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• JOHAN DAVISSON ANGULO ALVA

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DINÁMICA

ESTRUCTURAL PROBLEMAS RESUELTOS Aplicaciones con MatLab

Dinámica Estructural Problemas Resueltos. Aplicaciones con Matlab Autor: Alejandro Vera Lázaro

© Derecho de autor reservado Empresa Editora Macro E.I.R.L. © Derecho de edición, arte gráfico y diagramación reservados Empresa Editora Macro E.I.R.L. Edición a cargo de: Empresa Editora Macro E.I.R.L. Av. Paseo de la República 5613 – Miraflores Lima - Perú  (511) 719-9700  [email protected] hp://www.editorialmacro.com Primera edición e-book: julio 2016 Disponible en: macro.bibliotecasenlinea.com ISBN Nº 978-612-304-037-6 ISBN Nº 978-612-304-483-1

Prohibida la reproducción parcial o total, por cualquier medio o método de este libro sin previa autorización de la Empresa Editora Macro E.I.R.L.

Agradecimientos A MIS GRANDES AMIGOS Vanessa Beltrán, Gianina Calmet, Sandra Loaisa, Magaly Casllo, Ana Seminario, Sonia Salazar, Alberto Hananel y Ciro Bazán, quienes creyeron en mi proyecto y me brindaron su apoyo incondicional para seguir adelante. A MIS COLEGAS ACADÉMICOS Msc. Ing. Eduardo Larrea por las largas conversaciones sobre Ingeniería estructural y la necesidad que existe en nuestro país de implantar cursos que sienten bases sólidas en las universidades peruanas que formen en el futuro inmediato, mejores Ingenieros estructuralistas. Dr. Max Arroyo de quien aprendí la gran diferencia que existe entre un Ingeniero Operavo y un Ingeniero Invesgador. Dra. Soa Lavado por la confianza depositada en mi trabajo y a la Dra. Mirtha Cervera por brindarme su apoyo y aliento para connuar escribiendo. A MIS COLABORADORES Liseth Montoya, Annie Yon, Patricia Roncal, Laurita Huamán, Marco Chuquilín; por la compilación, digitación y diseño del contenido, a quienes les auguro ser Ingenieros Civiles de éxito. A CAD-CAE INGENIEROS Por hacer realidad este sueño, en especial a Luz Benavides. A MI FAMILIA Por su apoyo incansable y su paciencia para finalizar esta obra.

Dedicatoria A la memoria de mi padre, Alejandro Vera Yengles, el que fue un gran amigo y compañero, con quien compar los mejores momentos de mi vida y con el cual en los úlmos años mantuve largas y entretenidas conversaciones, charlas que me permieron ver el mundo con una mente más amplia y gracias a las que aprendí a tomar oportunas y mejores decisiones. Hice una promesa frente a tú úlma morada, escribir este libro, desde donde estés siento que guías mis pasos y sé que lo estas observando, y que ahora mi felicidad es tuya también. Tú recuerdo vivirá en mi mente y en mi corazón por siempre.

Presentación El objevo del presente libro ene un alcance mayor a solo ofrecer los elementos de base relacionados con la dinámica clásica, que permirá a los lectores comprender con claridad y aplicar con mayor criterio los conceptos; sino que también introduce a los lectores en el uso de modelos matemácos y la representavidad gráfica de los mismos, para lograr así un análisis más detallado y puntual, que permita una mejor toma de decisiones en el diseño de los sistemas estructurales. Este primer volumen, que analiza sistemas de un grado de libertad es un libro básico en la comprensión de sistemas estructurales que son somedos a fuerzas variables. El volumen trata los siguientes temas: CAPÍTULO I: Se definen los elementos básicos que deben conocerse para realizar un modelo matemáco correcto. CAPÍTULO II: Se presentan problemas resueltos de sistemas estructurales libres con un grado de libertad (1GDL). CAPÍTULO III: Se presentan problemas resueltos de sistemas estructurales amorguados con un grado de libertad (1GDL). CAPÍTULO IV: Se presentan problemas resueltos de sistemas estructurales con vibración armónica con un grado de libertad (1GDL), tanto amorguados como no amorguados. CAPÍTULO V: Se presentan problemas resueltos de la Transformada de Laplace tanto directa como Inversa. CAPÍTULO VI: Se presentan problemas resueltos de sistemas estructurales con la herramienta matemáca de la Transformada de Laplace apoyados con el soware Matlab y SIMULINK. La parcularidad del libro reside en la gran candad de problemas que se resuelven paso a paso haciendo más didácco el proceso de aprendizaje del análisis estructural. Esta generosidad de ejemplos y problemas expuestos en cada capítulo, llevando los modelos matemácos a su representación gráfica a través del programa MATLAB y el simulador SIMULINK los cuales son usados en las mejores universidades del mundo por su facilidad para realizar cálculos cienficos así como simulaciones dentro del ámbito de la ingeniería, y sumado a la información teórica puntual que existe permirá desarrollar en el futuro ingeniero, habilidades para el análisis profundo de todo po de estructuras con uno y posteriormente con n grados de libertad. No queda más que recomendar presente publicación del Ingeniero Alejandro Vera como uno de los libros textos más compresivo y prácco en dinámica estructural. Dr. Ing. Maximiliano Arroyo Ulloa - Universitá di Roma “La Sapienza”, Italia. Revisor por la Editorial Elsevier - Holanda Consultor por la empresa internacional ISMERI S.A. (Italia).

Índice Capítulo 1 NOCIONES PRELIMINARES ...........................................................................................................9 1.1 ELEMENTOS BÁSICOS TRASLACIONALES ....................................................................................11 1.1.1 ELEMENTOS BÁSICOS ROTACIONALES .............................................................................16

Capítulo 2 SISTEMA LIBRE SIN AMORTIGUACIÓN DE 1 GDL .......................................................................17 2.1 SISTEMA LIBRE SIN AMORTIGUACIÓN DE 1 GDL (GRADO DE LIBERTAD) ..................................19 PROBLEMAS RESUELTOS............................................................................................................20 2.2 MARCOS TRIDIMENSIONALES ...................................................................................................32 PROBLEMAS RESUELTOS............................................................................................................34

Capítulo 3 SISTEMA LIBRE AMORTIGUADO DE 1 GDL......................................................................................45 3.1 SISTEMA LIBRE AMORTIGUADO DE 1 GDL (GRADO DE LIBERTAD) ............................................47 PROBLEMAS RESUELTOS............................................................................................................49 3.2 MARCOS TRIDIMENSIONALES ...................................................................................................57 PROBLEMAS RESUELTOS............................................................................................................57

Capítulo 4 VIBRACIÓN ARMÓNICA DE 1 GDL ...................................................................................................73 4.1 SIN AMORTIGUACIÓN ................................................................................................................75 PROBLEMAS RESUELTOS SIN AMORTIGUACIÓN........................................................................77 4.2 CON AMORTIGUACIÓN .............................................................................................................98 PROBLEMAS RESUELTOS CON AMORTIGUACIÓN......................................................................99

Capítulo 5 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE ...................................................................................................121 5.1 FUNCIÓN TRANSFORMADAS DE LAPLACE..................................................................................123 TRANSFORMADA DE LAPLACE DE ALGUNAS FUNCIONES TÍPICAS ............................................124 CÁLCULO DE LA TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE ..........................................................124 FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA...................................................................................................126 5.2 PROBLEMAS RESUELTOS DE TRANSFORMADAS DE LAPLACE ....................................................128 5.3 DETERMINAR LA INVERSA DE LAPLACE Y GRAFICAR LAS RESPECTIVAS SOLUCIONES DE LAS FUNCIONES H ...........................................................................................138

Capítulo 6 APLICACIONES CON LAPLACE Y SIMULINK......................................................................................153 6.1 PROBLEMAS RESUELTOS ...........................................................................................................155 EJERCICIO N° 01.........................................................................................................................155 EJERCICIO N° 02.........................................................................................................................160 EJERCICIO Nº 03 ........................................................................................................................162 6.2 PROBLEMAS CON MARCOS TRIDIMENSIONALES ......................................................................165 EJERCICIO Nº 04 ........................................................................................................................165 EJERCICIO Nº 05 ........................................................................................................................168 EJERCICIO Nº 06 ........................................................................................................................171 EJERCICIO Nº 07 ........................................................................................................................174 EJERCICIO Nº 08 ........................................................................................................................177 BIBLIOGRAFÍA...................................................................................................................................181

CAPÍTULO

1

NOCIONES PRELIMINARES

Nociones Preliminares

CAP. 1

1.1 ELEMENTOS BÁSICOS TRASLACIONALES En todo estudio de vibración traslacional se tienen que tener en cuenta los siguientes elementos básicos. C

k m Resorte

masa

A) Elemento Resorte (Resistencia

Amortiguador

Desplazamiento)

Son elementos de máquinas que sometidas a cargas varían su forma entre límites más o menos amplios, siempre que estas cargas no las expongan a solicitaciones superiores a límites de elasticidad del material con el cual están construidos, produciendo su destrucción. Se utilizan como uniones de máquinas a sus bases, para disminuir sus trepidaciones, para almacenar energía para el accionamiento de dispositivos, para la suspensión de diferentes partes de vehículos para absorción de impactos, etc. Existen dos tipos de resortes: • Lineales • No Lineales • Resortes Lineales: Donde la deformación varía linealmente con la fuerza aplicada. F(N) (Fuerza)

F

(Deformación) x1

x m x2

• Resortes no lineales: Son aquellas cuya deformación depende de la fuerza variable que actúa sobre dicho resorte; generalmente se trata de convertirlo en una forma lineal, utilizando un proceso de linealización. ; generando en él una En el estado de equilibrio el resorte se carga con una fuerza variable deformación x; si se incrementa una pequeña cantidad de fuerza ; entonces el resorte se deforma adicional. una cantidad

11

Dinámica Estructural - Volumen I La nueva fuerza F+∆F genera una deformación x+∆x. F(N)

F

x

x(m)

Ejemplo: Una masa de 4 kg está suspendida de un resorte no lineal cuya fuerza es variable y está gobernada mediante la siguiente ecuación:

donde F está en Newton y x en metros. Hallar la frecuencia natural de oscilación para un comportamiento lineal alrededor de la posición de equilibrio. En el equilibrio:

4 kg

Fresorte Fresorte – mg = 0 4 kg

(20x + 8x3) – 4(9,81) = 0 20x + 8x3 – 39,24 = 0 8x3 + 20x – 39,24 = 0

W resolviendo x para el equilibrio, se tiene: x = 1,225 m Entonces: linealizando, se tiene:

Reemplazando: x = 1,225 m (en equilibrio)

12

x

Nociones Preliminares

CAP. 1

Entonces la frecuencia natural de oscilación:

Analizaremos un resorte de dos nodos. x2

x1

k(x2 – x1)

Diagrama de cuerpo libre (DCL)

donde: k:Constante elástica o Rigidez del resorte (N/m; kg/s2) :Desplazamiento relativo de los nodos del resorte (m;mm) a) Resortes en Paralelo x2

x1 k1

k1

k2

k2 k3

k3

Entonces el sistema equivalente será:

keq donde: keq = k1 + k2 + k3 Generalizando para "n" resortes en paralelo:

13

Dinámica Estructural - Volumen I b) Resortes en Serie x3

x2

x1

k2

k1 Analizando cada uno de los resortes: x2

x1

k1 x3

x2

k2 x4

x3

k3 Entonces la deflexión total será:

de donde:

Entonces el sistema equivalente será:

k3 donde:

Generalizando para "n" resortes en serie:

14

x4

k3

Nociones Preliminares B) Elemento Amortiguador (Viscosidad

CAP. 1

Velocidad)

Analizaremos el siguiente amortiguador:

(DCL)

Para casos lineales:

donde: c: constante de amortiguamiento : velocidad relativa (m/s) Amortiguadores en serie y en paralelo: El desarrollo es similar a los resortes; es decir para "n" amortiguadores; se tiene: a) En Serie:

b) En Paralelo:

donde: n = número de amortiguadores Ceq: constante de amortiguación equivalente C) Elemento Masa – Inercia (Resistencia

Aceleración)

Consideremos un cuerpo de masa "m" x m

Entonces el diagrama de cuerpo libre será: m

m

Por lo tanto:

15

Dinámica Estructural - Volumen I 1.1.1 ELEMENTOS BÁSICOS ROTACIONALES En todo estudio de vibración rotacional, se deben tener en cuenta los siguientes elementos básicos:

kt J M (Resorte Torsional)

Inercia Rotativa

Amortiguador Torsional

Desplazamiento angular)

I. Elemento resorte Torsional (Resistencia

Aplicamos un momento M(par de torsión); el cual tiende a hacer girar a un miembro recto y largo (eje, tubo, etc.) con respecto a su eje longitudinal, lo cual genera un ángulo de torsión . M

M donde:

M: Momento (par de torsión)(Nm) ;

: Ángulos Torsionales (rad)

kt: Rigidez Torsional También:

G: Módulo de Rigidéz par cortante (Pa) L: Longitud del elemento (m) J: momento polar de inercia (m4)

16

L

CAPÍTULO

2

SISTEMA LIBRE SIN AMORTIGUACIÓN DE 1 GDL

Sistema Libre Sin Amortiguación

CAP. 2

2.1 SISTEMA LIBRE SIN AMORTIGUACIÓN DE 1 GDL (GRADO DE LIBERTAD)

x k m

En el sistema, se observa que la resistencia elástica lo proporciona el resorte ingrávido (sin peso) de constante de rigidez K [N/m]. Aplicando la segunda ley de Newton al sistema: Fr

x m

Donde: Fr: fuerza del resorte Fr = kx (ley de Hook lineal) Tenemos:

Ec. diferencial Dividiendo entre la masa:

Haciendo:

Donde: : frecuencia natural [rad/s] La solución de esta Ecuación Diferencial se denomina Ecuación de la posición del sistema y está dada por:

La cual se puede encontrar en cualquier texto sobre Ecuaciones Diferenciales. Donde A y B son constantes.

