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Nicolás Copérnico

REVOLUCIONES DE LAS ORBITAS CELESTES TOMO I

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

Nicolás Copérnico

REVOLUCIONES DE LAS ORBITAS CELESTES TOMO I

Llega esta obra, a la comunidad estudiosa del Instituto Politécnico Nacional, sin fines de lucro

Revoluciones d e las órbitas celestes - Tomo I Nicolás Copémico D.R. © 1999 INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ISBN 968-7001-76-3

Primera Edición Impreso en México

PRESENTACIÓN

La actividad editorial desarrollada por el Instituto Politécnico Nacional, está encaminada al cumplimiento de objetivos fundamentales, tales como: el abatimiento del costo de los textos de apoyo para los planes de estudio de diversas carreras y disciplinas que se cursan en la institución, y el estímulo al profesorado para que su esfuerzo en el campo de la investigación técnica y científica y su experiencia en la cátedra, se plasmen en volúmenes que circulen entre el mayor número de estudiantes, docentes e investigadores. En este contexto, iniciamos la publicación de una nueva colección de libros institucionales de carácter académico y costo reducido, que ofrece a los jóvenes estudiantes de los niveles medio superior y superior un acceso más directo hacia el conocimiento forjado en el esfuerzo y la dedicación de los docentes e investigadores del propio Instituto. Este material bibliográfico especializado, se nutre en parte de trabajos originales de nuestra planta de profesores, lo que reviste la mayor importancia puesto que además de contemplar de forma particular los

aspectos pedagógicos específicos que desarrollan en su práctica diaria, permite incentivarlos y demuestra que en México contamos con la suficiencia científicotécnica que nos permitirá impulsar el desarrollo del país. Este programa editorial pretende abarcar gran parte de las materias que integran el conjunto de planes de estudio del Instituto y reflejar en sus publicaciones la unificación de esfuerzos y voluntades que, sin lugar a dudas, repercutirán en una entusiasta aceptación estudiantil. Además, se inserta en el espíritu que ha distinguido siempre al Politécnico, de realizar la encomiable tarea de llevar el conocimiento científico y tecnológico a los sectores mayoritarios de nuestro país. En un periodo histórico como el que vivimos, esta tarea reviste suma importancia, ya que se hace en extremo urgente extender la ayuda institucional para que nuestros educandos encuentren los apoyos que les faciliten el continuar sus estudios profesionales, tan necesarios para el desarrollo de la nación. Este proyecto editorial seguramente marcará un nuevo rumbo en el proyecto académico del Instituto Politécnico Nacional, e impactará en la educación tecnológica y en el desarrollo integral del México del siglo XXI.

Diódoro Guerra Rodríguez

I N D I C E

Al Santísimo Señor Paulo I I I , Sumo Pontífice Prefacio a los Libros de las Revoluciones

13 15

L IB RO PR IM E R O P ro em io

Capitulo 1.— Que el m undo es esférico Capítulo I I .—Q ue la T ierra también es esférica Capítulo I I I .— Cómo la tierra con el agua forma u n globo Capitulo I V .—Q ue el movimiento de los cuerpos celestes es igual, circular y perpetuo, o sea compuesto de movimientos circulares Capítulo V .—Si tiene la T ierra un movimiento circular y del lugar que ocupa Capitulo V I.—De la inmensidad del cielo a la magnitud de la T ierra Capitulo V I I .—Por qué los antiguos pensaron que la T ierra descan­ saba en medio del m undo como su centro Capítulo V I I I .—Contestación a dichas razones y su insuficiencia Capitulo I X .—Si se pueden atribuir a la T ierra varios movimientos, y del centro del m undo Capitulo X .—Del orden de las órbitas celestes Capítulo X I .—Demostración del triple movimiento de la T ierra Capítulo X I I .—D e las líneas rectas que se subtienden en un círculo Capítulo X I I I .—D e los lados y ángulos de los triángulos planos rectilíneos Capitulo X I V . —D e los triángulos esféricos

23 25 25 26 28 29 31 33 34 37 38 43 47 58 62

Proemio Capitulo I .—De los círculos y sus nombres Capitulo I I .—D e la oblicuidad de la eclíptica y la distancia de los trópicos y como se determinan Capítulo I I I .—De los arcos y ángulos en que se cortan los círculos del ecuador, de la eclíptica y del meridiano, y como se calculan con ellos declinaciones y ascensiones rectas Capítulo I V .—Cómo determ inar la declinación y ascensión recta de un astro situado fuera del círculo que pasa por en medio de los signos, pero cuya longitud y latitud h a sido establecida, y con que grado del zodíaco divide por la m itad el ciclo Capítulo V .—Sobre las secciones del horizonte Capítulo V I .—Cuales son las diferencias entre las sombras del medio­ día Capítulo VII. —De qué modo el día más largo, la latitud del orto y la inclinación de la esfera, se derivan entre sí, y sobre la diferen­ cia de los días Capitulo VIII. —D e las horas y partes del día y de la noche Capitulo I X. —De la ascensión oblicua de las partes del zodíaco y de que modo para cualquier grado del orto determinaremos el grado que está en medio del cielo Capítulo X. —Sobre el ángulo de sección de la eclíptica con el ho­ rizonte Capítulo XI . —Del uso de estas tablas Capítulo XI I . —De los ángulos y de los arcos de círculos que pasan por los polos del horizonte y cortan el mismo círculo de la eclíptica Capítulo XI I I . —Del orto y ocaso de los astros Capítulo X I V.—De la búsqueda de los lugares de las estrellas y del catálogo de las estrellas fijas Catálogo de los Signos y Estrellas y primeramente de las que están en la región septentrional De las que están en medio y alrededor del Círculo del Zodíaco De las que están en la Región Austral

