Derivadas parciales

UNIVERSIDAD EAFIT Departamento de Ciencias Matemáticas Matemáticas 3. Derivadas parciales. Profesor: Gustavo Castañeda R

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UNIVERSIDAD EAFIT Departamento de Ciencias Matemáticas Matemáticas 3. Derivadas parciales. Profesor: Gustavo Castañeda R. Semestre 2 de 2015.

Derivadas parciales.

1.

Introducción.

En el caso de una función de varias variables, interesa determinar la razón de cambio de de la función con respecto a una de las variables dejando constante el resto de variables. Este proceso se conoce como derivación parcial. Este concepto permite resolver algunos problemas de optimización.

2.

Derivadas parciales.

Definición de derivada parcial de una función de dos variables. Sea z = f (x, y) y (a, b) un punto del dominio de f . La derivada parcial de f con respecto a x se define mediante el siguiente límite (cuando dicho límite exista), f (a + h, b) − f (a, b) fx (a, b) = l´ım . h→0 h De manera análoga se define la derivada parcial de f con respecto a y (cuando dicho límite exista), fy (a, b) = l´ım

h→0

f (a, b + h) − f (a, b) . h

Las derivadas parciales en cualquier punto (x, y) del dominio de f están dadas por f (x + h, y) − f (x, y) , h→0 h

fx (x, y) = l´ım

f (x, y + h) − f (x, y) , h→0 h

fy (x, y) = l´ım cuando dichos límites existan.

Ejemplo. Determinar mediante la definición, la derivada parcial con respecto a x de la función f (x, y) = x2 + 5xy + y 2 . Solución.

f (x + h, y) − f (x, y) h→0 h

fx (x, y) = l´ım

[(x + h)2 + 5(x + h)y + y 2 ] − [x2 + 5xy + y 2 ] h→0 h

= l´ım

[x2 + 2xh + h2 + 5xy + 5hy + y 2 ] − [x2 + 5xy + y 2 ] h→0 h

= l´ım

[2x + h + 5y]h [2xh + h2 + 5hy] = l´ım h→0 h→0 h h

= l´ım

= l´ım (2x + h + 5y] = 2x + 5y. h→0

Por tanto, fx (x, y) = 2x + 5y, y se observa que la derivada parcial de f con respecto a x se obtiene derivando ordinariamente a f con respecto a x considerando a y constante.

Ejemplo. Si f (x, y) = 5x4 + 3y 2 + 8xy + 5, entonces La derivada de f con respecto a x es fx (x, y) = 20x3 + 0 + 8(1)y + 0 = 20x3 + 8y. La derivada de f con respecto a y es fy (x, y) = 0 + 6y + 8x(1) + 0 = 6y + 8x. Ejemplo. Si f (x, y) = 5x3 + 6y 5 + 8x3 y 2 + 5x + 7y − 8, entonces La derivada de f con respecto a x es fx (x, y) = 15x2 + 0 + 24x2 y 2 + 5 + 0 − 0 = 15x2 + 24x2 y 2 + 5. La derivada de f con respecto a y es fy (x, y) = 0 + 30y 4 + 8x3 (2y) + 0 + 7 − 0 = 30y 4 + 16x3 y + 7. Notación. Si z = f (x, y) es una función de dos variables y existen las derivadas parciales, entonces las derivadas parciales también se denotan por: fx (x, y) =

∂z ∂x ;

∂z ∂y .

fy (x, y) =

Análogamente, si w = f (x, y, z) es una función de tres variables y existen las derivadas parciales, entonces las derivadas parciales también se denotan por: fx (x, y, z) =

∂w ∂x ;

fy (x, y, z) =

∂w ∂y ,

y fz (x, y, z) =

∂w ∂z .

Si f (x1 , x2 , ..., xn ) es una función de las n variables x1 , x2 , ..., xn , las derivadas parciales se denotan por: fx1 (x1 , x2 , ..., xn ) = f1 (x1 , x2 , ..., xn ), fx2 (x1 , x2 , ..., xn ) = f2 (x1 , x2 , ..., xn ), ..., fxn (x1 , x2 , ..., xn ) = fn (x1 , x2 , ..., xn ). Ejemplo. Si f (x1 , x2 , x3 ) = x41 + 6x32 + 3x53 − 7, entonces la derivada parcial de f con respecto a x1 es fx1 (x1 , x2 , x3 ) = f1 (x1 , x2 , x3 ) = 4x31 + 0 + 0 − 0 = 4x31 ; la derivada parcial de f con respecto a x2 es fx2 (x1 , x2 , x3 ) = f2 (x1 , x2 , x3 ) = 0 + 18x22 + 0 − 0 = 18x22 ; y la derivada parcial de f con respecto a x3 es fx3 (x1 , x2 , x3 ) = f3 (x1 , x2 , x3 ) = 0 + 0 + 15x43 − 0 = 15x43 . Otros ejemplos. Determinemos las derivadas parciales de las siguientes funciones. 1. z = (x2 + xy + y 2 )4 . Solución:

∂z ∂x

= 4(x2 + xy + y 2 )3 (2x + y).

∂z ∂y

= 4(x2 + xy + y 2 )3 (x + 2y).

2

2. z = e5x y . Solución:

2

∂z ∂x

= e5x y (10xy).

∂z ∂y

= e5x y (5x2 ).

2

3. z = ln(x2 + y 4 + 1). Solución:

∂z ∂x

=

2x . x2 +y 4 +1

∂z ∂y

=

4y 3 x2 +y 4 +1 .

4. f (x, y) = xy , para x > 0, x 6= 1. Solución: fx (x, y) = y(xy−1 ). fy (x, y) = xy · ln(x). 5. f (x, y) =

xy . x2 +y 2

Solución: fx (x, y) =

(x2 +y 2 )(y)−(xy)(2x) (x2 +y 2 )2

=

x2 y+y 3 −2x2 y (x2 +y 2 )2

fy (x, y) =

(x2 +y 2 )(x)−(xy)(2y) (x2 +y 2 )2

=

x3 +xy 2 −2xy 2 (x2 +y 2 )2

= =

y 3 −x2 y (x2 +y 2 )2 . x3 −xy 2 . (x2 +y 2 )2

6. f (x, y) = xa y b , para x, y > 0. Solución: fx (x, y) = axa−1 y b . fy (x, y) = bxa y b−1 . Cuando se tiene la expresión general de la derivada parcial, se puede utilizar para calcular el valor de la derivada en un punto particular, como se ilustra en el siguiente ejemplo. Ejemplo. Si f (x, y) = ex

2 +y 2

Solución: fx (x, y) = (2x)ex 2

2

2

2

, determinar las derivadas parciales en el punto (1, 0).

2 +y 2

y fy (x, y) = (2y)ex

2 +y 2

, por tanto:

a) fx (1, 0) = (2(1))e1 +0 = 2e. Lo cual significa que la tasa de cambio de f (x, y) con respecto a x en el punto (1, 0) es 2e ≈ 2(2.71828) ≈ 5.43656, es decir, al incrementar la x en una unidad, dejando constante la y en 0, la función f se incrementa aproximadamente en 5.43656 b) fy (1, 0) = (2(0))e1 +0 = 0. Lo cual significa que la tasa de cambio de f (x, y) con respecto a y en el punto (1, 0) es 0, es decir, al incrementar la y en una unidad, dejando constante la x en 1, la función f se incrementa aproximadamente en 0, es decir, la f no cambia. El valor de las derivadas en un punto (a, b) se suelen denotar por fx (a, b) = fx (x, y)|(a,b) y fy (a, b) = fy (x, y)|(a,b) . La función de producción de Coob-Douglas. Consideremos la función f (x, y) = axb y 1−b donde a > 0, y 0 < b < 1. Esta función se denomina función de producción de Coob-Douglas. La función de producción de Coob-Douglas tiene la siguiente interpretación económica: la variable x representa las unidades invertida en mano de obra, la variable y representa las unidades invertidas en capital (costo en los equipos: edificios, maquinaria y otras herramientas para la producción) y la función f representa la salida del producto (unidades elaboradas, razón por la cual de denomina función de producción). La derivada parcial fx se denomina la productividad marginal de la mano de obra, y mide la razón de cambio de la producción con respecto a la inversión en la mano de obra, manteniendo constante la inversión del capital. La derivada parcial fy se denomina la productividad marginal del capital, y mide la razón de cambio de la producción con respecto al capital invertido en equipos, manteniendo constante la inversión en la mano de obra.

