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UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE

PROCESOS ESTOCÀSTICOS TEMA: “EJERCICIOS CAP. IV” NOMBRE: Ruiz Osorio Cristian Mauricio NIVEL: QUINTO CARRERA: ELECTRÓNICA

05/ 05 / 2014

CAPITULO 4 PROBABILIDAD CONDICIONAL E INDEPENDENCIA PROBABILIDAD CONDICIONADA 4.42 Se selecciona un dígito al azar del 1 al 9. Considere los eventos A= {1, 3, 5, 7, 9}, B= {2, 3, 5, 7}, C= {6, 7, 8, 9}. Encuentre: a) P(A B) Y P(AUC) (

)

(

)

b) P(A/B) Y P(B/A) (

)

(

(

)

(

) ( )

⁄ ⁄

) ( )

⁄ ⁄

c) P(A/C) Y P(C/A) (

)

(

(

)

(

) ( )

⁄ ⁄

) ( )

⁄ ⁄

d) P(B/C) Y P(C/B) (

)

(

(

)

(

) ( )

⁄ )

( )

⁄

⁄ ⁄

4.44 Sea A y B eventos son P(A)=0.6, P(B)=0.3; P(A^B)=0.2. Encuentre: a) P(AUB) (

)

( ) ( ) ( 0.6 + 0.3 – 0.2

)

2

b) P(A/B) (

(

)

) ( )

⁄ ⁄

c) P(B/A) (

(

)

) ( )

⁄ ⁄

4.46 Sean A y B eventos de P(A)=1/3, P(B)=1/4 y P(AUB)=1/2. Encuentre: a) P(A/B) y P(B/A) (

)

( ) ⁄ *

( ) ⁄

⁄ (

)

(

(

)

(

) ( )

⁄ )

( )

⁄

⁄ ⁄

b) Son A y B independientes No, porque la ( )

(

)

4.48 Se selecciona dos canicas, una después de otra sin reposición de una caja que contiene 3 blancas y 2 rojas. Encuentre la probabilidad P de que: a) Las dos canicas sean blancas ( ) b) Las dos canicas sean rojas ( ) c) La segunda sea blanca si la primera es roja ( )

3

d) La segunda sea roja si la primera es blanca ( )

4.50 Se seleccionan dos dígitos diferentes al azar entre dígitos de 1 hasta 5 S=(1,2,3,4,5) a) Si la suma es impar ¿Cuál es la probabilidad que el segundo sea uno de los números seleccionados? S=(1,2) S=(3,2) S=(5,2) ( ) b) Si dos es uno de los dígitos seleccionados ¿Cuál es la probabilidad de que la suma sea impar? S=(2,1) S=(2,3) S=(2,5) ( )

4

4.52 Un dado es alterado para producir la siguiente distribución de probabilidad: Numero Probabilidad

1 0.2

2 0.1

3 0.1

4 0.3

Sea A=[1,2,3]; B=[2,3,5], C=[2,4,6]. Encuentre: a) P(A), P(B), P(C) P(A)= 0.2+0.1+0.1=0.4 P(B)=0.1+0.1+0.1=0.3 P(C)=0.1+0.3+0.2=0.6 b) P(A’), P(B’), P(C’) ( ) (

)

( ) c) P(A|B), P(B|A) (

( | )

) ( )

( | )

(

( | )

) ( )

( | ) d)P(A|C), P(C|A) (

( | )

) ( )

( | )

5

5 0.1

6 0.2

(

( | )

) ( )

( | ) e) P(B|C), P(C|B) (

( | )

) ( )

( | ) (

( | )

) ( )

( | )

4.54 Suponga que el 60% de la clase de primer año de una pequeña universidad son mujeres. Además, suponga que el 25% de los hombres y el 10% de las mujeres de la clase están estudiando matemáticas. Se elige al azar un estudiante de 1er año. Halle la probabilidad de que:

a) El estudiante este estudiando matemáticas (

)

(

)(

)

(

)(

)

b) Si el estudiante está estudiando matemáticas, determine la probabilidad de que el estudiante sea mujer

6

(

(

)

) (

)

Matemáticas

4.56 Se tiene dos cajas de la siguiente manera: La caja A contiene 5 canicas rojas, 3 canicas blancas y 8 canicas azules La caja b contiene 3 canicas rojas, 5 canicas blancas Se selecciona una caja al azar y se escoge aleatoriamente una canica, encuentre la probabilidad de que la canica sea:

a) Roja (

)

(

)

(

)

b) Blanca (

)

(

)

(

)

7

c) Azul (

)

