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Curso de MODELAMIENTO, SIMULACIÓN Y CONTROL Asistido con Matlab y Simulink

Melanio A. Coronado H. I.Q.

Universidad del Atlántico 2015

PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA Se trata de un sistema de dos tanques reactores en serie en donde se requiere el control de la concentración de reactivo en el segundo tanque. Se propone el diseño del controlador mediante varios procedimientos de sintonización, partiendo del modelamiento de los elementos que integran el lazo cerrado de control (sistema, sensor de concentración y válvula) y mediante la utilización de la herramienta Simulink insertada dentro de la plataforma de Matlab.

SISTEMA Considere el sistema mostrado en la Figura 1. En cada uno de los tanques se lleva a cabo la reacción 𝐴 → 𝐸. La expresión de velocidad de reacción es:

𝑟(𝑡) = 𝑘𝐶𝐴 (𝑡) [=]

𝑙𝑏𝑚𝑜𝑙 𝑔𝑎𝑙 ∗ 𝑚𝑖𝑛

Donde 𝑘 es el constante de velocidad de reacción en 𝑚𝑖𝑛−1 y 𝑐𝐴 es la concentración en [𝑙𝑏𝑚𝑜𝑙⁄𝑔𝑎𝑙 ]. Las perturbaciones de este proceso son 𝑓𝑖 (𝑡) y 𝑐𝐴,𝑖 (𝑡). La concentración en el segundo reactor es controlada manipulando el flujo 𝑓𝐴 (𝑡) de una corriente pura de 𝐴 que entra al primer reactor. La densidad de esta corriente es 𝜌𝐴 en [𝑙𝑏𝑚𝑜𝑙⁄𝑔𝑎𝑙 ]. La temperatura en cada reactor puede ser asumida constante.

CC

CT

V1 fA(t)

cA,1(t) f1(t)

V2

fi(t) cA,i(t) cA,2(t)

f2(t)

Figura 1. Sistema de dos reactores en serie - Lazo de control de concentración

Los siguientes datos de diseño son conocidos: 𝑉1 = 500 𝑔𝑎𝑙

Volumen de los reactores:

𝑉2 = 500 𝑔𝑎𝑙 Constantes de velocidad de reacción:

𝑘1 = 0,25 𝑚𝑖𝑛−1 𝑘2 = 0,5 𝑚𝑖𝑛−1 𝜌𝐴 = 2 𝑙𝑏𝑚𝑜𝑙⁄𝑔𝑎𝑙

Propiedades de la corriente 𝐴:

𝑊𝐴 = 25 𝑙𝑏⁄𝑙𝑏𝑚𝑜𝑙 𝑐𝐴,𝑖 = 0,8 𝑙𝑏𝑚𝑜𝑙⁄𝑔𝑎𝑙 ;

Condiciones de diseño:

𝑓𝑖 = 50 𝑔𝑎𝑙 ⁄𝑚𝑖𝑛 ; 𝑓𝐴 = 50 𝑔𝑎𝑙 ⁄𝑚𝑖𝑛

SENSOR/TRANSMISOR El sensor/transmisor de la concentración de A en el reactor 2 es de una dinámica de primer orden y con un rango de medida de concentraciones de 0.05 a 0.5 lbmol/gal.

FILTRO - CONVERTIDOR El filtro convertidor del valor deseado de la concentración de A en el reactor 2 es de una dinámica de solo ganancia con un valor igual al del sensor/transmisor.

VÁLVULA DE CONTROL La válvula de control funciona con una caída de presión constante de 10 psi (∆𝑃𝑉 = 10 𝑝𝑠𝑖) y se selecciona para una sobrecapacidad del 100 %. La característica de flujo de la válvula puede ser línea, de igual porcentaje o de abertura rápida. Para ésta última, se puede asumir una válvula de tipo raíz cuadrada con la ecuación:

𝐶𝑣 (𝑣𝑝) = 𝐶𝑣,𝑚𝑎𝑥 √𝑣𝑝

La válvula de control tiene un desempeño con un atraso dinámico de 0.5 minutos.

CONTROLADOR PID El controlador se sintoniza para simular el desempeño del lazo de control con las acciones proporcional, proporcional – integral y proporcional – integral – derivativo, considerando una estructura ideal y una estructura en paralelo.

Procedimientos de sintonización Se desarrollan procedimientos de sintonización en lazo cerrado y en lazo abierto. Además se utilizará la herramienta SISOTOOL insertada dentro de la plataforma de Matlab

1. MODELAMIENTO MATEMÁTICO DEL SISTEMA CONSIDERACIONES De acuerdo al planteamiento del problema se establecen las siguientes consideraciones:

  

Volumen constante en los reactores (nivel de líquido constante) Temperatura constante en los reactores Densidad invariante.

El que la temperatura sea constante, implica que el estado energético se mantiene invariante y, por lo tanto, el modelo de transporte de materia a través de los tanques se reduce a los balances de cada una de las especies A y E incluidas en la reacción química.

BALANCES DE MATERIA El principio de la conservación de la materia aplicado a cada una de las especies se puede plantear con las ecuaciones de balance que a continuación se expresan para el componente A y para la masa global.

BALANCES DE MATERIA EN EL REACTOR 1  Balance de la especie A El balance dinámico de la especie reaccionante A, incluyendo su rapidez de consumo es:

𝜌𝐴 𝑓𝐴 (𝑡) + 𝑐𝐴,𝑖 (𝑡)𝑓𝑖 (𝑡) − 𝑐𝐴,1 (𝑡)𝑓1 (𝑡) − 𝑉1 𝑘1 𝑐𝐴,1 (𝑡) =

𝑑(𝑉1 𝑐𝐴,1 (𝑡)) 𝑑𝑡

(1)

 Balance global El balance dinámico global de materia es la rapidez de acumulación igual a la diferencia entre los flujos molares de entradas y los flujos molares de salida, así:

𝜌𝐴 𝑓𝐴 (𝑡) + 𝜌𝑖 𝑓𝑖 (𝑡) − 𝜌1 𝑓1 (𝑡) =

𝑑(𝑉1 𝜌1 )

(2)

𝑑𝑡

Siendo 𝜌𝐴 , 𝜌𝑖 𝑦 𝜌1 las densidades de las corrientes de entrada y salida, respectivamente, 𝑙𝑏

en el reactor 1 en unidades de (𝑔𝑎𝑙). La consideración de la densidad invariante se plantea con la ecuación que establece la igualdad de las densidades de las corrientes de entrada y salida así:

𝜌𝐴 = 𝜌𝑖 = 𝜌1

(2a)

Entonces, la ecuación (2) se transforma a:

𝑓𝐴 (𝑡) + 𝑓𝑖 (𝑡) − 𝑓1 (𝑡) =

𝑑𝑉1

(3)

𝑑𝑡

La consideración del volumen constante transforma las ecuaciones (1) y (3) a las siguientes formas:

𝜌𝐴 𝑓𝐴 (𝑡) + 𝑐𝐴,𝑖 (𝑡)𝑓𝑖 (𝑡) − 𝑐𝐴,1 (𝑡)𝑓1 (𝑡) − 𝑉1 𝑘1 𝑐𝐴,1 (𝑡) = 𝑉1

𝑑𝑐𝐴,1 (𝑡)

(4)

𝑑𝑡

𝑓1 (𝑡) = 𝑓𝐴 (𝑡) + 𝑓𝑖 (𝑡)

(5)

Sustituyendo la ecuación (5) en la ecuación (4) resulta la siguiente ecuación diferencial:

𝜌𝐴 𝑓𝐴 (𝑡) + 𝑐𝐴,𝑖 (𝑡)𝑓𝑖 (𝑡) − 𝑐𝐴,1 (𝑡)𝑓𝐴 (𝑡) − 𝑐𝐴,1 (𝑡)𝑓𝑖 (𝑡) − 𝑉1 𝑘1 𝑐𝐴,1 (𝑡) = 𝑉1

𝑑𝑐𝐴,1 (𝑡) 𝑑𝑡

(6)

La ecuación (6) expresa la dinámica del reactor 1 con respecto a la variación de la concentración de A. Se entiende que en el desempeño de este tanque influyen los cambios

en las variables correspondientes a los flujos de las corrientes de entrada 𝑓𝐴 (𝑡) y 𝑓𝑖 (𝑡) y a la concentración 𝑐𝐴,𝑖 (𝑡)

BALANCES DE MATERIA EN EL REACTOR 2  Balance de la especie A El balance dinámico de la especie reaccionante A, incluyendo su rapidez de consumo es:

𝑐𝐴,1 (𝑡)𝑓1 (𝑡) − 𝑐𝐴,2 (𝑡)𝑓2 (𝑡) − 𝑉2 𝑘2 𝑐𝐴,2 (𝑡) =

𝑑(𝑉2 𝑐𝐴,2 (𝑡)) 𝑑𝑡

(7)

 Balance global El balance dinámico global de materia es la diferencia entre los flujos de entradas y los flujos de salida, así:

𝜌1 𝑓1 (𝑡) − 𝜌2 𝑓2 (𝑡) =

𝑑(𝑉2 𝜌2 )

(8)

𝑑𝑡

Siendo 𝜌1 𝑦 𝜌2 las densidades de las corrientes de entrada y salida, respectivamente, en 𝑙𝑏

el reactor 2 en unidades de (𝑔𝑎𝑙). La consideración de la densidad invariante se plantea con la ecuación que establece la igualdad de las densidades de las corrientes de entrada y salida así:

𝜌1 = 𝜌2

(8a)

Entonces, la ecuación (8) se transforma a:

𝑓1 (𝑡) − 𝑓2 (𝑡) =

𝑑𝑉2 𝑑𝑡

(9)

La consideración del volumen constante transforma las ecuaciones (1) y (3) a las siguientes formas:

𝑐𝐴,1 (𝑡)𝑓1 (𝑡) − 𝑐𝐴,2 (𝑡)𝑓2 (𝑡) − 𝑉2 𝑘2 𝑐𝐴,2 (𝑡) = 𝑉2

𝑑𝑐𝐴,2 (𝑡) 𝑑𝑡

𝑓2 (𝑡) = 𝑓1 (𝑡)

(10) (11)

Sustituyendo la ecuación (11) en la ecuación (10) resulta la siguiente ecuación diferencial:

𝑐𝐴,1 (𝑡)𝑓1 (𝑡) − 𝑐𝐴,2 (𝑡)𝑓1 (𝑡) − 𝑉2 𝑘2 𝑐𝐴,2 (𝑡) = 𝑉2

𝑑𝑐𝐴,2 (𝑡) 𝑑𝑡

(12)

La ecuación (12) expresa la dinámica del reactor 2 con respecto a la variación de la concentración de A. Se entiende que en el desempeño de este tanque influyen los cambios en las variables correspondientes al flujo de la corriente de entrada 𝑓1 (𝑡) y a la concentración 𝑐𝐴,1 (𝑡) El modelo matemático para el transporte de materia a través del sistema conformado por los dos reactores lo constituyen las ecuaciones no lineales (6) y (12). Se tienen dos variables de salida 𝑐𝐴,1 (𝑡) y 𝑐𝐴,2 (𝑡) y tres variables de entrada 𝑓𝐴 (𝑡), 𝑓𝑖 (𝑡) y 𝑐𝐴,𝑖 (𝑡). La variable 𝑓1 (𝑡) es de salida para el primer reactor y de entrada para el segundo reactor.

CONDICIONES EN ESTADO ESTACIONARIO Los valores en estado estacionario de las variables determinantes del estado de cada reactor se hallan considerando que la rapidez de cambio de la variable de salida (derivada de la concentración con respecto al tiempo) en cada uno de ellos es igual a cero.

 ESTADO ESTACIONARIO – REACTOR 1 Las ecuaciones (4) y (5) al aplicarlas para el estado estacionario dan las siguientes ecuaciones para calcular la concentración de A en el reactor 1 y el flujo de la corriente de salida en el mismo reactor. (El superíndice SS significa estado estacionario):

Flujo de salida:

𝑓1 𝑆𝑆 = 𝑓𝐴 𝑆𝑆 + 𝑓𝑖 𝑆𝑆

Concentración de A:

𝑐𝐴,1 𝑆𝑆 =

𝜌𝐴 𝑓𝐴 𝑆𝑆 +𝐶𝐴,𝑖 𝑆𝑆 𝑓𝑖 𝑆𝑆 𝑓1 𝑆𝑆 +𝑉1 𝑘1

(13) (14)

Sustituyendo, en las ecuaciones (13) y (14), los valores dados en el planteamiento del problema se obtienen los siguientes valores para las condiciones en el estado estacionario en el reactor 1.

𝑓1 𝑆𝑆 = 50 + 50 = 100 𝑔𝑎𝑙/𝑚𝑖𝑛 (2 𝑐𝐴,1 𝑆𝑆 =

𝑔𝑎𝑙 𝑔𝑎𝑙 𝑙𝑏𝑚𝑜𝑙 𝑙𝑏𝑚𝑜𝑙 ∗ 50 𝑚𝑖𝑛 + 0,8 ∗ 50 𝑚𝑖𝑛) 𝑙𝑏𝑚𝑜𝑙 𝑔𝑎𝑙 𝑔𝑎𝑙 = 0,622 𝑔𝑎𝑙 𝑔𝑎𝑙 (100 𝑚𝑖𝑛 + 500 𝑔𝑎𝑙 ∗ 0,25 𝑚𝑖𝑛−1 )

 ESTADO ESTACIONARIO – REACTOR 2 Las ecuaciones (10) y (11) al aplicarlas para el estado estacionario dan las siguientes ecuaciones para calcular la concentración de A en el reactor 2 y el flujo de la corriente de salida en el mismo reactor. (El superíndice SS significa estado estacionario):

Flujo de salida: Concentración de A:

𝑓2 𝑆𝑆 = 𝑓1 𝑆𝑆 𝐶𝐴,2 𝑆𝑆 =

𝐶𝐴,1 𝑆𝑆 𝑓1 𝑆𝑆 (𝑓2 𝑆𝑆 +𝑉2 𝑘2 )

(15) (16)

Sustituyendo, en las ecuaciones (13) y (14), los valores dados en el planteamiento del problema se obtienen los siguientes valores para las condiciones en el estado estacionario en el reactor 1.

𝑓2 𝑆𝑆 = 100 𝑔𝑎𝑙/𝑚𝑖𝑛

0,622 𝑐𝐴,2 𝑆𝑆 =

𝑔𝑎𝑙 𝑙𝑏𝑚𝑜𝑙 ∗ 100 𝑚𝑖𝑛 𝑔𝑎𝑙

𝑔𝑎𝑙 100 𝑚𝑖𝑛 + 500 𝑔𝑎𝑙 ∗ 0,5 𝑚𝑖𝑛−1

= 0,177

𝑙𝑏𝑚𝑜𝑙 𝑔𝑎𝑙

SOLUCIÓN DEL MODELO MATEMÁTICO La solución de las ecuaciones diferenciales (6) y (12) que constituyen el modelo matemático del sistema de los dos reactores en serie requiere de la fijación de los valores de las variables de entrada. Un análisis sencillo del desempeño del sistema es posible realizar haciendo un cambio en el valor en el estado estacionario de una de las variables de entrada manteniendo constante el valor en estado estacionario de las otras dos variables de entrada. En la siguiente sección se desarrolla la solución numérica del modelo matemático valiéndose de la herramienta SIMULINK insertada dentro de la plataforma de Matlab, como recurso de simulación dinámica de un sistema.

PRÁCTICA 1. SIMULACIÓN DEL SISTEMA NO LINEAL SIMULACIÓN DINÁMICA DEL REACTOR 1 La dinámica del reactor 1 expresada mediante la ecuación diferencial (6) se desarrolla, resolviéndola con la ayuda de Simulink y con el diagrama de bloques mostrado en la Figura 2.

Figura 2. Diagrama de bloques de la ecuación (6) – Modelo matemático para el reactor 1

DESCRIPCIÓN DEL DIAGRAMA DE BLOQUES Variables de Entrada y Variables de Salida Las variables de entrada se ingresan con botones (Step) que simulan cambios pasos y las variables de salida se capturan con botones (Scope) que despliegan los perfiles gráficos de su variación con el tiempo. Debajo de cada uno de los anteriores se escriben leyendas que ilustran las variables que representan. Dentro de las ventanas de especificaciones, el parámetro Step time se fija con un valor de cero para que simule un cambio paso, el valor inicial (Initial value) de cada una de las variables es el valor en estado estacionario sin unidades (50 gal/min, 50 gal/min y 0.8 lbmol/gal) y el valor final (Final value) será el mismo o diferente según que en la simulación se proponga mantener constante el valor de la variable o hacerle un cambio a un valor aumentado o disminuido

Parámetros del sistema Los parámetros del sistema (Densidad de A, Volumen del reactor 1 y constante de velocidad de reacción en el reactor 1) se ingresan con botones (Constant) que especifican valores constantes de acuerdo al planteamiento del problema (2 lbmol/gal, 500 gal y 0.25 min-1).

Diagrama de bloques El diagrama de bloques mostrado en la Figura 2 es la construcción modulada de la ecuación diferencial (6) que se inicia con una información de entrada (variables y parámetros), realiza el conjunto de operaciones que elaboran cada uno de los términos de la ecuación hasta completar el miembro izquierdo, continúa con la integración que estima el valor de la variable de salida (Concentración de A en el reactor 1) y las correspondientes recirculaciones que completan los términos de la ecuación diferencial

Bloque Integrador El bloque integrador se encarga de hacer la integración numérica que calcula los sucesivos valores de la concentración de A en el reactor para cada uno de los tiempos definidos en el procedimiento de solución de la ecuación diferencial. El valor inicial (Initial condition) de la concentración de A requerido para iniciar el proceso numérico de solución es el valor en estado estacionario, es decir, 0.622 lbmol/gal. El tiempo de simulación es, por defecto, 10 minutos.

RESPUESTA DINÁMICA DEL REACTOR 1 La respuesta dinámica del reactor 1 se puede observar, gráficamente, haciendo correr el diagrama de bloques elaborado, durante un tiempo fijado y cambiando los valores en estado estacionario de las variables de entrada.

RESPUESTA PASO – FLUJO DE LA CORRIENTE DE A Para observar la variación de la concentración de A en el reactor 1 cuando es perturbada la variable flujo de la corriente de A, se simula un cambio paso en esta última variable de 50 gal/min (Initial value) 55 gal/min (Final value). La Figura 3 muestra la respuesta del reactor ante tal perturbación paso.

Figura 3. Respuesta del reactor 1 – Cambio paso en el flujo de A

Se observa un perfil monotónico estable con un comportamiento transitorio durante, aproximadamente, 10 minutos y un valor último en la concentración de A de 0.626, aproximadamente. Un cambio paso 5 gal/min en el flujo de A produce un cambio en el estado del reactor desde una concentración inicial de 0.622 lbmol/gal hasta una concentración de 0.653 gal/min.

RESPUESTA PASO – FLUJO DE LA CORRIENTE i Para observar la variación de la concentración de A en el reactor 1 cuando es perturbada la variable flujo de la corriente i, se simula un cambio paso en esta última variable de 50 gal/min (Initial value) a 55 gal/min (Final value). La Figura 4 muestra la respuesta del reactor ante tal perturbación paso. Se observa un perfil monotónico estable con un comportamiento transitorio durante, aproximadamente, 10 minutos y un valor último en la concentración de A de 0.653, aproximadamente. Un cambio paso 5 gal/min en el flujo de la corriente i produce un cambio en el estado del reactor desde una concentración inicial de 0.622 lbmol/gal hasta una concentración de 0.626 gal/min.

Figura 4. Respuesta del reactor 1 – Cambio paso en el flujo de la corriente i

RESPUESTA PASO – CONCENTRACIÓN DE A EN LA CORRIENTE i Para observar la variación de la concentración de A en el reactor 1 cuando es perturbada la concentración de A la corriente i, se simula un cambio paso en esta última variable de 0.8 lbmol/gal (Initial value) a 1.0 lbmol/gal (Final value). La Figura 5 muestra la respuesta del reactor ante tal perturbación paso. Se observa un perfil monotónico estable con un comportamiento transitorio durante, aproximadamente, 10 minutos y un valor último en la concentración de A de 0.653, aproximadamente. Un cambio paso 0.2 lbmol/gal en la concentración de A en la corriente i produce un cambio en el estado del reactor desde una concentración inicial de 0.622 lbmol/gal hasta una concentración de 0.666 gal/min.

ASIGNACIÓN Se deja como ejercicio para el estudiante, la simulación de la dinámica del reactor 1 haciendo cambios pasos de mayor magnitud, en cada una de las variables de entrada, tanto por encima como por debajo del valor que le corresponde, a cada una de ellas, en el estado estacionario. El objetivo de lo anterior es analizar el desempeño del reactor y determinar si la magnitud de

los cambios pasos en las variables de entrada muestra cambios notorios en la respuesta del reactor.

Figura 5. Respuesta del reactor 1 – Cambio paso en la concentración de A en la corriente i

SIMULACIÓN DINÁMICA DEL REACTOR 2 La dinámica del reactor 2 expresada mediante la ecuación diferencial (12) se desarrolla, resolviendo a ésta junto con la ecuación diferencial (6), con la ayuda de Simulink y con el diagrama de bloques mostrado en la Figura 6. En el bloque integrador, se especifica como valor inicial para la concentración de A en el reactor 2, el correspondiente a su estado estacionario, es decir, 0.177 lbmol/gal. El diagrama de bloques del reactor se elabora a continuación del construido para el reactor 1 porque las variables de salida de éste son las variables de entrada del reactor 2. Los puertos de entrada (Puerto 1 – Flujo de Salida Reactor 1 y Puerto 2 – Concentración de A Reactor 1) y los puertos de salida (Puerto 1 – Flujo de salida Reactor 2 y Puerto 2 – Concentración de A Reactor 2) son insertados por el simulador al crear el subsistema. Los diagramas de bloque elaborados para resolver las ecuaciones (6) y (12) son encerrados en sendos subsistemas denominados REACTOR 1 y REACTOR 2 para simplificar la construcción dentro del espacio de trabajo de Simulink. La Figura 7 muestra el diagrama de

bloques con el cual se simula la dinámica del sistema constituido por dos reactores en serie no interactuantes.

