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UNIVERSIDAD NACIONAL JOSE FAUSTINO SANCHEZ CARRION FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL MECANICA DE FLUIDOS II

CURVAS DE REMANSO Se conoce como curvas de remando o ejes hidráulicos, a los perfiles longitudinales que adquiere la superficie libre del líquido en un canal cuando se efectúa un escurrimiento bajo las condiciones de flujo gradualmente variado. Geométricamente, el perfil de la superficie libre está definido por los tirantes reales que se tenga a lo largo del escurrimiento. Basándose en observaciones empíricas, se ha logrado obtener los diferentes tipos de curvas, cuya forma depende de las condiciones de tirantes y pendientes que se tenga en cada caso. CLASIFICACION Y NOMENCLATURA DE LAS CURVAS DE REMANSO: Tipos de Pendiente de Fondo (So): 1) Pendiente suave (Curvas M): Se dice que la pendiente es suave, cuando para las condiciones hidráulicas (Q) y características del canal (b, T, n, So) dadas, se generan un tirante normal (Yn) mayor que el crítico (Yc); esto es Yn > Yc, también So > Sc 2) Pendiente crítica (Curvas C): Es aquella pendiente de fondo con la cual se satisface, para las condiciones dadas, que el tirante normal es igual al tirante crítico. Aquí se cumple: Yn = Yc y So = Sc 3) Pendiente fuerte (Curvas S): Es aquella con la cual, para las condiciones dadas, se produce un tirante normal menor que el crítico. En esta se cumple que: Yn < Yc y So > Sc 4) Pendiente horizontal: Es aquella en la cual So = 0 y como consecuencia el tirante normal se hace infinito, es decir: 1 V = R 2/ 3 S1 /2 n Si S=0 → v =0

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Además de la ecuación de continuidad: Si Q v = =0→ A=∞→ Y n=∞ A 5) Pendiente adversa: Es aquella en la cual el líquido trabaja en contra de la gravedad, ya que el fondo del canal (en comparación con un plano horizontal), aumenta en el sentido del flujo, es decir la pendiente es negativa. El tirante Yn no existe en este tipo de pendiente por no tener significado físico, lo cual se observa al sustituir el valor negativo de So en la ecuación: 1 2 /3 1 /2 Q= A R S O n Si SO es negativo →

√ SO

= imaginario

Zonas de Generación de las Curvas De Remanso: A) Zona 1

Se dice que una curva de remanso se presenta en la zona 1, cuando el tirante real de escurrimiento posee valores mayores que el normal y el crítico, pudiendo ser éste mayor que aquel o viceversa.(Fig. 1)

Figura 1: Curva de Remanso en Zona 1

Es decir: Y > Yc , Y > Yn Donde Yn > Yc ó Yc > Yn

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La curva de remanso se localiza en la zona 2, cuando el tirante real del flujo se encuentra comprendido entre el tirante normal y el crítico, pudiendo ser: Yc > Y > Yn ó Yn > Y > Yc

Figura 2: Curva de Remanso en Zona 2 C) Zona 3

La curva de remanso se localiza en la zona 3, cuando el tirante real posee valores menores que el normal y el crítico, pudiendo ser ese mayor que aquel o viceversa, es decir: Y < Yn , Y < Yc Siendo Yn > Yc ó Yc > Yn

Figura 3: Curva de Remanso en Zona 3

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Tomando en consideración la clasificación realizada por Bakhmeteff de las curvas de remanso basada en el tipo de pendiente y las zonas de generación del perfil, se tienen las curvas M1, M2, M3, C1, …, A2, A3, las mismas que se muestran en la siguiente tabla:

PROPIEDADES GENERALES DE LAS CURVAS DE REMANSO

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Las siguientes propiedades son comunes a todas las curvas: 1.

Las curvas de que tienen el tirante normal y n se acercan a ella

asintotáticamente. En efecto: dy S0 −S E = dx 1−F 2 Si y tiende a y n el valor de S E lim (S0−S E )=0

tiende a S 0 lo que hace que:

y → yn

Y por lo cual: lim (dy /dx )=0 y → yn

Esto significa que el perfil del flujo es paralelo al fondo del canal, es decir, que no puede cortar nunca a la línea del tirante normal pero puede confundirse con ella en régimen uniforme (curvas M1, M2, C3, S2, S3). Las curvas que tienden al tirante normal se acercan a ella asintóticamente, hacia aguas arriba para pendientes menores que la crítica, y hacia aguas abajo para pendientes superiores a la crítica. En otras palabras cuando una singularidad rompe la uniformidad del escurrimiento, el régimen que se establece lejos de ella es necesariamente uniforme. Una singularidad hará sentir sus efectos hacia aguas arriba en régimen subcrito y hacia abajo en régimen supercrito. Esta propiedad resulta muy importante para los cálculos de la curva de remanso, puesto, que ella se hará, desde la sección de control hasta una sección en la que el tirante difiera en uno o dos por ciento respecto al tirante normal. 2. Las curvas que tienden al tirante crítico y c se acercan a ella, en ese punto, en forma perpendicular a la línea del tirante y c . En efecto, en la ecuación, si y tiende a y c el valor de F tiende a 1, lo que hace que: lim (1−F)=0 y → yc

Y por lo cual: lim (dy /dx )=∞ y → yc

Esto es, el perfil del flujo se vuelve vertical en la proximidad del tirante crítico (curvas M2, S2, H2, A2). Esto significa que si el perfil se desarrolla en régimen supercrítico ocurre una discontinuidad, presentándose el resalto hidráulico antes de que

y

alcance el valor de y c (curvas M3, H3, A3), por lo

contrario si el perfil se desarrolla en régimen subcritico, dicho perfil logra una

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gran curvatura al aproximarse

al valor y c para volverse vertical en el

y

punto en que y= y c (curvas M2, H2, A2). 3. Cuando el tirante y tiende a ser muy grande las curvas tiendes a ser tangentes a una horizontal. En efecto, si y tiende a infinito, entonces S E

y

F2

tienden a 0, es

decir: lim S E = lim y →∞

y→∞

2

lim F = lim y →∞

y→ ∞

v×n

2

2

Q ×n

( ) ( ) R

(

2 3

= lim

y→∞

2

A×R

2 3

=0

2

v Q = lim =0 g× A /T y →∞ g × A /T

)

(

)

Y por lo cual: lim (dy /dx)=S 0 y →∞

Que corresponde a una línea horizontal que forma un ángulo θ ( sen θ=S0 ) con el fondo del canal (fig. 4). Esto significa qye la superficie del

agua es asintótica (curvas

H 2 , A2 ).

