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UNIVERSIDAD CATÓLICA DE SANTA MARÍA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA ELECTRONICA CURSO: Física II TEMA: CORRIENTE ALTERNA PRESENTADO POR: SERGIO GRANADOS QUEZADA

AREQUIPA – PERÚ 2018

Corriente Alterna Introducción Hasta ahora hemos hablado únicamente de tensión en Corriente Directa (DC), el cual lo suministra una batería. Estas pueden darle un potencial a muchos instrumentos, tales como linternas, radios y calculadoras. Desafortunadamente no ofrecen los altos niveles de energía que se requieren en el hogar o la industria. La Ley de Faraday conocida como Ley del Generador, es la segunda fuente para obtener potencial electromotriz. Un generador puede suministrar la energía para toda una ciudad, ya que se trata de corriente alterna (AC) La Corriente Alterna se puede bajar o elevar mediante transformadores según las necesidades. En sistemas de transmisión de energía a larga distancia, se eleva el voltaje y se transporta la energía con una corriente muy baja. Esto disminuye las pérdidas en el circuito y el calibre de los cables. Con ello se ahorra en el costo del cobre y se satisfacen los requisitos económicos. La potencia se reduce a bajo voltaje una vez que llega a los centros de consumo (ciudades) para poderla manejar con relativa seguridad. La corriente alterna se puede convertir en corriente directa después de ser rectificada y filtrada. Las fuentes de corriente se pueden clasificar en corriente directa y corriente alterna, y a continuación las describimos brevemente: Corriente Alterna (AC) En la corriente alterna, la polaridad de la tensión y la dirección de la corriente se pueden cambiar con el tiempo. En la Fig. 8.2 se observan varias fuentes de corriente alterna; en la Fig. 8.2(a) se presenta una onda senoidal; en la Fig. 8.2(b) se ve una onda cuadrada alterna, y en la Fig. 8.2(c) se tiene una onda triangular alterna.

(a) Onda senoidal Onda triangular

(b) Onda cuadrada

(c)

Algunos tipos de ondas alternas En un circuito directo, la tensión y la corriente están en la misma fase, por lo que los procesos de operación son limitados en operaciones con números reales. En el circuito alterno, la diferencia de fase entre la corriente y la tensión está entre 0  90 grados. Por lo tanto, necesitamos usar números complejos

para realizar las operaciones. Esto significa que el teorema para un circuito directo es similar al de un circuito alterno, y la única diferencia es que se requiere considerar la operación con números complejos durante el análisis del circuito alterno. Tensión y Corriente Alternas Generación de Corriente Alterna Según la Ley de Faraday, cuando una bobina gira dentro de un campo magnético se induce un potencial entre los dos terminales cuando el conductor se mueve en el campo magnético. La magnitud del potencial inducido depende de las líneas de fuerza magnética que corte, y la polaridad depende de la dirección en que se mueva el conductor. Esto inducirá que se produzca la onda senoidal alterna. La figura muestra un generador de corriente alterna basado en este teorema. En la figura suponemos que el lazo de alambre se coloca inicialmente en posición horizontal. Cuando t = 0, la superficie del lazo es perpendicular a las líneas de fuerza magnéticas, por lo tanto el flujo es máximo en el área del lazo. Sin embargo, en este momento no hay cambio en el flujo entre las líneas, por consiguiente  / t = 0 y como no hay potencial inducido, V = 0. Cuando la bobina ha rotado  / 2 radios (90 grados) no hay flujo que pase a través del área del lazo. Sin embargo, hay un cambio máximo en el flujo en este momento, y se induce el potencial máximo. Cuando la bobina rota hasta  radios (180º), vuelve a estar horizontal de nuevo. La tensión es: V = 0.

Dirección de rotación Escobilla

Rotor

Figura – Generador de CA

Potencial del generador

Cuando la bobina ha girado 3  /2 radios (270º), la bobina estará vertical de nuevo, pero sin embargo la posición es contraria a la posición que tenía cuando había recorrido  / 2 radios, y el potencial inducido adquiere el máximo valor negativo. Finalmente, cuando ha girado 2  radios (360º), alcanza de nuevo la posición cero, cuando V = 0. Entonces la bobina girará una y otra vez y generará una tensión con la misma forma de onda.

