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• Roberto Andres Lopez Perea

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CURSO BASICO DE TOROGRAFIA

FERNANDO GARCIA MARQUEZ

CURSO 19ASICO DE

TOPCGRAFIA PLANIIVIETF41A, AGIRIIVIENISUIRA V ALTA Nil El- MIA

editorial

k

concepto, s.a.

Ay, Cuauhtemoc 1430 Col. Sta_Cruz Atoyac Mexico. D. F. 03310

Primera edicion: Julio de

1981

0 Copyright 1980 por: EDITORIAL CONCEPTO, S. A.

Primera reimpresi6n: Jumo 1988 Segunda Reimpresidn Mayo 1990

2,000 ejemplares

Derechos reservados para la edition en espakol: C) Editorial Concept°, Libreria Carlos Cesarrnan. S. A. Av. Cuauhternoc 1434, Mexico, D. F.

ISBN 968-405-104-2 Impreso en Mexico. Printed in Mexico

Irnpresora Galve, S. A. Callejon de San Antonio Abaci N 9 39. Mexico 8, D. F.

DEDICATORIA Al Heroico Colegio Militar, mi Alma Mater, en cuyas aula_s me inicie, en 1943 como cadete en el estudio de esta disciplina, y a la Escuela Militar de Ingenieros, en la cual he participado en la enserianza de la Topografia desde 1963 a la fecha.

A LOS ALUMNUS

Esta obra fue elaborada con el proposito de facilitar el estudio de la Topografia a los alumnos. Cada capitulo contiene problemas resueltos, seleccionados cuidadosa'nerve, que sirven de guia al alumno Para la resolucion de otros problemas. Si logro evitar esitterzos imitiles a los estudiantes de esta asignatura me sentire satisf echo. INC. FERNANDO GARCIA

MA R QUEZ

CONTENIDO Capital() 1 1

GENERALIDADES Aplicaciones de la Topografia, 1 Division de la Topografia, 3 Levantamiento, clases de levantamientos, 4 Levantamientos topograficos, 4 Poligonal, clases de poligonales, 5 Los errores, 5

Capital° 11 9

PLANIMETRIA Levantamirvitos pia vimetricos, 9 Medida directa de distancias, 9 Medidas con cinta, 10 Errores en la medida de distancias con cinta, 12 Tolerancias en medida de distancias con cinta, 13 Problemas, 14 Problemas resueltos con cinta, 16 Problemas, 27

Levantamientos con cinta,

31

Metodos de levantamiento con cinta, 36 Metodo de radiaciones, 36 Metodo de diagonales, 37 Metodo de lineas de liga, 37 Metodo de alineaciones, 38 Metodo de coordenadas rectangulares, 39 Levantamiento de edificaciones, 40 Levantamiento de detalles, 40 Problemas, 41

X

Contenido Levantamientos con brzijula y cinta,

50

Definiciones, 50 DescripciOn de la briijula, 59 Condiciones que debe satisfacer toda brtljula, 61 Usos de la briajula, 61 Vents jas en el use de la bilijula, 62 Inconvenientes en et use de la briljul a, 62 Atracciones locales, 62 Metodos de levantamiento con briljula y cinta, 64 Metodo de itinerario, 65 Problemas, 68 Metodo de radiaciones, 78 Metodo de intersecciones, 79 Metodo de coordenadas rectangulares, 79 Dibujo de la poligonal, 80 Compensacion gra fica, 81 Determinacion de la superficie del poligono por medio del planimetro, 84

Levanunnientos con transit() v cinta,

88

Descripcion del transit°, 88 Usos del transit°, 91 Condiciones que debe satisfacer un transit° para su buen funcionamiento, 91 Vernier, 96 Medida de angulos, 99 Medida simple, 99 Medida por repeticiones, 100 Medida por reiteraciones, 102 Metodos de levantamiento con transit° y cinta, 103 Metodo de medida directa de angulos, 103 OrientaciOn magnetica, 104 Medida de los angulos, 105 Comprobacion del Angulo medido, 105 Problema, 124 Metodo de deflex iones, 130 Problema, 136 Metodo de conservaciOn de azimutes, 141 Prohlemas, 149 Prohlemas, 154

Capitirlo III AG RIMENSURA Metodos graficos, 205 Metodos mecanicos, 206 Metodos analiticos, 206

205

Contenido

Xi

TriangulaciOn del poligono, 206 Problemas, 207 Metodo de las coordenadas, 208 Problemas, 211 Metodo de las dobles distancias meridianas, 214 Problemas, 216 Regla de los trapecios, 220 Prohlemas, 222 Regla de Simpson, 224 Problemas, 225 Agrodesia, 227 Problemas, 229 Capital° IV

ALTIMETRIA 0 N1VELACION NivelaciOn directa 0 topografica,

245 247

Niveles, 247 Niveles Nos o topograficos, 248 Condiciones que debe reunir un nivel tipo americano, 250 Condiciones que debe reunir un nivel tipo ingles, 252 Errores en la, nivelacion, 254 Nivelacion diferencial, 259 Problemas, 264 Comprobacicin de una nivelacion, 266 Problemas, 267 Nivelacion de perfil, 272 Construccicin de un perfil, 275 Problemas, 277 281 Nivelacion? trigonornc;trica, Eclimetro, 282 Eclimetro de la hriijula, 283 Plancheta de pendientes, 284 Problemas, 285 297 NivelaciOn harometrica, Barometros, 297 Barometros de mercurio. 297 Aneroides, 300 Termobarometros o hipsometros, 302 MediciOn de alturas, 304 Prohlemas, 306

CAPITULO I

GENERALIDADES Definiam, aplicaciones y division de Ia topografia

Se define la TOPOGRAFIA (del griego: topos, lugar y graphein, describir) como la ciencia que trata de los principios y metodos empleados para determinar las posiciones relativas de los puntos de la superficie terrestre, por medio de medidas, y usando los tres elementos del espacio. Estos elementos pueden ser: dos distancias y una elevacion, o una distancia, una direcciOn y una elevacion. La TOPOGRAFIA, en general, es una aplicacion de la geometria y, por tanto, sin el conocimiento de esta ciencia, seria imposible que aqu611a llenara el cometido que tiene asignado. La TOPOGRAFIA define la posicion y las formas circunstanciales del suelo; es decir, estudia en detalle la superficie terrestre y los procedimientos por los cuales se pueden representar, todos los accidentes que en ella existen, sean naturales o debidos a Ia mano del hombre. El medio usual de expresion es el dibujo. La TOPOGRAFIA se encuentra directamente relacionada con la Tierra. El estudio de la Tierra como cuerpo en el espacio le corresponde a la Astronomia; y como globo terrestre en lo que concierne a su configuraciOn precisa y a su medida le corresponde a la Geodesia; pero el hombre tiene necesidad de algo mas, de un estudio detallado de un territorio determinado de la tierra, en el cual orientard su existencia diaria. He aqui donde entra la topografia: ayuda a determinar los linderos de la propiedad, con sus divisiones interiores y diversos cultivos, las viviendas, los caminos y los dos, los puentes, los ferrocarriles, los montes con sus valles y barrancos, los bosques, los pantanos, etc., y, en suma, todas aquellas particularidades del terreno que puedan interesar en las cuestiones que se presentan en las necesidades de la vida practica. APLICACIONES DE LA TOPOGRAFIA A la topografia se le puede considerar como una de las herramientas basicas de la ingenieria civil, aunque se le llega a utilizar en otras espe-

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Curso basic° de topografia

cialidades. Las materias propedeuticas son la geometria, la trigonometria, la fisica y la astronomia, por tanto, se puede decir que la topografia es una ciencia aplicada. Ademas del conocimiento de las materias mencionadas, para la realizacion de los trabajos topograficos se hacen necesarias algunas cualidades personales como: iniciativa, habilidad para manejar los aparatos, habilidad para tratar a las personas y buen criterio. La topografia tiene un campo de aplicaciOn extenso, lo .que la hace sumamente necesaria. Sin su conocimiento no podria el ingeniero por si solo proyectar ninguna obra. Sin un buen piano no podria proyectar debidamente un edificio o trazar un fraccionamiento; sin el levantamiento de secciones transversales no le seria posible proyectar presas, puentes, canales, carreteras, ferrocarriles, etc. Tampoco podria selialar una pendiente determinada como se requiere en un alcantarillado. Adernas, al ingeniero recien graduado que ingresa a una empresa constructora o institution, generalmente los primeros trabajos que se le encomiendan son sobre topografia. Asi pues, Coda recomendacion para que se preocupe en el conocimiento de los metodos topograficos es pequeria y el estudiante asi debe entenderlo. Las actividades fundamentales de la topografia son el trazo y el levantamiento. El trazo es el procedimiento operacional que tiene como finalidad el replanteo sobre el terreno de las condiciones establecidas en un piano; y el levantamiento comprende las operaciones necesarias para la obtencion de datos de campo Utiles para poder representar un terreno por medio de su figura semejante en un piano. La topografia tiene una gran variedad de aplicaciones: Levantamiento de terrenos en general, para localizar y marcar linderos, medida y division de superficies y ubicacion de terrenos en pianos generales. Localization, proyecto, trazo y construction de vias de comunicaciOn: caminos, ferrocarriles, canales, lineas de transmision, acueductos, etc. La topografia de minas tiene por objeto fijar y controlar la position de trabajos subterraneos y relacionarlos con las obras superficiales. Levantamientos catastrales hechos con el proposito de localizar limites de propiedad y valorar los inmuebles para la determination del impuesto correspondiente. Topografia urbana es la denomination que con frecuencia se da a las operaciones que se realizan para la disposiciOn de lotes, construction de calles, sistemas de abastecimiento de agua potable y sistemas de drenaje. La topografia hidrografica estudia la configuracion de oceanos, lagos, dos, etc., para propOsitos de navegacion, suministro de agua o construecion subacuatica. La topografia fotogrametrica es la aplicacion a la topografia de la ciencia de las mediciones por medio de fotografias. Se usa para levanta-

Generalidades

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mientos topograficos generales, levantamientos preliminares de rutas, para fines militares y aun para levantamientos en areas agricolas. La topografia tambien es usada para instalar maquinaria y equipo industrial; en la construccion de barcos y aviones; para preparar mapas geologicos y forestales; en la navegaciOn por control electronic° para fijar la situaciOn de puntos determinados sobre los pianos empleados; en cuestiones militares (tactica, estrategia, logistica, etc.); en la fabricacion y montaje de proyectiles dirigidos, etc. Asi pues, Ia topografia sirve y esta en mayor o menor escala en casi todas las obras que el hombre hace o pretende hacer, desde medir una propiedad hasta para lanzar un cohete al espacio.

DIVISION DE LA TOPOGRAFIA Para su estudio la topografia se divide en tres partes: TOPOLOGIA que estudia las leyes que rigen las formas del terreno. TOPOMETRIA que establece los metodos geometricos de medida. PLANOGRAFIA que es la representaciOn grafica de los resultados y constituye el dibujo topografico. Para que sea completa la representacion grafica de una porcion de la superficie terrestre, debera contener: La forma general del terreno, o sea, su contorno o perimetro y los detalles interiores (construcciones, caminos, puentes, rios, etc.). La diferencia de altura que guardan los puntos del terreno, unos respecto a otros; y La superficie del terreno. Por lo antes expuesto, se deduce que Ia topografia (topometria), segim las operaciones que se ejecutan para representar el terreno, se divide en tres partes que son: PLANIMETRIA que estudia los instrumentos y metodos para proyectar sobre una superficie plana horizontal, la exacta posicion de los puntos mas importantes del terreno y construir de esa manera una figura similar a] mismo. AL TIMETR1A que determina las alturas de los diferentes puntos del terreno con respecto a una superficie de referencia; generalmente correspondiente al nivel medio del mar. AGRIMENSURA que comprende los procedimientos empleados para medir la superficie de los terrenos y para fraccionarlos.

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Curso basic° de topografia

LEVANTAMIENTO El levantamiento es uno de los mas viejos artes practicados por el hombre, porque desde epocas tempranas ha sido necesario marcar limites y dividir la tierra. Es una operacion tecnica que consiste en rnedir directamente el terreno. Se puede definir el levantamiento como el conjunto de. uperaciones y medios puestos erg practica para deterrninar las posiciones de pintos iel terreno y su representaciOn en un piano. Closes de levantar.ientos

En cuanto a su extension, Jos levantamientos pueden ser topograficos o geodesicos. son los gLI.e se extienden sobre una porciOn relativamente pequefia de la suei tThie de Ia Tierra que, sin error apreciable, se considera Como si fuera plana. Las dimensiones rnaximas de las zonas representndas en 10S pianos topogrfficos no superan en la practica los 30 Km de 'ado, ccrrespondientes aproximadamente a un circulo de 30 Km de di:imetr:, limites dcntro de los cuales se puede hacer abstracciOR de la curvatura de Ia superficie terrestre. LEVANTAMIENTOS TOPOGRAFICOS

LEVANTAMIENTOS GEODESICOS son aquellos que abarcan grandes extensiones y obligan a tomar en cuenta la forma de la Tierra, ya sea considerandola coo una vcrdadera esfera, o mas exactamente, como un esferoide de revolucion. Estoq levantamientos se salon de los limites de la topograffa y entran en el .-lominio de geodesia. LEVANTAMIENTOS TOPOGRAFICOS Los levantamientos topograficos en cuanto a su calidad se d viden cr sigue: PRECISOS, que se ejecutan por medic de triangulaciones o poligonales de precision. Se emplean para fijar los limites entre naciones o estados, en el trazo de ciudades, etc. REGULARES, los cuales se realizan por medio de poligonales, levantadas con transit° y cinta. Se usan para levantar linderos de propiedades, para el trazo de caminos, vias ferreas, canales, ciudades pequerias, etc., y en obras de saneamiento en las ciudades.

