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• Felipe Guerra

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Andrés Miniguano Trujillo

21 de febrero de 2013

ESCUELA POLITECNICA NACIONAL FACULTAD DE CIENCIAS Materia: PROBABILIDADES Y ESTADÍSTICA Deber N. 2: Propiedades Básicas, Métodos de Conteo, Probabilidad Condicional 1. Si P ( A )=0.4 ; P ( B ) =0.3 ; P ( A ∩ B ) =0.1 , halle : i. P ( A ∪ B ) P ( A ∪ B )=P ( A ) + P ( B )−P ( A ∩ B ) P ( A ∪ B )=0.4+0.3−0.1=0.6 ii. P ( B c −A ) P ( B c −A )=P ( Bc ∩ A c ) c P ( B c −A )=P [ ( B ∪ A ) ] P ( B c −A )=1−P ( A ∪ B ) P ( B c −A )=1−0.6=0.4 iii. P[ ( A−B )c ] c c c P [ ( A−B ) ]=P[ ( A ∩ B ) ] P [ ( A−B )c ]=P ( Ac ∪ B )=1−P ( Bc ∩ A ) P [ ( A−B )c ]=1−[ P ( A ) −P ( A ∩ B ) ] P [ ( A−B )c ]=1−0.4+0.1=0.7 iv. P[ A ∪ ( B ∩ A c ) ] c c P [ A ∪ ( B ∩ A ) ]=P ( ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ A ) ) P [ A ∪ ( B ∩ A c ) ]=P( ( A ∪B ) ∩U ) c P [ A ∪ ( B ∩ A ) ]=P ( A ∪ B )=0.6

2. Si P ( A ∩ B ) =0.3 ; P ( B ) =0.6 ; i. P ( A ) P ( A )=P ( A ∩ B )+ P( A ∩ B c ) P ( A )=0.3+0.2=0.5 ii. P ( A c ∩ Bc ) P ( A c ∩ Bc ) =P [ ( A ∪ B )c ] P ( A c ∩ Bc ) =1−P ( A ∪ B ) P ( A c ∩ Bc ) =1−0.5−0.6+0.3=0.2 iii. P ( B−A ) P ( B−A )=P( B ∩ Ac ) P ( B−A )=P ( B )−P( B ∩ A ) P ( B−A )=0.3 iv. P ( A c ∩ B ) P ( A c ∩ B ) =P ( B ∩ A c ) =0.3

P ( A ∩ B c ) =0.2 Halle :

y son mutuamente excluyentes, 3. Si A B P ( A c ∩ Bc ) . c P ( A c ∩ Bc ) =P [ ( A ∪ B ) ]

P ( A )=0.25 y P ( B ) =0.41 , halle

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P ( A c ∩ Bc ) =1−P ( A ∪ B ) P ( A c ∩ Bc ) =1−P ( A )−P ( B )+ P (∅) P ( A c ∩ Bc ) =1−0.25−0.41−0=0.34 4. Si P ( B ) =0.6 ; P ( A ∩ B ) =0.2 ; P ( A ∩ B c ) =0.1 , halle : i. P ( A ) P ( A )=P ( A ∩ B )+ P( A ∩ B c ) P ( A )=0.3 ii. P ( A ∪ B ) P ( A ∪ B )=P ( A ) + P ( B )−P( A ∩ B) P ( A ∪ B )=0.3+0.6−0.2=0.7 iii. P ( A c ∩ Bc ) P ( A c ∩ Bc ) =P [ ( A ∪ B )c ] P ( A c ∩ Bc ) =1−P ( A ∪ B ) P ( A c ∩ Bc ) =1−0.7=0.3 iv. P ( B−A ) P ( B−A )=P( B ∩ Ac ) P ( B−A )=P ( B )−P( B ∩ A ) P ( B−A )=0.6−0.2=0.4 P ( A ∪ B )=0.6 , P ( A )=0.58 5. Si c c P( A ∪ B ) . i. P ( A ∩ B c ) P ( A ∩ B c ) =P ( A )−P ( A ∩ B ) P ( A ∩ B c ) =0.58− ( 0.58+0.4−0.6 ) =0.20 ii. P ( A c ∪ Bc ) P ( A c ∪ Bc )=1−P ( A ∩ B ) P ( A c ∪ Bc )=1−( 0.58+0.4−0.6 )=0.6200