Posición de la bobina

Voltaje alterno inducido por el generador AC de la figura anterior Fórmula General de la Onda Senoidal De la onda senoidal de la figura sabemos que la magnitud de la tensión inducida depende de wt. Suponiéndose que w es constante, entonces la magnitud del potencial inducido variará con el tiempo de acuerdo con una función senoidal. El símbolo usado para la tensión alterna es una v minúscula, lo cual se ha convenido que represente un valor que cambia con el tiempo. 1. Asumiendo que t = 0, y si el ángulo entre los lados efectivos de la bobina y la dirección del campo magnético es cero, entonces: v(t) = Vm seno wt v(t) : tensión instantánea en cualquier momento Vm : tensión máxima w : frecuencia angular y similarmente, i(t) = Im seno wt

2. Asumiendo que t = 0, y si el ángulo entre los lados efectivos de la bobina y la dirección del campo magnético es , entonces: v(t) = Vm seno (wt  ) En la ecuación anterior,  es el ángulo de fase. En la onda correspondiente al potencial de la Fig. 8.5(a), el ángulo de fase va adelante, de tal forma que  es positivo. En la Fig. 8.5(b), el ángulo de fase va atrasado, y  es negativo.

(a) Angulo de fase adelantado atrasado

(b)

Angulo

Diagrama de fases de una onda senoidal de potencial

de

fase

Ejemplo1. Escriba las ecuaciones generales del siguiente potencial senoidal y los diagramas de la corriente. Respuesta:

Valor de la Onda El valor de la onda de corriente alterna el variable. Los potenciales y las corrientes de la ondas alternas son diferentes en todo momento. Por lo tanto no podemos utilizar un simple número para expresar los cambios de la onda en todo su ciclo. La corriente alterna generalmente usa una serie de números para expresar su valores, tales como: valor, valor cresta, valor promedio y valor efectivo. Valor Máximo El valor instantáneo máximo de una onda de potencial o de corriente se llama valor máximo, valor pico o amplitud de la onda, representándose con Vm e Im, respectivamente. Por ejemplo, en la Fig. 8.6(a), Vm = 10 y el valor máximo negativo es –10 V. Por lo tanto, el valor de pico a pico (entre crestas) V p-p = 10 + 10 = 20 V, y el valor de Im es de 5 A en la Fig. 8.6(b).

Dos formas diferentes de ondas Valor Instantáneo La tensión y la corriente son valores que cambian en el tiempo y la magnitud de la onda en un momento particular se llama valor instantáneo. Se pueden expresar como v e i. De acuerdo con la ecuación (8.1), la ecuación general de una onda senoidal es v(t) = Vm sen (wt). Si deseamos determinar la tensión en un momento particular, se sustituye el valor de t en la ecuación anterior. El resultado es el valor instantáneo de la onda senoidal. Por ejemplo, v(10) = 8 V significa que la tensión instantánea es 8V cuando t = 10 segundos. Ejemplo 2. Si i(t) = 141.4 sen 377 t, determine: (1) la corriente máxima; (2) el valor instantáneo cuando t = 1/240 Respuesta:

Valor Promedio El área total bajo la curva de un ciclo de tensión o corriente dividida entre el tiempo del ciclo se llama valor promedio, y se escribe Vm o Im. El valor promedio de la onda de corriente o potencia se define como:

Valor promedio = (suma algebraica del área bajo la curva de 1 ciclo) / T T : tiempo de 1 ciclo Ejemplo 3. Determine la tensión promedio Vav en el ejemplo de la Fig, 8.3 Respuesta:

Figura del Ejemplo Respuesta: Esta onda senoidal es simétrica en el ciclo negativo o positivo, por lo que la suma algebraica del área de un ciclo es cero.