Generalidades

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en los cuales las distancias se miden por procedimientos indirectos. Generalmente se ejecutan con transit° y estadia, y se emplean en trabajos previos al trazo de vias de comunicacion, en trabajos de configuracion y de relleno, y tambien para la formaciOn de pianos a pequena escala. TAQUIMt,TRICOS,

EXPEDITIVOS, efectuados con aparatos portatiles, poco precisos, como: brujula, sextante, podometro, telemetro, estadia de mano, etc., y cuando no se dispone de aparatos se ejecutan a ojo o por informes proporcionados por los habitantes de la region. Estos levantamientos se emplean en reconocimientos del terfeno o en las exploraciones militares. POLIGONAL En topogratia se da el nombre de poligonal a un pollgono o a una linea quebrada de n lados. Tambien se puede definir la poligonal como una sucesiOn de lineas rectas que conectan una serie de puntos fijos. Closes de poligonales

De la definicion de poligonal se deduce que las poligonales pueden ser cerradas o abiertas. POLIGONAL CERRADA es aquella cuyos extremos inicial y final coinciden; es decir, es un pollgono. POLIGONAL ABIERTA es una Linea quebrada de n lados o aquella poligonal cuyos extremos no coinciden. Existen dos clases de poligonales abiertas: las de enlace y los caminamientos. POLIGONAL DE ENLACE es una poligonal abierta cuyos extremos son conocidos de antemano y, por tanto, puede comprobarse. CAMINAMIENTO se denomina a una poligonal abierta, en la cual solo se conoce el punto de partida y por esto no es susceptible de comprobacion. LOS ERROR ES No se puede medir exactamente ninguna magnitud; por perfectos que sewn los procedimientos y aparatos que se empleen; cada medida que se

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Curs() basica de topografia

haga estard siempre afectada por un error. Al considerar una magnitud cualquiera debemos distinguir en ella tres valores: valor verdadero, valor observado y valor mas probable. Valor verdadero de una magnitud es el que esta exento de todo error;

y por lo mismo, sera siempre desconocido para nosotros. Valor observado es el que resulta de la observaciOn o experiinentaciOn,

despues de hechas todas las correcciones instrumentales y del medio en que se trabaja. Valor

1n cis (IS'

probable de una cantidad es el que mas se acerca al valor

verdadero de acuerdo con las observaciones hechas o medidas tomadas. Al referirnos a las medidas, es importante distinguir entre exactitud y precision. Exactitud es la aproximaciOn a la verdad o bien el grado de confor-

midad con un patron. Precisicin es el grado de refinamiento con que se lee una medida o el

namero de cifras con el que se hace un calculo. Tambien se define como el grado de refinamiento para ejecutar una operaciOn o para dar un resuitado. De estas dos definiciones, compatibles entre si, se sigue, que una medida puede ser exacta sin ser precisa, y viceversa. Por ejemplo, una distancia puede medirse cuidadosamente con una cinta, aproximando hasta los milimetros, y tener; sin embargo, un error de varios centimetros por ser incorrecta la longitud de la cinta. La medida e precisa, pero no exacta. Fuentes de error

Una de las funciones mas importantes del ingeniero es obtener medidas que esten correctas dentro de ciertos limites de error, fijado.; por la Naturaleza y objeto del levantamiento, para lo que se requiere que conozca las Fuentes de error, el efecto de los diferentes errores en las cantidades observadas, y este familiarizado con el procedimiento necesario para mantener la precision requerida. En las medidas hechas en topografia no es posible tener el valor exacto a causa de los inevitables errores inherentes al operador, a la clase de instrumentos empleados y a las cortdiciones en que se efecitia la medida. Los errores personales se producen por la falta de habilidad del observador para leer los instrumentos. La apreciacion de una lectura en una cinta, por ejemplo, depende de la agudeza visual del observador y se

Generolidades

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comprende que a causa de la imperfection de nuestros sentidos, no es posible que se pueda hater una coincidencia perfecta o una lectura exacta. Los errores instrumentales se originan por las imperfecciones o ajuste defectuoso de los instrumentos con que se toman las medidas. Los errores naturales se deben a las variaciones de los fenornenos de la Naturaleza como la temperatura, la humedad, el viento, la gravedad, la refraction atmosferica y Ia declination magnetica. Closes de errores

Error verdadero es la diferencia entre el valor verdadero de una cantidad y el observado, razon por la que siempre sera desconocido para nosotros; y como lo Unico que llegamos a conocer es el valor mas probable; es decir, el mas cercano al verdadero, la diferencia entre este valor y el observado se designa con el nombre de error residuo o residuo simplemente. Los errores pueden dividirse en sistematicos y accidentales.

Errores sistematicos son aquellos que siguen siempre una ley definida fisica o matematica y, mientras las condiciones en que se ejecutan las medidas permanezcan invariables, tendran la misma magnitud y el mismo signo algebraico; por tanto, son acumulativos. La magnitud de estos errores se puede determinar y se eliminan aplicando metodos sistematicos en el trabajo de campo o correcciones a las medidas. Los errores sistematicos pueden ser instrumentales, personales o naturales. Errores accidentales son los que obedecen a una combinaciOn de causas que no alcanza el observador a controlar y para las cuales no es posible obtener correcciones; para cada observation la magnitud y signo algebraico del error accidental dependen del azar y no pueden calcularse. Como todos los errores accidentales tienen las mismas probabilidades de ser positivos que negativos, existe cierto efecto compensador y por ello muchos de los errores accidentales se eliminan. Los errores accidentales solo se pueden reducir por medio de un mayor cuidado en las medidas y aumentando su nUmero. Equivocaciones

Una equivocation es una falta involuntaria originada por el mal criterio, falta de cuidado o de conocimientos, distracciOn o confusion en Ia mente del observador. Las equivocaciones no pertenecen al campo de la teoria de los errores y, a diferencia de estos, no pueden controlarse y estudiarse. Las equivocaciones se encuentran y se eliminan comprobando to-do el trabajo.

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Curso basic° de topcmafia

Discrepancia

Una discrepancia es la diferencia entre dos medidas de la m.isma magnitud: distancia, angulo o desnivel. Valor m6s probable

El valor mas probable de una magnitud medida varias veces, cn identicas condiciones, es el promedio de las medidas tomadas o media aritrnet:.ca. Esto se aplica tanto a angulos como a distancias y desniveles. Comprobaciones

En todo trabajo de topografia, se debe buscar siempre la manera de comprobar las medidas y los calculos ejecutados. Esto tiene por objeto descubrir equivocaciones y errores, y determinar el grado de precision obtenida. Tolerancia

Se entiende por tolerancia el error maximo admisible en la medida de angulos, distancias y desniveles.

CAPITULO

PLANIMETRIA Se llama planimetria al conjunto de los trabajos efectuados para tomar en el campo los datos geom6tricos necesarios que permitan construir una figura semejante a la del terreno, proyectada sobre un plano horizontal. Leyuntamientos planimetricos

Estos levantamientos pueden ejecutarse de varias maneras:

Con cinta exclusivanzente. For medio de poligonales, determinando las longitudes de los lados y los angulos que estos forman entre si; y Por triangulaciones, cubriendo la zona que se va a levantar, con redes de triangulos ligados entre si. Por lo regular este metodo se emplea en el levantamiento de grandes extensiones de terreno, y se hace la medida directa de uno de sus lados que se denomina base, asi como la de los 5.ngulos de los triangulos. Los levantamientos planimetricos por medio de poligonales, se clasifican como sigue: Levantamientos con briijula y cinta. Levantamientos con transit° y cinta. Levantamientos con transit° y estadia. Levantamientos con plancheta. Medici° directa de distancias

En topografia, se entiende por distancia entre dos puntos la distancia horizontal. La medida directa de una distancia consiste en la aplicaciOn material de la unidad de medida a lo largo de su extension. El metodo mas comiln de determiner distancias es con la medida directa por medio de la cinta. 9

10

Curso basic() de topografia

Medidas con cinta

El equipo que se emplea en Ia medida directa de distancias siguiente:

es el

Cinta de acero de 20, 30 o 50 metros de longitud, graduadas en centimetros; generalmente tienen una anchura de 7.5 milimetros. Cinta de lona en Ia que se han entretejido alambres delgados de latOn o de bronce para evitar que se alargue. Cinta de metal invar, de use general para medidas muy precisas. El invar es una aleaciOn de acero y niquel a Ia que afectan poco los cambios de temperatura. La dilatacion termica de Ia cinta de metal invar es aproximadamente la decima parte de las cintas de acero. Balizas de metal, madera o fibra de vidrio. Son de seccion circular, tienen una longitud de 2.50 m y estan pintadas de rojo y blanco, en tramos alternos de medio metro. Las de madera y las de fibra de vidrio estan protegidas en el pie por un casquillo con punta de acero. Se usan como senales temporales para indicar la posiciOn de puntos o la direccion de lineas. Fichas de acero de 25 a 40 cm de longitud. Se emplean para marcar los extremos de Ia cinta durante el proceso de la medida de la distancia entre dos puntos que tienen una separacion mayor que la longitud de la cinta empleada. Un juego de fichas consta de 11 piezas. Plornadas, generalmente de latOn, de 280 a 450 gramos, provistas de una punta cambiable de acero de aleacion resistente al desgaste, y de un dispositivo para ponerles un cordon que queda centrado. En roca o pavimento pueden marcarse los puntos con crayon o pintura de aceite. Medidas de distancias sobre terreno horizontal

Para medir la distancia entre dos puntos del terreno, previamente se materializan los extremos de la linea. La medida exige dos operadores: el zaguero o cadenero de atras y el delantero o cadenero de adelante. La operacion se realiza en la forma siguiente: El zaguero contard las fichas y entregard al delantero 10 de ellas; tomard Ia cinta colocando la marca cero en coincidencia con el eje de la ficha inicial, mientras el delantero tomando el otro extremo de la cinta se encaminard en la direcciOn de la Linea por medir y atendera las indi-

Planimetria

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caciones del zaguero para que la cinta quede alineada. Durante el proceso de alinear, el cadenero de adelante esta a un lado, frente a la linea, sosteniendo firmemente la cinta; con una mano coloca la ficha verticalmente en linea y con la otra mantiene la cinta estirada y la pone en contacto con la ficha. Como comprobacion, vuelve a estirar la cinta y verifica que el extremo de las graduaciones de la cincta coincida con el eje de la ficha plantada. Entonces grita "bueno"; y el cadenero de atras suelta la cinta; el de adelante avanza; y de esta manera se repite el proceso. Al partir, el zaguero recoge la ficha. De esta manera, siempre hay una ficha en el terreno, y el mimero de fichas que trae el zaguero indica en cualquier tiempo el nUmero de puestas de cinta del origen a la ficha que esta en el terreno. Cuando el delantero llegue al extremo de la linea que se esta midiendo, hard la lectura de la fracciOn correspondiente. La distancia total medida se obtendra multiplicando el flamer° de fichas que recogio el zaguero por la longitud de la cinta y anadiendo la fraccion leida en el extremo de la linea. Para distancias largas, se usan generalmente 11 fichas de las cuales 10 recoge el cadenero de atrds; cuando el zaguero comprueba que ya tiene 10 fichas volverd a entregarlas al delantero. Si se opera con una cinta de 20 metros, por ejemplo, cada cambia o tirada corresponderd a 200 metros medidos. Medidas de distancias sabre terreno inclinado

Cuando la pendiente del terreno es muy variable, se emplea el metodo llamado de esclones, pre-sentandose los dos casos siguientes:

Terreno descendente.

A partir del punto initial el zaguero colocard el extremo (le la cinta en el suelo y en coincidencia con dicho punto y el delantero manteniendo la cinta horizontal, a ojo, ejercerd tension sobre ella de manera que se reduzca al minimo la curvatura que toma bajo la acciort de su peso; cuando el delantero este alineado, utilizando una plomada, rnarcard el punto del terreno, en el sitio sefialado por la punta de la plomada, y colocard la ficha correspondiente. El zaguero se trasladard entonces en esa direcciOn y comenzard la medida siguiente en la forma indicada. Este procedimiento adolece de que la horizontalidad de la cinta extendida es aproximada, porque se estima a ojo.

Terreno ascendente.

Cuando la medida se realiza en terreno ascendente, ademds del error por la horizontalidad aproximada de la cinta, se comete otro debido a que la baliza plantada al lado de cada ficha no se encuentra en position vertical. En este caso el zaguero levantard la cinta, manteniendola a lo largo de la baliza, hasta que el delantero, teniendo la

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Curso bersico de topogrofia

cinta horizontal a ojo, Naga contacto con el suelo y una vez alineado por el zaquero coloque la ficha. Si se requiere mayor precision debe usarse la plomada en vez de la baliza. Si la pendiente del terreno es constante, la cinta puede ponerse paralela a; terrene, y debera medirse tambien el angulo vertical o la pendiente para cakulai- .--Iteriormente la distancia reducida al horizonte o sea la proyeccion ho,Azontal de la distancia medida. Errores en la medida de distancias con drift]

SISTEMATICOS Longitud incorrecta de la cinta. Se determina, por longitud de cinta, comparandola con un patron. Si la longitud de la cinta es mayor que la correcta, el error es negativo y, por tanto, la correccion sera positiva y viceversa. Catenaria. Se comete este error cuando la cinta no se apoya sobre el terreno sino que se mantiene suspendida par sus extremos, formando entonces una curvy llamada catenaria. Este error es positivo y se elimina aplicando la correccion calculada. Alineamiento incorrecto. Se produce este error cuando la alineacion separa de la direccion verdadera. Es positivo y, en consecuencia, la correccion es negativa. Este error es de poca importancia, pues una desviacion de 2 cm en 20 m, apenas produce un error de 1 mm. Inclination de la cinta. Si se opera en terreno quebrado hay que cold car a ojo, en posiciOn horizontal, toda la cinta o parte de ella. El error es positivo, por tanto, la correccion debe aplicarse con signo contrario al error. Variaciones de temperatura. Los errores debidos a las variaciones de temperatura se reducen mucho utilizando cintas de metal invar. La cinta se dilata al aumentar la temperatura y se contrae cuando la temperatura disminuye; en el primer caso el error es positivo y negativo en el segundo. Variaciones en la tension. Las cintas, siendo elasticas, se alargan cuando se les aplica una tension. Si esta es mayor o menor que la que se utilizO para compararla, la cinta resultard larga o corta con relaciOn al patron. Este error sistematico es despreciable excepto para trabajos muy precisos. ACC1DENTALES De Indite o de puesta de ficha. Consiste este error en la falta de coincidencia entre el punto terminal de una medida y el inicial de la siguiente. Se evita colocando las fichas en posicion vertical.

Pianimetria

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Variaciones en la tension. En los trabajos comunes la tension que se da a la cinta es la natural ejercida por los cadeneros, y puede ser mayor o menor que la usada en la comparacion de la cinta con el patron. Apreciacitin de fracciones al leer las graduacione.s., Este error se comete al haver las lecturas de las fracciones, por no oincidir las marcas colocadas en el terreno con las graduaciones de la cinta.

TOLERANCIAS EN MEDIDA DE D1STANCIAS CON CINTA. 19 Si no se conoce la distancia entre dos puntos, puede determinarse midiendola en 10.1 dos sentidos; es decir, de ida y regreso. En este caso la tolerancia se calcula aplicando la formula siguiente: T=

(1)

en la cual_ T tolerancia, en metros. e = error cometido en una puesta de cinta, en metros. L = promedio de medidas, en metros. longitud de la cinta empleada, en metros.

Error:

Si se haven dos o rads medidas, el error de cads una de ellas es la diferencia con ei prornedio aritmetico de medidas, o valor Inas probable. 2° Si se conoce la verdadera longitud de la ilnea, la cual puede haber side obtenida per metodos Inas precisos, y despues se tiene que volver a medir la distanci a, por ejemplo, Para fijar puntos interrnedios, la tolerancia esta dada por la formula: T=

(

IL e -7- 4 KO -

siendo: T == tolerancia, (._ metros. - error com - Lido en una puesta de cinta, en metros. longitud medida, en metros. - longitud de la cinta, en metros. K = error sistematico por metro, en metros. El error esta dado por la diferencia entre la longitud conocida y la longitud media.