(

)

PROCESOS ESTOCÁSTICOS FINITOS 4.58 Considere la caja A y la caja B en el problema 4.56. Un dado equilibrado es lanzado; si aparece 3 o 6 se selecciona una canica aleatoriamente de A, de lo contrario se selecciona una canica de B. Encuentre la probabilidad de que la canica sea:

a) Roja ( )

(

)

(

)

b) Blanca ( ) (

)

(

)

c) Azul ( )

)

(

8

4.60 Una caja contiene 3 monedas, 2 de ellas corrientes y una de dos caras. Se selecciona una moneda al azar y se lanza dos veces. Si aparece cara ambas veces ¿Cuál es la probabilidad de que la moneda tenga dos caras?

Moneda 2 caras HH Dos veces cara H y H (

)

(

) (

)

( ⁄

⁄

⁄ )

( ⁄

⁄

⁄ )

4.62. Tenemos dos cajas en la siguiente distribución: La caja A contiene x canicas rojas y y canicas blancas. La caja B contiene z canicas rojas y t canicas blancas. (a) Se selecciona una caja al azar y se saca una canica. Encuentre la probabilidad de que la canica sea roja. (b) Una canica se selecciona de A y se pone en B, luego se saca una canica de B. Encuentre la probabilidad de que la segunda canica sea roja.

9

a) (

)

( ) (

( b) ( )

)

( )(

(

( )

)

( )

(

)

(

)(

( )

) ) (

)(

)

)

PROBABILIDAD TOTAL Y FÒRMULA DE BAYES 4.64 Refiérase al problema 4.63 suponga que se selecciona un distrito al azar y luego se selecciona aleatoriamente un votante registrado del distrito a) Encuentre la probabilidad de que el votante este inscrito como demócrata P(demócrata) =

1 1.5 1 (0.5 + 0.25 + 0.75) = = = 0.5 3 3 2

P(demócrata) = 50%

10

b) Si el votante registrado está inscrito como demócrata, encuentre la probabilidad de que el votante proviniera del distrito A

1 * 0 .5 P( A  democrata) 1 P(A\demócrata) = = 3 = P(democrata) 3 0 .5

4.66 Refiérase al problema 4.65. Suponga que una de las cuatro clases se escoge aleatoriamente y luego se selecciona aleatoriamente un estudiante de la clase. a) Encuentre la probabilidad de el estudiante sea mujer P(mujer) =

1 1.95 39 (0.6 + 0.4 + 0.4 + 0.45) = = = 0.487 4 4 80

P(mujer) = 48.7 % b) Si el estudiante es mujer, ¿Cuál es la probabilidad de que sea un estudiante de 2do año? 1 * 0 .4 0.1 P(2do\mujer) = 4 = = 0.205 0.487 0.487 P(2do\mujer) = 20.5 %

4.68 Refiérase al problema 4.67. Suponga que se escoge una fábrica aleatoriamente de sus bombillos es seleccionado. Si el bombillo es defectuoso encuentre la probabilidad de que este provenga de: P(defectuoso) =

1 0.04 (0.02 + 0.04 + 0.03) = = 0.03 3 3

a) La fábrica A P(A\defectuoso) = b) La fábrica B P(B\defectuoso) =

P( A  defectuoso) 0.0066 2 = =0.222 = P(defectuoso) 0.03 9 P( B  defectuoso) 0.0133 4 = =0.444 = P(defectuoso) 0.03 9

11

c) La fábrica C P(C  defectuoso) 0.01 1 = =0.333 = P(defectuoso) 0.03 3

P(C\defectuoso) =

4.70 Una caja A contiene 5 canicas rojas y 3 canicas azules y la caja B contiene 2 rojas y 3 azules. Se saca una canica aleatoriamente de cada caja. Encuentre la probabilidad p de que: a) Ambas canicas sean rojas. b) una sea roja y una sea azul. Caja A ( ) Caja B ( ) ( ) a) (

)

b) (

)

EVENTOS INDEPENDIENTES 4.72 Sean A y B eventos independientes con P(A)=0.2, P(B)=0.3. Encontrar: a) P(A B) y P(AUB) P(A B) = P(A)*P(B) = 0.2 * 0.3 = 0.06 P(AUB) = P(A) + P(B) - P(A B) = 0.2 + 0.3- 0.06 = 0.44 b) P(A Bc) y P(AUBc) Bc = 1- P(B) P(A) – (1- P(B)) = 0.2 * (1-0.3) = 0.14

