• Author / Uploaded
• Christian Delgado

• Categories
• Vector euclidiano
• Movimiento (Física)
• Aceleración
• Rotación
• Fuerza

Citation preview

Ferdinancl P. Beer . f;. Russell fohnston,

|r"

.

Wílliarn E. C[ausen

MECANICA VECTORIAL para INGENIEROS s,F&

8ST&KXXnCü[

Contenido Prefacio

xiv

Agradecimientos

xtx

Lista de símbolos

XX

11 CIN EMATICA DE PARTICULAS 601

11.1 11.2 11.3 11.4 1 1.5 ll.6 .11.7 .1 1.8

.9

dinámica 602 rectilíneo de partículas

lntroducción a la

Movimiento

Posición, velocidad y

aceleración

603

603

Determinación del movimiento de una partícula 607 Movim¡ento rectilÍneo uniforme 616 Movim¡ento rectilíneo uniformemente acelerado 617 Movimiento de varias partículas 618 Solución gráfjca de problemas de movimiento rect¡líneo Otros métodos gráficos 631

Movimiento curvilíneo de

partículas

641

Vecior de posición, veloc¡dad y aceleración 641 '1 1.10 Derivadas de func¡ones vectoriales 643 11,11 Componentes rectangulares de la velocidad '1

1

y la 1

acelerac¡ón

645

1.12 l\ilov¡miento relat¡vo a un sistema de referencia en

traslación

646

11.13 Componentes tangencial y normal 663 11,14 Componentes radial y transversal 666 Repaso y resumen del capítulo 11 Problemas de repaso 684 Problemas de computadora 687

680

12

c¡ruÉr¡cn DE pARTícuLASi decur.¡on LEy DE NEWToN 691

12.1 lntroducción 692 12-2 Segunda ley de movimiento de Newton 693 12.3 Cant¡dad de movimiento lineal de una partícula. Razón de cambio de la cantidad de movimiento ¡ineal

x

:.rien

do

12.4 12.5

Sistemas de unidades 695 Ecuaciones de movimiento 697 '12.6 Equilibrio dinám¡co 699 12.7 Cantidad de movimiento angular de una partícula. Razón de camb¡o de la cant¡dad de movimiento angular 718 12.A Ecuaciones de movimiento en términos de las componentes radial y transversal 719 12,9 Movimiento bajo una fuerza central. Conservación de la cantidad de movimiento angular 72O 12.10 Ley de gravitación de Newton 721 *12.11 fayectoria de una partícula bajo la acción de una fuerza central 731 .f2.12 Aplicación en mecánica celeste 732 *12.13 Leyes de Kepler del movimiento planetar¡o 735 Flepaso y resumen del capítulo Problemas de repaso 748

12

Problemas de

751

computadora

14.!

'14.!

14.t

'14.',

'14,r

14.1

-14. -

14.

'14.

744

Rel Prc Prc

13 CINÉTICA DE PABTíCULAS: METODOS DE LA ENERGíA Y LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO 755

13.1 lntroducción 756 13.2 Trabajo de una fuerza 756 13.3 Energía cinética de una partícula. Principio del trabajo y la energía 760 '13-4 Aplicaciones del principio del fabajo y la energía 762 '13.5

t

15.

t5.

eficiencia 763 potencial 781

Potenc¡a y

13.6 Energía .'13.7 Fuerzas conservativas 783 13"8 Conservación de la energÍa 784 13.9 lvlovimiento bajo una fuerza central conservativa. Aplicación a la mecánica celeste 7a6

-15. 15,

13.10 Principio del ¡mpulso y la cantidad .13.11

13.12 13.13

de

movim¡ento

5.

15.

805

N,4ovimientoimpulsivo 808

lmpacto

115.

820

lmpacto central directo 820 '13.14 lmpacto central oblicuo 823 13.15 Problemas en los que interviene Ia energía y la cantidad de movimiento 826 Repaso y resumen del capítulo

13

Problemas de Problemas de

851

repaso

-15,

.15,

842

848

computadora

Re Pr(

Pft

srsrEMAS

olt*rí"r,-o, 855

'14.'l lntroducción 856 14,2 Aplicación de las ieyes 14.3

de Newton al movimiento de un sistema de partículas. Fuerzas efectivas 856 Cantidad de movimiento lineal y angular de un sistema de

partículas

16

'f6

859

e:\_*_

\ Movimiento del centro de masa de un sistema de partículas 860 14.5 Cantidad de mov¡miento angular de un sistema de partículas alrededor de su centro de masa 862 14.6 Conservac¡ón de Ia cantidad de mov¡miento para sistemas de partículas 864 '14.7 Energía cinética de un sistema de partÍculas 873 14.8 Principio del trabajo y la energía. Conservación de la energía para un sistema de partículas 875 14.9 Principio del ¡mpulso y la cant¡dad de movimiento de sistemas de partículas 875 *14.10 Sistemas variables de partículas 886 *14.11 Corriente estacionaria de partículas 886 *f4.12 Slstemas que ganan o p¡erden masa 889

