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I.E.P. “DOSCIENTAS MILLAS PERUANAS”

TRIGONOMETRÍA

3.3.-EQUIVALENCIAS IMPORTANTES

VIII. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS MÚLTIPLES 1. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO DOBLE

3) Tan

2

a) Tan

x 2

PROBLEMAS RESUELTOS 1) Calcula : E = (Cot22,5°-1) (Cot15° - 2)

x 2

= Cscx - Cotx

*Sen2x = *Cos2x =

2 tan x 1 tan2 x

3. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO TRIPLE

1 tan x

2. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO MITAD En general las principales ecuaciones que nos permiten calcular las R.T del ángulo mitad son :

1) Sen

2) Cos

x

1 Cosx

2

2

x

1 Cosx

2

2

E=

6

Q = Cscx +

3

3Senx 4Sen3 x 3

Sen3 x

3

3Senx(1 Sen2 x ) 3Cosx (1 Cos2 x ) Senx Cos2 x

Cosx

2

Senx

Cosx Sen x E = Cotx

5) Calcula : K = Sen10°Sen50°Sen70°

Multiplicando por 4 4k = 4Sen10°Sen50°Sen70°

Q = Cot x/2

3Tanx - Tan3 x

Cos3 x Co3x

Solución :

Q = Cscx + Cotx

b) Cos3x = 4Cos x – 3Cosx

Sen3x Sen3 x

Cos x ( 4Cos x 3Cosx )

E=

Csc2x + Cot2x Cotx

3.1.- PRINCIPALES ECUACIONES

c) Tan3x =

3 - 2)

Cot2x

3

E=

E = ( 2 + 1 – 1) (2 +

Q = Cscx + Csc2x + Csc4x + Cot4x

a) Sen3x = 3Senx – 4Sen x

4) Simplifica :

E=

Solución : Por propiedad :

1 tan2 x 2

=1

Solución :

2) Reduce : Q = Cscx + Csc2x + Csc4x + Cot4x

= Cscx + Cotx

1 tan2 x

Además:

Sen2θ Secθ 2

Tan x / 2

Solución : Por las equivalencias: E = (Csc45°+Cot45°-1) (csc30° +Cot30°-2)

E= b) Cot

Csc 2 x / 2

b) 4CosxCos(60-x)Cos(60+x) = Cos3x

2.1.-EQUIVALENCIAS IMPORTANTES

2

2 tan x

2

NOTA : El signo ( ) depende del cuadrante en el cual se encuentra el ángulo mitad y de la R.T que la está afectando.

2).- Cos2x = Cos x – Sen x 2 * Cos2x = 1 – 2Sen x 2 * Cos2x = 2Cos x - 1 3).- Tan 2x =

1 Cosx

c) TanxTan(60° - x) Tan(60°+x)=Tan3x

1).- Sen2x = 2SenxCosx 2

x

a) 4Senx Sen(60 – x) Sen(60+x) = Sen3x

4k = Sen30° = ½

3) Si : Cscx + Cotx = Cos

k = 1/8

1 - 3Tan2 x Csc 2 x

3.2.-OTRA FORMA EXPRESAR

Halla :

DE

2

Solución: En el dato : Cot x/2 = Cos

a) Sen3x = Sen2x (2Cos2x + 1) b) Cos3x = Cosx(2Cos2x – 1) c) Tan3x =Tanx

Tanx

Sen2θ

2

PRÁCTICA DIRIGIDA Nº08

Secθ 2

1).- Reduce : A = Ctg Tan x/2 = Sec

Reemplazando :

2Cos2x 1

1 Cot 2 x / 2

2Cos2x 1

Sen2θ

Secθ Secθ 2

134

a) 1 d) Cos b/2

1 Cos2θ Sen2θ 2

5º SECUNDARIA – III PERÍODO - 2008

b 2

(Csb – Ctgb)

b) Tg b/2 e) Sec b/2

c) Tg b

I.E.P. “DOSCIENTAS MILLAS PERUANAS” 9).- Calcula el valor de la expresión :

2).- Calcula el valor : Tg /8 a)

2-1

b)

c) 2 - 2

e)

2

Tg2 x / 2

2 /4

a) 1 d) 3/2

3).- Si : 3 /2 < x < 2x y Cosx = 1/9 . Calcula: Csc x/2 a) 1,0 d) 1,5

b) 1,2 e) 1,6

c) 1,4

4).- Siendo Cos = 0,28 y Sen < 0. Calcula el valor de : “Cos /2”

5 /5

c) 4/5

5).-Siendo : Cos = 1/4 donde /2>. Calcula el valor de : 3 Sen /2 +

y

J=

2 cos 5 x. cos 2x

b) 2Senx Cosy=Sen(x+y)– Sen(y – x); x y 0

Sen y = x -1

x

1

π 2

x

1

Tg y = x x

3.3.-ARCTgx+ARCTgy=

x

y

1 xy

Si : xy 1; x>0 Si: xy >1; x