Ejemplo. Suponga que la producción mensual en cierto país está dada por 1

2

f (x, y) = 108x 3 y 3 unidades de cierto artículo, al gastar x unidades de mano de obra y y unidades de capital, en miles de dólares. a) ¿ Cuál es la producción cuando la cantidad gastada en la mano de obra es 27 unidades y la cantidad gastada en capital es 8000 dólares? b) Calcular fx y fy . c) ¿ Cuál es la productividad marginal de la mano de obra y la productividad marginal del capital cuando la cantidad gastada en la mano de obra es 27 unidades y la cantidad gastada en capital es 8000 dólares? Solución: p √ 2 1 3 3 3 (8) 3 = 108 27 (8)2 = 1296 unidades. a) La productividad es f (27, 8) = 108(27) q 2

2

y 3 = 36( xy ) 3 = 36( 3 xy )2 . q 1 −1 1 fy (x, y) = 72x 3 y 3 = 72( xy ) 3 = 72 3 xy .

b) fx (x, y) = 36x

−2 3

 q 2 c) La productividad marginal de la mano de obra es fx (27, 8) = fx (x, y)|(27,8) = 36 3 xy |(27,8) =  q 2 2  8 = 36 32 = 36 49 = 16. Este valor significa que la tasa de cambio de la producción con 36 3 27 respecto a la mano de obra es de 16 unidades, es decir, que si se gasta una unidad adicional de mano de obra conservando el gasto de capital en 8 unidades, es decir en 8000 dólares, entonces la producción se incrementa aproximadamente en 16 unidades producidas. q  q  = 72( 32 ) = 36(3) = 108. La productividad marginal de capital es fy (27, 8) = 72 3 xy |(27,8) = 72 3 27 8

Este valor significa que la tasa de cambio de la producción con respecto al capital gastado es de 108 unidades producidas, es decir, que si se gasta una unidad adicional de capital,es decir, 1000 dólares, conservando el gasto de mano de obra en 27 unidades, entonces la producción se incrementa aproximadamente en 108 unidades. Se observa que en este ejemplo, la productividad marginal de capital es mayor que la productividad marginal de la mano de obra. Ejemplo. Se estima que la producción mensual de cierta fábrica está dada por Q(x, y) = x2 y + 1400x + 400y − x2 − y 3 , unidades aproximadamente, donde x es el número de trabajadores calificados e y es el número de trabajadores no calificados empleados en la fábrica. En la actualidad la fuerza laboral está conformada por 40 trabajadores calificado y 30 no calificados. a) Calcule la producción al emplear 40 trabajadores calificados y 30 no calificados.

b) Calcule el incremento (incremento real, exacto) de la producción si se adiciona en 1 el número de trabajadores calificados, manteniendo fijo el número de trabajadores no calificados fijos en 30. c) Aplique el análisis marginal para calcular (aproximadamente) el cambio resultante en la producción mensual al adicional un trabajador calificado, si el número de trabajadores no calificados no cambia.

Solución: a) La producción sería Q(40, 30) = (40)2 (30) + 1400(40) + 400(30) − (40)2 − (30)3 = 87400 unidades. b) El incremento de la producción sería Q(41, 30) − Q(40, 30) unidades. Pero Q(41, 30) = (41)2 (30) + 1400(41) + 400(30) − (41)2 − (30)3 = 91149; y por tanto: Q(41, 30) − Q(40, 30) = 91149 − 87400 = 3749 unidades. c) La derivada parcial de Q(x, y) con respecto a x es Qx (x, y) = 2xy + 1400 − 2x que corresponde a la razón de cambio de la producción con respecto a número de trabajadores calificados para cualesquiera valores x e y, y da una aproximación de las unidades adicionales que se producen cada mes si el número de trabajadores no calificados se mantiene fijo en y. En particular si la fuerza laboral aumenta de 40 trabajadores calificados a 41 calificados y el número de trabajadores no calificados se mantiene fijo en 30, el cambio resultante en la producción es Qx (40, 30) = 2(40)(30) + 1400 − 2(40) = 3720 unidades. Se observa que que el resultado obtenido en c) es aproximadamente igual al obtenido el b). Artículos sustitutos y complementarios. Otra aplicación en ciencias de la administración de la derivación parcial de una función de dos variables hace referencia a artículos sustitutos y complementarios. Se dice que dos artículo son sustitutos si la demanda de uno de ellos se incrementa cuando el precio del otro se incrementa. Por ejemplo son artículos sustitutos: el café y el té; la mantequilla y la margarina; el gas y la gasolina. Se dice que dos artículos son complementarios si la demanda de uno de ellos decrece cuando el precio del otro crece. Por ejemplo los automóviles y neumáticos son artículos sustitutos. Ejemplo. Supongamos ahora que las ecuaciones de demanda de dos artículos A y B están dadas por las expresiones x = f (p, q), y = g(p, q), donde p y q son los precios unitarios de los artículos A y B respectivamente, y existen las derivadas parciales con respecto a p y q. Como f es la función de demanda del producto A, ∂f ∂q > 0 significa que al dejar p fijo, la demanda del primer producto con respecto al precio unitario (q) de artículo B es cre∂g ∂g ciente. Al interpretar en forma similar las expresiones ∂f ∂q < 0, ∂p > 0, y ∂p < 0 se tiene la siguiente propiedad: a) Si

∂f ∂q

>0y

∂g ∂p

> 0 se tiene que los artículos A y B son sustitutos.

b) Si

∂f ∂q

0: Dr (a, b) entonces dichas derivadas parciales son iguales en el punto (a, b). Las derivadas parciales

4.

∂2z ∂2z ∂y∂x , ∂x∂y

son usualmente llamadas derivadas parciales mixtas.

Diferenciales totales.

En esta sección consideraremos funciones de una variable con primera derivada continua y funciones de varias variables con primeras derivadas parciales continuas. Consideremos el caso en que una función f (x) tiene derivada en x, es decir f ′ (x) existe. En este caso dy = f ′ (x) dx pero como

dy dx

= f ′ (x) = l´ım△x→0

△y △x ,

entonces para △x ≈ 0, es decir △x próximo a 0 se cumple △y dy ≈ , dx △x

es decir, f ′ (x) ≈ y así

△y △x

△y ≈ f ′ (x)△x.

