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• Mariela Lazcano

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CONTENIDOS GENERALES DEL CURSO

CONTROL DE REACTORES TIPO TANQUE CONTINIUOS AGITADOS (RTCA)--(CSTR) (RTCA) Manuel F. Pérez Polo. DFISTS. Universidad de Alicante.

CONTENIDOS ESPEFCÍFICOS 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

BLOQUE I. CONCEPTOS FUNDAMENTALES DE MODELADO DE REACTORES. EN ESPECIAL LOS REACTORES TIPO TANQUE CONTINUOS AGITADOS (RTCA) EN LOS QUE SE DA UNA REACCIÓN EXOTERMICA DE PRIMER ORDEN. EFECTO DEL CONTROL CON REGULADORES PI Y FENÉMENOS NO LINEALES BLOQUE II. NOCIONES BASICAS DE CONTROL NO LINEAL BASADO EN METODOS O OS DE GEOMETRÍA G O Í DIFERENCIAL. C EN ESPECIAL S C SE S ESTUDIARÁ EL CONTROL POR LINEALIZACION EXACTA ENTRADASALIDA PARA SISTEMAS MIMO. APLICACIÓN AL CONTROL DE REACTORES RTCA

BLOQUE III. III ESTUDIO DE UN REACTOR RTCA CON REACIÓN EXOTERMICA DE PSEUDO-PRIMER ORDEN. DISEÑO DEL CONTROL NO LINEAL POR LINEALIZACIÓN EXACTA ENTRADA-SALIDA. ANALISIS DE LA DINÁMICA INTERNA Y SU INFLUENCIA EN LA APARICIÓN DE FENÓMENOS NO LINEALES

BIBLIOGRAFIÍA

BLOQUE Q I

Características generales y clasificación de reactores El reactor RTCA comparado con otros tipos de reactores Balances de materia y energía. Modelado de tanques y reactores RTCA Calor generado-eliminado en reactores RTCA para la reacción A → B Funcionamiento del reactor en régimen de auto-regulación Control de reactores RTCA con reguladores PI Fenómenos ó no lineales li l con controll PI

BLOQUE II

1. Visión general del control no lineal basado en métodos geométricos 2. Álgebra Á de Lie. Relación con la Controlabilidad y observabilidad de sistemas no lineales 3. Concepto de grado relativo en sistemas SISO y MIMO 4. Linealización ó exacta entrada-salida en sistemas MIMO. Dinámica á interna 5. Diseño del sistema de control. Aplicación a reactores RTCA

BLOQUE III

1. Análisis del funcionamiento de un reactor RTCA con reacción exotérmica de pseudo primer orden con control no lineal. 2. El problema de la dinámica interna. Comportamiento auto-oscilante 3. Estudio de las señales de control y como obtenerlas físicamente 4. Comportamiento caótico y como utilizarlo en el diseño del control

BLOQUE I 1. H. Scott Fogler, Elements of Chemical Reaction Engineering, fourth ed., Prentice Hall, 2006. 2. T. Marlin, Process Control, Mc Graw Hill, 2000. 3 W. 3. W L. L Luyben, L b P Process modelling, d lli simulation i l i and d controll for f chemicals h i l engineers, third ed., Mc Graw Hill, 2000. 4. W. L. Luyben, M. L. Luyben, Essential of Process Control, Mc Graw Hill, 2000. 2000 5. B. W. Bequette, Process Control, Prentice Hall, 2003. 6. C. A. Smith, A. B. Corripio, Principles and Practice of Automatic Process Control John Wiley & Sons, Control, Sons 1997. 1997 7. D. R. Coughanowr, Process Systems Analysis and ontrol, second ed., Mc Graw Hill, 1991. 8 B. 8. B A. A Ogunnaike, Ogunnaike W. W H. H Ray, Ray Process Dynamics, Dynamics Modelling and Control, Control Oxford University Press, 1994

BIBLIOGRAFIÍA

BIBLIOGRAFIÍA

BLOQUE II

BLOQUE III

1. A 1 A. Isidori, Isidori Nonlinear Control Systems, Systems third ed., ed Springer, Springer 2004. 2004 2. H. Nijmeijer, A. J. van der Schaft, Nonlinear Dynamical Control Systems, Springer-Verlag, 1990. 3. H. K. Khalil, Nonlinear Systems, second ed., Prentice Hall, 1996. 4. S. Sastry, Nonlinear Systems, Analysis, Stability and Control, Springer, 2000. g , Prentice Hall,, 1995. 5. R. Marino,, P. Tomei,, Nonlinear Control Design, 6. M. Vidyasagar, Nonlinear Systems Analysis, Prentice Hall, 1993. 7. C. Kravaris, J. C. Kantor, Geometric Methods for Nonlinear Process Control. 1 Background, Ind. Eng. Chem. Res., 29, 2295-2310, 1990. 8. C. Kravaris, J. C. Kantor, Geometric Methods for Nonlinear Process Control. 2 Controller Synthesis, Ind. Eng. Chem. Res., 29, 2310-2323, 1990. 9. C. Kravaris, M. Soroush, Synthesis of Multivariable Nonlinear Controllers by input/Output Linearization, AIChE Journal, 36, 249-264, 1990.

1. P. Daoutidis, M. Soroush, C. Kravaris, Feedforward/Feedback Control of Multivariable Nonlinear Processes, AIChE Journal, 36, 1471-1484, 1990. y in Nonlinear 2. P. Daoutidis,, C. Kravaris,, Inversion and Zero Dynamics Multivariable Control, AIChE Journal, 37, 527-538, 1991. 3. H. Oscar, R. Femet, V. González (Eds), Selected Topics in Dynamics and Control of Chemical and Biological g Processes, Springer, p g ((LNCIS 361)) Lecture notes in Control and Information Sciences, 2007. 4. M. Peréz, R. Font, M. A. Montava, Regular self-oscillating and Chaotic dynamics of a continuous stirred tank reactor, Comp.,Chem., Eng., 26, 889901, 2002. 5. M. Pérez, P. Albertos, Self-oscillating and chaotic behaviour of a PIcontrolled CSTR with control valve saturation, J. Process Control, 14, 5159, 9 2004. 2004

BLOQUE I 1. Clasificación de los reactores se puede hacer en base a: 1.1 Patrón de flujo continuo o discontinuo de la mezcla reaccionante 1 2 De acuerdo con el sistema de transferencia de calor. 1.2 calor 1.3 Modo en que varían la variables del proceso con el tiempo. 1.4 Características constructivas del aparato (tamaño). 1 5 En 1.5 E función f ió d de alimentación-eliminación li t ió li i ió de d reactantes-productos t t d t

BLOQUE I •

Clasificación de reactores de acuerdo con el patrón de flujo

1.6 Reactores continuos: a) Reactores en flujo de pistón. p tanque q agitados g ((RTCA)) b)) Reactores tipo c) Otros tipos de reactores (lecho fluido, vaporizadores) 1.7 Reactores discontinuos (batch). 1.8 Reactores semicontinuos

Las anteriores L t i formas f de d clasificación l ifi ió no son excluyentes. l t Por ejemplo los reactores continuos o discontinuos se pueden diferenciar en la forma de aportar o eliminar calor •

Clasificación de reactores de acuerdo con el patrón de flujo

1 6 Reactores continuos: 1.6 a) Reactores en flujo de pistón. b) Reactores tipo tanque agitados (RTCA) c)) Ot Otros tipos ti de d reactores t (lecho (l h fluido) fl id ) 1.7 Reactores discontinuos (batch). 1.8 Reactores semicontinuos

Reactor 3 3.5 5 m diámetro 38 m altura altura. Síntesis de Fischer-Tropsch: CO + 3H2 → CH4 + H2O

Reactor RTCA 1 m diámetro 2m altura

BLOQUE I

BLOQUE I Control C t l con reguladores l d PI (Lazos de caudal) ó PID (Lazos de temperatura y nivel)

1.6 1 6 c)) R Reactor t d de llecho h fluido para producción de anilina a partir de la hidrogenación del nitrobenceno en fase p vapor

Recipiente con control d presión de ió

Recipiente con control de presión

1.6 1 6 c) c). Vaporizador de nitrobenceno para el reactor de lecho fluido. N se d No da reacción ió pero el diseño térmico es análogo al de reactores con reacción química

Intercambiador de calor Lecho fluido. Control de temperatura y nivel Control en cascada temperatura del lecho y agua de refrigeración

BLOQUE I 1 7; 1 1.7; 1.8 8 Distintos tipos de reactores continuos o discontinuos

BLOQUE I 1.7 1 7 Reactor discontinuo (Batch). (Batch) Mecanismo de agitación. agitación Sondas para sensores de variables manipuladas presión y temperatura

BLOQUE I

BLOQUE I

1.6 1 6 c) c). Algunos tipos de reactores especiales difíciles de clasificar

BLOQUE I 1.6 b); ) 1.7 Detalles constructivos de un reactor RTCA o tipo Batch refrigerado por camisa con el mecanismo de agitación y conexiones de sensores para control

1 6 c) 1.6 c). Algunos tipos de reactores especiales difíciles de clasificar

BLOQUE I 1.6 b)) Detalles constructivos de un reactor RTCA refrigerado g por p camisa con el mecanismo de agitación y conexiones de sensores para control

BLOQUE I 1.6 b)) Layout y de conexiones e isométrico de tuberías en baterías de reactores RTCA

BLOQUE I 2 El reactor RTCA comparado con los reactores discontinuos y en flujo 2. de pistón Ventajas: • Fácil control de volumen y temperatura con PID • Barato de construir y fácil de operar • Gran capacidad calorífica para reacciones exotérmicas

BLOQUE I 1.6 b) Layout de conexiones e isométrico de tuberías en baterías de reactores RTCA

BLOQUE I 3. Modelado de reactores 3 RTCA. Curvas de calor generado-eliminado El modelado está basado en balances de materia y energía Estudiaremos energía. reactores con reacciones en fase líquida

• Fácil acceso al interior y a tareas de limpieza

Fo ; CAo ; To ; ρ ; cp

Reactor RTCA Inconvenientes:

Fj ; Tj ; ρj ; cpj

• La conversión de reactante a producto por unidad de volumen del reactor es pequeña comparada con los reactores discontinuos y de flujo

A→B

• Se necesita más volumen para una misma conversión comparada d con reactores t continuos ti y di discontinuos ti

T

CA F ; CA ; T ; ρ ; cp

Fj ; Tjo ; ρj ; cpj

NOMENCLATURA Y VALORES DE PARÁMETROS PARA UN REACTOR CSTR

V i bl Variable

D Descripción i ió

Fo

Caudal entrada (ft3/h)

V l Valor 40

Vm

Volumen medio reactor (ft3)

48

Cao

C Concentración t ió media di caudal d l entrada t d (mol ( l A/ft3)

0 50 0.50

Cam

Concentración media en el reactor (mol A/ft3)

0.245

Tm

Temperatura media en el reactor (°R)

600

Tmj

Temperatura media del refrigerante ((°R) R)

594

Tmo

Temperatura media caudal de entrada (°R)

530

Vj

Volumen camisa (ft3)

3.85

α

Constante de reacción ecuación Arrhenius (h-1)

7.08x1010

E

Energía de activación (BTU/mol)

30000

U

Coeficiente transmisión de calor BTU(h.ft2. °R)

150

A

Área transmisión calor ((ft2)

250

Tjo

Temperatura entrada fluido refrigerante (°R)

530

H

Calor de reacción (BTU/mol)

30000 0.75

cp

Calor específico mezcla en el reactor (BTU/lb. °R)

cpj

Calor específico fluido refrigerante (BTU/lb. °R)

1

ρ

Densidad mezcla (lb/ft3)

50

ρj

Densidad fluido refrigerante (lb/ft3)

62.3

Fj

Caudal fluido refrigerante (ft3/h)

49.9

Tset

Temperatura del punto de consigna (°R)

600

BLOQUE I Fo ; CAo ; To ; ρ ; cp

BLOQUE I

Reactor RTCA (CSTR) con control de temperatura y nivel con reguladores PID

Fo ; CAo ; To ; ρ ; cp

Reactor RTCA (CSTR) con control de temperatura y nivel con reguladores PID

Fj ;;TJ

Fj ;;TJ

TT

Ecuación general del para balance de materia p el componente “i”

LT

T

CA

Ecuación general del balance de energía para el componente “i” i

TT LT

T

CA

F ; CA ; T ; ρ ; cp

F ; CA ; T ; ρ ; cp

CV2

CV2

Fj ; Tjo ; ρj ; cpj

Fj ; Tjo ; ρj ; cpj

CV1

CV1

dEsys

dNi,acc Acumulación del componente “i” en el volumen del reactorV = dt (mol/tiempo)

dNi,acc = Fio − Fi ± Gi,r dt

Fio = Caudal de entrada componente i (mol/tiempo) Fi = Caudal de salida componente i (mol/tiempo)

dt

Q& Q=

⎞ ⎛ n ⎞ dEsys & & ⎛ n = Q −W + ⎜ ∑Fi Ei ⎟ − ⎜ ∑Fi Ei ⎟ ⎜ i=1 ⎟ ⎜ i=1 ⎟ dt ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ n ⎞ Energía asociada a los caudales de salida ⎜ FE ⎟= (kJ/tiempo), ⎜ i =1 i i ⎟ ⎝ ⎠

∑

BLOQUE I

BLOQUE I

Reactor RTCA (CSTR) con control de temperatura y nivel con reguladores PID

TT LT

T

CA F ; CA ; T ; ρ ; cp

CV2 Fj ; Tjo ; ρj ; cpj

Calor suministrado o eliminado del reactor (kJ/ti (kJ/tiempo) )

∑

reacción química (mol/tiempo)

Fj ;;TJ

Ac m lación de energía en el sistema Acumulación (kJ/tiempo)

⎛ n ⎞ Energía asociada a los caudales de entrada ⎜ FE ⎟ = (kJ/tiempo), ⎜ i =1 i i ⎟ ⎝ ⎠o

o

Gir = Generación del componente i debido a la

Fo ; CAo ; To ; ρ ; cp

=

La energía Ei es la suma de la energía interna, cinética y potencial y otras energías del componente “i” i . Siendo P = presión y V = Vi el volumen del reactor,el trabajo en un RTCA se reduce a:

La energía L í acumulada l d en ell reactor t Esys es igual i l a la l suma de d las l energías í específicas de los productos multiplicada por el número de moles, o sea:

E sy s =

n

∑ i =1

N i Ei =

n

N i (H i − P Vi ) ∑ i =1

Derivando respecto al tiempo la ecuación anterior y teniendo en cuenta que las variaciones de volumen y presión total son despreciables y que por p del componente p “i” viene dada por: p Hi = cpiT se deduce: definición la entalpía

CV1

⎛ n

⎞

⎛ n

⎞

⎜ ⎝ i =1

⎟ ⎠o

⎜ ⎝ i =1

⎟ ⎠

n n dEsys y = Q& + ∑ Fi0Hi0 − ∑ Fi Hi dt i=1 i=1

W& = − ⎜ ∑ F i P V i ⎟ + ⎜ ∑ F i P V i ⎟ ⎛ n

⎛ n

⎞ ⎞ dEsys & & = Q − W + ⎜ ∑ Fi Ei ⎟ − ⎜ ∑ Fi Ei ⎟ ⎜ i =1 ⎟ ⎜ i =1 ⎟ dt ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ o

Hi = Ei + PVi

⎞ ⎛ n ⎞ dEsys & ⎛⎜ n = Q + ∑Fi (Ei + PVi ) ⎟ −⎜ ∑Fi (Ei + PVi )⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ dt ⎝ i=1 ⎠ ⎝ i=1 ⎠ o

n dEsys & n = Q + ∑ Fi0Hi0 − ∑ Fi Hi dt i=1 i=1

n ⎛ ⎜N c ⎜ i pi i =1 ⎝

∑

dT + c T dN i ⎞⎟ = Q& + pi dt dt ⎟⎠

n

∑ i =1

Fi 0 H i 0 −

n

Fi H i ∑ i =1

BLOQUE I

BLOQUE I

L ecuación La ió del d l balance b l de d moles l para ell componente t “i” viene i dada d d por:

L ecuación La ió del d l balance b l de d moles l para ell componente t “i” viene i dada d d por:

dNi = Fi0 − Fi −υirV V ; r =αCie−E RT dt n ⎛ ⎜N c ⎜ i pi i =1 ⎝

∑

dT + c T dN i ⎞⎟ = Q& + pi dt dt ⎟⎠

n

n

Fi 0 H i 0 − ∑ Fi H i ∑ i =1 i =1 −Δ H R =

La entalpía de reacción se define de la forma: De las ecuaciones anteriores se deduce:

n

N ic pi d T ∑ dt i =1

= Q& −

n

∑ i =1

Ley Arrhenius siendo α el factor preexponencial y νi es la variación del número de moles del reactante i

n

∑ i =1

n

n

Siendo cps la capacidad calorífica de la solución y F10cps viene dada en kJ/s.K kJ/ K

Fi0cpi = F10cps ∑ i=1

υi H i

Suponiendo p que q todos los reactantes entran al reactor a la misma temperatura: p

(

)

N10 c ps dT = Q& − F10 c ps T − T0 + ( −Δ H R ) ( rV ) dt

n

Nicpi ≈ ∑ Niocpi = N10 (1+ ∑ Ni )cpi = N10cps ∑ i=1 i=1 i=2

Para reacciones en fase líquida se cumple:

F i 0 c p i (T − T i 0 ) + ( − Δ H R ) ( rV ) ∑ i =1

n

F i 0 c p i (T − T i 0 ) + ( − Δ H R ) ( rV ) ∑ i =1 n

n

n

Nicpi ≈ ∑ Niocpi = N10 (1+ ∑ Ni )cpi = N10cps ∑ i=1 i=1 i=2

n

n

N i c p i d T = Q& − dt

n

Fi0cpi = F10cps ∑ i=1

En la ecuación anterior hay que especificar la forma que tiene el calor eliminado para reacciones exotérmicas exotérmicas, lo cual depende del tipo de sistema de refrigeración del reactor, bien sea una camisa, un serpentín o un cambiador de calor externo.

BLOQUE I

BLOQUE I • Ejemplo Ej l 1: 1 Modelo M d l de d mezclado l d en un tanque t agitado it d sin i reacción química basado en balances de materia y energía CORRIENTE DE

Reactor refrigerado por camisa

Reactor refrigerado por serpentín p

Reactor refrigerado por cambiador exterior

Los casos de refrigeración más usados son con camisa y con serpentín. El g por p cambiador suele ser más caro y se utiliza en el modelado reactor refrigerado de reactores RTCA con patrones de flujo no ideales

Q&camisa = UA ⎛⎜ T j − T ⎞⎟ ⎝

⎠

FC , TC

CORRIENTE FRIA

FH , T H

CORRIENTE CALIENTE

dT j = F j ρ j c pj ⎛⎜ T jo − T j ⎞⎟ + UA ⎛⎜ T − T j ⎞⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ dt

A continuación se estudian varios casos de modelado de tanques RTCA sin y con reacción química.

FD , T D

LC

⎧ ⎛ ⎞⎫ UA ⎪ ⎛ ⎞⎪ ⎜ ⎟ & Qserpentin = m& ccpj ⎜T j −T ⎟ ⎨1− exp⎜ − ⎬ ⎟ & m c ⎝ ⎠⎪ ⎜ c pj ⎟⎪ ⎝ ⎠⎭ ⎩

h(t)

Por consiguiente la forma del balance de energía en la camisa es de la forma:

V j c pj ρ j

PERTURBACIÓN

TC

ρc p

d ⎡h(t )T (t )⎤⎦ A ⎣ dt

T

A

F(h) , T

ρ A dh(t ) = ρ ( FC + FH + FD ) − ρ F (h) dt

= ρ c p (FCTC + FHTH + FDTD ) − ρ c p F ⎡⎣h(t )⎤⎦ T (t )

BLOQUE I

BLOQUE I

• Definición de variables de estado, control y perturbaciones • Términos no lineales: F ⎡⎣h(t )⎤⎦ = K

• Variables de desviación y cálculo del jacobiano. jacobiano Sistema linealizado en el punto de equilibrio

h′(t ) = h(t ) − hs ; FH′ (t ) = FH (t ) − FHs ; FD′ (t ) = FD (t ) − FDs ⎫⎪ ⎬ T ′(t ) = T (t ) −Ts ; FC′ (t ) = FC (t ) − FCs ; TD′ (t ) = TD (t ) −TDs ⎪⎭

h(t ) ; F[h(t )]T (t ) ; h(t )T (t ) ; FD (t )TD (t )

• Variables de estado: altura y la temperatura del tanque:

⎛ ∂f ⎞ ⎜ 1⎟ ⎜ ∂h ⎟ ⎝ ⎠s

h(t ) ; T (t ) • Variables de control: caudales de las corrientes fría y caliente:

FC(t) ; Fh(t) • Perturbaciones: caudal y temperatura corriente que viene de otro proceso:

FD(t) ; TD(t)

⎛ ∂f ⎜ 2 ⎜ ∂h ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎠s

=−

K 2 A hs

;

⎛ ∂f ⎞ 1⎟ ⎜ ⎜ ∂T ⎟ ⎝ ⎠s

=0

= − 1 2 {F Hs (THs − Ts ) + FCs (TCs − Ts ) + F Ds (TDs − Ts )} Ahs

• Punto de equilibrio:

• Ecuaciones del modelo no lineal:

dh(t ) = 1 F (t ) + F (t ) + F (t ) − K h(t ) ) A D C dt A( H dT (t ) dh(t ) 1 + T (t ) = ( FH (t )TH + FC (t )TC + FD (t )TD (t )) − K T (t ) h(t ) dt dt A A

⎫ 0 = 1 ( FHs + FCs + FDs ) − K hs ⎪ A A ⎪ ⎬ FCs FHs FDs ⎪ 0= T − T + T − T + T − T Ahs ( Hs s ) Ahs ( Cs s ) Ahs ( Ds s )⎪⎭

⎫ ⎪ ⎪ ⎬ h(t ) ⎪⎪ ⎭

• En general la linealización de un sistema no lineal en el p punto de equilibrio q se realiza de la forma:

BLOQUE I

• Variables de desviación

x&1 ( t ) = f1 ⎡⎣ x1 ( t ),..., x n ( t ); u1 ( t ),..., um ( t ); p1 ( t ),..., pk ( t ) ⎤⎦

x′(t ) = x (t ) − xs ; u ′(t ) = u (t ) − us ; p′(t ) = p (t ) − ps

x&2 ( t ) = . x&n ( t ) =

x&′(t ) = ⎢⎢

⎫ ⎪ ⎪ f 2 ⎡⎣ x1 ( t ),..., x n ( t ); u1 ( t ),..., um ( t ); p1 ( t ),..., pk ( t ) ⎤⎦ ⎪⎪ ⎬ ⎪ ⎪ f n ⎡⎣ x1 ( t ),..., x n ( t ); u1 ( t ),..., um ( t ); p1 ( t ),..., pk ( t ) ⎤⎦ ⎪ ⎪⎭

x&( t ) = f ⎡⎣ x ( t ); u ( t ); p ( t ) ⎤⎦

f

⎡ x(t);u(t); p(t)⎤ = ⎣ ⎦

f

x&( t ) = 0 ⇒ f ⎡⎣ x s ; u s ; p s ⎤⎦ = 0

⎡ ⎤ 1 ∂f ⎡ xs;us; ps ⎤⎦ ⎥ ⎡ xs ;us ; ps ⎤ + ⎢ ⎣ ⎣ ⎦ 1!⎢ ⎥ ∂x ⎣⎢ ⎦⎥s

⎡

⎤

⎡

⎤

⎢⎣

⎥⎦s

⎢⎣

⎥⎦ s

((x − xs )