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Curso basics, de topografia

Los valores de "e" y "K" pueden tomarse de la tabla de valores experimentales que figuran en el libro METODOS TOPOGRAFICOS del Ing. Ricardo Toscano: Condiciones de las medidus

e (metros)

K (metros)

Terreno piano, cinta bien comparada y alineada, usando plomada y corrigiendo por temperatura Terreno piano, cinta bien comparada Terreno quebrado Terreno muy quebrado

0.015 0.02 0.03 0.05

0.0001 0.0003 0.0005 0.0007

PROI3LEMAS 1. En "a medida de una distancia, en terreno quebrado, usando una cinta de 50 m, se obtuvieron los dos valores:

L1

150.04 m (ida) y

L2

150.08 m (regreso)

Calcular el error cometido, la tolerancia y el valor mas probable de la distancia medida, indicando si se acepta el resultado o debe repetirse la medida. SOLUCIoN DATOS : L 1 = 150.04 m L, = 150.08 m Terreno quebrado / = 50 m

Designemos por L el valor mas probable:

L, ± L2 2

L = valor mas probable de. la distancia medida = ? E=

error = ?

T=

tolerancia = ?

T=

L 150.06 tn

E= L1—L= 150.04 — 150.06 = —0.02 m E = L, L = 150.08 150.06 ---- + 0.02 m E -±0.02 rn —

2L — 2(0.03)

T

2 x 150.06 50 -±0.15 m

±0.061/

300.1250

Plan imetria

Se acepta el resultado, porque: E 11,

6

1

1

2500

714

P-=

2500

3.50

2. Dados los rumbos directos e inversos tomados en in levantamiento con brUjula: a)

Calcular los angulos interiores del poligono.

b)

Determinar el error angular.

c)

Calcular la correccion angular, y

d)

Obtener los angulos interiores corregidos.

Rumbos directos

Lados

0— 1 1 2 2—3 3—4 4—0

S S N S S

30°30' W 83°00' E 2'00' W 89°30' W 29°001 E

Rumbos inversos

N N S N N

30'30' E 84°00' W 2°30' E 89'00' E 28°00' W

SOLUCIoN Para obtener los angulos interiores a partir de los rumbos observados dibUjese un croquis del poligono anotando los valores angulares de los rumbos. (Fig. N9 39.)

70

Curso basica de topografia

89 0 ft■Ndk

83 0

Figura 39

L 0 = 180° + 28° + 30 0 30'

= 238°3( , Z. 1 = 1800 — (30°30' + 83°) = 66°30' 82°00' L_. 2 = 84° — 92°00' Z. 3 — 89°30' -4- 2'30' Z 4 = 180° — (89° + 29°) 62'00' angulos interiores

— 541'00'

(obtenidos a partir de los rumbas observados). En este caso la condiciOn geometrica, para n = 5, da: angs. ints = 180°(n — 2) .= 180°(3) =- 540°00' Si se comparan las sumac de los ingulos interiores, una obtenida a partir de los rumbas observados y la otra por la condicion geometrica, se enc.uentra el error angular:

Planimetria

EA = 541°00' — 540°W = +1°

71

=- +10

La correcciOn que se aplicara a cada uno de los angulos interiores, con signo contrario al error, se obtiene dividiendo el error angular, expresado en minutos, entre el ntimero de angulos del poligono. 0' CorrecciOn angular = 6 5= 12' Los angulos corregidos se hallan aplicando la correccion a los obtenidos a partir de los rumbos observados, como sigue: Z 0 = 238°30' — 12' = 238°18' 66°18' Z 1 = 66°30' — 12' Z 2 = 82°00' — 12' 81'48' Z 3 = 92°00' — 12' = 91°48' Z 4 = 62°00' — 12' = 61'48' angulos interiores = 540°00; 3. Como la linea 0 — 1 del problema anterior,Aiene rumbos direct() e inverso iguales, tomese coma rumbo base y con los angulos interiores corregidos, calcalense los nuevos rumbos de los lados del poligono. SOLUCIoN Dibujese un croquis del poligono y anOtense los valores del rumba base y de los angulos interiores corregidos (Fig. N9 40) y asi podran encontrarse facilmente los rumbos buscados. Rbo. 0 — 1 = S 30°30' W (Rumbo base) Rbo. 1 — 2 = 180° — (30°30' + 66° 18') Rbo. 1 — 2 .= S 83'12' E Rbo. 2 — 3 = 83°12' — 81°48' = 1°24' Rbo. 2 — 3 = N 1°24' W

_

Rbo. 3 — 4 = 180°00' — (91'48' — 1°24') Rbo. 3 — 4 = N 89°36' W Rbo. 4 — 0 = 89°36' — 61°48' 27°48' Rbo. 4 — 0 = S 27'48' E

72

Curso bcisico de topografia

30 30' 30° •0' 66° 18' 83° 12'

Figura 40

4. Con los siguientes datos del registro de campo calcular:

a)

Los angulos interiores del poligono a partir de los rumbos observados.

b)

El error angular (E.1 ).

c)

La tolerancia angular (TA )

d)

La correccion angular (C).

e)

Los angulos interiores corregidos.

f)

Los rumbos, a partir del rumbo base y los angulos interiores 2). corregidos. (Tomese como rumbo base el del lado 1

a..= 30'

—

g)

Los rumbos astronomicos (8 = 9°30' E).

h)

La tolerancia lineal (terreno piano).

i)

La precision (supongase: EL = 0.40 m).

Planimetria

Est. 0

1 2 3 4

P.V.

1 2 3 4 0

Rumbas directors

Distancias (m)

37.00 40.50 36.50 37.45 35.00 186.45 m

N N S S S

45'00' E 37°00' W 70°30' W 2°00' E 75'00' E

73

Rumbas inversos

S S N N N

45°30' W 37'00' E 70°00' E 2°00' W 75'30' W

SOLUCION

a)

Dibujese el croquis del poligono y anotense los valores angulares de los rumbos observados. Los angulos interiores se hallan como se indica en seguida (Fig. N9 41):

Figura 41

74

Curso basic° de topografia OPERACIONES

75'30' + 45° 0 = 120'30'

37° + 45°30' — 82°30' 179°60' L 1 = 97630'

37° 70°30' L 2 = 107°30'

0 = 120°30' L 1 = 97°30' L 2= 107°30'

180' — 72° L 3 = 108°

L0=

L 1= L2=

L 3 = 108°00' L 4 = 107°00' angs. = 540°30'

182° — 75° L 4 = 107° 75 30' + 45° = 120°30' 180 0 — (37' + 45°30') = 97°30' 37 0 + 70°30' = 107°30'

/_ 3 = 180' — (70° + 2°) = 108'00' / 4= (180C + 2°) — 75° =

b)

107°00'

Angulos interiores del poligono, calculados con los rumbos directos e inversos observados durante el levantamiento.

El error angular (E 1 ) se obtiene comparando las sumas de los dngulos calculados a partir de los rumbos observados, y de los angulos interiores que da la condicion geornetrica: angs. ints = 180°(n — 2) En este caso: n=5 por tanto: (1)

angs. interiores = 180°(5 — 2) = 180° (3) = 540°00' Por otra parte:

angs. calculados = 120°30' + 97°30' + 107°30' + 108°00' + 107°00' (2)

angs. calculados = 540°30'1 De las igualdades (1) y (2), se deduce:

c)

EA = +30'

La tolerancia angular se encuentra aplicando la formula: TA = ±a \

±30' V 5 = ±67' < TA

TA = ±67'

Plan imetria d)

La correccion que se aplicard a cada uno de los angulos interiores, es en este caso:

EA

—— e)

75

30'

5

Esta correccion se aplica con signo contrario al error.

— 6'

A continuation, los angulos corregidos se obtendran aplicando a los calculados la correccion respectiva.

rumbo base

Figura 42

Angulos sin corregir

120°30' 97°30' 107°30' 108 ° 00' 107 ° 00'

SUMAS:

540°30'

Correction "C"

Angulos corregidos

— 6' — 6' — 6' — 6' — 6'

120°24' 97°24' 107°24' 107°54' 106°54'

30'

540 ° 00'

—

f) Con los angulos corregidos y el rumbo base, se calcularan los nuevos rumbas. Esta operaciOn se facilitara dibujando un cro-

76

Curso beisico de topografia quis y anotando en el los valores de los angulos interiores corregidos y el rumbo base. (Fig. N9 42.) Rbo 1 — 2 = N 37'00' W (Rumbo base) Rbo 2-3= 107°24' — 37°

S 70°24' W

Rbo 3 — 4 = 180° — (70°24' + 107°54') = S 1°42' E Rbo 4 — 0 = (180° + 1°42') — 106°54' = S 74°48' E Rbo 0 — 1 = 120°24' — 74°48' = N 45°36' E g)

Calculo de los rumbas astronomicos (8 = 9°30' E). oft

3er,cuadrante 0

ler.cuadrante

l er cuadrante

49 cuadrante

3" cuadrante

N 45°36' E + 9°30' N 55'06' E

N 37°00' W — 9°30' N 27°30' W

S 70°24' W + 9°30' S 79'54' W

Rbo. astron. 0 — 1 = N 55°06' E Rbo. astron. 1 — 2 = N 27°30' W

Rbo. astron. 2 — 3 = S 79°54' W Rbo. astron. 3— 4= S 7°48' W Rbo. astron. 4 — D = S 65'18' E

Plan imetria

9

77

°, cuadrante

1 ° 42'

29 cuadrante

29 cuadrante

9°30' — 1°42' E S 7'48' W h)

S 74'48' E — 9 0 30' S 65'18' E

La tolerancia lineal (T L ), para terreno piano, se calcula por media de la formula:

TL = 0.015

L

0.0008L + 0.1 In— 1

L = perimetro de la poligonal, en metros = 186.45 m n = numero de lados de la poligonal = 5 TL = 0.015 j 186.45 + 0.0008(186.45) + 0.1(2) TL = 0.21 + 0.15 + 0.20 = 0.56 m i)

La precision obtenida en el levantamiento es: L 40 — 0.0021 Precision 186 . 45 = Ili E o bien: 1 1 1 Precision = >Ja 186.45 466 EL 0 .40

TL = 0.56 m

78

Curso basic° de topogratia

Precision = 0 . 0021

1 466

Metodos usados para el levantamiento de detalles, con brUjula y cinta

Se toman como auxiliares del metodo de itinerario, para fijar detalles referidos al poligono de base, los siguientes metodos: Radiaciones. — Intersecciones, y - Coordenadas rectangulares. Metodo d radiaciones

Sean 4, 5, 6, , vertices de la poligonal que se va levantando por el metodo de itinerario (Fig. 1\19 43) y M, una mojonera que es necesario hacer figurar en el piano.

Figura 43

El punto Al puede levantarse por el metodo de radiaciones que consiste en dirigir una visual a ese punto, midiendo el rumbo de la Linea que dicho punto determina con hi estaciOn desde la cual se observa, asi como la distancia del punto a la estaciOn. En el ejemplo que se ilustra en la figura, la posicion del punto M estard determinada, tomando el rumbo (o azimut) de la Linea 4 — M y midiendo la distancia 4 — M. Estos datos se anotan en el registro de camp°.

Plan imetria

79

Metodo de intersecciones

Cuando haya detalles inaccesibles o lejanos de los vertices de la poligonal, de tal manera que no puedan medirse sus distancias a los vertices, podran fijarse por intersecciones, observandolos desde dos estaciones sucesivas o no de la poligonal (Fig. N9 44).

poligono de base

8 Figura 44

Desde las estaciones 7 y 9, se han medido los rumbos de las lineas que determinan dichos vertices y el punto P, que se desea levantar. En este caso no es necesario medir las distancias 7 — P y 9 — P, porque las lineas que unen las estaciones desde las cuales ha sido observado P, son de longitud conocida, quedando determinada su posiciOn por la interseccion de las direcciones 7 P y 9 — P. —

Metodo de coordenadas rectangulares

Este metodo se emplea en los casos en que sea necesario tomar datos para fijar la direcciOn de un rio, camino, canal, etc., a fin de que figuren en el piano correspondiente. Para ell° se toma como eje de las abscisas un lado de la poligonal que se esta levantando, procurando que sea el mas proximo al accidente de que se trate, y como ordenadas se toman las perpendiculares que se vayan levantando desde distintos puntos del lado de la poligonal, elegido como eje de las abscisas, al obstaculo o accidente que se desea levantar (Fig. N9 45).

80

Curso basic° de topografia

11

11111110o NNW

poligono de base 6

Figura 45

Debe determinarse el rumbo de las lineas 5 — 5', aa', bb', cc', . . . , para que sean perpendiculares al lado 5 — 6 de la poligonal, escogido como eje de las abscisas. En el ejemplo propuesto, Si: entonces: Rbo aa' =Rbo bb' = Rbo cc' =

Rbo 5 — 6 = N

a°

E

. = N (90° — W

Una vez definida la direcciOn de las ordenadas, con la cinta se miden las longitudes de estas v las distancias del vertice 5 de la poligonal al pie de cada una de las perpendiculares levantadas.

DIBUJO DE LA POLIGONAL Para construir un piano valiendose de la informaciOn obtenida en el campo por medio de la brujula y la cinta, se escoge primero la escala apropiada y luego se estudian ligeramente los datos para determinar donde trazar la Linea Norte-Sur y el primer lado del poligono, de modo que el dibujo pueda acondicionarse al tamailo del papel. Generalmente la parte superior del dibujo debe ser Norte. Cuando el punto inicial y la direccion del meridiano se han trazado sobre el papel, la direccion del primer lado del poligono se traza por medio del transportador. Para ello se coloca el centro del transportador en el punto inicial o vertice 0 del poligono, haciendo coincidir el cero de la graduaciOn del transportador con la linea Norte-Sur trazada y, con un

Planimetria

81

Wiz de punta fina, se marca en el papel el rumbo (o azimut) del lado 0 — 1; luego, se retira el transportador y con una escuadra, se traza la Linea que una el origen o punto inicial con el punto 1' marcado, prolongandola lo necesario para tomar sobre ella, a la escala elegida, la distancia que haya entre los vertices 0 y 1. (Fig. 46.)

Figur a 46

Se vuelve a colocar el transportador en el panto inicial 0 y se marca el rumbo de la 'Linea I — 2; en seguida se coloca una escuadra en tal forma que uno de sus lados este en coincidencia con los puntos 0 — 2 y colocando una segunda escuadra contra otro de los lados de la primera, se desliza esta hasta coincidir con el vertice 1, desde el cual se traza una Linea cuya longitud estard determinada por la escala y por la distancia que haya entre los vertices 1 y 2. Estas operaciones se continuan en la misma forma hasta que se llegue al punto inicial 0.

COMPENSACION GRAFICA Sea la poligonal 0 — 1 — 2 — 3 — 4 — 0', la cual se comenth a construir en el pinto inicial 0 y se terming en el punto 0', el cual debia haber coincidido con 0, si no hubiera habido errores de observacion. 6

82

Curso basica de topografia

La distancia entre 0 y 0' se llama error de cierre E. (Fig. N9 47.) Si el error de cierre E no rebasa la tolerancia establccida, la poligonal se corrige en forma grafica de la manera siguiente: a) Se calculan las correcciones considerando que los errores son proporcionales a las longitudes de los lados de la poligonal.