Figura 6. Diagrama de bloques de la ecuación (12) – Modelo matemático para el reactor 2

Figura 7. Diagrama de bloques – Sistema de dos reactores en serie no interactuantes

RESPUESTA DINÁMICA DEL REACTOR 2 La respuesta dinámica del reactor 2 se puede observar, gráficamente, haciendo correr el diagrama de bloques elaborado, durante un tiempo fijado y cambiando los valores en estado estacionario de las variables de entrada. En el Figura 7 se observa un botón Scope con una leyenda en su parte inferior Concentración de A Reactor 1 – Reactor2 que se ha conectado a un botón Mux por donde se recogen las respuestas de ambos reactores y se mostrarán gráficamente para efectos de comparación de las dinámicas de los dos reactores.

RESPUESTA PASO – FLUJO DE LA CORRIENTE DE A Para observar la variación de la concentración de A en el reactor 2 cuando es perturbada la variable flujo de la corriente de A, se simula un cambio paso en esta última variable de 50 gal/min (Initial value) a 300 gal/min (Final value). La Figura 8 muestra los perfiles gráficos de las concentraciones de A en ambos reactores.

Figura 8. Respuesta del reactor 2 – Cambio paso en el flujo de A

Se nota que el reactor muestra un comportamiento monotónico estable y alcanza un valor último de, aproximadamente, 0.24 lbmol/gal. Es notoria la inflexión en el perfil que le da una forma de S itálica, esto es característico de sistemas con dinámicas de orden mayor que el primero.

RESPUESTA PASO – FLUJO DE LA CORRIENTE i Para observar la variación de la concentración de A en el reactor 2 cuando es perturbada la variable flujo de la corriente de A, se simula un cambio paso en esta última variable de 50 gal/min (Initial value) a 300 gal/min (Final value). La Figura 9 muestra los perfiles gráficos de las concentraciones de A en ambos reactores.

Figura 9. Respuesta del reactor 2 – Cambio paso en el flujo de la corriente i

Se nota que ambos reactores muestran un comportamiento monotónico estable y se diferencian en el tiempo que demora cada uno en alcanzar su nuevo estado estacionario. El primer reactor (perfil amarillo) muestra una dinámica más rápida que la que muestra el segundo reactor viendo, sobre las gráficas, el tiempo que aproximadamente alcanzan un perfil lineal sostenido. Además, los aumentos que se alcanzan, en cada reactor, con respecto a sus valores estacionarios son notoriamente grandes en virtud del considerable aumento en el flujo de la corriente i.

RESPUESTA PASO – CONCENTRACIÓN DE A EN LA CORRIENTE i Para observar la variación de la concentración de A en el reactor 1 cuando es perturbada la concentración de A la corriente i, se simula un cambio paso en esta última variable de 0.8

lbmol/gal (Initial value) a 1.8 lbmol/gal (Final value). La Figura 10 muestra la respuesta del reactor ante tal perturbación paso.

Figura 10. Respuesta del reactor 2 Cambio paso en la concentración de A en la corriente i

Se observa un perfil monotónico estable con un comportamiento transitorio durante un cierto tiempo. Para el segundo reactor se nota una inflexión característica de sistemas con dinámicas con atrasos de cierta magnitud. Un cambio paso 1.0 lbmol/gal en la concentración de A en la corriente i produce un cambio en el estado del reactor 2 desde una concentración inicial de 0.177 lbmol/gal hasta una concentración de 0.24 lbmol/gal.

RESPUESTA PASO – VARIACIÓN DE LOS FLUJOS Al simular cambios pasos en cualquiera de las variables de entrada, los flujos de salida de cada uno de los reactores se mantienen constantes e iguales al resultado de sumar los flujos volumétricos de las corrientes de entrada al primer reactor. Para el caso en que los flujos de entrada se mantengan en sus valores en estado estacionario (50 gal/min) y se produzca un

cambio en la concentración de A en la corriente i, el perfil gráfico del flujo de salida del reactor 2 es una línea horizontal sobre la ordenada de 100 como se muestra en la Figura 11.

Figura 11. Perfil del flujo de salida del reactor 2.

2. LINEALIZACIÓN DEL MODELO MATEMÁTICO Las ecuaciones (6) y (12) son no lineales porque algunos de sus términos son no lineales. La linealización de éstos, mediante una expansión truncada en serie de Taylor es:

De la ecuación (6):

𝑆𝑆

𝑐𝐴,𝑖 (𝑡)𝑓𝑖 (𝑡) = 𝑐𝐴,𝑖 𝑆𝑆 𝑓𝑖 𝑆𝑆 + 𝑐𝐴,𝑖 𝐹𝑖 (𝑡) + 𝑓𝑖 𝑆𝑆 𝐶𝐴,𝑖 (𝑡) 𝑆𝑆

𝑐𝐴,1 (𝑡)𝑓𝐴 (𝑡) = 𝑐𝐴,1 𝑆𝑆 𝑓𝐴 𝑆𝑆 + 𝑐𝐴,1 𝐹𝐴 (𝑡) + 𝑓𝐴 𝑆𝑆 𝐶𝐴,1 (𝑡) 𝑆𝑆

𝑐𝐴,1 (𝑡)𝑓𝑖 (𝑡) = 𝑐𝐴,1 𝑆𝑆 𝑓𝑖 𝑆𝑆 + 𝑐𝐴,1 𝐹𝑖 (𝑡) + 𝑓𝑖 𝑆𝑆 𝐶𝐴,1 (𝑡)

Siendo los símbolos en mayúsculas para los flujos y las concentraciones, las variables desviación correspondientes.

𝑆𝑆

De la ecuación (12): 𝑐𝐴,1 (𝑡)𝑓1 (𝑡) = 𝑐𝐴,1 𝑆𝑆 𝑓1 𝑆𝑆 + 𝑐𝐴,1 𝐹1 (𝑡) + 𝑓1 𝑆𝑆 𝐶𝐴,1 (𝑡) 𝑆𝑆

𝑐𝐴,2 (𝑡)𝑓1 (𝑡) = 𝑐𝐴,2 𝑆𝑆 𝑓1 𝑆𝑆 + 𝑐𝐴,2 𝐹1 (𝑡) + 𝑓1 𝑆𝑆 𝐶𝐴,2 (𝑡)

Sustituyendo las expansiones anteriores de cada uno de los términos no lineales en las ecuaciones (6) y (12) y restándole a estos resultados las respectivas ecuaciones en estado estacionario se obtienen las siguientes ecuaciones lineales:

𝑉1

𝑑𝐶𝐴,1 (𝑡)

𝑉1 𝑘1 +𝑓𝑖 𝑆𝑆 +𝑓𝐴 𝑆𝑆

𝑑𝑡

𝑉2

𝑑𝐶𝐴,2 (𝑡)

𝑉2 𝑘2 +𝑓𝑖

𝑆𝑆

+𝑓𝐴

𝑆𝑆

𝑑𝑡

+ 𝐶𝐴,1 (𝑡) =

+ 𝐶𝐴,2 (𝑡) =

𝜌𝐴 −𝑐𝐴,1 𝑆𝑆 𝐹 (𝑡) 𝑉1 𝑘1 +𝑓𝑖 𝑆𝑆 +𝑓𝐴 𝑆𝑆 𝐴

𝑐𝐴,1 𝑆𝑆 −𝑐𝐴,2 𝑆𝑆 𝑉2 𝑘2 +𝑓𝑖

𝑆𝑆

+𝑓𝐴

𝑆𝑆

+

𝐹𝐴 (𝑡) +

𝑐𝐴,𝑖 𝑆𝑆 −𝑐𝐴,1 𝑆𝑆 𝐹 (𝑡) 𝑉1 𝑘1 +𝑓𝑖 𝑆𝑆 +𝑓𝐴 𝑆𝑆 𝑖

𝑐𝐴,1 𝑆𝑆 −𝑐𝐴,2 𝑆𝑆 𝑉2 𝑘2 +𝑓𝑖

𝑆𝑆

+𝑓𝐴

𝑆𝑆

+

𝐹𝑖 (𝑡) +

𝑓𝑖 𝑆𝑆 𝐶 (𝑡) 𝑉1 𝑘1 +𝑓𝑖 𝑆𝑆 +𝑓𝐴 𝑆𝑆 𝐴,𝑖

𝑓𝑖 𝑆𝑆 + 𝑓𝐴 𝑆𝑆

𝐶 (𝑡) 𝑉2 𝑘2 +𝑓𝑖 𝑆𝑆 +𝑓𝐴 𝑆𝑆 𝐴,1

(17)

(18)

Las ecuaciones (17) y (18) se pueden escribir en términos con significado dinámico de la siguiente forma.

𝜏1

𝑑𝐶𝐴,1 (𝑡) 𝑑𝑡

+ 𝐶𝐴,1 (𝑡) = 𝐾1 𝐹𝐴 (𝑡) + 𝐾2 𝐹𝑖 (𝑡) + 𝐾3 𝐶𝐴,𝑖 (𝑡)

(19)

𝜏2

𝑑𝐶𝐴,2 (𝑡) 𝑑𝑡

+ 𝐶𝐴,2 (𝑡) = 𝐾4 𝐹𝐴 (𝑡) + 𝐾5 𝐹𝑖 (𝑡) + 𝐾6 𝐶𝐴,1 (𝑡)

(20)

Siendo los atrasos dinámicos y las ganancias proporcionales dadas por las siguientes expresiones:

𝑉1

𝜏1 = 𝑉

𝑆𝑆 𝑆𝑆 1 𝑘1 +𝑓𝑖 +𝑓𝐴

𝐾1 =

𝜌𝐴 −𝑐𝐴,1 𝑆𝑆 𝑉1 𝑘1 +𝑓𝑖

𝑆𝑆

+𝑓𝐴

𝑆𝑆 −𝑐

𝑐

𝑆𝑆

𝑆𝑆

𝐾2 = 𝑉𝐴,𝑖𝑘 +𝑓 𝑆𝑆𝐴,1 +𝑓 𝑆𝑆 1 1

𝑖

𝐴

𝑓𝑖 𝑆𝑆

𝐾3 = 𝑉

𝑉2

𝜏2 = 𝑉

𝑆𝑆 𝑆𝑆 2 𝑘2 +𝑓𝑖 +𝑓𝐴

𝐾4 = 𝐾5 =

𝑐𝐴,1 𝑆𝑆 −𝑐𝐴,2 𝑆𝑆 𝑉2 𝑘2 +𝑓𝑖 𝑆𝑆 +𝑓𝐴 𝑆𝑆

𝑐𝐴,1 𝑆𝑆 −𝑐𝐴,2 𝑆𝑆 𝑉2 𝑘2 +𝑓𝑖 𝑆𝑆 +𝑓𝐴 𝑆𝑆

𝑓𝐴 𝑆𝑆 + 𝑓𝑖 𝑆𝑆

𝑆𝑆 𝑆𝑆 1 𝑘1 +𝑓𝑖 +𝑓𝐴

𝐾6 = 𝑉

2 𝑘2 +𝑓𝑖

𝑆𝑆 +𝑓 𝑆𝑆 𝐴

Las ecuaciones (19) y (20) representan el modelo matemático del transporte de materia a través del sistema de los dos reactores en serie, con sus términos no lineales aproximados a términos lineales. Las ecuaciones están escritas en la forma estándar utilizada en dinámica de sistemas y, por lo tanto, se resaltan los parámetros correspondientes como sus atrasos y las ganancias de cada variable de salida con respecto a cada una de las variables de entrada que la afectan. Los valores numéricos de dichos parámetros, calculados con las correspondientes ecuaciones, son los siguientes.

𝜏1 =

𝐾1 =

𝐾2 =

𝐾3 =

𝑉1 𝑉1 𝑘 1 + 𝑓 𝑖

𝑆𝑆

𝑆𝑆

=

500 = 2.22 𝑚𝑖𝑛 (500)(0.25) + 50 + 50

𝑆𝑆

=

2 − 0.622 𝑙𝑏𝑚𝑜𝑙/𝑔𝑎𝑙 = 0.00612 (500)(0.25) + 50 + 50 𝑔𝑎𝑙/𝑚𝑖𝑛

+ 𝑓𝐴

𝑆𝑆

=

0.8 − 0.622 𝑙𝑏𝑚𝑜𝑙/𝑔𝑎𝑙 = 0.00079 (500)(0.25) + 50 + 50 𝑔𝑎𝑙/𝑚𝑖𝑛

+ 𝑓𝐴

𝑆𝑆

=

50 = 0.222 (500)(0.25) + 50 + 50

+ 𝑓𝐴

𝜌𝐴 − 𝑐𝐴,1 𝑆𝑆 𝑉1 𝑘 1 + 𝑓 𝑖

𝑆𝑆

+ 𝑓𝐴

𝑐𝐴,𝑖 𝑆𝑆 − 𝑐𝐴,1 𝑆𝑆 𝑉1 𝑘 1 + 𝑓 𝑖

𝑆𝑆

𝑓𝑖 𝑆𝑆 𝑉1 𝑘 1 + 𝑓 𝑖

𝑆𝑆

𝑉2

𝜏2 =

𝑉2 𝑘 2 + 𝑓 𝑖

𝐾4 =

𝐾5 =

𝐾6 =

𝑆𝑆

+ 𝑓𝐴

𝑆𝑆

=

𝑐𝐴,1 𝑆𝑆 − 𝑐𝐴,2 𝑆𝑆 𝑉2 𝑘 2 + 𝑓 𝑖

𝑆𝑆

+ 𝑓𝐴

𝑆𝑆

𝑐𝐴,1 𝑆𝑆 − 𝑐𝐴,2 𝑆𝑆 𝑉2 𝑘 2 + 𝑓 𝑖

𝑆𝑆

+ 𝑓𝐴

𝑆𝑆

𝑓𝐴 𝑆𝑆 + 𝑓𝑖 𝑆𝑆 𝑉2 𝑘 2 + 𝑓 𝑖

𝑆𝑆

+ 𝑓𝐴

𝑆𝑆

500 = 1.428 𝑚𝑖𝑛 (500)(0.5) + 50 + 50

=

0.622 − 0.177 𝑙𝑏𝑚𝑜𝑙/𝑔𝑎𝑙 = 0.00126 (500)(0.5) + 50 + 50 𝑔𝑎𝑙/𝑚𝑖𝑛

=

0.622 − 0.177 𝑙𝑏𝑚𝑜𝑙/𝑔𝑎𝑙 = 0.00126 (500)(0.5) + 50 + 50 𝑔𝑎𝑙/𝑚𝑖𝑛

=

50 + 50 = 0.286 (500)(0.5) + 50 + 50

De la ecuación (19) se deduce que la variación de la concentración de A en el reactor 1 depende de los flujos volumétricos de las corrientes de entrada y de la concentración de A en la corriente i y que tiene un comportamiento dinámico de primer orden. De la ecuación (20) se deduce que la variación de la concentración de A en el reactor 2 depende de los flujos volumétricos de las corrientes de entrada al reactor 1 y de la concentración A de salida del mismo reactor. Haciendo una combinación de las ecuaciones (19) y (20) para eliminar la concentración de A en el reactor 1 se obtiene la siguiente ecuación:

𝜏1 𝜏2

𝑑2 𝐶𝐴,2 (𝑡) 𝑑𝑡 2

+ (𝜏1 + 𝜏2 )

𝑑𝐶𝐴,2 (𝑡) 𝑑𝑡

+ 𝐶𝐴,2 (𝑡) = 𝜏1 𝐾4

𝑑𝐹𝐴 (𝑡) 𝑑𝑡

+ 𝜏1 𝐾5

𝑑𝐹𝑖 (𝑡) 𝑑𝑡

(𝐾4 + 𝐾1 𝐾6 )𝐹𝐴 (𝑡) + (𝐾5 + 𝐾2 𝐾6 )𝐹𝑖 (𝑡) + 𝐾3 𝐾6 𝐶𝐴,𝑖 (𝑡)

+

(21)

La ecuación (21) expresa que la dinámica del reactor 2 con respecto a las variables de entrada de todo el sistema (reactor 1):

  

Es de segundo orden Depende del cambio que ocurra en las variables de entrada y de las rapideces de cambio de los flujos volumétricos de entrada El atraso efectivo del sistema es el promedio geométrico entre los atrasos dinámicos estimados para cada reactor, es decir, 𝜏 = √𝜏1 𝜏2



El coeficiente 𝜏1 + 𝜏2 de la primera derivada de la concentración de A en el reactor 2 es un valor mayor que 1 y, por lo tanto, el comportamiento dinámico del reactor es de tipo sobre amortiguado.

SOLUCIÓN DEL MODELO MATEMÁTICO LINEALIZADO La solución de las ecuaciones diferenciales (17) y (18) que constituyen el modelo matemático linealizado del sistema de los dos reactores en serie es posible simularla en Simulink con los valores asignados a los parámetros de acuerdo al planteamiento del problema. Un análisis sencillo del desempeño de los dos reactores es posible realizar haciendo un cambio en el valor en el estado estacionario de una de las variables de entrada manteniendo constante el valor en estado estacionario de las otras dos variables de entrada. Es importante comparar los resultados obtenidos para el modelo no lineal y el modelo lineal para entender los intervalos de valores de las variables de entrada para los que el modelo linealizado muestra un desempeño con poca desviación con respecto al modelo no lineal.

PRÁCTICA 2. SIMULACIÓN DEL SISTEMA LINEALIZADO DINÁMICA NO LINEAL VS. DINÁMICA LINEALIZADA La solución numérica de las ecuaciones diferenciales (17) y (18) da como resultado la respuesta dinámica de los dos reactores en serie cuando el modelo matemático es linealizado. Los diagramas de bloques elaborados para desarrollar la solución del sistema conformado por las dos ecuaciones (17) y (18) se muestran en las Figuras 12 y 13. Cada uno está encerrado como un subsistema, lo que se nota por la presencia de los puertos de entrada y salida que se instalan cuando se hace dicha construcción. Los nombres asignados a cada subsistema son REACTOR 1 y REACTOR 2, respectivamente. A su vez, los anteriores dos subsistemas comunicados con las variables flujo y concentración de A que salen del primero y entran al segundo son encerrados dentro de un subsistema denominado MODELO LINEALIZADO. Observe la Figura 14.

Figura 12. Subsistema REACTOR 1 – Modelo matemático linealizado

Se resalta, para la ilustración de los diagramas de bloques, que las variables consideradas en el modelo matemático linealizado son variables desviación.

Figura 13. Subsistema REACTOR 2 – Modelo matemático linealizado

La salida del bloque integrador, en la Figura 13, es la concentración de A en el reactor 2 como variable desviación. A este valor se le suma el valor de la concentración de A en estado estacionario en el reactor 2 para estimar los correspondientes valores de las concentraciones de A, propiamente.

Figura 14. Subsistema REACTOR 1 - REACTOR 2 – Modelos matemáticos linealizados

En la Figura 14 la concentración de A en el reactor 1 es variable desviación y para darle salida del subsistema como la variable propiamente dicha se le suma el correspondiente valor en estado estacionario. La Figura 15 muestra el subsistema denominado MODELO LINEALIZADO que encierra los subsistemas mostrados en la Figura 14 y encima se nota otro subsistema denominado MODELO NO LINEAL que encierra los subsistemas elaborados anteriormente como se explica la Figura 7.

Figura 15. Diagrama de bloques – Modelo no lineal Vs. Modelo linealizado

La Figura 15 se utiliza para comparar los perfiles gráficos de las respuestas de los reactores considerados en sus modelos no lineales y linealizados. Los bloques cambio paso instalados para ingresar cambios en las variables de entrada se especifican con los valores propios, es decir, valores iniciales de 50 gal/min para los flujos y 0.8 lb mol/gal para la concentración de A, los valores finales se especificarán según la magnitud del cambio que se quiera simular. Para simular los modelos lineales, los valores de las variables de entrada se especifican en los correspondientes valores desviación y, por lo tanto, se toman los valores originados en los bloques cambio paso y se restan los valores en estado estacionario respectivos. El subsistema que simula los modelos lineales no incluye las variables de salida correspondientes a los flujos de salida en cada reactor porque se sabe que dichos flujos son iguales a la suma de los flujos de entrada a todo el sistema.

RESPUESTA DEL SISTEMA LINEALIZADO El modelo matemático no lineal del sistema considerado se ha linealizado alrededor de las condiciones en estado estacionario (50 gal/min para los flujos de las corrientes de entrada, 0.8 lb mol/gal para la concentración de A en la corriente i, 0.6222 lb mol/gal para la concentración de A en el reactor 1 y 0.177 lb mol/gal para la concentración de A en el reactor 2). A continuación se muestra la respuesta de cada uno de los reactores para pequeños cambios pasos en cada una de las variables de entrada, superponiendo en una misma figura los comportamientos para el modelo no lineal y para el modelo linealizado.

RESPUESTA PASO – FLUJO DE LA CORRIENTE DE A Para observar la variación de la concentración de A en los reactores cuando es perturbada la variable flujo de la corriente de A, se simula un cambio paso en esta última variable de 50 gal/min (Initial value) a 53 gal/min (Final value). Las Figuras 16 y 17 muestran los perfiles gráficos de las concentraciones de A en el reactor 1 y en el reactor 2, respectivamente. El perfil morado corresponde al modelo linealizado y el perfil amarillo corresponde al modelo no lineal.

Figura 16. Respuesta paso Reactor 1 (Concentración de A) Cambio en el flujo de A (3 gal/min) - Modelo no lineal Vs. Modelo linealizado

Figura 17. Respuesta paso Reactor 2 (Concentración de A) Cambio en el flujo de A (3 gal/min) - Modelo no lineal Vs. Modelo linealizado

Para un cambio paso de 3 gal/min en el flujo de la corriente de A puro, se observa un resultado para el modelo linealizado con muy poca desviación con respecto al resultado que se obtiene con el modelo no lineal. La Figura 18 muestra el resultado gráfico de la respuesta del reactor 1 para un cambio paso de 20 gal/min.