∂f ⎡ x ;u ; p ⎤ ∂f ⎡ x ;u ; p ⎤ + 1 ⎢⎢ ⎣ s s s ⎦ ⎥⎥ ( (u −us ) + 1 ⎢⎢ ⎣ s s s ⎦ ⎥⎥ ( ( p − ps ) +........... 1! ∂u 1! ∂p

⎡ ∂f ⎡ x ; u ; p ⎤ ⎤ ⎣ s s s⎦⎥ ⎥ ∂x ⎣⎢ ⎦⎥ s

⎡ ∂f ⎡ x ; u ; p ⎤ ⎤ ⎡ ⎡ ⎤⎤ ⎣ s s s ⎦ ⎥ u (t ) + ⎢ ∂f ⎣ xs ; us ; ps ⎦ ⎥ ′ ⎥ ⎢ ⎥ ∂u ∂p ⎣⎢ ⎦⎥ s ⎣⎢ ⎦⎥ s

x′(t ) + ⎢⎢

p′(t )

x&′(t ) = Ax′(t ) + Bu′(t ) +Wp′(t ) ⎡ ∂f ⎢ 1 ⎢ ∂x1 ⎢ ⎢∂f2 A= ⎢⎢ ∂x1 ⎢ . ⎢ ⎢∂fn ⎢ ⎢⎣ ∂x1

∂f1 ∂x2 ∂f2 ∂x2 . ∂fn ∂x2

⎡ ∂f ∂f1 ⎤ ⎥ ⎢ 1 ∂xn ⎥ ⎢∂u1 ⎥ ⎢ ∂f2 ⎥ ⎢∂f2 . ⎥ ; B=⎢ ∂xn ⎥ ⎢∂u1 ⎢ . . . ⎥⎥ ⎢ ⎢∂fn ∂fn ⎥ . ⎥ ⎢ ∂xn ⎥⎦ ⎢⎣∂u1

.

s

∂f1 ∂u2 ∂f2 ∂u2 . ∂fn ∂u2

⎡ ∂f ∂f1 ⎤ ⎢ 1 ⎥ ∂um ⎥ ⎢∂p1 ⎢ ⎥ ∂f2 ⎥ ⎢∂f2 . ⎥ ; W =⎢ ∂um ⎥ ⎢∂p1 ⎢ . . . ⎥⎥ ⎢ ⎢∂fn ∂fn ⎥ . ⎢ ⎥ ∂um ⎥⎦ ⎢⎣∂p1

.

s

∂f1 ∂p2 ∂f2 ∂p2 . ∂fn ∂p2

∂f1 ⎤ ⎥ ∂pk ⎥ ⎥ ∂f2 ⎥ . ∂pk ⎥⎥ . . ⎥⎥ ∂f ⎥ . n⎥ ∂pk ⎥⎦ .

s

BLOQUE I • Ecuaciones del modelo linealizado en el punto de equilibrio

K =

s

• Ejemplo 2: Reactor RTCA sin control CAi, Ti, Fi, ρi, cpi Fj, Tj Fjo, Tjo A→B

VC1

T CA T,

Camisa Vj

CA, T, F, ρ, cp VC2

⎛ ∂f 1 ⎜ ⎜ ∂FH ⎝

s

⎞ ⎟ ⎟ ⎠s

∂f 2 ⎤ ⎥ ∂TD ⎥ ⎡FD′ (t )⎤ ⎥ ⎥ ⎢ ∂f 2 ⎥ ⎢⎣TD′ (t ) ⎦⎥ ∂TD ⎥⎦⎥

⎡ ⎢d ⎢ ⎢ ⎢d ⎢ ⎢⎣

m 3 / m in i m 1/ 2

dC A C A dV + V = C Ai Fi − C A F − α C AVe − E / RT d dt ddt dC A Fi = ( C Ai − C A ) − α C A e − E / RT V d dt dT = Fi (T −T ) + ( −ΔHr ) αC e−E / RT − Q A ρc p ρc pV dt V i

F H sT H s + F C sTC s + F D sT D s F H s + FC s + F D s

K hs = − 1 ( FHs + FCs + FDs ) = − =− K Ahs Ahs A hs s

s

s

⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭

s

h s ⎤⎦ ⎤⎥

s

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ −K ⎥ A h s ⎦⎥⎥ s

0

+

s

⎡ h(t ) − h ⎤ s ⎥ ⎢ ⎢⎣T ( t ) − T s ⎥⎦

⎡ 1 ⎢ A ⎢ ⎢T − Ts ⎢ Ds A hs ⎢⎣

BLOQUE I

dNA d(VCA) = =CAi Fi −CAF −rV dt dt

; Ts =

⎛ ∂f ⎞ ⎛ ∂f ⎞ ⎛ ∂f ⎞ F = 1 ; ⎜ 1 ⎟ = 0 ; ⎜ 2 ⎟ = 1 (TDs −Ts ) ; ⎜ 2 ⎟ = Ds ⎜ ∂FD ⎟ ⎜ ∂Fc ⎟ A ⎜⎝ ∂TD ⎟⎠ Ah Ahs s ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

s

d ( ρV ) = ρ i Fi − ρ F dt dV = F − F i dt

⎞ ⎟ ⎟ ⎠s

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

⎫ ⎛ ∂f ⎞ ⎛ ∂f ⎞ ⎛ ∂f ⎞ = 1 ; ⎜ 1 ⎟ = 0 ; ⎜ 2 ⎟ = 1 (THs −Ts ) ; ⎜ 2 ⎟ = 1 (TCs −Ts )⎪⎪ ⎜ ∂FH ⎟ ⎜ ∂Fc ⎟ A ⎜⎝ ∂FC ⎟⎠ Ahs Ahs ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎡ −K ⎢ ⎥ ⎢ 2 A hs dt ⎥= ⎢ ⎡T ( t ) − T ⎤ ⎥ ⎢ s⎦ 0 ⎣ ⎥ ⎢ ⎥⎦ dt ⎣⎢ ⎡h(t ) − ⎣

⎛ ⎜ ⎜ ⎝

⎛ ∂f ⎜ 2 ⎜ ∂T ⎝

∂h ) = 0

⎛ ∂f ⎞ 1 ⎟ ⎜ ⎜ ∂FD ⎟ ⎝ ⎠s

⎫ dh(t ) = f1 ⎡⎣h(t ),T (t ), FH (t ), FC (t ), FD (t ),TD (t )⎤⎦ ⎪ ⎪ dt ⎬ dT (t ) ) T (t ), ) FH (t ), ) FC (t ), ) FD (t )),TD (t )⎤⎦ ⎪⎪ = f 2 ⎡⎣h(t ), dt ⎭

⎡ ∂f ⎡ ∂f ∂f 2 ⎤ ∂f 2 ⎤ ⎢ 1 ⎥ ⎢ 1 ⎥ ⎡ ⎡ ⎤ ⎤ ∂ F ∂ F F t ( ) ∂FD ⎢ ⎥ ′ ⎢ h t ( ) ∂T ⎥ ⎢ ′ ⎥ + ⎢ H C ⎢ H ⎥+⎢ ⎥ ⎥ ∂f 2 ⎥ ⎢⎣T ′(t )⎥⎦ ⎢ ∂f 2 ∂f 2 ⎥ ⎢⎣ FC′ (t ) ⎥⎦ ⎢ ∂f 2 ⎢ ⎢ ∂T ⎥⎦ s ∂FH ∂FC ⎥⎦⎥ ∂FD ⎣⎢ ⎣⎢

F H s + FC s + F D s hs

(∂ f 2

⎫ dh(t ) = 1 F (t ) + F (t ) + F (t ) − K h(t ) ⎪ ) A D C dt A( H ⎪ ⎬ FC (t ) FD (t ) dT (t ) FH (t ) = T − T ( t ) + T − T ( t ) + T ( t ) − T ( t ) ) Ah(t ) ( D ) Ah(t ) ( C )⎪⎪⎭ dt Ah(t ) ( H

⎡ dh(t ) ⎤ ⎡ ∂f ⎢ ⎥ ⎢ 1 ⎢ dt ⎥ = ⎢ ∂h ⎢d dT (t ) ⎥⎥ ⎢⎢ ∂f 2 ⎢ ⎢⎣ dt ⎥⎦ ⎢⎣ ∂h

BLOQUE I

• Ecuaciones linealizadas del modelo

⎤ ⎥ ⎥ FDs ⎥ ⎥ A h s ⎥⎦ s

0

+

⎡ 1 ⎢ A ⎢ ⎢T − Ts ⎢ Hs A hs ⎢⎣

⎤ 1 ⎥ ⎡ F (t ) − F ⎤ A Hs ⎥ ⎥ ⎢ H TC s − T s ⎥ ⎢ F ( t ) − F ⎥ Cs ⎦ ⎥ ⎣ C A h s ⎥⎦ s

⎡ F (t ) − F ⎤ Ds ⎥ ⎢ D ⎢ T (t ) − T ⎥ Ds ⎦ ⎣ D

BLOQUE I Ejemplo j p 2. Reactor RTCA sin control en el q que se da una reacción exotérmica irreversible de primer orden: A → B. Añadiendo el balance de energía en la camisa, las tres ecuaciones del reactor son:

dC a F = o ⎛⎜ C a o − C a ⎞⎟ − α C a e − E R T ⎠ V ⎝ dt d T = F o ⎛ T − T ⎞ + ( − Δ H r )α C e − E R T − U A ⎟ a ρ ⋅c p ⎠ V ⎝⎜ o ρ c pV dt dT dt

j =

F V

⎞ ⎛ j ⎛⎜ T UA ⎜T − T −T ⎟+ ⎜ ⎟ ⎜ j o j j ρ c V ⎝ ⎠ j j pj j ⎝

⎛ ⎜T ⎜ ⎝

−T

j

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

A partir de estas ecuaciones se puede analizar el comportamiento de estado estacionario, estacionario para comprobar que es posible un funcionamiento del reactor en régimen de autorregulación, o sea que ante perturbaciones en la composición de entrada Cao, la temperatura de entrada To y la temperatura de entrada del agua de refrigeración Tjo, el sistema alcanza un estado de eq uilibrio que puede ser adecuado o no.Sean Cae, Te, Tje los valores de equilibrio en los que se verifica:

dCa = dT = dT j = 0 dt dt dt

C ae =

C ao 1 + α V e− E / RT Fo

BLOQUE I

BLOQUE I

dC a F = o ⎛⎜ C a o − C a ⎞⎟ − α C a e − E R T ⎠ V ⎝ dt ⎛ − Δ H ( ) α F d T = o ⎛T − T ⎞ + r C a e − E R T − U A ⎜T − T ⎟ ρ ⋅c p ⎠ j V ⎜⎝ o ρ c p V ⎜⎝ dt dT dt

j =

F

⎞ ⎛ j ⎛⎜ T UA ⎜T − T −T ⎟+ j ⎟⎠ ρ c V ⎜⎝ j V ⎜⎝ j o j j pj j

Calor eliminado con el caudal de salida y con la refrigeración: ⎞ ⎟ ⎟ ⎠

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

En el equilibrio se verifica que QG = QE. Despejando del balance de energía de la camisa en equilibrio el valor de la temperatura Tje y sustituyéndolo en QE:

De la segunda ecuación se deduce el balance de energía en estado estacionario

F o ( T − T ) + ( − Δ H r )α C e − E / R T e − U A ( T − T o e ae e ρcp V ρ c pV

je

)= 0

La ecuación anterior se puede considerar que está formada por los términos: Calor generado por la reacción:

QG =

QG = V ( −ΔH r )α Caee− E / RTe

V ( −ΔH r )α Caoe− E / RTe 1+ αV e− E / RTe Fo

BLOQUE I QG =

Q E = ρ c p F o (T e − T o ) + U A (T e − T je )

⎛ ⎜ QE = ⎜⎜ ρ c p Fo ⎜ ⎜ ⎝

1+

UA

⎛

⎟ ⎠

⎜ ⎝

⎞

1+

UA

⎟ ⎠

La ecuación anterior es una línea recta cuando se representa p QE en función de Te, cuya pendiente y ordenada en el origen dependen del caudal y temperatura de entrada Fo, To, del caudal de refrigerante Fj y de la temperatura de entrada del refrigerante Tjo. Si se representan las ecuaciones QG y QE se pueden dar distintas situaciones, dependiendo del número de puntos de corte de ambas curvas, tal como se muestra en la siguiente figura:

BLOQUE I

Sigmoide

V ( − Δ H r )α C a o e 1 + α V e − E / R Te Fo

⎛ ⎜ ρc F QE = ⎜⎜ ρcp Fo + j pj j ρc F ⎜ 1+ j pj j ⎜ UA ⎝

⎞

⎜ ρ j c pj F j ⎟⎟ ρ j c pj F jT jo ⎟⎟ ⎜ + T + ρc F T + ρ j c pj F j ⎟⎟ e ⎜⎜ p o o ρ j c pj F j ⎟⎟

− E / R Te

⎞ ⎛ ⎞ ⎟ ⎜ ρ jcpj FjT jo ⎟⎟ ⎟ ⎜ ⎟Te + ⎜ ρcp FoTo + ρ jcpj Fj ⎟⎟ ⎟ ⎜ + 1 ⎟ ⎜ UA ⎟⎠ ⎠ ⎝

Ejemplo 3. 3 Reactor RTCA con control en el que se da una reacción exotérmica irreversible de primer orden: A → B. Análisis de estado estacionario. Curvas de calor generado-eliminado F0 , T0 , Ca0 , ρ

Kt , t2 Regulador PI

Fj , Tj k A ----> B

En los casos (a) y (e) hay un solo punto de equilibrio, en los (b) (d) dos en el (c) hay tres puntos de equilibrio marcados con P1, P2 y P3 respectivamente. Fijando los valores de los parámetros y eligiendo valores adecuados de (Fo, To, Tjo) es posible tener 1, 2 ó 3 estados de equilibrio. Los casos (a) y (e) son los más claros. En ((a)) el reactor funciona a baja j temperatura p y además es muy y estable,, y ya q que si se aumenta algo Te, el calor eliminado es mayor que el generado y por tanto Te tenderá a bajar, contrarrestándose el efecto de la perturbación. Si Te baja, el calor generado es mayor que el eliminado y por tanto tendería a subir. El caso (e) se puede analizar de igual forma. Los casos (b) y (d) son intermedios al caso (c) que es el más interesante. En el caso (c), el punto P2 es siempre inestable, de forma que sin control el reactor no puede permanecer en ese punto.

Ca , T

VC2

LT

-

VC1

Camisa Vj Tj -

Regulador PI

Punto de Consigna

+

e(t)

Kv , t1

Tset

T(t)

TT

Fj0 , Tj0

e(t)

+

F , T , Ca , ρ

• Ecuaciones del reactor RTCA con reguladores PI

• Ecuaciones del reactor RTCA con reguladores PI

• Ecuaciones del reactor sin control

• Ecuaciones del reactor sin control

dV = F − F o dt

dV = F − F o dt

d C a Fo ⎛ C = − C a ⎞⎟ − α C a e − E R T ⎠ V ⎜⎝ a o dt d T = F o ⎛ T − T ⎞ + ( − Δ H r )α C e − E R T − U A ⎛⎜ T − T ⎞⎟ ⎟ a ρcp ⎠ j ⎟⎠ V ⎜⎝ o ρ c pV ⎜⎝ dt dT dt

j =

d C a Fo ⎛ C = − C a ⎞⎟ − α C a e − E R T ⎠ V ⎜⎝ a o dt d T = F o ⎛ T − T ⎞ + ( − Δ H r )α C e − E R T − U A ⎛⎜ T − T ⎞⎟ ⎟ a ρcp ⎠ j ⎟⎠ V ⎜⎝ o ρ c pV ⎜⎝ dt

F

dT

⎛ ⎞ j ⎛⎜ T − T ⎞⎟ + UA ⎜T − T ⎟ j ⎟⎠ ρ c V ⎜⎝ j ⎟⎠ V ⎜⎝ jo j j pj j

dt

• Ecuaciones de los reguladores PI ⎡

t

⎢⎣ ⎡ ⎢⎛ ⎢⎜ ⎢⎝ ⎣⎢

0

set

F

⎛ ⎞ j ⎛⎜ T − T ⎞⎟ + UA ⎜T − T ⎟ j ⎟⎠ ρ c V ⎜⎝ j ⎟⎠ V ⎜⎝ jo j j pj j

• Ecuaciones de los reguladores PI después de derivar respecto al tiempo: ⎤

dF = K dV + K (V − V ) ; K iv = K v v iv τ1 dt dt dF j K K it = t = K t dT + K it (T − T set ) ; τ2 dt dt

⎢ ⎥ F ( t ) = F − K v ⎢ ⎜⎜⎛ V − V ( t ) ⎟⎟⎞ + τ1 ∫ ⎜⎜⎛ V − V ( τ ) ⎟⎟⎞ d τ ⎥ ⎢⎝ ⎥ ⎠ ⎠ 1 ⎝

F j (t ) = F j − K t T

j =

− T ( t ) ⎞⎟ + τ1 ⎠ 2

⎦⎥

t

∫0

⎛ ⎜ ⎝

T

set

⎤ ⎥

− T ( τ ) ⎞⎟ d τ ⎥ ⎠

⎥ ⎦⎥

• Ecuaciones del reactor RTCA con reguladores PI

• Ecuaciones del reactor RTCA con reguladores PI

• Ecuaciones del reactor sin control

• Matrices A A, B B, W del sistema linealizado

f1 = F o − F

⎫ ⎪

F ⎪ f 2 = o (C a o − C a ) − α C a e − E R T ⎪ V ⎪ F ( − λ )α UA ⎛ ⎞⎪ f 3 = o (T o − T ) + Cae− E RT − T − T ⎟⎬ ⎜ j⎠ V ρ ⋅c p ρ c pV ⎝ ⎪ ⎪ F ⎪ UA j ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ f4 = T −T ⎟+ T −T ⎟ ⎪ j j ⎠ ρ c V ⎜⎝ j⎠ V ⎜⎝ jo ⎪⎭ j j pj j • Definición de variables desviación

⎡ Vt ( )−V ⎤ ⎡ F0(t)−F0 ⎤ ⎢ ⎥ ⎡ ⎤ C ( t ) − C Ft ( ) − F ⎢ ⎥ A A⎥ x′(t)=xt ( )−xs =⎢ ; u′(t)=ut ( )−us =⎢ ; p′(t)= pt ( )−ps =⎢CA0(t)−CA0⎥ ⎥ ⎢ Tt ( )−T ⎥ ⎣Fj (t)−Fj ⎦ ⎢ Tj (t)−Tj ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎢⎣ Tj (t)−Tj ⎥⎦

⎡ ∂ f1 ⎢ ∂V ⎢ ⎢ ∂f 2 ⎢ ∂V ⎢ A=⎢ ∂f ⎢ 3 ∂ ⎢ V ⎢ ∂f ⎢ 4 ⎢⎣ ∂ V

∂ f1 ∂C A

∂ f1 ∂T

∂f 2 ∂C A

∂f 2 ∂T

∂f 3 ∂C A

∂f 3 ∂T

∂f 4 ∂C A

∂f 4 ∂T

∂ f1 ⎤ ⎡ ∂ f1 ⎢ ∂F ∂T j ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ∂ f1 ∂f 2 ⎥ ⎥ ⎢ ∂T j ⎥ ∂F ; B = ⎢⎢ ∂f 3 ⎥ ∂f ⎥ ⎢ 1 ∂ ∂T j ⎥ ⎢ F ⎥ ⎢ ∂f ∂f 4 ⎥ ⎢ 1 ∂ T j ⎥⎦ ⎢⎣ ∂ F e

∂ f1 ⎤ ⎡ ∂ f1 ⎢ ∂F ∂F j ⎥ ⎥ ⎢ 0 ∂ f1 ⎥ ⎢ ∂f 2 ⎥ ⎢ ∂F ∂F j ⎥ 0 ;W =⎢ ⎢ ∂f 3 ∂ f1 ⎥ ⎥ ⎢ ∂F j ⎥ ⎢ ∂ F0 ⎥ ⎢ ∂f 4 ∂ f1 ⎥ ⎢ ∂ F j ⎥⎦ ⎣ ∂ F0 e

• Valores de las matrices A:

0 0 0 ⎤ ⎡ 0 ⎢−4.427⋅10−3 −1.7 −8.898⋅10−3 0 ⎥⎥ A=⎢ ⎢ 3.559 693.84 −14.547 20.833 ⎥ ⎢ ⎥ 0 156.344 −169.305⎦ ⎣ 0

∂ f1 ∂C A 0 ∂f 2 ∂C A 0 ∂f 3 ∂C A 0 ∂f 4 ∂C A 0

∂ f1 ⎤ ∂ T0 ⎥ ⎥ ∂f 2 ⎥ ∂ T0 ⎥ ⎥ ∂f 3 ⎥ ⎥ ∂ T0 ⎥ ∂f 4 ⎥ ⎥ ∂ T0 ⎦

• Ecuaciones del reactor RTCA con reguladores PI

• Ecuaciones del reactor RTCA con reguladores PI

• Calculo de los jacobiano de la matriz A

• Calculo de los jacobianos de la matrices B B, W

⎛ ∂ f1 ⎛ ∂ f1 ⎞ ⎛ ∂ f1 ⎞ ⎛ ∂ f1 ⎞ ⎟ =⎜ ⎜ ⎟ =⎜ ⎟ = ⎜⎜ ∂ V ∂ C ∂ T ⎝ ⎠e ⎝ ⎝ ⎠ e ⎝ ∂T j A ⎠e

⎞ ⎛ ∂f $ ⎞ ⎛ ∂f ⎞ ⎛ ∂f ⎞ ⎟⎟ = ⎜ 2 ⎟ = ⎜ 4 ⎟ = ⎜ ⎟ =0 ∂ T ∂ V ⎠e ⎝ ⎠ e ⎝ ∂C A ⎠ e ⎠e ⎝

⎛ ∂ f1 ⎜⎜ ⎝ ∂F j

⎛ ∂ f1 ⎞ ⎜ ⎟ = −1 ; ⎝ ∂F ⎠ e

F0 ( C A 0 − C A ) 40 ( 0.5 − 0.245 ) ⎛ ∂f 2 ⎞ =− = − 4.427 ⋅ 10 − 3 ⎜ ⎟ =− V2 48 2 ⎝ ∂V ⎠ e

⎛ ∂f 2 ⎞ F0 40 − α e − E RT = − − 7.08 ⋅ 1010 ⋅ e − 30000 1.99 ⋅600 = − 1.7 ⎜ ⎟ =− 48 V ⎝ ∂C A ⎠ e E 30000 ⎛ ∂f 2 ⎞ − E RT ⋅ = − 7.08 ⋅ 1010 ⋅ 0.245 ⋅ 1.225 ⋅ 10 − 11 ⋅ − 8.898 ⋅ 10 − 3 ⎜ ⎟ = −α C A e RT 2 1.99 ⋅ 600 2 ⎝ ∂T ⎠ e

