UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTÓBAL DE HUAMANGA FACULTAD DE INGENIERÍA DE MINAS, GEOLOGÍA Y CIVIL ESCUELA DE FORMACIÓN
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UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTÓBAL DE HUAMANGA FACULTAD DE INGENIERÍA DE MINAS, GEOLOGÍA Y CIVIL ESCUELA DE FORMACIÓN PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
PRIMERA PRÁCTICA PROGRAMADA DE ESTADISTICA Y PROBALILIDADES ASIGNATURA: ESTADISTICA Y PROBABILIDADES (MA-143)
DOCENTE:
Ing°. CIP Guillermo B. TAPIA CALDERÓN
ALUMNO:
Dennis ALARCON VILA
CODIGO: 16180505
CICLO ACADEMICO: 2019-1-H
TURNO: MAÑANA
AYACUCHO- PERU 2019
ES-241/EP. Ing° CIVIL-I Pca. Programada* Ing° Estadístico e informático G. TAPIA CALDERON
PARTE A. Simbolización de Datos.-CASOS de Sumatoria y Productorias simples A.1 CASO I. Señalar los limites superior e inferior de las sumatorias y desarrollar las “sumas abreviadas” o sea los elementos de las sumatorias simples: A.1.1) ∑𝑵 𝒊=𝟏(𝑿𝟏 + 𝒀𝟏 + 𝒁𝟐 ) = (X1+Y1+ Z1)+ (X2+Y2+ Z2)+ (X3+Y3+ Z3)+…. + (XN+YN+ ZN)
A.1.2) ∑𝟓𝒌=𝟏(𝒀𝒌 + 𝒀𝒑𝒓𝒐𝒎𝒆𝒅𝒊𝒐 ) =(𝑌1 + 𝑌) + (𝑌2 + 𝑌) + (𝑌3 + 𝑌) + (𝑌4 + 𝑌) + (𝑌5 + 𝑌)
A.1.3)∑𝑵 𝒊=𝟏 √𝑿𝒊 𝒀𝒊 + 𝑾𝒊 𝒁𝒊 = √𝑋1 𝑌1 + 𝑊1 𝑍1 + √𝑋2 𝑌2 + 𝑊2 𝑍2 + √𝑋3 𝑌3 + 𝑊3 𝑍3 + ⋯ + √𝑋𝑁 𝑌𝑁 + 𝑊𝑁 𝑍𝑁
A.1.4) ∑𝒏𝒊=𝟏 𝑪𝑰𝑽𝑰𝑳 √𝒙𝒊𝒘 =𝐶𝐼𝑉𝐼𝐿√𝑥1𝑤 + 𝐶𝐼𝑉𝐼𝐿√𝑥2𝑤 + 𝐶𝐼𝑉𝐼𝐿√𝑥3𝑤 + ⋯ + 𝐶𝐼𝑉𝐼𝐿√𝑥4𝑤 A.1.5) ∑𝟓𝒊=𝟑(𝑿𝟏 𝒀𝒊+𝟏 + 𝑾𝒊 𝒁𝒊−𝟏 ) =(𝑋3 𝑌4 + 𝑊3 𝑍2 ) + (𝑋4 𝑌5 + 𝑊4 𝑍3 ) + (𝑋5 𝑌6 + 𝑊5 𝑍4 )
