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• Alberto Hurtado de Mendoza

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA FACULTAD DE INGENIERIA ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL

ASIGNATURA: FISICA I

DINAMICA DE UN CUERPO RIGIDO

M.Sc. Norbil Tejada Campos

DINAMICA DE UN CUERPO RIGIDO La dinámica del sólido rígido se divide en dos partes: 1. Movimiento de rotación de un sólido rígido alrededor de un eje fijo. 2. Movimiento general de un sólido rígido (movimiento de rodar).

2

1. Definiciones: Cuerpo Rígido o Sólido Rígido: Es un sistema de partículas, en el cual la distancia entre todos sus componentes permanecen constantes bajo la aplicación de una fuerza o momento; por lo que éste mantiene su forma durante su movimiento.

Movimiento de un Cuerpo Rígido: 1. Movimiento de traslación. 2. Movimiento de Rotación (alrededor de un eje). 3. Movimiento compuesto. 3

2. Momento Angular: 2.1. Momento Angular de una Partícula:

   L  r xmv Fig. Nº 03. Momento angular de una partícula

5

2.2. Momento Angular de un Cuerpo Rígido: Momento Angular para la partícula mi:

     Li  ri  pi  mi ri  vi

La proyección sobre el eje “Z” es:

Liz=rimivi cos(90-θi) o Liz=miRi2ω. El Momento Angular Total del Sólido, es:

      L   Li  L1  L2  L3  ...  Ln i

La proyección del Momento Angular Total sobre el eje “Z” es:

        Lz   Liz  L1z  L2 z  L3 z  ...  Lnz    mi R 2 i   I i  i  Fig. Nº 04. Momento angular de un cuerpo rígido

6

3. Momento de Inercia (I): 3.1. Momento de Inercia de un Sistema de Partículas:

m R I  m R   R I 

Z

2

i

i

i

R

2

dm=rdV

i

i

2

dm

i

0

z R

X

Y

x

y

I   rR dV 2

Así tenemos, respecto a cada eje de referencia: R2 =

x2 +

y2

Fig. Nº 05. Momento de inercia













I x   r y 2  z 2 dV I y   r x 2  z 2 dV I z   r x 2  y 2 dV

7

3. Momento de Inercia (I): 3.2 CASO PARTICULAR: Momento de Inercia de una Placa Plana (ubicada en el plano XY). Z





I z   r x 2  y 2 dV  I x I y 0

I z  I x I y

R X

y

Y

x r

Fig. Nº 06. Momento de inercia de una placa plana

8

3. Momento de Inercia (I): 3.3. Momentos de Inercia respecto a ejes paralelos: Z

Teorema de STEINER:

ZC R

I  I c  Ma

RC

2

a

Radio de Giro (K):

P

0 C.M.

Y

I  M K2

z R X

ó

K I M

Y, YC

RC x

XC P’

Fig. Nº 07. Momento de inercia en ejes paralelos

9

R2

L Cilindro sólido I = ½ MR2 K2 = ½ R2

R

L

Cascarón Cilíndrico I = MR2 L K2 = R2

R L

R

R1

Cilindro hueco I = ½ M (R12-R22) I = ½ (R12-R22)

Cilindro sólido I = ¼M(R2 + 1/3L2) K2 = ¼(R2 + 1/3L2)

R

Disco I = ½ MR2 K2 = ½ R2

Anillo I = MR2 K2 = R2

R

R Disco I = ¼ MR2 K2 = ¼ R2

R

Esfera I = ¾ MR2 K2 = ¾ R2

L

L

Varilla Delgada I = 1/12 ML2 K2 = 1/12 L2

b

b

Varilla Delgada I = 1/3 ML2 K2 = 1/3 L2

a

c

Placa Rectangular I = 1/12 Mb2 K2 = 1/12b2

a

Placa Rectangular I = 1/12 M(a2+b2) K2 = 1/12 (a2+b2)

Paralelepipedo I = 1/12 M(a2+b2) K2 = 1/12 (a2+b2)

b a

Fig. Nº 08.- Momentos de Inercia y Radios de Giro de algunos cuerpos sólidos geoméricos

10

4. Ecuación de Movimiento de la Rotación de un Cuerpo Rígido:

 dL    dt Aplicaciones:

Donde:

  L   Li





es el momento angular total y

i

   ext  i

es el momento o torque total debido a las fuerzas externas.

i

A. Si el cuerpo rígido gira alrededor de un eje principal de inercia:   d L d I        I dt dt B. Si el cuerpo rígido gira alrededor de un eje no paralelo a un eje principal de inercia:

  d L   d   z  z  I dt dt

C. Si el cuerpo rígido gira alrededor de un eje que no tiene punto fijo en un sistema de inercia:

CM

 dLCM  dt

11

5. Trabajo y Energía en el Movimiento de la Rotación de un Cuerpo Rígido:

El trabajo total cuando el sólido gira un ángulo θ , es:





0

0

W   Md   Id 

Fig. Nº 09.- Trabajo rotacional



d W  I d   Id dt 0 0 W 

1 1 2 I 2  I0 2 2 12

6. Energía Cinética de Rotación de un Cuerpo Rígido:

Energía cinética de una partícula:

K 

Energía cinética de un sistemas de partículas:

1 mv 2 2



1 1 2 2 K T    mi vi    mi vi  2 i i 2



Energía cinética de un cuerpo rígido que rota alrededor de un eje:

K CR 

1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 m v  m R   m R   I      i i i i i i 2 i 2 i 2 i 2 

Energía cinética de un cuerpo rígido que rota alrededor de un eje principal: K CR

L2  2I

Energía cinética de un cuerpo rígido que rota alrededor de un eje principal XoYoZo:

K CR



1 2 2 2  I1 Xo  I 2Yo  I 3 Zo 2



K CR

1  L Xo   2  I1

2

L  Yo I2

2

L  Zo I3 13

2

   

7. Análisis energético: Movimiento Compuesto de un Cuerpo Rígido: Aplicaciones:

El cuerpo rota alrededor de un eje principal que pasa por su centro de masa, El cuerpo tiene un movimiento de traslación respecto a un observador.

14

La energía cinética de un cuerpo en un sistema inercial de referencia es:

1 2 K  MvCM  E k ,CM 2

ó

1 1 2 K  MvCM  I C  2 2 2

Teorema: Trabajo - Energía Cinética, para un sistema de partículas en el caso de un cuerpo rígido, es:

Wext  K f  K o  K ANALISIS: 1º Si las fuerzas externas son conservativas, por lo que tenemos:

Wext  U o  U f



ext

 U ext

E f  Eo

1 1 2 E  K  U  MvCM  I C  2  U  cons tan te 2 2 2º Si algunas de las fuerzas externas no son conservativas, tenemos:

Wext  U o  U f



ext

W'

E f  Eo  E  W '

15

8. Movimiento giroscópico:

16

7. Movimiento giroscópico:

17

RESUMEN: DINAMICA DE TRASLACION

  p  mv

Momentum lineal: Fuerza

  dp F  dt

:

  F  ma

Cuerpo de masa : constante Fuerza perpendicular al momentum lineal

   F  p

Energía cinética

K trasl 

Potencia

:

:

1 mv 2 2

  P  F v

DINAMICA DE ROTACION

  L  I

Momentum angular : Torque

 d L   dt

:

Cuerpo de momento : de inercia constante Torque perpendicular : al momentum angular

Energía cinética

Potencia

    I       L K rot 

:

:

1 I 2 2

  P    18