19

Dinámica Estructural - Volumen I PROBLEMAS RESUELTOS 1. Hallar la ecuación de posición y la gráfica respectiva del siguiente sistema donde, la masa (m) equivale a 20kg y el coeficiente de rigidez (k) es de 400N/m.

x

x = 2 mm

k t=0s

m

= 3 m/s

Diagrama de cuerpo libre: x Fr

m

Cálculo de la frecuencia natural:

Solución: x(t)=Asen(Wnt)+Bcos(Wnt) Reemplazando t = 0s 2=Asen(0)+Bcos(0) B=2mm Derivando:

Reemplazando t = 0s 3000 = A(4.5)cos(0) – B(4.5)sen(0) 3000 = A(4.5)(1) A = 666.67 mm Ecuación de posición: x(t) = 666.67sen(4.5t)+2cos(4.5t)

20

Sistema Libre Sin Amortiguación

CAP. 2

Gráfico en MATLAB: >> t=0:0.01:10; >> x=666.67.*sin(4.5.*t)+2.*cos(4.5.*t); >>plot(t,x) >>xlabel('Tiempo (s)') >>ylabel('Desplazamiento (mm)') >>title('Gráfica x(t)=667.67sen(4.5t)+2cos(4.5t)') >>grid on

Donde: T

: Es el dominio de la función, en este caso es el tiempo, se ha considerado desde 0 hasta 10 segundos para poder observar la gráfica en dicho intervalo, es importante recordar que no hay eventos que se realicen en tiempos negativos, solo es para visualizar en este caso.

X

: Es la respuesta de la ecuación de posición, en este caso está en el dominio del tiempo.

plot

: Es el comando de MATLAB que permite que se grafique la función en el dominio del tiempo y se pueda observar.

grid on: Permite que aparezca un mallado o reticulado en la gráfica a manera de cuadrículas para mejor observación de la misma.

21

Dinámica Estructural - Volumen I 2. Hallar la ecuación de posición y la gráfica respectiva del siguiente sistema donde, la masa (m) equivale a 80kg y el coeficiente de rigidez (k1) es de 400N/m, (k2) es de 1200N/m.

x K1 x = –2 mm

m t=5s K2

= –3 m/s Diagrama de cuerpo libre: x (k1 + k2)

m

x Fr m

Cálculo de la frecuencia natural:

Solución: x(t) = Asen(Wnt) + Bcos(Wnt) Reemplazando t=5s –2 = Asen(4.5×5) + Bcos(4.5×5) –2 = Asen(22.5) + Bcos(22.5) –2 = –A(0.49) – B(0.87)

…(1)

Derivando:

Reemplazando t = 5s –3000 = A(4.5)cos(4.5×5) – B(4.5)sen(4.5×5) –666.67 = Acos(22.5) – Bsen(22.5) –666.67 = –A(0.87) + B(0.49)

22

…(2)

Sistema Libre Sin Amortiguación

CAP. 2

Uniendo la ecuación (1) y (2): –2 = –A(0.49) – B(0.87) –666.67 = –A(0.87) + B(0.49)

(×0.49) (×0.87)

–0.98 = –A(0.24) – B(0.43) –580 = –A(0.757) + B(0.43) –580.98 = –A(0.997) A = 582.728 mm

B = –325.904 mm

Ecuación de posición: x(t) = 582.728sen(4.5t) – 325.904cos(4.5t)

Gráfico en MATLAB: >> t=0:0.01:10; >> x=582.728.*sin(4.5.*t)-325.904.*cos(4.5.*t); >>plot(t,x) >>xlabel('Tiempo (s)') >>ylabel('Desplazamiento (mm)') >>title('Gráfica x(t)=582.728sen(4.5t)-325.904cos(4.5t)') >>grid on

23

Dinámica Estructural - Volumen I 3. Hallar la ecuación de posición y la gráfica respectiva del siguiente sistema donde, la masa (m) equivale a 100kg y el coeficiente de rigidez (k1) es de 500N/m, (k2) es de 1500N/m. x x = –3 mm

K1 t=4s

m K2

= –1 m/s

Diagrama de cuerpo libre: x

m

x Fr

m

Cálculo de la frecuencia natural:

Solución: x(t)=Asen(Wnt)+Bcos(Wnt) Reemplazando t = 4s –3 = Asen(1.94×4) + Bcos(1.94×4) –3 = Asen(7.76) + Bcos(7.76) –3 = A(0.99) + B(0.09)

…(1)

Derivando:

Reemplazando t = 4s –1000 = A(1.94)cos(1.94×4) – B(1.94)sen(1.94×4) –515.46 = Acos(7.76) – Bsen(7.76) –515.46 = A(0.09) – B(0.99)

24

…(2)

Sistema Libre Sin Amortiguación

CAP. 2

Uniendo la ecuación (1) y (2): –3 = A(0.99) + B(0.09) –515.46 = A(0.09) – B(0.99)

(×0.99) (×0.09)

–2.97 = A(0.98) + B(0.09) –46.39 = A(0.008) – B(0.09) –49.36 = A(0.988) A = –49.96 mm

B = 516.22 mm

Ecuación de posición: x(t) = –49.96sen(1.94t) + 516.22cos(1.94t)

Gráfico en MATLAB: >> t=0:0.01:10; >> x=-49.96.*sin(1.94.*t)+516.22.*cos(1.94.*t); >>plot(t,x) >>xlabel('Tiempo (s)') >>ylabel('Desplazamiento (mm)') >>title('Gráfica x(t)=-49.96sen(1.94t)+516.22cos(1.94t)') >>grid on

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Dinámica Estructural - Volumen I 4. Hallar la ecuación de posición y la gráfica respectiva del siguiente sistema donde, la masa (m) equivale a 200kg y el coeficiente de rigidez (k1) es de 800N/m, (k2) es de 600N/m, (k3) es 1200N/m.

K3 x = 4 mm K1 t=5s

K2

= 2 m/s m

x Diagrama de cuerpo libre: k1

m

x

Fr

m

x Cálculo de la frecuencia natural:

Solución: x(t) = Asen(Wnt) + Bcos(Wnt) Reemplazando t = 5s 4 = Asen(2.45×5) + Bcos(2.45×5) 4 = Asen(12.25) + Bcos(12.25) 4 = –A(0.31) + B(0.95) Derivando:

26

…(1)

Sistema Libre Sin Amortiguación

CAP. 2

Reemplazando t = 5s 2000 = A(2.45)cos(2.45×5) – B(2.45)sen(2.45×5) 816.33 = Acos(12.25) – Bsen(12.25) 816.33 = A(0.95) + B(0.31)

…(2)

Uniendo la ecuación (1) y (2): 4 = –A(0.31) + B(0.95) (×0.95) 816.33 = A(0.95) + B(0.31)

(×0.31)

3.8 = –A(0.29) + B(0.902) 253.06 = A(0.29) + B(0.096) 256.86 = B(0.998) B = 257.375 mm

A = 775.827 mm

Ecuación de posición: x(t) = 257.375sen(2.45t) + 775.827cos(2.45t)

Gráfico en MATLAB: >> t=0:0.01:10; >> x=257.375.*sin(2.45.*t)+775.827.*cos(2.45.*t); >>plot(t,x) >>xlabel('Tiempo (s)') >>ylabel('Desplazamiento (mm)') >>title('Gráfica x(t)=257.375sen(2.45t)+775.827cos(2.45t)') >>grid on

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Dinámica Estructural - Volumen I 5. Hallar la ecuación de posición y la gráfica respectiva del siguiente sistema donde, la masa (m) equivale a 10kg y el coeficiente de rigidez (k1) es de180N/m, (k2) es de 200N/m, (k3) es 300N/m. x x = 20 mm K1

K2

K3 t=2s

m

= 8 m/s

Diagrama de cuerpo libre: x

m

x Fr

m

Cálculo de la frecuencia natural:

Solución: x(t) = Asen(Wnt) + Bcos(Wnt) Reemplazando t = 2s 20 = Asen(6.28×2) + Bcos(6.28×2) 20 = Asen(12.56) + Bcos(12.56) 20 = –A(0.0064) + B(0.99)

…(1)

Derivando:

Reemplazando t = 2s 8000 = A(6.28)cos(6.28×2) – B(6.28)sen(6.28×2) 1273.89 = Acos(12.56) – Bsen(12.56) 1273.89 = A(0.99) + B(0.0064)

28

…(2)

Sistema Libre Sin Amortiguación

CAP. 2

Uniendo la ecuación (1) y (2): 20 = –A(0.0064) + B(0.99)

(×0.99)

1273.89 = A(0.99) + B(0.0064)

(×0.0064)

19.8 = –A(0.0063) + B(0.98) 8.15 = A(0.0063) + B(0.000041) 27.95 = B(0.980041) B = 28.52 mm

A = 1286.6 mm

Ecuación de posición: x(t)=1286.6sen(6.28t)+28.52cos(6.28t)

Gráfico en MATLAB: >> t=0:0.01:10; >> x=1286.6.*sin(6.28.*t)+28.52.*cos(6.28.*t); >>plot(t,x) >>xlabel('Tiempo (s)') >>ylabel('Desplazamiento (mm)') >>title('Gráfica x(t)=1286.6 sen(6.28t)+28.52cos(6.28t)') >>grid on

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Dinámica Estructural - Volumen I 6. Hallar la ecuación de posición y la gráfica respectiva del siguiente sistema donde, la masa (m) equivale a 15kg y el coeficiente de rigidez (k1) es de 300N/m, (k2) es de 400N/m, (k3) es 800N/m, (k4) es 600N/m, (k5) es 200N/m, (k6) es 1200N/m. x x = 15 mm

K1 K3

K5

K4

K6

m

t=3s = –6 m/s

K2

Diagrama de cuerpo libre: x C

m

x m

x Fr

m

Cálculo de la frecuencia natural:

Solución: x(t) = Asen(Wnt) + Bcos(Wnt) Reemplazando t = 3s 15 = Asen(5.17×3) + Bcos(5.17×3) 15 = Asen(15.51) + Bcos(15.51) 15 = A(0.2) – B(0.98) Derivando:

30

…(1)

Sistema Libre Sin Amortiguación

CAP. 2

Reemplazando t=2s –6000 = A(5.17)cos(5.17×3) – B(5.17)sen(5.17×3) –1160.54 = Acos(15.51) – Bsen(15.51) –1160.54 = –A(0.98) – B(0.2)

…(2)

Uniendo la ecuación (1) y (2): 15 = A(0.2) – B(0.98) –1160.54 = –A(0.98) – B(0.2)

(×0.98) (×0.2)

14.7 = A(0.2) – B(0.96) –232.108 = –A(0.2)-B(0.04) –217.408 = –B(1) B = 217.408 mm

A = 1140.29 mm

Ecuación de posición: x(t) = 1140.29sen(5.17t) + 217.408cos(5.17t)

Gráfico en MATLAB: >> t=0:0.01:10; >> x=1140.29.*sin(5.17.*t)+217.408.*cos(5.17.*t); >>plot(t,x) >>xlabel('Tiempo (s)') >>ylabel('Desplazamiento (mm)') >>title('Gráfica x(t)=1140.29 sen(5.17t)+217.408 cos(5.17t)') >>grid on

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Dinámica Estructural - Volumen I 2.2 MARCOS TRIDIMENSIONALES Los marcos tridimensionales tienen 6 grados de libertad (GDL o DOF) en cada nudo, pero se puede hacer una simplificación a través de un modelo matemático, asignando un grado de libertad por cada piso cuya respuesta se aproxima a la realidad. La dirección de este grado de libertad (x) en cuestión se modela: x

(GDL)

m

L

EI

EI

RIGIDEZ: Es la fuerza generalizada necesaria para producir un desplazamiento generalizado unitario fijando todos los demás grados de libertad. La fuerza generalizada comprende fuerzas y momentos; Fuerza

desplazamientos

Momentos

giros

La rigidez del marco puede representarse a través de un resorte y considerando la rigidez de la viga horizontal como infinita. Entonces la rigidez lateral del marco será: m

EI

L

EI

k1

k2

K1 m K2

Como son 2 fuerzas elásticas de rigidez laterales, los resortes se encuentran en paralelo por lo tanto la rigidez equivalente es:

32

Sistema Libre Sin Amortiguación

CAP. 2

Ke m

En el caso de viga rígida: m

EI

L

EI

k1

k2

K1 m K2

Los resortes se encuentran en paralelo por lo tanto la rigidez equivalente es:

33

Dinámica Estructural - Volumen I PROBLEMAS RESUELTOS 7. Hallar la ecuación de posición y la gráfica respectiva del siguiente sistema donde, el peso de la viga de acero (q) equivale a 3000kgf/m, el módulo de elasticidad del acero (E) es igual a 2x106 kgf/cm2 y el momento de inercia (I) a 3000 cm4. q = 3000 kgf/m x = 2 cm

m t=2s 5m

5m k1

8m

= 4 m/s

k3

k2

6m

4m

Equivale a: x

k1 k2 m

k3

Diagrama de cuerpo libre: x k1 + k2 +k3

m

x Fr

m

Cálculo del coeficiente de rigidez:

34

Sistema Libre Sin Amortiguación

CAP. 2

Cálculo de la masa:

Cálculo de la frecuencia natural:

Solución: x(t) = Asen(Wnt) + Bcos(Wnt) Reemplazando t = 2s 2 = Asen(4.97×2) + Bcos(4.97×2) 2 = Asen(9.94) + Bcos(9.94) 2 = –A(0.49) – B(0.87)

…(1)

Derivando:

Reemplazando t = 2s 400 = A(4.97)cos(4.97×2) – B(4.97)sen(4.97×2) 400 = A(4.97)cos(9.94) – B(4.97)sen(9.94) 400 = –A(4.32) + B(2.44)

…(2)

Uniendo la ecuación (1) y (2): 2 = –A(0.49) – B(0.87)

(×2.44)

