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REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA UNIVERSIDAD EXPERIMENTAL FRANCISCO DE MIRANDA PROGRAMA DE TECNOLOGIA INGENIERIA CIVIL

MATERIAL DE CONCRETO ARMADO SOBRE CUANTIA DE ACERO EN VIGAS

Cuantía Balanceada Dada una determinada sección de viga, con resistencias de hormigón y acero ya establecidas, la cuantía balanceada se refiere a la cantidad de acero necesaria que producirá falla tanto del hormigón como del acero al mismo tiempo. Ésta por tanto es una propiedad intrínseca de la sección, y es independiente de la carga que se aplique a dicha viga. Por tanto, existe una cantidad de acero "As bal" tal, que logrará que tanto este acero como el hormigón fallen al mismo tiempo en algún momento a medida que se cargue la viga hasta la falla. Si se reforzara a la viga con una cantidad de acero menor a "As bal", el acero fallará antes. Contrariamente, si se refuerza a la sección con una cantidad de acero menor a "As bal", el hormigón fallará antes que el acero.

Entonces "As bal" marca la frontera entre una falla dúctil (fluencia del acero) y una falla abrupta (explosión del hormigón). Esto último no es recomendable ya que las fallas en hormigón armado sin previo aviso son siempre malas. Es preferible tener una falla dúctil que avise al usuario que la sección está cercana a la falla y se desaloje el ambiente o el inmueble. Deducción de la fórmula

Para encontrar la cuantía balanceada de una sección, debemos trabajar con un bloque equivalente de esfuerzos de hormigón, que sea rectangular como el de la derecha. Los valores de ɤ se obtuvieron experimentalmente por ensayos y típicamente valen 0.85. La relación entre c y a es:

donde β1 es: con f'c en MPa. El valor de d es la altura efectiva medida desde la fibra más comprimida de hormigón al centroide de aceros. As es el acero que aun no se conoce, y que se asume que está en fluencia fy. El hormigón también está en fluencia por tanto se puede construir el siguiente diagrama de compatibimidad de deformaciones:

Se ve en el anterior gráfico que estamos asumiendo que tanto acero como hormigón fluyen al mismo tiempo (єu y єy son las deformaciones unitarias en fluencia del hormigón y acero respectivamente). Así, mediante relación de triángulos podemos obtener la siguiente relación:

Por otro lado, las fuerzas de compresión del hormigón y de tracción del acero son respectivamente: fuerza del Acero Fs = fy * As fuerza del concreto Fc = ɤ*f'c*a*b y como por equilibrio Fs = Fc, tenemos: fy * As = ɤ*f'c*a*b pero reemplazando a por c, y c por la fórmula de compatibilidad de deformaciones, resulta la fórmula final siguiente. Tomar en cuenta que como asumimos que tanto acero y concreto fluyen al mismo tiempo, la fórmula siguiente corresponde a la cantidad de acero que produce dicha falla. Esta es la fórmula del Acero balanceado:

Si esta fórmula la dividimos entre la sección de la viga para tener la expresión en términos de cuantía, obtenemos a continuación la fórmula de cuantía balanceada.

Cuando se refuercen vigas de hormigón armado para un momento "Mu" solicitante dado, el refuerzo debe ser siempre menor a "As bal" por seguridad. Es más, la norma ACI dice que debido a que las resistencias del hormigón pueden ser estadísticamente inferiores a f'c, es mejor no sobrepasar el refuerzo de vigas de un valor inferior a "As bal", llamado "As max" que es el 75% de "As bal". Si se necesitara utilizar más cantidad de acero que "As max" deberá reforzarse además la cara comprimida de la sección (utilizar acero a compresión As').

Ejemplo Por ejemplo, si tenemos una viga de sección 20x40cm con recubrimiento de 5cm al eje de aceros, y resistencias de f'c=20MPa y fy=500MPa, la cuantía balanceada ρb se calcula de la siguiente manera: β1 = 0,85 єu = 0.003 (def. unitaria en la que el hormigón falla) єy = fy/E = 500/200'000 ɤ = 0.85 f'c = 20 fy = 500 Reemplazando los valores se tiene una cuantía balanceada de 0.01576. Multiplicando esta cuantía por b*d (la sección efectiva de la viga), el acero a tracción correspondiente a esta cuantía balanceada será de As = 11.032E-4m2 = 11.032 cm2. Entonces el acero máximo que podrá utilizarse a tracción sin reforzar el bloque a compresión de hormigón será As max = 0.75 * 11.032 = 8.274 cm4 (alrededor de 4 barras de acero de 16mm de diámetro).