Figura 4

EJEMPLOS PRACTICOS DE CURVAS DE REMANSO En la figura se presentan algunos ejemplos prácticos de curvas de remanso o perfiles del flujo, y a continuación algunos comentarios acerca de dichos perfiles:

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Figura 5: Ejemplos prácticos de perfiles de flujo

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1. Perfiles tipo M Representa a la curva de remanso más común, este es el más importante de todos los perfiles de flujo desde el punto de vista práctico. Ejemplos típicos de perfil M1 son el perfil detrás de una represa, vertedero, compuertas y otros accidentes naturales, como estrechamientos y curvas. Su longitud puede ser de varios kilómetros extendiéndose hacia aguas arribe desde la estructura de control hasta una sección en la que el tirante difiera en uno o dos por ciento respecto al normal. Las inundaciones que se producen en las zonas bajas de Costa Rica, como en la Zona Atlántica, son producidas por este tipo de curvas de remanso, Al crecer las mareas actúan como represas que generan curvas de remanso M1 de gran longitud en los cauces de los ríos, produciendo inundaciones de grandes áreas. El perfil M2 ocurre en pendiente suave, cuando el tirante se reduce en el sentido del flujo, por ejemplo en un estrechamiento de la sección o en la proximidad de una rápida o una caída. El perfil M3 se puede encontrar aguas debajo de un cambio de pendiente de supercrítica a subcritica, o después de la descarga de una compuerta con pendiente suave. Está regido por las condiciones aguas abajo y termina normalmente en un resalto hidráulico. Los perfiles M2 y M3 son muy cortos en comparación con el M1. 2. Perfiles tipo S El perfil S1 es producido por una estructura de control, como presa o compuerta, situada en un canal de gran pendiente, también se produce cuando el resalto es ahogado, principia después de un resalto hidráulico y termina en la obstrucción. El perfil S2 se encuentra normalmente a la entrada de un tramo de gran pendiente o aguas debajo de un cambio de pendiente de suave a fuerte. Su longitud es generalmente corta, extendiéndose desde la sección de control (tirante crítico) hasta aguas abajo, hasta una sección en la que el tirante es mayor en uno o dos por ciento respecto del tirante normal. El perfil S3 se puede producir aguas abajo de una compuerta, situada sobre un canal de gran pendiente, o aguas debajo de la intersección de un cambio de un tramo con gran pendiente, a otro con menos pendiente pero siempre en pendiente fuerte. 3. Perfil tipo C En este tipo de perfiles hay solamente dos, debido a que los tirantes normal y crítico coinciden, estos deberán ser aproximadamente horizontales, pero la inestabilidad propia del estado crítico se manifiesta en la forma de ondulación apreciable. 8

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4. Perfiles tipo H Estos son los casos límites de los perfiles tipo M cuando el fondo del canal se hace horizontal. Los perfiles H2 y H3 corresponden a los perfiles M2 y M3 pero ningún perfil H1 puede establecerse ya que y n es infinito. 5. Perfiles tipo A Los perfiles A no ocurren frecuentemente, pues la pendiente S 0 negativa es rara. El perfil A1 es imposible, ya que el valor de

y n no es real y los perfiles

A2 y A3 son similares a los perfiles H2 y H3, respectivamente. PROCEDIMIENTOS PARA DETERMINAR EL TIPO DE CURVA DE REMANSO. Este procedimiento permite predecir la forma general del perfil del flujo, lo cual constituye una parte muy significativa en todos los problemas de diseño de una canal para un flujo gradualmente variado. Las pautas que se siguen son: 1. Dibujar el perfil longitudinal del canal distorsionando las escalas vertical y horizontal. Dado que un canal es una obra esencialmente lineal se deberá tener una escala vertical mucho mayor que la horizontal, para hacer apreciables las fluctuaciones de la curva de remanso o eje hidráulico.

Figura 6: Dibujo del perfil longitudinal

2. En el perfil longitudinal marcar las singularidades como los cambios de pendiente, forma de sección transversal, cambio de rugosidad, cambio de dimensiones, etc. Y diferenciar los distintos tramos que se originan, tanto por cambios de pendiente como por cambios del tipo de material del fondo del canal.

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Figura 7: Ubicar singularidades y tramos

3. Calcular

y n y dibujar la línea teórica de profundidad normal para cada tramo,

de acuerdo con los datos particulares en cada uno. Hay que tener presente que de acuerdo con la ecuación de Manning conjugada con la de continuidad, se tiene: 1 A5 /3 1/ 2 A5 Q × n 3 Q= S → f y = = ( ) n 1 n p2 /3 p2 S2 y n depende de la forma de la sección transversal, de la pendiente y del

( )

coeficiente de rugosidad, por lo cual si cálculo será imprescindible toda vez que exista una variación de estos valores.

Figura 8: Calculo del

4. Calcular

yc

y n de cada tramo

y dibujar la línea teórica de profundidad crítica, para las

secciones transversales que se tengan. Recordar que de acuerdo con la ecuación para el flujo crítico, se tiene: 3 3 2 A C Q2 Q AC = → f ( yC )= = g TC TC g

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yc

Depende únicamente de la forma de la sección transversal, por lo que

mientras esta se mantenga constante en todos los tramos aun cuando la pendiente o el coeficiente de rugosidad varíen, el tirante crítico es el mismo para todos los casos.

Figura 9: Cálculo del

y c para cada tramo

5. Definir y ubicar las posibles secciones de control que se presenten a lo largo de los tramos en estudio. Recordad que una sección de control, es físicamente ubicable, y en ella el tirante se puede calcular en función del caudal. La ubicación de una sección de control, es de suma importancia para el cálculo de la curva de remanso, ya que la curva de remanso se calcula siempre iniciando de la sección de control hacia aguas arriba o hacia aguas abajo a partir de ella.

Figura 10: Ubicación de la sección de control

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6. Establecer las condiciones de pendiente de fondo para cada tramo, comparando el tirante normal con el tirante crítico. Con esto se obtiene la letra de la curva (M, C, S, H o A).

