• Author / Uploaded
• Hector Avalos

Citation preview

DISTRIBUCION t DE STUDENT En muchas ocasiones no se conoce σ y el número de observaciones en la muestra es menor de 30. En estos casos, se puede utilizar la desviación estándar de la muestra s como una estimación de σ, pero no es posible usar la distribución Z como estadístico de prueba. El estadístico de prueba adecuado es la distribución t. Sus aplicaciones en la inferencia estadística son para estimar y probar una media y una diferencia de medias (independiente y pareada). Características de la distribución t de Student 1. Al igual que la distribución Z, es una distribución continua 2. La distribución t tiene una media de cero, es simétrica respecto de la media y se ν extiende de - ∞ a + ∞ la varianza de t ν − 2 para ν > 2. Cuando los grados de libertad son suficientemente grandes la varianza de la distribución t tiende a 1. 3. Tiene forma acampanada y simétrica 4. No hay una distribución t, sino una "familia" de distribuciones t. todas con la misma media cero, pero con su respectiva desviación estándar diferente de acuerdo con el tamaño de la muestra n. Existe una distribución t para una muestra de 20, otra para una muestra de 22, y así sucesivamente. 5. La distribución t es más ancha y más plana en el centro que la distribución normal estándar como resultado de ello se tiene una mayor variabilidad en las medias de muestra calculadas a partir de muestras más pequeñas. Sin embargo, a medida que aumenta el tamaño de la muestra, la distribución t se aproxima a la distribución normal estándar.

α

t Formalmente una variable T con distribución t de Student o simplemente distribución t se define de la forma siguiente al sustituir en la fórmula

t

=

n ( X − µ) s

con ν = n-1 grados de libertad

t=

X −µ s n

Grados de Libertad Existe una distribución t distinta para cada uno de los posibles grados de libertad. ¿Qué son los grados de libertad? Podemos definirlos como el número de valores que podemos elegir libremente. PROBLEMA RESUELTO DE LA DISTRIBUCION MUESTRAL DE MEDIAS 2 CON σ DESCONOCIDA Y n < 30 El gerente de una fábrica de cierto tipo de alimentos asegura que el peso promedio del producto que elabora es de 165,285 g. Un inspector toma una muestra de 16 paquetes del producto y los pesa. Los resultados fueron los siguientes: 165 158,153, 162, 171, 175, 173, 169, 166, 170, 164, 177, 148, 167, 152, 149. Encuentre la probabilidad de x < 163.6875. 1. Establecer datos n =16 µ = 165.285 gr P( x < 163.6875) = ? s = 9.24 2. Aplicar la fórmula para estandarizar los valores de x . x −µ t= s

n 3. Elaborar gráfica del problema

163.6875

165.285

4. Encontrar el valor de t

t=

163.6875 − 165.285 − 1.5975 = = − .691 9.24 2.31 16

5. Encontrar la probabilidad del valor de t utilizando la tabla g.l = 15 P ( t < -.691 )= .250 6. Conclusión: La probabilidad de que la media sea menor de 163.6875 es de .250

PROBLEMAS PROPUESTOS DE LA DISTRIBUCION MUESTRAL DE 2 MEDIAS CON σ DESCONOCIDA Y n < 30 1. De una población normal, con media poblacional de 47, se toma una muestra aleatoria de tamaño 25. Si la desviación muestral tiene un valor de 14.61, calcule la probabilidad de que la media muestral tenga un valor menor que 42. 2. La resistencia a la tensión para cierto tipo de alambre se distribuye normalmente con media desconocida µ y varianza desconocida. Se seleccionaron al azar 6 segmentos de alambre de un rollo grande y se midió Xi, la resistencia a la tensión para el segmento i. Encuentre la probabilidad de que la media muestral esté a lo mas a 2S/√n de la verdadera media poblacional µ 3. El gerente de un auditorio está considerando la posibilidad de aumentar la capacidad de asientos y necesita conocer el número promedio de personas que asisten a los eventos así como la variabilidad. En la tabla siguiente se muestra la asistencia (en miles de personas) a 9 eventos deportivos: 8.8