14-4

Repaso y resumen del capítulo

14

Problemas de Problemas de

91

repaso

904

908

computadora

1

15 CINEMÁTICA DE CUEBPOS RíGIDOS 915

15.1 lntroducción 916 15.2 Traslación 918 15.3 Fotación alrededor de un eje fijo '15.4

15.5 15.6 15,7 15.8 .15.9

919 Ecuaciones que definen la rotación de un cuerpo ríg¡do alrededor de un eje lijo 922 lvlov¡miento plano general 932 Velocidad absoluta y velocidad relativa en el mov¡miento

plano

934

Centro de rotación instantáneo en el movimiento plano 945 Aceleraciones absoluta y relativa en el movim¡ento plano 956 Análisis del movimiento plano en térm¡nos de un

parámetro

958

15.10 Razón de cambio de un vector con respecto a un s¡stema de referenc¡a en

rotación

971

15.11 lvlovimiento plano de una partícula relativa a un sistema de referencia en rotac¡ón. Aceleración de

Coriolis

'15.12 Movimiento alrededor de un punto fijo 984 *15.13 Movimiento general 9A7 *15.14 Movimiento tridimensional de una particula con

973

respecto

a un sistema de referencia en rotación. Aceleración de Cor¡ol¡s 998 *15.15 Sistema de referencia en movimiento general 999 Repaso y resumen del capítulo 15 Problemas de repaso 1018 Problemas de computadora 1021

1011

.16 MOVIMIENTO PLANO DE CUERPOS RíGIDOS: FUERZAS Y ACELERACIONES

1025

16.1 lntroducción 1026 16-2 Ecuaciones de movimiento

L\_--

de un cuerpo

rígido

1027

contenido X¡

X¡i

conten¡do

16.3 16.4 -16"5 16.6 16.7 16.8

Cantidad de mov¡miento angular de un cuerpo rígido en movimiento plano 1028 Movimienio plano de un cuerpo rígido. Principio de d'Alembert 1029 Observac¡ón acerca de los axiomas de la mecánica de cuerpos

rígidos

'1

-1

I t t

1030

Solución de problemas que implican el movimiento de un cuerpo

rígido

1031

Sistemas de cuerpos rígidos 1032 Movimiento plano restr¡ngido o vinculado 1051

Repaso y resumen del capítulo

16

Problemas de Problemas de

1078

repaso

1073

1075

computadora

'17 MovtMtENTo pLANo DE cuERpos Ricroos' MÉTODoS DE LA ENERGíAY LA cANTIDAD DE MoVIMIENTo

:

'1

t081

17.1 lntroducción 1082 17.2 Principio del fabajo y la energía para un cuerpo rígido 1082 17,3 Trabajo de las fuerzas que actúan sobre un cuerpo rígido 1083 17.4 Energía cinética de un cuerpo rígido en movimiento plano 1084 17.5 Sistemas de cuerpos rígidos 1085 17.6 Conservac¡ón de la energía 1086 17.7 Potencia 1087 17.A Pr¡ncipio del impulso y la cant¡dad de movimiento para el movimiento plano de un cuerpo rígido 1104 17.9 Sistemas de cuerpos rígidos 11A7 17.10 Conservación de la cantidad de movimiento angular 11O7 17.1 1 l\,4ov¡miento impuls¡vo 1 120

-1

-1

'i

I f I

17.12 lmpacto excéntrico 1120 Repaso y resumen del capítulo Problemas de repaso 1138

17

Problemas de

1141

computadora

'1134

18

ctNÉTrcA DE cuEnpos RÍctDos EN TRES DtMENStoNEs 1

145

.18.1 lntroducción 1 146 -18,2 Cant¡dad de mov¡miento -18.3

.18,4 .18-5 -18.6 .18.7 .18.8 '18.9

angular de un cuerpo rígjdo en tres 1147 Aplicación del princ¡pio del impulso y la caniidad de movimiento al movimiento tridimensional de un cuerpo rígido 1 1S1 Energía cinética de un cuerpo ríg¡do en fes dimensiones

dimensiones

1152 Movimiento de un cuerpo rígido en tres dimensiones 1.165 Ecuac¡ones de movim¡ento de Euler. Extensión del principio de d'Alembert al movimiento de un cuerpo rígido en tres

dimensiones

1

166

l\.4ov¡miento de un cuerpo rígido alrededor de un punto

fijo

1167 Rotación de un cuerpo rígido alrededor de un eje fijo 1168 lvlovimiento de un giroscopio. Ángutos de Euler 1183

é-}--

_

*18.10 Precesión estable de un g¡roscopio 1185 *18.11 Movimiento de un cuerpo simétrico respecto a un eje y que no se

fuerza 1186 Repaso y resumen del capítulo 18 1199 Problemas de repaso 1204 somete a ninguna