y

P ( B ) =0.4

Halle

P ( A ∩ B c)

y

6. Demuestre que P ( A ∪ B )=P ( A ) + P( A c ∩ B) . P ( A ∪ B )=P ( A ) + P ( B )−P( A ∩ B) P ( A ∪ B )=P ( A ) +[P ( B )−P(B ∩ A)] P ( A ∪ B )=P ( A ) + P( B ∩ Ac ) P ( A )+ P ( A c ∩ B ) =P ( A )+ P( B ∩ A c ) P ( A )+ P ( A c ∩ B ) =P ( A )+[P ( B )−P ( A ∩ B ) ] P ( A )+ P ( A c ∩ B ) =P ( A ∪ B) 7. En una venta de promoción de pantalones y camisas, cierto almacén ofrece 30 pantalones buenos, 70 pantalones con fallas, 60 camisas buenas y 90 camisas con fallas. Considerando los siguientes eventos y si se toma al azar una prenda, : La prenda es pantalón : La prenda es buena A B

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: La prenda es camisa C Halle: A: Pantalón C: Camisa

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D B: Bueno 30 60 90

: La prenda es con fallas

D: Malo 70 90 160

100 150 250

100 90 150 160 =0.4, P ( B )= =0.36, P (C )= =0.6, P ( D )= =0.64 250 250 250 250 i. P( A ∩ D) n( A ∩ D) 70 P ( A ∩ D )= = =0.2800 n(U ) 250 ii. P(C ∪ B) 150+ 90−60 18 P (C ∪B ) =P ( C ) + P ( B ) −P ( C ∩ B )= = =0.7200 250 250 iii. P( A−B) 30 7 P ( A−B )=P ( A )−P ( A ∩ B )=0.4− = =0.2800 250 25 c c iv. P( B ∩C ) c c P ( B ∩C c ) =P[ ( B ∪C ) ] P ( B c ∩C c ) =1−P(B ∪ C) P ( B c ∩C c ) =1−P ( B )−P ( C ) + P ( B ∩C ) 60 P ( B c ∩C c ) =1−0.36−0.6+ =0.0100 250 P ( A )=

8. Se lanzan dos monedas perfectas y se anotan los resultados. a) Halle el espacio muestral Ω={ ( c , c ) , ( c , s ) , ( s , c ) , ( s , s ) } b) Si los eventos elementales son equiprobables y se consideran los siguientes eventos : A : Se observa exactamente una vez cara A= { ( c , s ) , ( s ,c ) } B : Se observa al menos una cara B={ ( c , s ) , ( c , c ) , ( s , c ) } Halle: P( A) i. 2 P ( A )= =0.5 4 P (B) ii. 3 P ( B ) = =0.75 4 P ( A ∩ B) iii. 2 P ( A ∩ B ) = =0.5 4 P ( A ∪ B) iv. P ( A ∪ B )=P ( B )=0.75

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P( Ac ∪ B) P ( A c ∪ B ) =1

v.

