (x, K) = ct}, es claramente la “interfaz” que va señalando en el tiempo la frontera entre la zona perturbada y la zona sin perturbar. Se llama a Γt el frente de ondas. Una reinterpretación de la fórmula de Kirchhoff revela que cada punto del espacio alcanzado por el frente de ondas se convierte a su vez en un emisor con las mismas características que los datos iniciales.

130

4.7.4.

CAPÍTULO 4. ECUACIÓN DE ONDAS

Propagación de ondas en el plano n = 2

Si en la fórmula de Kirchhoff (4.43) los datos inciales f y g no dependen de x3 , por ejemplo, entonces la solución u tampoco. Se resuelve así el problema de valor inicial en el plano:  2  (x1 , x2 ) ∈ R2 , t > 0 utt = c ∆u (4.44) u(x1 , x2 , 0) = f (x1 , x2 ) (x1 , x2 ) ∈ R2   2 ut (x1 , x2 , 0) = g(x1 , x2 ) (x1 , x2 ) ∈ R , en los siguientes términos. Ponemos x = (x1 , x2 ), y = (y1 , y2 ) y f˜(x1 , x2 , x3 ) = f (x) y se tiene: ∫ ∫ 2ct 1 ˜(y, y3 ) dS(y,y ) = 1 √ f f (y) dy 3 4πc2 t Sct ((x,x3 )) 4πc2 t Bct (x)⊂R2 c2 t2 − |y − x|2 ∫ 1 f (y) √ = dy. 2πc Bct (x)⊂R2 c2 t2 − |y − x|2 Por tanto, si f ∈ C 3 (R2 ), g ∈ C 2 (R3 ) podemos concluir que la solución del problema (6) es: 1 ∂ u(x1 , x2 , t) = 2πc ∂t

(∫

)

f (y)

Bct (x)

√ dy + c2 t2 − |y − x|2 1 2πc

∫ Bct (x)

g(y) √ dy. (4.45) 2 2 c t − |y − x|2

Observación 4.16. El principio de Huygens falla en el plano. En efecto, supongamos que g tiene soporte compacto K en el segundo sumando ug de (4.45). Para t ≥ t0 con t0 el máximo teniendo K ⊂ Bct (x) resulta que: ∫ 1 g(y) √ ug (x, t) = dy → 0, 2 2 2πc K c t − |y − x|2 cuando t → +∞. Más aún: ug (x, t) ∼

1 2πc2 t

∫ g(y) dy

t → +∞.

K

Análogamente, 1 uf (x, t) ∼ − 2πc2 t2

∫ f (y) dy

t → +∞.

K

En conclusión cuando una perturbación inicial localizada afecta a un punto P0 (después de que lo alcance el frente de ondas Γt ), dicha perturbación se mantiene típicamente para todos los valores futuros del tiempo. Sin embargo, la amplitud de la perturbación tiende a cero cuando t → +∞.

4.8. EL CASO N -DIMENSIONAL

131

Transformaciones de Lorentz Son las transformaciones lineales T ∈ L(Rn × R) que dejan invariante el operador de ondas c 4 . Como es natural, tales transformaciones forman necesariamente un grupo. Si ponemos c = 1 para simplificar, y escribimos u = ux1 x1 − ux2 x2 − · · · − uxn xn , la forma característica es σ(ξ, η) = ξ1 η1 − ξ2 η2 − · · · − ξn ηn . Las ecuaciones de T serán: ξi =

∑

fij xj ,

j

donde: 2 − 1 = f11

n ∑

2 f1j

j=2

0 = f11 fl1 − −δkl = fk1 fl1 −

n ∑ j=2 n ∑

f1j flj fkj flj

2 ≤ k, l ≤ n.

j=2

Un caso particular de tales transformaciones es:  ±1 0 ...0  0 f22 . . . f2n  (fij ) =  . .. ..  .. . . 0

fn2

...

   ..  , .  fnn

donde (fkl )2≤k,l≤n es ortogonal. Una discusión completa de todas las transformaciones de Lorentz se relega a la sección de ejercicios (Ejercicio 29).

4.8.

El caso n-dimensional

4.8.1.

Dimensiones impares

Ya sabemos que la media M (r, t) = Mu (x, r, t) de una solución clásica de la ecuación de ondas satisface la ecuación de Euler-Darboux-Poisson: Mtt = c2 {Mrr − 4 cf.

[12].

n−1 Mr }. r

132

CAPÍTULO 4. ECUACIÓN DE ONDAS

Para φ = φ(r) consideramos el operador: ( Lk (∂r )φ =

1 ∂ r ∂r

)k−1 k ∈ N.

(r2k−1 φ(r))

Se tienen entonces las relaciones (Ejercicio 33, [9]): ∂2 Lk (∂r )φ = ∂r2

(

Lk (∂r )φ =

1 ∂ r ∂r

k−1 ∑

)k (r2k

∂φ (r)), ∂r

cj rj+1 φ(j) ,

j=0

donde c0 = (2k − 1)!! y además, Lk (∂r )φ es impar si φ es par. La observación importante es que cuando la dimensión n es impar, n = 2k+1, entonces v(r, t) = Lk (∂r )M (r, t) cumple la ecuación de ondas unidimensional (pondremos c = 1 para simplificar): ( (Lk M )rr = ( =

1 ∂ r ∂r 1 ∂ r ∂r

)k (r2k Mr ) )k−1 ( ) 2k 2k−1 r {Mrr + Mr } r

= (Lk M )tt . Por tanto, si u es la solución del problema { utt = ∆u u(x, 0) = f (x), ut (x, 0) = g(x)

(x, t) ∈ Rn × R x ∈ Rn ,

(4.46)

entonces, 1 1 1 Lk M (r, t) = ψ(r + t) + ψ(r − t) + 2 2 2

∫

r+t

ϕ(s) ds,

(4.47)

r−t

con ψ = Lk Mf , ϕ = Lk Mg . Diviendo en (4.47) por r y haciendo tender r → 0: c0 u(x, t) = ψ ′ (t) + ϕ(t), es decir, u(x, t) =

1 ∂ c0 ∂t

(

1 ∂ t ∂t

)k−1 t2k−1 Mf (x, t) +

1 c0

(

1 ∂ t ∂t

)k−1 t2k−1 Mg (x, t).

4.8. EL CASO N -DIMENSIONAL

133

En otras palabras, si n = 2˙ + 1, n ≥ 3, u(x, t) =

1 ∂ (n − 2)!! ∂t

(

1 ∂ t ∂t

) n−3 2

tn−2 Mf (x, t)

1 + (n − 2)!!

(

1 ∂ t ∂t

)n − 3 2

tn−2 Mg (x, t). (4.48)

La validez de (4.48) requiere que f sea de clase C (n−1)/2 y g de clase C (n−3)/2 . Tenemos, por otro lado, el siguiente resultado. n−3 Teorema 4.20. Sean n = 2˙ + 1, n0 = m´ax{2, }, f ∈ C n0 +1 (Rn ), g ∈ 2 C n0 (Rn ). Entonces u = u(x, t) definida por (4.48) es la solución de (4.46). Demostración. Poniendo n = 2k + 1, u1 = Lk (∂t )Mg (x, t) =

1 c0

(

1 ∂ t ∂t

)k−1 t2k−1 Mg (x, t),

basta con demostrar que u1 define la solución de la ecuación de ondas con u = 0 y ut = g en t = 0. Como Mg (x, t) es par en t se tiene entonces que u1 (x, 0) = 0. La validez de la segunda condición inicial es inmediata. Por otro lado: ) ( )k−1 ( 2k−1 ∫ 1 1 ∂ t ∆u1 = ∆g(x + tw) dSw , c0 t ∂t ωn |w|=1 mientras, u1tt

1 = c0 =

1 c0

=

1 c0

=

1 c0

)k (

(

)) ∫ 1 t g(x + tw) dSw ωn |w|=1 t ) ( )k−1 ( )( ∫ 1 ∂ 1 ∂ 1 2k ∇g(x + tw)wt dSw t ∂t t ∂t ωn |w|=1 ) ( )k−1 ( )( ∫ 1 ∂ 1 ∂ 1 ∆g(y) dy t ∂t t ∂t ωn Bt (x) ) ( )k−1 ( 2k−1 ∫ 1 ∂ t ∆g(x + tw) dSw t ∂t ωn |w|=1 (

1 ∂ t ∂t

2k

= ∆u1 . Se he empleado que: (∫ ) (∫ ∫ t ∆g(y) dy = ρ2k Bt (x)

|w|=1

0

∫

t

=t

)

2k |w|=1

∆g(x + ρw) dSw dρ

∆g(x + tw) dSw .

t

134

CAPÍTULO 4. ECUACIÓN DE ONDAS

Esto concluye la demostración.

4.8.2.

Método del descenso de Hadamard

Escribiendo x′ = (x1 , . . . , xn−1 ) supongamos que u = u(x′ , xn , t) resuelve: { utt = c2 ∆x′ u + c2 uxn xn (4.49) u(x′ , xn , 0) = f (x′ ), ut (x′ , xn , 0) = g(x′ ). Entonces u no depende de xn pues para todo a ∈ R, ua (x, t) = u(x′ , xn + a, t) es también solución de (4.49). Por tanto u = ua que implica uxn = 0. ˙ Entonces n + 1 = 2˙ + 1. Si g = g(x), x ∈ Rn , Supongamos ahora que n = 2. es suficientemente regular, definimos g¯(x, xn+1 ) = g(x). Ponemos, ( ) n−2 2 1 1 ∂ u ¯1 (x, xn+1 , t) = (tn−1 Mg¯ (x, xn+1 , t)). (n − 1)!! t ∂t Tendremos que u ¯1 no depende de xn+1 y   utt = ∆u u(x, 0) = 0   ut (x, 0) = g(x)

u1 (x, t) = u ¯1 (x, 0, t) es solución de: x ∈ Rn t ∈ R x ∈ Rn x ∈ Rn ,

donde ahora n es par. El paso de u ¯1 a u1 se llama método del descenso. Para la forma explícita de u1 observamos: u ¯1 (x, xn+1 , t) = ( ) ( ) n−2 ∫ 2 tn−1 1 1 ∂ g¯(x + tw, twn+1 ) dS(w,wn+1 ) (n − 1)!! t ∂t ωn+1 |(w,wn+1 )|=1 ( ) ( ) n−2 ∫ 2 1 ∂ tn−1 1 g(x + tw) dS(w,wn+1 ) = (n − 1)!! t ∂t ωn+1 |(w,wn+1 )|=1 ( ) ( ) n−2 ∫ 2 1 ∂ 2tn−1 g(x + ty) 1 √ dy = (n − 1)!! t ∂t ωn+1 |y|≤1 1 − |y|2 ( ) ( ) n−2 ∫ 2 2 1 ∂ g(z) n−1 √ = t dy , ωn+1 (n − 1)!! t ∂t t2 − |z − x|2 Bt (x) pues, dy dS(w,wn+1 ) = √ y ∈ Rn |y| ≤ 1. 2 1 − |y| Por tanto la solución de:   x ∈ Rn t ∈ R utt = ∆u u(x, 0) = f (x) x ∈ Rn   ut (x, 0) = g(x) x ∈ Rn ,

4.9. EJERCICIOS

135

es, cuando n es par, ( ) ) n−2 ∫ 2 g(z) 1 ∂ n−1 √ t dy t ∂t t2 − |z − x|2 Bt (x) ( ) ( ) n−2 ∫ 2 2 ∂ 1 ∂ f (z) n−1 √ t dy , ωn+1 (n − 1)!! ∂t t ∂t t2 − |z − x|2 Bt (x)

2 u(x, t) = ωn+1 (n − 1)!!

(

supuesto que g ∈ C (n+2)/2 (Rn ) y f ∈ C (n+4)/2 (Rn ).

4.9.

Ejercicios

1. (Ecuaciones hiperbólicas). Se considera la ecuación de segundo orden lineal: auxx + 2buxy + cuyy = 0, donde a, b, c son constates que satisfacen b2 − ac > 0, a ̸= 0. Hágase un cambio de variables: ξ = ξ(x, y) η = η(x, y), para obtener una nueva ecuación en las variables ξ, η de la forma: a ˆuξξ + 2ˆbuξη + cˆuηη , determinando los nuevos coeficientes: a ˆ, ˆb, cˆ. Pruébese que existen dos valores αi , i = 1, 2 tales que haciendo ξ = x + α1 y, η = x + α2 y se llega a una ecuación en donde a ˆ = cˆ = 0, es decir, a la ecuación: uξη = 0. 2. Pruébese que toda solución u de clase C 2 en R2 de uxy = 0 se puede escribir en la forma u = F (x) + G(y). 3. Expresar las siguientes ecuaciones en coordenadas carcterísticas: uxx + 2uxy − 3uyy + 2ux + 6uy = 0 uxx + 4uxy + 5uyy + ux + 2uy = 0 uxx − 2uxy + uyy + αux + βuy + cu = 0 uxx − 2 cos xuxy − (3 + sen2 x)uyy − yuy = 0 tag2 x uxx − 2ytag xuxy + y 2 uyy + tag3 xux = 0 yuxx + uyy = 0

(ecuación de Tricomi)

x uxx + 2xyuxy − 3y 2 uyy − 2xux + 4yuy + 16x4 u = 0 2

(1 + x2 )uxx + (1 + y 2 )uyy + xux + yuy = 0 sen2 xuxx − 2y sen xuxy + y 2 uyy = 0 uxx + yuyy + αuy = 0.

136

CAPÍTULO 4. ECUACIÓN DE ONDAS

4. Se considera la ecuación de ondas de coeficientes variables utt − c2 (x)uxx = 0, donde c = c(x) es positiva y de clase C 1 . Escríbase en coordenadas caracaterísticas. ∫x Indicación. Es conveniente introducir la función Γ(x) = 0 1/c(s) ds. En ese casos una posible elección de las coordenadas características es ξ = Γ(x) + t, η = Γ(x) − t. 5. Hallar la forma general de las soluciones de las ecuaciones siguientes: uxx − 2 sen xuxy − cos2 xuyy − cos xuy = 0 x2 uxx − 2xyuxy + y 2 uyy + xux + yuy = 0 ( 2 ) ∂ 2 ∂x x ux = x uyy (x − y)uxy − ux + uy = 0 x2 uxx + 2xyuxy + y 2 uyy + 2yzuyz + z 2 uzz + 2zxuzx = 0 utt = a11 uxx + 2a12 uxy + a22 uyy , con aij > 0, a11 a22 = a212 . uxxxx − 2uxxyy + uyyyy = 0. 6. Entre todas las ecuaciones lineales y homogéneas de segundo orden y coeficientes constantes, auxx + 2buxy + cuyy + dux + euy + f u = 0, prúebese que las únicas invariantes frente a rotaciones son las de la forma: a ˆ∆u + fˆu = 0. 7. Redúzcase la ecuación elíptica: uxx + 3uyy − 2ux + 24uy + 5u = 0, a la forma vxx +vyy +cv = 0 mediante un cambio de la forma: u = veαx+βy y después un cambio de escala: y ′ = γy. 8. Se considera la ecuación de segundo orden: (Lu =)a11 uxx − 2a12 uxy + a22 uyy + b1 ux + b2 uy = 0, donde d = a212 −a11 a22 > 0. Se dice que u = u(x, y) es una solución funcionalmente invariante de la ecuación si F (u) también es solución, cualquiera que sea F , F ∈ C 2 (R). Estúdiense las condiciones necesarias y suficientes para la existencia de soluciones funcionalmente invariantes, aprovechando los resultados para formular una solución general de dicha ecuación.

4.9. EJERCICIOS

137

9. Sea L como en el Ejercicio 8. Demuéstrese que si, a11 b22 + 2a12 b1 b2 + a22 b21 + 4dc = 0, entonces la ecuación lineal de segundo orden: L(u) + cu = 0, admite la solución general: u(x, y) = e(kx+my)/2d [ϕ1 (α1 x − y) + ϕ2 (α2 x − y)] ; donde ϕ1 , ϕ2 son funciones arbitrarias, k = a22 b1 − a12 b2 , m = a11 b2 − a12 b1 , y α1 , α2 son las raíces de la ecuación: a11 α2 − 2a12 α + a22 = 0. 10. Hállese la solución de los problemas de Cauchy: utt = c2 uxx ,

u(x, 0) = f (x),

ut (x, 0) = g(x),

para las parejas de datos iniciales: a) (f, g) = (ex , sen x), b) (f, g) = (log(1 + x2 ), 4 + x). 11. En el problema utt = c2 uxx ,

u(x, 0) = f (x),

ut (x, 0) = g(x),

se toma f = 0, g = φ, donde φ(x) = 1 si −a ≤ x ≤ a, φ(x) = 0 en otro caso. Dése una descripción de u(·, t) para los valores de t siguientes: a a 3a 2a 5a t = 2c , c , 2c , c , c . 12. Hállese la solución de los problemas de Cauchy: utt = c2 uxx + F (x, t),

u(x, 0) = f (x),

ut (x, 0) = g(x),

para los siguientes juegos de funciones: a) (f, g, F ) = (0, 0, xt), b) (f, g, F ) = (0, 0, eax ), c) (f, g, F ) = (sen x, 1 + x, cos x). 13. Dedúzcase la solución general del problema utt = c2 uxx + F (x, t),

u(x, 0) = f (x),

ut (x, 0) = g(x),

en las condiciones de regularidad estándar: f ∈ C 2 , g ∈ C 1 , F ∈ C 1 , en x ∈ R, t ≥ 0, usando las coordenadas características ξ = x + ct, η = x − ct. 14. Dedúzcase la existencia de soluciones para los problemas de Dirichlet y Neumann en la semirrecta: utt = c2 uxx ,

x > 0, t ≥ 0

u(x, 0) = f (x), ut (x, 0) = g(x), u(0, t) = α(t),

x≥0

138

CAPÍTULO 4. ECUACIÓN DE ONDAS y utt = c2 uxx , x > 0, t ≥ 0 u(x, 0) = f (x), ut (x, 0) = g(x), ux (0, t) = β(t).

x≥0

Para ello supóngase que f, g, α, β tienen la regularidad necesaria y cumplen adecuadas condiciones de compatibilidad. Demuéstrese también la unicidad de soluciones del problema. 15. Hállese la solución de utt = 4uxx en 0 < x < ∞, u(0, t) = 0, u(x, 0) = 1, ut (x, 0) = 0. Localícense las singularidades de la solución. 16. Hállese la solución de utt = c2 uxx , 0 < x < ∞, donde u(x, 0) = 0, ut (x, 0) = V , y donde: ut (0, t) + aux (0, t) = 0, siendo a, V constantes positivas, a > c. 17. Para la solución u(x, t) de utt = uxx en 0 < x < 1, u(x, 0) = x2 (1 − x), ut (x, 0) = (1 − x)2 , u(0, t) = u(1, t) = 0, t ≥ 0, hállense u( 23 , 2), u( 14 , 27 ). 18. Hállese la solución de utt = 9uxx en 0 < x < 0, ux (0, t) = 0, u( π2 , t) = 0.

π 2,

u(x, 0) = cos x, ut (x, 0) =

19. Resuélvase utt = c2 uxx en 0 < x < l, u(x, 0) = 0, ut (x, 0) = x, u(0, t) = u(l, t) = 0. 20. Cualquier paralelogramo ordenado A, B, C, D con sus lados paralelos a las líneas carcaterísticas ξ = c1 , η = c2 se llamará característico. Sea Ω ⊂ R2 un abierto convexo y sea u ∈ C 2 (Ω). Pruébese la siguiente propiedad: “u(x, t) es una solución de la ecuación de las ondas utt = c2 uxx en Ω sí y solamente sí u(A) + u(C) = u(B) + u(D) cualquiera que sea el paralelogramo característico A, B, C, D contenido en Ω”. Utilícese la propiedad precedente para describir un procedimiento geométrico que permita hallar la solución del problema: utt = c2 uxx , 0 < x < ∞, t ≥ 0, u(x, 0) = f (x), ut (x, 0) = g(x), u(0, t) = α(t),

t ≥ 0,

bajo condiciones adecuadas de regularidad, así como de compatibilidad para los datos f, g, α. Procédase de la misma manera con el problema de Dirichlet no homogéneo: utt = c2 uxx ,

0 < x < l, t ≥ 0,

u(x, 0) = f (x), ut (x, 0) = g(x), 0 < x < l u(0, t) = α(t), u(l, t) = β(t) t ≥ 0,

4.9. EJERCICIOS

139

nuevamente, bajo las condiciones de regularidad y compatibilidad requeridas a los datos f, g, α, β. 21. Ondas Esféricas. Una onda esférica u(r, t) es una solución de la ecuación de ondas tridimensional utt = c2 ∆u que sólo depende de la distancia al origen r y del tiempo t. Pruébese que: ) ( 2 2 utt = c urr + ur . r Efectúese el cambio de variables v = ru para obtener la ecuación de ondas unidimensional vtt = c2 vrr . Para funciones φ(r) ∈ C 2 , ϕ(r) ∈ C 1 , ámbas pares, hállese la solución del problema: utt = c2 ∆u,

x ∈ R3 , t ≥ 0,

u(x, 0) = φ(r),

ut (x, 0) = ϕ(r).

22. Considérese el modelo de la cuerda vibrante en las condiciones del Ejercicio 22. Los desplazamientos u = u(x, t) de la cuerda, sometida a las condiciones de contorno u(0, t) = u(l, t) = 0 satisfacen: utt = c2 uxx + F (x, t),

t > 0,

0 < x < l,

donde c2 = T0 /ρ(x), T0 es la tensión en equilibrio, ρ ∈ C([0, l]), ρ > 0 la densidad. Por simplicidad vamos a suponer que u es C 2 en t ≥ 0, 0 ≤ x ≤ l. Las energías cinética K(t) y potencial P (t) en el instante t se definen respectivamente como: ∫ ∫ 1 l 2 T0 l 2 K= ρut dx P = u dx, 2 0 2 0 x mientras que la energía total se define como E(t) = K(t) + P (t). Prúebese que: ∫ t∫ l ∫ ∫ 1 l 2 T0 l ′ 2 ρF dx dt. E(t) = ρg dx + f dx + 2 0 2 0 0 0 En el caso de la membrana vibrante, si suponemos que Ω = [a, b] × [c, d] ¯ ρ > 0 y que, por tanto, el (un rectángulo), que la densidad ρ ∈ C(Ω), movimiento u = u(x, y, t) satisface el problema:  T0     utt = ρ(x, y) ∆u + F (x, y, t), (x, y) ∈ Ω, t > 0 u(x, y, 0) = f (x, y), ut (x, y, 0) = g(x, y)     u(x, y, 0) = 0, (x, y) ∈ ∂Ω, t > 0, ¯ que por simplicidad supondremos C 2 en Ω×[0, +∞), dénse entonces definiciones naturales para K y P (la energía total será obviamente E = K +P ) que lleven al valor explícito de E(t) en términos de F .

140

CAPÍTULO 4. ECUACIÓN DE ONDAS

23. Prúebese la unicidad de soluciones clásicas u ∈ C 2 ([0, l] × [0, +∞)) del problema de contorno y valor inicial,  2 0 < x < l, t > 0   utt = c (x)uxx + F (x, t), u(x, 0) = f (x), ut (x, 0) = g(x), 0 0, ρ ∈ C[0, l], ρ(x) > 0. Utilícese para ello el principio de conservación de la energía. Si, para t¯ > 0, x ¯ ∈ [0, l], P = (¯ x, t¯) estúdiese el dominio T (P ) del plano en el que F = 0 en T (P ) implica, si f = g = 0 y α = β = 0 para t ≤ t¯, que u(P ) = 0, junto con u = 0 en T (P ). 24. (Método de Duhamel). Tratamos aquí de resolver, por un tercer camino alternativo, el problema, utt = c2 uxx + F (x, t) u(x, 0) = f (x)

(4.50)

ut (x, 0) = g(x). Como sabemos basta con calcular la solución que corresponde a f = g = 0. En este caso procedamos como sigue. Suponemos que F y ∂F/∂u son continuas en t ≥ 0 y, para cada τ ≥ 0 llamamos w(x, t, τ ) a la solución (única) del problema: utt = c2 uxx u(x, τ ) = 0 ut (x, τ ) = F (x, τ ). Prúebese entonces que ∫ u(x, t) =

t

w(x, t, τ ) dτ, 0

es la solución de (4.50) para f = g = 0 (obsérvese que w se puede hallar explícitamente). 25. Extender el método de Duhamel a varias dimensiones. Para ello supóngase que el PVI: utt = c2 ∆u + F (x, t) x ∈ Rn , t > 0 (4.51) u(x, 0) = f (x) x ∈ Rn ut (x, 0) = g(x)

x ∈ Rn .

tiene la propiedad de unicidad de soluciones, mientras que admite una solución siempre que F = 0 y f y g sean suficientemente regulares 5 (ver 5 Cuando n ≥ 2, f ∈ C 2 , g ∈ C 1 no es la regularidad suficiente para tener soluciones clásicas. Ver [11], Part. Diff. Equs. 4a Edición.

