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• Juan Francisco Javier Sepúlveda Vergara

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Introducci´ on a las Ecuaciones en Derivadas Parciales (EDP’s)

Sixto Romero Francisco J. Moreno Isabel M. Rodr´ıguez

T´ıtulo de la obra original Introducci´ on a las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales (EDP’s)

c °Copyright: 2001. Autores Sixto Romero, Francisco J. Moreno, Isabel M. Rodr´ıguez

Reservados todos los derechos de publicaci´on, repreducci´on, pr´estamo o cualquier otra forma de expresi´on de este ejemplar, por los autores.

Universidad de Huelva Escuela Polit´ecnica Superior de La R´ abida 21819. Palos de la Frontera 8Huelva)

Edita:Servicio de Publicaciones. Universidad de Huelva Printed in Spain ISBN: DL: Fotocomposici´ on: Los autores Impresi´ on:

´Indice general 1. Nociones sobre las ecuaciones en derivadas parciales (EDP’s)

9

1.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2. Definici´on. Algunos conceptos fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3. Significado geom´etrico de las soluciones general y particular . . . . . . . . . . 15 1.4. EDP’s que surgen de la eliminaci´on de funciones arbitrarias . . . . . . . . . . 17 1.5. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.6. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2. Ecuaciones diferenciales lineales en derivadas parciales. Propiedades

25

2.1. Ecuaci´on en derivadas parciales lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2. Propiedades de las soluciones de las EDP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.3. Clasificaci´on de las EDP’s de segundo orden de dos variables independientes . 29 2.4. Condiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.5. Casos particulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.5.1. Ecuaciones de tipo hiperb´olico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.5.2. Ecuaciones de tipo parab´olico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.5.3. Ecuaciones de tipo el´ıptico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.6. Planteamiento de problemas para las EDP’s de segundo orden . . . . . . . . . 33

3

´INDICE GENERAL

4

2.7. M´etodo de separaci´on de variables: caso pr´actico . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.8. Teoremas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.8.1. M´etodo de separaci´on de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.9. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.10. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3. Ecuaciones de tipo hiperb´ olico

45

3.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.2. Problemas que dan lugar a vibraciones u oscilaciones . . . . . . . . . . . . . . 47 3.2.1. Problema de la cuerda vibrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.2.2. Modelo matem´atico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.2.3. Condiciones de frontera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.2.4. Generalizaci´on del problema de la cuerda vibrante . . . . . . . . . . . 52 3.3. Ecuaci´on ondulatoria unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.3.1. Soluci´on del problema de Cauchy (problema inicial) para una cuerda ilimitada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.3.2. Casos particulares de la f´ormula de D’ Alembert . . . . . . . . . . . . 58 3.3.3.

¿C´omo se debe plantear el problema de forma correcta ? . . . . . . . 61

3.3.4. Ejemplo de Hadamard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 3.3.5. Otro ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3.4. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.5. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 4. Vibraciones libres de una cuerda homog´ enea fijada en sus extremos

69

4.1. M´etodo de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 4.2. Problema de Sturm-Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

´INDICE GENERAL

5

4.3. Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 4.4. Ejemplo resuelto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 4.5. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

5. Vibraciones forzadas de la cuerda homog´ enea de longitud L

81

5.1. Vibraciones forzadas de la cuerda fijada en los extremos . . . . . . . . . . . . 83 5.1.1. M´etodo de resoluci´on

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

5.2. Ejemplo resuelto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 5.3. Vibraciones forzadas de la cuerda con extremos m´oviles . . . . . . . . . . . . 87 5.4. Ejemplo resuelto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 5.5. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

6. Ecuaciones de tipo parab´ olico

93

6.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 6.2. Problemas que involucran conducci´on de calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 6.3. Problema de Cauchy para la conductibilidad t´ermica . . . . . . . . . . . . . . 99 6.4. Propagaci´on del calor en una varilla finita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 6.4.1. Planteamiento del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 6.4.2. Problema mixto para la ecuaci´on de conductibilidad t´ermica . . . . . 102 6.5. M´etodo de Fourier para la conductibilidad t´ermica . . . . . . . . . . . . . . . 104 6.5.1. Soluci´on de la ecuaci´on homog´enea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 6.5.2. Soluci´on de la ecuaci´on no homog´enea . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 6.5.3. Soluci´on del problema con C.F. no homog´eneas . . . . . . . . . . . . . 109 6.6. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 6.7. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

´INDICE GENERAL

6

7. Ecuaciones de tipo el´ıptico

115

7.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 7.2. Problemas que involucran potencial el´ectrico o gravitacional . . . . . . . . . . 117 7.3. Problemas de valor de frontera que involucran la ecuaci´on de Laplace . . . . . 119 7.3.1. Soluci´on del problema de Dirichlet para el circulo empleando el m´etodo de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 7.4. Funciones arm´onicas. Planteamiento de los problemas de contorno . . . . . . 124 7.4.1. Ecuaci´on de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 7.5. Soluciones fundamentales de la ecuaci´on de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . 127 7.5.1. Ejemplos m´as usuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 7.5.2. Soluciones con simetr´ıa esf´erica o cil´ındrica . . . . . . . . . . . . . . . 127 7.6. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 7.7. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 8. T´ ecnicas para resolver problemas de Valor de Frontera (I)

133

8.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 8.2. La cuerda vibrante bajo la gravedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 8.3. Conducci´on de calor en una barra con condiciones no cero en los extremos . . 137 8.4. La cuerda vibrante con velocidad inicial no cero . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 8.5. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 9. T´ ecnicas para resolver problemas de Valor de Frontera(II)

143

9.1. Vibraciones de una piel de tambor: Series dobles de Fourier . . . . . . . . . . 145 9.2. Modos diferentes con la misma frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 9.3. Conducci´on de calor con radiaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 9.3.1. Planteamiento del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

´INDICE GENERAL

7

9.3.2. Formalizaci´on matem´atica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 9.3.3. Soluci´on del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 10.M´ etodos de Diferencias Finitas (I)

157

10.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 10.2. Ecuaci´on de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 10.3. Construcci´on de la ecuaci´on en diferencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 10.4. Valores iniciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 10.5. Cuando se conocen dos filas exactamente

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

10.5.1. La soluci´on de D’ Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 10.5.2. Cuando se conocen dos filas exactamente . . . . . . . . . . . . . . . . 164 10.5.3. Primer ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 10.5.4. Segundo ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 10.6. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 11.M´ etodos de Diferencias Finitas (II). Ecuaciones parab´ olicas

169

11.1. Introducci´on. La ecuaci´on de calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 11.2. Construcci´on de la ecuaci´on en diferencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 11.3. Primer ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 11.4. El m´etodo de Crank-Nicholson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 11.5. Segundo ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 11.6. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 12.M´ etodos de diferencias finitas (III). Ecuaciones el´ıpticas

179

12.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 12.2. Ecuaci´on en diferencias para la laplaciana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

´INDICE GENERAL

8

12.3. Construcci´on del sistema lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 12.4. Primer ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 12.5. Condiciones de contorno de Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 12.6. Segundo ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 12.7. M´etodos iterativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 12.8. Tercer ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 Bibliograf´ıa

193

Cap´ıtulo 1

Nociones sobre las ecuaciones en derivadas parciales (EDP’s)

”Una de las m´ as importantes y fascinantes ramas de las matem´ aticas que proporcion´ o el medio para las formulaciones matem´ aticas y soluciones de una gran variedad de problemas, es sin duda el estudio de las Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales” M.R.Spiegel ”Los cient´ıficos estudian la naturaleza no porque sea u ´til, sino porque encuentran placer en ello, y encuentran placer porque es hermosa” H. Poincar´e Las tierras pertenecen a su due˜ no, pero el paisaje es de quien sabe apreciarlo” U. Sinclair

9

10CAP´ITULO 1. NOCIONES SOBRE LAS ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES (EDP’S)

´ 1.1. INTRODUCCION

1.1.

11

Introducci´ on

Las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO’s) que involucran derivadas de una o m´as variables dependientes con respecto a una sola variable independiente se estudian generalmente en un curso de C´alculo Infinitesimal. Aprendimos como surgen tales ecuaciones diferenciales, los m´etodos mediante los cuales se pueden obtener sus soluciones exactas y aproximadas, viendo algunas aplicaciones en el campo cient´ıfico. Con el uso de las EDO’s para resolver problemas aplicados estamos simplificando mucho el modelo de la realidad f´ısica que conduce a tales problemas. Todo ello se debe a que en las f´ormulas matem´aticas aparece una sola variable independiente sobre la que dependen todas las otras variables pertinentes. Sin lugar a dudas utilizar este tipo de ecuaciones diferenciales es u ´til aunque limita las clases de problemas que podamos investigar, ya que en la mayor´ıa de los casos se necesitan varias variables independientes. Modelar un problema de la vida real desde el punto de vista matem´atico en el que se haga intervenir dos o m´as variables independientes conduce a las Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales (¡ La aparici´on de varias variables independientes hace que este tema resulte mucho m´as complejo que el de las EDO’s !). El curso de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales que aqu´ı se presenta –donde no hay que esperar contenidos originales en una materia tan trillada y tan cl´asica– pretende exclusivamente exponer los conocimientos que, a nuestro juicio, consideramos b´asicos para que un estudiante de ingenier´ıa pueda entender sin grandes problemas los tres ejemplos cl´asicos: - Ecuaciones de tipo Hiperb´olico (problemas que refieren fen´omenos oscilatorios: vibraciones de cuerda, membranas, oscilaciones electromagn´eticas). - Ecuaciones de tipo Parab´olico (problemas que se presentan al estudiar los procesos de conductibilidad t´ermica y difusi´on). - Ecuaciones de tipo El´ıptico (problemas que aparecen al estudiar procesos estacionarios, o sea que no cambian con el tiempo). El M´etodo de Separaci´ on de Variables, tambi´en constituye un tema importante que nos permitir´a conocer los problemas de Sturm-Liouville y sus autovalores. Los tres ejemplos anteriores, y con desarrollos de mayor sofisticaci´on, nos permitir´an

12CAP´ITULO 1. NOCIONES SOBRE LAS ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES (EDP’S)

estudiar las EDP’s de segundo orden lineales e incluso algunos problemas no lineales.

1.2.

Definici´ on. Algunos conceptos fundamentales

Definici´ on 1.1 (Ecuaci´ on diferencial en derivadas parciales) Se llama ecuaci´ on diferencial en derivadas parciales (EDP) a la ecuaci´ on de la forma: µ ¶ ∂u ∂u ∂mu F x1 , x2 , . . . , xn , u, , ,···, , · · · , k1 =0 (1.1) ∂x1 ∂xn ∂ x1 ∂ k2 x2 · · · ∂ kn xn que permite conexionar las variables independientes xi , busca y sus derivadas parciales. Se cumple que: ki , m.

∀i = 1, 2, . . . , n, la funci´ on que se

∀i = 1, 2, . . . , n son enteros no negativos tales que: k1 +k2 +· · ·+kn =

La funci´ on F es la funci´ on prefijada de sus argumentos. Definici´ on 1.2 (Orden) Se llama orden de una EDP el orden superior de las derivadas parciales que figuran en la ecuaci´ on. As´ı, si x, y son variables independientes, u = u(x, y) es la funci´on buscada, entonces: ∂u ∂u −x =0 ∂x ∂y

es una EDP de 1er orden

∂2u ∂2u − 2 =0 ∂x2 ∂y

es una EDP de 2o orden

a) y a) Nota

Tambi´en utilizaremos las notaciones: ux ≡

∂u , ∂x

uy ≡

∂u , ∂y

uxx ≡

∂2u , . . . quadN ∂x2

Definici´ on 1.3 (Soluci´ on) Sea la EDP definida en [1.1] de orden m, se llama soluci´ on de dicha EDP en cierta regi´ on D de variaci´ on de las xi , ∀i = 1, 2, · · · , n a una funci´ on cualquiera u = u(x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ C m (D) (conjunto de funciones continuas en la regi´ on D junto con todas las derivadas de hasta orden m inclusive), tal que al sustituir u, y sus derivadas en [1.1] la u ´ltima se convierte en la identidad respecto a xi , ∀i = 1, 2, · · · , n en la regi´ on D

´ ALGUNOS CONCEPTOS FUNDAMENTALES 1.2. DEFINICION.

13

Ejemplo 1.2.1 Hallar la soluci´ on u = u(x, y) de la ecuaci´ on ∂u =0 ∂x

(1.2)

Soluci´ on ∂u Si = 0 =⇒ u no depende de x, pero puede ser una funci´on cualquiera de y, u = φ(y). ∂x Soluci´on de la ecuaci´on [1.2] que contiene una funci´on arbitraria. Ejemplo 1.2.2 Hallar la soluci´ on u = u(x, y) de la ecuaci´ on ∂2u =0 ∂x∂y

(1.3)

Soluci´ on ∂u ∂v ∂2u =⇒ = 0, ya que = 0, entonces v = ϕ(y). Como ∂y ∂x ∂x∂y ∂u ∂u v= , se tiene que = ϕ(y). ∂y ∂y Si llamamos v =

Integrando respecto de y Z Z Z ∂u dy = ϕ(y)dy =⇒ u(x, y) = ϕ(y)dy + g(x) siendo g(x) arbitraria. ∂y Como ϕ(y) es una funci´on arbitraria, la integral de ´esta tambi´en es una funci´on arbitraria. Llam´emosla f (y). Por tanto u(x, y) = f (y) + g(x) siendo f (y) y g(x) arbitrarias.

(1.4)

Se llama soluci´ on general de la ecuaci´on dada en el ejemplo [1.2.2], puesto que cualquier otra soluci´on puede obtenerse de [1.4] si se eligen de forma adecuada las funciones f (y) y g(x). Notas a) Los ejemplos anteriores ponen de manifiesto que las EDP’s tienen familias enteras de soluciones. b) Existen EDP’s que tienen conjuntos de soluciones muy peque˜ nos y en algunos casos se obtiene incluso el ∅ (conjunto vac´ıo) µ ¶2 µ ¶2 ∂u ∂u + = 0 tiene por conjunto de soluciones u(x, y) =cte. b.1) La ecuaci´on ∂x ∂y

14CAP´ITULO 1. NOCIONES SOBRE LAS ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES (EDP’S) µ b.2) La ecuaci´on

∂u ∂x

¶2

µ +

∂u ∂y

¶2 + 1 = 0 no tiene soluciones reales del todo.

c) M´as adelante plantearemos el problema de como hallar las soluciones particulares o parciales haciendo intervenir condiciones adicionales que deben plantearse a la funci´on. En definitiva dada una EDP de orden n, una soluci´on que contenga n funciones arbitrarias se llama, como se ha dicho antes, la soluci´ on general, y cualquier soluci´on obtenida de esta soluci´on general por selecciones particulares de las funciones arbitrarias se llama una soluci´ on particular. Como en el caso de las EDO’s con frecuencia necesitamos determinar soluciones de EDP’s que satisfagan condiciones dadas. Ejemplo 1.2.3 Sea la EDP las condiciones siguientes:

∂2u = x + y 3 . Resolverla si dicha ecuaci´ on est´ a sometida a ∂x∂y

u(1, y) = 2y 2 − 4y;

u(x, −2) = x + 8

Soluci´ on · ¸ · ¸ Z R Z ∂ ∂u ∂u x2 ∂ ∂u x = + y 3 x + φ(y) = x + y3 ⇒ dx = (x + y 3 )dx = ∂x ∂y ∂x ∂y ∂y 2 ¶ R Z Z µ 2 ∂u x y ⇒ dy = + y 3 x + φ(y) dy ⇒ ∂y 2 Z 1 2 1 4 u(x, y) = x y + xy + φ(y)dy + ϕ(x). 2 4 De aqu´ı que como se ha indicado anteriormente se llega a que u(x, y) =

1 2 1 x y + xy 4 + ξ(y) + ϕ(x), 2 4

(1.5)

Z siendo ξ(y) =

φ(y)dy, que es la soluci´on general. Sustituyendo en [1.5] x = 1, u(1, y) =

1 2 1 y y4 1 y + 1y 4 + ξ(y) + ϕ(1) = 2y 2 − 4y ⇒ ξ(y) = 2y 2 − 4y − − − ϕ(1) 2 4 2 4 ordenando, se tiene 9 1 ξ(y) = − y 4 + 2y 2 − y − ϕ(1). 4 2

´ 1.3. SIGNIFICADO GEOMETRICO DE LAS SOLUCIONES GENERAL Y PARTICULAR15

De modo que se llega a que u(x, y) =

1 2 1 1 9 x y + xy 4 − y 4 + 2y 2 − y − ϕ(1) + ϕ(x) 2 4 4 2

Usando la condici´on u(x, −2) = x + 8 se tiene que u(x, −2) =

1 1 9 1 2 x (−2) + x(−2)4 − (−2)4 + 2(−2)2 − (−2) − ϕ(1) + ϕ(x). 2 4 4 2

Realizando las operaciones indicadas obtenemos u(x, −2) = =

−x2 + 4x − 4 + 32 + 9 − ϕ(1) + ϕ(x) = −x2 + 4x + 37 − ϕ(1) + ϕ(x) = x + 8.

De donde ϕ(x) = x + 8 + x2 − 4x − 37 + ϕ(1) ⇒ ϕ(x) = x2 − 3x − 29 + ϕ(1) que si sustituimos en la soluci´on general nos queda: u(x, y) =

1 2 1 1 9 x y + xy 4 − y 4 + 2y 2 − y − ϕ(1) + x2 − 3x − 29 + ϕ(1) 2 4 4 2

es decir: u(x, y) =

1 2 1 1 9 x y + xy 4 − y 4 + 2y 2 − y + x2 − 3x − 29. 2 4 4 2

(1.6)

Se puede utilizar la primera terminolog´ıa de problemas de valor inicial y de frontera para las EDP’s. Sin embargo, debido a que generalmente hay una combinaci´on de condiciones de frontera e iniciales, con frecuencia nos referimos a tales problemas como Problemas de Valor de Frontera (PDVF) (V´ease el concepto detallado en el ejercicio resuelto n´ umero 2)

1.3.

Significado geom´ etrico de las soluciones general y particular

Sea una EDP : µ ¶ ∂u ∂u ∂mu F x1 , x2 , . . . , xn , u, , ,···, , · · · , k1 =0 ∂x1 ∂xn ∂ x1 ∂ k2 x2 · · · ∂ kn xn Para s´o¶lo de dos variables independientes x e y. Si la soluci´on de µ fijar ideas tomamos ∂u ∂2u F x, y, u, ,···, , · · · = 0, es por ejemplo, ∂x ∂x∂y u(x, y) = P (x, y) + φ(y) + ϕ(x), utilicemos funciones particulares para φ(y) y ϕ(x), y reemplacemos la variables u por z. Entonces la expresi´on anterior toma la forma z = f (x, y).

(1.7)

16CAP´ITULO 1. NOCIONES SOBRE LAS ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES (EDP’S)

40 z=f(x,y) 30 20

Z

10 0 −10 −20 −30 120 100

120

80

100 60

80 60

40

40

20 Y

20 0

0

X

Figura 1.1:

Se interpreta, por tanto, como una superficie en un sistema de coordenadas cartesianas x, y, z. Para funciones arbitrarias φ(y) y ϕ(x), obtenemos una familia de superficies cada miembro de la cual corresponde a una selecci´on particular de φ(y) y ϕ(x), esto es, una soluci´ on particular: La EDP que tenga esta como soluci´on se llama Ecuaci´ on Diferencial de la Familia de Superficies. Notas: a) Obs´ervese las analog´ıas con las EDO’s en las que la soluci´on general con constantes arbitrarias -en vez de funciones- representa una familia de curvas, donde cada miembro de ella corresponde a una soluci´on particular. b) Estas ideas se pueden generalizar a los casos donde hay m´as de dos variables independientes. As´ı por ejemplo, tendr´ıamos que si u = f (x, y, z) ya no podr´ıamos visualizar geom´etricamente: p = f (x, y, x). Se trata de una superficie de cuatro dimensiones o Hipersuperficie. As´ı por ejemplo:x2 + y 2 + z 2 = R2 representa una esfera centrada en (0, 0, 0) y radio R. Y la ecuaci´on x2 + y 2 + z 2 + u2 = R2 representa una hiperesfera de centro (0, 0, 0, 0) y radio R.

´ DE FUNCIONES ARBITRARIAS17 1.4. EDP’S QUE SURGEN DE LA ELIMINACION

1.4.

EDP’s que surgen de la eliminaci´ on de funciones arbitrarias

Ya que las soluciones de las EDP’s hacen intervenir funciones arbitrarias, parece l´ogico que se obtengan EDP por el proceso inverso de eliminar tales funciones. A modo de varios ejemplos veamos la utilidad de c´omo se pueden resolver. Ejemplo 1.4.1 Sea la soluci´ on de la EDP u(x, y) = −3y 3 ϕ(x) − 6x + y con ϕ(x) una funci´ on arbitraria de x. Encontrar una EDP de primer orden para esa soluci´ on general. Soluci´ on u(x, y) = −3y 3 ϕ(x) − 6x + y. Si diferenciamos respecto a y,

∂u(x, y) = −9y 2 ϕ(x) + 1, ∂y

, eliminando ϕ(x) entre ambas

−3y 3 ϕ(x) =

u(x, y) + 6x − y ⇒

−9y 2 ϕ(x) =

⇒

∂u(x, y) −1 ∂y

−3y 3 ϕ(x) u(x, y) + 6x − y = 2 ∂u(x, y) −9y ϕ(x) −1 ∂y

y ∂u(x, y) u(x, y) + 6x − y = ⇒y − y = 3u(x, y) + 18x − 3y ∂u(x, y) 3 ∂y −1 ∂y ⇒y

∂u(x, y) − 3u(x, y) = 18x − 2y ∂y

basta sustituir para comprobar que es la soluci´on pedida. Ejemplo 1.4.2 Encontrar una EDP de segundo orden que tenga como soluci´ on general u(x, y) = xφ(y) + yϕ(x), φ, ϕ arbitrarias.

18CAP´ITULO 1. NOCIONES SOBRE LAS ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES (EDP’S)

Soluci´ on ÷x

[PASO 1 ] u(x, y) = xφ(y) + yϕ(x) =⇒

u(x, y) y = φ(y) + ϕ(x). x x

[PASO 2 ] Diferenciando con respecto a x: · ¸ i ∂ u(x, y) ∂ h y = φ(y) + ϕ(x) ⇒ ∂x x ∂x x 1 1 ∂u(x, y) y 1 = 0 + ϕ0 (x) − 2 yϕ(x) u(x, y) + 2 x x ∂x x x quitando denominadores: −

−u(x, y) + x x

∂u(x, y) = xyϕ0 (x) − yϕ(x) ⇒ ∂x

∂u(x, y) − u(x, y) = y[xϕ0 (x) − ϕ(x)] ∂x

[PASO 3 ] Dividimos ambos lados por y, y deriv´amos con respecto a y · µ ¶¸ · ¸ ∂u(x, y) ∂ y(x − ϕ0 (x) − ϕ(x)) ∂ 1 x − u(x, y) = = 0. ∂y y ∂x ∂y y µ ¶ µ 2 ¶ 1 ∂u(x, y) 1 ∂ u(x, y) ∂u(x, y) − 2 x − u(x, y) + x − = 0. y ∂x y ∂x∂y ∂y [PASO 4 ] Quitando denominadores µ ¶ µ 2 ¶ ∂u(x, y) ∂ u(x, y) ∂u(x, y) − x − u(x, y) + y x − = 0. ∂x ∂x∂y ∂y Obtenemos la EDP que dese´abamos

xy

∂ 2 u(x, y) ∂u(x, y) ∂u(x, y) −x −y + u = 0. ∂x∂y ∂x ∂y

Notas a) Al derivar las funciones arbitrarias admitimos que son diferenciables. b) La EDP obtenida en cada caso representa la EDP de la familia representada por la soluci´on general. umero dado n de funciones arbitrarias, es frecuente escribir c) Si una soluci´on tiene un n´ una ecuaci´on diferencial de orden mayor que n teniendo esta soluci´on

1.5. EJERCICIOS PROPUESTOS

1.5.

19

Ejercicios propuestos

1.1 Obtener soluciones a los siguientes problemas de valor de frontera ∂u(x, y) = sen y; u(0, y) = 0 a) ∂x ³ π´ ∂ 2 u(x, y) 2 b) = x cos y; u(x, 0) = 0, u x, = 0. ∂y 2 2 1.2 Obtener la EDP del menor orden eliminando las funciones arbitrarias en cada relaci´on que se da. Comprobar en cada caso que se verifica que la relaci´on dada es una soluci´on de la ecuaci´on obtenida a) u(x, y) = x2 φ(y) + 3xy √ b) u(x, y) = xφ(y) + (ln y)ϕ(x) µ 2 ¶ x − xy + y 2 ∂z ∂z 1.3 Hallar n para que z = x3 arctan satisfaga x +y = nz. x2 + xy + y 2 ∂x ∂y 1.4 Resolver el problema de valor de frontera x

∂u(x, y) ∂u(x, y) +y = 2u(x, y); ∂x ∂y 1

1.5 Mostrar que la funci´on u(x, y, z) = p

x2 + y 2 + z 2

u(1, y) = 20 cos y

satisface la ecuaci´on de Laplace

∂2u ∂2u ∂2u + 2 + 2 =0 ∂x2 ∂y ∂z 1.6

y y a) Si z = φ( ) + xϕ( ) demostrar que x x x2

2 ∂2z ∂2z 2∂ z + 2xy + y =0 ∂x2 ∂x∂y ∂y 2

b) Obtener una soluci´on a la EDP anterior que satisfaga las condiciones z = cos y para x = 1 y z = e−2y para x = 12 . 1.7

a) Sea F (u, v) = 0, con F diferenciable arbitraria de u, v. Si u y v son funciones diferenciables de x, y, z, diferenciando con respecto a x e y probar que: ∂F ∂u ∂F ∂u

µ µ

∂u ∂u ∂z + ∂x ∂z ∂x ∂u ∂u ∂z + ∂y ∂z ∂y

¶ ¶

∂F + ∂v +

∂F ∂v

µ µ

∂v ∂v ∂z + ∂x ∂z ∂x ∂v ∂v ∂z + ∂y ∂z ∂y

¶ =0 ¶ =0

20CAP´ITULO 1. NOCIONES SOBRE LAS ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES (EDP’S) ∂F ∂F , de las ecuaciones anteriores, demostrar que la EDP resultante ∂u ∂v ∂z ∂z tiene la forma P +Q = R, siendo P, Q, R funciones conocidas de x, y, z (Este ∂x ∂y resultado es la EDP correspondiente a F (u, v) = 0).

b) Eliminando

1.8 Usando el m´etodo del ejercicio [1.7], encontrar las EDP’s correspondientes a cada una de las siguientes, donde F es una funci´on arbitraria: a) F (2x + 3z, x − 2y) = 0 b) c) F (z sen x, z cos y) = 0 d)

F (x2 + y 2 , yz) = 0 F (x − y − z, x2 − 2xy) = 0.

Soluciones a los ejercicios propuestos 1.1 a) u(x, y) = x sen y y b) u(x, y) = x2 (1 − cos y) − 2x2 π ∂u(x, y) − 2u(x, y) + 3xy = 0 ∂x ∂ 2 u(x, y) ∂u(x, y) ∂u(x, y) b) 2xy(ln y) − 2x − y(ln y) + u(x, y) = 0. ∂x∂y ∂x ∂y

1.2 a) x

1.3 n = 3 y 1.4 u(x, y) = 20x2 cos( ) x −y y 1.6 b) z = (2x − 1) cos( ) + 2(1 − x)e x x

∂z ∂z ∂z ∂z +3 = −4 b) y 2 − xy = xz ∂x ∂y ∂x ∂y ∂z ∂z ∂z ∂z − (cot y) +z =0 d) x + (x − y) =y c) (tan x) ∂x ∂y ∂x ∂y

1.8 a) 6

1.6.

Ejercicios resueltos

1.1 Obtener las soluciones de la EDP siguiente:

∂2u = 3x + 8y 2 . ∂x∂y

Soluci´ on: · ¸ ∂2u ∂ ∂u = = 3x + 8y 2 . Integrando respecto de x: ∂x∂y ∂x ∂y · ¸ Z Z ∂ ∂u ∂u 3 dx = (3x + 8y 2 )dx ⇒ = x2 + 8xy 2 + φ(y). ∂x ∂y ∂y 2

1.6. EJERCICIOS RESUELTOS

21

¶ Z Z µ ∂u 3 2 Integrando respecto de y: dy = x + 8xy 2 + φ(y) dy ⇒ ∂y 2 Z 3 8 u(x, y) = x2 y + xy 3 + φ(y)dy + ϕ(x) 2 3

(1.8)

De aqu´ı que como la integral de una Zfunci´on arbitraria de la variable y es otra funci´on arbitraria de la variable y se tiene que φ(y)dy = ξ(y), y por tanto u(x, y) =

3 2 8 x y + xy 3 + ξ(y) + ϕ(x) 2 3

(1.9)

es la soluci´ on general de la EDP inicial. Si hacemos ξ(y) = y 3 , ϕ(x) = x2 + 1 se tiene una soluci´ on particular: 3 8 u(x, y) = x2 y + xy 3 + y 3 + x2 + 1 2 3 1.2 Hallar una soluci´on al problema de valor de frontera ∂2u ∂u = + 8, ∂x∂y ∂x

u(0, y) = 0,

ux (x, 0)1 = x2

. Soluci´ on: Para· una mejor ¸ comprensi´ ¸ la EDP Z on ·escribamos Z as´ı: R ∂ ∂u ∂ ∂u ∂u x − u = 8 =⇒ − u dx = 8dx ⇒ − u = 8x + φ(y). Esta ecuaci´on ∂x ∂y ∂x ∂y ∂y −y es una ecuaci´on lineal con factor integrante e . Por tanto ∂ £ −y ¤ e u = 8xe−y + e−y φ(y). ∂y Z y De aqu´ı: u(x, y) = −8x + e e−y φ(y)dy + ey ϕ(x), siendo ϕ(x) arbitraria. Si escribimos Z ξ(y) = ey e−y φ(y)dy, se tiene: u(x, y) = −8x + ξ(y) + ey ϕ(x). Como u(0, y) = 0, se tiene que: ξ(y) = −ey ϕ(0). Por tanto: u(x, y) = −8x − ey ϕ(0) + ey ϕ(x). 1u x

es la

∂u ∂x

22CAP´ITULO 1. NOCIONES SOBRE LAS ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES (EDP’S)

Diferenciando con respecto a x y haciendo y = 0 · ¸ ∂u(x, y) = −8 + ϕ0 (x) = x2 ⇒ ϕ0 (x) = x2 + 8 ⇒ ∂x y=0 Z 1 ϕ(x) = (x2 + 8)dx = x3 + 8x + K. 3 De donde: · ¸ 1 3 u(x, y) = −8x − ey ϕ(0) + ey x + 8x + K 3 1 3 Puesto que ϕ(0) es una constante igual a K, ϕ(0) = 0 + 8 · 0 + K, y ser´a 3 1 u(x, y) = −8x − ey K + x3 ey + 8xey + ey K 3 En definitiva: u(x, y) =

1 3 y x e + 8xey − 8x 3

1.3 Encontrar una EDP de primer orden que tenga como una soluci´on general: z = φ(x + y) siendo φ arbitraria. Soluci´ on: [PASO 1 ] Llamemos u = x + y =⇒ z = φ(u) [PASO 2 ] Diferenciando respecto a x, tenemos ∂z ∂z ∂u ∂u ∂z = = φ0 (u) ⇒ = φ0 (u),1 = φ0 (u). ∂x ∂u ∂x ∂x ∂x [PASO 3 ] Diferenciando respecto a y, tenemos ∂z ∂z ∂u ∂z = = φ0 (u),1 ⇒ = φ0 (u). ∂y ∂u ∂y ∂y [PASO 4 ] Eliminando φ0 (u) en los pasos (2) y (3) se tiene: ∂z ∂z ∂z ∂z = =⇒ − = 0. ∂x ∂y ∂x ∂y 1.4 Encontrar una EDP, de menor orden, eliminando las funciones arbitrarias en la relaci´on dada: ¡ ¢ a) z = φ(xy) b) z = φ(x2 − y 2 ) c) z = φ e3y (x − 2y) . Soluci´ on: Seguimos los mismos pasos que en el ejercicio [1.3] para cada una de las propuestas:

1.6. EJERCICIOS RESUELTOS

23

∂z ∂z ∂u a) Llamemos u = xy ⇒ z = φ(u). Diferenciando respecto a x, = = φ0 (u)y. ∂x ∂u ∂x ∂z ∂z ∂u Diferenciando con respecto a y, = = φ0 (u)x. ∂y ∂u ∂y Eliminando φ0 (u) en las expresiones anteriores: ∂z ∂x

=

φ0 (u)y ∂z ∂x ⇒ ∂z ∂y

∂z ∂y

=

y x

⇒

= φ0 (u)x x

∂z ∂z ∂z ∂z =y =⇒ x −y = 0. ∂x ∂y ∂x ∂y

b) Llamemos u = x2 − y 2 ⇒ z = φ(u). Diferenciando respecto de x, y respecto de y y eliminando φ0 (u) de entre ambas se tiene: ∂z ∂z ∂u = = φ0 (u)2x, ∂x ∂u ∂x

∂z ∂z ∂u = = −φ0 (u)2y ∂y ∂u ∂y

∂z 0 ∂x = φ (u)2x ⇒ −y ∂z = x ∂z ⇒ ∂z −φ0 (u)2y ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z x +y =0 ∂y ∂x c) Llamemos u = e3y (x − 2y) = xe3y − 2ye3y ⇒ z = φ(u). Diferenciando respecto de x, ∂z ∂z ∂u = = φ0 (u)e3y . ∂x ∂u ∂x An´alogamente respecto de y, £ ¤ ∂z ∂z ∂u = = φ0 (u) 3xe3y − 2e3y − 6y 2 e3y ∂y ∂u ∂y eliminando φ0 (u) de entre ambas se tiene que: ∂z φ0 (u)e3y ∂z ∂z ∂x = ⇒ (3x − 6y 2 − 2) = ⇒ ∂z −φ0 (u)e3y [3x − 2 − 6y 2 ] ∂x ∂y ∂y (3x − 6y 2 − 2)

∂z ∂z − = 0. ∂x ∂y

24CAP´ITULO 1. NOCIONES SOBRE LAS ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES (EDP’S)

Cap´ıtulo 2

Ecuaciones diferenciales lineales en derivadas parciales. Propiedades

”Ninguna certeza existe all´ı donde no es posible aplicar la Matem´ atica o en aquello que no pueda relacionarse con la Matem´ atica” Leonardo da Vinci ”Hay otros mundos pero est´ an en ´este” Paul Eluard

25

26CAP´ITULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES EN DERIVADAS PARCIALES. PROPIEDA

´ EN DERIVADAS PARCIALES LINEAL 2.1. ECUACION

2.1.

