• Author / Uploaded
• Junior Quiroz

Citation preview

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL GENERAL PACHECO

SECRETARÍA ACADÉMICA ÁREA DE ORIENTACIÓN Y ADMISIÓN ACADÉMICA

SEMINARIO UNIVERSITARIO MODALIDAD PRESENCIAL APUNTES DE LA ASIGNATURA FÍSICA

2019

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL GENERAL PACHECO

SEMINARIO UNIVERSITARIO DE INGRESO ASIGNATURA FÍSICA

CONTENIDO: 1. BREVE RESEÑA HISTÓRICA DE LA FÍSICA 1.1- Orígenes de la ciencia 1.2- La Física Clásica 1.2.1- Inicios de la Física experimental 1.2.2- El siglo XVIII 1.2.3- El siglo XIX 1.3- La Física Moderna 1.4- La Física actual. Ciencia y tecnología 1.5- Cuestiones, ejercicios y problemas 2. LA FÍSICA: SU LENGUAJE Y SU MÉTODO 2.1- El lenguaje de la Física: Definiciones 2.2- El Método de la Física: Etapas 2.3- Cuestiones, ejercicios y problemas 3. MAGNITUDES Y MEDICIONES FÍSICAS 3.1- Magnitudes: Definición y clasificación 3.2- Mediciones: Generación y clasificación 3.3- El proceso de medición 3.4- Indeterminaciones de una medición física: Clasificación 3.4.1- Indeterminaciones de apreciación 3.4.2- Indeterminaciones casuales o estadísticas 3.4.3- Errores sistemáticos 3.4.4- Valorización de la incertidumbre experimental 3.4.5- Corolario: Criterios de igualdad 3.5- Instrumentos de medición de longitudes 3.6- Propagación de indeterminaciones 3.6.1- Suma 3.6.2- Resta 3.6.3- Producto 3.6.4- Potencia 3.6.5- División 3.7- Cuestiones, ejercicios y problemas 4. MAGNITUDES VECTORIALES 4.14.24.34.4-

Definición de vector Modos de expresar un vector Operaciones Cuestiones, ejercicios y problemas

Lic. Claudio Naso, Lic. Andrea Mejeras, Ing. Marcos Sterzovsky

1

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL GENERAL PACHECO

SEMINARIO UNIVERSITARIO DE INGRESO ASIGNATURA FÍSICA

5. ESTÁTICA 5.1Concepto de Fuerza 5.2Aproximación a las Leyes de Newton: principio de acción y reacción 5.3Sumatoria de Fuerzas 5.4Momento de una fuerza y sumatoria de momentos 5.5Equilibrio: condiciones 5.6Máquinas simples 5.7Cuestiones, ejercicios y problemas 6. CINEMÁTICA 6.1Conceptos básicos: trayectoria, posición, desplazamiento y velocidad 6.2MRU: ecuaciones horarias 6.3Concepto de aceleración 6.4MRUV: ecuaciones horarias 6.5Caída libre y tiro vertical 6.6Cuestiones, ejercicios y problemas

Lic. Claudio Naso, Lic. Andrea Mejeras, Ing. Marcos Sterzovsky

2

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL GENERAL PACHECO

SEMINARIO UNIVERSITARIO DE INGRESO ASIGNATURA FÍSICA

1. BREVE RESEÑA HISTÓRICA DE LA FÍSICA 1.1-

Orígenes de la ciencia

Desde que nace, el ser humano experimenta necesidades. El conocimiento de la naturaleza le ofrece algunas seguridades en la vida cotidiana dentro del entorno natural y en la relación con otras personas. Que su entorno se vuelva confiable, seguro y predecible descansa en la convicción de que se haya sujeto a leyes que lo ordenan y que es posible conocer para, eventualmente, y mediante la técnica adecuada, controlar los cambios. La palabra Cosmos con la que, frecuentemente, se designa al Universo, es de origen griego y significa orden. Lo contrario (también palabra griega) es caos cuyo significado es desorden, incertidumbre. Quizá el fin último de la ciencia sea, justamente, transformar el caos en cosmos, lo incierto en saber ordenado, con la intención colectiva de mejorar la vida. Otra palabra de origen griego es, justamente, física (φησις: que significa “lo que nos rodea”, el mundo natural material del cual el orden humano participa). A lo largo de la historia, los pueblos han desarrollado sistemas de creencias o cosmologías con distintos fundamentos y grados de elaboración para responder a la pregunta de cuáles son las leyes que explican el Universo. La Física, madre de las ciencias de la naturaleza, tiene sus orígenes en la Grecia Antigua, allá por el siglo VIII a.C. En aquél momento, la intención de quienes se dedicaban a cuestionarse por los fenómenos naturales (aquellos que en un primer momento eran producidos según la “voluntad de los dioses”), era tratar de dar explicación a todo aquello que sucedía a su alrededor y en lo cual el hombre no tenía injerencia. Las explicaciones eran meras especulaciones racionales, sin una herramienta formal de demostración (como lo es la matemática), y existían tantas explicaciones a un mismo fenómeno como filósofos se hubieran dedicado a su observación. El transcurrir cíclico de las condiciones climáticas (estaciones), las migraciones de los pájaros, el crecimiento de las plantas, el movimiento de los astros errantes, el movimiento de los cuerpos, etc, eran objeto de observación y especulación (intento de explicación) puramente filosófica, sin experimentación ni análisis de variables intervinientes. Muchas de las conclusiones de entonces fueron tomadas por ciertas durante varios siglos (incluso durante la edad media) registrándose sus explicaciones en tratados filosóficos de la naturaleza y libros de circulación entre los grandes pensadores de esas épocas. Podemos citar, por ejemplo, el “Almagesto”, nombre árabe de un tratado astronómico escrito en el siglo II d.C. por Claudio Ptolomeo de Alejandría, Egipto. Contiene el

Lic. Claudio Naso, Lic. Andrea Mejeras, Ing. Marcos Sterzovsky

3

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL GENERAL PACHECO

SEMINARIO UNIVERSITARIO DE INGRESO ASIGNATURA FÍSICA

catálogo estelar más completo de la antigüedad que fue utilizado ampliamente por los árabes y luego por los europeos hasta la alta Edad media. En él se describen el sistema geocéntrico (aristotélico) y el movimiento aparente de las estrellas y los planetas. Ptolomeo presentó la descripción de las 48 constelaciones clásicas y creó un refinado sistema para explicar los movimientos aparentes de los planetas en un sistema en el que el Sol, la Luna y los planetas giraban alrededor de la Tierra en círculos concéntricos epicíclicos

El Universo geocéntrico de Ptolomeo

1

También en la actualidad conservamos un resabio de aquellas épocas cuando decimos “el Sol sale por el este”. La primer síntesis realizada por el hombre sobre los conceptos de movimiento y su explicación podemos otorgársela al conocido Aristóteles (384 aC – 322 aC). Sus explicaciones de los fenómenos físicos eran producto de hipótesis racionales sobre el mundo (= Universo) y no de la experimentación. Una de sus hipótesis fundamentales era que “todo objeto busca el lugar que por naturaleza le corresponde en el Universo” y eso le permitía justificar el movimiento como intento de los cuerpos por alcanzar dicho lugar (“el lugar que le corresponde a los objetos graves es el centro del Universo, por eso caen; el lugar que le corresponde a los objetos leves es el mundo supralunar, por eso suben –el humo, por ej.-“). Lo que expresaba la filosofía aristotélica no se oponía a lo observado, motivo por el cual sus teorías subsistieron por 2000 años y fueron enseñadas en los monasterios medievales hasta el siglo XVI.

1

Biografías y Vidas. Claudio Ptolomeo

Lic. Claudio Naso, Lic. Andrea Mejeras, Ing. Marcos Sterzovsky

4

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL GENERAL PACHECO

SEMINARIO UNIVERSITARIO DE INGRESO ASIGNATURA FÍSICA

1.2- La Física Clásica 1.2.1- Inicios de la Física experimental Fue el filósofo italiano Galileo Galilei (1564 – 1642) quien expresó que “el libro de la naturaleza está escrito en caracteres geométricos” y así fue como incorporó la matemática como herramienta de deducción y justificación de las teorías sobre el comportamiento de la naturaleza y además, incorporó (ideó como método) la experimentación en el estudio de la misma y, con sus brillantes experimentos sobre el movimiento y las conclusiones que pudo enunciar, inició el derrumbe de la física aristotélica y la etapa de la ciencia basada en la experimentación.

Primera edición del Diálogo sobre los dos máximos sistemas del mundo (1632)2

En la misma época, las observaciones de Tycho Brahe y los cálculos de su discípulo Johannes Kepler (1571 – 1630) permitieron establecer un conjunto de leyes experimentales que explicaban el movimiento planetario. Newton (1642 – 1727) fue quién (por primera vez) sistematizó la ciencia física como conjunto de teorías y realizó las contribuciones más importantes a la mecánica clásica, sintetizando el conocimiento de la época respecto de esos fenómenos en un conjunto de leyes conocido como Leyes de la dinámica que publicó en 1687 en un libro conocido com “Principios Matemáticos de Filosofía Natural” (o, Los Principiæ).

2

Biografías y Vidas. Galileo

Lic. Claudio Naso, Lic. Andrea Mejeras, Ing. Marcos Sterzovsky

5

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL GENERAL PACHECO

SEMINARIO UNIVERSITARIO DE INGRESO ASIGNATURA FÍSICA

Tercera edición de los Principios matemáticos de la filosofía natural

3

En dicha obra desarrolló, además, la Ley de gravitación universal (que permite demostrar las leyes matemáticas de Kepler sobre el movimiento planetario y la atracción gravitatoria terrestre, de allí la denominación “universal”), poniendo de manifiesto que las leyes de la física son las mismas en cualquier punto del Universo. Desarrolló además el cálculo infinitesimal, herramienta que le permitió elaborar y justificar nuevas teorías respecto del comportamiento predictivo de la naturaleza. En esta misma época también realizaron sus aportes a la ciencia otros filósofos de la naturaleza: Robert Hooke (formuló lo que hoy se denomina ley de elasticidad de Hooke, que describe cómo un cuerpo elástico se estira de forma proporcional a la fuerza que se ejerce sobre él, lo que dio lugar a la invención del resorte helicoidal o muelle; formuló además la teoría del movimiento planetario como un problema de mecánica, y mantuvo continuas disputas con su contemporáneo Isaac Newton respecto a la autoría de la teoría de la luz y la ley de la gravitación universal); Christian Huygens (cuyo mayor logro fue el desarrollo de la teoría ondulatoria de la luz, descrita ampliamente en el Traité de la lumière (1690), y que permitía explicar los fenómenos de la reflexión y refracción de la luz mejor que la teoría corpuscular de Newton). Sobre el final de este siglo, el desarrollo tecnológico (telescopios, microscopios, relojes) permitió avanzar en el desarrollo de teorías físicas más rápidamente pues hizo posible desarrollar experimentos cada vez más sofisticados y precisos y obtener grandes resultados (como el de la medida de la masa de la Tierra). Se hizo necesario, entonces, crear instituciones que nuclearan a científicos y sus obras: se fundan la Royal Society (Londres, 1660) y la Academia de Ciencias 3

Biografías y Vidas. Isaac Newton

Lic. Claudio Naso, Lic. Andrea Mejeras, Ing. Marcos Sterzovsky

6

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL GENERAL PACHECO

SEMINARIO UNIVERSITARIO DE INGRESO ASIGNATURA FÍSICA

(Paris, 1666) con la intención de generar un productivo intercambio de avances en el conocimiento. En el desarrollo de la asignatura Física I (Ingeniería) o Física (LOI, 1er cuatrimestre), se estudiarán los temas mencionados en este apartado. 1.2.2- El siglo XVIII Los mayores avances en termodinámica y óptica se registraron en este siglo. Podemos citar, por ejemplo, a Bernoulli quien en 1733, aplicó las conclusiones de la estadística (recién elaborada por Laplace) a la mecánica newtoniana (llamada hoy “mecánica clásica”) y dio origen a la mecánica estadística; Benjamín Thompson, en 1798, demostró la relación entre el calor y el trabajo mecánico, orientando, de ese modo, los trabajos de Joule quien, en 1847 formuló la ley de conservación de la energía. En este siglo, en el campo de la óptica, Newton había propuesto la teoría corpuscular para explicar los fenómenos lumínicos (formulados en su libro “Optiks”) cuya base teórica era geométrica. Tomando estos conceptos se construyeron las primeras lentes acromáticas (hecho que se posibilitó gracias a los avances técnicos de la época); se midió, por primera vez la velocidad de la luz (fue Römer y en modo bastante aproximado) y se puso en evidencia su naturaleza espectral (difracción en prismas) 1.2.3- El siglo XIX Este siglo se inaugura con el experimento de Young en el que muestra la interferencia de la luz (1801). La mayoría de los científicos de la época estuvieron abocados a desentrañar los conceptos que permitieran dar explicación a los fenómenos eléctricos y magnéticos, teniendo como meta dar a estas manifestaciones un soporte teórico similar al que diera Newton a los fenómenos mecánicos. Coulomb, Galvani, Faraday y Ohm estudiaron muchos fenómenos de este campo siempre teniendo como punto de partida la experimentación y observación. En 1865 James Clerck Maxwell (escocés) unificó las leyes conocidas en ese momento sobre la electricidad y el magnetismo en un conjunto de 20 ecuaciones que presentó en su obra A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field (actualmente son 4 ecuaciones vectoriales que involucran algunas otras conocidas como “ecuaciones constitutivas de los medios”). En este trabajo Maxwell deja demostrado la característica electromagnética de la luz y posibilita el desarrollo de grandes avances al respecto (como la utilización de sus conclusiones en la creación de la radio – Hertz, 1888- y la iluminación eléctrica de las calles de la Feria Mundial de Chicago en 1893 y la ciudad bonaerense de La Lic. Claudio Naso, Lic. Andrea Mejeras, Ing. Marcos Sterzovsky

7

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL GENERAL PACHECO

SEMINARIO UNIVERSITARIO DE INGRESO ASIGNATURA FÍSICA

Plata en 1894). Algunos señalan las conclusiones de Maxwell sobre el electromagnetismo como el nacimiento de la Física Moderna. En 1895 Röntgen descubre (sin querer) los Rayos x; en 1896 Bequerel descubre (también sin querer) la radiactividad hecho que permite a los esposos Curie (Piere y Marie) desarrollar trabajos que dieron origen a una rama de la Física conocida como Física Nuclear. En 1897 J. J. Thomson descubre el electrón y propone el primer modelo de átomo (una esfera de materia cargada positivamente, en cuyo interior estaban incrustados los electrones). En el desarrollo de la asignatura Física II (Ingeniería) o Física (LOI, 2do cuatrimestre), se estudiarán algunos de los temas mencionados en este apartado. 1.3- La Física Moderna Se conoce bajo esta denominación a la etapa de la ciencia Física que inició a fines del s XIX. La particularidad que dio origen a este período fue el surgimiento del concepto de campo y lo que ello permitió en la explicación y análisis de fenómenos físicos. El s XX estuvo marcado como el de la gran aplicación de la ciencia al desarrollo de la tecnología. Dos fueron las teorías que movilizaron al mundo científico: - La enunciación de la teoría de la Relatividad de Einstein: En 1905, cuando era un joven físico desconocido, empleado en la Oficina de Patentes de Berna, publicó su teoría de la relatividad especial. En ella incorporó, en un marco teórico simple fundamentado en postulados físicos sencillos, conceptos y fenómenos estudiados antes por Henri Poincaré y por Hendrik Lorentz. Como una consecuencia lógica de esta teoría, dedujo la ecuación de la física más conocida a nivel popular: la equivalencia masa-energía, E=mc² (expresión que no es la conclusión real de Einstein, sino una referencia popular a lo que la teoría plantea; la ecuación real es un poquito más compleja). Todas sus conclusiones sobre la relatividad de las magnitudes físicas descansan sobre el postulado la velocidad de la luz en el vacío no depende del sistema de referencia desde el que se mida. En 1915 enuncia la extensión de sus conceptos en lo que se conoce como Teoría de la relatividad general, pero dicho cuerpo de conocimiento está cuestionado en estos días por algunos integrantes de la comunidad científica. En 1916, recibe el premio Nobel por la interpretación que realizara del Efecto Fotoeléctrico descubierto por Max Planck

Lic. Claudio Naso, Lic. Andrea Mejeras, Ing. Marcos Sterzovsky

8

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL GENERAL PACHECO

-

SEMINARIO UNIVERSITARIO DE INGRESO ASIGNATURA FÍSICA

La teoría cuántica: los antecedentes a esta teoría podemos fijarlos en 1911, cuando Rutherford presenta su modelo atómico planetario a partir de experiencias de dispersión de partículas realizadas en su laboratorio (un núcleo central cargado positivamente –y cuyas cargas recibieron el nombre de protones- y a su alrededor los electrones, de carga negativa, girando en órbitas circulares (los neutrones, que también podemos encontrarlos en el núcleo atómico, carecen de carga y fueron descubiertos por Chadwick en 1932). Sobre la base del modelo atómico de Rutherford, Niels Bohr (1913) elabora su modelo cuántico de emisión luminosa. Físicos como Werner Heisenberg (1925), Paul Dirac y Erwin Schrödinger (1926) formulan un modelo matemático probabilístico para la estructura de la materia y su comportamiento (que hoy se conoce como mecánica cuántica).

El desarrollo conjunto de la mecánica cuántica y la teoría de la relatividad, dio origen a la teoría cuántica de campos (base de todo el desarrollo de la física de partículas). Entre 1954 y 1970 Yang y Mills se dedicaron a desarrollar los conceptos que permiten (gracias a la teoría cuántica de campos), describir casi todas las partículas elementales conocidas hasta hoy y las interacciones que se dan entre ellas). En el desarrollo de la asignatura Física III (3er año Ingeniería Eléctrica y 4to año –electiva- Ingeniería Mecánica), se estudiarán algunos de los temas mencionados en este apartado. 1.4-

La Física actual. Ciencia y Tecnología La Física sigue enfrentándose a grandes desafíos de índole teórica y práctica. El desarrollo de sistemas informáticos y grandes computadoras han hecho posible mejores cálculos y experimentos antes no imaginados. La descripción de fenómenos caóticos (como los meteorológicos) o invisibles (como las propiedades cuánticas de la materia) se han podido llevar a cabo permitiendo la predicción bastante acertada o el desarrollo de materiales con propiedades sorprendentes. La Astrofísica permite anticipar o describir situaciones cosmológicas; la Geofísica comienza a ser interpretada y los teóricos del campo unificado pretenden hallar una teoría que permita describir todos los fenómenos del Universo. A lo largo de la historia, la ciencia y la tecnología tuvieron un marcado parentesco. La importancia del experimento para la actividad científica necesita, hoy en día, tanto las herramientas y las máquinas como las propias

Lic. Claudio Naso, Lic. Andrea Mejeras, Ing. Marcos Sterzovsky

9

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL GENERAL PACHECO

SEMINARIO UNIVERSITARIO DE INGRESO ASIGNATURA FÍSICA

tecnologías. Estos son el resultado de la continua colaboración entre científicos e ingenieros El término tecnología trata de expresar la íntima dependencia entre estas actividades. El informe de la UNESCO del proyecto 2000+, citado por Gerard De Fourez en su libro Alfabetización científica y tecnológica, explica la diferencia entre los términos: “La distinción entre cultura científica y cultura tecnológica resulta del hecho de que la ciencia se preocupa esencialmente de comprender los fenómenos y de arribar a probar verdades científicas (conocimiento válido), mientras que el fin de la tecnología es el de aportar soluciones a problemas concretos”. Tanto para la ciencia como para la tecnología, la preocupación es alcanzar enunciados teóricos y/o prácticos que pasen la prueba de la verificación experimental. Dicho de otro modo, ambas especulan con que las cosas funcionen como se espera que funcionen. 1.5-

Cuestiones, ejercicios y problemas

1. ¿Qué estudia la Física? 2. Confeccione una línea temporal y vuelque en ella cada uno de los hombres y mujeres de ciencia mencionados anteriormente y su contribución. Agregue, además, los hechos históricos trascendentales para la humanidad (ej: caída del imperio romano, descubrimiento de América,….) 3. ¿Qué es la UNESCO? ¿Y el “proyecto 2000+” aprobado por dicho organismo?

Lic. Claudio Naso, Lic. Andrea Mejeras, Ing. Marcos Sterzovsky

10

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL GENERAL PACHECO

SEMINARIO UNIVERSITARIO DE INGRESO ASIGNATURA FÍSICA

2. LA FÍSICA: SU LENGUAJE Y SU MÉTODO 2.1-

El lenguaje de la Física: Definiciones

El lenguaje es el modo en que los hombres tratan de comunicarse. Las distintas comunidades tienen un código (idioma) compartido que les permite, en modo verosímil, darse a entender. Este código no solo es característico de los distintos grupos étnicos o de las distintas naciones sino que, además, existen idiomas interétnicos o que trascienden las distintas naciones, por ejemplo, el idioma (o lenguaje) propio de la Internet o de la informática donde, independientemente de la nacionalidad de quién lo use, los términos compartidos propios de la informática, son un lenguaje en sí mismo que sólo entenderá quien maneje el código e integre la comunidad informática. Del mismo modo, cada disciplina académica tiene un lenguaje que le es propio (pensemos por un momento en los abogados o los médicos quienes, al hablar, utilizan términos que “sólo ellos entienden”). La ciencia, por lo tanto, también tiene un idioma particular y los conceptos de las palabras en ella utilizadas toman su significado específico que resulta compartido y entendible sólo por quienes a dicha ciencia se dediquen. La comunidad científica se comunica en idioma científico y en él muchos de los términos populares adquieren un significado propio de la disciplina (ej.: masa, trabajo, sistema, medio, conductor, campo, carga, ……) Algunos de los conceptos fundamentales en el desarrollo de la ciencia Física son: - Fenómeno físico: son hechos que ocurren en un lugar y momento determinado en los que no existe modificación de la sustancia del objeto de estudio; - Universo, Sistema, Medio: el mundo que nos rodea es una realidad amplia y complicada que denominaremos Universo. Cuando se desea estudiar un fenómeno físico particular consideramos aisladamente la parte de Universo que nos interesa estudiar, a esa parte de universo la denominamos Sistema. Al resto de universo que puede interactuar con el sistema que estamos estudiando lo llamamos Medio. - Estado y Evolución: Cuando se elige un sistema para estudiar, lo más probable es que éste cambie con el tiempo (si no, se dice estacionario).