81 82 83

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88 92 93

95 98

104 106 111

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113 115 121

139 159

X ir o tá t C o p itn ic o , te lra to al ó leo p in ta d o en r l tig lo X V I

AL SANTISIMO SEÑOR PAULO III, SUMO PONTIFICE NICOLAS COPERNICO

PR E FA C IO A LOS LIB R O S D E LAS R E V O L U C IO N E S Ciertamente, Santísimo Padre, puedo darm e cuenta de que tan pronto como ciertas personas se enteren que en mis libros, que escribí sobre las Revoluciones de las esferas del mundo, atribuyo al globo terrestre cierto movimiento, en seguida vociferarán contra tal opinión para rechazarla, porque mi obra no me agrada de tal modo, que no considere lo que de ella otros juzgaren. Y aunque yo sepa que los razonamientos de los filósofos están más allá del juicio del vulgo, debido a que el estudio de ellos es buscar la verdad en todas las cosas, puesto que Dios lo h a perm itido a la razón hum ana, sin embargo, creo que deberíamos apartam os enteram ente de las opiniones ajenas a la rectitud. Y cuando consideré cuan absur­ da parecerá esta dxQÓafia (acroama) a quienes saben que la opinión de la Tierra colocada inmóvil en medio del cielo como su centro, fue con­ firm ada por el juicio de muchos siglos, si yo asegurase, por el contrario, que la T ie n a se mueve, largo tiempo dudé en mi interior si daría a la luz los comentarios que escribí, o fuese mejor seguir el ejemplo de los pitagó­ ricos y algunos otros, que no por escrito, sino de palabra, solían transmitir sólo a sus parientes y amigos los misterios d e su filosofía, como testifica Lisis en su carta o Hiparco. Sin embargo, me parece que hicieron esto, no como algunos juz­ garon, por una m ala gana envidiosa en comunicar sus doctrinas, sino para que la hermosura de este asunto investigado por grandes varo­ nes, no fuese despreciado por aquéllos a quienes la pereza no deja dedicarse a ningún trabajo d« letras, sino a lo más lucrativo, o por quiénes fueren estimulados con exhortaciones y ejemplos de otros al liberal estudio de la filosofía, y que por la estupidez de su ingenio

están entre los filósofos como zánganos entre abejas. Por tanto, cuando yo reflexionaba sobre esto, el tem or al desprecio que me viniese por la novedad y absurdidad de mi opinión, casi me obligó a abandonar por completo la obra propuesta. Pero mis amigos m e retrajeron de m i larga vacilación y resistencia. El prim ero entre ellos fue Nicolás Schonbcrg, cardenal de C apua, céle­ bre en to d a clase de doctrinas. El siguiente fue m i devoto amigo Tiedcman Giese, obispo de Culxn, muy estudioso de las sagradas y de todas las buenas letras. Este, en efecto, muchas veces me exhortaba, y añadiendo a veces los reproches, insistía en que publicase este libro y lo dejase por fin aparecer, pues conmigo ha estado oculto no sólo nueve años, sino ya por cuatro novenios. Lo mismo hicieron otros varios eminentísimos y doctísimos varones, urgiéndome a que no rehusase por más tiempo a comu­ nicar mi obra, por el miedo que yo sentía, p ara la común utilidad de los estudiosos de las matemáticas. Decían que cuanto más absurda parezca a algunos ahora esta doctrina m ía del movimiento de la T ierra, tanta más admiración y favor obtendrá después de la publicación de mis co­ mentarios, cuando esas mismas personas vean disipada la niebla de la obscuridad por la claridad de mis demostraciones. Pues convencido por estos persuasores y por aquella esperanza, por fin permití a mis amigos em prender la edición del trabajo que tanto tiempo solicitaron. Y quizá no adm irará tanto a T u Santidad que me atreva a sacar a la luz mis lucubraciones, después que tanto trabajo me tomé en elabo­ rarlas y en escribir mis pensamientos sobre el movimiento de la Tierra, como estarás ansioso de oír de mí, qué es lo que me vino a la mente y tanto dudé para que me decidiese a im aginar algún movimiento de la Tie­ rra, contra la opinión general de los matemáticos y casi contra el sentido común. Y, por tanto, no quiero ocultar a T u Santidad, que nada me mo­ vió más a pensar en otra razón p ara deducir los movimientos de las esferas del mundo, que el haber sabido de los matemáticos, que ellos mismos no están de acuerdo sobre aquéllos. Porque, en prim er lugar, los m atem á­ ticos han estado tan inciertos del movimiento del Sol y de la Luna, que no pudieron observar y dem ostrar la perpetua m agnitud del ciclo anual, luego, al establecer los movimientos solares y lunares, y de las otras cinco estrellas errantes, no utilizaron los mismos principios, suposiciones y demostraciones que para las revoluciones y movimientos aparentes. Porque algunos usaron sólo círculos homocéntricos, otros, círculos ex­ céntricos y epiciclos, sin que sus investigaciones llegaran a la plen3 con­ firmación. Los que tuvieron por cierto el homocentro, aunque llegasen a demostrar los diversos movimientos componentes, sin embargo, no