F0 (T0 − T ) UA (T − T j ) 40 ( 530 − 600 ) 150 ⋅ 250 ( 600 − 594.6 ) ⎛ ∂f 3 ⎞ + =− + ⋅ = 3.559 ⎜ ⎟ =− 48 2 50 ⋅ 0.75 48 2 V2 ρcp V 2 ⎝ ∂V ⎠ e

⎛ ∂f 3 ⎞ ( − λ ) α ⋅ e − E R T = 3000 ⋅ 7.08 ⋅ 1010 ⋅ 1.225 ⋅ 10 −11 = 693.84 ⎜ ⎟ = ρcp 50 ⋅ 0.75 ⎝ ∂C A ⎠ e F0 ( − λ ) α E UA ⎛ ∂f 3 ⎞ + ⋅ C A ⋅ e − E RT ⋅ − = − 14.547 ⎜ ⎟ =− ρcp V RT 2 ρ c pV ⎝ ∂T ⎠ e

⎛ ∂f 3 ⎛ ∂f 3 ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜⎜ ⎝ ∂F ⎠ e ⎝ ∂F j ⎛ ∂f 4 ⎜⎜ ⎝ ∂F j

⎞ ⎛ ∂f ⎛ ∂f ⎞ ⎟⎟ = ⎜ 2 ⎟ = ⎜⎜ 2 ⎠ e ⎝ ∂F ⎠ e ⎝ ∂F j

⎞ ⎛ ∂f ⎞ ⎟⎟ = ⎜ 4 ⎟ = 0 ; ⎠ e ⎝ ∂F ⎠ e

⎞ T jo − T j 530 − 594.6 594 6 = = − 16.779 ⎟⎟ = V 3.85 j ⎠e

⎛ ∂f1 ⎞ ⎛ ∂f1 ⎞ ⎛ ∂f2 ⎞ ⎛ ∂f3 ⎞ ⎛ ∂f4 ⎞ ⎛ ∂f4 ⎞ ⎛ ∂f4 ⎞ ⎜ ⎟ =⎜ ⎟ =⎜ ⎟ =⎜ ⎟ =⎜ ⎟ =⎜ ⎟ =⎜ ⎟ =0 ⎝ ∂CA0 ⎠e ⎝ ∂T0 ⎠e ⎝ ∂T0 ⎠e ⎝ ∂CA0 ⎠e ⎝ ∂T0 ⎠e ⎝ ∂CA0 ⎠e ⎝ ∂T0 ⎠e

⎛ ∂f2 ⎞ F0 ⎛ ∂f4 ⎞ T0 −T 530−600 = −1.4583 ⎜ ⎟ = =0.833 ; ⎜ ⎟ = 48 ⎝ ∂T0 ⎠e V ⎝ ∂CA0 ⎠e V

BLOQUE I

• Teniendo en cuenta las matrices A, B, W anteriores y considerando las variables de desviación definidas anteriormente se obtiene:

⎡ V(t)−V ⎤ ⎡ F0(t)−F0 ⎤ ⎢ ⎥ ⎡ F(t)−F ⎤ CA(t)−CA⎥ ⎢ ⎥ ⎢ x′(t) = x(t)−xs = ; u′(t) =ut ( )−us =⎢ ; p′(t) = pt ( )− ps =⎢CA0(t)−CA0⎥ ⎥ ⎢ T(t)−T ⎥ ⎣Fj (t)−Fj ⎦ ⎢ Tj (t)−Tj ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ T ( t ) T − ⎥ j ⎦ ⎣⎢ j

0 a23 a33 a43

0 ⎤⎥ ⎡ x1′ ⎤ ⎡−1 ⎢ ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ x2′ ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ ⎥ +⎢ a34 ⎥ ⎢ x3′ ⎥ ⎢ 0 ⎥⎢ ⎥ ⎢ a44 ⎥ ⎢⎣ x4′ ⎥⎦ ⎢⎣ 0 ⎦

⎡ 1 0 ⎤⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢⎡ u1′ ⎥⎤ ⎢⎢w21 ⎥ + 0 ⎥ ⎢⎣u2′ ⎥⎦ ⎢w31 ⎢ b42 ⎥⎥ ⎢ ⎦ ⎣ 0

0 0 ⎤ ⎡ 1 ⎢5.312⋅10−3 0.833 0 ⎥ ⎥ W =⎢ ⎢ −1.458 0 0.833⎥ ⎢ ⎥ 0 0 ⎦ ⎣ 0

BLOQUE I

• Ecuaciones del reactor RTCA con reguladores PI

0 a22 a32 0

0 ⎤ ⎡−1 ⎢0 0 ⎥⎥ ⎢ B= ⎢0 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ 0 −16.779⎦

⎛ ∂f1 ⎞ ⎛ ∂f2 ⎞ CA0 −CA 0.50 050−0245 0.245 = =5.312⋅10-3 ⎜ ⎟ =1; ⎜ ⎟ = 48 F F V ∂ ∂ ⎝ 0 ⎠e ⎝ 0 ⎠e

⎛ ∂f ⎞ ⎛ ∂f ⎞ F UA UA UA ⎛ ∂f ⎞ = 20.833 ; ⎜ 4 ⎟ = = 156.344 ; ⎜ 4 ⎟ = − j − = − 169.305 ⎜⎜ 3 ⎟⎟ = ⎜ ∂T ⎟ ρ ρ ρ T c V T c V V c pjV j ∂ ∂ ⎝ ⎠ e j p j pj j j j j ⎝ ⎠e ⎝ ⎠e

⎡x &′ ⎤ ⎡ ⎢ 1⎥ ⎢ 0 ⎢x &′ ⎥ ⎢a ⎢ 2 ⎥ = ⎢ 21 ⎢x &⎥ ⎢a ⎢ 3′ ⎥ ⎢ 31 ⎢x &⎥ ⎢ 0 ⎢⎣ 4′ ⎥⎦ ⎣

⎞ ⎟⎟ = 0 ⎠e

0 w22 0 0

0 ⎤⎥ ⎡ ⎤ p 0 ⎥ ⎢ 1′ ⎥ ⎢ ⎥ p′ ⎥ w33⎥ ⎢ 2 ⎥ ⎥ ⎢ p′ ⎥ 0 ⎦⎥ ⎣ 3 ⎦

• Ecuaciones del reactor RTCA con reguladores PI • En variables de desviación los reguladores PI se pueden escribir de la forma:

d ⎡⎢ F ( t ) − F

⎤ ⎦⎥

⎣

dt d ⎡⎢ F j ( t ) − F ⎣

dt

= K ⎤ j ⎥⎦

d ⎡⎢V ( t ) − V ⎣

v

dt

= K

v

⎤ ⎦⎥

+ K

⎫ ⎪ ⎪ (t ) − V ⎪⎪ ⎬ ⎪ Kt ⎡ ⎤⎪ T ( t ) − T s ⎦⎥ ⎪ τ 2 ⎣⎢ ⎪⎭

v ⎡V τ 1 ⎣⎢

d ⎣⎡⎢ T ( t ) − T s ⎦⎤⎥ + dt

⎤ ⎦⎥

Siendo Ts la temperatura del punto de consigna, que en principio no tiene porqué coincidir con el valor medio de la temperatura del reactor. En la primera ecuación aparece directamente di t t la l variable i bl de d estado t d x1’(t), ’(t) pero no en la l segunda. d Para P que aparezcan variables de estado en la segunda ecuación se opera de la forma:

d ⎢⎡ F j (t ) − F j ⎥⎤ ⎣

⎦

dt

= Kv

d ⎡⎢T (t ) − T ⎤⎥

⎦ + K ⎡T (t ) − T ⎤ + K ⎡T − T ⎤ s⎥ it ⎣⎢ it ⎢⎣ ⎦⎥ ⎦

⎣

dt

x 5′ ( t ) = F j ( t ) − F

j

;

x 6′ ( t ) = F ( t ) − F

BLOQUE I

BLOQUE I • Ecuaciones del reactor RTCA con reguladores PI

• Ecuaciones del reactor RTCA con reguladores PI

• De las ecuaciones anteriores se deduce que es necesario introducir una nueva variable de perturbación (T − Ts )

• En las nuevas variables los reguladores PI se pueden escribir de la forma:

x&5′ = K v x&1′ + K iv x1′ x&6′ = K t x&3′ + K it x 3′ + K it ⎜⎛ T ⎝

⎫ ⎪⎪ ⎞⎬ − Ts ⎟⎪ ⎠ ⎪⎭

• Las ecuaciones del reactor con los reguladores PI empotrados son: ⎡ x& ′⎤ ⎢ 1⎥ ⎢ x& ′⎥ ⎢ 2⎥ ⎢ x& ⎥ ⎢ 3′ ⎥ ⎢ x& ⎥ ⎢ 4′ ⎥ ⎢ x& ⎥ ⎢ 5′ ⎥ ⎢ x& ⎥ ′ ⎣⎢ 6 ⎦⎥

• De las ecuaciones del reactor sin control se obtiene:

x&1′ = − x 5′ + p1′ x&3′ = a 3 1 x1′ + a 3 2 x 2′ + a 3 3 x 3′ + a 3 4 x 4′ + w 3 1 p1′ +

⎫ ⎪ ⎬ w 3 3 p 3′ ⎪ ⎭

=

⎧⎡ ⎪⎢ 0 ⎪⎢ a 21 ⎪⎢ ⎪⎢ ⎪ ⎢ a 31 ⎨⎢ ⎪⎢ 0 ⎪⎢ ⎪ ⎢ K iv i ⎪⎢ ⎪ ⎢ K t a 31 ⎣ ⎩

• Finalmente las ecuaciones de los reguladores PI quedan de la forma:

(

)

x&5′ = K v − x 5′ + p1′ + K iv x1′

(

)

(

)

x&6′ = K t a 31 x1′ + a 32 x 2′ + a 33 x 3′ + a 34 x 4′ + K it x 3′ + K t w 31 p1′ + w 33 p3′ + K it ⎛⎜ T ⎝

⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⎞⎪ − Ts ⎟ ⎠ ⎭⎪

+

⎡ 1 ⎢ ⎢ w 21 ⎢ ⎢ w 31 ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ Kv ⎢ ⎢ K t w 31 ⎣

BLOQUE I

0 − 1 0 ⎤⎥ ⎪ ⎡⎢ x1′ ⎤⎥ ⎪ 0 0 0 ⎥ ⎪ ⎢ x 2′ ⎥ ⎥ ⎥⎪ ⎢ 0 0 0 ⎥ ⎪ ⎢ x 3′ ⎥ ⎢ ⎥ 0 0 b42 ⎥⎥ ⎪⎬ ⎢ x 4′ ⎥ ⎥ ⎥⎪ ⎢ 0 0 0 ⎥ ⎪ ⎢ x 5′ ⎥ ⎥ ⎪ ⎢ x′ ⎥ 0 0 0 ⎥⎦ ⎪ ⎣⎢ 6 ⎦⎥ ⎭

0 0 0 ⎤⎥ 0 0 ⎥ ⎡ p1′ ⎤ w 22 ⎥⎢ ⎥ 0 0 ⎥ ⎢ p2′ ⎥ w 33 ⎥⎢ ⎥ 0 0 0 ⎥⎥ ⎢ p3′ ⎥ ⎢ ⎥ 0 0 0 ⎥ ⎢⎣ p4′ ⎥⎦ ⎥ 0 K t w 33 K it ⎥ ⎦

• La ecuación anterior se puede formar a partir de las siguientes matrices

A11 =

x ′( t ) = Ax ′( t ) + Bp′( t ) 0 ⎥⎤ ⎡ x′ ⎤ ⎡ 1 1 ⎢ 0 ⎥ ⎢⎢ x′ ⎥⎥ ⎢ w ⎥ 2 ⎢ 21 0 ⎥ ⎢⎢ x3′ ⎥⎥ ⎢ w ⎥ ⎢ ⎥ + ⎢ 31 b42 ⎥⎥ ⎢ x4′ ⎥ ⎢ 0 ⎢ ⎥ ⎢ 0 ⎥⎥ ⎢ x5′ ⎥ ⎢ Kv ⎢ ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎣⎢ x6′ ⎦⎥ ⎢ Kt w31 ⎦⎥

⎦⎥

0 0 0 0 0 0

• Ecuaciones del reactor RTCA con reguladores PI

Es interesante resaltar que es posible particionar las matrices anteriores de forma que se haga aparente la presencia de las matrices definidas anteriormente. De esta forma se obtiene un sistema global en el que ahora las entradas son las perturbaciones para obtener un sistema genérico de la forma:

0 0 0 −1 a22 a23 0 0 a32 a33 a34 0 a43 a44 0 0 0 0 0 −Kv Kta32 Kta33 + Kt Kta31 0

0 0 0 0 0 0

BLOQUE I

• Ecuaciones del reactor RTCA con reguladores PI

⎡x &′ ⎤ ⎡ 0 ⎢ 1⎥ ⎢ ⎢x &′ ⎥ ⎢ a ⎢ 2 ⎥ ⎢ 21 ⎢x &⎥ ⎢ a ⎢ 3′ ⎥ = ⎢ 31 ⎢x &⎥ ⎢ 0 ⎢ 4′ ⎥ ⎢ ⎢x &⎥ ⎢ K ⎢ 5′ ⎥ ⎢ iv ⎢x &′ ⎥ ⎢ K a ⎣⎢ 6 ⎦⎥ ⎣⎢ t 31

⎫

0 ⎤⎥ ⎡ 0 0 ⎥ ⎢⎢ 0 ⎥ 0 ⎥ ⎢⎢ 0 ⎥+ 0 ⎥⎥ ⎢⎢ 0 ⎢ 0 ⎥⎥ ⎢ 0 ⎢ ⎥ 0 ⎢⎣ 0

0 0 0 0 0 0 a 22 a 23 a 32 a 33 a 34 0 0 a 43 a 44 0 −Kv 0 0 0 K t a 32 K t a 33 + K t K t a 31 0

⎣

0 0 w22 0 0 w33 0 0 0 0 0 Kt w33

0 ⎤⎥ 0 ⎥ ⎡ p1′ ⎤ ⎥⎢ ⎥ 0 ⎥ ⎢ p2′ ⎥ ⎥⎢ ⎥ 0 ⎥⎥ ⎢ p3′ ⎥ ⎢ ⎥ 0 ⎥ ⎢⎣ p4′ ⎥⎦ ⎥ Kit ⎥

• La ecuación anterior se puede formar a partir de las siguientes matrices

⎦

⎡ 0 ⎢ ⎢a ⎢ 21 ⎢a ⎢ 31 ⎢ 0 ⎣

⎡−1 0 ⎤ 0 0 0 ⎤⎥ ⎢ ⎥ ⎡− K ⎤ a 22 a 23 0 ⎥ ⎢ 0 0 ⎥ v 0⎥ ⎥ ; A =⎢ ⎥ ; A =⎢ 12 22 a32 a33 a34 ⎥ 0 ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ 0 0 ⎣ ⎦ ⎥ ⎢ 0 b42 ⎥⎦⎥ 0 a 43 a 44 ⎥ ⎣⎢ ⎦

A21 =

W 11 =

⎡ 1 ⎢ ⎢w ⎢ 21 ⎢w ⎢ 31 ⎢ ⎣ 0

⎡ K iv ⎢ ⎢K a ⎣⎢ t 31

0 0 0 ⎤⎥ K t a32 K t a33 + K it K t a34 ⎥⎥ ⎦

⎡0 ⎤ 0 0 ⎤⎥ ⎢ ⎥ ⎡ K ⎡ 0 ⎤ w 22 0 ⎥ 0 0 ⎤⎥ ⎢0 ⎥ v ⎥ ; W =⎢ ⎥ ; W ; W 22 = ⎢ ⎥ = ⎢⎢ 12 21 ⎥ ⎢K ⎥ ⎥ 0 K t w 33 K w 0 w 33 ⎢0 ⎥ ⎣ it ⎦ ⎣ t 31 ⎦ ⎥ ⎢ ⎥ 0 0 ⎦⎥ ⎣⎢ 0 ⎦⎥

Las matrices A, B para simulación se construyen de la forma:

⎡A 11

A = ⎢⎢

A

⎢⎣ 21

⎡W A12 ⎤⎥ W12 ⎤⎥ ⎢ 11 ; B = ⎢W W22 ⎥⎥⎦ A22 ⎥⎥ ⎢⎣ 21 ⎦

A = ⎡⎢ A11 A12; A21 A22 ⎤⎥ ; B = ⎡⎢W11 W12; W21 W22 ⎤⎥ ⎣

⎦

⎣

⎦

BLOQUE I • Datos D t d de simulación de un reactor RTCA con reguladores PI Se pasan a unidades del sistema SI. Programa: reac_pi.m i Constantes de los reguladores: KV, t1 ; Kt, t2

NOMENCLATURA Y VALORES DE PARÁMETROS PARA UN REACTOR CSTR

V i bl Variable

D Descripción i ió

Fo

Caudal entrada

V l Valor

(ft3/h)

40

Vm

Volumen medio reactor (ft3)

Cao

Concentración media caudal entrada (mol A/ft3)

0 50 0.50

Cam

Concentración media en el reactor (mol A/ft3)

0.245

Tm

Temperatura media en el reactor (°R)

600

Temperatura media del refrigerante ((°R) R)

594

Tmo

Temperatura media caudal de entrada (°R)

530

Vj

Volumen camisa (ft3)

3.85

α

Constante de reacción ecuación Arrhenius ((h-1)

7.08x1010

E

Energía de activación (BTU/mol)

30000

U

Coeficiente transmisión de calor

Curvas de calor generado-eliminado g sin control

48

Tmj

BTU(h.ft2.

BLOQUE I

°R)

150

A

Área transmisión calor (ft2)

Tjo

Temperatura entrada fluido refrigerante (°R)

530

H

Calor de reacción (BTU/mol)

30000 0.75

P3 P2 P1

250

cp

Calor específico mezcla en el reactor (BTU/lb. °R)

cpj

Calor específico fluido refrigerante (BTU/lb. °R)

1

ρ

Densidad mezcla (lb/ft3)

50

ρj

Densidad fluido refrigerante (lb/ft3)

62.3

Fj

Caudal fluido refrigerante (ft3/h)

49.9

Tset

Temperatura del punto de consigna (°R)

600

BLOQUE I • Curvas de calor generado-eliminado sin control y estabilidad de los puntos de equilibrio P1, P2, P3.

Te = 333 K

P1 = Estable. Estable P2 = Siempre inestable P3 = Estable ó inestable

BLOQUE I Variación de la temperatura p de la camisa y del caudal de fluido refrigerante g en función de las posibles temperaturas de equilibrio del reactor sin control

DATOS A SUMINISTRAR AL PROGRAMA: • Composición y temperatura aproximadas en P1. Cia = 7.5 ; Tia = 300 • Composición y temperatura aproximadas en P3. Csa = 1 ; Tsa = 365

• Puntp P1 → [Ca T Tj] ≡ [7.553, 300.2, 299.9]. Autovalores: VA i = [[-1.0451, VAsi 1 0451 -1.1651, 1 1651 -236.65] 236 65] → Estable E t bl p P2 → [[Ca T Tj] ≡ [4.117, [ , 333.0,, 330.0]. ] Autovalores: • Puntp VAsm = [-0.543, 2.9627, -236.18] → Inestable • Puntp P3 → [CA T TJ] ≡ [0.895, 363.7, 358.5]. Autovalores: VAss = [-4.57.10-2 ± 2.943j, 2.9627, -235.88] → Estable

El punto de inflexión de la curva Fje j = f(Tsett) corresponde a la temperatura Te = 333 K en la que el reactor no puede permanecer sin control

BLOQUE I

BLOQUE I

• Datos p para simulación con reguladores g PI para p controlar el volumen y la temperatura del reactor

• Variación del volumen del reactor del sistema lineal y no lineal con reguladores PI

• Constantes de los reguladores PI: KV = 2 h-1 , t1 = 1 h ; Kt = 0.3 m3/h.K , t2 = 1 h • Autovalores del reactor con control en el punto P1: vpAs = [-2.252, -3.827 ± 2.504j, -0.999 ± 0.999j, -0.867] → Estable

Se comprueba que casi coinciden debido a que son variables directamente controladas por el regulador PI de constantes KV t1

• Valores de la corriente de entrada en equilibrio: Fom = 1.1326 m3/h ; Cao = 8 kmolA/m3; Tom = 295.90 K. • Perturbaciones en la corriente de entrada: Fo = 1.4 m3/h ; Co = 9 kmolA/m3; To = 315 K. Temperatura consigna = 333 K • Condiciones iniciales: xo1 = [V, Ca, T, Tj F, Fj] xo1 = [1.3592, 4.1176, 333.002, 320.1608, 1.1326, 1.4130] • Tiempo de cálculo tm = 10 h. Intervalo de integración T = 0.001 h

BLOQUE I

BLOQUE I

• Variación de la composición p del reactor del sistema lineal y no lineal con reguladores PI

Se comprueba que la coincidencia es muy buena pero ahora la composición, que no está controlada va al valor que le corresponda. Si las perturbaciones en la corriente i t de d entrada t d aumentan la desviación entre el sistema lineal y el no lineal aumenta. aumenta

• Variación de la temperatura p del reactor y del fluido refrigerante g del sistema lineal y no lineal con reguladores PI

Las temperaturas del modelo lineal y no lineal alcanzan el p punto de consigna (333 K) en aproximadamente 4 h, debido a que están controladas por el regulador PI de constantes Kt t2. La temperatura del refrigerante en el modelo lineal y no lineal tiende al valor que le corresponde. Es de destacar como el control consigue un salto térmico medible entre la t temperatura t del d l reactor t y la l del d l refrigerante que favorece la eliminación de calor y por consiguiente mejora el rendimiento de conversión.

BLOQUE I

BLOQUE I

• Variación del caudal de salida del reactor y del fluido refrigerante g del sistema lineal y no lineal con reguladores PI

• Curvas de calor g generado y eliminado sin control y con reguladores g PI

Los caudales de salida del reactor coinciden para ambos modelos, no así el caudal de refrigerante. Esto es debido a la alta sensibilidad del modelo no lineal debido a a la no linealidad del tipo: x.e-C/y debido al efecto de la reacción • Trazado de las curvas: TRiM = Tsm – 10; TRsM = Tsm +10 TRiiM = Tsm -80 80 ; TRssM = Tsm + 80 VAsm = [-236.15, -3.15 ± 3.29j, -1 ± 1j, -0.89 → Estable

BLOQUE I • Fenómenos no lineales en reactores RTCA con reguladores PI. Durante mucho tiempo se afirmó que no era posible la auto-oscilación p

Sistema químico auto-oscilante. Al reactor se bombean tres soluciones a velocidad constante: iodato potásico, ácido perclórico + peróxido de hidrógeno y ácido que sirve malónico y almidón q como indicador. Se forma un ión complejo de azul oscuro que oscila a lo largo del tiempo

BLOQUE I

Fenómenos no lineales en reactores RTCA

BLOQUE I

BLOQUE I

Fenómenos no lineales en reactores RTCA

Fenómenos no lineales en reactores RTCA

BLOQUE I • Datos p para simulación con reguladores g PI para p obtener una órbita tipo p Shilnikov

BLOQUE I • Datos p para simulación con reguladores g PI para p obtener una órbita tipo p Shilnikov

• Constantes de los reguladores PI: KV = 2 h-1 , t1 = 1 h ; Kt = 0.0917 m3/h.K , t2 = 1 h • Autovalores del reactor con control en el punto P2: vpaAs = [-2.3279, -0.1878 ± 2.7121j, -0.999 ± 0.999j, -0.7706] → Estable • Valores de la corriente de entrada en equilibrio: Fom = 1.1326 m3/h ; Cao = 8 kmolA/m3; Tom = 295.90 K. • Perturbaciones en la corriente de entrada: Fo = 1.4158 m3/h ; Co = 9.6115 kmolA/m3; To = 300 K. Temperatura consigna = 333.33 K • Condiciones iniciales: xo1 = [V, Ca, T, Tj F, Fj] •xo1 = [1.3592, 3.9247, 333.333, 330.333, 1.1326, 1.4130] ; Fjmax = 4.2474 m3/h • Tiempo de cálculo tm = 100 h. Intervalo de integración T = 0.001 h

• Se observa que la concentración en el reactor oscila de forma anómala sin alcanzar un estado estacionario, al igual que la temperatura del reactor y la del fluido refrigerante. Estos resultados no los dá el modelo lineal.