Lic. Claudio Naso, Lic. Andrea Mejeras, Ing. Marcos Sterzovsky

11

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL GENERAL PACHECO

SEMINARIO UNIVERSITARIO DE INGRESO ASIGNATURA FÍSICA

En un determinado momento (t0) el sistema está definido por un conjunto de parámetros que llamaremos estado.

Al conjunto de fenómenos que llevan un sistema de un estado a otro se lo denomina evolución.

ESTADO INICIAL

ESTADO EVOLUCIÓN

FINAL

Son parámetros de estado aquellas magnitudes que caracterizan el sistema: la posición, velocidad, energía. Cuando los parámetros que definen el estado no dependen del tiempo se dice “estado estacionario”. Para que se produzca una evolución del sistema, el medio tiene que influir sobre él, pero en esas circunstancias, el sistema también influirá sobre el medio. Por ello, las relaciones entre sistema y medio se dan a través de mecanismos de interacción: cada uno influye sobre el otro y es, al mismo tiempo, influido por el otro. Las magnitudes que describen la evolución del sistema son, por ejemplo, trabajo, calor.

Modelo: Los problemas que nos presenta la realidad física son demasiado complejos y dependen de demasiadas variables como para estudiarlos en forma integral. Al analizar un fenómeno físico aparecen involucradas muchas magnitudes, pero generalmente sólo algunas de ellas son relevantes para su estudio. Por ejemplo, al estudiar la caída de un cuerpo no importa el color del mismo ni su temperatura. Por ello, al estudiar cada fenómeno, recurrimos a simplificaciones derivadas de imaginar comportamientos o situaciones sencillas que tengan consecuencias suficientemente similares a las del mundo real como para poder reemplazar, a la hora de analizar un fenómeno o problema, a éste último. De este modo diseñamos una “realidad simplificada” que denominamos Modelo. Los modelos no tienen existencia real, son conceptos abstractos que nos permiten estudiar más fácilmente la realidad y nos ayudan a explicarla. Por ejemplo, si se está estudiando el movimiento de un sistema cuyas dimensiones son despreciables

Lic. Claudio Naso, Lic. Andrea Mejeras, Ing. Marcos Sterzovsky

12

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL GENERAL PACHECO

SEMINARIO UNIVERSITARIO DE INGRESO ASIGNATURA FÍSICA

frente a los desplazamientos que realiza, se puede obviar la consideración de las dimensiones del propio sistema y tomarlo como si fuera un punto con masa propia, modelo al que denominamos “punto material”. El punto material como tal no tiene existencia física pero si es válido como modelo, ya que es una representación simplificada de una situación real para facilitar el estudio de la misma. Una vez imaginado –creado- el modelo se utilizará y se realizarán sobre él mediciones en base a magnitudes cuantificables, para poder así definir su estado. Tales definiciones cuantitativas se realizan mediante el preciso lenguaje matemático que puede expresar el estado y evolución de un sistema mediante fórmulas, tablas o gráficos funcionales. El lenguaje matemático no sólo es más preciso, sino que supera la barrera de los idiomas pues sus significados son universales. Cada vez que usemos los términos Universo, Sistema, Medio, estado, evolución, Modelo, lo haremos con el significado expresado anteriormente, significado propio del lenguaje de la Física

- Sistemas de referencia: Si una persona deja caer un objeto desde la ventanilla de un tren en movimiento uniforme, lo ve caer perpendicularmente a la ventanilla, es decir, percibe el movimiento del objeto como una trayectoria recta y lo describirá como tal. Sin embargo, si otra persona observa el hecho desde fuera del tren (digamos, el andén) verá que el objeto desciende verticalmente desde la ventanilla al mismo tiempo que sigue su movimiento horizontal al lado del tren, es decir, que percibirá el movimiento del objeto como una trayectoria curva. ¿Hubo dos fenómenos físicos distintos?. No, hubo uno sólo pero hubo dos testigos del mismo. El ejemplo anterior explica la importancia del testigo que observa el fenómeno físico, a quien se denomina observador. Un mismo fenómeno físico puede ser percibido y descripto de modos distintos por distintos observadores y cada uno de ellos, desde su situación respecto del objeto, podrá analizar y caracterizar el hecho. Cada observador tiene un sistema al cual refiere el fenómeno de movimiento. A tal sistema –como el tren o el andén del ejemplo anterior- se lo denomina sistema de referencia. Cuando se analiza un fenómeno físico hay que dejar bien en claro cuál es el sistema de referencia desde el cual se lo va a estudiar y describir pues la percepción del mismo fenómeno físico tendrá distintos parámetros de estado y evolución al cambiar de sistema de referencia.

Lic. Claudio Naso, Lic. Andrea Mejeras, Ing. Marcos Sterzovsky

13

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL GENERAL PACHECO

SEMINARIO UNIVERSITARIO DE INGRESO ASIGNATURA FÍSICA

Para cuantificar los fenómenos físicos es necesario medir sobre escalas adecuadas. Es por ello que a los sistemas de referencia se le asocian escalas dimensionales denominadas sistemas de coordenadas. Para un dado sistema de referencia pueden utilizarse distintos sistemas de coordenadas llevando, cada uno de ellos, a descripciones matemáticas distintas. La descripción matemática antes mencionada es lo que se denomina Ley física y es una afirmación que explica un fenómeno físico de acuerdo a la experiencia acumulada hasta su enunciación. Estas experiencias (que avalan dicha ley) abarcan un rango limitado de mensurables observados que, además, fueron realizados en determinadas condiciones experimentales; por ello, toda ley física tiene un rango de validez limitado al intervalo numérico de los valores comprobados experimentalmente y a las condiciones en que se han obtenido los mismos. Es así que debe evitarse cualquier extensión de la ley física más allá de esos valores o fuera de esas condiciones.

2.2-

El Método de la Física: Etapas

El llamado “método de la Física” es el que utilizan como procedimiento de descubrimiento y validación todas las ciencias experimentales y es el modo aceptado por la comunidad científica para explicar los fenómenos de la naturaleza. Los pasos (o etapas) que estas disciplinas siguen podemos citarlos en forma ordenada: a) Observación: del fenómeno que se quiere comprender. Aquí se identificará el hecho a observar, las características que lo identifican (: observables) y las magnitudes involucradas. b) Experimentación: es la repetición “artificial” del fenómeno en estudio. Aquí, en el laboratorio (o no) y en condiciones controladas (donde se atiende únicamente a las variables que se pretenden observar y se las manipula para ver cómo responde la situación) se simula el hecho tantas veces como sea necesario, recreando en modo casi natural lo que se pretende estudiar y evitando todo aquello que no sea variable de estudio. c) Medición: es el registro cuantitativo de los valores de las distintas magnitudes observables (mensurables) involucradas en el suceso y todas sus variaciones frente a la manipulación de cada una de las variables. Todas las mediciones deben llevarse a cabo siguiendo un protocolo de medición que será el que corresponda a lo que se intenta medir y al instrumento (convenientemente elegido) que se esté utilizando. Los protocolos de medición (al igual que los instrumento) serán aquellos que la comunidad

Lic. Claudio Naso, Lic. Andrea Mejeras, Ing. Marcos Sterzovsky

14

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL GENERAL PACHECO

SEMINARIO UNIVERSITARIO DE INGRESO ASIGNATURA FÍSICA

científica reconozca como adecuados al fenómeno y condiciones de experimentación. d) Formulación de hipótesis: realizadas las observaciones y reunida la información sobre el comportamiento de las magnitudes involucradas en el fenómeno, se arriesga una conclusión sobre el comportamiento funcional de las variables (dependencia matemática). Es una suposición del comportamiento de las variables que caracterizan el fenómeno. Su aceptación dará lugar a la explicación del hecho. e) Ley física: Cuando se formula una hipótesis corresponde corroborarla. Debido a ello comenzará una nueva etapa de experimentaciones y mediciones que permitirán corroborarla o refutarla. En el caso que la hipótesis se verifique en un gran número de pruebas, se formulará la ley física (que puede o no estar acompañada de expresión matemática directa que la describa): esto es una afirmación que explica el fenómeno físico estudiado en términos de la experiencia acumulada hasta ese momento. Toda ley física tiene un rango de validez definido por las condiciones y alcance de las mediciones en los experimentos. Este rango de validez debe considerarse en la enunciación de la ley física pues, de ese modo, hará que se evite cualquier extensión de alcance al respecto. Es por ello que más que estar describiendo la naturaleza, se estará modelizando un aspecto de ella. Las ciencias de la naturaleza tratan de aproximarse al conocimiento del mundo que nos rodea (y, con ello, a su predicción) haciendo uso de este protocolo de acción conocido como método científico.

2.3-

Cuestiones, ejercicios y problemas

1. Con ayuda del docente, defina el alcance (en el lenguaje de la Física) de cada uno de los términos mencionados en el item 2.1 (Lenguaje de la Física) y destacados en negrita. 2. Defina “método científico”. Enuncie ordenadamente sus pasos y explique cada uno. 3. Con ayuda del docente simule (imaginariamente) el estudio de un fenómeno utilizando el método científico 4. ¿Qué significa que una Ley Física tenga un rango de validez acotado?

Lic. Claudio Naso, Lic. Andrea Mejeras, Ing. Marcos Sterzovsky

15

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL GENERAL PACHECO

SEMINARIO UNIVERSITARIO DE INGRESO ASIGNATURA FÍSICA

3. MAGNITUDES Y MEDICIONES FÍSICAS Percibimos el mundo exterior a través de los sentidos. De éstos, los físicos utilizan preferentemente la vista. Por medio de los ojos podemos observar los cambios de posición de los objetos, el registro de una medida, el desarrollo de un experimento, etc. Si analizamos las apreciaciones de distintas personas con respecto a una misma observación, concluiremos que varían en mayor o menor grado, dependiendo del desarrollo sensorial o del entrenamiento en la observación desarrollado durante su formación, que cada una posea. 3.1-

Magnitudes: Definición y clasificación Como expresáramos anteriormente, la Física se ocupa de fenómenos cuantificables. Esto implica que las características a analizar deben ser medibles (o calculables). A estas características se las denomina magnitudes. Cada magnitud queda definida según el protocolo de medición que se utilice para medirla (o calcularla). Si una magnitud se obtiene por proceso de medición, se denomina directa; si, por el contrario, la magnitud surge por cálculo, se denomina indirecta. Además debemos distinguir entre magnitudes de distinta naturaleza. Esto es: si al cuantificar una característica nos basta, simplemente, con el dato numérico entonces dicha magnitud se denomina escalar; si, en cambio, el dato numérico resulta insuficiente entonces dicha magnitud tendrá que ser descripta por un vector (un vector es un elemento matemático que se utiliza para describir magnitudes cuya manifestación obedece a un valor numérico, una dirección y un sentido determinados; su representación es una “flecha”) y se denomina magnitud vectorial.

3.2-

Mediciones: Generación y clasificación. Sistemas de unidades A lo largo de la historia las distintas civilizaciones han recurrido a métodos propios de comparación entre características de la misma clase (es decir: medir). De eso se trata, medir es comparar, comparar con algo que utilizamos como referente (: patrón) y, si tenemos presente que medir es una de las operaciones más importantes en todo proceso técnico-científico, comprenderemos que una buena medición y una adecuada referencia a ésta son los puntos de partida en cualquier trabajo que se aborde.

Lic. Claudio Naso, Lic. Andrea Mejeras, Ing. Marcos Sterzovsky

16

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL GENERAL PACHECO

SEMINARIO UNIVERSITARIO DE INGRESO ASIGNATURA FÍSICA

Con el desarrollo de intercambios humanos en la investigación científico – tecnológica, el fomento de operaciones comerciales y el auge de los mercados y procesos industriales, el hombre pronto se dio cuenta de la dificultad que implicaba el hecho de que existieran diferentes patrones de comparación. Esto hizo que se ocuparan de seleccionar un grupo o sistema de unidades de uso práctico y generalizado poniendo especial atención en que las unidades seleccionadas fueran fácilmente definibles y sencillas de manejar. Magnitudes como tiempo, masa y longitud (las tres escalares) son consideradas como fundamentales por ser tomadas como invariantes en la Física Clásica (Newton). Las demás magnitudes (en general) son expresadas en términos de las anteriores y de allí que las unidades que a ellas correspondan derivarán de operatorias expresadas entre “metros”, “kilogramos” y “segundos” (unidades de base de las magnitudes fundamentales). Se denomina orden de magnitud a la potencia de diez (10 n ) que acompaña a la cuantificación de una magnitud cuando ésta se expresa mediante un número decimal con una sola cifra entera. Por ejemplo: 3050000 = 3,05 . 10 6 En ese caso el orden de magnitud es “10 6” o, simplemente, “6”. En muchas situaciones el orden de magnitud tiene un nombre propio que es un prefijo que se utiliza delante de la unidad y que permite ser interpretado como potencia de 10 que acompaña a la unidad de base.

Los prefijos del SI se utilizan para nombrar múltiplos y submúltiplos de cualquier unidad del Sistema Internacional (SI), ya sean unidades básicas o derivadas. Estos prefijos se anteponen al nombre de la unidad para indicar el múltiplo o submúltiplo decimal (potencia de diez) de la misma; del mismo modo, los símbolos de los prefijos se anteponen a los símbolos de las unidades. Los prefijos pertenecientes al SI los fija oficialmente la Oficina Internacional de Pesos y Medidas (Bureau International des Poids et Mesures), de acuerdo con el cuadro siguiente:

Lic. Claudio Naso, Lic. Andrea Mejeras, Ing. Marcos Sterzovsky

17

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL GENERAL PACHECO

10

n

Prefijo Símbolo

SEMINARIO UNIVERSITARIO DE INGRESO ASIGNATURA FÍSICA

Denominación

Equivalencia decimal en los Prefijos del SI

10

12

tera

T

10

9

giga

G

10

6

mega

M

Millón

10

3

kilo

K

Mil

10

2

hecto

H

Cien

100

10

1

deca

Da

Diez

10

10

0

ninguno

Uno

1

deci

D

Deci

0,1

centi

C

Centi

0,01

mili

M

Mili

0,001

micro

µ

Millonésimo

nano

N

pico

P

10

10

10

10

−1

−2

−3

−6

10

10

−9

−12

Billón

1 000 000 000 000

1 000 000 000

1 000 000

1 000

0,000 001

0,000 000 001

Billonésimo

0,000 000 000 001

Ejemplos: 

7 cm = 7 × 10-2 m = 7 × 0,01 m = 0,07 m



3 MW = 3 × 106 W = 3 × 1 000 000 W = 3 000 000 W

Lic. Claudio Naso, Lic. Andrea Mejeras, Ing. Marcos Sterzovsky

18

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL GENERAL PACHECO

SEMINARIO UNIVERSITARIO DE INGRESO ASIGNATURA FÍSICA

SISTEMAS DE UNIDADES Sistema Métrico Legal Argentino

El SIMELA (sistema métrico legal argentino) es el sistema de medidas que se utiliza en Argentina. Es el constituido por las unidades, múltiplos y submúltiplos, prefijos y símbolos del SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES (SI) y las unidades ajenas al SI que se incorporan para satisfacer requerimientos de empleo en determinados campos de aplicación. El sistema métrico legal argentino (SIMELA), adopta las mismas unidades, múltiplos y submúltiplos del Sistema Internacional (SI). El SIMELA fue establecido por la ley 19.511 de 1972, como único sistema de unidades de uso autorizado en Argentina.

Definición de las unidades de base: Magnitud

Unidad

Símbolo

Longitud

metro

m

Masa

kilogramo

kg

Tiempo

segundo

s

Intensidad de corriente eléctrica

ampere

A

Temperatura

kelvin

K

Intensidad luminosa

candela

cd

Cantidad de sustancia

mol

mol

Lic. Claudio Naso, Lic. Andrea Mejeras, Ing. Marcos Sterzovsky

19

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL GENERAL PACHECO

SEMINARIO UNIVERSITARIO DE INGRESO ASIGNATURA FÍSICA

Definición de las unidades derivadas

Magnitud

Unidad

Símbolo

Superficie

metro cuadrado

m

2

Volumen

metro cúbico

m

3

Frecuencia

hertz

Hz

Densidad

kilogramo por metro cúbico

(1 Hz=1 ciclo/s) 3

kg/m

Velocidad

metro por segundo

m/s

Velocidad angular

radián por segundo

rad/s

Aceleración

metro por segundo al cuadrado

m/s

2

2

Fuerza

newton

N

(1 N=1 kg m/s )

Presión (tensión mecánica)

pascal

Pa

(1 Pa=1 N/m )

jules

J

(1 J=1 N m)

Potencia

watt

W

(1 W=1 J/s)

carga eléctrica

coulomb

C

(1 C=1 A s)

volt

V

(1 V=1 W/A)

Intensidad de campo eléctrico

volt por metro

V/m

Resistencia eléctrica

ohm

Ω

(1 Ω=1 V/A)

Conductancia eléctrica

siemens

S

(1 S=1 Ω-1)

Capacidad eléctrica

farad

F

(1 F=1 A s/V)

Flujo de inducción magnética

weber

Wb

(1 Wb=1 V s)

Inductancia

henry

H

(1 H=1 V s/A)

Inducción magnética

tesla

T

(1 T=1 Wb/m )

Intensidad de campo magnético

ampere por metro

A/m

Flujo luminoso

lumen

lm

(1 lm=1 cd sr)

Iluminación

lux

lx

(1 lx=1 lm/m )

Trabajo, energía , cantidad de calor

Tensión eléctrica, diferencia de potencial o fuerza electromotriz

Lic. Claudio Naso, Lic. Andrea Mejeras, Ing. Marcos Sterzovsky

2

2

2

20

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL GENERAL PACHECO

SEMINARIO UNIVERSITARIO DE INGRESO ASIGNATURA FÍSICA

Sistema anglosajón de unidades El sistema anglosajón de unidades es el conjunto de unidades oficial en solo 3 países en el mundo: Estados Unidos de América, Liberia y la Unión de Myanmar (antiguamente conocida como Birmania), además de otros territorios y países con influencia anglosajona pero de forma no oficial, como Canadá, Bahamas, Barbados, Jamaica, Puerto Rico o Panamá. Pero existen discrepancias entre los sistemas de Estados Unidos y el Reino Unido (donde se denomina sistema imperial), e incluso sobre la diferencia de valores entre otros tiempos y la actualidad. Sus patrones de medida son guardados en Londres, Inglaterra. Este sistema se deriva de la evolución de las unidades locales a través de los siglos, y de los intentos de estandarización en Inglaterra. Las unidades mismas tienen sus orígenes en la antigua Roma. Hoy en día, estas unidades están siendo lentamente reemplazadas por el Sistema Internacional de Unidades, aunque en Estados Unidos la inercia del antiguo sistema y el alto costo de reemplazo ha impedido en gran medida el cambio. Unidades de longitud El sistema para medir longitudes en los Estados Unidos se basa en la pulgada, el pie, la yarda y la milla. Cada una de estas unidades tiene dos definiciones ligeramente distintas, lo que ocasiona que existan dos diferentes sistemas de medición. Una pulgada (en inglés: inch; su símbolo: ‘’) de medida internacional mide exactamente 25,401 mm (por definición).

Equivalencias entre sistemas (aquí el símbolo “=” no significa “equivalencia matemática” sino “hace referencia a la misma medida que”) 

1 pulgada (in) = 2,5401 cm



1 pie (ft) = 12 in = 30,48 cm



1 yarda (yd) = 3 ft = 36 in = 91,44 cm



1 milla (mi) = 1.760 yd = 5.280 ft = 63.360 in = 1.609,344 m.



1 braza = 6 ft = 72 in = 1,8288 m (Para medir profundidades del mar, los fathoms (o braza))

Lic. Claudio Naso, Lic. Andrea Mejeras, Ing. Marcos Sterzovsky

21

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL GENERAL PACHECO

SEMINARIO UNIVERSITARIO DE INGRESO ASIGNATURA FÍSICA

3.3- El proceso de medición Una medida surge de la experiencia, es decir, de obrar directamente sobre el objeto a medir o de calcular (en base a características cuantificables obtenidas por proceso directo de medición) alguna magnitud indirecta. Veamos: A

B

¿Cuánto mide el segmento AB?

Si comparamos los valores obtenidos por cada uno de nosotros no coincidiremos, sino que veremos que todos ellos se encuentran entre dos valores que denominaremos “cotas”. Éstas podrían ser: (6 cm ; 7 cm) ó (6,2 cm ; 6,6 cm) ó (6,3 cm; 6,5 cm). Cualquiera de estos pares es lícito. La ventaja de uno sobre los demás es que alguno nos da un valor menos incierto que los otros, es decir, más próximo a la longitud real. En cambio el par ( 6,432 cm ; 6,434 cm) no sería lícito pues esos valores no son apreciables, no surgen de la experiencia, serían inventados. En conclusión, el resultado de una medición será expresado o estará constituido por 2 (dos) números o cotas (mínima y máxima)

3.4-

Incertidumbre de una medición física: Clasificación

Existen distintos instrumentos de medición según corresponda a la magnitud a medir. Del mismo modo, existen distintas magnitudes indirectas que se calculan según los valores hallados para las magnitudes directas intervinientes. En cualquier caso, teniendo presente lo expresado anteriormente, la medida será imposible de establecer sino a través de un valor representativo y la incertidumbre experimental (Δx ) que le corresponda (sea ésta obtenida directamente según las características del instrumento utilizado –en caso de mediciones directas-, sea ésta la que surja de un cálculo de propagación –para el caso de medidas indirectas-). Diremos, entonces: “el valor de la magnitud, designado X, en el instante de la medición está con seguridad comprendido entre los valores máximo (XM) y mínimo (Xm)”, siendo XM (cota máxima)= X + Δx Xm ≤ X ≤ XM Xm (cota mínima)= X - Δx

Lic. Claudio Naso, Lic. Andrea Mejeras, Ing. Marcos Sterzovsky

22

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL GENERAL PACHECO

SEMINARIO UNIVERSITARIO DE INGRESO ASIGNATURA FÍSICA

Cualquier par (Xm ; XM) es lícito, siempre que las cifras de los números sean las que se pueden observar. Si bien se tienen dos valores, el mínimo y el máximo, no se sabe cuál de los infinitos números reales que existen entre ellos es el valor de la magnitud. Gráficamente, el resultado puede expresarse como:

0

Xm

XM

X

La zona marcada representa el intervalo de incerteza o sea, aquel dentro del cual se encontrará seguramente (aunque no se sabe dónde) el valor verdadero de la magnitud medida (X). El punto medio del intervalo de incertidumbre se toma como valor representativo, o valor más probable de la cantidad medida. Se simboliza con Xo. El semiancho o semiamplitud del intervalo de incerteza se denomina incertidumbre absoluta o experimental. Siempre se lo adopta con valor positivo y se lo simboliza con ∆x. En muchos textos se puede encontrar este mismo concepto con el nombre de “error absoluto” o “error experimental”. Nosotros adoptamos “incertidumbre” en virtud de reconocer que en este caso el término error no debe dar idea de equivocación, pues en casi 4 todos los casos la aparición de ∆x es inevitable, por mejores que sean los instrumentos, el método utilizado y el observador. Gráficamente tendremos: ∆x

0

Xm

∆x

X0

XM

En el gráfico podemos observar:

(1)

4

pues:

XM + Xm = 2X0

(2)

El “casi” excluye el caso de medir CONTANDO unidades perfectamente distinguibles

Lic. Claudio Naso, Lic. Andrea Mejeras, Ing. Marcos Sterzovsky

23

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL GENERAL PACHECO

(3)

SEMINARIO UNIVERSITARIO DE INGRESO ASIGNATURA FÍSICA

pues:

XM - Xm = 2 ∆X

(4)

De aquí surge una segunda variante de expresión del resultado de una medición, esta es X = X0 ± ΔX

Siendo: y

Así,

Xm = X0 - ∆x

(7)

XM = X0 + ∆x

(8)

(Xm ; XM) equivale a decir

(5)

X = X0 ± ΔX

No debe creerse que X0 sea el valor de la magnitud (tampoco que no lo sea). Es solamente un punto más del intervalo que se adopta como representativo (por convención). Puede probarse que cualquiera sea el desconocido valor verdadero (X), su diferencia con el valor adoptado como representativo de la medición (X o), en valor absoluto, nunca será mayor que la incertidumbre absoluta (ΔX).

