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Planificación de Proyectos

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3.3 Costos y Duración óptima de un Proyecto en el Pert/Cpm Planteado el grafo de actividades y la estimación de cada duración, se procederá a la evaluación de la duración y el costo óptimo del proyecto. El análisis detallado de las implicancias de los premios y/o castigos (en dinero) sobre el plazo contractual, es lo que determina que la culminación del proyecto se mantenga en el plazo previsto o se tenga que proceder a su aceleración. El sistema PERT – CPM/Costos, nos presenta una técnica de cálculo de cómo determinar el costo de un proyecto conociendo las limitaciones en la aceleración de las actividades y las posibles alternativas en las variaciones de los costos directos, mediante la combinación denominada “duración óptima – costo mínimo”. El planteamiento de cálculo de este sistema, considera que el costo total es el resultado de la sumatoria de un costo directo que crece a medida que se acorta la duración y un costo indirecto que aumenta proporcionalmente con el tiempo de ejecución. V.1 COSTOS En cualquier tipo de empresa, los gastos generales son clasificados en directos e indirectos. COSTO DIRECTO (CD): Este costo está representado por el valor de los insumos consumidos directamente en realizar la actividad (producción): materiales, equipos, jornales de la mano de obra. Por la forma del desarrollo de la actividad, el costo directo puede ser: costo normal o costo tope. COSTO NORMAL (CN): Es el costo de una actividad realizada en condiciones normales de trabajo. Este costo es la estimación basada en la duración normal (tN) de ejecución de la actividad. COSTO TOPE (CT): Es el mayor de los costos de un actividad, cuando ya es imposible lograr una disminución en la duración de su ejecución. COSTO INDIRECTO (CI): Son aquellas derivadas de la estructura organizativa de la obra u empresa; administración, gastos generales (sueldo de empleados, financiación, licencias, seguros, publicidad, etc.) Los costos indirectos son directamente proporcionales al tiempo. Gráficamente se representa por una recta que nace del origen del sistema de coordenadas: costos vs. tiempo.

COSTO TOTAL (CT): Los costos totales son iguales a la suma de los costos directos y los costos indirectos. MULTAS Y PREMIOS En la contratación para la ejecución de proyectos se señala el pago de multas en unidades monetarias por cada unidad de tiempo de retraso en la entrega de la obra a partir del plazo contractual. La gráfica de multas es una recta que nace en le punto correspondiente al plazo contractual y se extiende con pendiente m. En algunos contratos se especifica el pago de premios a favor del contratista por la entrega anticipada de la obra a razón de unidades monetarias por cada unidad de tiempo adelantado en la entrega. La gráfica de la recta de premios pasa por el punto que señala el plazo contractual y se extiende con pendiente p.

Ing. Lino Martin Quispe Tincopa

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UNIDADES MONETARIAS Se ha realizado que la realización de toa actividad productiva, demanda el consumo de diversos recursos: mano de obra, materiales, equipos, tecnología, etc.; donde cada uno de ellos pueden valorarse mediante el uso de una cantidad monetaria. Razón por la que al plantearnos los costos de las actividades de un proyecto, todos los cálculos tendrán que basarse en un patrón monetario; llámese: dólares, marcos, pesos, soles, etc. V.II RELACIÓN ENTRE LA DURACIÓN Y EL COSTO DIRECTO DE UNA ACTIVIDAD Siempre que se quiera acelerar una actividad, habrá que gastar más dinero, debido al pago de diversos adicionales; veamos un ejemplo aclaratorio. Supongamos que el tiempo normal de realización de una actividad es 10 días empleando para ello 4 máquinas y 4 operarios. Analicemos las posibles alternativas para acelerar la realización de la actividad. Alternativa Nº 1: tiempo normal. 4 hombres trabajando con un turno diurno de 8 horas durante 10 días. Alternativa Nº 2: 8 operarios trabajando en la siguiente forma: 4 hombres trabajando con un turno diurno de 8 horas durante 8 días. 4 hombres trabajando con 2do. turno de 8 horas durante 2 días. Alternativa Nº 3: 8 operarios trabajando en la siguiente forma: 4 hombres trabajando con turno diurno de 8 horas durante 6 días. 4 hombres trabajando con 2do. turno de 8 horas durante 4 días. Alternativa Nº 4: 12 operarios trabajando en la siguiente forma: 4 hombres trabajando con turno diurno de 8 horas durante 4 días. 4 hombres trabajando con 2do. turno de 8 horas durante 4 días. 4 hombres trabajando con 3er. Turno de 8 horas durante 2 días. Alternativa Nº 5: Si se utiliza más de 12 operarios para realizar el trabajo, el costo se disparará sin disminuir la duración del trabajo. Alternativa Nº 6: Si se utiliza 3 operarios, el trabajo se largará a 13.3 días. Alternativa Nº 7: Si se utiliza 2 operarios, el trabajo se alargará a 20 días. Alternativa Nº 8: Si se utiliza 1 operario, el trabajo se alargará a 40 días. En las alternativas con sobretiempo, los costos por mano de obra serán mayores por el pago de adicionales y si la duración es mayor a la normal, los costos también serán mayores.

