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C.E.Te.C Carrera: Técnico Superior En Análisis De Sistemas Asignatura: Matemática I

Determinantes

UNIDAD V: DETERMINANTES Dada una matriz cuadrada A de orden n de elementos aij se llama Determinante de A y se simboliza A, al número real que se obtiene de la siguiente manera: ∗ Si A es de orden 1, esto es: A = [a11 ] entonces A = a11 ∗

a  a a a Si A es de orden 2, esto es: A =  11 12  entonces A = 11 12 = a11.a22 − a12 .a21 a21 a22  a21 a22 

∗

Si A es de orden 3 entonces A se puede obtener aplicando la Regla De Sarrus:  a11 a12 A =  a21 a22   a31 a32

a13  a11 a12  a23 entonces A = a21 a22  a33  a31 a32

(+)

a13 a23 a33

(-)

a11 a12 a21 a22 a31 a32

a13 a23 a33

a11 a12 a21 a22 a31 a32

a13 a23 a33

Es decir que: A = ( a11.a22 .a33 + a21.a32 .a13 + a12 .a23 .a31 ) − ( a13.a22 .a31 + a12 .a21.a33 + a23 .a32 .a11 ) Observación: Otra forma de resolver el determinante por la Regla De Sarrus es, agregando las dos primeras filas debajo de la tercer fila o las dos primeras columnas a la derecha de la tercer columna y calcular, en cualquiera de los dos casos, los productos de las diagonales. a11 A = a21 a31

a12 a22 a32

a13 a23 a33

a11

a12

a13

a21 A = a31 a11 a21

a22 a32 a12 a22

a23 a33 a13 a23

a11 a21 a31

a12 a22 a32

Ejemplo:  -1 2 0  A =  1 -1 2     0 3 1  ∴ A = ( ( −1).( −1).1 + 2.2.0 + 1.3.0 ) − ( 0.( −1).0 + 2.3.( −1) + 2.1.1) = (1 + 0 + 0 ) − ( 0 + (−6) + 2 ) = 1 − (−4) = 5

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Determinantes

Otra forma de resolverlo sería: −1 2 0 − 1 2 A = 1 −1 2 1 −1 = (1 + 0 + 0 ) − ( 0 + ( −6) + 2 ) = 1 − ( −4) = 5 0 3 1 0 3 -1 1 A= 0 -1 1

2 -1 3 2 -1

0 2 1 = (1 + 0 + 0 ) − ( 0 + ( −6) + 2 ) = 1 − ( −4) = 5 0 2

*Si A es de orden 4 entonces el desarrollo del determinante es más largo y no hay una regla sencilla para calcularlo. Existen varios métodos para calcular determinantes, en general de orden n, sólo veremos algunos de ellos.

Submatrices: Definición: Una submatriz de una matriz A de orden m x n, es una matriz que se obtiene suprimiendo de A una o más filas y/o una o más columnas. En particular trabajaremos con submatrices cuadradas de orden n y escribiremos Aij para representar la submatriz de A que se obtiene al suprimir de A la i-ésima fila y la j-ésima columna. Ejemplo:  1 3 -2 4   1 0 2 7  A=   6 1 8 4    -1 -1 2 0 

 1    A13 =  6  -1 algunas submatrices de ella pueden ser:  1   A22 =  6   -1 

0 7 1 4  -1 0  -2 4  8 4  2 0 

Si suprimimos las filas 1 y 4, y las columnas 2 y 3, obtenemos la submatriz: 1 7  A14,23 =   6 4

Menor Complementario: Definición: Dada la matriz cuadrada A de orden n, se llama menor complementario del elemento aij al determinante de la submatriz Aij de A, es decir, al determinante de la matriz que resulta de suprimir la i-ésima fila y la j-ésima columna de la matriz A. Al menor complementario lo indicaremos Mij, por lo tanto: M ij = Aij Ejemplo:  3 -1 Si B =   2 4 