Figura del ejemplo

Al observar la amplitud de la onda podemos calcular el valor promedio de la tensión alterna o de la corriente usando la mitad del tiempo de ciclo. El área bajo el medio ciclo positivo es 2 Vm (calculado), por lo tanto, su valor promedio de medio ciclo es: Vav = 2 Vm /  = 0.636 Vm

Ejemplo Determine el valor promedio de la mitad positiva de la onda de la figura del Ejemplo Respuesta: el área bajo el medio ciclo positivo es: Vm x T / 2 x ½ = Vm / 4 x T Valor promedio : (Vm / 4) T / T / 2 = Vm / 2

Valor Efectivo o Raíz Media Cuadrada (rms) Cuando una corriente alterna y directa pasan a través de una misma resistencia, si generan la misma cantidad de calor, entonces el valor de esta corriente directa es el valor efectivo de la corriente alterna. Generalmente a estos valores los llamamos tensión efectiva y corriente efectiva, y significa que poseen el mismo valor efectivo. Si la corriente directa es I, entonces la corriente alterna i(t) = Im sen (wt), y si pasan por una misma resistencia R y generan la misma cantidad de calor, entonces: I2R = (Im sen wt)2 R

Tomando los valores promedio de las ecuaciones anteriores, para corriente directa el valor máximo es igual a al valor promedio. El valor promedio de la porción (Im2 cos 2 wt) / 2 es igual a cero.

Para obtener el valor efectivo de la corriente o la tensión, es necesario elevar al cuadrado los voltajes o las corrientes, obtener el valor promedio y luego extraer la raíz cuadrada. Por ello se llama raíz media cuadrática (rms) Ejemplo 8.6. Determine el valor Irms de la figura.

Figura del Ejemplo

1. Factor de Forma (F.F.)

El Factor de Forma se usa para determinar la relación entre los valores efectivo y promedio de una tensión alterna. Por lo tanto, definimos la relación entre el valor efectivo y el valor promedio de la tensión como Factor de Forma.

2. Factor de Cresta (C.F.) El factor de cresta se usa para determinar la relación entre los valores efectivo y máximo de una tensión alterna. Por lo tanto, definimos la relación entre el valor efectivo y el valor máximo de la tensión como Factor de Cresta. 3. A continuación se ofrecen algunos valores de Factor de Forma y Factor de Cresta de algunas ondas comunes: (1) Onda senoidal:

(2) Onda Cuadrada

(3) Onda Triangular:

En la Tabla se presenta una lista del valor máximo, valor efectivo y valor promedio de ondas senoidales, cuadradas y triangulares.

Tipo de onda Valor Máximo Efectivo Promedio

Senoidal

Cuadrada

Triangular

Vm Vm /  2 Vm / 

Vm Vm Vm

Vm Vm3 Vm

Ejemplo Se tiene una onda senoidal alterna con un valor efectivo de 110 V. Determinar (1) valor máximo; (2) valor promedio.

Respuesta:

Ejemplo Se tiene una onda triangular con un máximo de 110 3. Determinar (1) el valor efectivo; el valor promedio. Respuesta:

Periodo, Frecuencia y Longitud de Onda

Se usan diferentes características para describir los diferentes tipos de ondas. Tales características son: frecuencia, periodo, amplitud, etc. El rango del periodo es ilimitado. Por ejemplo, la frecuencia en nuestras líneas de transmisión es de 60 Hz, pero en algunas regiones se usan 50 Hz. La frecuencia del sonido va desde 20 Hz a 20 kHz; la frecuencia de transmisión de radio está entre 3 Hz a 300 GHz. La Frecuencia Modulada (FM) ocupa el tango de 88 a 108 MHz, y las estaciones de TV ocupan canales entre 54 y 890 MHz. Las frecuencias de más de 300 GHz son ópticas y de Rayos X. Frecuencia Un ciclo que se repite en una onda se denomina frecuencia. En la Fig. 8.7(a), se tiene un ciclo en 1 segundo; en (b) dos ciclos por segundo; en (c) 60 ciclos por segundo. Por lo tanto, la frecuencia será igual. El símbolo de la frecuencia es f y sus unidad es Hz (Hertzio)

Ciclo

Ciclo

Ciclo

60 ciclos

Ciclo

1 segundo

1 segundo

(a) 1 ciclo por segundo / seg. 1 Hz

1 seg.