La expresión f ′ (x)△x es llamada la diferencial de la función y = f (x), y se denota por dy. De esta manera la diferencial de la función y = f (x) se define por dy = f ′ (x)△x. Si y = x entonces dy = 1△x. De esto se concluye que dx = dy = 1 △x, es decir, dx = △x y así el diferencial de y también es igual a: dy = f ′ (x)dx. Ejemplo. a) Si y = 4x6 + 3x2 entonces dy = (24x5 + 6x)△x = (24x5 + 6x)dx. 2 2 2 b) Si y = e4x entonces dy = (8xe4x )△x = (8xe4x )dx. Ahora como △y ≈ f ′ (x)△x y dy = f ′ (x)△x se cumple que △y ≈ dy. Recordemos que △y = f (x + △x) − f (x). De manera análoga, la diferencial de una función de dos variables z = f (x, y) se define mediante la expresión dz =

∂f ∂f dx + dy, ∂x ∂y

donde dx = △x y dy = △y; y la diferencial de una función de tres variables w = f (x, y, z) se define mediante la expresión ∂f ∂f ∂f dw = dx + dy + dz, ∂x ∂y ∂z donde dx = △x, dy = △y, y dz = △z. Al igual que en el caso de una función de una variable y = f (x) se tiene △y ≈ dy, para el caso de una función de dos variables z = f (x, y) se tiene △z ≈ dz, donde △z = f (x + △x, y + △y) − f (x, y). Para el caso de una función de tres variables w △w = f (x + △x, y + △y, z + △z) − f (x, y, z).

=

f (x, y, z) se tiene △w



dw, donde

Cambio porcentual. El cambio porcentual de una cantidad z = f (x, y) está dada por la expresión △z z (100) %.

Ejemplo. Consideremos la función z = f (x, y) = 4x2 y 3 + y 2 . a) Determine la diferencial dz. b) Determine el cambio real en z cuando x pasa de x = 2 a x = 2.02 y y pasa de y = 1 a y = 0.98. c) Determine el cambio aproximado en z cuando x pasa de x = 2 a x = 2.02 y y pasa de y = 1 a y = 0.98. d) Determine el cambio porcentual de z. Solución: a) La diferencial de y es dz =

∂f ∂x dx

+

∂f ∂y dy

= [8xy 3 ]dx + [12x2 y 2 + 2y]dy.

b) Como △z = f (x + △x, y + △y) − f (x, y) y x = 2, y = 1, △x = 0.02, △y = −0.02 entonces △z = f (2 + (0.02), 1 + (−0.02)) − f (2, 1) = f (2.02, 0.98) − f (2, 1) = [4(2.02)2 (0.98)3 + (0.98)2 ] − [4(2)2 (1)3 + (1)2 ] = [16.3221] − [17] = −0.6780. c) En este caso dx = △x = 2.02 − 2 = 0.02, dy = △y = 0.98 − 1 = −0.02, y así △z ≈ dz = [8(2)(1)3 ](0.02) + [12(2)2 (1)2 + 2(1)](−0.02) = [0.32] + [−1] = −0.680.

De los numerales b) y c) se observa que △z ≈ dz. d) El cambio porcentual de z está dado por △z z × 100 %, donde z = f (2, 1) = 17, es decir, △z × 100 % = −0.6780 × 100 % = 3.988330 %. 17 z

Ejemplo. Sea z = 5x2 y 3 + 6xy − 7. a) Determinar la diferencial dz. b) Determine el cambio real en z cuando x pasa de x = 1 a x = 1.02 y y pasa de y = 2 a y = 2.01 c) Determine el cambio aproximado en z cuando x pasa de x = 1 a x = 1.02 y y pasa de y = 2 a y = 2.01 d) Determinar el cambio porcentual de z. Solución: a) dz = fx (x, y)dx + fy (x, y)dy = [10xy 3 + 6y]dx + [15x2 y 2 + 6x]dy. b) dx = △x = 1.02 − 1 = 0.02, dy = △y = 2.01 − 2 = 0.01, △z = f (1 + △x, y + △y) − f (1, 2) = f (1.02, 2.01) − f (1, 2) = [5(1.02)2 (2.01)3 + 6(1.02)(2.01) − 7] − [5(1)2 (2)3 + 6(1)(2) − 7] = [47.5445] − [45] = 2.5445 c) dx = △x = 1.02 − 1 = 0.02, dy = △y = 2.01 − 2 = 0.01, △z ≈ dz = [10(1)(2)3 + 6(2)](0.02) + [15(1)2 (2)2 + 6(1)](0.01) = 2.5 d) El cambio porcentual de z está dado por △z z × 100 %, donde z = f (2, 1) = 45, es decir, △z × 100 % = 5.65444 % z × 100 % = 2.5445 45

Ejemplo. Determinar el error porcentual máximo al calcular el volumen de una caja rectangular si se comete un error a lo más de 2 % al medir el ancho, el largo y la altura de la caja. Solución. Sean x, y y z el largo, el ancho y la altura de la caja respectivamente. Entonces el volumen es V (x, y, z) = xyz unidades cúbicas. Dado que el error máximo cometido al medir cada uno se los lados no supera el 2 % se tiene que |△x| ≤ 0.02(x) |△y| ≤ 0.02(y) |△z| ≤ 0.02(z), y así el error máximo correspondiente al volumen es ∂V ∂V ∂V |△V | ≈ |dV | = △x + △y + △z = |(yz)dx + (xz)dy + (xy)dz| ∂x ∂y ∂z = |(yz)△x + (xz)△y + (xy)△z| ≤ |(yz)△x| + |(xz)△y| + |(xy)△z| ≤

(yz)(0.02x) + (xz)(0.02y) + (xy)(0.02z) = (0.02)(xyz + xyz + xyz) = (0.02)(3xyz) = 0.06xyz = (0.06) V Entonces el error porcentual máximo es: △V (0.06) V × 100 % = (0.06) × 100 % = 6 % V × 100 % = V

es decir, el error porcentual máximo es aproximadamente 6 %.

5.

Máximos y mínimos de una función.

Las primeras y segundas derivadas de funciones de dos variables juegan un importante papel en la determinación de los extremos relativos y absolutos de tales funciones. Extremos relativos. En términos geométricos un máximo relativo de una función f (x, y) es una cima, es decir, un punto de la superficie z = f (x, y) que está más alto que cualquier otro punto cercano a (a, b) en la superficie. Un mínimo relativo de una función f (x, y) es el fondo de un valle, es decir, un punto de la superficie z = f (x, y) que está más bajo que cualquier otro punto cercano a (a, b) en la superficie. Más precisamente, tenemos las siguientes definiciones: i) Una función de dos variable tiene un máximo relativo en (a, b) si f está definida en (a, b) y para los (x, y) suficientemente cercanos a (a, b) se cumple: f (x, y) ≤ f (a, b). ii) Una función de dos variable tiene un mínimo relativo en (a, b) si f está definida en (a, b) y para los (x, y) suficientemente cercanos a (a, b) se cumple: f (x, y) ≥ f (a, b). Definición de extremos absolutos. i) Una función de dos variable tiene un máximo absoluto en (a, b) si f está definida en (a, b) y para todos los (x, y) del dominio de f se cumple: f (x, y) ≤ f (a, b). ii) Una función de dos variable tiene un mínimo absoluto en (a, b) si f está definida en (a, b) y para todos los (x, y) del dominio de f se cumple: f (x, y) ≥ f (a, b). Ejemplo. La gráfica de la función f (x, y) = x2 + y 2 corresponde a un paraboloide cuya gráfica se ilustra a continuación z

✟ ✟✟z = x2 ✟ ✙ ✟ 22

x

y y2 + 2 2

Paraboloide

Según esta gráfica, la función f (x, y) = x2 + y 2 tiene un mínimo relativo en el punto (0, 0). A continuación se define lo que son puntos críticos, los cuales juegan un importante papel en el estudio de máximos y mínimos relativos. Definición de punto crítico. Se dice que (a, b) es un punto crítico de una función de dos variables f (x, y), si (a, b) está en el dominio de f y además se cumple las dos siguientes condiciones: i )fx (a, b) = 0 = fy (a, b) o ii) no existe una de las derivadas parciales en (a, b). Definición de punto de silla. Se dice que un punto (a, b) es un punto de silla si es un punto crítico y además no es un máximo relativo ni es un mínimo relativo. Ejemplo. La gráfica de f (x, y) = y 2 − x2 tiene al origen (0, 0) como punto crítico, y corresponde a un punto de silla. La gráfica se ilustra a continuación. z