En la práctica, para facilitar el cálculo de la pendiente de costos duraciones, se sustituye la curva por la línea recta.

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ij

PENDIENTE DE COSTOS DIRECTOS DE UNA ACTIVIDAD ( ) La determinación de la pendiente de costos, reporta el incremento del costo directo por la unidad de tiempo. La pendiente de costos se determina por la fórmula:

Para el ejemplo propuesto, determinemos su pendiente de costos. Duración Normal tN = 10 días Costo Normal CN = 54400 UM Duración Tope tT = 4 días Costo Tope CT = 67840 UM

Lo que quiere decir, que al disminuir en un día el trabajo, el costo directo aumenta 2240 UM.

Ing. Lino Martin Quispe Tincopa

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V.3 ACELERACIÓN DE UN PROYECTO EN FUNCION DEL COSTO Para acelerar o reducir la duración de un proyecto o actividad, se puede utilizar diversos procedimientos de operación entre los que se encuentran: a) b) c) d) e) f) g)

Sobretiempo del personal existente Asignar más personal a las tareas. Uso de maquinaria más sofisticada Uso de tecnología más avanzada o empleo de nuevas estrategias de ejecución. Trabajar con diferentes horarios. Usar personal con más experiencia, con mayores salarios. Incentivar con premios al personal.

CRITERIO DE ELECCIÓN DE ACTIVIDADES PARA EL ACORTAMIENTO DE LA DURACION DEL PROYECTO. Para plantear la aceleración del proyecto, se deberá tener en cuenta los siguientes criterios básicos: 1º La reducción de tiempos deberá comprender a las actividades que pertenecen a las rutas críticas. 2º Elegir – por prioridades – entre estas actividades, las que tienen menor incremento de costo por unidad de tiempo. El problema del trazado de la curva de costo directo total mínimo del proyecto, se hará por el método de las “compresiones sucesivas de las duraciones de las actividades”, puntos que serán valorados por la secuencia de un número necesario de programación.

PROBLEMA 1D Dado el grafo de actividades de un proyecto, detallando: Actividades duraciones normales duraciones topes de realización y sus costos respectivos, determine la curva de costos directos.

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Las duraciones están reportadas en semanas. SOLUCIÓN Los caminos de la Red. Analicemos los posibles caminos con sus duraciones normales en el grafo correspondiente. Camino 1 Camino 2 Camino 3 Camino 4 Camino 5 Camino 6 Camino 7 Camino 8 C7 50

>

TP 0

+

TP 0

+

TP 0

+

TP 0

+

TP 0

+

TP 0

+

TP 0

+

TP 0

+

C3 42

>

A 8

+

A 8

+

A 8

+

C 12

+

C 12

+

B 10

+

B 10

+

B 10

+

C8 38

>

E 20

+

D 9

+

D 9

+

I 5

+

H 13

+

F 15

+

F 15

+

G 16

+

C5 37

>

K 5

=

33

I 5

+

K 5

H 13

+

K 5

J 7

=

27

+

K 5

=

22

J 7

+

K 5

=

37

I 5

+

K 5

=

35

H 13

+

+

K 5

J 7

+

C6 35

>

J 7 K 5 C1 33

=

=

42

=

50

38 >

C2 27

>

C4 22

El camino más largo con duración “todo normal” es el camino 7, que por definición es el camino crítico. PRIMERA PROGRAMACIÓN: con duraciones “todo normal”. Para verificar la ruta crítica, hagamos los cálculos en la siguiente red y resumamos los valores en el cuadro Nº 1.