pudieron demostrar nada seguro, que concordase con los fenómeno». Mas los que pensaron en los círculos excéntricos, aunque pareció que por esta teoría resolvieron numéricamente gran parte del movimiento, mientras tanto, admitieron muchas cosas, que contradecían los primeros principios de la regularidad del movimiento, como se vio después. Además, no fueron capaces de describir o de deducir de aquella teo­ ría la cosa principal, es decir, la forma del m undo y la definida simetría de sus partes. Les ocurrió como si alguien tuviese manos, pies, cabera y otros miembros tomados de distintos lugares, bellos, pero que no guardan la proporción del cuerpo representado, ni la correspondencia entre sí, de modo que con ellos compusieran más un monstruo que u n hombre. Y así en el proceso de la demostración, que llamaron método, se olvidaron de al­ go muy necesario, o encontraron haber adm itido cosas ajenas, que de nin­ guna m anera pertenecían al objeto. Lo cual no habría acontecido de ningún modo si hubieran seguido principios ciertos. Porque si las hipótesis admitidas por ellos no fueran falsas, todo lo deducido de ellas hubiera podido ser comprobado sin duda alguna. Y aunque lo que digo es cosa obscura, en su lugar será más clara. Pues bien, como repasara mucho tiempo conmigo esta incertidumbre de las matemáticas tradicionales para deducir los movimientos de las esferas del orbe, comenzó a entristecerme que los filósofos, que en otros aspectos han averiguado con sumo cuidado los menores detalles del mundo, no hayan descubierto ningún esquema seguro acerca de los movimientos de la máquina del universo, que fue creado p ara nosotros por el Optim o y Regulador Artífice. Por lo cual me tomé el trabajo de releer todos los libros de los filósofos que pudiera conseguir, para indagar si alguno opinó alguna vez, que el movimiento de las esferas del m undo fu e* otro del que proponen los que enseñan matemáticas en las escuelas. Y ciertamente, encontré en Cicerón, que Niceto fue el primero en afirm ar que la T ie ija se mueve. Después, encontré en Plutarco que varios otros fueron de la misma opinión, y con gusto transcribo sus palabras, para que sean conocidas por todos. OI fi¿t Sá Xm fi/r tir rf¡v yijr, QilóXaog dé IJv&ayÓQeiot; xvx?m ncQty¿etodai n tg l xó n vg xataxvxX oü AofotJ ófioágoaü/c >JAúu x a i atXr¡y^. ’HeaxXeldr,e ¿ IJorzixóz xai * £ x ? a n o ? ó /Iv&ay^gciog xiwovai p e r xt¡v yf¡v oi y t perafiaux& {, t gojpríí dU tfp i f f o v t o / i i f r p ánó ÓVGfiwr I jú átazoXáe rtegi t te v. o>

Afín.

40 50

íl* |ii i

110 109 109 108 107 106 105 105 104 103 102 102 101 99 99 99 97 97 96 95 94 93 93 92 91 90 90 89 88 87 86 85 85 84 83 82 81 81 80 79 78 77 77 75 75

Grad. 75 75 75 75 75 76 76 76 78 76 76 77 77 77 77 77 77 78 78 78 78 78 78 79 79 79 79 79 79 80 80 80 80 80 80 81 81 81 81 81 81 82 82 82 82

A fín.

10 20 30 40 50 0 10 20 30 40 50 0 10 20 30 40 50 0 10 20 30 40 50 0 10 20 30 40 50 0 10 20 30 40 50 0 10 20 30 40 50 0 10 20 30

96667 96742 96815 95887 96959 97030 97099 97169 97237 97304 97371 97437 97602 97566 97630 97692 97754 97815 97875 97934 97992 9S050 98107 98163 98218 98272 98325 9S378 98430 98481 98531 98580 98629 98676 98723 9S769 98814 98858 98902 95944 98986 90027 90067 00106 90144

75 73 72 72 71 60 70 68 67 67 66 65 64 64 62 62 61 60 59 58 58 57 56 55 54 53 53 52 51 50 49 49 47 47 46 45 44 44 42 42 41 40 30 38 38