Figura 18. Respuesta paso Reactor 1 (Concentración de A) Cambio en el flujo de A (20 gal/min) - Modelo no lineal Vs. Modelo linealizado

Se explica que, para un cambio mayor o una desviación considerable del valor en estado estacionario, la respuesta del modelo linealizado se aproxima al de modelo no lineal en las cercanías del estado estacionario y se desvía con alguna notoriedad cuando las condiciones se alejan de dicho estado.

RESPUESTA PASO – FLUJO DE LA CORRIENTE i Para observar la variación de la concentración de A en los reactores cuando es perturbada la variable flujo de la corriente i, se simula un cambio paso en esta última variable de 50 gal/min (Initial value) a 53 gal/min (Final value). La Figura 19 muestra el perfil gráficos de la concentración de A en el reactor 1. El perfil morado corresponde al modelo linealizado y el perfil amarillo corresponde al modelo no lineal.

Figura 19. Respuesta paso Reactor 1 (Concentración de A) Cambio en el flujo de A (3 gal/min) - Modelo no lineal Vs. Modelo linealizado

Los resultados, comparados, se aproximan notoriamente debido al pequeño cambio en la variable de entrada. Un resultado similar al de la Figura 18 se obtiene para el reactor 2. La Figura 20 muestra el perfil gráfico de la concentración de A en el reactor 1 para un cambio paso mayor de 20 gal/min en el flujo de la corriente i. Se obtiene un resultado similar al de la Figura 18.

Figura 20. Respuesta paso Reactor 1 (Concentración de A) Cambio en el flujo de i (20 gal/min) - Modelo no lineal Vs. Modelo linealizado

RESPUESTA PASO – CONCENTRACIÓN DE A EN LA CORRIENTE i Para observar la variación de la concentración de A en el reactor 1 cuando es perturbada la concentración de A en la corriente i, se simula un cambio paso en esta última variable de 0.8 lbmol/gal (Initial value) a 1.8 lbmol/gal (Final value). La Figura 21 muestra la respuesta del reactor 1 ante tal perturbación paso.

Figura 21. Respuesta paso Reactor 1 (Concentración de A) Cambio en la concentración de A en i (1 lbmol/gal) - Modelo no lineal Vs. Modelo linealizado

La Figura 21 solo permite ver un gráfico porque están superpuestos los perfiles de las concentraciones de A en el reactor 1, para el modelo no lineal y para el modelo linealizado. Un ejercicio que se deja para la verificación del estudiante es la demostración de que las ecuaciones diferenciales, no lineal y linealizada, es la misma.

3. FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA DEL SISTEMA Al aplicar Transformada de Laplace a las ecuaciones diferenciales lineales (19) y (20) se obtienen las respectivas funciones de transferencia para cada uno de los reactores que componen el sistema. Las funciones de transferencia para los reactores 1 y 2 son las siguientes:

𝐶𝐴,1 (𝑠) = 𝐶𝐴,2 (𝑠) =

𝐾1 𝜏1

𝐹 (𝑠) + 𝑠+1 𝐴

𝐾4 𝐹 (𝑠) 𝜏2 𝑠+1 𝐴

+

𝐾2 𝜏1

𝐹 (𝑠) + 𝑠+1 𝑖

𝐾5 𝐹 (𝑠) 𝜏2 𝑠+1 𝑖

+

𝐾3

𝐶 (𝑠) 𝜏1 𝑠+1 𝐴,𝑖

(22)

𝐾6 𝐶 (𝑠) 𝜏2 𝑠+1 𝐴,1

(23)

La función de transferencia (23) para la concentración de A en el reactor 2 muestra que dicha composición depende de la concentración A en el reactor 1, además de depender del flujo de salida de dicho reactor. Reemplazando los valores numéricos de las ganancias y de los atrasos dinámicos, las ecuaciones (22) y (23) son las siguientes:

𝐶𝐴,1 (𝑠) = 𝐶𝐴,2 (𝑠) =

0.00612

𝐹 (𝑠) + 2.222𝑠+1 𝐴 0.00126

𝐹 (𝑠) + 1.428𝑠+1 𝐴

0.00079

𝐹 (𝑠) + 2.222𝑠+1 𝑖 0.00126

𝐹 (𝑠) + 1.428𝑠+1 𝑖

0.222

𝐶 (𝑠) 2.222𝑠+1 𝐴,𝑖

(24)

0.286

𝐶 (𝑠) 1.428𝑠+1 𝐴,1

(25)

Combinando las ecuaciones (22) y (23) para eliminar la variable 𝐶𝐴,1 (𝑠) se obtiene una función de transferencia para la variable 𝐶𝐴,2 (𝑠) en función de las variables de entrada del sistema así:

𝜏1 𝐾4 𝑠+ 1 𝐾 + 𝐾1 𝐾6

𝐶𝐴,2 (𝑠) = (𝐾4 + 𝐾1 𝐾6 ) [(𝜏4

𝜏1 𝐾5 𝐾 + 𝐾 𝐾 ] 𝐹𝐴 (𝑠) + (𝐾5 + 𝐾2 𝐾6 ) [(𝜏5 2 6

1 𝑠+1)(𝜏2 𝑠+1)

𝑠+ 1

1 𝑠+1)(𝜏2 𝑠+1)

] 𝐹𝑖 (𝑠) +

𝐾3 𝐾6 𝐶 (𝑠) (𝜏1 𝑠+1)(𝜏2 𝑠+1) 𝐴,𝑖

(26) La función de transferencia (22) para el reactor 1 identifica a éste, como un sistema con una dinámica de primer orden que responde, con un atraso 𝜏1 y una ganancia con respecto a cada una de las variables de entrada.

La función de transferencia (26) para el reactor 2 lo identifica como un sistema con una dinámica de segundo orden con atrasos 𝜏1 y 𝜏2 y con ganancias dadas por las expresiones encerradas en los paréntesis de la ecuación (26). Los numeradores en las funciones de transferencia con respecto al flujo de A y con respecto al flujo de la corriente i, expresan adelantos dinámicos que hacen que la respuesta sea más rápida que lo que sería si solo se dieran los atrasos dinámicos. La función de transferencia con respecto a 𝐶𝐴,𝑖 (𝑠) no muestra adelanto dinámico.

RESPUESTA DINÁMICA DEL SISTEMA – DOMINIO LAPLACE La solución del sistema de ecuaciones dado por las funciones de transferencia (24) y (25) se puede desarrollar invirtiendo las transformadas de Laplace, operación que se puede realizar con mucha facilidad utilizando los recursos de Simulink. En dinámica de sistemas se dice, entonces, que el desempeño de los reactores se está desarrollando en el Dominio de Laplace.

PRÁCTICA 3. SIMULACIÓN DEL SISTEMA – DOMINIO LAPLACE DOMINIO TIEMPO VS. DOMINIO LAPLACE La solución numérica de las ecuaciones diferenciales que constituyen el modelo matemático del sistema de los dos reactores, mediante la inversión de sus funciones de transferencia (24) y (25) da como resultado la respuesta dinámica de los dos reactores en serie en el dominio de Laplace. El diagrama de bloques elaborado para simular dicha solución se muestra en la Figura 22. En la parte superior se coloca el subsistema del modelo linealizado desarrollado en la práctica anterior y en la parte de debajo de construye el diagrama de bloques que simula las funciones de transferencia dadas por las ecuaciones (24) y (25). Lo anterior, con el objeto de comparar los resultados entre la solución del modelo linealizado en el dominio del tiempo y la correspondiente solución en el dominio de Laplace. Teniendo en cuenta que en dichos dominios se expresan las variables en su forma desviación, los botones Step que ingresan los cambios en las variables de entrada se especifican inicialmente con el valor cero y el valor final se especifica de acuerdo a la magnitud del cambio que se quiera simular

Figura 22. Diagrama de bloques modelo linealizado: Dominio Tiempo Vs. Dominio Laplace

Dentro del bloque MODELO LINEALIZADO DOMINIO TIEMPO, se hacen las modificaciones para capturar en los bloques Scope los perfiles de las variables de salida en forma desviación.

RESPUESTA PASO – FLUJO DE LA CORRIENTE DE A Para observar la variación de la concentración de A en los reactores cuando es perturbada la variable flujo de la corriente de A, se simula un cambio paso en esta última variable de 0 gal/min (Initial value) a 3 gal/min (Final value). La Figura 23 muestra los perfiles gráficos de las concentraciones de A en el reactor 1 y en el reactor 2, respectivamente. El perfil morado corresponde al modelo linealizado y el perfil amarillo corresponde al modelo no lineal.

(a)

(b)

Figura 23. Respuesta paso: (a) Reactor 1, (b) Reactor 2 (Concentración de A) Cambio en el flujo de A (3 gal/min) – Dominio Tiempo Vs. Dominio Laplace

Para un cambio paso de 3 gal/min en el flujo de la corriente de A puro, se observa un resultado con muy poca desviación entre la solución en el dominio del tiempo y la solución en el dominio de Laplace. Se puede explicar que, para un cambio mayor o una desviación considerable del valor en estado estacionario, la respuesta del modelo en ambos dominios es la misma porque en cualquiera de ellos se maneja la linealización.

RESPUESTA PASO – FLUJO DE LA CORRIENTE i Para observar la variación de la concentración de A en los reactores cuando es perturbada la variable flujo de la corriente i, se simula un cambio paso en esta última variable de 0 gal/min (Initial value) a 3 gal/min (Final value). La Figura 24 muestra los perfiles gráficos de las concentraciones de A en el reactor 1 y en el reactor 2, respectivamente. El perfil morado corresponde al modelo linealizado y el perfil amarillo corresponde al modelo no lineal.

(a)

(b)

Figura 24. Respuesta paso: (a) Reactor 1, (b) Reactor 2 (Concentración de A) Cambio en el flujo de A (3 gal/min) - Dominio Tiempo Vs. Dominio Laplace

Los resultados, comparados, son los mismos por la misma razón expuesta en el caso anterior.

RESPUESTA PASO – CONCENTRACIÓN DE A EN LA CORRIENTE i Para observar la variación de la concentración de A en el reactor 1 y 2 cuando es perturbada la concentración de A en la corriente i, se simula un cambio paso en esta última variable de 0 lbmol/gal (Initial value) a 1.0 lbmol/gal (Final value). La Figura 25 muestra la respuesta de los reactores 1 y 2 ante tal perturbación paso.

(a)

(b)

Figura 25. Respuesta paso: (a) Reactor 1, (b) Reactor 2 (Concentración de A) Cambio paso en la concentración de A en i (1 lbmol/gal) Dominio Tiempo Vs. Dominio Laplace

La Figura 25 (b) solo permite ver un gráfico porque están superpuestos los perfiles de las concentraciones de A en el reactor 1, para la solución en el dominio de Laplace y para la solución en el dominio del tiempo.

4. DINÁMICA DEL SENSOR DE CONCENTRACIÓN La medición de la variable de proceso es la primera operación que se realiza en un lazo de control por retroalimentación. Esta lectura se ha de transmitir al controlador, quien a su vez la compara con el valor deseado de la misma y según la diferencia (error) y las acciones que se le asignen, realiza un procesamiento de la información suministrada y genera una decisión que ha de ejecutar un dispositivo conectado a él denominado elemento de control final. En el sistema considerado en esta elaboración, se utiliza un medidor de concentración con las especificaciones enunciadas en el planteamiento del problema. Esto permite entender el desempeño dinámico de dicho instrumento y plantear la función de transferencia correspondiente.

FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA DEL SENSOR-TRANSMISOR Para un medidor de concentración con un rango entre 0.05 lbmol/gal y 0.5 lbmol/gal, la ganancia proporcional es dada por

𝐾𝐻 =

100 % 𝑇𝑂 − 0 % 𝑇𝑂 % 𝑇𝑂 = 222.22 𝑙𝑏𝑚𝑜𝑙 𝑙𝑏𝑚𝑜𝑙 𝑙𝑏𝑚𝑜𝑙 0,5 − 0,05 𝑔𝑎𝑙 𝑔𝑎𝑙 𝑔𝑎𝑙

La especificación de un atraso dinámico 𝜏 𝑇 = 0.5 𝑚𝑖𝑛 significa que el sensor – transmisor tiene una dinámica de primer orden y, por lo tanto, su función de transferencia es de la forma:

𝐻(𝑠) =

𝐾𝐻 𝜏𝑇 𝑠 + 1

Reemplazando los valores numéricos, la función de transferencia para el sensor – transmisor está dada por:

222.22

% 𝑇𝑂

𝐻(𝑠) = 0.5 𝑠+1 𝑙𝑏𝑚𝑜𝑙/𝑔𝑎𝑙

(27)

FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA DEL FILTRO En un lazo cerrado de control, una de las variables de entrada es el valor deseado (set point) de la variable de proceso. Como quiera que la combinación sensor – transmisor se alimenta de una información física (por ejemplo, concentración en lbmol/gal) y transmite una señal porcentual (% TO), se hace necesario convertir la información de entrada del set point en unidades físicas (lbmol/gal). Lo anterior se realiza mediante un filtro convertidor de unidades con la misma ganancia del sensor – transmisor y que los constructores los fabrican con un desempeño sin atraso dinámico. Por lo tanto, la función de transferencia de este dispositivo es de solo ganancia y está dada por:

𝐾𝑇 = 222.22

% 𝑇𝑂 𝑙𝑏𝑚𝑜𝑙 𝑔𝑎𝑙

PRÁCTICA 4. DINÁMICA DE UN SENSOR INTRODUCCIÓN El diagrama de bloques elaborado para simular la dinámica del sensor de concentración de A en el sistema planteado junto con el filtro convertidor de concentración en lbmol/gal a % TO es el que se muestra en la Figura 26. Las variables de entrada son la medida de la concentración de A en el segundo reactor y el valor deseado de la concentración de A en el mismo reactor, y las variables de salida son la concentración de A en el segundo reactor convertida a % TO y simbolizada como PV y la variable que expresa el error entre la variable de proceso y el valor deseado de la misma, es decir, la diferencia entre dichas variables.

DESCRIPCIÓN DEL DIAGRAMA DE BLOQUES El conjunto de bloques de color rojo es el diagrama correspondiente al filtro convertidor y el conjunto de bloques de color azul es el diagrama correspondiente al sensor/transmisor de concentración de A con dinámica de primer orden.

Figura 26. Diagrama de bloques del conjunto sensor y filtro convertidor

DESCRIPCIÓN DEL FILTRO CONVERTIDOR El botón ganancia especificado con el valor de 100 es el numerador de la ecuación para calcular la ganancia del filtro convertidor y los botones constantes Concentración MÁXIMA

y MÍNIMA especificados con los valores del rango de la concentración de A se restan y el resultado es el denominador de la relación que define la ganancia del sensor/transmisor que es la misma del filtro convertidor. La variable de entrada del filtro convertidor es el valor deseado de la concentración de A en el segundo reactor y la variable de salida es la misma variable expresada en el equivalente porcentual y simbolizado como SP (% TO).

DESCRIPCIÓN DEL SENSOR/TRANSMISOR La ganancia del sensor/transmisor se construye con un diagrama de bloques igual al construido para elaborar la ganancia del filtro convertidor. Para la variable de entrada al sensor transmisor se coloca un botón cambio paso que alimenta a una función de transferencia escogida a sabiendas de que su respuesta es sub-amortiguada estable. La justificación de lo anterior se basa en que la variable de entrada al sensor transmisor es la respuesta de un lazo cerrado de control con dicho desempeño El perfil de la variable de entrada al sensor transmisor se alimenta al bloque función de transferencia que expresa la dinámica de primer orden de dicho dispositivo y la salida es la variable de proceso convertida a un equivalente porcentual simbolizado como PV (% TO). La variable de proceso, PV (% TO), se captura en un bloque Scope (Concentración de A (lbmol/gal) PV (% TO)) y se sobrepone en dos ejes con el perfil de entrada al sensor/transmisor, con el objeto de comparar su desempeño. Para el despliegue de los gráficos en ejes separados, se hace clic sobre el bloque Scope y, a continuación, se hace clic sobre el icono Parameters localizado en la barra de herramientas de la ventana desplegada. Se observa, por defecto, la ventana correspondiente al panel General (Ver Figura 27). En el cuadro titulado Axes se digita el número 2 dentro del cuadro de edición a la derecha de la leyenda Number of axes. Se presionan los botones Apply y OK y se observará el visor del botón Scope como se muestra en la Figura 28

Figura 27. Ventana Parameters – Panel General

DESEMPEÑO DEL SENSOR/TRANSMISOR La Figura 28 muestra el desempeño del sensor/transmisor, con dinámica de primer orden, atraso de 0.5 min y ganancia de 222.22 % TO/lbmol/gal, para un cambio paso de 0.0 a 0.1 lbmol/gal en el botón denominado Concentración de A Reactor 2. El gráfico desplegado en la representación inferior es el perfil sub-amortiguado ingresado como variable de entrada al sensor/transmisor y el gráfico desplegado en la representación superior es el perfil sub-amortiguado de la variable de salida del mismo dispositivo. Se observa una respuesta amplificada y retrasada con respecto al perfil de la variable de entrada.

Figura 28. Respuesta PV (% TO) – Entrada (Concentración, lbmol/gal) Sensor/Transmisor.

Se puede notar, con mayor claridad, el atraso de la respuesta con respecto a la entrada si se hace una representación de la variable de proceso dividida por la ganancia del sensor y se superpone sobre el perfil de la variable de entrada.

DESEMPEÑO DEL COMPARADOR La variable de entrada al filtro convertidor es el valor deseado en la concentración de A y que se ingresa con el botón Constant denominado Concentración de A Cambio en el Set

Point. En la Figura 29 se muestra la respuesta del COMPARADOR para un cambio en el set point de 0.177 lbmol/gal a 0.277 lbmol/gal. La variable de salida del filtro convertidor, SP (% TO), y del sensor transmisor, PV (% TO), se restan en el botón llamado COMPARADOR y el resultado es el denominado error o E (% TO) y la representación gráfica se muestra en el bloque Scope denominado Error (% TO) SP – PV.

Figura 29. Perfil del error (% TO)

Se resalta que, aun cuando el cambio en el set point es constante de 0.1 lbmol/gal, con un equivalente dl 22.22 % TO, la diferencia entre el set point y la variable de proceso tiene un perfil sub-amortiguado estable que alcanza un valor último de, aproximadamente, 18 % TO. Esta información es la que se ha de alimentar al controlador de la variable de proceso y que de acuerdo a las acciones que desarrolle sobre ella y a los valores que se asignen a sus parámetros de sintonización, mostrará un desempeño con unas ciertas características.

5. DINÁMICA DE UNA VÁLVULA DE CONTROL Para la válvula especificada en el planteamiento del problema, con un atraso dinámico de 0.5 minutos, la función de transferencia es de la forma:

𝐺𝑉 (𝑠) =

𝐹𝐴 (𝑠) 𝐾𝑉 𝑔𝑎𝑙/𝑚𝑖𝑛 = 𝑀(𝑠) 0.5 𝑠 + 1 % 𝐶𝑂

VÁLVULA DE CARACTERÍSTICAS LINEALES Para una válvula de características lineales con servicio líquido, la ganancia proporcional está dada por la ecuación:

𝐾𝑉 = ±

1 ∆𝑝𝑉 𝑓𝑚𝑎𝑥 𝑔𝑎𝑙/𝑚𝑖𝑛 𝐶𝑣,𝑚𝑎𝑥 √ = ± 100 𝐺𝑓 100 % 𝐶𝑂

La gravedad específica del componente A que fluye a través de la válvula de control se estima con la relación de su densidad con respecto a la del agua, así:

𝑙𝑏 𝑙𝑏𝑚𝑜𝑙 𝑙𝑏 𝐷𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑙𝑖𝑞𝑢𝑖𝑑𝑜 𝑝𝑢𝑟𝑜 𝐴 ( ) 2 ∗ 25 𝑔𝑎𝑙 𝑔𝑎𝑙 𝑙𝑏𝑚𝑜𝑙 𝐺𝑓 = = = 6,0024 𝑙𝑏 𝑙𝑏 𝐷𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑎𝑔𝑢𝑎 𝑎 𝑇 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑓 ( ) 8,33 𝑔𝑎𝑙 𝑔𝑎𝑙

Para un sobre diseño del 100 %, se requiere una válvula con un coeficiente máximo de flujo estimado con la siguiente ecuación, así:

𝐺𝑓 𝑔𝑎𝑙 6,0024 𝑔𝑎𝑙 𝐶𝑉𝑚𝑎𝑥 = 2𝑓𝑚𝑎𝑥 √ = 2 (50 )√ = 77,475 ∆𝑝𝑉 𝑚𝑖𝑛 10 𝑝𝑠𝑖 𝑚𝑖𝑛 ∗ √𝑝𝑠𝑖

El valor anterior calculado de 𝐶𝑉𝑚𝑎𝑥 se considera como un valor teórico, el verdadero valor viene proporcionado por el fabricante. En la siguiente tabla se muestran los valores de 𝐶𝑉𝑚𝑎𝑥 para un fabricante especifico

Tabla 1. Valores Cv, max. Fabricante Masoneilan (Tomado de Figura C-39 de Principles and Practice of Automatic Process Control – Carlos A. Smith y Armando B. Corripio, 2th Edición, Editorial J. Wiley).