Figura 11: Establecer las condiciones de la pendiente

7. Establecer la zona de generación y por lo tanto el número de la curva (1, 2 o 3), comparando el tirante real (obtenido en la sección de control) con el normal y el crítico.

Figura 12: Establecer zona de generación de las curvas

8. A partir de la 6 y 7 definir los tipos de curva, con su letra y número, para con esto determinar su geometría. Definido la geometría del perfil y partiendo de la profundidad real en cada sección de control, trazar en cada tramo un perfil continuo correspondiente.

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Figura 13: Establecer los tipos de curva

9. Observar si en algún lugar del perfil se presenta el resalto hidráulico. Cuando el flujo es supercrítico en la porción aguas arriba de un tramo pero subcritico en la porción aguas abajo, el perfil del flujo tiene que pasar a la profundidad crítica en algún lugar del tramo; esto se realiza formándose el resalto hidráulico.

Figura 14: Ubicar los lugares donde se produzca resaltos hidráulicos

SECCION DE CONTROL Se define como sección de control (Figura 15) a aquella sección particular de un canal, en la que la profundidad del flujo es conocida o puede ser controlada a un nivel requerido, Este tipo de sección se cumple con dos condiciones: 1. Es físicamente ubicable 2. El tirante real se puede calcular en función del caudal.

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Figura 15: Sección de control

Una sección crítica es una sección de control debido a que se puede establecer una relación definida entre el tirante crítico y el caudal a partir de la ecuación general del flujo crítico. Para el caso de una sección rectangular, se obtiene que la velocidad crítica es: V C =√ g y c

De otro lado, si en la superficie libre de una canal se produce una onda superficial, esta adquiere una celeridad c, es decir, una velocidad con respecto a la corriente, que aproximadamente es igual a: C=√ gy

Se comparan los valores de la velocidad y la celeridad, se observa que en el estado crítico, la velocidad es igual a la celeridad de dichas ondas. Si el régimen es subcritico, la velocidad del flujo es menor que la crítica y que la celeridad de dichas ondas, por lo tanto, en este régimen, es posible la transmisión de disturbios hacia aguas arriba; lo contrario acontece con el régimen supercrítico en el que los disturbios solo se transmiten hacia aguas abajo. Un mecanismo de control como una compuerta puede hacer sentir su fluencia hacia aguas arribe, es decir, el régimen subcritico está sujeto a un 14

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control desde aguas abajo. Por el contrario, el régimen supercrítico no puede quedar influenciado por lo que ocurra aguas abajo, y solo puede quedar controlado desde aguas arriba. Para el cálculo del perfil del flujo variado se establece la sección de control que proporcione las condiciones iniciales y se procede a calcular hacia aguas arriba de la sección de control o hacia aguas abajo, según que el régimen en que se desarrolla el perfil sea subcritico o supercrítico. Algunos ejemplos de secciones de control son las presas vertederos y compuertas así como también la intersección bien definida de la línea de perfil de flujo y la correspondiente al tirante crítico, esto último ocurre en el punto de cambio de pendiente de dos tramos, el de aguas arriba de pendiente suave y el de aguas debajo de pendiente fuerte, como se muestra en la fig. 16.

Figura 16: Ejemplo de una sección de control

CURVAS DE REMANSO POR CAMBIOS DE PENDIENTE

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En el diseño de canales se pueden presentar curvas de remanso en pendientes suaves y fuertes; aunque pueden existir las pendientes horizontales, adversas y críticas, es poco probable que como diseñador, lo podamos incluir en algún trabajo. Por lo cual, como la ilustración del movimiento gradualmente variado, se presenta una breve discusión de los 6 perfiles del eje hidráulico, generados exclusivamente por cambio de la pendiente del fondo. Es decir, que se supone que todas las otras características permanecen constantes. Los seis casos generales son:      

De pendiente suave a pendiente más suave. De pendiente suave a pendiente menos suave. De pendiente suave a pendiente fuerte. De pendiente fuerte a pendiente menos fuerte. De pendiente fuerte a pendiente más fuerte. De pendiente fuerte a pendiente suave.

1. De Pendiente Suave a Pendiente más Suave Sean y n 1 , y n 2 los tirantes normales en cada uno de los dos tramos (Fig. 17) En el primer tramo, por ser pendiente suave (flujo subcritico), se cumple que, y n 1> y C . En el segundo tramo, por ser pendiente más suave (flujo subcritico), también se cumple que, y n 2> y C . En tirante normal del segundo tramo, es mayor que la del primero, porque su pendiente es menor que la del primero. Por lo tanto, y n 2> y n 1 Como toda singularidad (en este caso, el cambio de pendiente) en un flujo subcrítico, crea efectos hacia aguas arriba, por lo que en el segundo tramo se produce un flujo uniforme, mientras que en el primer tramo se presenta una curva M1. La curva M1 se calcula de la sección de control que es el cambio de pendiente, con un tirante real

y n 2 , hacia aguas arriba hasta un

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y 1=1.02 y n 1 .

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Figura 17: De pendiente suave a pendiente más suave

2. De Pendiente Suave a Pendiente menos Suave. Por consideraciones similares al caso 1 se tiene que: y n 2> y n 1 En ambos tramos se cumple que: y n 1> y c (Pendiente suave) y n 2> y c (Pendiente menos suave) Como toda singularidad (en este caso, el cambio de pendiente) en un flujo subcrítico, crea efectos hacia aguas arriba, por lo que en el segundo tramo se produce un flujo uniforme, mientras que en el primer tramo se presenta una curva M2. La curva M2 se calcula de la sección de control que es el cambio de pendiente, con un tirante real

y n 2 , hacia aguas arriba hasta un

y 1=0.98 y n 1 .

Figura 18: de pendiente suave a pendiente menos suave

3. De Pendiente Suave a Pendiente Fuerte Sean y n 1 , y n 2 los tirantes normales en cada uno de los dos tramos.

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En el primer tramo, por ser pendiente suave (flujo subcrítico), se cumple que, y n 1> y C . Para pasar de un flujo subcrítico (primer tramo) a un flujo supercrítico (segundo

yC

tramo), en el cambio de pendiente, que es la sección de control, se produce el . Como toda singularidad (en este caso, el cambio de pendiente) en un flujo

subcrítico, crea efectos hacia aguas arriba, en el primer tramo se presenta una curva M2. La curva M2 se calcula de la sección de control con un tirante real

yC ,

hacia un y 1=0.98 y n 1 . Como toda singularidad (en este caso, el cambio de pendiente) en un flujo supercrítico, crea efectos hacia aguas abajo, en el segundo tramo se presenta una curva S2. La curva S2 se calcula de la sección de control con un tirante real hacia aguas abajo, hasta un

yC ,

y 1=1.02 y n 2 .