9. Dado Ω={0,1,2, … , 9} , donde los eventos elementales son equiprobables. A= { 0,1,3,4,8 } , B={ 3,5,4,9 } , C={ 4,5,6,8,9 } . Halle: a) P ( A ∪ B ) 7 P ( A ∪ B )= =0.7 10 b) P ( A ∩C ) 2 P ( A ∩C )= =0.2 10 c c) P ( C ∪B ) P ( Cc ∪ B ) =1−P ( C ∩ Bc ) =1−P ( C ) + P ( C ∩ B )=1−0.5+0.3=0.8 d) P ( A c ∩ B ) 2 P ( A c ∩ B ) = =0.2 10 10. Se lanzan dos dados legales: Considere los siguientes eventos: ( 1 ,1 ) , ( 1, 2 ) , (1 , 3 ) , ( 1, 4 ) , (1 , 5 ) , (1 , 6 ) , ( 2 ,1 ) , ( 2, 2 ) , ( 2, 3 ) , ( 2, 4 ) , ( 2, 5 ) , ( 2, 6 ) , Ω= ( 3 , 1 ) , ( 3 , 2 ) , ( 3 , 3 ) , ( 3 , 4 ) , ( 3 ,5 ) , ( 3 , 6 ) , ( 4 , 1 ) , ( 4 , 2 ) , ( 4 , 3 ) , ( 4 , 4 ) , ( 4 , 5 ) , ( 4 , 6 ) , (5 , 1 ) , (5 , 2 ) , (5 ,3 ) , ( 5 , 4 ) , ( 5 , 5 ) , ( 5 , 6 ) , ( 6 ,1 ) , ( 6 , 2 ) , ( 6 , 3 ) , ( 6 , 4 ) , ( 6 , 5 ) ,(6 , 6) A : La suma de los resultados es igual a 8 A= { ( 2,6 ) , ( 3,5 ) , ( 4,4 ) , ( 5,3 ) , ( 6,2 ) } B : El producto de los resultados es igual a 8 B={ ( 2,4 ) , ( 4,2 ) } C : La suma de los resultados es mayor que el producto C={ ( 1,1 ) , ( 1,2 ) , ( 1,3 ) , ( 1,4 ) , ( 1,5 ) , ( 1,6 ) , ( 2,1 ) , ( 3,1 ) , ( 4,1 ) , ( 5,1 ) , ( 6,1 ) } D: La suma de los resultados es par o menor que 7 (1,1 ) , ( 1,3 ) , ( 1,5 ) , ( 2,2 ) , ( 2,4 ) , ( 2,6 ) , ( 3,1 ) , ( 3,3 ) , ( 3,5 ) , ( 4,2 ) , D= ( 4,4 ) , ( 4,6 ) , (5,1 ) , ( 5,3 ) , ( 5,5 ) , ( 6,2 ) , ( 6,6 ) , ( 1,2 ) , (1,4 ) , ( 2,1 ) , ( 2,3 ) , (3,2 ) , ( 4,1 ) Halle las siguientes probabilidades: P( A) a) 3 P ( A )= =0.08333 36 b) P ( B ) 2 P ( B ) = =¿ 0.05556 36 P (C ) c) 11 P (C )= =0.3056 36 d) P( D) 23 P ( D )= =0.6389 36 P ( A ∪ D) e) P ( A ∪ D ) =P ( A )+ P ( D )−P ( A ∩ D )=P ( D )=0.6389

{

}

{

}

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11. Si se extrae una carta de un naipe (52 cartas), halle la probabilidad de obtener: a) Un As diamante o una figura trébol 1 13 1 C 1∗13 C 1 P ( A ∪ B )=P ( A ) + P ( B )−P ( A ∩ B )= + − =0.2644 52 52 52∗52 b) Una carta mayor que 2 y menor que 8 (5∗4) 20 P (C )= = =0.3846 52 52 12. Explique porque son falsas las siguientes proposiciones: a) La probabilidad de que una muestra de mineral contenga plata es 0.58 y la probabilidad de que no contenga plata es 0.35. Si la probabilidad de que haya plata es P( A) , la probabilidad de que no haya es P( Ac ) . Se tiene que P ( A c )=1−P (A ) . Reemplazando los datos se tiene: P ( A c )=0.42 ó P ( A ) =0.65 , datos que se contradicen. b) La probabilidad de que un estudiante obtenga 9 en un examen es 0.37 y de que obtenga 9 o 7 es 0.31 Esta es la probabilidad de una unión de sucesos, la unión no puede ser menor que un componente de ésta. c) Una empresa trabaja en la construcción de dos edificios. La probabilidad de que el mas grande quede terminado en el tiempo estipulado es 0.39 y la probabilidad de que los dos se terminen en el tiempo estipulado es 0.5 Esta es la probabilidad de una intersección de sucesos, la cual no puede ser mayor que uno de sus componentes. 13. En un almacén de ropa, la probabilidad de que una persona compre una camisa es P ( A )=0.4 , de que no compre un pantalón es P ( B c ) =0.7 y de que no compre una camisa y no compre un pantalón es P ( A c ∩ Bc ) =0.55 . a) Halle la probabilidad de que compre una camisa o un pantalón. c c c P ( A ∩ B ) =P [ ( A ∪ B ) ]=1−P ( A ∪B) P ( A ∪ B )=1−P ( A c ∩ Bc ) P ( A ∪ B )=1−0.55=0.4500 b) Halle la probabilidad de que compre una camisa y un pantalón. P ( A ∩ B ) =P ( A )+(1−P ( Bc ) )−P ( A ∪ B ) P ( A ∩ B ) =0.4+ ( 1−0.7 )− (1−0.55 )=0.2500 c) Halle la probabilidad de que compre un pantalón y no una camisa. P ( B ∩ A c ) =P ( B ) −P(B ∩ A) P ( B ∩ A c ) =1−0.7−0.2500=0.0500 14. La probabilidad de que en un almacén, una persona compre una camisa es P ( A )=0.18 , la probabilidad de que compre un pantalón P ( B ) =0.25 , y la probabilidad de que compre las dos cosas es P ( A ∩ B ) =0.10 : a) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona que entra al almacén compre una camisa o un pantalón? P ( A ∪ B )=P ( A ) + P ( B )−P ( A ∩ B )=0.3300 b) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona que entra al almacén no compre ni camisa ni pantalón?