Problemas de

computadora

1208

19 VIBRACIONES MECÁNICAS 1213

19.1 lntroducción 19.2 19.3 .19.4

1214

Vibracionessinamort¡guam¡ento

1214

Vibraciones libres de partículas. Movimiento armónico simple 1214 Péndulo s¡mple (solución Péndulo simple (solución

aproximada)

1Z1B

exacta) 1219 '19.5 Vibraciones libres de cuerpos ríg¡dos 12zB

'19.6 19-7

Aplicac¡ón del principio de la conservación de la V¡brac¡ones forzadas 1251

energía

Vibracionesamort¡guadas 126'l Vibraciones l¡bres amortiguadas 1261 Vibraciones forzadas amortiguadas 1264

.19.8 .19.9

.19.10 Analogías eléctr¡cas

'1265

Repaso y re$umen del capítulo 19 1277 Problemas de repaso 1282 Problemas de computadora 1285

Ai-ü

Apéndice A

U

¡C;ilt"i cs y F nf.¡r¡ x gen trEL dxLüEEÉ?,4'{/ÉCTüHIAL

Ft¡l,:! $FF¡

r'l

er; rlrnsi

1289

Apéndice B

MSMEí\üTSS üE INFREIA

tri:

i\4.{SA$

1295

Apéndice C

FLIF¡BA4IISNTOS FAR4 LA CEÉ"rIF¡CACiüI{ glr¡ l$leeN¡gnía HÍ\3 E$TAD*S Li¡,¡¡ür:]$ 1333

Créditos de índice

fotografías

analítico

Respuestas a

1

1335

337

problemas

1345

1240

contenido

Xiii

Lista de símbolos a.a aLt

/,\

ap /::¡,

at.

C,... 4.8,C,...

A. B,

€r,

Áreo

b

Archo; distancia; eje semimenor de la elipse

€¡ eo

E

.f fr

t,

F

G It

Y.t H,, (Hc;)r;'u.

i,j.k í

1,1,...

I 1.,t,...

l fr

^.1.

Puntos

A

C

e,,

Aceleración Constanter rudior distancia, eje semimayor de I:r elipse Aceleración del centro de mása Aceleración de B relativa al sistema de referencia en traslación con A Aceleración de P relaüva al sistema de referencia en ,oi""i¿; S Aceleración de Coriolis Reacciones en sopodes concxiones )

^' ^o

l

L L

¡¡¿

,,_''-

M V,, M¿] )l .\/,,¡ ¡r

Constante; coe{iciente de amortiguamienio viscoso Centroide; centro instantáneo dJrotación; capacitancia Distancia Veclores unjlarios a lo largo de la normal y la lanÉente Veclores un¡laúos en las direcciones radii v traniversal Coeficiente de restitución; base de los log"iit-os naturales

EnergÍl rnecánica totaj; volLaie Función escalar Frecuencia de vibración forzada

Frecuencia nah¡¡al Fuerza; fuerza de fr.icción Aceleración de la sravedad Cenlro de gr^ued"?, cenlro de masa: conslante de graüfacjón Momento angular por mast unifaria Momento angular alrededor del punto O Razón de cambio de la cantidad áe rnovimiento angular H6 con respecto a un sistema de referencia de orientación ffja Razón de cambio de l¿ cantidad de máümiento nngular H¡; con respecto a un sisternl de re[el.encia en rotación Cxy¿ Vectores unitarios a lo largo de los eps de coordenadas

Corriente

Momentos de inercia Momento centroidal de inercia Productos de inercia Momento polar de inercia Constante de ¡eso¡te Radio de giro Radio de giro centroidal

Longitud Cantidad de movimiento lineal Longitud; inductancia Masa Masa pur unidad de longitud P¿ur rnomento

Mornento aJrededor del punto O Momento resultante alrebedo. del punto O Magnitud de par o momenlo; masa cle la Tierra Momento alrededor del eje OL Dirección normd

xxt

-*_

¡

r XXii

Lrsta de

símbolos \

7t)