27

Ecuaci´ on en derivadas parciales lineal

Definici´ on 2.1 La ecuaci´ on en derivadas parciales se llama lineal, si ´esta es lineal respecto a la funci´ on buscada y todas sus derivadas que forman parte de la ecuaci´ on. En caso contrario se llama no lineal. Ejemplos a)

2 2 ∂ 2 u(x, y) 2 ∂ u(x, y) = x + e−x es EDPL (Ecuaci´on en Derivadas Parciales Lineal) 2 2 ∂x ∂y

∂u(x, y) ∂u(x, y) −x + [u(x, y)]2 = 0 es EDPNL (Ecuaci´on en Derivadas Parciales ∂x ∂y No Lineal) ¤ b)

y

Definici´ on 2.2 La EDP de segundo orden para la funci´ on de dos variables independientes x e y en el caso general tiene la forma ∂ 2 u(x, y) ∂ 2 u(x, y) ∂ 2 u(x, y) + 2B(x, y) + C(x, y) + 2 ∂x ∂x∂y ∂y 2 ∂u(x, y) ∂u(x, y) a(x, y) + b(x, y) + c(x, y)u(x, y) = f (x, y) ∂x ∂y

A(x, y)

(2.1)

Siendo A(x, y), B(x, y), C(x, y), a(x, y), b(x, y), c(x, y) funciones de las variables x e y en una regi´ on D ⊂ R2 , y la funci´ on inc´ ognita u = u(x, y). Si f (x, y) = 0 en D ⊂ R2 , la ecuaci´ on [2.1] se llama homog´enea(EDPH) Notas 1. Si designamos el primer miembro de [2.1] por L[u] tenemos: L[u] = f (x, y) y su correspondiente homog´enea L[u] = 0

(2.2)

2. El operador L es el operador diferencial definido en todo caso en el espacio lineal C 2 (D) mediante u = u(x, y). N

2.2.

Propiedades de las soluciones de las EDP

Debido al car´acter de linealidad del operador L los siguientes teorema son v´alidos y representan las propiedades de las soluciones de las EDP’s homog´eneas.

28CAP´ITULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES EN DERIVADAS PARCIALES. PROPIEDA

Teorema 2.1 Si u(x, y) es la soluci´ on de la EDPH L[u] = 0 entonces ku(x, y) es tambi´en soluci´ on de la homog´enea para k ∈ R. Teorema 2.2 Si u1 (x, y), u2 (x, y) son las soluciones de la EDPH L[u] = 0 entonces u1 (x, y)+ u2 (x, y) es tambi´en soluci´ on de esta ecuaci´ on. Teorema 2.3 Si cada una de las funciones ui (x, y), i = 1, 2, . . . , k es la soluci´ on de Pk L[u] = 0 entonces i=1 ci ui (x, y) es tambi´en soluci´ on de la ecuaci´ on homog´enea, siendo ci ∈ R, i = 1, 2, . . . n. Notas a) Este u ´ltimo teorema es un corolario de los dos anteriores. b) Las propiedades anteriores tienen lugar tambi´en para las EDPHL ordinarias. Sin embargo, la EDPHL ordinaria de n-´esimo orden tiene precisamente n soluciones parciales independientes linealmente, cuya combinaci´on lineal nos da la soluci´on general de esta ecuaci´on. c) La EDP puede tener un conjunto infinito de soluciones parciales linealmente inde∂u pendientes. Veamos el siguiente ejemplo. Sea la EDP = 0. Tiene como soluci´on ∂y general u = Φ(x), de tal manera que sus soluciones ser´an, por ejemplo, las funciones 1, x, x2 , x3 , . . . , xn , . . . En correspondencia con eso, en los problemas lineales para las EDP’s tendremos que operar no s´olo con combinaciones lineales de un n´ umero finiP∞ c u (x, y) cuyos t´ e rminos son to de soluciones, sino tambi´en con las series n=1 n n los productos de algunas constantes, cn por las soluciones un (x, y) de la ecuaci´on diferencial. N Teorema 2.4 Sea L[u] = f (x, y) a) Si u(x, y) es soluci´ on de L[u] = f y v(x, y) es la soluci´ on de la homog´enea L[u] = 0, entonces u(x, y) + v(x, y) es la soluci´ on de L[u] = f . b) Si u1 (x, y) es soluci´ on de L[u] = f1 y u2 (x, y) es soluci´ on de L[u] = f2 , entonces u1 (x, y)+u2 (x, y) es soluci´ on de la ecuaci´ on L[u] = f1 +f2 (Principio de Superposici´ on) Nota L.

La demostraci´on en ambos casos es inmediata debido al car´acter de linealidad del operador N

´ DE LAS EDP’S DE SEGUNDO ORDEN DE DOS VARIABLES INDEPENDIENTES29 2.3. CLASIFICACION

2.3.

Clasificaci´ on de las EDP’s de segundo orden de dos variables independientes

Definici´ on 2.3 Sea la EDP de segundo orden ∂ 2 u(x, y) ∂ 2 u(x, y) ∂ 2 u(x, y) + C(x, y) + 2B(x, y) + 2 ∂x ∂x∂y ∂y 2 ∂u(x, y) ∂u(x, y) a(x, y) + b(x, y) + c(x, y)u(x, y) = f (x, y) ∂x ∂y

A(x, y)

en una cierta regi´ on Ω ⊂ R2 (plano OXY ). Se dice: 1. Hiperb´ olica en Ω, si ∆ = B 2 − AC > 0 en Ω. olica en Ω, si ∆ = B 2 − AC = 0 en Ω. 2. Parab´ 3. El´ıptica en Ω, si ∆ = B 2 − AC < 0 en Ω. Ejemplos Las ecuaciones

∂ 2 u(x, y) ∂ 2 u(x, y) ∂ 2 u(x, y) = y = 0 son hiperb´ olicas: ∀x, y ∈ Ω. ∂x2 ∂y 2 ∂x∂y

La ecuaci´ on

∂u(x, y) ∂ 2 u(x, y) = es parab´ olica: ∀x, y ∈ Ω. ∂x ∂y 2

La ecuaci´ on

∂ 2 u(x, y) ∂ 2 u(x, y) + = 0 es el´ıptica : ∀x, y ∈ Ω. ∂x2 ∂y 2

La ecuaci´ on y

∂ 2 u(x, y) ∂ 2 u(x, y) + = 0 es ∂x2 ∂y 2

El´ıptica ∀y > 0 Parab´ olica en la l´ınea y = 0 Hiperb´ olica en el semiplano y < 0

2.4.

¤

Condiciones

I) Se puede mostrar que, observando determinadas condiciones para los coeficientes de la ecuaci´on A(x, y)

∂ 2 u(x, y) ∂ 2 u(x, y) ∂ 2 u(x, y) + 2B(x, y) + C(x, y) + ∂x2 ∂x∂y ∂y 2

30CAP´ITULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES EN DERIVADAS PARCIALES. PROPIEDA

a(x, y)

∂u(x, y) ∂u(x, y) + b(x, y) + c(x, y)u(x, y) = f (x, y) ∂x ∂y

(2.3)

puede hacerse un cambio no singular de las variables independientes ξ = ϕ(x, y)

y

η = φ(x, y)

ϕ, η ∈ C 2 .

Ayud´andose del cual la ecuaci´on [2.3] se transforma en el tipo can´onico m´as simple que es propio para cada tipo de la ecuaci´on. Si la ecuaci´on [2.3] es del tipo hiperb´olico (∆ > 0), entonces ´esta se transforma en la forma µ ¶ ∂ 2 u(x, y) ∂u(x, y) ∂u(x, y) = Ψ ξ, η, u(x, y), , ´o ∂ξ∂η ∂ξ ∂η µ ¶ ∂ 2 u(x, y) ∂ 2 u(x, y) ∂u(x, y) ∂u(x, y) − = Φ ξ, η, u(x, y), , ∂ξ 2 ∂η 2 ∂ξ ∂η (son dos formas can´onicas de las ecuaciones de tipo hiperb´olico). Si la ecuaci´on [2.3] es del tipo parab´olico (∆ = 0), entonces ´esta se transforma en la forma µ ¶ ∂u(x, y) ∂u(x, y) ∂ 2 u(x, y) = Φ ξ, η, u(x, y), , ∂η 2 ∂ξ ∂η (es la forma can´onica de la ecuaci´on de tipo parab´olico). Si la ecuaci´on [2.3] es del tipo el´ıptico (∆ < 0), entonces ´esta se transforma en la forma: µ ¶ ∂ 2 u(x, y) ∂ 2 u(x, y) ∂u(x, y) ∂u(x, y) + = Φ ξ, η, u(x, y), , ∂ξ 2 ∂η 2 ∂ξ ∂η (es la forma can´onica de las ecuaciones de tipo el´ıptico). Aqu´ı Ψ y Φ son algunas funciones que dependen de la funci´on buscada u(x, y), de sus ∂u(x, y) ∂u(x, y) derivadas primeras , y de las variables independientes ξ, η. La forma ∂ξ ∂η de las funciones Ψ, Φ se determinan por la ecuaci´on inicial [2.3]. En algunos casos la forma can´onica de la ecuaci´on permite hallar la soluci´on general de la ecuaci´on inicial. Nota Como regla, la reducci´on de la ecuaci´on [2.3] a la forma can´onica cambiando variables independientes tiene car´acter local, es decir, es realizable s´olo en un entorno suficientemente peque˜ no del punto examinado . N

2.5. CASOS PARTICULARES

31

II) Cuando el n´ umero n de las variables independientes es superior a dos, tambi´en se diferencian las ecuaciones de los tipos hiperb´olico, parab´olico y el´ıptico. Por ejemplo, cuando n = 4, la forma can´onica m´as simple de las ecuaciones semejantes tiene el aspecto de: ∂ 2 u(x, y) ∂ 2 u(x, y) ∂ 2 u(x, y) ∂ 2 u(x, y) − − − = 0(Tipo hiperb´olico) ∂t2 ∂x2 ∂y 2 ∂z 2 ∂u(x, y) ∂ 2 u(x, y) ∂ 2 u(x, y) ∂ 2 u(x, y) − − − = 0(Tipo parab´olico) ∂t ∂x2 ∂y 2 ∂z 2 ∂ 2 u(x, y) ∂ 2 u(x, y) ∂ 2 u(x, y) ∂ 2 u(x, y) + + + = 0(Tipo el´ıptico) ∂t2 ∂x2 ∂y 2 ∂z 2 donde u = u(x, y, z, t).

2.5.

Casos particulares

Limit´emonos al estudio de las EDPL de segundo orden. A semejantes ecuaciones puede reducirse un gran n´ umero de diferentes problemas f´ısicos.

2.5.1.

Ecuaciones de tipo hiperb´ olico

Los fen´omenos oscilatorios de diferente naturaleza (vibraciones de cuerdas, membranas, oscilaciones ac´ usticas del gas en los tubos, oscilaciones electromagn´eticas) se describen por las ecuaciones del tipo hiperb´ olico. La m´as simple es la ecuaci´on de vibraciones de la cuerda (ecuaci´on ondulatoria unidimensional) 2 ∂2u 2∂ u = a , u = u(x, t) (2.4) ∂t2 ∂x2 T Siendo x la coordenada espacial, t el tiempo y a2 = , donde T es la tensi´on de la cuerda ρ y ρ su densidad lineal.

2.5.2.

Ecuaciones de tipo parab´ olico

Los procesos de conductibilidad t´ermica y de difusi´on conducen a las ecuaciones de tipo parab´olico. En el caso unidimensional la ecuaci´on m´as simple de cunductibilidad t´ermica

32CAP´ITULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES EN DERIVADAS PARCIALES. PROPIEDA

tiene la forma

∂u ∂2u = a2 2 , ∂t ∂x

u = u(x, t)

(2.5)

K , donde ρ es la densidad del medio, c es el calor espec´ıfico y K es el coeficiente cρ de conductibilidad t´ermica. Aqu´ı a2 =

2.5.3.

Ecuaciones de tipo el´ıptico

Los procesos a ciclo fijo, cuando la funci´on buscada no depende del tiempo, se determinan por las ecuaciones de tipo el´ıptico, el representante t´ıpico de ´estas es la ecuaci´on de Laplace ∆u ≡

∂2u ∂2u + 2 = 0, ∂x2 ∂y

u = u(x, y)

(2.6)

Notas 1. Se puede comprobar directamente que la soluci´on de la ecuaci´on [2.4] es u(x, t) = ϕ(x − at) + ψ(x + at)

ϕ(ξ) ∧ ψ(η) ∈ C 2

2. Se puede mostrar que las soluciones de [2.5] son de la forma u(x, t, λ) = Ae−a

2

λ2 t

sen(λx + α)

siendo A, α ∈ R arbitrarias y λ es el par´ametro num´erico. 2

2

Integrando la soluci´on u(x, t, λ) = e−a λ t cos λx de la ecuaci´on [2.5] respecto al par´ametro λ dentro de los l´ımites de −∞ hasta +∞, obtenemos la llamada soluci´on fundamental de la ecuaci´on de conductibilidad t´ermica r π x22 v(x, t) = e 4a t t 3. Las funciones de valor real Pn (x, y), Qn (x, y) que se determinan a partir de la relaci´on (x + i y)n = Pn (x, y) + i Qn (x, y) son las soluciones de la ecuaci´on de Laplace [2.6] para n = 0, 1, 2, . . . Este u ´ltimo resultado es un caso particular de la afirmaci´on general que las partes real e imaginaria de la funci´on anal´ıtica f (z) = u(x, y) + i v(x, y) de la variable compleja z = x + i y son cada una de las soluciones de la ecuaci´on de Laplace [2.6]. N

2.6. PLANTEAMIENTO DE PROBLEMAS PARA LAS EDP’S DE SEGUNDO ORDEN33

2.6.

Planteamiento de problemas para las EDP’s de segundo orden

Para describir completamente uno u otro proceso f´ısico es insuficiente s´olo la ecuaci´on diferencial del proceso, hace falta plantear el estado inicial de este proceso (Condiciones iniciales) y el r´egimen en la frontera S de aquella regi´on Ω ∈ Rn , en la cual tiene lugar el proceso (Condiciones de frontera). Esto se debe a la No unicidad de la soluci´on de las ecuaciones diferenciales . ∂2u = 0 tiene la forma u(x, y) = f (x) + ∂x∂y g(y), donde f y g son las funciones derivables arbitrarias. Por eso, para determinar la soluci´on que describe el proceso f´ısico dado, hace falta plantear condiciones adicionales. Por ejemplo, la soluci´on general de la ecuaci´on

Se distinguen tres tipos principales de problemas para las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales: a) El problema de Cauchy para las ecuaciones de tipo hiperb´olico y parab´olico: se plantean las condiciones iniciales, la regi´on Ω coincide con todo el espacio Rn , las condiciones de frontera se omiten. b) El problema de contorno para las ecuaciones de tipo el´ıptico: se plantean las condiciones de la frontera S de la regi´on Ω, las condiciones iniciales se omiten. c) El problema mixto para las ecuaciones de tipo hiperb´olico y parab´olico: se plantean las condiciones iniciales y las de frontera, Ω 6= Rn .

2.7.

M´ etodo de separaci´ on de variables: caso pr´ actico

Veamos en este apartado la forma de resolver desde el punto de vista pr´actico las EDP’s en los dos tipos se˜ nalados en apartados anteriores: lineal y no lineal. Si consideramos, por ejemplo, dos variables independientes x e y y la variable dependiente es u = u(x, y), la ecuaci´on lineal tiene la forma: · ¸ ∂ ∂ F , u(x, y) = φ(x, y) (2.7) ∂x ∂y · ¸ ∂ ∂ donde el operador F , o F [Dx , Dy ] es un polinomio en los dos operadores ∂x ∂y ∂ ∂ Dx ≡ , Dy ≡ y los coeficientes son funciones de las variables x e y solamente. ∂x ∂y

34CAP´ITULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES EN DERIVADAS PARCIALES. PROPIEDA

a) Si los coeficientes son constantes, la EDP se llama Ecuaci´ on Lineal con Coeficientes Constantes. b) En el caso de que los coeficientes sean variables, la EDP se llama Ecuaci´ on Lineal con Coeficientes Variables. Ejemplos 1. Si F = Dx2 + 4Dx Dy − 2Dy2 − 3Dx + 5 y φ(x, y) = x3 − ey , entonces podemos escribir ∂2u ∂2u ∂2u ∂u −2 2 −3 + 5u = x3 − ey +4 2 ∂x ∂x∂y ∂y ∂x que es una EDPL con coeficientes constantes. 2. Si F = xDx + yDy y φ(x, y) = 1, entonces tendremos x

∂u ∂u +y =1 ∂x ∂y

que es una EDPL con coeficientes variables. 3. La ecuaci´on

µ

∂u ∂x

¶2

µ +

∂u ∂y

¶2 = 3x − 8y

es una EDP no lineal puesto que no puede expresarse en la forma [2.7].

¤

Notas a) La extensi´on a m´as de dos variables se generaliza sin grandes dificultades. b) Las ecuaciones no lineales son, en general dif´ıciles, de estudiar. Por ello hablaremos de aquellas ecuaciones diferenciales parciales lineales que son m´as u ´tiles en problemas aplicados. N

2.8.

Teoremas

En analog´ıa con las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO’s) tenemos los siguientes teoremas.

2.8. TEOREMAS

35

Teorema 2.5 Se considera la EDPL: F (Dx , Dy , · · ·) u(x, y, · · ·) = φ(x, y, · · ·)

(2.8)

donde x, y · · · son variables independientes y F (Dx , Dy , · · ·) es un operador polin´ omico en Dx , Dy , · · ·, entonces la soluci´ on general de [2.8] es la suma de la soluci´ on general uh de la ecuaci´ on homog´enea (ecuaci´ on complementaria) F (Dx , Dy , · · ·) u(x, y, · · ·) = 0

(2.9)

y cualquier soluci´ on particular up de [2.8]. Esto es: u(x, y, · · ·) = uh (x, y, · · ·) + up (x, y, · · ·) A la soluci´ on general uh (x, y, · · ·) de [2.9] con frecuencia se denomina la soluci´ on complementaria de [2.8] Teorema 2.6 Sean u1 (x, y, · · ·), u2 (x, y, · · ·), · · · soluciones de la ecuaci´ on [2.12]. Entonces si α1 , α2 , . . . son constantes cualesquiera u(x, y, z, · · ·) = α1 u1 (x, y, · · ·)+α2 u2 (x, y, · · ·)+· · · es tambi´en una soluci´ on . (Se conoce con el nombre, como indic´ abamos anteriormente, de Principio de Superposici´ on)

2.8.1.

M´ etodo de separaci´ on de variables

Intentemos dar respuesta a la soluci´on de la ecuaci´on homog´enea F (Dx , Dy ; · · ·) = 0.

(2.10)

Supongamos el caso de una EDO (Ecuaci´on Diferencial Ordinaria), F (D) y = 0, con coeficientes constantes. En este caso usamos la sustituci´on y = emx , la cual conduc´ıa a la ecuaci´ on auxiliar o ecuaci´ on caracter´ıstica para determinar la constante m. En el caso de la ecuaci´on [2.9] con coeficientes constantes, por analog´ıa, deber´ıamos asumir como soluci´on u(x, y, z, · · ·) = eα1 x+α2 y+··· y tratar de determinar las constantes α1 , α2 , α3 , · · ·. Aunque este m´etodo tiene ´exito en algunos casos, un m´etodo con mejor enfoque es asumir una soluci´on de la forma u(x, y, z, · · ·) = X(x).Y (y).Z(z). · · · o m´as brevemente u = XY Z · · · esto es, una funci´on s´olo de x multiplicada por una funci´on s´olo de y, y as´ı sucesivamente, como se sugiere al escribir u = eα1 x+α2 y+··· como u = eax .eby .ecz · · ·. Este m´etodo de soluci´on con frecuencia se llama el M´etodo de Separaci´ on de Variables(MSV). Este m´etodo es de gran utilidad para obtener soluciones de EDP’s, en casos de coeficientes variables o constantes, representa el objetivo central de este tema.

36CAP´ITULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES EN DERIVADAS PARCIALES. PROPIEDA

Ejemplos que ilustran el M´ etodo de Separaci´ on de Variables (MSV) Vamos a mostrar algunos ejemplos que nos ayuden a entender el MSV. Ejemplo 1 Resolver el problema de valor de frontera ∂u ∂u +3 = 0, ∂x ∂y

u(0, y) = 4e−2y + 3e−6y .

Soluci´ on Admitamos que existen soluciones de la forma u(x, y) = X(x).Y (y) ´o u = X.Y . SustidX dY tuyendo en la ecuaci´on se tiene, llamando X 0 = e Y0 = , que dx dy X 0 Y + 3XY 0 = 0 ⇔

X0 Y0 + =0 3X Y

(2.11)

dividiendo ambos miembros por 3XY al suponerlo distinto de cero, se tiene que X0 Y0 =− . 3X Y

(2.12)

Se ve entonces que un lado de la igualdad s´olo depende de x, mientras que el otro miembro s´ olo depende de y. Puesto que x e y son variables independientes, ellas no dependen entre s´ı, y por tanto [2.11] puede ser cierta si y s´olo si cada miembro de [2.12] es igual a la misma constante, que llamaremos c. De [2.12] se tiene que X 0 − 3cX 0

Y + cY

=

0

=

0

(2.13)

de ah´ı que las ecuaciones [2.13] tienen de soluciones, respectivamente, X = a1 e3cx ,

Y = a2 e−cy

(2.14)

As´ı como u(x, y) = X · Y sustituyendo, u(x, y) = a1 a2 ec(3x−y) = Bec(3x−y)

(2.15)

siendo B = a1 a2 ∈ R. Si ahora usamos la condici´on que nos impone el problema de valor de frontera tendremos: Be−cy = 4e−2y + 3e−6y .

(2.16)

2.8. TEOREMAS

37

Desafortunadamente [2.16] no puede ser cierta para ninguna selecci´on de las constantes B y c; y parecer´ıa como si el m´etodo no funcionara. Por supuesto, si tuvi´eramos s´olo uno de los t´erminos a la derecha de [2.16] el m´etodo funcionar´ıa. As´ı, si tuvi´eramos s´olo 4e−2y , por ejemplo, se tendr´ıa Be−cy = 4e−2y ⇒ B = 4, y c = 2 y conducir´ıa a la soluci´on deseada de [2.15]: u(x, y) = 4e2(3x−y) . El problema sin aparente soluci´on se salva aplicando el teorema [2.6]. Se tiene de [2.15] que u1 (x, y) = b1 ec1 (3x−y) u2 (x, y)

= b2 ec2 (3x−y)

son ambas soluciones, y se debe tener tambi´en como soluci´on u(x, y) = b1 ec1 (3x−y) + b2 ec2 (3x−y) . La condici´on de frontera de inicial nos conduce a b1 e−c1 y + b2 e−c2 y = 4e−2y − 3e−6y que se satisface si elegimos b1 = 4, c1 = 2 ∧ b2 = −3, c2 = 6. Por tanto la soluci´on deseada viene dada por u(x, y) = 4e2(3x−y) − 3e6(3x−y) . ¤ Notas a) Podemos preguntarnos porqu´e no trabajamos el problema resuelto anterior encontrando primero la soluci´on general y luego la soluci´on particular. Una raz´on la encontramos en que excepto en casos muy sencillos la soluci´on general es dif´ıcil de encontrar, y a´ un cuando se pueda encontrar, puede ser dif´ıcil determinar la soluci´on particular a partir de ella. Sin embargo el cocktail del MSV con el Principio de Superposici´on de Variables (PSV) resulta de gran utilidad. b) Un ejemplo m´as complicado del m´etodo de separaci´on de variables lo podemos ver m´as adelante en el ejercicio resuelto n´ umero uno. N

38CAP´ITULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES EN DERIVADAS PARCIALES. PROPIEDA

2.9.

Ejercicios propuestos

2.1 Hallar la soluci´on general de la ecuaci´on:

∂2u ∂u = . ∂y 2 ∂y

2.2 Hallar la soluci´on general de la ecuaci´on:

∂u ∂2u = 2y . ∂x∂y ∂x

2.3 Hallar la soluci´on general de la ecuaci´on:

∂2u = ex+y . ∂y 2

2.4 Hallar la soluci´on general de la ecuaci´on:

∂2u = x + y. ∂y 2

2.5 Hallar la soluci´on general de la ecuaci´on:

∂2u 1 ∂u + = 0. ∂x∂y x ∂y

2.6 Hallar la soluci´on general de la ecuaci´on:

∂nu = 0. ∂y n

2.7 Hallar la soluci´on general de la ecuaci´on:

∂nu = 0. ∂xn

2.8 Considerando u = u(x, y, z), hallar la soluci´on de la ecuaci´on

∂3u = 0. ∂x∂y∂z

2.9 Hallar las regiones de la hiperbolicidad, parabolicidad y la elipticidad de las ecuaciones siguientes: a) b)

∂2u ∂2u ∂2u + 2 − 3 ∂x2 ∂x∂y ∂y 2 2 2 ∂ u ∂ u ∂2u − 2x + y ∂x2 ∂x∂y ∂y 2

= 0 =

u + 1.

2.10 Usar el MSV para obtener las soluciones a los problemas de valor de la frontera: ∂u +u = ∂x ∂y ∂y b) 4 + = ∂t ∂x a)

∂u ; ∂y 3y;

u(x, 0) = 4e−3x y(x, 0) = 4e−x − e−5x .

Soluciones a los ejercicios propuestos 2.1 u(x, y) = φ1 (x) + φ2 (x)ey . 2

2.2 u(x, y) = φ1 (x)ey + φ2 (x).

2.10. EJERCICIOS RESUELTOS

39

2.3 u(x, y) = ex+y + φ1 (x)y + φ2 (x). 2.4 u(x, y) =

xy 2 y3 + + φ1 (x)y + φ2 (x). 2 x

2.5 u(x, y) =

φ1 + φ2 (x). x

2.6 u(x, y) = φ1 (x)y n−1 + φ2 (x)y n−2 + · · · + φn (x). 2.7 u(x, y) = φ1 (y)xn−1 + φ2 (y)xn−2 + · · · + φn (y). 2.8 u(x, y, z) = φ1 (x, y) + φ2 (x, z) + φ3 (y, z). 2.9 a) La ecuaci´on es hiperb´olica en todas las partes. b) En la regi´on x2 − y > 0 la ecuaci´on es hiperb´olica, en la regi´on x2 − y < 0 la ecuaci´on es el´ıptica y la curva y = x2 est´a formada por los puntos de parabolicidad. 2.10 a)

u(x, y) = 4e−3x−2y ;

2.10.

b)

y(x, t) = 4e−x+t − e−5x+2t .

Ejercicios resueltos

2.1 Resolver el problema de valor de frontera ∂u ∂2u = 2 2; ∂t ∂x u(0, t) = 0, u(10, t) = 0, u(x, 0) = 50 sen

3πx + 20 sen πx − 10 sen 4πx. 2

Soluci´ on Las variables independientes son x y t. [PASO 1 ] Apliquemos el MSV. Sustituimos u(x, t) = X(x).T (t) ⇒ u = X.T en la ecuaci´on diferencial dada. Se tiene ∂2 ∂ (XT ) = 2 2 (XT ) ⇒ X.T 0 = 2X 00 .T ∂t ∂x d2 X , dx2

(2.17)

dT . dt 0 T X 00 Escribimos [2.17] como = . Cada miembro de esta igualdad debe ser una con2T X stante. Denot´emosla por c: siendo X 00 =

T0 =

40CAP´ITULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES EN DERIVADAS PARCIALES. PROPIEDA X 00 T0 =c ∧ = c, de ah´ı: 2T X T 0 − 2cT = 0,

X 00 − cX = 0

(2.18)

[PASO 2 ] Ahora para escribir la soluci´on de la segunda ecuaci´on en [2.18], debemos saber si c es positiva, negativa o nula. Consideremos los tres casos. [PASO 3 ] c=0. En este caso las soluciones a T 0 − 2cT = 0; X 00 − cX = 0 est´an dadas por T = c1 , X = c2 x + c3 , c1 , c2 , c3 ∈ R. Por tanto u(x, t) = X(x).T (t) = c1 (c2 x + c3 )

(2.19)

De la dos primeras condiciones de frontera se tiene c1 c3 c1 (10c2 + c3 )

= 0

(2.20)

=

(2.21)

0

estas se satisfacen si c1 = 0, pero en tal caso la soluci´on es la trivial u(x, t) = 0, la cual no puede satisfacer la tercera condici´on de frontera. Por tanto, c1 6= 0. Sin embargo, en tal caso se ve que de [2.20] que c3 = 0, y as´ı c2 = 0, dando de nuevo u(x, t) = 0. Se tiene por tanto as´ı que c no puede ser cero. c>0. Aqu´ı las soluciones de T 0 − 2cT = 0, X 00 − cX = 0 est´an dadas por √ √ T = c1 e2ct , X = c2 e cx + c3 e− cx , y por tanto ³ √ √ ´ u(x, t) = X(x).T (t) = e2ct Ae cx + Be− cx de la primera condici´on³ de frontera A = c1 c2 , B = c1 c3 . De la segunda condici´on se √ √ ´ √ 2ct 10 c −10 c tiene u(10, t) = Be e −e = 0. Como e2ct 6= 0 ⇒ B = 0 ´o e10 c − ³ √ √ √ √ ´ e−10 c = 0 ⇒ e20 c = 1. Ahora si B = 0, la soluci´on u(x, t) = Be2ct e cx − e− cx es la trivial u(x, t) = 0, que por supuesto no puede satisfacer la tercera condici´on de frontera, la cual ni siquiera ha sido considerada a´ un. Tambi´en es imposible tener √ √ e20 c = 1 para c > 0, puesto que para c > 0 ⇒ e20 c > 1, esto nos indica que no puede ser c > 0. c 0 en sentidos opuestos - La curva u = θ1 (x) a la derecha - La curva u = θ2 (x) a la izquierda Para obtener la gr´afica de la cuerda es suficiente construir la suma algebraica de ordenadas de las curvas desplazadas.

b) Soluci´ on del problema de Cauchy para la cuerda ilimitada El problema de Cauchy consiste en hallar una funci´on u(x, t) ∈ C 2 que satisfaga la ecuaci´on ∂2u ∂2u = a2 2 ; 2 ∂t ∂x

t > 0, −∞ < x < +∞

(3.13)

 ∂u   = ϕ1 (x), −∞ < x < +∞ ∂t t=0

(3.14)

y las condiciones iniciales u|t=0 = ϕ0 (x);

donde ϕ0 (x) ∈ C 2 (R); ϕ1 (x) ∈ C 1 (R) son las dos funciones tales que ϕ0 (x) determina la forma de la cuerda en el instante inicial t = 0; ϕ1 (x) plantea la distribuci´on de las velocidades ∂u a lo largo de la cuerda en t = 0. ∂t Supongamos que la soluci´on del problema examinado existe, entonces se tendremos u(x, t) = θ1 (x − at) + θ2 (x + at).

´ ONDULATORIA UNIDIMENSIONAL 3.3. ECUACION

57

Determinemos las funciones θ1 y θ2 de tal manera que se satisfagan las condiciones iniciales [3.14] u(x; 0) ∂u(x; 0) ∂t

=

θ1 (x) + θ2 (x) = ϕ0 (x)

(3.15)

=

−a[θ10 (x) − θ20 (x)] = ϕ1 (x).

(3.16)

1 De aqu´ı, θ10 (x) − θ20 (x) = − ϕ1 (x). Si integramos con respecto a x a Z x Z 1 x [θ10 (α) − θ20 (α)]dα = − ϕ1 (α)dα + C : C ∈ R (arbitraria) a 0 0 1 θ1 (x) − θ2 (x) = − a

Z

x

ϕ1 (α)dα + C 0

pero por otro lado, θ1 (x) + θ2 (x) = ϕ0 (x). Entonces Z x 1 1 θ1 (x) = ϕ0 (x) − ϕ1 (α)dα + 2 2a 0 Z x 1 1 θ2 (x) = ϕ0 (x) + ϕ1 (α)dα − 2 2a 0

C 2 C 2

Introduciendo en la ecuaci´on [3.12] las expresiones para θ1 y θ2 , obtendremos: u(x, t) =

1 1 ϕ0 (x − at) − 2 2a u(x, t) =

Z

x−at 0

1 1 ϕ1 (α)dα + ϕ0 (x + at) + 2 2a

1 ϕ0 (x − at) + ϕ0 (x + at) + 2 2a

Z

Z

x+at

ϕ1 (α)dα 0

x+at

ϕ1 (α)dα

(3.17)

x−at

que denominamos F´ ormula de D’ Alembert.

c) Dominio de dependencia La f´ormula de D’ Alembert [3.17] muestra que el valor de la soluci´on u(x, t) en el punto P (x; t) depende s´olo de los valores de las funciones ϕ0 y ϕ1 en los puntos del segmento Υp : [x − at, x + at] del eje OX. En realidad los valores de ϕ1 forman parte de la soluci´on en todo el segmento Υp , mientras que los valores de ϕ0 s´olo en los extremos de este segmento. Se dice que la soluci´on u(p) no advierte los datos fuera de Υp . El segmento Υp del eje OX se llama Dominio de dependencia para el punto P (x; t) (v´ease la figura [3.8]).

´ CAP´ITULO 3. ECUACIONES DE TIPO HIPERBOLICO

58

6

P (x; t) ¡

¡@ ¡ @

¡

@ @

¡

¡

¡

@

Υp

¡ x − at

@

@ @ x + at

-

Figura 3.8:

3.3.2.

Casos particulares de la f´ ormula de D’ Alembert

Estudiemos dos casos particulares que permiten figurar el comportamiento de la soluci´on ∂2u ∂2u de la ecuaci´on = a2 2 en el caso general. 2 ∂t ∂x I) Caso Primero Sea ϕ1 (x) = 0, mientras que la gr´afica de la funci´on ϕ0 (x) tiene la forma de la siguiente figura u6 • 1 ¡@ ¡ @

¡ @ ¡ ©©H @ H ¡©© HH@ © ¡ H@ © HH @• ¡ •© 1 1 0 − 2

2

Figura 3.9:

t=0 X

´ ONDULATORIA UNIDIMENSIONAL 3.3. ECUACION

59

Sin perdida de generalidad y para simplificar consideremos que a = 1. Entonces la f´ormula de D’ Alembert (FDA) adopta la expresi´on ϕ0 (x − t) + ϕ0 (x + t) 2 Para obtener la gr´afica de la funci´on u(x, t) considerada como funci´on de x, ∀t ∈ R+ (fijo), operemos as´ı u(x, t) =

- Inicialmente trazamos dos gr´aficas que coinciden, cada una de las cuales se obtiene a partir de la gr´afica ϕ0 (x), reduciendo las ordenadas dos veces (l´ınea de trazo fino de la figura [3.9]). - A continuaci´on una de estas gr´aficas se desplaza, como un todo u ´nico, en t a la derecha en sentido positivo = X, mientras que la otra, en t a la izquierda. - Despu´es de estos dos pasos se construye una gr´afica nueva, en la cual la ordenada para cada valor de x es igual a la suma de ordenadas de dos gr´aficas desplazadas. Ejercicio para el lector Ayud´andose de este procedimiento comprobar que las gr´aficas u(x; 0), u(x; 1/4), u(x; 1/2), u(x; 1) se corresponden, respectivamente, con la figura [3.10]. Nota Se observa que para las condiciones iniciales elegidas en cada punto de la cuerda, despu´es de que pasen ambas ondas (y para los puntos que se hallan fuera de la regi´on del desplazamiento inicial, despu´es de que pase s´olo una onda), se establece el estado de reposo. N II) Caso Segundo Sean ϕ0 (x) ≡ 0,

ϕ1 (x) ≡

  1, | x |≤

1 2

 0, | x |>

1 2

y sigamos considerando a = 1. La visualizaci´on gr´afica es la que corresponde a la figura siguiente En este caso se dice que la cuerda tiene s´olo un impulso inicial. Y la expresi´on [3.17] toma la forma: Z 1 x+t u(x, t) = ϕ1 (α)dα. 2 x−t

´ CAP´ITULO 3. ECUACIONES DE TIPO HIPERBOLICO

60

t

¡ ¡

¡ − 12 − 14

6

1 2

0

t=

t

1 4

@ 1 4

@ @-

1 2 X

6

t=

t

1 2

1 ¡@ 2¡

¡@ ¡

@ ¡ @¡ − 12 − 14 0

1 4

@ @-

1 2 X

¢¢A

¢

− 12

AA − 14

6

t=1

1 2

0

1 4

¢¢A AA -

¢

1 2X

Figura 3.10: - Para cada x fijo la soluci´on u(x, t) ser´ µa igual¶a cero hasta que la intersecci´on del 1 1 intervalo (x − t, x + t) con el intervalo − , , donde ϕ1 (x) 6= 0, sea vac´ıo. 2 2 a mientras (x − t, x + t) cubra cada vez mayor parte del intervalo - u(x, µ t) cambiar´ ¶ 1 1 − , . 2 2 µ ¶ 1 1 - Despu´es de que el intervalo (x − t, x + t) tendr´a en su interior el intervalo − , , 2 2 u(x, t) permanecer´a invariable e igual a 1 2

Z

1 2

− 12

ϕ1 (α)dα.