L5

Figura 4'7

El error unitario o error por metro, "e" se calcula dividiendo el error de cierre E entre el perimetro de la poligonal E e — EL

E

(1)

Calculado e, las correcciones se obtienen como sigue: C, = eL, C

.

= e(L 1

L,)

C:i = e(L1

L 2 f- L,)

C, = e(L i

L, -4- L, +

C,,, = e(Li

L, + L,

C,,, = e(EL)

L, 4- L,-,)

(2)

Planimetria

83

De las igualdades (1) y (2), se concluye que: C„, = E; es decir, que la correeciOn que se aplique en el punto Ce, tiene el mismo valor absoluto que el error de cierre. b) For los vertices de la poligonal se trazan paralelas al error de cierre, en sentido contrario al error. c) En seguida, sobre la paralela trazada por el vertice 1, se toma una longitud igual a C, a partir del vertice 1, obteniendose asi el punto 1'; sobre la paralela que pasa por el vertice 2, y a partir de este punto, se toma una distancia igual a C 2 y se obtiene el punto 2'; y asi sucesivamente se encuentran los puntos 3' y 4'. d) For ultimo , uniendo los puntos 0, 1', 2', 3', 4' y 0 se encuentra la poligonal compensada. Cuando se trate de una poligonal abierta, cuyos extremos son conocidos, para compensar graficamente el error se procedera de una manera andloga a la ya descrita para poligonales cerradas. (Fig. N9 48.)

e=

E

poligonal in compensar 15

Figura 48

Correcciones: AA' ---- C, = e(L, + L,) C, CC' = e(L i + + L3) + L., + L, + L4 ) - e(L) 23 23' = C2a , —

Casa particular

Si los lados de la poligonal, cerrada o abierta, tienen aproximadamente la misma longitud, la compensaciOn grafica se simplifica porque se evita el calculo de las correcciones.

Curso basica de topogrofia

84

En este caso, el error de cierre se divide en tantas partes iguales como Iados tenga la poligonal; luego, por los vertices de la misma se trazan paralelas al error de cierre y en sentido contrario at error; a continuaciOn, sobre la paralela trazada por el vertice 1 se toma una longitud igual a una de las partes en que se dividio el error de cierre; sobre la paralela que pasa por el vertice 2, se toma una longitud igual a dos de esas partes, y asi sucesivamente. La poligonal compensada se halla uniendo los puntos 0, 1', 2', 3', 4' y 0 (Fig. NC 49).

E

q

poligonal sin compensar

C, =q poligonal corn pensada

= 2q C3 = 3q C4 = 4q 5q

Figura 49

DETERMINACION DE LA SUPERFICIE DEL POLIGONO POR MEDIO DEL PLANIMETRO Las superficies se pueden determinar mecanicamente, con un planimetro. Este procedimiento es util, especialmente, cuando la superficie que se necesita determinar esta limitada por un perimetro irregular, con curvas y rectas, y a veces sin forma muy precisa. El planimetro (de piano y del gr. metron, medida) es un instrumento para medir superficiesde figuras planas. Hay dos clases de planimetros: polar y rodante. El que mas se emplea es el planimetro polar, por su sencilla operacion.

Plan imetria

85

DescripciOn del planimetro polar

El planimetro polar esta formado por dos brazos unidos por un eje (Fig. N9 50): uno, que se denomina brazo polar que lleva el punto fijo o polo P, y el otro que se llama brazo trazador y tiene marcada una gaduacion G para ajustar su longitud, segiTh la escala del dibujo, y en su extremo lleva la punta trazadora T.

Figura 50

El planimetro se apoya en tres puntos: el polo P, el rodillo R y la punta trazadora T. El tambor del rodillo, esta dividido en 100 partes y en contacto con un vernier V que va fijo a la armadura del planimetro. Por medio de un tornillo sinfin, el rodillo cuando gira hace girar al disco graduado D en la relacion 10:1. El namero completo de vueltas del rodillo se lee en el disco D por medio de un indice; los centesimos de vuelta del rodillo los indica la lectura del tambor en el Indice del vernier V; y los milesimos se obtienen por la lectura del vernier. Reglas procticas para el use del planimetro

1. El rodillo debe girar libremente y sin sacudidas. 2. La superficie sobre la cual se mueve el planimetro debe ser plana, horizontal y perfectamente pulida. 3. Con la punta trazadora se seguira el perimetro, en sentido retrograde, colocando el ojo en la parte superior. 4. No debe dirigirse la punta trazadora a lo largo de una regla, porque la compensaciOn de errores en este caso es menor que procediendo de la otra manera. 5. Cuando al recorrer el perimetro se desvia el trazador o se pasa del ultimo vertice, debe retroceder siguiendo el mismo camino, anulandose en esta forma el error.

86

Curso basic° de topografia

Determination de superficies

Cuando se va a determinar la superficie de un poligono, se coloca la aguja del polo en el papel en el punto que convenga y se mantiene en su posicion mediante el peso W. A continuation, la punta trazadora se coloca en un punto definido del peiimetro del pollgono, y se hace una lectura inicial. Luego . se recorre el perimetro hasta que la punta trazadora vuelve a quedar en su posicion original, y se toma una lectura final. El recorrido del perimetro con la punta trazadora se ejecutara en el sentido del movimiento de las manecillas del rcloj. La diferencia entre la lectura final y la inicial es el mimero n de revoluciones del rodillo. Li

Li

(1)

en la que n es positiva si la rotaciOn es hacia adelante y negativa si es hacia atras. Cuando el polo queda fuera de la figura y el planimetro hace el recorrido en el sentido de las manecillas del reloj, la lectura final Lf sera mayor que la inicial L ; , y n. sera positiva. La superficie S de la figura es directamente proportional al mimero n de revoluciones del rodillo: S= nK

(Lf

L )K

(2)

"La superficie de la figura se obtiene multiplicando la diferencia de lectunzs por Ia constante del planIrnetro."

El factor de proporcionalidad K se llama la CONSTANTE DEL PLANIMETRO. El valor de K es igual a! oducto de la longitud del brazo trazador por la circunferencia del rodillo. Cuando el brazo trazador se sostiene en tal posicion con relaci6n al brazo polar, que el piano del rodillo pasa por el polo, Ia punta trazadora puede describir una circunferencia sin que el rodillo se mueva y, por tanto, no se registra esta superficie. A este circulo, cuya superficie no se registra, se le llama el circulo del cero. A esto se debe que si el polo del planimetro se coloca dentro de la figura cuya superficie se desea deterniinar, la diferencia de lecturas que sf obtiene Unicamente, corresp)nde a 1;, superficie que queda fuera del circulo del cero. Ademas, las lecturas resultan positivas si la rotaciOn del rodillo es hacia adelante y la superficie de la figura es mayor que el circulo del cero; y negativas ennn& Ia rotacion del rodillo es hacia atra. y la superficie de la figura es mennr que la del circulo del cero.

Plan irnetria

87

La superficie del circulo del cero se puede determinar recorriendo el perimetro de una figura, una vez con el polo fuera de la figura y otra con el polo dentro de ella. La primera operacion da la superficie de la figura: S- n- K

y la segunda da una superficie: S' = n'K

que represents la diferencia entre la superficie de la figura y la del circulo del cero: Superficie del circulo del cero

nK

n'K = (n — n')K

n' > 0,

si:

S > Sup. del circulo del cero

n' < 0,

si:

S < Sup. del circulo del cero.

seem la direccion de rotation del rodillo. Por lo anteriormente expuesto, se considera mas conveniente determinar las superficies, colocando el polo fuera de la figura. Si esta es mayor que la que puede trazarse en una operation, se puede dividir en figuras pequerias y determinar por separado sus superficies. Determination de la constante del pfanimetro

Se puede determinar el valor de la constante del planimetro recorriendo el perimetro de una figura de superficie conocida, con la punta trazadora. La operation, de preferencia, debe repetirse unas cinco veces y utilizarse el promedio. De la formula: S = (L, - L,)K

se deduce: K

S

L,

(3)

El valor de la constante K del planimetro se obtiene dividiendo la superconocida S entre la diferencia de lecturas tomadas al iniciar el recorrido del perimetro y al final del

Los constructores de estos instrumentos clan una tabla en la que se indican las constantes para diferentes longitudes del brazo trazador y para divers;_ts escalas.

88

Curso basic() de topografio

Precision en la determinaciOn de superficies con planimetro

Las superficies deben dibujarse empleando una escala que este de acuerdo con la precision deseada. La precision en la determinaciOn de superficies con planimetro, depende en gran parte de la habilidad del operador para seguir el perimetro del poligono con la punta trazadora, pues hay una tendencia del operador, a desviarse en uno u otro sentido. Si la figura es grande el error relativo en la superficie sera pequerlo, y viceversa. En la medida de superficies pequefias generalmente se puede esperar una precision del uno por ciento y en la medida de figuras de tarnario grande que esten bien dibujadas dentro de 0.1 % ó 0.2%.

LEVANTAMIENTOS CON TRANSITO Y CINTA Generalidades

Se denominan goniometros los aparatos que sirven para medir angulos. Estos instrumentos constan esencialmente de un limbo o circulo graduado y de una alidada. Se llama limbo o circulo graduado a la corona circular cuyo contorno esta dividido con trazos finos. Los circulos se gradtian en 360° sexagesimales o en 400r centesimales. La alidada esta formada por un anteojo estadimetrico ligado a un disco giratorio cuyo eje debe coincidir con el eje del limbo y Ileva consigo un indice en el extremo de dicho disco y un vernier para conocer el valor del angulo en una forma mas precisa. DescripciOn 4331 transit°

El "transitc" (Fig. N9 51), tornado del ingles "transit", es un goniOmetro cuyo anteojo puede dar una vuelta completa alrededor del eje de alturas. Consta eseacialmente de las parses siguientes: El anteojo, elemento fijado a un eje transversal horizontal denorninado eje de alturas que descansa en los cojinetes de los soportes. El anteojo se puede hacer girar alrededor de su eje horizontal y se puede fijar en pualquier posiciOn en un piano vertical, por medio del tornillo de presiOn del movimiento vertical; una vez fijo este tornillo se pueden comunicar pequefios movimientos al anteojo alrededor del eje horizontal, haciendo girar el tornillo tangencial del movimiento vertical. El circulo vertical se encuentra unido al eje horizontal y fijado a uno de los soportes del anteojo esta el vernier del circulo vertical. El anteojo lleva en su parte inferior un nivel de burbuja que sirve para usar el transit° como nivel.

Plan imetria

1.- Visera o sombra. 2.- Tornillo de enfoque. 3.- Tornillo de presion del movimiento vertical. 4.- Tornillo tangencial del movimiento vertical. 5.- Objetivo. 6.- Ocular. 7.- Tornillos de la reticula. 8.- Eje de alturas. 9. Nivel del ante*. 10.- Circulo vertical. 11.- Vernier del circulo vertical. 12.- Circulo horizontal. 13.- Niveles del circulo horizontal. 14.- Vernier del circulo horizontal.

89

15.- Tornillo de presion del movimiento particular. 16.- Tornillo tangencial del movimiento particular. 17.- Briijula. 18.- Tornillo para fijar el aqua de la brftjula. 19.- Tornillo de presiOn del movimiento general. 20.- Tornillo tangencial del movimiento general. 21.- Tornillos niveladore s. 22.- Plataforma o base e n la que descansan los tornillos nivelad ores. 23.- Tripie. 24.- Cadena con gancho para colgar la plomada.

90

Curso basic° de topografia

Se dice que el anteojo esta en posicion directa cuando el nivel queda abajo de el, y en posicion inversa, cuando esta arriba. El giro que se le da al anteojo para pasar de una posicion a la otra es lo que se llama vuelta de campana.

Fig-ura 51

En el interior del tubo del anteojo esta el sistema optico que le da el poder amplificador. Segun los diversos aparatos, el poder amplificador varia, generalmente, entre 18 y 30 diametros. El poder amplificador es la relacion de la longitud aparente de la imagen a la del objeto. Cuanto mayor es el poder amplificador tanto menor es la iluminaciOn y menor es el campo visual. Cuando se visa un objeto, se acciona el tornillo de enfoque del objetivo hasta que la imagen aparece clara y el ocular, hacia adentro o hacia afuera, hasta que aparezcan claros los hilos de la reticula. La funciOn principal del objetivo es formar una imagen visible. El centro optico del objetivo es el punto interior de las lentes pot el que pass cualquier rayo de luz sin cambiar de direccion. El loco principal es un punto en el eje optic() atnis del objetivo en el que los rayon que entran al anteojo y que son paralelos al eje optico, van a dar al foco. La distancia focal del objetivo es la distancia de su centro optico a su foco principal. La inia.gen formada en el objetivo es invertida. El ocular que comunmente se usa, llamado de imagen recta, reinvierte la imagen de manera que aparece al ojo en su posicion normal. El anteojo esta provisto de una reticula de tres hilos horizon tales, paralelos entre si y equidistantes y de un hilo vertical que corta por en medio

Plan imetria

91

a los tres anteriores. Estos hilos se obtienen de los capullos de las arailas o se hacen de alambre de platino muy delgado y se sujetan a un anillo metalico que constituye el anillo de la reticula; este anillo es menor que el tubo del anteojo, y se mantiene en su luaar con cuatro tornillos de calavera por medio de los cuales se puede mover vertical u horizontalmente, a puede hacerse girar un angulo pequeno alrededor del eje del anteojo. La linea de colimaciOn esta definida por la intersection de los hilos de la reticula y el centro optic° del objetivo. El disco superior o disco del vernier, al cual estan unidos los soportes del anteojo y el disco inferior, al cual esta fijo un circulo graduado o limbo horizontal, estan sujetos, respectivamente a una espiga y un mango, cuyos ejes de rotation coinciden y estan situados en el centro geometric° del circulo graduado. El mango o eje exterior que lleva el disco inferior puede sujetarse en cualquier posicion por media del tornillo de presion del movimiento general. Una vez apretado este tornillo, se pueden producir pequenos movimientos haciendo girar el tornillo tangential del movintiento general. De la misma manera, la espiga que Ileva el disco superior puede sujetarse al mango exterior por medio del tornillo de presOn del ,novimiento particular. Despues que se ha apretado este se pueden comunicar peque?los movimientos por medio del tornillo tangential del movimiento particular. El eje .alrededor del cual giran la espiga y el mango verticales se llama eje azinzutal del instrumento. Sobre el disco superior se encuentra montada una briijula. Si el circulo graduado de la brUjula es fijo, sus puntos N y S se encontraran en el mismo piano vertical de la visual del anteojo. Existen transitos en los cuales puede hacerse girar el circulo graduado de la brujula con respecto al disco superior, de manera que puede marcarse la declinacion magnetica y obtener directamente los rumbos astronomicos de las lineas. En uno de los costados de la caja en donde se encuentra la brUjula hay un tornillo que sirve para asegurar el movimiento de la aguja cuando no esta en use y evitar que se doble el pivote de apoyo durante el transporte del aparato. E disco superior lleva montados dos niveles de burbuja en angu:o recto y que sirven para nivelar el transito. El circulo horizontal esta graduado generalmente en medios grados, pero algunas veces en terceras partes de grado o cuartos de grado. Todos los transitos tienen dos verniers, Ilamados A y B para leer el circulo horizontal. Sus indices tienen una separation de 180 . El mango o eje exterior se encuentra asentado en un hueco conic° de la cabeza de nivelaci6n. La cabeza de nivelacion tiene abajo una articulacion de rodilla que tija el aparato al plato de base, pero permitiendo la rotation, quedando la misma articulation o centro.

