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UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE – L CARRERA DE INGENIERÍA MECATRÓNICA

ESTADÍSTICA I

CARLOS LOAIZA JIMÉNEZ

SEGUNDO “A”

15 DE AGOSTO DEL 2017

ING. AUGUST BOURGEAT

NRC 2911

ABRIL – AGOSTO 2017

1. Las siguientes observaciones muestrales se seleccionan de manera aleatoria. X

4

5

3

6

10

Y

4

6

5

7

7

a. Realice grafico de dispersión

GRAFICO DE DISPERSION 8 6 4

y = 0.363x + 3.7671 R² = 0.5659

2 0 0

2

4

6

8

10

12

R² = 0.5659 El modelo no es óptimo Los datos explican en 56,59 % y 43,41 % explica otra variable que no está en el modelo

b. Determine la ecuación de regresión X 4 5 3 6 10 ∑ 𝑋 =28

Y 4 6 5 7 7 ∑ 𝑌 =29

X^2 16 25 9 36 100 ∑ 𝑋 2 =186

Y^2 16 36 25 49 49 2 ∑ 𝑌 =175

𝑏=

𝑛(∑ 𝑋𝑌) − (∑ 𝑋)(∑ 𝑌 ) 𝑛(∑ 𝑋2 ) − (∑ 𝑋)2

𝑎=

𝑏=

5(173) − (28)(29) 5(186) − (28)2

𝑎=

𝑏 = 0.3630

∑𝑌 ∑𝑋 −𝑏 𝑛 𝑛

29

5

− (−1.3722)

𝑎 = 17.6575

𝑌 ′ = 𝑎 + 𝑏𝑋 ′ 𝑌 ′ = 17.65 + 0.36𝑋 ′

XY 16 30 15 42 70 ∑ 𝑋𝑌 =173

41 8

c. Encuentre el valor de Y cuando X es 7. 𝑌 ′ = 17.65 + 0.36(7) 𝑌 ′ = 20.17 2. Las siguientes observaciones muestrales se seleccionan de manera aleatoria. X Y

5 13

3 15

6 7

3 12

4 13

4 11

6 9

8 5

a. Realice grafico de dispersión

GRAFICO DE DISPERSION 20 15 10 y = -1.3723x + 17.658 R² = 0.6808

5 0 0

2

4

6

8

10

R² = 0.6808 El modelo es relativamente óptimo Los datos explican en 68.08 % y 31,92 % explica otra variable que no está en el modelo

b. Determine la ecuación de regresión. X 5 3 6 3 4 4 8 8 ∑ 𝑋 =41

Y 13 15 7 12 13 11 9 5 ∑ 𝑌 =85

X^2 25 9 36 9 16 16 64 64 ∑ 𝑋 2 =239

Y^2 169 225 49 144 169 121 81 25 ∑ 𝑌 2 =983

𝑏=

𝑛(∑ 𝑋𝑌) − (∑ 𝑋)(∑ 𝑌) 𝑛(∑ 𝑋2 ) − (∑ 𝑋)2

𝑎=

𝑏=

8(396) − (41)(85) 8(239) − (41)2

𝑎=

XY 65 45 42 36 52 44 72 40 ∑ 𝑋𝑌 =396

∑𝑌 ∑𝑋 −𝑏 𝑛 𝑛

85

8

− (−1.3722)

41 8

𝑏 = −1.3722

𝑎 =24.0325 𝑌 ′ = 𝑎 + 𝑏𝑋 ′ 𝑌 ′ = 24.03 − 1.37𝑋 ′

c. Encuentre el valor de Y cuando X es 7. 𝑌 ′ = 24.03 − 1.37(7) 𝑌 ′ = 14.44 3. La empresa Bradford Electric Illuminating Co, analiza la relación entre el consumo de energía (en miles de kilowatts - hora, kwh) y el número de habitaciones en una residencia privada unifamiliar. Una muestra aleatoria de 10 casas produjo lo siguiente: # HABITACIONES 12 9 14 6 10 8 10 10 5 7 91

KW/HORA 9 7 10 5 8 6 8 10 4 7 74

a. Realice grafico de dispersión

GRAFICO DE DISPERSION 13 11 9

7

y = 0.6667x + 1.3333 R² = 0.8168

5 3 4

6

8

10

12

14

16

R² = 0.8168 El modelo es muy óptimo El número de habitaciones explica en 81.68 % al consumo y 18,32 % explica otra variable que no está en el modelo.

b. Determine la ecuación de regresión # KW/HORA HAB^2 KW^2 HABITACIONES 12 9 144 81 9 7 81 49 14 10 196 100 6 5 36 25 10 8 100 64 8 6 64 36 10 8 100 64 10 10 100 100 5 4 25 16 7 7 49 49 2 2 ∑ 𝑋 =91 ∑ 𝑌 =74 ∑ 𝑋 =895 ∑ 𝑌 =584

𝑏=

𝑛(∑ 𝑋𝑌) − (∑ 𝑋)(∑ 𝑌) 𝑛(∑ 𝑋2 ) − (∑ 𝑋)2

𝑎=

𝑏 = 3.8532

HAB*KW 108 63 140 30 80 48 80 100 20 49 ∑ 𝑋𝑌 =718

∑𝑌 ∑𝑋 −𝑏 𝑛 𝑛 𝑎 = 12.04

𝑌 ′ = 𝑎 − 𝑏𝑋 ′ 𝑌 ′ = 12.04 + 3.85𝑋 ′

c. Encuentre el número de kw/hora para una casa de seis habitaciones. 𝑌 ′ = 12.04 + 3.85(6) 𝑌 ′ = 35.14