(3.18)

Para obtener la gr´afica que represente la forma de la cuerda para valores diferentes de t, hagamos lo siguiente. Designemos por φ(z) una funci´on primitiva cualquiera para ϕ1 (z). Entonces 1 u(x, t) = [φ(x + t) − φ(x − t)] . (3.19) 2 Para construir la gr´afica de [3.19] tracemos las gr´aficas de las funciones : 12 φ(x) y − 12 φ(x) y despu´es cada una de estas gr´aficas se desplaza, como un todo u ´nico, a una distancia t a lo largo del eje OX. - La primera gr´afica, a la izquierda. - La segunda gr´afica, a la derecha

´ ONDULATORIA UNIDIMENSIONAL 3.3. ECUACION

u

61

6

u = ϕ1 (x)

− 12

0

1 2

X

Figura 3.11: Al sumar las ordenadas de las gr´aficas desplazadas, obtendremos la gr´afica de la funci´on u(x, t). Veamos para diferentes valores de t, las gr´aficas correspondientes Al pasar un intervalo suficientemente grande de tiempo, cada punto de la cuerda se desplaZ 1 1 2 ϕ1 (α)dα. zar´a y tendr´a la desviaci´on estacionaria uest que se determina por integral 2 − 21 En este caso tenemos la deformaci´on residual (Hist´eresis).

3.3.3.

¿C´ omo se debe plantear el problema de forma correcta ?

Al estudiar determinados problemas f´ısicos debemos introducir el concepto forma correcta de introducir el problema. Definici´ on 3.2 Sea un problema P(x). Se dice que P(x) se plantea de forma correcta en Matem´ aticas si a) La soluci´ on del problema P(x) existe para cierta clase de funciones F1 . b) La soluci´ on del problema P(x) es u ´nica para cierta clase de funciones F2 . c) La soluci´ on del problema P(x) depende de forma ininterrumpida de los datos del problema (condiciones iniciales y de frontera, coeficientes de la ecuaci´ on), es decir, la soluci´ on posee estabilidad. Al conjunto F1 ∩ F2 se denomina Clase del Planteamiento Correcto del problema.

´ CAP´ITULO 3. ECUACIONES DE TIPO HIPERBOLICO

62 u

u

6

a)

6

b)

1 1 2

t= 12

³ ³³

³ ³³ ³ P − 12PPP P

©© © HH © H ©© H HH 12 − 12 HH

t=0

-

1 2

PP

u

u

6

c)

1 2

¡

6

t= 14

-

d)

t= 12

¡@ ¡ @ @ @ @ @

t= 12

¡ ¡

-

¡

@ @ @ @ @ @

t=1-

Figura 3.12:

Teorema 3.1 Sea el problema de Cauchy para la cuerda ilimitada: ∂2u ∂t2 u(x, t)|t=0 ¯ ∂u(x, t) ¯¯ ∂t ¯t=0

= a2

∂2u , t > 0, −∞ < x < +∞ ∂x2

=

ϕ0 (x),

ϕ0 (x) ∈ C 2 (R)

=

ϕ1 (x),

ϕ1 (x) ∈ C 1 (R)

(3.20)

suponiendo que la soluci´ on existe y es u ´nica. Cualquiera que sea el intervalo [0, t0 ], ∀t ∈ [0, t0 ], y cualquiera que sea ² > 0, se encontrar´ a un δ = δ(², t0 ) > 0 tal, que para dos soluciones cualesquiera u1 (x; t), u2 (x; t) de la

´ ONDULATORIA UNIDIMENSIONAL 3.3. ECUACION

63

ecuaci´ on [3.20] que corresponden a las condiciones iniciales u1 (x; t) ∂u1 (x; 0) ∂t

=

ϕ10 (x) ;

=

ϕ11 (x) ;

u2 (x; t) ∂u2 (x; 0) ∂t

=

ϕ20 (x)

=

ϕ21 (x)

(3.21)

se cumple | u2 (x; t) − u1 (x; t) |< ², 0 ≤ t ≤ t0 , −∞ < x < +∞, cuando | ϕ10 (x) − ϕ20 (x) |< δ, | ϕ11 (x) − ϕ21 (x) |< δ con −∞ < x < +∞, es decir, un peque˜ no cambio de las condiciones iniciales lleva a una pequ˜ na variaci´ on de las soluciones. Nota 2 ∂2u 2∂ u Consecuentemente para la ecuaci´on = a el Problema de Cauchy est´a planteado ∂t2 ∂x2 de forma correcta. N

3.3.4.

Ejemplo de Hadamard

Examinemos el siguiente problema de Cauchy para la ecuaci´on de Laplace. Sea la situaci´on siguiente ∂2u ∂2u + = 0; t > 0, −∞ < x < +∞ ∂t2 ∂x2

(3.22)

que satisface para t = 0 las condiciones u(x, t)|t=0

¯ ∂u(x, t) ¯¯ 1 =0: = sen nx : ∀n ∈ N. ¯ ∂t n t=0

Es f´acil comprobar que la soluci´on de este problema es la funci´on u(x, t) =

1 senh nt sen nx. n2

(3.23)

¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ∂u(x; 0) ¯ ¯ ∂u(x; 0) ¯ ¯ 1 1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ sen nx¯ ≤ , entonces, para n suficientemente grande, ¯ Puesto que ¯ = ∂t ¯ ¯ n n ∂t ¯ ser´a en todas las partes tan peque˜ no como se desee. Al mismo tiempo, como muestra la f´ormula [3.23], la soluci´on u(x, t) del problema examinado, tomar´a magnitudes tan grandes en valor absoluto como se desee, cuando t > 0 arbitrariamente peque˜ no y n es suficientemente grande. Supongamos que hemos hallado la soluci´on u0 (x; t) del problema de Cauchy para la ¯ ∂u ¯¯ ecuaci´on [3.22] para ciertas condiciones iniciales u(x, t)|t=0 = ϕ0 (x); = ϕ1 (x). ∂t ¯t=0

´ CAP´ITULO 3. ECUACIONES DE TIPO HIPERBOLICO

64

Entonces para las condiciones iniciales u(x, t)|t=0

¯ ∂u(x, t) ¯¯ 1 = ϕ0 (x) ∧ = ϕ1 (x) + sen nx ∂t ¯t=0 n

la soluci´on del problema de Cauchy ser´a la funci´on u(x, t) = u0 (x; t) +

1 senh nt sen nx. n2

De aqu´ı se deduce que una peque˜ na variaci´on de las condiciones iniciales puede llevar a cambios tan grandes como se desee en la soluci´on del problema de Cauchy, adem´as, en una proximidad cualquiera de la l´ınea de los valores iniciales t = 0. En definitiva, el problema de Cauchy para la ecuaci´on de Laplace (tipo el´ıptico) est´a planteado incorrectamente.

3.3.5.

Otro ejemplo

Sea la ecuaci´on hiperb´olica

∂2u = 0. ∂x∂y

(3.24)

Hallar la soluci´on u(x, y) de la ecuaci´on [3.24] en el rect´angulo R dado en la siguiente figura: Y 6 P•

N R

y•

0

(x, y) •

• x

• M

X

Figura 3.13: R es u rect´angulo de lados paralelos a los ejes de coordenadas que toma en la frontera γ de R los valores de contorno prefijados ( la frontera γ de R est´a cerrada). Este problema de contorno, hablando en general, no tiene soluci´on.

3.4. EJERCICIOS PROPUESTOS

65

Como se sabe la soluci´on general de [3.24] tiene la forma u(x, y) = φ1 (x) + φ2 (y), con φ1 , φ2 ∈ C 1 arbitrarias. Tampoco podemos fijar arbitrariamente los valores de contorno, puesto que la derivada ∂u = φ02 (y) ha de tomar los valores iguales en puntos opuestos correspondientes de los lados ∂y x = k (cte). ∂u = φ01 (x), si se toman los puntos opuestos corres∂x pondientes en los lados y = cte. Los valores de la funci´on u(x, y) pueden fijarse arbitrariamente s´olo en dos lados contiguos del rect´angulo (por ejemplo, en OM y OP ), pero no en toda la frontera de este rect´angulo −, de tal manera que para la ecuaci´on hiperb´olica el problema de contorno planteado debe ser determinado de nuevo. A an´aloga conclusi´on llegamos para

Notas

1. De esta manera no podemos subordinar la soluci´on de la ecuaci´on dada a las condiciones de frontera de forma arbitraria.

2. Los problemas planteados de forma incorrecta se encuentran con frecuencia en las aplicaciones. N

3.4.

Ejercicios propuestos

3.1 Aprovechar la f´ormula de D’ Alembert para solucionar el problema de Cauchy

t > 0, −∞ < x < +∞; u(x, 0) = ϕ(x),

2 ∂2u 2∂ u = a , ∂t2 ∂x2

∂u(x, 0) = ψ(x), −∞ < x < +∞ ∂t

para mostrar que si ambas funciones ϕ(x), ψ(x) son impares u(x, t)|t=0 ¯ = 0, y si estas son pares, ∂u(x, t) ¯¯ = 0. ∂x ¯x=0

´ CAP´ITULO 3. ECUACIONES DE TIPO HIPERBOLICO

66

3.2 Hallar la soluci´on de los problemas iniciales siguientes: ∂2u ∂2u = a2 2 , t > 0, −∞ < x < +∞; 2 ∂t ∂x ¯ ∂u(x, t) ¯¯ 2 = cos x u(x, t)|t=0 = e−x ; ∂t ¯t=0

a)

b)

2 ∂2u 2∂ u = a , t > 0, −∞ < x < +∞; ∂t2 ∂x2 ¯ ∂u(x, t) ¯¯ 1 = 1+x u(x, t)|t=0 = 0; 2 ∂t ¯t=0

3.3 Hallar la soluci´on del problema inicial siguiente ∂2u ∂2u = 13 , t > 0, x ∈ (−∞, ∞); ∂t2 ∂x2 ¯ ∂u(x, t) ¯¯ u(x, t)|t=0 = senh x; = ln x ∂t ¯t=0 3.4 Hallar la soluci´on del problema inicial siguiente ∂2u ∂2u = 25 t > 0, x ∈ (−∞, ∞); ∂t2 ∂x2 ¯ ∂u(x, t) ¯¯ x2 −5x+1 u(x, t)|t=0 = 2 ; = cos2 x ∂t ¯t=0

Soluciones a los ejercicios propuestos h i 2 2 3.2 a) u(x, t) 21 e−(x−at) + e−(x+at) + b) u(x, t) =

sen at a

cos x.

1 2a

[arctan(x + at) − arctan(x − at)] . ¸ · √ √ √ √ √ x+√ 13t x+√ 13t 2 13 2 13 3.3 u(x, t) = senh x cosh 13t + ln (x + 13t) (x − 13t) + C. 2

3.4 u(x, t) = 2(x−5t)

3.5.

+5(5t−x)

£ ¤ 1 [10t + sen 10t cos 2x] + C. 1 + 220tx−50t + 20

Ejercicios resueltos

3.1 Demostrar que cada sumando de la expresi´on u(x, t) = θ1 (x − at) + θ2 (x + at) es soluci´on de la ecuaci´on de oscilaciones libres de una cuerda homog´enea.

3.5. EJERCICIOS RESUELTOS

67

Soluci´ on:

∂2u ∂2u Recu´erdese que la ecuaci´on diferencial es : 2 = a2 2 donde u(x, t) representa el des∂t ∂x plazamiento de los puntos de la cuerda respecto de la posici´on de equilibrio en el tiempo t. ∂u ∂ = [θ1 (x − at) + θ2 (x + at)] = θ10 (x − at)(−a) + θ20 a ∂t ∂t · ¸ ∂2u ∂ ∂ ∂u = = [−aθ10 (x − at) + aθ20 (x + at)] ⇒ ∂t2 ∂t ∂t ∂t ∂2u = (−a)2 θ100 (x − at) + a2 θ200 (x + at) = a2 [θ100 (x − at) + θ200 (x + at)]. ∂t2 ∂u ∂ Por otro lado: = [θ1 (x − at) + θ2 (x + at)] = θ10 + θ20 ∂x ∂x ∂2u ∂ 0 = [θ (x − at) + θ20 (x + at)] = θ100 (x − at) + θ200 (x + at) 2 ∂x ∂x 1 Por tanto:

∂2u ∂2u = a2 [θ100 (x − at) + θ200 (x + at)] = a2 2 2 ∂t ∂x

3.2 Demostrar el teorema [3.1]. Soluci´ on: Las funciones u1 (x; t), u2 (x; t) est´an ligadas con sus condiciones iniciales mediante la f´ormula de D’ Alembert de tal manera, que: u2 (x; t) − u1 (x; t) =

de aqu´ı: |u2 (x; t) − u1 (x; t)| ≤

ϕ20 (x − at) − ϕ10 (x − at) ϕ20 (x + at) − ϕ10 (x + at) + + 2 2 Z x+at ¡ 2 ¢ 1 + ϕ1 (α) − ϕ11 (α) dα. 2a x−at ¯ ¯ 2 ¯ϕ0 (x − at) − ϕ10 (x − at)¯

+

1 2a

Z

2 x+at

x−at

+

¯ ¯ 2 ¯ϕ0 (x + at) − ϕ10 (x + at)¯ 2

+

¯ ¯ 2 ¯ϕ1 (α) − ϕ11 (α)¯ dα.

Aprovechando las condiciones del teorema: |u2 (x; t) − u1 (x; t)|
0, 0 < x < L ∂t2 ∂x2

(4.1)

siendo las condiciones de frontera u(x, t)|x=0 = u(x, t)|x=L = 0, t ≥ 0

(4.2)

y las condiciones iniciales u(x, t)|t=0

¯ ∂u(x, t) ¯¯ = ϕ0 (x), = ϕ1 (x), x ∈ [0, L]. ∂t ¯t=0

(4.3)

Este problema se denomina Problema mixto, puesto que contiene las Condiciones de Frontera (CF) y las Condiciones Iniciales (CI). Vamos a encontrar las soluciones particulares de la ecuaci´on [4.1] que no sean id´enticamente nulas y satisfagan las condiciones de frontera [4.2] en la forma u(x, t) = T (t).X(x).

(4.4)

Al sustituir u(x, t) seg´ un [4.4] en la ecuaci´on [4.1], obtenemos T 00 (t).X(x) = a2 T (t).X 00 (x) ⇔

T 00 (t) X 00 (x) = . a2 T (t) X(x)

En esta igualdad el primer miembro depende s´olo de t; para que se produzca la igualdad ambos miembros deben de representar a la misma constante. Design´emosla por −λ. Se suele llamar a esta constante, constante de separaci´ on: T 00 (t) X 00 (x) = = −λ. a2 T (t) X(x)

(4.5)

T 00 (t) + λa2 T (t) = 0

(4.6)

De aqu´ı surgen las ecuaciones 00

X (x) + λX(x) = 0

(4.7)

´ 72CAP´ITULO 4. VIBRACIONES LIBRES DE UNA CUERDA HOMOGENEA FIJADA EN SUS EXTREMO

Las CF dan u(0, t) = X(0)T (t) = 0 u(L, t) = X(L)T (t) = 0. Como T (t) 6= 0 se deduce que la funci´on X(x) debe satisfacer las condiciones de frontera X(0) = 0, X(L) = 0.

(4.8)

La ecuaci´on [4.7] tiene la soluci´on evidente X(x) ≡ 0 (soluci´on trivial) con las CF [4.8]. Para obtener las no triviales de u(x, t) en forma de [4.4] que satisfagan las CF [4.2] hace falta hallar las soluciones no triviales de X 00 (x) + λX(x) = 0. De esta manera llegamos al problema siguiente Hallar los valores del par´ ametro λ, para los que existen las soluciones no triviales del problema [4.7] y [4.8], as´ı como estas mismas soluciones. Todos los valores del par´ametro λ se llaman valores propios y las soluciones del problema [4.7]- [4.8] no triviales, funciones propias.

4.2.

Problema de Sturm-Liouville

El problema enunciado anteriormente se denomina Problema de Sturm-Liouville. A continuaci´on, veamos como se calculan los valores propios y las funciones propias. Estudiemos tres casos correspondientes a los valores de λ. Caso I

λ < 0.

Cuando λ < 0, la soluci´on general de la ecuaci´on [4.7] tiene la forma X(x) = C1 e−

√ −λx

+ C2 e

√

−λx

.

Como se tienen que cumplir las condiciones de frontera [4.8] √ −λ0

X(0) = C1 e− X(L) = C1 e

√ − −λL

+ C2 e

√ −λ0

+ C2 e

√ −λL

=0 =0

4.2. PROBLEMA DE STURM-LIOUVILLE

⇒

73

C1 + C2 C1 e

√ − −λL

+ C2 e

=0

√ −λL

= 0.

Se trata de un sistema de dos ecuaciones con dos inc´ognitas C1 y C2 . Puesto que el determinante de la matriz de los coeficientes de este sistema es distinto de cero, C1 = C2 = 0. Por consiguiente, X(x) = 0, es decir, para λ < 0, no existen soluciones no triviales del problema. Caso II

λ = 0.

Cuando λ = 0, la soluci´on general de la ecuaci´on [4.7] tiene la forma X(x) = C1 x + C2 . La C.F. [4.8] nos dan C1 + C2

=

0

C1 · L + C2 · 0

=

0

=⇒ C1 = C2 = 0, y, por consiguiente X(x) = 0, es decir, cuando λ = 0 tampoco existen las soluciones no triviales del problema ]4.7]-[4.8]. Caso III

λ > 0.

Cuando λ > 0, la soluci´on general de la ecuaci´on [4.7] tiene la forma X(x) = C1 cos

√

λx + C2 sen

√

λx.

Como se tienen que cumplir las condiciones [4.8], obtenemos C1 · 1 + C2 · 0 = √ C1 cos λL + C2 sen λL = √

0 0.

El sistema anterior tiene las soluciones no triviales, si y s´olo si el determinante de la matriz de los coeficientes es igual a cero: ¯ ¯ ¯ ¯ √ 1 0 ¯ ¯ √ √ ¯ ¯ = 0 ⇔ sen λL = 0 ¯ cos λL sen λL ¯ ⇒

√

λL = arc sen 0 ⇒

√

λL = kπ, ∀k ∈ Z.

´ 74CAP´ITULO 4. VIBRACIONES LIBRES DE UNA CUERDA HOMOGENEA FIJADA EN SUS EXTREMO

De esta forma las soluciones no triviales del problema [4.7]- [4.8] son posibles s´olo para los valores µ ¶2 kπ : ∀k ∈ Z λk = L que son los denominados valores propios del problema [4.7]- [4.8]. A partir de la primera ecuaci´on del sistema [4.9] obtenemos C1 = 0 y, por consiguiente, las funciones µ ¶ kπ Xk (x) = sen x L ser´an las funciones propias del problema que se determinan con exactitud de hasta el factor constante, el cual hemos elegido C2 = 1 (sin p´erdida de generalidad). Nota A los valores positivos y negativos de k que son iguales en valor absoluto, corresponden las funciones propias, las cuales se diferencian s´olo en el factor constante. Por eso para k es suficiente tomar solamente los valores positivos k ∈ Z+ . Cuando λ = λk la soluci´on general de [4.6] tiene la forma µ ¶ µ ¶ kπa kπa Tk (t) = Ak cos t + Bk sen t L L donde Ak , Bk son constantes arbitrarias, A2k + Bk2 > 0. De este modo la funci´on · µ ¶ µ ¶ ¸ µ ¶ kπa kπa kπ uk (x, t) = Xk (x) · Tk (x) = Ak cos t + Bk sen t sen x L L L satisface la ecuaci´on [4.1] y las CF [4.2] para Ak y Bk cualesquiera, k = 1, 2, 3, . . . , n.

N

Notas a) En virtud de la linealidad y homogeneidad de la ecuaci´on [4.1] una suma finita cualquiera de soluciones ser´a tambi´en soluci´on de la ecuaci´on [4.1]. b) Lo mismo es v´alido para la suma de la serie u(x, t) =

∞ · X k=1

µ Ak cos

kπa L

¶

µ t + Bk sen

kπa L

¶ ¸ µ ¶ kπ t sen x L

(4.9)

si ´esta converge uniformemente y puede derivarse dos veces t´ermino a t´ermino respecto a x y t. Puesto que cada sumando en la serie [4.9] satisface las CF [4.2], tambi´en

4.3. TEOREMA

75

satisfar´a estas condiciones la suma u(x, t) de esta serie. Nos queda por determinar las constantes Ak y Bk , en [4.9] de tal manera que se satisfagan las condiciones iniciales [4.3]. Para ello derivamos formalmente la serie [4.9] respecto a t · µ ¶ µ ¶ ¸ µ ¶ ∞ ∂u X kπ kπa kπa kπ = −Ak sen t + Bk cos t sen x. (4.10) ∂t L L L L k=1

Haciendo t = 0 en [4.9] y [4.10], en virtud de las condiciones iniciales [4.3] obtenemos µ ¶ ∞ X kπ ϕ0 (x) = Ak sen x (4.11) L k=1 ¶ µ ¶ ∞ µ X kπa kπ ϕ1 (x) = Bk sen x (4.12) L L k=1

Las f´ormulas anteriores representan los desarrollos de las funciones dadas ϕ0 (x) y ϕ1 (x) en la serie de Fourier respecto a los senos en el intervalo (0, L). Los coeficientes de los desarrollos anteriores se calculan µ ¶ Z 2 L kπ Ak = xdx ϕ0 (x) sen L 0 L µ ¶ Z L 2 kπ Bk = ϕ1 (x) sen xdx kπa 0 L

4.3.

(4.13) N

(4.14)

Teorema

Teorema 4.1 Si ϕ0 (x) ∈ C 3 [0, L] y satisface las condiciones ϕ0 (0) = ϕ0 (L) = 0, ϕ000 (0) = ϕ000 (L) = 0 mientras que ϕ1 (x) ∈ C 2 [0, L] y satisface las condiciones de ϕ1 (0) = ϕ1 (L) = 0, entonces la suma u(x, t) de la serie [4.9], donde Ak y Bk se determinan por [4.13] y [4.14], tiene las derivadas parciales continuas de hasta el segundo orden inclusive en la regi´ on {0 < x < L, t > 0}, satisface la ecuaci´ on [4.1], a las condiciones de frontera [4.2] e iniciales [4.2], es decir, u(x, t) es la soluci´ on del problema [4.1]-[4.3].

4.4.

Ejemplo resuelto

Hallar la ley de vibraciones de una cuerda homog´enea de longitud L, fijada en los extremos, si en el momento inicial t = 0, la cuerda tiene la forma de par´abola hx(L − x), h > 0 es constante, con velocidad inicial ausente.

´ 76CAP´ITULO 4. VIBRACIONES LIBRES DE UNA CUERDA HOMOGENEA FIJADA EN SUS EXTREMO

Soluci´ on Formalmente el problema es equivalente a resolver la ecuaci´on diferencial en derivadas parciales: ∂2u ∂2u = a2 2 , x ∈ (0, L), t > 0 (4.15) 2 ∂t ∂x con las condiciones de frontera u(x, t)|x=0 = u(x, t)|x=L = 0, t ≥ 0

(4.16)

y las condiciones iniciales u(x, t)|t=0

¯ ∂u(x, t) ¯¯ = hx(L − x), = 0, x ∈ [0, L] ∂t ¯t=0

(4.17)

Apliquemos el m´etodo de Fourier buscando las soluciones no triviales que satisfagan las CF [4.16], en la forma u(x, t) = T (t) · X(x) (4.18) que sustituyendo [4.18] en [4.15] y separando las variables T 00 (t) X 00 (x) = = −λ. a2 T (t) X(x)

(4.19)

T 00 (t) + λa2 T (t) = 0; X 00 (x) + λX(x) = 0.

(4.20)

Adem´as, en virtud de [4.16], X(0) = X(L) = 0, sabemos que µ

¶2 kπ : k = 1, 2, 3, . . . L µ ¶ kπ Xk (x) = sen x : k = 1, 2, 3, . . . L µ ¶ µ ¶ kπa kπa Tk (t) = Ak cos t + Bk sen t. L L λk =

De aqu´ı, buscamos la soluci´on del problema de partida en forma de la serie u(x, t) =

µ ¶ µ ¶ ¸ µ ¶ ∞ · X kπa kπa kπ Ak cos t + Bk sen t sen x. L L L

(4.21)

k=1

Para determinar Ak y Bk utilizamos las condiciones iniciales [4.17] u(x, t)|t=0 = hx(L − x) =

∞ X k=1

µ Ak sen

kπ L

¶ x

(4.22)

4.4. EJEMPLO RESUELTO

77

¯ µ ¶ ∞ ∂u(x, t) ¯¯ kπ aπ X =0= = kBk sen x ¯ ∂t L L t=0

(4.23)

k=1

es f´acil deducir que Bk = 0, ∀k ∈ Z+ . A partir de [4.22] se obtiene 2π Ak = L

Z

µ

L

x(L − x) sen 0

kπ L

¶ xdx

que integrando dos veces por partes A2p+1 =

8L2 h , p = 0, 1, 2, 3, . . . π 3 (2p + 1)3

Introduciendo los valores hallados de Ak y Bk en [4.21], obtenemos la soluci´on del problema planteado µ ¶ ∞ 8L2 h X 1 (2p + 1)πa (2p + 1)π u(x, t) = cos t sen x. 3 3 π p=0 (2p + 1) L L Notas I) Cada una de las funciones · µ ¶ µ ¶ ¸ µ ¶ kπa kπa kπ u(x, t) = Tk (t) · Xk (x) = Ak cos t + Bk sen t sen x L L L determina las llamadas vibraciones propias de la cuerda fija en sus extremos. Cuando las vibraciones propias de la cuerda fijada en sus extremos corresponde a k = 1, la cuerda emite el tono fundamental que es el m´as bajo. Cuando las vibraciones son superiores a 1, ella emite los tonos m´as altos, denominados sobretonos. ¡ kπa ¢ Al escribir u(x, t) = Mk sen kπ L x sen L t + αk concluimos que las vibraciones propias (naturales) de la cuerda son las ondas estacionarias (fijas), para las cuales los puntos de la cuerda realizan las oscilaciones arm´onicas con:

Amplitud: Mk sen

kπ ; L

Frecuencia: ωk =

kπa ; L

Fase: αk

II) Se ha examinado con detalles el caso de las vibraciones libres de una cuerda homog´enea fijada en sus extremos. Si sometemos a la cuerda a otras condiciones de frontera, obtendremos resultados an´alogos.

´ 78CAP´ITULO 4. VIBRACIONES LIBRES DE UNA CUERDA HOMOGENEA FIJADA EN SUS EXTREMO

Sea el caso de la cuerda fijada al extremo izquierdo fijo, u(0, t) = 0, mientras que el extremo derecho x = L est´a ligado el´asticamente con su posici´on de equilibrio. Esto quiere decir que para h > 0, constante ¯ ∂u(x, t) ¯¯ = −hu(L, t). ∂x ¯ x=L

Se propone buscar, con estas condiciones, la soluci´on no trivial u(x, t) de la ecuaci´on ∂ 2 u(x, t) ∂ 2 u(x, t) = a2 . 2 ∂t ∂x2 Compru´ebese que se tiene para las funciones propias la expresi´on Xk (x) = sen

(2k + 1)π x, 2L

(4.24)

k = 0, 1, 2, · · ·

para los valores propios λn =

4.5.

(2n + 1)π , 2L

n = 0, 1, 2, . . . .

N

Ejercicios propuestos

4.1 Aplicar el m´etodo de Fourier a los problemas siguientes ∂2u ∂2u = a2 2 , t > 0, x ∈ (0, L) 2 ∂t ∂x ¯ µ ¶ 3π ∂u(x, t) ¯¯ u(x, t)|x=0 = u(x, t)|x=L = 0; u(x, t)|t=0 = sen x ; =0 L ∂t ¯t=0 2 2 ∂ u ∂ u = a2 2 , t > 0, x ∈ (0, L) b) 2 ∂t ∂x ¯ ³π ´ ∂u(x, t) ¯¯ u(x, t)|x=0 = u(x, t)|x=L = 0; u(x, t)|t=0 = 0; = sen x . ∂t ¯t=0 L

a)

4.2 resolver los siguientes problemas mixtos aplicando el m´etodo de Fourier de separaci´on de variables: ∂2u ∂2u a) = , t > 0, x ∈ (0, π) 2 ∂t ∂x2 ¯ ∂u(x, t) ¯¯ u(x, t)|t=0 = u(x, t)|x=π = 0; u(x, t)|t=0 = sen x; = sen x ∂t ¯t=0 2 2 ∂ u ∂ u = a2 2 , t > 0, x ∈ (0, L) b) 2 ∂t ∂x u(x, t)|x=0 = u(x, t)|x=L = 0; u(x, t)|t=0 = 0; ( ¯ ∂u(x, t) ¯¯ x 0 ≤ x < L2 = ¯ ∂t L − x L2 ≤ x < L t=0

4.5. EJERCICIOS PROPUESTOS

Soluciones a los ejercicios propuestos ¡ ¢ ¡ 3πa ¢ 4.1 a) u(x, t) = sen 3π t L ¡ x¢· cos L ¡ πa ¢ π 1 b) u(x, t) = πa sen L x · sen L t 4.2 a)

u(x, t) = (sen t + cos t) sen x ∞ X 2 (−1)k+1 (2k−1)π k sen (2k−1)πa t b) u(x, t) = 4L aπ 3 (2k−1)3 sen L L k=1

79

´ 80CAP´ITULO 4. VIBRACIONES LIBRES DE UNA CUERDA HOMOGENEA FIJADA EN SUS EXTREMO

Cap´ıtulo 5

Vibraciones forzadas de la cuerda homog´ enea de longitud L

”Nuestra ´epoca se caracteriza por una amplia utilizaci´ on de los m´etodos matem´ aticos a base de ordenadores en diferenctes esferas de la actividad humana. No obstante, las m´ aquinas de calcular no funcionan sin el hombre. Su uso est´ a vinculado a la simulaci´ on de modelos matem´ aticos y algoritmos num´ericos” Y. Zeldovich

81

´ 82CAP´ITULO 5. VIBRACIONES FORZADAS DE LA CUERDA HOMOGENEA DE LONGITUD L

5.1. VIBRACIONES FORZADAS DE LA CUERDA FIJADA EN LOS EXTREMOS

5.1.

83

Vibraciones forzadas de la cuerda fijada en los extremos

El problema que vamos a tratar en este cap´ıtulo es el estudio de las vibraciones de una cuerda homog´enea de longitud L fijada en los extremos, pero sometida a la acci´on de una fuerza exterior f (x, t) calculada por unidad de longitud. Formalmente significa encontrar la soluci´on de la ecuaci´on 2 ∂ 2 u(x, t) 2 ∂ u(x, t) = a + f (x, t) ∂t2 ∂x2

(5.1)

u(x, t)|x=0 = u(x, t)|x=L = 0

(5.2)

para las C.F. y las C.I.

¯ ∂u(x, t) ¯¯ = ϕ1 (x). (5.3) ∂t ¯t=0 Para ello busquemos la soluci´on u(x, t) = v(x, t) + w(x, t) donde v(x, t) es la soluci´on de la ecuaci´on no homog´enea ∂ 2 v(x, t) ∂ 2 v(x, t) = a2 + f (x, t) (5.4) 2 ∂t ∂x2 que satisfaga las C.F. v(x, t)|x=0 = v(x, t)|x=L = 0 (5.5) u(x, t)|t=0 = ϕ0 (x),

y las C.I.

¯ ∂v(x, t) ¯¯ v(x, t)|t=0 = =0 ∂t ¯t=0 y w(x, t) es la soluci´on de la ecuaci´on homog´enea

(5.6)

∂ 2 w(x, t) ∂ 2 w(x, t) = a2 2 ∂t ∂x2

(5.7)

w(x, t)|x=0 = w(x, t)|x=L = 0

(5.8)

que satisfaga a las C.F. y las C.I.

¯ ∂w(x, t) ¯¯ w(x, t)|t=0 = ϕ0 (x), = ϕ1 (x) (5.9) ∂t ¯t=0 La soluci´on v(x, t) representa las vibraciones forzadas de la cuerda, es decir, las vibraciones que se engendran por una fuerza perturbadora exterior f (x, t), cuando las perturbaciones iniciales se ausentan. La soluci´on w(x, t) representa las vibraciones libres de la cuerda, es decir, las vibraciones que tienen lugar s´olo a consecuencia de las perturbaciones iniciales.

´ 84CAP´ITULO 5. VIBRACIONES FORZADAS DE LA CUERDA HOMOGENEA DE LONGITUD L

5.1.1.

M´ etodo de resoluci´ on

El m´etodo para hallar las vibraciones libres se estudi´o con detalle en el cap´ıtulo anterior. Nos queda, por tanto estudiar s´olo las vibraciones forzadas v(x, t), o sea, la soluci´on de la ecuaci´on no homog´enea [5.4]. Para ello vamos a aplicar el m´etodo de desarrollo respecto a las funciones propias que es uno de los m´etodos m´as efectivos para solucionar las ecuaciones lineales no homog´eneas en derivadas parciales. La idea fundamental del m´etodo consiste en descomponer la fuerza exterior f (x, t) en la serie ∞ X f (x, t) = fk (t) · Xk (x) k=1

respecto a las funciones propias {Xn (x)} del problema de contorno correspondiente y en hallar las respuestas vk (x, t) del sistema a la acci´on de cada fk (t) · Xk (x). Al sumar todas las respuestas semejantes, obtendremos la soluci´on del problema inicial v(x, t) =

∞ X

vk (x, t).

k=1

Busquemos la soluci´on v(x, t) del problema [5.5]-[5.6] en la forma v(x, t) =

∞ X

Tk (t) sen

k=1

kπ x. L

(5.10)

¡ ¢ Recu´erdese que aqu´ı {sen kπ L x} son las funciones propias del problema de contorno homog´eneo y las condiciones de frontera [5.5] se satisfacen autom´aticamente. Determinemos las Tk (t), ∀k = 1, 2, 3, · · · de tal modo que v(x, t) satisfaga la ecuaci´on [5.4] y las condiciones iniciales [5.6]. Si escribimos v(x, t) en forma de [5.10] en la ecuaci´on [5.4], se obtiene f (x, t) =

¸ µ ¶ ∞ · X k 2 π 2 a2 kπ Tk00 (t) + T (t) sen x. k 2 L L

(5.11)

k=1

Desarrollando la funci´on f (x, t) en (0, L) en la serie de Fourier respecto a las funciones propias (respecto a los senos) f (x, t) =

∞ X k=1

µ fk (t) sen

kπ L

¶ x

(5.12)

5.1. VIBRACIONES FORZADAS DE LA CUERDA FIJADA EN LOS EXTREMOS

donde

Z

2 L

fk (t) =

µ

L

f (ξ, t) sen 0

kπ L

85

¶ ξ dξ.