𝟑 3 3 3 3 3 3 A.1.6) ∑𝟐𝟎𝟒 𝒋=𝟏 (𝑰𝑪) = (𝐼𝐶) + (𝐼𝐶) + (𝐼𝐶) + (𝐼𝐶) + (𝐼𝐶) + ⋯ + (𝐼𝐶)
= 204(𝐼𝐶)3
𝟐 A.1.7)∑𝟏𝟎 𝒊=𝟑(𝑿𝒊 − 𝟐)
=(𝑋3 − 2)2 + (𝑋4 − 2)2 + (𝑋5 − 2)2 + (𝑋6 − 2)2 + (𝑋7 − 2)2 + (𝑋8 − 2)2 + (𝑋9 − 2)2 + (𝑋10 − 2)2
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A.2 CASO II. Señale como datos los elementos desarrollados de los ejercicios anteriores y ponga la notación sumatoria simple correspondiente (desde A.2.1 hasta A.2.7; forma invertida de A.1) A.2.1) (X1+Y1+ Z1)+ (X2+Y2+ Z2)+ (X3+Y3+ Z3)+…. + (XN+YN+ ZN) = ∑𝑵 𝒊=𝟏(𝑿𝟏 + 𝒀𝟏 + 𝒁𝟐 )
A.2.2) (𝑌1 + 𝑌) + (𝑌2 + 𝑌) + (𝑌3 + 𝑌) + (𝑌4 + 𝑌) + (𝑌5 + 𝑌) = ∑𝟓𝒌=𝟏(𝒀𝒌 + 𝒀𝒑𝒓𝒐𝒎𝒆𝒅𝒊𝒐 )
A.2.3) √𝑋1 𝑌1 + 𝑊1 𝑍1 + √𝑋2 𝑌2 + 𝑊2 𝑍2 + √𝑋3 𝑌3 + 𝑊3 𝑍3 + ⋯ + √𝑋𝑁 𝑌𝑁 + 𝑊𝑁 𝑍𝑁 =∑𝑵 𝒊=𝟏 √𝑿𝒊 𝒀𝒊 + 𝑾𝒊 𝒁𝒊
A.2.4) 𝐶𝐼𝑉𝐼𝐿√𝑥1𝑤 + 𝐶𝐼𝑉𝐼𝐿√𝑥2𝑤 + 𝐶𝐼𝑉𝐼𝐿√𝑥3𝑤 + ⋯ + 𝐶𝐼𝑉𝐼𝐿√𝑥4𝑤 =∑𝒏𝒊=𝟏 𝑪𝑰𝑽𝑰𝑳 √𝒙𝒊𝒘
A.2.5) (𝑋3 𝑌4 + 𝑊3 𝑍2 ) + (𝑋4 𝑌5 + 𝑊4 𝑍3 ) + (𝑋5 𝑌6 + 𝑊5 𝑍4 ) =∑𝟓𝒊=𝟑(𝑿𝟏 𝒀𝒊+𝟏 + 𝑾𝒊 𝒁𝒊−𝟏 )
A.2.6) (𝐼𝐶)3 + (𝐼𝐶)3 + (𝐼𝐶)3 + (𝐼𝐶)3 + (𝐼𝐶)3 + ⋯ + (𝐼𝐶)3 = 204(𝐼𝐶)3 𝟑 =∑𝟐𝟎𝟒 𝒋=𝟏 (𝑰𝑪)
A.2.7) (𝑋3 − 2)2 + (𝑋4 − 2)2 + (𝑋5 − 2)2 + (𝑋6 − 2)2 𝟐 +(𝑋7 − 2)2 + (𝑋8 − 2)2 + (𝑋9 − 2)2 + (𝑋10 − 2)2 = ∑𝟏𝟎 𝒊=𝟑(𝑿𝒊 − 𝟐)
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A.3. CASO III. Sean los valores X1=3, X2=5, X3=2, X4=6, X5=4 y media aritmética x. Hallar el valor numérico de las sumatorias simples siguientes.