Grad. M in . 82 40 82 50 83 0 83 10 83 20 83 30 83 40 83 50 84 0 84 10 84 20 84 30 84 40 84 50 85 0 85 10 85 20 85 30 85 40 85 50 88 0 86 10 86 20 86 30 86 40 86 50 87 0 87 10 87 20 87 30 87 40 87 50 88 0 88 10 88 20 88 30 88 40 88 50 89 0 80 10 89 20 80 30 40 89 89 50 00 0

99182 99219 99255 90290 99324 99357 90389 90421 90452 90482 99511 99539 99507 99594 99620 99644 99668 99692 99714 99736 99756 99776 99795 99813 99830 99847 99803 99678 99892 99905 99917 99928 90939 90949 90958 999G6 99973 99979 90985 90989 00993 09996 09998 09900 100000

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C a p ít u l o

X III

D E LOS LADOS Y ANGULOS D E LOS T R IA N G U L O S PLANOS R E C T IL IN E O S 1 Dados los ángulos del triángulo, tendremos los lados. Sea, digo, el triángulo ABC que B por el 5 del libro IV de Euclides tiene circunscrito un círculo. Por tanto, los arcos AB, BC y CA estarán dados en grados, de los que 360 grados son iguales a dos ánC gulos rectos. Dados los arcos, los la­ dos del triángulo inscrito en el círcu­ lo los determinaremos como subten­ sas, según Jo expuesto en la tabla anterior, donde se supone que el diám etro tiene 200,000 partes. 2a Pero si se dan dos lados del triángulo jun to con alguno de sus ángulos, conoceremos también el otro lado y los demás ángulos. Porque los lados son iguales o desiguales, y el ángulo dado será recto, agudo u obtuso. Además, los lados dados pueden o no com prender el ángulo dado. Tomemos primero en el triángulo ABC, los dos lados dados iguales A AB y AC, que comprenden el ángu­ lo restantes en la base BC son también conocidos, por ser iguales, como la m itad de la diferencia entre dos án­ gulos rectos y A. Y si el ángulo dado al principio está en la base, nos da enseguida su compañero y restándo­ los de dos rectos, obtenemos el tercero.

dad

Pero dados los ángulos de un triángulo, están dados los lados; y ade­ más la base BC está dada por la tabla, donde AB o AC como radio, tienen 100,000 partes o el diám etro 200,000. 2b Pero si el ángulo BAC comprendido por los lados dados, es recto, el resultado será el mismo. Porque es evidente que la suma de los cuadrados sobre AB y AC, es igual al formado sobre la base BC. Por tanto, BC está dado en longitud, y los lados con su relación m utua. Pero el segmento de círculo que com­ prende un triángulo rectángulo es un semicírculo y la base BC el diámetro. Es decir, las subtensas AB y AC de los ángulos restantes B y C estarán dadas en partes, de las que BC tiene 200,000. Y la tabla nos revelará los ángulos en grados, siendo 180 grados igual a dos ángulos rectos. Lo mismo se obtendrá si BC está dado junto con uno de los lados que forman el ángulo recto, lo que creo consta de modo evidente. 2c Sea ahora dado el ángulo agudo ABC, comprendido por los lados d a ­ dos AB y BC. Del punto A bajemos un a perpendicular a BC, prolongando este lado si fuera necesario, según la normal AD caiga dentro o fuera del triángulo. Con ella se obtienen los dos triángulos rectángulos ABD y ADC, y como los ángulos de ABD están dados, D es recto y B lo cono­ cemos por hipótesis, AD y BD estarán dados por la tabla como sub­ tensas de los ángulos A y B, en partes de las que AB, diám etro del círculo, tiene 200,000 Y en la misma proporción que se da la longitud de AB, se darán análogamente AD y BD; y también CD, que es la diferencia entre BC y BD. Por tanto, en el triángulo rectángulo ADC, conocidos los lados AD

y CD, estarán dados el lado AC buscado y el ángulo ACD por la demos­ tración precedente. 2d Y de otro modo sucede si el ángu­ lo B se baja una perpendicular AD al la­ do BC prolongado, que form a el tri­ ángulo ABD con sus ángulos cono­ cidos. El ángulo ABD exterior al ABC está dado, y el D es recto. Por tantos los lados BD y AD los determinamos en partes, de la que AB tiene 200,000; y como BA y BC están en una relación dada, se deter­ m ina AB en las mismas partes que dan el valor de BD y de toda la recta CBD. Por consiguiente, tam bién en el triángulo rectángulo ADC, al co­ nocerse los lados AD y CD, se deducen el lado AC y los ángulos BAC y ACB, que buscábamos.