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 M 11 = B11 = 4 = 4 entonces:   M 21 = B21 = −1 = −1

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 1 -1 2  Si A =  0 1 -1    -1 2 1 

Determinantes

-1   M 21 = A21 = 2  entonces:  M = A = 1 32  32 0 

2 = ( ( −1).1) − ( 2.2 ) = −1 − 4 = −5 1 2 = (1.( −1) ) − ( 2.0 ) = −1 − 0 = −1 -1

Adjunto O Cofactor: Definición: Se llama adjunto o cofactor del elemento aij al menor complementario de ese elemento precedido de un signo positivo o negativo según sea i+j par o impar y se indica Cij. Es decir: cij = ( −1) Ejemplo:  4 1 -1 B =  0 -2 2     2 -1 0 

⇒

C23 = ( −1)

2+ 3

i+ j

. M ij = ( −1)

. B23 = ( −1) . 5

i+ j

. Aij

4 1 = ( −1). ( 4.( −1) − 1.2 ) ( −1).( −6) = 6 2 −1

Habiendo definido menor complementario y adjunto o cofactor, podemos desarrollar determinantes de matrices de orden n donde n ≥ 2, aplicando el siguiente método:

Desarrollo Por Fila O Columna: Este método permite reducir el cálculo de un determinante de orden n a determinantes de orden n–1, de la siguiente manera: n

A = ∑ aij .cij = ai1.ci1 + ai 2 .ci 2 + j =1

+ ain .cin , ∀i = 1,… , n

(por fila)

Que equivale a calcular el determinante de A desarrollándolo por los elementos de la i-ésima fila de A. También se puede calcular el determinante de A desarrollándolo por los elementos de la j-ésima columna de A, de la siguiente manera: n

A = ∑ aij .cij = a1 j .c1 j + a2 j .c2 j + i =1

+ anj .cnj , ∀j = 1,… , n

(por columna)

Ejemplo:  1 2 -1 1) Sea A =  0 3 1     2 1 4  Si calculamos el A por los elementos de la segunda fila resulta: 1 2 -1 3 2 -1 1 -1 1 2 A = 0 3 1 = ∑ a2 j .c2 j = a21.c21 + a22 .c22 + a23.c23 = 0.( −1) 2+1. + 3.( −1) 2+2 . + 1.( −1) 2+3. = 1 4 2 4 2 1 j =1 2 1 4 = 3.1. ( 4 + 2 ) + 1.( −1). (1 − 4 ) = 18 + 3 = 21 Se podría desarrollar el determinante de A por cualquier fila o columna de A y el resultado sería, en cualquier caso 21. Prof Alfonso

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Determinantes

2) 1 3 B = 0 -3

0 -1 4 4 0 4 0 = ∑ a2 j .c2 j = a21.c21 + a22 .c22 + a23.c23 + a24 .c24 = 2 8 7 j =1 0 -7 0

0 -1 4 1 -1 4 1 0 4 1 0 -1 2+2 2 +3 2+ 4 =3.( −1) . 2 8 7 + 0.( −1) . 0 8 7 + 4.( −1) . 0 2 7 + 0.( −1) . 0 2 8 = 0 -7 0 -3 -7 0 −3 0 0 -3 0 -7 2 +1

=3.(-1).(-56) + 0 + 4.( −1).24 + 0 = 168 − 96 = 72 Nota: El método de desarrollo por fila o columna es un caso particular de una regla mas general para resolver determinantes de orden n que se conoce como Regla De Laplace. Supongamos que en un determinante de orden n se han elegido arbitrariamente k filas (o k columnas) tal que 1 ≤ k ≤ n − 1 . Entonces dicho determinante es igual a la suma de los productos de todos los menores de orden k (M*) contenidos en las filas elegidas por sus respectivos adjuntos. La regla de Laplace, reduce es calculo de un determinante de orden n al calculo de un determinante de orden k y n-k. Ejemplo: 1 4 A= 2 -2