12

P(AUBc) = P(A) + P(Bc ) - P(A Bc) = 0.2 + (1-0.3) - 0.14 = 0.76 c) P(A/B) y P(B/A)

P(A/B) =

P( A  B) 0.06 = = 0.2 P( B) 0.3

P(B/A) =

P ( B  A) 0.06 = = 0.3 P ( A) 0.2

d) P(A/Bc) y P(Bc/A) P(A/Bc) =

P( A  B^ c) 1.14 = = 0.2 P( B ^ c) 1  0.3

P(Bc/A) =

P(B^ c  A) (1  0.3)(0.2) = = 0.7 P( A) 0.2

4.74 La probabilidad de que A de en el blanco es ¼ y la probabilidad de B es 1/3. Cada uno de ellos dispara una vez en el blanco. Encuentre la probabilidad de que:

a) Ambos den en el blanco P(A B) = P(A) * P(B) =

1 1 1 * = 4 3 12

b) El blanco sea alcanzado exactamente una vez P(Bc) = 1 -

1 2 = 3 3

P(Ac) = 1 -

P(Ac Bc) = P(Ac) – P(Bc) = 1 1 1 5 + P(A B) = + = 2 2 12 12

13

2 3 1 * = 3 4 2

1 3 = 4 4

c) Si es alcanzado una vez ¿Cuál es la probabilidad de que A sea el que lo logre?

(

5 12

5 1 5 )-( 12 4 12 2 5 9 = = 3 48 16

( )) = (

1 ) 4

4.76 La probabilidad de que 3 hombres den en el blanco son 0.3, 0.5, 0.4, respectivamente. Cada uno de ellos dispara dos veces. S= {12, 11, 13, 22, 33, 23} S={0.15, 0.09, 0.12, 0.25, 0.16, 0.2} a) Encuentre la probabilidad de que i) Todos den en el blanco P(S) = 0.97 ii) No den en el blanco P(S) = 0.03 c) Halle la probabilidad de que el blanco sea alcanzado i) Una vez al menos P(S) = 0.06 + 0.15 + 0.12 +0.2 P(S) = 0.53 ii) Exactamente una vez P(S) = 0.15 + 0.12 +0.2 P(S) = 0.47 c) Si solamente uno da en el blanco ¿Cuál es la probabilidad de que sea el primer hombre? P(S) = 0.15

4.78 Suponga que A y B son eventos independientes. Muestre que A y Bc son independientes y que Ac y B son independientes Condición 

P(A B) = P(A) * P(B)

P(A Bc) = P(A) * P(Bc) P(Bc) = 1 – P(B)

14



P(Bc) = 1 -

1 1 = 2 2

P(A Bc) =

1 1 1 * = 4 2 8

P( Ac B) = P(Ac) * P(B) P(Ac) = 1 – P(A) P(Ac) = 1 -

1 3 = 4 4

P(A Bc) =

3 1 1 * = 4 2 4

4.80 Suponga que A, B, C son independientes. Muestre que A y BUC son independientes A (BUC) P(A) * ( P(B) + P(C) – P(B

C) )

P(A) *[ P(B) + P(C) – ( P(B) * P(C) ) ] 1 1 ** 4 2

3 8

1 7 ** 4 8

3 + 16

(

1 2

3 )+ 8

11 64

ENSAYOS REPETIDOS INDEPENDIENTES

4.82 Un equipo gana (W) con probabilidad de 0.5 pierde (L) con 0.3 y empata (T) con 0.2. El equipo juega 2 veces. a) Determine el espacio muestral S y la probabilidad de cada evento elemental S = {WL, WT, WW, LW, TW, LT, LL, TT, TL} S = {0.15, 0.1, 0.25, 0.06, 0.09, 0.04, 0.15, 0.1, 0.06} 15

b) Halle la probabilidad de que el equipo gane por lo menos una vez P(S) = 0.15 + 0.1 + 0.25 + 0.06 + 0.09 P(S) = 0.65

4.84 En un juego, la probabilidad de que el equipo de Honda (H) venza al equipo las Rocas (R) es 0.6. Encuentre la probabilidad de que Honda gane como el mejor de las tres series. *

+ ( )

(

*

)

( )

+

(

)

( )

4.86 Considere un espacio de probabilidad contablemente infinito *( ) + ( ) { }. Sea ( ) ( ) ( ) Muestre que T es también un espacio de probabilidad infinito.(Esto generaliza la definición de ensayos independientes a un espacio contable infinito.) {

} *

( ( ∑ (

) )

+

) ( ) ( )

( )

∑ (

) (

)

(

)

∑ (

) (

)

(

)

16