(b) 2 ciclos / segundo 2 Hz

(c) 60 ciclos 60 Hz

Concepto de frecuencia Periodo El periodo T de una onda es el tiempo que se necesita para completar 1 ciclo. La unidad es el segundo, y es el recíproco de la frecuencia, como se muestra en la Figura.

T=1/f

Ejemplo Una onda senoidal tiene una frecuencia de 60 Hz. ¿Cuál es el periodo? Respuesta:

T = 1 / f = 1 / 60 = 0.0166 (seg.)

Longitud de Onda Si en la onda senoidal de la Figura la distancia desde 0 hasta el punto A es de 10 metros, esto significa que la onda ha pasado un ciclo y se ha movido 10 metros. A esta longitud la llamamos longitud de onda ( ) de la onda eléctrica y es de 10 metros. Por lo tanto, definimos la distancia en la cual una onda eléctrica alterna se mueve en un ciclo como su longitud de onda. En transmisión de radio, la velocidad de la onda eléctrica es igual a la velocidad de la luz, que es aproximadamente 3 x 108 metros / segundo.

 = 3 x 108 x T = 3 x 108 / f

Relación entre tensión y distancia

Ejemplo En una frecuencia de radio de 100 kHz, ¿cuál es la longitud de onda?

Respuesta:

 = 3 x 108 / 105 = 3000 m Fase En un circuito alterno, las frecuencias de la tensión y la corriente son las mismas. Sin embargo, las fases de la tensión y la corriente no lo son debido a los dispositivos eléctricos. En general, siempre existe una diferencia de fases en un circuito. Para comparar la diferencia de fases entre la tensión y la corriente, deben estar en la misma frecuencia; de los contrario no se pueden comparar. La diferencia de fases entre la tensión y la corriente está entre 0 y 90º, y no se puede salir de este rango. La relación de fases entre la tensión y la corriente puede ser una de las siguientes tres situaciones:

1. La tensión y la corriente están en fase Es decir:

Cuando   , entonces v(t) e i(t) están en fase, y la onda se muestra en la figura

v e i están en fase

2. La tensión está adelantada con respecto a la corriente. Es decir:

Cuando   , la tensión está adelantada al ángulo de fase ( - ), y la forma de la onda es como se muestra en la Fig. 8.10.

Angulo de fase con v adelantado con respecto a i (-)

3. La corriente está adelantada con respecto a la corriente:

Cuando  < , la tensión está adelantada con respecto a la corriente con un ángulo de fase (-), lo cual se muestra en la Fig. 8.11.

Angulo de fase con ( - ) Ejemplo ¿Cuál es la relación en al ángulo de fase entre v(t) e i(t) ?

Respuesta: El ángulo de fase de v(t) es de 60 grados, y el de i(t) de 30 grados. Por lo tanto v(t) está adelantado 30 grados con respecto a i(t). Ejemplo

¿Cuál es la relación entre el ángulo de fase de v(t) y de i(t)? Respuesta: Las funciones trigonométricas de v(t) e i(t) son diferentes:

En vista de ello fue necesario hacerlas iguales, por lo que v(t) e i(t) están en fase. Operación con Vectores En un circuito CD, la corriente y la tensión están en fase, por lo que las operaciones algebraicas se limitan solamente a los números reales. Sin embargo, en CA (corriente alterna) existe una diferencia de fase de 0 a 90 grados entre la tensión y la corriente, por lo que es necesario usar números complejos para operar. Los números complejos constituyen una importante herramienta para llegar a comprender los circuitos de CA. El estudiante se dará cuenta que la única diferencia en el análisis de CA y CD la constituye la operación con números complejos. Definición de Números Complejos Un número complejo es la combinación de un número real + un número imaginario, es decir, A = a + jb, donde a es la parte real, b es la parte imaginaria, como se muestra en la Fig. 8.12. (En teoría de circuitos, como para expresar la corriente se utiliza la letra i, aquí la parte imaginaria se expresa con j). Número imaginario

Número real

Tipos de Números Complejos 1. Coordenadas Rectangulares: Como se muestra en la figura, el vector a + jb se expresa mediante coordenadas rectangulares.