3 3 4 1

4 -2 0 -1 1 3 0 4

 Elegimos la 2a y 4a fila y hallamos los menores de orden 2   *  que se pueden formar con esas 2 filas, que simbolizaremos M  * M 24,12 =

4 3 4 0 4 -1 * * = 10 ; M 24,13 = = 0 ; M 24,14 = = 14 -2 1 -2 0 -2 4

* = M 24,23

3 0 3 -1 0 -1 * * = 0 ; M 24,24 = = 13 ; M 24,34 = =0 1 0 1 4 0 4

A estos valores los multiplicammos por sus correspondientes adjuntos: ∗ ∗ ∗ ∗ ⋅ ( −1) 2+ 4+1+ 2 ⋅ M 24,12 + M 24,13 ⋅ ( −1) 2+ 4+1+3 ⋅ M 24,13 + M 24,14 ⋅ ( −1) 2+ 4+1+ 4 ⋅ M 24,14 + M 24,23 ⋅ ( −1) 2+ 4+ 2+3 ⋅ M 24,23 + A = M 24,12 ∗ ∗ + M 24,24 ⋅ ( −1) 2+ 4+ 2+ 4 ⋅ M 24,24 + M 24,34 ⋅ ( −1) 2+ 4+3+ 4 ⋅ M 24,34

A = 10 ⋅ ( −1).

4 −2 3 4 1 4 +14 ⋅ (-1). +13 ⋅ 1 ⋅ 1 3 4 1 2 1

A = −10 ⋅ 14 − 14 ⋅ ( −13) + 13 ⋅ ( −7) = −49 ∴ A = −49

Propiedades de Determinantes: 1) El determinante de la matriz identidad de cualquier orden es 1. Es decir: I = 1 2) El determinante de una matriz cuadrada A de orden n, no varía al calcular el determinante de su transpuesta. Es decir: A = At 3) Si una matriz tiene una fila o columna con todos sus elementos iguales a cero, el determinante es nulo.

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Determinantes

Ejemplo:  2 -1 0 A =  5 2 0 ⇒ A = 0    -1 3 0 4) Si en una matriz se intercambian dos filas o columnas, su determinante cambia de signo. Ejemplo: 1 -1 2  B = 0 1 -1 ⇒ B =7   0 3 4  0 1 -1 B′ = 1 -1 2  ⇒ B ′ = −7   0 3 4  5) Si una matriz cuadrada A de orden n, tiene dos columnas o filas iguales entonces su determinante es cero. Ejemplo: 1 -1 2  C = 3 0 1  ⇒ C = ( 0 + ( −6) + ( −1) ) − ( 0 + ( −6) + ( −1) ) = 0   1 -1 2  1 −2  D= ⇒ D =0  1 −2  6) Si en una matriz cuadrada A de orden n, se multiplican los elementos de una columna o fila por un número real k entonces el determinante de la nueva matriz resulta multiplicado por k. Ejemplo: 1 -1 2  B = 0 1 -1 ⇒ B =7   0 3 4  Si a la fila 1 la multiplicamos por 2:  2 -2 4  ( k = 2 ) . fila 1 → B′ = 0 1 -1  0 3 4 

⇒

B′ = 14 = 2.7 = 2. B

B′ =7 2 7) Si en una matriz cuadrada A de orden n, se reemplaza una fila (o columna) por la suma de dicha fila (o columna) más una combinación lineal de alguna de las otras entonces su determinante no varía: Ejemplo: Para obtener el determinante de B, tenemos que hacer:

1 -1 2  B = 0 1 -1   0 3 4 

⇒

B =7

 1 -1 2  B′ = -3 4 -7     0 3 4 

⇒

B′ = 7

(-3).fila 1 + fila 2

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Determinantes

8) Si una fila o columna de una matriz se reemplaza en suma de dos o más filas o columnas, su determinante puede descomponerse en dos o más determinantes. a+b p q a p q b p q c+d r s = c r s + d r s e+ f t u e t u f t u Ejemplo: 1 -1 2 -3 4 -7 0 3 4