4.9. EJERCICIOS

141

Ejercicios 36 y 37 del presente capítulo). Siguiendo la idea del Ejercicio 24 hállese una expresión para la solución de (4.51) supuesto que F es continua y de clase C 2 en x ∈ Rn . 26. Consideremos el PVI semilineal, utt = c2 uxx + F (x, t, u, ux , ut ) u(x, 0) = f (x) ut (x, 0) = g(x) que escrito en coordenadas características ξ = x − ct, η = x + ct es 1 F (ξ, η, u, uξ , uη ) 4c2 u(ξ, ξ) = f (ξ)

uξη = −

(4.52)

uξ (ξ, ξ) − uη (ξ, ξ) = c−1 g(ξ). Introduciendo (u, v, w) = (u, uξ , uη ) pruébese que (4.52) es equivalente al sistema de primer orden, uη = w 1 F (ξ, η, u, v, w) 4c2 1 wξ = − 2 F (ξ, η, u, v, w), 4c

vη = −

junto con las condiciones iniciales u|B = f , v|B = 1 1 ′ 2 (f − c g), siendo B la primera bisectriz ξ = η.

(4.53)

1 ′ 2 (f

+ 1c g), w|B =

Pruébese también que toda solución clásica de (4.53) satisface la identidad de punto fijo, ∫ u = f (ξ) −

ξ

w(ξ, s) ds η

v=

1 ′ 1 1 (f (ξ) + g(ξ)) + 2 2 c 4c

1 1 1 w = (f ′ (η) − g(η)) − 2 2 c 4c

∫

ξ

F (ξ, s, u, v, w) ds

(4.54)

η

∫

ξ

F (s, η, u, v, w) ds. η

Si, en coordenadas ξ, η, Qδ = [x0 − δ, x0 + δ] × [x0 − δ, x0 + δ] para x0 fijado y δ > 0, utilícese (4.54) para construir un operador T en X = C(Qδ , R3 ) cuyos puntos fijos den las soluciones de (4.53). Pruébese que si F es de clase C 1 en R5 puede encontrarse una bola en X (δ pequeño) en la que el problema tiene una única solución (reprodúzcase el desarrollo análogo presentado en el capítulo).

142

CAPÍTULO 4. ECUACIÓN DE ONDAS

27. Consideremos la solución del u = u(x, t) del problema de Dirichlet utt = c2 uxx u(x, 0) = f (x) ut (x, 0) = g(x)

0 < x < l, t > 0 0≤x≤l 0≤x≤l

u(0, t) = u(l, t) = 0

t > 0,

donde f , g son suficientemente regulares y satisfacen las correspondientes condiciones de compatibilidad. Prúebese que u es periódica en t de periodo 2l/c. ¿Qué sucede en el caso del problema de Neumann? 28. En base a las ideas de extensión y simetría constrúyase la solución del problema “mixto” utt = c2 uxx 0 < x < l, t > 0 u(x, 0) = f (x) 0≤x≤l ut (x, 0) = g(x) 0≤x≤l u(0, t) = ux (l, t) = 0 t > 0, estableciendo las condiciones de regularidad y compatibilidad que deben satisfacer los datos f y g del problema. 29. Se considera la ecuación de ondas n-dimensional (c = 1), ux1 x1 − ux2 x2 − · · · uxn+1 xn+1 = 0 . Estúdiese la forma de todas las transformaciones lineales que la dejan invariante, probando que forman un grupo (transformaciones de Lorentz, ver [12]). En el caso particular n = 1, ux1 x1 − ux2 x2 = 0, hállense explícitamente todas esas transformaciones. Indicación. En el último caso, efectúese el giro preliminar ξ = η = √12 (x + y), para trabajar con la ecuación 2uξη = 0. 30. Prúebese que la solución del problema de Cauchy (n = 3), utt = c2 ∆u u(x, 0) = f (x)

x ∈ R2 , t ∈ R

ut (x, 0) = g(x) con f ∈ C 3 , g ∈ C 2 es u = tMg (x, ct) +

∂ (tMf (x, ct)), ∂t

√1 (x−y), 2

4.9. EJERCICIOS

143

donde Mh (x, r) es el promedio de h sobre la esfera {y : |y − x| = r}: ∫ 1 Mh (x, r) = h(y) dSy , ωn rn−1 |y−x|=r ωn el área de la esfera unidad en Rn . 31. Aplíquese el método del descenso de Hadamard para probar que la solución del problema de Cauchy bidimensional, x ∈ R2 , t ∈ R

utt = c2 ∆u u(x, 0) = f (x) ut (x, 0) = g(x) es 1 u= 2πc

∫

g(y)

∂ √ + 2 2 2 ∂t c t − |x − y|

(

1 2πc

∫

f (y)

)

√ . c2 t2 − |x − y|2 (4.55) Tomar como punto de partida la solución general del problema de Cauchy en el caso tridimensional. Bct (x)

Bct (x)

Procediendo de nuevo con el método del descenso, hállese la solución del problema de Cauchy unidimesional a partir de la del bidimensional (4.55). 32. Supongamos que u(x, t) satisface la ecuación de ondas n-dimensional, utt = c2 ∆u . Prúebese que su media esférica Mu (x, r, t) (abreviada M (r, t)) cumple, con respecto a la variables (r, t), la ecuación de Euler-Darboux-Poisson, { } n−1 Mtt = c2 Mrr + Mr . r 33. Sea φ = φ(r) una función regular de r, y consideremos el operador diferencial ( )k−1 ( 2k−1 ) 1 ∂ Lk (∂r )φ = r φ(r) , k ∈ N. r ∂r Pruébese la relación ( )k ( 2k ∂φ ) ∂2 1 ∂ L (∂ )φ = r (r) . k r ∂r2 r ∂r ∂r Análogamente, establézcase que, Lk (∂r )φ =

k−1 ∑

cj rj+1 φ(j) ,

j=0

con los cj constantes y c0 = (2k − 1)!!. Finalmente, pruébese que si φ(r) es par, entonces Lk (∂r )φ(r) es una función impar de r.

144

CAPÍTULO 4. ECUACIÓN DE ONDAS

34. Sea M = M (r, t) una solución clásica de la ecuación de Euler-DarbouxPoisson. Defínase (supuesta M suficientemente regular) v(r, t) = Lk (∂r )M (r, t), donde Lk (∂r ) es el operador diferencial del Ejercicio 33. Demuéstrese que v = v(r, t) es una solución de la ecuación de ondas unidimesional, vtt = c2 vrr , siempre que n = 2k + 1 (compárese con el caso tridimensional). 35. Sea u = u(x, t) ∈ C 2 (Rn × R) la solución del problema de Cauchy, utt = c2 ∆u

x ∈ Rn , t ∈ R (4.56)

u(x, 0) = f (x) ut (x, 0) = g(x) ,

donde n es un número impar, n = 2k + 1. Sean asimismo M (r, t) = Mu (x, r, t) mientras v(r, t) = Lk (∂r )M (r, t), φ(r) = Lk (∂r )Mf (x, r), ϕ(r) = Lk (∂r )Mg (x, r), donde Lk (∂r ) es el operador diferencial del Ejercicio 33. Prúebese que, v=

} 1{ 1 φ(ct + r) − φ(ct − r) + 2 2c

∫

ct+r

ϕ(s) ds .

(4.57)

ct−r

(Recuérdese que φ y ϕ son, en este caso, impares). Dedúzcase de (4.57) que la solución clásica de (4.56) satisface 1 1 ∂ (Lk (∂t )(Mg (x, ct))) + (Lk (∂t )(Mf (x, ct))) (n − 2)!! (n − 2)!! ∂t ( ) ∫ ( 1 ∂ )(n−3)/2 tn−2 1 = g(x + cty) dSy (n − 2)!! t ∂t ωn |y|=1 { ( )} ∫ 1 ∂ ( 1 ∂ )(n−3)/2 tn−2 + f (x + cty) dSy (n − 2)!! ∂t t ∂t ωn |y|=1 (4.58) Nota. En (4.58) las actuaciones del operador Lk (∂t ) se entienden sobre las funciones compuestas de t, Mg (x, ct) y Mf (x, ct). Asimismo en (4.58) se hace necesario suponer que f y g son suficientemente regulares: f ∈ C (n+3)/2 , g ∈ C (n+1)/2 . u(x, t) =

36. Supongamos que f ∈ C (n+3)/2 , g ∈ C (n+1)/2 , con n impar (como en el Ejercicio 35). Pruébese entonces que la u(x, t) es efectivamente solución del problema de Cauchy n-dimensional (4.56).

4.9. EJERCICIOS

145

37. Aplíquese el método del descenso para establecer, partiendo de (4.58), que si n = 2˙ la solución del problema de Cauchy (4.56) adopta la forma, (∫ ) ( 1 ∂ )(n−2)/2 2 g(y) √ u = n−1 dy+ c ωn+1 (n − 1)!! t ∂t c2 t2 − |x − y|2 Bct (x) 2

∂ n−1 c ωn+1 (n − 1)!! ∂t

) } { (∫ ( 1 ∂ )(n−2)/2 f (y) √ dy . t ∂t c2 t2 − |x − y|2 Bct (x)

Supóngase para ello que f ∈ C (n+4)/2 , g ∈ C (n+2)/2 . 38. (Ondas Planas). Consideremos que en el problema de Cauchy (4.56) los datos iniciales f (x) y g(x) tienen la propiedad de que: f (x) = F (w · x)

g(x) = G(w · x) ,

∑n donde w ∈ Rn , |w| = 1, w · x = i=1 wi xi . Pruébese entonces que la solución del problema (4.56) tiene la forma siguiente: u(x, t) =

1 1 (F (w · x + ct) + F (w · x − ct)) + 2 2c

∫

w·x+ct

g(s) ds . w·x−ct

Nota. Toda función de la forma u(x, t) = U (w · x + δt) se denomina onda plana con velocidad de propagación δ, vector número de onda w y fase θ = w · x + δt.

146

CAPÍTULO 4. ECUACIÓN DE ONDAS

Capítulo 5

La ecuación del calor 5.1.

Problema de valor inicial

Nos ocuparemos en primer lugar del estudio del problema de valor inicial: { ut = uxx x∈R t>0 (5.1) u(x, 0) = f (x) x ∈ R. Las consideraciones de similaridad que siguen llevan al candidato a solución de (5.1). Primeramente obsérvese que si u(x, t) resuelve, ut = uxx ,

1

(5.2)

entonces, v = u(±x + y, t + τ ), es también solución cualesquiera que sean y, τ ∈ R. Análogamente, √ vλ = u( λx, λt) λ > 0,

(5.3)

también es solución de (5.2) para todo λ > 0. Si θ = θ(x) es la función de Heaviside, θ(x) = 1 para t ≥ 0, θ(x) = 0 para t < 0 un problema básico que se puede plantear (descartando los casos triviales) es, { ut = uxx x∈R t>0 (5.4) u(x, 0) = θ(x) x ∈ R. Como θ es invariante frente a cambios de escala, θ(x) = θ(λx), (5.3) y la hipotética unicidad de soluciones nos llevan a conjeturar, √ ∀λ > 0. (5.5) u( λx, λt) = u(x, t) 1 Más tarde se comprobará que salvo restricciones en la clase de las soluciones a tratar, (5.1) carece de la propiedad de unicidad de soluciones clásicas.

147

148

CAPÍTULO 5. ECUACIÓN DEL CALOR

Eligiendo λ = 1/t en (5.5) llegamos a x u(x, t) = u( √ , 1), t que nos sugiere buscar soluciones de (5.4) de la forma, ( ) x u(x, t) = ϕ √ . t √ Poniendo ζ = x/ t llegamos fácilmente a: ζ ϕ′′ + ϕ′ = 0, 2 bajo las condiciones, l´ım ϕ(ζ) = 0

l´ım ϕ(ζ) = 1.

ζ→−∞

ζ→+∞

Teniendo en cuenta el valor de la integral gaussiana 1 ϕ(ζ) = √ 4π

∫

ζ

2

− s4

e −∞

1 ds = √ π

∫

∫

e−s ds = 2

R

ζ/2

√ π obtenemos,

e−z dz, 2

−∞

alternativamente, ϕ(ζ) =

1 1 ζ + Erf ( ), 2 2 2

donde Erf es la función error, 2 Erf (ζ) = √ π

∫

ζ

e−z dz. 2

0

Por tanto, un candidato a solución de (5.4) es, 1 1 uθ (x, t) = + √ 2 π

∫

√ x/ 4t

e−z dz. 2

0

Propiedad 5.1. uθ ∈ C ∞ {t > 0}, resuelve (5.2) y { 0 x 0. Ejercicio 5.1. Pruébese que para cada τ ∈ [0, 1] existe una curva Γ en t > 0 tal que: l´ım u = τ. P →(0,0),P ∈Γ

5.1. PROBLEMA DE VALOR INICIAL

149

Sea ahora I = [a, b], χI su función característica. Es inmediato que una solución de (1) para el dato f = cχI es, u = c{uθ (b − x, t) + uθ (x − a, t) − 1}, es decir, c u= √ π

∫

√ (x−a)/ 4t

√ (x−b)/ 4t

e−z dz. 2

Por otra parte, si f ∈ C[a, b] y la consideramos extendida por 0 a R podemos dar una aproximación poligonal de la forma, fn (x) =

n ∑

f (¯ yi )χIi (x),

i=1

con yi = a + ih, h = (b − a)/n, y¯i ∈ Ii . Una solución correspondiente a fn es un (x, t) = =

n ∑ i=1 n ∑ i=1

=

n ∑

√

i=1

f (¯ yi )uχIi (x, t) f (¯ y) √i π

√ (x−yi−1 )/ 4t

∫

√ (x−yi )/ 4t

e−z dz 2

2 1 f (¯ yi )e−(x−˜yi ) /4t h, 4πt

con y˜i ∈ Ii . Para t > 0 fijado, el teorema de Bliss nos dice que, un ∼

n ∑ i=1

2 1 √ f (¯ yi )e−(x−¯yi ) /4t h, 4πt

cuando n → ∞. Tomando límites en (5.6) cuando n → +∞ obtenemos: ∫ 2 1 u(x, t) = √ e−(x−y) /4t f (y) dy. 4πt R

(5.6)

(5.7)

Nada más natural que proponer (5.7) –fórmula de Poisson– como candidato a solución de (5.1). Por otro lado, y usando las ideas de separación de variables (ejercicio unas líneas más abajo), si f ∈ C(Rn ) un posible candidato a solución del problema n-dimensional: { ut = ∆u x ∈ Rn t > 0 (5.8) u(x, 0) = f (x) x ∈ Rn , es, 1 u(x, t) = √ ( 4πt)n

∫ R

e−|x−y|

2

/4t

f (y) dy.

(5.9)

150

CAPÍTULO 5. ECUACIÓN DEL CALOR

Ejercicio 5.2. Si u1 (x1 , t), . . . , un (xn , t) son soluciones de (5.2) verfíquese que u(x, t) = u1 (x1 , t) . . . un (xn , t) es solución de ut = ∆u. Conviene fijar las notaciones: Cbk (Rn ) = {f ∈ C k (Rn ) : sup |∂ α f (x)| < ∞ |α| ≤ k}, C k,k/2 (Rn × R+ ) = {u ∈ C(Rn × R+ ) : ∂xα ∂tj u ∈ C(Rn × R+ ) |α| + 2j ≤ k}. Teorema 5.2. Para f ∈ Cb (Rn ) representemos por ∫ 2 1 u = Kf (x, t) = √ e−|x−y| /4t f (y) dy. n ( 4πt) R Entonces 1. u ∈ C ∞ (Rn × R+ ) ∩ C(Rn × [0, +∞)) define una solución clásica de (5.8), es decir, l´ım u(x, t) = f (x0 ). (x,t)→(x0 ,0)

2. (Conservación de la energía) Si además f ∈ L1 (Rn ) entonces: ∫ ∫ u(x, t) dx = f (x) dx t > 0. Rn

Rn

3. (Comparación con el dato inicial) ´ınf f ≤ u(x, t) ≤ sup f

x ∈ Rn , t > 0.

k,k/2

4. Si f ∈ Cbk (Rn ) entonces u ∈ Cb (Rn × [0, +∞)). Más aún, para |α| + j 2j ≤ k, v = ∂xα ∂t u resuelve, { vt = ∆v x ∈ Rn t > 0 v(x, 0) = ∂xα (∆j f (x)) x ∈ Rn . Demostración. Nos limitaremos a las ideas principales. Denotemos por, √ 2 K(x, y, t) = ( 4πt)−n e−|x−y| /(4t) al núcleo del calor. Fijemos (x0 , t0 ), t0 > 0 y ε > 0 pequeño. Para todo α, j se tiene, 2 1 ∂xα ∂tj K(x, y, t) = P ( , x − y)e−|x−y| /(4t) t donde P = P (τ, z) es un cierto polinomio, ∑ P (τ, z) = ar,β τ r z β . r,β

5.1. PROBLEMA DE VALOR INICIAL De ahí, |∂xα ∂tj K(x, y, t)| ≤

∑

|ar,β |

r,β

151

2 1 |x − y||β| e−|x−y| /(4t) . r t

Cuando |t − t0 |, |x − x0 | ≤ ε, tenemos, ∑ r,β

∑ ∑ (|β|) 1 1 |β| |ar,β | (|x0 | + ε)|β|−s |y|s . |ar,β | r |x − y| ≤ t (t0 − ε)r s r,β

s≤|β|

Por otro lado, para todo ν < 1, ν ∼ 1, existe δ > 0 tal que, |y − x|2 ≥ |y|2 − 2(|x0 | + ε)|y| ≥ ν|y|2 − δ

y ∈ Rn .

Por lo tanto, e−|x−y|

2

/(4t)

≤ eδ/(4(t0 +ε)) e−ν|y|

2

/(4(t0 +ε))

.

De ahí, para un cierto polinomio de coeficientes positivos Q, ∫ ∫ 2 |∂xα ∂tj K(x, y, t)||f (y)| dy ≤ Q(|y|)e−ν|y| /(4(t0 +ε)) dy < ∞. Rn

(5.10)

Rn

Esto prueba la regularidad de u. Los demás resultados se dejan como ejercicio (cf. [11]). Observación 5.1. Si f es medible y 2

|f (x)| ≤ M ea|x| ,

(5.11)

a > 0, se sigue de (5.10) que u = Kf define una solución clásica de (5.8) en 0 < t < 1/(4a) cumpliendo: l´ım (x,t)→(x0 ,0)

u(x, t) = f (x0 ),

(5.12)

en los puntos de continuidad x0 de f . Probémoslo. En efecto, |f (y)−f (x0 )| ≤ ε/2 para |y − x0 | ≤ δ. Así, ∫ 2 1 ε e−|y−x| /(4t) |f (y) − f (x0 )| dy, |u(x, t) − f (x0 )| ≤ + √ 2 ( 4πt)n |y−x|≥δ/2 siempre que |x − x0 | ≤ δ/2 (el primer sumando corresponde a una integración 2 sobre Bδ/2 (x)). Podemos ahora acotar |f (y) − f (x0 )| ≤ M1 ea|y| , con lo que la segunda integral se estima en la forma, ∫ √ 2 2 M √ 1n e(4ta−1)|z| +2a 4t|z|+|x| dz √ ( π) |ζ|≥δ/(2 4t) 2 ∫ 2 1 M1 e(|x0 |+δ/2) √ n e− 2 |z| +|z| dz → 0, ≤ √ ( π) |ζ|≥δ/(2 4t) cuando t → 0+.

152

CAPÍTULO 5. ECUACIÓN DEL CALOR

Observación 5.2. Es inmediato comprobar que si en (5.8), f tiene soporte compacto, f ≥ 0, por ejemplo (f ̸= 0) entonces u = Kf (x, t) > 0, para todo x en t > 0. Comprobaremos que lo mismo ocurre cuando tratamos con problemas de contorno (donde hay unicidad). Esto significa que las perturbaciones iniciales se propagan con velocidad infinita. Ejercicio 5.3. Pruébese la estimación: ( n )n/2 1 |K(x, y, t)| ≤ . 2πe |x − y|n

5.2.

El problema perturbado

Si consideramos el problema, { ut = ∆u + F (x, t) u(x, 0) = 0

x ∈ Rn t > 0 x ∈ Rn ,

(5.13)

el método de variación de las constantes (ver Capítulo 4) nos lleva a que un candidato a solución de (P) es: ∫ t ∫ 2 1 u(x, t) = e−|x−y| /(4(t−τ )) F (y, τ ) dydτ. (5.14) n 0 (4π(t − τ )) Rn Justificar que (5.14) es una solución clásica de (5.13) es más delicado y requiere cierta regularidad de F en x. La demostración del siguiente teorema se omite (cf. [16]). Teorema 5.3. Sean F, ∂x F ∈ C(Rn × [0, ∞)) ∩ L∞ (Rn × [0, ∞)). Entonces (5.14) define una solución del problema (5.13). Observación 5.3. Sobre la existencia de las derivadas parciales hasta el orden 2 véase el Ejemplo 9.13 del Capítulo 9. La derivabilidad de F en x se puede relajar a continuidad Hölderiana. Sin embargo, la solución puede no existir si F es meramente continua (véase [16]).

5.3.

No unicidad de soluciones

Resulta sorprendente que el problema de valor inicial: { ut = uxx x∈R t∈R u(x, 0) = 0 x ∈ R.

(5.15)

admite una una solución no trivial. La construcción que describimos a continuación se debe a Tychonoff ([11]). Ver [27] para otra clase de ejemplos. Buscamos una solución de   (x, t) ∈ R2 uxx = ut u(0, t) = g(t) t ∈ R   ux (0, t) = 0 t ∈ R,

5.3. NO UNICIDAD DE SOLUCIONES en la forma: u=

∞ ∑

153

gj (t)xj .

j=0

Una substitución formal en la ecuación lleva a: u=

∞ ∑

1 g (m) (t)x2m . (2m)! m=0

(5.16)

Para darle validez a (5.16) como solución elegimos: { exp{−t−α } t > 0 g(t) = 0 t ≤ 0, con α > 1. La analiticidad de g en t > 0 y la fórmula de Cauchy prueban (Ejercicio 11) la existencia de θ > 0 tal que: |g (k) (t)|
0,

para todo k ≥ 0. En particular, ( ∞ ) ∞ ∑ ∑ 1 ( |x|2 )m |x|2 1 −α 1 −α 1 (m) 2m |g (t)||x| ≤ e− 2 t ≤ e θt − 2 t , (5.17) (2m)! m! θt m=0 m=0 para t > 0. La estimación (5.17) dice que la serie en (5.16) converge uniformemente sobre compactos de t > 0 y que dicha serie converge uniformemente a cero para x en compactos cuando t → 0+ (u es trivialmente 0 en t ≤ 0). Apelando a los cálculos hechos en el Capítulo 3, la serie (5.16) puede ser derivada término a término infinitas veces con respecto a x de forma que el resultado converge uniformemente en (x, t) , para |x| ≤ M y todo t ∈ R. Eso se debe a que: ∞ ∑

|M |2 1 −α 1 |g (m) (t)||x|2m ≤ e θt − 2 t ≤ K < ∞, (2m)! m=0

para |x| ≤ M , t > 0. En efecto obtenemos la estimación uniforme de los coeficientes de la serie, 1 K |g (m) (t)| ≤ 2m . (2m)! M De aquí, las derivadas de la serie en x convergen uniformemente en (x, t) siempre que x esté acotado. Al derivar (5.16) término a término j veces con respecto a t uno descubre que el resultado es la serie de ∂x2j u. Como ésta converge uniformemente en (x, t) resulta que: ∂tj u = ∂x2j u. Por la misma razón ∂tj ∂xα u = ∂x2j+α u con lo que u ∈ C ∞ (R2 ), define una solución no trivial de (5.15) que se anula en t ≤ 0.

154

5.4.

CAPÍTULO 5. ECUACIÓN DEL CALOR

Soluciones analíticas de la ecuación del calor

La solución de Poisson, 1 u = Kf (x, t) = √ ( 4πt)n

∫

e−|x−y|

2

/(4t)

f (y) dy,

Rn

pongamos, para f ∈ L∞ (Rn ), es automáticamente C ∞ en t > 0. Más aún, puede prolongarse analíticamente a x ∈ Cn , t ∈ C con ℜ(t) > 0 ([11]). En efecto, basta dar valores x ∈ Cn en la expresión: n ∑ (xi − yi )2 , i=1

poniendo t ∈ C. Más precisamente, para t = σ + iτ , x = ξ + iη, ξ, η ∈ Rn se tiene: −|x−y|2 /(4t) √1 ( 4πt)n e ) ( ) ( n/4 −1 2 2 −1 2 1 τ2 −|(ξ+τ σ η−y| /(4(σ+τ σ )) e|η| /4σ = 1+ 2 √ ne σ ( 4π(σ + τ 2 σ −1 ) ( )n/4 2 τ2 = 1+ 2 e|η| /4σ K(ξ + τ σ −1 η, y, σ + τ 2 σ −1 ). σ Estimando la integral de Poisson y la de sus derivadas se obtiene que u es C 1 en Cn × {ℜ(z) > 0}. En particular, u = u(x, t) es real analítica. Observación 5.4. La analiticidad real de la solución del problema de valor inicial (P) se gana inmediatamente para t > 0. Podría pensarse que si f es real analítica u también lo es para |t| < ε, aunque ε varíe de punto a punto. Un contraejemplo debido a la propia S. Kowalevski –precisamente el Ejercicio 17 del Capítulo 3 – demuestra que esto en general no sucede.

5.5.