✟ x✟✟ ✟ ✙ 2 2 z = y2 − x2 b

a

y

Silla

La siguiente propiedad es útil en la determinación de puntos críticos de una función de dos variables. Propiedad. Si una función de dos variables f (x, y) tiene un máximo relativo o mínimo relativo en (a, b) y además existen las derivadas parciales en (a, b), entonces fx (a, b) = 0 y fy (a, b) = 0. Por tanto para hallar los puntos críticos de una función de dos variables f (x, y), se analiza el siguiente sistema de ecuaciones  fx (x, y) = 0 fy (x, y) = 0. Usualmente, para determinar los extremos relativos se aplica siguiente criterio. Criterio de las segundas derivadas: Supongamos que f (x, y) tiene segundas derivadas parciales continuas en un punto críticos (a, b). Sea D(x, y) = fxx (x, y)fyy (x, y) − [fxy (x, y)]2 entonces 1. Si D(a, b) > 0 y fxx (a, b) < 0 se concluye que f (x, y) tiene un máximo relativo en (a, b). 2. Si D(a, b) > 0 y fxx (a, b) > 0 se concluye que f (x, y) tiene un mínimo relativo en (a, b). 3. Si D(a, b) < 0 se concluye que f (x, y) no tiene un tiene un máximo relativo en (a, b) ni un mínimo relativo en (a, b), es decir, es un punto de silla. 4. Si D(a, b) = 0 el criterio no es concluyente, por lo que habría que utilizar otras técnicas para resolver el problema. Ejemplo. Determinar los extremos relativos de la función f (x, y) = 3x − x3 − 2y 2 + y 4 . Solución. Determinemos los puntos críticos resolviendo el sistema.  fx (x, y) = 0 f (x, y) = 0  y 3 − 3x2 = 0 −4y + 4y 3 = 0  3(1 − x2 ) = 0 −4y(1 − y 2 ) = 0  x = 1 o x = −1 y = 0 o y = 1 o y = −1 En consecuencia los puntos críticos son: (1, 0), (1, 1), (1, −1), (−1, 0), (−1, 1), (−1, −1). Además se tiene fxx (x, y) = −6x, 24x(1 − 3y 2 ).

fyy (x, y) = −4 + 12y 2 ,

fxy (x, y) = 0,

D(x, y) = fxx (x, y) fyy (x, y) − [fxy (x, y)]2 =

(x, y) (1,0) (1,1) (1,-1) (-1,0) (-1,1) (-1,-1)

D(x, y) = 24x(1 − 3y 2 ) 24 -48 -48 -24 48 48

fxx (x, y) = −6x -6 -6 -6 6 6 6

Clasificación máximo relativo. punto de silla. punto de silla. punto de silla. mínimo relativo. mínimo relativo.

Cuadro 1: Clasificación En la siguiente tabla se indica la clasificación de los puntos críticos. Ejemplo. Un almacén vende dos tipos de productos: tipo 1 y tipo 2. Del tipo 1 son vendidas x unidades y del tipo 2 son vendidas y unidades. Cada unidad del tipo 1 es vendida a 120 − x dólares y cada unidad del tipo 2 es vendida a 120 − y dólares la unidad. Si el costo de x unidades del tipo 1 e y unidades del tipo 2 es de C(x, y) = x2 + y 2 + 2xy dólares. ¿Cuántas unidades de cada tipo de artículo deben ser vendidas para obtener la máxima utilidad? ¿Cuál es la máxima utilidad? Solución. El ingresos por el primer artículo en dólares es (120 − x)x. El ingresos por el segundo artículo en dólares es (120 − y)y. El ingresos por los artículos en dólares es R(x, y) = (120 − x)x + (120 − y)y. La utilidad por los artículos en dólares es: Ingreso menos costo. U (x, y) = R(x, y) − C(x, y) = [(120 − x)x + (120 − y)y] − [x2 + y 2 + 2xy] U (x, y) = 120x − x2 + 120y − y 2 − x2 − y 2 − 2xy U (x, y) = 120x − 2x2 + 120y − 2y 2 − 2xy. Los puntos críticos se obtienen resolviendo el sistema 

Ux (x, y) = 0 Uy (x, y) = 0

es  decir, 120 − 4x − 2y = 0 120 − 4y − 2x = 0 es  decir, 120 = 4x + 2y (1) 120 = 4y + 2x (2) De las ecuaciones (1) y (2) se tiene 4x + 2y = 4y + 2x es decir, 2x = 2y, es decir, y = x (3). Al remplazar (3) en (2) se tiene 120 = 4x + 2x, y así x = 20 y y = 20. Por tanto (20, 20) es el único punto crítico. Ahora como Uxx (x, y) = −4, Uyy (x, y) = −4 y Uxy (x, y) = −2 se tiene, D(x, y) = Uxx (x, y)Uyy (x, y) − (Uxy (x, y))2 = 12, entonces Uxx (20, 20) = −4 < 0 y D(20, 20) = 12 > 0; es decir el punto (20, 20) corresponde a un máximo. Esto significa que para obtener la máxima utilidad se deben vender 20 unidades de cada tipo de artículo. La utilidad máxima es igual a U (20, 20) = 120(20) − 2(20)2 + 120(20) − 2(20)2 − 2(20)(20) = 2400 dólares.

6.

Multiplicadores de Lagrange.

Son muchos los problemas de optimización que están sujetos a restricciones (llamadas también condiciones). El método de los multiplicadores de Lagrange permite resolver algunos problemas de optimización condicionados a una o varias restricciones. Método de los multiplicadores de Lagrange. Consideremos dos funciones de dos variables f (x, y) y g(x, y) con derivadas parciales continuas. Se desea determinar el valor óptimo de f (x, y) (asumiendo que existe el valor óptimo) sujeta al restricción g(x, y) = 0. Para la solución de este problema mediante el método de los multiplicadores de Lagrange se introduce una nueva variable λ ( letra: lambda, llamada multiplicador de Lagrange) y se considera la función F (x, y, λ) = f (x, y) − λg(x, y), llamada función objetivo. Entonces dicho extremo se producirá en uno de los puntos críticos de la función objetivo: F (x, y, λ) = f (x, y) − λg(x, y). Para determinar el valor óptimo se determinan los puntos críticos de la función F (x, y, λ), los cuales se obtienen mediante la solución del sistema   Fx (x, y, λ) = 0 (1) F (x, y, λ) = 0 (2)  y Fλ (x, y, λ) = 0 (3) Luego se evalúa la función en cada uno de los puntos críticos hallados. Entonces el mayor de estos valores corresponde al valor máximo y el menor de estos valores corresponde al mínimo. Ejemplo. Determinar el valor mínimo de f (x, y) = x2 + y 2 + 6, sujeta a la restricción x + y = 4. Solución: La restricción es g(x, y) = 0, donde g(x, y) = x + y − 4 y la función objetivo es F (x, y, λ) = f (x, y) − λg(x, y), es decir, F (x, y, λ) = x2 + y 2 + 6 − λ(x + y − 4). Se determinan los puntos críticos mediante la solución del sistema   Fx (x, y, λ) = 0 (1) F (x, y, λ) = 0 (2)  y Fλ (x, y, λ) = 0 (3) es decir,  (1)  2x − λ = 0 2y − λ = 0 (2)  −(x + y − 4) = 0 (3)

es decir,  (1)  x = λ2 y = λ2 (2)  −(x + y − 4) = 0 (3)

