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• Ricky Pichardo López

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UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE SANTO DOMINGO FUNDAMENTO DE ESTADÍSTICA (EST-110) UNIDAD III MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Presentación elaborada por Leonido Rosario, MA.

Introducción: Imagine que el maestro de estadística dio un examen con un valor de 20 puntos a un grupo de 20 participantes y los resultados fueron los siguientes: 20 12

13 18

7 14

12 17

18 3

16 5

17 6

9 3

11 1

10 15

Un participante le pregunta al facilitador, ¿cómo nos fue profe?, si usted fuera el facilitador, ¿qué le responde? Una pregunta cómo esta podríamos responderla con un número que represente el equilibrio de los datos. A las medidas que se sitúan en el centro de un conjunto de datos se le conoce como medidas de tendencia central. Antes de continuar con el estudio de las medidas de tendencia central, necesitamos revisar el concepto de sumatoria por su aplicación en este tema. Notación Sumatoria: Con frecuencia en estadística resulta importante poder encontrar la suma de todos los términos de una distribución, es decir: X 1  X 2  X 3  ...  X n En lugar de escribir todos esos términos, introducimos una manera más concisa de expresar dicha suma, llamada notación de sumatoria. Utilizando dicha notación, podemos escribir la suma como: n

X i 1

SÍMBOLO

i

 X 1  X 2  X 3  ...  X n ; donde i, n N

SIGNIFICADO Letra griega mayúscula sigma, que indica sumatoria. Estos naturales indican dónde inicia y dónde termina la suma, respectivamente. Variable

NOTA: Cuando la sumatoria se realiza con todos los datos (de 1 a N) se abreviará de la siguiente manera:

2

Ejemplos exploratorios: Para los siguientes datos, determine la sumatoria correspondiente. X: 6, 8, 9, 10, 11

Y: 4, -10, -2, 20, 25, 8

Y: 4, -10, -2, 20, 25, 8

Z: 2, -12, 14, 16, 20, 10, 8

Z: 2, -12, 14, 16, 20, 10, 8

X: 6, 8, 9, 10, 11

X: 6, 8, 9, 10, 11

No 1

PROPIEDAD

PROPIEDADES DE LA SUMATORIA SIGNIFICADO La sumatoria de una constante es igual a n veces la constante.

2

La sumatoria de una suma algebraica de dos o más variables es igual a la suma algebraica de las sumatorias de las variables.

3

La sumatoria de una diferencia algebraica de dos o más variables es igual a la diferencia algebraica de las sumatorias de las variables.

4

La sumatoria del producto de una constante por una variable es igual al producto de la constante por la sumatoria de la variable.

3

Ejemplos prácticos exploratorios de las propiedades de la sumatoria Usando las propiedades de la sumatoria y los datos dados a continuación: Variables

Datos

X

1

-3

-2

3

3

Y

2

2

1

0

1

 Calcule el valor numérico de las expresiones siguientes a

b

c

d

e

f

g

h

4

Definición Una medida de tendencia central es un valor que se encuentra en el centro o a la mitad de un conjunto de datos. Las medidas de tendencias central más usadas son:  La media  La mediana  La moda  Media ponderada  Media geométrica MEDIA ARITMÉTICA La media aritmética es la medida numérica más importante que se utiliza para describir datos; comúnmente se le conoce como promedio. Definición La media aritmética de un conjunto de valores es la medida de tendencia central que se calcula al sumar los valores y dividir el total entre el número de valores. Fórmula para la media de una muestra Fórmula para la media de una población

x

x n



x N

Ejemplo 1 Las notas de dos estudiantes del Liceo Nocturno “Aguas de Amor” en el primer cuatrimestre fueron las siguientes. Alumnos Nota 1 Nota 2 Nota 3 Nota 4 Promedio A

85

90

98

95

B

94

85

80

75

a) Encuentre el promedio de notas de los dos estudiantes.

b) ¿Qué se observa en el comportamiento de las notas del alumno A?

c) ¿Qué se observa en el comportamiento de las notas del alumno B?

d) Si usted es el/la director/a del liceo, ¿qué harías en el segundo mes para evitar el declive de las notas de este estudiante?

