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UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN ANTONIO ABAD DEL CUSCO

FACULTAD DE INGENIERIA DE PROCESOS ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA QUIMICA

CONTROL DE PROCESOS

TAREA : “MODELADO MATEMATICO DE DESCARGA DE FLUIDOS EN TANQUES EN SERIE NO INTERACTIVOS”

Alumnos(as): -

Ayme Aymi Daniel Brayan / 131360

Ing. Wilbert Pinares Gamarra Docente

15/09/2017

INTRODUCCION Se modelo matemáticamente la descarga de un fluido en dos tanques en serie no interactivos, para luego identificar el sistema y comprobar su valides. Palabras clave: Identificacion de sistemas, Modelado matematico, Descarga de un fluido

OBJETIVO GENERAL -

Modelado matemático Identificación de sistemas

OBJETIVOS ESPECIFICOS -

Encontrar el balance en estado no estacionario Mediante la identifiacion de sistemas encontrar los parámetros del modelo

ASPECTOS TEORICOS Fundamento: Expansión en serie de Taylor alrededor de un punto de operación x0

𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥0 ) +

ⅆ𝑓

|

ⅆ𝑥 𝑥=𝑥0

(𝑥 − 𝑥0 ) +

1 ⅆ2𝑓

|

2! ⅆ𝑥 2 𝑥=𝑥0

+⋯

(1)

Si la variación (x-x0) es pequeña, se pueden despreciar los términos de orden superior. Así, para linealizar f(x) basta con aproximarla por los primeros dos términos de la serie(«Taylor explication.pdf», s. f., p. 12)

𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥0 ) +

ⅆ𝑓

|

ⅆ𝑥 𝑥=𝑥0

𝑦 − 𝑦0 = 𝐾(𝑥 − 𝑥0 )

(𝑥 − 𝑥0 )

(2)

(3)

Figure 1Tanques en serie no interactivos Fuente: Control de procesos con labview

CALCULOS El balance de masa de se efectuo para condiciones isotérmicas, en cada uno de los tanques BALANCE EN ESTADO NO ESTACIONARIO Balance de masa del tanque 1: ⅆ𝑚𝑡𝑘1 ⅆ𝑡 ⅆ𝜌𝑉1 ⅆ𝑡

𝐴𝑡𝑘1

= 𝑚𝑖 − 𝑚1

= 𝜌𝐹𝑖 − 𝜌𝐹1 ; 𝐹1 = 𝛼1 √ℎ1 ⅆℎ1 ⅆ𝑡

= 𝐹𝑖 − 𝛼1 √ℎ1

(4)

Linealizando √h1

√ℎ1 = 𝑓(𝑥) ⅆ𝑓

|

ⅆ𝑥 𝑥=𝑥0

=

1 2√ℎ1

El estado inicial conocido como f(x0) es en el estado estacionario, reemplazando en la ec. (2) 1

√ℎ1 = √ℎ𝑒𝑒 + 2√ℎ | 1

ℎ,𝑒𝑒

(ℎ1 − ℎ1,𝑒𝑒 ) = √ℎ1,𝑒𝑒 +

1 2√ℎ1

(ℎ1 − ℎ1,𝑒𝑒 )

1

√ℎ1 = √ℎ𝑒𝑒 + 2√ℎ (ℎ − ℎ𝑒𝑒 )

(5)

1

Reemplazando (5) en (4)

𝐴𝑡𝑘1

ⅆℎ1 ⅆ𝑡

= 𝐹𝑖 − 𝛼1 √ℎ𝑒𝑒 − 𝛼1

1 2√ℎ1

(ℎ − ℎ𝑒𝑒)

En el estado estacionario

0 = 𝐹𝑖,𝑒𝑒 − 𝛼1 √ℎ𝑒𝑒 Llegando a las variables de desviación

𝐴𝑡𝑘1

ⅆℎ1𝑑 ⅆ𝑡

= 𝐹𝑖ⅆ − 𝛼1

1 2√ℎ1

ℎⅆ

; 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 ℎⅆ = ℎ − ℎ𝑒𝑒 , 𝐹𝑖ⅆ = 𝐹𝑖 − 𝐹𝑖,𝑒𝑒

Solución en el dominio de Laplace

𝐴𝑡𝑘1 [𝑠ℎ1 (𝑠) − ℎ1 (0)] = 𝐹𝑖 (𝑠) − 𝛼1 𝐴𝑡𝑘1 𝑠ℎ1 (𝑠) + 𝛼1 2𝐴𝑡𝑘1 √ℎ1

ℎ1 (𝑠) [

𝛼1

1 2√ℎ1

ℎ1 (𝑠) = 𝐹𝑖 (𝑠)

𝑠 + 1] = 𝐹𝑖 (𝑠)