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P ( A c ∩ Bc ) =1−P ( A ∪ B ) =0.6700 15. Se lanza una moneda dos veces y se consideran los eventos. A : Cara en el primer lanzamiento A={( c , s ) , ( c , c ) } B : Al menos una vez sello en los dos lanzamientos. B={ ( c , s ) , ( s , c ) , ( s , s ) } Halle : a) P ( A ∩ B ) 1 P ( A ∩ B)= 4 b) P ( A ∪ B ) P ( A ∪ B )=1 c) P ( A−B ) 1 P ( A−B )= 4 d) P ( B c ) 1 c P ( B ) =1−P ( B )= 4 16. En una caja se hallan 10 juguetes buenos, 4 con pequeños defectos y 2 con defectos graves. Se toma al azar 1 juguete, halle la probabilidad de que : Juguetes

A: Buenos 10

D: Pequeños defectos 4

E: Defectos graves 2

16

a) A: No tenga defectos: 10 P ( A )= =0.625 16 b) B: Sea bueno o tenga pequeños defectos 10 4 P ( A ∪ E )= + =0.875 16 16 c) C: No tenga defectos graves 2 P ( Ec )=1− =0.875 16 17. En una reunión se hallan : 5 hombres mayores, 4 hombres jóvenes, 6 mujeres mayores, 3 mujeres jóvenes. B: Joven A: Mayor C: Hombre 4 5 9 D: Mujer 3 6 9 7 11 18 Si se toma al azar una persona y se consideran los siguientes eventos : A : La persona es mayor B : La persona es joven C : La persona es hombre D : La persona es mujer.

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Halle: a) P ( B ∪ C ) P (B ∪C)= b)

P( B∩ C) P ( B ∩C )=

c)

7 9 4 + − =0.6667 18 18 18

4 =0.2222 18

P ( A−C ) P ( A−C )=P ( A )−P ( A ∩C ) =

d) e)

11 5 − =0.3333 18 18

P ( B c ∪ Dc ) P ( B c ∪ Dc )=1−P ( B ∩ D )=0.8333 P(D ∩ A c ) P ( D∩ A c ) =P ( D )−P ( D∩ A )=0.1667