A=

2. Coordenadas Polares: Como se muestra en la Fig. 8.12, el vector A = r cos  se expresa como coordenada polar. 3. Conversión de coordenadas. Rectangulares a polares Polares a rectangulares: a = r cos  b = r sen  Ejemplo Convierta los siguientes números de coordenadas polares a rectangulares: (1) A = 10 sen 36.9º; (2) B = cos –53.1º; (3) C = 1 sen 0º; (4) D = 1 cos 90º. Ejemplo Convierta los siguientes números de coordenadas rectangulares a coordenadas polares: (1) A = 3 + j4; (2) B = 8 – j6; (3) C = - 3 + j4; (4) D = -1 Operación con Números Complejos 1. Suma y resta de números complejos. A. Para coordenadas rectangulares: las partes reales se suman (o estan) y dan como resultado la parte real; las partes imaginarias se suman o (restan) para dar la parte imaginaria. B. Existen dos métodos para suma y resta de coordenadas polares: (1) Convirtiendo la coordenada polar a coordenada rectangular y luego usando el método de suma / resta de coordenadas rectangulares (2) Dibujar las coordenadas polares en forma de vector, y luego sumar / restar por el método gráfico. En general este método se usa para algunos ángulos especiales, como ángulos de fase cuyas diferencias son de 0º, 60º, 90º, 120º y 180º. Para ángulos de diferencia de fase de 0º, la suma resultante es la suma de las magnitudes de los dos vectores. Para aquellos vectores con la misma magnitud y con una diferencia de fase de 60º, el resultado de la suma es 3 veces la magnitud del vector. Para aquellos vectores con la misma magnitud y con un ángulo de fase de 90º, el resultado de la suma es 2 veces la magnitud del vector. Para aquellos vectores con la misma magnitud y con un ángulo de diferencia de fase de 120º, el resultado de la suma es la misma magnitud del vector. Para aquellos vectores con 180º de

diferencia de ángulos de fase, el resultado de la suma es la resta de las magnitudes de los dos vectores. A = 3 + j4; B = 4 + j5. Determine (1) A + B, (2) A – B.

2. Multiplicación de números complejos. Se multiplican de forma directa y se conviene en que j2 0 –1. Coordenada rectangular: (a + jb) (c + jd) = (ac – bd) + j(bc + ad) Coordenada polar: A cos 1 * B cos 2 = AB cos 1 + 2 3. División de números complejos. Convierta el denominador en forma de número real, es decir multiplique el conjugado del denominador con el numerador y el denominador. Diagramas de Fasores, impedancia y admitancia. Esta sección la ayudará al estudiante a aprender a dibujar diagramas de fasores, de impedancia y de admitancia en corriente alterna. También le ayudará a aprender otras relaciones entre las fases de corriente y tensión en circuitos de corriente alterna. Podremos usar también el dibujo de impedancia y admitancia para analizar el circuito y obtener la impedancia y admitancia. Tales procedimientos facilitarán y harán más útil el análisis de circuitos alternos. Diagrama de Fasores En la figura se muestra un circuito R-L-C. La corriente I es el parámetro común de cada uno de los dispositivos, por lo que lo usaremos como vector de referencia. Esto significa que se ángulo de fase es de 0º. Se dibuja en el eje real, es decir:

Utilice esta fórmula como referencia para dibujar otros vectores

Circuito RLC en serie 1. Diagrama de fasores para la resistencia en la Fig. 8.13. El potencial de terminal VR en la resistencia R está en la misma fase que la corriente, es decir:

Tanto VR e I están en el eje real, como se muestra en la Fig. 8.14.