(5.13)

Comparando los desarrollos [5.11] y [5.12] para la funci´on f (x, t) obtenemos las ecuaciones diferenciales Tk00 (t) +

k 2 π 2 a2 Tk (t) = fk (t), k = 1, 2, 3, . . . L2

(5.14)

para las funciones desconocidas Tk (t). Para que la soluci´on v(x, t) definida por la serie [5.10] satisfaga las C.I. nulas [5.6], es suficiente hacer que las Tk (t) satisfagan las condiciones Tk (0) = 0, Tk0 (0) = 0, k = 1, 2, 3, . . . .

(5.15)

Aprovechando, por ejemplo, el m´etodo de variaci´on de las constantes, obtendremos que las soluciones de las ecuaciones [5.14] por las C.I. [5.15] tienen la forma L Tk (t) = kπa

Z

µ

L

fk (σ) sen 0

kπa L

¶ (t − σ) dσ

(5.16)

donde las fk (t) se determinan seg´ un las f´ormulas [5.13]. Al sustituir las expresiones halladas [5.16] en la serie [5.10] obtenemos la soluci´on v(x, t) del problema [5.4]-[5.6], si la serie [5.10] y las series obtenidas de ´esta derivando t´ermino a t´ermino respecto a x y t dos veces, convergen uniformemente. Nota La convergencia uniforme de las series estar´a asegurada si f (x, t) es continua, tiene derivadas parciales continuas respecto de x de hasta el segundo orden inclusive y para todos los valores de t se cumple la condici´on f (0, t) = f (L, t) = 0. La soluci´on u(x, t) del problema de partida [5.1]-[5.3] se representa de la forma u(x, t)

=

¶ ∞ µ X kπa kπ kπa t + Bk sen sen x Ak cos L L L

k=1

+

∞ X k=1

Tk (t) sen

kπ x L

(5.17)

´ 86CAP´ITULO 5. VIBRACIONES FORZADAS DE LA CUERDA HOMOGENEA DE LONGITUD L

donde

µ ¶ Z t L kπa (t − σ) dσ fk (σ) sen kπa 0 L µ ¶ Z 2 L kπ = ϕ0 (x) sen x dx k = 1, 2, 3, . . . L 0 L µ ¶ Z L 2 kπ = ϕ1 (x) sen x dx N kπa 0 L

Tk (t) = Ak Bk

5.2.

Ejemplo resuelto

Obtener la soluci´on del problema mixto ∂ 2 u(x, t) ∂ 2 u(x, t) = + t sen x, t > 0, x ∈ (0, π) ∂t2 ∂x2 u(x, t)|x=0 = u(x, t)|x=π = 0, t ≥ 0 ¯ ∂u(x, t) ¯¯ u(x, t)|t=0 = , x ∈ [0, π] ∂t ¯

(5.18) (5.19) (5.20)

t=0

Soluci´ on Obs´ervese como al ausentarse las perturbaciones iniciales se tiene un problema puro de oscilaciones forzadas de una cuerda homog´enea de longitud π, y fijada en los extremos. El sistema de funciones {sen(nx)} es ortogonal en [0, π] y el sistema de las funciones propias del problema de contorno X 00 (x) + λX(x) = 0, X(0) = X(π) = 0. Busquemos la soluci´on del problema [5.18]-[5.20] en la forma u(x, t) =

∞ X

Tn (t) sen nx

(5.21)

n=1

donde T n(t) son desconocidas. Si substituimos u(x, t) en la forma de [5.21] en [5.18], se obtiene ∞ X £ 00 ¤ Tn (t) + n2 Tn (t) sen(nx) = t sen x n=1

de donde T100 (t) +

T1 (t) = t

(5.22)

Tn00 (t)

Tn (t) = 0, n = 2, 3, . . .

(5.23)

+

´ 5.3. VIBRACIONES FORZADAS DE LA CUERDA CON EXTREMOS MOVILES

87

Aprovechando la f´ormula [5.21], en virtud de las C.I. [5.20] se obtiene ¯ ∞ ∞ X X ∂u(x, t) ¯¯ u(x, 0) = 0 = Tn (0) sen(nx); =0= Tn0 (0) sen nx ∂t ¯t=0 n=1 n=1 de donde Tn (0) = Tn0 (0) = 0, n = 1, 2, 3, . . .. De tal manera, para T1 (t) tenemos T100 (t) + T1 (t) =

0

(5.24)

T1 (0) + T10 (0) =

0.

(5.25)

La soluci´on general de la ecuaci´on anterior es T1 (t) = C1 cos t + C2 sen t + t, que al exigirle que cumpla las condiciones dadas, hallamos C1 = 0, C2 = −1, de tal manera que T1 (t) = t − sen t. Para n ≥ 2, se tiene que Tn00 (t) + n2 Tn (t) = Tn (0) =

Tn0 (0)

=

0

(5.26)

0

(5.27)

de donde Tn (t) ≡ 0, n = 2, 3, . . .. Por tanto u(x, t) =

∞ X

Tn (t) sen nx = T1 (t) sen nx + 0 + · · · ⇒ u(x, t) = (t − sen x) sen x.

n=1

5.3.

Vibraciones forzadas de la cuerda con extremos m´ oviles

El problema que vamos a resolver ahora es el de las vibraciones forzadas en una cuerda homog´enea de longitud L originadas por una fuerza exterior f (x, t), calculada por la unidad de longitud, pero con los extremos de la cuerda no fijados, sino que se mueven seg´ un una ley determinada. Formalmente este problema se reduce a encontrar la soluci´on de la ecuaci´on 2 ∂ 2 u(x, t) 2 ∂ u(x, t) = a + f (x, t), t > 0, x ∈ (0, L) ∂t2 ∂x2

(5.28)

´ 88CAP´ITULO 5. VIBRACIONES FORZADAS DE LA CUERDA HOMOGENEA DE LONGITUD L

que satisfaga a las C.F. u(x, t)|x=0 = ψ1 (t), u(x, t)|x=L = ψ2 (t), t ≥ 0

(5.29)

y las C.I.

¯ ∂u(x, t) ¯¯ = ϕ1 (x), x ∈ [0, L] (5.30) u(x, t)|t=0 = ϕ0 (x); ∂t ¯t=0 El m´etodo de Fourier es imposible aplicarlo directamente para resolver este problema, puesto

ω

6

³³ ³³ ³ ω=ω(x,t) ³

³

ψ2 (t)

ψ1 (t)

•

•

x=0

x=L

X

Figura 5.1: que las C.F.[5.29] no son homog´eneas (no son nulas). Sin embargo, este problema se reduce f´ acilmente al problema con las C.F. nulas (homog´eneas). Para ello vamos a introducir la funci´on auxiliar x ω(x, t) = ψ1 (t) + [ψ2 (t) − ψ1 (t)] . L

(5.31)

ω(x, t)|x=0 = ψ1 (t), ω(x, t)|x=L = ψ2 (t).

(5.32)

Es f´acil ver que De esta manera la funci´on ω(x, t) en los extremos del intervalo [0, L] satisface las condiciones [5.29], mientras que en el interior de este segmento es lineal respecto de x como se muestra en la figura [5.1]. Busquemos la soluci´on del problema [5.28]-[5.30] en la forma u(x, t) = v(x, t) + ω(x, t) donde v(x, t) es una funci´on desconocida. En virtud de la elecci´on de ω(x, t) se tiene que v = u − ω, satisface las condiciones de frontera nulas v(x, t)|x=0

=

u(x, t) − ω(x, t)|x=0 = 0,

5.4. EJEMPLO RESUELTO

89

v(x, t)|x=L

=

u(x, t) − ω(x, t)|x=L = 0

(5.33)

y las C.I. v(x, t)|t=0

¯ ∂v(x, t) ¯¯ ∂t ¯t=0

=

u(x, t)|t=0 − ω(x, t)|t=0 =

=

ϕ0 (x) − ψ1 (0) − [ψ2 (0) − ψ1 (0)]

x = Φ0 (x) L

=

¯ ¯ ∂u(x, t) ¯¯ ∂ω(x, t) ¯¯ − = ∂t ¯t=0 ∂t ¯t=0

=

ϕ1 (x) − ψ10 (0) − [ψ20 (0) − ψ10 (0)]

x = Φ1 (x). L

(5.34)

Introduciendo u(x, t) = v(x, t) + ω(x, t) en la ecuaci´on [5.28], obtenemos 2 2 ∂ 2 v(x, t) ∂ 2 ω(x, t) 2 ∂ v(x, t) 2 ∂ ω(x, t) = a + f (x, t) + a − ∂t2 ∂x2 ∂x2 ∂t2

o, tomando en consideraci´on la expresi´on para ω(x, t) 2 ∂ 2 v(x, t) 2 ∂ v(x, t) = a + f1 (x, t) ∂t2 ∂x2 x siendo f1 (x, t) = f (x, t) − ψ100 (t) − [ψ200 (t) − ψ100 (t)] . De esta manera si ψ1 (t), ψ2 (t) ∈ C 2 , L llegamos al problema siguiente para la funci´on v(x, t).

Hallar la soluci´on de la ecuaci´on 2 ∂ 2 v(x, t) 2 ∂ v(x, t) = a + f1 (x, t) ∂t2 ∂x2

que satisface las C.F. v(x, t)|x=0 = v(x, t)|x=L = 0 y las C.I. v(x, t)|t=0

¯ ∂v(x, t) ¯¯ = Φ0 (x), = Φ1 (x) ∂t ¯t=0

es decir, el problema mixto con las C.F. nulas. Recu´erdese que le m´etodo usado para solucionarlo fue expuesto anteriormente.

5.4.

Ejemplo resuelto

Resolvamos el ejercicio mixto siguiente ∂ 2 u(x, t) ∂ 2 u(x, t) = , t > 0, x ∈ (0, 1) ∂t2 ∂x2

(5.35)

´ 90CAP´ITULO 5. VIBRACIONES FORZADAS DE LA CUERDA HOMOGENEA DE LONGITUD L

u(x, t)|x=0 = t; u(x, t)|x=1 = 2t, t ≥ 0 ¯ ∂u(x, t) ¯¯ u(x, t)|t=0 = 0; = 1 + x, x ∈ [0, 1] ∂t ¯

(5.36) (5.37)

t=0

Soluci´ on Las C.F. no son homog´eneas (los extremos de la cuerda son m´oviles), ψ1 (t) = t, ψ2 (t) = 2t. Introduzcamos la funci´on auxiliar ω(x, t) ω(x, t) = t + tx = t(1 + x).

(5.38)

La soluci´on del problema que buscamos ser´a de la forma u(x, t) = v(x, t) + ω(x, t) donde v(x, t) es una nueva funci´on desconocida. Para ´esta se obtiene la ecuaci´on ∂2v ∂2v = , t > 0, x ∈ (0, 1) ∂t2 ∂x2

(5.39)

v(x, t)|x=0 = v(x, t)|x=1 = 0

(5.40)

las C.F. y las C.I. v(x, t)|t=0 = 0 =

¯ ∂v(x, t) ¯¯ = 0. ∂t ¯t=0

(5.41)

El problema [5.39]-[5.41] tiene, evidentemente, la soluci´on trivial v(x, t) ≡ 0 y, s´olo esta soluci´on. Entonces ser´a u(x, t) = v(x, t) + ω(x, t) ⇒ u(x, t) = t(1 + x).

5.5.

Ejercicios propuestos

5.1 Resolver el problema mixto siguiente ∂2u ∂2u = + sen πx, t > 0, x ∈ [0, 1] ∂t2 ∂x2 ¯ ∂u(x, t) ¯¯ u(x, t)|x=0 = u(x, t)|x=1 = 0; u(x, t)|t=0 = ∂t ¯

=0 t=0

5.2 Encontrar la soluci´on al problema mixto ∂2u ∂2u = + (4t − 8) sen 2x, t > 0, x ∈ (0, π) ∂t2 ∂x2 ¯ ∂u(x, t) ¯¯ u(x, t)|x=0 = u(x, t)|x=π = 0; u(x, t)|t=0 = =0 ∂t ¯t=0

5.5. EJERCICIOS PROPUESTOS

Soluciones a los ejercicios propuestos 1 (1 − cos πt) sen πx. π2 µ ¶ sen 2t + t − 2 sen 2x 5.2 u(x, t) = 2 cos 2t − 2

5.1 u(x, t) =

91

´ 92CAP´ITULO 5. VIBRACIONES FORZADAS DE LA CUERDA HOMOGENEA DE LONGITUD L

Cap´ıtulo 6

Ecuaciones de tipo parab´ olico

”Los objetos y las teor´ıas puremente matem´ aticas pueden ser concebidos, en todo caso y en una primera aproximaci´ on, como puramente ideales. Pero es indudable que en toda experiencia colaboran tanto la experiencia como el pensamiento” G. Frey

93

94

´ CAP´ITULO 6. ECUACIONES DE TIPO PARABOLICO

´ 6.1. INTRODUCCION

6.1.

95

Introducci´ on

En cap´ıtulos anteriores hemos visto como se resuelven problemas de valor de frontera que involucran ecuaciones diferenciales parciales, y m´as concretamente hemos estudiado, en los cap´ıtulos 3,4 y 5, con detalle las ecuaciones de tipo hiperb´olico que aparecen en problemas relacionados con vibraciones u oscilaciones. An´alogo estudio vamos a abordar a continuaci´on con los problemas que aparecen en el estudio de la conducci´ on o difusi´ on del calor.

6.2.

Problemas que involucran conducci´ on de calor

Supongamos una barra delgada de metal de longitud L que se coloca en el eje OX seg´ un aparece en la figura [6.1]. Y 6

x=0

x=L

X

Figura 6.1: A continuaci´on se sumerge en agua hirviendo de modo que su temperatura es de 100o C. Luego se saca y los extremos x = 0 y x = L se mantienen en hielo para que la temperatura en los extremos sea de 0o C. Vamos a suponer que no hay fugas de calor en la superficie de la barra, esto significa, y vamos a admitirlo, que la barra est´a aislada. ¿Cual ser´ a la temperatura de la barra en cualquier lugar y en cualquier tiempo ? Si denotamos por u la temperatura de la barra f´acilmente se deduce que u depende de la posici´on x de la barra, como tambi´en del tiempo t (medida del tiempo cero cuando la barra est´a a 100o C) de observaci´on. Por tanto u = u(x, t). Veamos el modelo matem´atico que rige el anterior proceso. Visualicemos la situaci´on

´ CAP´ITULO 6. ECUACIONES DE TIPO PARABOLICO

96

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡

¡

A¡ ¡

¡

¡ x=0

x

¡ ¡ B¡ ¡

¡ ¡

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡

C¡ ¡

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡

¡ ¡

x+∆x

Figura 6.2: tomando una secci´on transversal constante A ( v´ease la figura [6.2], donde la secci´on transversal es rectangular, aunque pudiera tener cualquier forma como la de un cilindro). Consideremos el elemento de volumen de la barra incluido entre los dos planos vecinos, paralelos a A y que hemos notado por B y C a distancias x y x + ∆x, respectivamente, de A. Denotemos la temperatura en el plano B en el tiempo t por u(x, t). Entonces en C en el tiempo t estar´a dada por u(x + ∆x, t). Para poder continuar en la obtenci´on de la formulaci´on matem´atica necesitamos tener en cuenta las dos leyes f´ısicas correspondientes a la transferencia del calor Ley I La cantidad de calor necesario para elevar la temperatura de un objeto de masa m en una cantidad ∆u es ms∆u, donde s es una constante que depende del material usado y se llama calor espec´ıfico . Ley II La cantidad de calor que fluye a trav´es de un ´ area (B o C) por unidad de tiempo es proporcional a la tasa de cambio de la temperatura con respecto a la distancia perpendicular al ´ area. Si tomamos como positiva la direcci´ on de izquierda a derecha en la figura [6.2], podemos escribir Q = −KA∆t

∂u ∂x

(6.1)

siendo Q ≡ cantidad de calor que fluye a la derecha. ∆t ≡ cantidad de tiempo durante el cual ocurre el flujo. K ≡ constante de proporcionalidad llamada conductividad t´ ermica (depende del material usado) Nota

´ DE CALOR 6.2. PROBLEMAS QUE INVOLUCRAN CONDUCCION

97

El signo menos en [6.1] muestra que Q es positivo (esto es, el flujo es a la derecha) cuando ∂u es negativo (esto es, cuando la temperatura est´a decreciendo a medida que vamos a la ∂x ∂u derecha). De forma similar Q es negativo cuando es positivo. Esto va en sinton´ıa con los ∂x hechos f´ısicos. N Usando [6.1] podemos decir que la cantidad de calor que fluye de izquierda a derecha a trav´es del plano B de la figura [6.2], es ¯ ∂u ¯¯ −KA∆t ¯ . ∂x x Similarmente, la cantidad de calor que fluye de izquierda a derecha a trav´es del plano C de la figura [6.2] es ¯ ∂u ¯¯ −KA∆t ¯ . ∂x x+∆x De aqu´ı se tiene que la cantidad neta de calor que se acumula en el volumen entre C y B es la cantidad que entra por B menos la cantidad que sale por C, esto es ·

¸ ∂u − −KA∆t = ∂x x+∆x x "µ ¶ µ ¶ # ∂u ∂u . − KA∆t ∂x x+∆x ∂x x

∂u −KA∆t ∂x

¸

·

(6.2)

Esta cantidad de calor acumulado eleva o baja la temperatura del elemento de volumen si [6.2] es positivo o negativo. Por la Ley I "µ ¶ µ ¶ # ∂u ∂u KA∆t − = ms∆u = ρA∆xs∆u (6.3) ∂x x+∆x ∂x x ya que la masa del elemento de volumen es ρA∆x. Deber´ıa mencionar que [6.3] es s´olo aproximadamente cierta siendo el grado de aproximaci´on mejor, cuanto m´as peque˜ nos sean los valores ∆x, ∆u y ∆t. Dividiendo ambos lados de [6.3] por A∆x∆t y haciendo que ∆x, ∆t −→ 0 se obtiene K que podemos escribir as´ı

∂2u ∂u = ρs ∂x2 ∂t

∂u K ∂2u ∂2u = = κ ∂t ρs ∂x2 ∂x2

(6.4)

(6.5)

98

´ CAP´ITULO 6. ECUACIONES DE TIPO PARABOLICO

K el coeficiente de difusividad del material. La ecuaci´on [6.5] se llama ecuaci´ on ρs de flujo de calor o de conducci´ on de calor en una dimensi´ on. siendo κ =

Nota Si la superficie no estuviera aislada tendr´ıamos que considerar un t´ermino extra en [6.3] que ser´ıa la cantidad de calor que escapa (o fluye dentro) del elemento, y cuya ecuaci´on en este caso ser´a ∂2u ∂u = κ 2 − c(u − u0 ) (6.6) ∂t ∂x siendo c constante y u0 la temperatura de los alrededores. N Tomando el caso especial donde los extremos se mantienen a 0o C y donde la temperatura inicial de la barra es 100o C, resultan las siguientes condiciones de frontera u(0, t) =

0, u(L, t) = 0, t > 0

u(x, 0) =

100, 0 < x < L

(6.7)

Tenemos as´ı que el problema de valor de frontera (PVF) es el de determinar la soluci´on de la EDP [6.5] que satisfaga las condiciones [6.7]. Es f´acil generalizar la ecuaci´on [6.5] al caso donde el calor puede fluir en m´as de una direcci´on. Por ejemplo, si tenemos conducci´on de calor en tres direcciones la ecuaci´on es µ 2 ¶ ∂ u ∂2u ∂2u ∂u =κ + 2 + 2 ∂t ∂x2 ∂y ∂z

(6.8)

donde κ tiene el mismo significado que antes, y la ecuaci´on se denomina ecuaci´ on de conducci´ on de calor tridimensional, siendo la temperatura u tal que u = u(x, y, z, t). Si u por alguna raz´on, por ejemplo simetr´ıa, es u = u(x, y, t) entonces se tiene µ 2 ¶ ∂u ∂ u ∂2u =κ + 2 ∂t ∂x2 ∂y y se llama ecuaci´ on de conducci´ on de calor bidimensional. puede escribir en t´erminos del operador Laplaciano como ∂u = κ∇2 u. ∂t

(6.9)

La ecuaci´on [6.8] se

(6.10)

Y si u no depende del tiempo, u se llama temperatura de estado estacionario, y se tiene que ∂2u ∂2u ∂2u ∇2 u = 0 ´o ∇2 u = + 2 + 2 =0 (6.11) ∂x2 ∂y ∂z

´ 6.3. PROBLEMA DE CAUCHY PARA LA CONDUCTIBILIDAD TERMICA

99

que es la ecuaci´ on de Laplace. Nota De lo anterior es f´acilmente deducible, o por lo menos nos invita a pensar, que la conducci´on de calor es debida al movimiento aleatorio de las part´ıculas de materia tales como ´atomos y mol´eculas; cuanto mayor sea la velocidad mayor ser´a la temperatura. El flujo de calor desde posiciones de alta o baja temperatura es debida a la dispersi´on o difusi´on de tales part´ıculas desde lugares donde su concentraci´on o densidad es alta a lugares donde es baja. Estos problemas son comunes en Qu´ımica y Biolog´ıa. Por ejemplo, en Biolog´ıa se puede tener la difusi´on de drogas desde la corriente sangu´ınea a c´elulas u ´organos. La misma ecuaci´on derivada antes para la conducci´on de calor se puede aplicar para la difusi´on. La u ´nica diferencia esencial es que u denota la densidad o concentraci´on de las part´ıculas que se mueven. La interpretaci´on de difusi´on de la conducci´on de calor ha sido sugerida anteriormente cuando nos referimos a κ como la difusividad. N

6.3.

Problema de Cauchy para la conductibilidad t´ ermica

Consideremos la ecuaci´on de conductibilidad t´ermica ∂u ∂2u = a2 2 + f (x, t) ∂t ∂x

(6.12)

donde a2 = κ, para f (x, t) = 0 se tiene la ecuaci´on homog´enea, es decir, las fuentes est´an ausentes. El Problema de Cauchy se plantea de la siguiente manera Hallar la funci´ on u(x, t) que satisfaga ∂2u ∂u = a2 2 , t > 0, x ∈ (−∞, +∞) ∂t ∂x

(6.13)

u(x, t)|t=0 = ϕ(x), x ∈ (−∞, +∞).

(6.14)

y las C.I.

El sentido f´ısico del problema consiste en determinar la temperatura de una varilla homog´enea ilimitada en cualquier t > 0 seg´ un su temperatura conocida ϕ(x) en el instante

´ CAP´ITULO 6. ECUACIONES DE TIPO PARABOLICO

100

t = 0. Se considera que la superficie lateral de la varilla est´a termoaislada de tal manera que a trav´es de ella el calor no se evac´ ua. La expresi´on u(x, t) =

1 √

Z

2a πt

+∞

ϕ(λ)e−

(x−λ)2 4a2 t

dλ, t > 0

(6.15)

−∞

nos da la soluci´on del problema inicial de Cauchy, y se llama Integral de Poisson. La expresi´on [6.15] conseguida (consultar cualquier manual especializado de EDP) nos lleva a afirmar que se puede mostrar que para una funci´on continua y acotada cualquiera ϕ(x) la funci´on u(x, t) determinada por la f´ormula [6.15] tiene derivadas de cualquier orden respecto a x y t, cuando t > 0, y satisface la ecuaci´on [6.13] siendo t > 0 y x cualquiera. En efecto, veamos que la expresi´on [6.15] satisface la condici´on inicial u(x, t)|t=0 = ϕ(x), x ∈ (−∞, +∞) √ √ x−λ √ = µ ⇒ λ = x − 2a tµ ⇒ dλ = −2a tdµ. 2a t Por lo tanto Z +∞ √ 2 1 √ u(x, t) = ϕ(x − 2a tµ)e−µ dµ π −∞ Hagamos

de donde para t → 0+ se obtendr´a 1 u(x, 0) = √ π Z

+∞

ya que

2

e−µ dµ =

√

Z

+∞

2

ϕ(x)e−µ dµ = ϕ(x)

−∞

π.

−∞

Nota En la clase de las funciones acotadas Cu(x,t) = {u(x, t)/|u(x, t)| < M, x ∈ (−∞, +∞), t > 0} la soluci´on del problema de Cauchy planteado es u ´nica y depende continuamente de los datos iniciales.

´ DEL CALOR EN UNA VARILLA FINITA 6.4. PROPAGACION

6.4. 6.4.1.

101

Propagaci´ on del calor en una varilla finita Planteamiento del problema

Si la varilla tiene longitud finita L y ocupa el segmento 0 ≤ x ≤ L del eje OX, entonces para plantear el problema de propagaci´on del calor en tal varilla, adem´as de la ecuaci´on ∂u ∂2u = a2 2 + f (x, t) ∂t ∂x

(6.16)

u(x, t)|t=0 = ϕ(x)

(6.17)

y la C.I. hace falta fijar tambi´en el r´egimen de temperaturas en los extremos de la varilla, o sea, en x = 0, x = L, es decir, plantear las condiciones de frontera. Las condiciones de frontera pueden ser diferentes en funci´on del r´egimen de temperaturas en los extremos de la varilla. Se examinan tres tipos principales de las condiciones de frontera. A.- En los extremos de la varilla se fija la temperatura u(0, t) = µ1 (t); u(L, t) = µ2 (t) donde µ1 (t), µ2 (t) son funciones planteadas para el intervalo de tiempo 0 ≤ t ≤ T , en el cual se examina el proceso. B.- En los extremos de la varilla se fijan los valores de la derivada ¯ ¯ ∂u ¯¯ ∂u ¯¯ = β (t), = β2 (t). 1 ∂x ¯x=0 ∂x ¯x=L Estas condiciones surgen, si se da la magnitud del flujo calor´ıfico Q que circula a trav´es de la secci´on de tope de la varilla. Por ejemplo, si para x = L se da la magnitud Q(L, t), entonces ¯ ∂u ¯¯ Q(L, t) = −K ∂x ¯x=L ¯ ∂u ¯¯ Q(L, t) . Si β1 (t) ´o β2 (t) son id´enticamente de donde = β2 (t), y β2 (t) = − ¯ ∂x x=L K nulos, entonces se dice que el extremo correspondiente de la varilla est´a t´ermicamente aislado. C.- En los extremos de la varilla vienen dadas las relaciones lineales entre la funci´on y su derivada ¯ ¯ ∂u ¯¯ ∂u ¯¯ = λ[u(0, t) − θ(t)]; = −λ[u(L, t) − θ(t)] ∂x ¯x=0 ∂x ¯x=L

´ CAP´ITULO 6. ECUACIONES DE TIPO PARABOLICO

102

donde θ(t) es conocida y representa la funci´ on temperatura del medio ambiente, y λ es el coeficiente de intercambio t´ermico. Esta condici´on de frontera corresponde al intercambio t´ermico, seg´ un la ley de Newton, en la superficie del cuerpo con el medio ambiente, cuya temperatura es θ(t). Aprovech´andose de dos expresiones para el flujo calor´ıfico secci´on x = L ∂u Q = h(u − θ), Q = −K ∂x obtenemos el enunciado de la tercera condici´on de frontera ¯ ∂u ¯¯ = −λ[u(L, t) − θ(t)], λ = ∂x ¯x=L

que circula a trav´es de la

en forma de h K

Para la secci´on x = 0 de la varilla la tercera condici´on de frontera tiene la forma de ¯ ∂u ¯¯ = λ[u(0, t) − θ(t)] ∂x ¯x=0 puesto que para el flujo calor´ıfico −K

∂u para x = 0 tenemos ∂µ

∂u ∂u =− ∂µ ∂x (normal exterior a la varilla en el extremo x = 0 que tiene la direcci´ on opuesta respecto al eje OX). Nota Las tareas limitadas o enumeradas anteriormente en los tres casos no agotan ni mucho menos las posibilidades de los problemas de contorno por la ecuaci´on ∂u ∂2u = a2 2 + f (x, t). ∂t ∂x As´ı, en diferentes extremos de la varilla pueden plantearse condiciones de diferentes tipos.

6.4.2.

Problema mixto para la ecuaci´ on de conductibilidad t´ ermica

El problema que se plantea es el problema del caso A anterior: Hallar la soluci´ on u(x, t) de la ecuaci´ on ∂2u ∂u = a2 2 + f (x, t) ∂t ∂x

(6.18)

N

´ DEL CALOR EN UNA VARILLA FINITA 6.4. PROPAGACION

103

en la regi´ on 0 < x < L, u(x, t) ∈ C 2 {0 < x < L, t > 0} que satisface la C.I. u(x, t)|t=0 = ϕ(x), 0 ≤ x ≤ L

(6.19)

u(x, t)|x=0 = µ1 (t), u(x, t)|x>L = µ2 (t), t > 0.

(6.20)

y las C.F.

Consideremos que u(x, t) es continua en la regi´on cerrada D = {0 ≤ x ≤ L, 0 ≤ t ≤ T } de t 6 t=T

D

x=0

x=L

X

Figura 6.3: la figura [6.3] para lo cual es necesario que las funciones ϕ(x), µ1 (t), µ2 (t) sean continuas y que se cumplan las condiciones de concordancia ϕ(0) = µ1 (0), ϕ(L) = µ2 (L). Nota De la misma manera que para las ecuaciones de tipo hiperb´olico, la funci´on u(x, t) se busca s´olo para 0 < x < L y t > 0, pero no cuando t = 0 y no cuando x = 0, x = L, donde los valores de u(x, t) se plantean de antemano por las C.I. y C.F. N Teorema 6.1 (Principio del valor m´ aximo) Si u(x, t) ∈ C(D) satisface la ecuaci´ on de 2 ∂u ∂ u conductibilidad t´ermica = a2 2 en la regi´ on D = {0 < x < L, 0 < t ≤ T }, entonces ∂t ∂x los valores m´ aximo y m´ınimo de u(x, t) se obtienen o bien en el momento inicial del tiempo t = 0, o bien en los puntos de frontera x = 0 ´ o x = L. La interpretaci´on f´ısica de este teorema es evidente. Si la temperatura de un cuerpo en los puntos de frontera o en el momento inicial no supera cierto valor M , entonces en el interior del cuerpo (en ausencia de fuentes f (x, t)) no puede generarse la temperatura superior a M .

´ CAP´ITULO 6. ECUACIONES DE TIPO PARABOLICO

104

Teorema 6.2 La soluci´ on del problema ∂u ∂2u = a2 2 + f (x, t), t > 0, 0 < x < L ∂t ∂x

(6.21)

u(x, t)|t=0 = ϕ(x), 0 ≤ x ≤ L

(6.22)

u(x, t)|x=0 = µ1 (t), u(x, t)|x=L = µ2 (t), t ≥ 0

(6.23)

en el rect´ angulo D = {0 < x < L, 0 ≤ t ≤ T } es u ´nica y depende continuamente de las condiciones iniciales y de frontera.

6.5.

M´ etodo de Fourier para la conductibilidad t´ ermica

Resolvamos el primer problema mixto para la ecuaci´on de conductibilidad t´ermica; o sea hallemos la soluci´on u(x, t) de la ecuaci´on ∂u ∂2u = a2 2 + f (x, t), t > 0, 0 < x < L ∂t ∂x

(6.24)

u(x, t)|t=0 = ϕ(x), 0 ≤ x ≤ L

(6.25)

u(x, t)|x=0 = µ1 (t), u(x, t)|x=L = µ2 (t), t ≥ 0.

(6.26)

que satisface la C.I. y las C.F.

6.5.1.

Soluci´ on de la ecuaci´ on homog´ enea

Calculemos la soluci´on de la ecuaci´on homog´enea ∂u ∂2u = a2 2 ∂t ∂x

(6.27)

u(x, t)|t=0 = ϕ(x)

(6.28)

u(x, t)|x=0 = 0, u(x, t)|x=L = 0

(6.29)

que satisface la C.I. y las C.F.

a) Busquemos las soluciones no triviales de la ecuaci´on [6.27] que satisfacen las condiciones de frontera [6.29] en la forma u(x, t) = X(x)T (t)

(6.30)

´ ´ 6.5. METODO DE FOURIER PARA LA CONDUCTIBILIDAD TERMICA

105

sustituyendo u(x, t) en forma de [6.30] en la ecuaci´on [6.27], obtendremos T 0 (t)X(x) = a2 T (t)X 00 (x) ⇒ X 00 (x) T 0 (t) = = −λ ⇒ a2 T (t) X(x)

(6.31)

T 0 (t) + a2 λT (t) = 0

(6.32)

X 00 (x) + λX(x) = 0.

(6.33)

Para obtener las soluciones no triviales u(x, t) de la forma [6.30], que satisfagan las condiciones de frontera [6.29], hace falta hallar las soluciones no triviales de la ecuaci´on [6.33] que satisfagan las C.F. X(0) = 0, X(L) = 0.

(6.34)

De tal modo para determinar la funci´on X(x) llegamos al problema de valores propios: Hallar aquellos valores del par´ ametro λ, para los cuales existen las soluciones no triviales del problema X 00 (x) + λX(x) = 0, X(0) = 0, X(L) = 0. Este problema ya se ha estudiado con anterioridad, con λn =

³ πn ´2 L

,

n = 1, 2, . . .

existen las soluciones no triviales Xn (x) = sen

³ πn ´ L

x,

del problema [6.33]-[6.34]. Cuando λ = λn , la soluci´on general de la ecuaci´on [6.32] tiene la forma nπa 2 Tn (t) = an e−( L ) t (an ≡ ctes. arbitrarias) Las funciones

³ ´ 2 ) t sen nπ x, L satisfacen la ecuaci´on [6.27] y las C.F. [6.29]. un (x, t) = an e−(

nπa L

n = 1, 2, . . .

b) Construyamos la serie formal u(x, t) =

∞ X n=1

an e−(

nπa L

³ ´ 2 ) t sen nπ x L

(6.35)

´ CAP´ITULO 6. ECUACIONES DE TIPO PARABOLICO

106

Si se requiere que la funci´on u(x, t) de [6.35] satisfaga la C.I. u(x, t)|t=0 = ϕ(x), obtendremos ∞ ³ nπ ´ X ϕ(x) = an sen x. (6.36) L n=1 La serie [6.36] representa el desarrollo de la funci´on dada ϕ(x) en la serie de Fourier respecto a los senos en el intervalo (0, L). Los coeficientes an del desarrollo se determinan por las f´ormulas ya conocidas 2 an = L

Z

L

ϕ(x) sen 0

nπ x dx, L

∀n = 1, 2, . . .