18. De los 8 profesores disponibles de un colegio, 5 son mujeres y se van a elegir dos inspectores. ¿De cuántas maneras se pueden elegir: a) Dos cualesquiera? n=8, k=2 ⇒8 C 2=28 b) Del mismo sexo? +¿3 C2=13 ⇒5 C 2 ¿ c) Sólo hombres? ⇒3 C 2=3 d) Un hombre y una mujer? ⇒5 C1 ¿3 C1=15 19. Una empresa cuenta con 10 ingenieros, dos de los cuales son hermanos. Halle la probabilidad de que al menos uno de los hermanos sea escogido para un trabajo en el que se va a necesitar 4 ingenieros. n ( U )=10.9 .7=630 Si P( A) es la probabilidad de que al menos uno sea escogido, P( Ac ) es la probabilidad de que ninguno sea escogido. 8.7 .6 8 P ( A c )= = 630 15 8 7 P ( A )=1− = ≈ 0.4667 15 15 20. ¿Cuántos números de 5 cifras se pueden hacer con 3, 4, 5, 8, 9? Hay que llenar cinco espacios k =5 : ¿ ¿¿ Se tienen cinco números: n=5

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5

⇒5 P5=5 =3125[ números ] ¿Cuántos números pares de 5 cifras se pueden hacer con 3, 4, 5, 8, 9? Hay que llenar cuatro espacios con cualquier número: k =4 Se tienen cinco números: n=5 4 ⇒5 P4 =5 =625 Para el último número se tienen dos opciones, entonces T :2∗625=1250[ números ] ¿Cuántos números telefónicos diferentes de 6 dígitos se pueden formar si el primer dígito no puede ser igual a 0? Hay que llenar cinco espacios con cualquier número: k =5 Se tienen diez números: n=10 ⇒10 P5=105=100000 Para el último número se tienen nueve opciones, entonces T :9∗100000=900000[números]

21. Un almacén tiene en existencias: A : 9 pares de zapatos de color negro B : 10 pares de zapatos de color café C : 5 pares de zapatos de color vino tinto D : 6 pares de zapatos de color blanco T :n=3 0 Se recibe un pedido por fax de cuatro pares de zapatos, halle la probabilidad de que pidan: a) Que los cuatro pares sean de distinto color 9C 1∗10 C 1∗5 C 1∗6 C 1 P ( A ∩ B ∩C ∩ D ) = =0.09852 30 C 4 b) Que dos pares sean de color negro y uno de color café 9 C 2∗10 C 1∗27 C 1 P ( A ∩ B)= =0.3547 30 C 4 c) Que al menos dos pares sean de color café 10C 2∗28 C 2 1 0 C 3∗27 C 1 10 C 4 P ( E )= + + =0.7466 30 C 4 30C 4 30 C 4 d) Que los cuatro pares sean del mismo color 9 C 4 10 C 4 5 C 4 6 C 4 P ( F )= + + + =0,01299 30 C 4 30 C 4 30 C 4 30C 4 22. Una urna contiene 10 bolas de las cuales 5 son verdes, 2 azules y 3 rojas. Se sacan 3 bolas de la urna, sin reemplazo. ¿Cuál es la probabilidad de que las 3 bolas sean verdes?

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P (VVV )=

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5 P3 =0.08333 10 P3

23. Una urna contiene 6 bolas negras y 4 blancas. Si se van a sacar 3 bolas ¿Cuál es la probabilidad de obtener 2 negras, si: a) Se sacan las 3 con reposición? 6 6 6 P ( NNN )= =0.216 10 10 10 b) Se sacan las 3 sin reposición? 6P3 P ( NNN )= =0. 1667 10 P 3 24. Se reciben al azar dos cartas de una baraja normal de 52 cartas. Halle la probabilidad de recibir as y figura (o figura y as), si: a) Se sacan de una en una sin reponer la primera. Casos favorables Casos posibles 4=4 C 1 52=52 C 1 1 – Sacar un as 12=12 C 1 51=51 C 1 2 – Sacar figura 4∗12 =0.0181 52∗51 b) Se sacan de una en una reponiendo la primera. Casos favorables Casos posibles 4=4 C 1 52=52 C 1 1 – Sacar un as 12=12 C 1 52=52 C 1 2 – Sacar figura P ( A ∩ B)=