BLOQUE I • Datos p para simulación con reguladores g PI para p obtener una órbita tipo p Shilnikov

BLOQUE I • Datos p para simulación con reguladores g PI para p obtener una órbita tipo p Shilnikov

Punto al cual tiende el reactor

• El caudal de refrigerante oscila de forma anómala mientras que el caudal de salida del reactor tiende hacia el p punto de equilibrio. q La densidad espectral p de potencia de la concentración muestra un espectro de una señal que tiende a ser aleatoria

BLOQUE I Datos de simulación con caudal senoidal a la entrada y limitación del caudal de fluido refrigerante. Se obtiene comportamiento caótico

El volumen del reactor en estado estacionario oscila regularmente, mientras la composición del reactante A varía de forma imprevisible mostrando comportamiento caótico

• Se observa que el caudal de refrigerante nunca excede el valor máximo de 4.2474 m3/h impuesto por ejemplo por la válvula de control y que el comportamiento del reactor queda auto-oscilante.

BLOQUE I Datos de simulación con caudal senoidal a la entrada y limitación del caudal de fluido refrigerante. Se obtiene comportamiento caótico

Se comprueba que a pesar de las bruscas oscilaciones de la temperatura del reactor y del refrigerante se verifica T > Tj en todo instante. De esta forma se asegura una pequeña transmisión de calor a la camisa

BLOQUE I Datos de simulación con caudal senoidal a la entrada y limitación del caudal de fluido refrigerante. Se obtiene comportamiento caótico

BLOQUE I Datos de simulación con caudal senoidal a la entrada y limitación del caudal de fluido refrigerante. Se obtiene comportamiento caótico

La dependencia sensible a las condiciones iniciales es uno de los indicadores de comportamiento p caótico. Esta dependencia p no es debida a los errores por p truncamiento y redondeo en el computador; es algo intrínseco al comportamiento dinámico del reactor en las condiciones dadas

BLOQUE I Datos de simulación con caudal senoidal a la entrada y limitación del caudal de fluido refrigerante. Se obtiene comportamiento caótico

BLOQUE I I Nociones básicas de control no lineal basado en métodos de geometría diferencial • Los sistemas no lineales se han controlado a partir del sistema lineal linealizando en un punto de equilibrio:

x&( t ) = f ⎡⎣ x ( t ); u ( t ) ⎤⎦

x&( t ) = 0 ⇒ f ⎡⎣ x e ; u e ⎤⎦ = 0

x&′(t ) = Ax′(t ) + Bu′(t )

x′(t ) = x(t ) − xe ; u′(t ) = u(t ) − ue • Los sistemas no lineales se han controlado a partir del sistema lineal linealizando a lolargo de una trayectoria:

El caudal Fj(t) es caótico pero el caudal de salida F(t) oscila regularmente. La densidad espectral de potencia es otro indicador de que el comportamiento del t d óti

Sistema lineal con matrices A, B variables con el tiempo

x&′(t) = A(t) x′(t) + B(t)u′(t)

x′(t) = x(t) − xt ; u′(t) = u(t) −ut

BLOQUE I I

BLOQUE I I

Nociones básicas de control no lineal basado en métodos de geometría diferencial • En un sistema no lineal en general no es posible eliminar la no linealidad sin usar algún tipo de transformación de coordenadas que no sea lineal. Por j p con una transformación lineal la ecuación de un elipsoide p sigue g ejemplo siendo lineal:

x2 + y2 + z2 =1⇒ξ = x ; η = y ; τ = z a c b a2 b2 c2 2 2 2 ξ +η +τ =1 • Pero con una transformación de coordenadas no lineal sew obtiene una ecuación lineal:

x2 + y2 + z2 =1⇒ξ = x2 ; η = y2 ; τ = z2 a2 b2 c2 a2 b2 c2 ξ +η +τ =1

BLOQUE I I

Nociones básicas de control no lineal basado en métodos de geometría diferencial

• Esta es la idea que subyace en el estudio de los sistemas de control no lineales: transformar un sistema de ecuaciones diferenciales no lineales en otro lineal a través de una transformación de coordenadas no lineal. • Se comprobará que mediante una realimentación no lineal de la señal de control y un cambio de coordenadas no lineal es posible, bajo ciertas condiciones, transformar el sistema no lineal en otro lineal equivalente. • Este procedimiento, a diferencia de la linealización en un punto o a través d una trayectoria, de t t i no esta t basado b d en ninguna i aproximación. i ió Por P eso se habla de linealización exacta en una vecindad del punto de equilibrio. g la linealización exacta, las técnicas conocidas de control • Si se consigue lineal podrían aplicarse para estabilizar al sistema no lineal o bien resolver el problema de seguimiento de trayectorias. • En los sistemas no lineales no existen las matrices A A, B B, C C, por lo que es necesario acudir a conceptos geométricos que veremos a continuación.

BLOQUE I I

Nociones básicas de control no lineal basado en métodos de geometría g diferencial

Nociones básicas de control no lineal basado en métodos de geometría g diferencial

• A modo de introducción consideremos el siguiente ejemplo:

El resultado anterior se generaliza con el siguiente teorema de estabilización por realimentación lineal del estado:

x&1 = 4 x1 + x22 − 2 x2 − u ⎫⎪ q ⎬ ⇒ Punto equilibrio (0,0,0 ) x& 2 = 2 senx1 − x2 + u ⎪ ⎭

x& (t ) = f ⎣⎢⎡ x (t ), u (t ) ⎦⎥⎤

⎡4 x + 1

u (t ) = 0

⇒ f ( x ) = ⎢⎢ ⎣⎢

x22 − 2 x2 ⎤⎥ 2 senx1 − x2 ⎥⎦⎥

• Linealizando en torno al origen g (0,0) ( , ) se obtiene:

A=

⎡ ∂f ( x , x ) ⎢ 1 1 2 ⎢ ∂x1 ⎢ ⎢ ∂f ( x , x ) 2 1 2 ⎢ ⎢ ∂x1 ⎣

∂f1( x1, x2 ) ⎤⎥ ⎥ ∂x2 ⎥ ∂f 2 ( x1, x2 ) ⎥ ⎥ ⎥ ∂x2 ⎦ (0,0)

⎡4

=⎢

⎢2 ⎣

⎡ − 1⎤ − 2 ⎤⎥ ; B=⎢ ⎥ ⎥ ⎢ 1 ⎥ − 1⎦ ⎣ ⎦

Sistema linealizado

⎡ x& ⎤ ⎢ 1⎥ ⎢ x& ⎥ ⎣ 2⎦

⎡4

=⎢

⎢2 ⎣

− 2 ⎤⎥ ⎡⎢ x1 ⎤⎥ ⎡⎢ − 1⎤⎥ + u ⇒ λ I − A = 0 ⇒ λ1 = 0; λ2 = 3 − 1⎥⎦ ⎢⎣ x2 ⎥⎦ ⎢⎣ 1 ⎥⎦

Con u = - Kx se puede formar A – BK tal que sea una matriz de Hurwitz con autovalores con parte real negativa y por tanto estabilizar al sistema no lineal

Sea dx/dt = f[x(t), u(t)] con x ε Rn u ε Rr y sea su sistema linealizado en torno al punto t d de equilibrio ilib i xo dx/dt d /dt = Ax A + Bu. B Si se verifica: ifi i) f[.,.] es continua y diferenciable y f(xo,0) = 0. ii) El sistema linealizado en torno a x0 es controlable controlable. iii) Existe una matriz K ε Rrxn tal que la matriz A – BK sea de Hurwitz. Entonces la ley de control u = - Kx convierte al punto de equilibrio del sistema no lineal dx/dt = f(x, -Kx) x0 en un punto de equilibrio asintóticamente estable. • La condición de controlabilidad para un sistema lineal viene dada por: rango[B|AB|A2B|…..|An-1B] = n. La controlabilidad para sistemas no lineales se verá a continuación continuación. • El teorema anterior es muy útil, pero en realidad está basado en la teoría de sistemas lineales.

BLOQUE I I

BLOQUE I I

Concepto p de controlabilidad y observabilidad para p sistemas no lineales

Concepto p de álgebra g de Lie. Relación con la controlabilidad

Consideraremos sistemas de control no lineales en forma afín:

Un álgebra de Lie sobre un campo vectorial real R (o complejo C) es un espacio vectorial E para el cual la aplicación bilineal de la forma general (X (X,Y) Y) → [X,Y] [X Y] se define para todo X, Y ε E a partir del producto cartesiano ExE → E tal que se verifica:

m

gi ⎡⎣⎢ x(t )⎤⎦⎥ ui (t ) ; x(t )∈ M ⊂ Rn ∑ i=1 T u = (u1, u2 , u3,.....um ) ∈U ⊂ Rm

x&(t ) = f ⎡⎣⎢ x(t )⎤⎦⎥ +

i)

El vector de estados y los vectores campo f y g vienen definidos de la forma:

x (t ) =

⎡ x (t ) ⎤ ⎢ 1 ⎥ ⎢ x (t ) ⎥ ⎢ 2 ⎥ ⎢ : ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ xn (t ) ⎥ ⎣ ⎦

; f [ x (t )] =

⎡ f [ x (t ))..x (t )] ⎤ n ⎢ 1 1 ⎥ ⎢ f [ x (t )..x (t )]⎥ n ⎢ 2 1 ⎥ ⎢ ⎥ : ⎢ ⎥ ⎢ f [ x (t )..xn (t )]⎥ ⎣ n 1 ⎦

; g i [ x (t )] =

⎡ g [ x (t ))..x (t )] ⎤ n ⎢ i1 1 ⎥ ⎢ g [ x (t )..x (t )]⎥ n ⎢ i2 1 ⎥ ⎢ ⎥ : ⎢ ⎥ ⎢ g [ x (t )..xn (t )]⎥ ⎣ in 1 ⎦

[X,Y] = -[Y,X] para todo X, Y ε E. ii) [X,[Y,Z]] + [Y,[Z,X]] + [Z,[X,Y]] = 0

• De acuerdo con la definición anterior, un álgebra de Lie es un espacio vectorial en el que se ha definido un operado [.,.] llamad corchete de Lie con las propiedades i) y ii). La primera propiedad se llama antisimetrica y la segunda q tres identidad de Jacobi,, la cual muestra el carácter cíclico entre cualesquiera elementos del álgebra de Lie. • Formas concretas del nuevo operador [.,.] introducido pueden ser: 1) El producto vectorial en el espacio tridimensional R3. Es fácil verificar que:

De forma intuitiva un sistema es controlable si existe un vector de entradas admisible u(t) tal que es capaz de transferir el estado desde el valor inicial x(t0) = x0 ε M hasta el estado final x(tf) ε M en un tiempo finito tf – t0.

r r r r r r i) X ×Y =−Y × X ; ∀X ,Y ∈R3 r r r r r r r r r r r r ii) X ×(Y × Z ) +Y ×(Z × X ) + Z ×( X ×Y ) = 0 ; ∀X ,Y , Z ∈R3

BLOQUE I I

BLOQUE I I

Concepto p de álgebra g de Lie. Relación con la controlabilidad

Concepto p de álgebra g de Lie. Relación con la controlabilidad

• Otro ejemplo de álgebra de Lie es considerar el espacio vectorial de matrices cuadradas de dimensiones ((nxn)) con la operación p conmutador definida por p [A,B] [ , ] = AB – BA para todo A,B ε Rnxn. Es fácil verificar que se verifican las dos propiedades anteriores.

Una notación muy conveniente para simplificar el modo de operar entre vectores campo p con corchetes de Lie es: [f [ , g] = adfg g. Esta notación se puede p interpretar p como un vector campo g operado por el operador adjunto: adf = [f , .]. E acuerdo con esta notación por ejemplo se tendría: adf3 = [f [f [f , g]]]. Así se pueden considerar corchetes de Lie de orden “n” definidos como adfng = [f..(n-1)..[f [ ( ) [ , g] g]…]]

•Desde el punto de vista del control no lineal un álgebra de Lie de gran utilidad es aquella en la que el corchete de Lie se define entre los vectores campo f(x), g(x) ε Rn de la forma: ⎡ ⎣⎢

⎡ ⎣⎢

f , g ⎤⎦⎥ =

⎡ ∂g 1 ⎢ ⎢ ∂x 1 ⎢ ⎢ ∂g 2 ⎢ ⎢ ∂x 1 ⎢ ⎢ .. ⎢ ⎢ ∂g n ⎢ ∂x 1 ⎣

∂ g1 ∂ x2 ∂g 2 ∂ x2 .. ∂g n ∂ x2

.. .. .. ..

f , g ⎤⎦⎥ = ∂ g f − ∂ f ∂x ∂x ⎡ ⎤ ∂ f1 ∂ g1 ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ∂ x n ⎡ ⎤ ∂ x1 ⎢ ⎥ f ∂ g 2 ⎥ ⎢⎢ 1 ⎥⎥ ⎢ ∂ f 2 ⎢ ⎥ f ∂ x n ⎥ ⎢⎢ 2 ⎥⎥ − ⎢ ∂ x1 ⎢ ⎥ : .. ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ .. ⎢ ⎥ f ∂ g n ⎥⎥ ⎣ n ⎦ ⎢⎢ ∂ f n ⎢ ∂x ∂ x n ⎥⎦ 1 ⎣⎢

Con el concepto de corchete de Lie de orden “n” se puede asociar un álgebra de Lie asociada al sistema al sistema no lineal definido por las ecuaciones:

g ∂ f1 ∂ x2 ∂f 2 ∂ x2 .. ∂f n ∂ x2

∂ f1 ∂ xn ∂f 2 .. ∂ xn .. .. .. ∂ f n ∂ xn ..

⎤ ⎥ ⎥ ⎥⎡g ⎤ ⎥⎢ 1⎥ ⎥ ⎢g ⎥ ⎥⎢ 2⎥ ⎥⎢ : ⎥ ⎥ ⎢g ⎥ ⎥⎣ n⎦ ⎥ ⎥ ⎦⎥

x&(t ) = f ⎡⎢⎣ x(t )⎤⎥⎦ +

m

gi ⎡⎢⎣ x(t )⎤⎥⎦ ui (t ) ∑ i =1

Este nuevo conjunto con estructura de álgebra de Lie está formado por todos los posibles corchetes de Lie de orden (n-1) entre f y todas las g (g1, g2 ,.., gm) de la forma:

L = ⎧⎨ g1,.., g n , ad f g1,.., ad f g m ,.., ad nf −1 g1,.., ad nf −1 g m ⎫⎬ ⎩

⎭

BLOQUE I I

BLOQUE I I

Concepto p de álgebra g de Lie. Teorema de controlabilidad

Concepto de álgebra de Lie. Lie Teorema de controlabilidad

L = ⎧⎨ g1,.., g n , ad f g1,.., ad f g m ,.., ad nf −1 g1,.., ad nf −1 g m ⎫⎬ ⎩

L = ⎧⎨ g1,.., g n , ad f g1,.., ad f g m ,.., ad nf −1 g1,.., ad nf −1 g m ⎫⎬

⎭

⎩

El conjunto L permite definir un criterio de controlabilidad para sistemas no lineales: El sistema no lineal en forma afin:

x&(t ) = f ⎡⎣⎢ x(t )⎤⎦⎥ +

Consideremos el sistema lineal: dx(t)/dt = Ax(t) + Bu(t). Comparado con un sistema i t no lineal li l es posible ibl establecer t bl las l siguientes i i t identificaciones: id tifi i

m

gi ⎡⎣⎢ x(t )⎤⎦⎥ ui (t ) ∑ i 1 i=

f(x) = Ax ; (g1,g2,….,gm) = B ; B = [b1,b2,…,bm] siendo bi las columnas de B y u → ((mx1)) la señal de control. Si se tiene en cuenta que: q

∂bi f − ∂f bi = − Abi ∂x ∂x ∂ Abi ad 2f bi = ⎡⎢ f , ⎡⎢⎣ f ,bi ⎤⎥⎦ ⎤⎥ = ⎡⎢⎣ f , − Abi ⎤⎥⎦ = − f − ∂f − Abi = A2bi ∂x ∂x ⎣ ⎦

es controlable si y solo si se verifica: dim(L) = dim(M) = n para x(t) ε M incluido en Rn. Vamos a analizar el significado del teorema. i)

⎭

ad f bi = ⎡⎢⎣ f ,bi ⎤⎥⎦ =

Cada vector campo de L es una función del estado x(t), por lo que la dimensión de L puede variar de un punto a otro de Rn, de forma que si la condición del teorema se cumple solo en una vencidad de un punto M incluido en Rn la controlabilidad es local. Si la condición del teorema se cumple en M entonces el sistema es globalmente controlable.

ad fj bi = ( −1) A jbi j

ii) Sería deseable que el teorema se pudiera aplicar a sistemas lineales lineales. O sea que la condición anterior se reduce a la conocida condición de controlabilidad para sistemas lineales.

El conjunto L estará formado por todas las posibles combinaciones de los vectores columna gi = bi, adfjbi de forma que L se puede escribir como:

BLOQUE I I

BLOQUE I I

Concepto de álgebra de Lie. Lie Teorema de controlabilidad

Concepto de álgebra de Lie. Lie Teorema de controlabilidad

x& 1 = − a x 1 + b x 1 x 2 x& 2 = − b x 1 x 2 + u

El conjunto L estará formado por todas las posibles combinaciones de los vectores columna gi = bi, adfjbi de forma que L se puede escribir como:

L = ⎧⎨b1, b2 ,,..,, bm , ad f b1,,..,, ad f bm ,.., , , ad nf −1b1,.., , , ad nf −1bm ⎫⎬ ⎩

⎭

⎭

{

Que coincide con la condición de controlabilidad obtenida para sistemas lineales:

C=

{

B M AB M A 2 B M,....,M A n −1 B

} ⇒ rango(C ) = n

Ej Ejemplo. l E Estudiar t di la l controlabilidad t l bilid d del d l sistema i t no lineal li l

x& 1 = − a x 1 + b x 1 x 2 x& 2 = − b x 1 x 2 + u

}

⎡ x& ⎤ ⎢ 1⎥ ⎢ x& ⎥ ⎣ 2⎦

⎡ − ax + bx x ⎤ 1 1 2⎥ + ⎥ bx x − 1 2 ⎢⎣ ⎥⎦

= ⎢⎢

⎡0 ⎤ ⎢ ⎥u ⎢1 ⎥ ⎣ ⎦

⎡ − ax + bx x ⎤ 1 1 2⎥ ⎥ bx x − 1 2 ⎢⎣ ⎥⎦

⇒ f ( x ) = ⎢⎢

⎡0 ⎤ ⎥ ⎢1 ⎥ ⎣ ⎦

;g=⎢

⎡ − a + bx bx1 ⎤⎥ ⎡ 0 ⎤ ⎡⎢ − bx1 ⎤⎥ 2 ⎢ ⎥= L = ⎧⎨ g , ad f g ⎫⎬ ; ad f g = − ∂ f g = − ⎢⎢ ∂x ⎩ ⎭ − bx2 − bx1 ⎥⎥ ⎢⎣ 1 ⎥⎦ ⎢⎢ bx1 ⎥⎥ ⎢ ⎣

L= ⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭

⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭

El sistema se puede escribir de la forma:

L = ⎧⎨bi , ad fj bi ; 1 ≤ i ≤ m ; 1 ≤ j ≤ n −1⎫⎬ = bi ,(−1) j A jbi ; 1 ≤ i ≤ m ; 1 ≤ j ≤ n −1 ⎩

)

(

⎡0 ⎢ ⎢1 ⎣⎢

− bx1 ⎤⎥ ⇒ bx1 ⎥⎥ ⎦

⎦

⎣

⎦

rango ( L ) = 2 para x1 ≠ 0

El sistema es controlable en todo el espacio de fases excepto en x1 = 0 o lo que es lo mismo en el eje x2

BLOQUE I I

BLOQUE I I

Concepto de álgebra de Lie. Lie Teorema de controlabilidad

Concepto de álgebra de Lie. Lie Teorema de controlabilidad

Ejemplo. Estudiar la controlabilidad en el origen del sistema no lineal:

Ejemplo. Estudiar la controlabilidad en el origen del sistema no lineal:

x&1 = 4 x1 + x 22 − sat ( 2 x 2 + u ) ⎫⎪ x& 2 = 2 senx1 − x 2 + u

⎧σ si σ ≤ 1

⎬ sat (σ ) = ⎨ ⎩ 1 sii σ > 1 ⎪ ⎭

Si el sistema fuera autónomo con u = 0 el origen (0,0) sería un punto estable. Según la función “sat” cabe distinguir dos casos a): ⎡x & ⎤ ⎡ 4 x + x22 − 2 x2 ⎤⎥ ⎡ −1⎤ ⎢ 1⎥ = ⎢ 1 ⎢ ⎥ ⎥ + ⎢ 1 ⎥u ⇒ ⎢x & ⎥ ⎢ ⎣ 2 ⎦ ⎣⎢ 2sin x1 − x 2 ⎦⎥ ⎣ ⎦

⎡4 x + x2 − 2 x ⎤ 1 2 2⎥ ⎥ x − x 2sin 2 1 ⎣⎢ ⎦⎥

f ( x) = ⎢⎢

⎡ −1⎤ ⎥ ⎢1⎥ ⎣ ⎦

; g=⎢

⎡ 4 2 x2 ⎤⎥ ⎡ −1⎤ ⎡⎢ 6 − 2 x2 ⎤⎥ ⎢ ⎥= L = ⎨⎧ g , ad f g ⎬⎫ ⇒ ad f g = − ∂f g = ⎢⎢ ∂x ⎩ ⎭ 2cos x1 −1 ⎥⎥⎦ ⎢⎣ 1 ⎥⎦ ⎢⎢⎣ 2cos x1 +1⎥⎥⎦ ⎢⎣ ⎡ −1 ⎢ ⎢1 ⎢⎣

6 − 2 x2 ⎤⎥ ⇒ Δ = −2cos x1 + 2 + 2 x2 ≠ 0 ⇒ rango( L) = 2 2cos x1 +1⎥⎥

x&1 = 4 x1 + x 22 − sat ( 2 x 2 + u ) ⎫⎪ ⎬ ⎪⎭

x& 2 = 2 senx1 − x 2 + u

⎧σ si σ ≤ 1

sat (σ ) = ⎨ ⎩ 1 sii σ > 1

Si el sistema fuera autónomo con u = 0 el origen (0,0) sería un punto estable. Según la función “sat” cabe distinguir dos casos b): ⎡x & ⎤ ⎡ 4 x1 + x22 −1 ⎤⎥ ⎡0⎤ ⎢ 1⎥ = ⎢ + ⎢ ⎥u ⇒ ⎢x &2 ⎥ ⎢⎢ 2sin x − x2⎥⎥ ⎢⎣1 ⎥⎦ ⎣ ⎦ ⎣ 1 ⎦

⎡ 4 x + x 2 −1 ⎤ ⎥ 1 2 ⎥ 2sin x x 2 − 1 ⎣⎢ ⎦⎥

f ( x) = ⎢⎢

⎡0⎤ ⎥ ⎢1 ⎥ ⎣ ⎦

; g=⎢

⎡ 4 2 x2 ⎥⎤ ⎡0⎤ ⎡ −2 x2 ⎤ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ L = ⎧⎨ g , ad f g ⎫⎬ ⇒ ad f g = − ∂f g = ⎢⎢ ⎥ ⎢1 ⎥ ⎢ ⎥ ∂x ⎩ ⎭ 2cos 1 x − 1 1 ⎦ ⎣⎢ ⎦⎥ ⎣ ⎦ ⎣

−2 x2 ⎤⎥ ⇒ Δ = 2 x2 ≠ 0 si x2 ≠ 0 ⇒ rango( L) = 2 ⎢1 1 ⎦⎥ ⎣ ⎡0

L=⎢

⎦

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Concepto de álgebra de Lie Lie. Relación con la observabilidad y derivadas direccionales.