Si uno de los lados dado, AC o AB, subtiende el ángulo dado B ; AC se obtiene en partes, de las que el diám etro del círculo que circunscribe el triángulo ABC tiene 200,000 y de acuerdo con la relación dada entre AC y AB, se nos da AB en partes similares. Además, la tabla nos propor­ ciona el ángulo ACB junto con el ángulo restante BAC, por lo que cono­ cemos tam bién la subtensa CB. Y por esta relación se determ ina en cual­ quier magnitud. 4 Dados todos los lados del trián­ gulo, se dan los ángulos. Es sabido, como ya indicamos, que cada uno de los ángulos de un triángulo equilátero es la tercera par­ te de dos rectos. Tam bién está claro para el trián­ gulo isósceles; porque cada uno de

los lados iguales es al tercero, como medio diám etro es a la subtensa del arco, por lo cual se d a en la tabla el ángulo comprendido por los dos lados iguales, siendo 360 grados alrededor del centro iguales a cuatro ángulos rectos. Entonces los dos ángulos en la base también so nos dan como la m itad del ángulo suplementario. Nos falta ahora dem ostrar lo mismo en el caso del triángulo escaleno, que de modo similar dividiremos en triángulos rectángulos. Sea pues el triángulo escaleno ABC, cuyos lados están dados, y al lado más largo BC, bajamos la per­ pendicular AD. Según el 13 del libro I I de Euclides, sabemos que si AB subtiende el ángulo agudo, el cua­ drado sobre AC m ás el cuadrado so­ bre BC, menos el cuadrado sobre AB es igual a dos veces el rectángulo BC, CD. E n efecto, es necesario que C sea ángulo agudo, porque en caso contrario, AB sería el mayor lado, contra la hipótesis de acuerdo con los 17-19 del libro I de Euclides. Por tanto, están dados BD y DC, y determinaremos los triángulos rec­ tángulos ABD y A D C con sus la­ dos y ángulos, como se ha repetido antes a menudo, y así encontramos los ángulos buscados del triángulo ABC. De otro modo. De acuerdo con el 36 del libro I I I de Euclides, po­ demos disponer quizá de un método más cómodo. Si con el lado más corto BC como radio y el punto C como centro, describimos un círculo que corte a los dos lados restantes o a uno de ellos. Consideremos primero cuando corta a los dos, al AB en el punto E y al AC en D. Prolonguemos la recta ADC hasta el punto F , para completar el diámetro DCF. Con es­

ta Construcción está claro el dicho precepto de Euclides, que son iguales los rectángulos FA, AD y BA, A E ; siendo ambos iguales al cuadrado de la tangente al círculo en A. Pero toda la recta AF y sus segmentos están dados, ya que los radios C F y C D son iguales a BC, y AD es la dife­ rencia entre CA y CD. Por lo cual como el rectángulo BA, AE está da­ do, conocemos la longitud de AE y también el resto BE, subtensa del arco BE. A ñidiendo EC, tendremos el triángulo isósceles BCE con todos sus lados dados. Y así se determ ina el ángulo EBC. Por tanto, en el triángulo ABC, los ángulos restantes C y A, pueden calcularse como se h a indicado antes. Sin embargo, si el circulo no corta a AB como en la o tra figura don­ de AB cae en la parte cóncava de la circunferencia, estarán dados BE, el ángulo CBE en el triángulo isósceles BCE y también el ángulo exterior ABC. Y en adelante, con la mism a demostración anterior se nos dan los demás ángulos. Y hemos dicho bastante acerca de los triángulos rectilíneos, en que se basa la m ayor parte de la Geodesia. Ahora pasemos a los esféricos. C a p ít u l o

X IV

D E LO S T R IA N G U L O S E SFERICO S En este lugar tomamos como triángulo convexo al comprendido por tres arcos de círculo sobre una superficie esférica. Pero consideramos la diferencia y m agnitud de los ángulos sobre u n arco del círculo máximo trazado con el punto de sección como polo; y este arco es el interceptado por los cuadrantes de los círculos que form an el ángulo. El arco así esta­ blecido es a toda la circunferencia, como el ángulo de la sección es a cuatro rectos, que hemos dicho contienen 360 grados iguales. I Si tomamos tres arcos de círculo máximo sobre u n a esfera, de los cuales dos cualesquiera juntos sean más largos que el tercero, es claro que con ellos se puede componer un triángulo esférico. Porque lo que aquí se propone de los arcos, está indicado en el pre­ cepto 23 del libro X I de Euclides. Existe la misma proporción entre ángulos y entre arcos y como los círculos máximos pasan por el centro de la esfera, es evidente que los tres sectores de los círculos a que per­

tenecen los tres arcos, ¿orinan un ángulo sólido en el centro de la esfera. Luego, h a sido establecido lo que aquí fue propuesto. II Cualquier arco de un triángulo esférico es m enor que un semicírculo. Porque el semicírculo no forma en el centro ningún ángulo, sino que descansa en una linea recta. M as los dos otros ángulos que intercep­ tan los arcos, no pueden complementar u n ángulo sólido en el centro y por tanto, no form an un triángulo esférico. Y pienso que ésta fue la causa de que en la explicación de Ptolomeo sobre este género de triángu­ los, en particular de la figura del sector esférico, declara que ninguno de los arcos considerados puede ser mayor que un semicírculo. II I En los dos triángulos esféricos que tienen un ángulo recto, la subtensa del doble del lado opuesto a dicho ángulo, es a la subtensa del doble de uno de los lados que forman el ángulo recto, como el diámetro de la esfera es a la cuerda que subtiende el doble del ángulo comprendido en

Sea pues el triángulo esférico ABC, cuyo ángulo C es recto. Digo que la subtensa del doble de AB es a la del doble de BC, como el diámetro de la esfera es a la cuerda del doble del ángulo BAC sobre el círculo máximo de la esfera.