5

Caso #1: Para buscar la media aritmética de los salarios semanales (en pesos dominicanos) de 10 empleados de zona franca, cuyos salarios fueron: 1500, 1700, 1700, 1700, 1700, 2000, 2000, 2500, 2500 y 2500, usando la definición sería de la manera siguiente. Solución 1500  1700  1700  1700  1700  2000  2000  2500  2500  2500 19800 x   1,980 10 10 Sin embargo, este promedio se pudo calcular así: 11500   4 1700   2  2000   3 2500  19800  1,980 x 1 4  2  3 10

¿ Por qué ?

Cuando los datos: x1 , x2 , x3 ,..., xn se presentan con frecuencias: f1 , f 2 , f3 ,..., f n respectivamente,

f1 x1  f 2 x2  f3 x3  ...  f n xn  fi xi , esta fórmula  f1  f 2  f3  ...  f n n servirá cuando los datos aparecen ordenados en una distribución de frecuencias.

la media aritmética estará dada por: x 

Media aritmética de una muestra con datos agrupados:

x

  f  x n

; x

li  ls 2

Es preciso indicar que cuando tenemos una tabla de frecuencia no es posible buscar la media real, ya que no tenemos los datos puntuales, lo que buscamos es una aproximación de la media aritmética. Ejemplo 1.1 La siguiente tabla presenta la estatura de una muestra de 100 estudiantes elegidos aleatoriamente de 4to grado del liceo “El Señor es mi Pastor”. Calcule la estatura media. Estatura (pulg.) f li  ls f x x 2 60 - 62 5 63 - 65

18

66 - 68

42

69 - 71

27

72 - 74

8 n   f  100

Sustituya:

x

 f  x  n

x

a) ¿Cuál es la estatura media? b) ¿Para qué sirve esto?, ¿A quién le podría servir ese dato?

  f  x  ?

6

Ejercicio 1 En la siguiente tabla se registró el peso de 110 estudiantes varones del CURNO. Completa la tabla y luego responde. li  ls Peso (libras) f f x x 2

100 - 110 111 - 121 122 - 132 133 - 143 144 - 154 155 - 165 166 - 176 177 - 187 188 - 198 Total

3 5 12 15 20 45 5 2 3 110

________________

   f  x 

a) ¿Cuál es el peso promedio? b) Imagine que usted tiene una tienda de ropa para hombres cerca del CURNO, ¿Qué usted haría con este dato? Ventajas y desventajas de la media Ejercicio 1.1 Complete la tabla y deduzca qué sucede. Datos 1, 2, 5, 9, 10 1, 2, 5, 9, 100 1, 2, 5, 9, 1000 1, 2, 5, 9, 10000  ¿Qué ventajas posee la media?

Media

 ¿Qué desventajas tiene la media?

Ejercicio 1.2 Complete la tabla y deduzca qué sucede. Datos Promedio 2 5 1 4 n=4

2  5 1 4 4 12 x  x3 4

xx

x

  x  x 

 ¿Cuál fue el resultado de la sumatoria de las desviaciones con respecto a la media?

7

Ventaja Una ventaja de la media es que resulta relativamente confiable, de manera que cuando se seleccionan muestras de la misma población, las medias muestrales tienden a ser más consistentes que otras medidas de tendencia central. Algunas de las características de la media 1. Todo conjunto de datos cuantitativos posee una media y esta es única. 2. Todos los valores se encuentran incluidos en el cálculo de la media. 3. La media es muy sensible a los datos extremos. Un valor extremo perturba considerablemente el equilibrio de los datos. 4. La suma de las desviaciones de cada valor con respecto a la media es cero.

 X     0

Demostración Tesis:   X     0 1.

Afirmaciones  X      X   

1. Por la propiedad 2 de la sumatoria.

2.

 X     X  N 

2. Por la propiedad 1 de la sumatoria.

3.