400 = –A(4.32)+B(2.44)

(×0.87)

4.88 = –A(1.1956) – B(2.1228) 348 = –A(3.7584) + B(2.1228) 352.88 = –A(4.954) A = –71.23 cm

B = 37.82 cm

Ecuación de posición: x(t) = –71.23sen(4.97t) + 37.82cos(4.97t)

35

Dinámica Estructural - Volumen I

Gráfico en MATLAB: >> t=0:0.01:10; >> x=-71.23.*sin(4.97.*t)+37.82.*cos(4.97.*t); >>plot(t,x) >>xlabel('Tiempo (s)') >>ylabel('Desplazamiento (cm)') >>title('Gráfica x(t)=-71.23 sen(4.97t)+37.82 cos(4.97t)') >>grid on

8. Hallar la ecuación de posición y la gráfica respectiva del siguiente sistema donde, el peso de la viga de acero (q) equivale a 4000kgf/m, el módulo de elasticidad del acero (E) es igual a 2x106 kgf/cm2 y el momento de inercia (I) a 4500 cm4. q = 4000 kgf/m x = 0.8 cm

m 5m

t=4s

k2

8m

8m

k1

k1

8m

36

5m

= 3 m/s

Sistema Libre Sin Amortiguación

CAP. 2

Equivale a: x

k1 k2 m

k1

Diagrama de cuerpo libre: x k1 + k2 +k1

m

x Fr

m

Cálculo del coeficiente de rigidez:

ke = 1285.8 kgf/cm Cálculo de la masa:

Cálculo de la frecuencia natural:

Solución: x(t) = Asen(Wnt) + Bcos(Wnt) Reemplazando t = 4s 0.8 = A sen(4.92×4) + Bcos(4.92×4) 0.8 = A sen(19.68) + Bcos(19.68) 0.8 = A(0.74) + B(0.67)

…(1)

37

Dinámica Estructural - Volumen I Derivando:

Reemplazando t = 4s 300 = A(4.92)cos(4.92×4) – B(4.92)sen(4.92×4) 300 = A(4.92)cos(19.68) – B(4.92)sen(19.68) 300 = A(3.32) – B(3.63)

…(2)

Uniendo la ecuación (1) y (2): 0.8 = A(0.74) + B(0.67) 300 = A(3.32) – B(3.63)

(×3.63) (×0.67)

2.904 = A(2.6862) + B(2.4321) 201 = A(2.2244) – B(2.4321) 203.904 = A(4.9106) A = 41.52 cm

B = –44.66 cm

Ecuación de posición: x(t) = 41.52sen(4.92t) – 44.66cos(4.92t)

Gráfico en MATLAB: >> t=0:0.01:10; >> x=41.52.*sin(4.92.*t)- 44.66.*cos(4.92.*t); >>plot(t,x) >>xlabel('Tiempo (s)') >>ylabel('Desplazamiento (cm)') >>title('Gráfica x(t)=41.52 sen(4.92t)- 44.66 cos(4.92t)') >>grid on

38

Sistema Libre Sin Amortiguación

CAP. 2

9. Hallar la ecuación de posición y la gráfica respectiva del siguiente sistema donde, el peso de la viga de acero (q) equivale a 3200kgf/m, el módulo de elasticidad del acero (E) es igual a 2x106 kgf/cm2 y el momento de inercia (I) a 4000 cm4 q = 3200 kgf/m

x = –0.5 cm

m 5m

t=2s

k2

10 m

= 3 m/s 15 m

k1 k3

4m

6m

Equivale a: x

k1 k2 m

k3

Diagrama de cuerpo libre: x k1 + k2 +k3

m

x Fr

m

Cálculo del coeficiente de rigidez:

39

Dinámica Estructural - Volumen I

ke = 316.44 kgf/cm Cálculo de la masa:

Cálculo de la frecuencia natural:

Solución: x(t) = Asen(Wnt) + Bcos(Wnt) Reemplazando t = 2s –0.5 = Asen(3.11×2) + Bcos(3.11×2) –0.5 = Asen(6.22) + Bcos(6.22) –0.5 = –A(0.06) + B(0.99)

…(1)

Derivando:

Reemplazando t = 2s 300 = A(3.11)cos(3.11×2) – B(3.11)sen(3.11×2) 300 = A(3.11)cos(6.22) – B(3.11)sen(6.22) 300 = A(3.1) + B(0.19)

…(2)

Uniendo la ecuación (1) y (2): –0.5 = –A(0.06) + B(0.99) (×3.1) 300 = A(3.1) + B(0.19)

(×0.06)

–1.55 = –A(0.186) + B(3.069) 18 = A(0.186) + B(0.0114) 16.45 = B(3.0804) B = 5.34 cm

A = 96.45 cm

Ecuación de posición: x(t) = 96.45sen(3.11t) + 5.34cos(3.11t)

40

Sistema Libre Sin Amortiguación

CAP. 2

Gráfico en MATLAB: >> t=0:0.01:10; >> x=96.45.*sin(3.11.*t)+5.34.*cos(3.11.*t); >>plot(t,x) >>xlabel('Tiempo (s)') >>ylabel('Desplazamiento (cm)') >>title('Gráfica x(t)=96.45 sen(3.11t)+5.34 cos(3.11t)') >>grid on

10.Hallar la ecuación de posición y la gráfica respectiva del siguiente sistema donde, el peso de la viga de acero (q1) equivale a 3500kgf/m, (q2) es 8ex el módulo de elasticidad del acero (E) es igual a 2x106 kgf/cm2; el momento de inercia (I1 = I3) a 4000 cm4 y I2 equivale a 3500 cm4.

q2 q1 x = 5 cm 8m 10 m

t=5s 12 m

k2

= 2 m/s

k1 k3 10 m

8m

41

Dinámica Estructural - Volumen I Equivale a: x

k1 k2 m

k3

Diagrama de cuerpo libre: x k1 + k2 +k3

m

x Fr

m

Cálculo del coeficiente de rigidez:

ke = 192.572 kgf/cm Cálculo de la masa:

42

Sistema Libre Sin Amortiguación

CAP. 2

Cálculo de la frecuencia natural:

Solución: x(t) = Asen(Wnt) + Bcos(Wnt) Reemplazando t = 5s 5 = Asen(1.47×5) + Bcos(1.47×5) 5 = Asen(7.35) + B cos (7.35) 5 = A(0.876) + B(0.483)

…(1)

Derivando:

Reemplazando t = 5s 200 = A(1.47)cos(1.47×5) – B(1.47)sen(1.47×5) 200 = A(1.47)cos(7.35) – B(1.47)sen(7.35) 200 = A(0.71) – B(1.29)

…(2)

Uniendo la ecuación (1) y (2): 5 = A(0.876) + B(0.483) 200 = A(0.71) – B(1.29)

(×1.29) (×0.483)

6.45 = A(1.13) + B(0.62) 96.6 = A(0.343) – B(0.62) 103.05 = A(1.473) A = 69.96 cm

B = –116.53 cm

Ecuación de posición: x(t) = 69.96 sen(1.47t) – 116.53cos(1.47t)

43

Dinámica Estructural - Volumen I

Gráfico en MATLAB: >> t=0:0.01:10; >> x=69.96.*sin(1.47.*t)-116.53.*cos(1.47.*t); >>plot(t,x) >>xlabel('Tiempo (s)') >>ylabel('Desplazamiento (cm)') >>title('Gráfica x(t)=69.96 sen(1.47t)-116.53cos(1.47t)') >>grid on

44

CAPÍTULO

3

SISTEMA LIBRE AMORTIGUADO DE 1 GDL

Sistema Libre Amortiguado

CAP. 3

3.1 SISTEMA LIBRE AMORTIGUADO DE 1 GDL (GRADO DE LIBERTAD) Consideremos el sistema que tiene un resorte de rigidez K y un amortiguador de constante de amortiguación C[Ns/m]. x K m C

Aplicando la segunda ley de Newton al sistema en el sentido del desplazamiento (x), tenemos: x Fr Fv

m

Donde: Fr = kx [fuerza del resorte] FvoFc = C [fuerza viscosa del amortiguador, siempre se opone al movimiento] Entonces planteando la Segunda ley de Newton:

Ec. diferencial

…(1)

Dividiendo entre la masa: …(2)

Razón de amortiguamiento ( ) Es un factor adimensional que se define como: …(3)

…(4) Se observa de (3) que se puede obtener: …(5)

47

Dinámica Estructural - Volumen I Además se conoce que: …(6) Reemplazando (5) y (6) en (2); se obtiene: …(7) Resolviendo la Ecuación diferencial (1), la cual tiene una solución de la forma: …(8) Entonces en (1)

…( ) Resolviendo como una ecuación de segundo grado

Para ( ) se tiene: a=m , b=c , c=k Por lo tanto hay dos soluciones

Simplificando y reemplazando en (5) y (6)

Reemplazando en (8)

Ecuaciones:

48

>1

sobreamortiguado

t=0:0.01:450; >> x=3.202.*exp(-0.0126.*t).*sin(0.35.*t-0.00021); >> plot(t,x) >> xlabel('Tiempo (s)') >> ylabel('Desplazamiento (mm)') >> title('Gráfica x(t)=3.202exp(-0.0126t)sen(0.35t-0.00021)') >> grid on

50

Sistema Libre Amortiguado

CAP. 3

2. Hallar la ecuación de posición y la gráfica respectiva del siguiente sistema donde, la masa (m) equivale a 500kg y el coeficiente de rigidez (k1) es de 300N/m, k2 es de 600N/m y el amortiguador (c1) es de 80Ns/m, c2 es de 120 Ns/m. x K1

x = 4 mm

K2 t=5s

m C1

= –2 m/s

C2

Diagrama de cuerpo libre:

x Fr Fv

m

Cálculo de la frecuencia natural:

Cálculo de la razón de amortiguamiento:

> t=0:0.01:100; >> x=-711.19.*exp(-0.0479.*t).*sin(0.63.*t-0.00126); >> plot(t,x) >> xlabel('Tiempo (s)') >> ylabel('Desplazamiento (mm)') >> title('Gráfica x(t)=-711.19exp(-0.0479t)sen(0.63t-0.00126)') >> grid on

52

Sistema Libre Amortiguado

CAP. 3

3. Hallar la ecuación de posición y la gráfica respectiva del siguiente sistema donde, la masa (m) equivale a 20kg y el coeficiente de rigidez (k) es de 800N/m y una razón de amortiguamiento ( ) de 1.

x

x = 5 mm

K t=2s

m

= 2 m/s

C

Diagrama de cuerpo libre:

x Fr m

Fv

Cálculo de la frecuencia natural:

Cálculo del amortiguador (c): =1

crítico

Ecuación de un crítico:

Reemplazando en la ecuación de un crítico con t = 2s:

1543306.75 = (B+2C)

…(1)

Derivando la ecuación de un crítico:

Reemplazando con t = 2s: 2000 = Ce–12.64 – 6.32(B+2C)e–12.64 617322699.9 = C – 6.32(B+2C) 617322699.9 = –23.28C – 6.32B

…(2)

53

Dinámica Estructural - Volumen I Uniendo la ecuación (1) y (2): 1543306.75 = 2C + B

(×6.32)

617322699.9 = –23.28C – 6.32B 9753698.66 = C(12.64) + B(6.32) 617322699.9 = –23.28C – 6.32B 627076398.6 = C(–10.64) C = –58935751.74 mm

B = 119414810.2 mm

Ecuación de posición: x(t) = (119414810.2 – 58935751.74t)e–6.32t

Gráfico en MATLAB: >> t=0:0.01:100; >> x=(119414810.2-58935751.74.*t).*exp(-6.32.*t); >> plot(t,x) >> xlabel('Tiempo (s)') >> ylabel('Desplazamiento (mm)') >> title('Gráfica x(t)= (119414810.2-58935751.74t)exp(-6.32t)') >> grid on

54

Sistema Libre Amortiguado

CAP. 3

4. Hallar la ecuación de posición y la gráfica respectiva del siguiente sistema donde, la masa (m) equivale a 100kg y el coeficiente de rigidez (k) es de 500N/m y una razón de amortiguamiento ( ) de 2.5.

x

x = 2.5 mm

K t=3s

m

= –4 m/s

C

Diagrama de cuerpo libre: x Fr Fv

m

Cálculo de la frecuencia natural:

Cálculo del amortiguador (c): > t=0:0.01:10; >> x=1570.*exp(-0.47.*t)-3.75.*10^16.*exp(-10.73.*t); >> plot(t,x) >> xlabel('Tiempo (s)') >> ylabel('Desplazamiento (mm)') >> title('Gráfica x(t)= 1570exp(-0.47t)-(3.75x10^16)exp(-10.73t)') >> grid on

56

Sistema Libre Amortiguado

CAP. 3

3.2 MARCOS TRIDIMENSIONALES En en caso de la construcción

< 1, se trabaja con sistemas subamortiguados.

Si llamamos = , el valor de las estructuras oscila entre 2% y 20% aproximadamente. Los reglamentos modernos requieren usar = 5%.