Se selecciona el valor de 110 porque es un valor que se ajusta a la capacidad completa y es el valor más cercano por exceso al valor calculado teóricamente. Por lo anterior, la válvula especificada dimensionada de acuerdo a la disponibilidad en la casa Masoneilan es de un coeficiente de flujo de 110 gal/min/√𝑝𝑠𝑖 y el flujo máximo correspondiente está dado por:

10 𝑝𝑠𝑖 𝑔𝑎𝑙 𝑓𝑚𝑎𝑥 = 110√ = 141,98 6,0024 𝑚𝑖𝑛

El valor de la ganancia de la válvula es:

𝑔𝑎𝑙 141,98 𝑚𝑖𝑛 𝑔𝑎𝑙/𝑚𝑖𝑛 𝐾𝑉 = = 1,42 100 % 𝐶𝑂 % 𝐶𝑂

El signo de la ganancia es positivo porque la válvula es de falla cerrada para que cuando se interrumpa la energía se cierre automáticamente e impida el flujo de A y evite que se rebose el tanque y haya derramamiento de líquido.

𝐺𝑉 (𝑠) =

𝐹𝐴 (𝑠) 𝑀(𝑠)

1,42

= 0.5𝑠 +

𝑔𝑎𝑙/𝑚𝑖𝑛 1

% 𝐶𝑂

(28)

PRÁCTICA 5. DINÁMICA DE UN VÁLVULA DE CONTROL INTRODUCCIÓN El diagrama de bloques elaborado para simular la dinámica de la válvula de control de características lineales es el que se muestra en la Figura 30. La variable de entrada es la señal de salida m(t) del controlador en % TO y la variable de salida es el flujo de la corriente de A puro fA(t) en gpm, esto último construido en la parte inferior del diagrama. Encima de esto se construye el diagrama de bloques que calcula: el coeficiente de la válvula máximo, el flujo máximo a través de la válvula para un modelo de la constructora Masoneilan y la ganancia de la válvula de características de flujo lineales.

Figura 30. Diagrama de bloques – Dinámica de una válvula de control lineal

DESCRIPCIÓN DEL DIAGRAMA DE BLOQUES El conjunto de bloques de color rojo es el diagrama que simula la dinámica de una válvula de control lineal con un atraso dinámico de 0.5 minutos y el conjunto de bloques de color azul es el diagrama donde se calcula el máximo coeficiente de la válvula y el flujo máximo para un modelo escogido del catálogo de la Masoneilan.

CÁLCULO DEL Cv, max DE LA VÁLVULA Para un flujo del doble del nominal (100 gal/min), una gravedad específica de 6.0024 y una caída de presión de 10 psi, se aplica la fórmula para el flujo de un líquido a través de una válvula y se calcula el Cv, max de la válvula. Los valores de los parámetros se ingresan con botones Constant y el valor del coeficiente de la válvula máximo se captura en el botón Display denominado Cv, max. El resultado es 77.48 𝑔𝑝𝑚/√𝑝𝑠𝑖 . El valor de la raíz cuadrado de la división entre la gravedad específica y la caída de presión se guarda en memoria en el bloque Goto con el símbolo B

CÁLCULO DEL fmax A TRAVÉS DE LA VÁLVULA El valor de 110 ingresado con el botón Constant denominado Cv.max Masoneilan es el coeficiente máximo de una válvula tomada del catálogo de la fábrica Masoneilan y se reemplaza en la fórmula para calcular el flujo máximo de líquido a través de la válvula, este valor se captura en el botón Display denominado Flujo máximo Masoneilan. El resultado es 142 𝑔𝑝𝑚. El valor del coeficiente máximo de la válvula se guarda en memoria en bloque Goto Cv,max

CÁLCULO DE LA GANANCIA ESTACIONARIA DE LA VÁLVULA Para una válvula de característica de flujo lineal la ganancia se halla dividiendo el flujo máximo de líquido a través de ella por 100. El valor resultante se captura en el botón Display 𝑔𝑝𝑚 denominado Ganancia de Válvula Lineal. El resultado es 1.42 %𝐶𝑂

DINÁMICA DE LA VÁLVULA DE CONTROL La dinámica de una válvula de control con un atraso de 0.5 minutos se simula con el botón Transfer Fcn. Se considera, en éste bloque, una ganancia de 1; la ganancia real de la válvula se aplica después de dicho bloque. La variable de entrada es la señal proveniente del controlador en % CO y alimentada con el botón Constant denominado m(t). Para transformar a ésta última en variable desviación se disminuye en el valor del umbral considerado para ella, que se ingresa con el botón Constant denominado mo y que es del 50 %. Se entiende, por lo anterior, que se simula un cambio paso en dicha señal del 1 % CO. La variable desviación M(t), al considerarla con su signo, corresponde a una válvula de falla cerrada y con el signo opuesto corresponde a una válvula de falla abierta. Lo anterior explica

el botón ganancia denominado Válvula de Falla Abierta y el interruptor manual con el cual, al seleccionar una de sus opciones se simula el tipo de falla de la válvula. La función de transferencia introducida en el botón Transfer Fcn1 se inserta antes del botón que expresa la dinámica de la válvula para simular una entrada a ésta de tipo subamortiguada. La variable de salida del bloque Transfer Fcn que representa la dinámica de la válvula se multiplica por el valor de la ganancia de ésta para obtener la variable desviación VP(t), la cual se captura en el bloque Scope denominado M(t) – VP(t) porque adicionalmente se captura la variable de entrada de la válvula. Lo anterior, con el objeto de visualizar el desempeño de la válvula con respecto a su variable de entrada. La Figura 31 muestra los perfiles de dichas variables durante un tiempo de 100 minutos.

Figura 31. Variable desviación de entrada y variable desviación de salida en la válvula

El perfil de color morado es la respuesta de la válvula para un cambio en la variable de entrada correspondiente al perfil de color amarillo. Se observa un atraso en la respuesta de la válvula y una amplificación de la misma, debida al valor de la ganancia de la válvula que es mayor que 1.

ABERTURA DE LA VÁLVULA A la variable desviación de salida VP(t) de la válvula se le suma el valor inicial de la abertura de la válvula considerado como 50 % para estimar la abertura de la válvula con el transcurrir el tiempo de simulación. Los valores de dicha variable se capturan en el bloque Scope denominado vp(t), % y el perfil gráfico se muestra en la Figura 32.

Figura 32. Perfil de la abertura de la válvula

Se deduce que con el cambio sub amortiguado en la variable de entrada a la válvula su abertura muestra un cambio también sub amortiguado que se estabiliza en un valor de, aproximadamente, 50.3 %.

COEFICIENTE DE LA VÁLVULA, Cv Tratándose de una válvula de características de flujo lineales, su coeficiente se calcula multiplicando el coeficiente máximo por el valor de la abertura. Como el valor del coeficiente máximo se memorizó en un bloque Goto con la letra A, se llama dicho valor con el bloque

From Cv,max. La ecuación para el cálculo del coeficiente de la válvula se desarrolla en el bloque Product denominado Product1 y los valores se capturan en el bloque Scope denominado Coeficiente de válvula, Cv. La Figura 33 muestra los valores del coeficiente de la válvula para un tiempo de 100 minutos.

Figura 33. Perfil del coeficiente de la válvula

Se deduce que con el cambio sub amortiguado en la variable de entrada a la válvula su coeficiente muestra un cambio también sub amortiguado que se estabiliza en un valor de, aproximadamente, 55.3 %.

FLUJO A TRAVÉS DE LA VÁLVULA, f Tratándose de un líquido el que atraviesa a la válvula, el flujo a través de ella se calcula con la fórmula que multiplica al coeficiente de la válvula por la raíz cuadrada de la división entre el cambio de presión y la gravedad específica. El inverso del término raíz cuadrada se guarda en memoria en el bloque Goto y se le asigna la letra B. Este valor se llama con el bloque

From1 y los valores del flujo calculado se capturan en el bloque Scope denominado Flujo, gpm. La Figura 34 muestra el perfil del flujo a través de la válvula.

Figura 34. Perfil del flujo a través de la válvula

6. DINÁMICA DE UN CONTROLADOR PID FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA DE UN CONTROLADOR PID Para un controlador proporcional – integral – derivativo la función de transferencia 𝐺𝑐 (𝑠) es de la forma:

𝐺𝑐 (𝑠) =

𝑀(𝑠) 𝐾𝑐 = 𝐾𝑐 + + 𝐾𝑐 𝜏𝐷 𝑠 𝐸(𝑠) 𝜏𝐼 𝑠

Siendo 𝐾𝑐 la ganancia proporcional, 𝜏𝐼 y 𝜏𝐷 el tiempo integral y el tiempo derivativo del controlador. La variable de entrada es el error E expresado en % TO (la diferencia entre el valor deseado de la variable de control y el valor de la misma) y la variable de salida se simboliza por M, expresado en % CO.

CONTROLADOR PID CON FILTRO DERIVATIVO A la acción derivativa suele adicionarse un filtro (derivativo) con un atraso dinámico igual a 𝛼𝜏𝐷 . Esto hace que la función de transferencia del controlador PID con acción derivativa más filtro tenga la siguiente forma:

𝐺𝑐 (𝑠) =

𝑀(𝑠) 𝐾𝑐 𝐾𝑐 𝜏𝐷 𝑠 = 𝐾𝑐 + + 𝐸(𝑠) 𝜏𝐼 𝑠 𝛼𝜏𝐷 𝑠 + 1

Al coeficiente 𝛼 se le asigna un valor lo suficientemente pequeño para que el filtro no afecte el desempeño del controlador. El filtro limita la salida del modo derivativo ante una entrada súbita como un cambio paso, siendo el límite igual al inverso de 𝛼 multiplicado por el valor del cambio paso. Esto es lo que explica que al filtro también se le llame Límite de ganancia dinámica (dynamic gain limit).

FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA DEL FILTRO DERIVATIVO Para representar la acción del filtro derivativo mediante un diagrama de bloques se hace el siguiente desarrollo para la acción derivativa. Considerando que la variable de entrada es el error E y la variable de salida es U, la función de transferencia tiene la siguiente forma:

𝑈(𝑠) 𝐾𝑐 𝜏𝐷 𝑠 = 𝐸(𝑠) 𝛼𝜏𝐷 𝑠 + 1

La variable de salida del filtro derivativo se puede escribir así:

𝑈(𝑠) =

1 1 (𝐾𝑐 𝜏𝐷 𝐸(𝑠) − 𝑈(𝑠)) 𝛼𝜏𝐷 𝑠

El inverso de 𝛼𝜏𝐷 se define como el coeficiente del filtro N y, por lo tanto, la acción del filtro derivativa se puede escribir como:

𝑈(𝑠) = 𝑁 (𝐾𝑐 𝜏𝐷 𝐸(𝑠) −

1 𝑈(𝑠)) 𝑠

DIAGRAMA DE BLOQUES DEL CONTROLADOR PID El diagrama de bloques que representa la función de transferencia del controlador PID con filtro derivativo es el mostrado en la Figura 35:

Kc Ganancia Proporcional

E(s)

Kc /tI

M(s)

Ganancia Integral

KctD Ganancia Derivativa

N Coeficiente del Filtro Derivativo

Figura 35. Diagrama de bloques del controlador PID con filtro derivativo

CONTROLADOR PID SEGÚN MATLAB En la librería Continuous de Matlab se tiene el bloque PID Controller en dos formas estructurales denominadas: paralelo (Parallel) e ideal (Ideal).

CONTROLADOR PID – ESTRUCTURA EN PARALELO La estructura en paralelo es la mostrada en la Figura 35 y simboliza la ganancia proporcional, la ganancia integral y la ganancia derivativa por las letras P, I y D, respectivamente. Es decir que:

𝑃 = 𝐾𝑐 𝐼=

𝐾𝑐 𝜏𝐼

𝐷 = 𝐾𝑐 𝜏𝐷

CONTROLADOR PID – ESTRUCTURA IDEAL La estructura ideal es la mostrada en la Figura 36 y simboliza la ganancia proporcional con la letra P, el inverso del tiempo integral con la letra I y el tiempo derivativo con la letra D. Es decir que:

1

E(s)

1/tI

Kc

Ganancia Integral

tD Ganancia Derivativa

M(s)

Ganancia Proporcional

N Coeficiente del Filtro Derivativo

Figura 36. Diagrama de bloques del controlador PID con filtro derivativo – Estructura ideal

Es decir que, para una estructura ideal:

𝑃 = 𝐾𝑐 𝐼=

1 𝜏𝐼

𝐷 = 𝜏𝐷

Tanto en la estructura ideal como la estructura en paralelo, la anulación de las acciones integral y derivativa se hace asignando valores de cero los parámetros I o D, respectivamente. Algunas otras propiedades inherentes a un controlador PID se tratarán en la Práctica 6.

PRÁCTICA 6. DINÁMICA DE UN CONTROLADOR PID INTRODUCCIÓN El diagrama de bloques elaborado para simular la dinámica de un controlador PID dentro de un lazo de control de concentración por retroalimentación del sistema de los dos reactores en serie es el que se muestra en la Figura 37. Las variables de entrada son: el valor deseado de la variable de control (concentración de A en el reactor 2), el flujo de la corriente i y la concentración de A en esta última corriente; las variables de salida son: la concentración de A en el reactor 1 y la concentración de A en el reactor 2 (variable de control).

Figura 37. Diagrama de bloques – Lazo de control de concentración de A

El diagrama de bloques del sistema (bloques de color rojo) es el simulado en la Práctica 3 (Figura 22). El bloque Sensor/Transmisor es la función de transferencia que representa a la dinámica del sensor/transmisor simulado en la Práctica 4 y el bloque Válvula de Control es la función de transferencia que representa a la dinámica de la válvula de control simulada en la Práctica 5. El bloque Controlador PID es el bloque PID Controller que se encuentra en la librería Continuous de Simulink. La simulación del desempeño de este controlador es el objeto de esta práctica.

Para simplificar, el sistema se encierra dentro de un subsistema denominado SISTEMA DE DOS REACTORES EN SERIE y, con ello el diagrama de bloques se observa como se muestra en la Figura 38.

Figura 38. Diagrama de bloques – Lazo de control de concentración de A

CONTROLADOR PID - SIMULINK La ventana de propiedades del bloque que simula a un controlador PID dentro de la plataforma de Simulink es la que se observa en la Figura 39.

Figura 39. Controlador PID – Ventana de propiedades

Debajo de la leyenda ilustrativa del bloque escrita en la parte superior de la ventana, se observan dos botones desplegables con los nombres Controller y Form. Al desplegar el primero se observa un menú de opciones para seleccionar las acciones del controlador que son PID, PI, PD, P e I. Al desplegar el botón Form se observa un menú de opciones para seleccionar la estructura del controlador PID que son Ideal y Parallel. Debajo de lo anterior, se observan dos radio botones dentro del título Time domain. Al seleccionar la opción Continuous-time se especifica el tiempo en forma continua mientras que al seleccionar la opción Discrete time se especifica el tiempo en forma discreta. En nuestro caso, siempre se escogerá la opción Continuous-time. A continuación, dentro de la ventana de propiedades del controlador PID, se notan los títulos de 4 paneles: El que se abre, por defecto, es Main y los otros tres se denominan PID Advanced, Data Types y State Attribute.

Panel Main – PID Controller Debajo del título Controller Parameters se encuentran los botones de edición denominados Proportional (P), Integral (I), Derivative(D) y Filter coeficiente (N) donde se digitan las ganancias proporcional, integral o derivativa y el coeficiente del filtro derivativo para la estructura y forma de controlador seleccionado anteriormente. A la derecha de esto, se encuentra una leyenda que en forma conmutable muestra o esconde la fórmula del compensador (control) según las acciones y la estructura seleccionada. El botón de presión con leyenda Tune es una herramienta muy importante que al hacer clic sobre él, hace que Matlab realice la estimación de los parámetros (ganancias) del controlador para un cierto desempeño deseado. Los botones que se encuentran debajo del título Initial conditions permiten la especificación de las condiciones iniciales en cuanto a su origen (Source), el límite inferior de la integración en el método de solución de la ecuación diferencial y del valor del coeficiente del filtro. En nuestro caso, se aplican los valores asignados por defecto.

CONTROL DE LA CONCENTRACIÓN DE A – REACTOR 2 Para observar el desempeño del controlador dentro del lazo cerrado de control se simulará un servo control haciendo un cambio paso en el valor deseado de la concentración de A en el reactor 2 de 0 a 0.1 lbmol/gal y dejando constantes (valor inicial y final de cero) las variables de entrada concentración de A en la corriente i y el flujo de la corriente i. Se muestra, a continuación, el perfil de la concentración de A para la estructura ideal y cada una

de las opciones incluidas dentro del botón que simula las acciones de un controlador PID dentro de Simulink.

CONTROL PROPORCIONAL (P) Escogiendo la opción Proportional (P) dentro del cuadro Controller, la opción Ideal dentro del cuadro Form y asignando un valor de 7.765 % CO/% TO a la ganancia proporcional, el perfil de la concentración de A en el reactor 2 que muestra el desempeño del lazo con control proporcional es el que se muestra en la Figura 40.

Figura 40. Perfil de la concentración de A en el reactor 2 – Control proporcional

Se observa una respuesta estable sub amortiguada que alcanza un valor último con una diferencia (offset) con respecto al valor deseado (0.1 lbmol/gal) en un tiempo de aproximadamente 30 minutos. El pico máximo alcanza un valor de, aproximadamente, 0.16 lbmol/gal.

CONTROL INTEGRAL (I) Escogiendo la opción Integral (I) dentro del cuadro Controller, la opción Ideal dentro del cuadro Form y asignando a la ganancia integral un valor igual al inverso de 1.4 minutos, el

perfil de la concentración de A en el reactor 2 que muestra el desempeño del lazo con control integral es el que se muestra en la Figura 41.

Figura 41. Perfil de la concentración de A en el reactor 2 – Control integral

Se observa una respuesta estable sub amortiguada que alcanza un valor último igual al valor deseado (0.1 lbmol/gal) en un tiempo de, aproximadamente, 160 minutos. El pico máximo alcanza un valor de, aproximadamente, 0.18 lbmol/gal. Es una respuesta más oscilatoria que la del control proporcional, no muestra error (offset) en su valor último y con un pico máximo mayor que el alcanzado con el control proporcional.

CONTROL PROPORCIONAL - INTEGRAL (PI) Escogiendo la opción Proportional-Integral (PI) dentro del cuadro Controller, la opción de la estructura Ideal dentro del cuadro Form y asignando un valor de 7.06 % CO/% TO a la ganancia proporcional y a la ganancia integral el inverso de 2.3 minutos, el perfil de la concentración de A en el reactor 2 que muestra el desempeño del lazo con control proporcional-integral es el que se muestra en la Figura 42.

Figura 42. Perfil de la concentración de A en el reactor 2 – Control proporcional-integral

Se observa una respuesta estable sub amortiguada que alcanza un valor último igual (No offset) al valor deseado (0.1 lbmol/gal) en un tiempo de aproximadamente 80 minutos. La respuesta es más oscilatoria que la que se observa con el control proporcional y el pico máximo alcanza un valor de, aproximadamente, 0.20 lbmol/gal, también mayor que el alcanzado con la sola acción proporcional.

CONTROL PROPORCIONAL - INTEGRAL – DERIVATIVO (PID) Escogiendo la opción Proportional-Integral- Derivative (PID) dentro del cuadro Controller, la opción Ideal dentro del cuadro Form y asignando un valor de 9.13 % CO/% TO a la ganancia proporcional, a la ganancia integral el inverso de 1.4 minutos y a la ganancia derivativa 0.35 minutos, el perfil de la concentración de A en el reactor 2 que muestra el desempeño del lazo con control proporcional-integral es el que se muestra en la Figura 43. Se observa una respuesta estable sub amortiguada que alcanza un valor último igual (No offset) al valor deseado (0.1 lbmol/gal) en un tiempo de aproximadamente 20 minutos. La respuesta es menos oscilatoria que la que se observa con el control proporcional y con el control proporcional-integral, el pico máximo alcanza un valor de, aproximadamente, 0.18 lbmol/gal, también menor que el alcanzado con el controlador proporcional-integral. La respuesta última se alcanza con una mayor rapidez con respecto a la que se alcanza cuando el controlador es de solo acción proporcional o proporcional-integral.

Figura 43. Perfil de la concentración de A en el reactor 2 – Control PID

CONTROL PROPORCIONAL - DERIVATIVO (PD) Escogiendo la opción Proportional-Derivative (PD) dentro del cuadro Controller, la opción Ideal dentro del cuadro Form y asignando un valor de 9.13 % CO/% TO a la ganancia proporcional, a la ganancia derivativa el valor de 0.03 minutos, el perfil de la concentración de A en el reactor 2 que muestra el desempeño del lazo con control proporcional-integral es el que se muestra en la Figura 44.

Figura 44. Perfil de la concentración de A en el reactor 2 – Control PD

Se observa una respuesta estable sub amortiguada que alcanza un valor último con una diferencia (offset) con respecto al valor deseado (0.1 lbmol/gal) en un tiempo de aproximadamente 30 minutos. El pico máximo alcanza un valor de, aproximadamente, 0.16 lbmol/gal. Se verifica que, la no inclusión de la acción integral hace que la respuesta de un lazo cerrado de control muestre un error en su respuesta última con respecto al valor deseado de la variable de control.

7. SINTONIZACIÓN DE UN CONTROLADOR INTRODUCCIÓN Un método de sintonización de controladores, a menudo muy efectivo, es la utilización de los modelos para cada uno de los elementos de un lazo de control (proceso, sensor y elemento de control final) para la determinación de los valores de los parámetros del controlador con las cuales se alcanza que la respuesta del proceso en lazo cerrado corresponda a la condición límite de estabilidad. Entonces se utilizan reglas de sintonización, como las de Ziegler y Nichols, que disminuyen la ganancia del controlador para garantizar un margen de estabilidad teniendo como referente la inestabilidad del lazo cerrado de control. Los valores específicos de la ganancia, tiempo integral y tiempo derivativo dependen, obviamente, del modelo específico del proceso.