Problemas de valor inicial y contorno

El modelo físico que da lugar a la ecuación del calor sugiere plantearse el problema de contorno y valor inicial:   0 < x < l, t > 0 ut = uxx + F (x, t) u(x, 0) = f (x) 0 0 x∈Ω x ∈ ∂Ω, t > 0,

155

(5.18)

∂u ∂u (Neumann), Bu = +b(x, t)u ∂ν ∂ν

(Robin, b ≥ 0). El siguiente resultado admite la correspondiente contrapartida unidimensional (donde es posible introducir condiciones mixtas). Debe resaltarse la regularidad que se impone a las soluciones. Teorema 5.4. Sea Ω ⊂ Rn un dominio acotado y C 1 de Rn . Entonces el problema de valor inicial y de contorno (5.18) admite a lo más una solución clásica u ∈ C 2 (Ω × [0, T )). Demostración. Basta con estudiar el comportamiento de la integral, ∫ u2 (x, t) dx . Ω

Usando las ideas de simetría el problema de Dirichlet homogéneo   0 < x < l, t > 0 ut = uxx u(x, 0) = f (x) 0 0 de forma que u → f cuando t → 0+ en uniformemente sobre compactos de (0, l). En realidad, u ¯ está definida en R × (0, +∞). Las condiciones de compatibilidad f (0) = f (l) = 0 implican que u es una solución clásica que ajusta uniformemente con el dato f cuando t → 0+. En el caso Neumann,   0 < x < l, t > 0 ut = uxx (5.20) u(x, 0) = f (x) 0 0.

156

5.6.

CAPÍTULO 5. ECUACIÓN DEL CALOR

Principios del máximo para la ecuación del calor

Para Ω ⊂ Rn , T > 0 usaremos la siguiente notación. QT = Ω × (0, T ) ⊂ R × R. Por otro lado ΓT = (Ω × {0}) ∪ (∂Ω × [0, T ]) (la frontera parabólica de QT ). En los enunciados que siguen y para abreviar escribiremos Lu = ut − ∆u para representar el operador del calor. n

Teorema 5.5 (Principio del máximo débil). Sea u ∈ C 2,1 (QT )∩C(QT ) tal que: Lu ≤ 0 en QT . Entonces,

sup u ≤ sup . QT

ΓT

Una consecuencia importante del teorema es el llamado principio de comparación. Corolario 5.6. Sean u, v ∈ C 2,1 (QT ) ∩ C(QT ) tales que: Lu ≤ Lv

para (x, t) ∈ QT

u≤v

en cada (x, t) ∈ ΓT .

Entonces: u≤v

(x, t) ∈ QT .

En particular, para cada F , f y α el problema de Dirichlet:   ut = ∆u + F (x, t) x ∈ Ω, t > 0 u(x, 0) = f (x) x∈Ω   u(x, t) = α(x, t) x ∈ ∂Ω, t > 0, admite a lo más una solución clásica u ∈ C 2,1 (QT ) ∩ C(QT ). Observación 5.5. Nótese que se ha mejorado, para el problema de Dirichlet, la regularidad exigida a las soluciones a los efectos de la unicidad. El principio débil del máximo puede refinarse al extremo de que una solución clásica u de Lu = 0 en QT sólo puede tomar los extremos en la frontera parabólica, salvo que sea constante (cf. [18]). En las propiedades que siguen E ⊂ Rn × R designa un dominio mientras Lu = ut − ∆u. Teorema 5.7 (Principio Fuerte del Máximo). Sea u ∈ C 2 (E) tal que: Lu ≤ 0

(x, t) ∈ E,

en tanto que u ≤ M en E para cierta constante M . Si existe P1 = (x1 , t1 ) ∈ E tal que u(x1 , t1 ) = M entonces u = M para todos los hiperplanos t = t0 que puedan conectarse en E por segmentos verticales x = x0 con la componente conexa en E de {t = t1 } ∩ E que contiene a P1 .

5.6. PRINCIPIOS DEL MÁXIMO

157

La demostración se fracciona en tres lemas (cf. [18]). Lema 5.8. Supongamos que u ∈ C 2 (E) satisface u ≤ M en E mientras que B ¯ ⊂ E de forma que: es una bola B ⊂ B 1. u < M en B, 2. ∃P ∈ ∂B tal que u(P ) = M . Entonces, necesariamente, el hiperplano tangente a B en P adopta la forma t = constante. El Lema 5.8 afirma que el máximo sólo puede tomarse en lo más alto o lo más bajo de la bola. La propiedad siguiente es válida para toda función continua u ∈ C(E) que satisfaga la tesis del Lema 5.8. Lema 5.9. Supongamos, como en el Lema 1, que Lu ≤ 0 en E, mientras u ≤ M en E. Si u(P0 ) < M para algún P0 = (x0 , t0 ) ∈ E entonces u < M en toda la componente conexa de {t = t0 } que pasa por P0 . Lema 5.10. Sea u ∈ C 2 (E) tal que Lu ≤ 0 y u ≤ M en E. Supongamos que u < M en {t0 < t < t1 } ∩ E (o en una cualquiera de las componentes conexas C de dicho conjunto). Entonces u(P ) < M en todo P ∈ E, P = (x1 , t1 ) ¯ (respectivamente, que además cumpla P ∈ C). Observación 5.6. a) Cuando E = Ω × (0, T ), Ω ⊂ Rn un dominio y se permite además que u sea regular hasta t = T , es decir u ∈ C 2,1 (QT ∪ {t = T }) entonces que u(x, T ) = M en algún (x, T ), x ∈ Ω, implica que u ≡ M . b) La conclusión del principio fuerte del máximo sigue siendo válida si el operador del calor se substituye por otros operadores parabólicos más generales (cf. [18], Ejercicios 13-20). En particular para: Lu = ut − ∆u +

n ∑

bi (x, t)∂i u + h(x, t)u,

i=1

donde los coeficientes bi y h son, por ejemplo, continuos y acotados en E ⊂ Rn × R, el coeficiente del término de orden cero cumple: h≥0

en E,

mientras al supremo se le impone la restricción de signo: M ≥ 0. Véanse más detalles en la sección de problemas.

158

CAPÍTULO 5. ECUACIÓN DEL CALOR

c) Supongamos que M = supE u mientras que u(P ) = M para cierto P ∈ ∂E. Si ν es cualquier dirección exterior a E en P se cumple (supuesta la existencia de la derivada) que: ∂u (P ) ≥ 0. ∂ν Un teorema de A. Friedman, que generaliza un resultado análogo de Hopf para ecuaciones elípticas afirma que bajo las condiciones del principio fuerte: ∂u (P ) > 0, ∂ν siempre que u < M cerca de P , que dicha derivada exista y que ν sea una dirección exterior no paralela al eje t. La segunda condición puede relajarse reemplazando la derivada por una derivada inferior de Dini. Es conveniente precisar con detalle tal resultado. Teorema 5.11. Sea L un operador en las condiciones de la Observación 5.6–b) mientras P ∈ ∂E es un punto donde: 1. Existe una bola B ⊂ E tal que P ∈ ∂B (una bola interior a E tangente a ∂E en P ). 2. u < M en B, donde M = u(P ), M ≥ 0. Entonces, para toda dirección exterior ν al dominio E en P se tiene: ∂u (P ) > 0, ∂ν si es que tal derivada existe (la derivada puede reemplazarse por una derivada de Dini adecuada). Un corolario inmediato del principio fuerte del máximo es el llamado principio de comparación fuerte (problema de Dirichlet). Teorema 5.12 (Principio de comparación fuerte). Sea Ω ⊂ Rn un dominio acotado, T > 0, u, v ∈ C 2,1 (QT ) ∩ C(QT ) tales que: Lu ≤ Lv

en QT ,

junto con, u≤v

sobre ΓT .

Entonces se da una y sólo una de las siguientes opciones: o bien u = v en QT o bien u(x, t) < v(x, t) para todo (x, t) ∈ QT . Tenemos también el siguiente resultado para el problema de Dirichlet unidimensional.

5.6. PRINCIPIOS DEL MÁXIMO

159

Teorema 5.13. Sea f ∈ C[0, l] tal que f (0) = f (l) = 0. Entonces el problema de Dirichlet para la ecuación del calor ut = uxx admite una única solución clásica u ∈ C 2,1 ((0, l) × (0, +∞)) ∩ C([0, l] × [0, +∞)). Si además f ≥ 0 entonces o bien u ≡ 0 o bien u > 0 en (0, l) × (0, +∞). El siguiente resultado es un principio de comparación para todas las condiciones de contorno B consideradas al principio de la sección. Teorema 5.14 (Principio general de comparación). Sea Ω ⊂ Rn un dominio acotado y C 2 de Rn mientras u, v ∈ C 2,1 (QT ∪ {t = T }) ∩ C 1,0 (QT ) satisfacen: Lu ≤ Lv u≤v Bu ≤ Bv

en QT en t = 0 en (x, t) ∈ ∂Ω × (0, T ].

Entonces u ≤ v en QT . Demostración. El caso Dirichlet ya se ha tratado. Consideremos los otros dos problemas de contorno. Si w = u − v, todo consiste en probar que M = sup w ≤ 0. Caso contrario M > 0 y tendríamos u(Pm ) = M, sólo en algún Pm ∈ ΓT . En efecto u(P1 ) = M con P1 ∈ QT ∪ {t = T } lleva a u = M en QT que no es posible. Caben dos opciones. Primero que en el operador de contorno, Bu =

∂u + bu, ∂ν

tengamos b(x, t) > 0 en cada (x, t) ∈ ΓT con t > 0. En ese supuesto se tiene: ∂w (Pm ) ≤ −b(Pm )u(Pm ) = −b(Pm )M < 0, ∂ν lo que no puede ser. En un máximo en la frontera como Pm siempre se ha de ∂w tener (Pm ) ≥ 0. ∂ν Si b llega a anularse total o parcialmente en ∂Ω × (0, T ] (el primer caso corresponde a condiciones de Neumann) habremos de proceder con más cuidado. En primer lugar, afirmamos (véase ejercicio al final de la prueba) la existencia de ϕ ∈ C 2 (Ω), ϕ > 0 en Ω tal que: ϕν = γϕ, sobre ∂Ω y γ es una constante prefijada arbitraria. Hacemos, w = e−λt ϕv,

160

CAPÍTULO 5. ECUACIÓN DEL CALOR

obteniendo, ( ) vt ≥ ∆v + 2ϕ−1 ∇ϕ∇v + λ + ϕ−1 ∆ϕ v v≤0 vν + (γ + b)v ≤ 0

(x, t) ∈ QT ∪ {t = T } x ∈ Ω, t = 0 x ∈ ∂Ω.

Ahora, γ y λ pueden elegirse, sucesivamente, para que se tengan las condiciones, γ + b > 0 en ∂Ω ,

λ + ϕ−1 ∆ϕ > 0 en QT .

Aplicando la primera parte concluimos que v ≤ 0, luego w ≤ 0 que es lo que se deseaba probar. Ejercicio 5.4. Constrúyase ϕ en los casos Ω = (0, l) un intervalo, Ω = BR (0) una bola en Rn . Observaciones 5.7. a) La construcción de ϕ en un dominio general Ω se apoya en la función distancia a la frontera ∂Ω, d = d(x), d:

{x ∈ Ω : dist (x, ∂Ω) < ε} x

−→ 7−→

R d(x) = dist (x∂Ω),

que es tan regular como ∂Ω, en este caso C 2 . Ver [13], Capítulo XIV, para una discusión detallada de la función distancia d en términos de la geometría de la frontera. b) El teorema de comparación proporciona la unicidad para condiciones de contorno generales y menos regularidad, a saber: u ∈ C 2,1 (QT ∪Ω×{T })∩C 1,0 (QT ). Ejercicio 5.5. En las condiciones de regularidad del teorema de comparación sea u una solución clásica del problema: ut = ∆u u=f Bu = 0

x ∈ Ω, t > 0 t=0 x ∈ ∂Ω.

Demuéstrese que: |u(x, t)| ≤ sup |f |. Ω

5.7.

Principios del máximo en dominios no acotados

El siguiente teorema señala una clase de funciones en la que es posible garantizar la unicidad de soluciones para el problema de Cauchy.

5.7. PRINCIPIOS DEL MÁXIMO

161

Teorema 5.15. Supongamos que u ∈ C 2,1 (0 < t < T ) ∩ C([0, T ]) satisface: ut ≤ ∆u u(x, 0) = f (x)

x ∈ Rn , 0 < t < T x ∈ Rn ,

que satisface la condición de crecimiento exponencial: 2

u(x, t) ≤ M ea|x| . Entonces, u(x, t) ≤ sup f . Una consecuencia del teorema es la siguiente propiedad de unicidad. Si u1 , u2 son soluciones del problema de valor inicial x ∈ Rn , 0 < t < T

ut = ∆u

x ∈ Rn ,

u(x, 0) = f (x)

(5.21)

satisfaciendo la condición de crecimiento 2

|u(x, t)| ≤ M ea|x| ,

(5.22)

quizás para diferentes a’s y M ’s, entonces u1 = u2 . En particular (5.21) sólo admite, si f ∈ Cb (Rn ), una solución acotada: la solución de Poisson. Como regla general, para problemas en dominios no acotados, condiciones de crecimiento como (5.22) juegan el papel de condiciones de contorno en “el infinito”. Demostración. Primeramente introducimos la solución especial, v(x, t) =

2 ∗ 1 e|x−y| /4(T −t) , (4π(T ∗ − t))n/2

que se obtiene –esencialmente– haciendo el cambio t → −t, x → ix el la ecuación del calor, en la que observamos a y ∈ Rn como un parámetro. Fijamos Q = BR (y) × (0, T ) e intentamos aplicar el principio del máximo a: w = u − µv

(µ > 0).

El claro que w ≤ f en t = 0 mientras en |x − y| = R, 2

w(x, t) ≤ M ea(|y|+R) −

2 ∗ µ eR /4T . (4πT ∗ )n/2

El segundo miembro tiende a −∞ cuanto R → +∞, previa suposición de que: a
0 de forma que: |f (x)| ≤ M ea|x| en Rn . Demuéstrese que la fórmula de Poisson: ∫ |x−y|2 1 − 4t u(x, t) = K(f )(x, t) = f (y) dy, e (4πt)n/2 Rn 1 1 define una solución en C 2 (Rn × (0, 4a )) ∩ C(Rn × [0, 4a )) del problema de Cauchy: 1 ut = ∆u x ∈ Rn , 0 < t < 4a u(x, 0) = f (x) x ∈ Rn .

3. Sea Ω un dominio acotado de R3 y supongamos que Ω está aislado térmicamente y posee una fuente calorífica con densidad −f (x), x = (x1 , x2 , x3 ). La evolución de la temperatura u(x, t) vendrá dada por la solución del problema: ∂u = ∆u − f (x), x ∈ Ω, t > 0, ∂t u(x, 0) = u0 (x), x ∈ Ω, ∂u = 0, x ∈ ∂Ω, ∂ν siendo u0 (x) la temperatura inicial. Las configuraciones estacionarias de la temperatura cumplirán entonces el problema de contorno: ∆u = f (x), x ∈ Ω, ∂u = 0, x ∈ ∂Ω. ∂ν

(5.25)

5.9. EJERCICIOS

165

¿Serán únicas las soluciones del problema (5.25)?. Admitamos que f ∈ C(Ω) y supongamos que todas las soluciones u(x) de (5.25) están en C 1 (Ω) ∩ C 2 (Ω). Demuéstrese que una condición necesaria para que (5.25) admita una solución es que: ∫ f dx = 0. Ω

4. Hállense las soluciones estacionarias del problema: { cρut = kuxx + αu, t > 0, 0 < x < l, u(0, t) = u(l, t) = 0, t ≥ 0. ¿ Para qué valores de α serán únicas las soluciones? En todo momento se supondrá que las soluciones del problema son C 2 en [0, l]. 5. Supongamos que las soluciones del problema:    cρAut = kAuxx − µP (u − T0 ), t > 0, 0 < x < l, u(x, 0) = u0 (x), 0 ≤ x ≤ l,   ux (0, t) = ux (l, t) = 0, t ≥ 0, son C 2 en [0, l] y t ≥ 0. Demuéstrese que la temperatura u(x, t) se estabiliza en media cuadrática en torno al valor T0 , es decir: ∫ t→+∞

l

(u(x, t) − T0 )2 dx = 0.

l´ım

0

¿Cuántas soluciones estacionarias admite el problema? ¿Cuántas soluciones homogéneas (e. d., no dependientes de x) admite el problema? 6. Estúdiese la forma genérica de las soluciones de la ecuación del calor: ut = uxx ,

x ∈ R,

que tienen la forma u(x, t) = X(x)T (t). En particular, calcúlense todas las soluciones de la forma exp(αx + βt), α, β ∈ C. A partir de esta familia de soluciones, calcúlense otras familias, por derivación e integración de familias uniparamétricas. 7. Se dice que vn es un polinomio calórico de grado n si tal función es el zn en el desarrollo de exp(xz + tz 2 ). En otras palabras, coeficiente de n! exp(xz + tz 2 ) =

∑ n≥0

vn (x, t)

zn . n!

166

CAPÍTULO 5. ECUACIÓN DEL CALOR a) Demuéstrese que vn (x, t) = n!

[n/2] k ∑ k=0

t xn−2k , k! (n − 2k)!

donde [·] es la función parte entera. b) Demuéstrese que vn (x, 0) = xn ,

v2n (0, t) =

2n! n t , n!

v2n+1 (0, t) = 0.

c) Demuéstrese que los vn (x, t) satisfacen la ecuación del calor ut = uxx . 8. Hállese una solución del problema de Cauchy para la ecuación del calor unidimensional con dato inicial u(x, 0) = x2 . Una guía para hacerlo es la que sigue. Prúebese que si u(x, t) es una hipotética solución entonces uxxx (x, t) también satisface la ecuación del calor con dato g(x) ≡ 0. Conclúyase de aquí (¡ilegalmente !) que uxxx (x, t) ≡ 0 lo que lleva a una posible forma general de la solución. 9. La misma cuestión que en el problema anterior con el dato f (x) = e−x . 10. Resuélvase el problema de Cauchy para la ecuación del calor: ut = kuxx − bt2 u, u(x, 0) = ϕ(x) ∈ Cb (R). Para ello hágase un cambio adecuado de la forma u(x, t) = h(t)v(x, t). 11. Sea f (x) acotada y continua a trozos en R, e. d., exiten x1 < . . . , < xN tales que f|(−∞,x1 ) , f|(x1 ,x2 ) , . . . f|(xN −1 ,xN ) , f|(xN ,+∞) son continuas, siendo los límites (que supondremos existen) f (xi −), f (xi +) finitos. Si: ∫ +∞ |x−y|2 1 e− 4t f (y) dy, u(x, t) = K(f )(x, t) = √ 4πt −∞ hállense los límites:l´ımt→0+ u(xi , t). Indicación. Estúdiese con detalle el caso en que f (x) = θ(x) = 1 si x ≥ 0, θ(x) = 0 si x < 0. 12. Calcúlese la solución del problema: ut = ∆u t > 0, x ∈ Rn 2

u(x, 0) = eα|x| ,

x ∈ Rn ,

que se obtiene por medio de la fórmula de Poisson. 13. Sea f (x) ∈ Cb (Rn ) una función radialmente simétrica, es decir f (x) = h(|x|), x ∈ Rn . Prúebese entonces que la función: ∫ |x−y|2 1 e− 4t f (y) dy, u(x, t) = K(f )(x, t) = n/2 (4πt) Rn es también radialmente simétrica con respecto a x.

5.9. EJERCICIOS

167

14. Sea f (x) ∈ Cbk (Rn ), Cbk (Rn ) = {f : Rn → R/∂ α f (x) ∈ Cb (Rn )para |α| ≤ k}. Pruébese que si u(x, t) = K(f )(x, t) entonces ∂xα ∂tj u ∈ Cb (Rn ×[0, +∞) siempre que 2j + |α| ≤ k. −x2

1 15. (Transformación de Apell). Sea K(x, t) = √4πt e 4t el núcleo del calor en una dimensión. Demúestrese que si u(x, t), x ∈ R, t ∈ R es una solución de la ecuación del calor ut = uxx entonces:

x 1 v(x, t) = K(x, t)u( , − ), t > 0, t t es también una solución de dicha ecuación para t > 0. 16. Sea α > 0 un número real positivo y designemos por g : R → R la función definida por: g(t) = exp (−t−α ),

para t > 0,

g(t) = 0,

si t ≤ 0.

Pruébese la existencia de una constante θ = θ(α), 0 < θ < 1 de forma que: |g (k) (t)| ≤

k! 1 exp ( t−α ), (θt)k 2

para cada t > 0.

Indicación. Utilícese el hecho de que g(z) es holomorfa en ℜ(z) = t > 0 para aplicar la fórmula de Cauchy: ∫ k! g(ζ) g (k) (t) = dζ, 2πi Γ (ζ − t)k+1 Donde, para t > 0, Γ es la circunferencia de centro t y radio r = θt eligiéndose 0 < θ < 1 de forma que ℜ(z −α ) > 12 t−α para todo z ∈ Γ. 17. (Decaimiento de la Energía en la Ecuación del Calor). Sean ui (x, t) ∈ C 2,1 ([0, l] × [0, +∞)), i = 1, 2 soluciones del problema de Dirichlet: ut = uxx 0 < x < l, t > 0 u(x, 0) = f (x) 0 ≤ x ≤ l u(0, t) = α(t),

u(l, t) = β(t).

Pruébese la identidad u1 = u2 . Para ello consideérese la diferencia w(x, t) = u1 (x, t) − u2 (x, t) y pruébese que la función: ∫ l w(ξ, t)2 dξ, E(t) = 0

es no creciente para t ≥ 0. 18. Sean a(x, t), b(x, t) ∈ L∞ (QT ), a(x, t) ≥ k > 0 en QT , L u = ut − a(x, t)uxx + b(x, t)ux . Si u ∈ C 2,1 (QT ∪ {t = T }) satisface Lu ≤ 0 en QT ∪ {t = T } pruébese que sup u ≤ sup u . QT

ΓT

168

CAPÍTULO 5. ECUACIÓN DEL CALOR

19. Sea L el operador del problema 13 y sea E ⊂ R2 un dominio del plano x-t en donde u ∈ C 2,1 (E) cumple Lu ≤ 0, mientras u ≤ M para una cierta constante M . ¯ ⊂ E es una bola donde u < M en B mientras u(P ) = M a) Si B ⊂ B para algún P ∈ ∂B. Demostrar que P = (x0 , t0 ) es tal que t0 toma el valor máximo o el valor mínimo posible en ∂B. b) Si P = (x1 , t1 ) ∈ E es tal que u < M en una componente conexa C de E ∩ {t0 < t < t1 } tal que P ∈ ∂C pruébese que u(P ) < M 20. Demostrar el principio fuerte del máximo para el operador L en las condiciones del problema 13. Demuéstrese asimismo el principio del máximo de Hopf para dicho operador. 21. Sean bi (x) ∈ L∞ (Ω), ∑n 1 ≤ i ≤ n y considérese el operador parabólico: Lu = ut − ∆u + i=1 bi (x)∂i u en un dominio E ⊂ Rn × R del espacio x-t. Demuéstrense los principios débil y fuerte del máximo para dicho operador. Pruébese también el principio del máximo de Hopf. 22. Sean aij (x), bi (x) ∈ L∞ (Ω), Ω ⊂ Rn un dominio acotado, aij = aji de forma que el operador Lu = −

n ∑

aij ∂ij u +

i,j=1

n ∑

bi (x)∂i u ,

i=1

es elíptico en Ω, es decir, existe una función λ = λ(x) > 0 en Ω tal que n ∑

aij (x)ξi ξj ≥ λ(x)|ξ|2

para cada ξ ∈ Rn .

(5.26)

i,j=1

Supóngase además que o bien los aij son continuos (con lo que λ(x) será continua) o bien que λ(x) ≥ λ(K) > 0 sobre cada compacto K ⊂ Ω. ¯ cumple Lu ≤ 0 en Ω entonces Demuéstrese que si u ∈ C 2 (Ω) ∩ C(Ω) supΩ u ≤ sup∂Ω u. Indicación. Para ε > 0 razonar en Ωε = {x ∈ Ω : d(x, ∂Ω) > ε} introduciendo u = v − ηϕ, η > 0 pequeño, η ∼ 0, ϕ = exp{α|x − x0 |2 } con α > 0, x0 ̸∈ Ω. Para α > 0 suficientemente grande es posible conseguir que L(ϕ) < 0 en Ωε . Uno concluye así que supΩε u ≤ sup∂Ωε u. Para obtener supΩ u ≤ sup∂Ω u basta con hacer ε → 0+ (haciendo las comprobaciones pertinentes). 23. Supongamos que el operador L del problema anterior es fuertemente elíptico en el sentido de que la función λ(x) en (5.26) satisface la siguiente condición de positividad fuerte: λ(x) ≥ λ0 > 0

x ∈ Ω.