Componente normal de la reacción Origen de coordenadas Fuerza; vector Razón de cambio del vector P con respecto a un sistema de referencia de orientación fijá Razón de flujo de masa; carga eléctrica Fuerza; vector Razón de cambio del vector Q con respecto a un sistema de referencia de orientación ffja Razón de cambio del vector Q con respecto al sistema de referencia. Oxgz Vector de posición Vector de posición de B relaüvo a A Radio; distancia; coordenada polar Fuerza resultante; vector resultante; reacción Radio de la Tierra; resistencia Vector de posición Longitud de arco Tiempo; espesor; ürección tangencial Fuerza Tensión; energía cinéüca Velocidad Variable Trabajo Velocidad Rapidez Velocidad del centro de masa Velocidad de B relativa al sistema de transferencia en traslación con A Velocidad de ? relativa al sistema de referencia en rotación g Producto vectorial Volumen; energía potencial Carga por unidad de longitud

l,t/

Peso; carga

o

,P

i q

a ó (Q),,,r"

r rB//\ R s s

t T T

u u U L)

t,t

vr / ..j

v V

w,

r.l/,: t. ,i. : ', t . (!. a ' 3y ¿

¡

Coordenadasrectangulares;distancias Derivadas temporales de las coordenadas r. 4. z Coordenadas rectangulares del centroide. centro de gravedad o centro de masa Aceleración angular Angulos Peso específico

Elongación Excentricidad de sección cónica o de órbita \-ector unitario a lo largo de una línea

Eficiencia Coordenada L

)

-angular;

ángulo euleriano; ángulo; coordenada polar

Coeficiente de fricción Densidad; radio de curvatura Feriodo Pe:iodo de übración libre "i¡.¡¡lo de fricción; ángulo euleriano; ángulo de fase; ángulo fld'rncia de fase lgrit euleriano

Go1rl E¡ry /o.

622

B.

Morimiento depend.iente cle cl¡,x o mas partiulas. En proble:nas de este tipo las partículas del sistema están conectedls entre si. por Io general medi¿nte cuerd¿s o cables. El niétodo de soluciórr de estos problenrai es similar al del grupo de problerLras precede'te. s.ho que en este caso no será ¡recesario describir ias ion¿:r--i¿ln¿s fsrr¿s entre las particulas.- En Jos siguientes problemas, l¿r conexión la proporciona unr¡ o más cables. P¿ra cada cable se tendrán que escúbir ecuzrciones siinilalres ¿r l¿s últimas tles ecuaciones de la sección 11.6. Se sugiere eJ sigrúente procedirriento:

7.

IIq.cer un bosquejo clel sistemq y seleccionar urr sistema de coordenadas, in dic¿rdo de manera clara el sentido positivo p¿ra c¿da uno de los ejes coordenados.

lI.5las longitudes se miden liacia abajo a p¿rsoporte holizontal De tal modo, se concluye que estos d"rplLo_superior'. mientos, velocidades y aceler acioncs. los cu¿les tienen v¡lores poiitilror, están áirigidos hacin abajo. Porejen.rplo, en el proble"ma r.esuelto

lir del

2. Escribir

Ia ecuación que describe la repreüón impuesta por cada cable sobre el movimiento de las paftículas implicadas. Al difér-enciar doi veces esta ecuación, se obtendrán l¿s rel¿rciones cor.respondientes entr.e velocidades y aceleraciones.

3,

Si r¡cri¡¡s clirecciones rle mor¡imiento eskin implicatlas, se debe seleccionar.

un eje de coordenirdas y ul sentido positivo par¿ cada un¿ de est¿rs direcciones. T¿mbiél se debe irrtentar ubicar los orígenes de sus ejes de coordenadas, de modo que las ecuaciones de lestñcciones sean lo más sinplei posible. por ejemplo, en el pioblena resuelto I1.5 es nás fácil definir las di.,.-rsas coorden,¡dm. niiciéndolas b'acia abajo desde el soporte superior., que hacerlo haci¿r arriba desde el soporte inferior

Por úl.tím.o, se ¿ebe rec¡¡rdqr que el n.rétodo de análisis que se describe en esta lección y l¿rs ecu¿rciones corr.espondientes únic¿unelte pued-en utiliztrrse para partículas que se lrueven con tnoDínliento rectílíneo ttnífoinrc o unifonnemeltte aóelerado.

623

11.35 A una vagoneta se le pmeban Ja aceleración y los fienos. En la prirnera prueba de aceler¿ción en l¿i c¿rlle, tlanscurrió un tiempo de 8.2 s para lograr un incremento de velocidad desde I0 km/h hast¿r I00 kr¡/h. En la pmeba de fienos, la vagoneta lecorrió u¡a distancia de 44 m du¡¿mte el frenado desde 100 kr¡,/h hast¿ cero. Si se suponen valores constantes para la acele¡ación y la desaceleración, dete¡mine a) la áceleración dur:rnte la priner¿r pn¡eba en la calle, ü) la desaceleración durante la prueba de frcnos.

Figura Pl'f .35 y P1'1.36

11,36 En el problena 11.35, deternine ¿l) Ia distancia recorida durante la prueba de aceleración en la calle, b) el tiempo trunscurido durante la pmeba cle frenos, 11 .37 Un aüón inicia su despegue en A con velocidad 0 \' ¿celeración constante c. Si elnpiez:r a volar 30 s después en B v 1¿r dist¿rncia AB es de 2 700 ft, dete¡lrine ¿) la acelelación a, ó) la velocid:rd de despegue o¡.