X  X 0  ΔX

Esto nos asegura que el valor de la magnitud se encuentra siempre dentro del intervalo. Es significativo que las unidades con que se expresa ΔX son las mismas que se utilizan para expresar Xo. Del desarrollo anterior podemos hacer referencia a un concepto denominado exactitud de medida: proximidad entre un valor medido y un valor verdadero de un mensurando (el concepto “exactitud de medida” no es una magnitud y no se expresa numéricamente. Se dice que una medición es más exacta cuanto más pequeño es el error de medida -diferencia entre un valor medido de una magnitud y un valor de referencia- . El término “exactitud de medida” no debe utilizarse en lugar de veracidad de medida, al igual que el término “precisión de medida”

Lic. Claudio Naso, Lic. Andrea Mejeras, Ing. Marcos Sterzovsky

24

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL GENERAL PACHECO

SEMINARIO UNIVERSITARIO DE INGRESO ASIGNATURA FÍSICA

tampoco debe utilizarse en lugar de “exactitud de medida”. La exactitud de medida se interpreta a veces como la proximidad entre los valores medidos atribuidos al mensurando)5 Podemos aquí definir precisión de una medición como la proximidad entre las indicaciones o los valores medidos obtenidos en mediciones repetidas de un mismo objeto, o de objetos similares, bajo condiciones especificadas. Es habitual que la precisión de una medida se exprese numéricamente mediante medidas de dispersión tales como la desviación típica, la varianza o el coeficiente de variación bajo las condiciones especificadas (las “condiciones especificadas” pueden ser condiciones de repetibilidad, condiciones de precisión intermedia, o condiciones de reproducibilidad (véase la norma ISO 5725-1:1994))6.

Es muy conveniente (luego se verá porqué) definir la incertidumbre relativa de una medición: es el cociente entre la incertidumbre absoluta y el valor representativo.

(9)

Debe notarse que ε carece de unidades dado que es el cociente entre dos magnitudes de una misma especie. Se define también incertidumbre relativa porcentual como el valor resultante del producto de la incertidumbre relativa por 100 % ε % = ε . 100 %

(10)

El parámetro anterior se suele utilizar para dar la estimación de la calidad de las mediciones. El criterio utilizado es: ε % < 0.1 % 0.1 % ≤ ε % < 1 %

muy buenas buenas

1%≤ε% < 2%

normales

2%≤ε%

groseras

5

Según el VIM (Vocabulario Internacional de Medidas), edición 2012. http://www.cem.es/sites/default/files/vim-cem-2012web.pdf 6 Según el VIM (Vocabulario Internacional de Medidas), edición 2012. http://www.cem.es/sites/default/files/vim-cem-2012web.pdf

Lic. Claudio Naso, Lic. Andrea Mejeras, Ing. Marcos Sterzovsky

25

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL GENERAL PACHECO

SEMINARIO UNIVERSITARIO DE INGRESO ASIGNATURA FÍSICA

Clasificación Como hemos visto, al realizar una medición, nos aparece una incertidumbre (denominada absoluta o experimental) provocada por diferentes causas. Estas causas hacen que se las pueda clasificar del siguiente modo:

3.4.1 Incerteza de resolución a) Calibración del instrumento: Sería el caso de una regla cuya escala tiene una graduación que no está constituida por distancias perfectamente iguales entre sus divisiones, aún si las diferencias no son groseras o aunque las divisiones sean iguales pero la real distancia entre ellas no es la correcta. b) La lectura: Se daría cuando el operador debe decidir acerca de cuál es la división de la escala del instrumento que corresponde elegir entre dos posibles o si existe o no coincidencia con alguna división. c) El método utilizado: Se presenta, entre otros casos, cuando la perturbación que provoca el método de medición sobre el objeto a medir es considerable (por ejemplo, al pretender medir la temperatura de 1 cm3 de agua con un termómetro de 1 m de longitud. Lo que se logra es que el agua tienda a adquirir la temperatura del termómetro, entonces la lectura diferirá de la temperatura inicial del agua). d) Las características constructivas del instrumento: Esta variante se produce al utilizar un instrumento graduado con marcas excesivamente gruesas, que dificultan la correcta visualización. Otro caso es el de medir tiempo con un cronómetro digital de funcionamiento discontinuo (“de a saltos”) de manera que el operador sólo se limita a leer sin poder discernir si el momento de la lectura es más cercano al “último salto” o al “próximo salto”.

3.4.2 Incertezas casuales o estadísticas Si una misma cantidad se mide varias veces con un mismo instrumento, método y operador, tratando que las condiciones sean idénticas (manteniendo acotadas las indeterminaciones de resolución), nos encontramos con que los valores obtenidos no son siempre estrictamente iguales. Presentan pequeñas fluctuaciones. Las causas de las diferencias pueden ser atribuidas a:

Lic. Claudio Naso, Lic. Andrea Mejeras, Ing. Marcos Sterzovsky

26

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL GENERAL PACHECO

SEMINARIO UNIVERSITARIO DE INGRESO ASIGNATURA FÍSICA



El operador (variación de la atención, fatiga, ubicación incorrecta, etc)



Las condiciones ambientales (variación de la presión atmosférica, temperatura, vibraciones mecánicas, etc )



El método



El instrumento

La experiencia demuestra que la distribución de los valores medidos responde a una ley estadística de “Distribución Normal o de Gauss”. A partir de este comportamiento es posible estimar las fluctuaciones utilizando esta herramienta estadística.

3.4.3 Desviaciones sistemáticas Si el mismo conjunto operador-método-instrumento es el que realiza mediciones sobre distintos objetos, es común que se produzcan “desfasajes constantes” entre los valores representativos obtenidos y los que hubieran sido considerados correctos. Las distintas cosas que pueden provocarlos son:

-

defecto permanente del instrumento (desplazamiento del cero, desviación de la aguja, etc.) error de paralaje (incorrecta ubicación del observador) defecto de método (según el fenómeno y/o condiciones de realización. Ej: viento cuando se usa balanza muy sensible) Utilización de fórmulas aproximadas (que generan diferencias considerables en los resultados)

3.4.4 Valorización de la incertidumbre experimental Al medir una cantidad nos encontramos con dos tipos de incertidumbres: de apreciación y casuales. Como ambas son estimables deben ser consideradas al asignar un valor a ΔX. Las incertidumbres originadas por diversas causas podrían, obviamente, compensarse mutuamente o sumarse, algo que no podemos saber. Pero como lo que se pretende es tener la seguridad de que el valor verdadero de la magnitud se encuentre dentro del intervalo de incerteza, debemos tomar para ΔX la suma de las distintas incertidumbres.

Lic. Claudio Naso, Lic. Andrea Mejeras, Ing. Marcos Sterzovsky

27

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL GENERAL PACHECO

SEMINARIO UNIVERSITARIO DE INGRESO ASIGNATURA FÍSICA

3.4.5 Corolario: Criterio de igualdad ¿Cuándo podemos decir que los resultados de distintas mediciones de una misma magnitud son iguales? Si: X1: primera medición ; tenemos entonces que:

X2: segunda medición

X1 = X01 ±ΔX1

por lo tanto diremos que:

y

X2 = X02 ±ΔX2

⇔ I X01 - X02 I ≤ I ΔX1 + ΔX2 I

X1 ≡ X 2

Es decir, dos mediciones son equivalentes si el valor absoluto de la diferencia entre los valores representativos de cada medición resulta menor o igual al valor absoluto de la suma de las incertidumbres experimentales de las correspondientes mediciones.

3.5 Instrumentos de medición de longitudes Las mediciones de longitudes abarcan, de un modo u otro, la gran mayoría del trabajo metrológico, como así también gran parte de la inspección de producción. Podemos distinguir (a grandes rasgos) tres tipos de instrumentos: A) Reglas Pueden construirse sobre una barra rígida en la que se graban trazos, donde el origen de la graduación se encuentra a la izquierda; la mínima graduación suele ser de 1 mm. Para medir se hace coincidir el cero de la regla con el origen de la pieza a medir orientándola debidamente para eliminar errores sistemáticos. Luego se observa el otro extremo, pudiendo darse dos casos: I. Que el extremo de la pieza no coincida con ninguna marca, siendo la marca anterior, la cota mínima (Xm) y la posterior, la cota máxima (XM) y por lo tanto:

X0 

X M  Xm 2

y

X 

XM  Xm 2

II. Que el extremo de la pieza coincida exactamente con una marca de la escala, adoptando ésta como valor representativo. Aquí también se cumple que:

X 

menor divisióndela regla 2

Lic. Claudio Naso, Lic. Andrea Mejeras, Ing. Marcos Sterzovsky

28

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL GENERAL PACHECO

SEMINARIO UNIVERSITARIO DE INGRESO ASIGNATURA FÍSICA

B) Calibre, Vernier o Pie de Rey Es el instrumento más ampliamente difundido y el más antiguo en mediciones; en él se combinan la simplicidad de la escala graduada con la seguridad de las medidas efectuadas entre palpadores. La sensibilidad de la lectura se aumenta recurriendo a un Vernier, nombre debido al francés Pierre Vernier (1580-1637), quien se cree fue su inventor. El calibre consiste en una regla rígida graduada en milímetros, de una longitud que depende de su alcance y que lleva un tope; sobre esta regla se desliza un cursor al que va unido a otro tope o punta móvil (mandíbulas del calibre). El cursor posee el “vernier” constituido por una escala auxiliar con graduación distinta a la de la regla, que permite apreciar la parte decimal leída.

La división usual del vernier tiene dos variantes: 1) 10 divisiones del vernier equivalen, en longitud, a 9 de la regla fija. 2) 20 divisiones del vernier equivalen, en longitud, a 19 de la regla fija.

 Cálculo de la apreciación del vernier: Para llevar a cabo este procedimiento llamaremos N: Número de divisiones del Vernier que coinciden con (N-1) de la regla fija. V’: valor numérico de la división del Vernier. V: valor numérico de la división de la división de la regla fija

Lic. Claudio Naso, Lic. Andrea Mejeras, Ing. Marcos Sterzovsky

29

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL GENERAL PACHECO

SEMINARIO UNIVERSITARIO DE INGRESO ASIGNATURA FÍSICA

Definimos la apreciación de un calibre como el cociente entre la menor división de la regla fija y el número de divisiones de la regla móvil (o vernier). Adoptaremos como incertidumbre absoluta (o experimental) la resolución del calibre así calculada. Será ΔX = V _ N

C) Micrómetro La utilización de un tornillo micrométrico vinculado a un tambor con divisiones que permite apreciar fracciones de vuelta del mismo, constituyendo una amplificación del desplazamiento axial, ha dado una gran variedad de instrumentos llamados, generalmente, micrómetros, desarrollados por PALMER en el año 1848.

Está constituido por un arco en “C” que tiene un tope fijo en un extremo y un vástago (husillo) desplazable a través del tornillo micrométrico en el otro extremo. El tornillo tiene, usualmente, 0.5 mm de paso y 25 mm de carrera; el tambor está dividido en 50 partes, por lo tanto, cada división equivale a un desplazamiento axial dado por: Desplazamiento axial =

paso _ = 0.5 mm _ = 0.01 mm Nº divisiones 50

Lic. Claudio Naso, Lic. Andrea Mejeras, Ing. Marcos Sterzovsky

30

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL GENERAL PACHECO

SEMINARIO UNIVERSITARIO DE INGRESO ASIGNATURA FÍSICA

Algunos tienen un paso de 1 mm y su tambor posee 100 divisiones. Los micrómetros poseen, generalmente, un dispositivo de arrastre que permite asegurar (fijar) una pieza en la medición corriente de aproximadamente 300 gr como máximo; este valor es importante que se encuentre acotado en un valor máximo pues las deformaciones debido a la flexión de la pieza en “C” y la compresión en los vástagos no es compatible con el grado de precisión que se requiere para el instrumento. La mayoría de los micrómetros están provistos de crique o trinquete, lo que no representa una solución definitiva a la eliminación total de elementos subjetivos. En la medición debe observarse que las caras de medición apoyen paralelamente a la pieza a medir y que esté bien centrada, es por ello que resulta muy conveniente la fijación del micrómetro en bases apropiadas, pues permite colocar la pieza en la posición más conveniente, además de evitar el contacto prolongado entre el instrumento y las manos del operador (para evitar la transmisión de calor que puede alterar la medición). El principio en el que se basa el instrumento es el de tornillo / tuerca: si en una tuerca fija se hace girar un tornillo, una vuelta del tornillo produce un avance de 1 paso, de modo que la resolución del instrumento será: ΔX =

paso del tornillo _ = menor división regla fija _ Nº de div. del tambor Nº de div. del tambor

El número entero de válvulas del tambor graduado se lee en la graduación rectilínea del manguito fijo, junto al borde del tambor; la fracción de vuelta suplementaria se lee sobre la graduación circular giratoria.

Criterios para expresar los resultados de las mediciones.

A- Medición directa con instrumento analógico.

Se adopta como incertidumbre experimental absoluta (Δx), la resolución dada por el instrumento.

Lic. Claudio Naso, Lic. Andrea Mejeras, Ing. Marcos Sterzovsky

31

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL GENERAL PACHECO

SEMINARIO UNIVERSITARIO DE INGRESO ASIGNATURA FÍSICA

 Cuando el instrumento es de lectura sobre escala fija (regla milimetrada, voltímetro analógico, probeta graduada), su resolución es la mitad de la menor división.  Cuando el instrumento tiene escala fija y móvil como el Vernier o el Palmer (calibre, micrómetro), su apreciación es la menor división de la escala fija dividido el número de divisiones de la escala móvil. Se debe expresar con igual número de decimales el valor representativo y la incertidumbre: Ejemplo 1 - Regla milimetrada: X = 38,5 mm ± 0,5 mm Ejemplo 2 - Probeta graduada cada 2 cm3: V = 25 cm3 ± 1 cm3 Ejemplo 3 - Vernier a la media décima (calibre vigesimal): X= 12,20 mm ± 0,05 mm Ejemplo 4 - Palmer (micrómetro): X= 14,23 mm ± 0,01mm

IMPORTANTE: Nótese que al valor representativo se lo completa con tantos ceros a la derecha como sea necesario hasta tener el mismo número de cifras decimales que en la incertidumbre.

B- Medición directa con instrumento digital. Se adopta como incertidumbre experimental la resolución del instrumento. Si se desconoce el valor especificado por el fabricante, se adopta como tal la menor división del display. Ejemplo 5 - Voltímetro digital a la décima: V= 24,3V ± 0,1 V

C- Mediciones indirectas. Cuando se propagan indeterminaciones en un cálculo, el número de cifras con que se escribe el valor representativo, está ligado con el número de cifras que se adoptan para la incertidumbre absoluta (ΔX). 1.- El criterio que adoptaremos para la incertidumbre absoluta (ΔX) será acotarla a una cifra significativa redondeando la cifra al valor inmediatamente superior. 2.- En cuanto al valor representativo, el mismo se redondeará en la cifra que se corresponda con la cifra de la incertidumbre experimental, teniendo en cuenta que: 2.1.- Si la cifra siguiente es igual o mayor que 5, la cifra redondeada se modifica al valor inmediato superior. 2.2.- Si la cifra siguiente es menor que 5, la cifra redondeada no se modifica.

Lic. Claudio Naso, Lic. Andrea Mejeras, Ing. Marcos Sterzovsky

32

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL GENERAL PACHECO

SEMINARIO UNIVERSITARIO DE INGRESO ASIGNATURA FÍSICA

Ejemplo 6: Finalizado un cálculo de valor representativo e incertidumbre absoluta de un volumen se obtuvo el siguiente resultado: V= 25,5668 cm3 ± 0,26586 cm3 El resultado de la medición se expresa como: V= 25,6 cm3 ± 0,3 cm3 (como 6 ˃5, la cifra en negrita cambia a 6) Ejemplo 7: Finalizado un cálculo de valor representativo e incertidumbre absoluta de una potencia se obtuvo el siguiente resultado: p= 14412,81773 W ± 136,25365 W El resultado de la medición se expresa como: p= 14400 W ± 200 W (como 1 < 5, la cifra en negrita queda como 4)

3.6 Propagación de incertidumbres En muchas oportunidades el valor de una medición surge de realizar operaciones aritméticas. En todos los casos debe tenerse en cuenta que la incertidumbre del resultado del cálculo debe, necesariamente, tener en cuenta las incertidumbres de las mediciones primarias de las que se parte. Así, los valores calculados estarán siempre afectados por las incertidumbres iniciales. El proceso mediante el cual se calcula la incertidumbre del resultado de esta variedad de mediciones se denomina propagación de incertidumbres. Veamos cómo se resuelven estos casos para las distintas operaciones a partir del supuesto de una magnitud física Q que es función de otras magnitudes primarias X, Y, Z medidas con anterioridad, de manera que contamos con:

Q = f (x, y, z)

→

que se lee: “la magnitud Q es función de las magnitudes X, Y, Z”

siendo

El objetivo es hallar Q0 y ΔQ, de modo de poder expresar (1)

Lic. Claudio Naso, Lic. Andrea Mejeras, Ing. Marcos Sterzovsky

33

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL GENERAL PACHECO

SEMINARIO UNIVERSITARIO DE INGRESO ASIGNATURA FÍSICA

3.6.1- Suma Si la magnitud Q surge de operar otras dos magnitudes (X e Y) siendo esa operación una suma, será

Q = X + Y,

y se sabe que (2)

y (3)

siendo

(4)

QM = X M + Y M ,

(5)

Qm = Xm + Ym

Reemplazando (4) y (5) en (2) y en (3), se tiene que

𝑄𝑜

𝑋𝑜 + 𝑌𝑜y

𝑄

y

𝑋 +

𝑌

3.6.2- Resta Si la magnitud Q surge de operar otras dos magnitudes (X e Y) siendo esa operación una resta, será

Q = X + Y,

y se sabe que (2)

y (3)

siendo

QM = X M - Y m ,

Q m = X m - YM

(6)

(7)

Lic. Claudio Naso, Lic. Andrea Mejeras, Ing. Marcos Sterzovsky

34

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL GENERAL PACHECO

SEMINARIO UNIVERSITARIO DE INGRESO ASIGNATURA FÍSICA

Reemplazando (6) y (7) en (2) y en (3), se tiene que

𝑄𝑜

𝑋𝑜

𝑌𝑜y

𝑄

y

𝑋 +

𝑌

3.6.3- Producto Si la magnitud Q surge de operar otras dos magnitudes (X e Y) siendo esa operación una suma, será

Q = X . Y

,

y se sabe que

(2)

y (3)

siendo

QM = X M . Y M ,

(8)

Qm = Xm . Ym

(9)

Trabajando con las expresiones (8) y (9) se llega a 𝑄𝑜

Siendo

𝑋𝑜 . 𝑌𝑜

𝑄

Y

𝜀𝑄

𝑋

𝑋0

+

𝑄 . 𝜀𝑄

𝑌

𝑌0

Lic. Claudio Naso, Lic. Andrea Mejeras, Ing. Marcos Sterzovsky

35

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL GENERAL PACHECO

SEMINARIO UNIVERSITARIO DE INGRESO ASIGNATURA FÍSICA

3.6.4- Potencia Si se tiene en cuenta que la potenciación es una multiplicación de factores iguales, pueden utilizarse las conclusiones del caso “producto” y extrapolarlas de modo tal que sería:

Q=Xn Entonces: 𝑋𝑛

𝑄𝑜

𝑄

y

𝑛. 𝑋𝑛

1

. 𝑋

3.6.5- División Si la magnitud Q surge de operar otras dos magnitudes (X e Y) siendo esa operación una división, será

Q =

,

y se sabe que

(2)

y (3)

siendo

QM = XM : Ym

(10)

,

Qm = Xm : YM

(11)

Trabajando con las expresiones (10) y (11) se llega a

𝑄𝑜

𝑋 𝑌

𝑄

Y

𝜀𝑄

𝑋 𝑋0

+

𝑄 . 𝜀𝑄

𝑌 𝑌0

Lic. Claudio Naso, Lic. Andrea Mejeras, Ing. Marcos Sterzovsky

36

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL GENERAL PACHECO

3.5-

SEMINARIO UNIVERSITARIO DE INGRESO ASIGNATURA FÍSICA

Cuestiones, ejercicios y problemas

1. Para cada uno de los ejercicios que figuran a continuación considere A= A0 ± ΔA

;

B= B0 ± ΔB

a) Para la magnitud i) ii) iii) iv) v) vi)

E= E0 ± ΔE

calcule

M = A3 . B2

calcule

M = A3 + B2

calcule

Valor representativo Cota máxima Cota mínima Incertidumbre absoluta o experimental Incertidumbre relativa Incertidumbre relativa porcentual

d) Para la magnitud i) ii) iii) iv) v) vi)

;

Valor representativo Cota máxima Cota mínima Incertidumbre absoluta o experimental Incertidumbre relativa Incertidumbre relativa porcentual

c) Para la magnitud i) ii) iii) iv) v) vi)

M=

C= C0 ± ΔC

Valor representativo Cota máxima Cota mínima Incertidumbre absoluta o experimental Incertidumbre relativa Incertidumbre relativa porcentual

b) Para la magnitud i) ii) iii) iv) v) vi)

;

M=

calcule

Valor representativo Cota máxima Cota mínima Incertidumbre absoluta o experimental Incertidumbre relativa Incertidumbre relativa porcentual

Lic. Claudio Naso, Lic. Andrea Mejeras, Ing. Marcos Sterzovsky

37

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL GENERAL PACHECO

e) Para la magnitud i) ii) iii) iv) v) vi)

M=

SEMINARIO UNIVERSITARIO DE INGRESO ASIGNATURA FÍSICA

calcule

Valor representativo Cota máxima Cota mínima Incertidumbre absoluta o experimental Incertidumbre relativa Incertidumbre relativa porcentual

2. Se miden la base y la altura de un triángulo y se obtiene b= (10 ± 1)cm y h=(16 ± 2)cm. Calcular: a) la superficie del triángulo, b) la incertidumbre relativa porcentual, c) clasifique el tipo de incertidumbre 3. Se utiliza una probeta graduada en divisiones de 10 ml para determinar el volumen de un objeto. Antes de colocarlo el volumen del líquido se estimó como (80 ± 5) ml y después de colocado el objeto, subió a (170 ± 5) ml . Calcular: a) El volumen del objeto b) La incertidumbre relativa porcentual c) Clasificar el tipo de medición 4. ¿Cuál es el volumen total de líquido que entra en dos recipientes, uno de base rectangular de 20,0 cm x 30,0 cm y altura 40,0 cm y otro cilíndrico de diámetro 20,0 cm y altura 50,0 cm, si todas las medidas se tomaron con una incertidumbre de 0,1 cm?. ¿Cuál es la incertidumbre relativa? 5. Se desea conocer el peso de una chapa de acero cuyo peso específico es ρ = (7,87 ± 0,07 ) Kgf/dm3 con una incertidumbre no mayor de 15 Kgf. Si L = (6000 ± 1) mm y a = (1500,0 ± 0,5) mm , calcular la incertidumbre experimental con que se deberá medir el espesor. 6. Se miden las dimensiones de un prisma rectangular resultando: lado A=(10,0 ± 0,1) cm, lado B=(50,0 ± 0,5) cm, y, por último, L0 = 100 cm. ¿cuál debe ser la incertidumbre experimental de L si la incertidumbre experimental del volumen, ΔV, debe ser 3500 cm3?