A.3.1) ∑𝟓𝒊=𝟐(𝟑𝑿𝟐𝒊 − 𝟐𝑿𝟐𝟏 ) = (𝟑𝑿𝟐𝟐 − 𝟐𝑿𝟐𝟐 ) + (𝟑𝑿𝟐𝟑 − 𝟐𝑿𝟐𝟑 ) + (𝟑𝑿𝟐𝟒 − 𝟐𝑿𝟐𝟒 ) + (𝟑𝑿𝟐𝟓 − 𝟐𝑿𝟐𝟓 ) =(𝟑(𝟑)𝟐 − 𝟐(𝟓)𝟐 ) + (𝟑(𝟐)𝟐 − 𝟐(𝟐)𝟐 ) + (𝟑(𝟔)𝟐 − 𝟐(𝟔)𝟐 ) + (𝟑(𝟒)𝟐 − 𝟐(𝟒)𝟐 ) = 325 + 16 + 576+ 160 = 1077
A.3.2) ∑𝟓𝒊=𝟏[𝑿𝒊 (𝑿𝒊 − 𝒙) + (𝒙 − 𝑿𝒊 )] =[𝑋1 (𝑋1 − 𝑥) + (𝑥 − 𝑋1 )] + [𝑋2 (𝑋2 − 𝑥) + (𝑥 − 𝑋2 )] [𝑋3 (𝑋3 − 𝑥) + (𝑥 − 𝑋3 )] + [𝑋4 (𝑋4 − 𝑥) + (𝑥 − 𝑋4 )] + [𝑋5 (𝑋5 − 𝑥) + (𝑥 − 𝑋5 )] =[3(3 − 4) + (4 − 3)] + [5(5 − 4) + (4 − 5)] + [2(2 − 4) + (4 − 2)] + [6(6 − 4) + (4 − 6)] + [4(4 − 4) + (4 − 4)] = -2+4-2+10+0 = 10
A.3.3) ∑5𝑖=3(𝑋𝑖2 − 4𝑋𝑖 + 𝑥) =(𝑋32 − 4𝑋3 + 𝑥) + (𝑋42 − 4𝑋4 + 𝑥) + (𝑋52 − 4𝑋5 + 𝑥) =(22 − (4)2 + 4) + (62 − (4)6 + 4) + (42 − (4)4 + 4) = 0 + 16 + 4 = 20
A.3.4) ∑𝟑𝒊=𝟏(𝟑𝑿𝟑𝒊 − 𝟐𝑿𝟐𝒊 ) =(𝟑𝑿𝟐𝟐 − 𝟐𝑿𝟐𝟐 ) + (𝟑𝑿𝟐𝟑 − 𝟐𝑿𝟐𝟑 ) + (𝟑𝑿𝟐𝟒 − 𝟐𝑿𝟐𝟒 ) + (𝟑𝑿𝟐𝟓 − 𝟐𝑿𝟐𝟓 ) =(𝟑(𝟑)𝟐 − 𝟐(𝟓)𝟐 ) + (𝟑(𝟐)𝟐 − 𝟐(𝟐)𝟐 ) + (𝟑(𝟔)𝟐 − 𝟐(𝟔)𝟐 ) + (𝟑(𝟒)𝟐 − 𝟐(𝟒)𝟐 )
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= 325 + 16 + 576+ 160 = 1077
A.3.5) ∑3𝑖=1(𝑋𝑖 𝑋𝑖+1 ) =(𝑋1 𝑋2 ) + (𝑋2 𝑋3 ) + (𝑋3 𝑋4 ) + (𝑋4 𝑋5 ) = (3x5)+(5x3)+(2x6)+(6x4) = 15+10+12+24 = 61
A.4 CASO IV. Dada la fórmula de media aritmética de datos no- agrupados 𝒙 = los límites desde i=1 hasta i=n de las ∑, ∏.Demostrar las igualdades siguientes:
̅ )𝟐 + 𝑿𝒊 (𝑿 ̅ − 𝟏)] = ∑ 𝑿𝟐𝒊 − 𝒏𝑿 ̅ A.3.1) ∑[(𝑿𝒊 − 𝑿 ∑[𝑋𝑖 2 + 𝑋̅ 2 − 2𝑋𝑖 𝑋̅ + 𝑋𝑖 𝑋̅ − 𝑋𝑖 )] = ∑ 𝑋𝑖2 − 𝑛𝑋̅ ∑[𝑋𝑖 2 + 𝑋̅ 2 − 𝑋𝑖 𝑋̅ − 𝑋𝑖 )] = ∑ 𝑋𝑖2 − 𝑛𝑋̅ ∑ 𝑋𝑖2 + ∑ 𝑋̅ 2 − ∑ 𝑋𝑖 𝑋̅ − ∑ 𝑋𝑖 = ∑ 𝑋𝑖2 − 𝑛𝑋̅ ∑ 𝑋𝑖2 + 𝑛(𝑋̅)2 − 𝑋̅(𝑛𝑋̅) − 𝑛𝑋̅ = ∑ 𝑋𝑖2 − 𝑛𝑋̅ ∑ 𝑋𝑖2 − 𝑛𝑋̅ = ∑ 𝑋𝑖2 − 𝑛𝑋̅
l.q.q.d
̅ ) + (𝑿𝒊 − 𝑿 ̅ ) 𝟐 ] = 2 ∑ 𝒙𝒊𝟐 A.3.2) ∑[𝒙𝒊(𝒙𝒊 + 𝑿 ∑[𝑥𝑖 2 + 𝑥𝑖𝑋̅ + 𝑋𝑖 2 + 𝑋̅ 2 − 2𝑋𝑖 𝑋̅ ] = 2 ∑ 𝑥𝑖 2 2 ∑ 𝑥𝑖 2 − ∑ 𝑥i𝑋̅ + ∑ 𝑋̅ 2 = 2 ∑ 𝑥𝑖 2 2 ∑ 𝑥𝑖 2 − 𝑋̅ ∑ 𝑥I + n𝑋̅ 2 = 2 ∑ 𝑥𝑖 2 2 ∑ 𝑥𝑖 2 −𝑋̅n𝑋̅ + 𝑛𝑋̅ 2 = 2 ∑ 𝑥𝑖 2 2 ∑ 𝑥𝑖 2 − n𝑋̅ 2 + n𝑋̅ 2 = 2 ∑ 𝑥𝑖 2 2 ∑ 𝑥𝑖 2 = 2 ∑ 𝑥𝑖 2
l.q.q.d
∑ 𝑿𝒊 𝒏
siendo
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A.3.3)
̅ )𝟐 + 𝟏]=∑ 𝑿𝒊 𝟐 − 𝒏𝑿 ̅𝟐 + 𝟏 ∑ [(𝑿𝒊 − 𝑿 𝒏
1
∑(𝑋𝑖 2 + 𝑋̅ 2 − 2𝑋𝑖 𝑋̅ + ) = ∑ 𝑋𝑖 2 − 𝑛𝑋̅ 2 + 1 𝑛 1
∑ 𝑥𝑖 2 + n𝑋̅ 2 − 2n𝑋̅ 2 + 𝑛( )= ∑ 𝑋𝑖 2 − 𝑛𝑋̅ 2 + 1 𝑛 ∑ 𝑋𝑖 2 − 𝑛𝑋̅ 2 + 1 = ∑ 𝑋𝑖 2 − 𝑛𝑋̅ 2 + 1
A.3.4)
l.q.q.d
̅ ) + (𝑿 ̅ − 𝒙𝒊) ] = ∑ 𝒙𝒊𝟐 – ( ∑ 𝒙𝒊𝟐 )/n ∑[𝒙𝒊(𝒙𝒊 − 𝑿 ∑[𝑥𝑖 2 + 𝑥𝑖𝑋̅ + 𝑋̅ − 𝑥𝑖] = ∑ 𝑥𝑖 2 – ( ∑ 𝑥𝑖 2 )/n ∑ 𝑥𝑖 2 + ∑ 𝑥 i𝑋̅ + ∑ 𝑋̅ - ∑ 𝑋I = ∑ 𝑥𝑖 2 – ( ∑ 𝑥𝑖 2 )/n ∑ 𝑥𝑖 2 + 𝑋̅ ∑ 𝑥I + n𝑋̅ - n𝑋̅ = ∑ 𝑥𝑖 2 – ( ∑ 𝑥𝑖 2)/n ∑ 𝑥𝑖 2 +𝑋̅n𝑋̅ = ∑ 𝑥𝑖 2 – ( ∑ 𝑥𝑖 2 )/n ∑ 𝑥𝑖 2 + n𝑋̅ 2 = ∑ 𝑥𝑖 2 – ( ∑ 𝑥𝑖 2 )/n ∑ 𝑥𝑖 2 + n( ∑ 𝑥𝑖 2 +
A.3.5)
∑ 𝑋i 2
𝑛 (∑ 𝑋i)2 𝑛
) = ∑ 𝑥𝑖 2 – ( ∑ 𝑥𝑖 2 )/n = ∑ 𝑥𝑖 2 – ( ∑ 𝑥𝑖 2 )/n
l.q.q.d.
