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UNIVERSIDAD NACIONAL JOSÉ FAUSTINO SÁNCHEZ CARRIÓN FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL

PRINCIPIO DE IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULARES CURSO: DINAMICA CICLO:

IV

SEMESTRE ACADÉMICO: 2018 – I DOCENTE:

Lic. Fis. Cristian Milton Mendoza Flores

ALUMNO:  Espinoza Solórzano, Franco  Herbozo Lucas, Tatiana  Salas Moncada, Kenia  Tolentino Pantoja, Estefany

HUACHO – PERÚ 2018

DINÁMICA – LIC. FIS. CRISTIAN MILTON MENDOZA FLORES

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ÍNDICE Caratula

Pág. 1

Índice

Pág. 2

Introducción

Pág. 3

Conceptos Básicos

Pág. 4

1.1 Principio de impulso y cantidad de movimiento angulares.

Pág. 4

1.2 Relación entre impulso y cantidad de movimiento.

Pág. 4

Métodos de la cantidad de movimiento

Pág. 4

Conceptos Generales

Pág. 5

3.1 Principio de impulso y cantidad de movimiento angulares.

Pág. 5

3.2 Impulso.

Pág. 7

3.3 Cantidad de movimiento angular.

Pág. 7

Bibliografía

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INTRODUCCIÓN Los principios del impulso y la cantidad de movimiento que van a desarrollar en este capítulo se obtienen integrando la segunda ley de newton respecto al tiempo. Las ecuaciones resultantes sirven para resolver problemas en los que haya que relacionar las velocidades de un cuerpo correspondientes a dos instantes diferentes y las fuerzas que intervienen puedan expresarse en función del tiempo. Aun cuando los principios del impulso y la cantidad de movimiento no sean imprescindibles para resolver un problema dado, resultan particularmente útiles para la solución de problemas de choque entre cuerpos y de sistemas de masa variable [1]. Este principio dice: “Dado un marco de referencia inercial, el cambio en la cantidad de movimiento angular de una partícula respecto a un punto O en un intervalo de tiempo, es igual al impulso angular total de los torques respecto al mismo punto O de las fuerzas externas que actúan sobre ésta en ese intervalo” [4]. Los conceptos de impulso y cantidad de movimiento, tanto lineales como angulares, que sirven de base para el estudio dinámico de una partícula tienen sus versiones correspondientes para un cuerpo rígido dotado de un movimiento plano general. o de algún caso particular de dicho movimiento. Como sucede en el caso de la partícula. Este enfoque dinámico resulta más adecuado cuando en los datos y las incógnitas del problema bajo consideración están involucradas fuerzas. Pares de fuerzas, tiempos y variaciones de rapideces. Tanto lineales como angulares [5].

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1.- CONCEPTOS BÁSICOS: 1.1.-Principio de impulso y cantidad de movimiento angulares: Para entender este tema debemos tener en cuenta los siguientes conceptos:  Impulso: El impulso es el producto entre una fuerza y el tiempo durante el cual está aplicada. Fuerza es constante el impulso se calcula multiplicando la F por M [6].  Cantidad de movimiento La cantidad de movimiento es el producto de la velocidad por la masa. La velocidad es un vector mientras que la masa es un escalar. Como resultado obtenemos un vector con la misma dirección y sentido que la velocidad [6]. P = m.v 1.2.-Relación entre impulso y cantidad de movimiento: El impulso aplicado a un cuerpo es igual a la variación de la cantidad de movimiento. Dado que el impulso es igual a la fuerza por el tiempo provoca una determinada variación en la cantidad de movimiento, independientemente de su masa [6].

2.-MÉTODOS DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO:

Al integrar la segunda ley de Newton con respecto al tiempo, se obtiene una relación entre la integral respecto al tiempo de las fuerzas que actúan sobre un objeto y el cambio en su cantidad de movimiento lineal. Con este resultado, llamado el principio del impulso y la cantidad de movimiento, se puede no sólo determinar el cambio en la velocidad de un objeto cuando se conocen las fuerzas externas en función del tiempo, sino también analizar impactos entre objetos y evaluar las fuerzas ejercidas por flujos continuos de masa [2].