Curso &Isla) de topografia

92

Los tornillos niveladores presionan la cabeza de nivelacion contra el plato de base. Cuando se giran estos tornillos el aparato se mueve sobre la articulacion de rodilla; y cuando los tornillos niveladores se encuentran flojos no hay presion sobre el plato de base y el transit° puede moverse lateralmente con respecto al plato. Del extremo de la espiga cuelga una cadena con un gancho para suspender la plomada. El instrumento se monta en un triple atornillando el plato de base en la cabeza del triple. Las partes principales del triple son la plataforma, el sistema de union con el aparato y los pies. Usos del transit°

Debido a la gran variedad de usos que se le dan, el transit° es el aparato universal para la topografia. El transit° puede emplearse para: a)

Medir ingulos horizontales y verticales.

b)

Trazar angulos horizontales y verticales.

c)

Medir distancias.

d)

Determinar diferencias de elevacion.

e)

Medir direcciones, y

j) Trazar y prolongar lineas. Condiciones que debe satisfacer un transit° para su buen funcionamiento. Revision y aiustes

1. Las directrices de los niveles del limbo horizontal deben s-er perpendiculares al eje azimutal cuando las burbujas esten en el centro. Revision:

Con el movimiento general pOngase uno de los niveles en la direcciOn de dos de los tornillos diametrales de la plataforma para nivelar (Fig. NY 52). Fijese el movimiento general y valiendose de los tornillos niveladores a,a, llevese al centro la burbuja del nivel. Aflojese el tornillo de pres; 1-7- fl°1 movimiento particular y girese el anteojo 180', fijando dicho movimiento. Si la burbuja del nivel queda en el centro despues de este giro, en esta nueva posiciOn, el nivel esta correcto, pero si se desvia la burbuja se procede a corregirlo.

Planimetria

93

A juste:

Corrijase la mitad del error por medio de los tornillos de calavera de que estan provistos los niveles. La otra mitad se corrige con los tornillos niveladores. Nunca se corrigen los niveles con una sola operacion y hay que repetirla tantas veces cuantas sea necesario hasta terser la seguridad de que of nivel esta correcto. nivel

a,a,b,b, —› tornillos niveladores Figura, 52

2. El hilo vertical de la reticula debe estar en un piano perpendicular al eje horizontal. Revisit n:

A una distancia de 60 m de donde se tiene el transito, coloquese la plomada sumergida en un recipiente que contenga agua o aceite, para evitar las oscilaciones que produce el viento. Hagase coincidir el cruzamiento central de los hilos de la reticula con el hilo de la plomada y observese si el hilo vertical se confunde con el de la plomada. Si esto acontece el hilo vertical esta correcto; pero si no sucede asi, el hilo requiere correction. A juste:

Aflojense dos tornillos de calavera contiguos. Imprimase un giro a la reticula hasta que coincida el hilo vertical en toda su longitud con el hilo de la plomada. Una vez lograda la coincidencia del hilo vertical y la plomada, aprietense los mismos dos tornillos de calavera.

94

Curso basito de topografia

3. La linea de colimacion del anteojo debe ser perpendicular al eje horizontal. Revision: Nivelese el instrumento. Visese un punto A (Fig. N9 53) a una distancia de 150 m aproximadamente, con el anteojo en position directa y fijense los movimientos particular y general del instrumento.

I eje horizontal 4a. position

eje horizontal 2a posiciOn \

0

D

Figura 53

Dese vuelta de campana al anteojo, quedando este en position inversa y coloquese otro punto B en la linea de colimacion y aproximadamente a la misma distancia en el lado opuesto del transito o Aflojese el movimiento general e inviertanse los extremos del anteojo, haciendolo girar alrededor del eje azimutal, y visese otra vez A. Ffjese el movirniento general y dese vuelta de campana al anteojo; si la linea de colimacion cae en B el aparato esta correcto; en caso contrario se procede a corregirlo. A juste: Coloquese un punto C en la linea de colimaciOn cerca de B. Marquese otro punto D, a la cuarta parte de ]a distancia de C a B. Ajustese el anillo de la reticula, por medio de los dos tornillos horizontales opuestos, hasta que la linea de colimacion ease por D. Repitase la operation hasta teller la seguridad de que esta correcto. Los puntos visados deberan estar aproximadamente a la misma altura que el instrumento. (Fig. N9 54.)

Planimetria

95

150 m aprox. Figura 54

4. El eje horizontal o eje de alturas debe ser perpendicular al eje vertical o eje azintutal. Revision:

Coloquese el transito cerca de un poste, pared de un edificio o alguna otra construccion que tenga un punto A perfectamente bien definido y que para visarlo, el anteojo deba formar con la horizontal un angulo vertical mayor de 45° (Fig. NY 55). Nivelese cuidadosamente el instrumento y visese el punto A, fijando los movimientos particular y general.

vertical verddera

Fi gura 55

96

Curso basico de topografia

Imprimase un giro hacia abajo al anteojo y fijese el punto B sobre la parte baja del muro o poste o Bien sobre el suelo, seem convenga. Dese vueita de campana al anteojo e inviertanse sus extremos haciandolo girar alrededor del eje vertical y visese otra vez A. Inclinese hacia abajo el anteojo hasta visar el punto B. Si esto ocurre el aparato esta correcto; de no ser asc debe ajustarse.

Ajusie: Marquese el punto C que indica la linea de colimacion, junto a B. Midase la distancia que hay entre B y C, y a la mitad marquese otro punto D, que quedara en el mismo piano vertical que A. Visese el punto D y elevese el anteojo hasta que la linea de colimacion quede cerca de A. AflOjense los dos tornillos que sujetan la tapa del cojinete; y sUbase o bajese el apoyo del eje horizontal, opuesto al circulo vertical, con el tornillo de correction que tiene para el objeto, hasta que la linea de colimacion quede en el mismo plano vertical que A. Repitase la operation para su comprobacion. VERNIER

La lectura de angulos horizontales y verticales, sobre los circulos graduados se hace con vernier para aumentar la aproximaciOn que tienen las graduaciones. Para medir los angulos horizontales, los transitos en su mayoria estan provistos de dos verniers colocados a 180° uno de otro, y que se mueven junto con el anteojo. DefiniciOn del vernier

"El vernier es una pequefia placa dividida independientemente del limbo y en contacto con el y que tiene por objeto apreciar fracciones del menor espacio en que esta dividido el limbo." Teoria del vernier

El Jundamento del vernier es dividir la extension ocupada por un 1" partes en que nUmero "n" de divisiones del limbo en un numero "n se divide el vernier. La extension que ocupan las "n" divisiones del limbo es igual a la extension ocupada por las "n + 1" divisiones del vernier.

Plan imetria

97

Si s tiene un arco dividido en "n" partes, se puede sobreponerle otro concentric° a aqua, pero dividido en "n 1" partes. El primer arca formara parte de la circunferencia del limbo; el segundo arco es el vernier (Fig. N. 56).

nt I VERNIER 30

2o

I0

I0

A

LIMBO

n

Figura 56

Si se designa por D el valor de la menor division del limbo, y por d el de una del vernier, el arco MN expresado en divisiones del limbo, tiene por valor: MN = Dn

(1)

y, en divisiones del vernier, vale: MN =.

+ 1)

(2)

Comparando las igualdades (1) y (2), se halla: Dn d(n 4- 1 )

(3)

Se llama aproximacion del instrumento la menor fraccion del limbo que se puede apreciar por media del vernier, y es igual a la diferencia que existe entre el valor de la menor division del limbo y el de una division del vernier. Designanf:iola por a, se tiene: a = D — d .• d D a

sustituyendo ahora (4) en (3), se encuentra: Dn (D — a)(n + 1)

y efectuando operaciones: Dn = D(n 4- 1 ) — a(n + 1) 7

(4)

Curso basic° de topografia

98

•• a—

a(n ± 1) D(n ± 1)

—

Dn = Dn D Dn

a = aproximaciOn del vernier. D = valor de la menor division del limbo.

D n+1

1 = numero de divisiones del vernier.

n

Por tanto,

Para conocer la aproximaciOn que da el vernier, dividase el valor de la menor division del limbo, expresada en mirtutos o segundos, entre el minter° de divisiones del vernier. EJ'EMPLOS 1. El limbo horizontal de un transit° esta dividido en medios grados y el numero de divisiones del vernier es 30. igual es la aproximacion del apara to? DATOS:

fr

D

10 2

= 30'

n + 1 = 30

SOLUCIoN

a—

D _ 30' _ n

1

30

1

a = 1'

2. El valor de la Ultima division del limbo horizontal de un transito es de 20' y el numero de divisiones del vernier, 60. zQue aproximacion tiene el instrumento? DATOS :

D= 20' n+ 1 =60 SOLUC1ON

a=

D n+1

20' 60

20' 60" — 20 60

a= 20"

►

Plan imetria

99

Lectura del vernier

En casi todos los trkisitos la graduacion del limbo horizontal va en 1.;s dos sentidos y contada de 0° a 360°. El vernier tambien es doble para poder pacer las lecturas en uno u otro sentido y tiene su cero en el centro. El cero del vernier marca siempre el punto en el limbo cuya lectura quiere hacerse. Para obtener el valor de la lectura, lease primer() sobre el limbo, en la direction de la graduacion, los natneros enteros que se encuentren antes llegar al cero del vernier. En seguida, lease el valor de la fracciOn sobre el vernier, contando el n(4mero de divisiones que haya desde el cero hasta que se encuentre la coincidencia de una division del vernier con una division del limbo. Las dos lecturas, tanto la del limbo como la del vernier deben hacerse en la misma direcciOn y deben sumarse para obtener el valor total. (Fig. N9 57.)

30

20

260 LIMBO

252 ° 30'

Lectura en el limbo = 252°30' Lectura en el vernier = 11' Lectura total -= 252°41' Figura 5'7

MeciIda de c'mgulos

La medida de los angulos puede ser: simple, por repeticiones, o por reiteraciones.

Medida

simple

Supongamos que desde el vertice C de la figura N9 58; se mide el angulo ACB. El procedimiento es el siguiente:

100

Curso basic° de topografia

Ponganse en coincidencia el cero del limbo horizontal con el cero del vernier y fijese el movimiento particular. Valiendose del movimiento general, visese el punto A, haciendo coincidir el centro de la reticula con el punto A, y fijese el movimiento general. Aflatjese el tornillo de presiOn del movimiento particular y dirijase el anteojo al punto B, haciendo coincidir dicho punto con el centro de la reticula. Hagase la lectura del angulo en el vernier.

Figura 58

Medida por repeticiones

-

Tiene por objeto obtener el valor de un angulo lo mas aproximado posible a su valor verdadero, que no puede dar directamente el instrumento debido a su escasa aproximacion. Este metodo consiste en medir el angulo varias veces pero acumulando las lecturas, de esta manera las pequetias fracciones que no se pueden leer con una lectura simple por ser menores que la aproximacion del vernier, al acumularse pueden ya dar una fracciOn que si se puede leer con el vernier. Para repetir un angulo, como ACB, con el transito en C se mide el valor sencillo del angulo como se describio anteriormente. No se mueve la posiciOn del vernier y con el movimiento general se vuelve a visar el punto A. (Fig. N9 59.) En seguida, con el movimiento particular se dirige el anteojo al punto B; y el angulo ahora se ha duplicado. De esta manera se continua el proceso, hasta que el angulo se ha multiplicado el numero de veces requerido. El valor del angulo repetido se determina dividiendo la diferencia entre las lecturas inicial y final por el rthmero de veces que se repitio el angulo. Si la lectura inicial es 0°00', el valor del angulo se obtendra dividiendo la Ultima lectura entre el mamero de repeticiones.

Pianimetria

107

A"

Fi gu r a 59

EJ EMP L 0

Supongamos que el angulo ACB (Fig. N9 59) tenga un valor verdadero de 30'15'23" y que se tiene que medir con un transit° cuya aproximacion es de 1'. No sera posible hacer la apreciacion de los 23" con el instrumento, con el cual solo se leera 30° 15'; pero si una vez hecha la primera lectura, se hace una nueva acumulando la anterior, la amplitud recorrida por el limbo habra sido de 60'30'46", por consiguiente, el limbo permitird leer 60°31', lo que (lard para el angulo un valor de 30°15'30", aproximado al verdadero. Ahora bien, si a las dos lecturas anteriores les acumulamos una tercera lectura, la amplitud recorrida por el limbo sera de 90°46'09", y la lectura apreciable con el instrumento sera de 90°46'. En este caso, el valor del angulo, repetido 3 veces, se obtendra tomando la tercera parte de la Ultima lectura: Entonces: 90°46' valor Angulo repetido -- 30°15'20" 3 que se aproxima mas al valor verdadero. La precision aumenta directamente con el ninnero de repeticiones hasta 6 u 8; mas alla de este numero, la precision no aumenta apreciablemente,

102

Curso basic() de topografia

debido a los errores accidentales, asi como a los ocasionados por las coincidencias imperfectas de la linea de colimaciOn. Medida por reiteraciones

Los angulos se determinan, con este metodo, por diferencias de direcciones. El origen de las direcciones puede ser la linea N S o una linea cualquiera. Si desde la estacion A se tienen que observar los vertices 1, 2, 3, 4 (Fig. N9 60), se dirigira primero la visual al extremo de la linea escogida como origen de las direcciones. Supongamos que la linea A I sea el origen de las direcciones; una vez visado el punto 1, con uno de los verniers marcando 0°, se fijara el movimiento general y con el particular se continuard la observacion de los puntos 2, 3 y 4, haciendo en cada caso la lectura de los dos verniers, y despues de haber completado la vuelta de horizonte, se volvera a visar el punto inicial para verificar si no sufrio algtin movimiento el instrumento durante la observacion. Es conveniente tomar tantos origenes como lineas concurran a la estacion, de manera que en el ejemplo propuesto, se tomaria en seguida como origen la linea A 2, y despues la linea A 3. Los valores de los 2, 2 — A 3, 3 — A angulos 1 — A 4, 4 — A 1 se obtienen por diferencias entre los angulos observados alrededor del vertice A; y el valor mas probable de cada ingulo sera el promedio de los valores obtenidos. Este metado de observacion se emplea cuando hay que medir varios angulos alrededor de un punto. -

—

—

—

—

—

—

Figura 60

—

Plan imetria

103

Cuando se mide solo un angulo se va cambiando la lectura de origen alrededor de todd la graduacion, tantas veces como reiteraciones se vayan a hacer. Asi, por ejemplo, si se van a efectuar 4 reiteraciones, los origenes para medir 0°, 90°, 180°, 270° y de esta manera disminuira la influencia de los errores que pueda tener la graduacion del limbo horizontal. CENTRAR EL TRANSITO es hacer coincidir el hilo de la plomada suspendida del aparato con la vertical que pasa por el punto marcado en la cabeza de la estaca que sehala el vertice del poligono. NIVELAR EL TRANSITO es colocar el limbo horizontal en un piano realmente horizontal. Esto se logra centrando las burbujas de los niveles perpendiculares entre si, montados uno sobre la caja y otro sobre uno de los soportes del anteojo, por medio de los tornillos niveladores.. ORIENTAL EL TRANSITO es colocarlo de manera que cuando ester' en coincidencia los ceros del limbo horizontal y su vernier, el eje del anteojo este en el piano del meridiano (magnetic° o astronomico) y apuntando al Norte. Metodos de levantamiento con transit° y cinta

Se emplean los siguientes metodos: Medida directa de angulos. Deflexiones, y ConservaciOn de azimutes. Metodo de medida directa de angulos

Consiste este metodo en medir en todos los vertices del poligono los angulos que forman los dos lados que concurren al vertice de observacion. Se toman los angulos interiores cuando se recorre el perimetro del pollgono en sentido contrario del movimiento de las manecillas del reloj y se miden los angulos exteriores cuando el recorrido se hace en el sentido de dicho movimiento. Este meto-do se emplea preferentemente en el levantarniento de poligonales cerradas. Trabajo de campo

Comprende las operaciones siguientes: 1. Reconocimiento del terreno. 2. Materialization de los vertices del poligono. 3. Dibujo del croquis de la zona que se va a levantar, en la libreta de campo. 4. Orientation magnetica (o astronomica) de un lado de la poligonal, generalmente el primero.