(6.37)

Supongamos que ϕ(x) ∈ C 2 [0, L] y que adem´as ϕ(0) = ϕ(L) = 0, entonces la serie [6.36] con los coeficientes an determinados por [6.37], converger´a a la funci´on ϕ(x) nπa 2 absoluta y uniformemente. Puesto que para t ≥ 0, 0 < e−( L ) t ≤ 1 entonces la serie [6.35] para t ≥ 0 tambi´en converge absoluta y uniformemente. Por eso la funci´on u(x, t), o sea, la suma de la serie [6.35], es continua en la regi´on 0 < x < L, t > 0 y satisface las C.I. y C.F. ∂u ∂2u = a2 2 en c) Nos queda por demostrar que la funci´on u(x, t) satisface la ecuaci´on ∂t ∂x la regi´on 0 < x < L, t > 0. Para esto es suficiente demostrar que las series obtenidas a partir de [6.35] mediante derivaci´on t´ermino a t´ermino respecto a t una vez y respecto a x dos veces, tambi´en convergen absoluta y uniformemente, cuando 0 < x < L, t > 0. Pero esto se deduce de ser 0
0. La unicidad de la soluci´on del problema mixto planteado [6.27]-[6.29] y la dependencia continua entre la soluci´on y ϕ(x) est´a asegurada. Por lo tanto el problema [6.27] est´a planteado correctamente para t > 0. Al contrario, para t < 0, este problema no es correcto. Notas ∂u ∂2u = a2 2 es asim´etrica respecto al tiempo t, mientras que la ecuaci´on ∂t ∂x 2 ∂2u 2∂ u ondulatoria = a si es sim´etrica respecto del tiempo. ∂t2 ∂x2

a) La ecuaci´on

´ ´ 6.5. METODO DE FOURIER PARA LA CONDUCTIBILIDAD TERMICA

107

∂u ∂2u b) La ecuaci´on = a2 2 describe procesos irreversibles. Podemos pronosticar cu´al ∂t ∂x ser´a el valor dado de u dentro del tiempo t, pero no podemos decir con certeza cu´al fue u el tiempo t antes. Esta diferencia entre la fase futura y la fase pasada es t´ıpica para la ecuaci´on parab´olica y no tiene lugar, por ejemplo, cuando se trata de la ecuaci´on ondulatoria. En el caso de la u ´ltima es f´acil ver tanto el desarrollo pasado, como el futuro del proceso. N

6.5.2.

Soluci´ on de la ecuaci´ on no homog´ enea

Calculemos la soluci´on de la ecuaci´on no homog´enea ∂u ∂2u = a2 2 + f (x, t), t > 0, 0 < x < L ∂t ∂x

(6.38)

u(x, t)|t=0 = ϕ(x), 0 ≤ x ≤ L

(6.39)

que satisface la C.I. y las C.F. u(x, t)|x=0 = u(x, t)|x=L = 0, t ≥ 0 ∂f Supongamos que f (x, t) es continua, tiene la continua, y para todo t > 0, ∂x f (0, t) = f (L, t) = 0

(6.40)

a) Buscamos la soluci´on del problema en la forma u(x, t) = v(x, t) + w(x, t)

(6.41)

donde v(x, t) la determinamos como soluci´on del problema ∂v ∂2v = a2 2 + f (x, t) ∂t ∂x

(6.42)

v(x, t)|t=0 = 0

(6.43)

v(x, t)|x=0 = v(x, t)|x=L = 0

(6.44)

y w(x, t) como soluci´on del problema ∂w ∂2w = a2 2 ∂t ∂x

(6.45)

w(x, t)|t=0 = ϕ(x)

(6.46)

w(x, t)|x=0 = w(x, t)|x=L = 0

(6.47)

El problema [6.45]-[6.47] se ha examinado en el problema anterior.

´ CAP´ITULO 6. ECUACIONES DE TIPO PARABOLICO

108

b) Busquemos la soluci´on del problema [6.42]-[6.44]en la forma de la serie v(x, t) =

∞ X

Tn (t) sen

³ nπ ´ L

n=1

x

(6.48)

n ³ nπ ´ o sen x del problema de contorno L

seg´ un las funciones propias

X 00 (x)

+λX(x) = 0

X(0)

= X(L) = 0.

Introduciendo v(x, t) en forma de [6.48] en la ecuaci´on [6.42], obtendremos ¶ ∞ µ ³ nπ ´ X n2 π 2 a2 0 Tn (t) + T (t) sen x = f (x, t). n L2 L n=1

(6.49)

Desarrollamos la funci´on f (x, t) en la serie de Fourier respecto a los senos f (x, t) =

∞ X

fn (t) sen

³ nπ ´

n=1

L

x.

(6.50)

donde

Z ³ nπ ´ 2 L f (ξ, t) sen ξdξ, n = 1, 2, 3, . . . (6.51) L 0 L Comparando los desarrollos [6.49] y [6.50] de la forma f (x, t) en la serie de Fourier, obtendremos n2 π 2 a2 Tn0 (t) + Tn (t) = fn (t), n = 1, 2, 3, . . . (6.52) L2 Aprovech´andose de la condici´on inicial para v(x, t), fn (t) =

v(x, 0) = 0 =

∞ X n=1

Tn (0) sen

³ nπ ´ L

x, x ∈ [0, L]

resulta que Tn (0) = 0, n = 1, 2, . . . . Las soluciones de las ecuaciones [6.52] para las condiciones iniciales anteriores tienen la forma Z L nπa 2 Tn (t) = fn (α)e−( L ) (t−α) dα, n = 1, 2, 3, . . . 0

Introduciendo las expresiones que hemos hallado para Tn (t) en la serie [6.48], obtendremos la soluci´on v(x, t) del problema [6.42]-[6.44] # "Z ∞ L ³ nπ ´ X 2 (t−α) −( nπa L ) dα sen v(x, t) = fn (α)e x. (6.53) L 0 n=1 En definitiva u(x, t) = w(x, t) + v(x, t) ser´a la soluci´on del problema mixto inicial [6.38]-[6.40].

6.6. EJERCICIOS PROPUESTOS

6.5.3.

109

Soluci´ on del problema con C.F. no homog´ eneas

Sea el problema siguiente en la regi´on {0 < x < L, t > 0}, busquemos la soluci´on u(x, t) de la ecuaci´on ∂2u ∂u = a2 2 + f (x, t) (6.54) ∂t ∂x que satisface la C.I. u(x, t)|t=0 = ϕ(x) (6.55) y las C.F. u(x, t)|x=0 = µ1 (t), u(x, t)|x=L = µ2 (t)

(6.56)

El m´etodo de Fourier no es aplicable directamente a causa de la heterogeneidad de las condiciones [6.56]. Para su resoluci´on, hacemos u(x, t) = v(x, t)+w(x, t) donde w(x, t) = µ1 (t)+[µ2 (t) − µ1 (t)] La soluci´on del problema [6.54]-[6.56] se reduce a la soluci´on del problema anterior, para v(x, t).

6.6.

Ejercicios propuestos

6.1 Supongamos una varilla homog´enea infinita. Demostrar que si la temperatura inicial es 2 2 ϕ(x) = u0 e−σ x , x ∈ (−∞, +∞), (u0 > 0, σ > 0 constantes) en un momento cualquiera t > 0, la temperatura es 2 2 u0 − σ x u(x, t) = √ e 1+4a2 σ2 t 2 2 1 + 4a σ t 6.2 Los extremos de una varilla de longitud π se mantienen a temperatura nula. La temperatura inicial se determina por la f´ormula u(x, 0) = 2 sen 3x. Determinar la temperatura de la varilla en un instante cualquiera t > 0. 6.3 Los extremos de una varilla de longitud L se mantienen a temperatura nula. La temperatura πx 2πx inicial de la varilla se determina por la f´ormula u(x, 0) = 3 sen − 5 sen . Determinar L L la temperatura de la varilla en un instante cualquiera t > 0. 6.4 Estudiar el ejemplo 1 de los ejercicios resueltos cuando los extremos x = 0, x = 100 est´an aislados en vez de estar mantenidos a 0o C. 6.5 Una barra met´alica de 100 cm de longitud tiene sus extremos x = 0, x = 100 mantenidos a 0o C. Inicialmente, la mitad derecha de la barra est´a a 0o C, mientras que la otra mitad est´a a

x . L

´ CAP´ITULO 6. ECUACIONES DE TIPO PARABOLICO

110

80o C. Asumiendo un coeficiente de difusividad de 0.2 unidades c.g.s. y un entorno aislado, encontrar la temperatura en cualquier posici´on de la barra en cualquier tiempo.

Soluciones a los ejercicios propuestos 6.2 u(x, t) = 2e−9a

2

t sen 3x

a2 π 2 L2

6.5 u(x, t) =

6.7.

t

4a2 π 2

− L2 t sen πx sen 2π L − 5e L x. ¶ ∞ µ X −6 2 2 nπ nπx 40 6.4 u(x, t) = 50 + sen e−16,10 n π t cos nπ 2 100 n=1

6.3 u(x, t) = 3e−

∞ X 160 ³ nπ ´ −0,2 n2 π22 t nπ 100 1 − cos e sen x. nπ 2 100 n=1

Ejercicios resueltos

6.1 Una barra met´alica de 100 cm de longitud tiene sus extremos x = 0, x = 100 mantenidos a 0o C. Inicialmente, la mitad de la barra est´a a 60o C, mientras que la otra mitad est´a a 40o C. Asumiendo un coeficiente de difusividad de 0.16 unidades c.g.s. y un entorno aislado, encontrar la temperatura en cualquier posici´on de la barra en cualquier tiempo. Soluci´ on.La ecuaci´on de conducci´on del calor es ∂2u ∂u = 0,16 2 ∂t ∂x

(6.57)

siendo u = u(x, t) es la temperatura en el lugar xo al tiempo t. Las C.F. son

( u(0, t) = 0, u(100, t) = 0, u(x, 0) =

60, 40,

0 < x < 50 50 < x < 100

(6.58)

Asumiendo una soluci´on u = X.T en [6.57] se encuentra XT 0 = 0,16X 00 T =⇒

X 00 T0 = 0,16T X

Haciendo iguales a una constante la cual, como aportaci´on ya dada en cap´ıtulos anteriores, denotamos por −λ2 y por tanto T 0 + 0,16λ2 T = 0; X 00 + λ2 X = 0

6.7. EJERCICIOS RESUELTOS

111

y as´ı obtenemos la soluci´on 2

u(x, t) = e−0,16λ t (A cos λx + B sen λx) . nπ Las dos primeras condiciones de [6.58] muestran que A = 0, λ = . Para satisfacer la 100 u ´ltima condici´on usamos la superposici´on de las soluciones para obtener u(x, t) = b1 e−16,10

−6

π2 t

sen

−6 2 πx 2πx + b2 e−64,10 π t sen + ··· 100 100

(6.59)

2πx πx Para t = 0 b1 sen + b2 sen = u(x, 0) 100 100 As´ı, tenemos Z 100 2 nπx bn = u(x, 0) sen dx 100 0 100 Z 50 Z 100 2 2 nπx nπx dx + dx = 60 sen 40 sen 100 0 100 100 50 100 ³ ´ ³ ´ 120 nπ 80 nπ = 1 − cos + cos − cos nπ . nπ 2 nπ 2 200 40 , b2 = , ··· π π De aqu´ı se tiene que [6.59] adopta la forma

As´ı b1 =

u(x, t) =

−6 2 200 −16,10−6 π2 t πx 40 2πx e sen + e−64,10 π t sen + ··· π 100 π 100

y es la soluci´on u ´nica. 6.2 Hallar la soluci´on del problema de Cauchy ∂u ∂2u = , t > 0, x ∈ (−∞, +∞) ∂t ∂x2 u(x, t)|t=0 = e−

x2 2

, x ∈ (−∞, +∞)

Soluci´ on Aprovech´andose de la f´ormula de Poisson, obtenemos ϕ(x) = e− Z +∞ (x−λ)2 λ2 2 u(x, t) = √ e− 2 e− 4t dλ. 2 πt −∞

x2 2

, a=1

La integral del segundo miembro la resolvemos de la siguiente forma Z +∞ Z +∞ (x−λ)2 λ2 λ2 x2 xλ λ2 e− 2 e− 4t dλ = e− 2 e− 4t + 2t − 4t dλ = −∞

−∞

(6.60)

´ CAP´ITULO 6. ECUACIONES DE TIPO PARABOLICO

112

2

=e √

Z

+∞

1 (1+2t) 2t

e− 2

2

x (λ− 1+2t ) dλ.

(6.61)

−∞

¶ x = α, la integral del segundo miembro de [6.61] tomar´a la 1 + 2t forma √ √ Z +∞ 2 2t 2 πt − α2 √ e dα = √ . 1 + 2t −∞ 1 + 2t √ R +∞ α2 (Hemos utilizado la igualdad −∞ e− 2 dα = 2π). Por eso de [6.60] se obtiene √ Z +∞ 2 (x−λ)2 x2 2 πt − 2(1+2t) − λ2 − 4t e dλ = √ e e 1 + 2t −∞ Llamando

1 + 2t √ = 2t

µ λ−

x − 2(1+2t)

As´ı la soluci´on u(x, t) del problema dado se determina por la expresi´on u(x, t) = √

x2 1 e− 2(1+2t) , 1 + 2t

t>0

Nota De la integral de Poisson se deduce que el calor se propaga a lo largo de la varilla instant´aneamente. N 6.3 Hallar la distribuci´on de temperaturas en una varilla de longitud π, si la temperatura inicial de la varilla u(x, t)|t=0 = sen x, 0 ≤ x ≤ π, y en los extremos de la varilla se mantiene la temperatura cero. Soluci´ on I) Formalmente el problema consiste en resolver el problema mixto ∂u ∂2u = a2 2 , t > 0, 0 < x < π ∂t ∂x

(6.62)

u(x, t)|t=0 = sen x, 0 ≤ x ≤ π

(6.63)

u(x, t)|x=0 = u(x, t)|x=π = 0, t ≥ 0

(6.64)

que satisface la C.I. y las C.F. II) Apliquemos el m´etodo de Fourier, buscando las soluciones no triviales de la ecuaci´on [6.62] que satisfacen las C.F. [6.64] en la forma u(x, t) = T (t).X(x). Como ya sabemos, introduciendo u(x, t) en forma de la expresi´on anterior en la ecuaci´on [6.62] y separando las variables, se obtiene X 00 (x) T 0 (t) = = −λ 2 a T (t) X(x)

6.7. EJERCICIOS RESUELTOS

113

de donde T 0 (t) + λ2 a2 T (t) = 0

(6.65)

00

X (x) + λX(x) = 0

(6.66)

X(0) = X(π) = 0

(6.67)

Los valores propios del problema [6.66]-[6.67] son λn = n2 , n = 1, 2, . . ., y las funciones propias son Xn (x) = sen nx. Cuando λ = λn , la soluci´on general de [6.65] es Tn (t) = 2 2 an e−a n t , por lo que 2 u(x, t) = an e−(na) t sen nx. La soluci´on del problema [6.62]-[6.64] est´a en la serie u(x, t) =

∞ X

2

an e−(na) t sen nx.

n=1

Al exigir el comportamiento de la condici´on inicial u(x, t)t=0 = sen x, se obtiene u(x, 0) = sen x =

∞ X

an sen nx

n=1

de donde a1 = 1, ak = 0, k = 2, 3, · · ·. III) De aqu´ı que la soluci´on del problema sea 2

u(x, t) = e−a t sen x

114

´ CAP´ITULO 6. ECUACIONES DE TIPO PARABOLICO

Cap´ıtulo 7

Ecuaciones de tipo el´ıptico

”El an´ alisis num´erico es una ciencia, la computaci´ on un arte” C.E.Fr¨oberg ”La naturaleza tiene horror al vac´ıo” R. Descartes

115

116

CAP´ITULO 7. ECUACIONES DE TIPO EL´IPTICO

´ 7.1. INTRODUCCION

7.1.

117

Introducci´ on

La ecuaci´on diferencial en derivadas parciales lineal general de segundo orden con u = u(x, y) ∂2u ∂2u ∂2u + 2B(x, y) + C(x, y) + ∂x2 ∂x∂y ∂y 2 ∂u ∂u a(x, y) + b(x, y) + c(x, y)u = f (x, y) ∂x ∂y A(x, y) +

(7.1)

en cierta regi´on Ω ⊂ R2 es el´ıptica si B 2 − AC < 0, ∀(x, y) ∈ Ω. As´ı por ejemplo ∂2u ∂2u + 2 = 0 es el´ıptica ∀(x, y) ∈ Ω. ∂x2 ∂y

a)

∂2u ∂2u + = 0 es el´ıptica para x < 0, parab´ olica para x = 0 e hiperb´ olica ∂x2 ∂y 2 para x < 0.

b) x

Estudio an´alogo realizamos en este tema con los problemas que se plantean al estudiar el potencial el´ectrico o gravitacional.

7.2.

Problemas que involucran potencial el´ ectrico o gravitacional

Sea una regi´on M del espacio R3 como la que aparece en la figura [7.1]. La regi´on M supongamos que representa una distribuci´on continua de cargas el´ectricas (o una distribuci´on continua de masa). Sea ρ la densidad de carga ( o densidad de masa), es decir, la carga por unidad de volumen (o masa por unidad de volumen). El potencial el´ectrico en P debida a la carga que denominaremos por q en Q ( o potencial q ³m´ siendo r ≡ d(P, Q), r = gravitacional en P debido a la masa m en Q) est´a definido por r r p (x − X)2 + (y − Y )2 + (z − Z)2 . Si dV representa el potencial, el´ectrico o gravitacional, debido a la carga (masa) dada por ρdXdY dZ, entonces dV =

ρdXdY dZ ρdXdY dZ =p 2 r (x − X) + (y − Y )2 + (z − Z)2

(7.2)

CAP´ITULO 7. ECUACIONES DE TIPO EL´IPTICO

118 Z 6

Elemento de volumen dXdY dZ, de densidad ρ 3 ´ ´

• P (x, y, z)

´ ´

´

´ ¡ ¡ ´ ´ • @¡ @ @

@

@ R @

¡

¡

X

¡ ¡ ª

¡

Q(X, Y, Z) Y

¡

Figura 7.1: De aqu´ı sigue que el potencial total V debido a la carga o distribuci´on de masa en la regi´on M ⊂ R3 se puede calcular por medio de la integral de [7.2] sobre la regi´on M para obtener ZZZ ρdXdY dZ p V = . (7.3) 2 (x − X) + (y − Y )2 + (z − Z)2 M Al estudiar problemas de potencial es conveniente encontrar una E.D.P. que sea satisfecha por V . Para obtener tal ecuaci´on diferencial, tomemos las derivadas parciales con respecto a x, y y z, y vemos si se puede eliminar la integral en [7.3]. Al tomar las derivadas segundas con respecto a x, y y z, respectivamente, y luego sumarlas encontramos ∂2V ∂2V ∂2V + + =0 2 2 ∂x ∂y ∂z 2

(∇2 V = 0)

(7.4)

que ya sabemos que es la ecuaci´on de Laplace, citada en los temas anteriores. Nota a) El resultado [7.4] no es dif´ıcil de establecer. Para ello tomamos ∇2 en ambos lados de [7.3]. Intercambiando el orden de la derivaci´on e integraci´on, el resultado equivale a 1 mostrar que el Laplaciano de es cero. Pero por diferenciaci´on ordinaria se tiene r µ ¶ 2 ∂ 1 2(x − X)2 − (y − Y )2 − (z − Z)2 = 5 ∂x2 r [(x − X)2 + (y − Y )2 + (z − Z)2 ] 2

´ DE LAPLACE119 7.3. PROBLEMAS DE VALOR DE FRONTERA QUE INVOLUCRAN LA ECUACION µ ¶ 1 = r µ ¶ ∂2 1 = ∂z 2 r

∂2 ∂y 2

2(y − Y )2 − (y − Y )2 − (x − X)2 5

[(x − X)2 + (y − Y )2 + (z − Z)2 ] 2 2(z − Z)2 − (x − X)2 − (y − Y )2 5

[(x − X)2 + (y − Y )2 + (z − Z)2 ] 2

donde para ahorrar trabajo podemos obtener los dos u ´ltimos resultados a partir del primero por simetr´ıa. Es obvio que al sumar se obtiene el cero. b) Este resultado de ∇2 V = 0 se ha obtenido al usar el concepto de potencial el´ectrico o gravitacional para llegar a la ecuaci´on de Laplace, sucede que esta ecuaci´on tambi´en aparece en otros campos tales como, por ejemplo, en el movimiento de un fluido incompresible de aerodin´amica o hidrodin´amica. En tal caso V es un potencial de velocidad. c) Para llegar a la ecuaci´on [7.4], se asumi´o que el potencial se va a encontrar en puntos no ocupados por materia o carga el´ectrica. En el caso de que queramos encontrar el potencial en puntos ocupados por materia o carga, se obtiene que la ecuaci´on est´a dada por ∇2 V = −4πρ que se llama Ecuaci´ on de Poisson. El caso especial ρ = 0 da [7.4]. N

7.3.

Problemas de valor de frontera que involucran la ecuaci´ on de Laplace

Anteriormente se ha deducido que el potencial el´ectrico o gravitacional debido a una distribuci´on de carga el´ectrica o de masa satisface la ecuaci´on de Laplace ∇2 V =

∂2V ∂2V ∂2V + + =0 ∂x2 ∂y 2 ∂z 2

(7.5)

que es el caso tridimensional. En el caso bidimensional es ∇2 V =

∂2V ∂2V + = 0. ∂x2 ∂y 2

(7.6)

Cuando se generaliza a m´as de tres dimensiones se pierde la visualizaci´on geom´etrica. Las ecuaciones [7.5] ´o [7.6] se pueden tambi´en interpretar como una ecuaci´on de conducci´on de calor para la determinaci´on de temperatura de estado estacionario, esto es, temperatura independiente del tiempo.

120

CAP´ITULO 7. ECUACIONES DE TIPO EL´IPTICO

Ya hemos estudiado el problema que involucra la ecuaci´on de Laplace al tratar el caso de la temperatura de estado estacionario en una placa semi-infinita. on de R2 acotada por una curva cerrada C la cual no se Teorema 7.1 Sea D una regi´ interseca a si misma en ning´ un punto de la misma. Entonces existe una soluci´ on u ´nica V de la ecuaci´ on de Laplace en la regi´ on la cual toma valores prescritos en la frontera C, esto es, V es alguna funci´ on especificada en la curva C. (El teorema se puede generalizar a regiones acotadas por superficies cerradas). Notas a) El problema de valor de frontera que busca determinar la soluci´on V descrita en este teorema con frecuencia se refiere como un problema de Dirichlet. Una funci´on que es una soluci´on de la ecuaci´on de Laplace con frecuencia se llama funci´ on arm´ onica (¡ ya la estudiaremos con m´as detalles m´as adelante !) b) Desde un punto de vista pr´actico es f´acil entender porqu´e el teorema anterior [7.1] deber´ıa ser cierto. Supongamos que la regi´on representa una placa met´alica de espesor despreciable cuyas caras est´an aisladas de modo que el calor no puede entrar ni escapar a trav´es de ellas. Decir espec´ıficamente el valor de V en la frontera C equivale a mantener esta frontera a alguna distribuci´on de temperatura prescrita, y esperar´ıamos que cada punto de la placa finalmente alcanzara alg´ un equilibrio u ´nico o temperatura de estado estacionario y permanecer´ıa a esta temperatura siempre que las condiciones se mantengan. c) El teorema anterior [7.1] se puede extender a regiones no acotadas por procedimientos de l´ımites apropiados. N

7.3.1.

Soluci´ on del problema de Dirichlet para el circulo empleando el m´ etodo de Fourier

Obtener la soluci´on de la ecuaci´on de Laplace en una regi´on M ⊂ R2 acotada por una circunferencia de centro (0, 0) y radio la unidad, si V es una funci´on especificada en la frontera C. [PASO 1 ] Aplicando el teorema [7.1] se ve que este es un problema de Dirichlet para el cual existe una soluci´on u ´nica.

´ DE LAPLACE121 7.3. PROBLEMAS DE VALOR DE FRONTERA QUE INVOLUCRAN LA ECUACION Y 6 C '$

M

&%

X

Figura 7.2: [PASO 2 ] Formalicemos el problema. a) Para simplificar recurramos a las coordenadas polares, x = r cos φ, y = r sen φ. ∂2V ∂2V Con esta transformaci´on la ecuaci´on de Laplace ∇2 V = + toma la ∂x2 ∂y 2 forma, en funci´on de r y φ, descrita por V (r, φ) 1 ∂V 1 ∂2V ∂2V + + =0 ∂r2 r ∂r r2 ∂φ2

(7.7)

b) Para completar el problema de valores de frontera necesitamos conocer las condiciones de frontera. Una condici´on involucra la especificaci´on de V sobre el circulo unitario, r = 1, dicho valor en C est´a dado por V (1, φ) con φ ∈ [0, 2π]. Asumiendo que esta es alguna funci´on prescrita de φ, que denominamos f (φ), tenemos la C.F. V (1, φ) = f (φ) (7.8) Adem´as queremos que V est´e acotada ∀(r, φ) ∈ M ⊂ R2

|V (r, φ)| < K, K = cte

independiente de r y φ. [PASO 3 ] Encontremos por tanto soluciones de [7.7] que tengan variables separables. Y este es un m´etodo ya conocido. Supongamos que V = R · Φ siendo R = R(r), Φ = Φ(φ). Sustituyendo V = R · Φ en [7.7] se obtiene 1 R0 1 Φ00 R00 + + 2 = 0. R r R r Φ

(7.9)

122

CAP´ITULO 7. ECUACIONES DE TIPO EL´IPTICO

Podemos escribir [7.9] de esta forma 1 R0 1 Φ00 R00 + =− 2 . (7.10) R r R r Φ Obs´ervese que el lado izquierdo s´ı depende s´olo de r pero el lado derecho no. Basta con multiplicar [7.10] por r2 , en ambos lados de la igualdad r2

R00 R0 Φ00 +r =− . R R Φ

(7.11)

Haciendo cada lado de [7.11], como ya sabemos, igual a λ2 , se obtienen las ecuaciones r2 R00 + rR0 − λ2 R = 0 Φ00 + λ2 Φ = 0

(7.12)

Tenemos por tanto el problema reducido a resolver las ecuaciones diferenciales ordinarias [7.12]. La primera ecuaci´on de [7.12], r2 R00 + rR0 − λ2 R = 0, es una ecuaci´on de Euler (¡ Recu´erdese que se transforma en una ecuaci´on diferencial lineal con coeficientes constantes haciendo el cambio r = ez , y despu´es aplicamos el m´etodo de operadores para resolver la EDO lineal con coeficientes constantes !) Las soluciones de [7.12] vienen dadas por  λ −λ   R = c1 r + c2 r si λ 6= 0   Φ = c cos λφ + c sen λφ 3 4    R = c5 + c6 ln r si λ = 0   Φ = c +c φ 7 8 Por tanto, en este paso 3 concluimos diciendo que las posibles soluciones de V son ¡ ¢ i ) V (r, φ) = c1 rλ + c2 r−λ (c3 cos λφ + c4 sen λφ) ii ) V (r, φ) = (c5 + c6 ln r) (c7 + c8 φ)

(7.13)

[PASO 4 ] Estudiemos con detalle estas soluciones. - En primer lugar es evidente que una soluci´on debe estar acotada en r = 0. - Tomando λ ≥ 0, debe ser c2 = 0 y c6 = 0 en [7.13]. Adem´as si cambiamos φ por φ + 2π en cualquier soluci´on, ´esta no deber´ıa cambiar puesto que los puntos (r, φ) y (r, φ + 2π) son el mismo. Esta periodicidad de φ requiere que escojamos c8 = 0 y λ entero, λ = n, con n = 0, 1, 2, . . ..

´ DE LAPLACE123 7.3. PROBLEMAS DE VALOR DE FRONTERA QUE INVOLUCRAN LA ECUACION

- Por tanto nos podemos restringir a las soluciones de la forma V (r, φ) = rn (A cos nφ + B sen nφ),

AyB constantes arbitrarias

(7.14)

[PASO 5 ] Para satisfacer la C.F. V (1, φ) = f (φ), apliquemos el principio de superposici´on a [7.14] correspondientes a las soluciones n = 1, 2, . . . para obtener la soluci´on ∞

V (r, φ) =

ao X n + r (an cos nφ + bn sen nφ). 2 n=1

(7.15)

Imponiendo la C.F. V (1, φ) = f (φ) ∞

V (1, φ) = f (φ) =

ao X n + 1 (an cos nφ + bn sen nφ) ⇒ 2 n=1 ∞

f (φ) =

ao X + (an cos nφ + bn sen nφ) 2 n=1

(7.16)

con an bn

=

1 π

1 = π

Z

2π

f (φ) cos nφdφ Z

0 2π

f (φ) sen nφdφ

(7.17)

0

Llegamos por tanto que [7.15] con los coeficientes [7.17] nos da la soluci´on que buscamos

V (r, φ)

= +

1 siendo a0 = π

Z

½· Z 2π ¸ ∞ a0 X n + r π f (φ) cos nφdφ cos nφ + 2 0 n=1 · Z 2π ¸ ¾ 1 f (φ) sen nφdφ sen nφ π 0

2π

f (φ)dφ. 0

Notas a) Como en el ejemplo resuelto n´ umero 2, podemos dar al resultado del ejercicio n´ umero 5 (propuesto) una interpretaci´on de temperatura de estado estacionario. Para dar tal interpretaci´on, consideramos una placa conductora infinita (o practicamente hablando,

CAP´ITULO 7. ECUACIONES DE TIPO EL´IPTICO

124

muy grande) representada por el plano R2 con sus caras aisladas. Si una parte de esta placa representada por el interior de un circulo unitario se remueve de la placa, y si la distribuci´on de temperatura dada por f (φ) se aplica a esta frontera, entonces la temperatura de estado estacionario est´a dada por · ¸ V0 2V0 sen φ sen 3φ sen 5φ V (r, φ) = + + + + ··· . (7.18) 2 π r 3r3 5r5 b) El resultado anterior se puede considerar como un caso especial del teorema [7.1], en el cual C es la frontera de la regi´on representada por r > 1, y as´ı tambi´en tenemos en este caso un problema de Dirichlet. N

7.4.

Funciones arm´ onicas. Planteamiento de los problemas de contorno

Naturalmente con las limitaciones que impone un curso de estas caracter´ısticas en primer a˜ no ingenier´ıa veamos, a modo de introducci´on, como el planteamiento de los problemas de contorno (el´ıptico) conducen a las funciones arm´onicas. A las ecuaciones de tipo el´ıptico conduce al estudio de los procesos estacionarios ( o sea que no cambian en el tiempo) de diferente naturaleza f´ısica. Como sabemos la m´as simple ecuaci´on de tipo el´ıptico es la ecuaci´on de Laplace 1

∆u ≡

∂2u ∂2u ∂2u + 2 + 2 =0 ∂x2 ∂y ∂z

(7.19)

y caracteriza (como hemos comprobado en apartados anteriores) los potenciales gravitacionales y electrost´aticos en los puntos del espacio libre; ´esta describe el potencial de velocidad del flujo no turbulento de un liquido incompresible y es v´alida tambi´en para la temperatura del medio is´otropo homog´eneo si el movimiento del calor es estacionario. Para n = 2, u = u(x, y), la ecuaci´on de Laplace tiene la forma ∇2 u = ∆u =

∂2u ∂2u + 2 = 0. ∂x2 ∂y

(7.20)

Es la base de la teor´ıa de las funciones anal´ıticas de variable compleja (funciones complejas, w = f (z)z, w ∈ C derivables en una cierta regi´on D ⊂ R2 ). Sus soluciones son partes real e imaginaria de las funciones f (z) = u(x, y) + iv(x, y) anal´ıticas en cierta regi´on D. 1 Hemos utilizado ∆ en lugar de ∇2 , se puede utilizar dicho s´ ımbolo conocido como laplaciano. Aunque es m´ as frecuente ∇2 para evitar confusiones con el incremento de una func´´ on

´ 7.4. FUNCIONES ARMONICAS. PLANTEAMIENTO DE LOS PROBLEMAS DE CONTORNO125

En el caso de que se tenga u = (x) se tiene ∇2 u = ∆u =

d2 u =0 dx

(7.21)

cuyas soluciones son funciones u(x) = C1 x + C2 , C1 , C2 ∈ R constantes arbitrarias. Definici´ on 7.1 (Funci´ on arm´ onica) La funci´ on u = u(x, y, z) se llama arm´ onica en la ∂2u ∂2u ∂2u 3 2 2 regi´ on Ω ⊂ R , si u ∈ C (Ω) y satisface la ecuaci´ on de Laplace ∇ = + + 2 =0 ∂x2 ∂y 2 ∂z en la regi´ on Ω. Supongamos que la regi´on Ω ⊂ R3 est´a acotada por la superficie S Fig.[7.3]. Z 6 S ¡ ¡ ª

Y

¡

¡

¡

¡

¡

3 @ I @ Ω⊂R

¡ ¡ ª X

Figura 7.3: Para la ecuaci´on de Laplace es t´ıpico el siguiente problema Hallar la funci´ on u(M), M ⊂ Ω, arm´ onica en Ω y que satisface en S la condici´ on de frontera que puede tomarse en una de las siguientes formas a) u(x, y, z)|S = f1 (P ), P ∈ S es el primer problema de contorno o problema de Dirichlet. ¯ ∂u(x, y, z) ¯¯ b) ¯ = f2 (P ), P ∈ S es el segundo problema de contorno o problema de ∂η S Newmann. ¯ ¯ ∂u(x, y, z) + hu(x, y, z)¯¯ = f3 (P ), P ∈ S es el tercer problema de contorno. c) ∂η S

CAP´ITULO 7. ECUACIONES DE TIPO EL´IPTICO

126

Aqu´ı f1 , f2 , f3 , h son funciones dadas y a la superficie S.

∂u es la derivada seg´ un la direcci´on normal exterior ∂η

Notas El sentido geom´etrico del problema de Dirichlet para la ecuaci´on unidimensional de Laplace es trivial. Las funciones arm´onicas unidimensionales u(x) = C1 x + C2 son l´ıneas rectas y el problema de Dirichlet se reduce al siguiente ”Por dos puntos A(x1 , u1 ), B(x2 , u2 ) hay que trazar una recta” u

6

# # • B(x , u ) # 2 2 #

# #

#

# # # • A(x1 , u1 ) #

#

X

0

N Figura 7.4:

7.4.1.

Ecuaci´ on de Poisson

Otro representante de las ecuaciones de tipo el´ıptico es ∇2 u = g(x, y, z)

(7.22)

que corresponde al estado de equilibrio originado por una fuerza exterior con densidad proporcional a g(x, y, z). Se trata de un ejemplo m´as. Examinemos una ecuaci´on ondulatoria ∇2 u −

1 ∂2u =0 a2 ∂t2

(7.23)

´ DE LAPLACE 7.5. SOLUCIONES FUNDAMENTALES DE LA ECUACION

127

Busquemos la soluci´on de la ecuaci´on [7.23] de la forma u(x, y, z, t) = eiωt v(x, y, z)

(7.24)

Introduciendo la funci´on u(x, y, z, t) anterior en la ecuaci´on [7.23] tendremos eiωt ∆v +

ω 2 iωt ve = 0 ⇒ ∆v + k 2 v = 0 a2

ω2 . De esta manera para la funci´on v(x, y, z) hemos obtenido la ecuaci´on de a2 tipo el´ıptico ∆v + k 2 v = 0 que se llama Ecuaci´ on de Helmholtz.

donde k 2 =

7.5. 7.5.1.

Soluciones fundamentales de la ecuaci´ on de Laplace Ejemplos m´ as usuales

Las coordenadas cartesianas, cil´ındricas y esf´ericas se usan m´as que otras. El operador de Laplace en las coordenadas a) Cartesianas, se determina por la f´ormula, ya conocida, ∆u ≡

∂2u ∂2u ∂2u + 2 + 2. ∂x2 ∂y ∂z

b) Cil´ındricas, an´alogamente 1 ∂ ∆u ≡ r ∂r

µ ¶ ∂u 1 ∂2u ∂2u r + 2 2 + 2. ∂r r ∂φ ∂z

c) Esf´ericas. (V´ease ejercicio propuesto no 4)

7.5.2.