Concepto p de álgebra g de Lie. Relación con la observabilidad y derivadas direccionales.

• Para estudiar la observabilidad partiremos de un campo escalar λ(x) con x ε Rn. La derivada del escalar λ(x) a lo largo de un vector campo f(x) se define como:

• Consideremos otro vector campo h(x) = [h1(x) h2(x) …. hp(x)]T. Para cada componente de h(x) se puede definir la derivada de Lie a lo largo del vector campo f(x). Por ejemplo para una componente aqrbitraria y para todas las componentes de h(x) se tendría:

⎡ Lf λ(x) = ∂λ(x) f (x) = ⎢⎢ ∂λ(x) ∂x ∂x1 ⎣

⎡ f ( x) ⎤ ⎢ 1 ⎥ ⎤⎢ ∂λ(x) ...... ∂λ(x) ⎥ ⎢ f 2 (x)⎥⎥ = n ∂x2 ∂xn ⎥ ⎢ : ⎥ i=1 ⎦⎢ ⎥ ⎢ f n ( x)⎥ ⎣ ⎦

∑

∂λ(x) f (x) ∂xi i

Se deduce que la derivada de Lie de un campo escalar es también un campo escalar. Además ∂λ(x)/∂x es el vector gradiente del escalar λ(x) y la norma del vector gradiente da el valor máximo de variación de dicho gradiente. Por consiguiente, el producto del gradiente y el vector campo f(x) da la derivada direccional de Lie. Obsérvese que un vector campo puede considerarse formado por un conjunto de escalares cada uno de ellos son las componentes de dicho vector campo, y por tanto se puede definir una derivada direccional para cada componente.

L f h2 ( x ) =

∂ h2 ( x ) ; L f h( x) = ∂x

⎡ L h ( x) ⎤ ⎢ f 1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ L f h2 ( x ) ⎥ ⎢ ⎥⇒ : ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ L h ( x ) p ⎢ f ⎥ ⎣ ⎦

D im ensiones ( px1)

El concepto de derivada direccional de Lie de un vector campo h(x) se relaciona con el problema de la observabilidad si el vector campo h(x) se asocia a la salida del sistema no lineal. En tal caso se puede definir un espacio de observación O de la forma:

∂⎛⎜ Lf h(x)⎞⎟ ⎧ ⎫ ⎛ ⎞ ⎠ O= ⎨h(x), Lf h(x), L2f h(x),....., Lnf−1h(x)⎬ ⇒L2f h(x) = Lf ⎜ Lf h(x)⎟ = ⎝ ∂x ⎩ ⎭ ⎝ ⎠

f (x)

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Concepto p de álgebra g de Lie. Relación con la observabilidad y derivadas direccionales.

O = ⎧⎨h(x), Lf h(x), L2f h(x),.., Lnf−1h(x)⎫⎬ ⇒ L2f h(x) = Lf ⎛⎜ Lf h(x)⎞⎟ = ⎩

⎭

⎝

∂ ⎛⎜ Lf h(x)⎞⎟ ⎝

⎠

⎠

∂x

f (x)

Se ve que el espacio de observación se forma a partir de las (n-1) derivadas direccionales de Lie de la función de salida h(x) del sistema no lineal:

Concepto p de álgebra g de Lie. Relación con la observabilidad y derivadas direccionales. Teorema de observabilidad para sistemas no lineales ⎧ ∂φ dO = ⎪⎨ ⎪⎩ ∂x

⎫ / φ ∈ O ⎪⎬ ⇒ φ ⎪⎭

Consideremos ahora la distribución de observabilidad que se denomina dO y que está formada por el vector gradiente de cada componente de O, o sea:

⎡ φ ( x) ⎤ ⎢ 1 ⎥ n −1 φ ( x) = ⎢⎢ 2 ⎥⎥ ⇒ φ j ( x) = α i ( x) Lif h( x) ; 1 ≤ : i =0 ⎢ ⎥ ⎣⎢φn ( x ) ⎦⎥ En donde las αi(x) son funciones escalares cualesquiera

∑

⎫ / φ ∈ O ⎪⎬ ⇒ φ ⎪⎭

j≤n

∂φ ( x) = ∂x

⎡ ∂φ ( x) 1 ⎢ ⎢ ∂x 1 ⎢ ⎢ : ⎢ ⎢ ∂φn ( x ) ⎢ ∂x 1 ⎢⎣

f ( x ) = Ax ; h ( x ) = C x

{

h ( x )), L2f h ( x )),.., Lnf −1h ( x ) ⎫⎬ = C x , C Ax , C A 2 x ,...., C A n −1 x

L f h ( x ) = ∂ h ( x ) f ( x ) = C Ax ; L2f h ( x ) = ∂x

{

}

∂L f h( x) f ( x ) = C AAx = C A 2 x ∂x

} {

O = Cx, CAx, CA2 x,...., CAn−1x = φ1,φ2 ,.....,φn

}

⎧ ∂φ ∂φ ⎫ dO = ⎪⎨ 1 , 2 ,....., ∂φn ⎪⎬ = C , CA,...., CAn−1 ⇒ dim(dO ) = n ∂x ⎪⎭ ⎪⎩ ∂x ∂x Es claro que la condición anterior no es más que la condición de observabilidad para sistemas lineales

{

( nxn )

⎦

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A continuación se deduce la condición de observabilidad para sistemas lineales partiendo del espacio de observación O y de la distribución de observabilidad dO para sistemas no lineales.

⎭

∂ φ1 ( x ) ⎤⎥ ∂ xn ⎥ ⎥ .. : ⎥ ⇒ D imensiones i i ⎥ .. ∂ φ n ( x ) ⎥⎥ ∂ xn ⎥ ..

Como en el caso de la controlabilidad este criterio puede tener un alcance local o global, dependiendo si la condición del teorema se cumple en la vecindad de un punto o en todo el espacio de fases.

Concepto p de álgebra g de Lie. Relación con la observabilidad y derivadas direccionales. Teorema de observabilidad para sistemas no lineales

O=

; 1≤ j ≤ n

Teorema. Un sistema no lineal con vector campo de salida h(x) es observable si y solo si se cumple dim(O) = n.

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⎧ ⎨ h ( x )), L f ⎩

∑

Por consiguiente la distribución de observabilidad es una matriz jacobiana:

x& (t ) = f ⎡⎣⎢ x (t ) ⎤⎦⎥ ; y = h ( x )

⎧ ∂φ dO = ⎪⎨ ⎪⎩ ∂x

⎡ φ ( x) ⎤ ⎢ 1 ⎥ n −1 φ ( x) = ⎢⎢ 2 ⎥⎥ ⇒ φ j ( x ) = α i ( x) Lif h( x) : i =0 ⎢ ⎥ ⎣⎢φn ( x ) ⎦⎥

}

Invertibilidad de sistemas dinámicos. Concepto p de grado g relativo. Los sistemas lineales de tiempo invariante se pueden representar en forma de variables de estado o a través de la matriz transferencia:

−1 x& = Ax + Bu ⎫⎪ ⎬ ⇒ G ( s ) = C ( sI − A ) B + D y = Cx C + Du D ⎪⎭ En general los elementos de la matriz transferencia son cocientes de polinomios en “s” s de la forma:

G ij ( s ) =

s q + b q 1 s q − 1 + . . . . + b1 s + b 0 s

p

+ a p1 s

p −1

+ . . . . + a1 s + a 0

q ≤ p

Se define el g grado relativo de una función transferencia a la diferencia entre el número de polos y de ceros: rd = p – q. Cuando este concepto se extiende, como veremos a continuación a sistemas no lineales aparece el concepto de podría considerar el problema p inverso del control: invertibilidad de un sistema. Se p ¿Qué salida hay que aplicar a un sistema para obtener la entrada?. Se trata de invertir los papeles de las señales de entrad y salida.

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Invertibilidad de sistemas dinámicos. Concepto p de grado g relativo.

Invertibilidad de sistemas dinámicos. Concepto p de grado g relativo.

Para estudiar el problema de la invertibilidad, consideremos primero un sistema SISO de función transferencia: G(s) = Y/s)/U/s). Para G(s) se verifica que p ≥ q. Si se desae invertir el sistema hay que considerar 1/G(s) que tendrá más ceros que polos y no será realizable físicamente. Poe ejemplo el Bode aumenta sin límite p evitar este problema p se conforme aumenta la frecuencia. Si rd = p – q, para añaden rd ceros a G(s), con lo cual:

La condición de invertibilidad para sistemas lineales SISO también se puede plantear para representación en variables de estado a través del triple A,B,C A B C con dx(t)/dt = Ax + Bu con ecuación de salida y = Cx. La idea es derivar la señal de salida hasta que la señal de control aparezca en la derivada correspondiente.

r

r

{ }

Y(s)s d = srd G(s) = s d Q(s) ⇒ U(s) = P(s) ⇒ grado P(s) = grado⎡srd Q(s)⎤ r r ⎢⎣ ⎥⎦ U(s) P(s) Y(s)s d s d Q(s) La transformada inversa de Laplace de srdY(s) con condiciones iniciales nulas equivale a derivar la señal de salida y(t) rd veces. Por consiguiente, para determinar el sistema inverso de uno dado es necesario que la salida del sistema original, con grado relativo rd, es derivable rd veces.

⎧Si CB ≠ 0 ⇒ Grado relativo = 1 y& = Cx& = CAx + CBu ⇒ ⎪⎨ ⎪⎩ Si CB = 0 ⇒ Seguir derivando ⎧Si CAB ≠ 0 ⇒ Grado relativo = 2 && y = CAx& = CA2 x + CABu ⇒ ⎪⎨ g derivando ⎪⎩ Si CAB = 0 ⇒ Seguir En el primer caso se dice que el sistema es invertible con grado relativo 1 y en el segundo con grado relativo 2. Estas mismas ideas se pueden aplicar a un sistema SISO no lineal de la forma:

La condición de invertibilidad para sistemas lineales SISO también se puede plantear para representación en variables de estado a través del triple A,B,C con ecuación de salida y = Cx

x& = f ( x ) + g ( x ) u y = h(x)

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Invertibilidad de sistemas dinámicos. Concepto p de grado g relativo. Estas mismas ideas se pueden aplicar a un sistema SISO no lineal de la forma:

x& = f ( x ) + g ( x ) u y = h(x)

⎫ ⎪ ⎬ ⎪⎭

Derivando sucesivamente respecto al tiempo la ecuación de salida:

y& = ∂h( x) dx = ∂h( x) f ( x) + ∂h( x) g ( x)u ⇒ y& = L f h( x) + Lg h( x)u ∂x dt ∂x ∂x Si Lg h( x) = 0 ⇒ hay que seguir derivando: && y=

∂ ⎡⎢ L f h( x) + Lg h( x)u ⎤⎥ ⎣

∂x

⎦

⎫ ⎪ ⎬ ⎪⎭

∂ ⎡ L h( x)⎤⎥ ∂ ⎡⎢ L f h( x)⎤⎥ ∂ ⎡⎢ L f h( x) ⎤⎥ dx = ⎢⎣ f ⎦x ⎣ ⎦ ⎦ g ( x)u &= f ( x) + ⎣ ∂x ∂x ∂x dt && y = L2f h( x) + Lg L f h( x)u

De esta forma se continua la derivación hasta que la señal de salida aparezca en la derivada correspondiente

Invertibilidad de sistemas dinámicos. Concepto p de grado g relativo.

i) Lgi Lkf hj (x) =;0 1≤i ≤ m ; 1≤ j ≤ p ; 0≤ k ≤ rj −1 ⎡ r1−1 ⎢ Lg1Lf h1(x) ⎢ ii) D(x) = ⎢ : ⎢ rp−1 ⎢Lg L h (x) 1 ⎢⎣ 1 f

r −1

⎤

.. LgmLf1 h1(x) ⎥ ⎥ .. : p filas independientes en x = x0 ⎥ con "p" ⎥ rp−1 .. LgmLf h1(x)⎥ ⎥⎦

• La matriz D(x) se denomina matriz de desacoplamiento. Si D(x) es cuadrada, o sea que se eligen tantas salidas como señales de control, implica que el determinante de D(x) debe ser distinto de cero, cero o bien que D(x) debe ser invertible. • Para un sistema MIMO con “p” canales de salida y1, y2, y3, …., yp cada uno de los cuales con grado relativo ri (i = 1,2,3,…,p), el grado relativo total del sistema MIMO viene dado por: rd = r1 + r2 + r3 +…..+ rp Más adelante veremos que si la suma de los grados relativos de las salidas coinciden con la dimensión del vector de estados, D(x) es cuadrada e invertible, es posible obtener un control que convierte al sistema en lineal

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Ejemplo. j p Cálculo del grado g relativo en un sistema MIMO. Para el sistema que se indica determinar su grado relativo

⎡ x& ⎤ ⎢ 1⎥ ⎢ x& ⎥ ⎢ 2⎥ ⎢ x& ⎥ ⎢ 3⎥ ⎢ x&4 ⎥ ⎢ ⎥ x& ⎣⎢ 5 ⎦⎥

=

⎡ − x3 + x ⎤ ⎡ ⎤ ⎡0 ⎤ ⎢ 1 2⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ x x ⎥ ⎢ ⎥ ⎢1 ⎥ 1 1 3 ⎥ ⎢ ⎢ − x + x ⎥ + ⎢⎢ 1 ⎥⎥ u + ⎢ 0 ⎥ u 1 3⎥ 1 ⎢ ⎥ 2 ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ x2 ⎥ ⎢⎢ 0 ⎥⎥ ⎢0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ x 2 ⎢ x + x ⎥ ⎢ 2⎥ ⎣0 ⎦ 3 ⎦⎥ ⎣ ⎦ ⎣⎢ 5

; y ( x) =

⎡x ⎤ ⎢ 3⎥ ⎢ x4 ⎥ ⎣ ⎦

; ;

Lg1h1(x) =

∂h1(x) g = ⎡0 0 1 0 ∂x 1 ⎣⎢

⎡0⎤ ⎢ ⎥ ⎢1⎥ ∂h (x) ⎢ ⎥ 0⎤⎦⎥ ⎢ 1 ⎥ =1≠ 0 ; Lg2 h1(x) = 1 g2 = ⎡⎣⎢0 ∂x ⎢ ⎥ ⎢0⎥ ⎢x ⎥ ⎣⎢ 2 ⎦⎥

Lg 2 Lrf1−1h1( x ) ≠ 0 Lg 2 Lrf2 −1h2 ( x ) ≠ 0

Lg1h2(x) =

∂h2(x) g = ⎡0 0 0 1 ∂x 1 ⎣⎢

∂h2(x) f (x) =⎣⎢⎡0 0 0 1 ∂x

Lg2Lf h2(x) =

∂Lf h2(x) g =⎡0 1 0 0 ∂x 2 ⎣⎢

0 0 1

⎡0⎤ ⎢ ⎥ ⎢1⎥ ⎢ ⎥ ⎤ 0⎦⎥ ⎢0⎥ = 0 ⎢ ⎥ ⎢0⎥ ⎢0⎥ ⎣ ⎦

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Ejemplo. j p Cálculo del grado g relativo en un sistema MIMO. Para el sistema que se indica determinar su grado relativo

Lf h2(x) =

⎡0⎤ ⎢ ⎥ ⎢1⎥ ∂h (x) ⎢ ⎥ ⎤ 0⎦⎥ ⎢ 1 ⎥ = 0 ; Lg2h2(x) = 1 g2 = ⎣⎢⎡0 ∂x ⎢ ⎥ ⎢0⎥ ⎢x ⎥ ⎢⎣ 2 ⎥⎦

Como Lg1Lf0h2(x) = 0 y Lg2Lf0 h2(x) = 0 hay que seguir derivando.

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⎡−x3 +x ⎤ ⎢ 1 2⎥ ⎢ xx ⎥ ⎢ 12 ⎥ ∂L h (x) 0⎦⎥⎤ ⎢⎢ −x1+x3 ⎥⎥ = x2 ; Lg1Lf h2(x) = f 2 g1 =⎣⎢⎡0 ∂x ⎢ x ⎥ 2 ⎥ ⎢ ⎢ x +x2 ⎥ ⎣⎢ 5 3 ⎦⎥

0 1 0

⎡0⎤ ⎢ ⎥ ⎢1⎥ ⎢ ⎥ 0⎤⎦⎥ ⎢ 0 ⎥ = 0 ⎢ ⎥ ⎢0⎥ ⎢x ⎥ ⎣⎢ 2 ⎦⎥

Como Lg1Lf0h1(x) = 1 ≠ 0 → r1 – 1 = 0 → r1 = 1. Para el canal de salida h2(x) = x4 se verifica:

En este caso se tiene h1(x) = x3 ; h2(x) = x4 ; p = 2 con dos señales de control m = 2. Una forma rápida de calcular el grado relativo es calcular alguna de estas expresiones hasta que alguna sea distinta de cero. Entonces del exponente de Lf se calcula r1:

Lg1 Lrf1−1h1( x ) ≠ 0 Lg1 Lrf2 −1h2 ( x ) ≠ 0

Ejemplo. j p Cálculo del grado g relativo en un sistema MIMO. Para el sistema que se indica determinar su grado relativo

100

⎡ 0⎤ ⎢ ⎥ ⎢ 1⎥ ⎢ ⎥ 0⎦⎥⎤ ⎢ 0 ⎥ =1≠0 ⎢ ⎥ ⎢ 0⎥ ⎢x ⎥ ⎣⎢ 2⎦⎥

⎡0⎤ ⎢ ⎥ ⎢1⎥ ⎢ ⎥ 0⎤⎦⎥ ⎢0⎥ =1≠0 ⎢ ⎥ ⎢0⎥ ⎢0⎥ ⎣ ⎦

Como alguno de los Lg1Lfh2(x) , Lg2Lfh2(x) son distintos de cero (en este caso los dos)) entonces: 1 = r2 – 1 → r2 = 2 . Para q que los valores anteriores sean el grado g relativo asociado a las salidas se requiere además que la matriz D(x) sea no singular:

Ejemplo. j p Cálculo del grado g relativo en un sistema MIMO. Para el sistema que se indica determinar su grado relativo Puesto que al calcular los grados relativos ya se han determinado los elementos de la matriz D(x):

D ( x) =

⎡ L L0 h ( x ) ⎢ g1 f 1 ⎢ ⎢ L g L f h2 ( x ) ⎣ 1

L g 2 L0f h1 ( x ) ⎤⎥

⎥ L g 2 L f h2 ( x ) ⎥ ⎦

⎡1 0 ⎤ ⎥ ⇒ D ( x) ≠ 0 =⎢ ⎢1 1 ⎥ ⎣ ⎦

Por consiguiente el grado relativo del sistema es rd = r1 + r2 = 3, que es menor que la dimensión del sistema. • La matriz D(x) tiene cada fila asociada a un canal de salida, de forma que para tener un grado relativo asociado a cada canal, las filas deben ser independientes. Si no se cumple esta condición condición, los canales de salida están de alguna forma relacionados y por tanto no es posible definir un grado relativo del sistema MIMO. • Cuando existe grado relativo pero su valor es inferior a la dimensión del sistema se dice que existe dinámica interna. Esto significa que existen variables de estado sobre las cuales el control no puede actuar.