Con A como polo, trace D E, arco de un círculo máximo, y complete los cuadrantes ABD y A CE de los círculos. Y desde el centro F de la esfera, dibuje las secciones comunes de los círculos: FA de los círculos ABD y A C E; FE de los círculos ACE y D E, y FD de los círculos ABD y D E, y además, FC de los círculos AC y BC. Luego trace las perpendi­ culares BG a FA, B I a F C y D K a FE, y añada GI. Si un círculo corta a otro descrito por los polos del prim ero, lo hace en ángulos rectos, por tanto el ángulo comprendido AED será recto y el ACB lo es también por hipótesis; y cada uno de los planos ED F y BCF son perpendiculares al AEF. Por consiguiente, si desde el punto K en el seg­ mento com ún FK E, se levanta una recta normal al plano subyacente, ésta recta y K D formarán un ángulo recto, por definición de planos perpen­ diculares entre sí. Por lo cual, según el 4 del libro X I de Euclides, la recta K D es perpendicular al círculo AEF. Pero si BI fue levantada en la misma relación al mismo plano y de acuerdo con el 6 del libro X I de Euclides, D K es paralela a BI, y FD es paralela a GB porque los ángulos FGB y G FD son rectos, y por el 10 del libro X I de Euclides son iguales los ángulos FD K y GBI. Pero el ángulo FD K es recto, y por definición, G I es perpendicular a IB. Los lados de triángulos semejantes son propor­ cionales, y D F es a BG como D K es a BI, pero BI es la m itad de la cuerda que subtiende el doble del arco CB, ya que form a un ángulo recto con el radio C F, y por el mismo motivo, BG es la semicuerda del doble del lado BA y D K la semicuerda del doble de D E, o del doble, del ángulo A, siendo D F la m itad del diám etro de la esfera. Por tanto, está claro que la subtensa del doble de AB es a la del doble de BC, como el diám etro de la esfera es a la cuerda que subtiende el doble del ángulo A, o del arco D E que intercepta. Lo que era necesario demostrar. IV En cualquier triángulo con u n ángulo recto y además otro ángulo y un lado dados, conoceremos tam bién el otro ángulo, y los dos lados restantes. Sea el triángulo ABC, que tiene el ángulo A y además el ángulo B dado. Para el lado fallante estudiaremos tres casos. O es adyacente a ambos ángulos dados, como AB, o sólo al ángulo recto, como AC, o es opuesto al ángulo recto, como BC. Sea primero AB el lado dado y con C como polo describamos el arco D E del círculo máximo. Completemos los cuadrantes CAD y CBE, y prolonguemos AB y D E hasta que se corten en el punto F. Así, F será a su

vez, el polo de CAD, porque los ángulos A y D son rectos. Y puesto que en una esfera dos círculos máximos que se cortan en ángulos rectos, se bisecan m utuam ente y cada uno pasa por los polos del otro, ABF y D E F son cuadrantes de círculos. Y como AB está dado, BF -lo estará también como resto del cuadrante, y el ángulo EBF es opuesto por el vértice e igual al ángulo dado ABC.

Pero ya h a sido demostrado que la cuerda del doble de BF a a la del doble de EF, como el diám etro de la esfera es a la subtensa del doble del ángulo EBF. Tres valores han sido dados: el diám etro de la esfera, la cuerda del doble de BF y la del doble del ángulo EBF. Cono­ cemos pues las scmicucrdasj y de acuerdo con el 15. del libro V I de Euclides, determinamos tam bién la subtensa del doble de EF, y por la tabla, el propio arco EF y D E, el resto del cuadrante o ángulo C, que buscábamos. Del mismo modo, a su vez, la cuerda del doble de D E es a la del doble de AB como la del1doble de EBC es a la del doble de CB. Pero DE, AB y CBE han sido ya dados sobre los cuadrantes de círculo, y por tanto, será conocida la cuarta subtensa del doble del arco CB, y el lado CB que se buscaba. Y la cuerda del doble de CB es a la del doble de CA como la del doble de BF es a la del doble de EF, porque ambas razones son iguales a la del diám etro de la esfera, y la cuerda del doble del ángulo CBA, y dos relaciones iguales a una tercera son iguales entre sí. Como las tres cuerdas BF, E F y CB están dadas, puede deducirse también la cuarta subtensa CA y el arco CA, tercer lado del triángulo ABC.