104

Curso bcisico de topografia

5. Levantamiento del perimetro, midiendo los angulos (interiores o exteriores) y las longitudes de los lados y tomando tambien los rumbos magneticos de los lados. 6. Levantamiento de detalles. Los datos recogidos en el levantamiento se anotan en forma clara y ordenada en el registro de campo, como se indica en el ejemplo siguiente: REGISTRO DE CAMPO 8 Levantamiento con transit° de 1' y cinta de acero de 50 m, por el metodo de medida directa de ringulos

Lomas LIL. Solelo, D. F. 24-ABR-76 Levant6; Simon Villar A.

Est.

P.V.

Distancias

-(1)

R.M.O.

0

1

241.00

N 12°30' W

1

2

231.00

2

3

245.90

3

4

248.40

4

0

258.30

97°08' 194 ° 16' 116°42' 233°25' 110°50' 221 °40' 100°35' 201°10' 114°47' 229°33'

circulo horizontal.

OrientaciOn magnetica

CROQUIS Y NOTAS N

2

41

N 76°00' W S 35 ° 00' W S 44°30' E

0

'

N 70°00IE At 0-1 ., 347 ° 22'

R.M.O. = rumbo magnetico observado.

■

La orientaci6ri magnetica tiene por objeto conocer el azimut de una linea. Supongamos que se desea orientar el lado 0 — 1 de la poligonal que se muestra en el registro 8. Para determinar el azimut magnetic° del lado 0 — 1, se procede de la manera siguiente: 1. Se centra y se nivela el instrumento en la estacion 0. 2. Se ponen en coincidencia los ceros del limbo horizontal y su vernier y se fija el movimiento particular. 3. Se deja en libertad la aguja de la brujula y con el movimiento general se hacen coincidir la aguja de la brnjula y la linea N-S, marcada en el circulo graduado de la misma, fijando el movimiento general. 4. Se afloja el movimiento particular y se visa el vertice 1. La lectura hecha en el limbo sera el azimut magnetic° del lado 0 — 1, puesto que cuando el anteojo apuntaba al norte magnetic°, el indice del vernier sefialaba WOO'.

Planimetria

105

Medida de los Cmgulos

En cada estacion: 1. Centrado y nivelado el instrumento se ponen en coincidencia los ceros del limbo horizorital y su vernier y se fija el movimiento particular. 2. Con el movimiento general se dirige el anteojo a visar el vertice de atras y se fija dicho movimiento. 3. For medio del movimiento particular, se imprime un giro al anteojo, en el sentido de: movimiento de las manecillas del reloj, para visar el vertice de adelante y se hace la lectura del Angulo horizontal que se anota en el registro. Comprobacicin del ongulo medido

4. A continuacion, con el movimiento general se vuelve a visar el vertice de atras y se verifica la lectura con el objeto de cerciorarse de que no se ha movido, fijando el movimiento general. 5. For Ultimo, con el movimiento particular se vuelve a visar el vertice de adelante, efectuando la lectura del Angulo horizontal que debera ser el doble de la obtenida en la primera operacion o cuando mas con un minuto de diferencia, lo que es tolerable porque significa que el valor del Angulo lefdo es con mayor probabilidad un Angulo de 30" mas grande o mas pequelio que el primero. Si hay una diferencia mayor de un minuto se hace de nuevo la medida del angulo desde el principio. LA COMPROBACON DEL ANGULO MEDI-DO tambien puede efectuarse de la manera siguiente; despues de realizadas las operaciones indicadas en los puntos 1, 2 y 3, continue con:

4,

Se da vuelta de campana al anteojo y queda este en posicion inversa.

5. Se afloja el movimiento general y se lleva el anteojo a visar el vertice de atras y se fija dicho movimiento. 6. Con el movimiento particular se hace girar el anteojo hasta visar el vertice de adelante, fijando el movimiento particular. La lectura del Angulo horizontal debe ser el doble de la primera o diferira en un minuto. Esta lectura se anota tambien en el registro de campo. Una vez medido el Angulo horizontal y comprobado este con el doble Angulo, se mide la distancia de la estacion al vertice de adelante y, en la brUjula del transit°, se toma el rumbo magnetic° del lado del poligono, determinado por la estacion y el vertice de adelante. Estos datos se anotan en el registro de campo.

106

Curso basic° de topografia

Condicicin geometrica que debe satisfacer un poligono levantado por el metodo de medida directa de angulos

Si el recorrido de la poligonal cerrada se hace en sentido contrario del movimiento de las manecillas del reloj, se toman los angulos interiores (Fig. N9 61).

Figura 61

angs. ints= 180°(n — 2)

Cuando la poligonal se recorre en el sentido del movimiento de las manecillas del reloj, se miden los angulos exteriores (Fig. N° 62). En las formulas y it es el rinier° de lados de la poligonal. ComprobaciOn de cierre angular

En el campo, al terminar el levantamiento se determina el error angular comparando la Slilna de los angulos observados con la suma que, para la poligonal levantada, da la condiciOn geonietrica.

Plan imetria

107

sentido del recorrido

angs. exts = 180° (n

2)

Figura 62

Es to es:

E,1 = >_; angs. obs. — 180°(n — 2)

si se miden angulos interiores

o Bien: EA

=

angs. obs. — 180°(n + 2)

si se toman angulos exteriores.

La tolerancia angular se calcula aplicando la formula: TA = ±a n en la cual:

= tolerancia angular. a = aproximacion del aparato. n = mime r o de vertices del poligono.

TA

Curso be sico de topografia

108

Si el error angular es menor o igual que la tolerancia, el trabajo se ejecuto correctamente; en caso contrario se repite el levantamiento. EJEMPLO

En el levantamiento de un poligono, con transito de 1' y cinta de acero, por el metodo de medida directa de angulos, la suma de los angulos observados fue: 540'02'; n = 5. —Determine el error angular. Calcule la tolerancia angular, y Concluya si se acepta el resultado o debe repetirse el trabajo. SOLUCIoN EA = TA

If

angs. obs. — 180°(n — 2) = 540°02' — 180°(3) = +2'

=±a

Vn=

\/5 =

EA = TA , por Canto, se acepta el resultado. Trabajo de gabinete

Se entiende por trabajo de gabinete, la ordenacion de los datos tornados en el campo y los calculos que con ellos se ejecutan, con objeto de obtener los elementos necesarios para construir el piano. Todos estos elementos se anotan en una hoja de papel con rayado especial que se denomina plarti-

!la de calculo. Las operaciones se ejecutan en el orden siguiente:

1.

Compensacion angular del poligonv.

Esta operacion consiste en distribuir entre todos los angulos del pollgono, el error angular encontrado, siempre que este se encuentre dentro de los limites de tolerancia. La correccion angular puede efectuarse de dos maneras: Distribuyendo el error por partes iguales en los angulos comprendidos entre lados mas pequefios, con objeto de que el cierre lineal no sea muy grande, o li) Aplicando la correccion a un angulo cada cierto mimero n' de estaciones, para no tener que Ilevar en cuenta fracciones de minuto y tomar como correccion minima la aproximaciOn del vernier.

a)

En este caso: t

E

Planimetria

109

siendo n el m'imero total de vertices o estaciones del poligono y EA el error angular. EJEMPLO

Ejecutar la compensacion angular de un poligono, levantado con transit° de 1' y cinta de acero, por el metado de medida directa de angulos con los siguientes datos: DATOS LADOS

Angulos observados

Est. A

B

B

C

C D E F G

D E

F G

H

H I

1

A SUMAS:

SOLUCION

57°11' 90°00' 117'12' 216°04' 125°04' 180°01' 75°00' 222°07' 177°24'

C

—

Angutos compensados 57°11' 90°00' 117°11' 216°04' 125 04' 180'00' 75°00' 222 ° 07' 177°23'

1'

—1'

— 1'

1260°03'

1260'00'

SOLUCIoN

1. Se determine el error angular EA: angs. obs. — 180°(n

2)

—

EA = 1260°03' — 180°(9 — 2) EA = 1260°03' — 1260°00' +3' EA = +3'

2. Se calcula la tolerancia angular TA:

T A = ±a 11 n 3.

VV=

TA = + 3'

Se compara EA con TA: EA = T,,

4. Se ejecuta la compensacion angular, porque el error angular encontrado no rebasa is tolerancia establecida.

110

Curso bcisico de topografia

Para determinar los angulos que se corregiran, se calcula n':

,

n =11

EA.

9 3

3;

este cociente indica que la correccion angular se aplicara cada 3 estaciones. En este caso se corregiran los angulos observados en las estaciones F e I. La correccien angular C se aplica con signo contrario al error angular E. ,. Una vez efectuada la compensaciOn angular el polfgono queda como una figura angularmente correcta. 2.

Ccilculo de los azimutes de los lados del poligono :

, Az 0 — 1 = azimut del priSea la poligonal 0 — 1 — 2 — 3 —, , mer lado determinado en forma magnetica o astronornica; a, 13, y, angulos horizontales observados en las estaciones 1, 2, 3, .. (Fig. Tic 63).

lAz 0-1 t- -.. c>4 I ‘0 •

Az 2-3

N 1-2

1

34 3

Figura 63

En la figura anterior se observa: Az 1 — 2 = Az U — 1 + 180° + a Az 2 — 3 = Az l-2+180°+ /3 Az 3 — 4 = Az 2 — 3 + 180' + 7

(1)

Planimetria

111

pero: Az 0 — 1 + 180° --= Az. inv 0 — 1 Az 1 — 2 + 180° = Az. inv 1 — 2 (2)

Az 2 — 3 ± 180° ---- Az. inv 2 — 3 •••

y, sustituyendo (2) en (1), se encuentra: Az 1 — 2 =- Az. inv 0 — 1 + Az 2 — 3 = Az. inv 1 — 2 + [3

(3)

Az 3 — 4 = Az. inv 2 — 3 + y •••

a = angulo horizontal medido en la estaciOn 1.

= angulo horizontal medido en la escacion 2. = angulo horizontal medido en la estaciOn 3. Los resultados obtenidos (3), permiten establecer la siguiente regla: "El azimut de un lado cualquiera de una poligonal se obtiene suinando al azimut inverso del lado anterior el angulo horizontal tornado en la estacion que es origen del lado cuyo azimut se busca." Esta regla se r:uede expresar por medio de la formula: Az BC = Az. inv. AB + 13‘ EJEMPLO

Dados el azimut del primer lado de una poligonal y los angulos compensados (interiores o exteriores), calcular los azimutes de los demos lados. DATOS Lados Est.

P.V.

A B

B

C

D

D

E

E

A

C

SUMA:

Angulos compensados

119°08' 116°33' 40°24' 224°42' 39°13' 540°00'

Azimutes

261°09'

Curso basic() de topografia

112

El calculo se facilita disponiendolo de la manera siguiente: 261'09' — 180°00' 81°09' Az. inv. AB = 1+ B -= 116°33' Az. AB =

Az. BC =

197°42' — 180°00' Az. inv. BC = 17°42'

C=

40°24'

Az. CD -=

58°06'

+ 180°00' Az. inv. CD = 238°06'

+D=

Las operaciones aritmeticas se comprueban calculando el azimut del lado de partida.

224°42' 462°487 > 360°

— 360° Az. DE = 1 02°487

SOL UClo N

•

+ 180°0(Y Az. inv. DE = 282°48'

+ E :=

39°13'

Az. EA =

322°01'

— 180'00' Az. inv. EA r--- - 142°017

+A =

119°08'

Az. AB =

261°09'

3.

Lados Est.

p, y.

Azimutes

A B C D E

B C D E A

197°42' 58°06' 102°48' 322°01'

Transformacion de azimutes a rumbas..

Esta operacion se ejecuta en la forma expuesta anteriormente (Levantamientos con bnijula y cinta).

4.

Ccilculo de proyecciones de los lados del poligono.

En topografia se llaman proyecciones de un lado del pollgono a los catetos de un triangulo rectangulo formado por una vertical que parte de la estacion hasta encontrar a la horizontal que parte del punto visado.

Planimetria

1 13

En la recta AB (Fig. N9 64), A es Ia estacion y B el punto visado. La vertical que parte de la estacion 'es AC y Ia horizontal que parte del punto visado hasta encontrar a la vertical es BC y ambas rectas, AC y BC, son las proyecciones de la recta AB. Si la proyeccion vertical va hacia el Norte, tiene signo positivo y se designa con la letra N; y si va hacia el Sur, su signo es negativo y se designa con la letra S. La proyeccion horizontal tiene signo positivo si va hacia el Este y negativo si va al Oeste, designkndose por las letras E o W, respectivamente. Las proyecciones verticales se designan de una manera general con la letra y, y las proyecciones horizontales con la x. En el triangulo rectangulo formado por el lado del poligono y sus dos proyecciones, el rumbo es el angulo del triangulo que corresponde a la estacion.