Soluciones con simetr´ıa esf´ erica o cil´ındrica

Gran inter´es representan las soluciones de la ecuaci´on de Laplace que poseen simetr´ıa esf´erica o cil´ındrica, es decir, que dependen s´olo de una variable r. I Aprovech´andonos de las coordenadas esf´ericas, hallamos que la soluci´on u = u(r), que posee la simetr´ıa esf´erica, se determina de una ecuaci´on diferencial ordinaria µ ¶ d du r2 = 0. dr dr

CAP´ITULO 7. ECUACIONES DE TIPO EL´IPTICO

128

Integrando esta ecuaci´on, hallamos C1 + C2 , C1 , C2 ∈ R constantes r 1 y si hacemos C1 = 1, C2 = 0, se obtiene la funci´on u0 (r) = que se llama soluci´ on r fundamental de la ecuaci´on de Laplace en el espacio. u=

La funci´on u0 = 1r satisface la ecuaci´on ∆u = 0 en todos los puntos, a excepci´on del punto r = 0, donde u0 → ∞. Si examinamos el campo de la carga puntual e situada e en el origen de coordenadas, el potencial de este campo ser´a igual a u(r) = . r II Utilizando las coordenadas cil´ındricas, hallamos que la soluci´on u = u(r), que tiene simetr´ıa cil´ındrica o circular (en el caso de dos variables independientes) se determina a partir de la EDO µ ¶ d du r =0 dr dr de donde integrando resulta u = C1 ln r + C2 . Tomando C1 = −1, C2 = 0 se tiene µ ¶ 1 u0 (r) = ln . r La funci´on u0 (r) se llama soluci´on fundamental de la ecuaci´on de Laplace en el plano. Esta funci´on satisface µ la¶ecuaci´on de Laplace en todos los puntos a excepci´on del punto 1 r = 0 donde u = ln se hace infinito. r

7.6.

Ejercicios propuestos

7.1 Mostrar que una soluci´on a la ecuaci´on de Laplace bidimensional est´a dada por V = ln r, p donde r = x2 + y 2 . 7.2 Encontrar una interpretaci´on f´ısica al ejercicio resuelto 2. 7.3 Demostrar que con la transformaci´on a coordenadas polares x = ρ cos φ, y = ρ sen φ la ecuaci´on de Laplace es ∇2 V = 0 ⇔ ∇ 2 V =

∂2V 1 ∂V 1 ∂2V + + = 0. ∂ρ2 ρ ∂ρ ρ2 ∂φ2

Idem para con las coordenadas cil´ındricas x = ρ cos φ, y = ρ sen φ, z = z, ∇2 V = 0 ⇔ ∇ 2 V =

∂2V 1 ∂V 1 ∂2V ∂2V + + 2 + = 0. 2 2 ∂ρ ρ ∂ρ ρ ∂φ ∂z 2

7.6. EJERCICIOS PROPUESTOS

129

7.4 Comprobar que con la transformaci´on a coordenadas esf´ericas x = r sen θ cos φ, y = r sen θ sen φ, z = r cos θ, la ecuaci´on de Laplace es ∇2 V = 0 ⇔ ∇ 2 V =

∂2V 2 ∂V 1 ∂2V cot θ ∂V 1 ∂2V + + + + ∂r2 r ∂r r2 ∂θ2 r2 ∂θ r2 sen2 θ ∂φ2

7.5 Obtener la expresi´on equivalente para encontrar el potencial por fuera del circulo unitario r = 1, del ejercicio resuelto n´ umero 2. 7.6 Encontrar el potencial a) Dentro y b) Fuera del circulo unitario, r = 1, si el potencial sobre el circulo est´a dado por   V0 0 < φ < π2    f (φ) = −V0 π2 < φ < φ     0 π < φ < 2π 7.7 Hallar la funci´on arm´onica en el interior del circulo de radio ro con centro en el origen de coordenadas y tal que f (φ)|r=r0 = 3 + 5 cos φ. 7.8 Hallar la funci´on arm´onica en el interior de un circulo de radio ro con centro en el origen de coordenadas y tal que, f (φ)|r=r0 = 2 + 3 sen φ. 7.9 Idem para f (φ) = sen2 φ. 7.10 Hallar la funci´on arm´onica, en el interior del circulo de radio ro con centro en el origen de coordenadas y tal que ¯ ∂u ¯¯ a) = A cos φ, A constante. ∂r ¯r=ro ¯ ∂u ¯¯ b) = 2 sen2 φ. ∂r ¯r=ro

Soluciones a los ejercicios propuestos ∂2V ∂2V + = 0. 2 ∂x ∂y 2 ¸ · ∞ 1 − 2 cos(n π2 ) + cos nπ V0 X n 2 sen(n π2 ) 7.6 a) V (r, φ) = cos nφ + sen nπ . r π n=1 n n ¸ · ∞ 1 − 2 cos(n π2 ) + cos nπ V0 X −n 2 sen(n π2 ) b) V (r, φ) = cos nφ + sen nπ . r π n=1 n n 7.1 Basta probar que

CAP´ITULO 7. ECUACIONES DE TIPO EL´IPTICO

130

7.7 El problema consiste en solucionar el problema interior de Dirichlet, ∆u = 0, 0 ≤ r < r0 , con las C.F. f (φ)]r=r0 = 3 + 5 cos φ. La soluci´on buscada es u(r, φ) = 3 + r50 r cos φ ´o u(x, y) = 3 + r50 x. 7.8 u(r, φ) = 2 +

3 sen φ. r0

1 1 7.9 u(r, φ) = − 2 2

µ

r r0

¶2 cos 2φ.

7.10 a) u(r, φ) = A0 + Ar cos φ, A0 constante arbitraria.

7.7.

b) No tiene soluci´on.

Ejercicios resueltos

p 1 , donde r = x2 + y 2 + z 2 , es una soluci´on de la ecuaci´on de Laplace r 1 en tres dimensiones, esto es, la ecuaci´on [7.4] , podr´ıamos pensar que cuando V = donde r p r = x2 + y 2 , es una soluci´on de la ecuaci´on de Laplace en dos dimensiones, esto es, ∂2V ∂2V + = 0. Mostrar que este hecho no es cierto. ∂x2 ∂y 2

7.1 Puesto que V =

Soluci´ on ∂2V ∂2V + = 0. ∂x2 ∂y 2 " Ã !# " # ∂2V ∂ ∂ 1 ∂ −2x p p a) = = = ∂x2 ∂x ∂x ∂x 2 x2 + y 2 x2 + y 2 " # " # −px2 + y 2 + x √ 2x ∂ −x ∂ −x 2 x2 +y 2 p p p = = = ∂x ∂x x2 + y 2 x2 + y 2 ( x2 + y 2 )2 −2(x2 + y 2 ) + 2x2 −2y 2 ∂2V −y 2 p = p =⇒ = 3 . 2 ∂x (x2 + y 2 ) 2 2 x2 + y 2 (x2 + y 2 ) 2 x2 + y 2 (x2 + y 2 ) " Ã !# " # ∂2V ∂ ∂ 1 ∂ −2y p p = = = b) ∂y 2 ∂y ∂y ∂y 2 x2 + y 2 x2 + y 2 " # " # −px2 + y 2 + y √ 2y −y ∂ −y ∂ 2 x2 +y 2 p p p = = = = 2 2 2 2 2 2 ∂y ∂y x +y x +y ( x + y )2 −2(x2 + y 2 ) + 2y 2 −2x2 ∂2V −x2 p = p =⇒ = 3 . ∂y 2 (x2 + y 2 ) 2 2 x2 + y 2 (x2 + y 2 ) 2 x2 + y 2 (x2 + y 2 )

La ecuaci´on de Laplace es ∇2 V = 0 ⇔

7.7. EJERCICIOS RESUELTOS

Por tanto

131

∂2V ∂2V −y 2 − x2 x2 + y 2 2 2 − 21 6= 0. + = 3 = − 3 = −(x + y ) 2 2 2 2 2 2 ∂x ∂y 2 2 (x + y ) (x + y )

7.2 Hallar la soluci´on de la ecuaci´on de Laplace dentro del circulo de radio r = 1 que tenga valores dados en la frontera por   V0 , 0 < φ < π f (φ) =  0, π < φ < 2π siendo V0 una constante. Soluci´ on Sabemos que an =

1 π

Z

2π

f (φ) cos nφdφ,

bn =

0

1 π

Z

2π

f (φ) sen nφdφ 0

representan los coeficientes de Fourier de la expresi´on ∞

V (r, φ) =

a2 X n + r [an cos nφ + bn sen nφ] . 2 n=1

Veamos los casos siguientes para los coeficientes an Para n = Z 0 Z Z 1 2π 1 1 π 1 2π 1 π a0 = f (φ)dφ = V0 dφ + 0dφ = V0 |φ|0 = V0 π = V0 ⇒ a0 = V0 . π 0 π 0 π π π π Para n = 2, 3, . . . Z 1, Z Z Z 1 2π 1 π 1 2π 1 π an = f (φ) cos nφdφ = V0 cos nφdφ+ 0 cos nφdφ = V0 cos nφdφ = π 0 π π π 0 ¯π 0 ¯π · ¸ ¯ V0 ¯¯ 1 V0 1 1 = sen nφ¯¯ = sen nπ − 0 = 0 ⇒ an = 0 n = 1, 2, 3, . . .. ¯ π n π n n 0 An´alogamente para los coeficientes bn Z Z 1 π 1 2π V0 (1 − cos nπ) bn = V0 sen nφdφ + 0 sen nφdφ = . π 0 π π nπ Por tanto ¶ ∞ µ V0 X 1 − cos nπ V0 + rn sen nφ V (r, φ) = 2 π n=1 n · ¸ Vo 2Vo r3 r5 V (r, φ) = + r sen φ + sen 3φ + sen 5φ + · · · 2 π 3 5 · µ ¶¸ 3 1 2 r r5 V (r, φ) = Vo + r sen φ + sen 3φ + sen 5φ + · · · 2 π 3 5

132

CAP´ITULO 7. ECUACIONES DE TIPO EL´IPTICO

Cap´ıtulo 8

T´ ecnicas para resolver problemas de Valor de Frontera (I)

”Los urbanistas hacen canales, los arqueros tiran flechas, los carpinteros trabajan la madera, el hombre sabio se model´ o a s´ı mismo” Sidharta Gantama

133

´ 134CAP´ITULO 8. TECNICAS PARA RESOLVER PROBLEMAS DE VALOR DE FRONTERA (I)

´ 8.1. INTRODUCCION

8.1.

135

Introducci´ on

En temas anteriores hemos resuelto algunos tipo de problemas de valor de frontera a trav´es del uso de series de Fourier. En esta secci´on extendemos las t´ecnicas para trabajar varios problemas que son algo m´as complicados por la naturaleza de las condiciones de frontera o por las ecuaciones diferenciales parciales que involucran. Deber´ıamos enfatizar sobre los m´etodos que se pueden aplicar a diferentes campos, de modo que, por ejemplo no significa que porque usamos un problema de conducci´on de calor para ilustrar un procedimiento particular no se pueda tambi´en aplicar a alg´ un problema de vibraciones, potencial el´ectrico, gravitacional, etc. Veamos cinco casos particulares para ilustrar lo dicho anteriormente.

8.2.

La cuerda vibrante bajo la gravedad

Este caso ya fue estudiado con detalle en los temas 3 y 4, pero se despreciaron los efectos de la gravedad sobre la cuerda. Veamos ahora como se pueden tener en cuenta tales efectos. Consideremos la misma cuerda del tema 3 y supongamos que est´a horizontal a lo largo del eje OX con sus extremos fijos como antes en x = 0 y x = L, respectivamente. Tambi´en vamos a asumir que a la cuerda se le da alguna forma inicial por ejemplo alz´andola y luego solt´andola. Si g es la aceleraci´on debida a la gravedad, la EDP para la cuerda vibrante es 2 ∂2Y 2∂ Y = a −g ∂t2 ∂x2

(8.1)

siendo Y = Y (x, t) el desplazamiento del punto x de la cuerda desde la posici´on de equilibrio (eje OX) en cualquier tiempo t. Escojamos como C.F. Y (0, t) = 0, Y (L, t) = 0,

Y (x, 0) = f (x) ¯ ∂Y (x, t) ¯¯ = 0. ∂t ¯t=0

(8.2)

Si intentamos aplicar el m´etodo de separaci´on de variables para Y = X(x) · T (t) en [8.1], es f´acil demostrar que el m´etodo no se cumple. Y esto se debe a la presencia de g.

´ 136CAP´ITULO 8. TECNICAS PARA RESOLVER PROBLEMAS DE VALOR DE FRONTERA (I)

¿Como resolvemos el problema para poder aplicar el m´etodo de separaci´on de variables, es decir, eliminar g ? Para ello, hagamos Y (x, t) = W (x, t) + Ψ(x), donde W (x, t) es una variable dependiente y Ψ(x) es una funci´on desconocida de x que debemos hallar para poder eliminar g en [8.1]. Sustituyendo en [8.1] la u ´ltima igualdad, se obtiene ∂2W ∂2W = a2 + a2 Ψ00 (x) − g. 2 ∂t ∂x2 Eliminamos g si escogemos Ψ en [8.3] de modo que Ψ00 (x) = Ψ(x) =

(8.3)

g . De aqu´ı a2

gx2 + px + q 2a2

(8.4)

siendo p, q constantes arbitrarias. En tal caso [8.3] llega a ser ∂2W ∂2W = a2 . 2 ∂t ∂x2

(8.5)

Las condiciones de frontera [8.2] en t´erminos de W y Ψ se convierte en W (0, t) = −Ψ(0), W (x, 0) = f (x) − Ψ(x) ¯ ∂W (x, t) ¯¯ W (L, t) = −Ψ(L), = 0. ¯ ∂t

(8.6)

t=0

La ecuaci´on [8.5] tiene ahora la misma forma como la ecuaci´on de la cuerda vibrante sin la gravedad, la cual por supuesto es separable. El u ´nico inconveniente ahora es que las dos primeras condiciones en [8.6] son complicadas por el hecho de que los lados derechos no son cero. Sin embargo, esto no ofrece dificultad porque podemos hacer el lado derecho a trav´es de las selecciones Ψ(0) = 0, Ψ(L) = 0.

(8.7)

De hecho estas dos selecciones son justo las que necesitamos para determinar las dos constantes p y q en [8.4]. Usando las condiciones [8.7] en [8.4] conducen a q = 0,

gL2 −gL + pL = 0 ⇒ p = , q=0 2a2 2a2

de modo que Ψ(x) = −

gx(L − x) . 2a2

(8.8)

´ DE CALOR EN UNA BARRA CON CONDICIONES NO CERO EN LOS EXTREMOS13 8.3. CONDUCCION

Nuestras condiciones de frontera [8.6] llegan a ser W (0, t) = 0, W (L, t) = 0, W (x, 0) = f (x) − Ψ(x), ¯ ∂W (x, t) ¯¯ = 0. ¯ ∂t

(8.9)

t=0

Ahora para resolver el problema recurrimos al problema ya estudiado en cap´ıtulos anteriores, sobre los problemas de V.F. que involucran movimiento vibratorio (problema de la cuerda vibrante) excepto que tenemos aqu´ı W (x, t), y f (x) − Ψ(x). Por tanto las soluci´on es ÃZ ! µ ¶ ∞ L ³ nπx ´ ³ nπx ´ 2 X nπat W (x, t) = [f (x) − Ψ(x)] sen dx sen cos L n=1 L L L 0

(8.10)

de la cual obtenemos el desplazamiento requerido Y (x, t) usando [8.2] Nota Naturalmente podemos obtener [8.10] usando el m´etodo de separaci´on de variables y satisfaciendo las C.F. como antes. N

8.3.

Conducci´ on de calor en una barra con condiciones no cero en los extremos

En el enunciado del problema de Fourier, los extremos de la barra en x = 0 y x = L se mantuvieron ambos a 0o C. Desde un punto de vista f´ısico no hay raz´on de no haber escogido otras dos condiciones, tales como por ejemplo el extremo x = 0 mantenido a 20o C y el extremo x = L a 60o C. El problema de Valor de Frontera revisado en este caso ser´ıa ∂u ∂2u =κ 2 ∂t ∂x

(8.11)

u(0, t) = 20, u(L, t) = 60, u(x, 0) = 100.

(8.12)

Sabemos que aplicando la separaci´on de variables en la ecuaci´on [8.11] produce la soluci´on 2

u(x, t) = e−κλ t (A cos λx + B sen λx)

(8.13)

pero desde el punto de vista matem´atico no se puede satisfacer a´ un la primera condici´on en [8.12] porque no se puede sacar ninguna conclusi´on a menos que el lado derecho en esta

´ 138CAP´ITULO 8. TECNICAS PARA RESOLVER PROBLEMAS DE VALOR DE FRONTERA (I)

condici´on sea cero. Nuestra primera idea podr´ıa ser, ya que la temperatura es un concepto relativo, introducir una nueva escala de temperatura en la cual todas las temperaturas se reduzcan a 20o C. Esto ayudar´ıa con la primera condici´on, pero la segunda condici´on en [8.12] servir´ıa s´olo para no satisfacer nuestro inter´es por hallar la soluci´on. Con un razonamiento an´alogo al tratado en la secci´on [8.2] podr´ıamos realizar la transformaci´on u(x, t) = W (x, t) + Ψ(x)

(8.14)

donde hay que calcular Ψ(x) de modo que satisfaga nuestras necesidades. Usando [8.14], el problema de valor de frontera anterior llega a ser ∂W ∂2W =κ + κΨ00 ∂t ∂x2 W (0, t)

=

20 − Ψ(0); W (x, 0) = 100 − Ψ(x);

W (L, t)

=

60 − Ψ(L).

(8.15)

(8.16)

Para que podamos aplicar el m´etodo de separaci´on de variables debemos escoger Ψ de modo que Ψ00 = 0 ⇒ Ψ = px + q

(8.17)

∂2W ∂W =κ ∂t ∂x2

(8.18)

tambi´en ser´ıa deseable que los lados derechos de las dos primeras condiciones de [8.16] fueran ambos cero. Esto se conseguir´ıa si eligi´eramos Ψ de modo que Ψ(0) = 20, Ψ(L) = 60.

(8.19)

Afortunadamente, las dos constantes arbitrarias p y q son suficientes para satisfacer las dos condiciones en [8.20]. Usando estas condiciones en [8.17] nos da q = 20; 60 = pL + 20 ⇒ p =

40 ; q=0 L

de aqu´ı Ψ(x) =

40 x + 20. L

(8.20)

Aqu´ı podemos llegar a que las condiciones de frontera [8.16] pueden escribirse W (0, t) = 0, W (L, t) = 0, W (x, 0) = 100 − Ψ(x).

(8.21)

8.4. LA CUERDA VIBRANTE CON VELOCIDAD INICIAL NO CERO

139

Para el problema de valor de frontera dado por [8.18] y [8.21] usamos el mismo procedimiento como el problema de Fourier. As´ı de [8.18] encontramos por el m´etodo de separaci´on de variables la soluci´on 2 W (x, t) = e−κλ t (A cos λx + B sen λx) . (8.22) Las dos primeras condiciones en [8.21] llevan a A = 0, λ =

nπ , n = 1, 2, 3 . . . L

de modo que

nπx . (8.23) L Para satisfacer la u ´ltima condici´on en [8.21] primero usamos el principio de superposici´on en [8.23] para obtener la soluci´on W (x, t) = Be−κ

W (x, t) =

∞ X

n2 π 2 L2

bn e−κ

t

sen

n2 π 2 L2

t

sen

n=1

nπx . L

Entonces de la u ´ltima condici´on en [8.21] tenemos 100 − ψ(x) =

(8.24) ∞ X

bn sen

n=1

que bn =

2 L

Z

L

[100 − Ψ(x)] sen 0

nπx dx. L

nπx de modo L (8.25)

Usando estos valores de [8.24] nos da W (x, t), y la soluci´on requerida u(x, t) se obtiene entonces de [8.14] " Z # ∞ X n2 π 2 nπx 40x 2 L nπx u(x, t) = [100 − ψ(x)] sen dx e−κ L2 t sen + + 20. (8.26) L L L L 0 n=1 Nota Es interesante encontrar una interpretaci´ on f´ısica a la funci´on Ψ. Esto se logra teniendo en cuenta que cuando transcurre mucho tiempo, esto es, cuando t → ∞, W (x, t) → 0, y u(x, t) → Ψ(x). Esto significa que Ψ(x) es la temperatura de estado estacionario. Esto tambi´en es claro desde el punto de vista matem´atico, puesto que para una temperatura independiente del tiempo t, [8.11] se reduce a [8.17], lo cual conduce a [8.20]. N

8.4.

La cuerda vibrante con velocidad inicial no cero

En el problema sobre la cuerda vibrante, la pregunta que surge ahora es

´ 140CAP´ITULO 8. TECNICAS PARA RESOLVER PROBLEMAS DE VALOR DE FRONTERA (I)

¿Como influye en la soluci´on en el caso de que la velocidad inicial no sea cero mientras que las otras condiciones no cambian ? La E.D.P. para el movimiento de la cuerda vibrante es

y las C.F. son

∂2Y ∂2Y = a2 2 2 ∂t ∂x

(8.27)

¯ ∂Y ¯¯ = g(x) Y (0, t) = 0, Y (L, t) = 0, Y (x, 0) = f (x), ∂t ¯t=0

(8.28)

(aparte de la acostumbrada sobre acotamiento). Para calcular la soluci´on ya sabemos aplicando el m´etodo de separaci´on de variables ¶ ³ nπx ´ µ nπat nπat Y (x, t) = X(x) · T (t) = sen A sen + B cos . (8.29) L L L Aplicando la superposici´on nos conduce a la soluci´on. ¶ ∞ ³ nπx ´ µ X nπat nπat Y (x, t) = sen an sen + bn cos . L L L n=1

(8.30)

Las dos u ´ltimas condiciones de frontera conducen entonces a exigir ∞ X

f (x) =

n=1 ∞ X

g(x) =

nπx L

(8.31)

nπa nπx an sen . L L

(8.32)

bn sen

n=1

Estas son dos series en la forma seno de Fourier para determinar an y bn , respectivamente. Encontramos

nπa 2 an = L L

Z

L 0

2 L

Z

L

nπx dx L 0 Z L nπx 2 nπx g(x) sen dx ⇒ an = g(x) sen dx. L nπa 0 L bn =

f (x) sen

De aqu´ı Y (x, t)

! nπx nπat = sen nπxL g(x) sen dx sen + L L 0 n=1 Ã Z ! # 2 L nπx nπat + f (x) sen dx cos . L 0 L L ∞ X

"Ã

2 nπa

Z

L

(8.33)

8.5. EJERCICIOS PROPUESTOS

8.5.

141

Ejercicios propuestos

8.1 Una barra de metal de 50cm de longitud cuya superficie est´a aislada tiene una temperatura de 60o C. En t = 0 se aplica a un extremo una temperatura de 30o C y al otro una temperatura de 80o C manteni´endose ambas. Hallar la temperatura de la barra en cualquier tiempo si κ = 0,15 unidades c.g.s. 8.2 Una l´amina de material de difusividad κ est´a acotada por los planos x = 0, x = L. Si las caras planas se mantienen a temperaturas U1 y U2 respectivamente, mientras que la temperatura inicial es U0 , encontrar la temperatura en cualquier punto en cualquier tiempo posterior. 8.3 Una cuerda tiene sus extremos fijos en x = 0, x = L. Supongamos que inicialmente la cuerda tiene una forma parab´olica y que cada punto se mueve en la misma direcci´on con la misma velocidad. Encontrar el desplazamiento de cualquier punto de la cuerda en cualquier tiempo. 8.4 Resolver el problema de valor de frontera ∂u(x, t) ∂ 2 u(x, t) =1+ , 0 < x < 1, t > 0 ∂t ∂x2 u(0, t) = 0, u(1; t) = 0, u(x, 0) = sen πx 8.5 Resolver el problema de valor de frontera 2 ∂ 2 Y (x, t) 2 ∂ Y (x, t) = a , 0 < x < L, t > 0 ∂t2 ∂x2

Y (0, t) = 0,

∂Y (L, t) ∂Y (x, 0) = K, Y (x, 0) = 0, = 0. ∂x ∂t

8.6 Resolver el problema de valor de frontera ∂ 2 Y (x, t) ∂ 2 Y (x, t) π =1+ , 00 2 ∂t ∂x2 2 Y (0, t) = 1,

∂Y ( π2 ; t) π 1 1 ∂Y (x, 0) = − , Y (x, 0) = 1 + x2 − πx, = 0. ∂x 2 2 2 ∂t

Soluciones a los ejercicios propuestos 8.1 u(x, t) = 30 + x +

¶ ∞ µ X 60 + 40 cos nπ n=1

nπ

nπ 2

e−0,15( 50 ) t sen

nπx . 50

´ 142CAP´ITULO 8. TECNICAS PARA RESOLVER PROBLEMAS DE VALOR DE FRONTERA (I)

8.2 u(x, t) = U1 +

∞ X n2 π 2 U2 − U1 nπx x+ bn e−κ L2 t sen con L L n=1

2 [U0 − U1 + (U2 − U0 ) cos nπ]. nπ µ ¶ ∞ X nπat nπat nπx + bn cos 8.3 Y (x, t) = an sen con sen L L L n=1 4αL3 2v0 L an = 2 2 (1 − cos nπ), v0 =velocidad, y bn = 3 3 (1 − cos nπ), n π a n π · ¸ ∞ X 1 2(1 − cos nπ) −n2 π2 t 8.4 u(x, t) = x(1 − x) + 1− e sen nπx. 2 n3 π 3 n=1 bn =

8.5 Y (x, t) = Kx +

α = cte.

∞ 2KL X 1 (2n − 1)πx (2n − 1)πat sen cos x. π n=1 2n − 1 L L

¸ ∞ · x2 4 X (2n − 1)π cos nπ + 2 8.6 Y (x, t) = 1 − − sen(2n − 1)x cos(2n − 1)t. 2 π n=1 (2n − 1)3

Cap´ıtulo 9

T´ ecnicas para resolver problemas de Valor de Frontera(II)

”Uno mismo es el amor a la t´ecnica y el amor a la humanidad” Hip´ocrates

143

´ 144CAP´ITULO 9. TECNICAS PARA RESOLVER PROBLEMAS DE VALOR DE FRONTERA(II)

9.1. VIBRACIONES DE UNA PIEL DE TAMBOR: SERIES DOBLES DE FOURIER145

9.1.

Vibraciones de una piel de tambor: Series dobles de Fourier

En el cap´ıtulo 3 describimos un problema relacionado con las vibraciones de una piel de tambor cuadrada. La ecuaci´on de estas vibraciones est´a dada por µ 2 ¶ ∂2z ∂2z ∂ z 2 =a + 2 (9.1) ∂t2 ∂x2 ∂y siendo z el desplazamiento de un punto (x, y) a partir del plano, el cual es la posici´on de Y

6

•

(x,y)

X

Figura 9.1: τ , siendo τ la tensi´on por unidad de longitud a lo ρ largo de cualquier curva en la piel de tambor que se asume constante y ρ la densidad (masa por unidad de ´area). equilibrio, en cualquier tiempo t y a2 =

Consideremos que la piel de tambor est´a situada como en la figura [9.1], y que las aristas est´an fijas y son de longitud unitaria. Asumimos tambi´en que la piel de tambor se pone a vibrar al darle alguna forma inicial, como se describe por ejemplo, con la ecuaci´on de la superficie z = f (x, y), y luego se suelta. I Formalicemos desde el punto de vista matem´atico el problema. La EDP para el movimiento viene dada por la ecuaci´on µ 2 ¶ ∂2z ∂ z ∂2z 2 = a + . (9.2) ∂t2 ∂x2 ∂y 2 Que las aristas est´en fijas implica tener las cuatro condiciones de frontera z(0, y, t) = 0; z(1, y, t) = 0; z(x, 0, t) = 0; z(x, 1, t) = 0.

(9.3)

´ 146CAP´ITULO 9. TECNICAS PARA RESOLVER PROBLEMAS DE VALOR DE FRONTERA(II)

El hecho de que a la piel de tambor se le de una forma inicial especificada conduce a z(x, y, 0) = f (x, y).

(9.4)

Finalmente, el hecho de que pueda soltar la piel de tambor despu´es de haberle dado esta forma nos dice que ∂z(x, y, 0) = 0, 0 < x < 1, 0 < y < 1, t > 0. ∂t

(9.5)

Naturalmente partimos del hecho de que z debe estar acotada. II A continuaci´on demos soluci´on a la ecuaci´on [9.2]. Partamos de la condici´on de que [9.2] admite una soluci´on de la forma Z(x, y, t) = X(x) · Y (y) · T (t). Sustituyendo en [9.2] se obtiene X 00 Y 00 T 00 = + a2 T X Y

XY T 00 = a2 (X 00 Y T + XY 00 T ) ⇒

(9.6)

Nota Se ha obtenido [9.6] dividiendo por a2 XY T .

N

En [9.6] el lado izquierdo depende s´olo de t; y el lado derecho de x e y. Se tiene, como ya sabemos por cap´ıtulos anteriores, que cada lado debe ser una constante, la cual denotamos por −λ2 , esto es 00 Y 00 T 00 2 X = −λ ; + = −λ2 . a2 T X Y

En [9.7], escrib´amosla as´ı

X 00 =− X

µ

Y 00 + λ2 Y

(9.7)

¶ (9.8)

que a su vez cada lado debe ser una constante, denot´emos la por −µ2 . Entonces Y 00 X 00 = −µ2 ; = −(λ2 − µ2 ). X Y

(9.9)

Si hacemos λ2 − µ2 = β 2 ⇒ λ2 = µ2 + β 2 . De las ecuaciones [9.9] y de la primera ecuaci´on de [9.7] tenemos X 00 + µ2

= 0

00

= 0

2

Y +β Y 00

2

2

2

T + a (µ + β )T

= 0.

(9.10)

9.1. VIBRACIONES DE UNA PIEL DE TAMBOR: SERIES DOBLES DE FOURIER147

Resolviendo las EDO’s correspondientes se obtiene X

=

c1 cos µx + c2 sen µx

(9.11)

Y

=

T

=

c3 cos βy + c4 sen βy p p c5 cos a µ2 + β 2 t + c6 sen a µ2 + β 2 t.

De la primera y tercera condiciones en [9.3] encontramos c1 = c3 = 0, de ah´ı que ³ ´ p p Z = c2 c4 sen µx sen βy c5 cos a µ2 + β 2 t + c6 sen a µ2 + β 2 t . (9.12) De la segunda y cuarta condiciones en [9.3] encontramos µ = mπ β = nπ, m, n = 1, 2, 3 . . ., de modo que ³ ´ p p Z = c2 c4 sen mπx sen nπy c5 cos a m2 + n2 πt + c6 sen a m2 + n2 πt . La condici´on [9.5] conduce a c6 = 0 de modo que p Z = B sen mπx sen nπy cos a m2 + n2 πt, B = c2 c4 c5 .

(9.13)

Para satisfacer [9.4] tendremos que usar el principio de superposici´on, esto es, la sumatoria de soluciones de la forma [9.13] sobre todos los valores enteros de m y n. Esto conduce a la soluci´on de serie doble Z=

∞ X ∞ X

Bmn sen mπx sen nπy cos a

p m2 + n2 πt

(9.14)

m=1 n=1

donde hemos reemplazado B en [9.13] por Bmn puesto que cada soluci´on puede tener un coeficiente diferente. Esto satisfar´a la condici´on [9.13] si f (x, y) =

∞ X ∞ X

Bmn sen mπx sen nπy.

(9.15)

m=1 n=1

Podemos escribir [9.15] f (x, y) =

∞ X

Ã

m=1

∞ X

! Bmn sen nπy sen mπx

(9.16)

n=1

esto es f (x, y) =

∞ X

bm sen mπx,

(9.17)

m=1

con bm =

∞ X n=1

Bmn sen nπy.

(9.18)

´ 148CAP´ITULO 9. TECNICAS PARA RESOLVER PROBLEMAS DE VALOR DE FRONTERA(II)

Puesto que [9.17] representa una serie de Fourier en x se tiene por los m´etodos ya conocidos Z 2 1 f (x, y) sen mπxdx. (9.19) bm = 1 0 Puesto que [9.18] representa una serie de Fourier en y, se tiene de forma similar Bmn =

2 1

Z

1

bm sen nπydy.

(9.20)

0

Sustituyendo [9.19] en [9.20] encontramos Z

Z

1

1

Bmn = 4

f (x, y) sen mπx sen nπydxdy. 0

(9.21)

0

Reemplazando [9.21] en [9.14] se obtiene la soluci´on deseada ∞ X ∞ · Z X Z = 4 m=1 n=1

0

1

Z

¸

1

f (x, y) sen mπx sen nπydxdy · 0

p · sen mπx sen nπy cos a m2 + n2 πt.

(9.22)

Nota Por razones obvias la serie [9.15] con coeficientes en [9.21] se llama una serie seno doble de Fourier correspondiente a f (x, y). Podr´ıamos haber obtenido en forma similar series coseno doble de Fourier o series dobles de Fourier involucrando senos y cosenos. Naturalmente la generalizaci´on a dimensiones superiores conducen a series triples, cu´adruples, etc. de Fourier. III Es muy interesante estudiar, aunque brevemente, el posible significado f´ısico de varios t´erminos en la serie Z=

∞ X ∞ X

Bmn sen mπx sen nπy cos a

p

m2 + n2 πt.

m=1 n=1

Para ello, asumimos que f (x, y) es tal que todos los t´erminos de la serie anterior son cero excepto en aquel para la cual m = 3, n = 3. Entonces este t´ermino es p B33 sen 3πx sen 3πy cos a 32 + 32 πt. (9.23) Como en el caso de la cuerda, llamamos esto un nodo de vibraci´ on. Se notar´a que, para todos los valores de tiempo t, el desplazamiento [9.23] ser´a cero a lo largo de las 1 2 1 2 l´ıneas x = , x = , y = , y = como se indica en la siguiente figura. Si pudi´eramos 3 3 3 3

9.1. VIBRACIONES DE UNA PIEL DE TAMBOR: SERIES DOBLES DE FOURIER149

(0, 1)

6

(1, 1)

2 3

1 3

(0, 0)

1 3

2 3

(1, 0)

Figura 9.2: tomar una pel´ıcula de la vibraci´on que ocurre en un intervalo de tiempo, observar´ıamos que los segmentos de piel de un tambor dentro de los peque˜ nos cuadrados acotados por estas l´ıneas nodales vibran cada uno, algunas veces en una direcci´on y luego en la otra. Por ejemplo, en la figura [9.2] hemos indicado este movimiento usando sombra para indicar el movimiento en una direcci´on y sin sombra para el movimiento en la direcci´on opuesta donde los movimientos ocurren simult´aneamente. El hecho de que dos cuadrados adyacentes est´en vibrando en direcciones opuestas en un tiempo dado a menudo se indica diciendo que las vibraciones de estas regiones est´an fuera de fase entre s´ı. Nota Lo que se ha mostrado en la figura [9.2] es, por supuesto, una fotograf´ıa en un tiempo particular. En otro tiempo la fotograf´ıa podr´ıa cambiar de modo que las direcciones de vibraci´on se invierten. N Al observar el factor tiempo en [9.23] es evidente que existe una periodicidad en las fotograf´ıas, esto es, si encontramos la piel de tambor en un estado particular de movimiento en un instante de tiempo, entonces estar´a exactamente en el mismo estado en alg´ un tiempo m´ınimo m´as tarde llamado per´ıodo. La frecuencia correspondiente, la cual es el rec´ıproco de este per´ıodo, est´a dada para el caso [9.23] por √ r 3√ 3 2τ πa 32 + 32 = 2a = . f33 = 2π 2 2 ρ

´ 150CAP´ITULO 9. TECNICAS PARA RESOLVER PROBLEMAS DE VALOR DE FRONTERA(II)

IV De una manera similar, cada t´ermino de [9.14] correspondiente a un par de valores m y n representa un modo particular de vibraci´on teniendo una frecuencia caracter´ıstica dada por √ r m 2 + n2 τ fmn = . (9.24) 2 ρ Por brevedad podemos hablar del modo (m, n) o la frecuencia del modo (m, n).