1 -1 2 1 -1 2 = -2 1 -4 + -1 3 -3 0 3 4 0 3 4

⇒

7 = −4 + 11

( −2 − 1) , (1 + 3) , ( −4 − 3) 9) Si en una matriz cuadrada A de orden n, una fila o columna de una matriz es combinación lineal de las demás, su determinante es cero (0). Ejemplo:  1 -1 2  A =  3 -4 1  ⇒ A =0    -1 2 3  2. fila1 + fila 2  ( −1, 2,3) = α . (1, −1, 2 ) + β . ( 3, −4,1)  Despejando: α = 2 y β = −1 10) Si A y B son matrices cuadradas de orden n, entonces el determinante del producto entre A y B es igual al producto de los determinantes de las matrices. A⋅ B = A ⋅ B 11) Si A es una matriz triangular entonces el determinante de A es igual al producto de los elementos de la diagonal principal. Ejemplo: 1 2 0 A = 0 −1 1 = 1.( −1).4 = -4 0 0 4

Reducción A La Forma Escalonada: Este es otro método para calcular determinantes y consiste en aplicar ciertas operaciones que nos permite obtener una matriz triangular inferior o superior equivalente a la matriz dada. Aplicando estas operaciones obtenemos una matriz equivalente a la dada pero que sea triangular o que tenga la forma escalonada para poder aplicar la propiedad de que el determinante de una matriz triangular es igual al producto de los elementos de la diagonal principal. No hay que olvidar que al aplicar las operaciones elementales a las filas de la matriz para calcular su determinante, debemos trabajar con las propiedades correspondientes de determinantes.

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Determinantes

Dichas operaciones son: I) Intercambiar dos filas (o columnas) entre sí. En este caso el determinante cambia de signo. II) Multiplicar una fila (o columna) por un escalar k ≠ 0. En este caso el determinante queda multiplicado por un escalar III) Reemplazar una fila (o columna) por la suma de ella y una combinación lineal de la otra. En este caso el determinante no varía. Ejemplo:  2 3 1 Sea A =  -1 5 2    3 -1 0 

Busquemos A′ ,tal que A′ sea equivalente a A pero A′ sea triangular.

1 -5 -2   2 3 1  Intercabio fila 1  -1 5 2  Multiplico a la  1 -5 -2  por fila 2 fila 1 por (-1)    -1 5 2    (-2).fila 1 + fila 2 →fila 2 → 2 3 1 → 2 3 1 → 0 13 5  →          3 -1 0   3 -1 0   3 -1 0   3 -1 0  1 -5 -2 1 -5 -2  1 -5 -2  1 → .fila 2 fila 2 0 13 5   (-3).fila 1 +fila 3 → fila 3 (-14).fila 2 + fila 3 → fila 3 13 → →  0 1 135   → 0 1 135  =       0 0 138  0 14 6  0 14 6  Luego:

A′

8  A = −( −1).13.  1.1.  = 8 13   Definición: Una matriz A de orden n tiene inversa si existe una matriz B tal que A x B = B x A =I, donde I es la matriz identidad de orden n. Observaciones: 1) No toda matriz tiene su inversa. 2) La inversa de una matriz, si existe, es única y se denota A−1 .

Adjunta de una matriz: Dada una matriz cuadrada A de orden n, se llama matriz adjunta de A y se indica Adj. A o A* , la matriz que se obtiene reemplazando cada elemento de At por su correspondiente adjunto o cofactor. Recordemos que el adjunto del elemento que está en la i-ésima fila y en la j-ésima columna de A se obtiene como: Cij = ( −1)i + j .M ij = ( −1)i + j . Aij Ejemplo: 1 3 3 1 1 1  Si B = 1 3 4  entonces B t =  3 3 4      1 4 3  3 4 3

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C11 = ( −1)1+1. B11 = ( −1) 2 .