 X  N    X  N 

4.

 X  N 

4. Simplificando la expresión.

5.

 X      X   X  0

5. Por la propiedad transitiva, queda demostrada

X    N 

X     X   X  N 

Razones

3. Por definición de la media.

la tesis.

Ejercicio 1.3: Dados los siguientes datos muestrales: 5, 9, 4, 10 a) Calcule la media

b) Demuestre que

 x  x  0

Una desventaja de la media es su sensibilidad a los valores extremos, la mediana resuelve en gran medida, esa desventaja. La mediana es el valor intermedio, ya que la mitad de los datos están por debajo de la mediana y la otra mitad por encima de ella.

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Definición MEDIANA PARA DATOS SUELTOS La mediana es el dato que está ubicado en el centro de un conjunto de datos ordenados cuando el número de datos es impar. Si el número de datos es par, entonces, la mediana será el promedio de los dos valores céntricos. La mediana suele denotarse con n 1 dada por: x  2

x

. La posición de la mediana viene

Ejemplo 2 Calcule la mediana de los siguientes datos: Datos Ordene los datos a) 8, 10, 4, 3, 1, 15

Mediana

b) 2.5, 1.8, 1.2, 2.48, 2.0 c) 2, 3, 5, 7, 10 d) 2, 3, 5, 7, 100 e) 2, 3, 5, 7, 1000  ¿Qué observa en los ejemplos c, d, y e? ¿A qué conclusión llegas?

Mediana para una muestra de datos agrupados Si los datos aparecen agrupados para determinar la mediana se usará la fórmula:  n  Fi1  c x  li   2   fi   Símbolo Significado Es el límite inferior de la clase que tiene la mediana. li

2

Es la mitad del número de datos (recuerde que la mediana se sitúa en la mitad de los datos)

Fi 1

Es la sumatoria de las frecuencias que están por debajo de la clase que contiene a la mediana.

fi

Es la frecuencia de la clase mediana

c

Es el tamaño de la clase, se determina así:

n

c  li2  li1

9

Ejemplo 2.1 Encuentre la mediana de la distribución de los pesos (libras) de 110 estudiantes del CURSA Peso (libras)

f

F

Solución

100 - 110

7

7

1. Busco donde está la clase mediana

n

2



110  55 , 2

111 - 121

8

15

mediana está en la 4ta clase. 2. Busco el tamaño de la clase. c  144 133  11

122 - 132

20

35

3. Determino a Fi 1  35

133 - 143

35

70

4. Busco a li  133

144 - 154

19

89

5. Determino a f i  70

155 - 165

13

102

166 - 176

5

107

177 - 187

2

109

188 - 198

1

110

6. Sustituyo en la fórmula

por tanto, la

  n  Fi1   x  li   2 c    fi       x  133   55  35  11     70       20   x  133    11  70      x  133  3.14      x  136.14 

Respuestas: El peso promedio mediano de los 110 estudiantes es de 136.14 libras aproximadamente.

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Ejercicio 2 Encuentre la mediana de la distribución de la estatura de 100 basquetbolistas. Solución Estatura (pulg.) f F 60 - 62

5

63 - 65

18

66 - 68

42

69 - 71

27

72 - 74

8

n  100

1. Busco dónde está la clase mediana. n  2

c  li2  li1 2. Tamaño de la clase.   c  3. Determino a Fi 1  4. Busco a li  5. Determino a fi 

 n  Fi 1  c 6. Sustituya en la fórmula x  li   2 fi    

Respuesta:

Características de la mediana 1. En su cálculo no se incluyen todos los valores de la variable. 2. La mediana no es afectada por los valores extremos.

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MODA La moda es otra medida de tendencia central de importancia en la descripción y resumen de una distribución de frecuencias. Es utilizado en el lenguaje común, por ejemplo, ¿cuándo las damas dicen que una cartera está de moda? En estadística se tiene una idea similar de la moda de un conjunto de datos. Definición Moda para datos sueltos Se define como el dato con mayor frecuencia.