PROBLEMAS RESUELTOS 5. Hallar la ecuación de posición y la gráfica respectiva del siguiente sistema donde, el peso de la viga de acero (q) equivale a 3000 kgf/m, el módulo de elasticidad del acero (E) es igual a 2×106 kgf/cm2 y el momento de inercia (I) a 3500 cm4. q = 3000 k g f/m x = –0.5 cm m

t=2s 8m

8m

k1

= 3 m/s

k1 20 m

Equivale a: k1

x

C k1

m

Diagrama de cuerpo libre:

x Fr Fv

m

57

Dinámica Estructural - Volumen I Cálculo del coeficiente de rigidez:

Cálculo de la masa:

Cálculo de la frecuencia natural:

Cálculo del amortiguador C

c = 14.1664 kgf.s/cm > t=0:0.01:50; >> x=0.6322.*exp(-0.11581.*t).*sin(2.3191.*t-0.0038659); >> plot(t,x) >> xlabel('Tiempo (s)') >> ylabel('Desplazamiento (cm)') >> title('Gráfica x(t)= 0.6322exp(-0.11581t)sin(2.3191t-0.0038659)') >> grid on

6. Hallar la ecuación de posición y la gráfica respectiva del siguiente sistema donde, el peso de la viga de acero (q) equivale a 2500 kgf/m, el módulo de elasticidad del acero (E) es igual a 2×106 kgf/cm2 y el momento de inercia (I) a 2500 cm4. q = 2500 k g f/m x = 2 cm m 10 m

t=4s 10 m

k1

= 2 m/s

k1 8m

59

Dinámica Estructural - Volumen I Equivale a: k1

x

C k1

m

Diagrama de cuerpo libre:

x Fr Fv

m

Cálculo del coeficiente de rigidez:

Cálculo de la masa:

Cálculo de la frecuencia natural:

Cálculo del amortiguador C

c = 9.91 kgf.s/cm > t=0:0.01:30; >> x=-18.79.*exp(-0.243.*t).*sin(2.42.*t+0.024); >> plot(t,x) >> xlabel('Tiempo (s)') >> ylabel('Desplazamiento (cm)') >> title('Gráfica x(t) =-18.79exp(-0.243t)sin(2.42t+0.024)') >> grid on

61

Dinámica Estructural - Volumen I 7. Hallar la ecuación de posición y la gráfica respectiva del siguiente sistema donde, el peso de la viga de acero (q) equivale a 3000 kgf/m, el módulo de elasticidad del acero (E) es igual a 2×106 kgf/cm2 y el momento de inercia (I) a 2000 cm4. q = 3000 k g f/m x = 0.5 cm m

t=2s

8m

8m

k1

= 3 m/s

k2 10 m

Equivale a: k1

x

C k2

m

Diagrama de cuerpo libre:

x Fr Fv

Cálculo del coeficiente de rigidez:

62

m

Sistema Libre Amortiguado

CAP. 3

Cálculo de la masa:

Cálculo de la frecuencia natural:

Cálculo del amortiguador C

c = 7.25 kgf.s/cm > t=0:0.01:60; >> x=-0.64.*exp(-0.1185.*t).*sin(2.36.*t+3.93.*10.^-3); >> plot(t,x) >> xlabel('Tiempo (s)') >> ylabel('Desplazamiento (cm)') >> title('Gráfica x(t)=-0.64exp(-0.1185t)sin(2.36t+3.93x10^-3)') >> grid on

8. Hallar la ecuación de posición y la gráfica respectiva del siguiente sistema donde, el peso de la viga de acero (q1) equivale a 2000 kgf/m y (q2) equivale a 3600 kgf/m, el módulo de elasticidad del acero (E) es igual a 2×106 kgf/cm2 y el momento de inercia (I1) a 3500 cm4, (I2) a 4000 cm4.

q2 q1

x = –1.2 cm m

t=5s

8m

8m C

k1

k2 12 m

64

6m

= 3 m/s

Sistema Libre Amortiguado

CAP. 3

Equivale a: k1

x

C k2

m

Diagrama de cuerpo libre:

x Fr Fv

m

Cálculo del coeficiente de rigidez:

Cálculo de la masa:

Cálculo de la frecuencia natural:

Cálculo del amortiguador C

c =13.76 kgf.s/cm > t=0:0.01:60; >> x=4.57.*exp(-0.12.*t).*sin(1.986.*t-7.96.*10.^-3); >> plot(t,x) >> xlabel('Tiempo (s)') >> ylabel('Desplazamiento (cm)') >> title('Gráfica x(t)=4.57exp(-0.12t)sin(1.986t-7.96x10^-3)') >> grid on

66

Sistema Libre Amortiguado

CAP. 3

9. Hallar la ecuación de posición y la gráfica respectiva del siguiente sistema donde, el peso de la viga de acero (q1) equivale a 1500 kgf/m, (q2) equivale a 2400 kgf/m y (q3) equivale a 2000 kgf/m, el módulo de elasticidad del acero (E) es igual a 2×106 kgf/cm2 y el momento de inercia (I1) a 3000 cm4, (I2) a 3600 cm4. q2

q3

q1

x = –0.8 cm m

15 m

C/2

t=6s 15 m

C/2

k1

10 m

= –2 m/s

k2 6m

5m

Equivale a: k1

x

C k2

m

Diagrama de cuerpo libre:

x Fr Fv

m

Cálculo del coeficiente de rigidez:

67

Dinámica Estructural - Volumen I Cálculo de la masa:

Cálculo de la frecuencia natural:

Cálculo del amortiguador C

c =3.4 kgf.s/cm > t=0:0.01:60; >> x=1.42.*exp(-0.04545.*t).*sin(0.908.*t+0.00363); >> plot(t,x) >> xlabel('Tiempo (s)') >> ylabel('Desplazamiento (cm)') >> title('Gráfica x(t)=1.42exp(-0.04545t)sin(0.908t+0.00363)') >> grid on

10.Hallar la ecuación de posición y la gráfica respectiva del siguiente sistema donde, el peso de la viga de acero (q) equivale a 18e2x kgf/m, el módulo de elasticidad del acero (E) es igual a 2×106 kgf/cm2 y el momento de inercia (I1) a 3500 cm4, (I2) a 4000 cm4. q x = 2 cm

m t=5s C 15 m

8m

= 2 m/s

k2 k1

5m

69

Dinámica Estructural - Volumen I Equivale a: k1

x

C k2

m

Diagrama de cuerpo libre:

x Fr Fv

m

Cálculo del coeficiente de rigidez:

Cálculo de la masa:

Cálculo de la frecuencia natural:

Cálculo del amortiguador C

c =19.78 kgf.s/cm > t=0:0.01:60; >> x=-2.6.*exp(-0.04895.*t).*sin(0.978.*t+0.00977); >> plot(t,x) >> xlabel('Tiempo (s)') >> ylabel('Desplazamiento (cm)') >> title('Gráfica x(t)=-2.6 exp(-0.04895t)sin(0.978t+0.00977)') >> grid on

71

CAPÍTULO

4

VIBRACIÓN ARMÓNICA DE 1 GDL

Vibración Armónica de 1 GDL

CAP. 4

Cuando el sistema está sometido a una excitación armónica de la forma: ó Donde: Fo: Amplitud W = frecuencia = fase del ángulo de la excitación armónica

x

k m C

Casos:

4.1 SIN AMORTIGUACIÓN

x k m

Consideremos una fuerza de la forma:

Entonces:

La ecuación diferencial tiene una solución con 2 componentes:

La solución homogénea ya es conocida: …(1) La solución particular tiene la siguiente forma: …(2)

75

Dinámica Estructural - Volumen I Donde: X: máxima amplitud …(3)

Donde: = deflexión de la masa bajo la acción de la fuerza Fo, por eso también se le denomina deflexión estática porque Fo es una fuerza constante. Finalmente, la solución queda: …(4) Nota: de la relación de (3) se obtiene: …(5)

M = Factor de Magnificación o factor de amplificación, representa la razón de la amplitud dinámica (X) a la amplitud estática ( ) del movimiento.

R = razón de frecuencias Por esta razón se puede identificar 3 tipos: a) Cuando El denominador de la ecuación (5) es positivo, por lo tanto la solución está dad por la ecuación (2) b) Cuando El denominador de la ecuación (5) es negativo, por lo cual la solución particular queda expresada. Xparticular = –X cos Wt Por lo tanto la amplitud de movimiento X es redefinida a una cantidad positiva como: c) Cuando En este caso como W = Wn; es decir la frecuencia de la fuerza es igual a la frecuencia natural del sistema, se llega al estado de RESONANCIA, la amplitud se incrementa al infinito.

76

Vibración Armónica de 1 GDL

CAP. 4

PROBLEMAS RESUELTOS SIN AMORTIGUACIÓN 1. Hallar la ecuación de posición y la gráfica respectiva del sistema donde, la masa equivale a 25 kg, el coeficiente de rigidez (k1) es de 6000 N/m y la fuerza armónica F(t) = 600cos(20t), en los siguientes casos: a) t = 0 , x = 0.1 m y

= 2 m/s

b) t = 2s , x = 0.5 m y

= 4 m/s

c) t = 4s , x = 0.8 m y

= –3 m/s

k m

F(t)

Diagrama de cuerpo libre: x Fr

m

F(t)

Cálculo de la frecuencia natural:

Ecuación del sistema: , donde:

, donde:

Por lo tanto Xp(t) es:

La ecuación general es:

Derivando: Para el caso a) Reemplazando en X(t) con t = 0s: 0.1 = C2 – 0.15 C2 = 0.15 m

77

Dinámica Estructural - Volumen I Derivando X(t): 2 = –15.49C1 C1 = 0.129 m Ecuación de posición: x(t) = 0.129sen(15.49t) + 0.15cos(15.49t) – 0.15cos20t Gráfico en MATLAB: >> >> >> >> >> >> >>

t=0:0.01:5; x=0.129.*sin (15.49.*t)+0.15.*cos (15.49.*t)-0.15.*cos (20.*t); plot(t,x) xlabel('Tiempo (s)') ylabel('Desplazamiento (m)') title('Gráfica x(t)= 0.129sen(15.49t)+0.15cos(15.49t)-0.15cos(20t)') grid on

Para el caso b) Reemplazando en X(t) con t = 2s:

…(1) Derivando X(t):

…(2)

78

Vibración Armónica de 1 GDL

CAP. 4

Uniendo (1) en (2): 0.399 = –0.422C1 + 0.906C2

(×33.27)

1.76 = 14.04C1+ 6.54C2 13.274 = –14.04C1 + 0.906C2 1.76 = 14.04C1 + 6.54C2 15.034 = 31.049C2 C2 = 0.48 m

C1 = –0.1 m

Ecuación de posición x(t) = –0.1sen(15.49t) + 0.484cos(15.49t) – 0.15cos(20t)

Gráfico en MATLAB: >> >> >> >> >> >> >>

t=0:0.01:5; x=-0.1.*sin(15.49.*t)+0.484.*cos(15.49.*t)-0.15.*cos(20.*t); plot(t,x) xlabel('Tiempo (s)') ylabel('Desplazamiento (m)') title('Gráfica x(t)= -0.1sen(15.49t)+0.484cos(15.49t)-0.15cos(20t)') grid on

Para el caso c) Reemplazando en X(t) con t = 4s:

…(1)

79

Dinámica Estructural - Volumen I Derivando X(t):

…(2) Uniendo (1) en (2): 0.783 = –0.766C1 + 0.643C2

(×13.01)

–0.0183 = 9.966C1 + 11.85C2 10.186 = –9.966C1 + 8.365C2 –0.0183 = 9.966C1 + 11.85C2 10.168 = 20.215C2 C2 = 0.5038 m

C1 = 0.599 m

Ecuación de posición: x(t) = 0.599sen(15.49t) + 0.503cos(15.49t) – 0.15cos(20t)

Gráfico en MATLAB: >> >> >> >> >> >> >>

80

t=0:0.01:5; x=0.599.*sin (15.49.*t)+0.503.*cos (15.49.*t)-0.15.*cos (20.*t); plot(t,x) xlabel('Tiempo (s)') ylabel('Desplazamiento (m)') title('Gráfica x(t)= 0.59sen(15.49t)+0.503cos (15.49t)-0.15cos(20t)') grid on

Vibración Armónica de 1 GDL

CAP. 4

2. Hallar la ecuación de posición y la gráfica respectiva del sistema donde, la masa equivale a 35kg, el coeficiente de rigidez (k1) es de 5000N/m, (k2) de 7000N/m y la fuerza armónica F(t) = 250cos(25t).

k1

x = 0.03 mm

k2 m

F(t)

t=2s = 1.5 m/s

Diagrama de cuerpo libre: x m

F(t)

x Fr

m

F(t)

Cálculo de la frecuencia natural:

Ecuación del sistema: , donde:

, donde:

Reemplazando en xh con t = 2s:

…(1) Derivando xh:

…(2)

81

Dinámica Estructural - Volumen I Reemplazando en xp con t = 5s:

Uniendo (1) en (2): –0.03 = 0.83C1 – 0.56C2

(×7.59)

1.5 = 5.08C1 + 7.59C2

(×0.56)

–0.2277 = 6.2997C1 – 4.2504C2 0.84 = 2.8448C1 + 4.2504C2 0.6123 = 9.1445C1 C1 = 0.067 m

C2 = 0.15 m

Ecuación de posición: x(t) = 0.067cos(9.13t) + 0.15 sen(9.13t) – 0.013cos25t

Gráfico en MATLAB: >> t=0:0.01:5; >> x=0.067.*cos (9.13.*t)+0.15.*sin (9.13.*t)-0,013.*cos (25.*t); >> plot(t,x) >> xlabel('Tiempo (s)') >> ylabel('Desplazamiento (m)') >> title('Gráfica x(t)= 0.067cos(9.13t)+0.15sen(9.13t)-0.013cos(25t)') >> grid on

82

Vibración Armónica de 1 GDL

CAP. 4

3. Hallar la ecuación de posición y la gráfica respectiva del sistema donde, la masa equivale a 40kg, el coeficiente de rigidez (k1) es de 8000N/m, (k2) de 10000N/m, (k3) de 5000N/m y la fuerza armónica F(t) = 400cos(30t). k1

x = 0.12 m

k2 F(t)

m

t=4s = 4 m/s

k3

Diagrama de cuerpo libre: x m

F(t)

x Fr

m

F(t)

Cálculo de la frecuencia natural:

Ecuación del sistema: , donde:

, donde:

Reemplazando en Xh con t = 4s:

…(1) Derivando Xh:

…(2)

83

Dinámica Estructural - Volumen I Reemplazando en Xp con t = 5s:

Uniendo (1) en (2): 0.12 = 0.22C1 – 0.98C2 4 = 15C1 + 3.34C2

(×3.34) (×0.98)