Figura 19: de pendiente suave a pendiente fuerte

4. De Pendiente Fuerte a Pendiente menos Fuerte Sean y n 1 , y n 2 los tirantes normales en cada uno de los dos tramos. En el primer tramo, por ser pendiente fuerte (flujo supercrítico), se cumple que y n 1< y C . En el segundo tramo, por ser pendiente menos fuerte (flujo supercrítico), también se cumple que

y n 2< y C .

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El tirante normal del segundo tramo, es mayor que la del primero, porque su pendiente es menor, por lo tanto, y n 2> y n 1 . Como toda singularidad (en este caso, el cambio de pendiente) en un flujo supercrítico, crea efectos hacia aguas abajo, por lo que en el primer tramo se produce un flujo uniforme, mientras que en el segundo tramo se presenta una curva S3. La curva S3 se calcula de la sección de control que es el cambio de pendiente, con un tirante real

y n 1 , hacia aguas abajo hasta un

y 1=0.98 y n 2 .

Figura 20: De pendiente fuerte a pendiente menos fuerte

5. De Pendiente Fuerte a Pendiente más Fuerte Por consideraciones similares al caso 4 se tiene que y n 1> y n 2 . En ambos tramos se cumple que: y n 1< y c (Pendiente fuerte) y n 2< y c (Pendiente más fuerte) Como toda singularidad (en este caso, el cambio de pendiente) en un flujo supercrítico, crea efectos hacia aguas abajo, por lo que en el primer tramo se produce un flujo uniforme, mientras que en el segundo tramo se presenta una curva S2. La curva S2 se calcula de la sección de control que es el cambio de pendiente, con un tirante real

y n 1 , hacia aguas abajo hasta un

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y 1=1.02 y n 2 .

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Figura 21: De pendiente fuerte a pendiente más fuerte

6. De Pendiente Fuerte a Pendiente Suave Sean y n 1 , y n 2 los tirantes normales en cada uno de los dos tramos. En el primer tramo, por ser pendiente fuerte (flujo supercrítico), se cumple que y n 1< y C . En el segundo tramo, por ser pendiente suave (flujo subcritico), también se cumple

que y n 2> y C . El tirante normal del segundo tramo, es mayor que la del primero, porque su pendiente es menor, por lo tanto, y n 2> y n 1 . Para pasar de un flujo supercrítico (primer tramo), a un flujo subcrítico (segundo tramo), se debe producir un resalto hidráulico, lo que no se conoce de antemano es su ubicación, lo que se consigue sólo realizando algunos cálculos previos.

Figura 22: De pendiente fuerte a pendiente suave

Una forma práctica de determinar la ubicación del resalto hidráulico, es con el siguiente proceso:

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1. A partir del

y n 1 (tirante normal del primer tramo, el de mayor pendiente),

calcular el conjugado mayor y 2 . 2. Comparar y 2 , con y n 2 (tirante normal en el segundo tramo, el de menor pendiente):  Si y 2 > y n 2 el resalto es barrido (figura 23) y se ubica en el tramo de menor pendiente (segundo tramo). Antes del resalto se presenta una curva M3, La curva M3, se calcula de la sección de control que es el cambio de pendiente, con un tirante real un

y 1= y ’ 1 . El tirante

y n 1 , hacia aguas abajo hasta

y ’ 1 , debe recalcularse a partir del tirante y ’ 2= y n 2 .

conjugado mayor conocido

Figura 23: Resalto barrido



Si

y 2= y n 2 . el resalto es claro (figura 24) y se inicia justo en el

cambio de pendiente, en este caso no se presenta ninguna curva de remanso.

Figura 24: Resalto claro

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

Si

y2 < yn 2

el resalto es ahogado (figura 25) y se ubica en el tramo de

mayor pendiente. Después del resalto y antes del tirante conjugado mayor

y 2 , del tramo con mayor pendiente, con el tirante normal

y n 2 del tramo con menor pendiente. La curva S1, se calcula de la

sección de control que es el cambio de pendiente, con un tirante real yn2, hacia aguas arriba hasta un

y 1= y 2

Figura 25: Resalto ahogado

MÉTODOS DE CÁLCULO Una vez definido el tipo de perfil de flujo y las secciones de control se procede al cálculo numérico de los tirantes reales a lo largo del escurrimiento, para cada uno de los tramos con pendiente de fondo constante. El cálculo de los perfiles del flujo gradualmente variado se realiza básicamente, dando solución a la ecuación dinámica del flujo gradualmente variado. Existen varios procedimientos para el cálculo, que en forma genérica se pueden clasificar en tres métodos básicos: a. Método de integración grafica b. Método de integración directa c. Método numérico Método de integración grafica Este es el método menos exacto, sobre todo si los incrementos

∆y

son grandes,

puesto que se resuelve la integral del flujo gradualmente variado, utilizando trapecios. Para aumentar la exactitud los incrementos

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∆y

deben ser pequeños. Este método

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está basado en la integración artificial de la ecuación dinámica del flujo gradualmente variado, mediante un procedimiento gráfico. Explicación del método La solución se refiere a la integración de la ecuación (1): dy S0 −S E = 2 dx Q T 1− 3 gA La cual se puede expresar en la forma: 2

Q T 3 gA dx= dy …(2) S0−S E 1−

Donde: Q,g,

S 0 son constantes y T , A , S E

son funciones del tirante y, por lo cual:

Q2 T 3 gA =f ( y ) …(3) S 0−S E

1−

Luego la ecuación 2 se puede escribir como: dx=f ( y ) dy …(4) Considerando las secciones 1 y 2 de un canal a las distancia

x1

y

x2

respectivamente (medidas desde un origen arbitrario) y en las cuales se presentan los tirantes

y1 ,

y 2 (Figura 26).