Al reemplazar (1) y (2) en (3) se tiene −( λ2 + λ2 − 4) = 0, es decir, λ = 4 y así x = 2 y y = 2; por tanto el único punto crítico es (2, 2); y el valor mínimo es f (2, 2) = (2)2 + (2)2 + 6 = 14. El multiplicador de Lagrange(λ). Muchos de los problemas de optimización con restricción se resuelven mediante el método de los multiplicadores de Lagrange sin necesidad de obtener el valor de λ. Sin embargo el valor de λ tiene una interesante interpretación. Si M es el valor óptimo (valor máximo o valor mínimo) de f (x, y) sujeta a la restricción g(x, y) = k, el multiplicador de Lagrange corresponde a la razón de cambio de M con respecto a k. Es decir, λ= . . En consecuencia, para △k = 0, λ =

△M △k .

dM . dk

En el ejemplo anterior λ = 4, es decir, 4 = dM dk , y su interpretación es: el valor óptimo se incrementa aproximadamente en 4 unidades, cuando la restricción se incrementa en una unidad (k = 4 + 1), es decir, el valor máximo de f (x, y) = x2 + y 2 + 6, sujeta a la restricción x + y = 4 + 1 = 5 corresponde aproximadamente a 14 + 4 = 18. Ejemplo. Cierto empresario dispone de 800 dólares para gastar en dos artículos con valores de 30 y 20 dólares respectivamente. Suponga además que la utilidad obtenida es dada por la función U (x, y) = 10x0.3 y 0.7 en dólares, donde x representa las unidades del primer artículo e y las del segundo. a) Cuántas unidades de cada artículo se deberán comprar para obtener la máxima utilidad; ¿cuál es la máxima utilidad?. b) Utilizar el multiplicador de Lagrange para determinar la utilidad obtenida si en vez de invertir 800 dólares se invierten 801. Solución a) La restricción es g(x, y) = 0, donde g(x, y) = 30x + 20y − 800 y la función objetivo es F (x, y, λ) = U (x, y) − λg(x, y), es decir, F (x, yλ) = 10x0.3 y 0.7 − λ(30x + 20y − 800) Se determinan los   Fx (x, y, λ) = 0 Fy (x, y, λ) = 0  Fλ (x, y, λ) = 0

puntos críticos mediante la solución del sistema (1) (2) (3)

es decir,  (1)  3x−0.7 y 0.7 − 30λ = 0 7x0.3 y −0.3 − 20λ = 0 (2)  −(30x + 20y − 800) = 0 (3)

Al dividir por 30 y por 20 las dos primeras ecuaciones respectivamente, se tiene  (4)  (0.1)x−0.7 y 0.7 = λ 7 )x0.3 y −0.3 = λ (5) ( 20  −(30x + 20y − 800) = 0 (6) De las ecuaciones 4 y 5 se tiene,





x

1 10



1 10

=



7 20



x0.3 y −0.3 ,

=



7 20



x0.3 x0.7

y=



7 20



x

−0.7 0.7

y

es decir, 

y



0.7 0.3

y

1 10



y así

7 y= x 2 al reemplazar esta ecuación en la restricción se tiene,   7 x = 800 30(x) + 20 2 30x + 70x = 800

y así x = 8 e y = 28, es decir el único punto crítico es (x, y) = (8, 28). Por tanto se deben vender 8 unidades . del primer artículo y 28 unidades del segundo; y la máxima utilidad es U (4, 28) = 10(8)0.3 (28)0.7 = 192.281 dólares. Solución b): Para determinar el valor de λ correspondiente al punto (8, 28), se reemplaza este punto en una de las ecuaciones que tenga la variable λ, por ejemplo en la ecuación (4): λ = (0.1)(8)−0.7 (28)0.7 = 0.3904. Entonces al invertir 801 dólares en vez de 800 se tiene un incremento de 1 dólar en la inversión, es decir, △k = 1. De esta manera la utilidad óptima varia en λ = 0.3904 y así la utilidad es U = U (4, 28) + λ = 192.281 + 0.3904 = 192.671 dólares. Ejemplo. Determinar el valor mínimo de f (x, y, z) = 9xy + 12xz + 3yz, sujeta a la restricción xyz = 1500. Solución: La restricción es g(x, y, z) = 0, donde g(x, y, z) = xyz − 1500 y la función objetivo es F (x, y, z, λ) = f (x, y, z) − λg(x, y, z) es decir, F (x, y, z, λ) = 9xy + 12xz + 3yz − λ(xyz − 1500) Se determinan los puntos críticos mediante la solución del sistema  Fx (x, y, z, λ) = 0 (1)    Fy (x, y, z, λ) = 0 (2) F (x, y, z, λ) = 0 (3)    z Fλ (x, y, z, λ) = 0 (4)

es decir,  9y + 12z − λyz = 0    9x + 3z − λxz = 0 12x + 3y − λxy = 0    xyz − 1500 = 0

(1) (2) (3) (4)

Al multiplicar las ecuaciones (1), (2) y (3) por (x), (y) y (z) respectivamente se tiene,  9xy + 12xz − λxyz = 0 (5)    9xy + 3yz − λxyz = 0 (6) 12xz + 3yz − λxyz = 0 (7)    xyz − 1500 = 0 (8)

De las ecuaciones (5) y (6) se tiene 12xz = 3yz, es decir, 12x = 3y (pues de acuerdo a la ecuación (8), x, y, z 6= 0) y así y = 4x (9). De las ecuaciones (5) y (7) se tiene 9xy = 3yz, es decir, z = 3x (10). Al reemplazar las ecuaciones (9) y (10) en (4) se tiene x(4x)(3x) = 1500, es decir, 12x3 = 1500, x3 = 125, x = 5. Por tanto: x = 5, y = 4x = 20 y z = 3x = 15; lo cual indica que el único punto crítico es (5, 20, 15). Entonces el valor mínimo es f (5, 20, 15) = 9(5)(20) + 12(5)(15) + 3(20)(15) = 2 700. Ahora, en el caso en que la función f (x, y) esté sujeta a dos restricciones, digamos g1 (x, y) = 0 y g2 (x, y) = 0, se introducen dos variables λ1 , λ2 (llamadas multiplicadores de Lagrange) y se considera la función objetivo F (x, y, λ1 , λ2 ) = f (x, y) − λ1 g1 (x, y) − λ2 g2 (x, y). Para  determinar el valor óptimo se determinar los puntos críticos mediante la solución del sistema  Fx (x, y, λ1 , λ2 ) = 0 (1)   Fy (x, y, λ1 , λ2 ) = 0 (2) (x, y, λ1 , λ2 ) = 0 (3) F    λ1 Fλ2 (x, y, λ1 , λ2 ) = 0 (4)

Luego se evalúa la función en cada uno de los puntos críticos hallados. Entonces cuando existen el máximo y el valor mínimo, el mayor de estos valores corresponde al valor máximo y el menor de estos valores corresponde al valor mínimo.

7.

Ejercicios.

7.1.

Ejercicios sección 7.1.

El los ejercicios del 1 al 13, calcular las primeras derivadas parciales y dar la respuesta en forma simplificada. 1. f (x, y) = x5 − 4x3 y 2 + 6y 5 − 8. 2. f (x, y) =

Respuesta: fx (x, y) = 5x4 − 12x2 y 2 ; p 5

fy (x, y) = −8x3 y + 30y 4 . √ p 2 3 x 5 y2 y2 . ; fy (x, y) = Respuesta: fx (x, y) = √ 3 5 y 3 x2

√ √ 3 x 5 y2 .