0.4008 = 0.7348C1 – 3.2732C2 3.92 = 14.7C1 + 3.2732C2 4.3208 = 15.4348C1 C1 = 0.28 m

C2 = –0.06 m

Ecuación de posición: x(t) = 0.28cos(15.37t) – 0.06 sen(15.37t) – 0.015cos30t

Gráfico en MATLAB: >> t=0:0.01:5; >> x=0.28.*cos (15.37.*t)-0.06.*sin (15.37.*t)-0.015.*cos (30.*t); >> plot(t,x) >> xlabel('Tiempo (s)') >> ylabel('Desplazamiento (m)') >> title('Gráfica x(t)= 0.28cos(15.37t)-0.06 sen(15.37t)-0.015cos(30t)') >> grid on

84

Vibración Armónica de 1 GDL

CAP. 4

4. Hallar la ecuación de posición y la gráfica respectiva del sistema donde, la masa equivale a 30kg, el coeficiente de rigidez (k1) es de 10000N/m, (k2) de 8000N/m, (k3) de 5000N/m y la fuerza armónica F(t) = 250cos(50t). x

x = –0.2 m

F(t)

k1

t=5s

m k2

k3

= 5 m/s

Diagrama de cuerpo libre: x m

F(t)

x Fr

m

F(t)

Cálculo de la frecuencia natural:

Ecuación del sistema: , donde:

, donde:

Reemplazando en Xh con t = 5s:

…(1) Derivando Xh: …(2)

85

Dinámica Estructural - Volumen I Reemplazando en Xp con t = 5s:

Uniendo (1) en (2): –0.2 = –0.75C1 – 0.66C2 5 = 13.88C1 – 15.59C2

(×13.88) (×0.75)

–2.776 = –10.41C1 – 9.1608C2 3.75 = 10.41C1 – 11.6925C2 0.974 = –20.8533C2 C2 = –0.047 m

C1 = –0.31 m

Ecuación de posición x(t) = 0.31cos(20.88t) – 0.047sen(20.88t) – 4.037×10–3cos50t

Gráfico en MATLAB: >> t=0:0.01:5; >> x=0.31.*cos (20.88.*t)-0.047.*sin (20.88.*t)-0.004037.*cos (50.*t); >> plot(t,x) >> xlabel('Tiempo (s)') >> ylabel('Desplazamiento (m)') >> title('Gráfica x(t)= 0.31cos(20.88t)-0.047 sen(20.88t)- 0.004037cos(50t)') >> grid on

86

Vibración Armónica de 1 GDL

CAP. 4

5. Hallar la ecuación de posición y la gráfica respectiva del sistema donde, el módulo de elasticidad del acero (E) es igual a 2×106 kgf/cm2, el momento de inercia I1 equivale a 6000 cm4, I2 a 20000 cm4 y la fuerza armónica F(t) = 8000cos(20t). q = 2000 k g f/m

x = 0.8 cm

F(t)

t=3s m = 4 m/s

5m k1

10 m

k2 a=8m

x

k1 m

F(t)

k2

Diagrama de cuerpo libre: x m

F(t)

x Fr

m

F(t)

Cálculo del coeficiente de rigidez:

87

Dinámica Estructural - Volumen I Cálculo de la masa:

Cálculo de la frecuencia natural:

Ecuación del sistema: , donde:

, donde:

Reemplazando en Xh con t = 3s:

…(1)

Derivando Xh:

…(2) Reemplazando en Xp con t = 3s:

Uniendo (1) en (2): 0.8 = 0.212C1 + 0.977C2

(×8.629)

400 = –8.629C1 + 1.871C2

(×0.212)

6.9032 = 1.8293C1 + 8.4305C2 84.8 = –1.8293C1 + 0.3966C2 91.7032 = 8.8271C2 C2 = 10.3888 cm

C1 = –44.103 cm

Ecuación de posición: x(t) = –44.103cos(8.83t) + 10.3888 sen(8.83t) – 1.523cos20t

88

Vibración Armónica de 1 GDL

CAP. 4

Gráfico en MATLAB: >> t=0:0.01:5; >> x=-44.103.*cos (8.83.*t)+10.3888.*sin (8.83.*t)-1.523.*cos (20.*t); >> plot(t,x) >> xlabel('Tiempo (s)') >> ylabel('Desplazamiento (cm)') >> title('Gráfica x(t)= -44.103cos(8.83t)+10.3888 sen(8.83t)- 1.523cos(20t)') >> grid on

6. Hallar la ecuación de posición y la gráfica respectiva del sistema donde, el módulo de elasticidad del acero (E) es igual a 2×106 kgf/cm2, el momento de inercia I1 equivale a 8000 cm4, I2 a 40000 cm4, I3 a 20000 cm4 y la fuerza armónica F(t) = 1000cos(10t). q = 3500 k g f/m x = 0.4 cm

F(t) m

t=5s

4 m k2

8m k1

= 2 m/s 15 m

k3

a = 10 m

89

Dinámica Estructural - Volumen I

x

k1 k2 m

k3

Diagrama de cuerpo libre: x m

F(t)

x Fr

m

Cálculo del coeficiente de rigidez:

Cálculo de la masa:

Cálculo de la frecuencia natural:

90

F(t)

F(t)

Vibración Armónica de 1 GDL

CAP. 4

Ecuación del sistema: , donde:

, donde:

Reemplazando en Xh con t = 5s:

…(1) Derivando Xh:

…(2) Reemplazando en Xp con t = 5s:

Uniendo (1) en (2): 0.4 = –0.8239C1 – 0.5666C2

(×11.8176)

200 = 11.8176C1 – 17.1835C2

(×0.8239)

4.72704 = –9.7365C1 – 6.6958C2 164.78 = 9.7365C1 – 14.1575C2 169.507 = –20.8533C2 C2 = –8.1285 cm

C1 = 5.1045 cm

Ecuación de posición: x(t) = 5.1045 cos(20.855t) – 8.1285 sen(20.855t) + 0.0836 cos10t

91

Dinámica Estructural - Volumen I

Gráfico en MATLAB: >> t=0:0.01:5; >> x=5.1045.*cos (20.855.*t)-8.1285.*sin (20.855.*t)+0.0836.*cos (10.*t); >> plot(t,x) >> xlabel('Tiempo (s)') >> ylabel('Desplazamiento (cm)') >> title('Gráfica x(t)= 5.1045cos(20.855t)-8.1285 sen(20.855t)+0.0836cos(10t)') >> grid on

7. Hallar la ecuación de posición y la gráfica respectiva del sistema donde, el módulo de elasticidad del acero (E) es igual a 2×106 kgf/cm2, el momento de inercia I1 equivale a 10000 cm4, I2 a 15000 cm4 y la fuerza armónica F(t) = 5000cos(80t). q = 4000 k g f/m x = 0.6 cm

F(t) m

t=2s = 3 m/s

6m 8m

k2

k3

k1

a = 16 m

92

8m

Vibración Armónica de 1 GDL

CAP. 4

x

k1 k2

F(t)

m

k3

Diagrama de cuerpo libre: x m

F(t)

x Fr

m

F(t)

Cálculo del coeficiente de rigidez:

Cálculo de la masa:

Cálculo de la frecuencia natural:

Ecuación del sistema: , donde:

, donde:

Reemplazando en Xh con t = 2s:

…(1)

93

Dinámica Estructural - Volumen I Derivando Xh: …(2) Reemplazando en Xp con t = 2s:

Uniendo (1) en (2): 0.6 = 0.9976C1 + 0.0696C2

(×.4396)

300 = –0.4396C1 + 6.3027C2

(×0.9976)

0.26376 = 0.4385C1 + 0.0306C2 299.28 = –0.4385C1 + 6.2876C2 299.5437 = 6.3182C2 C2 = 47.4097 cm

C1 = –2.7062 cm

Ecuación de posición: x(t) = –2.7062 cos(6.318t) + 47.4097 sen(6.318t) – 0.012 cos80t

Gráfico en MATLAB: >> >> >> >> >> >> >>

94

t=0:0.01:5; x=-2.7062.*cos (6.318.*t)+47.4097.*sin (6.318.*t)-0.012.*cos (80.*t); plot(t,x) xlabel('Tiempo (s)') ylabel('Desplazamiento (cm)') title('Gráfica x(t)= -2.7062cos(6.318t)+47.4097 sen(6.318t)-0.012cos(80t)') grid on

Vibración Armónica de 1 GDL

CAP. 4

8. Hallar la ecuación de posición y la gráfica respectiva del sistema donde, el módulo de elasticidad del acero (E) es igual a 2×106 kgf/cm2, el momento de inercia I1 equivale a 20000 cm4, I2 a 80000 cm4 y la fuerza armónica F(t) = 3000cos(50t). q = 2500 k g f/m x = –0.5 cm

F(t) m

t=3s

8m

= 4 m/s

k2

15 m

15 m

k1

k3

a = 20 m x

k1 k2 m

k3

F(t)

Diagrama de cuerpo libre: x m

F(t)

x Fr

m

F(t)

Cálculo del coeficiente de rigidez:

95

Dinámica Estructural - Volumen I Cálculo de la masa:

Cálculo de la frecuencia natural:

Ecuación del sistema: , donde:

, donde:

Reemplazando en Xh con t = 3s:

…(1) Derivando Xh:

…(2) Reemplazando en Xp con t = 2s:

Uniendo (1) en (2): –0.5 = 0.7115C1 + 0.7027C2

(×3.1258)

400 = –3.1258C1 + 3.1652C2

(×0.7115)

–1.5629 = 2.224C1 + 2.1965C2 284.6 = –2.224C1 + 2.252C2 283.0371 = 4.4485C2 C2 = 63.625 cm

C1 = –63.541 cm

Ecuación de posición x(t) = –63.541 cos(4.4485t) + 63.625 sen(4.4485t) – 0.0237 cos50t

96

Vibración Armónica de 1 GDL

CAP. 4

Gráfico en MATLAB: >> t=0:0.01:10; >> x=-63.541.*cos (4.4485.*t)+63.625.*sin (4.4485.*t)-0.0237.*cos (50.*t); >> plot(t,x) >> xlabel('Tiempo (s)') >> ylabel('Desplazamiento (cm)') >> title('Gráfica x(t)= -63.541 cos(4.4485 t)+63.625 sen(4.4485 t)-0.0237cos(50t)') >> grid on

97

Dinámica Estructural - Volumen I 4.2 CON AMORTIGUACIÓN

k m C

La solución particular de la ecuación (1) es: …(2) Donde: X : amplitud : ángulo de desfase La determinación de X está dada por la siguiente ecuación: …(3)

Y el ángulo de fase: …(4) Se deben tener en cuenta las siguientes relaciones: a) Frecuencia natural

b) Razón de amortiguamiento

c) Deflexión estática debido a Fo

d) Razón de frecuencias

98

Vibración Armónica de 1 GDL

CAP. 4

Realizando los cambios respectivos en (3) y (4), obtenemos:

La ecuación homogénea depende los rangos que se le dé a ξ, vistos en los capítulos anteriores.

PROBLEMAS RESUELTOS CON AMORTIGUACIÓN 1. Hallar la ecuación de posición y la gráfica respectiva del sistema donde, la masa equivale a 10 kg, el coeficiente de rigidez (k1) es de 4000 N/m, el amortiguador C es 20 Ns/m y la fuerza armónica F(t) =100cos(10t). x

k m

x = 0.01 cm F(t)

t=0s = 0 m/s

C

Diagrama de cuerpo libre:

x Fr Fv

m

F(t)

Cálculo de la frecuencia natural:

Cálculo de la razón de amortiguamiento:

ξ < 1 → Subamortiguado

99

Dinámica Estructural - Volumen I Ecuación del sistema: ), donde: ecuación particular, depende de ξ , donde:

Ecuación de un subamortiguado:

Reemplazando en la frecuencia amortiguada (Wd) y el ángulo de fase (φ):

Reemplazando en la ecuación de un subamortiguado con t = 0s:

Reemplazando en Xp con t = 0s:

Ecuación de posición: x(t) = 0.01e–t sen(19.97t + 1.52) + 0.03cos(10t – 0.067)

100

Vibración Armónica de 1 GDL

CAP. 4

Gráfico en MATLAB: >> t=0:0.01:20; >> x=0.01.*exp(-1.*t).*sin(19.97.*t+1.52)+0.03.*cos (10.*t-0.067); >> plot(t,x) >> xlabel('Tiempo (s)') >> ylabel('Desplazamiento (m)') >> title('Gráfica x(t)= 0.01exp(-t)sen(19.97t+1.52)+0.03cos(10t-0.067)') >> grid on

2. Hallar la ecuación de posición y la gráfica respectiva del sistema donde, la masa equivale a 10kg, el coeficiente de rigidez (k1) es de 5000N/m, (k2) es de 10000, el amortiguador (C1) es 30Ns/m, (C2) es de 50Ns/m y la fuerza armónica F(t) = 300cos(25t).

k1

x

k2 m

C1

C2

x = 0.02 m F(t)

t=2s = 2 m/s

101

Dinámica Estructural - Volumen I Diagrama de cuerpo libre:

x Fr Fv

m

F(t)

Cálculo de la frecuencia natural:

Cálculo de la razón de amortiguamiento:

ξ < 1 → Subamortiguado Ecuación del sistema: , donde: ecuación particular, depende de ξ , donde:

Ecuación de un subamortiguado:

Reemplazando en la frecuencia amortiguada (Wd) y el ángulo de fase (φ):

102

Vibración Armónica de 1 GDL

CAP. 4

Reemplazando en la ecuación de un subamortiguado con t=2s:

Reemplazando en Xp:

Ecuación de posición: x(t) = –0.14e–0.913t sen(18.24t + 0.179) + 0.102 cos(25t – 0.159)

Gráfico en MATLAB: >> t=0:0.01:20; >> x=-0.14.*exp(-0.913.*t).*sin(18.24.*t+0.179)+0.102.*cos (25.*t-0.159); >> plot(t,x) >> xlabel('Tiempo (s)') >> ylabel('Desplazamiento (m)') >> title('Gráfica x(t)= -0.14exp(-0.913t)sen(18.24t+0.179)+0.102cos(2 5t-0.159)') >> grid on

