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Actividades a desarrollar  Cada estudiante escogerá una (1) ecuación de diferencias de las expuestas a continuación, luego reportará en el foro su decisión, esto con el fin de que cada estudiante tenga una ecuación diferente. Ecuación seleccionada 4.

y [n]=b0 x [n ]−a 1 y [n−1]−a 2 y [n−2]

 Cada estudiante realizará el diagrama de bloques de su ecuación de diferencia en la página de internet: https://www.draw.io/

Para ingresar a la aplicación, deben dar click donde aparece: “Decide Later”. Una vez realicen el diagrama, pueden tomar pantallazo y copiarlo al informe. NOTA: También puede realizarlo en otro software que permita realización de diagramas de flujo, no se tendrán en cuenta diagramas encontrados y/o copiados de internét.

 Cada estudiante realizará la transformada Z de la ecuación de diferencias. Esta debe realizarse en el editor de ecuaciones de Word. No se aceptan pantallazos.

∞

∑ ( b0 x [ n ]−a1 y [ n−1 ] −a2 y [ n−2 ] ) z−n

y [ n ] z−n=¿

n=−∞

∞

Y (z )= ∑ ¿ n=−∞

∞

Y ( z ) =b0

∑

n=−∞

∞

x [ n ] z−n−a1

∑

n=−∞

∞

y [ n−1 ] z−1−a 2

−1

∑

y [ n−2 ] z−2

n=−∞

−2

Y ( z ) =b0 X ( z )−a 1 Y ( z ) z −Y ( z ) a 2 z

Y ( z ) + a1 Y ( z ) z −1 +a2 Y ( z ) z−2=b 0 X ( z ) −1

−2

Y ( z ) (1+ a1 z +a2 z )=b0 X ( z )

Luego la transformada Z de la señal de salida es: Y (z)=

b0 X ( z ) 1+ a1 z−1 +a2 z−2

 Una vez se tenga la transformada Z de la ecuación de diferencia, cada estudiante hallará la función de transferencia del sistema H(Z). Esto también se realizará con el editor de ecuaciones de Word. Recordar que la función de transferencia es: H (z )=

Y (z) X ( z)

Reempl0o el valor anterior de la transformada Z: H (z )=

Y ( z) =¿ X ( z)

[

b0 X ( z ) 1 X ( z ) 1+a 1 z−1+ a2 z−2 H (z )=

]

b

0 −1

1+ a1 z + a2 z−2

 Una vez se tenga la función de transferencia, se hallará la respuesta en frecuencia del sistema, remplazando: z=e

jw

H (z )=

¿

b

0 −1

−2

1+ a1 z + a2 z b0 − jw

1+ a1 e

H (w)=

−2 jw

+a2 e

b0 1+a 1 e

− jw

−2 jw

+a2 e

 Una vez se cuente con la respuesta en frecuencia del sistema, se hallará la magnitud de la respuesta en frecuencia, para ello se aplicará la identidad de Euler, que según el caso se podría utilizar cualquiera de las siguientes ecuaciones: e jw =co s( w)+ jsin (w) e− jw =−co s ( w )− jsin (w)

H (w)=

H (w)=

b0 1+ a1 (cos ( w )− jsen ( w ))+ a2 ( cos ( 2 w )− jsen ( 2 w ) )

b0 [1+ a1 cos ( w ) + a2 cos ( 2 w ) ]− j[a1 sen ( w ) +a 2 senj(2 w)]

Esta es una ecuación irracional, entonces tenemos que multiplicar por el complejo conjugado del denominador. Siendo: jθ Ae Donde

θ

tan ( θ )=

es el ángulo formado por el número complejo en el plano complejo

−a1 sen ( w )−a2 sen(2 w) 1+ a1 cos ( w ) + a2 cos ( 2 w )

A la magnitud del número complejo A= √[1+ a1 cos ( w ) + a2 cos ( 2 w ) ] +[a 1 sen ( w ) + a2 sen(2 w)] 2

2

Haciendo las operaciones que hay dentro de la raíz se obtiene: A= √1+a 12+ a22+ 2a 1(1+ a2 )cos ( w ) +2 a2 cos ⁡( 2 w)

Teniendo en cuenta las definiciones anteriores, la función de transferencia se escribirá como: b b H ( w ) = 0jθ = 0 e− j θ A Ae Luego la amplitud cuadrada de la función de respuesta de frecuencia será: H (w)2=

|H ( w )|=

b 02 b02 = A 2 1+a12 +a 22+2 a1 (1+ a2)cos ( w ) +2 a2 cos ⁡( 2 w)

b0

√1+ a

2 1

2

+ a2 + 2 a1 (1+ a2 )cos ( w ) +2 a2 cos ⁡( 2 w)

 Se hallará la función que represente la respuesta en Fase del sistema, recordar utilizar la siguiente ecuación: θ ( a+bj ) =arctan

( ba )

donde a y b son los coeficientes del numero imaginario

( a+bj )

Ya sabemos que

H (w)=

b0 − jθ b0 jφ e = e A A

Siendo el ángulo -ϴ la fase de la función de respuesta en frecuencias, −a sen ( w )−a2 sen(2 w) tan ( θ )= 1 1+ a1 cos ( w ) + a2 cos ( 2 w ) Pero la función tangente es impar, luego: tan ( φ )=tan (−θ ) =−tan ( θ )

tan ( φ )=

a1 sen ( w )+ a2 sen (2 w) 1+ a1 cos ( w )+ a2 cos ( 2 w )

φ=tan −1

[

a1 sen ( w ) +a 2 sen ( 2 w ) 1+ a1 cos ( w )+ a2 cos ( 2 w )

]