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MODELOS DE OPTIMIZACIÓN - Investigación Operativa I 1. Ingreso La ecuación de demanda para el producto de un monopolista

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MODELOS DE OPTIMIZACIÓN - Investigación Operativa I 1. Ingreso La ecuación de demanda para el producto de un monopolista es

p = - 5q + 30 ¿A qué precio se maximizará el ingreso? 2. Ingreso Suponga que la función de demanda para el producto de un monopolista, es

q = Ae

-Bp

para constantes positivas A y B. En términos de A y B, encuentre el valor de p para el cual se obtiene el ingreso máximo. ¿Puede explicar por qué su respuesta no depende de A? 3. Utilidad Para el producto de un monopolista, la función de demanda es

p = 85 - 0.05q y la función de costo es

c = 600 + 35q ¿A qué nivel de producción se maximiza la utilidad? ¿A qué precio ocurre esto y cuál es la utilidad? 4. Utilidad Para un monopolista, el costo por unidad de producir un artículo es de $3 y la ecuación de demanda es

p=

10 √𝑞

¿Cuál precio dará la utilidad máxima? 5. Utilidad Para el producto de un monopolista la ecuación de demanda es

p = 42 - 4q y la función de costo promedio es

¯c = 2 +

80 𝑞

Encuentre el precio que maximiza la utilidad. 6. Utilidad Para el producto de un monopolista, la función de demanda es

p=

40 √𝑞

y la función de costo promedio es 1

2000

3

𝑞

¯c = +

Encuentre el precio y la producción que maximizan la utilidad. A este nivel, demuestre que el ingreso marginal es igual al costo marginal. 7. Utilidad Un fabricante puede producir cuando mucho 120 unidades de cierto artículo cada año. La ecuación de demanda para ese producto es

P = q2 - 100q + 3200 y la función de costo promedio del fabricante es 2

10000

3

𝑞

¯c = q2 - 40q +

Determine la producción q que maximiza la utilidad y la utilidad máxima correspondiente.

8. Costo Un fabricante ha determinado que para cierto producto, el costo promedio (en dólares por unidad) está dado por

¯c = 2 q2 - 42q +228 +

210 𝑞

donde 3 ≤ q ≤ 12. (a) ¿A qué nivel dentro del intervalo [3, 12] debe fijarse la producción para minimizar el costo total? ¿Cuál es el costo total mínimo? (b) Si la producción tuviese que encontrarse dentro del intervalo [7, 12], ¿qué valor de q minimizaría el costo total?

9. Utilidad Los costos totales fijos de la empresa XYZ son de $1200, los costos combinados de material y mano de obra son de $2 por unidad y la ecuación de demanda es

p=

100 √𝑞

¿Qué nivel de producción maximizará la utilidad? Demuestre que esto ocurrirá cuando el ingreso marginal sea igual al costo marginal. ¿Cuál es el precio cuando la utilidad es máxima? 10. Ingreso Una empresa de bienes raíces posee 100 departamentos. Cada uno puede rentarse a $400 por mes. Sin embargo, por cada $10 mensuales de incremento, habrá dos departamentos vacíos, sin posibilidad de rentarlos. ¿Qué renta por departamento maximizará el ingreso mensual? 11. Ingreso Una empresa de televisión por cable tiene 4800 suscriptores que pagan $18 mensuales cada uno, y puede conseguir 150 suscriptores más por cada reducción de $0.50 en la renta mensual. ¿Cuál será la renta que maximice el ingreso y cuál será este ingreso? 12. Utilidad Un fabricante de un producto encuentra que para las primeras 600 unidades que produce y vende, la utilidad es de $40 por unidad. La utilidad por cada unidad producida más allá de 600 disminuye en $0.05 por cada unidad adicional producida. Por ejemplo, la utilidad total cuando produce y vende 602 unidades es 600(40) + 2(39.90). ¿Qué nivel de producción maximizará la utilidad? 13. Utilidad La ecuación de demanda para el producto de un monopolista es p = 600 - 2q y la función de costo total es

c = 0,2 q2 + 28q +200 Encuentre la producción y el precio que maximizan la utilidad y determine la utilidad correspondiente. Si el gobierno impone un impuesto de $22 por unidad al fabricante, ¿cuáles serían entonces la producción y el precio que maximizan la utilidad? ¿Cuál sería la utilidad ahora? 14. Utilidad Utilice los datos originales del problema 13 y suponga que el gobierno impone una cuota por licencia de $1000 al fabricante. Es una cantidad global independiente de la producción. Demuestre que el precio y la producción que maximizan la utilidad permanecen iguales. Sin embargo, demuestre que se tendrá una utilidad menor.

15. Utilidad Para el producto de un monopolista, la función de costo es c _ 0.004q

c = 0,004 q2 + 20q + 5000 y la función de demanda es

p = 450 - 4q Encuentre la producción que maximiza la utilidad. 16. Costo Para un productor, el costo de fabricar un artículo es de $30 por mano de obra y de $10 por material; los gastos indirectos son de $20 000 por semana. Si se fabrican más de 5000 artículos por semana, la mano de obra se eleva a $45 por artículo, para aquellas unidades que excedan de 5000. ¿Para qué nivel de producción el costo promedio por artículo será mínimo? 17. Utilidad La señora Jones tiene una pequeña agencia de seguros que vende pólizas para una gran compañía de seguros. Por cada póliza vendida, la señora Jones, que no vende por sí misma las pólizas, recibe una comisión de $50 de la compañía de seguros. De experiencias pasadas, ella ha determinado que cuando emplea m vendedores puede vender,

q = m3 - 15m2 + 92m pólizas por semana. Paga a cada uno de los vendedores un salario semanal de $1000 y sus gastos fijos por semana son de $3000. Su oficina actual sólo puede tener cabida para ocho vendedores. Determine el número de vendedores que debe contratar para maximizar su utilidad semanal. ¿Cuál es la utilidad máxima correspondiente? 18. Utilidad Un fabricante vende sacos de alta calidad a una cadena de tiendas. La ecuación de la demanda para esos sacos es

p = 400 - 50q donde p es el precio de venta (en dólares por saco) y q la demanda (en miles de sacos). Si la función de costo marginal del fabricante está dada por

𝑑𝑐 800 = 𝑑𝑞 𝑞+5 demuestre que existe una utilidad máxima y determine el número de sacos que deben venderse para obtener esta utilidad máxima. 19. Costo promedio Durante la temporada navideña, una empresa promocional compra calcetas baratos de fieltro rojo, les pega imitación de piel blanca y lentejuelas, y los empaca para su distribución. El costo total de producir q cajas está dado por

c = 3 q2 + 50q – 18q ln q + 5000 Encuentre el número de cajas que deben prepararse para minimizar el costo promedio por caja. Determine (con dos decimales) este costo promedio mínimo. 20. Utilidad La ecuación de demanda de un monopolista está dada por

p = q2 - 20q + 160 donde p es el precio de venta (en miles de dólares) por tonelada cuando se venden q toneladas del producto. Suponga que el costo fijo es de $50 000 y que cada tonelada cuesta $30 000 producirla. Si la maquinaria actual tiene una capacidad máxima para producir 12 toneladas, use la gráfica de la función de utilidad para determinar a qué nivel de producción se tiene la utilidad máxima. Encuentre la utilidad máxima correspondiente y el precio de venta por tonelada.