3 4 = 1. ( 9 − 16 ) = −7 4 3

C12 = ( −1)1+ 2 . B12 = ( −1)3.

3 4 = ( −1). ( 9 − 12 ) = 3 3 3

C13 = ( −1)1+3 . B13 = ( −1) 4 .

3 3 = 1. (12 − 9 ) = 3 3 4 1 1

C21 = ( −1) 2+1. B21 = ( −1)3 .

4 3

= ( −1). ( 3 − 4 ) = 1

C22 = ( −1) 2+ 2 . B22 = ( −1) 4 .

1 1 = 1. ( 3 − 3) = 0 3 3

C23 = ( −1)2+3 . B23 = ( −1)5 .

1 1 = ( −1). ( 4 − 3) = −1 3 4

C31 = ( −1)3+1. B31 = ( −1) 4 .

1 1 = 1. ( 4 − 3) = 1 3 4

C32 = ( −1)3+ 2 . B32 = ( −1)5 . C33 = ( −1)3+3. B33 = ( −1)6 .

Determinantes

1 1 3 4

= ( −1). ( 4 − 3) = −1

1 1 = 1. ( 3 − 3) = 0 3 3

Luego :  -7 3 3  Adj. B = B* =  1 0 -1    1 -1 0  Propiedad: A ⋅ Adj. A = Adj. A ⋅ A = A ⋅ I ó A ⋅ A∗ = A∗ ⋅ A = A ⋅ I Ejemplo: Para la matriz B del ejemplo anterior. 1 3 3 B = 1 3 4  entonces B   1 4 3 1 3 3 -7 3 B ⋅ Adj. B = 1 3 4  ⋅  1 0    1 4 3  1 -1

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= −1 3   -1 0 0  -1 =  0 -1 0  = ( −1). I 3    0   0 0 -1

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Matriz Inversa:

Determinantes

Si en la expresión: A ⋅ Adj. A = Adj. A ⋅ A = A ⋅ I

1

Es A ≠ 0 entonces dividiendo en 1 por el determinante de A nos queda: A ⋅I A ⋅ Adj. A Adj. A ⋅ A = = =I A A A De donde resulta que: A−1 =

Adj. A A

Porque sabemos que: A ⋅ A−1 = I A la matriz A−1 se le llama "matriz inversa de A " *En el ejemplo anterior:  -7 3 3  Adj. B = B* =  1 0 -1    1 -1 0   7 -3 -3 −1 ∴ B =  -1 0 1     -1 1 0 

-7 3 3   1 0 -1   -7 3 3   7 -3 -3 1 -1 0   Adj . B  = ( −1).  1 0 -1 =  -1 0 1  entonces B −1 = =     B −1  1 -1 0   -1 1 0 

Propiedad: Si A es una matriz cuadrada de orden n entonces: A es inversible si, y solo si A ≠ 0

Método De Gauss-Jordan para hallar la inversa de una matriz Como acabamos de ver la matriz inversa de una matriz A se puede encontrar a través de su matriz Adjunta, el siguiente método es otra forma alternativa de encontrar dicha matriz inversa. Sea A una matriz cuadrada, para hallar la inversa de A aplicaremos las operaciones elementales. Para ello a la derecha de A se escribe la matriz identidad del mismo orden que A, es decir:

A

I

Se le aplica a la matriz A un número finito de operaciones elementales, hasta lograr la matriz identidad y al mismo tiempo, se aplican las mismas operaciones a la matriz identidad quedando ésta tranformada en una matriz cuadrada de orden n que es la inversa de A. Esto es:

A

I

I

A−1 Si A no tiene inversa entonces no será posible formar la matriz identidad.

