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PROF. ARMANDO BLANCO DEL ROSARIO

UNA INTERPRETACIÓN CUALITATIVA DE LOS DIAGRAMAS DE FASE EN UN CONTEXTO ECONÓMICO RESUMEN Las soluciones a un sistema de ecuaciones del tipo  x = f (x,y)   y = g(x,y)

ɺ ɺ

puede representarse de manera gráfica de distintas formas. Una posibilidad es simplemente graficar las soluciones x(t) , y(t). El problema de esto es que es necesario conocer, si no la solución explícita, al menos su comportamiento cualitativo. Otra posibilidad es que, dada una solución   x (t)  x (t) =   y(t)   

ésta puede interpretarse como un conjunto de ecuaciones paramétricas de manera que para  cada valor de t se tiene un punto x(t) en IR 2 . Dados un punto inicial

( x(0) , y(0) )

y un intervalo de valores para t, los puntos puede hacerse

en el plano y los diagramas correspondientes son conocidos como DIAGRAMAS DE FASE. Debemos hacer notar que, dada que se trata de un sistema autónomo, dos trayectorias solución distintos nunca se intersecan. En ocasiones, desconocemos la forma específica de las funciones f (x , y) y g(x , y) , pero sabemos algunos de sus propiedades, como el que sean doblemente diferenciables o el signo de sus derivadas parciales. Esta situación es sumamente común en economía, ya que frecuentemente se tienen funciones “genéricas” y se desean conclusiones generales de tipo cualitativo.

PERTINENCIA DEL TEMA ABORDADO En muchos casos uno se encuentra con ecuaciones diferenciales que no es posible resolver explícitamente. El análisis cualitativo es una herramienta que nos ayuda a estudiar el comportamiento del sistema a pesar de que no tengamos una solución analítica explícita. Para llevar a cabo este tipo de análisis se utilizan las diagramas de fase.

MARCO TEÓRICO DIAGRAMAS DE FASE El análisis gráfico de sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas  x = f (x,y)   y = g(x,y)

ɺ ɺ

sirve para determinar el comportamiento de los puntos de equilibrio y de las trayectorias solución del sistema con algunas condiciones iniciales.

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En un diagrama de fase se trazan las curvas que son soluciones del sistema, esto es, se grafican las curvas formadas por los puntos ( x (t) , y(t)) de tal forma que los valores de x = x(t) y y = y(t) satisfagan el sistema para t en algún intervalo. El sistema geométricamente describe el movimiento de una partícula en el plano : la ecuación ɺx = f(x,y) determina el movimiento de la partícula con respecto al eje x , ya que ɺx representa el crecimiento de la variable x a medida que el tiempo crece; en la región donde ɺx = f(x,y) > 0 la partícula se mueve en la dirección de crecimiento del eje x y en la región donde ɺx = f(x,y) < 0 la partícula se mueve en la dirección hacia donde el eje x decrece. De la misma forma ɺy = g(x,y) determina el movimiento de la partícula en la dirección del eje y. Para hacer el diagrama de fase en un sistema coordenado usual se traza la curva f (x , y) = 0 y se determinan las regiones donde f (x , y) > 0 y f (x , y) < 0 ; en la primera la trayectoria solución del sistema se mueve a la derecha, ɺx > 0 , en la gráfica esto se indica por medio de una flecha hacia la derecha (→). En la región donde f (x,y) < 0 la trayectoria debe moverse hacia la izquierda, lo que se indica con una flecha hacia la izquierda (←). Puesto que las trayectorias pueden atravesar la curva f (x , y) = 0 , si lo hace, en el punto de cruce xɺ = 0 , es decir, en ese punto la tangente a la trayectoria debe ser vertical; esto se indica en la gráfica colocando una línea vertical (figura 1). Para determinar el crecimiento de la trayectoria solución al sistema con respecto al eje y se traza el contorno g(x , y) = 0 y se determinan los contornos superior e inferior, esto es, la región donde g(x , y) > 0 y g(x , y) < 0 . En el contorno superior la trayectoria se mueve en dirección al crecimiento del eje y , lo que se indica por medio de una flecha hacia y f(x, y) = 0

x

Figura 1: El contorno f(x,y) = 0 determina las regiones donde la trayectoria se mueve a la derecha o a la izquierda

arriba (↑) y donde g(x,y) < 0 por una flecha hacia abajo (↓) que indica que la trayectoria se mueve hacia abajo. En los puntos de cruce de las trayectorias solución con la gráfica de g(x,y) = 0 las tangentes a las trayectorias deben ser horizontales, allí ɺ y = 0 , en la gráfica se indica con una recta horizontal atravesada al gráfico de g(x,y) = 0 (figura 2). Al reunir y g(x,y) = 0

x Figura 2: El contorno g(x,y) = 0 determina las regiones donde la trayectoria se mueve hacia arriba o hacia abajo.

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el comportamiento de los gráficos anteriores se encuentra el crecimiento de las trayectorias solución del sistema y los puntos de equilibrio que están en la intersección de las curvas f (x,y) = 0 y g(x,y) = 0 ; en esos puntos ɺ x=ɺ y = 0 (figura 3) Las trayectorias solución del sistema se trazan siguiendo el movimiento indicado por las flechas y el tipo de cruces encontrados en este proceso. En la figura 4 se muestran algunas trayectorias. y

g(x,y) = 0

f(x,y) = 0

x

Figura 3: Indicaciones del crecimiento de las trayectorias solución del sistema

y y=0

x=0

x

Figura 4: Algunas trayectorias solución del sistema.

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ALGUNOS EJEMPLOS EJEMPLO 1 :

Considere el par de ecuaciones diferenciales  x = y − x3   y = 1 − xy

ɺ ɺ

Bosquejamos su diagrama de fase.

a. Hallamos la curva de demarcación ɺx = 0 y el diagrama de flechas

ɺx = 0 = y − x3

; ∇x = ( −3x 2 , 1)

ɺ

x=0 ∇x x = y − x3 > 0

x = y − x3 < 0

x=0 Figura 5.

b. Hallamos la curva de demarcación ɺy = 0 y el diagrama de flechas

ɺy = 0 = 1 − xy

; ∇y = ( − y , − x)

ɺ

y=0 y = 1 − xy < 0

∇y y=0

y=0

∇y y = 1 − xy > 0

y = 1 − xy < 0 y=0 Figura 6.

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c. El diagrama de flechas o curvas de demarcación del sistema y=0

y

x=0

y=0 x

y=0

x=0

y=0 Figura 7.

EJEMPLO 2 : Supongamos que la demanda para un bien depende de su precio p y la oferta de su precio esperado v las cantidades demandadas y ofertados son D( p ) y S(v ) donde D y S son funciones tal que D′( p ) < 0 y S′(v ) > 0 . Supongamos que el precio p reacciona al desequilibrio del mercado, con su tasa de cambio proporcional a su desequilibrio. Esto es dp dt

= α(D( p ) − S(v )) ,

α > 0 (constante)

Asumimos que el precio esperado tiene una tasa de cambio proporcional a su adaptación en el mercado. dv dt

= β( p − v ) , β > 0 (constante)

Bosquejamos el diagrama de fase del sistema :    

dp dt

= α (D( p ) − S(v )) ,

dv dt

= β(p − v )

α>0 , β>0

v

a) pɺ = α (D( p ) − S(v )) 0 = α (D( p ) − S(v )) ⇒

dv dp

p=0 v=0