En esta primera programación se tiene un costo directo total mínimo con duración más larga. SEGUNDA PROGRAMACIÓN: Con duraciones “topes” Los valores de la red de cálculo con las duraciones topes están resumidos en el cuadro Nº 2.

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La duración total del proyecto con duraciones topes en la realización de las actividades, ha disminuido a 30 semanas, mientras que los costos directos han aumentado a 14’950,000 UM. Se observa que según la combinación duración – costo que se elija, para una misma duración del proyecto, existen varios valores en los costos, pero nuestro propósito es determinar el costo directo mínimo para cada duración. TERCERA PROGRAMACIÓN: Con aceleración de las actividades de la ruta crítica. Como ya conocemos la duración normal y la duración tope, los puntos intermedios de la curva, podrán ser determinadas por el método de las “compresiones sucesivas de las duraciones de las actividades”. ¿Cuál de las actividades debe ser reducido? ¿En qué cantidad se debe reducir la actividad elegida? Para contestar a al primera pregunta, analicemos las actividades que están en la ruta crítica con duraciones “todo normal”. Actividades Ruta Crítica 0–1 TP 1–3 B 3–4 F 4–5 H 5–6 J 6–7 K

Variación Duración 0/0 10/7 15/10 13/5 7/5 5/5

ij

0 166,667 130,000 50,000 425,000 150,000

La actividad que tiene menor pendiente de costo directo es la H (4 – 5), ésta se puede reducir hasta 5 semanas, si la reducimos hasta su tope, tendremos que la duración del proyecto es igual al camino 3 (42 semanas).

Los cálculos de esta programación están resumidos en el cuadro Nº 3 CUARTA PROGRAMACIÓN: Con aceleración de las actividades de la ruta crítica. En cada programación debemos obtener para la duración considerable, el menor costo directo para el proyecto y esto se conseguirá “jugando” con los valores de duraciones y costos de las actividades Actividades Ruta Crítica 0–1 TP 1–3 B 3–4 F 4–5 H 5–6 J 6–7 K

Ing. Lino Martin Quispe Tincopa

Variación Duración 0/0 10/7 15/10 13/5 7/5 5/5

ij

0 166,667 130,000 50,000 425,000 150,000

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La actividad H ya ha sido reducido a su tope, la actividad F es la que sigue con menor pendiente de costo, pudiendo ser reducida hasta 10, por ahora sólo vamos a reducirlo hasta 11 semanas, obteniendo que la duración del proyecto es igual al camino 8 (38 semanas). Los cálculos de esta programación están resumidos en el cuadro Nº 4.

QUINTA PROGRAMACIÓN: Con aceleración de las actividades de la ruta crítica. Analicemos las actividades críticas. Actividades Ruta Crítica 0–1 TP 1–3 B 3–4 F 3–5 G 4–5 H 5–6 J 6–7 K

Variación Duración 0/0 10/7 15/10 16/12 13/5 7/5 5/3

ij

0 166,667 130,000 132,500 50,000 425,000 150,000

La actividad F sólo puede ser reducido en 1 semana para llegar a su tope y necesariamente la actividad G también tendrá que ser reducido en 1 semana, obteniendo que la duración del proyecto es igual al del camino Nº 5 (37 semanas) Los cálculos de esta programación están resumidos en el cuadro Nº 5.

SEXTA PROGRAMACIÓN: Con aceleración de las actividades de la ruta crítica. El análisis de las actividades críticas: Actividades Ruta Crítica 0–1 TP 1–3 B 3–4 F 3–5 G 4–5 H 5–6 J 6–7 K

Ing. Lino Martin Quispe Tincopa

Variación Duración 0/0 10/7 15/10 16/12 13/5 7/5 5/3

ij

0 166,667 130,000 132,500 50,000 425,000 150,000

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Las actividades F y H ya han llegado a su tope, la actividad K es la que sigue son el menor pendiente de costos directos, reduciéndola hasta su tope, tendremos que la duración del proyecto es 35 semanas igual al del camino 6. Los cálculos de esta programación están resumidos en el cuadro Nº 6.