2√ℎ1 𝛼1

1 2√ℎ1

ℎ1 (𝑠) ; ℎ1 (0) = 0

ℎ1 (𝑠) =

𝑘1 𝜏1 𝑠+1

𝐹𝑖 (𝑠) ; 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑘1 =

2√ℎ1 𝛼1

, 𝜏1 =

2𝐴𝑡𝑘1 √ℎ1

(6)

𝛼1

Balance de masa del tanque 2: ⅆ𝑚𝑡𝑘2 ⅆ𝑡 ⅆ𝜌𝑉2 ⅆ𝑡

𝐴𝑡𝑘2

= 𝑚1 − 𝑚2

= 𝜌𝐹1 − 𝜌𝐹2 ; 𝐹2 = 𝛼2 √ℎ2 ⅆℎ2 ⅆ𝑡

= 𝛼1 √ℎ1 − 𝛼2 √ℎ2

(7)

Linealizando √h2

√ℎ2 = 𝑓(𝑥) ⅆ𝑓

|

ⅆ𝑥 𝑥=𝑥0

=

1 2√ℎ2

El estado inicial conocido como f(x0) es en el estado estacionario, reemplazando en la ec. (2) 1

√ℎ2 = √ℎ𝑒𝑒 + 2√ℎ | 2

ℎ,𝑒𝑒

(ℎ2 − ℎ2,𝑒𝑒 ) = √ℎ2,𝑒𝑒 +

1 2√ℎ2

(ℎ2 − ℎ2,𝑒𝑒 )

1

√ℎ2 = √ℎ2,𝑒𝑒 + 2√ℎ (ℎ2 − ℎ2,𝑒𝑒 )

(8)

2

Reemplazando ec. (5) y ec. (7) en ec. (6)

𝐴𝑡𝑘2

ⅆℎ2 ⅆ𝑡

= 𝛼1 √ℎ𝑒𝑒 − 𝛼1

1 2√ℎ1

(ℎ − ℎ𝑒𝑒) − 𝛼2 √ℎ2,𝑒𝑒 − 𝛼2

En el estado estacionario

0 = 𝛼1 √ℎ1,𝑒𝑒 − 𝛼2 √ℎ2,𝑒𝑒 Llegando a las variables de desviación

1 2√ℎ2

(ℎ2 − ℎ2,𝑒𝑒 )

𝐴𝑡𝑘2

ⅆℎ2𝑑 ⅆ𝑡

= 𝛼1 [

1 2√ℎ1

ℎ1ⅆ ] − 𝛼2 [

1 2√ℎ2

ℎ2ⅆ ]

Solución en el dominio de Laplace

𝐴𝑡𝑘2 [𝑠ℎ2 (𝑠) − ℎ2 (0)] = 𝛼1 𝐴𝑡𝑘2 𝑠ℎ2 (𝑠) + 𝛼2 𝐴𝑡𝑘2 2√ℎ2 𝛼2

ℎ2 (𝑠) =

2√ℎ2

𝛼2 𝐾2 𝜏2 𝑠+1

2√ℎ1

ℎ1 (𝑠) − 𝛼2

ℎ2 (𝑠) = 𝛼1

𝑠ℎ2 (𝑠) + ℎ2 (𝑠) =

𝐴𝑡𝑘2 2√ℎ2

ℎ2 (𝑠) [

1

1

𝑠 + 1] =

1 2√ℎ1 1 𝛼2 2√ℎ2

𝛼1

𝛼1 2√ℎ2 𝛼2 2√ℎ1

1 2√ℎ1

1 2√ℎ2

ℎ2 (𝑠) , ℎ2 (0) = 0

ℎ1 (𝑠)

ℎ1 (𝑠)

ℎ1 (𝑠)

ℎ1 (𝑠) ; 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐾2 =

𝛼1 2√ℎ2 𝛼2 2√ℎ1

, 𝜏2 =

𝐴𝑡𝑘2 2√ℎ2 𝛼2

(9)

Donde: 𝐾 𝐾

2 1 ℎ2 (𝑠) = (𝜏 𝑠+1)(𝜏 𝐹𝑖 (𝑠) 1 𝑠+1) 2

IDENTIFICACION DE PARAMETROS Para la siguiente toma de datos Table 1 Datos experimentales t 35 45 55 65 75 85 95 105 115 125

h1 0.26 0.331 0.378 0.408 0.426 0.438 0.446 0.451 0.454 0.456

h2 0.26 0.275 0.309 0.342 0.371 0.394 0.412 0.425 0.435 0.442

(10)

135 145 155 165 175 185 195 205 215 225 235 245

0.457 0.458 0.458 0.459 0.459 0.459 0.459 0.459 0.459 0.459 0.46 0.46

0.447 0.451 0.453 0.455 0.457 0.457 0.458 0.458 0.459 0.459 0.46 0.46

Para la identificación de sistemas transformaremos a un delta 0 Table 2 Datos experimentales corregidos T 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210

h1

T

h2

0 0.071 0.118 0.148 0.166 0.178 0.186 0.191 0.194 0.196 0.197 0.198 0.198 0.199 0.199 0.199 0.199 0.199 0.199 0.199 0.2 0.2