3. f (x, y) = ln(x4 y + y 2 + 1). 4. f (x, y) =

p

x4

y4

+

+ 2.

5. f (x, y) = (x2 y + xy)5 .

Respuesta:fx (x, y) =

p 2x3 x4 + y 4 + 2 Respuesta:fx (x, y) = ; x4 + y 4 + 2

2 −xy

10. f (x, y) =

fy (x, y) = 5x5 y 4 (x + 1)5 .

Respuesta: fx (x, y) = y(3x2 + 2xy 2 − 4x − 2y 2 ); Respuesta: fx (x, y) = (6x − y)e3x

.

8. f (x, y) = xye3x . 9. f (x, y) =

fy (x, y) =

Respuesta: fx (x, y) = 5x4 y 5 (x + 1)4 (2x + 1);

6. f (x, y) = (x2 y − 2xy)(x + y 2 ). fy (x, y) = x(x2 + 3xy 2 − 2x − 6y 2 ). 7. f (x, y) = e3x

x4 + 2y . x4 y + y 2 + 1 p 2y 3 x4 + y 4 + 2 fy (x, y) = . x4 + y 4 + 2

4x3 y ; x4 y + y 2 + 1

2 −xy

fy (x, y) = −xe3x

;

Respuesta: fx (x, y) = y(3x + 1)e3x ;

2x 3y . 3x+2y y−x .

Respuesta: fx (x, y) =

11. f (x, y) = (x + 1) ln(xy). 12. f (x, y) = ln(x + y) + ex−y .

Respuesta: fx (x, y) = Respuesta: fx (x, y) =

5y ; (y − x)2

fy (x, y) = fy (x, y) =

x + 1 + x ln(xy) ; x

1 + (x + y)ex−y ; x+y

−2x . 3y 2

−5x . (y − x)2

fy (x, y) =

fy (x, y) =

.

fy (x, y) = xe3x .

2 ; 3y

Respuesta: fx (x, y) =

2 −xy

x+1 . y

1 − (x + y)ex−y . x+y

x2 − y 2 y 2 − x2 ; f (x, y) = . y x3 + xy 2 x2 y + y 3 En los ejercicios del 14 al 16, evaluar las primeras derivadas parciales en el punto indicado.

13. f (x, y) = ln( xy + xy ).

Respuesta: fx (x, y) =

14. f (x, y) = e2x ln(y); (0, e). 15. f (x, y) =

5x+2y y−x ;

16. f (x, y) = x +

p

(1, −1).

Respuesta: fx (0, e) = 2; Respuesta: fx (1, −1) =

x2 + y 2 ; (−3, 4).

−7 ; 4

Respuesta: fx (−3, 4) =

2 ; 5

fy (0, e) = fy (1, −1) =

1 . e

−7 . 4

fy (−3, 4) =

4 . 5

17. Problema. Suponga que la producción de cierto país está dada por 1

3

f (x, y) = 16x 4 y 4 artículos, donde x representa las unidades de mano de obra utilizadas e y representa las unidades de capital utilizadas. a) ¿Cuál es la productividad marginal de la mano de obra y la productividad marginal del capital, cuando la cantidad invertida en la mano de obra es 16 unidades y la cantidad invertida en capital es 256 unidades?

b) De acuerdo al numeral anterior, ¿será aconsejable la inversión en la mano de obra en vez de la inversión de capital en ese momento para incrementar la producción? Respuesta: a) 8 artículo por cada unidad de mano de obra; 6 artículo por cada unidad de capital. Respuesta: b) Como 8 > 6, si es aconsejable la inversión en unidades de mano de obra para incrementar la producción. 18. Problema. Se estima que la producción mensual en cierta fábrica está dada por Q(x, y) = x2 y + 1400x + 800y 2 − 10x − 20y, repuestos aproximadamente, donde x es el número de trabajadores calificados e y es el número de trabajadores no calificados empleados en la fábrica. En la actualidad la fuerza laboral está conformada por 30 trabajadores calificado y 20 no calificados. a) Calcule la producción al emplear 30 trabajadores calificados y 20 no calificados. b) Calcule el incremento de la producción al incrementar en 1 el número de trabajadores no calificados, manteniendo fijo el número de trabajadores calificados en 30. c) Aplique el análisis marginal para calcular el cambio resultante en la producción mensual al adicionar un trabajador no calificado, si el número de trabajadores calificados no cambia. Interprete el resultado. Respuesta: a) Q(30, 20) = 379300 repuestos; b) Q(30, 21) − Q(30, 20) = 412980 − 379300 = 33680 repuestos; c) Qy (30, 20) = 32880 repuestos por cada trabajador calificado. 19. Problema. En la venta de dos marcas artículos, un tendero obtiene una utilidad diaria dada aproximadamente por la expresión P (x, y) = (x − 20)(80 − 4x + 5y) + (y − 30)(90 + 8x − 5y) euros, donde x representa el precio por unidad de la primera marca e y representa el precio por unidad de la segunda marca. En la actualidad la primera marca se vende a 400 pesos la unidad y la segunda marca se vende a 500 pesos la unidad. Aplique el análisis marginal para calcular el cambio resultante en la utilidad diaria si el tendero incrementa en 1 peso cada unidad de la segunda marca. Respuesta: Py (400, 300) = 340. 20. Problema. En un estudio se determinó que la ecuación de demanda para un tipo de artículo A está dada por x = f (p, q) = 1000 + 10p − 0.02q 2 mientras que la ecuación de demanda para un segundo tipo de artículo B está dada por y = g(p, q) = 500 − 0.0820p2 + 2q, siendo p y q los precios unitarios respectivamente. Analizar si los productos son complementarios, suplementario o ninguno de los anteriores. Respuesta: fq (p, q) = −0.04q; gp (p, q) = −0.1640q. Como fq (p, q) < 0, y gp (p, q) < 0, entonces los artículos son complementarios.

7.2.

Ejercicios sección 7.2.

Determinar las derivadas parciales de segundo orden y dar la respuesta en forma simplificada. Mostrar además que las derivadas parciales mixtas son iguales. 1. z = f (x, y) = 6x3 y 8 − 3xy. Respuesta: fxx (x, y) = 36xy 8 ; fyy (x, y) = 336x3 y 6 ; fxy (x, y) = fyx (x, y) = 144x2 y 7 − 3. 2

2

2

Respuesta: fxx (x, y) = 25y 4 e−5xy ; fyy (x, y) = (100x2 y 2 − 10x)e−5xy ; 2. z = f (x, y) = e−5xy . 2 fxy (x, y) = fyx (x, y) = (50xy 3 − 10y)e−5xy .

3. z = f (x, y) =

y+3 x−1 .

−1 2(y + 3) ; fyy (x, y) = 0; fxy (x, y) = fyx (x, y) = . 3 (x − 1) (x − 1)3 √ √ −x y √ −y x √ Respuesta: fxx (x, y) = 4. z = f (x, y) = x y + y x. ; fyy (x, y) = ; 4x2 4y 2 1 1 fxy (x, y) = fyx (x, y) = √ + √ . 2 x 2 y p 5. z = f (x, y) = x2 + y 2 . p p x2 x2 + y 2 y 2 x2 + y 2 ; fyy (x, y) = ; Respuesta: fxx (x, y) = (x2 p + y 2 )2 (x2 + y 2 )2 −xy x2 + y 2 fxy (x, y) = fyx (x, y) = . (x2 + y 2 )2 p p 2 x2 + 2y 2 2 x2 + 2y 2 p 2x 2y ; fyy (x, y) = ; 6. z = f (x, y) = x2 + 2y 2 . Respuesta: fxx (x, y) = (x2 + 2y 2 )2 (x2 + 2y 2 )2 p −2xy x2 + 2y 2 fxy (x, y) = fyx (x, y) = . (x2 + 2y 2 )2 Respuesta:fxx (x, y) =

2

2

7. z = f (x, y) = ex +4y . Respuesta: fxx (x, y) = 2(2x2 + 1)ex 2 2 fxy (x, y) = fyx (x, y) = 16xyex +4y . 8. z = f (x, y) = ln(x2 + y 2 ). fxy (x, y) = fyx (x, y) =

Respuesta: fxx (x, y) =

−4xy . (x2 + y 2 )2

9. z = f (x, y) = ln(1 + x2 y 2 ). fxy (x, y) = fyx (x, y) =

7.3.

