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• Pamela Blanco

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Decisiones bajo certidumbre

Herramientas Matemáticas VI Modelos de Simulación 1

Teoría de la decisión Una de las actividades que los seres humamos, las empresas y las organizaciones hacen a diario y generalmente varias veces al día es decidir. Decidir es elegir una alternativa entre varias opciones. La toma de decisiones es un proceso que comienza con un problema u objetivo por alcanzar. Luego se establen los criterios de decisión, o sea, qué vamos a evaluar. Por último, se presentan las diferentes alternativas para la elección. Cada una de las etapas del proceso de toma de decisiones requiere datos que nos permitan comparar las distintas opciones. En este sentido, tenemos tres categorías de decisiones.  Decisiones bajo certidumbre: los datos se conocen con certeza, o sea, en forma determinista.  Decisiones bajo riesgo: los datos se presentan como distribuciones de probabilidad.  Decisiones bajo incertidumbre: no se les puede asignar valores o pesos que determinan su importancia. (Taha, 2004)

Decisiones bajo certidumbre Cuando se conocen todos los datos de forma determinista, existen varios métodos para encontrar la mejor decisión. Algunos de estos son los modelos de programación matemática (programación lineal, entera, dinámica, etc.). Otro método muy utilizado es el proceso de jerarquización analítica (AHP, por sus siglas en inglés).

Proceso de jerarquización analítica (AHP) El proceso de jerarquización analítica (o proceso analítico de jerarquía) fue desarrollado por Saaty (1980) y proporciona una herramienta efectiva para resolver problemas de decisiones donde existen múltiples criterios. La idea del proceso es establecer un conjunto de prioridades que llevan a una mejor decisión (Mann y Triantaphyllou, 1995). El AHP define un conjuto de criterios de evaluación y un conjunto de diferentes alternativas, entre las cuales se toma la mejor decisión. El AHP

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requiere que quien toma la decisión establezca la importancia relativa de cada criterio de evaluación. Se genera así un peso para cada criterio de acuerdo con la comparación dos-a-dos de los criterios hecha por el tomador de decisiones. El mayor de los pesos corresponde al criterio más importante. Una característica destacada que tiene este proceso es que permite incorporar en la comparación aspectos objetivos y subjetivos. Por cada criterio de evaluación, el proceso de jerarquización analítica asigna valores a las distintas alternativas de acuerdo con una comparación dos-a-dos, hecha por quien toda la decisión, de las opciones de ese criterio. Como paso final, el AHP combina los pesos de los criterios con los valores de las alternativas, genera así el valor global de cada opción permite ordenarlas por su valor numérico. El AHP puede representar de manera gráfica como sigue. Figura 1: Diagrama de un AHP

Fuente: adaptado Saaty, 1980.

Ejemplo modelo La siguiente situación nos va a servir como modelo para ilustrar las diferentes etapa de un AHP.

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Supongamos que el área de recursos humanos de una empresa tiene que contratar a una persona para cubrir un puesto del área técnica. Luego de una serie de etapas, solo quedan 3 candidatos. En esta situación, tenemos que el objetivo final es contratar una persona y para ello tenemos 3 alternativas: candidato A, candidato B y candidato C. Los criterios que se van a utilizar son experiencia (E), currículo (CV) y actitud (AC).

Vector de pesos de los criterios El primer paso en un AHP es determiniar los pesos de cada uno de los criterios. Para ello se contruye una matriz real 𝐴 de tamaño 𝑛 𝑥 𝑛, donde 𝑛 es la cantidad de criterios. Las entradas 𝑎𝑖𝑗 de la matriz representan la importancia del criterio 𝑖 respecto del criterio 𝑗. Es decir,  si la entrada 𝑎𝑖𝑗 > 1, significa que el criterio 𝑖 es más importante que el criterio 𝑗,  si 𝑎𝑖𝑗 = 1, el criterio 𝑖 es igualmente importante que el criterio 𝑗,  si 𝑎𝑖𝑗 < 1, entonces el criterio 𝑖 es menos importante que el criterio 𝑗. Además, se cumple que 𝑎𝑖𝑖 = 1 y 𝑎𝑖𝑗 𝑎𝑗𝑖 = 1. El grado de importancia relativa entre dos criterios se mide en una escala numérica de 1 a 9, donde cada valor es establecido por el tomador de decisiones de acuerdo con sus consideraciones. Los significados de los valores son: Tabla 1: Escala de importancia Intensidad de Importancia

Definición

1

Igualmente importante.