5.9. EJERCICIOS

169

Pruébese entonces el principio del máximo de Hopf. Es decir, sea u ∈ ¯ B ⊂ Ω es una bola interior a Ω que es además tangente a C 2 (Ω) ∩ C 1 (Ω), ∂Ω en un P ∈ ∂Ω, de forma que u < M en B mientras u(P ) = M . Si ν es la normal unitaria exterior a Ω en P entonces ∂u (P ) > 0 . ∂ν Nótese que no supone novedad alguna el que ∂u/∂ν(P ) ≥ 0. 24. Principios del máximo y términos de orden cero I) . Demuéstrese que el operador Lu = −u′′ − u no cumple el principio del máximo. 25. Principios del máximo y términos de orden cero II). Sea h = h(x, t) ∈ L∞ (E), una función continua y no negativa en E, con E un dominio de Rn × R. Considérese el operador Lu = ut − ∆u + h(x, t)u, que como bien se ve se diferencia de todos los aquí tratados en el término en u (véase el problema anterior). Sea asimismo u ∈ C 2,1 (E) tal que u ≤ M en E. Pruébese2 que si P ∈ E y además u(P ) = M con la condición adicional M ≥ 0 entonces se obtienen las conclusiones del principio fuerte del máximo y del principio de Hopf (supuesto en el último caso que u llega C 1 hasta la frontera ∂E). Búsquese un contraejemplo si h < 0. 26. Probar el principio de comparación: si u y v son soluciones de la ecuación del calor, u ≤ v en t = 0 y x = 0, l entonces u ≤ v. Pruébese que si vt − vxx ≥ 0, 0 ≤ x ≤ π, t > 0, v(0, t) ≥ 0, v(π, t) ≥ 0, v(x, 0) ≥ sen x, entonces v(x, t) ≥ e−t sen x. 27. (Sub y supersoluciones para la ecuación del calor). Sea Ω ⊂ Rn un dominio acotado y, para T > 0, definamos QT = {(x, t)/x ∈ Ω, 0 < t < T }. Sea C 2,1 (QT ) = {u ∈ C(QT )/ut , ∂xα u ∈ C(QT ), para |α| ≤ 2}. Se dice que ¯ T )∩C 2,1 (QT ) (respectivamente w(x, t)) es una supersolución v(x, t) ∈ C(Q (r. subsolución) del problema: ut = ∆u (x, t) ∈ QT u(x, 0) = f (x) x ∈ Ω u(x, t) = g(x, t) x ∈ ∂Ω, 0 ≤ t < T,

(5.27)

si vt ≥ ∆v (r. ≤ ) en QT , v(x, 0) ≥ f (x), x ∈ Ω (r. ≤) y v(x, t) ≥ g(x, t) (r. ≤) para x ∈ Ω, 0 ≤ t < T . Demuéstrese que si u(x, t) ∈ C(QT ) ∩ C 2,1 (QT ) es la única solución de (5.27) entonces: w(x, t) ≤ u(x, t) ≤ v(x, t). En el caso Ω = (0, l) y f (x) ∈ C 1 ([0, l]), f (x) ≥ 0, g(x, t) ≡ 0, demuéstrese que u(x, t) ≥ 0 para todo t ≥ 0, 0 ≤ x ≤ l y que u(., t) tiende exponencialmente a 0 cuando t → +∞. 2 En realidad basta con cerciorarse de que los pasos claves, a saber, los Lemas 5.8 y 5.10 (el Lema 5.9 es consecuencia inmediata del Lema 5.8), siguen siendo válidos en las nuevas condiciones.

170

CAPÍTULO 5. ECUACIÓN DEL CALOR

28. Se considera la solución 1 − x2 − 2t de la ecuación del calor ut = uxx . Localícense sus máximos en QT . 29. Sea u una solución de ut = uxx en 0 ≤ x ≤ l, t ≥ 0, y sean M (T ) = supQT u, m(T ) = ´ınf QT u. Estúdiense las propiedades de crecimiento y decrecimiento en T de tales funciones. 30. Sea u la solución de ut = uxx con u(0, t) = u(1, t) = 0, u(x, 0) = x(1 − x). a) Probar que u > 0 en 0 < x < 1, t > 0. b) Para t > 0, sea µ(t) = sup u(·, t). Probar que µ es no creciente. Para ello supóngase que si µ(t) = u(X(t), t), entonces X(t) es diferenciable. c) Pruébese que u(x, t) = u(1 − x, t). d ) Pruébese que 0 < u < 1 ∫1 e) Prúebese que 0 u2 dx es decreciente en t. 31. El siguiente ejercicio establece que el principio del máximo no es cierto para la ecuación ut = xuxx , −2 < x < 2. Verificar que u = −2xt − x2 es una solución. Hállese su máximo en el dominio [−2, 2] × [0, 1]. 32. Comprúebese que u = 1 − x2 − 2kt satisface la ecuación del calor: ut = kuxx . Estúdiese la localización de sus máximos y mínimos en QT para Ω = (0, 1). 33. Considérse el problema de Dirichlet homogéneo: ut = uxx

0 < x < 1, t > 0

u(x, 0) = 4x(1 − x) 0 < x < 1 u(0, t) = u(1, t) = 0 t > 0, y admitamos que admite una solución u ∈ C 2,1 ((0, 1)×(0, +∞)∩C([0, 1]× [0, +∞)). Pruébese que 0 < u(x, t) < 1 para todo t > 0. Pruébese que u(x, t) = u(1 − x, t) para todo (x, t). 34. (cf. [10]) Se considera el operador del calor unidimensional Lu = ut − uxx definido en el dominio: E = {x2 + t2 < R2 ,

t < γ1 x ,

t < γ2 x},

donde γ2 < 0 < γ1 . Se considera: u(x, t) = (t − γ1 x)(γ2 x − t) + 1, Demuéstrese que: a) Lu ≤ 0 en D b) u(P ) < u((0, 0)) en D.

5.9. EJERCICIOS

171

Sin embargo, falla la tesis del teorema de Hopf enunciado en el §6 ¿Cuál es la explicación? 35. La ecuación de Korteweg-de Vries (KdV): ut − δuux + uxxx = 0, se usa para describir la propagación de “ondas de agua”. Emular la deducción autosimiliar de la fórmula de Poisson para dar una solución del problema de valor inicial para KdV con dato: u(x, 0) = θ(x)

x ∈ R,

para llegar a un problema de comportamiento asintótico de ecuaciones diferenciales ordinarias.

172

CAPÍTULO 5. ECUACIÓN DEL CALOR

Capítulo 6

Series de Fourier 6.1.

Series de Fourier: introducción

En el Capítulo 7 sobre separación de variables se plantea de forma muy natural el siguiente problema. Dada una función f : [−π, π] → R determinar coeficientes {an }, {bn } tales que, f (x) = a0 +

∞ ∑

an cos nx + bn sen nx.

(6.1)

n=1

Como se espera o desea que (6.1) se satisfaga puntualmente es natural que supongamos siempre que f es 2π-periódica. Usaremos C k (T ), L2 (T ) para representar a las funciones 2π-periódicas que son C k o que pertenecen a L2 (−π, π). Que (6.1) sea verosímil requiere resolver primero una cuestión fundamental: la determinación de los coeficientes en términos de f . Las identidades: ∫ π sen nx sen mx dx = πδnm −π ∫ π cos nx cos mx dx = πδnm −π ∫ π sen nx cos mx dx = 0, −π

(n, m ∈ N cualesquiera) son cruciales a este respecto. Multiplicando ambos miembros de (6.1) por 1 = cos 0x, cos nx y sen nx, respectivamente, integrando en [−π, π] y permutando formalmente la integral y la serie, obtenemos: ∫ π 1 a0 = f (x) dx 2π −π ∫ 1 π an = f (x) cos nx dx π −π ∫ 1 π bn = f (x) sen nx dx. π −π 173

174

CAPÍTULO 6. SERIES DE FOURIER

La forma de calcular los coeficientes tiene mucho que ver con el cómputo de las coordenadas de un vector x en un espacio euclídeo (E, ⟨·, ·⟩) de dimensión N con respecto a una base ortonormal {e1 , . . . , eN }. En efecto: N ∑

x=

x n en ,

n=1

donde xn = ⟨x, en ⟩. En el caso de las series de Fourier debemos considerar un espacio (de dimensión infinita) con producto escalar, ∫ ⟨f, g⟩ =

π

f (x)g(x) dx, −π

mientras el sistema ortonormal es √ √ √ {1/ 2π, {1/ π cos nx}n∈N , {1/ π cos nx}n∈N }. Para poner en orden estas ideas desarrollamos a continuación algunos hechos básicos sobre espacios de Hilbert, la versión infinitodimensional de los espacios euclídeos. Ejercicio 6.1. Hallar la serie de Fourier de la función f (x) = x.

6.2.

Espacios de Hilbert

Sea H un espacio vectorial (real o complejo). Un producto escalar (real) en H es una aplicación bilineal b : H × H → R tal que: 1) ∀x ∈ H : b(x, x) ≥ 0 y b(x, x) = 0 si y sólo si x = 0. 2) ∀x, y ∈ H : b(x, y) = b(y, x) (b es simétrica). En el caso complejo b toma valores complejos, ∀x ∈ H, b(·, x) y b(x, ·) son lineales y se dice que b es sesquilineal (= 1 + 21 lineal) 1 . En este caso 6.2) se mantiene mientras 6.2) se reemplaza por, 2’) ∀x, y ∈ H : b(x, y) = b(y, x) (b es hermítica). Se suele representar b(x, y) = ⟨x, y⟩. Dos vectores x, y se dicen ortogonales si ⟨x, y⟩ = 0. Se introduce la longitud (módulo) |x| de x como: |x| =

√ ⟨x, x⟩.

1 En un espacio vectorial complejo, aplicaciones “semilineales” f son las que cumplen f (x + ¯ (x) para escalares λ ∈ C. y) = f (x) + f (y) mientras f (λx) = λf

6.2. ESPACIOS DE HILBERT

175

Se tienen inmediatamente los teoremas del coseno, de pitágoras y las identidades del paralelogramo y de polarización (x, y son arbitrarios en H) |x ± y|2 = |x|2 + |y|2 ± 2ℜ⟨x, y⟩ |x + y|2 = |x|2 + |y|2

si y sólo si

⟨x, y⟩ = 0

|x + y| + |x − y| = 2|x| + 2|y| 1 ℜ⟨x, y⟩ = {|x + y|2 − |x − y|2 } 4 1 ℑ⟨x, y⟩ = {|ix − y|2 − |ix + y|2 }, 4 2

2

2

2

(ℜz, ℑz las partes real e imaginaria de z ∈ C). Otra consecuencia de las propiedades del producto escalar es la desigualdad de Cauchy-Schwarz: |⟨x, y⟩| ≤ |x||y|,

(6.2)

para x, y arbitrarios. En efecto, descartamos los casos triviales x = 0, ⟨x, y⟩ = 0 y suponemos que |x| = 1. Hallamos una base ortonormal de span{x, y}. Llamamos u1 = x, u2 = (y − ⟨x, y⟩x)/|y − ⟨x, y⟩x| y fácilmente obtenemos: y = ⟨x, y⟩u1 + |y − ⟨x, y⟩x|u2 , de donde, |y|2 = |⟨x, y⟩|2 + |y − ⟨x, y⟩x|2 , que implica (6.2). De la desigualdad de Cauchy-Schwarz se deduce la de Minkowsky, |x + y| ≤ |x| + |y|. Por tanto, todo espacio H con un producto interior b = ⟨·, ·⟩ es un espacio normado con respecto al módulo | · |. H es un espacio de Hilbert si es completo con respecto a | · |. El ejemplo fundamental de espacio de Hilbert es: ∑ l2 = {{xn } : |xn |2 < +∞}, donde las {xn } pueden ∑ ser reales o complejas. En este caso ⟨{xn }, {yn }⟩ = ∑ xn yn (⟨{xn }, {yn }⟩ = xn y¯n en el caso complejo). Un segundo ejemplo importante es L2 (Ω) para Ω ⊂ Rn medible: L2 (Ω) = {u : Ω → R (resp. C) : u es medible,

|u|2 es integrable-Lebesgue}.

Se hace la identificación f = g si las funciones sólo difieren en un conjunto de medida cero. El producto escalar es: ) ( ∫ ∫ ⟨f, g⟩ = f (x)g(x) dx resp. f (x)g(x) dx . Ω

Ω

Conviene ahora recordar algunas propiedades elementales.

176

CAPÍTULO 6. SERIES DE FOURIER

Proposición 6.1. Si H es un espacio de Hilbert, entonces una serie ∑ la que |xn | converge es también convergente y: ∑ ∑ | xn | ≤ |xn |.

∑

xn para

Tal serie se dirá absolutamente convergente. ∑ Si tenemos una serie convergente en H, xn = x ∈ H, entonces: ∑ ∑ ⟨x, y⟩ = ⟨ xn , y⟩ = ⟨xn , y⟩, para cada y ∈ H. Nuestro objetivo más inmediato es dar sentido a la serie de Fourier de una función 2π-periódica f . Un primer resultado en esta dirección es el siguiente. Teorema 6.2 (Teorema de la proyección). Sea H un espacio de Hilbert, M ⊂ H un subespacio cerrado, M ̸= H. Entonces, para cada x ∈ H existe un único y ∈ M tal que: |x − y| = dist (x, M ). (6.3) Además 1. x − y ∈ M ⊥ donde M ⊥ = {z : ∀y1 ∈ M , ⟨z, y1 ⟩ = 0} 2. La aplicación π : H → H que a x → y := π(x) es lineal y continua con ∥π∥ = 1. Demostración. Cualquier y que resuelva el problema (A) de la mejor aproximación cumple x − y ∈ M ⊥ . En efecto, para y1 ∈ M se tiene: |x − y|2 ≤ |x − y + ty1 |2 = |x − y|2 + t2 |y1 |2 + 2⟨x − y, y1 ⟩t, es decir (hemos supuesto el espacio real para simplificar): 0 ≤ t2 |y1 |2 + 2⟨x − y, y1 ⟩t, para todo t ∈ R. Por tanto ⟨x − y, y1 ⟩ = 0. En particular, la solución del problema de aproximación es única. Para otra solución y ′ ∈ M se tendría: y − y′ = y − x + x − y′ ∈ M ⊥ , que lleva a y − y ′ = 0. Para la existencia de y sea d = dist (x, M ) > 0. Existe {yn } ⊂ M con |x − yn | → d. De la identidad del paralelogramo se tiene: 4|x −

yn + ym 2 | + |yn − ym |2 = 2|x − yn |2 + 2|x − ym |2 . 2

Por ello, |yn − ym |2 ≤ 2(|x − yn |2 − d2 ) + 2(|x − ym |2 − d2 ) → 0

6.2. ESPACIOS DE HILBERT

177

cuando n, m → ∞. Esto prueba existencia de y. La aditividad de π se prueba así, |(x1 + x2 ) − y|2 = |(x1 − y1 ) + (x2 − y2 ) − y + y1 + y2 |2 = |(x1 + x2 ) − (y1 + y2 )|2 + |y − (y1 + y2 )|2 , donde hemos puesto yi = π(xi ). Más abajo veremos que hubiese bastado con ver que (x1 + x2 ) − (y1 + y2 ) ∈ M ⊥ . El resto de la demostración se deja como ejercicio. Observaciones 6.1. a) El teorema asegura la existencia de la “mejor aproximación"y = π(x) de x por elementos de y. π(x) se llama la proyección ortogonal de x sobre M . b) Si M es finitodimensional, M = span{e1 , . . . , eN } con {e1 , . . . , eN } ortonormal ∑N no es difícil comprobar que y = π(x) = i=1 xi ei , xi = ⟨x, ei ⟩. En efecto, para escalares arbitrarios {yi } se tiene: |x −

N ∑

xi ei |2 ≤ |x −

i=1

N ∑

x i ei | 2 + |

i=1

= |x −

N ∑

i=1

x i ei | 2 +

i=1

= |x −

N ∑

N ∑ (xi − yi )ei |2

N ∑

|xi − yi |2

i=1

y i ei | 2 .

i=1

La diferencia entre último y el primer término de la cadena de desigualdades ∑el N es precisamente: i=1 |xi − yi |2 . Se hace mínimo (método de los mínimos cuadrados) para la elección xi = yi . Obsérvese que x−π(x) es obviamente ortogonal a M y por eso se tiene: |π(x)|2 =

N ∑

|xi |2 ≤ |π(x)|2 + |x − π(x)|2 = |x|2 .

i=1

c) Hemos probado que para cualquier subespacio cerrado M ⊂ H, H admite la descomposición: H = M ⊕ M ⊥, siendo la suma directa topológica ([1]). Una consecuencia de la observación b) es la siguiente propiedad general. Proposición 6.3 (Método de los mínimos cuadrados). Sea M un subespacio cerrado propio de H, x ∈ H. Entonces, y ∈ M satisface: |x − y| = dist (x, M ). si y sólo si x − y ∈ M ⊥ .

178

CAPÍTULO 6. SERIES DE FOURIER

Demostración. Para y1 ∈ M se tiene: |x − y1 |2 = |(x − y) + (y − y1 )|2 = |x − y|2 + |y − y1 |2 ≥ |x − y|2 .

Proposición 6.4 (Desigualdad de Bessel). Sea {ei }i∈I ⊂ H una familia ortonormal, es decir, ⟨ei , ej ⟩ = 0 si i ̸= j, |ei | = 1 para cada i. Entonces, para cada x ∈ H la familia: ∑ ∑ x ¯= x i ei = ⟨x, ei ⟩ei , i∈I

i∈I

es sumable en H. x ¯ se llama la serie de Fourier de x y xi es el i-ésimo coeficiente de Fourier de x con respecto a dicha familia. Además: ∑ |¯ x|2 = |xi |2 ≤ |x|2 . (6.4) i∈I

Demostración. Sea J ⊂ I cualquier parte finita. Resulta que: ∑ |x|2 = |x − SJ |2 + |SJ |2 ≥ |SJ |2 = |xi |2 , i∈J

con SJ =

∑ i∈J

xi ei . Se deduce de ahíque: ∑ |xi |2 ≤ |x|2 . i∈I

Como: |SJ |2 = ∑

∑

|xi |2 ,

i∈J

y la familia i∈I |xi | < +∞ se tiene la convergencia de la familia propuesta a un valor x ¯ que cumple (3). De hecho, ∑ |¯ x|2 = |xi |2 . 2

i∈I

Probaremos a continuación que el subespacio generado por una familia ortonormal {ei }i∈I coincide con el de todas las series de Fourier de los elementos x ∈ H con respecto a dicha familia. Proposición 6.5. Sea {ei }i∈I una familia ortonormal en H y M el subespacio generado por la familia, es decir, M = span{{ei }i∈I }. Entonces,

∑ ∑ M ={ xi ei : |xi |2 < +∞}. i∈I

i∈I

(6.5)

6.3. SERIES DE FOURIER: PRIMERAS PROPIEDADES

179

Más aún, para cada x ∈ H se tiene que: ∑ π(x) = x ¯= ⟨x, ei ⟩ei . i∈I

Demostración. Resulta obvio que x − x ¯ ∈ M ⊥ y que x ¯ ∈ M , por eso se tiene que x ¯ = π(x) donde x ¯ es la serie de Fourier de x. Asímismo, el segundo miembro M1 de (4) cumple claramente M1 ⊂ M . Para probar el contenido contrario sea x ∈ M arbitrario, x ¯ su serie de Fourier y sea: x = l´ım SJn , con Jn ⊂ I finito y SJn = tiene entonces:

∑

(n)

i∈Jn

xi ei . Pongamos x ¯n =

∑

i∈Jn ⟨x, ei ⟩ei .

Se

|x − x ¯n |2 = |(x − x ¯) + (¯ x−x ¯n )|2 = |x − x ¯|2 + |¯ x−x ¯n |2 ≥ |x − x ¯ |2 , puesto que x − x ¯ ∈ M ⊥ . Ahora, ya sabemos que: |x − x ¯n |2 ≤ |x − SJn |2 . Eso quiere decir que |x − x ¯| = 0. Observación 6.2. Sea {ei }i∈I ortonormal y M como en la proposición. Para x ∈ H, x ¯ ∈ M su serie de Fourier en {ei }i∈I . Nos preguntamos a cuántos otros x′ les corresponde la misma serie de Fourier x ¯ que a x. Obviamente el conjunto de tales x’s es: x + M ⊥. Los elementos de H vendrán caracterizados por su serie de Fourier sólo cuando M ⊥ = {0}, es decir M = H. En este caso especial se tiene la siguiente definición. Definición 6.6. Un sistema ortonormal {ei }i∈I se dice completo en H, también una base de Hilbert para H, si M = H. Proposición 6.7. Un sistema ortonormal {ei }i∈I es completo si, para x arbitrario en H, de la propiedad: ∀i ∈ I

⟨x, ei ⟩ = 0,

se sigue: x = 0.

6.3.

Series de Fourier: primeras propiedades

La forma de calcular los coeficientes de la serie de Fourier de una función f ha llevado al espacio L2 (T ), que es un espacio de Hilbert. La familia: √ √ √ {1/ 2π, {1/ π cos nx}n∈N , {1/ π cos nx}n∈N } es ortonormal. Comprobaremos más tarde que es además completa. La siguiente propiedad es un caso particular de los resultados de la sección previa.

180

CAPÍTULO 6. SERIES DE FOURIER

Proposición 6.8. Para f ∈ L2 (−π, π) su serie de Fourier converge en f ∈ L2 (−π, π) a una función f¯, f¯ = a0 +

∞ ∑

an cos nx + bn sen nx.

n=1

Además, |f¯|22 = π{2a20 +

∑

a2n + b2n }.

Si g ∈ L2 (−π, π) es otra función con serie Fourier, g¯ = α0 +

∞ ∑

αn cos nx + βn sen nx,

n=1

entonces, ⟨f¯, g¯⟩2 = π{2a0 α0 +

∑

an αn + bn βn }.

Observación 6.3. Si f¯ es la serie de Fourier de f ∈ L2 (−π, π), con suma parcial N -ésima SN , entonces (desigualdad de Cauchy–Schwarz) √ |f¯ − SN |L1 = ⟨|f¯ − SN |, χ[−π,π] ⟩2 ≤ 2π|f¯ − SN |2 , luego l´ım SN = f¯ en L1 lo que significa que la serie de Fourier f¯ de f puede ser integrada término a término y, para cada a, x ∈ [−π, π], se tiene: ∫

x

f¯(x) dx = a0 (x − a) + a

∞ ∑ n=1

−

an bn (cos nx − cos na) + (sen nx − sen na). n n

En la Sección 6.6 se demuestra el siguiente resultado que enunciamos ahora a los efectos de establecer el teorema de completitud. Teorema 6.9. Sea f ∈ C(T ) continua tal que existe la derivada f ′ excepto quizás en un número finito de puntos, con f ′ ∈ L2 (T ) (por ejemplo, f es C 1 a trozos). Entonces, f = a0 +

∞ ∑

an cos nx + bn sen nx

(uniformemente),

n=1

f′ =

∞ ∑

nbn cos nx − nan sen nx

(en L2 ).

n=1

Teorema 6.10 (Teorema de Completitud). Si f ∈ L2 (T ), entonces f es la suma de su serie de Fourier. En particular, para todo par de funciones f , g ∈ L2 (−π, π) con desarrollos de Fourier, f = a0 +

∞ ∑ n=1

an cos nx + bn sen nx,

6.4. RESULTADOS DE CONVERGENCIA PUNTUAL

g = α0 +

∞ ∑

181

αn cos nx + βn sen nx,

n=1

se tienen (identidades de Parseval): |f |22 = π{2a20 + ⟨f, g⟩2 = π{2a0 α0 +

∑ ∑

a2n + b2n }, an αn + bn βn }.

Demostración. Por la acción combinada de los teoremas de Lusin (véase la Sección 6.8) y Weierstrass tenemos que f = l´ım fn

(L2 ),

con fn un polinomio. Si p = p(x) es, por ejemplo un polinomio, y definimos:  p(ε − π)   (x + π) −π ≤ x ≤ −π + ε    ε  −π + ε < x < π − ε pε (x) = p(x)     p(π − ε)   (π − x) π − ε ≤ x ≤ π, ε entonces pε → p en L2 cuando ε → 0+. Esto significa que podemos suponer que los fn son C 1 a trozos, 2π-periódicos y su serie de Fourier converge uniforme(n) mente. Sea SN la suma parcial N -ésima de la serie de Fourier de fn . Tenemos que para ε > 0 arbitrario: ε |f − fnε |2 ≤ , 2 para cierto nε . Asímismo, (n )

|fnε − SN ε |2 ≤

ε , 2

para N ≥ Nε . Si SN designa la suma parcial N -ésima de la serie de Fourier de f se tiene, (n )

(n )

|f − SN |2 ≤ |f − SN ε |2 ≤ |f − fnε |2 + |fnε − SN ε |2 ≤ ε, para N ≥ Nε , lo que prueba la parte principal del teorema.

6.4.

Resultados de convergencia puntual

El primer resultado se debe esencialmente a Riemann y es básico para presentar una de sus contribuciones más importantes a la teoría: que la convergencia de la serie de Fourier en un punto sólo depende de la estructura local de la función en dicho punto.

182

CAPÍTULO 6. SERIES DE FOURIER

Lema 6.11 (Lema de Riemann-Lebesge). Sea f ∈ L1 (−π, π). Entonces: ∫ π ∫ π l´ım f (x) cos nx dx = l´ım f (x) sen nx dx = 0. (6.6) −π

−π

Demostración. Si f ∈ L2 (−π, π) el resultado es obvio. Por otra parte, si f ∈ L1 (los coeficientes en (6.6) tienen sentido) se tiene que: f (x) = l´ım fA (x) A→+∞

∀ c. t. x ∈ (−π, π),

donde fA = χ{|f (x)|>A} f . En efecto, el límite falla en los puntos donde |f | toma el valor +∞, que es de medida cero: |{|f (x)| > A}| ≤

|f |1 A

A > 0.