; fxx (x, y) = (64y 2 + 8)ex

2 +4y 2

;

2(x2 − y 2 ) 2(y 2 − x2 ) ; f (x, y) = ; yy (x2 + y 2 )2 (x2 + y 2 )2

Respuesta: fxx (x, y) = 4xy . + 1)2

2 +4y 2

2y 2 (1 − x2 y 2 ) 2x2 (1 − x2 y 2 ) ; f (x, y) = ; yy (x2 y 2 + 1)2 (x2 y 2 + 1)2

(x2 y 2

Ejercicios sección 1.3.

Determinar la diferencial de las siguientes funciones. 1. z = f (x, y) =

x+2y x−y .

2. z = f (x, y) =

√ 3

3x −3y dx + dy. (x − y)2 (x − y)2 √ √ 3 2 3 3x + 2y 3x + 2y Respuesta: dz = dx + dy. 3x + 2y 3(3x + 2y) √ √ √ √ x−2 x y 2 x y−y √ dx + Respuesta: dz = dy. √ 2 x 2 y

Respuesta: dz =

3x + 2y.

√ √ 3. z = f (x, y) = x y − y x. 4. z = f (x, y) = x3 ey + y ln(x).

Respuesta: dz =

3x3 ey + y dx + (x3 ey + ln x)dy. x

5. w = f (x, y, z) = 4xyz +yexz . Respuesta: dw = (4yz +yzexz )dx+(4xz +exz )dy +(4xy +xyexz )dz. √ 6. w = f (x, y, z) = ex + ey + xeyz . ey + xzeyz xyeyz ex + eyz √ √ dx + dy + dz. Respuesta: dw = √ x 2 e + ey + xeyz 2 ex + ey + xeyz 2 ex + ey + xeyz 7. Determinar el cambio aproximado y el cambio porcentual aproximado de z = f (x, y), cuando el punto (x, y) pasa de (x0 , y0 ) a (x1 , y1 ). a. z = f (x, y) =

y x−y ;

de (1, 2) al punto (1.02, 2.01). △z Respuesta: △z ≈ −0.03 z × 100 % = 1.5 %

2

1

b. z = f (x, y) = x 3 y 2 ; de (8, 9) al punto (8.01, 8.88). △z Respuesta: △z ≈ −0.07 z × 100 % = 0.583 % √

ye−2x de (1, 1) al punto (0.98, 0.99). △z Respuesta: △z ≈ 0.00473 z × 100 % = 3.5 %

c. z = f (x, y) =

d. z = f (x, y) = x ln y + y ln x de (3, 2) Respuesta: △z ≈ −0.024776

al punto (3.02, 1.98). △z z × 100 % = 0.57993 %

1

2

8. Problema. En cierta fábrica la producción diaria es de Q(x, y) = 60x 3 y 3 unidades; donde x el tamaño de fuerza laboral e y representa la inversión de capital. Aplique el cálculo para estimar el cambio porcentual en el cual cambiará la producción(cambio porcentual) si tanto la mano de obra como el capital se incrementa en un 1 %. (Respuesta: el cambio porcentual es el 1 %)

7.4.

Ejercicios sección 1.4.

Determinar los extremos relativos de f (x, y). 1. f (x, y) = x2 + y 2 . Respuesta: (0, 0) : mínimo relativo. 2. f (x, y) = y 2 − x2 . Respuesta: (0, 0) : punto de silla. p 3. f (x, y) = y 2 + x2 . En este ejercicio no se puede aplicar el criterio de las segundas derivadas, ¿por qué? Para determinar los extremos relativos, debe dibujar la función. Respuesta: (0, 0) : mínimo relativo. 4. f (x, y) = x2 + y 2 + 2x2 y + 4.     −1 −1 √ , : puntos de silla. , Respuesta: (0, 0): mínimo relativo; √12 , −1 2 2 2 5. f (x, y) = x2 + y 2 + 6. f (x, y) = xy + 7. f (x, y) = e(x

8 x

1 . x2 y 2

Respuesta: (1, 1), (1, −1), (−1, 1), (−1, −1): mínimos relativos.

+ y8 . Respuesta: (2, 2): mínimo relativo.

2 +2y 2 )

. Respuesta: (0, 0): mínimo relativo.

8. f (x, y) = ln(x2 + y 2 − 2x − 2y + 4). Respuesta:(1, 1): mínimo relativo. 9. f (x, y) = (x − 4) ln(xy). Respuesta: (4, 14 ) : punto de silla. 10. f (x, y) = xy −

y . x2

Respuesta: (1, 0) : punto de silla.

11. f (x, y) = x3 + y 3 − 3xy + 4. Respuesta: (0, 0) : punto de silla, (1, 1): mínimo relativo. 12. Problema. Los ingresos en miles de dólares semanales por parte de un almacén están dados por R(x, y) = −x2 − 2y 2 + 2xy + 6x + 16y + 50, donde x represente la cantidad de dinero en miles dólares invertidos en publicidad e y representa el número de empleados. Determine el capital invertido y el número de empleados con el fin de obtener los ingresos máximos. Determinar el ingreso máximo. Respuesta: Se deben invertir 14 000 dólares y 11 empleados. El ingreso máximo es 1000 · R(14, 11) = (1000)180 = 180 000 dólares. 13. Problema. Una librería vende un tipo de libro en edición de lujo y en edición rústica. El costo de x unidades de lujo y de y unidades rústicas en dólares es C(x, y) = 16x + 6y + 100,