SINTONIZACIÓN CON EL MODELO DEL PROCESO Ziegler y Nichols sugieren reglas de sintonización para un controlador, muy generales y aproximadas, en base al conocimiento del límite de la estabilidad del lazo cerrado de control y para que el controlador satisfaga el requerimiento de que la respuesta del lazo cerrado de control sea oscilatoria sub amortiguada con una razón de decaimiento de un cuarto, es decir, con una relación de un cuarto entre las amplitudes de dos oscilaciones sucesivas para perturbaciones en una variable de entrada o en el valor deseado de la variable controlada. La razón de decaimiento debería ser independiente de la entrada al sistema y debería depender solamente de las raíces de la ecuación característica del lazo de control.

Tabla 7.1 Reglas de Ziegler y Nichols – Modelo del Proceso Controlador

Kc

𝝉𝑰

𝝉𝑫

P

𝐾𝑐𝑢 2

_

_

PI

𝐾𝑐𝑢 2.2

𝑇𝑢 1.2

_

PID

𝐾𝑐𝑢 1.7

𝑇𝑢 2

𝑇𝑢 8

Una vez que han sido determinados la ganancia última y el período último, Tu, y de acuerdo a Ziegler y Nichols los parámetros de sintonización del controlador se calculan mediante las

fórmulas de la Tabla 7.1 para obtener respuestas sinusoidales exponenciales decrecientes con una razón de decaimiento de un cuarto entre sus amplitudes.

SINTONIZACIÓN EN LINEA El método de sintonización en línea consiste en colocar el controlador en automático, es decir en lazo cerrado, anular las acciones integral y derivativa y ensayar con diferentes valores de ganancia proporcional hasta encontrar un valor de ganancia en que se observe una respuesta en oscilación sostenida correspondiente a la ganancia última, Kcu. A partir del registro de la variable controlada en su estado último se mide el período correspondiente, es decir, el período último, Tu. Con estos valores se calculan los parámetros de ganancia, tiempo integral y tiempo derivativo del controlador utilizando algunas de las reglas o formulas conocidas para tal efecto como las de Ziegler y Nichols basadas en el margen de estabilidad. Por lo simple, este procedimiento es fácil y rápido de implementar en lazos que responden rápidamente como los de control de flujo local y los de temperatura. Obviamente, para procesos grandes con respuestas lentas en lazo cerrado, este procedimiento es menos conveniente y puede resultar inseguro porque trae al proceso estado de comportamiento inestable. Este procedimiento debe utilizarse con precaución.

PRÁCTICA 7. SINTONIZACIÓN EN LINEA INTRODUCCIÓN En esta práctica se toma el diagrama de bloques elaborado en la Práctica 6 y mostrado en la Figura 38 y se desarrolla el procedimiento de sintonización en línea del controlador descrito en la misma lección.

SINTONIZACIÓN EN LINEA El método de sintonización en línea consiste en colocar el controlador en automático, es decir en lazo cerrado, asignar el valor cero a las acciones integral y derivativa y ensayar con diferentes valores de ganancia proporcional hasta encontrar un valor en que se observe una respuesta con oscilación de amplitud constante. La Figura 45 muestra la respuesta paso de un servo control de la concentración de A en el reactor 2 considerando un controlador proporcional con ganancia de 15.54 % CO / % TO. Este valor es la denominada ganancia última porque con ella se alcanza una respuesta oscilatoria de amplitud constante, esto quiere decir que el lazo de control muestra una respuesta en la condición límite de estabilidad.

Figura 45. Respuesta oscilatoria sostenida del lazo cerrado de control

Si a la ganancia del controlador proporcional se le asignan valores mayores que la ganancia última, la respuesta del lazo cerrado de control es oscilatoria inestable. La respuesta anterior se obtiene cuando el valor deseado de la concentración de A en el reactor 2 se le aplica un cambio paso de 0 a 0.1 lbmol/gal. Se deja como asignación para el estudiante:

1. La verificación del valor de la ganancia del controlador proporcional (ganancia última, Kcu) con la cual se obtiene la respuesta oscilatoria sostenida 2. La verificación del valor del período de dicha respuesta (período último, Tu = 2.8 min) 3. La determinación de los anteriores parámetros (Kcu y Tu) para un cambio paso en la variable de entrada flujo de la corriente i, manteniendo constante las otras variables de entrada. 4. La determinación de los anteriores parámetros (Kcu y Tu) para un cambio paso en la variable de entrada concentración de A en la corriente i, manteniendo constante las otras variables de entrada.

PARÁMETROS DE SINTONIZACIÓN – REGLAS DE Z-N Según las reglas de Ziegler y Nichols (Z-N) los parámetros de sintonización de un controlador para que la respuesta del lazo cerrado de control muestra un sub amortiguamiento con una razón de decaimiento de un cuarto y según las acciones incluidas son los siguientes:

Proporcional (P):

𝐾𝑐 =

𝐾𝑐𝑢 2

=

15.54 2

= 7.77

Proporcional – Integral (PI):

𝐾𝑐 =

𝐾𝑐𝑢 2.2

=

15.54 2.2

= 7.0

𝜏𝐼 =

Proporcional – Integral – Derivativo (PID):

𝐾𝑐 = 𝜏𝐼 = 𝜏𝐷 =

𝑇𝑢 1.2

𝐾𝑐𝑢 1.7 𝑇𝑢 2 𝑇𝑢 8

2.8 1.2

=

=

= =

2.8 8

% 𝐶𝑂 %𝑇𝑂

= 2.33 𝑚𝑖𝑛

15.54 1.7

2.8 2

% 𝐶𝑂 %𝑇𝑂

= 9.14

% 𝐶𝑂 %𝑇𝑂

= 1.4 𝑚𝑖𝑛 = 0.35 𝑚𝑖𝑛

CONTROL PROPORCIONAL (P) Escogiendo la opción Proportional (P) dentro del cuadro Controller, la opción Ideal dentro del cuadro Form y asignando un valor de 7.77 % CO/% TO a la ganancia proporcional, el perfil de la concentración de A en el reactor 2 que muestra el desempeño del lazo con control proporcional, para un cambio paso unitario en el valor deseado de la variable de control, es el que se muestra en la Figura 46.

Figura 46. Respuesta del lazo cerrado de control proporcional

Se observa una respuesta estable sub amortiguada que alcanza un valor último (0.88 lbmol/gal) con una diferencia (offset) con respecto al valor deseado (1 lbmol/gal) en un tiempo de aproximadamente 30 minutos. El pico máximo alcanza un valor de, aproximadamente, 1.55 lbmol/gal. La Figura 47 muestra las respuestas del lazo de control proporcional para un cambio paso en el valor deseado de la variable de control y para diferentes valores de ganancia menores (4 – amarillo, 7.7 – morado y 13 – azul) que la ganancia última. Se nota que a mayor valor de ganancia menor es el valor del offset, mayor es el tiempo en que se alcanza la estabilidad del sistema (tiempo de asentamiento o Settling Time), más oscilatoriedad y mayor es el pico máximo de cada oscilación. Se puede verificar que al asignar el valor de la ganancia última determinada la respuesta es oscilatoria de amplitud constante y si se asigna un valor mayor la respuesta es oscilatoria inestable.

Figura 47. Respuesta del lazo cerrado de control proporcional Diferentes valores de ganancia

Para realizar lo anterior, el lazo cerrado de control elaborado y mostrado en la Figura 38 se encierra como un subsistema y se hacen dos copias adicionales que se alimentan con las mismas entradas y sus salidas se hacen desplegar sobre un mismo bloque Scope como se muestra en la Figura 48.

Figura 48. Diagrama de bloques del lazo de control proporcional

En el primer subsistema, se asigna a la ganancia del controlador un valor de 4 % CO / % TO, en el subsistema inmediatamente debajo se asigna a la ganancia del controlador un valor de 7.77 % CO / % TO y en el último subsistema se asigna a la ganancia del controlador un valor de 13 % CO / % TO.

CONTROL PROPORCIONAL – INTEGRAL (PI) Escogiendo la opción Proportional-Integral (PI) dentro del cuadro Controller, la opción de la estructura Ideal dentro del cuadro Form y asignando un valor de 7.0 % CO/% TO a la ganancia proporcional y a la ganancia integral el inverso de 2.33 minutos, el perfil de la concentración de A en el reactor 2 que muestra el desempeño del lazo con control proporcional-integral, para un cambio paso unitario en el valor deseado de la variable de control, es el que se muestra en la Figura 49.

Figura 49. Respuesta del lazo cerrado de control proporcional – integral

Se observa una respuesta estable sub amortiguada que alcanza un valor último igual (No offset) al valor deseado (1 lbmol/gal) en un tiempo de aproximadamente 80 minutos. La respuesta es más oscilatoria que la que se observa con el control proporcional y el pico máximo alcanza un valor de, aproximadamente, 2.0 lbmol/gal, también mayor que el alcanzado con la sola acción proporcional. Si se observa el perfil del error o variable de

entrada (Figura 50) al controlador se nota un cambio oscilatorio que se estabiliza en un valor de cero. Esto explica que en la variable de control se alcance un valor igual al del nuevo valor deseado.

Figura 50. Perfil del error para un lazo cerrado con control proporcional – integral.

CONTROL PROPORCIONAL - INTEGRAL – DERIVATIVO (PID) Escogiendo la opción Proportional-Integral- Derivative (PID) dentro del cuadro Controller, la opción Ideal dentro del cuadro Form y asignando un valor de 9.14 % CO/% TO a la ganancia proporcional, a la ganancia integral el inverso de 1.4 minutos y a la ganancia derivativa 0.35 minutos, el perfil de la concentración de A en el reactor 2 que muestra el desempeño del lazo con control proporcional-integral, para un cambio paso unitario en el valor deseado de la variable de proceso, es el que se muestra en la Figura 51. Se observa una respuesta estable sub amortiguada que alcanza un valor último igual (No offset) al valor deseado (1 lbmol/gal) en un tiempo de aproximadamente 20 minutos. La respuesta es menos oscilatoria que la que se observa con el control proporcional y con el control proporcional-integral, el pico máximo alcanza un valor de, aproximadamente, 1.8 lbmol/gal, también menor que el alcanzado con el controlador proporcional-integral. La respuesta última se alcanza con una mayor rapidez con respecto a la que se alcanza cuando el controlador es de solo acción proporcional o proporcional-integral.

Figura 51. Respuesta de un lazo cerrado con control proporcional – integral - derivativo.

COMPARACIÓN ENTRE CONTROL P, PI y PID La Figura 48 muestra los perfiles gráficos de las respuestas paso de los lazos de control para los casos P (perfil amarillo), PI (perfil morado) y PID (perfil azul).

Figura 48. Respuesta paso – Lazo cerrado de control

Se aprecia el offset característico del control proporcional, mientras que los controles PI y PID no muestran offset. El control PID, además, muestra una respuesta más rápida en cuanto a alcanzar su valor último estable lo que se explica por la inclusión de la acción derivativa. El control PI es el de mayor pico máximo y el más lento en alcanzar su respuesta última. Para desplegar una comparación gráfica entre las respuestas de los controladores P, PI y PID se utiliza el mismo diagrama de bloques mostrado en la Figura 49 y en cada uno de los subsistemas se especifica un controlador con las acciones P o PI o PID. Al primer subsistema se le llama CONTROL PROPORCIONAL porque el controlador se le asigna el valor de la ganancia de 7.77 % CO / % TO que es el valor propuesto por la regla de Ziegler y Nichols para un controlador proporcional. Al segundo subsistema se le llama CONTROL PROPORCIONAL – INTEGRAL y al controlador se le asignan los valores de ganancia (7.0 % CO / % TO) y de tiempo integral (2.33 minutos) sugeridos por Z-N. Al tercer subsistema CONTROL PROPORCIONAL – INTEGRAL – DERIVATIVO y al controlador se le asignan los valores sugeridos por Z-N para un controlador PID (ganancia 9.14 % CO / % TO, tiempo integral 1.4 minutos y tiempo derivativo 0.35 minutos).

Figura 49. Diagrama de bloques - Control P, PI y PID

8. CARACTERIZACIÓN DE UN PROCESO INTRODUCCIÓN La determinación de los parámetros de un controlador PID requeridos para obtener una respuesta en lazo cerrado, que satisfaga algunos requerimientos, es posible realizarla mediante un procedimiento en lazo abierto. En este método se abre el lazo a la entrada de la válvula de control y a la salida del sensor y se obtiene la respuesta para del sistema constituido por dichos tres elementos en serie para un cambio paso unitario en variable de entrada a la válvula de control. Los perfiles gráficos que se obtienen de dicha respuesta se ajustan a un modelo de función de transferencia, siendo el más utilizado el de primer orden con tiempo muerto. La ganancia, el tiempo integral y el tiempo derivativo se calculan, entonces, con reglas de sintonización específicas para cuando se aplica este método y que expresan dichos valores en función de la ganancia estacionaria del sistema en lazo abierto, el atraso dinámico y el tiempo muerto.

PROCESO EN LAZO ABIERTO: CARACTERIZACIÓN Para la sintonización de controladores por retroalimentación de procesos modelados empíricamente, la aproximación más utilizada es la de primer orden con tiempo muerto. Este puede obtenerse mediante varios procedimientos pero, por simplicidad, se utiliza uno que emplea datos de la respuesta paso del lazo de control abierto. El registro del cambio en esta respuesta con el tiempo se denomina la Curva de Reacción del Proceso.

CURVA DE REACCIÓN DE PROCESO La Curva de Reacción de un Proceso se determina haciendo un cambio paso en la señal de entrada al proceso para observar la respuesta en la variable medida, Ym. El proceso es el conjunto del elemento de control final, el proceso mismo y el elemento sensor-transmisor de la variable de control. Por lo tanto, el modelo empírico determinado incluye al conjunto de los tres elementos en serie.

Caracterización del Proceso Cohen y Coon fueron los primeros que observaron que para la mayoría de los procesos controlados la Curva de Reacción puede ser, razonablemente, bien aproximada a la respuesta paso de un sistema de primer orden con tiempo muerto; en tal caso, solamente se requiere de

la estimación de los tres parámetros para caracterizar el proceso y obtener una respuesta que se aproxime muy estrechamente a la Curva de Reacción del Proceso actual. (Figura 50). En otras palabras, el proceso es caracterizado por una ganancia estacionaria, una constante de tiempo efectiva y un tiempo muerto efectivo.

Figura 50. Curva de Reacción de un Proceso

Determinación de la Curva de Reacción de un Proceso La Curva de Reacción de un Proceso controlado por retroalimentación se obtiene desconectando el controlador del proceso y aplicando un cambio paso de magnitud m a la señal de entrada al proceso controlado a través del elemento de control final (por ejemplo, la válvula de control). Se registra la respuesta dinámica resultante, es decir, la variable de proceso medida, Ym, o señal de salida del sensor. Esto constituye la curva de reacción del proceso, que debe tener un perfil como el observado en la Figura 50.

Determinación de la ganancia estacionaria La ganancia efectiva del modelo ajustado se determina mediante su definición, es decir, la relación:

𝐾=

𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 ú𝑙𝑡𝑖𝑚𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑑𝑒 𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎 𝑀𝑎𝑔𝑛𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑝𝑎𝑠𝑜 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎

En este caso, se puede determinar la ganancia efectiva, a partir del valor último observado en la Curva de Respuesta del Proceso y la magnitud del cambio paso m, es decir, mediante la ecuación:

𝐾=

𝑌𝑚 (∞) ∆𝑚

Se debe tener presente que Ym(∞) es la variable desviación de salida con respecto al valor inicial; es decir, no es la medida absoluta de la variable de salida de proceso. La Figura 51 muestra que a partir de la Curva de Reacción de un Proceso se puede determinar el valor último de la variable desviación de salida y con ello aplicar la ecuación de la ganancia para su estimación.

Figura 51. Ajuste 1 a la Curva de Reacción del Proceso

Determinación del Tiempo Muerto y el Atraso Dinámico Para la determinación del tiempo muerto y el atraso dinámico de la curva que caracteriza al sistema se conocen tres procedimientos de cálculo que se explican a continuación:

Procedimiento 1. En este método se utiliza la línea que es tangente a la Curva de Reacción del Proceso en el punto de máxima rapidez de cambio. Al derivar la respuesta correspondiente a un modelo de primer orden con tiempo muerto, la rapidez de cambio inicial máxima de la variable desviación de salida es:  







dY (t )  1  Y ( )   Km   m dt to t t 





 A partir de la ecuación (8.1) se entiende que la línea de máxima rapidez de cambio intercepta al eje horizontal en t = to y a la línea de valor final en t = to + t. Entonces se estima la máxima pendiente de la curva de reacción del proceso y con la ecuación (8.1) se calcula el atraso dinámico. La Figura 52 muestra la variación de la pendiente de la curva de reacción de un proceso

Figura 52. Variación de la pendiente de la Curva de Reacción de un Proceso

El tiempo muerto se determina observando el intercepto de la línea de máxima pendiente con el eje de las abscisas. Este procedimiento obtiene una constante de tiempo sobrestimada para la respuesta del modelo. La Figura 51 muestra una Curva de Reacción de un Proceso (gráfica de color negro), la línea de máxima tangente con la cual se determinan la constante de tiempo

y el tiempo muerto y la línea horizontal de máxima variable de salida con la cual se calcula la ganancia estacionaria. Además se muestra el perfil de la curva que se obtiene con el ajuste de primer orden con tiempo muerto (gráfica de color rojo).

Procedimiento 2. Al igual que en el procedimiento 1, en este método se utiliza la línea que es tangente a la Curva de Reacción del Proceso en el punto de máxima rapidez de cambio para determinar el tiempo muerto, pero el valor del atraso dinámico se determina haciendo que el gráfico ajustado de primer orden con tiempo muerto coincida con la curva de reacción en el instante en que la respuesta ha alcanzado el valor correspondiente al 63.2% del valor último. Lo anterior se cumple para un tiempo igual a la suma del tiempo muerto más el atraso dinámico, es decir:

 







Y (t o  t )  0.632Ym ()  



 La Figura 53 muestra el punto común entre la curva de reacción del proceso y el grafico ajustado de primer orden con tiempo muerto.

Figura 53. Ajuste 2 a la Curva de Reacción del Proceso

Es fácil observar que en este procedimiento se obtiene un valor menos sobredimensionado para el atraso dinámico que el que se obtiene con el procedimiento 1 y, por lo tanto, la curva del ajuste es más aproximada a la curva de reacción del proceso.

Procedimiento 3. En los procedimientos anteriores, la estimación del tiempo muerto y el atraso dinámico dependen de la determinación de la máxima pendiente de la curva de reacción del proceso y esto hecho gráficamente es algo tedioso y proporciona resultados menos precisos. Para obviar esta dificultad, Cecil Smith (1972) propuso que los valores del tiempo muerto y del atraso dinámico se determinen de tal manera que el modelo y la curva de reacción del proceso coincidan en dos puntos de la región de máxima rapidez de cambio. Los dos puntos recomendados son 𝑡𝑜 + 𝜏/3 y 𝑡𝑜 + 𝜏. El segundo de los puntos se localiza como se plantea en el procedimiento 2 mientras que para el primer punto se cumple que:

 







t  Y  to    0.283Ym ()   3 



 Estos dos puntos son simbolizados como t2 y t1, respectivamente, en la Figura 54.

Figura 54. Ajuste 3 a la Curva de Reacción del Proceso

Los valores del tiempo muerto y del atraso dinámico pueden determinarse fácilmente mediante la solución del siguiente conjunto de ecuaciones









 t o  t  t1  











 to  t  t 2  



3

Los resultados obtenidos dan las siguientes ecuaciones:







 t  3 t 2  t1  

















2

 to

 t2  t



La literatura recomienda el uso del procedimiento 3 para la estimación del tiempo muerto y el atraso dinámico para el ajuste de la curva de reacción de un proceso a un modelo de primer orden con tiempo muerto

PRÁCTICA 8. CARACTERIZACIÓN DE UN PROCESO INTRODUCCIÓN La función de transferencia de un proceso en lazo abierto está dada por:

𝐺(𝑠) =

0.8 (30𝑠 + 1)(10𝑠 + 1)(3𝑠 + 1)

Se propone desarrollar una caracterización del proceso como un sistema de primer orden con tiempo muerto, determinando la función de transferencia por cada uno de los tres procedimientos explicados en la lección 8.

DIAGRAMA DE BLOQUES Para la solución de este caso se elabora un diagrama de bloques como el mostrado en la Figura 55.

Figura 55. Diagrama de bloques Curva de Reacción – Caracterización de un proceso

PROCESO: El bloque llamado PROCESO es la función de transferencia definida para el proceso escrita en la forma de zeros y polos. En la expresión definida en la introducción de esta lección se tienen polos en -1/30, -1/10 y -1/3, no hay zeros y la ganancia es 0.8/(30*10*3). Para la representación de la función de transferencia se utilizó el bloque LTI System de la librería Control System Toolbox.

Bloque LTI System – Librería Control System Toolbox En la Figura 56 se muestra la ventana Simulink Library Browser con la librería Control System Toolbox seleccionada, a la derecha del árbol de librerías se nota el bloque denominado LTI System utilizado para simular una función de transferencia especificándola con el comando y los argumentos utilizados en Matlab.

Figura 56. Simulink Library Browser – Control System Toolbox

Al hacer un clic izquierdo sobre el bloque LTI System y en forma sostenida desplazar el mouse sobre el espacio de trabajo de Simulink se instala dicho bloque y al hacer doble clic izquierdo sobre él se despliega su ventana de especificaciones. La Figura 57 muestra la correspondiente al bloque denominado PROCESO que en este caso, se especificó en la forma de zeros y polos utilizando el comando zpk de Matlab.

Figura 57. Ventana de especificaciones del bloque LTI System denominado PROCESO

Comando zpk La sintaxis del comando zpk de Matlab para expresar una función de transferencia en la forma de zeros y polos es:

H = zpk([zeros], [polos], ganancia)

El primer argumento son los valores de los zeros espaciados uno del otro y encerrados entre corchetes, el segundo argumento son los valores de los polos espaciados uno del otro y encerrados entre corchetes y el tercer argumento es el valor de la ganancia para la función de transferencia escrita en dicha forma. En la Figura 57, el primer argumento es un corchete vacío que indica que no hay zeros, el segundo argumento es un corchete que encierra los tres polos de la función de transferencia y el tercer argumento es la ganancia para la función de transferencia escrita en la forma de zeros y polos.

