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• Javier Ortiz

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DEPARTAMENTO DE: ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA CARRERA DE: INGENIERÍA ELECTRÓNICA EN AUTOMATIZACIÓN Y CONTROL

ASIGNATURA: Robótica Industrial PROFESOR: ING. Luis Orozco

NRC: 4437

Tarea 1: Representación Espacial de Cuerpos Rígidos JAVIER ORTIZ 06 DE MAYO DE 2019

1. Dada la siguiente matriz de 3 X 3

0.3536 −0.6124 0.7071 M = 0.9268 0.1268 −0.3536 0.1268 0.7803 0.6124

[

]

Determinar si constituye una matriz de rotación (considerando errores de redondeo razonables). Justificar la respuesta.

2. Considerar la matriz de rotación R tal que

0 −1 0 R= 0 0 1 −1 0 0

[

]

Considerar que dicha rotación fue aplicada a un sistema de referencia. a) Esbozar el sistema de referencia inicial y el sistema final luego de aplicar la rotación mostrada. b) Determinar una posible secuencia de rotaciones canónicas en X , Y y Z que pudieron dar origen a R.

3. Un sistema de referencia {B} y un sistema de referencia {A} son inicialmente coincidentes. El sistema {B} es rotado un ángulo ∝ alrededor de

xˆB , y luego rotado un ángulo 𝛃 alrededor del nuevo eje yˆ B .

a) Calcule la matriz de rotación que transforma las coordenadas de un vector posición “p” del sistema {B} al sistema {A} b) Calcule la matriz de rotación que transforma las coordenadas de un vector posición “p” del sistema {A} al sistema {B}

4. Se tiene un vector posición dado por B ❑

2 p= 4 3

3 p= 5 2

[] [] B ❑

Con respecto al sistema {B}, y se tiene la matriz de rotación B ❑

1 0 0 R A = 0 0.6 0.8 0 −0.8 0.6

[

]

a) Calcular el vector posición A p con respecto al sistema {A}.

b) Usando el vector A p obtenido y la matriz de rotación, encontrar B p. Verificar que el resultado sea coherente. c) Realice un gráfico para ilustrar la transformación de los anteriores literales

5. Sean los sistemas de referencia { A } , { B } , { C }. Dadas las matrices de Rotación A ❑

1 0 RB 0 1/2 0 −√ 3 /2

[

0 √ 3/2 1/2 B

]

Encontrar la matriz de Rotación ❑ RC .

y

A ❑

0 −1 0 RC 1 0 0 0 0 1

[

]

6. Se tiene un sistema de referencia fijo {F}. A un sistema {A} inicialmente coincidente con {F} se le aplica una rotación de θ grados alrededor del eje z. Seguidamente, al sistema resultante se le aplica una rotación de —90° alrededor del eje x del sistema {F}. Finalmente, a este nuevo sistema se le aplica una rotación de 90° alrededor del nuevo eje y. La matriz de rotación resultante es

0 0.86 −0.5 R= −1 0 0 0 0.5 0.86

[

]

Usando esta matriz resultante, determinar el valor del ángulo θ .

7. Considerar la siguiente figura

1

0

2

a) Determinar las materices de rotación ❑ R3 , ❑R 2 , ❑ R1 b) Usando la composición de las matrices anteriores encontrar ❑0 R3 , y verificar el resultado por inspección (usando el significado de las columnas de la matriz)

8. En la figura a la derecha se observa, como el sistema móvil O'UVW se encuentra inicialmente orientado con respecto al sistema fijo OXYZ. Después de esto, el sistema móvil O’UVW realiza los siguientes movimientos en el orden señalado:   

Primer Movimiento: Rotació n respecto al eje OZ de - π/2 radianes Primer Movimiento: Rotació n respecto al eje O'V de 45 grados Primer Movimiento: Rotació n respecto al eje O'U de -90 grados

a) Determine la orientació n final del sistema O'UVW respecto al sistema O'XYZ. b) Determine la orientació n final del sistema O'XYZ respecto al sistema O'UVW. c) Determine las componentes del vector ruvw expresado en el sistema O’UVW, si dicho vector en el sistema fijo O'XYZ es rxyz=[4 3 1] centímetros

3 2 9. En la figura,r 1= 0 y r 2= 1 ,informan la posición del origen del sistema O'UVW 0 3

[] []

respecto al sistema O'XYZ. Hallar en base a esto:

(a) La posició n y orientació n del sistema O’UVW respecto al sistema O’XYZ en los estados 1 y 2 utilizando coordenadas cilíndricas y matriz de rotació n (b) La posició n del sistema O’XYZ respecto al sistema O’UVW de los estados 1 y 2 en coordenadas cartesianas. (c) El vector desplazamiento en coordenadas esféricas, para que el sistema mó vil O’UVW pase del estado 1 al estado 2.