SEPTIMA PROGRAMACIÓN: Con aceleración de las actividades de la ruta crítica. Actividades Ruta Crítica 0–1 TP 1–3 B 3–4 F 3–5 G 4–5 H 5–6 J 6–7 K

Variación Duración 0/0 10/7 15/10 16/12 13/5 7/5 5/3

ij

0 166,667 130,000 132,500 50,000 425,000 150,000

Las actividades F, H, K ya han llegado a su tope, la actividad B es la que sigue con el menor pendiente de costos directos, vamos a reducirla hasta 8 semanas, obteniendo así que la duración del proyecto es igual al del camino 1. Los cálculos de esta programación están resumidos en el cuadro Nº 7.

OCTAVA PROGRAMACIÓN: Con aceleración de las actividades de la ruta crítica. Se procederá en la misma forma que en las programaciones anteriores. Actividades Ruta Crítica 0–1 TP 1–3 B 3–4 F 3–5 G 4–5 H 5–6 J 6–7 K

Variación Duración 0/0 10/7 15/10 16/12 13/5 7/5 5/3

Vamos a reducir la actividad B hasta su tope de 7 semanas. Los cálculos de esta programación están resumidos en el cuadro Nº 8.

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ij

0 166,667 130,000 132,500 50,000 425,000 150,000

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NOVENA PROGRAMACIÓN: Con aceleración de las actividades de la ruta crítica. Las actividades B y F han llegado a su tope, lo que impide reducir a las actividades críticas A y D. La única actividad crítica que se puede reducir es la J, si a e sta la reducimos a 4 semanas, dará lugar a la aparición de una nueva actividad crítica (E). Los resultados de esta programación están resumidos en el cuadro Nº 9.

DÉCIMA PROGRAMACIÓN: Con aceleración de las actividades de la ruta crítica. La actividad crítica J aún se puede reducir en 1 semana para llegar a su tope, procediendo así, consecutivamente E también debe ser reducida en 1 semana. Con esta programación hemos llegado a la duración del proyecto, tal como fue calculado con la segunda programación. Los cálculos de esta programación están resumidos en el cuadro Nº 10.

TRAZADO DE LA CURVA Con los valores obtenidos en las programaciones precedentes, se podrá trazar la curva de costos directos totales mínimos.

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En la figura siguiente se visualizará la curva de costos directos totales mínimos del proyecto propuesto. En un proyecto complejo habrá miles de combinaciones de duraciones para cada duración determinada del proyecto, haciendo difícil su determinación mediante el método propuesto, sin embargo con el empleo de un modelo matemático y un ordenador, se facilitará su solución.

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La elección de una programación óptima depende del objetivo que se persiga. Para elegir la programación más económica de un proyecto, se debe considerar algunas veces los costos directos ( CD) y los costos indirectos (CI), y otras veces además de las mencionadas, las multas (m) y los premios (p). La visualización gráfica de cómo elegir la programación óptima, está representada por la curva de costo total (CD + CI). PROBLEMA 2D Considere que para el ejemplo anterior, el costo indirecto, responde a la fórmula: CI = 500,000 + 10,000 TP Donde TP es la duración del proyecto. Determine la duración óptima y el costo total mínimo del proyecto. SOLUCIÓN Los valores para el trazado de las curvas correspondientes, están resumidos en el cuadro siguiente: Duración (sem.) 50 42 38 37 35 33 32 31 30

Costo Directo (UM) 10’170,000 11’570,000 11’090,000 11’532,000 11’652,000 11’985,834 12’152,501 12’577,501 13’032,501

Costo Indirecto (UM) 1’000,000 920,000 880,000 870,000 850,000 830,000 820,000 810,000 800,000

Costo Total (UM) 11’170,000 11’490,000 11’970,000 12’222,000 12’502,500 12’815,834 12’972,501 13’387,501 13’832,501

La programación óptima se determina por la ubicación del punto mínimo en la curva de costo total, véase la figura siguiente:

