Divisibilidad y Multiplicidad - IX
Curso: Aritmética Prof. Roggers Adrianzen Fecha 28-06-2017 Grado: IX Ciclo DIVISIBILIDAD La divisibilidad, es una part
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Curso: Aritmética Prof. Roggers Adrianzen
Fecha 28-06-2017 Grado: IX Ciclo
DIVISIBILIDAD La divisibilidad, es una parte de la teoría de los números que analiza cada una de las condiciones que debe tener un número para que sea divisible por otro.
Curso: Aritmética Prof. Roggers Adrianzen
Fecha 28-06-2017 Grado: IX Ciclo
Ejemplo: ¿45 es múltiplo de 6? Sabemos que: 45 = 6 x7.5 ; Dado que 7.5 es un decimal; 45 no es múltiplo de 6 Notar que el residuo de dividir 45/6 es 3; luego 45=6(7)+3 0
45 = 6 + 3 Entonces:
Multiplicidad
Como: 120 = 8 × 15
120 es múltiplo de 8 8 es factor de 120
Cuando la división no es exacta:
PROPIEDADES SOBRE MULTIPLICIDAD 0
0
0
1.
a + a=a
2.
7a = a
3.
a - a=a
4.
( a )3 = a
5.
( a +4 ) n = a + 4 n
6.
( a +m)(a + n) = a + mn
0
0
0
La suma de 2 múltiplos de "a", también es múltiplo de "a"-. El múltiplo de a multiplicado por otro numero también es múltiplo de a.
0
0
0
0
La resta de 2 múltiplos de "a", también es múltiplo de "a". La potencia de un múltiplo de a, también es múltiplo de a.
0
0
0
0
0
EJERCICIOS DE APLICACION 1. En los siguientes ejercicios, reducir las expresiones usando los principios de divisibilidad. 0
0
0
0
0
8+ 31x 8
5+ 21 0
7 + 31x 7 - 7 0
6+ 31
0
4+ 21 0
3+ 21
Curso: Aritmética Prof. Roggers Adrianzen 0
0
0
0
Fecha 28-06-2017 Grado: IX Ciclo
Fecha 28-06-2017 Grado: IX Ciclo
CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD
0
3 x 6+ 17 + 6
8+ 21 0
6 x 4- 14 - 4
6+ 21
0
CRITERIO DE DIVISIBILIDAD POR 2 Todo numero que termina en cifra par es divisible por 2 0
abcde = 2+ e
0
(4)5 - 30
7 - 27
0
0
(6 x 3- 12)3 + 11 0
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4- 27 0
(3x 4+ 15) - 11 3
5- 20
Ej:
12
112
1112
CRITERIO DE DIVISIBILIDAD POR 3 Si la suma de cifras es
0 0
21 = 3- ..... 0
21 = 6+ ..... 0
21 = 6- ..... 0
0
0
Ej: 126 11112
0
CRITERIO DE DIVISIBILIDAD POR 4 El numero debe terminar en cifra par y además
21 = 4+ ..... 21 = 4- ..... 0
222
777
0
21 = 5- ..... 0
21 = 9+ .....
0
0
21 = 9- .....
915
NOTA: Solo importan las 2 últimas cifras. Ej: 52 152 1152 11152 9999999952 son divisibles por 4 CRITERIO DE DIVISIBILIDAD POR 5 Todo numero que termina en 0 o en 5 es divisible por 5. 0
abcde = 5+ e
(21)3 = 7 + ..... 0
0
(21)3 = 5+ ..... 0
(21)3 = 4+ ..... 0
(21)3 = 3+ .....
882 son divisibles por 3
abcde = 4+ 2d + e
0
(21)3 = 6+ .....
771
0
21 = 5+ .....
21 = 7 + ..... 21 = 7 - .....
0
3 , entonces el numero es divisible por 3. abcde = 3+ a + b + c + d + e
2. Completar la expresión con el numero que falta. (a este número se le conoce como residuo)
21 = 3+ .....
777772 999992 todos ellos son pares
Ej: 15
10
1115
1110
9999995
99990 son divisibles por 5
CRITERIO DE DIVISIBILIDAD POR 7 La suma de las cifras multiplicadas de derecha a izquierda por 1 , 3 , 2 ; -1, -3, -2; 1, 3, 2 debe ser múltiplo de 7 0
abcdef = 7+ f + 3e + 2d - c - 3b - 2a
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CRITERIO DE DIVISIBILIDAD POR 8 La suma de las 3 últimas cifras multiplicadas de derecha a izquierda por4, 2 y 1 debe ser
0
c)
(12321)(19) = 5+ .....
d)
(12321)(19) = 9+ .....
e)
(12321)(19) = 4+ .....
0
8, 0
0
abcde = 8+ 4e + 2d + c Ej: 136 9136 999136 9999999136 son divisibles por 8 NOTA: Solo importan las 3 últimas cifras.
0
CRITERIO DE DIVISIBILIDAD POR 9 Si la suma de cifras es
0
9 , entonces el numero es divisible por 9. 0
0
f) (12321)(19)
= 8+ .....
g) (12321)(19)
= 7+ .....
h) (12321)(19)
= 11+ .....
abcde = 9+ a + b + c + d + e Ej: 126 2221
7776
son divisibles por 9
CRITERIO DE DIVISIBILIDAD POR 11 La suma de cifras multiplicadas de derecha a izquierda por+1;-1;+1;-1...debe ser
0
11
,
0
0
abcde = 11+ e - d + c - b + a CRITERIO DE DIVISIBILIDAD POR 13 La suma de cifras multiplicadas de derecha a izquierda por 1;-3;-4;-1,3, 4,...debe ser 0
13 ,
0
0
abcde = 11+ e - 3d - 4c - b + 3a EJERCICIOS DE APLICACION 1. completar: 0
a)
(12321)(19) = 2+ .....
b)
(12321)(19) = 3+ .....
0
0
h) (12321)(19) = 13+ .....
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