̅ + 𝑿𝒊 𝟐 + 𝑿 ̅ 𝟐 − 𝟐𝑿𝒊 𝑿 ̅ ] = 𝟐 ∑ 𝒙𝒊𝟐 ∑[𝒙𝒊𝟐 + 𝒙𝒊𝑿 2 ∑ 𝑥𝑖 2 − ∑ 𝑥i𝑋̅ + ∑ 𝑋̅ 2 = 2 ∑ 𝑥𝑖 2 2 ∑ 𝑥𝑖 2 − 𝑋̅ ∑ 𝑥I + n𝑋̅ 2 = 2 ∑ 𝑥𝑖 2 2 ∑ 𝑥𝑖 2 −𝑋̅n𝑋̅ + 𝑛𝑋̅ 2 = 2 ∑ 𝑥𝑖 2 2 ∑ 𝑥𝑖 2 − n𝑋̅ 2 + n𝑋̅ 2 = 2 ∑ 𝑥𝑖 2 2 ∑ 𝑥𝑖 2 = 2 ∑ 𝑥𝑖 2
l.q.q.d
A.3.6) ∏ 𝒀iWiZi = ∏ 𝒀i ∏ 𝑾I ∏ 𝒁
∏ 𝒙 𝒊 𝒚𝒊 𝒛 𝒊 = 𝒙 𝟏 𝒚𝟏 𝒛 𝟏 . 𝒙 𝟐 𝒚𝟐 𝒛 𝟐 . 𝒙 𝟑 𝒚𝟑 𝒛 𝟑 … . . 𝒙 𝒏 𝒚𝒏 𝒛 𝒏 =⏟ 𝑥1 𝑥2 𝑥3 … . 𝑥𝑛 . ⏟ 𝑦1 𝑦2 𝑦3 … . . 𝑦𝑛 . ⏟ 𝑧1 𝑧2 𝑧3 … 𝑧𝑛 ∏ 𝑥𝑖
= ∏ 𝑥𝑖 ∏ 𝑦𝑖 ∏ 𝑧𝑖
∏ 𝑦𝑖
∏ 𝑧𝑖
l.q.q.d.
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PARTE B. simbolización de datos y sumatorias simple. A partir del cuadro bidimensional B.5, que constituye una tabla de doble entrada con valores de Xij. Desarrolle las sumatorias indicadas, asignándoles sus límites superiores e inferiores y, finalmente calcule su valor numérico, para cada caso.
B.5.1)
i1 =
X11 + X21 + X31 + X41
= 2 + 5 + 3 + 1 = 11. B.5.2)
i2 =
X12 + X22 + X32 + X42
= 4 – 1 + 7 + 2 = 12. B.5.3)
i3 =
X13 + X23 + X33+ X43
= 3 - 4 + 1 + 0 = 0. B.5.4)
i4 =
X14 + X24 + X34+ X44
= 2 + 8 – 2 + 6 = 14. B.5.5)
1j =
X11 + X12 + X13+ X14
= 2 + 4 + 3 + 2= 11. B.5.6)
2j =
X21 + X22 + X23+ X24
= 5 - 1 – 4 + 8 = 8. B.5.7)
3j =
X31 + X32 + X33+ X34
= 3 + 7 +1 - 2 = 9. B.5.8)
4j =
X41 + X42 + X43+ X44
= 1 + 2 + 0 + 6 =9. B.5.9)
.2 =
X12 + X22 + X32+ X42
= 4 – 1 + 7 + 2 = 12. B.5.10)
3. =
X31 + X32 + X33+ X34
= 3 + 7 +1 - 2 = 9
i j 1 2
1
2
3
4
2 5
4 -1
3 -4
2 8
3 4
3 1
7 2
1 0
-2 6
ES-241/EP. Ing° CIVIL-I Pca. Programada* Ing° Estadístico e informático G. TAPIA CALDERON
B.5.11)
..