.■■••

.••••• ••••=11

A Flgura 64

AC = y = proyecci6n vertical del lado AB BC = x = proyeccion horizontal del lado AB AB = L = lado del poligono Z. A = Rbo. = rumbo del lado AB Por trigonometria, en el triangulo rectangulo ABC, se tiene: x L sen Rbo y = L cos Rbo Las formulas (1) y (2) son las que se usan para el calculo de las proyecciones. El calculo de ellas se ejecuta de tres maneras distintas: 8

114

Curso basico de topografia

a) Por logaritmos. b) Por funciones naturales, y c) Por tablas de coordenadas. EJEMPLO

Calcular las proyecciones de los lados de un poligono, dadas las loigitudes y rumbos de los lados. SOLUCIoN DATOS

Lados Est, P.11 . 0 1 2 3 4

1 2 3 4 0

Distancias

Rumbos

E

23.24 23.82 22.32 25.29 22.04

S 56°14' E

19.32

S 66'26' W S 52°32' W N 2°13'E N 60°48' E

Proyecciones W N

12.92 9.52 13.58

21.83 17.72 0.98 19.24

S

25.27 10.75

SOLUCION

a) Por logaritmos. se halla:

Aplicando logaritmos a las igualdades (1) y (2),

log x = log L + log sen Rbo log y = log L + log cos Rbo Cuando las proyecciones se calculan por logaritmos el calculo se dispone como se indica a continuacion: DATOS

L7-= 23.24 m Rbo = S 56°14' E En las tablas de logaritmos: log sen Rbo = 9.919762 log cos Rbo = 9.744928 log L = 1.366236

x = 19.32E log x = 1.285998 log sen Rbo = 9.919762 log L = 1.366236 log cos Rbo = 9.744928 1.111164 log y y = 12.92 S

Plan irnetria

1 15

De la misma manera se obtienen las proyecciones de los otros lados. x = 21.83W log x = 1.339120 log sen. Rbo 9.962178 log L 1.376942 log cos Rbo = 9.601860 log y = 0.978802 y= 9.52 S

17.72 W 1.248354 9.899660 1.348694 9.784118 1.132812 13.58 S

0.98 E 9.990418 8.587469 1.402949 9.999675 1.402624 25.27 N

19.24 E 1.284187 9.940975 1.343212 9.688295 1.031507 10.75 N

b) Por funciones naturales. El calculo por funciones naturales de las proyecciones de los lados del poligono, se reduce a buscar en la tabla de lineas naturales el valor del seno y del coseno del rumbo y multiplicarlo por la longitud del lado. Lados

Proyecciones

1

x = 23.24 sen 56'14' = 23.24 (0.83131) = 19.32 E cos (0.55581) ---- 12.92S " Y '

1

2

x = 23.82 sen 66°26' = 23.82 (0.91660) = 21.83 W cos " (0.39982) = 9.52 S Y "

2

3

x = 22.32 sen 52°32' = 22.32 (0.79371) = 17.72 W (0.60830) - 13.58 S y " cos

0

3

-

-

Q.

5/

/3

x --- 25.29 sen cos Y /I

2°13' /5

x = 22.04 sen 60°48' cos =

71

0.98 E 25.29 (0.03868) " (0.99925) = 25.27 N 22.04 (0.87292) = 19.24 E " (0.48786) = 10.75 N

c) Por tablas de coordenadas. Las tablas de coordenadas estan construidas para evitar el trabajo de la multiplicacion que se ejecuta con las formulas antes expresadas usando funciones naturales. 5. Determinacion de los errores Ex y Ey . Una vez calculadas las proyecciones de los lados del poligono, se suman las proyecciones E, W, N y S.

La diferencia entre las sumas de las proyecciones E y W es el error de las "x" y se designa por E1 . La diferencia entre las sumas de las proyecciones N y S es el error de las "y" y se designa por Ey . proy. E Ey = proy. N

proy. W proy. S

11 6

Curso basic," de topogrofia

Ahora bien, si se designan de una manera general con la letra x las proyecciones horizontales y con la y las proyecciones verticales, las igualdades anteriores pueden expresarse como sigue: -

Ey = Iy?N

—

X iV

X.Y2

6. Ccilculo del error de cierre lineal (EL). Si se hace coincidir la estacion inicial 0 del poligono con el origen del sistema de coordenadas rectangulares (Fig. N9 65), los errores E, y E7, son las coordenadas del

0' (Ex,Ey)

Ey

-cv

Ey X

Ex

Figura 65

punto de llegada 0' que, por los errores cometidos durante el levantamiento, no coincide con el punto de partida 0. La distancia 00' es el error de cierre lineal y se designa por EL . En la figura N9 65 se ye que la distancia 00' es la hlpotenusa de un triangulo rectangulo cuyos catetos son E„ y por tanto, el valor del error de cierre lineal se. encuentra aplicando el Teorema de Pitagoras.

EL = I + 7. Calculo de la tolerancia lineal (TO. La tolerancia en el cierre lineal de un poligono levantado con transit° y cinta, se calcula con las formulas siguientes:

Plan imetria Orden del levantarniento

117

Tolerancias

PRECISO

TL = NI P(0.000 000 011P + 0.000 02)

PRIMERO

TL = Al P(0.000 000 045P + 0.000 08)

SEGUNDO

TL

TERCERO

Ti, = Al P(0.000 000 40P,+ 0.0005)

= V P(0.000 00018P + 0.0002)

TL = tolerancia lineal, en metros P = desarrollo de la poligonal, en metros y en la practica, pueden emplearse las formulas: Orden

Tolerancias

P/10 000

PRECISO

TL =

PRIMERO

TL = P/5 000

SEGUNDO

TL =

TERCERO

TL = P/1 000

P/3 000

8. Calculo de la precision P. La precision o error relativo se calcula dividiendo el error de cierre lineal EL por el perimetro del poligono XL:

E P =L

P o bien:

1 EL

PrecisiOn

1

TAQUIMETRICA

BUENA:

1 000 1 3 000

MUY BUENA:

a

1 5 000

1 10 000

Si el error de cierre lineal E L TL , se puede hater la compensa- esmnorigualqtenci ciOn lineal del poligono. En los levantamientos con transit° y cinta se supone que los errores Er y E y de las proyecciones son proporcionales a

9.

CompensaciOn lineal del poligono.

118

Curso bosico de topovrc-fio

sus valores absolutos. Para la correccion lineal del poligono, se calculan primero los factores unitarios de correccion Kr y K u, o scan las correcciones por metro:

E,

K, 1:X1,7

K

+Xw

Em

Er = error de las "x" = E -= error de las "y" + .>y,

ys

.1:yN +

Yx — ):.ys

suma aritmetica de las "x" (E y W) suma aritmetica de las "y" (N y S)

En seguida se calculan las correcciones que deben aplicarse a las proyecc i o I es.. Las correcciones x 1 , x2, x3, asi como y,, .Y.29 y,, ... , y7„ se , obtienen mulLiplicando las proyecciones de los lados del poligono, por los fact ,2[Ls unitarios de correccion correspondientes. Los signos de las correcciones so aphcan tomando en consideracion las sumas de las proyecciones E y W N y S.

Para la compensacion de las alx,cisas, ! correccion se resta a las proyecciones cuya suma sea mayor y se agre: -. a aquellas que corresponden a la suma menor, asi se igualan ambas sumas, las de las proyecciones E y W, y se distribuye el error E. De igual manera se procede para cornpen ,;ar las ordenadas. Como resultado de la compensacion lineal del poligono, las sumas de las proyecciones corregi las cumpliran las condici ones siguientes: 1XF =- XXI,/

EJEMPLO

Efectuar la compensacion lineal de una poligonal cerrada, levantada con transit° y cinta con los datos del registro siguiente:

Plan imetria PLANILLA DE CALCULO ProyPc _iones sin corregir

Lados Est.

P.V .

Distancias

Rumbas

0

'1

112.00

2

139.8(1

83.17 137.40

- -71 tr 0

139.60 148.10 132.00 67L50

N 47°57' E S 79°20' E S 7°47' W S 78°15' W N 25°21' W SUMAS:

220.57

r

3 ( 4-....)

4

+E

-W

+N

-S

75.02 18.91 145.00 56.52 220.43

2588 138.30 30.16 119.30 194.32

194.34

SOLUCION

a)

DeterminaciOn de los errores E„ y Ey: E, = E,

b)

Ef; = (+0.14)2 + (-0.02)2 = 0.14 m

Calculo de los /adores unitarios de correcciOn K„ y K, Ky -

d)

220.57 - 220.43 = +0.14 m >2y, = 194.32 - 194.34 = -0.02 m

Calculo del error de cierre lineal E r; EL

c)

-

Ez + + Iy,s,

0.14 - 0.00032 441.00 0.02 - 0.00005 388.66

allculo de las. correcciones:

y

0.03 0.04 0 0.05 0.02 0.14= E,

83.17 x 0.00032 137.40 x " 7 18.91 x 77 145500 . 00 x X3-4 x4, = 56.52 x

T 0.026 = 0.043 = 0.006 _± .= 0.046 = 0.018

Yo-i = 75.02 x 0.00005 25.88 x Y L-2 " Y2-3 = 138.30 x " 30.16 x y3-4 = = 119.30 x " Y4

0 = 0.003 0, = 0.001 0.01 = 0.006 =0.001= 0 0.01 = 0.005 0.02

=

1 19

Curso basic° de topografia

120

Como: I',x1v > la correction se aplicard con signo - a las proyecciones E y con signo + a las proyecciones W. Por lo que atafie a la compensation de las "y", en virtud de que: IyN < la correction se agregard a las proyecciones N y se restara a las proyecciones S. e)

Colculo de las proyecciones corregidas:

Las proyecciones corregidas se obtienen aplicando las correcciones calculadas, con el signo que corresponds, a las proyecciones sin corregir, coma se indica en el cuadro siguiente:

Proyecciones sin corregir

z

E

N

83.17 137.40

75.02

220.57

10.

Correcciones

x

S

119.30

220.43

194.32

0.03 0 0.04 0 0.01 0 +0.05 0 +0.02 e ±0.01 -

25.88 138.30 30.16

18.91 145.00 56.52

y

-

Proyecciones corregidas E

220.50

N 75.02

83.14 137.36

-

194.34

W

25.88 138.29 30.16

18.91 145.05 56.54

119.31

220.50

194.33

194.33

Ccilculo de las coordenadas de los vertices del poligono:

Las coordenadas de los vertices de la poligonal se calculan sumando algebraicanente las proyecciones de cada lado a las coordenadas de la estacion ant prior. Si no se conocen las coordenadas del punto de partida se le atribuyen coordenadas a7bitrarias, elegidas de tal modo que las correspondientes a todos los demas vertices de la poligonal scan positivas; es decir, que la poligonal quede Llojada en el primer cuadrante para facilitar el dibujo del piano. "Las coordenadas de un vertice cualquiera se obtienen sumando algebraicamente las proyecciones de los lades comprendidos entre el origen y el vertice cuyas coordenadas se desea conocer."

EJEMPLO

Calcular las coordenadas de los vertices de una poligonal, eligiendo las del vertice de partida de tal manera que la poligonal quede en el primer cuadrante.

Planimetria

121

DATCk5 :

Lados

s

Est.

P.V.

E

0

1 2 3 4 0

83.14 137.36

1 2 3 4

Proyecciones corregidas W

N

S

75.02 18.91 145.05 56.54 220.50

220.50

25.88 138.29 30.16 119.31 194.33

I

194.33

SOLUCLON

a) Sc eligen las coordenadas del vertic,e 0, de modo que las correspondientes a los demas vertices de la poligonal scan positives. En el problema planteado esta condiciOn se satisface tomando: 0(0; + 120.00)

N

El calculo de las coordenadas se dispone como sigue: coordenadas VErtices

Y

0.00 83.14

+ 120.00 + 75.02

1

83.14 + 137.36

+ 195.02 - 25.88

2

+ 220.50 - 18.91

+ 169.14 - 138.29

3

+ 201.59 - 145.05

+ -

4

56.54 56.54

+ 0.69 + 119.31

0.00

+ 120.00

0

+

o

+

30.85 30.16

La comprobaciOn del calculo se hace determinando Tara el yertice de partida, como se ye en el ejemplo anterior, los mismos valores de las coordenadas que se le asignaron al principio del calculo.

122

Curso basic° de topografia

11. Calculo de la superficie del poligono en funciOn de las coorde-nadas de los vertices. Sea el poligono 0 — 1 — 2 — 3 — 4 — 0 cuya superficie S se desea conocer (Fig. NC 66).

X3

3

Y

y4

1

X

Figura 66

Si se proyectan los vertices 0, 1, 2, 3 y 4, sobre el eje de las "Y", se obtienen los puntos 0', 1', 2', 3' y 4', formandose tantos trapecios comp lados tiene el poligono. Las bases de eada uno de estos trapecios son las abscisas de dos vertices consecutivos del poligono y su altura la diferencia de ordenadas de dichos vertices. En la figura N° 66 so ye que: S

0'011' + =1'122' + El 2 ' 2 3 3 ' r\ 3'344' •E\ 4'400'

Planimeiria

123

X.2 + X3 (Y3 2

Y2) --

o Bien:

S —

X0

+ 2

X, (

Y1 - Y0) + .

S = 1

X, + X., 2 X3 + 2

-

X4

(Y2 — Y1)

-I-

X4 + X0( Y4 (Y3 — Y4) — 2

Y4))

+ Xi) (Y1 — Y1) + (Xi + X2) (Y2 — Y1) +

+ (X 2 + X3) (Y3 — Y2) — (X3 + X4) (Y3 — Y )

(X4 + X0) (Y4 — Ye)

El primer factor de cada uno de los productos encerrados en el parentesis rectangular sera positivo si la figura se encuentra en el primer cuadrante, en tanto que el segundo factor dado por la diferencia de ordenadas, sera positivo cuando la ordenada del vertice de adelante sea mayor que la del vertice anterior y negativo en caso contrario. Entonces el valor de S puede obtenerse sin necesidad de un croquis por medio del cual se sepa el signo que debe aplicarse a las superficies de los trapecios para encontrar la del poligono. De una manera general la formula anterior puede escribirse como sigue:

S = 12- [ (X ► + X1) (Y1 — Y0) + (X1 + X2) (Y2 — Y1) + + (X2 + X3) (Y: — Y,) + (X 3 + X4) (Y1 — Y3 ) + (X, + X0) (Y0 Y.,)]

puesto que: — (X 3 + X4) (Y,3 — Y1) — (X4 + X0) (Y4 — Y0) = = (X„ + X„) (Y, Y3 ) + (X, + X0 ) (Y0 — Y,)

Ahora bien, para un poligono de n vertices, se tendra: S

=

21

(X, + X,)(Y, —Y,) +(X, + X,)(Y3 —Y,) +(X, + X4 )(Y, — Y3 1 + + (X„, + X„)

Yn_i

+ X1) ( Y1 — Yn)

EJEMPLO

Calcular la superficie de un triangulo dadas las cooruenadas de sus vertices.

Curso bOsico de topografia

124 DATOS:

Coordenadas

Vertices X

0 I 2

0 + 46.70 + 8.77 +

Y

0 + + 33.38 + 27.48

SOLUCloN Si se aplica la formula general, se tiene:

S = 1— [ (X0 + Xi)(Yi --- Y0) + (Xi + X2) (Y2 — Yi) 2 + (X, + X0 )(114,

S=

1

2

Y2)]

(55.47)(5.90) — (8.77)(27.48)]

—[( 4 6.70)(33.38)

1

= —2 [1558.8460 — 327.2730 — 240.9996] S = 495.2867 ne Problema.