Ejemplo de cuantía balanceada Existe cierta confusión al momento de aprender el concepto de cuantía balanceada para el diseño de acero en flexión de vigas. Es por eso que además de la teoría mostrada en un post anterior, a continuación va un ejemplo detallado de la manera de calcular la cuantía balanceada en una viga y también el propósito de ésta. Dada la siguiente viga cuya combinación de carga U = 1.4D + 1.7L = 42 KN/m

La sección de la viga es:

Las propiedades de resistencia de los materiales son: f'c = 21 MPa fy = 410 MPa SOLUCIÓN Para conocer la cuantía balanceada de esta viga (o más propiamente dicho, de esta sección) solamente resta aplicar la fórmula deducida en la teoría (que puede consultarse aquí). La fórmula de cuantía balanceada es entonces,

dónde: β1 = 0,85 (valor experimental, que relaciona el eje neutro con la altura del bloque de compresión) єu = 0.003 (deformación unitaria a la que el hormigón falla) єy = fy/E = 410/200'000 ɤ = 0.85 (valor experimental que convierte el diagrama curvo de compresión en uno rectangular equivalente) f'c = 21 fy = 410 reemplazando los valores en la fórmula se tiene: ρb = 0.85*0.85*21*0.003/(410*(0.003+410/200000)) ρb = 0.0219838 [adimensional] Si traducimos esta cuantía en cantidad de Acero As bal = ρb * b * d dónde: b = 0.20m d = h - recubrimiento = 0.45m Reemplazando datos se tiene: As bal= 0.0219838 * 0.2 * 0.45 = 0.001978m2 Convirtiendo este resultado a cm2: As bal = 19.78cm2

La cantidad de acero que, bajo una carga considerable, haría que tanto hormigón como acero fluyan al mismo tiempo en esta viga es de 19,78cm2. Debe observarse que hasta este punto, en ningún momento se necesitó calcular el momento solicitante producto de la carga de 42 KN/m. Por tanto la cuantía balanceada es una propiedad de la sección transversal y de la resistencia de los materiales involucrados, y no así de las solicitaciones externas.

Una vez calculadas las solicitaciones externas, podemos calcular el momento solicitante. Luego, calculado este momento se procede al cálculo de la cantidad de acero necesaria para esta viga. La cuantía balanceada marca solamente una frontera que indica si la presente viga necesitará o no necesitará acero a compresión. Continuando con el ejemplo, el momento solicitante Mu = 106.31 KN-m Para este momento último, la cantidad necesaria de acero en el centro de la luz de la viga es de As = 7.04cm2. (se llega a este valor siguiendo el algoritmo de flexión). La viga deberá armarse entonces con 7.04cm2 de acero. Como se ve, esta cantidad de acero es mucho menor a la cantidad de acero de la cuantía balanceada. Esto quiere decir que la viga puede soportar aun mucha más que la de 42 KN/m (aumentando la respectiva cantidad de acero) antes de que esta viga necesite armarse también con acero a compresión.

Hormigón Armado - Flexión Simple ACI 318-99 - Diagrama de flujo Diagrama de flujo de cálculo de armaduras a flexión simple Norma ACI 318-99 Varios libros explican el método de cálculo de armaduras de vigas sometidas a momentos flectores. Ell procedimiento a seguir en diagrama de flujo se detalla a continuación:

Las variables de entrada: b = ancho de la sección rectangular d = peralte efectivo (distancia desde la fibra más comprimida al eje de los aceros a tracción) d' = recubrimiento superior (desde la fibra más comprimida hasta el eje de aceros a compresión) f'c = resistencia característica del hormigón a compresión fy = límite de fluencia del acero Mu = Momento último solicitante en la sección Variables de cálculo: Φ = factor de seguridad de diseño para flexión = 0.90 ρb = cuantía balanceada de la sección ρmax = cuantía máxima = ρb x 0.75 ρcy = cuantía correspondiente a la mínima cantidad de acero a tracción necesaria para que el acero a compresión fluya. Asmax = Acero máximo a tracción que debe tener la sección sin necesidad de acero a compresión As = Acero a tracción de cálculo, que soportará el momento Mu A's = Acero a compresión de cálculo, que soportará el momento Mu A'srev = Acero a compresión corregido debido a la no fluencia del mismo. M2 = momento no resistido por el par acero Asmax - zona de compresión de hormigón a = peralte idealizado del bloque de compresión del concreto c = distancia de la fibra comprimida al eje neutro γ = Parámetro experimental del bloque de compresión del concreto (generalmente 0.85) β1 = parámetro experimental del bloque de compresión del concreto (generalmente 0.85) εu = deformación unitaria del hormigón (en la mayoría de los casos 0.003) εy = deformación unitaria del acero = fy / Ey = fy/200000MPa

Hormigón Armado - Diagrama de flujo de diseño al corte ACI 318-99 HORMIGÓN ARMADO Diagrama de flujo de diseño al corte ACI 318-99 Al igual que para flexión, acá se describe el diagrama flujo de corte en vigas rectangulares de hormigón armado. Es un resumen en diagrama del proceso de cálculo de estribos en los casos más generales. El refuerzo al corte obtenido es la sección de acero total de estribos dentro de un espaciamiento determinado.

Donde: b = ancho de la sección de la viga [m] d = altura efectiva de la viga (altura total - recubrimiento inferior) [m] Vu = cortante último solicitante [MN] f'c = resistencia característica del hormigón a compresión [MPa] fy = límite de fluencia del acero [MPa] Vc = resistencia de la sección de hormigón al corte [MN] s = espaciamiento entre estribos [m] Av = sección de acero de estribos [m2] Av min = sección de acero mínimo de estribos ɸ = factor de seguridad de la norma por corte.