Lic. Claudio Naso, Lic. Andrea Mejeras, Ing. Marcos Sterzovsky

38

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL GENERAL PACHECO

SEMINARIO UNIVERSITARIO DE INGRESO ASIGNATURA FÍSICA

4. MAGNITUDES VECTORIALES 4.1-

Definición de vector

Conceptos teóricos

La matemática, como ciencia formal, trabaja con estructuras abstractas, permitiendo a las demás ciencias recurrir a ella como soporte y modelo para comprender, explicar y predecir el comportamiento de distintos fenómenos de la naturaleza. Pasa, entonces, a ser utilizada como herramienta fundamental en el estudio de, por ejemplo, fenómenos físicos. En la naturaleza hay características de los objetos, o de los fenómenos que suceden, que son medibles y otras características que no lo son. Por otra parte, muchas de las características medibles de un fenómeno no quedan correctamente establecidas sólo por el hecho de asociar a ella un valor numérico (un escalar). Hay magnitudes (ese es el nombre que reciben las características medibles) que necesitan de entes no escalares para quedar correctamente determinadas: estas son las magnitudes vectoriales o las tensoriales. Nos dedicaremos aquí a las primeras. Una magnitud vectorial necesita, para quedar correctamente determinada, ser descripta mediante un vector. Un vector es un elemento matemático que indica una dirección determinada, un sentido y un módulo (o valor numérico) que obedecen a la magnitud del fenómeno que se está queriendo describir. Cuando en el plano (o en el espacio) se indica una dirección, si bien ésta es única, puede ser descripta (o indicada) por infinitas rectas, todas ellas paralelas y equivalentes entre sí al momento de representar la dirección en cuestión. Cada dirección (o recta), dado un punto perteneciente a la misma, tiene dos sentidos de desarrollo (hacia un lado o hacia el otro) del punto. La cantidad que se considere en el avance hacia un sentido de la recta es lo que se denomina módulo. H R

S T

Las rectas denotadas como H, R, S, y T representan la misma dirección en el plano y todas ellas resultan, entonces, geométricamente equivalentes pues la dirección representada estaría siendo la horizontal (en este caso)

Lic. Claudio Naso, Lic. Andrea Mejeras, Ing. Marcos Sterzovsky

39

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL GENERAL PACHECO

SEMINARIO UNIVERSITARIO DE INGRESO ASIGNATURA FÍSICA

H R

S T

Por lo antes expresado, podríamos entonces ahora hablar del vector v que, en este caso, será horizontal hacia la derecha y de 3 unidades. Según esa descripción, podríamos graficar:

¿Alguno de los vectores anteriores no corresponde a la pauta establecida? ¿Cuál es, entonces, el vector v ? Así es que cualquiera de los vectores antes graficados podrá ser considerado como representante de un conjunto de infinitos vectores equipolentes entre sí y, por lo tanto será indistinto utilizar cualquiera de ellos al momento de necesitar establecer una magnitud mediante el vector v (un vector horizontal hacia la derecha de módulo 3).

Lic. Claudio Naso, Lic. Andrea Mejeras, Ing. Marcos Sterzovsky

40

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL GENERAL PACHECO

SEMINARIO UNIVERSITARIO DE INGRESO ASIGNATURA FÍSICA

 ¿Qué significa equipolente?

u  Construye 3 vectores equipolentes al u

 Dibuja 4 vectores equipolentes entre sí (distintos de v ). Llámalos w . ¿Cuál es el representante del conjunto?

Utilización de los vectores Cuando trabajamos con magnitudes vectoriales, lo más frecuente es que converjan en el fenómeno varios vectores (por ejemplo, todas las fuerzas que actúan sobre un objeto en un momento determinado). ¿Cómo hacemos referencia a la situación? Necesitamos, entonces, un sistema de referencia y vectores equipolentes a los actuantes asociados al sistema de referencia que estemos utilizando. Por ejemplo: un vector v de módulo 5 cuya dirección forma ángulo de 37° con la horizontal, será

v

que llevado a un sistema de coordenadas cartesianas tomado como referencia (para lo cual consideraremos un vector equipolente al dado), será: y Conviene recordar que los ángulos positivos se consideran desde la horizontal en sentido antihorario y los negativos, desde la horizontal, en sentido horario

v θ= 37°

x

Así es que el vector en cuestión puede ser expresado como:

v = (5 ; 37°), donde el primer valor es el módulo (en adelante, ρ) y el segundo valor es la dirección (en adelante, ángulo θ)

Lic. Claudio Naso, Lic. Andrea Mejeras, Ing. Marcos Sterzovsky

41

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL GENERAL PACHECO

SEMINARIO UNIVERSITARIO DE INGRESO ASIGNATURA FÍSICA

En general, expresaremos: = (ρ ; θ)

4.2-

que se denomina forma polar.

Modos de expresar un vector

Existen otros modos de referirse a un vector, modos éstos equivalentes a la forma polar. Uno de ellos es obteniendo las proyecciones del vector sobre cada uno de los ejes coordenados es decir, la proyección sobre el eje x (vx) y la proyección sobre el eje y (vy). y

ρ

vy θ

vx

x

El valor de vx surgirá, entonces, del vínculo existente entre el propio vx, el valor ρ y el ángulo θ, teniendo así: vx= ρ . cos θ y , del mismo modo, vy= ρ . sen θ

Debemos tener presente que vx y vy son valores numéricos, no vectores. ¿Cómo se llega, entonces, a expresar un vector a partir de dos valores numéricos? Para ello debemos considerar que, así como existen unidades escalares, existen también unidades vectoriales que se denominan versores. La unidad vectorial en dirección del eje x es ǐ y la correspondiente a la dirección y es ǰ. Hablar del vector

Lic. Claudio Naso, Lic. Andrea Mejeras, Ing. Marcos Sterzovsky

42

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL GENERAL PACHECO

SEMINARIO UNIVERSITARIO DE INGRESO ASIGNATURA FÍSICA

v = (ρ ; θ) será lo mismo que hablar del vector

v = vx ǐ + vy ǰ

; expresión que se denomina vector en componentes.

Utilizando los valores vx y vy obtenidos podemos también referirnos al vector como: = (vx; vy)

4.3-

; expresión que se denomina vector en coordenadas.

Operaciones con vectores

Así como los escalares (números) pueden vincularse entre sí a través de operaciones, también los vectores pueden vincularse en operatorias. SUMA Y RESTA DE VECTORES: Como lo indica el título, a un vector lo único que se le puede sumar o restar (sumar el opuesto) es otro/s vector/es (recordemos que la suma es una operación posible sólo entre elementos homólogos). -

Dados:

v= 2 ǐ + 3 ǰ

w= ǐ - 5 ǰ

u= 8 ǐ + 4ǰ

s = -3 ǐ - 7 ǰ

Vamos a obtener, por ejemplo:

v +u

El procedimiento gráfico será: y

7 vector resultante

4 3

v

¿Qué vector es éste?

u 2

8

10

Lic. Claudio Naso, Lic. Andrea Mejeras, Ing. Marcos Sterzovsky

x

43

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL GENERAL PACHECO

SEMINARIO UNIVERSITARIO DE INGRESO ASIGNATURA FÍSICA

El procedimiento algebraico, como lo habrá notado, es:

v + u = 2 ǐ + 3 ǰ + 8 ǐ + 4ǰ

R

= 2 ǐ + 8 ǐ + 3 ǰ + 4ǰ

R

= 10 ǐ + 7 ǰ Por lo tanto: los vectores se suman componente a componente

¿Cuál es el módulo y dirección del vector resultante?

-

PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR

Como un producto puede vincular elementos del mismo o distintos conjuntos, operaremos aquí entre escalares (números) y vectores. Decir

3 . a se traduce como “tres veces a”. Del mismo modo

3 . v será “tres

veces el vector v ”. Por ejemplo: 3 . v = 3. (2 ǐ + 3 ǰ) = 3.2ǐ + 3.3 ǰ

R

= 6 ǐ + 9 ǰ

*¿Qué dirección tiene el vector resultante? *¿Será ∣ R ∣ (léase “módulo de el R ”) -o simplemente R - igual a 3 . ∣ v ∣ ?

-

PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES

Conceptualmente la operatoria de producto escalar consiste en multiplicar los módulos colineales (en la misma recta) de los vectores dados como factor, y si estamos multiplicando módulos (que son escalares), la respuesta será un módulo (un escalar). Es decir:

Lic. Claudio Naso, Lic. Andrea Mejeras, Ing. Marcos Sterzovsky

44

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL GENERAL PACHECO

SEMINARIO UNIVERSITARIO DE INGRESO ASIGNATURA FÍSICA

Tenga en cuenta que α es el ángulo comprendido entre los dos vectores.

v . u = ∣ v ∣ . ∣ u ∣ . cos α

Proyección de sobre

# Nota: utilice “.” para indicar la operación “producto escalar” pues el signo “x” denota otra operación entre vectores (“producto vectorial”) que no veremos en este curso

Proyección de sobre

* ¿Qué dirección tiene el resultado?

Podría plantearse la obtención del resultado aplicando la definición clásica de multiplicación:

v . u = ( vx ǐ + vy ǰ) . (ux ǐ + uy ǰ) = vx ǐ . ux ǐ + vx ǐ . uy ǰ + vy ǰ . ux ǐ + vy ǰ . uy ǰ = vx . ux . cos 0° + vx . uy . cos 90° + vy . ux . cos 90° + vy . uy . cos 0°

v . u = vx . ux + vy . uy

#

¿Por qué?

Observe que las expresiones marcadas con “# “ son equivalentes.

-

PRODUCTO VECTORIAL DE VECTORES

En el apartado anterior vimos que al multiplicar escalarmente dos vectores, lo que interesa es la componente colineal de los módulos de ambos, siendo el resultado de la operación un escalar. En cambio, multiplicar vectorialmente dos vectores significa operar más allá del plano que los contiene. El resultado del producto vectorial de vectores es un vector que resulta perpendicular al plano que contiene a los vectores multiplicados.

x

=

Note que el “x” indica “producto vectorial”.

Lic. Claudio Naso, Lic. Andrea Mejeras, Ing. Marcos Sterzovsky

45

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL GENERAL PACHECO

SEMINARIO UNIVERSITARIO DE INGRESO ASIGNATURA FÍSICA

u

u

v

No nos detendremos en la operatoria pero es necesario saber que muchas magnitudes físicas se asocian a esta operación:

MCU

v =u x r

(velocidad tangencial = velocidad angular “vectorial” radio) Dinámica

M = r x F

(momento de una fuerza = radio “vectorial” fuerza)

Lic. Claudio Naso, Lic. Andrea Mejeras, Ing. Marcos Sterzovsky

46

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL GENERAL PACHECO

4.4-

SEMINARIO UNIVERSITARIO DE INGRESO ASIGNATURA FÍSICA

Cuestiones, ejercicios y problemas

1. Para los siguientes vectores se pide graficarlos en un sistema de coordenadas y expresarlos en los otros 2 modos. f. =6 ǐ - 8 ǰ a. v = (5; 37°) b. v = (10; 53°)

g.

= -9 ǐ - 12 ǰ

c.

v = (15; 45°)

h.

= (5; 16)

d. v = (5; 120°)

i.

= (-8; -6)

e. v = 4 ǐ + 3 ǰ 2. Escribe y grafica en un sistema de coordenadas un vector equipolente a cada uno de los dados cuyo origen, en lugar de (0;0), sea el punto (2;3). Anota, además, cómo procediste y porqué. ¿Por qué? 3. Sean los vectores v = (5: 53°), s = (10; 37°), u = (1; 45°), w = (4; 30°); Grafique los vectores y expréselos en componentes.

4. Obtenga el vector resultante asociado a cada operación. Luego exprese módulo y

dirección y grafique toda la operación (recuerde que los vectores son los dados en el ejercicio anterior). a.

+

=

c.

+

-

e. -( +

= )–(

; b.

- =

; d.

-( +

)+ =

+ )=

5. Utilizando los vectores v ; s ; u ; w definidos anteriormente, obtenga el resultado de las siguientes operaciones: a) 4 .

=

; b) ½ .

=

c) -3 .

d)

–½

+3

=

; e) – 2 (

+ )=

6. Realiza las operaciones a, b y c del ítem anterior pero utilizando los vectores definidos en el ejercicio 2. Resuelva gráficamente. 7. Utilizando los vectores del ejercicio 3, obtenga el resultado de: a) w . u =

; b) s . w =

c) – ½ w . 3 s =

; d)

u. s =

Lic. Claudio Naso, Lic. Andrea Mejeras, Ing. Marcos Sterzovsky

47

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL GENERAL PACHECO

5.

SEMINARIO UNIVERSITARIO DE INGRESO ASIGNATURA FÍSICA

ESTÁTICA

La estática es el estudio de los cuerpos sólidos en equilibrio. Se basa en dos principios llamados “condiciones de equilibrio” Para poder estudiarla, necesitamos tener presente que las magnitudes involucradas son de naturaleza vectorial y, como viéramos en el capítulo anterior, los entes matemáticos necesarios para definir este tipo de magnitudes son los vectores cuyos elementos, como expresáramos anteriormente, son:

Ejemplo 1: Representar gráficamente una fuerza que tiene un módulo de 50N, una dirección y sentido que forman 30º con la horizontal y cuyo punto de aplicación es un cuerpo cualquiera. Escala: 10 N/1cm F=50 N.

Los ángulos, por convención, siempre se miden desde la horizontal en sentido antihorario La unidad de fuerza del sistema internacional es el Newton (N).

Lic. Claudio Naso, Lic. Andrea Mejeras, Ing. Marcos Sterzovsky

48

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL GENERAL PACHECO

SEMINARIO UNIVERSITARIO DE INGRESO ASIGNATURA FÍSICA

5.1- Concepto de Fuerza Tenemos una idea intuitiva de lo que es una fuerza. Para poner algo en movimiento debemos aplicarle una fuerza. Para detener algo que se mueve también debemos aplicarle una fuerza. Es decir, una fuerza es el ente físico capaz de producir o modificar un movimiento. La fuerza es una magnitud que permite medir "algo", pero ¿qué es ese "algo"? Obsérvese que siempre que aparece una fuerza es como consecuencia de una interacción entre dos cuerpos: Si quiero desplazar un ladrillo que se encuentra sobre una mesa, podría empujarlo con mi mano, pues bien, aquí esta lo que llamamos interacción mano-ladrillo. Si quiero estirar un resorte que se encuentra colgado de un soporte, puedo tirar de él con mi mano, nuevamente aquí tenemos una interacción, en este caso mano-resorte. Pero también puedo colgar el ladrillo del resorte y este se estirará. Aquí la interacción es ladrillo-resorte (También hay una interacción entre la tierra y el cuerpo debido a que la tierra y el cuerpo se atraen). Las interacciones pueden ser más o menos intensas. Pues bien, una fuerza no es otra cosa que una magnitud que permite medir la intensidad de la interacción entre dos cuerpos. Está claro que se puede decir interacción mano-ladrillo, pero también se puede decir interacción ladrillo-mano, pues si bien la mano empuja al ladrillo provocando que se desplace, el ladrillo empuja a la mano provocando que las yemas de los dedos se aplasten. Unidades: En el Sistema Internacional de Unidades (S.I.), la fuerza se mide en una unidad denominada Newton y se indica con la letra N

F   N(newton)   Aprendamos algo importante, cuando escribimos la letra que representa una magnitud entre corchetes, significa que estamos hablando de la unidad con que se mide dicha magnitud.

Lic. Claudio Naso, Lic. Andrea Mejeras, Ing. Marcos Sterzovsky

49

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL GENERAL PACHECO

5.2-

SEMINARIO UNIVERSITARIO DE INGRESO ASIGNATURA FÍSICA

Aproximación a las Leyes de Newton: principio de acción y reacción

5.2.1- Principio de Interacción de Newton (principio de acción y reacción): Si un cuerpo aplica una fuerza sobre otro (acción), el segundo cuerpo aplicará al primero otra fuerza con el mismo módulo y dirección pero de sentido contrario (reacción).

Fuerzas de acción y reacción 5.2.2- Peso de un cuerpo El peso de un cuerpo aparece como consecuencia de la interacción del planeta tierra con el cuerpo y es la fuerza con que el planeta atrae al cuerpo. Es muy importante entender que si la tierra atrae al cuerpo, entonces el cuerpo atrae a la tierra con otra fuerza igual a su peso, pero de sentido contrario. Ahora podemos tener cierta idea de la intensidad de una fuerza de 1 N. Podemos decir que 1 N es aproximadamente lo que pesan de 102 gramos de masa. 5.2.3- Interacciones por contacto y a distancia Cuando dos cuerpos interaccionan tocándose, como los ejemplos de la mano y el ladrillo o de la mano y el resorte, se dice que la interacción es por contacto. Cuando interaccionan sin tocarse, como por ejemplo es el caso del cuerpo y la tierra, o el de un imán con un trozo de hierro, o las cargas eléctricas, diremos que se trata de una interacción a distancia.

Lic. Claudio Naso, Lic. Andrea Mejeras, Ing. Marcos Sterzovsky

50

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL GENERAL PACHECO

5.3-

SEMINARIO UNIVERSITARIO DE INGRESO ASIGNATURA FÍSICA

Sumatoria de Fuerzas

5.3.1- Composición de fuerzas Normalmente sobre los cuerpos no actúa una fuerza aislada, es común que haya varias fuerzas aplicadas y para poder estudiar el efecto que producen es necesario sumarlas. Si embargo, la suma de vectores no se hace de la misma manera que la de escalares (números con unidad). Al resultado de la suma de vectores se lo llama vector resultante, o simplemente resultante. La resultante es una sola fuerza que, aplicada sobre el cuerpo, provocaría el mismo efecto que todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo juntas. Para hallar la resultante existen métodos gráficos y analíticos. Los métodos gráficos, como su nombre lo indica, son a través de dibujos en escala. Los analíticos son a través de cálculos matemáticos. Nosotros aprenderemos, en primer lugar, algunos métodos gráficos y luego el método analítico denominado diagrama de cuerpo libre. 5.3.2- Fuerzas concurrentes: Se denominan fuerzas concurrentes a aquellas fuerzas que actúan sobre un cuerpo y sus direcciones se cruzan entre si, de manera que todos los puntos de aplicación se pueden trasladar a un mismo punto. Por ejemplo, las sogas que sostienen a un cuerpo colgado de una viga como el de la figura:

Observen que sobre el cuerpo hay tres fuerzas aplicadas, las que hacen las sogas a las que llamaremos F1 y F2 y el peso P . Estas fuerzas pueden representarse con tres vectores de la siguiente manera:

Lic. Claudio Naso, Lic. Andrea Mejeras, Ing. Marcos Sterzovsky

51

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL GENERAL PACHECO

SEMINARIO UNIVERSITARIO DE INGRESO ASIGNATURA FÍSICA

Por supuesto que, si conocemos cuanto valen sus módulos, habrá que dibujarlas en escala (para todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo se debe usar la misma escala). 5.3.3- Composición de fuerzas concurrentes, Método del polígono: Para hallar la resultante de dos o más fuerzas concurrentes puede utilizarse este método que consiste en dibujar una fuerza a continuación de otra, en escala y manteniendo cada una su dirección y sentido. Veamos un ejemplo para dos fuerzas aplicadas sobre un cuerpo que forman un ángulo de 60º entre sí y cuyos módulos son 50 N y 80 N como indica la figura:

Fig. 1 Trasladaremos el vector F1 de manera que su origen quede en el extremo del vector F2 . Luego el vector fuerza resultante se obtiene trazando un vector desde el origen del primero hasta el extremo del segundo. En este caso el polígono es un triángulo. Veamos:

Fig. 2 Aquí podemos ver el tamaño y la dirección del vector resultante. Midiendo el ángulo con el transportador podemos anotar la dirección y sentido y midiendo la longitud y aplicándole la escala utilizada, obtenemos el módulo. En este caso: α =38º

y R =11,4 N

Es importante entender que físicamente la resultante es una fuerza que causaría el mismo efecto que las fuerzas F1 y F2 juntas. También deben tener en cuenta que el módulo de la resultante es menor a la suma de los módulos de cada fuerza componente. Es decir que sumar vectores no es lo

Lic. Claudio Naso, Lic. Andrea Mejeras, Ing. Marcos Sterzovsky

52

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL GENERAL PACHECO

SEMINARIO UNIVERSITARIO DE INGRESO ASIGNATURA FÍSICA

mismo que sumar escalares, pues el resultado de la suma de vectores no solo depende de los módulos sino también de las direcciones que los vectores tienen. Observen que la suma de fuerzas será máxima si los vectores tienen la misma dirección y sentido y mínima si tienen igual dirección y sentido contrario. En el ejemplo anterior si F1 y F2 tienen la misma dirección y sentido se dice que las fuerzas son colineales y tendríamos:

Fig. 3 Donde R = F1 + F2 = 130 N. Es decir se suman los módulos.