9.2.

Modos diferentes con la misma frecuencia

Puede suceder que existan dos o m´as modos diferentes con la misma frecuencia. Sean dos t´erminos solamente del desarrollo [9.14] correspondientes a los modos (1, 2), (2, 1). Encontramos que la suma de estos t´erminos es √ (9.25) (B12 sen πx sen 2πy + B21 sen 2πx sen πy) cos 5πat. Se ve de inmediato que para todas las selecciones de los coeficientes B12 y B21 la frecuencia est´a dada por √ r 5πa 1 5τ f12 = = . 2π 2 ρ Si en particular B12 = B21 , entonces el desplazamiento para este caso est´a dado por √ Y (x, t) = B12 cos 5πat(sen πx sen 2πy + sen 2πx sen πy); √ Y (x, t) = B12 cos 5πat{(sen πx(2 sen πy cos πx) + Y (x, t)

+ (2 sen πx cos πx) sen πy}; √ = 2B12 cos 5πat sen πx sen πy(cos πx + cos πy).

De lo cual se puede concluir que las l´ıneas nodales son x ± y = 1 ( para lo cual cos πx + cos πy = 0), como se indica por las l´ıneas sombreadas en la figura [9.3]. Tambi´en se indican en la figura sombreadas y sin sombrear las direcciones de las vibraciones de las regiones triangulares acotadas por estas l´ıneas en un instante particular del tiempo, invirti´endose ´estas a medio per´ıodo m´as tarde. Algunas veces nos referimos a dos o m´as modos diferentes que tienen la misma frecuencia como modos degenerados. Como hemos visto anteriormente, todos los modos correspondientes a los casos m 6= n son degenerados. La serie [9.14] muestra que el desplazamiento generado en una piel de tambor se puede considerar como una suma o superposici´on de desplazamientos correspondientes a los varios modos.

´ DE CALOR CON RADIACION ´ 9.3. CONDUCCION

151

6 (0, 1)

(1, 1) @ @

@

¡ ¡ ¡

@

¡ ¡ @¡ ¡@ ¡ @ ¡ @ @ ¡ @

¡ (0, 0)

@ (1, 0)

-

Figura 9.3: ¿Una piel de tambor cuadrada puede crear un tono musical -¡ en analog´ıa con la cuerda vibrante!- ? Recordemos que en el caso de la cuerda vibrante tenemos una frecuencia m´as peque˜ na o fundamental, y que hemos definido m´ usica como el estado donde todas las frecuencias m´as altas o arm´onicas son m´ ultiplos enteros de esta frecuencia fundamental. Si usamos la misma definici´on aqu´ı, resulta que tenemos una mezcla de m´ usica y ruido (esto es, no m´ usica), puesto que hay frecuencias que son enteros m´ ultiplos de una frecuencia fundamental como tambi´en frecuencias que no lo son. Una consideraci´on importante a este respecto son las magnitudes de los coeficientes Bmn , los cuales sirven para indicar aquellos modos y correspondientes frecuencias de gran importancia.

9.3. 9.3.1.

Conducci´ on de calor con radiaci´ on Planteamiento del problema

En el problema de Fourier que involucra una barra de metal de longitud L, las condiciones de frontera en los extremos x = 0, x = L consideradas hasta ahora asumen que los extremos se mantienen a ciertas temperaturas o est´an aislados, o una combinaci´on de ´estas. Una posibilidad distinta, pero interesante, que puede surgir es el caso donde uno de los extremos, digamos x = 0, mientras que el otro extremo x = L irradia a un medio cincundante,

´ 152CAP´ITULO 9. TECNICAS PARA RESOLVER PROBLEMAS DE VALOR DE FRONTERA(II)

el cual asume que est´a tambi´en a la temperatura 0o C. Podemos asumir que la distribuci´on de temperatura inicial est´a especificada por f (x).

9.3.2.

Formalizaci´ on matem´ atica

Como en el problema de Fourier, asumimos que la superficie convexa de la barra est´a aislada de modo que la ecuaci´on de calor est´a dada como antes por ∂u ∂2u = κ 2. ∂t ∂x

(9.26)

La u ´nica cuesti´on que podemos plantearnos en relaci´on a las condiciones de frontera, es saber la formulaci´on matem´atica de la condici´on de radiaci´on en el extremo x = L. Para obtener la expresi´on matem´atica, recordemos primero que el flujo de calor a trav´es del extremo x = L est´a dado por −κux (L, t), donde κ es la conductividad t´ermica la cual se asume como constante. Teniendo en cuenta la ley de Newton del tipo de enfriamiento de radiaci´on (esto es, donde el flujo es proporcional a la diferencia entre la temperatura u(x, t)|x=L y la temperatura del medio cincundante tomada como cero) obtenemos la condici´on de frontera requerida. ux (L, t) = −hu(L, t), h > 0

(9.27)

u(0, t) = 0; u(x, 0) = f (x).

(9.28)

las demas C.F.

9.3.3.

Soluci´ on del problema

Sabemos por el m´etodo de separaci´on de variables que 2

u(x, t) = e−κλ t (A cos λx + B sen λx).

(9.29)

Para satisfacer la primera condici´on de frontera en [9.26], requerimos A = 0, de modo que 2

u(x, t) = Be−κλ t sen λx. λ 2 2 De la C.F. [9.25] vemos que Be−κλ t cos λL = −hBe−κλ t sen λL, esto es tan λL = − . h Para determinar los valores de λ que satisfacen esta u ´ltima ecuaci´on, escribimos α = λL, por tanto α λ (9.30) tan λL = tan α = − ⇒ tan α = − h Lh

´ DE CALOR CON RADIACION ´ 9.3. CONDUCCION

153

¿Como resolvemos esta ecuaci´on ? La ecuaci´on [9.30] est´a expresada en forma trigonom´etrica, y de la cual hay que obtener los valores de α. Sus ra´ıces se pueden obtener de la intersecci´on de y

=

y

=

tan α α − hL

(9.31)

que representamos en la figura [9.4] Y 6

1 y=− hL α

b

−π

b

b b − π2bb 0 b

π 2

b b

α1

3π 2

π

2π

α2

b

α

b

b• b

b

b

b

b b• b

b b

Figura 9.4: 1 α y la funci´on tangente hL y = tan α son infinitas (positivas) y por ende hay infinitos valores positivos de λ correspondientes, denotadas por λ1 , λ2 · · ·. De aqu´ı se sigue que existan infinitas soluciones dadas Las ra´ıces αi obtenidas por la intersecci´on de la recta y = −

´ 154CAP´ITULO 9. TECNICAS PARA RESOLVER PROBLEMAS DE VALOR DE FRONTERA(II)

por 2

u(x, t) = Be−κλn t sen λn x.

(9.32)

Para satisfacer la segunda condici´on de frontera u(0, t) = 0, u(x, 0) = f (x), superponemos las soluciones [9.32] para obtener u(x, t) =

∞ X

2

bn e−κλn t sen λn x.

(9.33)

n=1

La segunda condici´on nos lleva a requerir u(x, 0) = f (x) =

∞ X

2

bn e−κλn 0 sen λn x =

n=1

∞ X

bn sen λn x

(9.34)

n=1

lo cual como en el problema de Fourier, requiere la expansi´on de f (x) en una serie de ∞ X funciones trigonom´etricas. La serie f (x) = bn sen λn x se asemeja mucho a la serie seno n=1

de Fourier excepto por el hecho de que los valores de λn no est´an igualmente espaciados -¡ nπ all´ı los λn = ! L El mismo m´etodo usado en la serie seno de Fourier para hallar los coeficientes tambi´en funcionar´a en este caso si se cumple que Z

L

sen λm x sen λn xdx = 0, λn 6= λm .

(9.35)

0

No importa el m´etodo que utilicemos. Si multiplicamos ambos lados de [9.34] por sen λm x, y luego integrando entre x = 0 y x = L encontramos Z

∞ X

L

f (x) sen λm xdx = 0

usando [9.35]

Z

Z

Z f (x) sen λn xdx = bn

0

sen λm x sen λn xdx 0

n=1

L

L

bn

L

(sen λn x)(sen λn x)dx ⇒ 0

Z

L

f (x) sen λn xdx 0 bn = Z 0

L

(9.36) (sen λn x)2 dx

´ DE CALOR CON RADIACION ´ 9.3. CONDUCCION

155

el denominador de [9.36] es Z

L

(sen λn x)2 dx =

0

de aqu´ı que bn =

2h Lh + cos2 λn L

Sustituyendo [9.38] en u(x, t) =

∞ X

Z

Lh + cos2 λn L 2h

(9.37)

L

f (x) sen λn xdx.

(9.38)

0 2

bn e−κλn t sen λn x se tiene que

n=1

u(x, t) =

∞ µ X n=1

2h Lh + cos2 λn L

¶Z

L 0

2

f (x) sen λn xdx · e−κλn t sen λn x.

(9.39)

´ 156CAP´ITULO 9. TECNICAS PARA RESOLVER PROBLEMAS DE VALOR DE FRONTERA(II)

Cap´ıtulo 10

M´ etodos de Diferencias Finitas (I)

”Los m´etodos num´ericos de resoluci´ on de EDP’s funcionan, aunque con limitaciones. Esto constituye un reto que conlleva el an´ alisis del error y la legibilidad” T.H. Mathews H.D.Fink ” A la naturaleza se la domina obedeci´endola” F. Bacon

157

158

´ CAP´ITULO 10. METODOS DE DIFERENCIAS FINITAS (I)

´ 10.1. INTRODUCCION

10.1.

159

Introducci´ on

Ya sabemos por los cap´ıtulos anteriores que muchos problemas en ciencia aplicada, f´ısica e ingenier´ıa se modelan matem´aticamente mediante ecuaciones en derivadas parciales. Comenzamos con este cap´ıtulo los m´etodos de la diferencias finitas que se basan en las f´ormulas para aproximar las derivadas primera y segunda de una funci´on. Recordemos algunas consideraciones te´oricas ya tratadas, antes de desarrollar lo que denominaremos la construcci´on de la ecuaci´on en diferencias. Comenzamos clasificando -como se hizo en los cap´ıtulos 1 y 2 con m´as detalle- los tres tipos de ecuaciones que investigaremos y resolveremos un problema f´ısico de cada clase. Una EDP de la forma AΦxx + BΦxy + CΦyy = f (x, y, Φ, Φx , Φy ) siendo A, B, C ∈ R, se llama casi-lineal y hay tres tipos a) Si B 2 − 4AC < 0, se llama EDP El´ıptica. b) Si B 2 − 4AC = 0, se llama EDP Parab´olica. c) Si B 2 − 4AC > 0, se llama EDP Hiperb´olica En este cap´ıtulo estudiaremos los m´etodos en diferencias finitas para las ecuaciones hiperb´olicas.

10.2.

Ecuaci´ on de ondas

Como ejemplo de una EDP hiperb´olica ya conocemos por los cap´ıtulos 3,4 y 5 la ecuaci´on de ondas utt (x, t) = a2 uxx (x, t), 0 < x < L, 0 < t < b (10.1) con las C.F. u(0, t) = 0, u(L, t) = 0, 0 ≤ t ≤ b y las C. I. u(x, 0)

= f (x), 0 ≤ x ≤ L

ut (x, 0)

= g(x), 0 < x < L

(10.2)

´ CAP´ITULO 10. METODOS DE DIFERENCIAS FINITAS (I)

160

La ecuaci´on de ondas modela el desplazamiento u(x, t) desde su posici´on de equilibrio de una cuerda el´astica vibrante cuyos extremos, de coordenadas x = 0, x = L est´an fijos. En los cap´ıtulos 3,4 y 5 hemos determinado la soluci´on exacta de la ecuaci´on de ondas por medio de las series de Fourier, aqu´ı vamos a usar este problema como prototipo de la situaci´on que se da en las EDP’s hiperb´olicas a trav´es de los m´etodos en diferencias.

10.3.

Construcci´ on de la ecuaci´ on en diferencias

Hagamos una partici´on del rect´angulo R = {(x, t) ∈ R2 , 0 ≤ x ≤ L, 0 ≤ t ≤ b} en una malla que consta de n − 1 por m − 1 rect´angulos de lados ∆x = h, ∆t = k, como se muestra en la figura [Fig. 10.1] 6 .. . tj+1

•

tj

•

•

tj−1

•

•

.. . t2 t1 x1

x2

···

xi−1

xi

· · · xi+1

xn−1

xn

-

Figura 10.1: Empezamos por la fila de abajo donde t = t1 = 0, ya sabemos que la soluci´on es f (xi ) = u(xi , t1 ). Ahora vamos a usar una ecuaci´on en diferencias para calcular en las filas sucesivas, las aproximaciones a la soluci´on exacta, que en los puntos de la malla son u(xi , tj ). O sea, para cada j = 2, 3, 4, . . ., calcularemos {ui,j ' u(xi , tj ), i = 1, 2, 3, . . .}.

´ DE LA ECUACION ´ EN DIFERENCIAS 10.3. CONSTRUCCION

161

La f´ormulas de diferencias centradas para aproximar utt (x, t) y uxx (x, t) utt (x, t) =

u(x, t + k) − 2u(x, t) + u(x, t − k) + o(k 2 ) k2

(10.3)

u(x + h, t) − 2u(x, t) + u(x − h, t) + o(h2 ). (10.4) h2 El espacio entre los puntos de la malla es uniforme en todas las filas xi+1 = xi +h; xi−1 = xi − h; y tambi´en es uniforme en todas las columnas tj+1 = tj + k (tj−1 = tj − k). uxx (x, t) =

Teniendo esto en cuenta, obtenemos la ecuaci´on en diferencias eliminando los t´erminos de orden o(k 2 ) y o(h2 ) de las relaciones [10.3] y [10.4], usando la aproximaci´on ui,j en vez de u(xi , tj ) en dichas relaciones [10.3] y [10.4]y sustituyendo en [10.1] nos da ui+1,j − 2ui,j + ui−1,j ui,j+1 − 2ui,j + ui,j−1 = a2 k2 h2

(10.5)

que es la ecuaci´on en diferencias que usaremos como aproximaci´on a la ecuaci´on diferencial [10.1]. Si escribimos [10.5] as´ı ui,j+1 − 2ui,j + ui,j−1 = y llamando r =

k 2 a2 (ui+1,j − 2ui,j + ui−1,j ), h2

ka se tiene h ui,j+1 − 2ui,j + ui,j−1 = r2 (ui+1,j − 2ui,j + ui−1,j )

(10.6)

reordenando los t´erminos de [10.6], podemos determinar las aproximaciones a la soluci´on en los puntos de la fila (j + 1)-´esima de la malla, supuesto que conocemos las aproximaciones a la soluci´on en los puntos de las filas anteriores j-´esima y (j − 1)-´esima ui,j+1 = (2 − 2r2 )ui,j + r2 (ui+1,j + ui−1,j ) − ui,j−1 ,

i = 2, 3, 4, . . . n − 1.

(10.7)

para mayor comprensi´on did´actica mostramos en la Fig. [10.2] la posici´on en la malla de los cuatro valores conocidos que aparecen en el miembro derecho de la expresi´on [10.7], los que se usan para determinar la aproxiamci´on ui,j+1 . Nota Hay que tener cuidado al usar la f´ormula [10.7] si el error cometido en una etapa de los c´alculos no se amplifica en las etapas posteriores, entonces se dice que el m´etodo es estable. Para garantizar la estabilidad de la f´ormula [10.7] es necesario que r=

ak ≤ 1. h

´ CAP´ITULO 10. METODOS DE DIFERENCIAS FINITAS (I)

162

Hay otros esquemas, llamados m´etodos impl´ıcitos, que son de desarrollo m´as complejo pero no imponen restricciones sobre r para que se tenga estabilidad. N • ui,j−1

• r2 ui−1,j

•

(2 − 2r2 )ui,j

•r2 u i+1,j

•−u i,j−1 Figura 10.2: Esquema de la Ecuaci´on en Diferencias (EED) para la ecuaci´on de ondas

10.4.

Valores iniciales

Si queremos usar la f´ormula [10.7] para calcular las aproximaciones en los puntos de la tercera fila de la malla, es necesario disponer de las aproximaciones en los puntos de las filas primera y segunda. Los valores de la 1a fila, vienen dados por la funci´on f . Sin embargo, los valores de la 2a fila no se suelen proporcionar, por ello se usa la funci´on g(x), dada en el contorno para conseguir las aproximaciones en los puntos de esta 2a fila. Fijemos x = xi en la frontera interior de R y apliquemos la f´ormula de Taylor de orden uno para desarrollar u(x, t) alrededor de (xi , 0); para el valor u(xi , k) se verifica u(xi , k) = u(xi , 0) + ut (xi , 0)k + o(k 2 )

(10.8)

como u(xi , 0) = f (xi ) = fi ; ut (xi , 0) = g(xi ) = gi . Usemos estos valores en [10.8] para obtener la f´ormula con que conseguimos las aproximaciones num´ericas en los puntos de la

10.5. CUANDO SE CONOCEN DOS FILAS EXACTAMENTE

163

segunda fila (recordemos que t2 = k) ui,2 = fi + kgi , i = 2, 3, 4, . . . , n − 1.

(10.9)

Normalmente ui,2 6= u(xi , t2 ), as´ı que el error introducido al usar la f´ormula [10.9] se propagar´a a toda la malla sin atenuarse cuando usemos el esquema dado por la f´ormula [10.7]. Por consiguiente, para evitar que los valores ui,2 calculados por [10.9] introduzcan en el proceso un error de tratamiento apreciable, es aconsejable que se tome un tama˜ no de peso k muy peque˜ no. A menudo se da el caso de que la funci´on f (x) dada en el contorno es dos veces derivable en el intervalo, con lo cual tenemos que uxx (x, 0) = f 00 (x), igualdad que nos permite usar la f´ormula de Taylor de orden n = 2 para obtener una aproximaci´on mejorada a los valores de la segunda fila de la malla. Para hacer esto, volvemos a la ecuaci´on de ondas y, usando la relaci´on entre las derivadas parciales segundas, obtenemos utt (xi , 0) = a2 uxx (xi , 0) = a2 f 00 (x) = a2

fi+1 − 2fi + fi−1 + o(h2 ). h2

(10.10)

Recordando que la f´ormula de Taylor de orden dos es u(x, k) = u(x, 0) + ut (x, 0)k +

utt (x, 0)k 2 + o(k 3 ). 2

(10.11)

Aplicando [10.11] en el punto x = xi , junto a las expresiones [10.9] y [10.10] se obtiene u(xi , k) = fi + kgi +

a2 k 2 (fi+1 − 2fi + fi−1 ) + o(h2 )o(k 2 ) + o(k 3 ) 2h2

(10.12)

ak ya que r = , podemos simplificar [10.12] y obtener la siguiente f´ormula de diferencias h que nos proporciona aproximaciones sucesivas num´ericas mejoradas a los elementos de la segunda fila ui,2 = (1 − r2 )fi + kgi +

r2 (fi+1 − fi−1 ), i = 2, 3, 4, . . . , n − 1. 2

10.5.

Cuando se conocen dos filas exactamente

10.5.1.

La soluci´ on de D’ Alembert

(10.13)

El matem´atico franc´es Jean Le Rond D’ Alembert (1717-1783) descubri´o que u(x, t) = θ1 (x − at) + θ2 (x + at)

(10.14)

164

´ CAP´ITULO 10. METODOS DE DIFERENCIAS FINITAS (I)

es la soluci´on de la ecuaci´on de ondas [10.1] en el intervalo [0, L], si ambas funciones θ1 y θ2 son dos veces derivables. Ya en el apartado [3.3.2] del cap´ıtulo 3 pudimos comprobar que [10.14] satisface [10.1]. La soluci´on particular que verifica las C.I. y las C.C. u(x, 0) = f (x), ut (x, 0) = 0 viene dada por las extensiones impares y peri´odicas de per´ıodo 2L definidas para x ∈ [0, L] f (x) por θ2 (x) = θ1 (x) = , como se demostr´o en el apartado citado anteriormente. 2

10.5.2.

Cuando se conocen dos filas exactamente

La precisi´on de las aproximaciones num´ericas mediante la f´ormula [10.7] depende del error de truncamiento de las f´ormulas que se utilizan para convertir la EDP en una ecuaci´on en diferencias. Aunque es raro que se conozcan los valores de la soluci´on exacta en la segunda fila, si esto fuera posible entonces, tomando como incremento k = ah en el eje de la variable t, el proceso generar´ıa la relaci´on exacta en todos los dem´as puntos de la malla. Teorema 10.1 Supongamos que los valores en las dos primeras filas de la malla ui,1 = u(xi , 0), ui,2 = u(xi , k) para i = 1, 2, 3, . . . , n, son los que toma la soluci´ on exacta h de la ecuaci´ on de ondas [10.1]. Si el tama˜ no del paso en el eje de la variable t es k = , a entonces r = 1 y la f´ ormula [10.7] se transforma en ui,j+1 = ui+1,j + ui−1,j − ui,j−1 .

(10.15)

Adem´as, en este caso, las soluciones obtenidas mediante el m´etodo de las diferencias finitas [10.15] son exactas (¡ no tenemos en cuenta los errores de redondeo introducidos por el ordenador !) en todos los nodos de la malla. Nota El teorema [10.1], anterior no da la garant´ıa de que las soluciones num´ericas sean exactas cuando los c´alculos se realizan usando las f´ormulas ui,2 = fi + kgi , i = 2, 3, 4, . . . , n − 1 ui,2 = (1 − r2 )fi + kgi +

r2 (fi+1 + fi−1 ), i = 2, 3, 4, . . . , n − 1 2

(10.16) (10.17)

10.5. CUANDO SE CONOCEN DOS FILAS EXACTAMENTE

165

como aproximaciones de los ui,2 de la segunda fila. De hecho, se introduce un error de truncamiento si ui,2 6= u(xi , k) para alg´ un i, 1 ≤ i ≤ n. Por esta raz´on, es conveniente hacer los c´alculos de las mejores aproximaciones posibles a los valores de la segunda fila usando las aproximaciones de Taylor de segundo orden dadas por la expresi´on [10.17]. N

10.5.3.

Primer ejemplo

Utilizar el m´etodo de las diferencias finitas (MDF) para resolver la ecuaci´on de ondas de una cuerda vibrante utt (x, t) = 4uxx (x, t), 0 < x < 1, 0 < t < 0,5 con las C.F. u(0, t) = 0, u(1, t) = 0, 0 ≤ t ≤ 0,5 y las C.I. u(x, 0) = f (x) = sen(πx) + sen(2πx), 0 ≤ x ≤ 1 ut (x, 0) = g(x) = 0, 0 ≤ x ≤ 1 Soluci´ on ak Elegimos convenientemente h = 0,1; k = 0,05. Puesto que a = 2, entonces r = = h 2 · 0,05 = 1. Como g(x) = 0, y r = 1 la f´ormula [10.17] para calcular los valores de la 0,1 segunda fila queda fi−1 + fi+1 ui,2 = , i = 1, 2, 3, . . . , 9. (10.18) 2 Sustituyendo r = 1 en la ecuaci´on [10.17], obtenemos la ecuaci´on en diferencias, ya simplificada ui,j+1 = ui+1,j + ui−1,j − ui,j−1 . (10.19) Usando las f´ormulas dadas en [10.18] y, sucesivamente, en [10.19] generamos las aproximaciones a los valores u(x, t) que se recogen en la tabla [10.1] para 0 < xi < 1, y , 0 ≤ tj ≤ 0,5. Los valores num´ericos dados en la tabla [10.1] coinciden en m´as de seis cifras decimales con los correspondientes a la soluci´on exacta u(x, t) = sen(πx) cos(2πt) + sen(2πx) cos(4πt)

´ CAP´ITULO 10. METODOS DE DIFERENCIAS FINITAS (I)

166

tj 0.00 0.05 0.10 0.15 .. . 0.50

x2 0.896802 0.769421 0.431636 0.000000 .. . 0.278768

x3 1.538842 1.328438 0.769421 0.051599 .. . 0.363271

x4

x5

x6

···

x10 -0.27876 -0.18163 · · .. . -0.89680

Cuadro 10.1: Soluci´on de la ecuaci´on de ondas 4uxx (x, t) = utt (x, t) del ejemplo 1

10.5.4.

Segundo ejemplo

Usar el m´etodo de las diferencias finitas para resolver la ecuaci´on de ondas de una cuerda vibrante utt (x, t) = 4uxx (x, t), 0 < x < 1, 0 < t < 0,5 con las C.F. u(0, t) = 0, u(1, t) = 0, 0 ≤ t ≤ 1 y las C.I. u(x, 0) = f (x) =

  x

0≤x≤

 1,5 − 1,5x

3 5

3 5

≤x≤1

ut (x, 0) = g(x) = 0, 0 < x < 1. Soluci´ on Elegimos convenientemente h = 0,1, k = 0,05. Puesto que a = 2 entonces tenemos que r = 1. Usando las f´ormulas ya citadas en le ejercicio anterior generamos las aproximaciones a los valores u(x, t) que se recogen en la tabla [10.2] para 0 ≤ xi ≤ 1, 0 ≤ tj ≤ 0,5.

10.6.

Ejercicios propuestos

10.1 Demostrar por sustituci´on directa que u(x, t) = sen(nπx) cos(2nπt) es una soluci´on de la ecuaci´on de ondas utt (x, t) = 4uxx (x, t) para cada n = 1, 2, 3, . . . 10.2 Demostrar por sustituci´on directa que u(x, t) = sen(nπx) cos(anπt) es una soluci´on de la ecuaci´on de ondas utt (x, t) = a2 uxx (x, t) para cada n = 1, 2, 3, . . .

10.6. EJERCICIOS PROPUESTOS

tj 0.00 0.05 ··· .. . 0.45 0.50

x2 0.100 0.100 ··· ··· .. . -0.150 -0.150

167

x3 0.200 0.200 ···

x4

x5

x6

···

.. . -0.300 -0.300

x1 0 0.150 0.150 ··· ··· .. . -0.100 -0.100

Cuadro 10.2: Soluci´on de la ecuaci´on de ondas 4uxx (x, t) = utt (x, t) del ejemplo 2

10.3 Supongamos que la posici´on y velocidad iniciales de la cuerda son u(x, 0) = f (x); ut (x, 0) = ´ 0, respectivamente. Demostrar que la soluci´on de DAlembert para este caso es u(x, t) =

f (x + at) + f (x − at) 2

10.4 Usar el m´etodo de las diferencias finitas para calcular las tres primeras filas de la soluci´on aproximada de la ecuaci´on de ondas dada, realizando las operaciones a mano o con calculadora a) utt (x, t) = 4uxx (x, t), para 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ t ≤ 0,5 con las C.F. u(0, t) = 0, u(1, t) = 0, 0 ≤ t ≤ 0,5 y las C.I. u(x, 0) = f (x) = sen πx, 0 ≤ x ≤ 1 ut (x, 0) = g(x) = 0, 0 ≤ x ≤ 1. Tomar h = 0,2, k = 0,1. b) utt (x, t) = 4uxx (x, t), para 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ t ≤ 0,5 con las C.F. u(0, t) = 0, u(1, t) = 0, 0 ≤ t ≤ 0,5 y  5x 3  0≤x≤  2 5 las C.I. u(x, 0) = f (x) = .  15 − 15x 3  ≤x≤1 4 5 Tomar h = 0,2, k = 0,1. 10.5 En la ecuaci´on ut (x, t) = 9uxx (x, t) ¿Qu´e relaci´on debe existir entre h y k para que la ecuaci´on en diferencias que se obtenga venga dada por ui,j+1 = ui+1,j + ui−1,j − ui,j−1 ? 10.6 ¿Qu´e dificultad puede aparecer cuando usemos el MDF para resolver utt (x, t) = 4uxx (x, t) tomando k = 0,02, h = 0,003?

´ CAP´ITULO 10. METODOS DE DIFERENCIAS FINITAS (I)

168

Soluciones a los ejercicios propuestos 10.4 a) tj 0.0 0.1 0.2 b) tj 0.0 0.1 0.2

x2 0.587785 0.475528 0.181636 x2 0.500 0.500 0.500

x3 0.951057 0.769421 0.293893

x3 1.000 1.000 0.375

x4 0.951057 0.769421 0.293893

x4 1.500 0.875 0.300

10.5 (Utilizar el teorema [10.1]) k =

x5 0.750 0.800 0.125 h 3

x5 0.587785 0.475528 0.181636

Cap´ıtulo 11

M´ etodos de Diferencias Finitas (II). Ecuaciones parab´ olicas

”La formaci´ on del estudiante de ingenier´ıa pasa necesariamente por el estudio profundo de las Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales y la implementaci´ on de algoritmos num´ericos para su resoluci´ on ” S. Romero ”¿Quien se atrever´ a a poner l´ımites al ingenio de los hombres ? Galilei

169

´ ´ 170CAP´ITULO 11. METODOS DE DIFERENCIAS FINITAS (II). ECUACIONES PARABOLICAS

´ LA ECUACION ´ DE CALOR 11.1. INTRODUCCION.

11.1.

171

Introducci´ on. La ecuaci´ on de calor

Como ejemplo de EDP parab´olica consideramos la ecuaci´on del calor unidimensional. ut (x, t) = a2 uxx (x, t), 0 ≤ x ≤ L, 0 < t < b

(11.1)

u(x, 0) = f (x), t = 0, 0 ≤ x ≤ L,

(11.2)

con C.I. y C.F. u(0, t)

= g1 (t) = c1 , x = 0, 0 ≤ t ≤ b

u(L, t)

= g2 (t) = c2 , x = L, 0 ≤ t ≤ b.

(11.3)

Como sabemos la ecuaci´on del calor modela la distribuci´on de temperaturas en un alambre aislado, cuyos extremos se mantienen a temperaturas constantes c1 y c2 , a partir de una distribuci´on inicial de temperaturas a lo largo del alambre f (x). Ya sabemos como calcular las soluciones exactas -¡ usando series de Fourier ! -. En este caso utilizaremos esta ecuaci´on para resolverlo num´ericamente.

11.2.

Construcci´ on de la ecuaci´ on en diferencias

Dividamos el rect´angulo R = {(x, t), 0 ≤ x ≤ L, 0 ≤ t ≤ b} en n − 1 por m − 1 rect´angulos de lados ∆x = h, ∆t = k. Como se muestra en la Figura [11.1]. Empezando en la fila de m´as abajo, donde t = t1 = 0 y la soluci´on es u(xi , t1 ) = f (xi ), desarrollaremos un m´etodo para calcular las aproximaciones a los valores exactos u(x, t) en los puntos de la malla {ui,j ≈ u(xi , tj ), i = 1, 2, 3 . . . , n} para j = 2, 3, . . . , m. Las f´ormulas en diferencias que usamos para ut (x, t) y uxx (x, t)son, respectivamente ut (x, t) = uxx (x, t) =

u(x, t + k) − u(x, t) + o(k) k

u(x − h, t) − 2u(x, t) + u(x + h, t) + o(h2 ). h2

(11.4) (11.5)

Teniendo en cuenta que el tama˜ no de los rect´angulos de la malla es uniforme en cada fila, xi+1 = xi + h ´o xi−1 = xi − h, y en cada columna, tj+1 = tj + k despreciando los t´erminos o(k), o(h2 ), usando la aproximaci´on ui,j en vez de u(xi , tj ) en las ecuaciones [11.4] y [11.5] y sustituyendo lo que se obtiene en la ecuaci´on del calor [11.1] tendremos ui−1,j − 2ui,j + ui+1,j ui,j+1 − ui,j = a2 k h2

(11.6)

´ ´ 172CAP´ITULO 11. METODOS DE DIFERENCIAS FINITAS (II). ECUACIONES PARABOLICAS • ui,j+1

• rui−1,j

• (1 − 2r)ui,j

• rui+1,j

Figura 11.1: Esquema de las diferencias progresivas a2 k que es una aproximaci´on a la relaci´on [11.1]. Por comodidad llamamos r = 2 en [11.6] y h reordenamos ui,j+1 = (1 − 2r)ui,j + r(ui−1,j + ui+1,j ). (11.7) La ecuaci´on en diferencias [11.7] se emplea para calcular las aproximaciones en la fila (j + 1)-´esima de la malla a partir de las aproximaciones de la fila anterior; hagamos notar que esta f´ormula proporciona expl´ıcitamente el valor ui,j+1 en funci´on de ui−1,j , ui,j y ui+1,j . La f´ormula [11.7] es muy sencilla y nos invita a usarla r´apidamente, sin embargo es importante usar t´ecnicas num´ericas estables y la f´ormula [11.7] no siempre lo es. La f´ormula [11.7] es estable si, y s´olo si, 0 ≤ r ≤ 12 . Esto significa que el tama˜ no de paso k debe cumplir 2 h k ≤ 2 . Si esto no se cumple, entonces puede ocurrir que los errores introducidos en la fila 2a {ui,j } se amplifiquen en alguna fila posterior {ui,p } para alg´ un p > j.

11.3.

Primer ejemplo

Usemos el m´etodo de las diferencias progresivas para resolver la ecuaci´on del calor ut (x, t) = uxx (x, t), 0 < x < 1, 0 < t < 0,20,

(11.8)

u(x, 0) = f (x) = 4x − 4x2 , t = 0, 0 ≤ x ≤ 1,

(11.9)

con C.I.

11.3. PRIMER EJEMPLO

173

y C.F. u(0, t)

= g1 (t) = 0, x = 0, 0 ≤ t ≤ 0,20

u(1, t)

= g2 (t) = 0, x = 1, 0 ≤ t ≤ 0,20.

(11.10)

La primera vez usamos tama˜ nos de ∆x = h = 0,2, ∆t = k = 0,02 y a = 1 de manera que r = 0,5. La malla tendr´a n = 6 columnas de ancho y m = 11 filas de alto. En este caso [11.7] queda as´ı ui−1,j + ui+1,j ui,j+1 = . (11.11) 2 La f´ormula [11.1] es estable para r = 0,5 y puede ser usada con garant´ıa de ´exito para generar aproximaciones razonablemente precisas a u(x, t). En la tabla adjunta se recogen las aproximaciones en las filas sucesivas de la malla. t

x1 =0,00

x2 =0,20

x3 =0,40

x4 =0,60

x5 =0,80

x6 =1,00

t1 = 0.00

0.0000

0.640000

0.960000

0.960000

0.640000

0.000000

t2 = 0.02

0.0000

0.480000

0.800000

0.800000

0.480000

0.000000

.. .

.. .

.. .

.. .

.. .

.. .

.. .

t10 = 0.20

0.0000

0.072812

0.117813

0.117813

0.072812

0.000000

Cuadro 11.1: Soluci´on de la ecuaci´on del calor

uxx (x,t)=ut (x,t)

del ejemplo 1

La segunda vez, tomamos como tama˜ nos de paso ∆x = h = 0,2 y ∆t = k = 0,0333333 ⇒ r = 0,833333. En este caso la f´ormula [11.7] queda ui,j+1 = −0,666665ui,j + 0,8333333(ui−1,j + ui+1,j )

1 ' 30

(11.12)

y la tabla [11.2] nos muestra la inestabilidad de la f´ormula [11.12] ya que r > 12 , y los errores introducidos en una fila se amplificar´an en las filas posteriores. Los valores num´ericos que se obtienen, que son aproximaciones a u(x, t) bastante poco precisos para 0 ≤ t ≤ 0,333333, se recogen en la citada tabla [11.2] Nota La precisi´on de la EDF [11.7] es de orden o(k) + o(h2 ) y, como el t´ermino o(k) tiende a cero linealmente, no es sorprendente que k deba tomarse muy peque˜ no para obtener buenas aproximaciones. A´ un as´ı, la necesidad de que el m´etodo sea estable plantea consideraciones adicionales. Supongamos que las aproximaciones obtenidas en la malla no son suficientemente precisas y que debemos reducir los tama˜ nos de paso ∆x = h0 , ∆t = k0 .

