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• Jonathan Córdova

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NOMBRE: CORDOVA CALDERON JUAN CARLOS GRUPO 5-4

DEBER DE ESTADISTICA I REGLA DE LA ADICION EXCLUYENTES 1. La probabilidad de que un día cualquiera, Carlos almuerce pollo frito es de 0,4. La probabilidad de que almuerce hamburguesa es de 0,3; mientras que la probabilidad de que almuerce pollo frito y hamburguesa el mismo día es de 0,1. Calcula la probabilidad de que un día cualquiera, Carlos almuerce pollo frito o hamburguesa. Solución: Definimos nuestras probabilidades: Probabilidad de que Carlos almuerce pollo frito: P(A) = 0,4. Probabilidad de que Carlos almuerce hamburguesa: P(B) = 0,3. Probabilidad de que Carlos almuerce pollo frito y hamburguesa el mismo día: P(A⋂B) = 0,1. Probabilidad de que Carlos almuerce pollo frito o hamburguesa: P(A⋃B) = ? Ahora, aplicamos nuestra fórmula: P(A⋃B) = P(A) + P(B) − P(A⋂B) P(A⋃B) = 0,4 + 0,3 − 0,1 P(A⋃B) = 0,6 2. Se tiene una tómbola con bolitas numeradas del 10 al 25. ¿Cuál es la probabilidad de extraer dos bolitas, sin reposición, de modo que la suma de los números obtenidos sea par? Solución: Se tienen 16 números en total, de los cuáles 8 son pares y 8 impares. Los modos de obtener números cuya suma sea par, solo puede ocurrir de dos formas: i)

A ≡Extraer dos bolitas pares.

ii)

B ≡Extraer dos bolitas impares.

Aparte de ser cada uno de los eventos sin reposición, son también mutuamente excluyentes entre sí. No puede ocurrir simultáneamente, que las bolitas sean pares e impares, así que P(A∩B) = 0

NOMBRE: CORDOVA CALDERON JUAN CARLOS GRUPO 5-4 Por lo tanto, la probabilidad pedida, que puede ocurrir de dos formas por separado A∪B, es: P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) donde P(A∩B) = 0 P(A∪B)= (8/16)(7/15)+ (8/16)(7/15) P(A∪B)=2 ((1/2)(7/15)) P(A∪B)= 7/15 3. Se tienen cinco libros de distintas materias: Matemática, Biología, Química, Física y Lenguaje. Si se toma uno de ellos, ¿cuál es la probabilidad de que este sea de matemática o de física? Solución: Sean los eventos A ≡Tomar el libro de Matemáticas. B ≡Tomar el libro de Física. La probabilidad pedida es: P(A∪B) = P(A) + P(B) -P(A∩B) Como A y B son eventos mutuamente excluyentes, P(A∩B) = 0. Por lo tanto, la probabilidad pedida nos queda: P(A∩B) = (1/5)+(1/5)-0= 2/5 4. En una bolsa se tienen 3 bolitas verdes, 2 amarillas y 4 naranjas, ¿cuál es la probabilidad de que al sacar una bolita esta sea naranja o verde? Solución: Hay 4 bolitas naranjas y 3 verdes, esto es, 7 casos favorables a lo pedido. Aplicando la definición de Laplace: casos favorables 7 P= casos favorables/ casos totales =7/9 5. En una caja hay tarjetas numeradas correlativamente del 10 al 30 (es decir 10, 11, 12,…. 27, 28, 29, 30). La probabilidad de que, al sacar una tarjeta al azar, la suma de los dígitos sea 3 ó 4 es: Solución: Hay 21 tarjetas numeradas (se incluye la tarjeta 10). Las tarjetas cuya suma de dígitos da 3 ó 4 son: 12, 13, 21, 22 y 30. Cinco casos favorables en total. La probabilidad pedida=casos favorables /casos totales P= 5/21