Si F1 y F2 tienen la misma dirección y sentido contrario, también son colineales pero de sentido contrario y tendríamos:

Fig. 4

Donde R = F1 - F2 = - 30 N, se restan los módulos. El signo negativo me indica que la resultante se encuentra dirigida hacia la izquierda. Se restan los módulos.

Si las fuerzas formaran 90º entre si, para calcular el módulo de la resultante se puede aplicar el conocido teorema de Pitágoras:

Fig. 5

F1 y F2 son catetos y R es la hipotenusa, por lo tanto:

Lic. Claudio Naso, Lic. Andrea Mejeras, Ing. Marcos Sterzovsky

53

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL GENERAL PACHECO 2

2

2

SEMINARIO UNIVERSITARIO DE INGRESO ASIGNATURA FÍSICA 2

R  F1  F2  R  F1  F2

2

R  (50N)2  (80N)2  8900N2  94,3N El ángulo que forma la resultante con la horizontal puede calcularse a partir de la definición de tangente:

tg  =

F2 80N 8 = = F1 50N 5

 =arc tg

8  58º 5

Si en lugar de dos tenemos tres o más fuerzas, procedemos de la misma manera que con dos, es decir, se dibujan en la misma escala un vector a continuación del otro manteniendo su dirección y sentido. Por ejemplo si hay tres fuerzas aplicadas sobre un cuerpo:

F1 = (60 N ; 0º) F2 = (40 N ; 45º) Fig. 6

F3 = (50 N ; 80º)

Hallamos la resultante de la siguiente manera:

Fig. 7 Midiendo el ángulo y la longitud, le aplicamos la escala y nos da:

R = 128 N , α =39º

Lic. Claudio Naso, Lic. Andrea Mejeras, Ing. Marcos Sterzovsky

54

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL GENERAL PACHECO

SEMINARIO UNIVERSITARIO DE INGRESO ASIGNATURA FÍSICA

5.3.5- Primera condición de equilibrio Para que un cuerpo se encuentre en equilibrio, la suma vectorial de las fuerzas que sobre él actúan debe ser igual a cero. En símbolos matemáticos se expresa así:

F=0 Esta condición garantiza el equilibrio del cuerpo en cuanto a la traslación. 5.3.6- Equilibrante de un sistema de fuerzas: La equilibrante de un sistema de fuerzas, es una fuerza que se agrega a un sistema para ponerlo en equilibrio, es decir, es una fuerza que al sumarla a las actuantes hace que la suma vectorial de cero. Es fácil de hallar ya que es una fuerza igual a la resultante en modulo y dirección pero de sentido contrario. Por esa razón, para hallarla, solo basta con hallar la equilibrante para luego dibujar otra fuerza igual pero de sentido contrario.

Veamos, para el ejemplo de la figura 1, la equilibrante será:

Fig. 8 Por lo tanto, para que el cuerpo quede en equilibrio se tendrá:

Lic. Claudio Naso, Lic. Andrea Mejeras, Ing. Marcos Sterzovsky

55

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL GENERAL PACHECO

SEMINARIO UNIVERSITARIO DE INGRESO ASIGNATURA FÍSICA

Fig. 9

Donde el módulo de E =11,4 N y α =38º+180º=218º Observen que para indicar el sentido de la equilibrante, hay que sumarle 180º al ángulo de la resultante. En el ejemplo correspondiente a la figura 6, queda:

Fig. 10

Lic. Claudio Naso, Lic. Andrea Mejeras, Ing. Marcos Sterzovsky

56

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL GENERAL PACHECO

SEMINARIO UNIVERSITARIO DE INGRESO ASIGNATURA FÍSICA

E = 128 N ; α =180º+39º = 219º

5.3.7- Descomposición de una fuerza en dos direcciones

Toda fuerza puede descomponerse en dos que tengan diferentes direcciones, es decir pueden hallarse dos fuerzas que provoquen el mismo efecto que la primera. Esto se logra a partir del conocimiento de las direcciones en las que se desea descomponer, aplicando un método denominado método del paralelogramo. Supongamos que tenemos una fuerza de 50 N aplicada a un cuerpo como se ve en la figura 11 y queremos descomponerla en las dos direcciones indicadas:

Fig. 11 Lo que debemos hacer, dibujar el vector que la representa en una escala apropiada y trazar desde el extremo del vector, dos líneas paralelas a las direcciones indicadas hasta cortarlas formando un paralelogramo. Estas intersecciones nos indican la medida de las dos componentes. Entonces las dibujamos y midiéndolas les aplicamos la escala para conocer sus módulos.

Lic. Claudio Naso, Lic. Andrea Mejeras, Ing. Marcos Sterzovsky

57

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL GENERAL PACHECO

SEMINARIO UNIVERSITARIO DE INGRESO ASIGNATURA FÍSICA

Fig. 12

F1 = 57,7 N

F2 = 29,3 N

Observación: El método del paralelogramo puede utilizarse también para sumar dos o más fuerzas

Veamos cómo se aplicaría este método para el mismo ejemplo en el que lo hicimos antes con el método del polígono. Se trata de dos fuerzas aplicadas sobre un cuerpo que forman un ángulo de 60º entre sí y cuyos módulos son 50 N y 80 N como indica la figura: F 1= (50N ; 0º) F 2= (80N ; 60º)

Escala: 20N/1cm Esto significa que cada centímetro de dibujo representa 20 N. Por lo tanto el vector F 1 medirá 2,5 cm y el F 2 medirá 4 cm

Fig. 1

Dibujamos las fuerzas en escala y por el extremo de F 1 trazamos una recta en línea punteada paralela a F 2. Luego, por el extremo de F 2 Trazamos otra recta punteada paralela a F 1. De esta forma nos quedó representada la figura de un paralelogramo.

Lic. Claudio Naso, Lic. Andrea Mejeras, Ing. Marcos Sterzovsky

58

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL GENERAL PACHECO

SEMINARIO UNIVERSITARIO DE INGRESO ASIGNATURA FÍSICA

El vector fuerza resultante se obtiene trazando un vector sobre la diagonal desde el origen de las fuerzas hasta el vértice opuesto determinado por el paralelogramo. Veamos:

Fig. 2

Aquí podemos ver el tamaño y la dirección del vector resultante. Midiendo el ángulo con el transportador podemos anotar la dirección y sentido y midiendo la longitud y multiplicándolo por la escala utilizada obtenemos el módulo. En este caso: 38º

y R=114 N

5.3.8- Método analítico: Diagrama de cuerpo libre: Como pudimos ver en el método del paralelogramo, una fuerza puede ser descompuesta en dos direcciones. Esto hacemos cuando aplicamos el método denominado diagrama de cuerpo libre. Veamos un ejemplo: Supongamos que varias fuerzas actúan sobre un cuerpo de modo que permanece en equilibrio, como indica la figura.

Colocaremos el cuerpo sobre un sistema de coordenadas y descompondremos toda fuerza que no se encuentre sobre los ejes coordenados, hallando una componente en el eje X y otra en el eje Y. En este caso y debido al sistema adoptado la única fuerza que habrá que descomponer es F1 . La ecuación a aplicar es:

F = 0

Lic. Claudio Naso, Lic. Andrea Mejeras, Ing. Marcos Sterzovsky

59

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL GENERAL PACHECO

SEMINARIO UNIVERSITARIO DE INGRESO ASIGNATURA FÍSICA

Y las componentes de F1 en los ejes, las podremos calcular aplicando las definiciones trigonométricas de seno y coseno son:

F1x = F1 . cos  F1y = F1 . sen  Ahora podemos trabajar con cada eje en forma independiente haciendo una suma de fuerzas colineales para cada eje, que, como hemos discutido anteriormente, se transforma en una suma o resta de módulos. Eje X:

 Fx = 0 F1x - F3 = 0 F1 . cos  - F3 = 0

Obsérvese que F3 resta porque se encuentra según el sentido negativo del el eje X Eje Y:

 Fy = 0 F1y - F2 = 0 F1 . sen  - F2 = 0

Como en el caso anterior, F2 resta porque su sentido es coincidente con el sentido de las “Y” negativas

Lic. Claudio Naso, Lic. Andrea Mejeras, Ing. Marcos Sterzovsky

60

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL GENERAL PACHECO

SEMINARIO UNIVERSITARIO DE INGRESO ASIGNATURA FÍSICA

Ejemplo 1: Un bloque que pesa 200 N se encuentra suspendido por medio de dos hilos que están atados uno al techo y otro a la pared como indica la figura. Calcular la fuerza que soporta cada hilo (tensión de cada hilo)

Colocaremos el cuerpo sobre un sistema de coordenadas y descompondremos toda fuerza que no se encuentre sobre los ejes coordenados, hallando una componente en el eje X y otra en el eje Y. En este caso la única fuerza que habrá que descomponer es T1 . La ecuación a aplicar nuevamente es ya que el cuerpo se encuentra en equilibrio:

F = 0

Y las componentes de T1 en los ejes, las podremos calcular aplicando las definiciones trigonométricas de seno y coseno son:

T1x = T1 . cos  T1y = T1 . sen 

Trabajamos con cada eje en forma independiente y nos queda

Lic. Claudio Naso, Lic. Andrea Mejeras, Ing. Marcos Sterzovsky

61

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL GENERAL PACHECO

SEMINARIO UNIVERSITARIO DE INGRESO ASIGNATURA FÍSICA

Eje X:

 Fx = 0 T1x - T2 = 0 T1 . cos - T2 = 0 (1) Obsérvese que T2 resta porque se encuentra según el sentido negativo del el eje X

Eje Y:

 Fy = 0 T1y - P =0 T1 . sen - P =0 (2)

Como en el caso anterior, P resta porque su sentido es coincidente con el sentido de las “Y” negativas Para calcular las tensiones, habrá que resolver el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. Despejamos T1 de la segunda ecuación:

T1 

P sen 



200N  400N sen 30º

Despejamos T2 de la primera ecuación y calculamos su valor ahora que conocemos el valor de T1

T2  T1 . cos   400N  cos 30º=346,4 N

Lic. Claudio Naso, Lic. Andrea Mejeras, Ing. Marcos Sterzovsky

62

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL GENERAL PACHECO

5.4-

SEMINARIO UNIVERSITARIO DE INGRESO ASIGNATURA FÍSICA

Momento de una fuerza y sumatoria de momentos

5.4.1- Momento de una fuerza Tengamos en cuenta que cuando aplicamos una fuerza a un cuerpo, además de un movimiento de traslación podemos provocar un movimiento de rotación. Por ejemplo, si aplicamos una fuerza sobre la manija de una puerta podemos hacer que rote sobre el eje de las bisagras. Si la aplicamos en el extremo de una llave inglesa, podemos hacer que la tuerca rote entorno al tornillo. Todos sabemos que si la longitud de la llave as mayor, será más fácil apretar o aflojar la tuerca. Pero ¿por qué?: La respuesta está en el estudio de una magnitud física llamada Momento. Justamente las estática también estudia el “momento de las fuerzas”, en la definición de esta magnitud, están involucradas tanto la fuerza que se aplica a un cuerpo como la distancia que la separa del eje de rotación.

5.4.2- Definición de Momento (módulo) El momento de una fuerza F respecto de un punto de rotación “o” es una magnitud vectorial cuyo módulo es igual al producto del módulo de la fuerza aplicada a un cuerpo por la distancia más corta medida desde la recta de acción de la fuerza hasta el punto “o”.

MF,o  F  d

Observen que la distancia que se debe tomar para calcular el momento es la más corta, es decir, la perpendicular a la recta de acción de la fuerza que pasa por el punto “o”

Lic. Claudio Naso, Lic. Andrea Mejeras, Ing. Marcos Sterzovsky

63

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL GENERAL PACHECO

SEMINARIO UNIVERSITARIO DE INGRESO ASIGNATURA FÍSICA

Si la fuerza no es perpendicular a la barra, la distancia es la que se muestra en los siguientes casos:

Si definimos el vector r como un vector que va desde el centro “o” hasta el punto donde se aplica la fuerza, podremos definir el momento con la siguiente expresión:

MF,o  F  r  sen

Queda claro que el momento de una fuerza aplicada a una barra rígida será máximo cuando la dirección de la fuerza sea perpendicular a la barra y será cero si la fuerza se encuentra en una dirección que pasa por el punto “o” ya que la distancia que la separa de dicho punto será nula.

Observaciones: 1- Si bien, para explicar el concepto hemos calculado el momento respecto del punto de rotación, el momento de una fuerza puede calcularse con respecto a cualquier punto. 2- Existe una operación matemática denominada “producto vectorial” que se adapta perfectamente para describir todas las características del momento.

MF,o  r  F El resultado de este producto es un vector normal al plano determinado por los vectores

r y F y el sentido cumple la regla del tornillo.

Lic. Claudio Naso, Lic. Andrea Mejeras, Ing. Marcos Sterzovsky

64

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL GENERAL PACHECO

SEMINARIO UNIVERSITARIO DE INGRESO ASIGNATURA FÍSICA

Y su módulo justamente es

MF,o  F  r  sen

3- Si bien, el Momento de una fuerza es un vector, por ahora, lo trabajaremos como un escalar con signo, es decir, calcularemos su módulo y utilizaremos un signo para indicar el sentido en que provocaría la rotación. 4- Al momento de una fuerza también se lo llama “Torque” de allí deriva la palabra “tuerca” Unidades: En el sistema internacional de unidades la fuerza se mide en Newton (N) y la distancia en metros (m) por lo tanto la unidad de momento será:

M   N  m 5.4.3- Signo del momento: Debido a la definición necesitamos una convención para distinguir al momento que produce el giro en un sentido del que lo produce en sentido contrario. La convención será la siguiente: Diremos que el momento que provoque una rotación en el sentido de giro de las agujas del reloj es negativo. Por lo tanto si provoca un giro en el sentido contrario al que rotan las agujas del reloj el momento es positivo.

Lic. Claudio Naso, Lic. Andrea Mejeras, Ing. Marcos Sterzovsky

65

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL GENERAL PACHECO

SEMINARIO UNIVERSITARIO DE INGRESO ASIGNATURA FÍSICA

5.4.4- Segunda condición de equilibrio: Para que un cuerpo se encuentre en equilibrio la suma de los momentos de todas las fuerzas que sobre él actúan, tomados con respecto a un mismo punto, debe ser igual a cero.

M

F ,o

0

Ejemplo 2: Supongamos que tenemos una barra rígida como la de la figura que puede girar alrededor de un eje “o” y se le aplica del lado izquierdo una fuerza F 1= 50 N a una distancia de 2 m respecto del eje, a la que llamaremos d1. ¿Qué fuerza F2 habrá que aplicar a 0.5 m a la derecha del eje (d2) para ponerla en equilibrio?

Para resolver esta cuestión aplicaremos la segunda condición de equilibrio:

M

F ,o

0

M F1,o  M F2 ,o  0

Lic. Claudio Naso, Lic. Andrea Mejeras, Ing. Marcos Sterzovsky

66

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL GENERAL PACHECO

SEMINARIO UNIVERSITARIO DE INGRESO ASIGNATURA FÍSICA

Observen que el momento producido por la fuerza 2 es negativo porque haría que la barra gire a favor de las agujas del reloj. Esto hace que la suma se transforma en una resta. Por lo tanto, si pasamos uno de los términos al otro lado de la igualdad nos queda:

M F1,o  M F2 ,o Expresamos ahora cada momento:

F1  d1  F2  d2 Si despejamos F2 llegamos a la siguiente expresión:

F2 

F1  d1 50N  2 m  ´ 200N d2 0,5 m

Claramente podemos ver que la fuerza que está más cerca del eje tiene que ser más grande para provocar el mismo momento.

Está claro que para que un cuerpo esté en equilibrio deben cumplirse las dos condiciones estudiadas:

F  0 2)  M  0

1)

F ,o

En el caso del ejemplo estudiado, debemos tener en cuenta que hay una fuerza más actuando sobre la barra, producida por el eje que la soporta. En el dibujo se representa por F3.

Lic. Claudio Naso, Lic. Andrea Mejeras, Ing. Marcos Sterzovsky

67

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL GENERAL PACHECO

SEMINARIO UNIVERSITARIO DE INGRESO ASIGNATURA FÍSICA

Si bien esta fuerza actúa sobre la barra, no provoca momento respecto de “o” ya que su dirección pasa por el punto. Para obtener el valor de F3 Aplicamos la primera condición de equilibrio:

F  0  F  F  F  0 3

1

2

F1 y F2 restan a F3 porque tienen sentido contrario. Despejando:

F3  F1  F2  50N  200N  250N

5.5-

Máquinas simples

Las máquinas simples son dispositivos mecánicos sencillos que facilitan la realización de un trabajo. Algunas de ellas son: Las palancas, las poleas y aparejos, el torno, el plano inclinado, el tornillo, etc. 5.5.1- Las Palancas: Una Palanca es una barra rígida que puede girar alrededor de un punto denominado punto de apoyo. Las propiedades de la palanca fueron descubiertas por un famoso sabio griego llamado Arquímedes que vivió en el siglo II A.C. Refiriéndose a la palanca pronunció una famosa frase: “Denme un punto de apoyo y moveré la tierra”.

Claro está que además del punto de apoyo, necesitaría una barra rígida lo suficientemente larga y fuerte.

Lic. Claudio Naso, Lic. Andrea Mejeras, Ing. Marcos Sterzovsky

68

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL GENERAL PACHECO

SEMINARIO UNIVERSITARIO DE INGRESO ASIGNATURA FÍSICA

Las Palancas se clasifican en tres géneros, de acuerdo a cómo se ubiquen el punto de apoyo y las fuerzas que se le aplican. 5.5.1.1- Palanca de primer genero En ésta palanca, el punto de apoyo se encuentra entre la fuerza que la acciona y el cuerpo que se pretende levantar o la fuerza que se pretende vencer. Se representa en la siguiente figura:

Como vimos en el ejemplo 2, la condición de equilibrio para esta palanca será:

F  d1  P  d2

Observen que en esta palanca la fuerza aplicada podrá ser mayor o menor que la fuerza a vencer, dependiendo de las distancias al punto de apoyo. Son ejemplos de estas palancas los siguientes:

Lic. Claudio Naso, Lic. Andrea Mejeras, Ing. Marcos Sterzovsky

69

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL GENERAL PACHECO

SEMINARIO UNIVERSITARIO DE INGRESO ASIGNATURA FÍSICA

5.5.1.2- Palanca de segundo género En éste caso, el punto de apoyo se encuentra en un extremo de la barra, en el otro extremo se aplica la fuerza que la acciona y el cuerpo que se pretende levantar o fuerza que se pretende vencer esta entre ellos. Se representa en la siguiente figura:

La condición de equilibrio siempre será:

F  d1  P  d2

Observen que en esta palanca la fuerza aplicada siempre será menor que la fuerza a vencer, pues la distancia de la primera al punto de apoyo, siempre será mayor que la de la segunda. Son ejemplos de estas palancas los siguientes:

Lic. Claudio Naso, Lic. Andrea Mejeras, Ing. Marcos Sterzovsky

70

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL GENERAL PACHECO

SEMINARIO UNIVERSITARIO DE INGRESO ASIGNATURA FÍSICA

5.5.1.3- Palanca de tercer género En ésta palanca el punto de apoyo se encuentra en un extremo de la barra, en el otro extremo, el cuerpo que se pretende levantar o fuerza que se pretende vencer y la fuerza que la acciona se aplica entre ellos. Se representa en la siguiente figura:

La condición de equilibrio nuevamente será:

F  d1  P  d2 En este tipo de palancas podemos observar que la fuerza aplicada siempre será mayor que la fuerza a vencer, pues la distancia d1, siempre será menor que la distancia d2 . Son ejemplos de estas palancas los siguientes:

5.5.1.4- Palancas compuestas Por supuesto que muchos dispositivos tienen varias palancas actuando simultáneamente. Decimos que se trata de palancas compuestas, por ejemplo:

Lic. Claudio Naso, Lic. Andrea Mejeras, Ing. Marcos Sterzovsky

71

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL GENERAL PACHECO

SEMINARIO UNIVERSITARIO DE INGRESO ASIGNATURA FÍSICA

Alicate de uñas

5.5.2- Poleas: Una polea es una rueda que puede girar alrededor de su eje y que tiene una canaleta en su perímetro por la cual pasa una soga. Si el eje no se desplaza se denomina polea fija y si se desplaza se denomina polea móvil. 5.5.2.1- Polea fija: Esta máquina se representa en la siguiente figura:

Como se puede ver en la figura de la derecha, la polea fija, se asemeja a una palanca de primer género cuyo punto de apoyo está en el eje siendo los brazos de palanca iguales. Se puede aplicar entonces la ley de la palanca:

F  d1  P  d2 F  r  P r Cancelando “r” nos queda Lic. Claudio Naso, Lic. Andrea Mejeras, Ing. Marcos Sterzovsky

72

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL GENERAL PACHECO

SEMINARIO UNIVERSITARIO DE INGRESO ASIGNATURA FÍSICA

FP Podemos observar que esta polea no aumenta ni reduce la fuerza aplicada. Solo sirve para cambiar la dirección de la fuerza aplicada, lo que en ocasiones es muy útil. Si se desea levantar una carga, siempre es más cómodo tirar para abajo que para arriba.

5.5.2.2- Polea móvil: En este caso, el eje de la polea se desplaza como se puede ver en la figura:

En este caso la polea móvil (la de abajo) se encuentra complementada por una polea fija, que permite tirar hacia abajo haciendo su funcionamiento más cómodo. Esta polea se asemeja a una palanca de segundo género, pues el punto de apoyo está en un extremo (donde el hilo se encuentra fijo al techo) y uno de los brazos de palanca es r y el otro 2r Aplicando la condición de equilibrio nos queda:

F  d1  P  d2 F  2r  P r Cancelando “r”

F

P 2

Lic. Claudio Naso, Lic. Andrea Mejeras, Ing. Marcos Sterzovsky

73

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL GENERAL PACHECO

SEMINARIO UNIVERSITARIO DE INGRESO ASIGNATURA FÍSICA

Podemos ver que esta polea duplica la fuerza aplicada, sin embargo es importante comprender que para elevar un cuerpo hasta una cierta altura, habrá que tirar de la soga el doble de longitud. Es decir, para que el cuerpo suba un metro habrá que tirar dos metros de soga. Esta es una propiedad muy importante que se aplica a todas las máquinas simples: “Lo que se gana en fuerza se pierde en recorrido”.