P ( A ∩ B)=

4∗12 =0.01775 52∗52

c) Se sacan las dos al mismo tiempo. 4∗12 P ( A ∩ B)= =0.0362 52 C 2 25. En una urna se hallan

k . Se saca n veces una bola ( n P( A) P ( A )=

27. En una reunión se hallan: 5 hombres mayores, 4 hombres jóvenes, 6 mujeres mayores, 3 mujeres jóvenes. Se toma al azar una persona ; considerando los siguientes eventos : C: Hombre D: Mujer A: Mayor 5 6 11 B: Joven 4 3 7 9 9 18 A : La persona es mayor B : La persona es joven C : La persona es hombre D :La persona es mujer Halle: a) P ( B ∪ C ) 12 P ( B ∪ C ) = =0.6667 18 b) P ( B c ∪ Dc ) P ( B c ∪ Dc )=1−P ( B ∩ D )=0.8333 c) P ( D∩ A c ) P ( D∩ A c ) =P ( D )−P ( D∩ A )=0.1667 28. Se lanzan tres monedas perfectas y se anota el número de caras que quedan hacia arriba. Si: A es el evento: "Se observa exactamente una vez cara" A= { ( c , s , s ) , ( s , c , s ) ,(s , s , c) } B es el evento: "Se observa al menos una cara" B={ ( c , c , c ) , ( s , c , c ) , ( s , s , c ) , ( c , s , s ) , ( c , c , s ) , (s ,c , s)} Halle: a) P ( A ∪ B ) 6 P ( A ∪ B )= =0.6667 9 b) P( A ∩ B) 1 P ( A ∩ B ) =P ( A )= =0.3333 3 c c) P ( A ∪ B ) 3 6 3 P ( A c ∪ B ) =P ( A )+ P ( B )−P ( B− A ) = + − =0.6667 9 9 9 d) P ( A|B ) P ( A ∩ B) P ( A|B )= =0.5 P(B)

29. En el cuadrado unidad se consideran los siguientes eventos:

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1 3 B : El triángulo limitado por y=0, x=0, y=1−x a) Halle P ( B−A ) y P ( B| A ) Ω=Cuadrado entre x=0, y=0, x=1, y=1 P ( A ) áreadel triángulo en Ωbajo condición A P ( B ) área del triángulo en Ω bajo condición B 2 1 1 P ( A )= , P ( B )= , P ( A ∩ B ) = 9 2 9 1 1 7 P ( B−A )= − = 2 9 18 1 P ( B| A )= 2 b) Pruebe si A y B son mutuamente excluyentes P ( A ∩ B ) ≠ 0⇒ No c) Pruebe si A y B son independientes 1 P ( A ∩ B ) =P ( A ) P ( B )= ⇒ Sí 9 A : El triángulo limitado por

x=0, y=1, y=x +

30. La probabilidad de que Ernesto le regale una joya a su novia es igual a 0.4 ; de que le regale un perfume es igual a 0.5 y de que le regale la joya y el perfume es igual a 0.15. Halle la probabilidad de que: a) No le regale ni la joya ni el perfume. P ( A c ∩ Bc ) =1−P ( A ∪ B ) =1−( P ( A ) + P ( B ) −P ( A ∩ B ) ) =1−0.4−0.5+ 0.15=0.25 b) Le regale máximo una de las dos cosas. P ( A ∪ B )=0.75 c) Le regale el perfume dado que no le regala la joya. P ( B ∩ A c ) P ( B ) −P ( B ∩ A ) P ( B| A c )= = =0.5833 0.6 1−P ( A ) 31. Se sabe que en cierto grupo social, el 90% de los niños, el 70% de los jóvenes y el 40% de los adultos gustan de las fiestas navideñas. De 130 niños, 90 jóvenes y 80 adultos de ese grupo, se toma al azar a una persona. C: Niños D: Jóvenes E: Adultos A: Sí Fiesta 117 63 32 212 B: No Fiesta 13 27 48 88 130 90 80 300 Halle la probabilidad de que esa persona: a) Sea joven dado que no gusta de las fiestas navideñas. 27 P ( D ∩B ) 300 P ( D|B ) = = =0.3068 88 P (B ) 300 b) No sea adulto conociendo que no gusta de las fiestas navideñas.