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NO EXCLUYENTES 1. Consideremos un juego el cual debe elegirse una carta de una baraja de 52 cartas. Ganaremos $ 10 si la carta es negra o es un rey. ¿Cuál es la probabilidad de ganar? (Evento no mutuamente excluyente) Solución: Hay 52 sucesos o eventos simples. Sean los sucesos o eventos Hay 26 cartas negras. A = Que la carta sea un rey. Hay 4 reyes. B = Que la carta sea una negra P ( A U B ) =P( A ) + P( B ) – P( A ∩ B ) P(A U B)= 4/52 + 26/52 – 2/52 = 28/52 2. Supongamos que se extrae una carta de una baraja de 52 cartas. ¿Cuál es la probabilidad de que la carta sea o un rey o una figura negra? (Evento no mutuamente excluyente) Solución Hay 52 sucesos o eventos simples. Sean los sucesos o eventos Hay 4 reyes. A = Que la carta sea un rey. Hay 6 figuras negras B = Que la carta sea una figura negra P ( A U B ) =P( A ) + P( B ) – P( A ∩ B ) P(A U B)= 4/52 + 6/52 – 2/52 = 8/52= 0.15 3. Una ruleta tiene 36 sectores circulares iguales, numerados del 1 al 36. Los 12 primeros son rojos, los 12 siguientes azules y los 12 restantes negros. En este juego gana el número que sale indicado después de girar la ruleta. ¿Cuál es la probabilidad de que salga un número impar o un número de color rojo? Solución: Los 36 números son todos los elementos del espacio muestral o números posibles de ser extraídos. Entonces, #E = 36. Sean los eventos: A ≡sale un número impar; entonces: P(A) =18/36 B ≡sale un número pintado de color rojo, entonces: P(B) =12/36 A∩ B= números impares y de color rojo = {1, 3, 5,7, 9,11} ⇒ #(A∩ B)= 6⇒ P(A∩ B) =6/36

NOMBRE: CORDOVA CALDERON JUAN CARLOS GRUPO 5-4 Se solicita: P(A ∪B) = P(A) + P(B)- P(A ∩B) = (18/36) +(12/36) –(6/36) =24/36. 4. Se escoge un número del 1 al 50, ¿cuál es la probabilidad de que dicho número sea múltiplo de 3 y menor que 20? Solución: Los casos totales de ser escogidos son 50. Y los números menores que 20 que son múltiplos de 3 son [19:3]= 6 casos favorables. Donde los corchetes []: Indican la parte entera de la división. Luego la probabilidad pedida es P=6/50=3/25 5. De un naipe inglés de 52 cartas se extrae una al azar, ¿cuál es la probabilidad de que resulte 8 o trébol? Solución: La probabilidad de que uno de los dos eventos A o B ocurran es: P(A∪C) = P(A) + P(B) – P(A∩C) A ≡Obtener un 8 ⇒P(A) = 4/52 Pues existen 4 ochos en el naipe.

B ≡Obtener un trébol ⇒P(B) = 13/52

Pues existen 13 tréboles en el naipe. A∩C ≡Obtener un 8 trébol ⇒P(A∩C) = 1/52 Pues existe un solo ocho trébol. Reemplazando estos valores obtenemos: P(A∪C) = (4+13-1)/52=16/52=8/26

REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN INDEPENDIENTES 1. Una caja contiene 4 canicas rojas, 3 canicas verdes y 2 canicas azules. Una canica es eliminada de la caja y luego reemplazada. Otra canica se saca de la caja. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera canica sea azul y la segunda canica sea verde? Ya que la primera canica es reemplazada, el tamaño del espacio muestral (9) no cambia de la primera sacada a la segunda así los eventos son independientes. P (azul luego verde) = P (azul) · P (verde)

NOMBRE: CORDOVA CALDERON JUAN CARLOS GRUPO 5-4 2. Beth tiene 10 pares de calcetines: 2 negros, 2 cafés, 3 blancos, 1 rojo, 1 azul, y 1 verde. Hoy quiere usar el par blanco, pero tiene prisa para llegar al trabajo, por lo que agarra un para al azar. Si no es blanco, lo devolverá al cajón. Si continúa agarrando pares aleatoriamente, ¿Cuál es la probabilidad de sacar un par blando en su tercer intento? Evento A: un par de calcetines que no son blancos Evento B: un par de calcetines que no son blancos Evento C: un par de calcetines que son blancos