F¡gura P11-37

11.38 Al lado de ¿utopistas molt¿ñosas se colstluven rampas de seguridad para perl, itir que los vehículos cou fienos defectuosos frenen de manera segur¿. Un tractoc¿mión entla a una ramp:r de 750 fi a ula alta velocidad o¡ y lecorre 540 ft en 6 s con des¿celeración constdlte ¿ntes de que su lapidez se red\vat a aof2. Suponiendo la misnra desaceleración constante, deterrine a) el tiempo adicionnl requerido pala que el tractocamión se detenga, b) la distancia adicional recorrida por el tractocamión.

Figura Pí1.38

624

11

,39 E¡ u¡a c¿r'rer'¿r de 400 n-i. un ¿tleta aceler¿¡ de modo

Probremas

unilon¡e

d'rr¡nte los ptin-ieros 130 rn y luego corre a velocidad co¡sta¡te. Si el tiempo :ieL atleta pala los primeros 130 m es de 25 s, detet-rnine a) su aceleración, :, .rr relocidacl fin:rl, c) el tiempo ell que cotnpJeta la carrera.

,40

UrL grtrpo de estudiantes l¡lza un cc¡hete ¿ escala en di¡ección Con base en los datos registrados, detennilan que la altitud de] co : ¡t., lire de 27.5 m en Li pnrte final clel vuelo, cuanclo arín tenía in-tpulso, y i:. ¿ltenjz¿ 16 s después. Si el pnmcaídas de descenso no pudo türir y el - hete clescendió en c¡íd¿ libre hasta el srrelo despucs .1" alc¿rnz¡r ll rLltrrr¿r :r -i\iura. \ srlponienclo que g : 9.lJl rrr/s2, deterrnire n1 h vclociü.id u¡ deJ - ,!,ete ,rl finil del melo con impulso, ü) la altu¡¿r máxima alc¿rnz¿ida 1

.

1

-nt¡il.

2i.5 m I

11 .41 Un attomóül A sale desde O y aceJet'ir a trzól colst¿rnte de ,.;5 nts¿. En poco tieúpo, se encuent¡a i¡l autobris B que se desplaza en 1.r -iifcc.iór opuest¿r ¿r velocidad const:rnte de 6 m,¿s. Si el autobús B pas:r por

.1 pLrnto

,

O10

s después que el autornt'¡vil

A salió de ¿hí, detenr.iine cuándo

clr'¡rcle se encontr-¿riln estos vebículos.

Figura P11.41 Los automóriles A y li viai¿rn en caniles :rdyacentes de una ca0 tienen Jas posiciones ¡ v.l,r.id¿rdes qrt indica la figura. Si el arrkr¡rór'il A tiene acele¡¿rción coDst¡nte llc U.6 ¡r/sr v B tiene rlrLx dL-sa (- "r.r idrr ¡on.l¡nte de U.4 rn sj. Jelelrnjn, ,r , 'rlndo j ,lti'de { alc:,r,¿ar:i ¡ B. l:¡) l¿i velocid¿d cle cad¿r ¿urtonór.il en ese üolnento.

11.42

¡Tetela v en

t=

i,

\rr =

l5lir¡r

rL

71\,

=

ir] lnr'/lr

Figura P11,42

'¿-

.i:¿:__

1L43 En un¿ disputada carrerlr de ci[los tiraclos por caballos, el cabalb 2 r'ebasa al caballo I en el punto A, donde las dos velocidades sort o2 : 21 1'Vs v o¡ :20.4 fVs. El cab¿llo l pasa después al cab¿rllo 2 en el punto B v se e¡flla a garal la carrera eD el punto C, a 1200 ft de A. Los tieüPos transcun'idos de A a C para el c:rballo 1 y el cab:illo 2 son, resPectivamente,

:

:

1r 61.5 s \'¿2 62.0 s. Si se supo¡el ¿rceleraciones unifonnes Pilra ar]lbos caballos entle A -v C, detenrire a) la distancla desde A hasta B, ó) la posición del c¿l¡allo I en ¡el¿rción con el c¿üallo 2 cuando el caballo 1 alcanza la lí¡e¿r de rnet¡ C.

Figura Pl l.43

Figuta Pl 1 ,40

625

11.44 En una

exhibición de fuegos aftiffciales se lanzan dos cohetes. la¡za con velocidad inicial o0 y el cohete B, 4 s después, con la misma velocidad inicial. Los dos cohetes están programados para explotar de manera simultánea a una altula de 240 ft. cuando A desciende y B asciende. Considerando una acele¡ación constante g = 322 fL/sz. detelrlline a) Ia velocidad inicial os, b) la velocidad de B en ¡elación con A al momento

El cohete A

se

de la erplosión.