Por otra parte, |aA n

∫ π 1 − an | = (fA (x) − f (x)) cos nx dx π −π ∫ 1 π ≤ |fA (x) − f (x)| dx π −π ∫ 1 |f | → 0, = π {|f (x)|>A}

uniformemente en n cuando A → +∞. Como, |an | ≤ |aA(ε) | + |aA(ε) − an | ≤ ε, n n para A(ε) suficientemente grande y para n ≥ n(ε) como para que el primer sumando sea inferior a ε/2, resulta que an → 0. Se procede con bn de manera análoga. Sea ahora f ∈ L1 (−π, π) una función 2π-periódica cuya serie de Fourier tiene suma parcial N -ésima SN (x). Entonces: 1 SN (x) = π

∫

1 ∑ f (t){ + cos n(x − t)} dt. 2 −π 1 π

N

(

Se tiene:

1 sen N + N 1 ∑ 2 + cos ny = 1 2 1 2 sen y 2 En efecto si S es el primer miembro, (

) y .

y) 1 y ∑ 1 1 1 1 sen S = sen + sen(n + ) − sen(n − ) = sen(N + ). 2 2 2 2 2 2 2 1 N

6.4. RESULTADOS DE CONVERGENCIA PUNTUAL

183

Se llama núcleo de Dirichlet de orden N a la expresión: ( ) 1 sen N + y 2 DN (y) = . 1 2π sen y 2 Proposición 6.12. El núcleo de Dirichlet presenta las siguientes propiedades, 1. DN = DN (y) es C ∞ y 2π-periódico. 1 2. Dn (y) = DN (−y), DN (y) > 0 en |y| < π/(N + ), se anula en los puntos 2 1 1 1 yk = kπ/(N + ), k ≤ N , del intervalo (0, π), mientras DN (y) ∼ (N + ) 2 π 2 cuando y → 0. 3. Se tiene que:

∫

π −π

DN (y) dy = 1.

Obsérve que la suma parcial SN de la serie de f se puede escribir: ∫ π SN (x) = DN (x − t)f (t) dt = DN ∗ f (x). −π

Por otra parte, no es difícil probar que si f es T -periódica, f ∈ L1 (0, T ), entonces ∫ a+T f es constante para todo a ∈ R. Por ello, a ∫ π SN (x) = DN (x − t)f (t) dt −π ∫ π = DN (t − x)f (t) dt ∫

−π π−x

∫

−π−x π

= = −π

DN (z)f (x + z) dz

DN (z)f (z + x) dz.

Podemos ya demostrar el siguiente resultado. Teorema 6.13 (Convergencia puntual). Sea f ∈ L1 (−π, π) una función 2πperiódica, mientras x0 ∈ [−π, π] es tal que: f (t + x0 ) − f (x0 ) |t|

(6.7)

con t ̸= 0 está en L1 (−π, π) (condición de Dini). Entonces la serie de Fourier de f converge a f (x0 ) en x = x0 , es decir, f (x0 ) = a0 +

∞ ∑ n=1

an cos nx0 + bn sen nx0 .

184

CAPÍTULO 6. SERIES DE FOURIER

Observaciones 6.4. Observaciones Cualquiera de las siguientes condiciones implican la validez de (6.7) en x = x0 : 1. f Hölder continua en x = x0 de exponente 0 < α < 1: |f (x) − f (x0 )| ≤ C|x − x0 |α , para x ∼ x0 , C > 0. 2. f Lipschitz continua en x = x0 |f (x) − f (x0 )| ≤ L|x − x0 |, para x ∼ x0 , L > 0. 3. f es derivable en x = x0 . Las tres condiciones implican también la continuidad de f en x = x0 . Sin embargo no es cierto que la sola continuidad de f en x = x0 garantiza la convergencia de la serie de Fourier de f a f (x0 ) en x = x0 (ver el contraejemplo unas líneas más abajo). Por otra parte, nótese que la Lipschtzianidad de f en x = x0 es equivalente a la finitud de los cuatro números de Dini: D± f (x0 ±), donde, por ejemplo, D+ f (x0 ) = lim

x→x0 +

f (x) − f (x0 ) . x − x0

Demostración del Teorema 6.13. Tenemos, ∫ π SN (x0 ) − f (x0 ) = DN (z)(f (z + x0 ) − f (x0 ) dz −π ∫ π f (z + x0 ) − f (x0 ) 1 z sen(N + )z dz → 0, = z 2 −π sen(z/2) cuando N → ∞ en virtud del lema de Riemann-Lebesge. Una consecuencia de la demostración es lo que se conoce como el principio de localización de Riemann que viene a asegurar que la convergencia de la serie de Fourier en x = x0 es una propiedad local. Proposición 6.14. Si f ∈ L1 (T ) y existe ε > 0 tal que f = 0 ∀ c. t. x ∈ (x0 − ε, x0 + ε) entonces: a0 +

∞ ∑

an cos nx0 + bn sen nx0 = 0.

n=1

Para aplicar los resultados sobre series de Fourier, por ejemplo a funciones continuas f en [−π, π], se extiende primero f como una función 2π-periódica a R (v.g. f (x) = ex ). Es entonces natural que aparezcan discontinuidades en la extensión (si f (−π) ̸= f (π)). El siguiente resultado, debido a Dirichlet, tiene que ver con ese tipo de situaciones.

6.5. CUESTIONES COMPLEMENTARIAS

185

Teorema 6.15. Sea f ∈ L1 (T ) satisfaciendo que las funciones f (x0 + t) − f (x0 −) χ{t < 0} t

f (x0 + t) − f (x0 +) χ{t > 0}, t

(6.8)

(t ̸= 0) son localmente integrables. Entonces, ∞ ∑ f (x0 −) + f (x0 +) = a0 + an cos nx0 + bn sen nx0 . 2 n=1

La demostración es una variante de la del teorema anterior. Nótese que si f es por ejemplo C 1 a trozos se cumple (6.8) en los puntos de discontinuidad.

6.5.

Algunas cuestiones adicionales sobre la convergencia de las series de Fourier

El siguiente ejemplo de Fejér (1910) (cf. [23]) muestra que la continuidad no basta para la convergencia puntual. Un primer ejemplo en esta dirección había sido dado ya por Du Bois-Reymond en 1876. Se consideran los grupos ordenados de números: Gn = {

1 1 , . . . , 1, −1, . . . , − }, 2n − 1 2n − 1

a los que se asocian (r un parámetro) las funciones: ϕ(n, r, x) = cos(r + 1)x cos(r + 2n)x + · · · + cos(r + n)x − cos(r + n + 1)x − · · · − 2n − 1 2n − 1 n n ∑ ∑ cos(r + n − ν + 1)x cos(r + n + ν)x = − . 2ν − 1 2ν − 1 ν=1 ν=1 La familia ϕ(n, r, ·) está uniformemente acotada. En efecto, 1 ∑ sen(ν − 12 )x ϕ(n, r, x) = 2 sen(r + n + )x 2 ν=1 2ν − 1 { 2n } n ∑ sen( λ )x 1 ∑ 1 sen λx 2 = 2 sen(r + n + )x − , 2 λ 2 λ n

λ=1

λ=1

mientras las expresiones, SN (x) =

N ∑ sen kx 1

se mantienen acotadas.

k

,

186

CAPÍTULO 6. SERIES DE FOURIER

Basta escribir: ∫ x SN (x) = (cos t + · · · + cos nt) dt 0

∫

(N +1/2)x

= 0

∫

sen u du + u

x

0

(

1 1 t − t 2 sen 2

)

1 x sen(n + )t dt − , 2 2

de donde se deduce la acotación uniforme de SN , primero en [0, π], después en [−π, 0] (refelexión), y después por periodicidad a todo R. Ejercicio 6.2. Efectuar un estudio detallado de ∫ x sen u du, u 0 en R+ . Ahora consideramos una sucesión creciente de enteros λ1 < λ2 < · · · y la sucesión ordenada de coeficientes {αn } que se deduce de la unión: eλ ∪ G eλ ∪ · · · G 1 2 e λ son los de Gλ multiplicados por 1/n2 . Debe notarse donde los elementos de G n n que para cada n: ∑ αn = 0. eλ αn ∈ G n

Finalmente construimos la serie formal: ∞ ∑

αn cos nx.

(6.9)

n=1

Se observa que: ∑

αn cos nx =

eλ αn ∈G n

1 ϕ(λn , 2λ1 + · · · 2λn−1 , x) n2

e λ ocupa el número de orden 2λ1 +· · · 2λn−1 , pues el primer elemento del grupo G n el último 2λn unidades más. La serie (6.9) puede sumarse por “paquetes” en el sentido de que: ∑ ∑ ∑ 1 f (x) = αn cos nx = ϕ(λn , 2λ1 + · · · 2λn−1 , x), n2 n n eλ αn ∈G n

y es inmediato que dicha serie converge uniformemente a una función continua f (x). Su m-ésimo coeficiente de Fourier se halla haciendo: ∫ 2π ∑ ∫ 2π 1 f (x) cos mx dx = ϕ(λn , 2λ1 + · · · 2λn−1 , x) cos mx dx n2 0 0 n = παm .

6.6. CONVERGENCIA UNIFORME

187

Por lo tanto, (6.9) es exactamente la serie de Fourier de f . Veamos que dicha serie no converge en x = 0 (la razón es que para sumar dicha serie hay que “desempaquetarla"lo que causa la no convergencia). En efecto, si sn es la suma parcial n-ésima de ∞ ∑ αn , n=1

entonces la subsucesión: s2λ1 +···+2λn−1 +λn

1 = 2 n

{ } 1 1 log λn 1 + + ··· + ∼ , 3 2λn − 1 2n2 2

n cuando n → ∞. Si elegimos λn adecuadamente, ∑∞ v. g. λn = n es claro que tal subsucesión diverge como log n y la serie n=1 αn diverge.

Observaciones 6.5. a) Usando el principio de acotación uniforme se puede probar (cf. [19], Capítulo 5) la existencia un subconjunto denso E ⊂ C(T ) de forma que la serie de Fourier de cada f ∈ E diverge sobre un conjunto denso en [−π, π]. b) Carleson probó en 1966 que la serie de Fourier de cada f ∈ L2 (T ) converge a f , ∀ c. t. x ∈ (−π, π). Eso dice que el conjunto de divergencia de las funciones f ∈ E de a) debe ser necesariamente de medida cero.

6.6.

Convergencia uniforme

Un primer resultado elemental es el siguiente. Proposición 6.16. Si f ∈ C 2 es 2π periódica, f es la suma uniforme de su serie de Fourier. El resultado se sigue de la identidades (en L2 ), f = a0 +

∞ ∑

an cos nx + bn sen nx

n=1

f′ =

∞ ∑

nbn cos nx − nan sen nx

n=1 ′′

f =−

∞ ∑

n2 an cos nx + n2 bn sen nx.

n=1

En particular: 1 |f ′′ |1 , πn2 que prueba la convergencia absoluta y uniforme de la serie de Fourier. Supongamos más sencillamente que f ∈ C 1 (T ). Una integración por partes establece que: a′n = nbn b′n = −nan , |an |, |bn | ≤

188

CAPÍTULO 6. SERIES DE FOURIER

por lo que

∑∞ n=1

n2 a2n + n2 b2n < ∞. Para estimar la convergencia escribimos:

|SM (x) − SN (x)|2 ≤ 2{

M M ∑ ∑ 1 }{ n2 a2n + n2 b2n }, n2

n=N

n=N

y se deduce la convergencia uniforme. Con un poco más de generalidad, si f ∈ C(T ), f ′ existe excepto quizás en un número finito de puntos {ai } con f ′ ∈ L2 (−π, π) entonces: ∫

π

′

f (x) cos nx dx = −π

∑∫

ai

′

f (x) cos nx dx = −ai−1

i

∫ ∑ ai =n {f sen nx|ai−1 − ∫

i

l´ım {

ε→0+

ai −ε

f ′ (x) cos nx dx}

−ai−1 +ε

ai

f (x) sen nx dx}

−ai−1

i

= −n

∫

∑

π

f (x) sen nx dx. −π

Luego, como antes tenemos a′n = −nbn y, por el mismo razonamiento, b′n = nan . Más aún si f ∈ C(T ) es absolutamente continua, luego: ∫ x f (x) = f (a) + g, a

para alguna g ∈ L1 (T ) y cualquier a ∈ [−π, π], una cuidadosa aplicación del teorema de Fubini demuestra (cf. [19]), una vez más, que se tienen las relaciones: ∫ π ∫ π g(x) cos nx dx = −n f (x) sen nx dx −π −π ∫ π ∫ π g(x) sen nx dx = n f (x) cos nx dx, −π

−π

por tanto, a′n = −nbn , b′n = nan . Si además g ∈ L2 (g en casi ∑ es2 la2 derivada todo punto de f ) se tendrá la convergencia de la serie n an + n2 b2n . Podemos finalmente enunciar nuestro resultado de convergencia uniforme. Teorema 6.17. Sea f ∈ C(T ) satisfaciendo alguna de las condiciones precedentes. Entonces, ∞ ∑ f = a0 + an cos nx + bn sen nx, n=1

uniformemente. Más aún, v v u M u M ∑ √ u∑ 1u t sup |SM (x) − SN (x)| ≤ 2t n2 a2n + n2 b2n . 2 n [−π,π] n=N

Observaciones 6.6.

n=N

6.6. CONVERGENCIA UNIFORME

189

a) Haciendo M → +∞ en la última ecuación tenemos la estimación uniforme del error, v v u∫ π √ u N N u 2 ∑ ∑ 2 tπ 1u t ′ 2 − π{ sup |f (x) − SN (x)| ≤ − f n2 a2n + n2 b2n }. π 6 n2 [−π,π] −π 1 1 Hemos usado que: ∞ ∑ 1 π2 = . 2 n 6 n=1

Para probarlo consideramos f (x) = x en [−π, π]. Su serie de Fourier es: f (x) = 2 de lo que, al ser,

∫

∞ ∑

1 (−1)n+1 , n n=1

π

x2 dx = −π

se tiene:

2π 3 , 6

∞ ∑ 2π 3 1 = 4π , 2 6 n n=1

de donde el resultado. b) Puede ser de utilidad observar que si f ∈ C k−1 (T ), con f (k−1) C 1 a trozos, la serie de Fourier de f : f = a0 +

∞ ∑

an cos nx + bn sen nx,

n=1

se puede derivar k − 1 veces término a término siendo las series resultantes uniformemente convergentes, mientras: f (k) =

∞ ∑

an (cos nx)(k) + bn (sen nx)(k) ,

n=1

en L2 (T ). Por otro lado, ∞ ∑ n=1

para 0 ≤ l ≤ k.

n2l {a2n + b2n } < +∞,

190

6.7.

CAPÍTULO 6. SERIES DE FOURIER

Convergencia uniforme sobre compactos: fenómeno de Gibb

Cuando una función f presenta una discontinuidad de salto en un punto x = x0 y es relativamente regular cerca de x = x0 , las sumas parciales SN de la serie de Fourier desarrollan cuando N → +∞ un tipo característico de efecto de capa límitite en x = x0 conocido como fenónmeno de Gibb. Mientras lo describimos probaremos que la serie de Forier de una función C 1 a trozos converge uniformemente sobre compactos del conjunto de continuidad. Vamos a comenzar analizando un caso especial: f (x) = 12 signo(x) (cf. [22]). En este caso: ( ∫ 0 ∫ π) sen M (x − y) dy SN (x) = − + , 4π sen( x−y −π 0 2 ) 1 con M = N + . Hacemos θ = M (x − y), mientras llamamos: 2 φ(θ) =

sen θ , θ M sen( 2M )

y tenemos: ( ∫ SN (x) = −

∫

Mx

(∫

(−1)φ(θ) Mx

∫

M x+M π

M x−M π

∫

∫

−M x

(∫

M x−M π

∫

Mx −M x

− ∫

Mx

= −M x

−

dθ 4π )

M x+M π

−

+ −M x

dθ 4π

φ(θ)

Mx

=

)

Mx

+

Mx

= (∫

)

+

M x+M π

( ∫ = −

M x−M π

φ(θ) Mx

∫

Mx −M x+M π M x+M π

M x+M π

)

− )

φ(θ) Mx

φ(θ) −M x+M π

dθ 4π dθ 4π

dθ 4π

= I1 − I2 . Vamos ahora a estudiar el comportamiento de la suma parcial cerca de x = 0. Para ello supongamos que: |M x| ≤ K. Tenemos: ∫

Mx

I1 = 2 0

dθ sen θ ∼ θ M sen( 2M ) 4π

∫ 0

Mx

sen θ dθ ∼ θ 4π

∫

K 0

sen θ dθ , θ 4π

6.7. FENÓMENO DE GIBB

191

Figura 6.1: Fenómeno de Gibb cuando N → +∞. Por otra parte, ∫

M π+M x

I2 = M π−M x

dθ sen θ = θ M sen( 2M ) 4π

∫

Mx −M x

sen(M π + s) ds π s 4π . M sen( + ) 2 2M

Como |M x| ≤ K la integral I2 tiende a cero cuando N → +∞. Por tanto para M x = K > 0 tenemos que: ∫

K

SN (x) ∼ 0

sen θ dθ , θ 2π

1 cuando N → ∞ (M = N + ). El valor máximo de SN (x) corresponderá a 2 valores de K que hagán máxima la integral. A este respecto, dicha integral es positiva para K > 0 y el máximo se alcanza en K = π. Por tanto en los puntos: x=

π , M

SN (x) alcanza su valor asintótico máximo que viene dado por: π 1 SN ( ) ∼ M 2π

∫ 0

π

sen θ dθ ′ 0 59 = 0′ 50 + 0′ 09. θ ∼

La suma parcial N -ésima desarrolla entonces un “pliegue"que tiene de alto 0′ 59, un total de un 9 % más que el valor de convergencia puntual en x > 0 que π es exactamente 0′ 5. La situación simétrica ocurre en x = − . La Figura 6.1 M ilustra gráficamente dicho comportamiento. La Figura 6.2, cortesía de MATLAB, corresponde a la suma parcial S17 (x) de la serie de la función signo(x). En realidad hemos probado un resultado más general.

192

CAPÍTULO 6. SERIES DE FOURIER

Teorema 6.18. Sea f 2π-periódica y C 1 a trozos. Sea a un punto de discontinuidad donde el valor del salto es σ = f (a+) − f (a−). Entonces, para ( x± N =a±

π 1 N+ 2

),

se tiene que la suma parcial N -ésima de la serie de Fourier satisface que: SN (x± N ) ∼ σI + siendo I =

1 2π

∫π 0

sen θ θ

f (a−) + f (a+) 2

dθ.

Vamos a estudiar por último la convergencia uniforme sobre compactos de la serie de una función C 1 a trozos. Para ello, basta con estudiar el ejemplo de 1 f (x) = signo (x). Sean, 2 0 < x1 < x2 < π, se tiene, (∫ SN (x2 ) − SN (x1 ) = 2

∫

M x2

M x2 +M π

+

) φ(θ)

M x1

M x1 +M π

dθ . 4π

Tras un cambio de variable, la primera integral toma la forma: 1 2π

∫

x2

x1

sen M s ds = sen 2s ∫ x2 s x2 s 1 {− cos M s cosec |x1 + cos M s cosec′ ( ) ds} → 0, 2πM 2 2 x1

uniformemente en 0 < ε ≤ x1 < x2 ≤ π − ε cuando N → +∞. La segunda integral se puede escribir como: ∫

M x2

M x1

sen(M π + s) ds = π s 4π M sen( + 2M 2

∫

x2 x1

sen(M (π + s) ds , π sen( + 2s 4π 2

y una cuenta como la de arriba prueba la convergencia uniforme a cero de la integral en 0 < ε ≤ x1 < x2 ≤ π − ε cuando N → +∞. Hemos probado por tanto el siguiente resultado. Teorema 6.19. Si f es C 1 a trozos y 2π-periódica entonces su serie de Fourier converge a f uniformemente sobre compactos del conjunto de continuidad de f .

6.8. TEOREMA DE LUSIN

193

1.5 f(t) s17(t) 1

0.5

0

−0.5

−1

−1.5 −4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

Figura 6.2: Suma parcial de orden 17 de la función signo(x)

6.8.

Teorema de Lusin

La aproximación de funciones integrables por funciones continuas es consecuencia del siguiente resultado general (cf. [19]). Teorema 6.20 (Teorema de Lusin). Sea Ω ⊂ Rn medible, |Ω| < ∞. Si f es medible en Ω (f ∈ M (Ω)), para cada ε > 0 existe gε ∈ C0 (Rn ) cumpliendo sup |g| ≤ sup |f | tal que: |{x ∈ Ω : f ̸= gε }| < ε. Se tiene como consecuencia. Corolario 6.21. Si f ∈ M (Ω), |Ω| < +∞, |f | ≤ 1, existe una sucesión gn ∈ C0 (Rn ), |gn |∞ ≤ 1 tal que: l´ım gn (x) = f (x)

∀ c. t. x ∈ Ω.

Demostración. Escogemos gn tal que |An := {f ̸= gn }| ≤ 2−n . Entonces, y ∀ c. t. x ∈ Ω cada x ∈ Ω está a lo más en un número finito de An ’s (Ejercicio). Ejercicio 6.3. Sea An ⊂ RN una sucesión de conjuntos medibles tal que: ∑ |An | < ∞. n

194

CAPÍTULO 6. SERIES DE FOURIER

∑ Usando la integrabilidad de n χAn (x) pruébese que ∀ c. t. x ∈ RN , x ∈ RN está a lo más en un número finito de An ’s. Corolario 6.22. Sea f ∈ Lp (Ω), |Ω| < +∞, 1 ≤ p ≤ +∞. Entonces existe una sucesión gn ∈ C0 (Rn ) verificando: en Lp (Ω).

l´ım gn (x) = f (x)

6.9.

Ejercicios

1. Sea f ∈ L2 (0, π). Prúebese que f puede desarrollarse en la forma: f = a0 +

∞ ∑

an cos nx,

n=1

o bien en la forma, f=

∞ ∑

bn sen nx,

n=1

siendo ambos desarrollos convergentes en L2 (0, π) ¿ Qué se podrá decir de la convergencia puntual? Análogamente, si f ∈ L2 (a, b) demuéstrese que f puede expresarse como la suma en L2 (a, b) de una serie de senos adecuada, o de una serie de cosenos, o mediante una serie que involucra simultáneamente a senos y cosenos. Analizar también la convergencia puntual. 2. Sea f ∈ L2 (T, C) compleja. Determínense cuáles han de ser los coeficientes complejos {cn }n∈Z para que: f (x) =

∑

cn einx .

n∈Z

en L2 (T, C). Pruése que si f ∈ L2 (T, C) y usamos tales cn la serie converge en L2 (T, C) a una función f˜ ∈ L2 (T, C) que cumple: |f˜|2 ≤ |f |2 . 3. En el presente ejercicio vamos a probar que toda f ∈ L2 (T, C) es la suma en L2 de su serie de Fourier: f=

+∞ ∑

cn einx .

−∞

Para ello seguiremos los siguientes pasos.

6.9. EJERCICIOS

195

a) El teorema de Stone-Weierstrass permite probar que los polinomios trigonométricos, p(x) = a0 +

N ∑

an cos nx + bn sen nx,

n=1

son densos en C(T ). Prúebese que los polinomios trigonométricos complejos, N ∑ p(x) = cn einx , n=−N

también son densos en C(T, C). b) Demuéstrese que si f ∈ C(T, C), f es la suma en L2 de su serie de Fourier. c) Usando los resultados del Capítulo demuétrese que C(T, C) es denso en L2 (T, C). Si SN es la suma parcial N -ésima de la serie de Fourier de f ∈ L2 (T, C), verifíquese la desigualdad: |f − SM |22 ≤ |f − SM |22 + |SM − SN |22 = |f − SN |22 , válida para todo M ≥ N . Combinar esta desigualdad con (2) para concluir que SN → f en L2 (T, C). 4. Usar el método de ortonormalización de Schmidt para obtener una base ortonormal en el subespacio P2 (x) ⊂ L2 (0, 1) de los polinomios de grado menor o igual que dos. Hállese la mejor aproximación con respecto a la norma de L2 (0, 1) de la función f (x) = ex por polinomios de grado menor o igual que dos. 5. Sea f (x) = |x| en el intervalo (−π, π). Elegir los coeficientes en: f2 (x) =

1 a0 + a1 cos x + b1 sen x + a2 cos 2x + b2 sen 2x, 2

para minimizar el error en L2 (−π, π). 6. Hállese la serie de Fourier en senos de f = 1 en (0, π). 7. Calcúlese la suma de la serie: ∞ ∑

1 . (2n − 1)2 n=1 8. Usar series de Fourier y la función f (x) = x2 para determinar la suma de la serie: ∑ 1 . n4

196

CAPÍTULO 6. SERIES DE FOURIER

9. Pruébese que:

∫

π

l´ım

log x sen x dx = 0. 0

10. Sea f ∈ L2 (T ). Denotemos por SN (x) la suma parcial N-ésima de su serie de Fourier: ∞ ∑ SN (x) = a0 + an cos nx + bn sen nx. n=1

a) Pruébese que: 1 SN (x) = 2π donde DN (τ ) = que:

∫

π

−π

f (x + τ )DN (τ ) dτ,

sen(N + 12 )τ (Núcleo sen τ2

1 2π

∫

de Dirichlet). Pruébese además

π

−π

DN (τ ) dτ = 1.

b) Sea f ∈ L2 (−π, π). Pruébese que si la función fx0 = f (x+x0x)−f (x0 ) ∈ L1 (−π, π) entonces la serie de Fourier de f converge a f (x0 ) en x = x0 (criterio de Dini). c) Si f ∈ L2 (−π, π) es derivable en x = x0 se tiene convergencia de la serie de Fourier de f en x0 al valor f (x0 ). 11. Hállense las series de Fourier de ex , x, sen3 x en (−π, π). Calcular la suma de la serie de Fourier de ex en x = π. 12. Sea f una función C 2 y 2π-periódica en R. Demúestrese que la serie de Fourier converge uniformemente a f . 13. (Teorema de Localización). Como consecuencia del teorema de RiemannLebesgue pruébese que si f ∈ L1 (−π, π) se anula en un entorno de x0 entonces su serie de Fourier converge a 0 en dicho punto. Si dos funciones f, g ∈ L1 coinciden en algún entorno de un punto x0 , ¿ Qué se puede decir de sus series de Fourier en tal punto? 14. Sea f ∈ L2 (−π, π) una función 2π-periódica en R que es derivable en (−π, π) excepto quizás en un número finito de puntos. Supóngase que f es continua en [−π, π] y que la derivada f ′ ∈ L2 (−π, π). a) Pruébese que para −π ≤ a ≤ x ≤ π se tiene: ∫ x f (x) = f (a) + f ′ (t) dt. a

b) Prúebese que la serie de Fourier de f converge uniformemente a f

6.9. EJERCICIOS

197

Indicación. Úsese el siguiente resultado que puede consultarse en el libro de Rudin [19] (Capítulo VII): Si f (x) es diferenciable en todo el intervalo [a, b] con derivada f ′ ∈ L1 (a, b) entonces ∫ x f (x) = f (a) + f ′ dt, a

para todo x. 15. (Teorema de Completitud). Admitiendo que el conjunto de las funciones de clase C ∞ en (−π, π) con soporte compacto contenido en dicho intervalo (clase de funciones que se representa por C0∞ (−π, π)) es denso en L2 (−π, π) 2 , demuéstrese que la serie de Fourier de cualquier f ∈ L2 (−π, π) converge a f en la norma de L2 (−π, π). 16. Una consecuencia del teorema de Lusin (cf. [19] o el Anexo) es que las funciones continuas con soporte compacto en (−π, π) son densas en Lp . Utilizar este hecho para probar que toda f ∈ L2 puede aproximarse en L2 por funciones fn que satisfacen las condiciones del problema 9 y deducir de ahíel teorema de completitud. 17. Se considera el problema de Dirichlet homogéneo para la ecuación del calor: ut = duxx 0 < x < π, t > 0 u(x, 0) = f (x) 0 ≤ x ≤ l u(0, t) = u(π, t) = 0,

t ≥ 0,

y su solución “formal": u(x, t) =

∞ ∑

bn e−dn t sen nx, 2

(6.10)

n=1

obtenida por el método de separación de variables; donde: f (x) =

∞ ∑

bn sen nx

(6.11)

n=1

∫π con bn = π2 0 f (x) sen nx dx, es el desarrollo en serie de Fourier en senos de f (x). Admitamos que f ∈ C 2 ([−π, π]) satisface las condiciones de compatibilidad: f (0) = f (π) = f ′′ (0) = f ′′ (π) = 0. a) Pruése que ∃c > 0 tal que |bn | ≤ c para todo n. Dedúzcase de ahí que u(x, t) definida por (1) es de clase C ∞ en t > 0, 0 < x < π. Pruébese que u(x, t) es efectivamente solución de la ecuación del calor. 2 Véase

el libro de W. Rudin [19].