= X11 + X12 + X13+ X14 + X21 + X22 + X23+ X24 + X31 + X32 + X33+ X34 + X31 + X32 + X33+ X34 + X41 + X42 + X43+ X44 = 2 + 4 + 3 + 2 + 5 - 1 – 4 + 8 + 3 + 7 +1 - 2 + 1 + 2 + 0 + 6 = 37
B.5.12)∑ ∑ 𝑿𝒊𝒋 =∑(𝑋1𝑗 + 𝑋2𝑗 + 𝑋3𝑗 + 𝑋4𝑗 ) =(𝑋11 + 𝑋21 + 𝑋31 + 𝑋41 ) + (𝑋12 + 𝑋22 + 𝑋32 + 𝑋42 ) + (𝑋13 + 𝑋23 + 𝑋33 + 𝑋43 ) + (𝑋14 + 𝑋24 + 𝑋34 + 𝑋44 ) = (2+5+3+1) + (4-1+7+2) + (3-4+1+0) + (2+8-2+6) = 11 + 12 + 0 + 14 =37
PARTE C. simbolización de datos y regresión lineal simple. Dada la siguiente tabla Tabla C, donde i=indicador de filas, Xi=tiempo en minutos y Yi=temperaturas en grados centígrados. Completar las columnas por construir que sean pertinentes (que se necesitan), para hacer los cálculos de los valores numéricos de lo que se pide.
TABLA N° C Xi t min
Y1 T°C
(𝑋𝑖 − 𝑋̅)2
(𝑌𝑖 − 𝑌̅)2
𝑥𝑖
𝑦𝑖
𝑥𝑖 𝑦𝑖
𝑥𝑖2
2
0 1
70 77
9 4
1849 1296
-3 -2
-43 -36
129 72
9 4
3
2
92
1
441
-1
-21
21
1
4
3
118
0
25
0
5
0
0
5
4
136
1
529
1
23
23
1
6
5
143
4
900
2
30
60
4
7
6
155
9
1764
3
42
126
9
i 1
∑(𝑋𝑖 ∑ X i =21
∑ 𝑦𝑖 = 791
− 𝑋̅)2 = 28
∑(𝑌𝑖 − 𝑌̅)2 = 6804
∑ 𝑥𝑖 𝑦𝑖 = ∑ 𝑋𝑖 2 = 431 28
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̅ C.1. Media muestral de X: 𝑿
𝑋̅=
∑𝑛 𝑖=1 𝑋𝑖 𝑛
=
𝑥1+𝑥2+𝑥3+𝑥4+𝑥5+𝑋6+𝑋7 𝑛
=
0+1+2+3+4+5+6 7
=
21 7
=3
̅ C.2.Media muestral de Y: 𝒀 ∑𝑛 𝑖=1 𝑦𝑖
𝑌̅=
𝑛
=
𝑥𝑦+𝑦2+𝑦3+𝑦4+𝑦5+𝑌6+𝑌7 𝑛
=
70+77+92+118+132+143+155 7
=
791 7
= 113
̅ C.3.Variancia muestral de las X: 𝑿 2
̅ 2 ∑𝑛 𝑖=1(𝑥𝑖−𝑋 )
S x=
𝑛
=
(0−3) 2 +(1−3) 2 +(2−3) 2 +(3−3) 2 +(4−3) 2 +(5−3) 2 +(6−3) 2 7
28
= 7 =4
̅ C.4.Variancia muestral de las Y: 𝒀 S2y=
̅ 2 ∑𝑛 𝑖=1(𝑥𝑖−𝑌)
𝑛 (70−113) 2 +(77−113) 2 +(92−113) 2 +(118−113) 2 +(132−113) 2 +(143−113) 2 +(155−113) 2 = 7 6804 = =972 7
C.5. 𝑛
∑ 𝑋𝑖𝑌𝑖 𝛽̂=∑𝑛1 𝑋𝑖2 = donde xi = Xi - 𝑋̅ ; yi = Yi - 𝑌̅ : β=coeficiente de regresión lineal simple. 𝑖=1