11,45 En

una carrera de botes, el bote A está 38 m por delante del vi¿j¿m con raPidez constante de 168 kr¡/h. : 0, los botes aceleran ¿ razones constantes. Si cuando B rebasa a A, s yo¡ = 228km/h, determine o) la aceleración deA, b) la acele¡ación

bote B y ambas er¡barcaciones En

f

f :8 de 8.

F¡gura P11,44

11 .46 El automóül A está estacionado en el carril de una autopista con di¡ección norte, y el automóvil B viaja a una'velocidad constante de 96 knr,4r en el car¡il que va en ürección su¡. Eü f : 0, A enlPieza a acelerar ¿ razón constante dá aa, rrientns que en I : 5 s, B erirpieza a fi'enar con desaceleración constante de magnitud n¡/6 Si ;u = 90 m y o¡ = oB, cuando los automóüles pasan uno al ladó del otro, determine ¿) la ¿rceleración ¿¡, b) el momento eJque los vehículos pasan uno al lado del otro, c) la dist¿ncia entre los automóviles en f : 0.

A(L\)o=0

Figura Pl l.46

I l.4Z Dos automóviles A y B que se desplazan en la misma dirección' sobre car¡iles adyacentes, se detienen ante ul semáforo Cuando el semá foro se pone en verde, el automóül A acelera a ¡azón constante de 6.5 fVs2 Dos .egundos después. el autornóül B PrnPie¿a t nroverse ) acelcra a razon const¡nite de I 1.7 lvs). Deterrnine a) cuándo y dónde B alcanza¡á a A. b'la velocidad de cada autonóül en ese rrromento.

11,48

Dos automóüles A y B se aproximan uno al otro en los carriles de una ¿utopista. En t : 0, A y B están a 0.62 mi de distanciaadyacentes sus velocidades son oo : 68 millt y as = 39 mi,&, y se encuentran en los pu¡tos P y 8, respectivarnente. Si A pasa por el punto Q 40 s después que B estuvo ahí, y B pasa por el punto P 42 s después que A, determine a) las acele¡aciones u¡ifórmes de Ay B,b) en qué momento pasan Jos vehículos uno al lado del otro, c) la velocidad de B en ese momento.

Figuta

P1

1

.48

11

.49

El bloque A se r¡ueve hacia abajo a velocidad colstaute de

1

Problemas

627

ln s, Determine ¿) l'a velocidad del bloque C, b) la velocidad del collarÍn B en relaciór't con bloq.,e A, c) la velocidad relativa de la porción D del ca"i ble respecto al bloque A.

Figura P11.49 y P'l1.50

C inicia su rnoümiento desde el reposo y descierde con aceleración conitante. Si después que el bloque A se h0 movido 0 5 n su velocidad es de 0.2 m/s, determine ai las acele¡aciones de A y C. b ) Ia velocidad y el cambio en la posición del bloque B después de 2 s'

11.50 El bloque

abajo a velocidad constante de 2 A, ü) del bloque D' del bloque vilocidad a) la ft/s. Determine 1

1,51 El bloque C se mueve hacia

Figura P1l.5l y P11.52

1

1.52

El bloque C inicia su moün'¡iento desde el reposo y

se

mueve

hacia abaio con aceieración constante. Si después de 5 s la velocidad del bloque A en relación con el bloque D es de 8 fVs, deterrnine la aceleración a, d"l bloqu" C. ór del tlamo E del cable

L

)

628

cinemática de Particulas

11.53 En la posición que se muestra' el collarín B se mueve hacia la izouierda con veiocidad cónstante de 300 mm/s. Determine a) la velocidad del collarí¡ A, b) la velocidad del tramo C del cable, c) Ia velocidad relativa del tramo C del cable respecto al collarín B

F¡gura Ptl.53 Y P'l1.54

11.54 El collarín A empieza a moverse desde el reposo y.se desplaza a""le.aáón constante. Si después de 8 s Ia velocidad hacia la derecha "on ,"l"ti r" d"l colla¡ín B resPecto al collaín A es de 610 mnVs, determine oj i", u""l".o"ion"t de A i B, b) la velocidad y el cambio en la posición de B después de 6 s. mostrado en la figura. el bloque deslizante B se constánte y su velocidad es de-6 in /s. aceleración mueve hacia la derecha con lra movido l0 in hacia la der"cha A se deslizante bloque el ii á"-.,¿t oue ." t"tá"i¿"a'"t de 2.4'in./s, deternine a) la acele¡ación de A y B, b) la aceiou"i¿" ¿"t tt"-o p del cable, c) la velocidad y el cambio en la posición del bloque deslizante B luego de 4 s