198

CAPÍTULO 6. SERIES DE FOURIER b) Pruébese que la serie de Fourier en senos de f , (2), converge uniformemente en [0, π]. c) Designemos por uN (x, t) la suma parcial N -ésima de la serie (6.10), siendo fN (x) la correspondiente suma parcial de la serie (6.11). Pruébese que uN (x, 0) = fN (x). Utilícese el principio del máximo para demostrar que: m´ax

0≤t 0. Conclúyase que (6.10) es una solución clásica del problema de Cauchy, e. d., C 2 en 0 < t, 0 < x < π y continua en 0 ≤ t, 0 ≤ x ≤ π 3 .

3 cf.

[26], Sección 22.

Capítulo 7

Separación de Variables El objetivo del capítulo es revisar las soluciones de algunos problemas conocidos mediante el método de separación de variables, de larga tradición en la física matemática desde finales del siglo XVIII. Supondremos que el intervalo de variación de la variable espacial es (0, π). Esto no reviste pérdida de generalidad en los problemas que se estudiarán.

7.1.

Ecuación del calor

El problema de contorno y valor inicial,   0 < x < π, t > 0 ut = uxx u(x, 0) = f (x) 0 0} ∩ C{t ≥ 0}, 2

(7.4)

n=1

define una solución clásica del problema (7.1). Observaciones 7.1. a) En el Capítulo ?? resolvimos (7.1) bajo menos regularidad para f . A saber f ∈ C[0, π], f (0) = f (π) = 0. b) Para que (7.33) sea C ∞ en t > 0 basta con que los coeficientes bn estén acotados. c) En la prueba de la continuidad de (7.33) hasta t = 0 el principio débil del máximo juega un papel importante. d) Con las técnicas de reflexión del Capítulo ?? se prueba que la versión “Neumann” del problema (7.1):   0 < x < π, t > 0 ut = uxx (7.5) u(x, 0) = f (x) 0 0} ∩ C 1 {t ≥ 0} cuando f ∈ C 1 [0, π], f ′ (0) = f ′ (π) = 0. Mediante separación de variables y un argumento

7.2. FUNCIÓN DE GREEN

201

simétrico si f ∈ C[0, π], f ′ ∈ L2 (0, π), (7.5) admite la solución clásica, u ∈ C 2 {t > 0} ∩ C{t ≥ 0} de la forma: u = a0 +

∞ ∑

an e−n t cos nx ∈ C ∞ {t > 0} ∩ C{t ≥ 0}, 2

(7.6)

n=1

∫π ∫π an = (2/π) 0 f (x) cos nx dx, a0 = (1/π) 0 f (x) dx. Las condiciones f ∈ C 1 [0, π], f ′ (0) = f ′ (π) = 0 junto con f ′′ ∈ L2 (0, π) bastan para justificar que (7.6) define una solución clásica, C 1 hasta t = 0.

7.2.

Función de Green: problema de valor inicial

Supongamos que f ∈ L1 (0, π) entonces: ∫ ∫ ∞ ∞ ∑ 2 2 π∑ 2 π −n2 t f (ξ)e sen nx sen nξ dξ = f (ξ)e−n t sen nx sen nξ dξ. u(x, t) = π π 0 0 n=1 n=1 En efecto, la ∑ serie permuta con la integral por ejemplo ∑∞ en virtud1 de que si ∞ 1 1 (Ω) < +∞ entonces f = |f | f∑ n n ∈ L (Ω), L n=1 fn ∈ L (Ω), |f | ≤ n=1 ∫ ∑∞ ∫ ∞ 1 (Ω) , |f | f = f . En nuestro caso: n n L n=1 n=1 Ω Ω ∞ ∫ ∑ n=1

π

|f (ξ)e−n t sen nx sen nξ| dξ ≤ 2

0

∞ ∫ ∑ n=1

π

e−n t |f (ξ)| dξ < ∞. 2

0

Conviene introducir el núcleo (función de Green), G(ξ, x, t) =

∞ 2 ∑ −n2 t e sen nx sen nξ ∈ C ∞ {t > 0}. π n=1

Nuestra solución se escribe entonces, ∫ π u(x, t) = G(ξ, x, t)f (ξ) dξ.

(7.7)

0

El siguiente resultado pone de manifiesto lo útil que es la representación (7.7) de la solución. Debe notarse que en el Cap. V no se consideraron datos f ∈ L1 (0, π). Teorema 7.2. Sea f ∈ L1 (0, π). Entonces u ∈ C ∞ {t > 0}. Si, por otra parte, f ∈ L∞ (0, π), entonces u está acotada en t > 0 mientras l´ım(x,t)→(x0 ,0) u(x, t) = f (x0 ) en los puntos de continuidad de x0 ∈ (0, π) de f . Demostración. Lo primero que probaremos es: G(ξ, x, t) ≥ 0, para t > 0. La igualdad es obvia si ξ o x son cero módulo π. Por otro lado, si G(ξ0 , x0 , t0 ) < 0,

202

CAPÍTULO 7. SEPARACIÓN DE VARIABLES

en (ξ0 , x0 ) ∈ (0, π) × (0, π) entonces G < 0 en |ξ − ξ0 | < δ donde localizamos una función f ∈ C01 [0, π], con sop f ⊂ {|ξ − ξ0 | < δ}, f positiva en su soporte. Tenemos entonces para la solución uf de (7.1) con este dato: u(x0 , t0 ) < 0, que va contra el principio débil del máximo. Por otro lado, ∫ π G(ξ, x, t) dξ ≤ 1.

(7.8)

0

Esto es muy interesante porque si, por ejemplo, f ∈ C[0, π], f (0) = f (π) = 0 se tiene la afirmación enunciada en el Ejercicio 7.1. Por tanto, si un ∈ C{t ≥ 0} es la solución clásica de (7.1) con dato fn , u la obtenida como: ∫ π u=

G(ξ, x, t)f (ξ) dξ, 0

∫

resulta:

π

|u − un | ≤

G(ξ, x, t)|f − fn | dξ ≤ |f − fn |∞ . 0

Luego un → u uniformemente en t ≥ 0. Esto significa que u ∈ C{t ≥ 0} es la solución clásica de (7.1). Otra consecuencia inmediata de (7.8) es que si f ∈ L∞ (0, π) entonces u dada por (G) es también una función acotada en t ≥ 0. Probemos (7.8). Consideramos fn = 1 en [1/n, π − 1/n], fn el segmento inclinado desde el valor 1 a los extremos del intervalo, mientras un es la solución asociada. Resulta, del principio del máximo: ∫ π G(ξ, x, t)fn (ξ) dξ ≤ 1. 0

Tomando límites se llega al resultado deseado. Por otro lado se tiene que: ∫ π G(ξ, x, t) sen ξ dξ = e−t sen x. 0

Esto permite escribir, 0 < x0 < π, la diferencia: ∫ x0 +δ ∫ sen ξ u(x, t) − f (x0 ) = { ] dξ. + }G(ξ, x, t)[f (ξ) − f (x0 )et sen x x0 −δ I\[x0 −δ,x0 +δ] Mientras la primera integral se hace arbitrariamente pequeña con δ, para la segunda hay que proceder con más cuidado. En efecto, el integrando de ésta permanece acotado. Poniendo Iδ = [x0 − δ, x0 + δ] escogemos una función fδ ≥ 0 con soporte Iδ tal que fδ = 1 en Iδ/2 . Si uδ es la solución de (7.1) correspondiente a fδ resulta que: ∫ G(ξ, x, t) dξ ≤ 1 − uδ . I\Iδ

7.3. ECUACIÓN DE ONDAS

203

La integral tenderá uniformemente a 0 con x ∈ Iδ/2 cuando t → 0+. Esto prueba la convergencia a cero de la segunda integral. Ejercicio 7.1. Si f ∈ C[0, π], f (0) = f (π) = 0 entonces f = l´ım fn uniformemente, donde fn es continua, C 1 a trozos y fn (0) = fn (π) = 0. Corolario 7.3. Si f ∈ C[0, π], f (0) = f (π) = 0, entonces ∫ π u= G(ξ, x, t)f (ξ) dξ, 0

es la solución cláscica de (7.1).

7.3.

Ecuación de ondas

El problema de Dirichlet para la ecuación de ondas,  utt = c2 uxx 0 < x < π, t > 0    u(x, 0) = f (x) 0 0 en [a, b], q ∈ C[a, b]. Definimos el operador de contorno, B:

C[a, b] u

−→ 7−→

por, ( Bu =

m1 m2

n1 n2

p1 p2

q1 q2

)

R2 Bu, 

 u(a)  u′ (a)    u(b)  . u′ (b)

El primer resultado recuerda el comportamiento de los sistemas lineales finito dimensionales.

208

CAPÍTULO 7. SEPARACIÓN DE VARIABLES

Teorema 7.4 (Teorema de la Alternativa). El problema, { Lu = f a 0 entonces la serie (7.31) define una función de clase C 2,1 que puede ser derivada término a término.

220

CAPÍTULO 7. SEPARACIÓN DE VARIABLES

Como observación final, un intercambio formal de las integrales involucradas en (7.31) con la serie nos lleva a la representación de la solución: ∫ t∫

π

G(ξ, x, t − τ )F (ξ, τ ) dξdτ.

u(x, t) = 0

(7.32)

0

Ya sabemos que el núcleo es C ∞ en t > 0 y que cumple la ecuación del calor con respecto a t. Puede demostrarse en realidad el siguiente resultado, que se apoya directamente en la fórmula de representación (7.32). Teorema 7.17. Supongamos que F y Fx son continuas en t ≥ 0, 0 ≤ x ≤ π. Entonces (7.32) representa la solución clásica del problema perturbado (7.30). Observación 7.7. La fórmula (7.32) puede deducirse formalmente a partir de (7.7) por el método de variación de las constantes de Lagrange.

7.7.

Ejercicios

1. Hállense, por separación de variables, las soluciones de la ecuación del calor ut = uxx bajo las condiciones que se indican: a) u(0, t) = u(π, t) = 0, u(x, 0) = sen3 x, x ∈ (0, π). b) ux (0, t) = ux (π, t) = 0, u(x, 0) = sen x, x ∈ (0, π). c) u(a, t) = u(b, t) = 0, u(x, 0) = (x − a)(b − x), x ∈ (a, b). 2. Se considera el problema de Dirichlet para la ecuación de ondas,  2 0 < x < l, t > 0   utt = c uxx  u(x, 0) = f (x) 0≤x≤l u (x, 0) = g(x) 0 ≤x≤l  t   u(0, t) = u(l, 0) = 0 t ≥ 0, para f de clase C 2 y g de clase C 1 en [0, l], satisfaciendo las correspondientes condiciones de compatibilidad. Pruébese que la solución puede representarse en la forma, u=

∞ ( ∑

an cos

n=1

nπc nπc ) nπ t + bn sen t sen x. l l l

La misma cuestión relativa al problema de Neumann y la expresión u = a0 + b0 t +

∞ ( ∑ n=1

an cos

nπc nπc ) nπ t + bn sen t cos x. l l l

¿Cuándo es b0 = 0 y qué implica ello sobre la solución del problema?

7.7. EJERCICIOS

221

3. Estúdiese el problema de autovalores (ecuaciones diferenciales ordinarias): { − X” = X, 0 0 0≤x≤π t ≥ 0, t ≥ 0.

4. Se considera el problema de Dirichlet y valor inicial para la ecuación de ondas con amortiguamiento:  utt + 2aut = c2 uxx 0 < x < π, t > 0    u(x, 0) = f (x) 0≤x≤π ut (x, 0) = 0 0≤x≤π    u(0, t) = u(π, 0) = 0 t ≥ 0, donde a, c son constantes positivas. Supóngase que f ∈ C 3 en [0, π] y que satisface las correspondientes condiciones de compatibilidad. Constrúyase una solución en forma de serie por el método de separación de variables. 5. Analícese, bajo condiciones adecuadas, la solución del problema de contorno y valor inicial (ecuación de los telegrafístas):  2 0 < x < π, t > 0   utt + 2aut + bu = c uxx  u(x, 0) = 0 0≤x≤π ut (x, 0) = g(x) 0≤x≤π    u(0, t) = u(π, 0) = 0 t ≥ 0. 6. Estúdiese por separación de variables la solución del problema  0 < x < 1, t > 0  ut = uxx u(x, 0) = x 0≤x≤1  ux (0, t) = u(1, 0) = 0 t ≥ 0.

222

CAPÍTULO 7. SEPARACIÓN DE VARIABLES

7. Demúestrese que la ecuación: uxx + uxy + uyy = 0, admite soluciones en la forma X(x)Y (y). Como indicación, hállese una expresión para Y ”/Y que debe derivarse con respecto a x. 8. Se considera el operador L = (pu′ )′ + qu, p de clase C 1 y positiva en [a, b], mientras q es continua en dicho intervalo. Si G(x, ξ) es la función de Green bajo condiciones Dirichlet, prúebese que Gξ (·, a) y Gξ (·, b) forman un sistema fundamental de Lu = 0. Prúebese también que la solución del problema de Dirichlet: { Lu = f (x) 0 0 en Ω \ x0 mientras w(x0 ) = 0. Lema 9.19. Sea Ω ⊂ Rn un dominio, x0 ∈ ∂Ω un punto que admite una barrera local, es decir existe una bola centrada en x0 , w ∈ C(B ∩ Ω), w superamónica en B ∩ Ω con w(x0 ) = 0 y w > 0 en B ∩ Ω \ x0 . Entonces, para toda bola B ′ ⊂ B centrada en x0 , w|B ′ admite una extensión w a Ω que es una función barrera en x0 . Demostración. Basta definir (m = ´ınf B\B ′ w): { m´ın(m, w(x)) x ∈ B′ w(x) = m x ∈ Ω \ B′. Se comprueba que w es una barrera en x0 . Lema 9.20. Sea Ω ⊂ Rn y g ∈ L∞ (∂Ω) continua en x = x0 . Si x0 admite una función barrera y u ˆ es la función armónica construida en el Teorema de Perron entonces l´ım u ˆ(x) = g(x0 ). x→x0

Se tiene además lo siguiente. Teorema 9.21. Sea Ω un dominio acotado de Rn mientras la función g es continua en ∂Ω. El problema de Dirichlet (9.12) admite una solución clásica si y sólo si todos los puntos de la frontera ∂Ω son regulares.

9.5. MÉTODO DE PERRON

257

Observaciones 9.7. a) La condición de punto regular para un dominio Ω del plano no es demasiado restrictiva. En efecto, la geometría de los puntos regulares es muy “permisiva” pues basta con que un punto x0 ∈ ∂Ω sea accesible desde Ω \ R2 , es decir el extremo de una arco γ contenido en R2 \ Ω para que exista una barrera. En efecto, para B centrada en x0 pequeña podemos construir una determinación θ del argumento en B ∩ Ω. Una función barrera local es: w=−

log r , log r + θ2 2

con r = |x − x0 |. Este tipo de función barrera permite concluir que el problema de Dirichlet es resoluble en todo dominio plano en el que ninguna componente coneza de R2 \ Ω se reduzca a un punto (esta condición geométrica es necesaria y suficiente para la resolubiliad del problema de Dirichlet, ver [4]). b) En n ≥ 3 la geometría de los puntos regualres es más sutil. Cuando x0 ∈ ∂Ω yace en una esfera {x : |x − y| = R} donde B R (y) \ x0 ⊂ Rn \ Ω, una barrera local es: w(x) = R2−n − |x − y|2−n . Hay otras condiciones geométricas sencillas que bastan para la existencia de una barrera local en x = x0 . Si Ω es un dominio acotado y C 1 todos los puntos de la frontera ∂Ω satisfacen la condición del “cono exterior” por lo que se puede asegurar que son regulares (véanse los Ejercicios). c) N. Wiener caracterizó en 1924 la “cantidad” necesaria de “espacio” fuera de Ω, y en las proximidades de x0 para que exista una barrera local. El siguiente ejemplo se debe a H. Lebesgue (1913). Describe la geometría típica de un punto “no regular”. Teorema 9.22 (Lebesgue). En R3 \ I, I = {(0, 0, z) : 0 ≤ z ≤ 1} se considera la función: ∫ 1 ds √ v(x, y, z) = . 2 2 x + y + (z − s)2 0 Se define el dominio, √ Ω = { x2 + y 2 + z 2 < 1} ∩ {v(x, y, z) < 1 + c}, donde c > 0. Entonces (0, 0, 0) es un punto no regular para el problema de Dirichlet en Ω. Observación 9.8. Se tiene en realidad que v es armónica en R3 \ I mientras v toma el valor v = 1 + (c − ε) en superficies Sε dentro de Ω que pasan por (0, 0, 0) formando allí una cúspide simétrica con respecto al eje 0z. Eso quiere decir que el problema de Dirichlet (9.12) con dato g(x) = v(x) en ∂Ω carece de soluciones clásicas. En efecto, v no lo es porque ni siquiera es continua en

258

CAPÍTULO 9. ECUACIÓN DE LAPLACE (RN )

(0, 0, 0). El esfuerzo de la prueba reside en demostrar que si u es una solución clásica de, { ∆u = 0 en Ω u=v en ∂Ω. entonces u = v en Ω lo que contradice la hipótesis de que u sea una solución clásica. Observación 9.9. Como corolario de la sección hemos establecido que todo dominio Ω ⊂ Rn acotado y C 1 admite una función de Green G = G(x, y). Debe advertirse sin embargo que los métodos desarrollados no aseguran la regularidad C 1 de G hasta la frontera. Esta clase de información requiere un tratamiento más elaborado (cf. [13]).

9.6.

El semiespacio

El problema de Dirichlet cuando Ω = Rn+1 es resoluble con unicidad si + imponemos condiciones de crecimiento en el infinito a las soluciones. En la Sección 9.2 ya se obtuvo una función de Green formal en Ω = Rn+1 + . El siguiente resultado establece condiciones de existencia y unicidad para el problema de Dirichlet. Teorema 9.23. Para cada φ ∈ Cb (Rn ) el problema de Dirichlet, { ∆u = 0 (x, xn+1 ) ∈ Rn+1 + u=φ (x, 0) ∈ ∂Rn+1 + , admite una única solución acotada u ∈ C 2 (Rn+1 + ) ∩ Cb ({xn+1 ≥ 0}) que viene dada explícitamente por la expresión, ∫ 2t φ(y) u(x, t) = dy. (n + 1)ωn+1 Rn |(x − y, t)|n+1 Demostración. La unicidad es consecuencia de combinar el teorema de Liouville y el principio de reflexión de Schwartz en xn+1 = 0 (véanse los Ejercicios). Por otro lado, usando: G(ξ, η) = −Γ2 (ξ − η) + Γ2 (ξ − η ∗ ), donde ξ = (x, xx+1 ), η = (y, yn+1 ), η ∗ = (y, −yn+1 ) podemos proponer “formalmente” a: ∫ ∫ ∂G ∂G u(ξ) = − (ζ, ξ)φ(ζ) dSζ = (ζ, ξ)|yn+1 =0 φ(y, 0) dy, (9.13) ∂ν ∂y n n n+1 R R como solución del problema. Se tiene: 1 ∂G 2t ((y, 0), (x, t)) = . ∂yn+1 (n + 1)ωn+1 |(x − y, t)|n+1

9.7. LA ECUACIÓN DE POISSON

259

y dicha derivada es armónica en (x, t) (es a su vez la derivada de una función armónica). La función subintegral en (9.13) es integrable para φ ∈ L∞ arbitraria pues, ∫ ∫ ∞ 1 2t ρn−1 2nωn dy = dρ (n + 1)ωn+1 Rn |(x − y, t)|n+1 (n + 1)ωn+1 0 (ρ2 + 1) n+1 2 ∫ ∫ n Γ((n + 1)/2 1 1 −1 Γ((n + 1)/2 ∞ n −1 − n+1 2 2 z (z + 1) dz = √ t 2 (1 − t) 2 −1 dt = √ πΓ(n/2) 0 πΓ(n/2) 0 Γ((n + 1)/2 1 n = √ B( , ) = 1. 2 2 πΓ(n/2) Finalmente, para la continuidad hasta la frontera sea x0 ∈ Rn un punto de ε continuidad de φ y, con ε > 0 pequeño, supóngase |φ(x)−φ(x0 )| ≤ si |x−x0 | ≤ 2 δ (δ > 0). La positividad del núcleo permite establecer: ∫ ε 2t |φ(y) − φ(x0 )| |u(x, t) − φ(x0 )| ≤ + dy 2 (n + 1)ωn+1 |y−x|≥ δ2 |(x − y, t)|n+1 ∫ ε 2t 2K ≤ + dy 2 (n + 1)ωn+1 |y−x|≥ δ2 |(x − y, t)|n+1 ∫ ε 2t 2Ktn ≤ + dz 2 (n + 1)ωn+1 |z|≥ 2tδ tn+1 {|z|2 + 1} n+1 2 ≤ ε, si |x−x0 | ≤ δ y t es lo suficientemente pequeño como para que la última integral sea inferior a ε/2 (K ha designado una cota de φ).

9.7.

La ecuación de Poisson

Nos ocupamos ahora de investigar condiciones suficientes para la existencia de soluciones clásicas del problema de Dirichlet para la ecuación de Poisson: { −∆u = f x∈Ω (9.14) u=g x ∈ ∂Ω. La idea principal es eliminar el término f de la ecuación utilizando el potencial de volumen Vf : ∫ Vf (x) = Γn (x − y)f (y) dy. Ω

En el caso plano, el problema quedó esencialmente zanjado en los siguientes términos: a) no basta la continuidad de f para la existencia de soluciones clásicas, b) el problema admite soluciónque si f es de clase C 1 en Ω. En el presente capítulo vamos a llegar un poco más lejos en el sentido que relajaremos las condiciones de regularidad sobre f .