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3.-CONCEPTOS GENERALES: 3.1.-Principio del impulso y de la cantidad de movimiento angular: La posición de un objeto respecto a un marco de referencia inercial con origen O puede describirse con el vector de posición r de O al centro de masa del objeto (Figura1). Recuerde que se obtuvo el útil principio del trabajo y la energía tomando el producto punto de la segunda ley de Newton por la velocidad. Aquí se obtendrá otro resultado tomando el producto vectorial de la segunda ley de Newton por el vector de posición. Este procedimiento proporciona una relación entre el momento de las fuerzas externas respecto a O y el movimiento del objeto. Si se toma el producto cruz de la segunda ley de Newton por r [2]:

Formula (1).

Observe que la derivada respecto al tiempo de la cantidad es:

Formula (2).

(El primer término en el lado derecho es cero porque dr/dt = v y el producto cruz de vectores paralelos es igual a cero). Usando este resultado es posible escribir la ecuación (Formula 1) como [2]:

𝑑𝐻

r X ∑ 𝑭 = 𝑑𝑡0 Formula (3).

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Donde el vector:

Formula (4).

Figura [1].

Figura 1: (a) Vector de posición y fuerza externa total sobre un objeto. (b) Vector de la cantidad de movimiento angular y regla de la mano derecha para determinar su dirección. Se llama cantidad de movimiento angular respecto a O (figura 1). Si se interpreta la cantidad de movimiento angular como el momento de la cantidad de movimiento lineal del objeto respecto a O, la ecuación (3) establece que el momento es la razón de cambio del momento de la cantidad de movimiento respecto al punto O. Si el momento es cero durante un intervalo de tiempo, es constante. Integrando la ecuación (3) respecto al tiempo, se obtiene [2]:

Formula (5).

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La integral de la izquierda se llama impulso angular y la ecuación se llama principio del impulso y de la cantidad de movimiento angular: el impulso angular aplicado a un objeto durante un intervalo de tiempo es igual al cambio en su cantidad de movimiento angular. Si se conoce el momento en función del tiempo, se puede determinar el cambio en la cantidad de movimiento angular. Las dimensiones del impulso y la cantidad de movimiento angular son (masa) x (longitud)2/(tiempo) [2].

3.2.-Impulso: El impulso es el producto entre una fuerza y el tiempo durante el cual está aplicada. Es una magnitud vectorial. El módulo del impulso se representa como el área bajo la curva de la fuerza en el tiempo, por lo tanto si la fuerza es constante el impulso se calcula multiplicando la F por Δt, mientras que si no lo es se calcula integrando la fuerza entre los instantes de tiempo entre los que se quiera conocer el impulso [7]. Cuando un objeto golpea a un segundo objeto, una fuerza media F actúa sobre el segundo objeto durante un corto intervalo de tiempo ∆t haciendo que éste se acelere desde el reposo hasta una velocidad final Vf. A partir de la segunda ley de Newton, se conoce que [8]: F = mA = m Multiplicando por ∆t se obtiene: F∆t = m (Vf – Vo) O bien, F∆t = mVf – mVo El impulso (F∆t) es una cantidad vectorial de igual magnitud que el producto de la fuerza por el intervalo de tiempo en el que actúa. Su dirección es la misma que la de la fuerza [8]. 3.3.-Cantidad de movimiento angular: Considérese una partícula P de masa m que se mueve con respecto a un sistema de referencia newtoniano Oxyz. Como se estudió, la cantidad de movimiento lineal de la partícula en un instante determinado se define como el vector mv obtenido al multiplicar la velocidad v de la partícula por su masa m. El momento alrededor de O del vector mv se denomina momento de la cantidad de movimiento, o la cantidad de movimiento angular de la partícula en DINÁMICA – LIC. FIS. CRISTIAN MILTON MENDOZA FLORES

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torno a O en ese instante y se denota por medio de Ho. Al recordar la definición del momento de un vector y denotar mediante r el vector de posición de P, se escribe [3].

HO = r × mv Formula (6).

Figura [2].

Se tiene que HO es un vector perpendicular al plano que contiene r y mv y de magnitud HO = r × mv × sin ø Formula (7).