Cambio Step El bloque Step se utiliza para simular un cambio paso unitario en la variable de entrada y la variable de salida del bloque PROCESO se captura sobre el bloque Scope titulado Curva de Reacción del Proceso. La Figura 58 muestra dicha curva para un tiempo de simulación de 200 segundos. Se observa un perfil característico de un sistema con una dinámica mayor que uno (en este caso, tres) que se estabiliza en un valor final de 0.8

Figura 58. Curva de Reacción del Proceso

Estimación de la ganancia estacionaria Lo anterior permite calcular la ganancia del ajuste de primer orden con tiempo muerto y que de acuerdo a la definición de ganancia es de.

𝐾=

𝑌𝑚 (∞) 0.8 = = 0.8 ∆𝑚 1

Pendiente de la Curva de Reacción del Proceso En el diagrama de bloques mostrado en la Figura 55, se toma la Curva de Reacción del Proceso y se alimenta a un bloque Derivative (Librería Continuous) para estimar la derivada o pendiente de la curva y dichos valores se capturan en el bloque Scope denominado Pendiente Curva de reacción de proceso. El perfil obtenido se muestra en la Figura 59. Se observa que la pendiente de la Curva de reacción del proceso alcanza un valor máximo en un cierto tiempo. Para encontrar los datos anteriores se instala el bloque To Workspace en el cual se guarda una matriz con tres columnas (Bloque Mux): la primera columna es la de los valores de los tiempos (Bloque Clock), la segunda columna es la de los valores de la variable de salida en la Curva de Reacción del Proceso y la tercera columna es la de los valores de la pendiente de la Curva de Reacción del Proceso. El nombre de la matriz

(Variable Name) es simout y la ventana de especificaciones del bloque To Workspace se muestra en la Figura 60.

Figura 59. Pendiente de la Curva de reacción de proceso

Figura 60. Ventana de especificaciones del bloque To Workspace

En el cuadro Save Format: se selecciona la opción Array para observar en el espacio de trabaja de Matlab la matriz guardada después de digitar en el editor de comandos la palabra simout.

La Figura 61 muestra una sección de valores de la matriz de valores desplegada al digitar la palabra simout sobre el editor de comandos de Matlab y se resalta la línea con el valor máximo de la pendiente de la Curva de reacción del proceso. Dicho valor es de 0.0151 en un tiempo de 21.3596 segundos cuando el valor alcanzado por la variable de salida es de 0.2136. Lo anterior quiere decir que una línea tangente trazada sobre la Curva de reacción del proceso con dicha pendiente y en el punto correspondiente de tiempo y valor intercepta al eje de las abscisas en un valor que representa el que corresponde al tiempo muerto de un ajuste de primer orden.

Figura 61. Matriz simout: Valores de tiempo, variable de salida y pendiente

Procedimiento 1: Atraso dinámico Según el procedimiento para el primer tipo de ajuste de un sistema a un modelo de primer orden con tiempo muerto, el atraso dinámico se calcula con la ecuación 8.1, y por lo tanto su valor es:

t

Ym () 0.8   53 segundos dY (t ) 0.0151 dt to

Tiempo muerto En el procedimiento 1, el tiempo muerto se calcula planteando la pendiente de la tangente entre el punto que toca a la Curva de reacción del proceso (21.3896, 0.2136) y su intercepto con el eje de las abscisas (to, 0). Por lo tanto:

0.2136  0  0.0151 21.3896  to

De donde resulta que el tiempo muerto es igual a.

to  7.24 segundos

Y, por lo tanto, la función de transferencia para la aproximación de primer orden con tiempo muerto de acuerdo al primer procedimiento es:

𝐺(𝑠) =

0.8𝑒 −7.24𝑠 53 𝑠 + 1

Respuesta paso – Aproximación de primer orden con tiempo muerto La representación de la función de transferencia obtenida para la aproximación de primer orden con tiempo muerto obtenido siguiendo el procedimiento 1 se incluye con el bloque Transfer Fcn denominado Ajuste 1 seguido del bloque Transport Delay (Librería Continuous) denominado Transport Delay1 – 7.24. En el primero de los nombrados se introduce la función de transferencia en su forma estándar sin tiempo muerto y en el segundo bloque se introduce el tiempo muerto en el cuadro denominado Time Delay. La respuesta paso (color morado) es capturada en el bloque Scope denominado Curva de Reacción Ajuste 1, en donde se superpone con la Curva de Reacción del Proceso (color amarillo) con el objeto de apreciar la aproximación entre ambos perfiles. La simulación durante un tiempo de 200 segundos se muestra en la Figura 62. Se nota poca desviación en la vecindad del punto tomado como estimativo para el tiempo muerto y el atraso dinámico, pero para tiempos mayores hay una cierta desviación del ajuste con respecto a la Curva de reacción del proceso.

Figura 62. Ajuste de primer orden con tiempo muerto- (Procedimiento 1)

Procedimiento 2: Tiempo muerto En el procedimiento 2, el tiempo muerto se calcula planteando la pendiente (máxima) de la tangente entre el punto que toca a la Curva de reacción del proceso (21.3896, 0.2136) y su intercepto con el eje de las abscisas (to, 0). Por lo tanto:

0.2136  0  0.0151 21.3896  to

De donde resulta que el tiempo muerto es igual a:

to  7.24 segundos

Atraso dinámico Según el procedimiento para el segundo tipo de ajuste de un sistema a un modelo de primer orden con tiempo muerto, el atraso dinámico se calcula considerando el punto de la Curva de Reacción del Proceso donde se ha alcanzado el 63.2 % del valor último, es decir aplicando la ecuación 8.2 así:





Y (to  t )  0.632Ym ()  0.632(0.8)  0.5056 



Observando la matriz simout mostrada en la Figura 61 se nota que para un tiempo de 43.2171 segundos el valor correspondiente sobre la Curva de Reacción del Proceso es 0.4920. Si se toma el tiempo anterior como la suma del tiempo muerto más el atraso dinámico, entonces se tiene que:

to  t  43.2171 segundos

De donde se obtiene que el tiempo muerto es:

t  43.2171 - 7.24  36 segundos

Y, por lo tanto, la función de transferencia para la aproximación de primer orden con tiempo muerto de acuerdo al segundo procedimiento es:

𝐺(𝑠) =

0.8𝑒 −7.24𝑠 36 𝑠 + 1

Respuesta paso – Aproximación de primer orden con tiempo muerto La representación de la función de transferencia obtenida para la aproximación de primer orden con tiempo muerto obtenido siguiendo el procedimiento 2 se incluye con el bloque

Transfer Fcn denominado Ajuste 2 seguido del bloque Transport Delay (Librería Continuous) denominado Transport Delay2 – 7.24. En el primero de los nombrados se introduce la función de transferencia en su forma estándar sin tiempo muerto y en el segundo bloque se introduce el tiempo muerto en el cuadro denominado Time Delay. La respuesta paso (color morado) es capturada en el bloque Scope denominado Curva de Reacción Ajuste 2, en donde se superpone con la Curva de Reacción del Proceso (color amarillo) con el objeto de apreciar la aproximación entre ambos perfiles. La simulación durante un tiempo de 200 segundos se muestra en la Figura 63.

Figura 63. Ajuste de primer orden con tiempo muerto- (Procedimiento 2)

Se nota menos desviación entre la Curva de reacción del proceso y la aproximación a una función de transferencia de primer orden con tiempo muerto siguiendo el procedimiento 2.

Procedimiento 3: Atraso dinámico y Tiempo muerto En el procedimiento 3, el atraso dinámico y el tiempo muerto se calculan utilizando los tiempos que corresponden a dos puntos sobre la Curva de reacción del proceso. Los dos puntos recomendados son 𝑡𝑜 + 𝜏/3 y 𝑡𝑜 + 𝜏 y en ellos se cumple que:

Y (to  t )  0.632Ym ()  0.632(0.8)  0.5056







t  Y  to    0.283Ym ()  0.283(0.8)  0.2264   3 



Los tiempos que corresponden a cada una de las localizaciones anteriores sobre la Curva de Reacción del Proceso son:

to  t  44.6

to 

t 3

 22.2

Resolviendo las ecuaciones anteriores se obtiene que los valores del tiempo muerto y el atraso dinámico son:

t  33.6 segundos

to  11 segundos

Y, por lo tanto, la función de transferencia para la aproximación de primer orden con tiempo muerto de acuerdo al tercer procedimiento es:

𝐺(𝑠) =

0.8𝑒 −11𝑠 33.6 𝑠 + 1

Respuesta paso – Aproximación de primer orden con tiempo muerto La representación de la función de transferencia obtenida para la aproximación de primer orden con tiempo muerto obtenido siguiendo el procedimiento 3 se incluye con el bloque

Transfer Fcn denominado Ajuste 3 seguido del bloque Transport Delay (Librería Continuous) denominado Transport Delay3 – 11. En el primero de los nombrados se introduce la función de transferencia en su forma estándar sin tiempo muerto y en el segundo bloque se introduce el tiempo muerto en el cuadro denominado Time Delay. La respuesta paso (color morado) es capturada en el bloque Scope denominado Curva de Reacción Ajuste 3, en donde se superpone con la Curva de Reacción del Proceso (color amarillo) con el objeto de apreciar la aproximación entre ambos perfiles. La simulación durante un tiempo de 200 segundos se muestra en la Figura 64.

Figura 64. Ajuste de primer orden con tiempo muerto- (Procedimiento 3)

Se nota menos desviación entre la Curva de reacción del proceso y la aproximación a una función de transferencia de primer orden con tiempo muerto.

9. SINTONIZACIÓN EN LAZO ABIERTO INTRODUCCIÓN En este método se abre el lazo a la entrada de la válvula de control y a la salida del sensor y se obtiene la respuesta para del sistema constituido por dichos tres elementos en serie para un cambio paso unitario en variable de entrada a la válvula de control. Los perfiles gráficos que se obtienen de dicha respuesta se ajustan a un modelo de función de transferencia, siendo el más utilizado el de primer orden con tiempo muerto.

PARÁMETROS DE UN CONTROLADOR PID Después de hacer el procedimiento en lazo abierto de determinar los parámetros dinámicos de una aproximación del tipo de primer orden con tiempo muerto, la ganancia proporcional, el tiempo integral y el tiempo derivativo de un controlador PID se calculan, entonces, con reglas de sintonización específicas para cuando se aplica este método. Estas reglas expresan dichos valores en función de los parámetros dinámicos de la aproximación en lazo abierto, es decir, la ganancia estacionaria, el atraso dinámico y el tiempo muerto, según las acciones asignadas al controlador. Algunas de las reglas son las debidas a Ziegler y Nichols y a Cohen y Coon.

Reglas de Ziegler y Nichols Después de obtener, para un sistema, un modelo empírico de primer orden con tiempo muerto, Ziegler y Nichols y algunos otros autores han desarrollado reglas de sintonización de controladores que se basan en los parámetros del modelo aproximado, es decir, la ganancia, el tiempo muerto y la constante de tiempo para alcanzar respuestas con una razón de decaimiento de un cuarto. Las reglas de sintonización de un controlador PID debidas a Ziegler y Nichols son las siguientes.

Control Proporcional (P):

1

𝜏

𝐾𝑐 = ( ) 𝐾 𝑡 𝑜

Control Proporcional-Integral (PI):

𝐾𝑐 =

0.9 𝐾

𝜏

(𝑡 ) 𝑜

𝜏𝐼 = 3.33𝑡𝑜

Control Proporcional – Integral – Derivativo (PI): 𝐾𝑐 =

1.2 𝐾

𝜏

(𝑡 ) 𝑜

𝜏𝐼 = 2.0𝑡𝑜 𝜏𝐷 = 0.5𝑡𝑜

Smith y Corripio sostienen que las anteriores reglas son muy sensibles a la relación entre el tiempo muerto y la constante de tiempo; ellos recomiendan que estas reglas se apliquen a modelos que cumplan con la condición 0.1
𝜀 ⟹

𝑀(𝑡) = ℎ 𝑀(𝑡) = −ℎ

O también, si el error tiene un valor entre los límites mínimo y máximo, entonces la acción de control se mantiene en el valor normal

La “Banda Muerta” produce desfasamiento y atenuación. El desfasamiento puede ser solo función de la amplitud, o bien, de una combinación de la amplitud y del periodo de la señal de entrada. Esto complica, de manera considerable, el análisis de la respuesta del lazo cerrado porque su contribución a la fase altera su periodo, lo que puede influir en la ganancia del controlador lineal.

Figura 80. Salida del Controlador “On - Off” con Banda Muerta

PRÁCTICA 12. AUTOSINTONIZACIÓN DE UN CONTROLADOR PID INTRODUCCIÓN En esta práctica se toma un proceso que en lazo abierto tiene una dinámica dada por la siguiente función de transferencia:

𝐺(𝑠) =

6 (2𝑠 + 1)(4𝑠 + 1)(6𝑠 + 1)

Esta dinámica incluye la válvula de control y el sensor/transmisor. Es de tercer orden sin zeros, tres polos en -1/2, -1/4 y -1/6 y una ganancia de 0.125 (Es decir, 6/2/4/6).

DIAGRAMA DE BLOQUES El diagrama de bloques elaborado para esta práctica se muestra en la Figura 81. Para el desarrollo del procedimiento de auto sintonización en línea del controlador PID se inserta un bloque “Relay” que funciona como un controlador “On – Off” y en paralelo se instala un bloque controlador “PID Controller” para simular el desempeño del lazo de control. La función de transferencia se simula en la forma de zeros y polos.

Figura 81. Diagrama de bloques con Controlador “On - Off”

CONTROLADOR ON - OFF – BLOQUE RELAY DE SIMULINK La ventana de propiedades del bloque que simula a un controlador “On – Off” dentro de la plataforma de Simulink es la que se observa en la Figura 82. Debajo de la leyenda ilustrativa del bloque escrita en la parte superior de la ventana, se observan dos botones desplegables con los nombres Main y Signal Attributes. Al desplegar el primero se observan cuatro botones de edición denominados Switch on point, Switch off point, Output when on y Output when off. En los dos primeros botones se escribe eps y -eps, esto quiere decir que el interruptor cambiará a la posición On u Off cuando el valor de la variable de proceso sea ligeramente mayor o ligeramente menor que el valor deseado de la variable de proceso (En este caso 0, el valor inicial y el valor final asignado en el bloque Step es 0). En los siguientes dos botones se escriben los valores que se asignarán mientras los valores sean positivos o mientras sean negativos. En este caso se ha definido un valor de ± 1, lo que corresponde al valor de h.

Figura 82. Controlador “On – Off” – Ventana de propiedades

El bloque interruptor manual, colocado después de los controladores, cumple la función de permitir la utilización del diagrama de bloques con uno de los dos controladores instalados.

AUTO SINTONIZACIÓN Al hacer correr la simulación, con el interruptor manual dejando pasar la información proveniente del Relay y con el botón Step con valores de cero tanto en su valor inicial como

final, para un tiempo de 80 segundos se obtiene una respuesta como el perfil morado que se muestra en la Figura 83.

Figura 83. Salida del controlador “On – Off” (Perfil amarillo) Variable de control (Perfil morado)

Se observa que el Relay se mantiene en el valor +1 mientras la variable de control es negativa y cambia a -1 mientras la variable de control es positiva. La variable de control inicia una oscilación creciente y después de un cierto tiempo se mantiene con una amplitud constante. En este perfil se determina el valor a de la amplitud en alguna parte de la oscilación sostenida y el valor del período de la misma o período último.

PARÁMETROS h, a El valor de h es el asignado al utilizar el Relay, es decir:

ℎ= 1

El valor de a se determina sobre el perfil oscilatorio de amplitud constante de la variable de control. En este caso, una lectura a través del bloque simout o de la misma gráfica permite aproximar dicho valor a

𝑎 = 0.78

GANANCIA ÚLTIMA y PERÍODO ÚLTIMO La ganancia última se calcula con la ecuación propuesta por los autores del método de auto sintonización de controladores, es decir:

K cu 

4h 4(1) %CO   1.63 a  (0.78) %TO

El período último se determina haciendo lecturas en dos puntos en fase sobre el perfil de la variable de control, ya sea sobre el gráfico mismo o sobre los valores desplegados en la matriz simout. El valor del período último es, aproximadamente:

𝑇𝑢 = 12 𝑠𝑒𝑔

REGLAS DE TYREUS - LUYBEN Los valores de los parámetros de sintonización del controlador PID de acuerdo a las reglas de Tyreus – Luyben son los siguientes:

Control PI:

𝐾𝑐 =

𝐾𝑐𝑢 3.2

=

1.63 3.2

= 0.51

% 𝐶𝑂 % 𝑇𝑂

𝜏𝐼 = 2.2𝑇𝑢 = 2.22(12) = 26.4 𝑠𝑒𝑔

Control PID:

𝐾𝑐 =

𝐾𝑐𝑢 2.2

=

1.63 2.2

= 0.74

% 𝐶𝑂 % 𝑇𝑂

𝜏𝐼 = 2.2𝑇𝑢 = 2.22(12) = 26.4 𝑠𝑒𝑔 𝜏𝐷 =

𝑇𝑢 12 = = 1.9 𝑠𝑒𝑔 6.3 6.3

DESEMPEÑO DEL LAZO CERRADO DE CONTROL: A continuación se manipula el interruptor manual para conmutar el lazo de control y simularlo con el controlador PID y observar su desempeño considerando un cambio paso unitario en el valor deseado de la variable de control. El diagrama de bloques se observa, ahora, como se muestra en la Figura 84.

Figura 84. Diagrama de bloques con control PID

A continuación se desarrollan las simulaciones del lazo cerrado de control, asignándole al controlador los valores de sus parámetros estimados según las Reglas de Tyreus – Luyben.

Control Proporcional - Integral La Figura 85 muestra la ventana de especificaciones del bloque PID Controller de Matlab para simular el desempeño del lazo de control con un controlador Ideal con acciones proporcional e integral con una ganancia de 0.51 % CO/% TO y un tiempo integral de 26.4 segundos. Se observa una respuesta oscilatoria estable sin offset, con un overshoot pequeño y con un decaimiento rápido.

Figura 85. Respuesta del lazo de control – Controlador PI

Control Proporcional – Integral - Derivativo La Figura 86 muestra la ventana de especificaciones del bloque PID Controller de Matlab para simular el desempeño del lazo de control con un controlador Ideal con acciones proporcional – integral - derivativo con una ganancia de 0.74 % CO/% TO, un tiempo integral de 26.4 segundos y un tiempo derivativo de 1.9 segundos. Se observa una respuesta oscilatoria estable sin offset, con un overshoot más pequeño y con un decaimiento más rápido.

Figura 86. Respuesta del lazo de control – Controlador PID

13. LUGAR DE LAS RAICES INTRODUCCIÓN El lugar de las raíces es una construcción gráfica, en el plano imaginario, de las raíces de la ecuación característica de un lazo de control para diferentes valores de la ganancia o algún otro parámetro del controlador del lazo de control Mediante la construcción del lugar de las raíces se puede estudiar la estabilidad del lazo de control de un proceso y analizar el efecto de cambiar algunos términos del lazo de control en la estabilidad del mismo LAZO DE CONTROL – ECUACIÓN CARACTERÍSTICA El diagrama de bloques de un lazo de control con retroalimentación lo integran los bloques funciones de transferencia del controlador, la válvula de control, el proceso y el sensor/transmisor como lo muestra la Figura 87.

