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• Felipe Alejandro

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Derivada Direccional Vector Gradiente Para una funci´on de dos variables f (x, y) el vector gradiente se define como ∇f (x, y) = fx0 i + fy0 j. Para la funci´on f (x, y) = 5x2 + 4xy 3 el vector gradiente es ∇f (x, y) = (10x + 4y 3 )i + (12xy 2 ) el cual evaluado en P = (−1, 1) es ∇f (−1, 1) = −6i − 12j. Derivada Direccional La derivada direccional Du f permite determinar la tasa de cambio de una funci´on f a partir de un punto P en direcci´on de un vector v. Du f (P ) = ∇f (P ) · u donde u es el vector unitario que va en la misma direcci´on de v. El cual se puede v obtener mediante la f´ormula u = kvk En las cercan´ıas de una boya, la profundidad de un lago en el punto de coordenadas (x, y) es f (x, y) = 200 + 0,02x2 − 0,001y 3 , donde x , y y z se miden en metros. Un pescador en un bote peque˜ no parte del punto (80, 60) y sedirige hacia la boya, la cual se ubica en (0, 0) . ¿El agua bajo el bote se hace m´as somera o m´as profunda cuando el pescador parte? Se calcula el gradiente de la funci´on fx0 = 0,04x que reemplazada en (80, 60) es igual a fx0 (80, 60) = 3,2 fy0 = −0,003y 2 que reemplazada en (80, 60) es igual a fy0 (80, 60) = −10,8 por lo tanto el gradiente es igual a ∇f (80, 60) = 3,2i − 10,8j. 1

2

La direcci´on est´a dada por el vector v = (0, 0) − (80, 60) = (−80, −60) = −80i − 60j Cuya norma es k v k=

p (−80)2 + (−60)2 = 100

El vector unitario en la misma direcci´on de v es u=

v kvk

=

1 (−80i 100

− 60j) = −0,8i − 0,6j

Por lo tanto la derivada direccional, que corresponde a la tasa de cambio en la profundidad que experimenta el pescador al dirijirse hacia la boya es Du f (80, 60) = ∇f (P ) · u = (3,2i − 10,8j) · (−0,8i − 0,6j) = 3,92 El resultado positivo implica que el agua se hace m´as profunda. En Geogebra

0.1.

Ejercicios

1. La temperatura en un punto est´a dada por T (x, y, z) = 200e−x mide en grados cent´ıgrados y x, y y z en metros.

2 −3y 2 −9y 2

donde T se

A. Determine la raz´on de cambio de la temperatura en el punto P = (2, 1, 2) en la

0.1. EJERCICIOS

3

direcci´on hacia el punto (3, −3, 3). B. ¿En qu´e direcci´on la temperatura se incrementa m´as r´apido en P? C. Encuentre la raz´on m´axima de incremento en P . 2. Suponga que escala una monta˜ na cuya forma la da la ecuaci´on z = 1000 − 0,005x2 − 2 0,01y donde x, y y z se dan en metros y usted est´a parado en un punto cuyas coordenadas son (60, 40, 966). El eje de las x positivas va hacia el este y el eje de las y positivas va hacia el norte. A. Si caminan directo hacia el sur, ¿empezar´a a ascender o descender? B. Si camina hacia el noroeste ¿empezar´a a ascender o descender? C. En qu´e direcci´on es la m´axima pendiente ¿Cu´al es la raz´on de cambio en esta direcci´on? ¿En qu´e ´angulo por arriba de la horizontal la trayectoria inicia en esa direcci´on? 3. La superficie de una monta˜ na se modela mediante la ecuaci´on h(x, y) = 5000 − 2 2 0,001x − 0,004y . Un monta˜ nista se encuentra en el punto (500, 300, 4390. ¿En qu´e direcci´on debe moverse para ascender con la mayor rapidez? Muestre gr´afica y curvas de nivel alrededor de este punto. 4. Si f (x, y) = x2 + xy + y 2 − x encuentre todos los puntos donde Du f (x, y) es cero en la direcci´on del vector v = i + j 5. Encuentre una funci´on f tal que ∇f = (3x2 + y 3 + yexy )i + (−2y 2 + 3xy 2 + xexy )j. 6. Si f (x, y) = x3 − 2x + y 2 − 5y encuentre todos los puntos donde k ∇f k= 0.

4 7. Una plancha de metal est´a situada en el plano xy y ocupa el rect´angulo 0 ≤ x ≤ 10, 0 ≤ y ≤ 8 donde x y y est´an en metros. La temperatura en el punto (x, y) en la plancha es T (x, y) donde T se mide en grados Celsius. Se midieron las temperaturas en puntos con separaciones iguales y se registraron en la tabla. Estime el valor de la derivada direccional de la temperatura en el punto (6, 4) en la direcci´on del vector v = i + j. Interprete el resultado y↓x→ 0 2 4 6 8 10

0 30 52 78 98 96 92

2 38 56 74 87 90 92

4 45 60 72 80 86 91

6 51 62 68 75 80 87

8 55 61 66 71 75 78