´ ´ 174CAP´ITULO 11. METODOS DE DIFERENCIAS FINITAS (II). ECUACIONES PARABOLICAS

t

x1 =0,00

x2 =0,20

x3 =0,40

x4 =0,60

x5 =0,80

x6 =1,0

t1 =0.0000

0.0000

0.640000

0.960000

0.960000

0.640000

0.00000

t2 =0.03333

0.0000

0.373333

0.693333

0.693333

0.373333

0.00000

.. .

.. .

.. .

.. .

.. .

.. .

.. .

t10 =0.3333

0.0000

0.192511

-0.089601

-0.089601

0.192511

0.00000

Cuadro 11.2: h0 Si tomamos como nuevo tama˜ no de paso la coordenada x, simplemente ∆x = h1 = ,y 2 queremos mantener el mismo valor del cociente r, entonces k1 , debe cumplir k1 =

r(h1 )2 r(h0 )2 k0 = = . 2 2 a 4a 4

En consecuencia: Hay que doblar el n´ umero de nodos de la malla en el eje de la variable x y cuadruplicarlo en el eje de la variable t, con lo cual el esfuerzo de ordenador se multiplica por ocho. Este esfuerzo extra, nos obliga a buscar m´etodos m´as eficaces que no est´en sujetos a restricciones de estabilidad tan exigentes.

11.4.

El m´ etodo de Crank-Nicholson

Este m´etodo es un m´etodo impl´ıcito, no expl´ıcito, donde el incremento en el nivel de complejidad de c´alculos tendr´a como contrapartida la garant´ıa de estabilidad sin condiciones adicionales. Este esquema impl´ıcito, inventado por John Crank y Phyllis Nicholson, se basa en la construcci´on de una aproximaci´on num´erica al valor de la soluci´on de la ecuaci´on del calor [11.1] en (x, t + k2 ) que es un punto situado entre dos filas de la malla. Concretamente, para ut (x, t + k2 ) usamos la aproximaci´on que se obtiene a partir de la f´ormula de diferencias centradas µ ¶ k u(x, t + k) − u(x, t) ut x, t + = + o(k 2 ) (11.13) 2 k y para uxx (x, t + k2 ) usamos como aproximaci´on el valor medio de las aproximaciones a uxx (x, t) y uxx (x, t + k); este valor medio tiene una precisi´on del orden de o(h2 ) ¶ µ 1 k = [u(x − h, t + k) − 2u(x, t + k) + u(x + h, t + k)+ uxx x, t + 2 2h2 +

u(x − h, t) − 2u(x, t) + u(x + h, t)] + o(h2 ).

(11.14)

´ 11.4. EL METODO DE CRANK-NICHOLSON

175

An´alogamente a como lo hicimos para obtener el esquema de diferencias progresivas, sustituimos las expresiones [11.13] y [11.14] en la ecuaci´on del calor [11.1] y despreciamos los t´erminos del error o(h2 ) y o(k 2 ). Entonces, manteniendo la notaci´on ui,j ≈ u(xi , tj ), obtenemos la ecuaci´on en diferencias ui−1,j+1 − 2ui,j+1 + ui+1,j+1 + ui−1,j − 2ui,j + ui+1,j ui,j+1 − ui,j = a2 . k 2h2

(11.15)

a2 k Volvemos a tomar r = 2 en [11.15] y despejamos los tres valores a´ un por calcular h ui−1,j+1 , ui,j+1 y ui+1,j+1 escribi´endolos en el miembro de la izquierda de la ecuaci´on. Esta reordenaci´on de los t´erminos de la ecuaci´on [11.15] produce la siguiente ecuaci´on en diferencias impl´ıcita −rui−1,j+1 + (2 + 2r)ui,j+1 − rui+1,j+1 = (2 − 2r)ui,j + r(ui−1,j + ui+1,j ), i = 2, 3, . . . , n − 1. (11.16) Los t´erminos del miembro derecho de la ecuaci´on [11.16] son todos conocidos, as´ı que estas ecuaciones forman un sistema lineal tridiagonal AX = B. En la figura [11.2] se muestran los seis puntos que se usan en la f´ormula [11.16] de CrankNicholson as´ı como el punto intermedio en el que se basan las aproximaciones num´ericas. ui−1,j+1 •

• ui−1,j

•

•

ui+1,j+1 •

• ui+1,j

Figura 11.2: Esquema de Crank-Nicholson Cuando se trabaja con la f´ormula [11.16] se suele tomar como cociente r = 1. En este h2 caso, el tama˜ no de paso en el eje de la variable es ∆t = k = 2 y las ecuaciones [11.16] se a escriben as´ı ui−1,j+1 + 4ui,j+1 − ui+1,j+1 = ui−1,j + ui+1,j , i = 2, 3, . . . , n − 1.

(11.17)

´ ´ 176CAP´ITULO 11. METODOS DE DIFERENCIAS FINITAS (II). ECUACIONES PARABOLICAS

En la primera y en la u ´ltima de estas ecuaciones hay que usar las condiciones de contorno, es decir u1,j

=

u1,j+1 = C1

un,j

=

un,j+1 = C2 .

Las ecuaciones de [11.17] se escriben de forma especialmente atractiva en su forma tridiagonal AX = B 

4  −1         

−1 4

          

−1 .. . −1 4 −1 .. . −1 4

u2,j+1 u3,j+1 .. . ui,j+1 .. . un−1,j+1





          =        

2C1 + u3,j u2,j + u4,j ... ui−1,j + ui+1,j .. . un−2,j + 2C2

      .    

Cuando se utiliza un ordenador para llevar a cabo el m´etodo de Crank-Nicholson, el sistema lineal tridiagonal AX = B puede resolverse bien por m´etodos directos, bien de forma iterativa.

11.5.

Segundo ejemplo

Usar el m´etodo de Crank-Nicholson para resolver la ecuaci´on ut (x, t) = uxx (x, t), 0 < x < 1, 0 < t < 0,1

(11.18)

u(x, 0) = f (x) = sen(πx) + sen(3πx), t = 0, 0 ≤ x ≤ 1

(11.19)

con C.I. y C.F. u(x, t) = g1 (t) = 0, x = 0, 0 ≤ t ≤ 0,1 u(1, t) = g2 (t) = 0, x = 1, 0 ≤ t ≤ 0,1

(11.20)

Soluci´ on Para mayor simplificaci´on, tomamos como tama˜ nos de paso ∆x = h = 0,1, ∆t = k = 0,01 de manera que el cociente es r = 1. La malla tendr´a n = 11 columnas de ancho y m = 11

11.6. EJERCICIOS PROPUESTOS

177

filas de alta. En la tabla [11.4] se muestran los resultados obtenidos con el algoritmo para 0 < xi < 1, 0 ≤ tj ≤ 0,1. Las aproximaciones obtenidas con el m´etodo de Crank-Nicholson son buenas aproximaciones de los valores exactos 2

u(x, t) = sen(πx)e−π t + sen(3πx)e−9π

2

t

que , en la u ´ltima fila, son t11

0.115285

···

0.219204

0.115285

Cuadro 11.3:

La tabla de los valores u(xi , ti ) obtenidos por este m´etodo para tj = tj t1 =0.00 t2 =0.01 .. . t11 =0.10

x2 = 0,1 1.118034 0.616905 .. . 0.116144

x3 = 0,2 1.538842 0.928778 .. . 0.220827

···

···

x10 = 0,9 1.118034 0.610905 .. . 0.116144

Cuadro 11.4: M´etodo de Crank-Nicholson para tj =

11.6.

(j − 1) 100

j−1 100

Ejercicios propuestos

11.1 Verificar, sustituyendo, directamente en la ecuaci´on, que, para cada n´ umero natural n = −4n2 π 2 t 1, 2, 3, . . . la funci´on u(x, t) = sen(nπx)e es una soluci´on de la ecuaci´on del calor ut (x, t) = 4uxx (x, t). 2

11.2 Idem con la funci´on u(x, t) = sen(nπx)e−anπ) ut (x, t) = a2 uxx (x, t).

t

es una soluci´on de la ecuaci´on del calor

h2 en la f´ormula [11.7] ? a2 11.4 Usar el m´etodo de las diferencias progresivas para calcular las tres primeras filas de la malla que se construye para la ecuaci´on del calor que se da (!’calcular a mano o con calculadora !) 11.3 ¿Qu´e dificultades podr´ıan aparecer si se usa ∆t = k =

ut (x, t) = uxx (x, t), 0 < x < 1, 0 < t < 0,1

´ ´ 178CAP´ITULO 11. METODOS DE DIFERENCIAS FINITAS (II). ECUACIONES PARABOLICAS

con C.I. u(x, 0) = f (x) = sen(πx), t = 0, 0 ≤ x ≤ 1 y C.F. u(0, t) = C1 = 0, x = 0, 0 ≤ t ≤ 0,1 u(1, t) = C2 = 0, x = 1, 0 ≤ t ≤ 0,1 Tomar h = 0,2, k = 0,02 y r = 0,5. 11.5 Considerar la soluci´on exacta 2

u(x, t) = sen(πx)e−π t + sen(3πx)e−3π

2

)t

.

Fijando x, calcular el valor de l´ım u(x, t). t→∞

11.6 Probar que u(x, t) =

n X

2

aj e−(jπ) sen(jπx) es una soluci´on de la ecuaci´on

j=1

ut (x, t) = uxx (x, t), 0 ≤ x ≤ 1, t > 0 que cumple las condiciones de contorno u(0, t) = 0, u(1, t) = 0 y valores iniciales u(x, 0) = n X aj sen(jπx). j=1

Soluciones a los ejercicios propuestos 11.4 x1 = 0,0 0.0 0.0 0.0

x2 = 0,20 0.587785 0.475528 0.184710

x3 = 0,4 0.951057 0.769421 0.6224745

x4 = 0,6 0.951057 0.769421 0.622475

x5 = 0,8 0.587785 0.475528 0.384710

x6 = 1,0 0.0 0.0 0.0

Cap´ıtulo 12

M´ etodos de diferencias finitas (III). Ecuaciones el´ıpticas

”El problema de la posibilidad de matematizar significa, hasta qu´e punto es posible descubrir las experiencias mediante estructuras formales” G. Frey

179

´ 180CAP´ITULO 12. METODOS DE DIFERENCIAS FINITAS (III). ECUACIONES EL´IPTICAS

´ 12.1. INTRODUCCION

12.1.

181

Introducci´ on

Como ejemplos de ecuaciones en derivadas parciales el´ıpticas, consideremos las ecuaciones de Laplace, Poisson y Helmholtz. Recordemos que la laplaciana de una funci´on u(x, y) es ∇2 u(x, y) = uxx (x, y) + uyy (x, y).

(12.1)

Con esta notaci´on, las ecuaciones de Laplace, Poisson y Helmholtz pueden expresarse de la siguiente manera ∇2 u(x, y) = 0 Ecuaci´on de Laplace, (12.2) ∇2 u(x, y) = g(x, y) Ecuaci´on de Poisson, ∇2 u(x, y) + f (x, y)u(x, y) = g(x, y)

Ecuaci´on de Helmholtz.

(12.3) (12.4)

Si se conocen los valores que debe tomar la funci´on u(x, y) (problema de Dirichlet) o ∂u(x, y) su derivada normal = 0 (problema de Neumann) en la frontera de una regi´on ∂η rect´angular R del plano, entonces cada uno de estos problemas puede resolverse mediante la t´ecnica num´erica conocida como como el m´etodo de las diferencias finitas. Por razones obvias, s´olo, estudiaremos con detalles la ecuaci´on en diferencias para la laplaciana.

12.2.

Ecuaci´ on en diferencias para la laplaciana

El primer paso consiste en obtener una versi´on discretizada del operador de Laplace que nos permita usarlo num´ericamente. La f´ormula para f 00 (x) es f 00 (x) =

f (x + h) − 2f (x) + f (x − h) + o(h2 ) h2

(12.5)

as´ı que, al aplicar esta f´ormula a la funci´on u(x, y) para aproximar uxx (x, y) y uyy (x, y) y sumar los resultados obtenemos ∇2 u =

u(x + h, y) + u(x − h, y) + u(x, y + h) + u(x, y − h) − 4u(x, y) + o(h2 ). h2

(12.6)

Ahora dividimos el rect´angulo R ≡ {(x, y), 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ b} en n−1×m−1 cuadrados de lado h ( o sea, a = nh y b = mh), como se muestra en la figura [12.1]. Para resolver la ecuaci´on de Laplace, imponemos la aproximaci´on u(x + h, y) + u(x − h, y) + u(x, y + h) + u(x, y − h) − 4(x, y) + o(h2 ) = 0 h2

(12.7)

´ 182CAP´ITULO 12. METODOS DE DIFERENCIAS FINITAS (III). ECUACIONES EL´IPTICAS

6 .. . yj+1

• •

yj yj−1

•

•

•

.. . y2 y1 x1

x2

···

xi−1

xi

· · ·xi+1 xn−1

xn

-

Figura 12.1: La malla usada en la ecuaci´on en diferencias de Laplace que tiene una precisi´on de orden o(h2 ) en los puntos interiores de la malla (x, y) = (xi , yj ) para i = 2, 3, · · · , n − 1 y j = 2, 3, · · · , m − 1. Como los puntos de la malla est´an espaciados uniformemente xi+1 = xi + h, xi−1 = xi − h, yi+1 = yi + h e yi−1 = yi − h, denotando por ui,j la aproximaci´on al valor u(xi , yj ), la ecuaci´on [12.7] queda ∇2 ui,j ≈

ui+1,j + ui−1,j + ui,j+1 + ui,j−1 − 4ui,j =0 h2

(12.8)

expresi´on que se conoce como la f´ ormula de diferencias con cinco puntos para la laplaciana. Esta f´ormula relaciona el valor de la funci´on ui,j con sus cuatro valores adyacentes ui+1,j , ui−1,j , ui,j+1 y ui,j−1 , como se muestra en la figura [12.2]. Eliminando de la expresi´on [12.8] el denominador h2 obtenemos la f´ormula de aproximaci´on para la ecuaci´on de Laplace ui+1,j + ui−1,j + ui,j+1 + ui,j−1 − 4ui,j = 0.

12.3.

(12.9)

Construcci´ on del sistema lineal

Supongamos que tenemos un problema de Dirichlet, es decir, que conocemos los valores de la funci´on u(x, y) en la frontera de la regi´on R u(x1 , yj ) = u1,j para 2 ≤ j ≤ m − 1 (a la izquierda),

´ DEL SISTEMA LINEAL 12.3. CONSTRUCCION

183

u(xi , y1 ) = ui,1 para 2 ≤ i ≤ n − 1 (abajo), u(xn , yj ) = un,j para 2 ≤ j ≤ m − 1 (a la derecha), u(xi , ym ) = ui,m para 2 ≤ i ≤ n − 1 (arriba). • ui,j+1

• ui−1,j

• −4ui,j

•ui+1,j

• ui,j−1 Figura 12.2: Esquema de la para la cuaci´on de Laplace Al aplicar la f´ormula [12.9] en cada uno de los puntos de la malla que son interiores a R, obtenemos un sistema de n − 2 ecuaciones lineales con n − 2 inc´ognitas , cuya soluci´on nos proporciona las aproximaciones a u(x, y) en los puntos interiores de R. Por ejemplo, supongamos que la regi´on es un cuadrado, que n = m = 5 y que los valores desconocidos u(xi , yj ) en los nueve puntos interiores de la malla se etiquetan p1 , p2 , · · · , p9 como se indica u2,5 u3,5 u4,5 en la figura [12.3]. • • • u1,4

u1,3

u1,2

•

•

•

•

• u5,4

•

•

•

•

• u5,3

•

•

•

•

• u5,2

p7

p4

p1

p8

p5

p2

p9

p6

p3

•

•

•

u2,1

u3,1

u4,1

Figura 12.3: Una malla de orden 5 × 5 para un problema de contorno Aplicando la f´ormula [12.9] de aproximaci´on a la ecuaci´on de Laplace en cada uno de

´ 184CAP´ITULO 12. METODOS DE DIFERENCIAS FINITAS (III). ECUACIONES EL´IPTICAS

los puntos interiores de la malla, obtenemos el sistema de nueve ecuaciones lineales AP = B = −u2,1 −u1,2 −4p2 +p3 +p5 = −u3,1 p2 −4p3 p6 = −u4,1 −u5,2 −4p4 +p5 +p7 = −u1,3 p2 +p4 −4p5 +p6 +p8 =0 p3 +p5 −4p6 +p9 = −u5,3 p4 −4p7 +p8 = −u2,5 −u1,4 p5 +p7 −4p8 +p9 = −u3,5 p6 +p8 −4p9 = −u4,5−u5,4

−4p1 +p2 p1

p1

12.4.

+p4

Primer ejemplo

Vamos a determinar la soluci´on aproximada de la ecuaci´on de Laplace ∇2 u = 0 en el rect´angulo R ≡ {(x, y), 0 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 4}, donde u(x, y) denota la temperatura en un punto (x, y), los valores en la frontera son u(x, 0) = 20

y

u(x, 4) = 180 para 0 < x < 4,

y

u(0, y) = 80

y

u(4, y) = 0 para 0 < y < 4

y la malla que se usa es la que muestra la figura [12.4] Al aplicar la f´ormula [12.9] en este caso, el sistema AP = B que se obtiene es = −100 −4p2 +p3 +p5 = −20 p2 −4p3 p6 = −20 −4p4 +p5 +p7 = −80 p2 +p4 −4p5 +p6 +p8 =0 p3 +p5 −4p6 +p9 = 0 p4 −4p7 +p8 = −260 p5 +p7 −4p8 +p9 = −180 p6 +p8 −4p9 = −180

−4p1 +p2 p1

p1

+p4

12.5. CONDICIONES DE CONTORNO DE NEUMANN

185

u2,5 =180 u3,5 =180 u4,5 =180

u1,4 =80

u1,3 =80

u1,2 =80

•

•

•

•

•

•

•

• u5,4 =0

•

•

•

•

• u5,3 =0

•

•

•

•

• u5,2 =0

•

•

p7

p4

p1

• u2,1 =20

p8

p5

p2

u3,1 =20

p9

p6

p3

u4,1 =20

Figura 12.4: La malla de orden 5 × 5 para el ejemplo del apartado [12.4] El vector soluci´on P puede obtenerse mediante el m´etodo de eliminaci´on de Gauss (tambi´en pueden dise˜ narse esquemas m´as eficientes, como la extensi´on del algoritmo tridiagonal a sistemas pentadiagonales). Las temperaturas en los puntos interiores de la malla, es decir, el vector P soluci´on es P =(p1 , p2 , p3 , p4 , p5 , p6 , p7 , p8 , p9 )t = =(55,7143, 43,2143, 27,1429, 79,6429, 70,0000, 45,3571, 112,857, 111,786, 84,2857)t .

12.5.

Condiciones de contorno de Neumann

Cuando se especifican los valores de la derivada direccional u(x, y) en la direcci´on perpendicular al contorno de R, se dice que tenemos un problema con condiciones de contorno de Neumann. Como ejemplo vamos a resolver un caso en el que la derivada normal es nula ∂ = 0. ∂η

(12.10)

En el contexto de los problemas de distribuci´on de temperaturas, esto significa que el contorno est´a aislado y que no hay flujo de calor a trav´es de ´el. Supongamos que fijamos x = xn , de manera que consideramos el lado derecho x = a del rect´angulo R ≡ {(x, y), 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ b}. La condici´on de contorno sobre la derivada normal en este lado es, entonces, ∂u(xn , yj ) = u(xn , yj ) = 0. ∂x

(12.11)

´ 186CAP´ITULO 12. METODOS DE DIFERENCIAS FINITAS (III). ECUACIONES EL´IPTICAS

La ecuaci´on de diferencias de Laplace en el punto (xn , yj ) es un+1,j + un−1,j + un,j+1 + un,j−1 − 4un,j = 0,

(12.12)

en la que el valor nn+1,j es desconocido porque el punto correspondiente est´a fuera de la regi´on R. Sin embargo, podemos usar la f´ormula de derivaci´on num´erica un+1,j − un−1,j ≈ ux (xn , yj ) = 0 2h

(12.13)

y obtener la aproximaci´on un+1,j ≈ un−1,j , cuyo orden de precisi´on es o(h2 ). Al usar esta aproximaci´on en la expresi´on [12.12], el resultado es 2un−i,j + un,j+1 + un,j−1 − 4un,j = 0. En esta f´ormula se relaciona el valor de la funci´on un,j con sus tres valores adyacentes un−1,j , un,j+1 y un,j−1 . Los esquemas computacionales de Neumann para los puntos de los dem´as lados se deducen de forma parecida, figura [12.5], de manera que los cuatro casos son 2

ui,2 + ui−1,1 + ui+1,1 − 4ui,1 = 0

(lado inferior),

2

ui,m−1 + ui−1,m + ui+1,m − 4ui,m = 0

2

u2,j + u1,j−1 + ui,j+1 − 4u1,j = 0

2

un−1,j + un,j−1 + un,j+1 − 4un,j = 0

(lado superior),

(lado izquierdo), (lado derecho).

(12.14) (12.15) (12.16) (12.17)

Podemos abordar tambi´en problemas mixtos, en los que se usa la condici´on sobre la ∂u(x, y) derivada normal = 0 en una parte de la frontera de R y valores de contorno u(x, y) ∂η especificados en el resto de la frontera. Las ecuaciones para determinar las aproximaciones a u(x, y) en la parte del contorno en la que se aplica la condici´on sobre la derivada normal son las dadas por el esquema de Neumann [12.14]-[12.17] apropiado. Para las aproximaciones a u(xi , yj ) en los puntos interiores a R seguimos usando la f´ormula [12.9] de aproximaci´on a la ecuaci´on de Laplace.

12.6.

Segundo ejemplo

Vamos a calcular una soluci´on aproximada de la ecuaci´on de Laplace ∇2 u = 0 en el rect´angulo R ≡ {(x, y), 0 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 4}, donde u(x, y) denota la temperatura en el

12.6. SEGUNDO EJEMPLO

2ui,2 •

ui−1,1 •

• −4ui,1

187

•−4ui,m

• ui−1,m ui+1,1 •

• 2ui,m−1

ui,j+1 •

• −4ui,j

• ui+1,m

un,j+1 •

• 2u2,j

2un−1,j •

• −4un,j

• un,j−1

• ui,j−1

Figura 12.5: Los esquemas para la condici´on de contorno de Neumann

punto (x, y) y las condiciones de contorno son las que se muestran en la figura [12.6]

u(x, 4) = 180 uy (x, 0) = 0 u(0, y) = 80 u(4, y) = 0

para 0 < x < 4, para 0 < x < 4, para 0 ≤ y < 4, para 0 ≤ y < 4.

En los puntos q1 , q2 y q3 del contorno aplicamos la f´ormula de Neumann [12.14] y en los puntos q4 , q5 , · · · , q12 aplicamos el esquema de Laplace [12.9]. Lo que obtenemos es un

´ 188CAP´ITULO 12. METODOS DE DIFERENCIAS FINITAS (III). ECUACIONES EL´IPTICAS u2,5 =180 u3,5 =180 u4,5 =180

u1,4 =80

u1,3 =80

u1,2 =80

u1,1 =80

•

•

•

•

•

•

•

• u5,4 =0

•

•

•

•

• u5,3 =0

•

•

•

•

5,2 =0 • u5,1

•

•

•

•

• u5,1 =0

q10

q7

q4

q1

q11

q8

q5

q2

q12

q9

q6

q3

Figura 12.6: La malla de orden 5 × 5 para el ejemplo del apartado [12.6] sistema lineal AQ = B de 12 ecuaciones con 12 inc´ognitas. −4q1 +q2 q1

= −80 =0 −4q3 2q6 =0 −4q4 +q5 +q7 = −80 +q4 −4q5 +q6 +q8 =0 q3 +q5 −4q6 +q9 =0 q4 −4q7 +q8 + q1 0 = −260 q5 +q7 −4q8 +q9 +q1 1 =0 q6 +q8 −4q9 +q12 = 0 +q7 −4q10 +q11 = −260 +q8 +q10 −4q11 +q12 = −180 +q9 +q11 −4q12 = −180 +2q4

−4q2 +q3 q2

q1 q2

+2q5

El vector soluci´on Q puede obtenerse mediante el m´etodo de eliminaci´on de Gauss (tambi´en pueden dise˜ narse esquemas m´as eficientes, como la extensi´on del algoritmo tridiagonal a sistemas pentadiagonales). La stemperaturas en los puntos interiores de la malla y en los puntos del borde inferior, expresadas en forma vectorial, son Q=(q1 , q2 , q3 , q4 , q5 , q6 , q7 , q8 , q9 q10 , q11 , q12 )t = =(71,8218, 56,8543, 32,2342, 75,2165, 61,6806, 36,0412, 87,3636, 78,6103, 50,2502, 115,628, 115,147, 86,3492)t .

´ 12.7. METODOS ITERATIVOS

12.7.

189

M´ etodos iterativos

Acabamos de ver c´omo podemos resolver la ecuaci´on en diferencias de Laplace construyendo un cierto sistema de ecuaciones lineales y resolvi´endolo. El inconveniente que presenta este m´etodo es el almacenamiento . Puesto que para obtener resultados mejores hay que trabajar con una malla m´as fina, es posible que el n´ umero de cuaciones sea muy elevado. Por ejemplo, el c´alculo num´erico de la soluci´on de un problema de Didichlet requiere la resoluci´on de un sistema de (n − 2)(m − 2) ecuaciones; si dividimos R en un n´ umero modesto de cuadrados, digamos 10 por 10, entonces tenemos un sistema de 91 ecuaciones con 91 inc´ognitas. En consecuencia, parece sensato trabajar con t´ecnicas que reduzcan la cantidad de datos que se deben almacenar; as´ı, un m´etodo iterativo s´olo requerir´ıa que se almacenaran las 100 aproximaciones num´ericas {ui,j } correspondientes a los puntos de la malla. Empecemos por la ecuaci´on en diferencias de Laplace ui+1,j + ui−1,j + ui,j+1 + ui,j−1 − 4ui,j = 0

(12.18)

y supongamos que conocemos los valores de u(x, y) en el contorno u(x1 , yj ) = u1,j para 2 ≤ j ≤ m − 1 u(xi , y1 ) = ui,1 para 2 ≤ i ≤ n − 1 u(xn , yj ) = un,j para 2 ≤ j ≤ m − 1

(a la izquierda), (abajo), (a la derecha),

u(xi , ym ) = ui,m para 2 ≤ i ≤ n − 1 (arriba).

(12.19)

Ahora escribimos la ecuaci´on [12.18] de forma adecuada para iterar ui,j = ui,j + ri,j ,

(12.20)

siendo ri,j

=

ui+1,j + ui−1,j + ui,j+1 + ui,j−1 − 4ui,j 4 2≤i≤n−1 y

2 ≤ j ≤ m − 1.

(12.21)

Es necesario disponer de los valores iniciales en los puntos interiores de la malla; para ello puede valer la constante K, definida como la media de los 2n + 2m − 4 valores en el contorno dado por [12.19]. Cada paso de la iteraci´on consiste en hacer un barrido de todos los puntos interiores de la malla con la f´ormula recursiva [12.20] hasta que el t´ermino residual ri,j que aparece en el miembro derecho de [12.20] se reduzca a cero (o sea, hasta que se tenga |ri,j | < ε para cada 2 ≤ i ≤ n − 1 y 2 ≤ j ≤ m − 1, siendo ε la tolerancia prefijada).

´ 190CAP´ITULO 12. METODOS DE DIFERENCIAS FINITAS (III). ECUACIONES EL´IPTICAS

Podemos aumentar la velocidad de convergencia a cero de los t´erminos residuales {ri,j } usando el m´etodo concocido como m´etodo de sobrerrelajaci´on sucesiva. Este m´etodo es el que resulta de aplicar la f´ormula recursiva µ ¶ ui+1,j + ui−1,j + ui,j+1 + ui,j−1 − 4ui,j ui,j = ui,j + ω 4 =

ui,j + ωri,j ,

(12.22)

en la que el par´ametro ω verifica 1 ≤ ω < 2. En el m´etodo de sobrerrelajaci´on sucesiva, cada paso de la iteraci´on consiste en hacer un barrido de la malla con la f´ormula recursiva [12.22] hasta que se tenga |ri,j | < ε. Para elegir el valor ´optimo del par´ametro ω hay que estudiar los autovalores de la matriz que caracteriza el m´etodo iterativo que estamos usando para resolver un sistema lineal; en nuestro caso, dicho valor ´optimo viene dado por la f´ormula 4 µ µ ¶ µ ¶¶2 . π π 4 − cos + cos n−1 m−1

s

ω= 2+

(12.23)

Si lo que se especifica en alg´ un trozo de la frontera es una condici´on de Neumann, entonces tenemos que escribir las expresiones [12.14]-[12.17] de forma adecuada para iterar; los cuatro casos, incluyendo ya el par´ametro de sobrerrelajaci´on ω son µ ¶ 2ui,2 + ui−1,1 + ui+1,1 − 4ui,1 ui,1 = ui,1 + ω (lado inferior), (12.24) 4 ¶ µ 2ui,m−1 + ui−1,m + ui+1,m − 4ui,m (lado superior), (12.25) ui,m = ui,m + ω 4 µ ¶ 2u2,j + u1,j−1 + u1,j+1 − 4u1,j ui,j = ui,j + ω (lado izquierdo), (12.26) 4 µ ¶ 2un−1,j + un,j−1 + un,j+1 − 4un,j un,1 = un,1 + ω (lado derecho). (12.27) 4

12.8.

Tercer ejemplo

Vamos a usar un m´etodo iterativo para hallar una soluci´on aproximada de la ecuaci´on de Laplace ∇2 u = 0 en el cuadrado R definido por R ≡ {(x, y), 0 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 4}, con las condiciones de contorno u(x, 4) =

180

u(0, y) =

80

y y

u(x, 4) = 180 u(4, y) = 0

para 0 < x < 4, para 0 < y < 4.

12.8. TERCER EJEMPLO

191

Dividimos el cuadrado en 64 cuadrados de lado ∆x = ∆y = h = 0,5 y tomamos como valor inicial en los puntos interiores de la malla ui,j = 70, i = 2, 3, . . . , 8 y j = 2, 3, . . . , 8 Usamos el m´etodo de sobrerrelajaci´on sucesiva con el par´ametro ω = 1,44646 (que se obtiene al sustituir n = 9 y m = 9 en la f´ormula [12.23]); despu´es de 19 iteraciones, los valores residuales son todos menores que una mil´esima (de hecho, |ri,j | ≤ 0,000606 < 0,1). Las aproximaciones que se obtienen se muestran en la tabla. Puesto que las funciones de contorno son discontinuas en las esquinas y los valores correspondientes no se utilizan en los c´alculos, hemos tomado u1,1 = 50, u9,1 = 10, u1,9 = 130 y u9,9 = 90 para completar la tabla. x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

x8

x9

y9

130.0

180.000

180.000

180.000

180.000

180.000

180.000

180.000

90.0

y8

80.0

124.821

141.172

145.414

144.005

137.478

122.642

88.607

0.0

y7

80.0

102.112

113.453

116.479

113.126

103.266

84.4844

51.7856

0.0

.. .

.. .

.. .

.. .

.. .

.. .

.. .

.. .

.. .

.. .

y2

80.0

51.3931

40.5195

35.1691

31.2899

27.2335

21.9900

14.1791

0.0

y1

50.0

20.000

20.000

20.000

20.000

20.000

20.000

20.000

10.00

Cuadro 12.1: Soluci´on aproximada e la ecuaci´on de Laplace con condiciones de Dirichlet

´ 192CAP´ITULO 12. METODOS DE DIFERENCIAS FINITAS (III). ECUACIONES EL´IPTICAS

Bibliograf´ıa [1] Arfken, G.M´etodos matem´ aticos para f´ısicos Ed. Diana, 1981. [2] Ayres, F.Ecuaciones Diferenciales Ed. Mc Graw-Hill, 1991. [3] Aparicio, E.Teor´ıa de funciones de variable compleja Ed. U P V , 1998. [4] Churchill, R.V, Braon, J.W.Variable compleja y aplicaciones Ed. Mc Graw-Hill, 1996. [5] Elsgoltz, L.Ecuaciones Diferenciales y C´ alculo Variacional Ed. Mir, 1992. [6] Fraile, V. Ecuaciones Diferenciales. M´etodos de integraci´ on y c´ alculo num´erico. Ed. Teba Flores, 1991. ¨ berg, C.E. Introducci´ [7] Fro on al an´ alisis num´erico. Ed. Vicens Universidad, 1977. [8] Hornbeck, Robert W.Numerical Methods Quantum. New York. [9] Johnson, L.W; Riess, R. D.Numerical Analysis. Ed. Addison Wesley. Reading. Massachusset.

193

´ 194CAP´ITULO 12. METODOS DE DIFERENCIAS FINITAS (III). ECUACIONES EL´IPTICAS

[10] Kincaid, D; Cheney, W An´ alisis Num´erico. Las matem´ aticas del c´ alculo cient´ıfico Ed. Addison Wesley, 1994. [11] Klamkin, M.S.Mathematical Modeling; Classroom Notes in Applied Mathematics SIAM. Filadelfia [12] Kreyszig, E. Matem´ aticas Avanzadas para Ingenie´r´ıa Ed. Limusa, (1999). [13] Maki, D.P; Maynard T.Mathematical Models and Applications Ed. Prentice Hall. Englewood Cliffs. New York. [14] Mathews, J.H; Fink, K.D. M´etodos Num´ericos con Matlab Ed. .1999 [15] Ed. [16] Marcellan, F. et al. Ecuaciones Diferenciales. Problemas lineales y aplicaciones Ed. Mc Graw-Hill, (1991). [17] Novo, S. et al.Ecuaciones y sistemas diferenciales Ed. Mc Graw-Hill, (1995). ˜ P.V.Advanced Engineering Mathematics. Tercera edici´ on. [18] ONeil, Ed. Grupo Editorial Iberoam´erica, (1988). [19] Ortega, J.M. y Poole, W.G. Introduction to Numerical Methods for Differential Equations. Ed. Pitman. Manshfield. Massachusets, (1981). [20] Rice J. R.Numerical Methods, Software and Analysis Ed. Mac.Graw-Hill, (1983). [21] Seweel, G.The Numerical Solution to Ordinary and Partial Differential Equations. Ed. H.B.J. New York, (1975). [22] Simmons, G.F.Ecuaciones Diferenciales (con aplicaciones y notas hist´ oricas) Ed. Mc Graw-Hill, (1998).

12.8. TERCER EJEMPLO

[23] Wunsch, A.D.Variable compleja con aplicaciones Ed. Addison-Wesley Iberoamericana, (1997). ´ vich, Y; Yaglon, I. Matem´ [24] Zeldo aticas superiores Ed. Mir, 1982. [25] Zill, D.Ecuaciones diferenciales con aplicaciones Ed. Grupo Editorial Iberoam´erica, (1988).

195