4. El señorJames McWhinney, presidente de Daniel-James Financial Services, considera que hay una relación entre el número de contactos con sus clientes y la cantidad de ventas en dólares. Para documentar esta afirmación, el señor McWhinney reunió la siguiente información muestral. La columna X indica el número de contactos con sus clientes el mes anterior, y la columna Y muestra el valor de las ventas (miles de $) el mismo mes por cada cliente muestreado. # CONTACTOS X

VENTAS Y

14 12 20 16 46 23 48 50 55 50

24 14 28 30 80 30 90 85 120 110

a. Realice grafico de dispersión

VENTAS 140 120 100 80 60 40

y = 2.1946x - 12.201 R² = 0.9513

20 0 0

10

20

30

40

50

60

R² = 0.9513 El modelo es muy óptimo El número de clientes explica en 95.13 % a la cantidad de ventas en dólares y 4. 87 % explica otra variable que no está en el modelo

b. Determine la ecuación de regresión # CONTACTOS 14 12

VENTAS

CONT^2

VENTAS^2

CONT*VENT

24 14

196 144

576 196

336 168

20

28

400

784

560

16 46 23 48

30 80 30 90

256 2116 529 2304

900 6400 900 8100

480 3680 690 4320

50

85

2500

7225

4250

55 50

120 110

3025 2500

14400 12100

6600 5500

∑ 𝑋 =334

∑ 𝑌 =611

𝑏=

∑ 𝑋 2 =13970 ∑ 𝑌 2 =51581

𝑛(∑ 𝑋𝑌) − (∑ 𝑋)(∑ 𝑌) 𝑛(∑ 𝑋2 ) − (∑ 𝑋)2

∑ 𝑋𝑌 =26584

𝑎=

𝑏 = 2.56532

∑𝑌 ∑𝑋 −𝑏 𝑛 𝑛

𝑎 = 23.7404 𝑌 ′ = 𝑎 − 𝑏𝑋 ′ 𝑌 ′ = 23.74 + 2.56𝑋 ′

c. Encuentre las ventas estimadas si se hicieron 40 contactos 𝑌 ′ = 23.74 + 2.56𝑋 ′ 𝑌 ′ = 126.14

5. En un artículo reciente en Businessweek; se enumeran las “Best Small Companies”. Nos interesan los resultados actuales de las ventas e ingresos de ellas. Se seleccionó una muestra de 12 empresas y a continuación se reportan sus ventas e ingresos en millones de dólares.

a. Trace un diagrama de dispersión.

GRAFICO DE DISPERSION 14 12 10 8 6 4 2 0 0

20

40

60

80

100

R² = 0.83 El modelo no es óptimo Los resultados actuales de las ventas explica en 83 % sus ingresos y 17 % explica otra variable que no está en el modelo

b. Calcule el coeficiente de correlación. 𝑟=

𝑟=

∑ 𝑋𝑌 √(∑ 𝑋 2 )(∑ 𝑌 2 )

3306.35 √(28458.99)(458.41)

𝑟 =0.91 c. Calcule el coeficiente de determinación. 𝑟 2 =0.83 d. Determine la ecuación de regresión. 𝑏=

𝑛(∑ 𝑋𝑌) − (∑ 𝑋)(∑ 𝑌) 𝑛(∑ 𝑋2 ) − (∑ 𝑋)2

𝑎=

𝑏 = 51.45

∑𝑌 ∑𝑋 −𝑏 𝑛 𝑛

𝑎 = 24.89 𝑌 ′ = 𝑎 − 𝑏𝑋 ′ 𝑌 ′ = 51.45 + 24.89𝑋 ′

e. Estime los ingresos de una compañía pequeña con ventas por 50.0 millones. 𝑌 ′ = 51.45 + 24.89𝑋 ′ 𝑌 ′ = 1295.95

6. Se realiza un estudio de fondos mutualistas para fines de inversión en varios de ellos. Este estudio en particular se enfoca en los activos " su desempeño a cinco años. La pregunta ¿es posible determinar la tasa de rendimiento a cinco años con base en los activos del fondo? Se seleccionaron nueve fondos mutualistas al azar " sus activos " tasas de recuperación se muestran a continuación a. Trace un diagrama de dispersión.

GRAFICO DE DISPERSION 12 11 10

9 8 7 6 100

200

300

400

500

600

700

800

R² = 0.79 El modelo no es nada óptimo El desempeño en 5 años explica en 79 % a la tasa de rendimiento y 21 % explica otra variable que no está en el modelo

b. Calcule el coeficiente de correlación. ∑ 𝑋𝑌 𝑟= √(∑ 𝑋 2 )(∑ 𝑌 2 ) 𝑟=

34111.15 √(1659865.97)(880.03)

𝑟 = 0.89

c. Calcule el coeficiente de determinación. 𝑟 2 = 0.79

d. Determine la ecuación de regresión. 𝑏=

𝑛(∑ 𝑋𝑌) − (∑ 𝑋)(∑ 𝑌) 𝑛(∑ 𝑋2 ) − (∑ 𝑋)2

𝑎=

𝑏 = −15.03

∑𝑌 ∑𝑋 −𝑏 𝑛 𝑛

𝑎 = 24.89 𝑌 ′ = 𝑎 − 𝑏𝑋 ′ 𝑌 ′ = 24.89 + 17.03𝑋 ′

e. Para un fondo con $400.0 millones en ventas, determine la tasa de rendimiento a cinco años (en porcentaje). 𝑌 ′ = 24.89 + 17.03(400) 𝑌 ′ = 6836.89