Figura 26: Tramo de un canal

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La distancia de separación de estas dos secciones, a lo largo del canal será: x2

y2

∫ dx=∫ f ( y ) dy x1

y1

y2

∆ x=x 2−x 1=∫ f ( y ) dy …(5) y1

Uno de los conceptos elementales del cálculo integral, aplicando la definición de Riemann para la integral definida indica que: y2

∫ f ( y ) dy y1

Es el área achurada A (Figura 27), formada por la curva, el eje f ( y)

correspondientes a

y1 y

y , y las ordenadas de

y 2 , es decir, f ( y 1) y f ( y 2) :

De acuerdo con la ecuación 5 el valor ∆ x

es igual al área sombreada, es decir:

y2

∆ x= A=∫ f ( y ) dy y1

Figura 27: Área bajo la curva

Dicha área puede determinarse por medio de un planímetro, por el uso de la regla de Simpson (considerando el área como un trapecio) o por cualquier otro procedimiento que proporcione la precisión requerida. ∆ x= A=

f ( y1 )+ f ( y2 ) ×∆ y 2

El método se aplica a cualquier tipo de perfil de flujo en canales prismáticos así como a los no prismáticos de cualquier forma y pendiente.

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Procedimiento de cálculo El procedimiento de cálculo para este método es como sigue: 1. Identificar el tramo donde se realizan los cálculos (Figura 28), siendo el tirante inicial

( y i)

y

el tirante de la sección de control y el

final

( y f ) , el tirante

hasta donde se desea calcular la curva de remanso.

Figura 28: Identificar tramo a calcular

n

2. Definir el número de divisiones incremento ∆ y : y − yi ∆ y= f n Si desea puede darse

incremento

que tendrá el tramo y calcular el

constante

o

variable

(por

ejemplo

∆ y=2,3, 5 o 10 cm. ), dependiendo de la parte de la curva a calcular. 3. Construir la gráfica f ( y) , el primer valor de y puede ser el tirante en la

sección de control y los otros valores de incremento

y

se obtienen agregándole un

∆ y ; luego para cada valor de y, se calcula el correspondiente

f ( y) . Estos cálculos se resumen en la tabla 1. La curva se construye graficando la columna 1 contra la 3. Como información

adicional, en la figura 29 se muestra la forma de las curvas de curvas de remanso generadas en pendiente suave y fuerte.

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f ( y)

para las

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Tabla 1: Modelo de cálculo para el método de integración gráfica

4. Evaluar las áreas parciales de la curva

f ( y)

para cada dos valores

consecutivos de y, mediante el planímetro o realizando los cálculos geométricos al asumir que las áreas parciales como trapecios; esto será más aproximado cuanto más pequeño sea el

∆y

(Figura 30). Las áreas parciales representan las

distancias entre dos secciones del canal es decir,

∆ x= A

(Figura 31), los cuales

se colocan en la columna 10 de la tabla 1. 5. Acumular las distancias obtenidas para cada tramo, a partir de la sección de control considerada como punto de inicio de los cálculos (Figura 32); estos valores se colocan en la columna 11 de la tabla 1.

Figura 29: Curvas

f ( y) para diferentes tipos de curvas de remanso

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Figura 30: Área bajo la curva

f ( y)

Figura 31: El área representa la distancia que separa los tirantes

y1 ,

Figura 32: Acumular distancias a partir de la sección de control

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y2

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Procedimiento Computacional Hcanales permite el cálculo de la curva de remanso utilizando el Método de Integración Gráfica. Para el uso de este programa es conveniente utilizar para incrementos del tirante valores pequeños, esto se consigue haciendo que el número de tramos a calcular sea grande. Método de integración directa La expresión diferencial del flujo gradualmente variado, en cualquiera de sus formas, no puede ser expresada explícitamente en términos del tirante y para todos los tipos de sección transversal de un canal, entonces el cálculo en forma directa y exacta de la ecuación no es posible en general. Sin embargo, se han introducido simplificaciones que posibilitan la integración en casos particulares. Solución de Bakhmeteff – Ven Te Chow Inicialmente se estudiaron métodos para la solución de canales típicos, entre los que destacan los trabajos de Dupuit (1848) y Bresse (1860), que integraron la ecuación para canales rectangulares muy anchos, y la de Tolkmitt (1898) para canales parabólicos muy anchos, utilizando la fórmula de Chezy para expresar las perdidas por frotamiento. En 1912 Bakhmeteff, inspirado en general por los trabajos de Bresse y Tolkmitt, propone una metodología que permite integrar la ecuación para canales en forma cualquiera, introduciendo la llamada función de flujo variado. En años posteriores, se continua con la idea de Bakhmeteff, eliminando algunas de las limitaciones del método y tratando de lograr un procedimiento de cálculo más directo y seguro, entre los cuales se pueden citar los trabajos Mononobe (1938), Lee (1947), Von Seggern (1950), Chow (1955). Una de las hipótesis fundamentales del método, es la suposición de que los llamados exponentes hidráulicos, se mantienen constantes en el tramo considerado. Procedimiento de integración Muchos investigadores han sugerido procedimientos para refinar el trabajo originalmente desarrollado por Bakhmeteff; Ven Te Chow en particular, con base en el estudio de muchos de los trabajos expuestos anteriormente, desarrolló un método

28

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que permite extender y consolidar la solución de Bakhmeteff, manteniendo la misma forma de la función de flujo variado. El procedimiento que se presenta a continuación, es válido principalmente para cualquier tipo de sección transversal en canales prismáticos. 1. Planteo de la ecuación: De la ecuación (1), se tiene: SE S0 dy =S 0 dx Q2 T 1− 3 gA 1−

La cual puede expresarse como: Q2 T 1 g A3 dx= dy …(6) S0 SE 1− S0 1−

2. Transformación de la ecuación en términos de De la ecuación de Manning: 1 Q= A R2 /3 S 1 /2 n Se define como factor de conducción

K , a:

1 K= A R 2/3 …( 7) n Luego: Q=K S1 /2 → K 2=

Q2 … (8) S

Bakhmeteff asumió empíricamente que:

(

2 2

)

1 K = A R 3 =C y N …(9) n 2

29

y , yn , yc , N

y M:

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Donde: C=¿ Coeficiente de proporcionalidad N=¿