11.55 En el instante

Figuia P|1.55 Y Pl1.56

11.56 El bloque deslizante B se mueve hacia la derecha a velocidad d" 12 inis Determine a) la velocidad del bloque dgsllz?nt: A'

"onri* il-i^l"f*¿"Já"f ¿i i,

""io"ia"¿

,¡amo C del cable, c) la velocidad del tramo D del cable' t"f"tiva del tramo C del cable respecto al bloque deslizante A

veEl bloque deslizante B se mueve hacia la izquierda con una h¿cia mueve A se deslizante bloque 0, el ¿ Cuando = mm/s'. locidad áe 50 f 2s aceleración constante y velocidad de 100 mm'/s Si en = i^ J"re"tt" "on determine de¡echa Ia lracia mm bioqu" d"rlirunl" C se ha movido 40 "i ,l r" "ii."ñ"J ¿J ¡loque deslizante C en r : 0, b) Ia velocidad del tramo D del cable.¡ r = 0, c7 las aceleraciones de A y C

11,57

deslizante A empieza su movimiento¡on velocidad El inicirl en / - 0 1 aieleracicin constanl; de 2'.,0 mtnls hacia !a derecha hacia la de/ Q1 5e-muere en reposo = d"td" ini"i" c üii""" +tl't*É "l Si en ¡ = 2 los r eiocidades respectiras de ;#;;;*b;;¿n ' "on't"nt" J;;t0 fus hacia la de¡echa v de 30 mm/s hacia Ia izquierda' ;;; i.í.t-t"" rif" *"ieruciótt de ¡, b) Ias veiocidades iniciales de A y B' c) la velocidad inicial del t¡amo E del cable

11.58 EI bloque

Figura Pil.57 Y Pi1.58

t

11

,59

El collafn A inicia su movinriento desde el rePoso en

t:

0y

se ¡uueve hacia a¡riba con aceleración constante de 3 6 in /sj ín se mueve hacia abajo con velocidad constante de 18 in/s, determine a el tiempo en que la vélocidad del bloque C es cero, b) la posición co

Si el colla-

I

rrespondiente del bloque C.

Figura P11.59 Y P11'60

Los collarines A y B inician su moümiento desde el reposo y aceletaciones: a^=25t lÍt /s2 hacia- arriba en que la velocidad del ',1¿" : t5 ln.,ls! hacia a'baio. Determine a) el tiempo la cual se hab¡á mopor la distancia b) blo-,loe C es de nuevo igual a cero' tienlpo. ese du¡ante C rido el bloque 1

1.60

s" -r"",un con las siguienteí

l,6l

su movimiento desde el reposo constante Si Ia aceleración recon acele¡ación mueve r cacla comoonente iot." a"t Uioqu" C resPecto al rollarín B es dc 120 mmrs2.hacia arriba v I¡ acele¡ación re'lativa deibloque D respecto al bloque A es de 220 mm'/s'hat ia abaio. delerrnine ¿ ' l¡ v"tocidad del blor¡ue C después de 6 s b\elcambio en la posición del bloque D luego de l0 s

I

El sistema que se muestra inicia se

Figúra P11'61 Y P11'62 que se muestra empieza su movimiento desde el reposo y la Iongitud del coidón superior s9 ajusta de nanera que A, B y C se -encuéni¡en inicialmente al mismo nivel. Cada componente se mueve con acele¡ación constante. Sabiendo que; cua¡do la velocidad ¡efativa del collaín B respecto al bloque A es de 40 mnvs hacia abajo. los desPluamientos de .t ' B son, r.rpeát ivamon te. de 80 y 160 mm hacia abajo. determine ¿ Ias á".l.ra.ionos de A ¡ B. b, el cambioen laposición del bloque D cuando la relocidad del bloque C es de 300 mm/s hacia ar¡iba.

*11,62 El sistema

Problemas

629

-11,7. SOLUCIóN GRÁFICA DE PROBLEMAS DE MOVIMIENTO RECTILíNEO

Cjnemática de particutas

En la sección 11.2 se obserwó que las fó¡lnulas fundarnentales d.r

Ev

dn

dt

tienen un significado geométrico. La primera fórmula erqtresa oue Ia velocidad en cualquiei instante es iguil a la perdiente de'la c.,ria r-¿ en el mismo instaDte (figura 11.10). La segu;da indica que la aceler¿r_

,L

Flgura l1.l0

ción es igual a la pendiente de la curva u-¡. Estas dos propiedades pue_ den.utilizarse para determinar de mane¡a gráffca la's cu*"s de J-r y ¿-f de un movimiento cuando se conoce la cirrva r-t. las dos fórrrulas fundamentales desde el tiempo f1 ,hastaAl.integrar el tiempo f2 se escribe

r"-.r'1 |ft udr y

f' r"-,..=laú Jt

{tt.12)

La primera lórrnula erpresa que el área meclda baio Ia curva uJ desde hasla.t,¡ es igual al carnbio en r durante ese intervalo dc dempo r figu.

t¡

ra 11.11). De manera simila¡ la segunda fónnula e{ores¿ quá el área medida bajo la cun'a a-r desde t1 hasta t2 es igual al camblo e'n u d.,.ante ese intendo de fiempo. Est¿s dos propiedad.s pueden utilizarse para determinar de manera gráfica la cun¡ de movimjento r_l cuando se conoce su culva rr-t o su curva ¿-t (véase el pr-oblema lI 6).