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Determinantes

Observación: Antes de emprender la búsqueda de la matriz inversa de una matriz cuadrada A es recomendable calcular el determinante de A, y si éste nos da igual a cero podremos concluir inmediatamente que dicha matriz no tiene inversa, en caso contrario podemos proceder por el método de Gauss-Jordan o por el cálculo de la adjunta para encontrarla. Ejemplo:  3 -1 1) Encontrar la matriz inversa de:   1 4 

Escribimos A y a la derecha, la identidad del mismo orden.

 3 -1 1 4   

1 0 0 1  

Intercambio la fila 1 con la fila 2

1 4   3 -1  

0 1 1 0  

(-3).fila 1 + fila 2 → fila 2

1 4   0 -13  

0 1  1 -3  

( − 113). fila 2 → fila 2

1 4  0 1  

 0 - 1  13

(-4).fila 2 + fila 1 → fila 1

1 0 0 1  

 413 - 1  13

1  13 

3

 3  13 1 13

Para comprobar si efectivamente es la inversa realizamos el producto de : 3 -1  4 13 A ⋅ A−1 =  ⋅ 1 4  - 113

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1 3

 1 0  = 0 1 13   

13

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Determinantes

2) Para el ejemplo anterior en el que calculamos su inversa por medio de la matriz adjunta: Escribimos B y a la derecha, la identidad del mismo orden.

1 3 3 B = 1 3 4    1 4 3

1 0 0  0 1 0    0 0 1

(-1).fila 1 + fila 2 → fila 2 (-1).fila 1 + fila 3 → fila 3

 1 3 3 0 0 1    0 1 0

 1 0 0  -1 1 0    -1 0 1

1 0   0 1 0   0

1  -1   -1 4  -1   -1

Intercambiar la fila 2 con la fila 3

(-3).fila 2 + fila 1 → fila 1

(-3).fila 3 + fila 1 → fila 1

3 3 1 0  0 1 0 3 1 0  0 1

1 0 0  0 1 0    0 0 1

0 0 0 1  1 0 0 -3 0 1  1 0 

 7 -3 -3  -1 0 1  = B −1    -1 1 0 

Nota: Si comparamos los resultados obtenidos anteriormente, vemos que son iguales.

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Determinantes

Trabajo Práctico Nº6: Determinantes. 1) Calcular el determinante de las siguientes matrices:  2 1 0  2 3 A=  B =  0 -4 1    4 5    4 0 1  2) Hallar el valor de x para el cual: x 2 a) =7 −1 5

b)

4 -2 x

3

x 1 0 c) 3 -2 -2 = 5 -4 4 5

=6

3) Calcular el determinante de las siguientes matrices en cada una de las formas: a) Desarrollando por los elementos de una fila. b) Desarrollando por los elementos de una columna. c) Pasando previamente a una matriz triangular. 1 -1 2 1  3 0 0 1 -1 4 -1  A=  B = 2 4 0   1 1 -2 3  -1 9 -2      1 1 1 1  Optativo:  0 2 -5 0   2 0 0 -1  C= -1 3 0 -1    2 -3 -1 1  4) Dadas dos matrices A y B de orden n x n, que relación hay entre sus determinantes y el determinante del producto entre A y B? Verificar la fórmula para:  -1 3 2   0 -1 3    A = -5 1 -3 B =  4 -1 10      2 4 1   2 1 5  5) En cada uno de los casos siguientes hallar Adj. A, decir si A es inversible, y en tal caso calcular la matriz inversa. 1 0 2 0 -4 -3  -1 -2   a) A =  b) B = -1 3 -1 c) A = 1 -2 0       3 5    0 2 4  1 2 3  6) Para qué valores de k, no es inversible la matriz A?  1 2 4  k -1 -3  a) A =  b) A =  3 1 6     -3 k - 2   k 3 2  7) Sabiendo que la matriz A es de orden 3 x 3, y que A = −3 , calcular: a) −3. A

Prof Alfonso

b) 2. A−1

c)

( 2. A)

−1

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