mientras que el correspondiente ingreso en dólares es R(x, y) = −0.005x2 − 0.003y 2 − 0.002xy + 30x + 20y. Determine cuántos libros de lujo y cuántos libros rústicos se deben vender con el fin de generar la máxima utilidad. Respuesta: Se deben vender 1000 libros de lujo y 2000 rústicos. La utilidad máxima es 20 900 dólares. 14. Problema. Un fabricante planea vender cierto tipo de producto a un precio de 120 dólares la unidad, para lo cual debe invertir en promoción y en desarrollo. Ahora según un estudio realizado, calcula que si se gastan x miles de dólares en promoción e y miles de dólares en desarrollo, se venderá aproxima90x + 120y damente x+4 y+3 unidades del producto. Asumiendo que el costo por unidad del producto es de 20 dólares, plantear la función de utilidad, teniendo en cuenta el gasto en promoción y en desarrollo. ¿Cuánto deberá gastar el fabricante en desarrollo y cuánto en promoción para obtener la máxima utilidad? Respuesta: Se debe gastar 2 000 dólares en promoción y 3 000 dólares en desarrollo. La utilidad máxima es 4 000 dólares. 15. Problema. Un almacén planea vender dos tipos de camisetas: tipo A y tipo B, las cuales se obtiene a un costo de 2 dólares la unidad. Se estima que si se venden a x dólares la camiseta tipo A y a y dólares la camiseta tipo B, los compradores adquirirán aproximadamente (20 − 70x + 60y) camisetas tipo A y (40 + 40x − 50y) camisetas tipo B. Determinar el precio para la camiseta tipo A y el precio para la camiseta tipo B que debe fijar el vendedor con el fin de obtener la máxima utilidad. Respuesta: Las camisetas tipo A se deben vender a 2.5 dólares y las de tipo B a 2.7 dólares. La utilidad máxima es 7 dólares. 16. Problema. Se require elaborar una caja rectangular abierta de manera que se gasten en su elaboración 300 centímetro cuadrados de material. ¿Cuáles deben ser las medidas de sus lados con el fin de que la caja tenga el máximo volumen posible?, ¿ cuál es el volumen máximo? Respuesta. 10cm × 10cm × 5cm. Volumen máximo: 500cm3 . 17. Problema. Un fabricante produce dos tipos de disolventes tipos A y B, los cuales vende por galones. Se ha estimado que el costo de x galones de disolventes tipo A y de y galones de disolvente tipo B está dado por la expresión C(x, y) = x2 + y 2 + xy, en dólares. Si el fabricante vende cada galón de disolvente tipo A a (8 − 2x) dólares y el galón de disolvente tipo B a (20 − 5y) dólares, determine la cantidad de disolvente tipo A y la cantidad de disolvente tipo B que genera la máxima utilidad. Respuesta. Se deben fabricar 1.0704 galones del disolvente tipo A y 1.5774 galones del disolvente tipo B.

7.5.

Ejercicios sección 1.5.

Resolver mediante el método de los multiplicadores de Lagrange. 1. Hallar el valor mínimo de la función f (x, y) = x2 + y 2 + 3 sujeta a la restricción xy = 1. Respuesta: f (1, 1) = 5. 2. Hallar el valor máximo y mínimo de la función f (x, y) = xy + 4 sujeta a la restricción x2 + y 2 = 1. −1 ) = 3.5 Respuesta: Valor máximo f ( √12 , √12 ) = 4.5. Valor mínimo f ( √12 , √ 2 3. Hallar el valor mínimo de la función f (x, y) = x2 + y 2 − xy + 4 sujeta a la restricción 2x + y = 14. Respuesta: Valor mínimo f (5, 4) = 25 4. Hallar el valor máximo de la función f (x, y) = 30 − x2 − y 2 sujeta a la restricción x + y = 6. Respuesta: Valor máximo f (3, 3) = 12. 5. Hallar el valor máximo de la función f (x, y) = xy − 10 sujeta a la restricción x + y = 1. Respuesta: Valor máximo f ( 12 , 12 ) = −9.75.

6. Hallar el valor máximo y mínimo de la función f (x, y) = exy sujeta a la restricción x2 + y 2 = 32. Respuesta: Valor máximo f (4, 4) = e16 . Valor mínimo f (4, −4) = e−16 . 7. Hallar el valor máximo y mínimo de la función f (x, y) = y 2 − x2 − 2x + 5 sujeta a la restricción x2 + y 2 = 1. √ 3 Respuesta: Valor máximo f ( −1 , ± 2 2 ) = 6.5. Valor mínimo f (1, 0) = 2. 8. Problema. Para encerrar un terreno rectangular se dispone de 640 metros de cerca. ¿De qué manera se deben utilizar los metros de cerca con el fin de encerrar el terreno rectangular de área máxima? ¿Cuál es el área máxima? Respuesta: El terreno debe ser cuadrado de lado 160m. El área máxima es 25 600m2 . 9. Problema. Se requiere encerrar un terreno de forma rectangular con un área de 12800 metros cuadrados. ¿Cuál es la longitud mínima de la cerca requerida para encerrar el terreno, sabiendo que uno de sus lados limita con un rio? Respuesta: La longitud de la cerca debe medir 320 metros 10. Problema. Cierta fábrica requiere elaborar 100 unidades de cierto producto, los cuales se elaboran en dos plantas. El costo de elaborar x unidades en la primera planta e y unidades en la segunda planta está dado por C(x, y) = 2x2 + 3y 2 + 200, en miles de pesos. ¿Cuántas unidades se deben elaborar en la primera planta y cuántas en la segunda planta con el fin de obtener el costo mínimo? ¿cuál es el costo mínimo? Respuesta: Se deben elaborar 60 unidades en la primera planta y 40 en la segunda. El costo mínimo es 12 200 000 pesos. 11. Problema. Se requiere construir una caja rectangular abierta con una capacidad de 12 centímetros cúbicos. El costo del material para construir la caja es de $2 el centímetro cuadrado para los lados laterales y de $3 para la base. Determinar las dimensiones de la caja de menor costo. √ √ √ 3 Respuesta: La caja debe ser de dimensiones 3 16cm × 3 16cm × 3 416 cm. 12. Problema. Un fabricante planea vender cierto tipo de producto a un precio de 125 dólares la unidad, para lo cual debe invertir en promoción y en desarrollo. Ahora según un estudio realizado, calcula que si se gastan x miles de dólares en promoción e y miles de dólares en desarrollo, se venderá aproxima90x damente x+4 + 120y y+3 unidades del producto. Asumiendo que el costo por unidad del producto es de 25 dólares, y que se disponen de 9000 dólares para invertir en promoción y en desarrollo. Plantear la función de utilidad, teniendo en cuenta el gasto en promoción y en desarrollo. ¿Cuánto deberá gastar el fabricante en promoción y cuánto en desarrollo para obtener la máxima utilidad? Respuesta: Se deben invertir 4 000 dólares en promoción y 5 000 dólares en desarrollo. 13. Problema. Las ventas en cientos de dólares mensuales por una empresa están dadas por f (x, y) = 3 1 80x 4 y 4 , donde x representa el dinero en cientos de dólares invertidos para publicidad en televisión e y representa el dinero en cientos de dólares invertidos para publicidad en periódicos. a) Determinar la cantidad de dinero que para publicidad es invertida en televisión y la cantidad de dinero que para publicidad es invertida en periódicos para maximizar las ventas, asumiendo que la compañía dispone para invertir únicamente de $3 200; determinar la venta máxima. b) Utilizar el multiplicador de Lagrange para determinar la utilidad obtenida si en vez de invertir 3200 dólares se invierten 3300. Respuesta: a) Se deben invertir 2 400 dólares en televisión y 800 dólares en periódicos; la venta máxima . es 100f (24,√8) = 100(1458, 88) = 145888 dólares. . . 4 b) λ = 20 27 = 45.5901 y así la venta máxima es 100(f (24, 8) + λ) = 100(1458.88 + 45.5901) = . 100(1504.47) = 150447 dólares. 14. Problema. Suponga que la producción por parte una empresa está dada por 1 3 f (x, y) = 60x 4 y 4 , donde x representa las unidades de mano de obra invertidas en la producción e y representa las unidades de capital invertidas en la producción.

a) Determinar la cantidad de dinero a invertir en la mano de obra y la cantidad de dinero a invertir en capital para maximizar la producción, asumiendo que una unidad de mano de obra equivales a 50 dólares, una unidad de capital equivale a $100 y la empresa dispone de $2 000. Determinar la producción máxima. b) Utilizar el multiplicador de Lagrange para determinar la utilidad obtenida si en vez de invertir 2000 dólares se invierten 2001. Respuesta: a) Se deben invertir 500 dólares en mano de obra y 1 500 dólares en capital. La producción . máxima es f (10, 15) = 813.241 √ 4 3 (54) . . b) λ = 20 = 0.40662 y así la utilidad es f (10, 15) + λ = 813.241 + 0.40662 = 813.647.