103

Dinámica Estructural - Volumen I 3. Hallar la ecuación de posición y la gráfica respectiva del sistema donde, la masa equivale a 5kg, el coeficiente de rigidez (k1) es de 4000N/m, (k2) es de 8000, el amortiguador (C1) es 60Ns/m, (C2) es de 80Ns/m y la fuerza armónica F(t)=400cos(30t).

k1

x

C1 m

k2

x = 0.04 m F(t)

t=4s = 4 m/s

C2

Diagrama de cuerpo libre: x Fr Fv

m

F(t)

Cálculo de la frecuencia natural:

Cálculo de la razón de amortiguamiento:

ξ < 1 → Subamortiguado Ecuación del sistema: , donde: ecuación particular, depende de ξ , donde:

Ecuación de un subamortiguado:

104

Vibración Armónica de 1 GDL

CAP. 4

Reemplazando en la frecuencia amortiguada (Wd) y el ángulo de fase (φ):

Reemplazando en la ecuación de un subamortiguado con t=4s:

Reemplazando en Xp:

Ecuación de posición: x(t)=1.54×1024 e–14.21t sen(46.88t+1.1) + 0.046cos(30t – 0.51) Gráfico en MATLAB: >> t=0:0.01:2; >> x=1.54.*10^24.*exp(-14.21.*t).*sin(46.88.*t+1.1)+0.046.*cos (30.*t-0.51); >> plot(t,x) >> xlabel('Tiempo (s)') >> ylabel('Desplazamiento (m)') >> title('Gráfica x(t)= 1.54x10^24exp(-14.21t)sen(46.88t+1.1)+0.046cos (30t-0.51)') >> grid on

105

Dinámica Estructural - Volumen I 4. Hallar la ecuación de posición y la gráfica respectiva del sistema donde, la masa equivale a 10kg, el coeficiente de rigidez (k1) es de 800N/m, (k2) es de 1200, (k3) es de 1600, el amortiguador (C1) es 120Ns/m, (C2) es de 150Ns/m y la fuerza armónica F(t)=200cos(15t).

k1

k2

x

k3 m

C1

x = –0.05 m F(t)

t=6s = 2 m/s

C2

Diagrama de cuerpo libre:

x Fr Fv

m

F(t)

Cálculo de la frecuencia natural:

Cálculo de la razón de amortiguamiento:

ξ < 1 → Subamortiguado Ecuación del sistema: , donde: ecuación particular, depende de ξ , donde:

106

Vibración Armónica de 1 GDL

CAP. 4

Ecuación de un subamortiguado:

Reemplazando en la frecuencia amortiguada (Wd) y el ángulo de fase (φ):

Reemplazando en la ecuación de un subamortiguado con t=6s:

Reemplazando en Xp:

Ecuación de posición: x(t) = 29418911.68e–3.34t sen(5.08t – 0.138) + 0.09cos(15t + 0.49)

107

Dinámica Estructural - Volumen I

Gráfico en MATLAB: >> t=0:0.01:10; >> x=29418911.68.*exp(-3.34.*t).*sin(5.08.*t-0.138)+0.09.*cos(15.*t+0.49); >> plot(t,x) >> xlabel('Tiempo (s)') >> ylabel('Desplazamiento (m)') >> title('Gráfica x(t)= 29418911.68exp(-3.34t)sen(5.08t-0.138)+0.09cos (15t+0.49)') >> grid on

5. Hallar la ecuación de posición y la gráfica respectiva del sistema donde, el módulo de elasticidad del acero (E) es igual a 2×106 kgf/cm2, el momento de inercia I1 equivale a 6000 cm4, I2 a 18000 cm4 y la fuerza armónica F(t) = 5000cos(30t). q = 3200 k g f/m F(t) m

x = 0.4 cm t=4s

10 m

10 m

k1

= 2 m/s

k2 β = 20% = 0.2 a = 12 m

108

Vibración Armónica de 1 GDL

CAP. 4

x

k1 k2

m

F(t)

C

Diagrama de cuerpo libre:

x Fr Fv

m

F(t)

Cálculo del coeficiente de rigidez:

Cálculo de la masa:

Cálculo de la frecuencia natural:

Cálculo del amortiguador C

β > t=0:0.01:20; >> x=-6.41.*exp(-0.508.*t).*sin(2.48.*t+4.95.*10.^-3)+0.14.*cos(30.*t-0.03); >> plot(t,x) >> xlabel('Tiempo (s)') >> ylabel('Desplazamiento (cm)') >> title('Gráfica x(t)=-6.41exp(-0.508t)sin(2.48t+4.95x10^-3)+0.14cos(30t-0.03)') >> grid on

6. Hallar la ecuación de posición y la gráfica respectiva del sistema donde, el módulo de elasticidad del acero (E) es igual a 2×106 kgf/cm2, el momento de inercia I1 equivale a 4000 cm4, I2 a 16000 cm4 y la fuerza armónica F(t) = 6000cos(10t). q = 4000 k g f/m F(t) m

x = 1.5 cm

4m

t=3s 10 m

k1 k2

= 3 m/s

k2 β = 5% = 0.05

a = 12 m

a=4m

111

Dinámica Estructural - Volumen I

x

k1 k2

m C

Diagrama de cuerpo libre:

x Fr Fv

m

F(t)

Cálculo del coeficiente de rigidez:

Cálculo de la masa:

Cálculo de la frecuencia natural:

Cálculo del amortiguador C

β > >> >> >> >> >> >>

t=0:0.01:60; x=-4.67.*exp(-0.2545.*t).*sin(5.09.*t+0.025)+1.24.*cos(10.*t+0.069); plot(t,x) xlabel('Tiempo (s)') ylabel('Desplazamiento (cm)') title('Gráfica x(t)=-4.67exp(-0.2545t)sin(5.09t+0.025)+1.24cos(10t+0.069)') grid on

7. Hallar la ecuación de posición y la gráfica respectiva del sistema donde, el módulo de elasticidad del acero (E) es igual a 2×106 kgf/cm2, el momento de inercia I1 equivale a 6000 cm4, I2 a 12000 cm4, I3 a 8000 cm4 y la fuerza armónica F(t) = 5000cos(15t). q = 3500 k g f/m F(t) m

x = 0.8 cm

4m

t=5s k1

k1 a=8m

k2

10 m

a=4m k3

a=4m

114

= 2 m/s

β = 12% = 0.12

Vibración Armónica de 1 GDL

CAP. 4

x

k1 k2 m k3

F(t)

C

Diagrama de cuerpo libre:

x Fr Fv

m

F(t)

Cálculo del coeficiente de rigidez:

Cálculo de la masa:

Cálculo de la frecuencia natural:

Cálculo del amortiguador C

β > t=0:0.01:10; >> x=-452.34.*exp(-1.1964.*t).*sin(9.89.*t+0.039)+0.67.*cos(15.*t+0.28); >> plot(t,x) >> xlabel('Tiempo (s)') >> ylabel('Desplazamiento (cm)') >> title('Gráfica x(t)=-452.34exp(-1.1964t)sin(9.89t+0.039)+ 0.67cos(15t+0.28)') >> grid on

8. Hallar la ecuación de posición y la gráfica respectiva del sistema donde, la carga q es 60x2 el módulo de elasticidad del acero (E) es igual a 2×106 kgf/cm2, el momento de inercia I1 equivale a 3000 cm4, I2 a 3500 cm4, I3 a 5000 cm4 y la fuerza armónica F(t) = 15000cos(20t). q F(t)

x = 5 cm

m t=2s

= 2 m/s 10 m

10 m

10 m k2

k1

k3 β = 6% = 0.06

a=6m

a=4m

117

Dinámica Estructural - Volumen I

x

k1 k2 m k3

C

Diagrama de cuerpo libre:

x Fr Fv

m

F(t)

Cálculo del coeficiente de rigidez:

Cálculo de la masa:

Cálculo de la frecuencia natural:

Cálculo del amortiguador C

β > t=0:0.01:60; >> x=-6.92.*exp(-0.14736.*t).*sin(2.45.*t+0.06)+1.87.*cos(20.*t+0.015); >> plot(t,x) >> xlabel('Tiempo (s)') >> ylabel('Desplazamiento (cm)') >> title('Gráfica x(t)=-6.92exp(-0.14736t)sin(2.45t+0.06)+1.87cos(20t+0.015)') >> grid on

120

CAPÍTULO

5

LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

La Transformada de Laplace

CAP. 5

5.1 FUNCIÓN TRANSFORMADAS DE LAPLACE La definición es un tanto compleja: dada una función temporal continua f(t) se define su función transformada de Laplace F(s), se suele considerar la mayúscula para designarla y un argumento s, mediante la expresión: s∈C Siendo s la variable compleja con parte real σ y compleja w,

.

Con esta función se consigue algo importante que facilitará la resolución de las ecuaciones diferenciales lineales que se suele introducir como una propiedad de esta función matemática.

Representando el valor de la derivada temporal j-ésima de la función f en el instante inicial, y s j la potencia j-ésima de la variable s. De aquí se deduce la utilidad y el por qué de la consideración de esta función. Como parece claro transforma una ecuación diferencial lineal de orden n en una ecuación lineal en s n , para cuya resolución se pueden emplear los métodos conocidos de este tipo de ecuaciones. Cabe señalar que el segundo término de la expresión anterior que agrupa potencias de s cuyos coeficientes son valores de funciones en el instante inicial serán cero si se asume que el sistema parte del equilibrio, es decir, inicialmente está en reposo, cuestión ésta que asumiremos como cierto en este curso. Obsérvese que la ecuación la resolveremos en el dominio complejo de la variable s. Otras propiedades interesantes de esta función transformada son: • Es una función L: t → s biunívoca de tal manera que a una función temporal le corresponde una única función en el dominio de Laplace y viceversa. • Es una función lineal. Cumple las propiedades de homogeneidad y superposición. Así pues suponiendo la notación ,y , se verificará que:

• Multiplicación por exponencial. • Traslación temporal. Esta Propiedad también es de suma importancia y muy utilizada para modelar retrasos temporales.

Es decir que si se tiene una función que comienza en el instante D, en definitiva se está diciendo que , en el dominio complejo de Laplace equivale a considerar una función exponencial que materializa dicho retraso. Así pues, cuando se tengan sistemas con retraso de respuesta, es decir, que como ya se explicará, no respondan de manera instantánea a una causa o entrada, se deberá acudir a esta exponencial para reflejarlo.

123

Dinámica Estructural - Volumen I Ejemplo:

T

y(t)

TRANSFORMADA DE LAPLACE DE ALGUNAS FUNCIONES TÍPICAS Escalón (Variacion brusca) de amplitud A. ∀t > 0

Rampa de velocidad unitaria:

Exponencial:

CÁLCULO DE LA TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE A continuación se dan una serie de recomendaciones para facilitar la antitransformación. Como habitualmente suele sucede, se partirá de una función racional, esto es de una relación de polinomios en denominador y numerador. En función de la forma del denominador se procederá a considerar diversas alternativas que recogen la totalidad de los casos. No hay que perder de vista que tdo este procedimiento se lleva a cabo con la intención de poder descomponer la función en el dominio s en funciones mpas elementales cuya antitransformada sea fácilmente conocida (incluyendo el posible uso de tablas) o deducible. Cuando se utilice la antitransformación, también se podrá aplicar la propiedad de linealidad:

Básicamente el procedimiento consiste en obtener las raíces del polinomio denominador y en función de su forma descomponer de una cierta manera la función global asumiendo fracciones parciales cuyos numeradores reciben el nombre de residuos (de la raíz cuya fracción se está considerando).

124

La Transformada de Laplace

CAP. 5

De ahora en adelante, se considerará la notacion:

• Si las raíces de D(s) son reales y simples:

A cada Ai se le conoce por el residuo de la raíz pi • Si D(s) presenta una raíz multiple en pi , la descomposición correspondiente a esta singularidad resulta ser:

• Si D(s) presenta raíces complejas conjugada sencillas:

(por

se entiende el complejo conjugado de

)

• Si se presentaran polos complejos conjugados, se procedería como su fueran parea reales múltiplos, pero operando con números complejos en lugar de reales. Lógicamente se presentaría una mayor dificultad en el cálculo. De cualquier forma es bastante extraño que se nos de este caso en la práctica.

125

Dinámica Estructural - Volumen I

FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA Cuando se pretende crontar con algún método general para la representación de sistemas existen varias alternativas. Se seguirá la propuesta por N. Wiener, padre de la Cibernética, según la cual, dada la dificultad de enteder de manera profunda el comportamiento y estructura específica del sistema que se modela, se acude a la llamada caja negra, en la que tal y como se quiere hacer notar, se atiende exclusivamente a los fines del sistema con relación al entorno en el que funciona y evoluciona. No hay sentido de estructura interna, sino que más bien se interpreta al sistema como “medio de transmisión” o de comunicación de tal forma que el interés reside en saber cómo evolucionará la salida ante un determinado cambio de entrada. De esta forma surge inmediatamente el concepto de función de transferencia como relación entre las señales de entrada y salida. y además en el dominio de Laplace. Así pues partiendo de la expresión que se planteó relativa a la ecuación diferencial lineal que caracterizabael comportamiento del sistema relacionando la salida y con la entrada u, si a ésta se le transforma al dominio de la Laplace, se obtendrá:

De esta forma se alcanza otra particularidad que también resulta de suma importancia e interés, y es que al llevar cualquier ecuacuión diferencial a la forma de función de transferencia, se alcanza un sentido de universalidad de tal manera que independientemente de la naturaleza del problema (eléctrico, mecánico,…) se tendrán funciones de transferencia a las que se les podrá aplicar conceptos comunes a todas ellas, además de inferir conclusiones también comunes. Algunos de estos conceptos pueden ser: Orden del sistema: es el grado del polinomio del denominador de la fdt. Óbservese que el grado es igual al máximo orden de las derivada de la señal de salida. Ecuación característica: Ecuación que resulta de igualar a cer el denominador de la fdt. Polos del sistema: son las raíces de la ecuación característica. Ceros del sistema: de forma análoga, son la raíces del polinomio numerador igualado a cero. Tipo de un sistema: con relación a un sistema en lazo abierto, (fdt de lazo abierto) representa el número de polos en el origen. Tienen importancia a la hora de determinar el error (la precisión) en una configuración en lazo cerrado

126

La Transformada de Laplace

CAP. 5

Tabla: Trasformada de Laplace, algunas propiedades elementales. F(t)

Condición

1

s>0

t

s>0

tn n = 0, 1, 2, …

s>0

e at

s>a

sin at

s>0

cos at

s>0

sinh at

s>0

cosh at

s>0

a≠b a≠b

127

Dinámica Estructural - Volumen I 5.2 PROBLEMAS RESUELTOS DE TRANSFORMADAS DE LAPLACE 1.