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Diseño del control p para sistemas MIMO. Linealización exacta entradasalida

Diseño del control p para sistemas MIMO. Linealización exacta entradasalida

Sea un sistema MIMO definido por las ecuaciones de estado en forma afín:

Sea un sistema MIMO con salida y = h(x). h(x) Consideremos un canal “j” j de salida que lo derivamos sucesivamente respecto del tiempo:

x&(t) = f ⎡⎣⎢ x(t)⎤⎦⎥ +

m

gi ⎡⎣⎢ x(t)⎤⎦⎥ ui (t) ∑ i=1

x(t) →( nx1) ; f (x) →( nx1) ; gi (x) →( nx1) ; h(x) →( px1) Si la dimensión de la salida “p” coincide con la de la entrada “m” la matriz de desacoplamiento D(x) será cuadrada D(x) →(m x m). Si además D(x) en x = x0 es no singular, g , el grado g relativo total rd debe ser menor o igual g a la dimensión del vector de estados x(t). Estas consideraciones llevan a la siguiente definición: • Un sistema no lineal MIMO con matriz de desacoplamiento cuadrada es linealizable entrada-salida entrada salida si la transformación que defina la entrad-salida entrad salida es invertible y el grado relativo coincide con la dimensión del sistema. • La relación entrada-salida se obtendrá a partir de las derivadas sucesivas de la salida, teniendo en cuenta el concepto de grado relativo. • De la relación entrada-salida se despeja la señal de control si D(x) es invertible.

y& j =

m ⎞ ∂hj (x) dx ∂hj (x) ⎛ ⎡ ⎤ m ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎜ f x(t) + ⎟⇒ y & = g x ( t ) u ( t ) = L h ( x ) + ⎜ Lgi hj (x) ⎟ui ∂x dt ∂x ⎜⎝ ⎣⎢ ⎦⎥ i=1 i ⎣⎢ ⎦⎥ i ⎟⎠ j f j ⎝ ⎠ i=1

∑

Si se continua derivando hasta el orden rj, siendo rj el grado relativo asociado al canal de salida “j” se puede escribir: r

⎡ r1 &1 ⎢ y ⎢ : ⎢ ⎢y & mrm ⎣⎢

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦⎥

=

⎡ r1 ⎤ ⎢ L f h1 ( x ) ⎥ ⎢ ⎥ : ⎢ ⎥+ ⎢ Lrm h ( x ) ⎥ ⎢ f m ⎥ ⎣ ⎦

⎡

r −1

r −1

⎤

⎡ ⎤ y&1r1 ⎤⎥ ⎢ L f1 h1 ( x ) ⎥ ⎢ L g1 L f1 h1 ( x ) .. L g m L f1 h1 ( x ) ⎥ ⎡ u1 ⎤ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ : ⎥⎥ = ⎢⎢ : : : : ⎥⎢ : ⎥ ⎥+ ⎢ ⎢ ⎥ y& mrm ⎥ ⎢⎢ L rfm h m ( x ) ⎥⎥ ⎢⎢ L g L rm −1 h m ( x ) .. L g L rm −1 h m ( x ) ⎥⎥ ⎢⎣ u m ⎥⎦ f f 1 1 ⎦⎥ ⎣

⎦

⎣⎢

⎦⎥

Definiendo un nuevo vector b(x) y el vector de entradas de la forma:

b ( x ) = ⎡⎢ L f1 h1 ( x ) L f2 h2 ( x ) .. L fm −1 hm −1 ( x ) Lrfm hm ( x ) ⎤⎥ r

r

r

⎣

T

⎦

v=

⎡ r1 &1 ⎢⎣ y

r y& 22

..

r y& mm−−11

y& mrm ⎤⎥ ⎦

⎡ r1 −1 ⎢ L g1 L f h1 ( x ) ⎢ : ⎢ ⎢ rm −1 hm ( x ) ⎢ Lg L f 1 ⎣⎢

m

⎜ Lg L f ∑ ⎜ i =1 ⎝ ⎛

⎞

r j −1

h j ( x ) ⎟⎟ui

i

⎠

⎤

.. L g m Lrf1 −1h1 ( x ) ⎥ ⎡ u ⎤ ⎥⎢ 1 ⎥ : : ⎥⎢ : ⎥ ⎥ ⎢u ⎥ rm −1 .. L g1 L f hm ( x ) ⎥ ⎢⎣ m ⎥⎦ ⎦⎥

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Diseño del control p para sistemas MIMO. Linealización exacta entradasalida r

r

y& j j = L fj h j ( x ) +

Repitiendo R iti d ell procedimiento

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⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣⎢

∑

T

De las ecuaciones anteriores se deduce la expresión p que q da la ley y de control

u = −D−1( x)b( x) + D−1( x)v ⇒ u = α ( x) + β ( x)v Para que la ley de control se pueda calcular se necesita que D(x) se invertible con dimensión igual a la del vector de estados. O lo que es lo mismo que la suma de los grados relativos de las salidas sea igual a la dimensión de x(t)

Diseño del control p para sistemas MIMO. Linealización exacta entradasalida Ob é Obsérvese que con la l nueva entrada t d “v” “ ” y con la l ley l de d control t l definida, d fi id será á necesario especificar como queda el sistema no lineal; o sea hay que considerar nuevas variables de estado z1, z2, …., zn definidas a través de la función de salida. La forma de introducir estas nuevas variables de estado que representan al sistema no lineal que se ha linealizado con las transformaciones anteriores, es considerar “m” grupos cada una de los cuales se define a través de la salida yi = hi(x) y sus derivadas hasta de orden ri -1. 1 Para entender el procedimiento se considera un caso particular:

x& (t ) = f ( x) + g1( x)u1 + g 2 ( x)u2 ⎫⎪ ⎡ y ( x) ⎤ ⎡ h ( x) ⎤ 1 ⎥=⎢ 1 ⎥ ⎥ ⎢ h ( x) ⎥ y ( x ) ⎢⎣ 2 ⎥⎦ ⎢⎣ 2 ⎥⎦

y ( x) = ⎢⎢

⎡ && y ⎤ ⎢ 1 ⎥ ⎢&&& y ⎥ ⎣ ¨2 ⎦

=

⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭

; x(t ) → (5 x1) ; m = p = 2 ; r1 = 2 ; r2 = 3

⎡ L2 h ( x ) ⎤ ⎢ f 1 ⎥ ⎢ 3 ⎥+ ⎢ L f h2 ( x ) ⎥ ⎣ ⎦

⎡ L L h ( x) ⎢ g1 f 1 ⎢ 2 ⎢ L g L f h2 ( x ) ⎣ 1

L g 2 L f h1 ( x ) ⎤⎥ ⎡ u ⎤ 1⎥ ⎥⎢ L g L2 h ( x ) ⎥ ⎢⎣ u 2 ⎥⎦ 2

f

2

⎦

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Diseño del control p para sistemas MIMO. Linealización exacta entradasalida

Diseño del control p para sistemas MIMO. Linealización exacta entradasalida

x& (t ) = f ( x) + g1( x)u1 + g 2 ( x)u2 ⎫⎪

Con la definición de variables introducida anteriormente se tiene:

⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭

⎡ y ( x) ⎤ ⎡ h ( x) ⎤ y ( x) = ⎢⎢ 1 ⎥⎥ = ⎢⎢ 1 ⎥⎥ y ( x) ⎦⎥ ⎣⎢ h2 ( x) ⎦⎥ ⎣⎢ 2 ⎡ && y ⎤ ⎢ 1 ⎥ ⎢&&& y ⎥ ⎣ ¨2 ⎦

; x(t ) → (5 x1) ; m = p = 2 ; r1 = 2 ; r2 = 3

⎡ 2 ⎤ ⎢ L f h1 ( x ) ⎥ ⎥+ ⎢ L3f h2 ( x ) ⎥ ⎣ ⎦

=⎢

⎡ L L h ( x) ⎢ g1 f 1 ⎢ 2 ⎢ L g L f h2 ( x ) ⎣ 1

L g 2 L f h1 ( x ) ⎥⎤ ⎡ u ⎤ 1⎥ ⎥⎢ L g L2 h ( x ) ⎥ ⎢ u 2 ⎥ 2

f

2

⎦

⎣

⎦

• Al ser r1 = 2 se toman como nuevas variables: z1 = y1 ; z2 = dy1/dt • Al ser r2 = 3 se toman como nuevas variables: z3 = y2 ; z4 = dy2/dt ; z5 = d2y2/dt2 Las nuevas variables de estado se definen en función de las derivadas de las salidas. Es claro que si el grado relativo del sistema MIMO no coincide con la p definir un número de variables de dimensión del vector de estados,, no es posible estado igual a la dimensión del sistema. Como se verá más adelante esta situación lleva a un sistema con dinámica cero sobre la cual no actúa el control

z&1 = z2 ⎫ ⎡ z&1 ⎤ ⎡ 0 ⎪ ⎢ ⎥ ⎢ z&2 = && y1 ⎪ ⎢ z&2 ⎥ ⎢ 0 ⎪⎪ ⎢ ⎥ ⎢ z&3 = z4 ⎬ ⇒ ⎢ z&3 ⎥ = ⎢ 0 ⎢ ⎥ z&4 = z5 ⎪⎪ ⎢ z&4 ⎥ ⎢⎢ 0 z&6 = &&& y2 ⎪⎪ ⎢⎢ z&5 ⎥⎥ ⎢⎣ 0 ⎣ ⎦ ⎭

1 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 1 0 0

0 ⎤⎥ ⎡⎢ z1 ⎤⎥ ⎡⎢ 0 0 ⎥ ⎢⎢ z2 ⎥⎥ ⎢1 ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ z3 ⎥ + ⎢ 0 ⎢ ⎥ 1 ⎥⎥ ⎢ z4 ⎥ ⎢⎢ 0 0 ⎥⎦ ⎢⎢⎣ z5 ⎥⎥⎦ ⎢⎣ 0

0 ⎤⎥ 0 ⎥ ⎡ && ⎥ y ⎤ 0 ⎥ ⎢⎢&&&1 ⎥⎥ ⇒ z& = Az + Bv y 0 ⎥⎥ ⎣ 2 ⎦ 1 ⎥⎦

Se puede comprobar que el sistema lineal así obtenido es controlable, controlable o sea:

C = ⎡⎢ B M A B M A 2 B M A 3 B M A 4 B ⎤⎥ ; rango ( C ) = 5 ⎣

⎦

Esto significa que se pueden aplicar las técnicas de control de sistemas lineales para determinar la ley de control “v”, lo lo que es lo mismo la ley de control no que viene definida en función de las derivadas de las señales de salida. En lineal q particular la técnica de colocación de polos es muy útil para definir la ley de control no lineal.

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Diseño del control p para sistemas MIMO. Linealización exacta entradasalida

Diseño del control p para sistemas MIMO. Linealización exacta entradasalida

Ejemplo Estudiar si es linealizable entrada-salida el sistema definido por: Ejemplo.

Al ser cero hay que seguir derivando para obtener:

⎡ ⎡x x2 ⎥⎤ ⎡0⎤ ⎡0⎤ &⎤ ⎢ 1⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎥ 2 ⎢x ⎥ & = − x + x3 ⎥ + 1 u1 + ⎢ 3⎥ u2 ⎢ 2⎥ ⎢ 1 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢x 3 ⎥ ⎢ 2⎥ & ⎥ ⎢ ⎢ 4⎥ ⎣ ⎦ ⎣ 3 ⎦ ⎢⎣ − x1 ⎥⎦ ⎣ ⎦

; a))

⎡x ⎤ y = h( x) = ⎢ 1 ⎥ ⎢ x2 ⎥ ⎣ ⎦

; b)

⎡x ⎤ y = h( x) = ⎢ 1 ⎥ ⎢ x3 ⎥ ⎣ ⎦

La matriz de desacoplamiento para grados relativos de las salidas r1 y r2 es: ⎡ r1−1 ⎢ Lg1 L f h1( x)

⎤ Lg2 Lrf1−1h1(x) ⎥

r2 −1 ⎢ ⎢⎣ Lg1 L f h2 ( x)

Lg2 Lrf2 −1h2 (x)⎥⎥

D(x) = ⎢

⎥ ⎦

⎡ 0⎤ ⎡ 0⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ∂h1( x) ∂h1( x) ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ Lg1h1( x) = g1 = ⎣⎢1 0 0⎦⎥ ⎢1⎥ = 0 ; Lg2 h1( x) = g2 = ⎣⎢1 0 0⎦⎥ ⎢3⎥ = 0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ∂x ∂x ⎢ 2⎥ ⎢ 4⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

L g1 L f h1 ( x ) = L f h1 ( x ) = ⎡⎢⎣1 0

∂ L f h1 ( x ) g1 ∂x ⎡ x2 ⎢

;

⎤ ⎥ 0 ⎤⎥⎦ ⎢⎢ − x1 + x32 ⎥⎥ ⎢ ⎥ 3 ⎢ − x1 ⎥ ⎣ ⎦

L f h1 ( x ) = = x2 ⇒

∂ h1 ( x ) f ( x) ∂x

∂ L f h1 ( x ) ∂x

= ⎡0 ⎢⎣

1 0 ⎤⎥⎦

⎡0 ⎤ ∂ L f h1 ( x ) ⎢ ⎥ ⎡ ⎤ L g 2 L f h1 ( x ) = g 2 = ⎢⎣ 0 1 0 ⎥⎦ ⎢ 3 ⎥ = 3 ⎢ ⎥ ∂x ⎢4 ⎥ ⎣ ⎦ De lo anterior se deduce que el grado relativo de la salida y1 = x1 es r1 = 2. Es importante tener en cuenta que en realidad el grado relativo no está definido hasta verificar que la matriz de desacoplamiento D(x) es no singular

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Diseño del control p para sistemas MIMO. Linealización exacta entradasalida

Diseño del control p para sistemas MIMO. Linealización exacta entradasalida

Para la salida y2 = x2 se obtiene:

Al ser cero hay que seguir derivando para obtener:

⎡0⎤ ⎢ ⎥ ∂h2(x) ∂h (x) Lg1h2(x) = g1 = ⎣⎢⎡0 1 0⎦⎥⎤ ⎢1⎥ =1 ; Lg2 h2(x) = 2 g2 = ⎣⎢⎡0 ⎢ ⎥ ∂x ∂x ⎢2⎥ ⎣ ⎦ La matriz de desacoplamiento para el caso a) será:

1

⎡0⎤ ⎢ ⎥ 0⎦⎥⎤ ⎢3⎥ = 3 ⎢ ⎥ ⎢4⎥ ⎣ ⎦

⎡ L L h (x) L L h (x)⎤ g f 1 g2 f 1 ⎥ ⎡1 3⎤ ⎥ ⇒ D(x) = 0 D(x) =⎢⎢ 1 0 ⎥ =⎢ 0 ⎢Lg Lf h2(x) Lg Lf h2(x)⎥ ⎢⎣1 3⎥⎦ 1 2 ⎣

⎦

Como D(x) es singular el sistema no es invertible ni linealizable entrada-salida para el caso a). Veamos ahora el caso b) con h1(x) = x1 ; h2(x) = x3. ⎡0⎤ ⎡0⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ∂h1(x) ∂h1(x) ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ Lg1h1(x) = g1 = ⎣⎢1 0 0⎦⎥ ⎢1⎥ = 0 ; Lg2 h1(x) = g2 = ⎣⎢1 0 0⎦⎥ ⎢3⎥ = 0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ∂x ∂x ⎢2⎥ ⎢4⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∂Lf h1(x) ∂h (x) g ; L h (x) = 1 f (x) ∂x 1 f 1 ∂x ⎡ x ⎤ 2 ⎥ ⎢ ∂L h (x) Lf h1(x) =⎡⎢⎣1 0 0⎤⎥⎦ ⎢⎢−x1+x32⎥⎥ = x2 ⇒ f 1 = ⎡⎢⎣0 1 0⎤⎥⎦ ∂x ⎢ 3 ⎥ ⎢ −x1 ⎥ Lg1Lf h1(x) =

⎣

∂L h (x) Lg1Lf h1(x) = f 1 g1 =⎡⎣⎢0 1 ∂x

⎦

⎡0⎤ ⎢ ⎥ 0⎤⎦⎥ ⎢1⎥ =1 ⎢ ⎥ ⎢2⎥ ⎣ ⎦

⎡0⎤ ∂Lf h1(x) ⎢ ⎥ ; Lg2Lf h1(x) = g =⎡0 1 0⎤⎦⎥ ⎢3⎥ =3 ⎢ ⎥ ∂x 2 ⎣⎢ ⎢4⎥ ⎣ ⎦

⎡0⎤ ⎡ 0⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ∂h2 ( x) ∂ h ( x ) Lg1h2 ( x) = g1 = ⎢⎣⎡0 0 1⎥⎦⎤ ⎢1⎥ = 2 ; Lg2 h2 ( x) = 1 g2 = ⎢⎣⎡0 0 1⎥⎦⎤ ⎢3⎥ = 4 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ∂x ∂x ⎢ 2⎥ ⎢ 4⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

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Diseño del control p para sistemas MIMO. Linealización exacta entradasalida

Diseño del control p para sistemas MIMO. Linealización exacta entradasalida

La matriz de desacoplamiento D(x) es no singular ya que:

Calculo de las derivadas de las salidas en función de la señal de control:

⎡ L L h ( x) g f 1 D( x) = ⎢⎢ 1 0 ⎢ Lg L f h2 ( x) ⎣ 1

Lg2 L f h1( x) ⎤⎥

⎡1 ⎢ = ⎥ Lg2 L0f h2 ( x)⎥ ⎢⎣2 ⎦

3⎥⎤ ⇒ 4⎥⎦

D( x) ≠ 0

El sistema i t para llas salidas lid del d l caso b) es linealizable li li bl entrada-salida. t d lid El proceso de linealización se lleva a cabo de la siguiente forma:

⎡ && y ⎤ ⎢ 1⎥ ⎢y & ⎥ ⎣ 2⎦

=

⎡ L2 h ( x ) ⎤ ⎢ f 1 ⎥ ⎢ ⎥ L h ( x ) ⎢ f 2 ⎥ ⎣ ⎦

L 2f h1 ( x ) = L f ⎛⎜ L f h1 ( x ) ⎞⎟ = ⎝

⎠

⎡

L g 2 L f h1 ( x ) ⎤⎥ ⎡ u ⎤ ⎢ 1⎥ 0 h ( x ) L L0 h ( x ) ⎥ ⎢ u ⎥ L L ⎢ g ⎥⎣ 2⎦ g2 f 2 f 2 1

+ ⎢⎢

L g1 L f h1 ( x )

⎣

⎦

∂ L f h1 ( x ) f ( x ) = ⎡⎢⎣ 0 1 ∂x

y1/dt • Con r1 = 2, las nuevas variables de estado son: z1 = y1 ; z2 = dy • Con r2 = 1, las nuevas variables de estado son: z3 = y2 = x3 ⎡ z& ⎤ ⎡0 1 0 ⎤ ⎡ z ⎤ ⎡0 0 ⎤ z&1 = z 2 ⎫⎪ ⎢ 1⎥ ⎢ ⎥⎢ 1⎥ ⎢ ⎥ ⎡ && y ⎤ ⎪ z& 2 = && y1 ⎬ ⇒ ⎢ z& 2 ⎥ = ⎢ 0 0 0 ⎥ ⎢ z 2 ⎥ + ⎢ 1 0 ⎥ ⎢ 1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎢ ⎥ ⎢ y& ⎥ ⎢ z& ⎥ z& 3 = y& 2 ⎪⎪ ⎢ 0 0 0 ⎥ ⎢ z3 ⎥ ⎢0 1 ⎥ ⎣ 2 ⎦ 3 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎭

⎣

⎦

⎣

⎦

A continuación hay que calcular las derivadas de las salidas en función de la señal de control a través de:

⎡ ⎤ x2 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 0 ⎤⎥⎦ ⎢ − x1 + x 32 ⎥ ⎥ ⎢ 2 ⎥ ⎢ − x1 ⎣ ⎦

= − x1 + x 32

⎡ ⎤ x2 ⎢ ⎥ ∂ h2 ( x ) ⎢ L f h2 ( x ) = f ( x ) = ⎢⎣⎡ 0 0 1 ⎥⎦⎤ ⎢ − x1 + x 32 ⎥⎥ = − x13 ∂x ⎢ ⎥ 2 ⎢ − x1 ⎥ ⎣ ⎦

⎡ && y ⎤ ⎡−x + x2 ⎤ ⎡ ⎢ 1 ⎥ = ⎢ 1 3 ⎥ + ⎢1 3 ⎥ ⎢2 ⎢y &⎥ ⎢ ⎣ 2 ⎦ ⎢⎣ −x1 ⎥⎦ ⎣

⎡ 2 1 5x3⎤ ⎡ 3⎥⎤ ⎢⎡u1 ⎥⎤ ⎢⎡u1 ⎥⎤ ⎢−2x1 + 2x3 +1.5 1.5 5 ⎥⎤ ⎡⎢ &&y1 ⎤⎥ 1 ⎥ ⎢−2 1 ⇒ =⎢ + 2⎥⎦ ⎢⎣u2 ⎥⎦ ⎢⎣u2 ⎥⎦ ⎢ x1 − x32 −0.5x13 ⎥⎥ ⎢⎣ 1 −0.5⎥⎦ ⎢⎣ y&2 ⎥⎦ ⎣

⎦

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Diseño del control p para sistemas MIMO. Linealización exacta entradasalida. Análisis de la dinámica interna.

Diseño del control p para sistemas MIMO. Linealización exacta entradasalida. Análisis de la dinámica interna.

• Si en un sistema de control no lineal la matriz D(x) es invertible, pero su grado relativo es menor que la dimensión del vector de estados (rd < n), no es posible la linalización exacta entrada-salida.

La nuevas coordenadas del subsistema linealizable se definen a partir de los grados relativos de las salidas:

• En este caso puede ser parcialmente linealizable linealizable, es decir descomponerlo en la parte linealizable de dimensión rd y en otra no linealizable de dimensión n – rd que se denomina dinámica interna. UN caso particular de la dinámica interna es la dinámica cero. cero Consideremos el siguiente ejemplo ⎡ x& ⎤ ⎢ 1⎥ ⎢ x& ⎥ ⎢ 2⎥ ⎢ x&3 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ x& 4 ⎥ ⎢ x& ⎥ ⎣⎢ 5 ⎦⎥

=

⎡ ⎤ 3 ⎢ − x1 + x 2 ⎥ ⎢ x x ⎥ 1 3 ⎢ ⎥ ⎢−x + x ⎥ + 1 3⎥ ⎢ ⎢ x2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ x + x2 ⎥ 3 ⎦⎥ ⎣⎢ 5

⎡ 0 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ 1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 1 ⎥ u1 + ⎢ ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢x ⎥ ⎣⎢ 2 ⎦⎥

; y( x) =

⎡x ⎤ ⎢ 3⎥ ⎢x ⎥ ⎣ 4⎦

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∂ h1 ( x ) f ( x ) = ⎡⎣⎢ 0 0 1 0 0 ⎤⎦⎥ f ( x ) = − x1 + x 3 ∂x ∂ h2 ( x ) L f h2 ( x ) = f ( x ) = ⎡⎣⎢ 0 0 0 1 0 ⎤⎦⎥ f ( x ) = x 2 ∂x ∂ L f h2 ( x ) f ( x ) = ⎡⎢⎣ 0 1 0 0 0 ⎤⎥⎦ f ( x ) = x1 x 3 L 2f h1 ( x ) = ∂x

L f h1 ( x ) =

=

=

⎡ − x1 + x ⎤ 3⎥ ⎢ ⎢ x1 x 3 ⎥ ⎣ ⎦

+

⎡1 ⎢ ⎢1 ⎣

0 ⎤⎥ ⎡⎢ u1 ⎤⎥ 1 ⎥⎦ ⎣⎢ u 2 ⎦⎥

;

D ( x) =

⎡1 ⎢ ⎢1 ⎣

0 ⎤⎥ 1 ⎥⎦

La dinámica interna se deduce de las ecuaciones no utilizadas del sistema original, que son la 1ª y la 5ª. Es costumbre, para evitar confusiones, renombrar las variables que forman la dinámica interna: ξ1 = x1 ; ξ2 = x5 ⎫ ξ&1 = −ξ13 + z3 ⎪ ⎬ 2 & ξ 2 = ξ 2 + z1 + z3u1 ⎪⎭

Las derivadas de las señales de salida se relacionan con las señales de control a través de la matriz de desacoplamiento D(x) de la forma: ⎡v ⎤ ⎢ 1⎥ ⎢ v2 ⎥ ⎣ ⎦

⎡ ⎤ L g 2 h1 ( x ) ⎥⎤ ⎡ u1 ⎤ y&1 ⎥⎤ ⎢ L f h1 ( x ) ⎥ ⎢⎡ Lg1 h1 ( x ) ⎢ ⎥ =⎢ 2 +⎢ ⎥ ⎢ && y ⎥ L L h ( x ) L g 2 L f h1 ( x ) ⎥⎥ ⎢⎣ u 2 ⎥⎦ ⎣ 2 ⎦ ⎢ L f h2 ( x ) ⎥ ⎢ g1 f 1 ⎡

=⎢

⎣

⎦

⎣

⎦

Calculando las matrices anteriores se obtiene:

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Diseño del control p para sistemas MIMO. Linealización exacta entradasalida. Análisis de la dinámica interna.