3. Se lanza una moneda normal tres veces. ¿cual es la probabilidad de sacar tres sellos? Solucion Como son eventos independientes, la probabilidad total es el producto de todas las probabilidades P( 3 sellos ) = P(S) * P(S) * P(S) = 1/2*1/2*1/2= 1/8 4. En una urna hay 3 fichas amarillas y 6 azules. ¿Cual es la probabilidad de que al sacar 2 fichas con reposición, estas sean amarillas? Solución La probabilidad de sacar 1 ficha amarilla es de 3/9=>1/3, como existe reposición la 1ra extracción no afecta a la 2da extracción, por tanto estamos frente a eventos independientes. P(2 amarillas) = 1/3 * 1/3 = 1/9 5. Un restaurante ofrece un almuerzo en que se pueden elegir 2 entradas, 3 platos de fondo y 5 postres. Si no me gustan 2 de los platos de fondo y 3 de los postres. ¿Cual es la probabilidad de que me toque un menu de mi agrado si la eleccion es al azar? Solucion p( entrada ) = 2/2 = 1 ; es indiferente las entradas P( plato de fondo ) = 3 - 2 = 1/3 ; se restan los platos que no me gustan P( postre ) = 5 - 3 = 2/5 ; menos los postres que no me gustan P(entrada)*P(fondo)*P(postre) = 1 * 1/3 * 2/5 = 1/15

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DEPENDIENTES 1. Una caja contiene 2 canicas azules y 3 rojas. Si se extraen dos canicas al azar sin reposición, ¿cuál es la probabilidad de que las dos sean azules? Solución: Dado que las canicas serán extraídas de la misma caja, y que las canicas que se extraigan, no serán devueltas a la caja (no hay reposición), entonces, se trata de eventos dependientes. 

Evento A: obtener una canica azul en la primera extracción.



Evento B: obtener una canica azul en la segunda extracción. Por la regla de la multiplicación, sabemos que:

2. Sabiendo que P(A) = 0,70; P(B) = 0,50; y además, P(A∩B) = 0,40; determinar si son eventos dependientes o independientes. Solución: En los eventos independientes, se cumple que:

En este caso: 

P(A∩B) = 0,40.



P(A) × P(B) = 0,70 × 0,50 = 0,35. Podemos ver que 0,40 es diferente de 0,35; entonces:

Podemos concluir que no son eventos independientes, es decir, son eventos dependientes. 3. De una baraja estándar de 52 cartas sea A el suceso de sacar un As en la primera extracción y B sacar un As en la segunda extracción. Calcular la probabilidad de sacar dos Ases en dos extracciones sin devolver la carta extraída. Solución:

NOMBRE: CORDOVA CALDERON JUAN CARLOS GRUPO 5-4 A y B son sucesos dependientes porque la ocurrencia de A afecta la probabilidad de ocurrencia de B. La probabilidad de que la primera carta sea un As es:

Reemplazando los anteriores valores en la regla general de la multiplicación de probabilidades para eventos dependientes se obtiene:

4. Sea A el suceso de sacar un As de una baraja estándar de 52 cartas y B sacar un Rey de corazón rojo. Calcular la probabilidad de sacar un As y un Rey de corazón rojo en dos extracciones sin devolver la carta extraída. Solución: A y B son sucesos dependientes porque la ocurrencia de A afecta la probabilidad de ocurrencia de B. La probabilidad de que la primera carta sea un As es:

Reemplazando los anteriores valores en la regla general de la multiplicación de probabilidades para eventos dependientes se obtiene:

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5. Una caja contiene 4 canicas rojas, 3 canicas verdes y 2 canicas azules. Una

canica es eliminada de la caja y no es reemplazada. Otra canica se saca de la caja. Cuál es la probabilidad de que la primera canica sea azul y la segunda canica sea verde? Ya que la primera canica no es reemplazada, el tamaño del espacio muestral para la primera canica (9) es cambiado para la segunda canica (8) así los eventos son dependientes. P(azul luego verde) = P(azul) · P(verde)