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PROBLEMA 3D Con los datos del diagrama de actividades, duraciones y costos, determine: 3.1 La pendiente de costos directos para cada actividad. 3.2 El número de caminos que presenta la red. 3.3 Las duraciones de cada camino con los datos de “todo normal” 3.4 La duración y el costo directo en el punto “todo normal” del proyecto. 3.5 La duración “tope” del proyecto 3.6 Por el procedimiento de “compresiones sucesivas de las actividades de la red”, efectúa diez (109 programaciones como mínimo y determine para cada una su duración y su correspondiente costo. 3.7 Con los valores obtenidos en el ítem 3.6 trace una curva: duración versus costo directo. 3.8 Si los costos indirectos crecen proporcionalmente con el tiempo a razón de 200,000 UM/Semana, trace una curva duración versus costos totales y por ploteo determine la duración óptima y el costo mínimo para la ejecución del proyecto. 3.9 El contrato para la elección de la obra especifica que “si la entrega de la obra se adelantara, el contratista se hará acreedor de un premio equivalente a un porcentaje (%) del costo indirecto igual al número de semanas adelantadas a la duración óptima ¿a cuánto ascenderá el premio si el contratista adelantara la entrega en 8 semanas? 3.10 En otro acápite, el contrato estipula que “el contratista sufrirá una multa de 8% del costo indirecto por cada semana de atraso”, ¿a cuánto ascenderá la multa si se atrasa la entrega de la obra en 9 semanas? 3.11 Considerando lo que señala el contrato, determine los valores de cada uno de los premios que corresponderían a las duraciones determinadas en el ítem 3.6.

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3.12 Determine los valores de las multas que corresponderían si la entrega de la obra va más allá de la duración óptima determinada en el ítem 3.8. 3.13 Determine la duración óptima y el costo mínimo del proyecto al incluir multas y premios. Actividades i j Desc. 0 1 1 2 1 3 1 4 2 5 2 6 3 6 3 7 4 7 4 8 5 9 5 6 6 9 6 10 6 7 7 11 7 12 8 12 9 13 9 14 10 14 11 14 12 14 12 15 13 16 14 16 14 17 15 17 16 18 17 18 18 19

Símbolo TP A B C D E F G H I J FIC K L FIC M N P Q R S T V U W X Y Z AB AC AD

Duraciones Normal 0 7 12 18 20 5 9 16 11 22 7 0 25 6 0 19 40 23 13 6 10 13 9 30 8 7 11 16 19 8 7

Tope 0 4 7 11 13 2 7 12 7 15 7 0 20 5 0 15 33 11 9 4 10 10 5 20 8 4 5 11 13 5 3

Costos Normal 0 200,000 600,000 2’000,000 700,000 100,000 350,000 500,000 900,000 1’200,000 250,000 0 1’700,000 450,000 0 850,000 3’500,000 100,000 350,000 550,000 3’050,000 150,000 2’100,000 2’000,000 720,000 140,000 1’000,000 1’800,000 950,000 390,000 2’005,000

Tope 0 950,000 1’800,000 3’100,000 1’500,000 750,000 1’050,000 1’500,000 1’670,000 2’000,000 250,000 0 2’350,000 950,000 0 2’050,000 4’750,000 2’050,000 950,000 1’100,000 3’050,000 555,000 2’500,000 3’200,000 720,000 640,000 1’400,000 2’600,000 1’350,000 1’350,000 2’755,505

PROBLEMA 4D Dado el grafo de un proyecto con sus duraciones normales y topes, determine la duración óptima y el costo mínimo del proyecto.

Actividades A B C D E F G H I

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Costos Normal 50,000 120,000 100,000 135,000 300,000 180,000 750,000 500,000 240,000

Topes 400,000 1’200,000 900,000 750,000 1’050,000 880,000 1’500,000 1’000,000 777,000

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Considere que los costos indirectos responden a la fórmula: CI = 250,000 + 250TP PROBLEMA 5D Las actividades de un proyecto, duraciones y reducciones posibles y costos unitarios de acortamiento son las mostradas a continuación. Actividad Duración Reducción posible Costo unitario por acortamiento

A 6

B 9

C 5

D 6

E 8

F 16

G 5

H 9

I 20

J 11

K 10

L 15

M 18

N 6

4

7

3

4

6

11

3

7

15

7

5

10

13

3

12

9

7

5

3

10

6

8

13

3

1

9

7

4

(!)La pendiente de costos están dadas en 1000 UM. Las relaciones de precedencia para construir el grafo son: Actividad A B C D E F G H I J K L M N

Precedencia A A A B, C B, C B, C E, F E, F D, I G, J G, H, J K, L, M

Se pide: 5.1 Reducir la duración del proyecto hasta su tope mediante el método de las “compresiones sucesivas de las actividades de la red”. Considere que los costos indirectos responden a la fórmula: CI = 160 + 90 TP

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