CAPÍTULO 9. ECUACIÓN DE LAPLACE (RN )

260

A tal efecto conviene introducir la siguiente definición. Se dice que f : Ω ⊂ Rn → R es Hölder continua de exponente α ∈ (0, 1] en el punto x0 ∈ Ω si: [f ]α,x0 :=

sup |x−x0 |≤δ,x̸=x0

|f (x) − f (x0 )| < +∞, |x − x0 |α

para cierto δ > 0. Diremos que f es localmente Hölderiana de exponente α ∈ (0, 1] en Ω, lo que denotaremos f ∈ C α (Ω), si para todo subdominio acotado Ω1 ⊂ Ω1 ⊂ Ω se tiene que: [f ]α,Ω1 :=

sup x,y∈Ω1 ,x̸=y

|f (x) − f (y)| < +∞. |x − y|α

En todo lo que resta de sección Ω denotará un dominio acotado de Rn . La primera propiedad del potencial de volumen es el siguiente, Lema 9.24. Sea f ∈ L∞ (Ω). Entonces Vf ∈ Cb1 (Rn ). Además, ∫ ∂i Vf (x) = ∂i Γn (x − y)f (y) dy 1 ≤ i ≤ n. Ω

Para llegar a clase C 2 necesitamos un poco más de regularidad, a saber, Lema 9.25. Si f ∈ C α (Ω) ∩ L∞ (Ω), 0 < α ≤ 1, entonces el potencial Vf ∈ C 2 (Ω). Además: ∫ ∫ ∂ij Vf (x) = ∂ij Γn (x − y)(f (y) − f (x)) dy − f (x) ∂i Γn (x − y)νj (y) dSy , Ω0

∂Ω0

i, j ∈ 1, . . . , n, x ∈ Ω, donde Ω ⊂ Ω ⊂ Ω0 es un dominio regular que contiene a Ω. Finalmente, ∆Vf = f. Observación 9.10. Si bien es necesario algo más que continuidad en f para tener Vf ∈ C 2 (Ω) se demuestra en cambio que Vf es más regular que C 2 . En efecto, si 0 < α < 1 entonces Vf ∈ C 2,α (Ω), es decir todas las derivadas segundas ∂ij Vf de Vf son Hölderianas en Ω: ∂ij Vf ∈ C α (Ω) para i, j ∈ {1, . . . , n}. Una consecuencia inmediata del Lema 9.25 es el siguiente resultado de existencia para el problema de Dirichlet. Teorema 9.26. Sea Ω un dominio acotado de Rn para el que todos los puntos de ∂Ω son regulares mientras f ∈ C α (Ω) ∩ L∞ (Ω) con 0 < α ≤ 1. Entonces para toda g ∈ C(∂Ω) el problema (9.14) admite una solución clásica u ∈ C 2 (Ω) ∩ C(Ω). La demostración del Lema 9.24 es consecuencia del siguiente resultado de diferenciación de integrales singulares uniformemente convergentes.

9.7. LA ECUACIÓN DE POISSON

261

Lema 9.27. Sea Ω ⊂ Rn un dominio acotado de Rn , G ∈ C((Ω × Ω) \ {(x, y) : x = y}). Supongamos además que para cada x ∈ Ω la función G(x, ·) ∈ L1 (Ω) y tiene una singularidad uniformemente integrable en y = x. Es decir: ∫ |G(x, y)| dy → 0+, (9.15) Bε (x)∩Ω

uniformemente en x ∈ Ω cuando ε → 0+. Entonces, para toda f ∈ L∞ (Ω) la función, ∫ F (x) = G(x, y)f (y) dy, Ω

es continua en Ω. Ejemplo 9.11. El núcleo de Riesz: G(x, y) =

C , |x − y|α

x, y ∈ Rn , α > 0, satisface las condiciones del Lema 3 para α < n. Demostración del Lema 9.27. Usaremos el teorema de la convergencia dominada (la demostración que se da en [10] es, a nuestro juicio, substancialmente maś complicada). Para ε > 0 introducimos (χ denota la función característica): ∫ Fε (x) = χ{|y−x|>ε} G(x, y)f (y) dy. Ω

De la hipótesis de continuidad sobre G se tiene la existencia de una constante M = M (ε) tal que, |χ{|y−x|≥ 2ε } G(x, y)f (y)| ≤ M |f |∞ para todo x ∈ Ω y casi todo y ∈ Ω. Por otro lado, si xn → x0 en Ω es inmediato que χ{|y−xn |>ε} G(xn , y)f (y) → χ{|y−x0 |>ε} G(x0 , y)f (y), ∀ c. t. y ∈ Ω. En efecto, |y − x0 | > ε (respectivamente, |y − x0 | < ε) conlleva |y − xn | > ε (r. |y − x0 | < ε) para n ≥ n0 . En el primer caso: χ{|y−xn |>ε} G(xn , y)f (y) = G(xn , y) → G(x0 , y) = χ{|y−x0 |>ε} G(x0 , y)f (y), en el segundo, χ{|y−xn |>ε} G(xn , y)f (y) = χ{|y−x0 |>ε} G(x0 , y)f (y) = 0 para n ≥ n0 . Por tanto, Fε es continua en Ω. Finalmente es obvio que Fε → F uniformemente en Ω cuando ε → 0+, lo que prueba la continuidad de F . En cuanto a la diferenciabilidad de integrales singulares uniformemente integrables tenemos lo siguiente.

CAPÍTULO 9. ECUACIÓN DE LAPLACE (RN )

262

∂G ∈ ∂xi C(Ω × Ω \ ∆), ∆ = {(x, y) : x = y}, funciones uniformemente integrables en el sentido del Lema 9.27. Entonces para f ∈ L∞ (Ω) la función: ∫ F (x) = G(x, y)f (y) dy, Lema 9.28. Supongamos n ≥ 2 y sea G = G(x, y) ∈ C(Ω × Ω \ ∆) con

Ω

es continuamente derivable con respecto a xi en Ω y ∫ ∂i F (x) = ∂xi G(x, y)f (y) dy. Ω

En general, si existen las derivadas parciales ∂xα G en x ̸= y siendo las ∂xα G ∈ C(Ω × Ω \ ∆) uniformemente integrables para |α| ≤ k entonces F ∈ C k (Ω) y ∫ α ∂ F (x) = ∂xα G(x, y)f (y) dy. Ω

Demostración. Fijemos x0 ∈ Ω y definamos ∫ Fi (x) = ∂xi G(x, y)f (y) dy. Ω

Del lema 3 sabemos que Fi ∈ C(Ω). Por otro lado para h ∈ R suficientemente pequeño y designando por [x0 , x0 + hei ] = {x0 + shei : 0 ≤ s ≤ 1} tenemos la cadena de identidades: ∫ h ∫ h∫ Fi (x0 + sei ) ds = ∂xi G(x0 + shei , y)f (y) dyds 0

0

∫

h

∫

Ω

=

∂xi G(x0 + shei , y)f (y) dyds 0

∫

Ω\[x0 ,x0 +hei ]

∫ {

= Ω\[x0 ,x0 +hei ]

∫ =

h

∂xi G(x0 + shei , y) ds}f (y) dy 0

G(x0 + hei , y)f (y) dy− Ω\[x0 ,x0 +hei ]

∫

G(x0 , y)f (y) dy ∫ ∫ = G(x0 + hei , y)f (y) dy − G(x0 , y)f (y) dy Ω\[x0 ,x0 +hei ]

Ω

Ω

= F (x0 + hei ) − F (x0 ), en las que el intercambio de integrales iteradas viene avalado por el teorema de Fubini. Lo que se ha probado entonces es que ∂i F (x0 ) = Fi (x0 ). La demostración del resto de las afirmaciones es rutinaria.

9.7. LA ECUACIÓN DE POISSON

263

Observación 9.12. La restricción n ≥ 2 del lema está implícita en el hecho de que el segmento [x0 , x0 + hei ] tiene medida de Lebesgue cero en Rn para n ≥ 2. Más aún, el resultado es significativamente falso en dimensión n = 1. En efecto, si Ω = (a, b) y tomamos como núcleo G(x, y) = θ(x − y) la función de Heaviside ∂G = 0 para x ̸= y. Pero además para f ∈ L∞ (a, b): resulta ∂x ∫ b ∫ x F (x) = θ(x − y)f (y) dy = f (y) dy, a

a

la cual en general no es diferenciable en la totalidad de los puntos de (a, b). Ejemplo 9.13 (Solución fundamental de la ecuación del calor). Tomemos |x|2 1 U (x, t) = √ e− 4t , ( 4πt)

si t > 0, U (x, t) = 0 si t ≤ 0 pero (x, t) ̸= (0, 0). Para QT = {0 < t < T } (T > 0), f ∈ L∞ (Q) formamos ∫∫ ∫ t∫ u(x, t) = U (x − ξ, t − τ )f (ξ, τ ) dξdτ = U (x − ξ, t − τ )f (ξ, τ ) dξdτ. QT

0

Rn

La función u es continua pues ∫ t ∫ U (x − ξ, t − τ )|f (ξ, τ )| dξdτ → 0 |ξ−x| 0}, Ω− = {(x′ , −xn ) : x ∈ Ω+ }. Demuéstrese (principio de reflexión de Schwarz) que toda función u ∈ C 2 (Ω+ ) ∩ C(Ω+ ), armónica en Ω+ se extiende a una única función armónica en Ω. Indicación. Usar el teorema de la media. 5. Sea u armónica y no negativa en la bola BR (0) (continua hasta la frontera). De la integral de Poisson demuéstrese la desigualdad de Harnack, Rn−2 (R + |x|) Rn−2 (R − |x|) u(0) ≤ u(x) ≤ u(0). n−1 (R + |x|) (R − |x|)n−1

CAPÍTULO 9. ECUACIÓN DE LAPLACE (RN )

266

6. Demuéstrese que u ∈ C(Ω) es subarmónica en Ω si y sólo si satisface localmente la desigualdad del valor medio, es decir ∀y ∈ Ω, ∃δ = δ(y) > 0 tal que: ∫ 1 u(y) ≤ u(y) dSy , nωn Rn−1 ∂BR (y) para cada 0 < R ≤ δ. 7. Usar las ideas del capítulo para probar que si u es armónica en Ω ⊂ Rn se tiene la estimación interior del gradiente en x0 ∈ ∂Ω: |∂i u(x0 )| ≤

n (u(x0 ) − ´ınf u) Ω d0

d0 = dist (x0 , ∂Ω).

n (sup u − u(x0 )) d0 Ω

d0 = dist (x0 , ∂Ω).

Análogamente, |∂i u(x0 )| ≤ Pruébese que: |∂i u(x0 )| ≤

n u(x0 ) d0

d0 = dist (x0 , ∂Ω)

si u ≥ 0. 8. Pruébese (teorema de Liouville) que toda función armónica en Rn y acotada superiormente es constante. 9. Singularidades evitables. Sea u ∈ C 2 (BR (0)\0)∩C(B R (0)\0) una función armónica tal que u = 0 en {|x| = R} mientras, u(x) = o(Γn (x)), cuando x → 0. Demuéstrese que u = 0 en BR (0) \ 0. Como corolario pruébese que si u ∈ C 2 (Ω \ x1 , . . . , xN ) es armónica junto con u(x) = o(Γn (x − xi )) cuando x → xi , para cada i ∈ {1, . . . , N } entonces u admite una única extensión armónica a Ω. Finalmente, demuéstrese que el problema de Dirichlet para la ecuación de Laplace está mal propuesto en toda región G de la forma G = Ω \ x1 , . . . , xN donde Ω es un abierto de Rn y {x1 , . . . , xN } es una familia finita de puntos de Ω. Indicación. Seguir las ideas del Capítulo ?? (anterior). ¯ donde B = BR (0), del 10. Se considera la solución clásica u ∈ C 2 (B) ∩ C(B), problema de Dirichlet para la ecuación de Laplace: { ∆u = F (x) x ∈ B u(x) = G(x) x ∈ ∂B, siendo F y G funciones continuas y radiales: F (x) = f (|x|), G(x) = g(|x|) para sendas funciones f y g. Demuéstrese que también u(x) es radial.

9.8. EJERCICIOS

267

Obténgase la misma conclusión en un anillo Aa,b = {a < |x| < b}. En el mismo género de ideas, demuéstrese que si f = f (x) es radial, en Ω ⊂ Rn (luego Ω es una bola ∫ o un anillo) entonces el correspondiente potencial de volumen V (x) = Ω Γ(x − y)f (y) dy es también radial. Pruébese que si n = 3 y si f es constante en el anillo Aa,b entonces ∇V = 0 dentro de la cavidad |x| < a. 11. En una región Ω del espacio R3 se considera una distribución de masas con densidad f (y), que supondremos acotada, e. d. f ∈ L∞ (Ω). Por tanto, la masa neta de Ω resultará ser: ∫ M= f (y) dy. Ω

Si se considera el potencial newtoniano con densidad f ∫ ∫ f (y) Γ3 (x − y)f (y) dy = G dy, V (x) = −4πG Ω Ω |x − y| donde Γ3 representa la solución fundamental del laplaciano, pruébese que V (x) ∼

GM |x|

uniformemente cuando |x| → ∞. ¿Qué conclusión se puede sacar de este resultado? 12. Consideremos la sucesión de problemas de Dirichlet: { ∆u = 0 x ∈ Ω u(x) = gn (x) x ∈ ∂Ω, donde Ω es un dominio acotado de Rn y {gn } es una sucesión de funciones continuas en ∂Ω tal que gn → g uniformemente en ∂Ω. Supongamos que ¯ Utilizar la sucecada (Pn ) admite la solución clásica un ∈ C 2 (Ω) ∩ C(Ω). sión {un } para establecer la existencia de la solución clásica del problema límite: { ∆u = 0 x ∈ Ω u(x) = g( x)

x ∈ ∂Ω.

13. Un dominio acotado Ω ⊂ Rn tiene la propiedad exterior del cono si para cada x0 existe un cono recto K = K(¯ u, θ) := {tx ∈ Rn : 0 ≤ t ≤ x 1, dist ( |x| , u ¯) ≤ θ} tal que (x0 + εK) \ x0 ⊂ Rn \ Ω para algún ε > 0. Denotando por ω ∈ Sn−1 la variable angular en Rn determínese en x0 una función barrera de la forma rλ w(ω). 14. Problema de Dirchlet “exterior”. Considérese para n ≥ 3 el problema de hallar u ∈ C 2 {|x| > R} ∩ C{|x| ≥ R}, R > 0, tal que: { ∆u = 0 |x| > R (E) u=g |x| = R,

CAPÍTULO 9. ECUACIÓN DE LAPLACE (RN )

268

junto con la condición de contorno en el infinito: l´ım

|x|→+∞

u(x) = γ,

(I)

donde γ es asimismo una constante prefijada. a) Sea Ω = {|x| > R}.Pruébese que la transformación de Kelvin: y=

R2 x, |x|2

aplica Ω en B \ 0 (B = BR (0)). Introdúzcase el cambio de variable: ( 2 ) R v(y) = |y|2−n u y y ̸= 0, |y|2 y demuéstrese que si u es solución de (E)-(I) entonces v es armónica en B \ 0 con una singularidad evitable en el origen, por tanto satisfaciendo el problema de Dirichlet: { ∆v = 0 |y| < R (A) 2−n u=R g |y| = R. b) Usar la fórmula de Poisson para resolver (A), observando que: |x∗ − ζ| =

R |x − ζ| |x|

|ζ| = R,

R2 x. Ajustar después la condición (I) con ayuda de alguna |x|2 función armónica conveniente. Contrastar los resultados con el caso n = 2 estudiado por separación de variables en el Capítulo ??. con x∗ =

Apéndice A

Funciones diferenciables Dada una función real u : Ω → R, u = u(x), Ω ⊂ Rn un dominio (es decir un conjunto abierto y conexo) resulta bien conocida la noción de derivada parcial de orden k ∈ N de u en un punto x ∈ Ω (aquí N designa los naturales con el 0). Para uso posterior se fijan las siguientes notaciones: α ∈ Nn , α = (α1 , . . . , αn ), |α| = α1 + · · · + αn , α! = α1 ! . . . αn !, si ξ ∈ Rn es un vector, ξ α = ξ1α1 . . . ξnαn , si k ∈ N, N (k) = card {α ∈ Nn : |α| ≤ k}, para α, β ∈ {α ∈ Nn : |α| ≤ k}, se dice que α < β si o bien |α| < |β| o por contra, |α| = |β| pero αi < βi donde i = min {j : 1 ≤ j ≤ n, αj ̸= βj }, a cada vector c = (cα )|α|≤k ∈ RN (k) se asocia el polinomio de grado k en x1 , . . . , xn : ∑ c α xα . p(x) = |α|≤k

Nótese entonces que el espacio de polinomios de grado k es isomorfo a RN (k) . Se dice que u : Ω → R es de clase C k en Ω si admite todas las derivadas ∂u ∂ku parciales u(x), (x), . . . , k (x) y tales funciones son continuas en Ω. Se ∂x1 ∂ xn denota C k (Ω) al conjunto de tales funciones. Una de las versiones del teorema de Schwartz 1 , viene a decir lo siguiente: si todas las derivadas parciales de orden l − 1 de una función real u(x) son continuas en el entorno de un punto x0 ∈ Rn y si una derivada parcial específica de orden l de u(x) - llamémosla vl (x) - existe en dicho entorno y es continua, entonces existen y coinciden con vl (x) todas aquellas derivadas parciales vˆl (x) de u(x) de orden l que involucran el mismo número de derivadas parciales respecto de las mismas variables que aparecen en 1 Ver,

por ejemplo, T. M. Apostol 2a edición, nota en página 436.

269

270

APÉNDICE A. FUNCIONES DIFERENCIABLES

vl (x), aunque tomadas en distinto orden. Luego si en vl (x) se deriva -en el orden que sea- α1 veces con respecto a x1 , . . . , αn veces con respecto a xn (algunos de los αi muy bien pudieran ser cero) todas esas derivadas vˆl (x) coinciden con la derivada canónica: ∂lu (x). α 1 ∂ x1 . . . ∂ αn xn Siguiendo a L. Schwartz dicha derivada se denota como ∂ α u(x), en referencia al multiíndice α ∈ Nn . Por tanto, si 0 ≤ l ≤ k por cada α ∈ Nn , |α| = l tendremos l! un total de |α|! α! = α! derivadas parciales de orden l de u(x) que coinciden con α ∂ u(x). Por otra parte el número total de derivadas parciales de u ∈ C k (Ω) de orden l coincide con el de las combinaciones ( )con repetición de n elementos tomados l a l, CRn,l , es decir Cn+l−1,l = n+l−1 . l Se repasan a continuación algunas nociones de cálculo diferencial en varias variables. Para u : Ω ⊂ Rn → Rp , Ω abierto de Rp , se dice que u(x) es diferenciable en x0 ∈ Ω si ∃L ∈ L(Rn , Rp ) tal que: u(x) = u(x0 ) + L(x − x0 ) + o(|x − x0 |),

x → x0 .

Decimos que L es la derivada o la diferencial de u en x0 y escribimos L = du|x=x0 = u′ (x0 ) (también Du(x0 )). Si e1 , . . . , en son los vectores de la base canónica de Rn la diferenciabilidad de u en x0 implica la existencia de todas las ∂u derivadas parciales ∂x (x0 ) = L(ei ). Por otra parte, la existencia y continuidad i ∂u de las n funciones ∂xi (x) en un entorno U de x0 , implica la diferenciabilidad de u en x0 , donde L viene representada en la base canónica mediante las fórmulas precedentes. Admitimos ahora que u : Ω → R es diferenciable en cada x ∈ Ω. Si u′ = u′ (x), u′ : Ω → L(Rn , R) es diferenciable en x0 , su derivada u′′ (x0 ) ∈ L(Rn , L(Rn , R)) (usaremos también los símbolos D2 u(x0 ) y d2 u|x=x0 ). Para v1 ∈ Rn se tendrá u′′ (x0 )(v1 ) ∈ L(Rn , R). Por eso u′′ (x0 )(v1 )(v2 ) ∈ R y ésta última función es bilineal en (v1 , v2 ). Por eso escribimos: u′′ (x0 )(v1 )(v2 ) = u′′ (x0 )(v1 , v2 ). Se tiene además la siguiente propiedad: u′′ (x0 )(ei , ej ) =

∂2u (x0 ), ∂xj ∂xi

para cada i, j. Si vj = (vij ), j = 1, 2 entonces: u′′ (x0 )(v1 , v2 ) =

∑ i1 ,i2

2

vi11 vi22

∂2u (x0 ). ∂xi2 ∂xi1

u Si todas las funciones ∂xi∂ ∂x (x) existen en un entorno U de x0 y son continuas i1 2 en x0 , entonces ∃u′′ (x0 ).

271 En general, si u : Ω → R admite las k − 1 primeras diferenciales, con u(k−1) : Ω → Lk−1 (Rn , R), siendo Lm (Rn , R) el espacio de las aplicaciones m lineales, e. d., aplicaciones L:

m

Rn × · · · ×Rn (v1 , . . . , vm )

−→ 7−→

R L(v1 , . . . , vm )

que son lineales en cada vi cuando se fijan las demás variables, entonces la derivada (diferencial) k -ésima u(k) (x0 ) si existe, se define como la derivada de u(k−1) en x0 . Además: u(k) (x0 )(ei1 , . . . , eik ) =

∂ku , ∂xik · · · ∂xi1

para cada i1 , . . . , ik ∈ {1, . . . , n}. Puede probarse además 2 que la propia existencia de u(k) (x0 ) ya lleva consigo que dicha apliciación multilineal es simétrica: u(k) (x0 )(vσ(1) , . . . , vσ(n) ) = u(k) (x0 )(v1 , . . . , vn ) para cualesquiera vi ∈ Rn y permutación σ del grupo simétrico de orden n. En particular, nótese que la identidad de las derivadas cruzadas ∂ij u(x0 ) = ∂ji u(x0 ) se deduce de la mera existencia de u′′ (x0 ) (¡Comparar con el teorema de Schwartz!). Con la misma notación de arriba vi = (vji ) se tendrá entonces que: n ∑ ∂ku u(k) (v1 , . . . , vk ) = vi11 . . . vikk . ∂xik · · · ∂xi1 i ,...,i =1 1

k

k

Ahora, si u es de clase C en Ω y hallamos el valor de la diferencial k-ésima en (v1 , . . . , vk ) = (v, . . . , v) con v = (vi ), la simetría de u(k) (x0 ) nos lleva a la identidad: n ∑ ∂ku u(k) (x0 )(v, . . . , v) = vi1 . . . vik ∂xik · · · ∂xi1 i ,...,i =1 1

k

∑ k! = v α1 . . . vnαn ∂ α u(x0 ) α! 1 |α|=k

=

∑ k! v α ∂ α u(x0 ). α!

|α|=k

Normalmente escribiremos u(k) (x0 )(v, . . . , v) = u(k) (x0 )(v)k . Otro resultado importante es la regla de la cadena. Si f : Ωabto. ⊂ Rn → Rm , g : Ωabto. ⊂ Rm → Rp son diferenciables, entonces g◦f lo es y (g◦f )′ = g ′ ◦f ′ . En 1 otros términos, si g = g(y) = (g1 (y), . . . , gp (y)), f = f (x) = (f1 (x), . . . , fm (x)), entonces para cada 1 ≤ j ≤ m: ∂gj (f (x)) ∑ ∂gj ∂fl = . ∂xi ∂yl ∂xi m

l=1

2 Ver

J. Dieudonné, Introducción al análisis, Vol. I.

272

APÉNDICE A. FUNCIONES DIFERENCIABLES

En particular, si u : Ω ⊂ Rn → R es de clase C k entonces, ∀x ∈ Ω, v ∈ Rn y 0 ≤ m ≤ k se tiene que: ∑ m! dm (m) m v α ∂ α u(x + tv). u(x + tv) = u (x + tv)(v) = dtm α! |α|=m

Una consecuencia inmediata de la última identidad es el teorema de Taylor para funciones u : Ωabto. ⊂ Rn → R de clase C k . A saber, si x0 ∈ Ω y x ∈ Ω es tal que el segmento [x0 , x] = {x0 + ζ(x − x0 )/1 ≤ ζ ≤ 1} ⊂ Ω entonces: u(x) =

∑ |α|≤k−1

∑ 1 1 α ∂ u(x0 )(x − x0 )α + ∂ α u(x0 + θ(x − x0 ))(x − x0 )α , α! α! |α|=k

donde 0 < θ < 1. ∞ Cuando una función ∑es 1de αclase C en Ωα en cada x0 ∈ Ω tiene sentido la serie formal de Taylor α α! ∂ u(x0 )(x − x0 ) y es natural preguntarse cuándo la serie de Taylor representa, localmente en Ω, a la función dada. Por ejemplo, si P (x) en un polinomio en Rn de grado k, entonces es inmediato comprobar que, ∀x0 ∈ Rn : ∑ 1 P (x) = ∂ α u(x0 )(x − x0 )α . α! |α|≤k

Tales funciones son las se denominan analíticas (reales) (Capítulo 3).

Apéndice B

Series Múltiples ∑ Definición B.1. Decimos que una serie α cα es convergente 1 si ∃s ∈ R tal que, para toda familia creciente de índices Ak ⊂ Nn (e d. Ak finita, Ak ⊂ Ak+1 para cada2 k ∈ N y ∪k Ak = Nn ) se tiene que3 : l´ım SAk = s. Cada elección de una familia de Ak ’s da lugar a un “método” para sumar la serie. Por ejemplo: ( k ) ( k ) ∑ ∑ ∑ 1 α1 α αn x = l´ım x1 ... xn = , (1 − x ) . . . (1 − xn ) 1 α α =1 α =1 1

n

siempre que ∥x∥∞ < 1. Aquí Ak = {∥α∥∞ ≤ k}. Nuestra definición de convergencia requiere que todo método de sumar la serie dé lugar a la misma suma. Se tiene la siguiente propiedad: ∑ Teorema B.2. La serie α cα es convergente 4 a s sí y sólo sí ∀ε > 0 existe Aε ⊂ Nn finito, tal que ∀A ⊂ Nn , A finito, A ⊃ Aε , se tiene que |SA − s| < ε. ∑ Definición B.3. La serie α cα satisface la condición de Cauchy si ∀ε > 0 existe Aε ⊂ Nn finito, tal que ∀A ⊂ Nn finito con A ∩ Aε = ϕ, se tiene que |SA | < ε. ∑ Teorema B.4. La serie α cα es convergente sí y sólo sí satisface la condición de Cauchy. 1 La definición y resultados que siguen son una variación mínima de los que sobre el tema se dan en “Méthodes Mathématiques pour les Sciences Physiques"por L. Schwartz, Hermann, París (1965). 2 Suponemos que 0 ∈ N. 3 Para cada A ⊂ Nn finita escribiremos la suma parcial con índices en A como S A = Σα∈A cα . 4 Es esta afirmación lo que se suele tomar como definición de convergencia de una serie múltiple.