Con los datos del registro de campo siguiente, calcular la poligonal levantada con transit° de 1' y cinta de acero, por el metodo de medida directa de angulos. REGISTRO DE CAMPO 9 Est. 0

P.V. Distancias 1

241.00

1

2

231.00

2

3

245.90

3

4

248.40

4

0

25830

G-

R.M.O.

9 7 ° 08'

N 12°30' W

194°16' 116°42' 233°23' 110°50' 221°40' 100°35' 201°10' 114°47' 229°34'

Croquis y noias

Az 0

—

1 =347 ° 22' ti

N 76°00' W S 35°00'W S 44°30' E N 70°00'E

Plan imetria

125

SOLUCION

1. DeterminaciOn del error angular EA: — Angulos observados: 97'08' 116°42' 110°50' 100°35' 114 047' angs. observados = 540°02'

(a)

Condicion geometrica:

n=5 angs. interiores = 180 0 (n — 2) = 180 0 (3) = 540°00'

EA =

angs. obs — 180°(n — 2) = 540°02' — 540°00' = +2'

E. = +2' 2.

(b)

I

Calculo de la tolerancia angular TA: TA =La n =

V 5 --=

T,= 3.

Comparacion del error angular con la tolerancia angular: =T

Si: EA ( TA , el trabajo se ejecuto correctamente; en caso contrario se repit el levantamiento. Estas operaciones se efectaan en el campo, al terminar el trabajo.

4.

CompensaciOn angular.

Para no tener que considerar fracciones de minuto, se aplicara la correccion angular C cada cierto nUmero n' de estaciones. n'

n 5 =_= EA 2 -

El cociente indica que la correccion C se aplicard cada 2 estaciones, por tanto, se corregiran los angulos observados en las estaciones 1 y 3. La correccion angular se aplicard con signo contrario al error.

Curso b6sico de topografia

126

PLAN1LLA DE CALCUL() Lados

0

97 0 08' 116°42' 110°50' 100'35' 114 ° 47'

1224.60

540°02'

I

mkt

5.

241.00 231.00 245.90 248.40 258.30

•■

(NI

SUN1AS:

Angulos Distancias observados

A ngulos cornpensados

Azinzutes

Rumbos calculados

97°08' 116°41' 110 ° 50' 100 ° 34' 114°47'

347°22' 284'03' 214°53' 135°27' 70°14'

N 12°38' W N 75°57' W S 34°53' W S 44°33'E N 70°14' E

540°00'

SUMAS:

Calculo de los azinuites de los lados del poligono.

Az 0 — 1 = 347°22' — 180° 167'22' + 1 = 116'41' Az 1 — 2 = 284°03' — 180° 104 -'03' + 2 = 110°50' Az 2 — 3 = 214'53' — 180° 34'53'

+ 3 = 100°34' Az 3 — 4 = 135'27' + 180° 315"27' + 4 = 114°47' 430° 14' — 360° Az 4— 0= 70°14' + 180' 250°14' + 0 = 97°08' Az 0 — 1 = 347°22'

6.

Conversion de azimutes a runihos.

359'60' — 347°22' N 12°38' W 359°60' — 284°03' N 75°57' W 214°53' — 180°0(Y S 34°53' W 179"60' — 135'27' s 44°33' E

N

70'14' E

Los resultados obtenidos en el calculo de la poligonal se anotan en la planilla.

-

Pianimetria 7. Ctilculo de las proyecciones de los lados cie! poligono. las formulas:

127

Se aplican

sen Rbo cos Rbo x -= 241.00 sen 12°38' 241.00 (0.21871) = 52.71 W y = 241.0e cos 12°38' = 241.00 (0.97579) = 235.17 N 1-2 2

3

f

x= 231.00 sen 75'57' = 231.00 (0.97008) = 224.09 W y = 231.00 cos 75 0 57' = 231.00 (0.24277) = 56.08 N x = 245.90 sen 34°53' = 245.90 (0.57191) = 140.63 W y = 245.90 cos 34°53' = 245.90 (0.82032) = 201.72 S x = 248.40 sen 44°33 y - 248.40 cos 44°33'

4-0 8.

248.40 (0.70153) 174.26 E 248.40 (0.71264) = 177.02 S

x 258.30 sen 70° 14' - 258.30 (0.94108) = 243.08 E 258.30 (0.33819) = 87.35 N y = 258.30 cos 70° 14'

Determinacion de los errores E.„ y Es.. Ez = 1,.x E - x, s = 417.34 -- 417.43 = -0.09 m E!

9.

,

.1>=4'371,r -y = 378.60

378.74 = -0.14 m

Cilculo del error de cierre lineal E L . -=

---

( -0.09) 2 -1- (-- 0.14)"

V0.0277= 0.166 m

= 0.17 m 1

0. Calculo de la tolerancia lineal T 1,. vL 5000

11.

1224.60 - 0.244 m 5000

T L = 0.24 m

Cornparacion del error de cierre lineal con la tolerancia lineal.

EL < TL por tanto, el trabajo se ejecutO correctamente y se prosigue el calculo. 12.

Calculo de la precisiOn obtenida en el levantamiento.

P-

-

0.17 1224 . 60

0 . 00014

-

-

Curso bcisico de topografia

128

P

1224.60 7204

EG

0.17-

13. Compensacian lineal del poligono. Ctiludo de los factores unitarios de correccion Kx y Ky . Kr Ky 14.

E,

0.09 - 0.00011 834.77

Ey

0.14 - 0.00018 757.34

.1:.xE 5.`,ys

13IN

Cakulo de las correcciones que se aplicarcin a las proyecciones. X0-1 x1-2 X2-3 X3-4 =X4 -0

52.71 x 0.00011 = 0.01 0.02 " 224.09 x 0.02 140.63 x !I 02 = 174.26 x -- 0.02 243.08 x 0.09 = Er

235.17 x 0.00018 = 0.04 91 0.01 = 56.08 x 91 0.04 201.72 x Y2-3 = 0.03 177.02 x Y3-. = 0.02 Y4-0 = 87.35 X 0.14 Y0-1

Y

Ey

Estas se encuentran aplicando a las proyecciones sin corregir las correcciones calculadas. Esta operacion es muy facil y se ejecuta en la misma planilla de calculo, en la cual se anotan los -t-esultados. 15. ObtenciOn de las proyeccionescorregidas.

PLA N I LLA DE CA LCULO Rumbos calculados

Correcciones

Proyeeciones sin corregir

E

N 52.71 235.17 224.09 56.08 140.63

174.26 243.08 sumAs: 417.34 417.43

S

X

y

.01 +.04 .02 + .01 201.72 .02. - .04 177.02 + .02 - .03 87.35 +.02 + .02 378.60 378.74 SUN1AS: -

-

-

(ContinuaciOn)

Pro), ecciones corregidas

E

N

S

52.70 235.21 224.07 56.09 201.68 140.61 176.99 174.28 87.37 243.10 417.38 417.38 378.67 378.67

Plan imetria

129

16. Ccilculo de las coordenadas de los vertices del poligono. Con objeto de que el poligono quede alojado en el primer cuadrante, se asignaran a la estaeion 0, las coordenadas (+500.00; +500.00).

Coordenadas Estaciones 0

1

X

Y

+ 500.00

+500.00

— 52.70

+235.21

+447.30

+735.21

—224.07 2

3

4

0

-

4

-

56.09

+223.23

+791.30

—140.61

—201.68

+ 82.62

+589.62

+174.28

—176.99

+256.90

+412.63

+243.10

+ 87.37

+500.00

+500.00

(Wield° de la superficie del poligono en funcion de las coordenae los vertices.

Se aplica la formula: S

=

2

(X 0 + Xi)(Yi — Y0) + (X I + X2) ( — 111 ) +

+ (X2 + XJ)(Y3 Y9) + (X, + X 1 ) (Y, — Yo ) = (500

+ (X + X0 ) (Y 0 — Y4) ,1

+ 447.3 ) (735.21 — 500 ) + 222814.4300

(X, + X2 )(1 2 — Y1 ) = (447.3 + 223.23) (791.3

735.21) = + 37610.0270

9

130

Curso basica de topogratia

(X, + X,)(Y, - Y2 ) = (223.23 + 82.62)(589.62

791.3 ) -

X,) (Y 4

Y 3 ) = ( 82.62

61683.8280

256.90)(412.63 - 589.62D -

(X i + X„)(Y, - Y.1 ) = (256.9

4- 500 ) (500

60091.6440

412.63)

+

66130.3530

Los resultados anteriores se anotan en la planilla de calculo.

(Continuation)

PLANILLA DE CALCUL() V ertices

Coordenadas

X ...

+ X.

Y . - Y._,

X

0 1 2

+ 500.00 +447.30 +223.23

3 4

+ 82.62 +256.90

Dobles superf ic ies

(+)

+500.00 4 735.21 +791.30 +589.62 +412.63

947.30 670.53 305.85 339.52 756.90

+235.21 + 56.09 201.68 176.99 + 87.37

222814.4300 37610.0270

61683.8280 60091.6440

-

-

2S=

(-)

66130.3530 326554.8100 121775.4720 204779.3380

121775.4720

S = 102389.6690 m 2

Metodo de deflexiones

Cuando dos rectas se unen en un punto formando . un angulo, se entiende por deflexion el angulo que forma la prolonzaciOn de una de estas rectas con la otra. La deflexion puede ser hacia la derecha de la recta prolongada o hien hacia la izquierda. La primera es positiva y se designa por la letra D; y la segunda es negativa y se designa por la letra I. (Fig. 1•19 67.) Este metodo se suele usar para poligonales abiertas como las empleadas en el trazo y localizacion de vias de comunicaciOn (ferrocarriles, caminos, canales, lineas de transmisiOn, etc.). En las poligonales abiertas, los errores angulares se pueden determinar haciendo observaciones astronOmicas a intervalos, tomando en cuenta la convergencia de meridianos, si las distancias son muy grander.

Pianimetria

131

Puede aplicarse este metodo en el levantamiento de poligonales cerradas. En este caso la comprobacion angular se obtiene sumando las deflexiones positivas y las negativas. La diferencia entre ambas sumas debe ser igual a 360'. Lo que falte o sobre de esta cantidad sera el error de cierre angular que se debe sujetar a la formula de la tolerancia establecida. La condition geometrica del cierre angular del poligono se expresa de la siguiente manera: Deflexiones (4- )

Deflexiones (-- ) = 360°00'

"En una poligonal cerrada la suma algebraica de las deflexiones es igual a 360°:'

Figura 67

Cuando se aplica este metodo es indispensable tener, como en el anterior, un azimut de partida para deducir de el, los azimutes de los lados de la poligonal. Por tanto, es necesario orientar un lado de Ia poligonal. Trabajo de camp°. Comprende las operaciones iniciales indicadas para el metodo de medida directa de angulos. Una vez orientado el lado inicial de la poligonal, Ia forma de operar en cada una de las estaciones para tomar las deflexiones, es la siguiente: 1. 2. nier y 3.

Se centra y se nivela el instrumento. Se ponen en coincidencia los ceros del limbo horizontal y su verse fija el movimiento particular. Se da al anteojo vuelta de campana y queda en posiciOn inversa.

132

Curso b6sico de topografia

4. Con el movimiento general se dirige el anteojo a visar la estaciOn de atras y se fija dicho movimiento. 5. Nuevamente se da al anteojo vuelta de campana, quedando ahora en posicion directa y sefialando la prolongaciOn del lado anterior. 6. Con el movimiento particular se dirige el anteojo a visar la estaciOn de adelante y se hace la lectura de la deflexion. Para evitar la propagaciOn de errores de la Linea de colimaciOn, conviene observar el punto de atras alternativamente en posicion directa y en inversa; es decir, en B se observa A en directa y C en inversa; en C, se observa B en inversa y D en directa, y asi sucesivamente. Tambien se puede proceder midiendo la deflexion en ca,la vertice dos veces, una visando la estacion de atras en posicion inversa y la otra, visandola en posiciOn directa del anteojo. Asi se elirnina el error de colimaciOn y se comprueba la lectura angular. En los instrumentos de numeration corrida de 0° a 360°, la deflexion cuyo valor estO comprendido entre 0° y 180' es positiva y su valor es igual a la lectura hecha. Si la lectura esta. entre 180° y 360° la deflexion es negativa y su valor es igual a la diferencia entre 360° y la lectura hecha. Todos los demas datos que se toman en el camp° son los mismos que en el metodo de levantamiento descrito antes. El registro de campo se lleva como se indica en el siguiente ejemplo: REGISTRO DE CAMPO 10 41■■••••

Levantarniento con transit° de I' y cinta de acero de 50 m, por el metado de deflexiones

Est.

P.V. Distancias • C■Ieel":1-

c•I

C

34.67 28.81 25.67 34.24 49.54

Lomas de Sotelo, D. F. 24-A BR-77 Levanto: Cristobal Vera V.

Deflexiones

R.M.O.

92°16'1 114°18' ./ 55'41' D 119°09'1 90°00'i

N 89°00' E N 25°40" W N30°30' E N 88°3(Y W S 1°30' W

Croquis y nows

Az 0 — 1 -- 89°09'

Trabajo de gabinete.

Este solo difiere del expuesto con anterioridad, para el metodo de medida directa de angulos, en la manera de calcular los azimutes de los lados de la poligonal. "El azimut de un lado se °Metre sumando algebraicamente la deflexion a) azimut del lado anterior." Si la deflexion es negativa y rnayor que el azimut se le agregan a este 360° para que la resta resulte positiva.

Planimetria

133

EJEMPLO

Calcular los azimutes de los lados de una poligonal, con los siguientes datos: Lados Est. P.V.

Deflexiones

Azimutes

0 1 2 3 4

92°16'1 114'17'1 55°41'D 119°08' / 90°00' I

89°09' 334°52' 30°33' 271°25' 181°25'

1 2 3 4 0

SOLUCION El levantamiento se empeth en la estacion 0. Se observo el azimut del lado 0 — 1 Az 0 — 1 = 89'09' En la estacion 1 se ejecuto la serie de operaciones descrita y se biz() la lectura 245 °43'. Por la lectura se ye que Ia deflexion es negativa, esto es, que esta a Ia izquierda de 0 — 1 y su valor sera: Deft. 1 — 2 = 360 0 — 245°43' -= 114°17' 1 Para obtener el azimut de la Linea 1 — 2, en atenciOn a que la deflexiOn es mayor que el azimut de la Linea anterior, habra que agregar a este 360°, para que la resta resulte positiva. El calculo de los azimutes se dispone como sigue: Az. 0 — 1 — 89°09' + 360° 449°09' — 114'17'1 Az. 1 — 2 = 334 °52' + 55'41' D 390°33' --— 360 0 Az. 2 — 3 = ---30 0 33' +,360° -390°33' — 119°08' I Az. 3 — 4 =271'25' — 90°00'1 Az. 4 — 0 --=fgP25' — 92°16' / Az. 0 -- 1 = 89°09'

134

Curso be

de topografia

El azimut 0 — 1 calculado es igual al observado al iniciar el levantamiento y, por tanto, la operation estuvo correcta. Generalmente esto no ocurre en la practica y es necesario determinar el error angular y hater la compensaciOn angular, si procede, antes de calcular los azimutes. E.,