Aparejos: Los aparejos son conjuntos de poleas fijas y móviles. 5.5.2.3- Aparejo Factorial: En este caso, podemos ver que se tienen 5 poleas móviles y 5 fijas. Si bien hay una sola soga enrollada, funciona como si el cuerpo que se quiere levantar estuviera colgado de seis sogas. Como nosotros tiramos de un extremo, el peso se reparte en diez. La forma de calcular la fuerza aplicada es la siguiente:

F

P 2 n

Siendo n el número de poleas móviles. En el caso del dibujo hay 5 móviles por lo tanto:

F

P P  2  5 10

Se denomina factorial pues para calcular la fuerza, el denominador de la expresión se multiplica por el “factor n”

Lic. Claudio Naso, Lic. Andrea Mejeras, Ing. Marcos Sterzovsky

74

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL GENERAL PACHECO

SEMINARIO UNIVERSITARIO DE INGRESO ASIGNATURA FÍSICA

5.5.2.4- Aparejo potencial: Este aparejo, tiene 2 o más poleas móviles (en el caso del dibujo 3) y una fija. Cada polea móvil reduce a la mitad la fuerza que hace la siguiente. La primera divide al peso por dos, la siguiente reduce la fuerza a la mitad, es decir al peso por cuatro, la siguiente por ocho y así sucesivamente. 2, 4, 8, son potencias de 2. Por esa razón se llama aparejo potencial. La forma de calcular la fuerza aplicada es la siguiente:

F

P 2n

Siendo n el número de poleas móviles. En el caso del dibujo hay 3 móviles por lo tanto:

F

P P  23 8

5.5.3- T o r n o: El torno es una máquina simple, constituida por un cilindro de radio (r), que gira sobre un eje, por medio de una manivela de longitud (d), a la cual se le aplica una fuerza (F), que hace enrollar la cuerda en el cilindro subiendo la carga (P) sostenida en el otro extremo. Este tipo de máquinas simples se emplea generalmente para sacar agua de los pozos o arrastrar cuerpos a lo largo de un recorrido.

Lic. Claudio Naso, Lic. Andrea Mejeras, Ing. Marcos Sterzovsky

75

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL GENERAL PACHECO

SEMINARIO UNIVERSITARIO DE INGRESO ASIGNATURA FÍSICA

Funciona como una palanca de primer género:

Por lo tanto:

F  d  P r

F

Pr d

Es claro que cuanto mayor sea la longitud de la manivela en relación con el radio del cilindro, menos fuerza habrá que aplicar para poner en equilibrio el peso. Una variante interesante el torno es el compuesto por dos cilindros unidos que tienen diferente radio. El equilibrio viene dado por:

F1  r  F2  R Una aplicación muy conocida de este dispositivo es la persiana de enrollar. Rn el cilindro de menor radio se enrolla la persiana y en el más grande la cinta con la cual se levanta o se baja. 5.5.4- Plano Inclinado: Un plano inclinado es una porción de suelo que forma un cierto ángulo con la º. El plano inclinado es una máquina simple porque permite reducir la fuerza que es necesario realizar para elevar o descender un peso.

Lic. Claudio Naso, Lic. Andrea Mejeras, Ing. Marcos Sterzovsky

76

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL GENERAL PACHECO

SEMINARIO UNIVERSITARIO DE INGRESO ASIGNATURA FÍSICA

Para poder estudiarlo, debemos descomponer la fuerza peso P en dos direcciones. Una paralela al plano que llamaremos Px y otra en la dirección perpendicular al plan que llamaremos Py. Esta última componente es equilibrada por la reacción del plano de apoyo que llamamos N. La componente Px hará que el cuerpo descienda por el plano. Si queremos ponerlo en equilibrio, tendremos que aplicar una fuerza igual pero de sentido contrario “F”, para lograr que la suma de las fuerzas de cero.

Aplicando proporcionalidad de triángulos y llamando L a la longitud del plano y h a su altura, nos queda que:

F P  h L Por lo tanto:

F

Ph  P  sen  L

Cuanto mayor sea la longitud del plano en relación con su altura, menor será la fuerza necesaria para poner al cuerpo en equilibrio.

Lic. Claudio Naso, Lic. Andrea Mejeras, Ing. Marcos Sterzovsky

77

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL GENERAL PACHECO

SEMINARIO UNIVERSITARIO DE INGRESO ASIGNATURA FÍSICA

Ejemplo: Un plano inclinado tiene un torno en su parte superior como indica la figura. Calcular la fuerza que habrá que aplicar en dirección perpendicular a la manija del torno para que permanezca en equilibrio.

Solución: Teniendo en cuenta los datos del problema, primero calcularemos la tuerza que debe hacer la soga para equilibrar al bloque aplicando la ecuación de equilibrio que deducimos para el plano inclinado. La llamaremos T

T

P  h 3000N  3 m   1800N L 5m

Esta fuerza será la que hará la soga sobre el cilindro del torno. Por lo tanto aplicando la condición de equilibrio para el torno tenemos:

F d T r

F

T  r 1800N 12cm   270N d 80cm

Sobre la manija del torno habrá que aplicar 270 N de fuerza.

5.6- Centro de Gravedad de un cuerpo Es el punto del cuerpo donde se encuentra aplicada la fuerza peso. En los cuerpos geométricamente regulares y homogéneos coincide con el centro geométrico. Lo indicaremos con la letra G:

Lic. Claudio Naso, Lic. Andrea Mejeras, Ing. Marcos Sterzovsky

78

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL GENERAL PACHECO

SEMINARIO UNIVERSITARIO DE INGRESO ASIGNATURA FÍSICA

Si el cuerpo no es regular, el centro de gravedad debe obtenerse experimentalmente. Una forma de obtenerlo es utilizando una plomada.

5.6.1- Estabilidad de los cuerpos Todos podemos ver que los cuerpos que nos rodean buscan naturalmente el equilibrio. Una silla, una mesa, una pelota, etc. Permanecerán en equilibrio hasta que alguna fuerza o momento lo saquen de él. Sin embargo, también es conocido por todos nosotros que, a algunos cuerpos, no es fácil sacarlos de su estado de equilibrio, mientras que otros, pueden dejar de estar en equilibrio con relativa facilidad. Un cuerpo que cuesta más sacarlo del equilibrio que otro decimos que es más estable. Se definen tres tipos de equilibrio: Estable, Inestable e Indiferente. Equilibrio Estable: Un cuerpo se encuentra en equilibrio estable si al sacarlo de la posición de equilibrio, retorna solo a dicha posición. Equilibrio Inestable: Un cuerpo se encuentra en equilibrio inestable si al sacarlo de la posición de equilibrio, no retorna solo a dicha posición y se desplaza o gira hasta alcanzar el equilibrio estable en otra posición. Equilibrio Indiferente: Un cuerpo se encuentra en equilibrio indiferente si en cualquier posición queda en equilibrio.

Lic. Claudio Naso, Lic. Andrea Mejeras, Ing. Marcos Sterzovsky

79

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL GENERAL PACHECO

SEMINARIO UNIVERSITARIO DE INGRESO ASIGNATURA FÍSICA

5.6.2- Cuerpos suspendidos: Para comprender el equilibrio de los cuerpos suspendidos debemos tener en cuenta dos puntos muy importantes: El centro de gravedad, que ya conocemos y el punto de suspensión al que llamaremos S. Es el punto del cual se encuentra suspendido o colgado. P es el peso y R es la fuerza con que reacciona el clavo. 5.6.2.1- Equilibrio Estable Se produce cuando el centro de gravedad se encuentra por debajo del punto de suspensión y sobre la misma recta vertical. Si se aparta el cuerpo de la posición de equilibrio, aparece un momento o torque que tiende a restablecer el equilibrio. Obviamente, cuanto más separados este el punto de suspensión del centro de gravedad, el momento será mayor al sacarlo de la posición de equilibrio y éste será más estable.

5.6.2.2- Equilibrio Inestable Se produce cuando el centro de gravedad se encuentra por encima del punto de suspensión y sobre la misma recta vertical. Si se aparta el cuerpo de la posición de equilibrio, aparece un momento o torque que tiende a sacarlo de esa posición para llevarlo a la de equilibrio estable.

Lic. Claudio Naso, Lic. Andrea Mejeras, Ing. Marcos Sterzovsky

80

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL GENERAL PACHECO

SEMINARIO UNIVERSITARIO DE INGRESO ASIGNATURA FÍSICA

5.6.2.3- Equilibrio Indiferente Se produce cuando el centro de gravedad y el punto de suspensión se superponen. En cualquier posición el cuerpo permanece en equilibrio

5.6.3- Cuerpos apoyados: 5.6.3.1- Equilibrio estable

En esta situación, para que el cuerpo este en equilibrio estable, la recta de acción de la fuerza peso debe atravesar por el interior de la figura determinada por los puntos en que el cuerpo se encuentra apoyado.

Equilibrio estable: Al apartarlo de la posición de equilibrio, aparece un momento que tiende a restituirlo a la posición de equilibrio. Esto sucederá siempre y cuando la recta de acción de la fuerza peso no llegue a pasar por la posición de la arista sobre la que esta apoyado.

Lic. Claudio Naso, Lic. Andrea Mejeras, Ing. Marcos Sterzovsky

81

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL GENERAL PACHECO

SEMINARIO UNIVERSITARIO DE INGRESO ASIGNATURA FÍSICA

5.6.3.2-Equilibrio

inestable: Cuando la recta de acción del peso pasa justo sobre la arista en que se encuentra apoyado se produce el equilibrio inestable. Si se supera esta posición y la recta de acción del peso cae fuera de la base de apoyo, se produce un momento que hace que el cuerpo no pueda retornar a la posición anterior y entonces busca una nueva posición de equilibrio estable. No hay duda que un cuerpo apoyado tendrá un equilibrio más estable cuanto mayor sea la superficie de apoyo y más bajo se encuentre su centro de gravedad.

Lic. Claudio Naso, Lic. Andrea Mejeras, Ing. Marcos Sterzovsky

82

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL GENERAL PACHECO

SEMINARIO UNIVERSITARIO DE INGRESO ASIGNATURA FÍSICA

5.7- Cuestiones, ejercicios y problemas 1) Un cuerpo que pesa 400 N cuelga como indica la figura. Encuentre la tensión en cada una de ellas sabiendo que El ángulo formado por cada soga con el techo es de 53º

2) Un bloque que pesa 200 N se encuentra suspendido por medio de dos hilos que están atados uno al techo y otro a la pared como indica la figura. Calcular la fuerza que soporta cada hilo (tensión de cada hilo) sabiendo que el ángulo formado entre el hilo y el techo es 30º 1 2

3) Calcular la tensión en cada una de las sogas que sostienen los cuerpos de las figuras A y B.

4) Sobre un gran lago hay un barco que está siendo sujetado por 3 remolcadores en conflicto de intereses como indica la figura. El remolcador A está realizando una fuerza ¿FC? FA FA = (5000 N ; 30º), el remolcador B, una FB = (9000 N ; 330º), y el remolcador C, ¿qué BARCO fuerza tendrá que hacer si sabemos que el barco no se mueve? FB

Lic. Claudio Naso, Lic. Andrea Mejeras, Ing. Marcos Sterzovsky

83

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL GENERAL PACHECO

SEMINARIO UNIVERSITARIO DE INGRESO ASIGNATURA FÍSICA

5) Calcular la fuerza F que debe aplicarse en el punto A del cable para que la carga de 500 N quede ubicada sobre la abertura indicada en la figura. Calcular también la tensión AB.

6) Dos mejicanos (observar sombrero) tiran de una mula con fuerzas de 200 N y 300 N cada uno como indica la figura. Si la mula se empaca y no se mueve, calcular el módulo y dirección de la fuerza con que resiste.

7) Q

En Q hay un nudo del que cuelga, mediante un hilo que se dispone simétricamente, un cuadro. El peso del cuadro es 40N y el del hilo es despreciable. El ángulo que queda entre los tramos de hilo unidos al cuadro es de 60º. Entre Q y el techo hay un alambre que cuelga verticalmente de peso despreciable ¿Qué tensión soporta cada tramo de hilo? ¿y el alambre?

8) Para cada una de las barras diagramadas debajo, indique el valor del dato ausente que sería necesario para asegurar las condiciones de equilibrio del sistema

9) Cuando se aplica una fuerza de 40 N en el brazo de palanca de una carretilla, ésta puede levantar una carga de 200N de arena. El centro de la carga se ubicó a 0.20 m de la rueda. ¿Qué longitud tiene el brazo de palanca de la carretilla?

Lic. Claudio Naso, Lic. Andrea Mejeras, Ing. Marcos Sterzovsky

84

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL GENERAL PACHECO

SEMINARIO UNIVERSITARIO DE INGRESO ASIGNATURA FÍSICA

10) Calcular la distancia d1 para que la palanca de la figura permanezca en equilibrio. Calcular también la reacción en el punto de apoyo (considere que el peso de la palanca se encuentra siempre aplicado en el centro de gravedad) d1 F

P1= 800N Pp= 25N

P1

Pp

D

F= 120N D= 5 m

11) Se Calcular la fuerza de tracción que el martillo de la figura ejerce sobre la cabeza del clavo.

12) Calcular el peso P1 para que la palanca de la figura que tiene un peso de 50N permanezca en equilibrio. Calcular también la reacción en el punto de apoyo. (Tener en cuenta que el peso de la barra está en el centro de gravedad)

13) Calcular la distancia d para que la palanca de la figura permanezca en equilibrio. Calcular también la reacción en el punto de apoyo. (el peso de la palanca se encuentra aplicado siempre en el centro de gravedad)

14) Calcular la fuerza F que debe aplicarse en el torno de radio r de la figura para que el sistema permanezca en equilibrio. (El peso de la palanca es despreciable

Lic. Claudio Naso, Lic. Andrea Mejeras, Ing. Marcos Sterzovsky

85

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL GENERAL PACHECO

SEMINARIO UNIVERSITARIO DE INGRESO ASIGNATURA FÍSICA

15) Calcular el peso P2 que deberá actuar sobre la polea para que el sistema permanezca en equilibrio. El peso de la barra es despreciable.

16) Calcular cuanto pesa el bloque que se encuentra sobre la rampa que tiene una longitud de 2,16 m, si el sistema se encuentra en equilibrio cuando a la. manivela del torno se le aplica una fuerza de 120N.

. 17) Calcular el peso P2 para que el sistema de la figura se encuentre en equilibrio. La barra pesa 200N y es homogénea.

18) Se desea utilizar una polea móvil para elevar un balde (de 10N de peso) lleno de 100N de arena. ¿Qué fuerza deberá realizar el operador? ¿Qué longitud de soga desenroscará si el balde debe ascender 2m? 19) Florencio está manipulando un aparejo factorial de tres poleas móviles y necesita levantar un bloque de 360 N. ¿Qué fuerza deberá aplicar? 20) Si el señor del problema anterior, en lugar de un aparejo factorial tuviera uno potencial, tendría que aplicar más o menos fuerza para conseguir el mismo efecto? ¿Por qué? Verifique a través del cálculo. 21) Mediante un aparejo potencial de 4 poleas se equilibra un cuerpo de 500N. ¿Cuál es la fuerza aplicada? 22) Se levanta un balde de 3,8 N cargado con 15.2 litros de agua utilizando un torno de radio 12 cm. ¿Cuál es el largo de la manivela si se aplica una fuerza de 40N?

Lic. Claudio Naso, Lic. Andrea Mejeras, Ing. Marcos Sterzovsky

86

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL GENERAL PACHECO

SEMINARIO UNIVERSITARIO DE INGRESO ASIGNATURA FÍSICA

Respuesta ejercicios Estática: 1) Aproximadamente 250N 2) Aproximadamente T1 = 400N, T2= 346N 3) Aproximadamente 466N, 304N ; 343N , 785N 4) Aproximadamente (12288N;170°) 5) Aproximadamente 377N , 626N 6) Aproximadamente (375N; 183°) 7) Aproximadamente 23,09N en cada hilo y 40N en el alambre 8) a. F = 80N ; b. d= 0,08m ; c. F= 70N ; d. F = 112,5N 9) 1m. 10) Aproximadamente d1 0 0,68m. 11) F= 1000N 12) F= 650N , R= 900N 13) d= 0,67m , R= 705N 14) F=25,6N 15) P= 320N 16) Aproximadamente P=1396N 17) P=340N 18) F= 55N , 4m. 19) F =60N 20) F= 45N 21) F = 31,25N 22) F = 45,87N

Lic. Claudio Naso, Lic. Andrea Mejeras, Ing. Marcos Sterzovsky

87

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL GENERAL PACHECO

6.

SEMINARIO UNIVERSITARIO DE INGRESO ASIGNATURA FÍSICA

CINEMÁTICA

6.1- Conceptos básicos: trayectoria, posición, desplazamiento y velocidad El fenómeno físico más común en la naturaleza es el movimiento y de él, precisamente se encarga la cinemática. ¿Pero quienes se mueven? : Evidentemente los cuerpos. Claro que un cuerpo puede moverse de manera muy compleja, pues puede a la vez trasladarse, rotar sobre sí mismo y deformarse. Por ésta razón comenzaremos estudiando el caso más sencillo, el de un punto que se mueve al que denominaremos móvil. Claro que el móvil es una idealización, ya que un punto no tiene dimensiones, pero precisamente por ello es el caso más sencillo pues solo puede trasladarse, ya que no tiene sentido, para un punto, hablar de rotación o deformación. El móvil será nuestro objeto de estudio, pero ¿cómo podemos saber cuándo un punto está en movimiento? Para ello tendríamos que poder ubicarlo en el espacio. En física utilizamos para éste fin un Sistema de coordenadas.

Sistema de coordenadas

Un sistema de coordenadas permite ubicar un punto en el espacio a través de coordenadas. El más común es el sistema cartesiano ortogonal con sus famosos ejes X, Y y Z, pero también existen los sistemas polares, cilíndricos, esféricos etc. Comenzaremos nuestro estudio utilizando el cartesiano. Éste sistema consiste en tres ejes (rectas) que se cortan en un punto llamado origen y que cada uno es perpendicular a los otros dos. Para ubicar un punto en el espacio es necesario indicar tres coordenadas espaciales. Por ejemplo para indicar la posición del punto P tendremos que indicar las coordenadas xp, yp, zp

Es evidente que si se cambia la ubicación o el tipo de sistema de coordenadas, las coordenadas de un punto también cambiarán aunque éste siempre se encuentre en el mismo lugar del espacio, por ésta razón decimos que la posición de un móvil es relativa al sistema de coordenadas adoptado.

Lic. Claudio Naso, Lic. Andrea Mejeras, Ing. Marcos Sterzovsky

88

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL GENERAL PACHECO

SEMINARIO UNIVERSITARIO DE INGRESO ASIGNATURA FÍSICA

Movimiento

Es indudable que para hablar de movimiento tenemos que hablar de tiempo ya que estos conceptos están íntimamente ligados. La noción de tiempo va asociada a la sucesión de acontecimientos que no es otra cosa que movimiento. Por ésta razón se hace muy difícil definir el tiempo. Para simplificar nuestro estudio diremos por ahora que el tiempo es aquello que se puede medir con un reloj. La magnitud tiempo la indicaremos con la letra t y un intervalo de tiempo entre dos instantes t1 y t2 lo indicaremos con t siendo:

t = t2 - t1

Definición de movimiento: Decimos que un punto se mueve respecto de un sistema de coordenadas adoptado, cuando cambia alguna de sus coordenadas espaciales a lo largo del tiempo.

Trayectoria La trayectoria de un móvil es la línea determinada por los sucesivos puntos que un móvil va ocupando en el espacio a medida que se mueve. Si se trata de una recta decimos que la trayectoria es rectilínea. Si se trata de una curva, toma el nombre de la misma: trayectoria circular si es una circunferencia, trayectoria parabólica si es una parábola, etc. Por ejemplo, en la siguiente figura, la trayectoria está indicada por la línea gris, el punto P es el móvil y xp, yp, zp, son las coordenadas del punto en un instante determinado. (Tengamos en claro que estas coordenadas serán distintas en otros instantes)

Lic. Claudio Naso, Lic. Andrea Mejeras, Ing. Marcos Sterzovsky

89

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL GENERAL PACHECO

SEMINARIO UNIVERSITARIO DE INGRESO ASIGNATURA FÍSICA

Trayectoria rectilínea: Por el momento nosotros solo estudiaremos movimientos con trayectorias rectilíneas, por lo tanto, para ubicar un móvil necesitaremos solo un eje (el eje X) y bastará con saber una coordenada (el de la abscisa X). En la figura x1 indica la posición del móvil en un instante. Por ejemplo x1=20m.

Desplazamiento: Llamaremos desplazamiento a la diferencia entre dos coordenadas ocupadas por el móvil en dos instantes de tiempo distintos. Se indica con “x”.

X = X2 –X1 Mas precisamente tendríamos que aclarar que el desplazamiento, en realidad es un vector, el “vector desplazamiento” que tiene origen en la coordenada X1 y extremo en la X2

Velocidad Velocidad media

Es evidente que todos los móviles no se "mueven" de la misma manera, incluso, aunque el desplazamiento de dos móviles fuera el mismo, el intervalo de tiempo que tarden en realizar dicho desplazamiento puede ser distinto. Por ésta razón es necesario definir una nueva magnitud que permita diferenciar un caso del otro y tener una "idea" de cómo se desplaza un móvil. Esta magnitud se denomina velocidad media: Definición: La velocidad media de un móvil en un intervalo de tiempo t, es una magnitud vectorial igual al cociente entre el vector desplazamiento correspondiente al intervalo y el valor de dicho intervalo.

vm 

x t

Lic. Claudio Naso, Lic. Andrea Mejeras, Ing. Marcos Sterzovsky

90

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL GENERAL PACHECO

SEMINARIO UNIVERSITARIO DE INGRESO ASIGNATURA FÍSICA

Ejemplo 1:

vm 

x 2  x1 70 m - 50 m 20 m m   2 t 2  t1 30 s - 20 s 10 s s

Físicamente, la velocidad media representa la rapidez con que se produce el desplazamiento de un móvil. La velocidad media no nos da mucha información acerca del movimiento. Solamente relaciona el desplazamiento total producido en un intervalo de tiempo con dicho intervalo. No nos dice si el móvil ha llevado siempre la misma velocidad en todo el intervalo de tiempo. Inclusive, si el móvil regresa al punto de partida al cabo de un intervalo de tiempo, la velocidad media será nula en dicho intervalo, pues el vector desplazamiento será nulo. Importante: La velocidad media de un móvil puede ser cero para un intervalo de tiempo y no serlo para intervalos de tiempo más pequeños.