Exponente hidráulico para cálculos de flujo uniforme que depende de la

forma de la sección y del tirante. La ecuación (9), es más próxima para unas secciones que para otras, pero en la comprobación de la misma, realizada con secciones de las más variadas formas, se ha obtenido un grado de aceptación notable. De las ecuaciones (8) y (9), se tiene: Q2 K = C yN S 2

Donde: S=S E =¿ Pendiente de la línea de energía, es decir:

SE=

Q2 …( 10) CYN

En el caso de un flujo uniforme

y= y n y S E =S0 , luego:

Q2 S 0= …(11) N CY Dividiendo (10) entre (11), se tiene: Q2 SE C yN = 2 S0 Q C y Nn SE y = n S0 y

N

( ) … (12)

Se define como factor de sección Z, a: Z =A √ ´y Z =A √ A /T → Z 2=

A3 …(13) T

30

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De la ecuación general para el flujo crítico, se tiene: 3

2 Q AC = =Z2C g TC

Es decir: Q2 Z = … (14) g 2 C

Dividiendo (14) entre (13), resulta: Q2 Z g = 3 Z A T 2 C 2

De donde: ZC 2 Q2 T = …(15) Z g A3

( )

De otro lado, de la ecuación (13), desde que el factor de sección Z es una función del tirante, se puede suponer que: Z 2=

A3 =C y M …(16) T

Donde: C=¿ Coeficiente de proporcionalidad M =¿

Exponente hidráulico para cálculos de flujo critico que depende de la

forma de la sección y del tirante En caso de flujo crítico, se tiene: 2

M

Z C =C y C …(17)

Dividiendo (17) entre (16), resulta: ZC 2 yC = Z y

M

( ) ( ) …(18) 31

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Sustituyendo (18) y (12) en (6), resulta:

[ ]

yC 1− y 1 dx= S0 y 1− n y

M

( ) ( )

N

dy …(19)

3. Artificio de integración Haciendo: y =u → dy= y n du … (20) yn Luego: yn 1 = …(21) y u y c yc yn yc 1 = = …(22) y yn y yn u

Sustituyendo (20), (21) y (22), en (19), se obtiene:

[ ] M

y 1 1− C yn uM 1 dx= y n dy S0 1 1− N u

( )

dx=

yn S0

[[ [

uM−

( )] yc yn

M

u N −1

u N− M

]

du

]

y c M N −M u − ×u yn yn dx= du N S0 u −1 N

( )

Descomponiendo la fracción en una suma algebraica de fracciones, además sumando y restando 1 al numerando del primer sumando, se obtiene:

32

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[ [

y u N −1+1 y dx= n − c N S0 u −1 yn

M

yn y 1 1+ N − c S0 yn u −1

M

dx=

( ) ( )

N −M

] ]

×

u du uN −1

×

uN −M du uN −1

Cambiando de signo a los denominadores, las fracciones cambian de signo, es decir:

[

y y 1 dx= n 1− + c N S0 yn 1−u

M

( )

×

]

uN −M du …(23) 1−u N

Esta ecuación puede integrarse para toda la longitud

x

del perfil del flujo. Debido

a que el cambio del tirante en un flujo gradualmente variado generalmente es pequeño, los exponentes hidráulicos

M

y

N

se pueden suponer constantes

dentro de los límites de integración. Cuando los exponentes hidráulicos son notablemente dependientes de

y

en los

tirantes del tramo dado, este debería subdividirse en otros tramos para realizar la integración; entonces, en cada tramo, los exponentes se pueden considerar constantes. Integrando la ecuación anterior, se tiene:

[

u yn y du x= u−∫ + c N S0 yn 0 1−u

M u

( )

u N− M

]

∫ 1−uN du + cte …(24) 0

La primera integración de la ecuación (24) depende solo de

u

y

N

y se

designa por: u

F ( u , N )=∫ 0

du …(25) 1−u N

La cual se conoce como función de flujo variado de Bakhmeteff. Los valores obtenidos para diferentes valores de

u y

N

se encuentran en la siguiente tabla,

esta fue preparada por Bakhmeteff en los años 1914-1915.

33

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Tabla 2 Funciones de flujo variado para pendientes positivas

Chow pudo transformar la segunda integral de la ecuación (24), es decir: u

N −M

u du …(26) ∫ 1−u N 0

En la forma de la función de flujo variado, con el siguiente artificio:

34

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Haciendo: N

u =v

v =uN / J →u=v J / N →

a)

u

N−M

du= J=

b)

J

=v

(J / N)(N −M)

…(27)

J J / N −1 v dv N

N J → ( N−M +1 )=1 …(28) N−M +1 N

Sustituyendo (27) y (28) en (26), se tiene: u

J

v

N −M

(N −M)

J

−1 u vn J du= ∫ 1−u N ∫ 1−v J N v N dv 0 0 J

v

( N− M ) +

J

N J vn ¿ ∫ N 0 1−v J

−1

dv

Pero: J J J ( N−M ) + −1= ( N−M +1 )−1=1−1=0 N N N Luego: u

v

v

uN −M J v0 dv J du= = F ( v , J ) …(29) ∫ 1−u N ∫ 1−v J dv = NJ ∫ 1−v J N N 0 0 0 Donde: v

F ( v , J )=∫ 0

dv 1−v J

Es la misma función del flujo de Bakhmeteff excepto que las variables reemplazan por v

u

y

N

se

y J , respectivamente.