Donde ø es el ángulo entre r y mv (figura 2). El sentido de HO puede determinarse a partir del sentido de mv aplicando la regla de la mano derecha. La unidad de cantidad de movimiento angular se obtiene al multiplicar las unidades de longitud y de cantidad de movimiento lineal. Con unidades del SI se tiene [3]:

Formula (8).

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Con unidades de uso común en Estados Unidos, se escribe:

Formula (9).

Al descomponer los vectores r y mv en componentes y aplicar la fórmula:

Formula (10).

Las componentes de 𝐻𝑂 , las cuales representan también los momentos de la cantidad de movimiento lineal mv alrededor de los ejes de coordenadas, se obtienen expandiendo el determinante en (formula 10). Se tiene [3]:

Formula (11).

En el caso de una partícula que se mueve en el plano xy, se tiene z = vz = 0 y las componentes Hx y Hy se reducen a cero. De tal modo, la cantidad de movimiento angular es perpendicular al plano xy; en ese caso se define por completo mediante el escalar [3]:

Formula (12). DINÁMICA – LIC. FIS. CRISTIAN MILTON MENDOZA FLORES

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Que será positivo o negativo de acuerdo con el sentido en el cual se observa que la partícula se mueve desde O. Si se recurre a coordenadas polares, se descompone la cantidad de movimiento lineal de la partícula en las componentes radial y transversal (figura 3) y se escribe [3]:

Formula (13).

Recordando que vθ = r𝜃̇ HO = mr2𝜃̇

Figura [3].

A continuación, se calcula la derivada con respecto a t de la cantidad de movimiento angular 𝐻0 de la partícula P que se mueve en el espacio. Al diferenciar ambos miembros de la ecuación (Formula 6), y recordar la regla para la diferenciación de un producto vectorial, se escribe:

Formula (14).

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Puesto que los vectores v y mv son colineales, el primer término de la expresión que se obtiene es cero; y, mediante la segunda ley de Newton, ma es igual a la suma ∑ 𝐅 de las fuerzas que actúan sobre P. Si r × ∑ 𝑭 representa la suma ∑ 𝑴𝑶 de los momentos alrededor de O de estas fuerzas, se escribe [3]:

∑𝑀𝑂 = 𝐻̇ 𝑜 Formula (15).

La Formula (15), que resulta directamente de la segunda ley de Newton, establece que la suma de los momentos de O de las fuerzas que actúan sobre la partícula es igual a la razón de cambio del momento de la cantidad de movimiento, o cantidad de movimiento angular, de la partícula alrededor de O [3].

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BIBLIOGRAFÍA [1]. WILLIAM F. RILEY – LEROY D. STURGES. Ingeniería Mecánica: Dinámica, editorial reverté S.A. [2]. ANTHONY BEDFORD – WALLACE FOWLER. (2008) Mecánica para ingeniería: Dinámica (5ta EDICIÓN), México, Editorial, Pearson Educación de México, S.A. [3]. FERDINAND P. BEER – E. RUSSERLL JOHNSTON, JR. – PHILLIP J. CORNWELL. (2010) Mecánica Vectorial para Ingenieros: Dinámica (9 na EDICIÓN), México, Editorial, McGRAW-HILL/INTERAMERICANA EDITORES, S.A. [4]. UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MEDELLÍN-FACULTAD DE CIENCIAS-ESCUELA DE FÍSICA-FÍSICA MECÁNICA-MÓDULO # 19: DINÁMICA DE LA PARTÍCULA –CANTIDAD DE MOVIMIENTO. [5]. LUIS ORDOÑEZ REYNA. Dinámica del cuerpo rígido – Métodos de trabajo y energía e impulso y cantidad de movimiento. – Universidad Nacional Autónoma de México. Facultad de Ingeniería. [6]. Principio de impulso y cantidad de movimiento angulares - De Carlos Eduardo el 21 de Julio de 2014. Documento Prezi. [7]. Física practica – www.fisicapractica.com – 2007.2018. [8]. Monografías Plus - Resumen Sobre Impulso Y Cantidad De Movimiento.

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