Sea ahora AC el lado dado, y nuestro problem a encontrar los lados AB y BC, junto con el ángulo restante C. D e nuevo, análogamente y por permutación, las cuerdas del doble de CA y CB, están entre sí como la subtensa del doble del ángulo ABC y el diámetro. Como el lado CB está dado, tam bién conocemos los restos AD y BE de cuadrantes del círculo. Y o tra vez, la cuerda, doble de AD es a la cuerda del doble de BE, como la cuerda del doble de ABF, o sea el diá­ metro, es a la del doble de BF. Por tanto, están dados el arco BF y el último lado AB. Y de modo similar, la relación de las cuerdas del doble de BC y AB es igual a la de las subtensas del doble de FBE y de DE. De aquí se deduce el arco D E, o sea el restante ángulo C. Además, si BC fuera el lado dado, de nuevo como antes conoceremos AC y los restos de cuadrantes AD y BE. Con las subtensas y el diámetro, como muchas veces queda, dicho, determinaremos el arco BF y el lado restante AB. Y después, como en el teorema precedente, por medio de los arcos conocidos BC, AB y CBE, obtendremos el arco ED, es decir, el ángulo restante C, que queríamos. Y así, de nuevo en el triángulo ABC, dados los ángulos A y B, de los cuales A es recto, y uno de los tres lados, se deduce el tercer ángulo y los otros dos lados, como ha sido demostrado. V Dados los ángulos de un triángulo rectángulo, se conocen también los lados. Conservando la figura precedente, al estar dado el ángulo C, lo están también el arco D E y EF, resto del cuadrante. Y como BEF es un ángulo recto, porque BE desciende del polo del arco D E F, y el ángulo EBF es igual a su opuesto por el vértice, que es conocido, el triángulo BEF, con un ángulo recto E, y dados el ángulo B y el lado E F, tiene sus lados y ángulos determinados por el teorema precedente. Por tanto, BF es dado, y también AB, resto del cuadrante, y de modo análogo, en el triángulo ABC, determinaremos los demás lados AC y BC, por la demostración anterior. VI Si en la misma esfera dos triángulos tienen un ángulo recto, y además otro ángulo y un lado iguales, sean estos lados adyacentes a los ángulos

iguales u opuestos a uno de ellos, tendrán también iguales, respectivamen­ te, los lados restantes y el tercer ángulo. Sea el hemisferio ABC, en el cual se tom an dos triángulos ABD y CEF, cuyos ángulos A y C son rectos, y además, el ángulo ADB es igual a un lado del otro. Consideremos primero que los lados iguales son adyacen­ tes a ángulos iguales, es decir, AD igual a CE. Digo que también el lado AB es igual al CF, el BD al E F, y el ángulo restante ABD al CFE. Con B y F como polos, dibuje­ mos G H J e IK L , cuadrantes de círculo máximo, y complétense los cuadrantes A D I y C E I. Necesariamente se cortan en el punto I, polo del hemisferio, porque los ángulos A y C son rectos, y los cuadrantes G H I y C E I han sido trazados por los polos del círculo ABC. Como se h a su­ puesto que los lados AD y CE son iguales, por substracción el arco D I es igual al IE y por opuestos en el vértice a ángulos iguales, lo son tam ­ bién los ángulos ID H e IEK . Ademas los ángulos H y K son rectos, y al ser iguales entre sí dos relaciones iguales a una tercera, según el teorema tercero de este capítulo, la razón de las cuerdas del doble de D I y de H I, es igual a la del diám etro de la esfera y la subtensa del doble del ángulo ID H , y la razón de los cucitlas del doble de IE e IK , es igual a la del diámetro de la esfera y la subtensa del doble del ángulo y la razón de las cuerdas del doble de IE e IK , es igual a Ja del diámetro de la esfera y la subtensa del doble del ángulo IE K . Por tanto, la cuerda del doble de D I es a la del doble de H I como la del doble de IE es a la del doble de IK . Y por el 14 del libro V de Euclides, como la subtensa del doble de D I es igual a la del doble de IE , la del doble de H I será igual también a la del doble de IK , y como en círculos iguales cuerdas iguales subtienden arcos iguales, y como partes de múltiplos están en la misma relación que estos, los arcos planos IH e IK , serán iguales, lo mis­ mo que los restos de los cuadrantes G H y K E, y está claro que los ángulos B y F son iguales. Y la razón de las cuerdas del doble de AD y BD, y las del doble de E C ’y BD, son iguales a la razón de las cuerdas del doble de EC y EF. Porque la subtensa del doble de H G es a la del doble de KJL como la cuerda del doble de BDH, o sea el diámetro,