L(s)

Proceso

+ R(s) +

Controlador

Válvula

Proceso

+

C(s)

-

Sensor Transmisor

Figura 87. Diagrama de bloques de un lazo de control cerrado

La función de transferencia para un lazo de control cerrado como el de la Figura 82 es la siguiente:

C ( s) 

Gc ( s)Gv (s)G p (s) 1  H ( s)Gc ( s)Gv ( s)G p ( s)

R( s ) 

GL ( s ) L( s ) 1  H (s)Gc ( s)Gv ( s)G p (s)

(1)

Siendo G las funciones de transferencias para controlador, válvula y proceso y H, la función de transferencia del sensor/transmisor, R es el valor deseado para la variable de control y C es la variable de control

Ecuación característica del lazo de control En la ecuación (1), el denominador de cada uno de los dos términos igualado a cero expresa la denominada Ecuación Característica del lazo de control, es decir

1  H(s)G c (s)Gv (s)Gp (s)  0

(2)

Si se conocen las funciones de transferencia del proceso, la válvula de control y el sensor/transmisor y se asignan los parámetros de sintonización para el controlador, se puede hallar la solución de la ecuación (2) y, de acuerdo a la naturaleza de las raíces obtenidas determinar el comportamiento del sistema, en cuanto a su estabilidad

Función de transferencia de lazo abierto, OLTF La función de transferencia de lazo abierto. OLTF, se define como el producto de todas las funciones de transferencia en el lazo cerrado de control, es decir OLTF  H(s)G c (s)Gv (s)Gp (s)

(3)

Si se conoce cada una de las funciones de transferencia incluidas en la ecuación (3), una expresión generalizada para la OLTF es la siguiente: m  1  K '   s  t i 1  i  OLTF  n  1  s  s   t j  j 1 

n>m

(4)

m

Siendo

K'

K t i i 1 n

t

j

j 1

Para la ecuación (4), los valores de de

1

ti

1

tj

son los “polos” o raíces del denominador y los valores

son los “ceros” o raíces del numerador y K  K c K v K T K p

GRÁFICAS DEL LUGAR DE LAS RAICES Mediante la técnica del lugar geométrico de las raíces de la ecuación característica de un sistema de control, es posible analizar su estabilidad porque cuando la gráfica intercepta el eje imaginario o se prolonga a su derecha indica la posibilidad de que el lazo de control sea inestable. Lo anterior quiere decir que para las ganancias asignadas al controlador que hacen que la gráfica se extienda en tal sentido las raíces correspondientes de la ecuación característica o son números reales positivos o cantidades complejas conjugadas con parte real positiva. Un análisis matemático de la ecuación característica correspondiente a la función de transferencia en lazo abierto de un lazo de control por retroalimentación permite explicar los fundamentos y las reglas para la construcción geométrica del lugar de las raíces de dicha ecuación y que consisten en el cumplimiento de las condiciones de ángulo y magnitud por cada uno de los puntos del lugar geométrico. Según el perfil obtenido se definen otras propiedades como las asíntotas y los puntos de ruptura de las ramas del lugar geométrico

Condiciones de Angulo y Magnitud Si la ecuación (2) característica del lazo cerrado de control se escribe en función de los polos y zeros se transforma en

m

K '  s  zi  i 1 n

s s  p j 

 1

(5)

j 1

Debido a que las raíces o soluciones de la ecuación (5) son cantidades complejas, entonces el miembro izquierdo de esta ecuación es una cantidad compleja y, por lo tanto, se debe cumplir que la magnitud de esta sea igual al valor absoluto del miembro derecho y que el ángulo o argumento de la misma sea igual a un múltiplo de 180º. Lo anterior se entiende como las condiciones que deben cumplir las raíces escritas como la condición de magnitud y la condición de ángulo.

m

Condición de magnitud:

K '  s  z i  i 1 n

s s  p j 

1

(6)

j 1

Condición de ángulo:

m    K '  s  zi   i 1   180 ( 2k  1) ang  n    s s  p j   j  1  

(7)

… (k = 0, 1, 2,…n – m - 1)

Una representación geométrica de una raíz del miembro izquierdo de la ecuación (5) se muestra en la Figura 88 para un zero y dos polos reales:

Figura 88. Representación geométrica de una raíz de la ecuación característica

Simbolizando los ángulos que forman los vectores trazados desde la raíz si hasta los zeros y los polos por i  ( s  z i ) y  j  ( s  p j ) respectivamente, entonces la condición ángulo se puede expresar de la siguiente manera:

m

 i 1

i

n

   j  180(2k  1)

(8)

j 1

Obsérvese que debido a que los polos complejos conjugados y los zeros complejos conjugados en lazo abierto, si existen, siempre se sitúan simétricamente con respecto al eje real, los lugares de las raíces siempre son simétricos con respecto a este eje. Por lo tanto, en una construcción geométrica del lugar de las raíces solo es necesario construir la mitad superior del lugar de las raíces y dibujar la imagen especular de la mitad superior en el plano s inferior. En la actualidad se dispone de recursos computacionales, como el Matlab y el Simulink, que facilitan la construcción del lugar de las raíces de la ecuación característica de un lazo de control. Esto se utiliza en el análisis de la estabilidad del sistema de control y el diseño de un controlador para una respuesta estable deseada.

INTERCEPCIÓN LUGAR DE LAS RAICES - EJE IMAGINARIO La intercepción del lugar de las raíces con el eje imaginario es un punto complejo sin parte real y, por lo tanto, su valor es la frecuencia de la respuesta última sinusoidal que alcanza el sistema. Esto permite trazar, sobre el lugar de las raíces de un sistema, círculos de diferentes

radios cuyos valores corresponden a un valor de frecuencia. La ganancia correspondiente es la denominada ganancia última que al asignársela al controlador del lazo cerrado la respuesta obtenida es oscilatoria de tipo sinusoidal. A la inversa, si se ubica la intercepción del lugar de las raíces de un sistema con el eje imaginario se determina la ganancia última para un controlador proporcional y se determina la frecuencia natural o última, con la cual se puede calcular el período último del perfil oscilatorio de amplitud constante, mediante la ecuación:

Tu 

2 wn

LUGAR DE LAS RAICES – LINEAS DE  CONSTANTE Los polos dominantes complejos conjugados de un lazo cerrado de control se pueden localizar sobre el lugar de las raíces correspondiente si se especifica el coeficiente de amortiguamiento y la frecuencia de la respuesta oscilatoria deseada. La Figura 89 muestra las coordenadas de una raíz compleja conjugada y con lo cual se puede demostrar que:

Figura 89. Lugar de las Raíces – Línea de constante   Cos -1

(9)

La ecuación (9) permite afirmar que las líneas trazadas, sobre el lugar de las raíces de un sistema, con distintos ángulos de inclinación representan líneas de coeficiente de amortiguamiento constante. De acuerdo a esto, la intercepción del círculo de radio equivalente a la frecuencia deseada de la respuesta con la línea de coeficiente de amortiguamiento especificada determina la localización de los polos conjugados dominantes dentro de un lazo cerrado de control.

PRÁCTICA 14. LUGAR DE LAS RAICES CON MATLAB INTRODUCCIÓN En la actualidad se dispone de recursos computacionales, como el Matlab y el Simulink que facilitan la construcción del lugar de las raíces de la ecuación característica de un lazo de control. Esto se utiliza en el análisis de la estabilidad del sistema de control y el diseño de un controlador para una respuesta estable deseada.

COMANDO rlocus Un comando de Matlab que se usa con frecuencia para graficar los lugares geométricos de las raíces es el “rlocus” con los argumentos “num” y “den” de la siguiente manera:

rlocus(num, den)

Siendo “num” y “den” los vectores de los coeficientes del numerador y denominador, respectivamente, en la función de transferencia de lazo abierto del sistema de control. Con este comando se dibuja en la pantalla la gráfica del lugar geométrico de las raíces. El vector de ganancias se determina automáticamente. Si el usuario proporciona un vector de ganancias, K, para que el lugar de las raíces se observe para dicho vector se utiliza el comando

rlocus(num, den, K)

Si se invoca el comando con los argumentos del lado izquierdo

[r, K] = rlocus(num, den, K)

La pantalla de Matlab mostrará la matriz “r” y el vector de ganancias “K”, (r tiene una longitud de K renglones y una longitud “den” de -1 columnas que contienen las ubicaciones de las raíces complejas. Cada renglón de la matriz corresponde a una ganancia a partir del vector K).

COMANDO plot El comando “plot” grafica los lugares s de las raíces de la siguiente manera: plot(r, ‘’)

Si se quiere graficar los lugares geométricos de las raíces con marcas como ‘o’ o bien ‘x’, es necesario usar el comando siguiente

r = rlocus(num, den) plot(r ‘o’)

ó plot(r ‘x’)

COMANDO sgrid Las líneas de coeficiente de amortiguamiento constante (entre 0 y 1) y los círculos de frecuencia natural constante se incluyen dentro del diagrama del lugar de las raíces con solo digitar la orden:

sgrid

Si solo se desean líneas para algunos valores constantes del coeficiente de amortiguamiento en particular y círculos para algunos valores constantes de la frecuencia angular en particular se agregan como argumentos el vector fila de cada una de estas dos especificaciones en la forma de:

sgrid(z,w)

Siendo z el vector fila de los valores del coeficiente de amortiguamiento y w el vector fila de los valores de la frecuencia angular.

EJERCICIO – SOLUCIÓN CON MATLAB Para cada uno de los sistemas cuyas funciones de transferencia en lazo abierto son las siguientes:

1. OLTF(s) 

1 s(s  1)(s  4s  13)

2.

( s  3) s(s  1)(s2  4s  16)

OLTF(s) 

2

1. Construya el lugar de las raíces del sistema, incluyendo los círculos de frecuencia natural constante y las líneas representativas del coeficiente de amortiguamiento 2. Lea sobre el gráfico los valores de los polos y los zeros de la función de transferencia en lazo abierto 3. Determine la ganancia última de un controlador proporcional y el período último de la respuesta oscilatoria de amplitud constante

Ejercicio 1 - Desarrollo: 1. Para construir el diagrama del lugar de las raíces junto con las líneas de coeficiente de amortiguamiento constantes y los círculos de frecuencia natural constante se elabora el siguiente código en Matlab

>> den = conv([1 0], conv([1 1], [1 4 13])); >> h = tf(1, den); >> rlocus(h) >> sgrid

En el primer renglón se define el denominador de la función de transferencia del sistema con el nombre den y se expresa utilizando el comando conv (que quiere decir convolución) con el cual se multiplican dos matrices. Se hace un anidamiento de comandos conv para multiplicar los tres factores incluidos en dicho denominador. Los números dentro de los corchetes se separan con un espacio simple.

En el segundo renglón se define la función de transferencia del sistema con el comando tf que expresa la forma estándar, como está escrita en el planteamiento En el tercer renglón se utiliza el comando rlocus para construir el diagrama del lugar de las raíces correspondiente a la función de transferencia h (es el argumento que se requiere al utilizar el comando) En el cuarto renglón se digita el comando sgrid con el cual se hace aparecer sobre el diagrama del lugar de las raíces los círculos de frecuencia natural constante y las líneas de factor de amortiguamiento constante. La representación gráfica que resulta se muestra en la Figura 90.

Figura 90. Lugar de las raíces del sistema

2. Los polos se resaltan con pequeñas letras x y las ramas del lugar de las raíces se muestran con diferentes colores. En este caso, no hay zeros pero cuando los hay se muestran con pequeños círculos. Se alcanza a observar que hay dos polos reales, uno en el valor 0 y otro en el valor de -1, y dos polos complejos conjugados con parte real negativa.

3.

Ampliando el gráfico del lugar de las raíces sobre el punto de intercepción con el eje imaginario, se acerca el puntero del mouse a dicho punto y se hace clic sobre él. Se despliega un pequeño cuadro que muestra algunas propiedades de dicho punto. (Observe la Figura 91).

Figura 91. Características del punto intercepción lugar de las raíces – eje imaginario

La ganancia última de un controlador proporcional es: K cu  37.4

%CO %TO

Y la frecuencia natural de la respuesta oscilatoria de amplitud constante es:

wn  1.61 rad / seg

Y, por lo tanto, el período último de dicha respuesta oscilatoria es: Tu 

2 2   3.9 seg wn 1.61

Ejercicio 2 - Desarrollo: 1. Para construir el diagrama del lugar de las raíces junto con las líneas de coeficiente de amortiguamiento constantes y los círculos de frecuencia natural constante se elabora el siguiente código en Matlab

>> num = [1 3]; >> den = conv([1 0], conv([1 1], [1 4 16])); >> h = tf(num, den); >> rlocus(h) >> sgrid

En el primer renglón se define el numerador de la función de transferencia del sistema con el nombre num. Los siguientes renglones son explican según lo descrito en el ejercicio anterior. La representación gráfica que resulta se muestra en la Figura 92.

Figura 92. Diagrama del lugar de las raíces

2. Los polos se resaltan con pequeñas letras x y las ramas del lugar de las raíces se muestran con diferentes colores. En este caso, se observa un pequeño círculo que

indica la localización de un zero en el valor 3. Se alcanza a observar que hay dos polos reales, uno en el valor 0 y otro en el valor de -1, y dos polos complejos conjugados con parte real negativa. Acercando el puntero del mouse a cada uno de los puntos zeros o polos y haciendo clic sobre ellos se despliegan pequeños cuadros que muestran algunas características de dichos puntos. Observe la Figura 93.

Figura 93. Diagrama del lugar de las raíces – Características de zeros y polos.

Se despliegan los valores de las características: ganancia, valor del polo o del zero, valor del factor de amortiguamiento, porcentaje de overshoot y frecuencia de la respuesta oscilatoria del sistema 3. Ampliando el gráfico del lugar de las raíces sobre el punto de intercepción con el eje imaginario, se acerca el puntero del mouse a dicho punto y se hace clic sobre él. Se despliega un pequeño cuadro que muestra algunas propiedades de dicho punto. (Observe la Figura 94). La ganancia última de un controlador proporcional es: K cu  33.3

%CO %TO

Y la frecuencia natural de la respuesta oscilatoria de amplitud constante es:

wn  3.14 rad / seg

Y, por lo tanto, el período último de dicha respuesta oscilatoria es: Tu 

2 2   2 seg wn 3.14

Figura 94. Características del punto intercepción lugar de las raíces – eje imaginario

ANEXOS

ANEXO 1. SISO Design Tool - MATLAB 1.1. INTRODUCCIÓN La herramienta SISO Design Tool es una interfaz gráfica de usuario incluida dentro de la plataforma de Matlab que sirve para diseñar controladores de procesos. La herramienta SISO Design Tool contiene lo siguiente: 



 



La interfaz SISO Design Task Node desplegada dentro del administrador de herramientas para la estimación y el control (Control and Estimation Tools Manager): espacio donde se facilita el diseño de controladores en lazos de control retroalimentados por medio de un conjunto de paneles interactivos. La interfaz Graphical Tuning Window: espacio para desplegar y manipular los gráficos de Bode, el lugar de las raíces, los gráficos de Nichols del controlador que se está diseñando. Esta ventana se titula SISO Design for Design Name. La interfaz Graphical Tuning Window despliega, por defecto, el lugar de las raíces y los gráficos de Bode para los sistemas importados. Ambas representaciones gráficas estan vinculadas; es decir que si, por ejemplo, se cambia la Ganancia en el lugar de las raíces inmediatamente se afectan los gráficos de Bode. La interfaz SISO Design Task – asociada con el visor de sistemas lineales (LTI Viewer) Una herramienta que genera, automáticamente, controladores utilizando diferentes procedimientos de sintonización para control PID, el control de modelo interno o métodos LQG (linear – quadratic - Gaussian). Los métodos de sintonización óptimos que hacen la sintonización automática de un sistema para satisfacer los requerimientos de un diseño.

1.2 APERTURA DE LA HERRAMIENTA SISO Design Tool Para abrir la herramienta SISO Design Task Node incluida dentro de la interfaz Control and Estimation Tools Manager and the Graphical Tuning Window basta con abrir Matlab y escribir a la derecha del editor de comandos la palabra clave sisotool. Inicialmente se despliegan un mensaje explicativo titulado Getting Started with SISO Design Tool con dos botones de presión Close y Help. (Figura 1.1)

Figura 1.1 Mensaje de Inicio del SISO Design Tool

Al presionar el botón Close o minimizar este cuadro de mensaje queda descubierta la interfaz titulada SISO Design for SISO Design Task en donde se observan los espacios donde se despliegan el lugar de las raíces y los gráficos de Bode del sistema cuyo control se quiere diseñar (Figura 1.2). Esta interfaz es la ventana para la sintonización gráfica en el trabajo de diseño de un controlador SISO (SISO Design Task Graphical Tuning Window)

Figura 1.2 Interfaz SISO Design for SISO Design Tools

La Figura 1.3 muestra la interfaz que se despliega titulada Control and Estimation Tools Manager.

Figura 1.3. Interfaz Control and Estimation Tools Manager

En la interfaz Control and Estimation Tools Manager se observa que debajo del título aparece una barra de menús con las opciones File, Edit y Help e inmediatamente debajo una barra de herramientas con los iconos conocidos para abrir, guardar, deshacer y rehacer. En el lado izquierdo se nota un espacio que al abrir por primera vez la interfaz se observa con el árbol SISO Design Task seleccionado, por defecto. Otra opción incluida en el espacio izquierdo de la interfaz Control and Estimation Tools Manager es Workspace y dentro del árbol SISO Design Task se encuentra la rama Design History. Al seleccionar el árbol SISO Design Task se observa un espacio a la derecha que muestra la ventana de inicio de la pestaña denominada Architecture donde se definen aspectos relacionados con el diseño que se proponga el usuario como la arquitectura del lazo de control (Control Architecture), la configuración del lazo de control (Loop Configuration), los datos del sistema (System Data) y el tiempo de muestreo (Sample Time Conversion). Otras ventanas disponibles en la interfaz correspondiente al árbol SISO Design Task son las que se despliegan al presionar las pestañas: editor del controlador (Compensator Editor), sintonización gráfica (Graphical Tuning), análisis gráfico (Analysis Plots) y sintonización automatizada (Automated Tuning). En la parte inferior de este espacio se encuentran tres botones de presión Show Architecture, Store Design y Help.

Barra de menús en la interfaz Control and Estimation Tools Manager Menú File: este menú incluye las opciones Load (abrir o cargar un archivo), Save (guardar un archivo extensión MAT), Export (exportar un archivo) y Close (cerrar el administrador). Menú Edit: este menú incluye las opciones Undo (devolverse a pasos anteriores), Redo (adelantarse a pasos siguientes), SISO Tool Preferences (cambio de unidades, inserción de cuadrículas dentro de construcciones gráficas, cambio de leyendas, colores y otros, cambio en el formato del controlador, despliegue de polos y zeros en diagramas de Bode) y Help (ayuda).

Botones de presión disponibles desde cualquier pestaña En cualquiera de las ventanas desplegadas para uno de los paneles o pestañas observadas al seleccionar el árbol SISO Design Task se observan tres botones de presión con las leyendas Show Architecture, Store Design y Help.

Botón Show Architecture Al hacer clic sobre el botón con leyenda Show Architecture se despliega una ventana que muestra el diagrama de bloque elegido por el usuario. Por ejemplo, si se presiona el botón en

este momento se despliega el diagrama de bloques mostrado en la Figura 1.4 correspondiente a un lazo de control por retroalimentación.

Figura 1.4. Interfaz Control Architecture

Debajo del diagrama de bloques que muestra la arquitectura del lazo de control seleccionada por el usuario hay una tabla que muestra los nombres asignados, por defecto, a cada una de las partes del diagrama de bloques y el nombre asignado por el usuario, si este lo ha cambiado.

Botón Store Design Al hacer clic sobre el botón con la leyenda Store Design se guarda el diseño elaborado en el SISO Design Task node. Al hacer clic sobre la opción Design situada debajo del nodo se puede observar un resumen del diseño elaborado y al hacer clic sobre la opción Design History se puede observar una lista de todos los diseños almacenados

1.3 MANEJO DE LA HERRAMIENTA SISO Design Task Al seleccionar la rama SISO Design Task se despliega, por defecto, el panel Architecture cuya interfaz se muestra en la Figura 1.3. Los otros paneles son: el editor del controlador (Compensator Editor), sintonización gráfica (Graphical Tuning), análisis gráfico (Analysis Plots) y sintonización automatizada (Automated Tuning)

1.3.1 PANEL Architecture En este panel se realizan acciones como la modificación de la estructura del lazo de control (Botón Control Architecture), la configuración de estructuras para diseños con múltiples lazos (Botón Loop Configuration), la importación de modelos al sistema (Botón System Data) o la conversión del tiempo de muestreo (Botón Sample Time Conversion).

Selección de la estructura del lazo de control Al presionar el botón Control Architecture se despliega la interfaz que permite el cambio de la estructura feedback desplegada por defecto como también la modificación de las leyendas de las señales y de los bloques. La interfaz desplegada es la observada en la Figura 1.5.

Figura 1.5. Interfaz Control Architecture

Dentro del cuadro titulado Select Control Architecture mostrado a la izquierda de la interfaz se pueden ver las diferentes estructuras incluidas en la herramienta. Se notan lazos simples feedback y feedforward como también múltiples lazos como la estructura de dos lazos de control en cascada. Al seleccionar una de estas estructuras, automáticamente se modifica la ventana del diagrama de bloques desplegada a la derecha. La Figura 1.6 muestra la interfaz correspondiente a una estructura de dos lazos de control en cascada. Cada estructura tiene asociados paneles titulados signos (Signs) y bloques y señales (Blocks and Signals). Para la estructura del lazo de control feedback mostrada en la Figura 1.5 el panel Signs es un botón desplegable donde se selecciona el signo de la señal feedback (negativo o positivo) (Figura 1.7)

Figura 1.6. Interfaz Control Architectura para una estructura en cascada

Figura 1.7 Panel Signs de la estructura del lazo de control feedback

El panel Blocks and Signals para la estructura del lazo de control feedback muestra los identificadores genéricos de cada uno de los bloques y señales del diagrama. Haciendo doble sobre la celda correspondiente a la derecha de cada uno de los bloques (Columna Name) se puede editar el nombre de ellos (Figura 1.8)

Figura 1.8. Panel Blocks and Signals de la estructura del lazo de control feedback

Selección de la configuración del lazo de control Al presionar el botón Loop Configuration se despliega la ventana (Figura 1.9) que permite la configuración de lazos para el diseño de múltiples lazos mediante la apertura de señales para la remoción de los efectos de otros lazos feedback.

Figura 1.9 Interfaz Open – Loop Configuration Dialog

Para especificar las aberturas para un lazo dado se selecciona el lazo en el botón desplegable Open – Loop configuration for. Para la estructura de control feedback solo aparece la opción Open Loop L. Al presionar el botón Highlight Feedback Loop situado en la esquina inferior derecha de la interfaz se pueden ver los efectos de las aperturas seleccionadas. Para una lazo de control con arquitectura en cascada, la interfaz Open – Loop Configuration Dialog muestra dos configuraciones en lazo abierto (Open Loop – Output of C1 y Open Loop – Output of C2) (Figura 1.10)

Figura 1.10 Interfaz Open – Loop Configuration Dialog para una arquitectura en cascada

Al seleccionar la opción Open Loop – Output of C1 y presionar el botón Highlight feedback loop se despliega el lazo con la arquitectura múltiple en cascada. Al seleccionar la opción Open Loop – Output of C2 se despliega en el cuadro titulado Pick signal openings for the selection la opción para verificar la salida del bloque C1, en este caso se despliega la arquitectura del lazo como lo muestra la Figura 1.11.

Figura 1.11 Interfaz Open Loop – Output of C2

Importación de modelos al sistema Al presionar el botón System Data que se encuentra en el panel Architecture se despliega una caja de diálogo que permite la importación de modelos al sistema que se titula System Data. La Figura 1.12 muestra la ventana System Data para la arquitectura de un lazo de control feedback. Se pueden importar modelos para la planta (G), el controlador (C), el prefiltro (F) y/o el sensor (H).