2

Levemente importante.

3

Moderadamente importante.

4

Más que moderadamente importante.

5

Fuertemente más importante.

6

Más que fuertemente importante.

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Muy fuertemente importante.

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Entre muy fuerte y extremadamente fuerte.

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Extremadamente importante.

Fuente: adaptado de Saaty, 2008.

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Una vez construida la matirz 𝐴, se procede a su normalización. Esta nueva matriz, que denotamos con 𝐴nor , es definida por: 𝑎𝑖𝑗 𝑎𝑖𝑗 = 𝑛 ̅̅̅̅ . ∑𝑘=1 𝑎𝑘𝑖 El vector de peso de los criterios tiene 𝑛 componentes y está definido por: ∑𝑛𝑘=1 ̅̅̅̅ 𝑎𝑖𝑘 𝑤𝑖 = . 𝑛

Vector de pesos de criterios del ejemplo modelo Los criterios que el área de recursos humanos estableció fueron: actitud (criterio 1), experiencia (criterio 2) y currículo (criterio 3). La matriz de comparaciones 𝐴 queda determinada por: 1 6 4 1⁄ 1 1⁄ 𝐴=( 6 3). 1⁄ 3 1 4 La matriz normalizada es 6 12⁄ 12⁄ 17 ⁄10 16 2 1 1 𝐴nor = ⁄17 ⁄10 ⁄16 . 3 3⁄ 3⁄ ( ⁄17 10 16 ) Por último, el vector de pesos de los criterios es (𝑤1 , 𝑤2 , 𝑤3 ) = (0,68; 0,1; 0,22). Por lo tanto, la actitud del candidato es el criterio que tiene más peso a la hora de contratar.

Matriz de valores de las alternativas Luego de determinar los pesos de cada criterio, el siguiente paso es calcular los valores de las distintas alternativas. Estos son representados en una matriz 𝐵 de tamaño 𝑛 𝑥 𝑚 (cantidad de criterios por cantidad de alternativas). Cada entrada 𝑏𝑖𝑗 representa el valor de la alternativa 𝑗 respecto del criterio 𝑖. Para construir dicha matriz, fijamos un criterio 𝑖 y realizamos las comparaciones dos-a-dos de las diferentes alternativas respecto a ese criterio. Esto determina una matriz 𝑆 𝑖 cuyas entradas representan la importancia relativa entre las alternativas respecto al criterio 𝑖 . Este procedimiento es el mismo que define la matriz 𝐴. Obtenemos así, luego de normalizar, un vector de pesos de las alternativas respecto del criterio 𝑖, que define la fila 𝑖 de la matriz 𝐵:

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(𝑏𝑖1 , 𝑏𝑖2 , … , 𝑏𝑖𝑚 ).

Matriz de valores de las alternativas en el ejemplo modelo En nuestro caso, tenemos 3 alternativas, que son los 3 candidatos para el puesto de trabajo: A, B o C. La matriz 𝐵 tendrá entonces tamaño 3x3. Las matrices de las comparaciones dos-a-dos de los candidatos respecto a cada uno de los criterios (1=actitud, 2=experiencia, 3=currículo), junto con su normalizada, están dadas por las siguientes matrices:

A B C

A B C

1 A 1 𝑆 1 = B ( ⁄3 C 1⁄ 2

6⁄ 3 2 11 A 1 1⁄3) , 𝑆 1 = B 2⁄ nor 11 C 3 3 1 ( ⁄11

3⁄ 7 1⁄ 7 3⁄ 7

6⁄ 10 1⁄ 10 ; 3⁄ 10)

1⁄ 1⁄ 8 A 2 2 5 4 ) , 𝑆nor = B ⁄8 C 2 1 ⁄ ( 8

4⁄ 29 20⁄ 29 5⁄ 29

1⁄ 11 8⁄ 11 ; 2⁄ 11)