Unidades En el sistema internacional de unidades la velocidad se mide en:

v  long.  m t s En la práctica diaria:

v  long.  km t h

Ejemplo 2:

Un móvil se desplaza en una trayectoria rectilínea de manera que si la asociamos con un eje X de coordenadas su posición en el instante en que un reloj marca 20 seg. es 50 m., cuando el reloj indica 30 seg. la posición es 70 m, cuando el reloj indica 40 seg. la posición es 60 m y cuando marca 50 seg. es 10 m. Calcular la velocidad media entre los instantes: 20 y 30 seg. ; 20 y 40 seg.; 20 y 50 seg. ; 30 y 40 seg. y 40 y 50 seg.

Lic. Claudio Naso, Lic. Andrea Mejeras, Ing. Marcos Sterzovsky

91

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL GENERAL PACHECO

SEMINARIO UNIVERSITARIO DE INGRESO ASIGNATURA FÍSICA

Solución: Veamos nuestro sistema de coordenadas y asignemos nombre a los datos:

Para calcular la velocidad media en el primer intervalo aplicamos la definición: vm 

x t

En el primer caso: x  x 1 70 m - 50 m 20 m m vm  2   2 t 2  t1 30 s - 20 s 10 s s

Obsérvese que el sentido del desplazamiento vendrá indicado con el signo del resultado del cálculo. Si el signo es positivo, significa que el móvil se desplaza en el sentido creciente del eje X y si es negativo el desplazamiento será en el sentido decreciente. Ahora sí, teniendo en cuenta esta aclaración, resolveremos el resto del ejemplo. Para el segundo intervalo de tiempo tenemos: x  x1 60 m - 50 m m vm  3   0,5 t 3  t1 40 s - 20 s s

Para el tercero: x  x1 10 m - 50 m 4m m vm  4   - 1,33 t 4  t1 50 s - 20 s 3 s s

Para el cuarto: x  x2 60 m - 70 m 10 m m vm  3  -1 t3  t2 40 s - 30 s 10 s s

Para el quinto: x  x3 10 m - 60 m 50 m m vm  4  -5 t 4  t3 50 s - 40 s 10 s s

Discuta con sus compañeros los resultados obtenidos.

Lic. Claudio Naso, Lic. Andrea Mejeras, Ing. Marcos Sterzovsky

92

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL GENERAL PACHECO

SEMINARIO UNIVERSITARIO DE INGRESO ASIGNATURA FÍSICA

Si queremos más información acerca del movimiento de una partícula, deberemos medir la velocidad en un intervalo de tiempo muy pequeño, de manera de asegurarnos que la misma no cambie en él, pero, ¿cuán pequeño debe ser el intervalo?, tan pequeño como podamos imaginarlo, "infinitamente pequeño". De esta manera llegamos al concepto de velocidad instantánea.

Velocidad instantánea

La velocidad instantánea representa la velocidad de un móvil medida en un intervalo de tiempo infinitamente pequeño.

Definición: La velocidad instantánea es el valor límite que toma la velocidad media cuando el intervalo de tiempo en el que se mide tiende a cero:

6.2-

MRU: ecuaciones horarias

El Movimiento Rectilíneo Uniforme es el más sencillo de los movimientos que existen en la naturaleza, y se lo define de la siguiente manera. Un móvil se desplaza con MRU, cuando la trayectoria que describe es una recta y su velocidad instantánea permanece constante. Si la velocidad instantánea de un móvil permanece constante, significa también, que su módulo tendrá el mismo valor cuando se lo mida en cualquier intervalo de tiempo, sea este infinitamente pequeño o muy grande, lo que equivale a decir que en el MRU, la velocidad media coincide con la instantánea. Por ésta razón, el cálculo de la velocidad se simplifica mucho, pues, utilizando como sistema de coordenadas solo el eje X podremos tratar a la velocidad como una magnitud escalar donde el sentido vendrá expresado por su signo, como ya lo hemos visto en lo ejemplos de cálculo de velocidad media.

v=

x x(t2 ) - x(t1) = t t 2 - t1

Donde t2 es un instante posterior a t1.

Lic. Claudio Naso, Lic. Andrea Mejeras, Ing. Marcos Sterzovsky

93

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL GENERAL PACHECO

SEMINARIO UNIVERSITARIO DE INGRESO ASIGNATURA FÍSICA

Ecuación horaria del MRU

Supongamos que estudiaremos el movimiento de un cuerpo que se desplaza con MRU utilizando un cronómetro. Esto significa que en el instante en que midamos por primera vez la posición del móvil en el sistema de coordenadas, encenderemos el cronómetro y por lo tanto el tiempo será igual a cero (t1 = 0). A este instante lo llamaremos instante inicial y a la posición que ocupa el móvil la llamaremos posición inicial y la indicaremos con el siguiente símbolo x0. (El subíndice cero hace referencia a que en ésta posición el tiempo valía cero). Al instante posterior t2, lo llamaremos directamente t y representa un instante cualquiera después de haber encendido el cronómetro. A la posición del móvil en este instante la indicaremos con el siguiente símbolo: x(t). Por lo tanto la velocidad se calculará como:

v=

x x(t) - x0 x(t) - x 0 = = t t-0 t

Si despejamos de ésta ecuación la posición del móvil en cualquier instante, nos queda: v.t = x(t) - x0 v.t + x0 = x(t)

Y ordenando esta expresión de otra manera llegamos a lo que llamaremos ecuación horaria del MRU. x(t) = x0 + v.t

Esta ecuación se denomina así, porque permite calcular la posición (x) de un móvil en cualquier instante (t). Los valores de x0 y v son constantes para un movimiento ya que el móvil en el instante cero se encuentra en un lugar y se desplaza con una única velocidad.

Gráficos Suele ser muy útil para el análisis y la descripción de un movimiento, representar gráficamente las magnitudes que varían en función del tiempo. En particular, para el MRU representaremos la posición y la velocidad en función del tiempo.

Lic. Claudio Naso, Lic. Andrea Mejeras, Ing. Marcos Sterzovsky

94

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL GENERAL PACHECO

SEMINARIO UNIVERSITARIO DE INGRESO ASIGNATURA FÍSICA

Gráfico de posición en función del tiempo

Si analizamos matemáticamente la ecuación horaria es evidente de que se trata de la ecuación de una recta, donde x(t) es la variable dependiente, t es la variable independiente, x0 es la ordenada al origen y v es la pendiente de la recta. Representando gráficamente esta ecuación nos queda:

En el primer caso, la representación corresponde a un móvil que se desplaza en sentido creciente del eje X y por lo tanto la velocidad es positiva. En el segundo, la representación corresponde a un móvil que se desplaza en el sentido decreciente del eje X lo que implica una velocidad negativa. El módulo de la velocidad, está representado por la pendiente de la recta, a mayor pendiente mayor velocidad.

Gráfico de velocidad en función del tiempo

Está claro que en éste movimiento la velocidad permanece constante a lo largo del tiempo y por ende su gráfico corresponderá al de una constante. Nuevamente, el primer gráfico corresponde a una velocidad positiva y el segundo a una negativa.

Lic. Claudio Naso, Lic. Andrea Mejeras, Ing. Marcos Sterzovsky

95

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL GENERAL PACHECO

SEMINARIO UNIVERSITARIO DE INGRESO ASIGNATURA FÍSICA

Significado del área encerrada por el gráfico de velocidad en función del tiempo

Tomemos un gráfico de velocidad en función del tiempo y analicemos lo que representa el área encerrada.

Según la ecuación horaria, el producto de la velocidad por el tiempo ( v.t ) es el desplazamiento sufrido por el móvil ( x ) y ese producto, en el gráfico, no es otra cosa que el área encerrada.

v.t = x(t) - x0 x(t) - x0 = x

Esta conclusión será válida para cualquier gráfico de velocidad en función del tiempo ya que aunque la velocidad no sea constante en un intervalo de tiempo, tomando intervalos infinitamente pequeños sucesivos, podrá considerarse que en dicho intervalo el movimiento fue uniforme y la suma de estas infinitas áreas en cada intervalo dará como resultado el área total encerrada.

Ejemplo 3

Un móvil parte desde la posición 5 m de un sistema de coordenadas y se desplaza con MRU a una velocidad de 3 m/s. Calcular su posición a los 4 s. , 7 s. y 10 s., y representar su posición y velocidad en función del tiempo. Solución: Aplicamos la ecuación horaria del MRU teniendo en cuenta que la posición inicial y la velocidad son datos: x(t) = x0 + v.t

Lic. Claudio Naso, Lic. Andrea Mejeras, Ing. Marcos Sterzovsky

96

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL GENERAL PACHECO

SEMINARIO UNIVERSITARIO DE INGRESO ASIGNATURA FÍSICA

x(t) = 5m + 3

m .t s

Luego reemplazamos los datos del tiempo en cada caso t obtenemos las distintas posiciones: x(4s)= 5m + 3

m . 4s = 17 m s

x(7s)= 5m + 3

m . 7s = 26 m s

x(10s)= 5m + 3

m . 10s = 35 m s

Con estos datos trazamos los gráficos.

Ejemplo 4:

Calcular la velocidad de un móvil que desplazándose con MRU, recorre una distancia de 800 m. en 40 s.

Solución:

En este problema tenemos como datos el desplazamiento x y el intervalo de tiempo t. El cálculo de la velocidad se reduce al cálculo de la velocidad media.

v =

x 800 m m = = 20 t 40 s s

Lic. Claudio Naso, Lic. Andrea Mejeras, Ing. Marcos Sterzovsky

97

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL GENERAL PACHECO

SEMINARIO UNIVERSITARIO DE INGRESO ASIGNATURA FÍSICA

Ejemplo 5:

Dos móviles parten simultáneamente con MRU en sentidos opuestos de dos puntos "A" y "B" ubicados a 100 m uno del otro. El móvil que parte de "A" tiene una velocidad cuyo módulo es 10 m/s y el que parte de "B", 40 m/s. Calcular la posición y el instante en que se encuentran y representar gráficamente la posición en función del tiempo para ambos móviles.

Solución:

Este tipo de problemas suele denominarse "de encuentro", pues en ellos siempre hay dos o más móviles que en algún lugar de sus trayectorias se encuentran. Para resolver éste tipo de problemas, debe fijarse un sistema de coordenadas y en el expresar claramente los datos:

En este caso se ha tomado un sistema de coordenadas con origen en "A" y dirigido hacia "B" de manera que la posición inicial del móvil "A" es cero y la del móvil "B" es 100 m. Debido también al sistema de coordenadas adoptado la velocidad del móvil "B" queda con signo negativo pues su sentido es contrario al sentido creciente del sistema de coordenadas. Ahora deberemos aplicar la ecuación horaria del MRU, x(t) = x0 +v.t , para cada móvil:

x A (t) = x A0 + v A . t  x B (t) = x B0 + v B . t m  x (t) = 0 m + 10 .t  A s  x B (t) = 100 m + (- 40 ) m . t  s En el momento del encuentro los dos móviles deberán ocupar la misma posición en el mismo instante, por lo tanto x y t serán iguales para ambos móviles. (es importante tener en claro que ésta igualdad se cumple exclusivamente en el instante del encuentro). Por lo

Lic. Claudio Naso, Lic. Andrea Mejeras, Ing. Marcos Sterzovsky

98

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL GENERAL PACHECO

SEMINARIO UNIVERSITARIO DE INGRESO ASIGNATURA FÍSICA

tanto estamos en presencia de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas (Posición e instante de encuentro) que se puede resolver por cualquier método. Nosotros utilizaremos el de igualación: x A (t) = xB (t) m m 0 m + 10 . t = 100 m + (- 40 ) . t s s m m 10 . t + 40 . t = 0 m + 100 m s s m . t = 100 m s 100 m t= = 2s m 50 s

50

Los móviles se encuentran a 2 s. de la partida. Para calcular la posición aplicamos este resultado a cualquiera de las ecuaciones horarias: m x A (t) = 0 m + 10 . 2s = 20 m s

La posición de encuentro es 20 m. (Medidos desde el punto A según nuestro sistema de coordenadas).

Veamos el gráfico.

Lic. Claudio Naso, Lic. Andrea Mejeras, Ing. Marcos Sterzovsky

99

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL GENERAL PACHECO

SEMINARIO UNIVERSITARIO DE INGRESO ASIGNATURA FÍSICA

6-3- Movimientos variados

Un movimiento es variado cuando la velocidad del móvil no es constante. Aceleración

En general, todo móvil cambia su velocidad instantánea a medida que transcurre el tiempo, algunos lo hacen bruscamente y otros suavemente, pero en todos los casos, para pasar de un estado de velocidad a otro, el móvil atraviesa sucesivos estados de velocidad intermedios. Pero, ¿Cómo diferenciar un cambio de velocidad brusco de uno suave? : Para esto se hace necesario definir una nueva magnitud denominada aceleración. Físicamente, la aceleración medirá la rapidez con que cambia la velocidad de un móvil. Por lo tanto siempre que se observe un cambio de velocidad, se podrá medir la aceleración. Como la velocidad es una magnitud vectorial, habrá aceleración no solo cuando varíe su módulo, sino también cuando varíe su dirección o su sentido

Aceleración media

Supongamos que un móvil sigue una trayectoria como la de la figura. En un instante





t, su velocidad es v 1 y en otro instante posterior, su velocidad es v 2.

Definición: La aceleración media de un móvil es una magnitud vectorial igual al cociente entre la variación de velocidad instantánea que experimenta un móvil y el intervalo de tiempo en que dicha variación se produce.

am =

v2  v1 v  t 2  t 1 t



Como la aceleración media se obtiene del cociente entre una magnitud vectorial ( v ) y una escalar (t), también ella es una magnitud vectorial, cuya dirección y sentido coincide



con la dirección y sentido del vector variación de velocidad ( v ).

Lic. Claudio Naso, Lic. Andrea Mejeras, Ing. Marcos Sterzovsky

100

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL GENERAL PACHECO

SEMINARIO UNIVERSITARIO DE INGRESO ASIGNATURA FÍSICA

Aceleración instantánea

Nos encontramos otra vez con un caso similar al de la velocidad media pues, la aceleración media no nos brinda demasiada información acerca de como varió la velocidad de un móvil dado que, en el intervalo de tiempo t, la aceleración puede haber cambiado muchas veces. Sin embargo, si comenzamos a reducir el intervalo de tiempo en el que medimos la aceleración, la posibilidad de que ésta haya cambiado también se reduce y, si este intervalo de tiempo tiende a cero, podemos asegurar que, en dicho intervalo la aceleración no cambió. Este razonamiento nos lleva a definir una magnitud que sí tendrá una enorme utilidad y que se denomina aceleración instantánea. Físicamente es la aceleración que tiene un móvil en cualquier instante o en cualquier punto de la trayectoria.

Definición: La aceleración instantánea es el valor límite que toma aceleración media cuando el intervalo de tiempo en el que se mide tiende a cero: Unidades

En el sistema internacional de unidades la aceleración se mide en:

  v ms m a  t  s  s2

6.4- Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado (MRUV) Éste, es uno de los movimientos que aparecen con más frecuencia en la naturaleza, el más común de estos es la caída de los cuerpos que luego estudiaremos.

Un móvil se desplaza con movimiento rectilíneo uniformemente variado, cuando la trayectoria que describe es una recta, y su aceleración instantánea permanece constante. Nuevamente, es fácil de entender que si la aceleración instantánea permanece constante, será lo mismo medirla en un intervalo de tiempo infinitamente pequeño que en cualquier otro. Por lo tanto, en un MRUV, podremos calcular la aceleración instantánea de la misma manera que se calcula la aceleración media. Además, sin perder de vista que la aceleración es una magnitud vectorial, podremos tratarla como un escalar, ya que la dirección de la velocidad no cambia sino que solo lo hace su módulo y eventualmente su

Lic. Claudio Naso, Lic. Andrea Mejeras, Ing. Marcos Sterzovsky

101

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL GENERAL PACHECO

SEMINARIO UNIVERSITARIO DE INGRESO ASIGNATURA FÍSICA

sentido, por lo tanto, en un MRUV y solo en un MRUV, la variación de la velocidad vendrá dada por la variación del valor escalar de la velocidad, teniendo en cuenta que el signo de este valor nos indica el sentido del vector.

a=

v(t2 ) - v(t1) t2 - t1

Donde t2 es un instante posterior a t1. Si la diferencia de los valores de velocidad nos da positiva, entonces, la aceleración nos dará también con signo positivo. Si dicha diferencia nos da negativa, también será negativa la aceleración. Entendamos que éste signo nos indica el sentido de la aceleración en el sistema de coordenadas. Si es positivo, significa que la aceleración se dirige en el sentido creciente del sistema de coordenadas; si es negativo, significa que se dirige en el sentido decreciente.

Primera ecuación horaria del MRUV Supongamos que estudiamos nuevamente el movimiento de un cuerpo que se desplaza con MRUV utilizando un cronómetro. Esto significa que en el instante en que midamos por primera vez la velocidad del móvil en el sistema de coordenadas, encenderemos el cronómetro y por lo tanto el tiempo será igual a cero ( t1 = 0 ). A este instante lo llamaremos instante inicial y a la velocidad del móvil la llamaremos velocidad inicial y la indicaremos con el siguiente símbolo v0. (El subíndice cero, como vimos en el MRU, hace referencia a que, en el instante en que el móvil tenía esta velocidad, el tiempo valía cero).

Al instante posterior t2, lo llamaremos directamente t y representa un instante cualquiera después de haber encendido el cronómetro. A la velocidad del móvil en este instante la indicaremos con el siguiente símbolo: v(t). Por lo tanto la aceleración se calculará como:

a=

v v(t) - v0 v(t) - v0 = = t t- 0 t

Si despejamos de ésta ecuación la velocidad del móvil en cualquier instante, nos queda:

a  t = v(t) - v0 a  t + v0 = v(t)

Lic. Claudio Naso, Lic. Andrea Mejeras, Ing. Marcos Sterzovsky

102

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL GENERAL PACHECO

SEMINARIO UNIVERSITARIO DE INGRESO ASIGNATURA FÍSICA

Y ordenando esta expresión de otra manera nos queda lo que llamamos primera ecuación horaria del MRUV.

v(t) = v0 + a  t

Esta ecuación se denomina así, porque permite calcular la velocidad (v) de un móvil en cualquier instante (t). Los valores de v0 y a son constantes para un movimiento ya que el móvil en el instante cero tiene una determinada velocidad y se desplaza con una única aceleración. Es importante tener claro que en el MRUV la aceleración es constante pero, precisamente por eso, el módulo de la velocidad cambia constantemente por lo tanto se necesitará una ecuación para calcularla.

Ejemplo 6: Un móvil que marchaba a 15 m/s acelera a 5m/s 2 durante 8 s Calcular la velocidad que alcanza.

v(t) = v0 + a  t  15

m m m  5 2  8s  55 s s s

Gráfico de velocidad en función de tiempo:

Representaremos gráficamente la velocidad de un móvil que habiendo partido con una velocidad de 20 m/s tiene una aceleración de 10 m/s2. Escribimos la ecuación del movimiento y hacemos una tabla con valores de tiempo arbitrarios.

v(t) = v0 + a  t  20

m m  10 2  t s s

Lic. Claudio Naso, Lic. Andrea Mejeras, Ing. Marcos Sterzovsky

t

V

(s)

(m/s)

0

20

2

40

4

60

6

80

103

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL GENERAL PACHECO

SEMINARIO UNIVERSITARIO DE INGRESO ASIGNATURA FÍSICA

Segunda ecuación horaria del MRUV

La primera ecuación horaria, permite calcular la velocidad en cualquier instante, sin embargo, todavía no sabemos cómo obtener la posición del móvil que se mueve con MRUV. La expresión matemática que permite este cálculo se denomina Segunda ecuación horaria del MRUV. Para obtenerla, tendremos que hacer uso del concepto de que el área bajo la curva de velocidad en función del tiempo, representa el desplazamiento ( x ) del móvil. Si analizamos la primera ecuación horaria, veremos que se trata de la ecuación de una recta, donde v, es la variable dependiente; t la variable independiente; v0, el término independiente u ordenada al origen y a, la pendiente de la recta.

v(t) = v0 +a.t Si la representamos gráficamente, el área encerrada bajo la curva para un instante cualquiera, representará el desplazamiento ( x ) que tuvo el móvil hasta ese instante.

Esta área, puede calcularse como la suma del área de un rectángulo y la de un triángulo: Para el rectángulo inferior hacemos base por altura o sea, v0. t y para el triángulo hacemos base por altura sobre dos, ( v(t) - v0 ). t / 2. Por lo tanto nos queda:

x = v0 . t +

(v(t) - v0 ) . t 2

(1)

Pero según la primera ecuación horaria:

v(t) = v0 +a.t

v(t) - v0 = a.t

(2)

Lic. Claudio Naso, Lic. Andrea Mejeras, Ing. Marcos Sterzovsky

104

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL GENERAL PACHECO

SEMINARIO UNIVERSITARIO DE INGRESO ASIGNATURA FÍSICA

Reemplazando (2) en (1):

x = v0 . t +

a.t.t a.t2 = v0 . t + 2 2

Y teniendo en cuenta que x = x(t) - x0 nos queda:

x(t)- x0 = v0 . t +

1 2

. a . t2

Haciendo un pasaje de términos obtenemos la segunda ecuación horaria del MRUV

x(t) = x0 + v0 . t +

1 2

. a . t2

Gráficos

En el MRUV, la aceleración es constante, la velocidad responde a la ecuación de la recta y la posición, como se ve claramente en la segunda ecuación horaria, responde a una ecuación cuadrática que, como sabemos, al representarla obtendremos una parábola. Los casos posibles son muchos, dependiendo la forma de los gráficos de todas las variables que intervienen en el movimiento. Representaremos los gráficos que corresponden a un móvil que partió desde una posición positiva, una velocidad inicial y una aceleración positiva, respecto de un eje X de coordenadas.