Hormigón Armado - Programa de diseño a corte ACI 318-99 El algoritmo de diseño a cortante puede encontrarse en una pasada publicación haciendo click en el link. El programa es una simple planilla excel con los cálculos del diagrama de flujo mostrado en la teoría de la mencionada publicación.

Los datos se introducen en el sistema internacional de medidas. bo = ancho de la viga d = altura efectiva de la sección transversal de la viga fc28 = resistencia característica del hormigón a compresión fy = límite de fluencia del acero D armad. = diámetro de los ramales de estribos # de ramas = número de ramales del estribo de acero (Ej,: si es un estribo cerrado convencional son dos ramales de fierro 6mm los que resisten la solicitación a corte) Vc = Resistencia nominal de la sección a corte 0.85*Vc = resistencia de diseño de la sección + estribo mínimo 1/2*0.85*Vc = resistencia del hormigón sin necesidad de estribos As = Sección de acero proporcionada por el usuario Espaciamiento = Es el espaciamiento que se debe dar a los estribos de diámetro escogido por el usuario para resistir el corte Vu estribo mínimo = Es la sección de estribo mínimo que se debe poner en la viga a un espaciamiento Smax máximo.

Hormigón Armado - Diseño al Corte. Ejemplo Utilizaremos la viga del ejemplo del mismo blog, publicada hace unos días. El enunciado dice: La viga tiene las siguientes cargas: Carga muerta de servicio: 20 KN/m Carga Viva de servicio: 25 KN/m y además el claro entre apoyos de la viga es de 5m.

SOLUCIÓN.Sección a utilizar Al igual que en el ejemplo a corte, podemos utilizar la relación tentativa de escoger una sección de un décimo a 1/12 de la luz entre apoyos y una relación alto-ancho de 2 a 1. Para el ejemplo usamos una viga de 25x50cm de sección. Materiales a usar Al igual que en el ejemplo de flexión, utilizaremos acero de 500MPa de límite de fluencia y hormigón con resistencia característica f'c=20 MPa. Cálculo de cargas La combinación de cargas para la norma ACI 318-99 más desfavorable es U = 1.4D + 1.7L donde L = carga viva de servicio D = carga muerta de servicio Pero además adicionando el peso propio de la viga: Carga Muerta viga = Sección x Peso específico = (0.25m*0.5m)*25 KN/m3 = 3.125 KN/m Finalmente la carga en Estado Límite Último (ELU) será: U = 1.4*(20+3.125) + 1.7*25 = 74.875 KN/m

Solicitaciones El diagrama de corte es sencillo.

Cuando se produce la falla por corte de la viga, esta se produce en una fisura diagonal a 45 grados de la horizontal Esta fisura está en su centro localizada a una distancia de d/2 del apoyo (la mitad de la altura efectiva de la viga).

Entonces el cortante máximo del diagrama de corte puede reducirse tomando el corte a una distancia de d/2 del apoyo, de la siguiente manera:

Ya se tienen todas las solicitaciones necesarias para el diseño. Ahora se procede con el cálculo de las resistencias de la viga. La viga sin estribos puede resistir un cortante de hasta:

con f'c expresado en MPa. El resultado de la fórmula también estará MN. que en el presente caso son 0.03564MN = 35.64 KN La viga con estribo mínimo puede resistir hasta un cortante de:

donde el estribo mínimo en m2 está expresado por la fórmula:

donde: b = ancho de la sección transversal en metros s = espaciamiento entre estribos, no mayor a d/2 d = altura efectiva de la viga, medida de la cara superior de la sección hasta el centroide de los aceros traccionados a flexión. Para el presente análisis, con s = 0.225m y b=0.25m, la viga a estribo mínimo puede resistir un cortante de 71.27KN (el doble que la viga sin estribos) y el estribo mínimo será de 0.000037125 m2 ó 0.37125cm2. Si utilizamos estribos cerrados de acero de 6mm de diámetro entonces la sección total de los dos ramales será de 0.28cm2 x 2 = 0.56cm2, superior a los 0.37cm2 necesarios. El cortante que resiste la viga producto de una combinación de hormigón y acero está dado por la fórmula:

con Av expresado en m2. Para esta fórmula nos damos una sección de Av correspondiente a la sección exacta proporcionada por dos ramales de acero de 6mm. en este caso 0.56cm2. Calculamos luego s por tanteos reduciéndolo hasta que el valor de la fórmula sea igual o ligéramente mayor que el cortante solicitante de 176.67 KN. En este caso para Av = 0.000056m2, el espaciamiento que hace que el cortante resistente sea igual o ligeramente superior al solicitante es de s=0.10m o diez centímetros. En la siguiente gráfica se puede ver la forma en la que se dispondrán los estribos según los cortantes a los que está solicitada la viga:

Finalmente la viga deberá estar provista por los siguientes estribos:

las cotas obviamente pueden redondearse a un valor más conveniente.