273

274

APÉNDICE B. SERIES MÚLTIPLES

∑ Es conveniente observar que si una serie α cα tiene todos sus términos cα ≥ 0 entonces es evidente que s < +∞ o bien s = +∞ y su suma no puede ser otra que: s = sup sA . A⊂Nn

Se tiene además el siguiente teorema. ∑ Teorema B.5. La∑serie α cα es convergente sí y sólo sí es absolutamente convergente, e. d., α |cα | < +∞. En otras palabras, la clase de convergencia que aquí se considera se reduce en última instancia a la de series no negativas (se descartan las series “condicionalmente convergentes"). ∑ Teorema B.6. Supongamos que α cα ∑ es convergente. Si Bm es una partición de Nn entonces todas las series parciales β∈Bm cβ son convergentes, pongamos ∑ ∑ a sm , y además α cα = m sm . Definición B.7. Sean cα = c∑ α (x) una familia de funciones reales en un abierto Ω ⊂ Rn . Se dice que la serie α cα (x) converge uniformemente en Ω si ∀ε > 0 existe m(ε) ∈ N tal que ∀A ⊂ {|α| > m(ε)} se tiene que |SA (x)| < ε

para cada x ∈ Ω.

∑ Obsérvese que la definición equivale a que en la condición de∑Cauchy para α cα (x), Aε sólo dependa de ε y no de x ∈ Ω. Por otro lado, si ∑α cα (x) converge uniformemente en Ω la sucesión de sumas parciales Sm (x) = |α|≤m cα (x) ∑ converge uniformemente en Ω a la suma α cα (x) de la serie. Diremos que la serie Σα aα mayora a Σα cα , y escribimos Σα cα ≪ Σα aα , si para cada α se tiene que |cα | ≤ aα . Se tiene el siguiente resultado. Teorema B.8 (Teorema “M” de Weierstrass). En las condiciones precedentes supongamos que las funciones cα∑ (x) son de clase ∑ C k en Ω y ∑ que para cada β β β n β ∈ N , 0 ≤ |β| ≤ k, la serie ∑ ∂ c (x) 0, ∃δ = δ(ε, x0 ) con |Sn (x) − Sn (y)| < ε para x, y ∈ Bδ (x0 ) y n arbitrario. De ahí se deduce fácilmente que s(x) = l´ım Sm (x) es continua en x = x0 . ∑ Para la diferenciabilidad definimos por ejemplo vi = ∂i cα (x). Como, ∫

t

Sm (x) = Sm (x0 ) +

∂i Sm (x0 + s ei ) ds , 0

275 si x = x0 + t ei , resulta entonces que ∫

t

s(x) = s(x0 ) +

vi (x0 + s ei ) ds . 0

Luego ∂i s(x0 ) = vi (x0 ). Ejemplo B.1. La función ∑ 1 xα = (1 − x1 ) . . . (1 − xn ) α se obtiene como una serie en Ω = {x/||x||∞ < 1}. Es de clase C ∞ , pero además todas sus derivadas se pueden obtener derivando término a término dicha serie. Para ello, basta con demostrar que las series derivadas convergen uniformemente sobre compactos de Ω. Bastará con mayorarlas en ||x||∞ ≤ r < 1. La serie derivada β veces es: ∑ α! xα−β := A. (α − β)! α ∑ Se recuerda ahora que una serie de potencias f (z) = n an (z − z0 )n se puede derivar término a término, y la serie y todas las series derivadas convergen uniformemente en cada disco |z − z0 | ≤ r para cada 0 < r < ρ, donde ρ es el 1 radio de convergencia ρ−1 = l´ım(|an |) n . En particular: ∑ k! k! = z n−k k+1 (1 − z) (n − k)! n≥k

converge absoluta y uniformemente en |z| ≤ r < 1. Por ello, A≪

∑ (β + γ)! γ

γ! (

l´ım

m→+∞

|xγ | =

) ) ( m m ∑ ∑ (βn + γn )! (β1 + γ1 )! γ1 γn |x1 | . . . |xn | = γ1 ! γn ! γ =n γ =1 n

1

β! ≤ (1 − |x1 |)β1 +1 . . . (1 − |xn |)βn +1 β! < +∞, (1 − r)|β|+n de lo que se deduce la afirmación formulada más arriba. ∑ Teorema B.9. Sea α cα xα una serie de potencias que converge (por tanto absolutamente) en z = (zi ) con |zi | > 0 para cada i, e.d., ∑ |cα ||z α | < +∞. α

276

APÉNDICE B. SERIES MÚLTIPLES

∑ Entonces α cα xα converge absolutamente a una función c(x) de clase C ∞ en el polidisco 5 D(0, |z|) = {x/|xi | < |zi |, 1 ≤ i ≤ n}. Además, para cada β ∈ Nn , x ∈ D(0, |z|) se tiene que: ∑

∂ β c(x) =

α≥β

En particular c(x) = se tiene que:

α! cα xα−β . (α − β)!

∑

1 α α α α! ∂ c(0)x .

c(x) =

∑

Por otra parte, para cada x1 ∈ D(0, |z|) cˆα (x − x1 )α ,

α

donde la serie converge en un cierto entorno N (x1 ) ⊂ D(0, |z|) de x1 y donde, para cada α se tiene que: cˆα =

∑ β≥α

β! cβ xβ−α . 1 α!(β − α)!

Finalmente, para cada x1 ∈ D(0, |z|) existe un entorno N (x1 ) ⊂ D(0, |z|) de x1 y constantes positivas M, r > 0 tales que: |α|! , ∀x ∈ N (x1 ). r|α| ∑ Propiedad B.10. Supongamos que α cα xα es una serie formal de potencias tal que: 1 lim(|cα |)1/|α| = < +∞, λ ∑ entonces c(x) = α cα xα converge absolutamente en ∥x∥∞ < λ. Además λ = sup r tal que la serie converge absolutamente en D(0, r¯), r¯ = (r, . . . , r), r > 0. |∂ α c(x)| ≤ M

No obstante, la geometría del dominio de convergencia absoluta de una serie no tiene por qué ser “cubo”. Para tener un polidisco, basta multiplicar n ∑ un i n x series de potencias a n i de cada una de las coordenadas xi . Un ejemplo más ∑ exótico es aα1 α2 xα1 y α2 con aα1 α2 = δα1 α2 /α1 α2 (δij la delta de Kronecker). Es fácil ver que el dominio de convergencia absoluta es |xy| ≤ 1.

5 Para r = (r , . . . , r ) ∈ Rn , x = (x ) ∈ Rn , designaremos por D(x , r) = {x/|x −x | < n 1 0 0 0i i 0i + ri , 1 ≤ i ≤ n}.

Apéndice C

Superficies. Integrales de superficie Las siguientes líneas recogen la materia básica que usaremos sobre integración de superficies. Se dice que S ⊂ Rn es una superficie simple de clase C k , k ≥ 1, si existe U ⊂ Rn−1 abierto y conexo y una apilciación de clase C k g:

U s

−→ 7−→

Rn g(s),

x = (x1 , . . . , xn ), s = (s1 , . . . , sn−1 ), tales que: S = {x = g(s)|s ∈ U } , es inyectiva

g = g(s) y

{ rango

(C.1)

∂g ∂g ,..., ∂s1 ∂sn−1

(C.2)

} =n−1

∀s ∈ U.

(C.3)

El par (g, U ) se denomina una parametrización de S. Fijadas S y (g, U ), direˆ ), gˆ : U ˆ → Rn , x = g(σ), σ = (σ1 , . . . , σn−1 ), gˆ de clase C k , gˆ mos que (ˆ g, U satisfaciendo (C.1), (C.2), (C.3), es una parametrización equivalente de S si la ˆ es un homeomorfismo C k con inverso también C k . aplicación gˆ−1 ◦ g : U → U Así pues, una superficie C k se define a través de todas sus parametrizaciones equivalentes. No es muy difícil probar que g define un homeomorfismo local, e. d., su restricción a un pequeño entorno de cualquier punto p ∈ U es un homeomorfismo (Ejercicio). Así, g define un homeomorfismo de U sobre S. Análogamente, la misma cuenta puede aprovecharse para comprobar que dos parametrizaciones arbitrarias g y gˆ son siempre equivalentes. Para ambas afirmaciones, la idea 277

278

APÉNDICE C. SUPERFICIES. INTEGRALES DE SUPERFICIE

para probar las condiciones de homeomorfismo y difeomorfismo local consiste en escribir los parámetros s (s ∼ s0 ) en términos de n − 1 de las x′ s, xi1 , . . . , xin−1 , sj = Sj (xi1 , . . . , xin−1 ),

1 ≤ j ≤ n − 1,

donde x ∼ x0 , x0 = g(s0 ). Para x0 = g(s0 ) ∈ S, el plano tangente a S en x0 se define: { } ∂g ∂g T Sx0 = span . ,..., ∂s1 ∂sn−1

(C.4)

s=s0

Una curva γ regular en R es todo conjunto de la forma γ = {x = g(s)/g : I → Rn , g de clase C 1 , I ⊂ R un intervalo abierto, g ′ ̸= 0 en I}. Puede probarse (Ejercicio) que toda curva γ en una superficie simple S, γ ⊂ S, se puede escribir como γ = {x = g(s(t))|t ∈ I} donde s : I → Rn−1 define una curva C l en Rn−1 , siendo I ⊂ R un intervalo. Se tiene la siguiente proposición inmediata (Ejercicio). n

Proposición C.1. El plano tangente T Sx0 a S en x0 coincide con el conjunto de los vectores tangentes en x0 , de cada una de las curvas en S que pasan por x0 . ˆ ) son parametrizaciones Es también inmediato probar que si (g, U ) y (ˆ g, U equivalentes entonces los planos tangentes definidos por medio de g y gˆ a través de (C.4) coinciden. Es decir, T Sx0 no depende de la parametrización (Ejercicio). Ejemplos C.1. a) Para x ∈ Rn escribimos x = (x′ , xn ) con x′ = (x1 , . . . , xn−1 ). Si f = f (x′ ), f : U → R, U ⊂ Rn−1 un dominio, f ∈ C k (U ), entonces {xn = f (x′ )} es una superficie C k . Su plano tangente en x0 está generado por los vectores {e1 + fx′ 1 en , . . . , en−1 + fx′ n−1 en } x0 . ˆ se comprueba que un b) Si F ∈ C k (Ω), Sˆ := {F = 0}, donde ∇F ̸= 0 ∀x ∈ S, ˆ entorno S suficientemente pequeño de z en S con z ∈ Sˆ arbitrario, es siempre una superficie C k . Si x0 ∈ S el plano tangente en x0 tiene por ecuación: (x − x0 ) · ∇F (x0 ) = 0. Consideremos ahora el siguiente a1 ∂g1 ∂s1 . . . ∂g1 ∂sn−1

determinante: ... an ∂gn ··· ∂s1 .. . .. . . ∂gn · · · ∂sn−1

∂g Se define el producto exterior de los vectores { ∂s , . . . , ∂s∂g } como: 1 n−1

∂g ∂g ∧ ··· ∧ = A1 e1 + · · · + An en , ∂s1 ∂sn−1

279 donde Ai representa el adjunto del elemento ai del determinante. Si escribimos: N (s) =

∂g ∂g ∧ ··· ∧ , ∂s1 ∂sn−1

resulta que N (s) es ortogonal al plano tangente a S en x = g(s), para cada s ∈ U . En particular, dicho plano se podrá representar en x0 = g(s0 ) como (x − x0 )N (s0 ) = 0. Por eso se dice que N (s) es el campo normal a S asociado a la parametrización (g, U ). Como cada x ∈ S se escribe de manera única como x = g(s) con s = g −1 (x), la parametrización permite definir N como una función (en realidad un campo) de x ∈ §, N = N (x), que es de clase C k−1 . Ejemplos C.2. Para S definida como xn = f (x′ ), x′ = (x1 , . . . , xn−1 ) se tiene que: N = (−1)n (fx1 , . . . , fxn−1 , −1). Si S se representa por F (x) = 0, de la expresión anterior y el teorema de la Función Implí cita se deduce, N = (−1)n+1

∇F . Fxn

Consideremos ahora otra parametrización x = gˆ(σ) de S y calculamos el ˆ (σ). Se tiene, campo normal en dicha parametrización: N g ∂ˆ g ˆ (σ) = ∂ˆ N ∧ ··· ∧ . ∂σ1 ∂σn−1 ˆ , σ = G(s) la aplicación G = gˆ−1 ◦ g, G = Si denotamos por G : U → U (G1 , . . . , Gn−1 ), entonces, ˆ (σ) N (s) = det G′ (s) N

σ=G(s)

( ′

donde det G (s) = det

∂Gk ∂sl

,

(C.5)

) es el determinante jacobiano (denotado usual-

∂(G1 , . . . , Gn−1 ) ) que es por tanto no nulo en U . Se dice entonces que ∂(s1 , . . . , sn−1 ) la parametrización gˆ tiene la misma orientación que g si det G′ (s) > 0 en U , siendo las orientaciones distintas si el determinante jacobiano es negativo. En conclusión, una superficie simple sólo admite dos orientaciones. Los “lados de la superficie” se definen mediante la orientación con respecto a una parametrización que sirve de referencia. Análogamente, se define el campo unitario normal S, con respecto a g, como mente

ν(x) =

N (s(x)) |N (s(x))|

s = g −1 (x) .

Es obvio de (C.5) que si gˆ define otra parametrización, entonces ν(x) = signo (G′ (s(x))) νˆ(x),

280

APÉNDICE C. SUPERFICIES. INTEGRALES DE SUPERFICIE

ˆ (σ(x))/|N ˆ (σ(x))|, σ(x) = g −1 (x). Es decir, cualdonde σ = G(s) y νˆ(x) = N quiera que sea la parametrización solamente hay dos campos unitarios normales: ±ν(s). Sea ahora f : S → R una función que cumple que f ◦ g es medible en U . Se ∫ define la integral de superficie de f sobre S, que representaremos S f dS como, ∫ ∫ f dS = f (g(s)) |N (s)| ds, (C.6) S

U

siempre que la integral de Lebesgue en (C.6) exista. Si tal es el caso se dice que f es integrable-Lebesgue en S y se escribe f ∈ L1 (S). Se comprueba que si f es integrable sobre S con respecto a una parametrización g, lo es con respecto a cualquier otra parametrización equivalente gˆ, siendo el resultado de la integral independiente de gˆ. Es habitual llamar a dS = |N (s)| ds el elemento de área de S. De hecho, se define como área de S a la correspondiente integral en donde f = 1. Ejemplo C.3. Las coordenadas esféricas en Rn se definen por inducción como,  x1 = ρ cos θ1      = ρ sen θ1 cos θ2  x2 .. .     x  n−1 = ρ sen θ1 sen θ2 · · · sen θn−2 cos θn−1   xn = ρ sen θ1 sen θ2 · · · sen θn−2 sen θn−1 , en donde 0 ≤ θ1 , · · · ≤ θn−2 ≤ π, 0 < θn−1 < 2π. Nótese que la aplicación (ρ, θ1 , . . . , θn−1 ) → x define un difeomorfismo de (0, +∞) × (0, π) × · · · (0, π) × (0, 2π) en Rn \ N , N = {xn−1 ≥ 0, xn = 0}. Cuando en una integral n-dimensional se hace el cambio de variable a esféricas de Rn , x = x(ρ, θ1 , . . . , θn−1 ), tenemos que eliminar N del recinto Ω de integración. Esto no supone ningún problema porque N tiene medida de Lebesgue zero. Por otro lado, el elemento de volumen dx se transforma de acuerdo con la ley: dx = ρn−1 senn−2 θ1 senn−3 θ2 · · · sen θn−2 dρdθ1 · · · dθn−1 .

(5)

Pues bien, resulta que el elemento de área de la esfera de centro cero y de radio r vale: dSr = rn−1 senn−2 θ1 senn−3 θ2 · · · sen θn−2 dθ1 · · · dθn−1 = rn−1 dS1 , donde dS1 representa el área de la esfera unidad Sn−1 en Rn . Se deduce de aquí que el área σn de la esfera unidad en Rn viene dado por: σn =

2π n/2 , Γ(n/2)

281 donde Γ(z) =

∫∞ 0

e−u uz−1 dz. En efecto, la integral ∫

π

senk θ dθ = 0

mientras Γ(1/2) = xΓ(x) resulta,

Γ((k + 1)/2)Γ(1/2) , Γ((k + 2)/2)

√ π. Por otro lado, de la relación de recurrencia Γ(x + 1) =

Γ

(n) 2

  (n/2 − 1)! = (n − 1)! √   [n/2] π 4 [n/2]!

n = 2˙ n = 2˙ + 1.

Así, el área de la esfera de radio r vale rn−1 σn . Una simple integración muestra n que el volumen de la bola de radio r es rn σn . Para uso posterior reservaremos el símbolo, 2π n/2 σn = . ωn = n nΓ(n/2) para representar el volumen de la bola unidad en Rn . Finalmente, es costumbre representar la fórmula (5) como, dx = ρn−1 dρ dS1 , donde dS1 representa el elemento de área de la esfera unidad de Rn . Ejemplo C.4. Si f (x) = F (r), r = |x| es una función radial e integrable en el dominio esférico: Ω = {a < |x| < b} su integral se puede escribir como, ∫

∫

b

F (r)rn−1 dr.

f dx = ωn Ω

a

En particular, para f = e−|x| tenemos, ∫ ∫ ∞ 2 Γ(n/2) −|x|2 e dx = ωn e−r rn−1 dr = ωn = π n/2 . 2 n R 0 2

Sea F : S → Rn un campo sobre una superficie simple S, orientada con un campo unitario normal ν(x). Se llama flujo de F a través de S en el sentido de la normal ν a la integral, ∫ S

F · ν dS,

supuesto que dicha integral exista. Remitimos a los Ejercicios del Capítulo 1 para una interpretación física de la noción de flujo. El concepto de superficie simple se extiende, por razones técnicas, al de superficie de clase C k (k ≥ 1). La propia esfera en R3 no es una superficie simple (¿por qué?). Decimos que S es una superficie de clase C k si S = S1 ∪· · ·∪ Sm donde cada Si es una superficie simple y donde además si (gi , Ui ), (gj , Uj ) parametrizan respectivamente a Si y Sj con Si ∩ Sj ̸= ϕ entonces gj−1 ◦ gi :

282

APÉNDICE C. SUPERFICIES. INTEGRALES DE SUPERFICIE

gi−1 (Si ∩ Sj ) → gj (Si ∩ Sj ) es un homeomorfismo de clase C k , con inverso C k . Se dice que {Si }m i=1 es una estructura diferenciable de S. Si f : S → R, se define la integral de superficie de f sobre S en los términos siguientes: ∫ ∫ ∫ ∫ f dS = f dS1 + f dS2 + · · · f dSm , (6) S

S1

S2 \S1

Sm \(S1 ∪···Sm−1 )

siempre que todas las integrales del segundo miembro existan. Se demuestra que el valor de la integral no depende de la elección de las superficies simples Si que constituyen S, e. d., de la estructura diferenciable. En efecto si {S˜i }qi=1 es otra estructura diferenciable de S, entonces ∫ ∫ ∫ ∫ f dS˜q , f dS = f dS˜1 + f dS˜2 + · · · S˜q \(S˜1 ∪···S˜q−1 ) S˜2 \S˜1 S S˜1 Se dice que S es orientable si es posible elegir una familia de parametrizaciones de forma que el signo de los determinantes det ((gj−1 ◦ gi )′ (s)) sea el mismo, siempre que Si ∩ Sj ̸= ϕ. En este caso se puede definir sobre S un campo unitario normal ν que es continuo sobre S. En general se sabe que toda superficie compacta y C k de Rn (por ejemplo la esfera) es orientable. También se sabe que hay superficies, en el sentido aquí considerado, que no son orientables. Es un buen ejercicio construir una estructura diferenciable de la banda de Möbius, probando después que es una superficie no orientable de R3 . Ejercicio C.1. Comprúebese que la parametrización:  ϕ  x = a cos ϕ + t b cos ϕ cos 2 y = a sen ϕ + t b sen ϕ cos ϕ2   z = t b sen ϕ2 donde 0 < b < a, 0 ≤ ϕ ≤ 2π, −1 < t < 1, define una superficie equivalente a la banda de Möbius. Otra noción importante es la de dominio acotado de clase C k . Son los abiertos y conexos Ω ⊂ Rn acotados tales que su frontera ∂Ω es una superficie C k , que al ser compacta, resulta ser orientable. Satisfacen la condición adicional de que es posible elegir un campo unitario normal a ∂Ω, ν = ν(x), de forma que para cada x ∈ ∂Ω los puntos x + tν(x) ̸∈ Ω para 0 ≤ t < ε, mientras x + tν(x) ∈ Ω para −ε < t < 0, donde ε > 0 es suficientemente pequeño. Para Ω un dominio de clase C k , ν siempre designará tal campo normal que se llama la “normal unitaria exterior”. Se debe resaltar (ver [8], p. 354) que que toda superficie compacta S de Rn es la frontera de un abierto de clase C k (no necesariamente acotado), de forma que uno de sus campos normales es “exterior” a dicho abierto. Podemos finalmente enunciar el siguiente resultado fundamental.

283 Teorema C.2 (Teorema de la divergencia). Sean Ω ⊂ Rn un dominio acotado de clase C k , k ≥ 1 y F : Ω → Rn un campo C 1 definido en Ω. Entonces se tiene: ∫ ∫ F · ν dS = div F dx. ∂Ω

Ω

Una consecuencia importante del teorema de la divergencia es el Corolario C.3 (Fórmula de integración por partes). Sea Ω ⊂ Rn como en el teorema anterior y sean P, Q ∈ C 1 (Ω). Entonces, ∫ ∫ ∫ ∂P ∂Q Q dx = P Qνi dS − P dx , ∂x ∂x i i Ω ∂Ω Ω donde νi representa la componente i-ésima del campo unitario y normal exterior a ∂Ω. Ejemplos C.5. a) Comprúebese la identidad en el teorema de la divergencia para Ω la esfera de radio a en R3 y F = r2 x, con x = (x1 , x2 , x3 ). b) Para f = f (x) = (f1 , f2 , f3 ) de clase C 1 en R3 y cumpliendo |f (x)| ≤ 1/(|x|3 + 1), pruébese que ∫ div f dx = 0 . R3

284

APÉNDICE C. SUPERFICIES. INTEGRALES DE SUPERFICIE

Apéndice D

Diferenciación bajo el signo integral Sean Ω ⊂ Rn , Q ⊂ Rm abiertos (típicamente Q es o bien Rm o un pequeñ o entorno de un punto). Sea asimismo una función adecuada f:

Ω×Q (x, y)

−→ 7−→

R f (x, y)

y nos preguntamos cuándo ∫ F (y) =

f (x, y) dx , Ω

es una función suficientemente regular de y ∈ Q. Por ejemplo, si f es k veces derivable con respecto a y, cuándo podremos derivar k veces F y cuándo el resultado de derivar equivale a derivar bajo el signo integral. El siguiente teorema hace posible la operación bajo las condiciones más razonables. Como terminología preliminar diremos que f : Ω × Q → R es una función de Carathéodory si f (·, y) es medible en Ω para cada y ∈ Q, mientras que f (x, ·) es continua en Q para c.t. x ∈ Ω. Entre las propiedades más interesantes de esta clase de funciones –que no demostraremos y que de momento tampoco vamos a usar– señalemos las siguientes. Si u = u(x) es medible en Ω, entonces U (x) := f (x, u(x)) coincide en c.t. x de Ω con una función medible en Ω. Si las un = un (x) son medibes en Ω y un → u en c. t. p. x ∈ Ω (con lo que u coincide con una función medible en c. t. p., (cf. [19]), entonces f (x, un (x)) → f (x, u(x)) para c. t. x ∈ Ω. La definición precedente se extiende de la manera obvia a funciones f : S × Q → R, S una superficie regular de clase C k , obteniéndose las mismas propiedades. Podemos ya enunciar el resultado relevante de la sección. 285

286

APÉNDICE D. DIFERENCIACIÓN BAJO EL SIGNO INTEGRAL

Teorema D.1. Supongamos que las funciones ∂yα f (x, y) son de Carathéodory para |α| ≤ k. Supongamos además que existe g = g(x) ∈ L1 (Ω) tal que |∂yα f (x, y)| ≤ g(x),

y ∈ Q,

Entonces la función

|α| ≤ k

para c. t. x ∈ Ω.

∫ f (x, y) dx

F (y) = Ω

es de clase C k en Q y además: ∫ α

∂yα f (x, y) dx ,

∂ F (y) = Ω

para todo |α| ≤ k. Una consecuencia inmediata es el Corolario D.2. Sea S una superficie C k , mientras que las funciones ∂yα f (x, y) son de Carathéodory en S × Q, para |α| ≤ k. Supongamos además que existe g = g(x) ∈ L1 (S) tal que |∂yα f (x, y)| ≤ g(x),

y ∈ Q,

Entonces la función

|α| ≤ k

para c. t. x ∈ S.

∫ F (y) = S

f (x, y) dSx

es de clase C k en Q y además: ∫ ∂ α F (y) = S

para todo |α| ≤ k.

∂yα f (x, y) dSx ,

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