1 A 1 ⁄5 𝑆 2 = B (5 1 C 2 1⁄ 4

A 1 3 𝑆 = B (1⁄ 3 C 3

3⁄ 3 1⁄3 13 A 3 1 1 1⁄5) , 𝑆nor = B ⁄13 C 9 ⁄ 5 1 ( 13

3⁄ 5⁄ 9 23 3⁄ 1⁄ 9 23 . 5⁄ 15⁄ 9 23)

Luego la matriz 𝐵 de los pesos de cada alternativa respecto de cada criterio es: 0,525 0,142 0,333 𝐵 = (0,118 0,681 0,201). 0,261 0,106 0,633 De esta manera, la columna de 𝐵 de mayor suma es la tercera, lo que significa que el candidato C tiene mayor valor respecto de los candidatos A y B de acuerdo con los criterios 1, 2 y 3. Por lo tanto, el candidato 3 será el contratado.

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Consistencia de las matrices de comparación Las matrices de comparación establecen valores de importancia relativa entre dos objetos. El tomador de decisiones realiza estas comparaciones de acuerdo con su propio juicio. Algunas veces puede producirse inconsistencia en las comparaciones, por ejemplo: el criterio 1 es más importante que el criterio 2, el criterio 2 más importante que el criterio 3, y el criterio 3 más importante que el criterio 1. O también que la alternativa 1 seja fuertemente más importante que la alternativa 2, que la alternativa 2 sea fuertemente más importante que la alternativa 3, y que la alternativa 1 sea levemente más importante que la alternativa 3. El AHP proporciona un método efectivo para determinar el grado de consistencia de las matrices de comparación. Sea 𝐴 la matriz de comparación 𝑛 𝑥 𝑛, 𝐴nor la matriz normalizada y 𝑤 el vector de pesos. Decimos que la matriz 𝐴 es consistente si cumple 𝐴𝑤 = 𝑛𝑤 (Berumen y Llamazares Redondo, 2007). Cuando la matriz de comparaciones no es consistente, se calcula un radio de consistencia que determina de esta manera si la inconsistencia es aceptable o no. Si la inconsistencia no es aceptable, entonces el tomador de decisiones deberá reevaluar sus juicios en las comparaciones. El radio de consistencia (CR) se calcula como sigue. Sea 𝑥 la suma de los 𝑗 elementos del vector 𝐴𝑤, es decir, 𝑥 = ∑𝑛𝑖=1(∑𝑗=1 𝐴𝑖𝑗 𝑤𝑗 ). El índice de consistencia de 𝐴 es dado por: 𝑥−𝑛 𝐶𝐼 = . 𝑛−1 La consistencia aleatoria de 𝐴 es definida por: 1,98(𝑛 − 1) 𝑅𝐼 = . 𝑛 Así, el radio de consistencia es: 𝐶𝐼 𝐶𝑅 = . 𝑅𝐼 Si 𝐶𝑅 ≤ 0,1 se dice que la inconsistencia de la matriz es aceptable. Caso contrario, la inconsistencia es alta, y el tomador de decisiones deberá revisar cada una de las comparaciones.

Consistencia de las matrices del ejemplo modelo 1) Matriz 𝐴: 1 1⁄ 𝐴𝑤 = ( 6 1⁄ 4

6 4 0,68 2,16 1 1⁄3) ( 0,1 ) = (0,29), 0,22 0,69 3 1

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luego 𝑥 = 3,14. Así 𝐶𝐼 = 0,07, y 𝑅𝐼 = 1,32. Luego, 𝐶𝑅 = 0,05, y por lo tanto la matriz 𝐴 tiene una inconsistencia aceptable. 2) Matriz 𝑆 1 : 1 3 2 1,167 0,525 1 1⁄ 1 ⁄ 1 𝑆 𝑤=( 3 3) (0,142) = (0,428), 1⁄ 3 1 1,021 0,333 2 Luego, 𝑥 = 3,066. Así, 𝐶𝐼 = 0,03, y 𝑅𝐼 = 1,32. Después, 𝐶𝑅 = 0,025, y, por lo tanto, la matriz 𝑆 1 tiene una inconsistencia aceptable.

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Referencias Taha, H. (2004). Investigación de operaciones. México: Pearson Educación. Saaty, T. L. (1980). The Analytic Hierarchy Process. New York, NY: McGraw-Hill.

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