Ejemplo 3 Complete la tabla. Datos

Moda

1, 2, 4, 2, 3 1, 2, 5, 9, 4, 999 1, 2, 1, 2 1, 2, 5, 9, 5, 555 Moda de una muestra de datos agrupados Si los datos aparecen agrupados para determinar la moda se usará la fórmula:

 d c  mod  li   1   d1  d 2  Nota:

li Es el límite inferior de la clase que tiene la mayor frecuencia. d1  f mayor  f anterior d 2  f mayor  f siguiente

c  li2  li1

Es el tamaño de la clase.

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Ejemplo 3.1 Calcule la moda de la distribución del peso (libras) de 110 estudiantes de la escuela de estadística. Peso (libras) f Solución 1.

d1  f mayor  f anterior  d1  35  20  15

8

2.

d1  f mayor  f siguiente  d1  35  19  16

122 - 132

20

3.

c  144 133  11

133 - 143

35

144 - 154

19

155 - 165

13

166 - 176

5

177 - 187

2

188 - 198

1

100 - 110

7

111 - 121

  d1  c   mod  li     d1  d 2    15 11   mod  133       15  16   4.   165   mod  133   31      mod  133  5.32    mod  138.32 

Respuesta: El peso más frecuente de las personas es 138.32 libras. Ejercicio 3 Encuentre la moda de la distribución de la estatura de 92 personas de un sector de Santiago. Estatura (pulg.) f Solución

d1  f mayor  f anterior  d1 

60 - 62

5

63 - 65

18

2. d 2  f mayor  f siguiente  d 2 

66 - 68

42

3.

69 - 71

27

 d c  4. mod  li   1   d1  d 2 

Respuesta:

1.

c  li2  li1  c 

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Características de la moda 1. En su cálculo no se incluyen todos los valores de la variable. 2. No es afectada por los valores extremos. 3. El valor de la moda puede afectarse de acuerdo al método de designación de los intervalos. Comparación entre la media, mediana y moda. Al decidir cuál medida utilizar en una circunstancia específica, existen varias consideraciones:  La media considera todos los valores de la variable, mientras que la mediana se concentra en los valores que están a la mitad de los datos. La media queda afectada por los valores extremos, ya que le da el mismo peso a todos los valores.  Solo hay un valor para la media y para la mediana, sin embargo, en un conjunto de datos puede haber más de una moda.  La moda tiende a ser menos útil que la media y la mediana, sin embargo, bajo ciertas circunstancias la moda puede tener un valor singular, por ejemplo, cuando se quiere representar la cualidad más común entre los elementos del grupo. Caso #2: Una estudiante obtuvo calificaciones de 90 puntos en el examen parcial, 70 puntos en el examen final y 83 puntos en un proyecto semestral. Si estas tres notas se importantizan en 20%, 70% y 10% respectivamente, ¿Cuál es la media de las calificaciones? Solución: 90  70  83  81 3  ¿Será 81 realmente la media que representa estos datos? ¿Qué debilidad tiene esta media?

x

MEDIA PONDERADA Esta media nos permite calcular un promedio que tome en cuenta la importancia de cada valor con respecto al total. La fórmula es:

x

  w  x w

Donde w es el peso de los datos y x son las observaciones o datos. Si en el ejemplo anterior se hace los cálculos, se tiene que: 0.20  90  0.70  70  0.10  83 x 0.20  0.70  0.10 75.3 x 1

 x  75.3 De manera que el estudiante obtuvo realmente una calificación de 75.3 puntos y no de 81 puntos. Si el estudiante quería que le fuera mejor, ¿en cuál de las tres evaluaciones debió esforzarse más?