Lic. Claudio Naso, Lic. Andrea Mejeras, Ing. Marcos Sterzovsky

105

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL GENERAL PACHECO

SEMINARIO UNIVERSITARIO DE INGRESO ASIGNATURA FÍSICA

Signos

Una vez más, insistiré en el significado de los signos para la posición, la velocidad y la aceleración. Es importante comprender que son magnitudes vectoriales que tienen dirección, sentido y módulo. Cuando a un vector se lo ubica en un sistema de coordenadas como los que estamos utilizando nosotros, su sentido esta asociado a un signo. Por ejemplo el signo (+), significa que el vector tiene el sentido de las X crecientes y el signo (-), significa que el vector tiene en el sentido de las X decrecientes. Tanto en el MRU como en el MRUV, los movimientos y todas las magnitudes que intervienen en ellos, se encuentran sobre una recta, por lo tanto los sentidos de los vectores asociados a dichas magnitudes serán indicados por un signo. Veamos en un gráfico los casos posibles para todas las magnitudes.

En el caso 1 el móvil se encuentra posicionado sobre el semieje positivo de las X, se desplaza en el sentido creciente y aumenta constantemente su velocidad. En el caso 2 el móvil se encuentra posicionado sobre el semieje positivo de las X, se desplaza en el sentido creciente y disminuye constantemente su velocidad. En el caso 3 el móvil se encuentra posicionado sobre el semieje positivo de las X, se desplaza en el sentido decreciente y disminuye constantemente su velocidad. En el caso 4 el móvil se encuentra posicionado sobre el semieje positivo de las X, se desplaza en el sentido decreciente y aumenta constantemente su velocidad. Los casos 5, 6, 7 y 8 son iguales a los anteriores en cuento a velocidad y aceleración pero en todos los casos el móvil se encuentra posicionado sobre el semieje negativo de X .

Lic. Claudio Naso, Lic. Andrea Mejeras, Ing. Marcos Sterzovsky

106

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL GENERAL PACHECO

SEMINARIO UNIVERSITARIO DE INGRESO ASIGNATURA FÍSICA

Ejemplo 7:

Un móvil parte desde el reposo con MRUV y alcanza una velocidad de 30 m/s en 5 s. Calcular: a- Su aceleración b- La distancia que recorrió en dicho tiempo.

Solución: Lo primero que se debe hacer para resolver un problema es fijar un sistema de coordenadas y la posición inicial del móvil en dicho sistema. En nuestro caso utilizaremos el eje X y el móvil partirá desde el origen. Esta elección simplifica la resolución del problema ya que la posición inicial será igual a cero y la posición calculada con la segunda ecuación horaria será directamente la distancia recorrida por el móvil.

Calcularemos primero la aceleración aplicando la primera ecuación horaria y despejando:

v(t) = v0 +a.t a=

v(t) - v0 30 m/ s - 0 m = = 6 2 t 5s s

Ahora calcularemos la posición que ocupaba a los 5 segundos aplicando la segunda ecuación horaria:

x(t) = x0 + v0 . t + x(5s) = 0 + 0 . t +

1 2

. a . t2

m . 6 2 . 25 s2 = 75 m 2 s 1

Lic. Claudio Naso, Lic. Andrea Mejeras, Ing. Marcos Sterzovsky

107

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL GENERAL PACHECO

SEMINARIO UNIVERSITARIO DE INGRESO ASIGNATURA FÍSICA

Ejemplo 8:

Un móvil marcha con una velocidad de 40 m/s y comienza a frenar con MRUV hasta detenerse en 8 s. Calcular la aceleración, la distancia que recorre y representar gráficamente la aceleración, la velocidad y la posición en función del tiempo. Solución: Nuevamente debemos fijar el sistema de coordenadas y la posición inicial del móvil en dicho sistema. Utilizaremos el eje X y el móvil se encontrará en el origen en el momento en que empezamos a medir. Al igual que en el ejemplo anterior, la posición inicial será igual a cero y la posición calculada con la segunda ecuación horaria será directamente la distancia recorrida por el móvil.

Calculamos la aceleración:

a=

v(8s) - v0 0 - 40 m/ s m = = -5 2 t 8s s

El signo negativo nos indica que la aceleración tiene sentido contrario al sistema de coordenadas. Ahora calculamos la posición.

x(t) = x0 + v0 . t + x(8 s) = 0 + 40

1 2

. a . t2

m 1 m . 8s + . (- 5 2 ) . 64 s2 = 160 m s 2 s

Representamos gráficamente:

Lic. Claudio Naso, Lic. Andrea Mejeras, Ing. Marcos Sterzovsky

108

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL GENERAL PACHECO

SEMINARIO UNIVERSITARIO DE INGRESO ASIGNATURA FÍSICA

Ejemplo 9:

Un tren eléctrico marcha por una vía recta con una velocidad de 50 m/s. En un determinado instante, invierte la polaridad de sus motores de manera que comienza a frenar con una aceleración de 2 m/s2. Una vez que se detiene, continúa con la misma aceleración. Calcular: a- ¿Cuánto tiempo tarda en detenerse? b- ¿Qué distancia recorre, desde que comienza a frenar hasta que se detiene? c- ¿En qué instante se encuentra a 200 m del lugar en donde comenzó a frenar?

Solución: Colocamos el sistema de coordenadas con el origen en el punto donde comienza a frenar y en sentido del movimiento. Dadas estas condiciones, la aceleración tendrá signo negativo.

Calculamos el tiempo que tarda en detenerse considerando que en este instante la velocidad es cero.

m v(t) - v0 s = 25 s t= = m a -2 2 s 0 - 50

Con éste tiempo calculamos la posición que gracias al sistema de coordenadas adoptado coincidirá con la distancia recorrida. 1

x(t) = x0 + v0 . t + . a . t 2 2

x(t) = 0 + 50

m 1 m . 25 s + . (-2 2 ) . 625 s2 = 625 m s 2 s

Por ultimo calculamos el instante en que se encuentra en la posición 200 m aplicando nuevamente la segunda ecuación horaria y resolviéndola como una cuadrática.

x(t) = x0 + v0 . t +

1 2

. a . t2

Lic. Claudio Naso, Lic. Andrea Mejeras, Ing. Marcos Sterzovsky

109

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL GENERAL PACHECO

200 m = 0 + 50 200 m - 50

SEMINARIO UNIVERSITARIO DE INGRESO ASIGNATURA FÍSICA

m 1 m  t -  2  2  t2 s 2 s

m m . t + 1 2 . t2 = 0 s s

- b  b2 - 4.a.c 50  (-50)2 - 4. 1. 200 t= = = 45,6 s y 4,4 s 2.a 2.1 Como vemos hay dos soluciones ya que el móvil pasa dos veces por el punto en cuestión, una cuando va y otra cuando vuelve.

6.5- El problema de la caída El fenómeno de la caída de los cuerpos, ha sido objeto de estudio de los primeros pensadores de la humanidad. Fue Aristóteles (Siglo IV a.C.) quien intento dar una explicación del fenómeno en su tratado de filosofía de la naturaleza. En este libro, el filósofo griego, decía que existían dos clases de cuerpos, los pesados y los livianos. Los “cuerpos pesados” como las piedras, decía, caen naturalmente hacia la tierra, porque esta es el centro del universo, mientras que los “livianos”, como el humo, se alejan naturalmente del centro de la tierra. Por otra parte, un cuerpo más pesado que otro, caería más rápido, en forma proporcional a su peso, es decir, soltado desde la misma altura, un cuerpo que tuviera el doble de peso caería en la mitad de tiempo. También afirmaba que, si se duplicaba la altura desde donde se soltaba el cuerpo, también se duplicaría el tiempo que tardaba en caer. Lo desacertado de estas afirmaciones, se debe a que Aristóteles, ni ningún otro griego, jamás realizsron un experimento, pues creían que a la verdad solo se podía llegar, exclusivamente, por la razón. Además, el realizar un experimento, implicaba efectuar un trabajo físico que, para el griego era una tarea denigrante reservada para esclavos. Veinte siglos después, el gran Galileo retoma el tema animándose a refutar a Aristóteles. Galileo dice: Imaginemos el siguiente experimento. Se tienen dos cuerpos, uno más pesado que el otro, si se los deja caer, según Aristóteles, el más pesado caerá más rápido. Supongamos ahora que atamos los cuerpos uno al otro y los dejamos caer. El cuerpo más pesado se verá retrasado por el más liviano que cae con menor velocidad, mientras que el más liviano será apurado por el más pesado. Conclusión: estos cuerpos caerán ahora con una velocidad intermedia. Pero esto es absurdo, pues los cuerpos atados conforman un nuevo cuerpo que es más pesado que cada uno de los componentes y por lo tanto tendría que caer más rápido aún. La única manera de que este razonamiento no nos lleve a una conclusión absurda, es que todos los cuerpos caigan al mismo tiempo.

Lic. Claudio Naso, Lic. Andrea Mejeras, Ing. Marcos Sterzovsky

110

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL GENERAL PACHECO

SEMINARIO UNIVERSITARIO DE INGRESO ASIGNATURA FÍSICA

Para demostrar su hipótesis, Galileo, realizó un famoso experimento en la torre de Pisa, que consistió en soltar desde lo alto de la torre, en el mismo instante, dos esferas del mismo diámetro, pero una diez veces más pesada que la otra (una era de madera y la otra de plomo). Frente al asombro de los espectadores, ambas esferas llegaron juntas a tierra. Muchos de los presentes cuestionaron el resultado indicando que si se hubieran soltado una piedra y una pluma, la piedra hubiese caído primero. Galileo respondió que si bien esto era cierto, no se debía a la diferencia de peso sino a la diferencia de forma y a la influencia del aire. El científico afirmó que si la piedra y la pluma se dejaran caer en un recinto sin aire, también llegarían juntas. Este experimento fue realizado por Newton muchos años después verificando lo dicho por Galileo. El célebre italiano, también demostró que el movimiento de caída, en el vacío, era un MRUV y que el módulo de la aceleración, constante para todos los cuerpos, era aproximadamente 9,8 m/s2. A esta aceleración se la denomina aceleración de la gravedad y se la indica con la letra g.

g = 9,8 m/s2

6.5.1- Caída y Tiro vertical en el vacío Tanto cuando se deja caer un cuerpo en el vacío como cuando se lo lanza verticalmente hacia arriba, el cuerpo describirá un MRUV y por lo tanto podremos aplicarle las leyes ya estudiadas. Como sistema de coordenadas adoptaremos ahora un eje vertical ( h ). Como sabemos, el origen y sentido de este sistema se coloca a elección, en general y porque simplifica la resolución, el origen se coloca en el piso o en el punto desde donde partió el cuerpo, y el sentido hacia arriba en el caso de un tiro vertical hacia arriba y hacia abajo en el caso de una caída o un tiro hacia abajo.

Lic. Claudio Naso, Lic. Andrea Mejeras, Ing. Marcos Sterzovsky

111

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL GENERAL PACHECO

SEMINARIO UNIVERSITARIO DE INGRESO ASIGNATURA FÍSICA

6.5.1.1- Caída en el vacío:

Veamos cómo nos quedan las ecuaciones primero en el caso de un tiro hacia abajo y luego en el caso particular de una caída libre. Según el sistema de coordenadas adoptado la aceleración de la gravedad tiene el mismo sentido al creciente del sistema de coordenadas, y la posición inicial es cero. Si el proyectil tiene velocidad inicial. Las ecuaciones nos quedan:

v(t)= v0 + g . t

y(t)= v0 . t +

1 2

. g . t2

Si simplemente se deja caer sin velocidad inicial nos queda:

v(t) = g . t

y(t)=

1 2

. g . t2

6.5.1.2- Tiro vertical: Veamos cómo nos quedan las ecuaciones en el caso de un tiro vertical hacia arriba. En este caso suele ser conveniente colocar un sistema de coordenadas con origen en el piso y positivo hacia arriba. Según el sistema de coordenadas adoptado la aceleración de la gravedad tiene sentido contrario al creciente del sistema de coordenadas, esto se indica colocando directamente el signo negativo en la ecuación. Por otra parte, el proyectil tiene velocidad inicial dirigida en el sentido positivo del sistema de coordenadas, pues es lanzado hacia arriba.

Lic. Claudio Naso, Lic. Andrea Mejeras, Ing. Marcos Sterzovsky

112

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL GENERAL PACHECO

SEMINARIO UNIVERSITARIO DE INGRESO ASIGNATURA FÍSICA

Las ecuaciones nos quedan:

v(t) = v0 - g . t

y(t)= y0 + v0 . t -

1 2

. g . t2

Ejemplo 10: Un proyectil es lanzado verticalmente hacia arriba en el vacío con una velocidad de 39,2 m/s. Calcular: a- Velocidad con que llega a la máxima altura. b- Altura máxima alcanzada. c- Tiempo que tarda en tocar la tierra. Solución: Utilizaremos un sistema de coordenadas con el origen en el piso. La velocidad inicial 39,2 m/s, la posición inicial será cero y la aceleración de la gravedad 9,8 m/s2 dirigida hacia abajo. En la máxima altura la velocidad será cero pues en ese punto el móvil se detiene y comienza a caer. Por lo tanto: vy max = 0 Este dato lo utilizaremos para calcular el tiempo que el móvil tarda en alcanzar la máxima altura.

vy max = v0 - g . t y max m vy max - v0 0 - 39,2 s t y max = = =4 s m -g -9,8 2 s Una vez calculado el tiempo, calculamos la altura máxima: y(t)= v0 . t -

yMax = 39,2

1 2

. g . t2

m 1 m . 4s - . 9,8 . 16 s2 = 78,4m s 2 s2

Para calcular el tiempo que tarda en tocar tierra, tendremos en cuenta que en ese instante y = 0: y(t)= v0 . t -

1 2

. g . t2

Lic. Claudio Naso, Lic. Andrea Mejeras, Ing. Marcos Sterzovsky

113

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL GENERAL PACHECO

0m= 40

SEMINARIO UNIVERSITARIO DE INGRESO ASIGNATURA FÍSICA

m 1 m 2 . t - . 9,8 .t s 2 s2

m 1 m   0m = t 39,2 - . 9,8 2 . t  s 2 s   m 1 m 0m  39,2 - . 9,8 2 . t s 2 s m 39,2 s  8s t m 4,9 2 s Como vemos el proyectil tarda el mismo tiempo en subir que en bajar. ¡Atención!!!: Este resultado es de suma importancia para simplificar la resolución de problemas ya que en muchas ocasiones en un tiro hacia arriba será más facil calcular el tiempo de caída que el de subida y obviamente la velocidad con que llega el cuerpo al piso será del mismo módulo y sentido contrario a la velocidad con que fue lanzado. Ejemplo 11: Se deja caer un cuerpo desde 49 m de altura. Calcular con que velocidad llega al piso. Solución:

Primero calculamos el tiempo que tarda en caer utilizando el sistema de coordenadas dirigido hacia abajo:

y=

1 2

. g . t2  t =

2  h 2  49m = =3,16 s m g 9,8 2 s

Luego calculamos la velocidad:

v(t) = g . t=9,8

m m  3,16 s=31 2 s s

Lic. Claudio Naso, Lic. Andrea Mejeras, Ing. Marcos Sterzovsky

114

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL GENERAL PACHECO

6.6-

SEMINARIO UNIVERSITARIO DE INGRESO ASIGNATURA FÍSICA

Cuestiones, ejercicios y problemas

Resolver todos los problemas utilizando solamente las ecuaciones horarias

1. Un móvil se encuentra en la posición x= 32m y se desplaza con MRU a una velocidad de 8 m/s. a) Calcular su posición a los 4s, 9s, 12s y 15s. b) Representar gráficamente la velocidad y la posición en función del tiempo. 2. ¿Qué distancia habrá recorrido un móvil que se desplaza con MRU a 5 m/s durante 1h 25’? 3. Una partícula se mueve con MRU en la dirección y sentido del eje x+. Sabiendo que la velocidad es de 2 m/s y su posición x0= - 4m, trazar las gráficas x(t) y v(t) 4. Un móvil que se desplaza con MRU en un instante se encuentra en la posición 40 m y 25 segundos más tarde se encuentra en la posición 280 m. Calcular su velocidad y expresarla en m/s y en km/h. 5. Calcular cuánto tiempo tarda un móvil que se mueve con MRU a 180 km/h en recorrer 150 m. 6. Un móvil parte del origen del sistema de coordenadas y se mueve con MRU en el sentido positivo de x a una velocidad de 12 m/s. En el mismo instante otro móvil se encuentra en la posición 40 m y se desplaza en el mismo sentido con velocidad de 15 m/s. Calcular a qué distancia se encuentran uno del otro a los 8 seg. de la partida. Representar la posición en función del tiempo para ambos móviles. 7. Dos móviles pasan simultáneamente y con movimiento rectilíneo uniforme, por dos posiciones A y B distantes entre sí 3 km. Sus velocidades respectivas son 54 km/h y 36 km/h, paralelas al segmento AB y del mismo sentido. Hallar analítica y gráficamente la posición y el instante del encuentro. 8. Resuelva el problema anterior si las velocidades, en lugar del mismo sentido, tuvieran sentidos contrarios (el móvil que pasa por A se mueve hacia B de izquierda a derecha y el que pasa por B se mueve hacia A de derecha a izquierda) 9. Dos puntos A y B están separados por una distancia (medida en línea recta) de 180 m. En el mismo instante pasan dos móviles, uno desde A hacia B y el otro desde B hacia A, a velocidades de 10 m/s y 20 m/s respectivamente.

Lic. Claudio Naso, Lic. Andrea Mejeras, Ing. Marcos Sterzovsky

115

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL GENERAL PACHECO

SEMINARIO UNIVERSITARIO DE INGRESO ASIGNATURA FÍSICA

¿Luego de cuanto tiempo, a partir de ese momento, y a qué distancia de A se encuentran?. Resolver gráfica y analíticamente. 10. Por dos puntos distantes entre sí 100 m (medidos en línea recta) pasan simultáneamente dos móviles que se mueven en sentidos opuestos y con MRU de tal manera que uno de ellos tarda 2 s en llegar al segundo punto y el otro 1.5 s en llegar al primero. Calcular dónde y cuándo se cruzan. 11. Un móvil que se desplaza con una velocidad de 50 m/s, frena con aceleración constante hasta detenerse en 20 s. Calcular el valor de dicha aceleración y la distancia recorrida en dicho tiempo. 12. Un automóvil se desplaza por una carretera recta con una velocidad constante de 72 km/h durante 20 s. A continuación acelera a razón de 8 m/s2 durante 5 s. Calcular la distancia total recorrida por el móvil y la velocidad final alcanzada. 13. Un móvil parte del reposo con una aceleración constante de 6 m/s 2. Calcular la velocidad alcanzada y la distancia recorrida al cabo de 2s, 4s, 6s, 8s, 10s. y representar gráficamente la aceleración, la velocidad y la posición en función del tiempo. 14. Una esfera parte del reposo con MRUV y alcanza una velocidad de 10 m/s en 8 s y luego comienza a frenar con una aceleración constante de 4 m/s 2 hasta detenerse. Calcular: a) el tiempo que estuvo en movimiento; b) la distancia total que recorrió. Representar la velocidad en función del tiempo para todo el recorrido. 15. Un avión carretea 600 m hasta despegar. Si parte del reposo y se mueve con una aceleración constante realizando el recorrido en 30 s, ¿Cuál será su velocidad en el momento del despegue? 16. ¿Qué velocidad inicial debería tener un móvil cuya aceleración es de 3 m/s2 para alcanzar una velocidad de 60 m/s en 5 s? ¿Qué distancia recorrerá en dicho tiempo? 17. Un tren avanza por una vía recta con una velocidad de 144 Km/h. De pronto el conductor ve una vaca cruzada en la vía a una distancia de 70 m. Al instante aplica el freno provocando una aceleración de frenado de 10 m/s2. ¿Atropella a la vaca? Representar gráficamente la posición en función del tiempo para el tren y para la vaca.

Lic. Claudio Naso, Lic. Andrea Mejeras, Ing. Marcos Sterzovsky

116

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL GENERAL PACHECO

SEMINARIO UNIVERSITARIO DE INGRESO ASIGNATURA FÍSICA

18. Desde un puente se deja caer una piedra que llega a tierra con una velocidad de 15m/s. Calcular: a) la altura del puente; b) con qué velocidad se lo debería haber lanzado desde ese puente para que llegase al piso en 1 seg. 19. Un cuerpo cae libremente desde cierta altura. En un punto A de su trayectoria su velocidad es 30 m/s y en otro punto B, su velocidad es 79 m/s. Calcular cuánto tardó en recorrer la distancia AB y cuál es esa distancia. ¿Desde dónde cayó? 20. Una piedra es lanzada verticalmente hacia arriba con una velocidad de 24,5 m/s. Calcular: a) b) c) d) e) f)

¿cuál es su velocidad cuando alcanza su máxima altura? ¿cuánto tiempo tarda en alcanzar la máxima altura? ¿Qué altura máxima alcanza? ¿Cuánto tiempo está en el aire? ¿Qué distancia total recorre? ¿En qué momento se encuentra a 10 m del suelo?

21. Representar gráficamente la altura y la velocidad en función del tiempo para un cuerpo que es lanzado hacia arriba con una velocidad de 98 m/s. 22. Desde un globo aerostático se deja caer un cuerpo que tarda en llegar a la tierra 20 s. Calcular la altura del globo cuando el cuerpo llega al piso si : a) el globo está en reposo en el aire; b) el globo está ascendiendo con una velocidad de 49 m/s. 23. Desde la cima de una torre de 80 m de altura se lanza una piedra en dirección vertical hacia arriba con una velocidad de 29,4 m/s. Calcular: a) la máxima altura alcanzada; b) la velocidad con que llega al suelo. 24. Desde un globo que se encuentra a 200 m de altura y ascendiendo a 8 m/s se deja caer una moneda. Calcular: a) b) c)

El tiempo que tarda en llegar a tierra La velocidad con que golpea en el piso La altura máxima alcanzada por la piedra

Lic. Claudio Naso, Lic. Andrea Mejeras, Ing. Marcos Sterzovsky

117

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL GENERAL PACHECO

SEMINARIO UNIVERSITARIO DE INGRESO ASIGNATURA FÍSICA

Respuestas ejercicios Cinemática: 1) 2) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 22) 23) 24)

64 m, 104 m, 128m, 152m. 25 km. 9,6 m/s , 34,56 Km/h 5 s. 64m. 10min ; 9km. 2min ; 1,8km 6s ; 60m. 42,85m ; 0,857s. -2,5 m/s2 , 500 m. 600 m ; 60 m/s. 10,5 s ; 52,5m. 40 m/s. 45m/s ; 262,5m. Si, el tren recorre 80m hasta detenerse. 11,5m ; 6,6m/s. 3s ; 267m ; 312m. 0 m/s ; 2,5 s ; 30,625 m; 5 s ; 61,25 m. 1960m ; 980m 124,1m ; -48,7m. 7,26s ; -63,1 m/s ; 203,27 m.

Lic. Claudio Naso, Lic. Andrea Mejeras, Ing. Marcos Sterzovsky

118