14.0

21.3

7.9

12.5

20.6

16.3

14.1

13.0

Calcule la probabilidad de que la media poblacional sea mayor de 15.23 4. Suponga que de una población normal con una media de 14 se toma una muestra de tamaño 11; si la desviación estándar de la muestra es 14.3. ¿ Encuentre la probabilidad de que la media muestral sea menor que 18? 5. Si n = 6, encuentre P (t >4.032) 6. Si n = 16, encuentre P(-2.131< t < 2.131) 7. Dada una muestra aleatoria de tamaño 12 en una distribución normal estándar, encuentre un valor para to tal que: P ( 1.363 < t < to ) = 0.09 P ( to < t < 3.106 ) = 0.045 8. Si se toma una muestra de tamaño 26 de una población normal cuya media es 30; si la desviación estándar de la muestra es 10, encuentre la probabilidad de que la media de la muestra sea menor que 34.04. 9. Un fabricante de cigarrillos afirma que su producto tiene un contenido promedio de nicotina de 1.83 miligramos. Si una muestra aleatoria de 8 cigarrillos tiene un contenido de nicotina de 2.0, 1.7, 2.1, 1.9, 2.2, 2.1, 2.0 y 1.6 . Encuentre la probabilidad de que la media de la muestra sea menor de 2.1.

TABLA DE DISTRIBUCIÓN t DE STUDENT

0.200

0.100

0.050

0.025

0.010

0.005

1

1.3764

3.0777

6.3137

12.7062

31.8210

63.6559

2

1.0607

1.8856

2.9200

4.3027

6.9645

9.9250

3

0.9785

1.6377

2.3534

3.1824

4.5407

5.8408

4

0.9410

1.5332

2.1318

2.7765

3.7469

4.6041

5

0.9195

1.4759

2.0150

2.5706

3.3649

4.0321

6

0.9057

1.4398

1.9432

2.4469

3.1427

3.7074

7

0.8960

1.4149

1.8946

2.3646

2.9979

3.4995

8

0.8889

1.3968

1.8595

2.3060

2.8965

3.3554

9

0.8834

1.3830

1.8331

2.2622

2.8214

3.2498

10

0.8791

1.3722

1.8125

2.2281

2.7638

3.1693

11

0.8755

1.3634

1.7959

2.2010

2.7181

3.1058

12

0.8726

1.3562

1.7823

2.1788

2.6810

3.0545

13

0.8702

1.3502

1.7709

2.1604

2.6503

3.0123

14

0.8681

1.3450

1.7613

2.1448

2.6245

2.9768

15

0.8662

1.3406

1.7531

2.1315

2.6025

2.9467

16

0.8647

1.3368

1.7459

2.1199

2.5835

2.9208

17

0.8633

1.3334

1.7396

2.1098

2.5669

2.8982

18

0.8620

1.3304

1.7341

2.1009

2.5524

2.8784

19

0.8610

1.3277

1.7291

2.0930

2.5395

2.8609

20

0.8600

1.3253

1.7247

2.0860

2.5280

2.8453

21

0.8591

1.3232

1.7207

2.0796

2.5176

2.8314

22

0.8583

1.3212

1.7171

2.0739

2.5083

2.8188

23

0.8575

1.3195

1.7139

2.0687

2.4999

2.8073

24

0.8569

1.3178

1.7109

2.0639

2.4922

2.7970

25

0.8562

1.3163

1.7081

2.0595

2.4851

2.7874

26

0.8557

1.3150

1.7056

2.0555

2.4786

2.7787

27

0.8551

1.3137

1.7033

2.0518

2.4727

2.7707

28

0.8546

1.3125

1.7011

2.0484

2.4671

2.7633

29

0.8542

1.3114

1.6991

2.0452

2.4620

2.7564

30

0.8538

1.3104

1.6973

2.0423

2.4573

2.7500

31

0.8534

1.3095

1.6955

2.0395

2.4528

2.7440

32

0.8530

1.3086

1.6939

2.0369

2.4487

2.7385

33

0.8526

1.3077

1.6924

2.0345

2.4448

2.7333

34

0.8523

1.3070

1.6909

2.0322

2.4411

2.7284

35

0.8520

1.3062

1.6896

2.0301

2.4377

2.7238

36

0.8517

1.3055

1.6883

2.0281

2.4345

2.7195

37

0.8514

1.3049

1.6871

2.0262

2.4314

2.7154

38

0.8512

1.3042

1.6860

2.0244

2.4286

2.7116

39

0.8509

1.3036

1.6849

2.0227

2.4258

2.7079

40

0.8507

1.3031

1.6839

2.0211

2.4233

2.7045