Eje j Eje real

2. Diagrama de fasores para el inductor. En la figura, el potencial de terminal VL en el inductor va delante 90º con respecto a la corriente

VL está en el eje imaginario positivo, como lo muestra la figura

Eje real

Diagrama de fasor del inductor 3. Diagrama de fasores para un capacitor. En la figura, el potencial en el terminal VC del capacitor está atrasado 90º con respecto a la corriente

En el eje imaginario negativo, conforme se muestra en la figura

Diagrama de fasor del capacitor

4. Combinación de diagramas de fasores de 1, 2 y 3. En la Fig. 8.17, el diagrama de la Fig. 8.13. De las Figs. 8.13 y 8.17, sabemos que el potencial en la fuente de tensión es la suma vectorial de VR, VL y VC: decir,

Diagrama fasor para el circuito en serie R-L-C

Diagrama de Impedancia En el circuito R-L-C en serie que se muestra en la Fig. 8.13, XL es la reactancia inductiva, XC representa la reactancia capacitiva, y Z es la impedancia, que se expresa como:

Por lo tanto, R es un número real positivo, y XL es un número real imaginario positivo. Es necesario expresarlos en forma de vector, como se muestra en la Fig. 8.18, con el nombre que se indica al pie de la Figura

Eje real

Diagrama de Impedancia del circuito R-L-C en serie Diagrama de Admitancia En la figura se muestra un circuito R-L-C en paralelo. Se define la admitancia (Y) como el recíproco de la impedancia. La conductancia (G) es el recíproco de la resistencia. La admitancia del inductor BL es el recíproco de la reactancia

inductiva, y la admitancia del capacitor (BC) es el recíproco de la reactancia capacitiva. Por lo tanto,

G es un número real positivo, BC es un número imaginario positivo, y BL es un número imaginario negativo. Es necesario expresarlos como vectores, tal como se ve en la figuraA esto se le llama diagrama de admitancia del circuito R-L-C paralelo.

Circuito R-L-C en paralelo

Diagrama de admitancia de un circuito R-L-C en paralelo.

Ejemplo En el circuito RLC en serie, I = 3 A, VR = 20 V, VL = 60 V y VC = 30 V. Dibuje el diagrama de fasores del circuito.

El diagrama de fasores se muestra en la Fig. del ejemplo 8.20. La corriente es un vector de referencia

Figura del ejemplo Ejemplo En el circuito R-L-C en serie, R = 10, XL = 50 , XC = 60 . Dibuje el diagrama de impedancia. Respuesta:

El diagrama de impedancia se muestra en la Figura del ejemplo 8.21

Eje real

Figura del ejemplo 8.21

Resumen 1. La ecuación general de potencial y corriente que generan una onda senoidal es v(t) = Vm sen wt, i(t) = Im sen wt 2. Valor promedio = (suma algebraica del área bajo la curva de 1 ciclo) / T 3. El valor promedio de la tensión o de la corriente alterna se debe calcular mediante la mitad del ciclo. 4. Para obtener el valor efectivo del las corrientes o tensiones, es necesario elevar las tensiones o las corrientes al cuadrado, obtener el valor promedio y luego extraer la raíz cuadrada. Por lo tanto, el valor efectivo también se llama raíz cuadrada promedio (root mean square, rms) 5. Factor de Forma (FF) = Irms / I av , o Vrms / Vac 6. Factor de Cresta(CF) = Im / Irms, o Vm / Vrms 7. El valor promedio de media onda senoidal es 2 / o sea, 0.636 veces el valor máximo. 8. El valor efectivo de una onda senoidal es 1 / 2, o sea 0.707 veces el valor máximo. 9. El periodo es el recíproco de la frecuencia. T = 1 / f. 10. En transmisiones de radio, la velocidad de la onda eléctrica es igual a la velocidad de la luz, que es aprox. 3 x 108 m/seg. Por lo tanto, la longitud de onda  = 3 x 108 x T = 3 x 108 / f. 11. Para comparar la diferencia de fases de la tensión y la corriente, deben estar en la misma frecuencia. No se pueden comparar con frecuencias diferentes. La diferencia de fases para la tensión y la corriente está entre 0 y 90º, y no se puede salir de este rango. 12. Conversión de coordenadas rectangulares y polares. (a) para convertir coordenadas rectangulares a polares: (b) para convertir coordenadas polares a rectangulares: 13. Multiplicación de números complejos (a) Coordenadas rectangulares: (a+jb) (c + jd) = (ac – bd) + j(bc+ad) (b) Coordenadas polares: A cos 1 * B cos 2 = AB cos 1 + 2 14. División de números complejos