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Ejemplo 4 Un estudiante realizó 17 créditos en una universidad durante el primer cuatrimestre. Suponga que se le asigna un valor de 4 a A, 3 a B, 2 a C, 1 a D y 0 a F. Asignatura

Calificación

Valor

Créditos

Inglés

C

4

Matemáticas

B

5

Biología

B

3

Español

C

5

Total 

V*C

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Calcule la calificación cuatrimestral media del estudiante. Solución:

x

 w  x w

Respuesta:

Ejercicio 4 Considere la siguiente muestra de cinco valores y las ponderaciones correspondientes y calcule su media: x w x*w 4.6

8

3.2

3

5.4

6

2.6

2

5.2

5

Solución:

Respuestas:

15

MEDIA GEOMÉTRICA Imagina que tenemos tres elementos consecutivos a, m y b de una progresión geométrica como se muestra en la figura que está a la derecha. Esto significa, m b que r   , lo que implica que m2  ab  m  ab , a esta expresión se le a m conoce como la media geométrica para dos valores, pero si son varios valores, entonces, la media geométrica es:

xg  n x1  x2  x3  xn

Ejemplos 5 Calcula la media geométrica de: Datos a) 2, 18

Media geométrica

b) 9, 3, 3 c)1, 3, 9, 2 d)2, 3, 5, 6, 1 Nota: La media geométrica suele utilizarse para promediar por ciento (tasa de interés). Cuando trabajamos con cantidades que cambian cada cierto tiempo y se requiere conocer una tasa promedio de cambio utilizamos la media geométrica. El factor de crecimiento se define así: f .c.  1  tasa Ejemplo 5.1 El crecimiento de una cuenta de ahorros cuyo depósito inicial era de 100 dólares, se dejó que acumulara intereses a diferentes tasas durante cinco años. El crecimiento se resume en la siguiente tabla: Crecimiento de Año Tasa de interés Factor de crecimiento Ahorro al final de año. un depósito de 7 1 7% 1.07 100  107 1  1  0.07  1.07 $100 en una 100 cuenta de ahorro. 2 8% 3 10% 4 12% 5 18% a) Busque el promedio de la tasa de interés usando la media aritmética.

b) Busque el promedio del factor de crecimiento usando la media geométrica. c) ¿Qué significa el valor encontrado?

En las economías con alto índice de inflación, los bancos deben pagar altas tasas de interés para atraer a los ahorradores.

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Ejercicio 5: Suponga que en un periodo de cinco años en un régimen económico con un alto índice de inflación, los bancos pagan tasas de interés anual de 10, 20, 25, 30 y 40%. Supongamos que un ahorrante decide ahorrar también 100 dólares. Compara la media aritmética y la media geométrica. Crecimiento de un depósito de $100 en una cuenta de ahorro.

Año

Tasa de interés

1

10%

2

20%

3

25%

4

30%

5

40%

Factor crecimiento

de Ahorro al final de año.

a) Busque el promedio de las tasas de interés usando la media aritmética.

b) Busque el promedio del factor de crecimiento usando la media geométrica.

c) ¿Qué significa el valor encontrado?

Ejemplo 6 La compañía Birch, fabricante de tableros de circuitos eléctricos, ha producido el siguiente número de unidades en los últimos cinco años. Calcule el aumento porcentual promedio de unidades producidas en cada año. Años Producción Factor de crecimiento 2004 12,500 ------------------------------------2005 13,250 13250 12500  1.06 2006 14,310 14310 113250  1.08 2007 15,741 1.1 2008 17,630 1.12 Solución:

tg 

4

1.06 1.08 1.1 1.12 

 t g  1.08977

Respuestas: La fábrica aumentó 8.98% en promedio la producción anual de tableros de circuitos eléctricos.