⎡ y& ⎤ ⎢ 1⎥ ⎢ && y ⎥ ⎣ 2⎦

⎡ z& ⎤ ⎡0 0 0 ⎤ ⎡ z ⎤ ⎡1 0 ⎤ z&1 = v1 ⎫⎪ ⎢ 1⎥ ⎢ ⎥⎢ 1⎥ ⎢ ⎥ ⎡v ⎤ ⎪ z& 2 = z 3 ⎬ ⇔ ⎢ z& 2 ⎥ = ⎢ 0 0 1 ⎥ ⎢ z 2 ⎥ + ⎢ 0 0 ⎥ ⎢ 1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎢ ⎥ ⎢v2 ⎥ ⎦ ⎢ z& ⎥ z& 3 = v 2 ⎪⎪ ⎢ 0 0 0 ⎥ ⎢ z3 ⎥ ⎢0 1 ⎥ ⎣ 3 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎭

⎡0 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢0 ⎥ u2 ⎢ ⎥ ⎢0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣0 ⎦

Para este sistema se obtuvo que los grados relativos asociados a las salidas eran: r1 = 1; r2 = 2 y además la matriz de desacoplamiento D(x) era invertible

⎡v ⎤ ⎢ 1⎥ ⎢v ⎥ ⎣ 2⎦

z1 = y1 = x 3 ; z 2 = y 2 = x 4 ; z 3 = y& 2 = x& 4 = x 2

Las variables z1 y z3 se pueden determinar del sistema lineal aplicando asignación de polos: v = - Kz

Diseño del control p para sistemas MIMO. Linealización exacta entradasalida. Dinámica interna y forma normal El ejemplo j l anterior t i se generaliza li fácilmente fá il t de d la l siguiente i i t forma: f • Sea un sistema multivariable no lineal con “m” entradas-salidas y con matriz de p D(x) ( ) no singular g y grado g relativo rd < n. Entonces el nuevo desacoplamiento vector de estados z(t) para el subsitema linealizado es rd dimensional de la forma:dz(t)/dt = Az(t) + Bv ; A → (rd x rd) ; B → (rd x m). • El vector de estados ξ(t) que define la dinámica interna es (n – rd) dimensional y viene dado por una sistema no lineal de la forma: dξ(t)/dt = Φ(ξ,z) + Ψ(ξ,z)v siendo Φ(ξ,z) y Ψ(ξ,z) vectores campo de dimensiones (n – rd) x 1 y (n – rd) x m que representan la parte no linealizable del sistema o dinámica interna interna. • Al conjunto del subsistema linealizable y no linealizable se denomina forma normal del sistema de control. • La discusión anterior se basa en tener el mismo número de entradas y salidas. En caso contrario, se pueden aumentar o disminuir el número de salidas que pueden ser elegidas p g por p el diseñador. • En el subsistema lineal las derivadas de las salidas se pueden definir de la forma: v = -Kz para que la matriz A – BK sea de Hurwitz.

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Diseño del control p para sistemas MIMO. Linealización exacta entradasalida. Dinámica interna y dinámica cero.

Linealización exacta entrada-salida. Aplicación p al control de un reactor RTCA

Concepto de dinámica cero

En forma afín, tomando como señales de control el caudal de salida y el caudal de fluido refrigerante son:

• Una vez descompuesto el sistema no lineal en el subsistemas linealizable y en la dinámica interna, la parte lineal se puede estabilizar aplicando colocación de polos o con un regulador PID. • ¿Cómo influye la dinámica interna en el subsistema lineal si es inestable?. Debido a la interacción de ambos sistemas podría suceder que no se estabilice el sistema lineal. Esto da lugar a estudiar bajo que condiciones la dinámica interna es inestable. • Se S ponen a cero todas t d las l variables i bl de d salida lid y sus derivadas d i d y se pasa a estudiar la estabilidad de la dinámica interna en estas condiciones. La dinámica interna bajo la condición de salida cero se denomina dinámica cero. La dinámica cero implica z = 0, 0 v = 0, 0 o sea: dξ(t)/dt = Φ(ξ,0). Φ(ξ 0) Si la dinámica cero así definida es asintóticamente estable, el diseño del control garantiza la estabilidad asintñótica del sistema total.

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣⎢

d V ⎤⎥ d t ⎥⎥ d C a ⎥⎥ dt ⎥ = ⎥ dT ⎥ ⎥ dt ⎥ d T j ⎥⎥ d t ⎥⎦⎥

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎛ ⎢⎜ ⎢⎝ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

Fo −α ⋅C a ⋅e − E / R T +

Fo ⋅ C ao − C a V

− Δ H r ⎟⎞ ⋅ α ⎛ ⎠ ⋅ C a ⋅ e − E / R T − U ⋅ A ⎜⎜ T − T ρ ⋅c p ρ ⋅ c p ⋅V ⎝ ⎛ ⎞ U ⋅A ⋅ ⎜ T − T j ⎟⎟ ρ j ⋅ c p j ⋅V j ⎜⎝ ⎠ ⎡ 0 ⎢ ⎢ − 1 ⎤⎥ 0 ⎢ ⎥ ⎢ 0 + 0 ⎥⎥ F + ⎢ ⎢ 0 ⎥ T jo − T ⎢ ⎢ 0 ⎥⎥⎦ V j ⎢ ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣

• Para el ejemplo anterior la dinámica cero es: dξ1(t)/dt = -ξ13 ; dξ2(t)/dt = ξ2. Es claro que en este caso la dinámica cero es inestable.

⎣⎢

BLOQUE I I Linealización exacta entrada-salida. Aplicación p al control de un reactor RTCA • Es claro que en principio sería deseable que las variables de salida estén emparejadas tuvieran grados relativos bien definidos, o sea que la matriz D(x) ((2x2)) fuera invertible y q que la suma de los grados g relativos fuera igual g a cuatro. • El calculo directo muestra que tomar como salida el volumen V(t) conlleva un grado relativo de 1, la salida Ca0 (t) da un grado relativo 2 con matriz de desacoplamiento D(x) singular. • Si se toman como salidas Cao( t) y T(t) se obtienen grados relativos 2 para cada una de las salidas con matriz de acoplamiento no singular. La elección de la temperatura del fluido refrigerante como salida aporta un grado relativo 1, por tanto para la linealización exacta entrada-salida hay que elegir la composición y la t temperatura t del d l reactor. t • Es preciso tener en cuenta que la elección de las salidas está relacionado con la estructura del control control, ya que son estas salidas las que se realimentan para generar la señal de control u(t).

⎛ ⎜ ⎝

j

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦⎥

F

j

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

⎞ ⎟ ⎠

F o ⋅ ⎜⎛ T o − T ⎝ + V

j

BLOQUE I I Linealización exacta entrada-salida. Aplicación p al control de un reactor RTCA La transformación z = T(x) es la transformación no lineal que transforma la variable x en z. De acuerdo con las consideraciones anteriores, el cambio de variables que convierte al sistema no lineal en lineal viene dado por:

z = T (x) ⇒

⎡z ⎤ ⎢ 1⎥ ⎢ z2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ z3 ⎥ ⎢z ⎥ ⎣⎢ 4 ⎦⎥

=

⎡ x − C am ⎤ ⎢ 2 ⎥ ⎢ dx dt ⎥ 2 ⎢ ⎥ ⎢ x3 − T m ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ d x3 d t ⎥ ⎣ ⎦

x(t) = ⎡⎢V(t),C V(t) Ca(t),T(t),T (t) T(t) Tj(t)⎤⎥ ⎣

⎦

Con los grados relativos de las salidas el sistema lineal queda de la forma: ⎡ z& ⎢ 1 ⎢ z& ⎢ 2 ⎢ z& 3 ⎢ ⎢ z& 4 ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

=

⎡0 ⎢ ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣⎢ 0

1 0 0 0

0 0 0 0

0 ⎥⎤ ⎡⎢ z 1 ⎤⎥ 0 ⎥ ⎢⎢ z 2 ⎥⎥ + ⎥ 1 ⎥ ⎢ z3 ⎥ ⎢ ⎥ 0 ⎥⎦⎥ ⎢ z 4 ⎥ ⎣

⎦

⎡0 ⎢ ⎢1 ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣⎢ 0

0 ⎥⎤ ⎡⎢ d 2 x 2 0 ⎥ ⎢⎢ d t 2 ⎥ 0 ⎥ ⎢ d 2 x3 ⎢ 1 ⎥⎦⎥ ⎢⎣ d t 2

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎞⎥ ⎟⎥ ⎠⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

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Linealización exacta entrada-salida. Aplicación p al control de un reactor RTCA

Linealización exacta entrada-salida. Aplicación p al control de un reactor RTCA. Aplicación del cálculo simbólico

S puede Se d comprobar b que ell par [A,B] [A B] es controlable t l bl y la l señal ñ l de d control t l que hay h que aplicar al sistema viene dada por:

• El cálculo de corchetes de corchetes de Lie se puede realizar usando cálculo simbólico. Por ejemplo:

⎡ L2 h (x) ⎤ ⎢ f 1 ⎥ − − 1 1 u(x) =−D (x)b(x) + D (x)v ⇒b(x) = ⎢ 2 ⎥; ⎢ Lf h2(x)⎥ ⎣ ⎦

⎡d 2 x v = ⎢⎢ 2 2 ⎢⎣d x3

dt d 2 ⎥⎤

⎥; dt 2 ⎥ ⎦

⎡ x3 +e−x2 ⎤ ⎢ 1 ⎥ f (x) = ⎢⎢ x23 ⎥⎥ ⎢sin x +3⎥ 3 ⎢⎣ ⎥⎦

v =−Kx

• La señal de control, al estar formada por los caudales F y Fj, debe variar de forma que los resultados que se obtengan sean razonables. No es conveniente que la oscilación de caudales sea muy grande para evitar que la válvula de control sea muy grande • Tampoco es admisible que en el transitorio del caudal alcance valores negativos, lo cual significa que el control no puede eliminar las perturbaciones. • El control tiene una forma muy complicada que junto con la no linealidad de las ecuaciones del sistema puede dar lugar a intervalos de simulación muy pequeños (< 10-5 segundos).

;

⎡−1⎤ ⎢ ⎥ g(x) = ⎢ 0 ⎥ ⎢x ⎥ ⎣⎢ 1 ⎦⎥

syms y x1 x2 x3 f = [x1^3+exp(-x2); x2^2; sin(x1)+3]; g = [-1; 0; x1]; n = 3; x = sym(zeros(1,n)); for i = 1:n x(i) = [‘x’ int2str(i)]; end LB = jacobian(g,x)*f – jacobian (f,x)*g; % Lie Breacket

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Linealización exacta entrada-salida. Aplicación p al control de un reactor RTCA. Aplicación del cálculo simbólico

Linealización exacta entrada-salida. Aplicación p al control de un reactor RTCA. Aplicación del cálculo simbólico

• Supongamos que se desea calcular la transformación de coordenadas y la ley de control no lineal para un sistema SISO:

• Supongamos que se desea calcular la transformación de coordenadas y la ley de control no lineal para un sistema SISO:

⎡ φ ( x) ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ L φ ( x) ⎥ f ⎢ ⎥ z = T ( x) = ⎢ ⎥ ......... L φ ( x) ⎢ ⎥ n − 1 ⎢ L φ ( x) ⎥ ⎢⎣ f ⎥⎦ n −1 f

T = sym(zeros(n,1)); h1 = h; T(1,1) = h; for i = 2:n+1 ( , ); dh = jjacobian(h,x); Lfh = dh*f; if i > A = [0 0; 0 0] ; B = eye(2); P = [-10+20i -10-20i]; K = place(A.,B,P); Conocida K a partir de las condiciones iniciales z1(0), z2(0) se determinan z1(t) y z2(t), (t) y por tanto se conocen las derivadas de las señales de salida y por tanto se conocen las señales de control. Conviene tener presente que en estas ecuaciones aparece cy que depende de las variables x1(t), x2(t), x4(t) y x6(t). Esto es debido a que en el sistema existe dinámica interna. Las ecuaciones son: ⎧ dξ ⎪ 1 = ξ −ξ − c x (τ )e−1 x5 (τ ) 10 1 01 1 ⎪ dτ ⎪ ⎡ξ ,ξ ,ξ ⎤ ≡ ⎡ x , x , x ⎤ ⇒ ⎪ dξ2 = −ξ + c x (τ )e−1 x5 (τ ) ⎨ 2 02 1 ⎣⎢ 1 2 3 ⎦⎥ ⎣⎢ 2 3 6 ⎦⎥ ⎪ dτ ⎪ dξ ⎪ 3 = c ξ −ξ + c ⎡ x (τ ) −ξ ⎤ 3 30 3 4 ⎣⎢ 5 3 ⎦⎥ ⎪ dτ ⎩

(

)

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Efecto de la dinámica interna en el comportamiento p auto-oscilante y caótico del reactor.

Efecto de la dinámica interna en el comportamiento p auto-oscilante y caótico del reactor.

Es importante p reconocer que q las variables zi(ζ) (i ( = 1,, 2)) deben venir expresadas p en variables de desviación: z1(ζ) = x’1(ζ) – x1s ; z2(ζ) = x’5(ζ) = x5(ζ) – x5s. Esto es debido a que el sistema en las variables zi(ζ), si la ganancia K está bien elegida es asintóticamente estable, tendiendo a cero. Sin embargo esto no tiene sentido, y se evita a través de las variables de desviación.

Los p puntos de equilibrio q se deducen de las ecuaciones algebraicas: g

El comportamiento p auto-oscilante y caótico p puede ser importante p para p estudiar varias estrategias de control. Si la reacción fuera de primer orden sin considerar el inerte M las ecuaciones del reactor se reducen a:

F0 =

F A0

ρ A0

; cy =

F0 C′ c C ′ x ; c PS = c PA ⇒ c y = A 0 xa ρ A0 F A 0 c PS PA A 0 a

⎫ dxa = x − x − c x e − 1 y ⎪ a a0 0 a dτ ⎪ ⎪ dy −1 y = y 0 − y + c1 xa e − c2 ( y − z )⎪⎬ cy dτ ⎪ ⎪ dz = c ⎛ z − z ⎞ + c y − z ⎪ ( ) ⎜ j0 ⎟ 3 4 dτ ⎝ ⎠ ⎪⎭

⎡ ⎢⎣

c1xa0 ⎤ ⎥ c0 +1⎥⎦

− c2 ( y ∗ −

0 = c 3 ⎛⎜ z j 0 − z ∗ ⎞⎟ + c 4 ( y ∗ − z ∗ ) ⎝

⎠

)

Operando se obtiene:

⎫ xa0 − xa∗ − c0 xa∗e−1 y = 0 ⎪ xa0 c2c3 ⎪ ∗ x = c = ; c c ⎬ a ∗ ∗ ⎛ ⎞ 6 − 1 y − 1 y c3 + c4 y0 − y∗ + c1xa∗e − 2 3 ⎜ y∗ − z jo ⎟ = 0⎪ 1+ c0e c3 + c4 ⎝ ⎠ ⎪ ∗

BLOQUE I I I

y0 = c7 y∗ − c6 z jo −

c1xa0 ∗ c0 + e1/ y

De la ecuación anterior se deduce que si se fija la composición de la corriente de entrada xa0 se obtiene la temperatura adimensional de la corriente de entrada en función de la temperatura adimensional de equilibrio del reactor y*.

Si y∗ →∞⇒ y0 ≈ c7 y∗ − ⎢c6 z j0 +

y∗

⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ∗ z ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭

De las ecuaciones anteriores se elimina la composición adimensional de equilibrio x*a para dar una ecuación que relaciona la temperatura y0de entrada con la temperatura de equilibrio del reactor:

Efecto de la dinámica interna en el comportamiento p auto-oscilante y caótico del reactor.

Si y∗ →0 ⇒ y0 ≈ c7 y∗ − c6 z j0 ; c7 =1+ c6

0 = y 0 − y ∗ + c1 x a∗ e − 1

y∗

⎭

BLOQUE I I I

D llas ecuaciones De i anteriores t i se deduce: d d

0 = x a 0 − x a∗ − c 0 x a∗ e − 1

Se deduce que tanto para valores pequeños como grandes de y* la ecuación tiende hacia rectas de pendiente c7 = 1 + c6.

Dependiendo del valor de xa0 es posible que para un valor fijado de la temperatura adimensional de entrada y0 el reactor tenga uno, dos o tres puntos con temperaturas de equilibrio distintas. Esta está de acuerdo con lo que se ha estudiado a través de las curvas de calor generado eliminado.

Efecto de la dinámica interna en el comportamiento p auto-oscilante y caótico del reactor. Posibilidad de obtener varios puntos de equilibrio.

BLOQUE I I I

BLOQUE I I I

Efecto de la dinámica interna en el comportamiento p auto-oscilante y caótico del reactor. Posibilidad de obtener varios puntos de equilibrio.

Efecto de la dinámica interna en el comportamiento p auto-oscilante y caótico del reactor. Posibilidad de obtener varios puntos de equilibrio.

De la figura anterior se deduce que una bifurcación se produce cuando la recta horizontal y0 = Cte es tangente a la curva y0 = f(y*,xa0). Derivando la ecuación anterior se deduce:

A partir de las ecuaciones (18) es posible obtener una zona en el plano de fases de parámetros xa0-yo en la cual el reactor alcanza comportamiento auto-oscilante. Para ello, se determina el jacobiano del sistema de ecuaciones de equilibrio del p en el punto p de equilibrio q xa*-y*, y , o sea: reactor,, particularizado

∗

dy0 c1xa0e1/ y 1/( y∗)2 = 0 ⇒c7 − =0 ∗ d∗ dy (c0 + e1/ y )2 ⎫ ⎪ ⎟ e ⎪ ⎠ ⎬ 2⎛ −1/ y∗ ⎞⎪ ∗ ∗ y0 =c7y −c6z jo −c7 y ⎜1+c0e ⎟⎪ ⎝ ⎠⎭ 2 −1/ y∗ ⎞ −1/ y∗

2 c xa0 = 7 ( y∗) ⎛⎜c0 +e c1 ⎝

De las ecuaciones anteriores se obtienen las ecuaciones parámétricas de la composición de A en la corriente de entrada y de la temperatura de entrada con parámetro y* p

( )

BLOQUE I I I

∗ ∗ ( y∗ )2 ⎛ 1 + c7 + c0 e − 1/ y ⎞⎟ ⎛⎜1 + c0 e − 1/ y ⎞⎟ ⎜ c1 ⎝ ⎠⎝ ⎠ 2

⎝

( )

∗ 2

∗

e−1/ y

( )

Los autovalores de la matriz vienen dados por la ecuación:

⎫ ⎪ ⎬ Δ = a11a22 − a12a21⎪ ⎭

λ 2 −σλ +Δ = 0

σ = −( a11 + a22 ) ;

σ =0 ; Δ>0

El sistema tiene un p par de raíces complejas p j conjugadas j g puras. p De esta forma es posible deducir una relación entre xa*, y* que sustituida en las ecuaciones de equilibrio anteriores da lugar a:

BLOQUE I I I

Efecto de la dinámica interna en el comportamiento p auto-oscilante y caótico del reactor. Posibilidad de obtener varios puntos de equilibrio.

y 0 = c7 y ∗ − c6 z j 0 − ( y ∗ ) ⎛⎜1 + c7 + c0 e − 1/ y

xa∗

⎤ ⎥ ⎥ y ⎥ xa∗ −1/ y∗ ⎥ e ⎥ −c7 + c1 ∗ 2 ⎥ y ⎦⎥

−c0

Si se verifican las condiciones:

Estas ecuaciones definen una curva de bifurcación en la que el parámetro es y*. Se comprueba que en coordenadas y0-xa0 se obtiene una curva con un punto cúspide.

xa 0 =

⎡ −1/ y∗ ⎢−1− c0e ⎢ J =⎢ ⎢ −1/ y∗∗ ⎢ c1e ⎢ ⎣⎢

∗ ⎞

⎟ ⎠

• Las ecuaciones anteriores definen una curva cerrada en forma de lóbulo. Esta figura muestra que cuando los valores de la concentración y temperatura de la corriente de entrada están dentro del lóbulo, el sistema debe ser auto-oscilante. En la figura se han representado las ecuaciones para el modelo del reactor aproximado y el exacto. Para valores de xa0 , y0 fuera del lóbulo, existe un único punto t d de equilibrio, ilib i de d forma f que sii los l autovalores t l tienen ti parte t reall negativa, ti ell reactor evolucionará a dicho punto. • Hay yq que tener en cuenta que q el tamaño del lóbulo es muy y pequeño, p q , de forma que q no es probable que los valores de xa0 , y0 estén en su interior. Por consiguiente puede ser difícil detectar el comportamiento auto-oscilante.

Efecto de la dinámica interna en el comportamiento p auto-oscilante y caótico del reactor. Zonas de auto-oscilación dentro del lóbulo.

BLOQUE I I I Efecto de la dinámica interna en el comportamiento p auto-oscilante y caótico del reactor. Parte real e imaginaria de los autovalores de la curva-lóbulo

BLOQUE I I I Efecto de la dinámica interna en el comportamiento p auto-oscilante y caótico del reactor. Condición de auto-oscilación • En la figura de las zonas de auto auto-oscilación oscilación se muestra que el lóbulo del sistema exacto está comprendido dentro del lóbulo del sistema aproximado, y que la curva interior de los puntos cúspide son casi coincidentes para los dos sistemas. • En la figura anterior se indica como varían los autovalores del sistema exacto en función de la temperatura adimensional de la corriente de entrada a lo largo del lóbulo. Se comprueba que prácticamente la parte real de los autovalores es cero y de que existe un intervalo de valores de y0 para los que corresponden dos frecuencias de auto-oscilación.

Para que se e la condición de autooscilación se debe de cumplir:

Δ = − ⎛⎜1+ c0e−1 y

∗⎞

⎝

⎟ ⎠

2

σ =0 ; Δ>0

2 ∗ cc xa0 ∗ ∗ ⎛ −1 y∗ ⎞ c e + c0c1 xa 2 e−2 y > 0 ⇒ 0 12 e−2 y > 1 + ⎜ ⎟ 0 ⎛ −1 y∗ ⎞ ⎝ ⎠ ⎜1+ c0e ⎟ ( y∗ ) ( y∗ )

⎝

BLOQUE I I I Dinámica regular g auto-oscilante y caótica sin control. Condición de autooscilación • Los resultados anteriores muestran que es posible elegir un punto de consigna y determinar los valores de xa0, y0 que les corresponden a partir de las ecuaciones de equilibrio. • Si estos puntos están á ffuera d dell lóbulo lób l y de d la l zona que abarca b la l curva con punto cúspide a partir del punto de retroceso, entonces el punto de equilibrio es único, y será estable si los autovalores del sistema particularizados en dicho punto t ti tienen parte t reall negativa. ti • Se puede operar de forma más fácil eligiendo un punto (xa0 , y0) fuera del lóbulo y de la curva cúspide p (Dentro ( de la zona de la curva cúspide p aparecen p tres puntos p de equilibrio (por ejemplo los puntos P1, P2, P3) y determinar el punto de equilibrio que le corresponde así como sus autovalores. • Si todos los autovalores tienen parte real negativa negativa, el único punto de equilibrio existente será asintóticamete estable. • Por tanto es posible operar el reactor sin control. Sin embargo este tipo de operación ió tiene i una aplicabilidad li bilid d limitada, li i d ya que en muchos h casos no es posible ibl conseguir un punto de equilibrio con todos los autovalores con parte real negativa.