Analizando cada uno de los términos en el cuadro mostrado: L1

L2

Aplicando MATLAB para obtener la solución: >>syms s >> h= (1/s)+(2/(s-3))+(1/(s-3)) >>laplace (h) >>pretty (ans)

La cual coincide con la respuesta obtenida manualmente. Para hallar la gráfica en MAT LAB:

128

L3

La Transformada de Laplace

CAP. 5

>> s= -8:0.01:8; >> h= (1./s)+2./(s-3)+1./(s-6); >> plot (s,h) >>grid on

2.

129

Dinámica Estructural - Volumen I Aplicando MATLAB para obtener la solución: >>syms s >> h= 1/((s-3)^2) >>laplace(h) >> pretty (ans)

La cual coincide con la respuesta obtenida manualmente. Para hallar la gráfica en MAT LAB: >> s=0:0.01:5; >> h= 1./((s-3).^2); >> plot (s,h) >>grid on

3. De la tabla, utilizamos:

130

La Transformada de Laplace

CAP. 5

Aplicando MATLAB para obtener la solución: >>syms s >> h=2/(s^2+s*s+2) >>laplace(h) >> pretty (ans)

La cual coincide con la respuesta obtenida manualmente. Para hallar la gráfica en MATLAB: >> s= -5:0.01:5; >> h= 2./(s.^2+2.*s+2); >> plot (s,h) >>grid on

131

Dinámica Estructural - Volumen I 4. De la tabla, utilizamos:

Aplicando MATLAB para obtener la solución: >>syms s >> h=2880/(s^7) >>laplace(h) >> pretty (ans)

La cual coincide con la respuesta obtenida manualmente. Para hallar la gráfica en MATLAB: >> s= -5:0.01:5; >> h= 2880./(1./s.^7); >> plot (s,h) >>grid on

132

La Transformada de Laplace

CAP. 5

5.

Aplicando MATLAB para obtener la solución: >>syms s >> h=(6*(s^2)+13*(s^3))/s^5 >>laplace (h) >> pretty (ans)

La cual coincide con la respuesta obtenida manualmente. Para hallar la gráfica en MATLAB: >> s= -3:0.01:3; >>h= (6.*(s.^2)+13.*(s.^3))./s.^5; >> plot (s,h) >>grid on

133

Dinámica Estructural - Volumen I 6.

Aplicando MATLAB para obtener la solución: >>syms s >>h=((-8/s^3)+16/s^2+9/s) >>laplace(h) >>pretty (ans)

La cual coincide con la respuesta obtenida manualmente. Para hallar la gráfica en MATLAB: >> s= -10:0.01:10; >> h=((-8./s.^3)+16./s.^2+9./s); >> plot (s,h) >>grid on

134

La Transformada de Laplace

CAP. 5

7.

Aplicando MATLAB para obtener la solución: >>syms s >>h= 6/s^4+12/s^3+12/s^2+8/s >>laplace (h) >> pretty (ans)

La cual coincide con la respuesta obtenida manualmente. Para hallar la gráfica en MATLAB: >> s= -10:0.01:10; >>h= 6./s.^4+12./s.^3+12./s.^2+8./s; >> plot (s,h) >>grid on

135

Dinámica Estructural - Volumen I 8.

Aplicando MATLAB para obtener la solución: >>syms s >> h= 1/s+2/s-3+1/s-6 >>laplace (h) >> pretty (ans)

La cual coincide con la respuesta obtenida manualmente. Para hallar la gráfica en MATLAB: >>s=-5:0.01:5; >> h= 4./s-9./t; >> plot(s,h) >>grid on

136

La Transformada de Laplace

CAP. 5

9.

Aplicando MATLAB para obtener la solución: >>syms s >>h=(36-(14*(s^2)))/(s^2*(s^2+9)) >>laplace (h) >> pretty (ans)

La cual coincide con la respuesta obtenida manualmente. Para hallar la gráfica en MATLAB: >>s= -5:0.01:5; >> h=(36-(14.*(s.^2)))./(s.^2.*(s.^2+9)); >> plot (s,h) >>grid on

137

Dinámica Estructural - Volumen I 5.3 DETERMINAR LA INVERSA DE LAPLACE Y GRAFICAR LAS RESPECTIVAS SOLUCIONES DE LAS FUNCIONES H 1. Aplicando la inversa de Laplace:

La solución y gráfica respectiva se obtendrá con la ayuda de MAT LAB: >>syms s >> H=1/(4*s^2+1); >>ilaplace (H) ans =sin(t/2)/2 >> t=0:0.01:20; >> H=sin (t./2)./2; >> plot (t, H) >>grid on

138

La Transformada de Laplace

CAP. 5

2. Aplicando la inversa de Laplace:

La solución y gráfica respectiva se obtendrá con la ayuda de MAT LAB: >>syms s >> h=1/(s^2-16) h = 1/(s^2 - 16) >>ilaplace (h) ans = exp(4*t)/8 - 1/(8*exp(4*t)) >> t=0:0.01:5; >> x=exp(4.*t)./8-1./(8.*exp(4.*t)); >>plot(t,x) >>grid on

139

Dinámica Estructural - Volumen I

3. Aplicando la inversa de Laplace:

La solución y gráfica respectiva se obtendrá con la ayuda de MAT LAB: >>syms s >> y=10*s/(s^2-25); >>ilaplace(y) ans =5/exp(5*t) + 5*exp(5*t) >> t=0:0.01:15; >> y=5./exp(5.*t)+5.*exp(5.*t); >>plot(t,y) >>grid on

140

La Transformada de Laplace

CAP. 5

4. Aplicando la inversa de Laplace:

La solución y gráfica respectiva se obtendrá con la ayuda de MAT LAB: >>syms s >> h=(2*s-6)/(s^2+9) h = (2*s - 6)/(s^2 + 9) >>ilaplace(h) ans =2*cos(3*t) - 2*sin(3*t) >> t=-1:0.01:5; >> h=2.*cos(3.*t)-2.*sin(3.*t); >>plot(t,h) >>grid on

141

Dinámica Estructural - Volumen I

5. Aplicando la inversa de Laplace:

La solución y gráfica respectiva se obtendrá con la ayuda de MAT LAB: >>syms s >> h=(s+1)/(s^2+2); >>ilaplace(h) ans =- (2^(1/2)*(- 1 + 2^(1/2)*i)*(cos(2^(1/2)*t) - sin(2^(1/2)*t)*i)*i)/4 - (2^(1/2)*(1 + 2^(1/2)*i)*(cos(2^(1/2)*t) + sin(2^(1/2)*t)*i)*i)/4 >> t=0:0.01:20; >> h=(2.^(1./2).*(1. + 2.^(1./2).*i)*(cos(2.^(1./2).*t) sin(2.^(1./2).*t)*i)*i)/4. - (2.^(1./2).*(1. + 2.^(1./2).*i)*(cos(2.^(1./ 2).*t) + sin(2.^(1./2).*t)*i)*i)/4; >>plot(t,h) >>grid on

142

La Transformada de Laplace

CAP. 5

6. Aplicando la inversa de Laplace:

La solución y gráfica respectiva se obtendrá con la ayuda de MAT LAB: >>syms s >> h=1/(s^2+3*s) >>ilaplace(h) ans =1/3 - 1/(3*exp(3*t)) >> t=1:0.01:5; >> x=1./3-1./(3.*exp(3.*t)); >>plot(t,x) >>grid on

143

Dinámica Estructural - Volumen I

7. Aplicando la inversa de Laplace:

La solución y gráfica respectiva se obtendrá con la ayuda de MAT LAB: >>syms s >> h=(s+1)/(s^2-4*s); >>ilaplace(h) ans = (5*exp(4*t))/4 - 1/4 >> t=0.5:0.01:12; >> h=(5.*exp(4.*t))/4 - 1./4; >>plot(t,h) >>grid on

144

La Transformada de Laplace

CAP. 5

8. Aplicando la inversa de Laplace:

La solución y gráfica respectiva se obtendrá con la ayuda de MAT LAB: >>syms s >> h=s/(s^2+s*2-3) >>ilaplace (h) ans =3/(4*exp(3*t)) + exp(t)/4 >> t=1:0.05:10; >> h=3./(4.*exp(3.*t))+exp(t)./4; >> plot (t,h) >>grid on

145

Dinámica Estructural - Volumen I

9. Aplicando la inversa de Laplace:

La solución y gráfica respectiva se obtendrá con la ayuda de MAT LAB: >>syms s >> h=1/(s^2+s-20); >>ilaplace(h) ans = exp(4*t)/9 - 1/(9*exp(5*t)) >> t=0.4:0.01:16; >>h=exp(4.*t)/9. - 1./(9.*exp(5.*t)); >>plot(t,h) >>grid on

146

La Transformada de Laplace

CAP. 5

10. Aplicando la inversa de Laplace:

La solución y gráfica respectiva se obtendrá con la ayuda de MAT LAB: >>syms s >> h=(2*s+4)/((s-2)*(s^2+4*s+s)) >>ilaplace (h) ans =(4*exp(2*t))/7 - 6/(35*exp(5*t)) - 2/5 >> t=1:0.04:10; >> h=(4.*exp(2.*t))./7-6./(35.*exp(5.*t))-2./5; >>plot(t,h); >>grid on

147

Dinámica Estructural - Volumen I

11. Aplicando la inversa de Laplace:

La solución y gráfica respectiva se obtendrá con la ayuda de MAT LAB: >>syms s >> h=(s+1)/(s^2-4*s)*(s+5); >>ilaplace(h) ans =(45*exp(4*t))/4 + dirac(t) - 5/4 >> t=0.5:0.01:18; >> h=(45.*exp(4.*t))/4. + dirac(t) - 5./4; >>plot(t,h) >>grid on

148

La Transformada de Laplace

CAP. 5

12. Aplicando la inversa de Laplace:

La solución y gráfica respectiva se obtendrá con la ayuda de MAT LAB: >>syms s >> h=1/(s^2*(s^2+4)) >>ilaplace (h) ans =t/4 - sin(2*t)/8 >> t=-5:0.01:1; >> x=t./4-sin(2.*t)./8; >>plot(t,x) >>grid on

149

Dinámica Estructural - Volumen I

13. Aplicando la inversa de Laplace:

La solución y gráfica respectiva se obtendrá con la ayuda de MAT LAB: >>syms s >> x=(s-1)/(s^2*(s^2+1)); >>ilaplace(x) ans =sin(t) - cos(t) - t + 1 >> t=0.6:0.01:20; >> x=sin(t) - cos(t) - t + 1; >>plot(t,x) >>grid on

150

La Transformada de Laplace

CAP. 5

14. Aplicando la inversa de Laplace:

La solución y gráfica respectiva se obtendrá con la ayuda de MAT LAB: >>syms s >> h= s/((s^2-4)*(s+2)) >>ilaplace (h) ans =exp(2*t)/8 - 1/(8*exp(2*t)) + t/(2*exp(2*t)) >> t=1:0.03:5; >> x=exp(2.*t)./8-1./(8.*exp(2.*t))+t./(2.*exp(2.*t)); >>plot(t,x) >>grid on

151

Dinámica Estructural - Volumen I

15. Aplicando la inversa de Laplace:

La solución y gráfica respectiva se obtendrá con la ayuda de MAT LAB: >>syms s >> y=1/(s^4-9); >>ilaplace(y) ans =(3^(1/2)*sinh(3^(1/2)*t))/18 - (3^(1/2)*sin(3^(1/2)*t))/18 >> t=0:0.01:14; >> y=(3.^(1./2).*sinh(3.^(1./2).*t))/18. - (3.^(1./2).*sin(3.^(1./2).*t))/18; >>plot(t,y) >>grid on

152

CAPÍTULO

6

APLICACIONES CON LAPLACE Y SIMULINK

Aplicaciones con Laplace y Simulink

CAP. 6

6.1 PROBLEMAS RESUELTOS EJERCICIO N° 01 Se tiene el siguiente sistema masa amortiguador, el cual oscila horizontalmente. Determinar la posición aplicando la función de transferencia. Los datos del sistema se encuentran a la derecha del mismo. Además realizar la gráfica respectiva con MATLAB. x K

K = 250 N/m m

C

P

C = 50 Ns/m m = 25 Kg P = 40 N

Solución: Aplicando la segunda ley de Newton:

Con condiciones iniciales =0 Aplicando la transformada de Laplace:

En el programa MATLAB >>syms s >> x=40/(s*(25*s^2+50*s+250)); >>ilaplace (x) ans = 4/25 - (4*(cos (3*t) + sin (3*t)/3))/ (25*exp (t)) >> pretty (ans)

155

Dinámica Estructural - Volumen I Ingresar en el MATLAB lo que aparece en el cuadro superior, presionar enter y debe resultar lo siguiente:

Es decir, la respuesta es:

Para visualizar la gráfica de esta respuesta, usamos MATLAB: >> t=-1:0.01:10; >>x=4./25-(4.*(cos(3.*t)+sin(3.*t)./3))./(25.*exp(t)); >>plot (t,x) >> xlabel('Tiempo (s)') >> ylabel('Desplazamiento (m)') >>grid on

Donde: T= Es el dominio de la función, en este caso es el tiempo, se ha considerado desde –1 hasta 10 segundos para poder observar la gráfica en dicho intervalo, es importante recordar que no hay eventos que se realicen en tiempos negativos, solo es para visualizar en este caso.