Las soluciones gráficas resultan en particular útiles cuando el movimiento que se considera se deffne a parür de datos e,,perimenta_ les y cuando x. r y lt no son funciones an"jí1i"", de L Tirnbién es oosi_ ble utilizarlas de rnanera venlaiosít cu¿ndo el rrovimiento consta dÉ dis_ tintas paftes, y cuando su análisis requiere escribir una ecuación diferenle para cada una de sus parles, Sin ernbargo. al uti[i¿ar una solución grdfica_ debe lenersc el cujdrdo de notar qu-e ll el árer bajo Ia cuna

o-t rnide el cambio en r, no la r misma, y deia misma forrnu. á.,e el á."u bajola curwa a-f mide el cal.rbio ,,'2) on área sobre el qá t corres_ ponde a tt incremento enr o r, "n en tanto que un área ubicada debajo del eje t mide un decremento en x. o a. . Se_rá_ útil recordar al dibujar las cunas de movimiento que si la

Figura

1'1.11

velocidad es conslante. se representa:.á mediante una linea recta hori zontal: la coordenada de posición r será entonces una función lineal de t y se representará por medio de una línea ¡ecta oblicua. Si la acelera_ ción es constante y diferente de cero, se representará mediante una Iínea recta horizoial; o será en ese ca* .,nn i.,."i¿o hná;;;, ;dr"

como un poli-=:rd¿ por una línea recta oblicua, y x se expresará Si I¡r parábola por una :r::-', de >equndo grado en /. reprc;entado la coordenadr velocidad y l. la ¡-¡-cr¿t ión Á una iunción lineal-de

11.8. Otros métodos

sráfl"* 631

i so:ición serán iguales, respectivamente, a polinomios de segundo y :-ier q.ados, a sJ rep.esentará entonces meüante una línea recta

una parábola y .t Por una función cúbica En .:,--i el área bajo la curva ¿-, es un área compuesta, es posible obtener el ¡ltimo téri.nino en (11.13) al multiplicar cada área componente por l¡ dist¿ncia desde su centroide h¿sta Ia líne¿ ¿ : f1. Las áreas sobre el eje ¡ deben consideralse como positivas y 1as ríreas por debajo del eje

i

t b)

Figura 11.12

Éoüro negativas.

Otro ü'po de curva de r.i'iovin'liento, la curwa o-r' se utiliza en al-

clrs {-r¡nas ocasiones. Si se ha graficado una curva de estas caracterís

teur¿ 11.I3), se puede obtener la aceleración a en cualquie-r tien.tpo dibui¿ndo l¿ norm¿r] AC de la curwa v mídientlo la subnormal BC En l,¡alirtail ¿l obsewar que el ángulo eirtre AC y AB es igual al ángulo 0 entre el hoúzontal y la t¿ngente en A (cuya pendiente es t¿n 0 :

dr

d-t - se escribe

BC:ABtrn0- u4,u a\ r

i).

en consecuencia. de la fórmula (11.4),

BC:a Figura 11.13

I

..-v' ¿7

PROBLEMA RESUELTO 11.6 Un vasón cle tr¿rlsDorte subterríneo sale de la estación A; aumenta sú velo-

-

l

rur¿n,1" q

it,.'

durrnt"

6

s

I

tlespuÉs a razón de 6

lu'

hasta r¡ue llega

"ido.l a la velocidad tle 48 fVs. El vagón mantiene la r¡isma lelocidad hasta que se aproxima a la estación B; en esle momento se aplican los fienos, impütiéDdo-

sále al vagón una desacele¡ación constante y provocando que se detenga en 6 s. El tiemipo de recorrjdo total desde A hasta B es de 40 s Dibujr hs curv'as a-f, o-f y;-f y determine la üstanci¿ ent:e las estaciones A y B

soLUctÓN Cun'¿ ¿rceler¿¡cirín-tiemPo. Puesto qtre la ¿ceieracjón es constirnte o cero, la curva ¿-¿ está conformida pol segrneltos de linea recta lLo¡izo¡tales

¿(fds2)

Los valores de {J

ú2

O. t / 6.

6

y ¿a se determinan de la maner¿ siguielte:

Cambio en D -

1

61

2

t '-t2:

0

-2