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Ejercicio 6 La siguiente distribución presenta el gasto (millones de pesos dominicanos) del gobierno central durante el periodo 1992-1996. Calcule el aumento porcentual promedio del crecimiento en cada año. Año Gasto Factor de crecimiento 1992

16,056

1993

20,727.5

1994

23,135.3

1995

24,107.4

1996

27,691.1 Solución:

Respuestas:

Otro modelo de aplicación de la media geométrica se relaciona con la determinación de un cambio porcentual promedio durante cierto periodo. Por ejemplo, si usted ganó $30 000 en el año 2000 y $50 000 en el 2010, ¿cuál es la tasa anual de incremento durante el periodo? Ésta es de 5.24%. La tasa de incremento porcentual promedio se deduce a partir de la fórmula del interés compuesto: s  c 1  i   c 1  i   s n

1  i  1 i 

n

 n

s  c

n

n

1  i 

s  i c

n

n



n

s c

s 1 c

Tasa de incremento porcentual promedio durante el tiempo. tg  n

Valor al final del periodo 1 Valor al inicio del periodo

18

Ejemplo 7: La población de Colorado era de 3, 827,000 habitantes en 1995 y de 4, 665,000 en 2005. Durante este periodo: a) En número de habitantes, ¿de cuánto fue el incremento para este periodo?

b) ¿De cuánto es el ritmo o velocidad de cambio promedio anual de la población?

c) ¿Cuál fue la tasa de incremento porcentual promedio durante el tiempo?

Ejercicio 7: Durante la década de los noventa y hasta los primeros años del 2000, Las Vegas, Nevada, fue la ciudad de mayor crecimiento en Estados Unidos. La población se incrementó de 258,295 en el año 1990 a 607,876 en el 2009. a) En número de habitantes, ¿de cuánto fue el incremento para este periodo?

b) ¿De cuánto es el ritmo o velocidad de cambio promedio anual de la población?

d) ¿Cuál fue la tasa de incremento porcentual promedio durante el tiempo?

Algunas de las características y aplicaciones de la media geométrica son: 1. Toma en cuenta todos los valores de la variable. Si uno de los valores es cero, la media geométrica dará cero. 2. La media geométrica es afectada por datos extremos, aunque en menor medida que la media aritmética. 3. Es mayormente usada para promediar tasas de cambio, razones y valores que muestren una progresión geométrica.

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MEDIA ARMÓNICA Esta medida céntrica se define como la inversa de la media aritmética del recíproco de los valores de la variable. Esta medida es útil cuando en el problema estudiado intervienen unidades de medidas compuestas por un cociente o por una relación inversa. La fórmula para calcular la media armónica de datos sueltos es: n xa   1 x  Ejemplo 8: Calcular la media armónica para los siguientes valores: 5, 4, 8, 10, 2 Solución: 5 xa  1 5  1 4  1 8  1 10  1 2 xa 

5 200   4.25 47 40 47

 xa  4.25

Respuestas: La media armónica de la muestra de datos es 4.25 Ejercicio 8: Suponga que una familia realiza viajes en automóviles a una ciudad y cubre los primeros 100 km a 60 km/h, los siguientes 100 km a 70 km/h y los últimos 100 km a 80 km/h. Calcula la velocidad media realizada. Solución:

Respuestas:

Características y aplicación de la media armónica: 1. Se toman en cuenta todos los valores de la variable para su cálculo. 2. Es menos afectada por los datos extremos. 3. El uso de la media armónica no es común, sin embargo, es de gran utilidad cuando se trata de algunas magnitudes físicas y otros campos relacionados.

20

MEDIA CUADRÁTICA La media cuadrática se define como la raíz cuadrada de la media aritmética de los cuadrados de los valores de la variable. La fórmula es: xc 

x

2

N

Esta medida es útil en muchos cálculos de ciencias. Ejemplo 9: Calcule la media cuadrática de los datos: 1, 3, 4, 5, 7 Solución xc 

1  32  4 2  52  7 2 5 2

xc  20 xc  4.47

Respuestas: La media cuadrática de la muestra de datos es 4.47 Ejercicio 9: Encuentre la media cuadrática para los siguientes datos muestrales: 10, 12, 24, 13,15, 22 Solución:

Respuestas:

Características y aplicación de la media cuadrática: 1. En el cálculo de media cuadrática se emplean todos los datos de la variable. 2. Una aplicación clásica de la media cuadrática es la determinación del valor eficaz de un parámetro sinusoidal en electricidad, en corriente alterna (tensión en voltios o intensidad en amperios).