156

Aplicaciones con Laplace y Simulink

CAP. 6

X= Es la respuesta de la función de transferencia, en este caso está en el dominio del tiempo. PLOT= Es el comando de MATLAB que permite que se grafique la función en el dominio del tiempo y se pueda observar. GRID ON= Permite que aparezca un mallado o reticulado en la gráfica a manera de cuadrículas para mejor observación de la misma. Gráfica con simulink: 1. Ir a Matlab ©. 2. Entrar a Simulation

3. Abrir hoja Nuevo 4. Escoger STEP, TRANSFER FCN, SCOPE

5. Entrar a Simulation, configuration parameters

157

Dinámica Estructural - Volumen I 6. Cambiar el Max step size a 0.01

7. Cambiar función de transferencia (dar click en el icono de transfer fnc)

158

Aplicaciones con Laplace y Simulink

CAP. 6

8. Ok. Play y doble click en Scope

9. Por último, click en autoscale para ampliar la gráfica

10. Gráfico

159

Dinámica Estructural - Volumen I EJERCICIO N° 02 x K1 = 400 N/m

C

K2 = 800 N/m K3

K3 = 1200 N/m m

K1

P

K2

C = 150 Ns/m m = 30 Kg P = 100 N

Solución:

Como se tienen dos resortes en serie, estos se suman en forma inversa:

Con condiciones iniciales =0

En el programa MATLAB >>syms s >> x=100/(s*(30*s^2+150*s+1/1200+1200)); >>ilaplace(x) ans = 120000/1440001 (120000*(cos((10^(1/2)*1215001^(1/2)*t)/600) + (150*10^(1/2)*1215001^(1/2)*sin((10^(1/2)*1215001^(1/2) *t)/600))/1215001))/(1440001*exp((5*t)/2)) >>pretty(ans)

160

Aplicaciones con Laplace y Simulink

CAP. 6

Ingresar en el MatLab lo que aparece en el cuadro superior, presionar enter y debe resultar lo siguiente:

Es decir la respuesta es

GRÁFICO Nº 02 >> t=0:0.01:20; >> x= 120000./1440001 - (120000.*(cos((10.^(1./2).*1215001.^(1./2). *t)/600) + (150.*10.^(1./2).*1215001.^(1./2).*sin((10.^(1./2).*1215001.^ (1./2).*t)/600))./1215001))./(1440001.*exp((5.*t)./2)); >>plot (t, x) >>xlabel('Tiempo (s)') >> ylabel('Desplazamiento (m)') >>grid on

161

Dinámica Estructural - Volumen I Gráfica con simulink:

EJERCICIO Nº 03 x

K m C1

C2

K = 500 N/m P

C1 = 80 Ns/m C2 = 100 Ns/m m = 20 Kg P = 150 N

Solución:

Con condiciones iniciales =0

162

Aplicaciones con Laplace y Simulink

CAP. 6

En el programa MATLAB syms s >> x=150/(s*(20*s^2+1/180*s+500)); >>ilaplace(x) ans = 3/10 - (3*(cos ((1295999999^ (1/2)*t)/7200) + (1295999999^ (1/2)*sin ((1295999999^ (1/2)*t)/7200))/1295999999))/ (10*exp (t/7200)) >> pretty (ans)

Ingresar en el MatLab lo que aparece en el cuadro superior, presionar enter y debe resultar lo siguiente:

Es decir la respuesta es

163

Dinámica Estructural - Volumen I GRÁFICO Nº 03 >> t=1:0.01:10; >> x=3/10 - (3.*(cos((1295999999.^(1./2).*t)./7200) + (1295999999.^(1./2).*si n((1295999999.^(1./2).*t)./7200))./1295999999))./(10.*exp(t./7200)); >>plot (t,x) >> xlabel('Tiempo (s)') >> ylabel('Desplazamiento (m)') >>grid on

Gráfica con simulink:

164

Aplicaciones con Laplace y Simulink

CAP. 6

6.2 PROBLEMAS CON MARCOS TRIDIMENSIONALES EJERCICIO Nº 04 q = 3200 k g f/m F(t) m

10 m

10 m

k1

k2

a = 12 m Solución:

Con condiciones iniciales =0

Aplicando tabla de la inversa de Laplace, se tiene:

Cálculo del coeficiente de rigidez:

165

Dinámica Estructural - Volumen I Cálculo de la masa:

Cálculo de la frecuencia natural:

Cálculo del amortiguador C

β >syms s >> h=((5000)*(s/(s^2+900)))/(39.1437*s^2+39.77*s+252); >>ilaplace (h) ans = ( 6 1 5 4 1 0 9 4 2 0 2 9 7 4 4 6 6 9 1 5 9 2 2 7 1 2 9 8 5 6 0 0 0 0 0 * s i n ( 3 0 *t))/12635624079977144813928158957390291547 ( 6 0 1 3 8 6 6 2 8 8 0 9 6 9 0 4 5 7 6 5 6 0 6 9 7 1 8 0 1 6 0 0 0 0 0 0 * c o s ( 3 0 *t))/4211874693325714937976052985796763849 + (601386628809690457656069718016000000*(cos((16777216 *416442191759531864246^(1/2)*t)/137724650573361325) (289222912255502301641834496*416442191759531864246^(1/2)*si n ( ( 1 6 7 7 7 2 1 6 * 4 1 6 4 4 2 1 9 1 7 5 9 5 3 1 8 6 4 2 4 6 ^ ( 1 / 2 ) *t)/137724650573361325))/28472046073646143160036422508829533567))/ (4211874693325714937976052985796763849*exp((69964123898642432 *t)/137724650573361325)) >> pretty (ans)

166

Aplicaciones con Laplace y Simulink

CAP. 6

GRÁFICO Nº 04 >> t=0:0.01:20; >> x=((61541094202974466915922712985600000.*sin( 30.*t))./12635624079977144813928158957390291547 (601386628809690457656069718016000000.*cos(30 .*t))./4211874693325714937976052985796763849 + (601386628809690457656069718016000000.*(cos((16777216.* 416442191759531864246.^(1/2).*t)./137724650573361325) (289222912255502301641834496.*416442191759531864246.^(1/2).*sin((16777216 .*416442191759531864246.^(1/2).*t)./137724650573361325))./28472046073646143160036422508829533567))./(4211874693325714937976052985796763849.*exp((6 9964123898642432.*t)./137724650573361325))); >>plot(t,x) >> xlabel('Tiempo (s)') >> ylabel('Desplazamiento (cm)') >>grid on

Gráfica con simulink:

167

Dinámica Estructural - Volumen I EJERCICIO Nº 05 q = 4000 k g f/m F(t) m 4m 10 m

k1 k2

a = 12 m

a=4m

Solución:

Con condiciones iniciales =0

Aplicando tabla de la inversa de Laplace, se tiene:

Cálculo del coeficiente de rigidez:

Cálculo de la masa:

168

k2

β = 5% = 0.05

Aplicaciones con Laplace y Simulink

CAP. 6

Cálculo de la frecuencia natural:

Cálculo del amortiguador C

β >syms s >> h=((6000*s)/(s^2+100))/(65.24*s^2+33.21*s+1692); >>ilaplace (h) ans = (199260000*sin(10*t))/2345851441 (2899200000*cos(10 *t))/2345851441 + (2899200000*(cos((3*489379351^(1/2) *t)/13048) (1136889*489379351^(1/2)*sin((3*489379351^(1/2) *t)/13048))/295585128004))/(2345851441*exp((3321*t)/13048)) >> pretty (ans) Ingresar en el MatLab lo que aparece en el cuadro superior, presionar enter y debe resultar lo siguiente:

169

Dinámica Estructural - Volumen I GRÁFICO Nº 05 >> t=0:0.01:60; >> x=(199260000.*sin(10.*t))./2345851441 (2899200000.*cos( 10.*t))./2345851441 + (2899200000.*(cos((3.*489379351.^(1/2). *t)./13048) (1136889.*489379351.^(1/2).*sin((3.*489379351.^(1/2). *t)./13048))./295585128004))./(2345851441.*exp((3321.*t)./13048)); >>plot (t,x) >> xlabel('Tiempo (s)') >> ylabel('Desplazamiento (cm)') >>grid on

Gráfica con simulink:

170

Aplicaciones con Laplace y Simulink

CAP. 6

EJERCICIO Nº 06 q = 3500 k g f/m F(t) m 4m

4m k1

k1 a=8m

4m k2

10 m

a=4m k3 β = 12% = 0.12 a=4m

SOLUCIÓN:

Con condiciones iniciales =0

Aplicando tabla de la inversa de Laplace, se tiene:

Cálculo del coeficiente de rigidez:

171

Dinámica Estructural - Volumen I Cálculo de la masa:

Cálculo de la frecuencia natural:

Cálculo del amortiguador C

β >syms s >> h=((5000*(s/(s^2+225)))/(57.08*s^2+136.58*s+5673)); >>ilaplace (h) ans = (341450000*sin(15*t))/1853535723 (1195000000*cos(15*t))/1853535723 + (1195000000*(cos((3191513159^(1/2)*t)/5708) (21074294*3191513159^(1/2)*sin((3191513159^(1/2)*t)/5708)) /3813858225005))/(1853535723*exp((6829*t)/5708)) >> pretty (ans) Ingresar en el MatLab lo que aparece en el cuadro superior, presionar enter y debe resultar lo siguiente:

172

Aplicaciones con Laplace y Simulink

CAP. 6

GRÁFICO Nº 06 >> t=0:0.01:10; >> x=((341450000.*sin(15.*t))./1853535723 (1195000000.*cos(15.*t))./1853535723 + (1195000000.*(cos((3191513159.^(1/2).*t)./5708) (21074294.*3191513159.^(1/2).*sin((3191513159.^(1/2).*t)./5708)) ./3813858225005))./(1853535723.*exp((6829.*t)./5708))); >>plot(t,x) >> xlabel('Tiempo (s)') >> ylabel('Desplazamiento (cm)')

Gráfica con simulink:

173

Dinámica Estructural - Volumen I EJERCICIO Nº 07 q F(t) m

10 m

10 m

10 m k2

k1 a=6m

k3

a=4m

Solución:

Con condiciones iniciales =0

Aplicando tabla de la inversa de Laplace, se tiene:

Cálculo del coeficiente de rigidez:

174

β = 6% = 0.06

Aplicaciones con Laplace y Simulink

CAP. 6

Cálculo de la masa:

Cálculo de la frecuencia natural:

Cálculo del amortiguador C

β >syms s >> h=(15000*(s/(s^2+400)))/(20.39*s^2+6.01*s+123); >>ilaplace (h) ans = (22537500*sin(20*t))/806794213 (1506187500*cos(20*t))/806794213 + (1506187500*(cos((7*2039951^(1/2)*t)/4078) (4975679*2039951^(1/2)*sin((7*2039951^(1/2)*t)/4078)) /114708484681))/(806794213*exp((601*t)/4078)) >> pretty (ans) Ingresar en el MatLab lo que aparece en el cuadro superior, presionar enter y debe resultar lo siguiente:

175

Dinámica Estructural - Volumen I GRÁFICO Nº 07 >> t=0:0.01:50; >> x=((22537500.*sin(20.*t))./806794213 (1506187500.*cos(20.*t))./806794213 + (1506187500.*(cos((7.*2039951.^(1/2).*t)./4078) (4975679.*2039951.^(1/2).*sin((7.*2039951.^(1/2).*t)./4078)) ./114708484681))./(806794213.*exp((601.*t)./4078))); >>plot(t,x) >> xlabel('Tiempo (s)') >> ylabel('Desplazamiento (cm)') >>grid on

Gráfica con simulink:

176

Aplicaciones con Laplace y Simulink

CAP. 6

EJERCICIO Nº 08 q = 2500 k g f/m F(t) m 8m k2

15 m

15 m

k1

k1

a = 20 m Solución:

Con condiciones iniciales =0

Aplicando tabla de la inversa de Laplace, se tiene:

Cálculo del coeficiente de rigidez:

177

Dinámica Estructural - Volumen I Cálculo de la masa:

Cálculo de la frecuencia natural:

Solución final

En el programa MATLAB >>syms s >> h=(3000*s/(s^2+2500))/(50.9684*s^2 +1008.611); >>ilaplace (h) ans = (824633720832000*cos((126*97186194959^(1/2)*3118767218039^ (1/2)*t)/15593836090195))/34747972900110731 (824633720832000*cos(50*t))/34747972900110731 >> pretty (ans)

Ingresar en el MatLab lo que aparece en el cuadro superior, presionar enter y debe resultar lo siguiente:

178

Aplicaciones con Laplace y Simulink

CAP. 6

GRÁFICO Nº 08 >> t=0:0.01:30; >> x=((824633720832000.*cos((126.*97186194959.^(1/2).*3118767218039 .^(1/2).*t)./15593836090195))./34747972900110731 (824633720832000.*cos(50.*t))./34747972900110731); >>plot(t,x) >> xlabel('Tiempo (s)') >> ylabel('Desplazamiento (cm)') >>grid on

Gráfica con simulink:

179

BIBLIOGRAFÍA • Biggs J. Introduction to Structural Dynamics. McGraw Hill, 1964. • Chopra, A. Dynamics of Structures. Theory and Applications to Earthquake engineering. Prentice Hall , 1995. • Gómez S. Análisis Sísmico Moderno. Editorial Trillas 2007. • Meli R.; Bazán E. Diseño Sísmico de Edificios. Editorial Limusa, 2002. • Timoshenko S. Vibration Problems in Engineering. 4 Edition, Wiley 1974.