∑𝑛 1 𝑋𝑖𝑌𝑖 2 ∑𝑛 𝑖=1 𝑋𝑖
=
431 28
= 15.393
C.6. 𝛼̂ = 𝑌̅ - β𝑋̅
α= intersección de la recta con el eje y' α= 113 – 15.393 x 3 = 66.821
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T°C
𝑌 ̅= 𝛼 - β𝑋 ̅ 180 160 140 120 100 80 60 40 20 0 0
1
2
3
4
tiempo t min
C.7 para X=14 ¿Cuánto valdrá Y’? 𝛼̂ = 𝑌̅ - β𝑋̅ Yi=66.821+(15.393)14 Yi=282.323
C.8. para X=20, ¿Cuánto valdrá Y’? Yi=66.821+(15.393)20 Yi=374.681
C.9. coeficiente de correlación(r) 𝑟=
𝑆𝑋𝑌 𝑆𝑋 𝑆𝑌 61.57
𝑆𝑋𝑌 =
∑ 𝑋𝑌 𝑛
− ̅̅̅̅ 𝑋𝑌
2804 − 7
r = 2𝑥31.17
𝑆𝑋𝑌 =
r = 0.9876
𝑆𝑋𝑌 = 61.57
3𝑋113
5
6
7
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C.10. coeficiente de determinación (𝒓𝟐 ) 1
2
3
4
5
6
7
e
3.179
-5.214
-5.607
5
-7.607
-0,786
-4.179
𝑒2
10.106
27.185
31.438
25
57.866
0.617
17.464
∑ 𝑒2 ̅ )2 𝑖 −𝑌
r2 = 1-∑(𝑌
187.676 6804
r2 = 1-
r2 = 0.9724
C.11. coeficiente de alejamiento 𝑆
𝑟 2 = (𝑆 𝑋𝑌 )2 x 100% 𝑆 𝑋 𝑌
1-𝑟 2 =1-0.9724 x 100% 1-𝑟 2 =1-97.24% 1-𝑟 2 =2.86%
C.12. hallar el coeficiente de variación para x 𝑆
C.V= 𝑋̅𝑋 2
C.V= 3 C.V=0.6
C.13. hallar el coeficiente de variación para Y 𝑆 𝑌
C.V= ̅𝑌 31.17
C.V= 113
C.V=0.275
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PARTE D. simbolización de datos y regresión lineal simple. Los siguientes datos se obtuvieron para la dureza X, y el esfuerzo de la tensión Y, en cinco (5) muestras de un material vaciado: TABLA N° D i
Xi (dureza)
Y1 (esfuerzo de tensión)
(𝑋𝑖 − 𝑋̅)2
(𝑌𝑖 − 𝑌̅)2
𝑥𝑖
𝑦𝑖
𝑥𝑖 𝑦𝑖
𝑥𝑖2
1 2
53 70
29 34
49 100
9 4
-7 10
-3 2
21 20
49 100
3
55
30
25
4
-5
-2
10
25
4
53
31
49
1
-7
-1
7
49
5
69
36
81
16
9
4
36
81
∑(𝑋𝑖 − 𝑋̅)2
∑(𝑌𝑖 − 𝑌̅)2
= 304
= 34
∑ X i =300 ∑ 𝑦 =160 𝑖
∑ 𝑥𝑖 𝑦𝑖 = ∑ 𝑋𝑖 2 = 94 304
̅ D.1. Media muestral de X: 𝑿 𝑋̅=
∑𝑛 𝑖=1 𝑋𝑖 𝑛