Sustituyendo (25) y (29) en (24), y usando la notación para las funciones del flujo variado, se tiene: x=

[

yn y u−F (u , N )+ c S0 yn

( )

M

]

J F (v , J ) + cte …(30) N

35

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La ecuación (30) proporciona la distancia

x

que existe entre la sección considerada y

un punto arbitrario. Si se aplica esta ecuación entre dos secciones consecutivas 1 y 2 de características conocidas, es decir, colocando los límites de integración, la distancia L que existe entre estas dos secciones es:

{

y y L=x 2−x 1= n ( u2−u1 ) −[ F ( u2 , N )−F ( u1 , N ) ]+ c S0 yn

( )

M

}

J F ( v 2 , J ) −F ( v 1 , J ) ] …(31) N[

Donde: L=x 2−x 1=¿

distancia entre las secciones consecutivas 1 y 2 de características

conocidas u=

y =¿ relación entre el tirante de una sección cualquiera, y el tirante normal yn

y n=¿ tirante normal y c =¿

tirante critico

S 0=¿

pendiente del fondo

M y N = exponentes hidráulicos, son función de la geometría de la sección y del tirante de agua. Las ecuaciones para su cálculo (36) y (39), para secciones trapezoidales se deducirán en la sección siguiente. u

F ( u , N )=∫ 0

du =¿ función del flujo variado, calculado por Bakhmeteff, cuyos 1−u N

calores se muestran en la tabla 2. v

y J

= variables introducidas por Ven Te Chow, siendo:

v =uN / j J=

N N−M +1 v

F ( v , J )=∫ 0

dv 1−v J

= función del flujo variado, se calcula con la misma tabla de

Bakhmeteff (tabla 2) entrando con los valores de v

y J

en lugar de u y

N

Nota: La ecuación (31) resulta útil utilizarla cuando se está trabajando con un solo tramo, pero si se trabaja con 2 o más tramos es mejor utilizar la ecuación (30). 36

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Calculo de las expresiones de los exponentes hidráulicos N y M 1. Calculo del exponente hidráulico N De la ecuación (8), se tiene: 1 2 4 /3 A R =C y N … (32) 2 n Tomando logaritmos naturales a ambos miembros, resulta: ln

1 4 + 2 ln A+ ln R=ln C+ N ln y …( 33) 2 3 n

( )

Derivando con respecto a 2

y , se obtiene:

1 dA 4 1 dR 1 + =N …(34) A dy 3 R dy y

Pero: dA =T dy Además: dR d A dp dA T A dp = =−A p−2 + p−1 = − dy dy P dy dy p p2 dy

( )

Sustituyendo valores en (34), se tiene: 2 T 4 p T A dp N + − 2 = A 3 A p p dy y

(

N=2 y

[

)

T 2 A dp + T− A 3A p dy

)]

[

]

(

N=

2y 2 A dp 3 T +2T − 3A p dy

N=

2y 2 A dp 5T− …(35) 3A p dy

[

]

37

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Para una sección trapezoidal se cumple que: A=(b+ Zy) y T =b+2 Zy

p=b +2 √ 1+ Z y → 2

dp 2 =2 √ 1+ Z dy

Con esto, la ecuación (35), toma la forma:

[

N=

2(b+ Zy ) y 2y 5(b+ 2 Zy)− 2 √1+ Z 2 2 3(b +Zy ) y b+ 2 √ 1+Z y

N=

10 1+2 Z ( y /b) 8 √ 1+ Z 2 y − 3 1+Z ( y / b) 3 b+2 √ 1+ Z 2 y

[

] [

]

]

Dividiendo ambos miembros de las fracciones entre b, se obtiene:

[

]

y ( ) …( 36) b 10 1+2 Z ( y /b) 8 N= [ − 3 1+Z ( y / b) ] 3 y b+2 √ 1+ Z ( ) b

√ 1+ Z 2

2

Esta ecuación indica que N no es constante sino que varía con el tirante, por eso el valor de y que se usa en la ecuación (36) es promedio del tramo, es decir y= ´y =

y i− y f 2

Donde: y i = tirante al inicio del tramo yf

= tirante al final del tramo

En la tabla 3 se muestran valores de N para secciones rectangulares (Z=0) y trapezoidales; la figura 33 permite calcular estos valores para secciones rectangulares, trapezoidales y circulares.

38

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Tabla 3 Valores de N para canales trapezoidales

Figura 33 Curvas de valores N

39

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2. Cálculo del exponente hidráulico M De la ecuación (15), se tiene: 3

A =C y M …(37) T Tomando logaritmos naturales a ambos miembros, se obtiene: 3 ln A−ln T =ln C+ M ln y

Derivando respecto a

y , se tiene:

3 dA 1 dT M − = A dy T dy y M=

y dA A dT 3 − …(38) A dy T dy

(

)

Para una sección trapezoidal, se cumple: A= ( b+ Zy ) y → T =b+2 Zy →

dA =b+2 Zy dy

dT =2 Z dy

Sustituyendo estos valores en la ecuación (38), se tiene: M=

( b +Zy ) y y 3(b +2 Zy)− 2Z b+2 Zy ( b+ Zy ) y

(

)

3(b+ 2 Zy)2−2 Zy (b+Zy ) M= (b+2 Zy )(b+ Zy) Dividiendo ambos miembros de la fracción entre b2 , se tiene: 3(b+ 2 Zy)2−2 Z ( y / b) [ 1+Z ( y /b) ] M= …(39) [ 1+2 Z ( y /b)] [ 1+ Z ( y /b)] Esta ecuación indica que si

Z =0

para una sección trapezoidal

M

(sección rectangular), entonces

M =3 , pero

varia con el tirante.

En la tabla 4, se muestran valores de M para secciones trapezoidales y la figura 5.39 permite calcular estos valores para secciones trapezoidales y circulares.

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Procedimiento de cálculo. Para determinar el perfil, el canal se divide en números de tramos, de tal forma que en cada tramo las secciones 1 y 2 consideradas deben estar a una distancia tal que los extremos hidráulicos M y N se mantengan constantes.

Tabla 4 Valores de M para canales trapezoidales

Figura 34 Curvas de valores de M

41

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El procedimiento de cálculo para este método es como sigue: 1. Identificar el tramo donde se realizan los cálculos (figura), siendo el ( y i ) el tirante de la sección de control, y el

y

y

inicial

final ( y f ), el tirante hasta

donde se desea calcular la curva de remanso.

Figura 35 Identificar tramo a calcular

2. Calcular el tirante promedio yp de los tirantes extremos: y +y yp= i f 2 Y con el valor de yp /b , calcular el exponente hidráulico M, el cual se puede calcular por medio de la ecuación: 2 yp yp 3 1+ 2 Z −2 Z ( yp /b) 1+ Z b b M= yp yp 1+ 2 Z 1+ Z b b La tabla 4, o el nomograma de la figura 34. 3. Calcular el tirante normal y n y el tirante critico

[ ( )] [ ( )] [ ( )][ ( )]

yc

del tramo, a partir de

Q , S0 y n . 4. Calcular J N J= N−M +1 Donde N y M, son exponentes hidráulicos calculados en 2. 5. Definir el número de divisiones n que tendrá el tramo y calcular el incremento ∆y :

yf + yi n La primera división tendrá como tirante ∆ y=

y 1 al tirante inicial, y como tirante

y 2 , al tirante y 1 más el incremento ∆ y . Las divisiones subsiguientes, tendrán como tirante anterior, y como

y 2 , al nuevo tirante

42

y 1 , al

y 2 de la división

y 1 mas el incremento ∆ y .