Figura 1.12. Caja de diálogo System Data – Lazo de control feedback

Para importar un modelo se procede de la siguiente manera: 1. Se selecciona un sistema en la columna System y se presiona el botón Browse situado en la parte inferior derecha. Se abre, con esto, la caja de diálogo titulada Model Import que se muestra en la Figura 1.13.

Figura 1.13. Interfaz Model Import

2. Se selecciona un modelo de la lista disponible en el cuadro titulado Available Models. Se pueden importer modelos contenidos en: a. El espacio de trabajo de MATLAB ó b. En un archivo MAT-file 3. Se presiona el botón Import y a continuación se presiona el botón Close. Se puede ver ahora el modelo cargado en el sistema seleccionado en la caja de diálogo System Data. 4. Se presiona el botón OK. La ventana de sintonización (Graphical Tuning window) es actualizada con el modelo cargado. Otra alternativa de importación de modelos es la digitación de una variable o expresión válida en la columna Data en la caja de diálogo System Data.

Conversión del tiempo de muestreo Al presionar el botón Sample Time Conversion se hace la conversión del tiempo de muestreo del sistema (Conversión de continuo a discreto) o se interrumpe entre diferentes tiempos de muestreo para diseñar diferentes controladores. La caja de diálogo que se despliega se muestra en la Figura 1.14.

Figura 1.14. Caja de diálogo Sample Time Conversion

Los métodos de conversion disponibles son: Zero-Order Hold, First-Order Hold, Impulse Variant, Tustin, Tustin w/Prewarping y Matched Pole-Zero.

1.3.2 PANEL Compensator Editor En el panel Compensator Editor se construye el diseño del controlador mediante la introducción de la ganancia, los polos y los zeros de su función de transferencia. Al presionar la pestaña Compensator Editor se despliega la ventana que se muestra en la Figura 1.15.

Figura 1.15. Ventana del panel Compensator Editor

Los elementos de la función de transferencia del controlador se introducen así: 

La ganancia del controlador se digita en el cuadro de texto observado en la parte superior del panel inmediatamente debajo del título Compensator y a la derecha del cuadro desplegable que, por defecto, muestra el elemento C (Controlador) del lazo de control a diseñar.



Los polos y los zeros de la función de transferencia del controlador se añaden o se borran haciendo doble clic sobre la tabla titulada Dynamics que, por defecto, despliega el panel titulado Pole/Zero.



Los valores de los polos y zeros se pueden ajustar introduciendo los valores directamente en el marco que contiene un grupo de cuadros de texto titulado Edit Selected Dynamics.

La ventana mostrada en la Figura 1.16 es la que se obtiene haciendo doble clic derecho para agregar dos polos complejos conjugados y dos zeros complejos conjugados.

Figura 1.16. Edición del controlador en el panel Compensator Editor

1.3.3 PANEL Graphical Tuning El panel para la sintonización gráfica de un controlador (Graphical Tuning) se utiliza para:



Configurar los gráficos de diseño en la ventana de sintonización gráfica de un controlador (Graphical Tuning Window)



Seleccionar nuevos lazos para sintonizar



Relocalizar sobre la ventana de sintonización gráfica (Graphical Tuning Window)

Al presionar la pestaña Graphical Tuning se despliega una ventana como la mostrada en la Figura 1.17. En la ventana para la sintonización gráfica se utilizan las representaciones gráficas de un sistema para manipular sobre ellos la respuesta del sistema. Estos diseños son vinculados dinámicamente a la interfaz SISO Design Task. Al cambiar la dinámica del controlador ya sea en la interfaz SISO Design Task o en la Graphical Tuning, el diseño se actualiza en ambas partes. Para respuestas en lazo abierto los gráficos disponibles son: el lugar de las raíces, los gráficos de Bode y el gráfico de Nichols. Para respuestas en lazo cerrado el tipo de gráfico disponible es el de Bode.

Figura 1.17. Interfaz Graphical Tuning

Selección de nuevos lazos para sintonizar En la interfaz Graphical Tuning se observan varios botones de presión en la parte inferior. Para seleccionar nuevos lazos para su sintonización se presiona el que aparece con la leyenda Select New Open/Closed Loop to Tune y para mostrar el gráfico del diseño elaborado se presiona el de la leyenda Show Design Plot. La interfaz que se despliega al presionar el botón Select New Open/Closed Loop to Tune es la que se muestra en la Figura 1.18.

Figura 1.18. Interfaz Select New Loop to Tune

Los menús desplegables se utilizan para seleccionar el lazo cerrado de control que se desea sintonizar mediante la especificación de la variable de entrada, la variable de salida y los bloques a sintonizar. Utilizando la caja de diálogo se pueden seleccionar lazos cerrados adicionales para sintonizar. Cualquier lazo que se especifique se despliega en el cuadro titulado Summary of Available Loops to Tune que se encuentra en el panel Graphical Tuning. La lista también se encuentra disponible en la tabla Design plots configuration del mismo panel. Se puede usar esto último para configurar gráficos de diseño.

Apertura de la ventana Graphical Tuning Al presionar el botón Show Design Plot se despliega la ventana Graphical Tuning en donde el usuario puede valerse de los gráficos desplegados para focalizarse en el análisis gráfico del sistema. Para un lazo en el que todos sus elementos tienen como función transferencia uno, la interfaz que se despliega al presionar el botón Show Design Plot es la que se muestra en la Figura 1.2. Para una planta con una cierta función de transferencia diferente manteniendo a los otros elementos con funciones de transferencia igual a uno la interfaz desplegada puede observarse como se nota en la Figura 1.19.

Figura 1.19. Interfaz Graphical Tuning

Se observa el gráfico del lugar de las raíces y los gráficos de Bode para el lazo abierto. El que se incluya los gráficos de Bode para el lazo cerrado se entiende que se añadió este nuevo lazo para su inclusión en la interfaz del panel Graphical Tuning.

1.3.4 PANEL Analysis Plots El panel para los análisis gráficos (Analysis Plots) se utiliza para:



Personalizar las respuestas del lazo de control



Añadir nuevos gráficos sobre la respuesta del lazo de control



Abrir o cambiar la interfaz al visor LTI

Al presionar la pestaña Analysis Plots se despliega una ventana como la mostrada en la Figura 1.20.

Figura 1.20. Interfaz Analysis Plots

Personalización de las respuestas de un lazo Las siguientes secciones describen los principals componentes del panel Analysis Plots:

Analysis Plots. Se pueden desplegar hasta seis gráficos en un visor LTI. Para añadir un gráfico se comienza selecciónando "Plot 1" de la lista de gráficos. Entonces, se selecciona el nuevo tipo de gráfico a partir del menú desplegable. Se puede escoger cualquiera de los gráficos disponibles en el visor LTI. Se selecciona la opción "None" para remover un gráfico. Contents of Plots. Después de seleccionar un tipo de gráfico se puede incluir el despliegue de varias respuestas de funciones de transferencia de sistemas tanto en lazo cerrado como en lazo abierto. Se pueden graficar las respuestas para cada uno de los componentes del sisema incluyendo el compensador (C), la planta (G), el prefiltro (F) o el sensor (H). Además, también se dispone de gráficos de sensibilidad de las respuestas.

Adición de nuevos gráficos de respuesta Al presionar el botón Add Responses se abre una ventana con tres botones de menus desplegables para seleccionar respuestas del sistema tanto en lazo cerrado como en lazo abieto para varios nodos de entrada o salida en el diagrama de bloque correspondiente a la arquitectura del lazo de control. Esto permite la selección de respuestas adicionales para su visualización. La table Response se actualiza automáticamente para incluir la respuesta seleccionada.

Apertura o cambio de perfiles gráficos en el visor LTI Al presionar el botón Show Analysis Plot se abre un Nuevo visor LTI para el diseño del sistema SISO con los gráficos de las respuestas que se han seleccionado. Todos los gráficos abren en el mismo instante sobre el visor LTI. (Figura 1.21)

Figura 1.21. Interfaz Analysis Plots – Interfaz LTI Viewer for SISO Design Task

Se observa en la interfaz Analysis Plots de la Figura 1.21 que se en la tabla Responses se incluye una respuesta para el lazo cerrado desde du to y (Closed Loop – From du to y), y en la interfaz LTI Viewer for SISO Design Task mostrada a la derecha de la Figura 1.21 se observa la respuesta seleccionada, es decir Closed Loop r to y. Se sugiere al usuario que seleccione otros gráficos para observar que automáticamente se muestra en el visor LTI de la derecha.

1.3.5 PANEL Automated Tuning El panel Automated Tuning se utiliza para seleccionar un método de sintonización del controlador que se quiere diseñar. Los métodos de sintonización automatizados ayudan a diseñar, inicialmente, un controlador para un lazo cerrado SISO que satisfaga las especificaciones de diseño requeridas.

Al presionar la pestaña Automated Tuning se despliega la ventana mostrada en la Figura 1.22. Esta contiene un botón menú desplegable titulado Design Method en donde se selecciona uno de los métodos de sintonización disponibles: Optimization Based Tuning, PID Tuning, Internal Model Control (IMC) Tuning, LQG Synthesis y Loop Shaping.

Figura 1.22. Interfaz Automated Tuning

La interfaz abre, por defecto, en la opción Optimization Based Tuning y debajo de dicha selección se despliega un mensaje explicativo a cerca de la aplicación y requerimientos que exige el método. A cerca de cada una de las opciones se pueden hacer las siguientes descripciones:



Optimization Based Tuning: Optimiza los parámetros del controlador utilizando los requerimientos de diseño implementados en la sintonización gráfica y en el análisis gráfico.



PID Tuning: Investiga por los parámetros iniciales del controlador PID utilizado el tiempo de respuesta robusto, la investigación de parámetros y los métodos de sintonización basados en IMC y en las reglas de Ziegler-Nichols.



Internal Model Control (IMC) Tunig: Obtiene un controlador feedback estable para todo orden utilizando el método de diseño IMC.



LQG Synthesis: Diseña un controlador feedback estable para todo orden como un perfil Gausiano cuadrático lineal (Linear-Quadratic-Gaussian (LQG) tracker).



Loop Shaping: Busca un controlador feedback estable para todo orden con una forma o ancho de banda en lazo abierto deseada.

Después de seleccionar el algoritmo de sintonización, el panel actualiza el despliegue de las correspondientes opciones. Para hacer el diseño de un controlador se siguen los siguientes pasos para cada uno de los métodos anteriores:

1. Se selecciona el algoritmo de sintonización automatizado dentro del menú desplegable denominado Design Method. Si se selecciona el algoritmo Optimization – Based Tuning se requiere que se tenga instalada la herramienta de optimización de Simulink. 2. Se seleccione un controlador dentro del menú desplegable denominado Compensator. 3. Se determine cómo se desea el compensador para desarrollar y ajustar las especificaciones de sintonización. 4. Se presiona el botón Update Compensator y observe los cambios en el diseño asociado y en los gráficos para el análisis.

Si encuentra desactivado el botón Update Compensator, trate de seleccionar diferentes especificaciones de sintonización (Paso 3) o cambie el algoritmo de sintonización (Paso 1).

Cuando el botón se encuentra deshabilitado significa que el método elegido no funciona para el modelo seleccionado.

1. Método de diseño - Optimization - Based Tuning La sintonización óptima genera una tarea de diseño que es un asistente para la sintonización y optimización de sistemas de control. Si se tiene instalado el recurso de optimización de diseño a través de Simulink, se puede utilizar este método ya sea:



Sintonizando, directamente, respuestas de señales dentro de modelos de Simulink



Sintonizando respuestas de sistemas LTI utilizando el recurso SISO Design Task

2. Método de diseño - PID Tuning El control PID (proporcional-integral-derivativo) control es la técnica de control más, popularmente, utilizada en la industria moderna. La herramienta SISO Design Tool facilita cinco algoritmos de sintonización PID, incluyendo uno que es soportado por la mayoría de los sistemas (Control Robusto). En la mayoría de los casos, los controladores PID que se diseñan con algoritmos de sintonización PID muestran respuestas con desempeños aceptables. Al seleccionar el método de diseño PID Tuning se despliega la interfaz que se muestra en la Figura 1.23.

Figura 1.23. Intefaz del método de diseño PID Tuning

Para realizar el diseño de un controlador PID se siguen los siguientes pasos:

2.1 . Selección del tipo de controlador Se selecciona un tipo de controlador a partir de las siguientes opciones: P: Controlador Proporcional,

C  Kc

PI: Controlador Proporcional – Integral

C  Kc 

KI s

PID: Controlador Proporcional – Integral – Derivativo

C  Kc 

KI  KDs s

PIDF: Controlador PID con filtro

C  Kc 

KI KDs  s s 1 N

Si se escoge PIDF como el tipo de controlador, se puede necesitar la especificación de la frecuencia N o ancho de banda (bandwidth) en rad/s. Si se sintoniza un bloque controlador PID y el bloque es tipo PI o P, se selecciona el mismo tipo de controlador que el bloque. Si el bloque es tipo PID se selecciona la opción PID with derivative filter (1/(1 + s/N)). Si el bloque es de tipo PD o I, no se puede sintonizar el bloque usando algoritmos de sintonización PID. En estos casos, sintonice el bloque utilizando el panel Compensator Editor o el panel Graphical Tuning.

2.2.

Selección del algoritmo de sintonización

Se selecciona un algoritmo de sintonización dentro de la lista denominada Tuning algorithm (Figura 1.24): 

Robust response time: Este método calcula los parámetros del controlador PID para estabilizar robustamente el sistema sobre la base del ancho de bando y el margen de fase especificado.



Parameter search: Este método implementa técnicas de diseño del control robusto para localizar regiones estabilizantes de control PID en el espacio de los parámetros.



Ziegler-Nichols open loop: Los ajustes del controlador se basan en un ajuste que se hace de la planta a un modelo de primer orden con tiempo muerto. Este

método utiliza los ajustes de Chien-Hrones-Resnick (CHR) para un sobrepaso del 20% (overshoot). 

Ziegler-Nichols closed loop: Los ajustes del controlador se obtienen a partir de los valores obtenidos con la table de estimaciones de parámetros de Ziegler-Nichols, en base a la ganancia última y a la frecuencia última del sistema. Este método solamente aplica a plantas estables. El algoritmo de Ziegler-Nichols closed loop no aplica a sistemas de primer orden y de segundo orden con tiempo muerto. Si se selecciona el algoritmo para estos casos, la herramienta automáticamente selecciona el algoritmo Ziegler-Nichols open loop.



Internal Model Control (IMC): Los ajustes del controlador se derivan de un controlador IMC de orden mayor con técnicas de reducción del modelo. Este método solo aplica a plantas estables.

Figura 1.24 Algoritmos de sintonización de controladores PID

2.3.

Ajuste de los parámetros de sintonización

El ajuste de los parámetros de sintonización disponibles varía de acuerdo al tipo de algoritmo de sintonización seleccionado.

Algoritmo de sintonización Robust response time Si se selecciona el algoritmo Robust response time, se ajustan los siguientes parámetros de desempeño (Figura 1.25):



Ancho de banda (Bandwidth)



Margen de fase (Phase margin)

Estos parámetros se pueden ajustar mediante las barras deslizables. También se pueden ajustar digitando un valor conocido en el cuadro de texto colocado a la derecha de cada uno. El ancho de banda se puede escalar a múltiplos de 10 presionando los botones que aparecen a lado y lado con dos saetas.

Figura 1.25. Algoritmos de sintonización Robust response time

Algoritmo de sintonización Parameter search Si se selecciona el algoritmo Parameter search, se selecciona una de las siguientes opciones que aparecen en la lista Performance metric (Figura 1.26):



Integral Absolute Error (IAE)



Integral Square Error (ISE)



Integral Time Square Error (ITAE)



Integral Time Square Error (ITSE)

Figura 1.26. Algoritmo de sintonización Parameter search

Los anteriores son criterios típicos del desempeño de un controlador que se basan en el tiempo de respuesta.

Algoritmo de sintonización Ziegler – Nichols open loop Si se selecciona el algoritmo de sintonización Ziegler-Nichols open loop, se selecciona una de las opciones mediante la presión de los radio botones (Figura 1.27): 

Cambio en el setpoint (Setpoint tracking)



Cambio en la perturbación (Load disturbance rejection)

Figura 1.27. Algoritmo de sintonización Ziegler – Nichols open loop

Algoritmo de sintonización Ziegler – Nichols open loop Si se selecciona el algoritmo de sintonización Ziegler-Nichols closed loop, se selecciona una fórmula para calcular valores de los parámetros de sintonización mediante la presión de uno de los siguientes radio botones (Figura 1.28):

  

Ziegler-Nichols Tyreus-Luyben Astrom-Hagglund

Algoritmo de sintonización Internal Model Control (IMC) Si se selecciona el algoritmo de sintonización Internal Model Control (IMC), se utiliza la barra deslizable para ajustar la constante de tiempo dominante en el lazo cerrado de control (Figura 1.29).

Figura 1.28. Algoritmo de sintonización Ziegler – Nichols closed loop

Figura 1.29. Algoritmo de sintonización Internal Model Control (IMC)

2.4.

Actualización del controlador

Finalmente, se presiona el botón Update Compensator para que la herramienta actualice los valores de los parámetros del controlador de acuerdo al método de diseño y algoritmo de sintonización elegido.

3. Método de diseño - Internal Model Control (IMC) Tuning El método de diseño IMC genera un controlador feedback de cualquier orden que garantiza la estabilidad del lazo cerrado cuando no hay error en estado estacionario (offset) en el modelo. Este método de sintonización se puede usar tanto para plantas estables como plantas inestables. Al seleccionar el método de diseño Internal Model Control (IMC) Tuning se despliega la interfaz que se muestra en la Figura 1.30.

Figura 1.30. Método de diseño Internal Model Control (IMC) Tuning

Para diseñar un controlador IMC se procede así: 1. Se especifica un valor en el cuadro titulado Dominant closed-loop time constant. El valor inicial es ajustado como el 5% del tiempo de asentamiento (settling time) en lazo abierto. En general, aumentando este valor se hace más lento el sistema en lazo cerrado y se hace más robusto el control. 2. Se especifica un valor en el campo denominado Desired controller order utilizando la aguja deslizante. Después de obtener un controlador feedback de orden mayor se puede tratar de reducir el orden. Se puede perder en el desempeño y en la estabilidad del lazo cerrado de control si se reduce el orden. 3. Se presiona el botón Update Compensator para actualizar los parámetros de sintonización del controlador

4. Método de diseño – LQG Synthesis El método de diseño LQG Synthesis genera un controlador feedback de orden mayor que garantiza una estabilidad en lazo cerrado. Al seleccionar el método de diseño LQG Synthesis se despliega la interfaz que se muestra en la Figura 1.31.

Figura 1.31. Método de diseño LQG Synthesis

Para diseñar un controlador LQG se procede así: 1. Se especifica la preferencia para la respuesta del controlador utilizando la barra deslizante denominada Controller response.



Deslice la barra a la izquierda para una respuesta agresiva del control Esto significa que un sobrepaso grande es castigado más fuertemente de tal manera que el controlador actúa más agresivamente. Si se cree que el modelo es exacto y que la variable manipulada tiene un rango suficientemente grande un controlador agresivo es más deseable.



Deslice la barra a la derecha para una respuesta robusta del control

2. Se especifica la estimación del nivel de medida del ruido utilizando la barra deslizante denominada Measurement noise.



Deslice la barra a la izquierda para pequeñas medidas de ruido Esto significa que se espera poco ruido de la medida de la variable de salida del proceso. Un sobrepaso grande es castigado más fuertemente de tal manera que el controlador actúa más agresivamente. Si se cree que el modelo es exacto y que la variable manipulada tiene un rango suficientemente grande un controlador agresivo es más deseable.



Deslice la barra a la derecha para grandes medidas de ruido. Se obtiene un controlador que es más robusto ante la medición del ruido

3. Se especifica la preferencia por el orden del controlador utilizando el deslizador denominado Desired controller order. 4. Se presiona el botón Update Compensator para actualizar los parámetros de sintonización del controlador

5. Método de diseño – Loop Shaping El método de diseño Loop Shaping genera un controlador feedback estabilizante para alcanzar una respuesta del lazo de control lo más aproximada posible una forma deseada. Se puede especificar esta forma como un ancho de banda deseado o como una respuesta deseada en el dominio de la frecuencia para el lazo abierto (Figura 1.32). El diseño de un controlador utilizando el método Loop shaping se realiza mediante los siguientes pasos: 1.

2.

Se selecciona una especificación de sintonización presionando una de las siguientes opciones: 

Target bandwidth: mediante esta opción se permite como objetivo la especificación del ancho de banda de la forma de la respuesta del lazo deseado (b). El resultado es la forma del ancho de banda especificado sobre un integrador (b/s). (Figura 1.32)



Target loop shape: mediante esta opción se permite como objetivo la especificación de la forma de la respuesta del lazo abierto en una de las siguientes representaciones: espacio de los estados, ganancia – zeros y polos o función de transferencia en la forma estándar. (Figura 1.33)

Se seleccionan los parámetros de sintonización para la opción especificada de la siguiente manera:



Si se selecciona la especificación Target bandwidth se especifica el ancho de banda deseado en el cuadro de texto denominado Target open-loop bandwidth

Figura 1.32. Método de diseño Loop Shaping



Si se selecciona la especificación Target loop shape, se procede de la siguiente manera: o

Se ingresa la forma deseada para la respuesta en lazo abierto Target open-loop shape (LTI). Lo anterior puede ser una función de transferencia en la forma del espacio de los estados, o en la forma de zeros – polos – ganancia o en la forma estándar.

o

Se ingresa el interval de frecuencia para la forma de la respuesta del lazo Frequency range for loop shaping [wmin,wmax].

o

Se especifica el orden del controlador deseado utilizando la barra deslizante denominada Desired controller order.

o

Se presiona el botón Update Compensator para actualizar los parámetros de sintonización del controlador

Figura 1.33. Método Loop Shaping – Especificación Target loop shape