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210

0 0.015 0.049 0.082 0.111 0.134 0.152 0.165 0.175 0.182 0.187 0.191 0.193 0.195 0.197 0.197 0.198 0.198 0.199 0.199 0.2 0.2

0.25

h1 (m)

0.2

0.15

0.1

0.05

0 0

50

100

150

200

250

200

250

tiempo (seg)

Figure 2Tiempo VS H1 0.25

h2 (m)

0.2

0.15

0.1

0.05

0 0

50

100

150

tiempo (seg)

Figure 3Tiempo VS h2

Identificando la ganancia del sistema, para una perturbación escalon de 0.2 m: -

𝐾=

Para el tanque 1utilizando método de los 2 puntos alfaro ∆(𝑉𝑃) ∆𝐴

=

0.2 0.2

=1

𝜏 = 0.9102(𝑡1 ) − 0.9102(𝑡2 ) Donde:

𝑉𝑃1 = 0.2 ∗ 0.75 = 0.15 → 𝑡1 = 30 𝑠𝑒𝑔 𝑉𝑃2 = 0.2 ∗ 0.15 = 0.03 → 𝑡2 = 4 𝑠𝑒𝑔 𝜏 = 0.9102(30) − 0.9102(4) = 23.67 Finalmente el proceso de 1er orden será:

𝐺(𝑠) =

1 23.67𝑠+1

Validando el modelo Con una suma de errores cuadrados de 0.00006 0.25

0.2

0.15 h1 teori

0.1

0.05

0

0

50

100

150

200

250

Figure Altura h1 teórica vs experimental

-

𝐾=

Para el tanque 2 utilizando el método de los 3 puntos ∆(𝑉𝑃) ∆𝐴

=

𝜏1 = 𝜏 ′′ =

0.2 0.2 𝑡75% −𝑡25%

0.9866+0.7036𝑎

𝜏2 = 𝑎𝜏′′ 𝑎=

−0.6240(𝑡25 )+0.9866(𝑡50 )−0.3626(𝑡75 ) 0.3533(𝑡25 )−0.7036(𝑡50 )+0.3503(𝑡75 )

Donde

𝑉𝑃1 = 0.2 ∗ 0.75 = 0.15 → 𝑡1 = 58 𝑠𝑒𝑔 𝑉𝑃2 = 0.2 ∗ 0.50 = 0.10 → 𝑡2 = 35 𝑠𝑒𝑔 𝑉𝑃3 = 0.2 ∗ 0.25 = 0.05 → 𝑡3 = 20.5 𝑠𝑒𝑔 𝜏1 = 𝜏 ′′ = 32.43 𝜏2 = 𝑎𝜏 ′′ = 7.827 𝑎 = 0.241 𝜏 = √𝜏1 𝜏2 = 15.93 Finalmente el proceso de 2do orden será

𝐺(𝑠) =

𝐺(𝑠) =

𝐾 1 = (𝜏1 𝑠 + 1)(𝜏2 𝑠 + 1) (32.43𝑠 + 1)(7.827𝑠 + 1) 𝜏𝑠 2

𝐾 1 = 2 2 + 2𝜀𝜏𝑠 + 1 15.93 𝑠 + (2)(1.263)(15.93)𝑠 + 1

Una vez determinado estos datos pasaremos a la validación del modelo Con una suma de errores cuadrados de 0.00081

Chart Title 0.25

0.2 0.15 h2 teo

0.1 0.05 0 0

50

100

150

200

250

Figure 4altura h2 teórica vs experimental

Debido al elevado error en la suma cuadrado de errores se optará por utilizar el método solver en Excel el cual es por iteración en un bucle cerrado hasta encontrar la menor sumatoria de errores cuadrados posible Por el método de sol ver obtenemos

𝐺(𝑠) = 𝐺(𝑠) =

𝐾 (𝜏1 𝑠+1)(𝜏2 𝑠+1) 𝐾

=

𝜏𝑠 2 +2𝜀𝜏𝑠+1

=

0.9992 (30.048𝑠+1)(13.362𝑠+1) 0.9992

20.04 2 𝑠 2 +(2)(1.083)(20.04)𝑠+1

Para la validación de datos aproximaremos aun críticamente amortiguado por se 1.083 = 1; utilizando la fórmula: 1

𝑡

𝑦(𝑡) = 𝐾𝐴[1 − (1 − 𝜏 ) 𝑒 −𝜏 Obtenemos una suma de errores cuadrados de 0.0004535

0.25

0.2

0.15 h2 teorico

0.1

0.05

0 0

50

100

150

200

250

Figure 5Altura h2 teorica vs experimental

CONCLUSIONES -

Se valida los modelos identificados por una buena validación de modelos

BIBLIOGRAFIA CONTROL DE PROCESOS CON LABVIEW, Pinares Gamarra Wilbert, 2018