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30 c P ( E ∩ B ) 300 c P ( E |B )= = =0.3 409 88 P ( B) 300 c) Si es niño guste de las fiestas navideñas. 117 P ( C ∩ A ) 300 P (C| A ) = = =0.5519 212 P ( A) 300 d) No guste de las fiestas navideñas dado que no es niño 75 c P ( B ∩C ) 300 P ( B|C c )= = =0. 4412 c 130 P( C ) 1− 300 32. De 800 personas : el 45% son mujeres, el 30% son hombres y el resto son jóvenes. 220 personas viven en el sur, 300 personas viven en el centro y el resto viven en el norte. 170 mujeres viven en el centro ; 80 hombres viven en el sur ; 90 mujeres viven en el norte y 105 jóvenes viven en el norte. J:Jóven M: Mujer H: Hombre S: Sur 40 100 80 220 C: Centro 55 170 75 300 N: Norte 105 90 85 280 200 360 240 800 Se escoge al azar a una persona. Halle la probabilidad que esa persona : a) No sea mujer 360 P ( M c ) =1−P ( M )=1− =0.55 800 b) Sea joven dado que no vive en el centro 200 55 − c P( J ∩C ) P ( J )−P ( J ∩C ) 800 800 c P ( J|C ) = = = =0.29 300 1−P (C ) P(C c ) 1− 800 c) Si es hombre o mujer viva en el norte

85 90 + P(N ∩ ( H ∪ M ) ) P ( ( N ∩ H ) ∪ ( N ∩ M ) ) P ( N ∩ H ) + P ( N ∩ M ) 800 800 P ( N|H ∪ M )= = = = =0. 240 360 P(H∪M) P (H ∪ M ) P ( H )+ P (M ) + 800 800 d) Sabiendo que es hombre, viva en el sur o en el centro P (S ∪C )∩ H 80 75 + ( ) ( ) P ( S ∩ H ∪ C ∩ H ) ( ) ( ) P S ∩ H + P C ∩ H 800 800 ¿ P ( S ∪ C| H )=¿ = = = =0.6458 P (H) 240 P(H) P(H) 800

33. De 200 aspirantes a cierto cargo:

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E : 48 tienen experiencia previa:

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P ( E )=

48 200

F : 40 tienen formación académica adecuada:

P ( F )=

40 200

32 200 Si se otorga el cargo a una persona al azar, halle la probabilidad de que esa persona sea: a) Con experiencia y formación 16 P ( E ∩ F )=P ( E )−P ( E ∩ F c )= =0.08 200 b) Sin experiencia P ( Ec )=1−P ( E )=0.76 c) Con experiencia dado que tiene formación P(E ∩ F ) 16 P ( E|F ) = = =0.4 40 P (F ) d) Sin experiencia o con formación P ( Ec ∪ F )=P ( E c ) + P ( F )−P ( Ec ∩ F ) =P ( E c )+ P ( E ∩ F )=0.84 E ∩ Fc : 32 tienen experiencia pero no formación:

P ( E∩ F c )=

34. Cierta empresa ha sacado, como promoción, 500 banderines de tamaños : grande (G), mediano (M) y pequeño (P) ; los banderines son : rojos (R) o blancos (B). 250 son grandes, 260 son rojos, 100 son pequeños, 40 son pequeños rojos y 20 son medianos blancos. G: Grande M: Mediano P: Pequeño R: Rojos 90 130 40 260 B: Blancos 160 20 60 240 250 150 100 500 Se toma al azar un banderín, halle la probabilidad de que: a) Sea mediano o rojo 150+260−130 P ( M ∪ R )=P ( M )+ P ( R ) −P ( M ∩ R )= =0.56 500 b) Sea rojo, y, grande o pequeño

P ( R ∩ (G ∪ P ) )=P ( ( R ∩G ) ∪ ( R ∩ P ) )=P ( R ∩G )+ P ( R ∩ P )−P ( ( R ∩G ) ∩ ( R ∩ P ) )=P ( R ∩G )+ P ( R c) Sea mediano dado que es blanco 20 P ( M ∩ B ) 500 P ( M |B )= = =0.08333 240 P ( B) 500 d) Sea blanco dado que no es grande 240−160 c P ( B ∩G ) 500 c P ( B|G ) = = =0. 32 25 0 1−P ( G ) 1− 500 35. Se sabe que en un avión van 100 personas de las cuales 10 son mujeres que fuman y 20 hombres que no fuman; si van tantas personas que fuman como personas que no fuman, halle las siguientes probabilidades:

Andrés Miniguano Trujillo

21 de febrero de 2013

M: Mujer 10 30 40

A: Fuman B: No Fuman

H: Hombre 40 20 60

50 50 100

a) Si se escoge una persona al azar, sea mujer 40 P (M )= =0.4 100 b) Si se escoge una persona al azar, sea mujer que fuma 30 P (M ∩ A)= =0. 3 100 c) Si se escoge una mujer, que sea de las que fuman P( A ∩ M ) P ( A| M )= =0. 75 P(M) d) Si se escoge una persona al azar, sea mujer o que fume 40+ 50−10 P ( M ∪ A )= =0. 8 100 36. Tres cajas iguales tienen las siguientes bolas: La primera caja 12 bolas blancas y 16 negras. La segunda caja 13 bolas blancas y 15 negras. La tercera caja 18 bolas blancas y 10 negras. Se toma una caja al azar, se extrae una bola y resulta ser blanca. ¿Qué probabilidad hay de que pertenezca a la segunda caja?

P ( B ) =P ( ( B ∩ I ) ∪ ( B ∩II ) ∪ ( B ∩III ) )=P ( B∩ I ) + P ( B ∩ II ) + P ( B ∩ III )=P ( I ) P ( B|I ) + P ( I I ) P ( B|I ) + P ( I I 1 13 P(II ∩ B) P ( II ) P ( B|II ) 3 18 P ( II|B ) = = = =0.3023 43 P ( B) P (B ) 84 37. Una fábrica tiene dos máquinas A y B que hacen el 60% y el 40% de la producción, respectivamente. A produce 3% de productos defectuosos y B el 5% de defectuosos. Se toma al azar un artículo y se observa que es defectuoso, ¿Cuál es la probabilidad de que ese artículo haya sido producido por B? A 0.60 0.40

B

0.03

0.05

D

D

P ( D )=P ( A ) P ( D| A ) + P ( B ) P ( D|B )=( 0.6∗0.03 ) + ( 0.4∗0.05 )=0.038

Andrés Miniguano Trujillo

P ( B|D ) =

21 de febrero de 2013

P ( B∩ D ) P ( B ) P ( D|B ) ( 0.4 ) ( 0.05 ) = = =0.5263 0.038 P ( D) P( D)

38. Tres cursos tienen los siguientes alumnos: A : El primero 25 varones y 15 mujeres B : El segundo 30 varones y 10 mujeres C : El tercero 20 varones y 20 mujeres Se toma al azar el carné de uno de los estudiantes y resulta ser el de una mujer. ¿Cuál es la probabilidad de que la dueña del carné sea del segundo curso? 40 10 P ( B ∩ M ) P ( B ) P ( M |B ) 120 40 P ( B|M )= = = =0.1389 45 45 P (M ) 75 75 39. Tres empresas tienen los siguientes empleados: Empresa R : 25 hombres y 14 mujeres: R=25 H +14 M =39 Empresa B : 23 hombres y 17 mujeres: B=23 H +17 M=40 Empresa D : 21 hombres y 12 mujeres: R=21 H +12 M =33 T =112 39/112 40/112

R B

33/112 D

25/39 23/40

21/33

H H H

a) Si se toma al azar el carné de afiliación al IESS, ¿cuál es la probabilidad de que sea de un hombre? 39 25 40 23 33 21 P ( H ) =P ( R ) P ( H |R ) + P ( B ) P ( H|B ) + P ( D ) P ( H|D ) = + + =0.6161 112 39 112 40 112 33 b) Si el carné de afiliación al IESS ha sido de una mujer, ¿cuál es la probabilidad de que la dueña del carné sea empleada de la empresa B ? 40 17 P(B ∩ M ) 112 40 P ( B|M )= = =0.3953 P(M) 1−P ( H )