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6. Calcular los valores de u y v, para los tirantes y 1 , y 2 . N y u= v=u J yn 7. Calcular las funciones del flujo variado de Bakhmeteff F(u , N ) y para los tirantes y 1 , y 2 , utilizando la tabla 1. 8. Calcular la longitud L de la división, con tirantes y 1 , y 2 : M yn yc J L= ( u −u ) −[ F ( u 2 , N )−F ( u1 , N ) ] + y N [ F ( v 2 , J )−F ( v 1 , J ) ] S0 2 1 n

{

( )

F( v , J ) ,

}

9. Repetir los cálculos para la siguiente división, hasta completar con todas las divisiones del tramo. 10. Acumular las longitudes calculadas en cada división (Figura 36)

Figura 36 Acumular las longitudes obtenidas para cada tramo

Nota: Cuando se desea trabajar con varios tramos en forma simultánea, usar la ecuación:

[

y y deltax= n u−F ( u , N ) + c S0 yn

( )

M

J F (v , j) N

]

Y los cálculos resumirlos como se muestra en la tabla 5. y

u= y / y n

v =u

N/J

F(u , N )

Donde L, se calcula como: L=|deltax1−deltax n| Proceso computacional

43

F( v , J )

deltax

L

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La solución de la ecuación 30 se realiza con Hcanales además. Hcanales calcula las F(u , N )

funciones

y

F( v , J ) , utilizando el algoritmo de Romberg y

desarrollo de series. Métodos numéricos Los métodos numéricos son los que tiene aplicaciones más amplias, debido a que es adecuado para el análisis de perfiles de flujo, tanto en canales primaticos como no prismáticos. Se caracterizan porque para el cálculo se divide el canal en pequeños tramos y se calcula cada tramo, uno a continuación de otro. Existen diversos métodos que permiten integrar en forma numérica la ecuación del flujo permanente gradualmente variado. La aplicabilidad o conveniencia de cada uno, depende de las características de la situación particular que se debe resolver. Los métodos de integración numérica más utilizados son el método directo por tramos y el método de tramos fijos. Método directo por tramos Este método es simple y aplicable a canales prismáticos. Se utiliza para calcular la distancia

∆x

del tramo a la cual se presenta un tirante

por el calculista), a partir de un tirante

y 2 (conocido o fijado

y 1 conocido y los demás datos.

A. Deducción de la formula 1. Considérese un tramo del canal con secciones 1 y 2 separadas entre si una distancia ∆ x , como se muestra en la figura 37.

Figura 37 Tramo corto de un canal prismático

La ley de conservación de energía establece que:

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v 21 v 22 Z 1 + y 1 +α =Z 2 + y 2+ α +h … (40) 2g 2 g f 1−2 2. De la figura 37 para ángulos pequeños se cumple que: Z −Z 2 tan θ=se n θ=S 0= 1 ∆x Es decir: Z 1−Z 2=S0 ∆ x 3. De acuerdo con el concepto de energía específica, energía referida al fondo de canal, se puede escribir: v2 E= y 1+ α 1 2g 4. Si en el tramo no existe singularidades, la perdida de energía

hf 1−2 , se

debe exclusivamente a la fricción, por lo tanto: 2

hf 1−2=∫ S E dx 1

Si las secciones 1 y 2 estan suficientemente cercanas, puede aproximarse: S +S hf 1−2= E 1 E 2 ∆ x= S´ E ∆ x 2 5. Sustituyendo valores en la ecuación (40) y resolviendo para ∆ x , se tiene: S 0 ∆ x+ E1=E2 + S´ E ∆ x …(41) S 0 ∆ x− ´S E ∆ x=E2−E 1 … (42) (S 0− S´ E )∆ x=E2−E 1 … (43) E −E1 ∆ x= 2 …(44) ( S 0− ´S E) Donde: ∆ x = distancia del tramo desde una sección 1 de características conocidas, hasta otra en que se produce un tirante y 2 E1 , E2 = energía especifica ( E= y+ α v 2 /2 g ) para las secciones 1 y 2

S 0 = pendiente del fondo del canal S´ E = pendiente promedio de la línea de energía S +S S´ E = E 1 E 2 2 v.n 2 SE= 2

( )

R3 B. Procedimiento de calculo El procedimiento incluye los siguientes pasos: 1. Comenzar el cálculo en una sección cuyas características del escurrimiento sean conocidas (sección de control) y avanzar hacia donde esa sección de control ejerce su influencia.

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2. Calcular en esa sección la energía específica

2

E1= y 1 +α v 1 /2 g

y la pendiente

de la línea de energía S E 1 con la fórmula de Manning. 3. Definir el número de tramo a calcular y a partir de él calcular el incremento yf − yi n 4. Calcular y 2= y 1 +∆ y ; para este tirante calcular la energía específica E2 y la ∆ y=

pendiente de la línea de energía S E 2 . 5. Calcular la pendiente de la línea de energía promedio en el tramo es decir: S +S S´ E = E 1 E 2 2 6. Calcular ∆ y mediante la ecuación: E −E 1 ∆E ∆ x= 2 = ´ S 0− S E S0− S´ E Si ∆ x es positivo, el cálculo se habrá avanzado hacia algunas aguas abajo y si es negativo hacia algunas aguas arriba. En general para variaciones de ∆ y

pequeñas, el cálculo de

∆E

resulta

conveniente hacerla con la relación: ∆ E=∆ y ( 1− F´ 2 ) …(45) ´ es el número de Froude promedio en el tramo, es decir: Donde, F ´ F 1+ F2 F= 2 v F= √ gA /T 7. Tabular los datos Para el cálculo manual, cuando se efectúan aplicaciones sucesivas a lo largo del canal, resulta conveniente elaborar una tabla con el fin de abreviar los cálculos. Una forma adecuada para la tabulación, se muestra en la tabla 5.

Tabla 5 Tabulación para el método directo por tramos

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