⎠

BLOQUE I I I Dinámica regular g auto-oscilante y caótica sin control. Estabilidad del ciclo límite En la figura se muestran los resultados obtenidos tomando: xa0 = 5, y0 = 0.0295, que están fuera del lóbulo y de la curva cúspide (véase figura). El punto d equilibrio de ilib i obtenido bt id es:

xae = 0.8025 0 8025 ; xbe = 0.9277 0 9277 xce = 3.0504 ; xme = 1 ye = 0.03452 0 03452 ; ze = 0.03417 0 03417 ⎡−0.0062 −3.5224 0 ⎤ ⎢ ⎥ J =103 ⎢ 0 −0.0073 00073 0.0146 0 0146 ⎥ ⎢ 0 0.1320 −0.1520⎥⎦ ⎣

Los autovalores asociados a la matriz jacobiana J son: -0.65 ± 2.91j, -164.25 y por tanto el punto de equilibrio es estable. Obsérvese como se alcanzan las temperaturas de equilibrio

BLOQUE I I I Dinámica regular g auto-oscilante y caótica sin control. Estabilidad del ciclo límite • Se comprueba que el sistema alcanza el punto de consigna sin fuertes oscilaciones y que además la concentración del reactante A no llega a hacerse oscilaciones, cero, lo cual favorece la evolución de la reacción. • El estado estacionario se alcanza en un tiempo adimensional de 7, y teniendo en cuenta las ecuaciones adimensionales y los valores de la tabla, se deduce que una unidad de tiempo adimensional equivale a 1.18118 unidades de tiempo real en horas. • Por tanto el estado estacionario se alcanza en 8.26 horas, tiempo que se puede considerar normal en un proceso de arranque para este tipo de reactores • La figura anterior muestra claramente que la temperatura del reactor está siempre por encima de la temperatura del fluido refrigerante en la camisa, con lo cual la transmisión de calor se produce siempre del reactor al refrigerante, de acuerdo con el proceso de eliminación de calor en una reacción exotérmica. exotérmica • La composición del reactor va al valor que le corresponde, lo cual al igual que con las temperaturas del reactor y la camisa no implica la presencia de señales de control. • La composición de inerte xm va a la unidad como debe ser.

BLOQUE I I I Dinámica regular g auto-oscilante y caótica sin control. Estabilidad del ciclo límite

BLOQUE I I I Dinámica regular g auto-oscilante y caótica sin control. Estabilidad del ciclo límite Considérese otro caso para valores distintos xa0, y0. Para xa0 = 5, y0 = 0.0285, que están dentro del lóbulo y fuera de la curva cúspide (curvas punto cúspide y autooscilación). El punto de equilibrio y la matriz Jacobiana J que le corresponde es:

xae = 1.3642 ; xbe = 0.9421 xce = 2.6422 ; xme = 1 ye = 0.03373 ; ze = 0.03349

⎡−0.0037

3⎢

J =10 ⎢ ⎢ ⎣

0 0

−3.1948 0 ⎤ ⎥ −0.0081 0 0081 0.0145 0 0145 ⎥ 0.1320 −0.1520⎥⎦

• Los L autovalores t l en ell punto t de d equilibrio ilib i son: 0.27 0 27 ± 1.65j, 1 65j -164.27, 164 27 y por ttanto t ell único punto de equilibrio es inestable, lo cual implica que el sistema debe autooscilar, ya que al no haber ningún punto de equilibrio estable y ser la energía del sistema finita finita, las temperaturas y composiciones deben estar acotadas acotadas. • Esta situación puede no ser muy útil en la práctica, ya que las composiciones de equilibrio vienen determinadas por los valores de xa0, y0, y por tanto no es posible seleccionar a priori un punto de consigna deseado. • No son posibles variaciones arbitrarias en el punto de consigna lo cual limita mucho la operación del reactor. • Los comportamientos auto-oscilantes tienen interés económico en ciertos casos

BLOQUE I I I Dinámica regular g auto-oscilante y caótica sin control. Estabilidad del ciclo límite

BLOQUE I I I

BLOQUE I I I

Dinámica regular g auto-oscilante y caótica sin control. Estabilidad del ciclo límite • La figura muestra el comportamiento auto-oscilante. En la siguiente figura se indica la frecuencia de auto-oscilación en función de las p posibles temperaturas p adimensionales correspondientes a puntos de equilibrio deducidos a partir de las ecuaciones del lóbulo y el ciclo límite correspondiente. • Con objeto de verificar si el ciclo límite obtenido de periodo T es estable, estable se determina la matriz de monodromía, la cual viene definida por: M = Φ(T) siendo Φ(t,xL ) la matriz transición de estados y xL el vector de estados con valores en el ciclo límite límite.

d Φ ⎛⎜ τ , x L ⎞⎟ ⎝ ⎠ = J ⎛ x ⎞ Φ ⎛ τ, x ⎞ ⎜ L ⎟ ⎜ L ⎟⎠ ⎝ ⎠ ⎝ dτ • J(xL) el jacobiano del sistema formado por las variables xa, y, z, más una variable adicional para hacer el sistema autónomo. • Nótese que las variables xa, y, z, son suficientes para definir la dinámica del sistema, ya que las variables xb, xc, xm se determinan de forma unívoca a partir de las anteriores.

BLOQUE I I I Los resultados utilizando el método de integración de Runge-Kutta de 4º para Φ(T) ( ) y los correspondientes p autovalores muestran que q el ciclo límite es estable

0⎤⎥ 0⎥⎥ 0⎥⎥ 1 ⎥⎦

λ i = ⎡⎢0.9657 6.8517.10 −2 − 8.2708.10 −19 1⎤⎥ ⎣

λi >1 para algún i

El cálculo de la matriz de monodromía conlleva los siguientes pasos a) Simular el sistema no lineal para obtener la solución periódica p de la trayectoria y a lo largo g de un periodo. p b)) Calcular el jjacobiano en cada punto c) Resolver la ecuación diferencial del Jacobiano desde un instante cualquiera t0 hasta t0 + T d) El valor de Φ(t0 +T) será la matriz buscada. Es importante que en el proceso de cálculo hayan desaparecido los transitorios y que en el intervalo de cálculo (t0, t0 +T) el sistema sea completamente periódico

BLOQUE I I I

Dinámica regular g auto-oscilante y caótica sin control. Estabilidad del ciclo límite

1.1276.103 1.0701.102 − 2 −44.3131.10 3131 10 −44.1572.10 1572 10−3 −4.9122.10−2 −4.7167.10−3 0 0

• La matriz transición de estados verifica: Φ(0) = I , siendo I la matriz identidad de di dimensiones i (4x4). (4 4) • Si la matriz transición de estados es (nxn), la matriz de monodromía M(T) tiene n valores propios; uno de ellos es igual a +1 y el resto determina la estabilidad del ciclo límite de acuerdo con: - Ciclo límite estable si todos tienen módulo menor que uno - Ciclo límite inestable si hay alguno con módulo mayor que uno:

λi 0 ; 2x1s > x1(0). Razonando de forma similar para la salida x5, se obtiene una desigualdad equivalente, o sea:

ω≥

x&5 (τa ) ± x5 (τa ) ⎛⎜ 2x5s − x5 (τa ) ⎞⎟ ⎝

⇒ x5 (τa ) > 0 ; 2x5s > x5 (τa )

⎠

Por consiguiente para tener comportamiento auto-oscilante, de las desigualdades anteriores se deduce:

ω > max

⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪± ⎪ ⎩

x&1 ( τ a ) x1 ( τ a ) ⎛⎜ 2 x1s ⎝

−

x1 ( τ a ) ⎞⎟ ⎠

,

x&5 ( τ a ) ± x5 ( τ a ) ⎛⎜ 2 x5 s − ⎝

⎫ ⎪ ⎪ ⎬ x5 ( τ a ) ⎞⎟ ⎪⎪ ⎠ ⎭

• En la figura siguiente se muestra que el sistema oscila porque los valores de xa0 = 5, y0 = 0.0285 están dentro del lóbulo. • A partir del instante τ = 10 unidades de tiempo el reactor deja de auto-oscilar y pasa a u un nuevo ue o estado osc oscilatorio. ato o El valor a o de ω se to toma a 1,2 , de del valor a o dado po por el e máximo de la ecuación anterior. • De esta forma es posible que el reactor controlado pase de un r´ñegimen oscilatorio a otro • También se muestra otro caso en el que el sistema oscila caóticamente, tal como ya se analizó. • Se comprueba que a partir del instante τ = 100, el reactor abandona el comportamiento caótico y va a un ciclo límite. • Este tipo de comportamiento dinámico puede tener aplicación en la fabricación de determinados polímeros con unas propiedades superficiales dadas. s de destaca destacar que este co comportamiento po ta e to es muy uy d difícil c de obte obtener e co con u un • Es control convencional del tipo PID.

BLOQUE I I I Dinámica auto-oscilante g generada por p la señal de control

BLOQUE I I I Linealización exacta entrada-salida tomando como salidas: y1 = h1((x)) = x3 ; y2 = h2(x) = x5. En este caso solo hay que calcular el grado relativo asociado a la salida x3 . En este caso es fácil comprobar que:

∂h1(x) g = ⎡0 0 1 0 0 0⎤⎦ g1 = 0 por lo l que hay h que seguir i derivando. d i d ∂x 1 ⎣ El siguiente cálculo de las derivadas ∂h (x) Lg2 h1(x) = 1 g2 = ⎡⎣0 0 1 0 0 0⎤⎦ g2 = 0 de Lie da la matriz D(x): ∂x Lg1h1(x) =

∂Lf h1(x) −1/ x g =c e 5 ≠0 1 ∂x 1 02 ∂L h (x) c x −1/ x Lg Lf h1(x) = f 1 g2 = 02 1 e 5 ≠0 2 cy x5 ∂x Lg Lf h1(x) =

⎡ −1/x ⎢c e 5 D(x) =⎢ 02 ⎢ ⎢⎣ 0

c02 x1 −1/x5 ⎤ e ⎥ cy x52 ⎥ 1/ cy

• Por consiguiente el grado relativo asociado a la salida x3 es r1 = 2. • La ecuación que relaciona las derivadas de las salidas con las señales de control viene dada por:

⎥ ⎥⎦

BLOQUE I I I

BLOQUE I I I

Linealización exacta entrada-salida tomando como salidas: y1 = h1((x)) = x3 ; y2 = h2(x) = x5.

Linealización exacta entrada-salida tomando como salidas: y1 = h1((x)) = x3 ; y2 = h2(x) = x5.

La ecuación que relaciona las derivadas de las salidas con las señales de control viene dada por:

El sistema es controlable,, por p tanto,, al igual g que q en el caso anterior,, utilizando colocación de polos, es posible elegir una realimentación del estado de la forma:

⎡ && y ⎤ ⎢ 1⎥ ⎢y & ⎥ ⎣ 2⎦

=

⎡ 2 ⎤ ⎢ L f h1 ( x ) ⎥ ⎢ ⎥+ ⎢ L h ( x)⎥ 2 f ⎣⎢ ⎦⎥

⎡ − 1/ x5 ⎢c e ⎢ 02 ⎢ ⎢ 0 ⎣⎢

c02 x1 − 1/ x5 ⎤ ⎥ ⎡u ⎤ cy x2 e ⎥⎢ 1⎥ 5 ⎥ 1/ cy

⎡ && x ⎤ ⎡K ⎢ 3 ⎥ = ⎢ 11 ⎢ x& ⎥ ⎢ K ⎣ 5 ⎦ ⎣⎢ 21

⎢u ⎥ ⎥⎣ 2⎦ ⎦⎥

A partir de la ecuación anterior pueden calcularse las señales de control en función de las derivadas de las salidas. Puesto que el grado relativo total es de r = r1 + r2 = 3 < 6, el sistema tiene dinámica interna asociada. Las derivadas de las salidas se determinan a partir de la realimentación del estado de la forma:

z&1 = z2 ⎫⎪ ⎡⎢ z&1 ⎤⎥ ⎡⎢0 1 0⎤⎥ ⎡⎢ z1 ⎤⎥ ⎡⎢0 0⎤⎥ ⎡ ⎤ && x z&2 = && x3 ⎪⎬ ⇒ ⎢ z&2 ⎥ = ⎢0 0 0⎥ ⎢ z2 ⎥ + ⎢1 0⎥ ⎢ 3 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢x &⎥ z&3 = x&5 ⎪⎪ ⎢ z&3 ⎥ ⎢⎣0 0 0⎥⎦ ⎢ z3 ⎥ ⎢⎣0 1⎥⎦ ⎣ 5 ⎦ ⎣

⎭

⎦

⎣

λ I − A + BK = K11

El sistema es controlable, por tanto, al igual que en el caso anterior, utilizando colocación de polos, es posible elegir una realimentación del estado de la forma:

⎣

⎦

tal que la matriz A – BK sea de Hurwitz. Para especificar los valores de Kij se pueden aplicar varios procedimientos. Por ejemplo fijar los polos deseados de p la fórmula de Ackerman. Sin embargo, g , si se quiere q lazo cerrado y aplicar comportamiento oscilante, se pueden buscar los valores de las Kij para que la matriz A – BK tenga un par de autovalores complejos conjugados puros, o sea

λ

⎦

⎡z ⎤ K12 K13 ⎤⎥ ⎢ 1 ⎥ ⎢z ⎥ K 22 K 23 ⎥⎥ ⎢ 2 ⎥ ⎦⎢z ⎥ 3

K 21

−1 0 λ + K12 K13 = ( λ + a ) ⎛⎜ λ 2 + ω 2 ⎞⎟ ⎝ ⎠ K 22 λ + K 33

Por inspección se deduce que tomando la matriz K de la forma:

BLOQUE I I I

BLOQUE I I I

Linealización exacta entrada-salida tomando como salidas: y1 = h1((x)) = x3 ; y2 = h2(x) = x5.

Linealización exacta entrada-salida tomando como salidas: y1 = h1((x)) = x3 ; y2 = h2(x) = x5.

Por inspección se deduce que tomando la matriz K de la forma:

• Las constantes A, B vienen dadas por ecuaciones análogas a las vistas para las salidas x1 y x5. • A partir de las ecuaciones del reactor teniendo en cuenta que la 4ª ecuación no y en ninguna g de las otras,, y haciendo la sustitución de variables: influye

K

⎡ 2 = ⎢ω ⎢ 0 ⎣

⎡ 0 1 0⎤ 0 0 ⎥⎤ ⇒ A − BK = ⎢⎢−ω 2 0 0 ⎥⎥ ⎢ ⎥ 0 a ⎥⎦ ⎢ 0 0 −a ⎥

⎡ z& ⎤ ⎡ 0 ⎢ 1⎥ ⎢ ⎢ z& ⎥ = ⎢−ω2 ⎢ 2⎥ ⎢ ⎢ z& ⎥ ⎢ 0 ⎣ 3⎦ ⎣

⎣

Por consiguiente las ecuaciones en l variables las i bl zi se reducen d a:

⎦

z&1 = z2 ⎫ 1 0 ⎥⎤ ⎢⎡ z1 ⎥⎤ ⎪ 0 0 ⎥⎥ ⎢ z2 ⎥ ⇒ z&2 =−ω2z1⎬⎪ ⎢ ⎥ 0 −a⎥ ⎢ z3 ⎥ z&3 =−az3 ⎪⎪ ⎦⎣

⎦

&& x 3 = − ω 2 x 3 ⎫⎪ ⎬ x& 5 = − a x 5 ⎪ ⎭

⎭

A partir de la discusión relativa a las salidas x1, x5 la solución del sistema viene d d por las dado l ecuaciones: i

x3 (τ ) = x3s +

τa)−

⎛ ⎜ x3 ( ⎝

x3s ⎞⎟ ⎠

(

2

+

x&32 (τ a )

ω2

)

sen(ωτ + arctg ( B / A))

x5 (τ ) = x5 s + x5 (τ a ) − x5 s e − aτ

x1 → ξ1 ; x2 → ξ2 ;

⎧ d ξ1 −1/ x (τ ) ⎪ = −ξ1 − coξ1e 5 + u1 ⎪ d τ ⎪ ⎪ dξ 2 = −ξ − ξ − c ξ e−1/ x5 (τ ) x6 → ξ3 ⇒ ⎪⎨ 20 2 o1 1 d τ ⎪ ⎪ dξ ⎪ 3 = c (ξ − ξ ) + c ⎛ x (τ ) − ξ ⎞ ⎪ dτ 3 60 3 4 ⎜⎝ 5 3 ⎟⎠ ⎪⎩

Que constituyen las ecuaciones de la dinámica interna. Para saber si la dinámica interna tiene comportamiento oscilatorio, habrá que estudiar la forma de la señal de control u1 . Para ello, de la ecuación de las derivadas de las salidas en función de la matriz D(x) y de las señales de control se deduce:

BLOQUE I I I

BLOQUE I I I

Linealización exacta entrada-salida tomando como salidas: y1 = h1((x)) = x3 ; y2 = h2(x) = x5.

Linealización exacta entrada-salida tomando como salidas: y1 = h1((x)) = x3 ; y2 = h2(x) = x5.

Derivadas de las señales de salida con g grados relativos 2 y 1 respectivamente: p

Operando en la segunda ecuación y sustituyendo en la d2y1/dt2 t se obtiene:

− 1 / x5 && y 1 = L 2f h1 ( x ) + c 0 2 e u1 +

c 0 2 x1 − 1 / x 5 ⎫ e u2 ⎪ cy x2 ⎪⎪ 5 ⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎭

− 1 / x5 y& 2 = L f h 2 ( x ) + 1 e u2 cy

Las derivadas de Lie del vector campo f(x) a lo largo de las direcciones h1 (x) y h2(x) son:

L f h1( x) = − x3 + c02 x1e−1/ x5 L2f h1( x) =

⎡ ⎤ ∂L f h1( x) c f ( x) = ⎢⎢c02e−1/ x5 0 −1 0 022 c02 x1e−1/ x5 0⎥⎥ f ( x) ∂x x5 ⎢⎣ ⎥⎦

Operando en la segunda ecuación y sustituyendo en la d2y1/dt2 t se obtiene:

BLOQUE I I I

−ω 2 x3 = c02 e +

− 1/ x5 ⎡ − 1/ x5 ⎤ ⎢ u1 − x1 − c0 x1e ⎥+ ⎣ ⎦

x3 − c02 x1e

(

c02 x1 − 1/ x5 ⎡ − 1/ x5 e − c 2 x5 − x 6 ⎢ x50 − x5 + c1 x1e cy x2 ⎣ 5

− 1/ x5

)⎤⎥⎦

Teniendo en cuenta las ecuaciones del reactor la ecuación anterior se simplifica: ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ f (x) = ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ 1 cy ⎢ ⎢ ⎢⎣

⎤ ⎥ ⎥ −1/ x5 ⎥ x20 − x2 −c01x1⋅e ⎥ ⎥ −x3 +c02x1⋅e−1/ x5 ⎥ ⎥ x4o − x4 ⎥ ⎥ ⎛ ⎞⎥ −1/ x5 −c2(x5 − x6)⎟⎟⎥ ⎜⎜ −x5 + c1x1e ⎝ ⎠⎥ ⎥ c3(x6o − x6) +c4(x5 − x6) ⎥⎦

−x1 −c0x1e−1/ x5

( )

( )

x&(τ ) = f x(τ ) + g1(x)u1 + g(x)u2 ⎫ ⎪⎪ ⎬ 1/ cy 0⎤⎦⎥ ⎪ ⎪⎭

g1T ( x) = ⎡⎣⎢1 0 0 0 0 0⎤⎦⎥ g2T ( x) = ⎡⎣⎢0 0 0 0

BLOQUE I I I

Linealización exacta entrada-salida tomando como salidas: y1 = h1((x)) = x3 ; y2 = h2(x) = x5.

Linealización exacta entrada-salida tomando como salidas: y1 = h1((x)) = x3 ; y2 = h2(x) = x5.

Teniendo en cuenta las ecuaciones del reactor la ecuación anterior se simplifica:

Teniendo en cuenta la ecuación en u 1, las ecuaciones de la dinámica interna se reducen a:

c0 2 e

− 1/ x5

x&1 = x& 3 − ω 2 x 3 −

c 0 2 x1 − 1/ x5 e x& 5 cy x2 5

De las ecuaciones anteriores se deduce la señal de control buscada::

u1 = x1 + c0 x1e −

1/ x5

+

x&3 − ω 2 ( x3 − x3 s ) c02 e

− 1/ x5

x − 1 12 x&5 cy x 5

• Se observa que la señal de control depende de las derivadas de las salidas, las cuales se fijan a partir de las variables zi, o bien fijando los polos deseados de lazo cerrado, que determinan la matriz K. • En este último caso el sistema no será oscilante, llevándolo el control al punto de consigna deseado. • Teniendo en cuenta la ecuación de u1 , las ecuaciones de la dinámica interna se reducen a:

d ξ 1 x& 3 − ω 2 ( x 3 − x 3 s ) 1 x1 = − x& − 1 / x5 cy x2 5 dτ c0 2 e 5 dξ2 − 1 / x 5 (τ ) = − ξ 2 0 − ξ 2 − c 0 1ξ 1 e dτ dξ3 = c 3 ( ξ 6 0 − ξ 3 ) + c 4 ⎛⎜ x 5 (τ ) − ξ 3 ⎞⎟ ⎝ ⎠ dτ De las ecuaciones de la dinámica inversa es fácil deducir q que en estado estacionario las variables ξ1(τ), ξ2(τ) son oscilatorias. En efecto, para τ → ∞ se verifica que x5(∞) = x5s, dx5(∞)/dτ = 0, y la primera ecuación es de la forma:

d ξ1 = K 1s e nω τ + K dτ

2

cosω τ

BLOQUE I I I

BLOQUE I I I

Linealización exacta entrada-salida tomando como salidas: y1 = h1((x)) = x3 ; y2 = h2(x) = x5.

Linealización exacta entrada-salida tomando como salidas: y1 = h1((x)) = x3 ; y2 = h2(x) = x5.

• Si ξ1(τ) es oscilatoria oscilatoria, lo será ξ2(τ) , y por tanto el resto de las componentes del sistema oscilan. Nótese que este comportamiento solo se puede conseguir con una señal de control de la forma anteriormente considerada, la cual a su vez depende de la forma particular con que se ha elegido a la matriz K K. • Conviene tener presente que como en el caso anterior el valor de ω debe verificar la siguiente condición para: para x3(τ) > 0 y 2x3s > x3(τa)

ω≥

• Es interesante destacar que hasta ahora no se ha analizado si la dinámica inversa es estable o no. Los resultados nos pueden llevar a creer que p q el sistema es estable

x& 3 ( τ a ) ⎛ ⎜ ⎝

± x3 ( τ a ) 2 x3 s − x3 ( τ a )

• Hay que simular a más tiempo si no se está seguro de la estabilidad de la dinámica interna

⎞ ⎟ ⎠

• Estas restricciones se cumplen casi siempre en la práctica práctica, ya que cuando se aplica la ley de control siempre hay componente x3 como producto producido por la reacción.

• Usar un mayor esfuerzo de control con valores mayores de los polos de l lazo cerrado d

• En la figura siguiente se muestra un resultado de la simulación cuando se aplica una ley de control obtenida a partir de la ecuaciones anteriores.

BLOQUE I I I

BLOQUE I I I

Linealización exacta entrada-salida tomando como salidas: y1 = h1((x)) = x3 ; y2 = h2(x) = x5.

Linealización exacta entrada-salida tomando como salidas: y1 = h1((x)) = x3 ; y2 = h2(x) = x5.

En este caso se fijan unos polos de lazo cerrado a partir de un coeficiente de amortiguamiento equivalente δ = 0.5 y un tiempo de establecimiento de ts = 3. Los polos de lazo cerrado se calculan a partir de:

t s = 4 .6

δω n

r1,2 = − δ ω n ± j ω n 1 − δ

2

r3 = − 6 δ ω n Señales de control. Se comprueba b que se obtiene el valor adecuado de estado estacionario

BLOQUE I I I Análisis del funcionamiento de un reactor RTCA con reacción exotérmica de pseudo primer orden con control no lineal. Modelo del reactor