=
𝑥1+𝑥2+𝑥3+𝑥4+𝑥5+ 𝑛
=
53+70+55+53+69 5
=
300 = 5
60
̅ D.2.Media muestral de Y: 𝒀 𝑌̅=
∑𝑛 𝑖=1 𝑦𝑖 𝑛
=
𝑥𝑦+𝑦2+𝑦3+𝑦4+𝑦5 𝑛
=
29+34+30+31+36 5
=
160 = 5
32
̅ D.3.Variancia muestral de las X: 𝑿 2
S x=
̅ 2 ∑𝑛 𝑖=1(𝑥𝑖−𝑋) 𝑛
=
(57−60) 2 +(70−60) 2 +55−60) 2 +(53−60) 2 +(69−60) 2 + 5
̅ D.4.Variancia muestral de las Y: 𝒀 S2y=
̅ 2 ∑𝑛 𝑖=1(𝑥𝑖−𝑌)
𝑛 (29−32) 2 +(34−32) 2 +(30−32) 2 +(31−32) 2 +(36−32) 2 + = 5
34
= 5 =6.8
=
304 5
=60.8
ES-241/EP. Ing° CIVIL-I Pca. Programada* Ing° Estadístico e informático G. TAPIA CALDERON
𝒏
̂ = ∑𝒏𝟏 𝑿𝒊𝒀𝒊 = donde xi = Xi - 𝑿 ̅ ; yi = Yi - 𝒀 ̅ : β=coeficiente de regresión lineal simple. D.5.𝜷 ∑ 𝑿𝒊𝟐 𝒊=𝟏
∑𝑛 1 𝑋𝑖𝑌𝑖 2 ∑𝑛 𝑖=1 𝑋𝑖
̅ - β𝑿 ̅ ̂=𝒀 D.6 .𝜶
=
94 304
= 0.3092
α= intersección de la recta con el eje y'
α= 32 – 0.3092 x 60 = 13.448 40
ESFUERZO A LA TENSIÓN
35 30 25 20 15 10 5 0 0
10
20
30
40
DUREZA
D.7. para X=14, ¿Cuánto valdrá Y’? 𝛼̂ = 𝑌̅ - β𝑋̅ Yi=13.448+(0.309)14 Yi=17.773
D.8. para X=20, ¿Cuánto valdrá Y’? Yi=13.448+(0.309)20 Yi=19.628
D.9. coeficiente de correlación(r) 𝑆
𝑟 = 𝑆 𝑋𝑌 𝑆
𝑋 𝑌
r=
18.8 60.8𝑥 √ √6.8
r = 0.9245
𝑆𝑋𝑌 = 𝑆𝑋𝑌 =
∑ 𝑋𝑌 𝑛
̅̅̅̅ − 𝑋𝑌
9694 − 5
𝑆𝑋𝑌 = 18.8
60𝑋32
50
60
70
80
ES-241/EP. Ing° CIVIL-I Pca. Programada* Ing° Estadístico e informático G. TAPIA CALDERON
D.10. coeficiente de determinación (𝒓𝟐 ) 1
2
3
4
5
6
7
e -0.836
-0.836
-0.836
-0.836
-0.836
-0.836
-0.836
0.698
0.698
0.698
0.698
0.698
0.698
0.698
𝑒2
∑ 𝑒2 ̅ )2 𝑖 −𝑌
r2 = 1-∑(𝑌
4.934 34
r2 = 1-
r2 = 0.855
D.11. coeficiente de alejamiento 𝑆
𝑟 2 = (𝑆 𝑋𝑌 )2 x 100% 𝑆 𝑋 𝑌
1-𝑟 2 =1-0.855 x 100% 1-𝑟 2 =1-85.50% 1-𝑟 2 =14.50%
D.12. hallar el coeficiente de variación para x 𝑆
C.V= 𝑋̅𝑋 7.797 60
C.V=
C.V=0.1299
D.13. hallar el coeficiente de variación para Y 𝑆
C.V= 𝑌̅𝑌 2.6076 32
C.V=
C.V=0.0814