por la. inversa del tercer teorema, y AD es igual a CE. Por tanto, por el 14 del libro V de los Elementos de Euclides, el arco BD es igual al EF, ya que son iguales las subtensas del doble de los arcos. Del mismo modo, siendo iguales BD y EF, demostraremos que los lados y ángulos restantes son iguales; y a su vez, si se supone que los la­ dos AB y C F son iguales, los resultados confirmarán idénticas relaciones. V II Y también, si no hubiere ángulo recto, con tal que los lados adyacen­ tes a ángulos iguales sean iguales entre sí, se demostrará lo mismo. En este caso, si en los dos triángulos ABD y C EF, son iguales los ángulos B y F, los ángulos E y F, los lados adyacentes a esos ángulos BD y EF, digo que esos triángulos son equiláteros y equiángulos. U n a vez más con B y F como polos, trácemos dos arcos de círculos máximos G H y KL. Y prolongando AD y GH, se cortan en N ; y del mismo modo EC y L K se extienden hasta M . En los dos triángulos HD N y E K M , los ángulos H D N y K EM , son iguales por opuestos en el vértice a ángulos iguales, y los ángulos H y K son rectos, por la intersección de círculos que pasa cada uno por los po­ los del otro, además, los lados D H .y E K son iguales, por tanto los triángulos son equiláteros y equiángulos; por la precedente demostración. Y o tra vez, los arcos G H y K L son iguales por correspondientes a ángulos B y F iguales, de donde son también iguales los arcos GHN y M K L, por el axioma de adición de iguales. Por tanto, hay dos trián­ gulos AGN y M CL donde son iguales los lados GN y M L , los ángulos ANG y C M L y los ángulos G y L que son rectos. Así los triángulos ten­ drán sus lados y ángulos iguales. Como si iguales se restan de iguales, ob­ tenemos iguales, serán iguales los arcos AD y CE, AB y C F, y los ángulos BAD y ECF, como se debía demostrar. V III Y todavía más, si dos triángulos tienen dos lados de uno, iguales a dos

lados del otro, y un ángulo igual a un ángulo, sean los comprendidos por los lados iguales, o u n ángulo en la base, también las bases y los otros ángulos serán iguales. Como en la figura precedente, sean iguales los lados AB y CF, AD y CE, y tomemos prim ero como iguales los ángulos A y C comprendidos por lados iguales. Digo también, que serán iguales las bases BD y EF, y los ángulos B y F y BDA y GEF. 'leñem os dos triángulos AGN y C LM , cuyos ángulos G y L son rectos y los ángulos GAN y M O L son suplementarios respectivamente de BAD y ECF. Entonces son iguales los ángulos GAN y M CL, y por tanto, los trián­ gulos son equiángulos y equiláteros, como son iguales■los arcos AN y C M , y AD y CE. Por substracción lo serán también D N y M E. Pero ya está claro que los ángulos D N II y E M K son iguales, y los ángulos H y K son rectos, por lo que los dos triángulos D H N y E M K son también equiángulos y equiláteros. D e donde los arcos BD y EF son iguales y tam ­ bién los G H y KL. Por lo cual, son iguales los ángulos B y F , y ADB y FEC. Pero si en lugar de los lados AD y EC suponemos que son igua­ les las bases BD y EF, que son opuestos a ángulos iguales, y si lo demás no varía, la demostración será •similar. Porque los ángulos exteriores GAN y M C L son iguales, y los ángulos G y L son rectos, y el lado AG es igual al CL, tendremos los dos triángulos AGN y M C L con iguales ángulos y lados. Y además, como partes de ellos son iguales, los dos triángulos D N H y M E K , porque los ángulos K y E son rectos, los ángu­ los D N H y K M E iguales, y los lados D H y E K iguales por substracción del cuadrante; de lo cual se sigue lo mismo que deducimos antes. IX Además, en triángulos esféricos isósceles, los ángulos de la base son iguales entre sí. Sea el triángulo ABC cuyos dos lados AB y A C son iguales. Digo que los ángulos en la base ABC y ACB son iguales. Del vértice A se hace descender un círculo máximo que corta a la base en ángulos rectos,

A

es d e d r un círculo que pasa por los polos de la base. Como los dos triángulos ABD y ADC tienen iguales los lados BA y AC, AD es común y los ángulos en D son rectos, queda claro de la pre­ cedente demostración, que son igua­ les los ángulos ABC y ACB, como se debía probar.

PO R ISM A

De aqui se deduce que el arco trazado desde el vértice de un triángulo isósceles y que es perpendicular a la base, biseca a ésta y al ángulo com­ prendido por los lados iguales y viceversa; lo que consta por la demos­ tración anterior. X Si dos triángulos de la misma esfera, tienen los lados respectivos de uno iguales a los del otro, tendrán los ángulos respectivos del primero iguales a los del segundo. Porque en cada triángulo, los tres segmentos de círculos máximos for­ m an pirámides que tienen sus vértices en el centro de la esfera, y como bases los triángulos planos comprendidos por las rectas que subtienden los arcos de los triángulos convexos. Y esas pirámides son semejantes e iguales por la definición de figuras sólidas semejantes e iguales. Y la relación de semejanza, es que los ángulos de uno, tomados en cualquier orden, son iguales a los ángulos respectivos del otro. Por tanto, los triángulos tendrán sus ángulos iguales entre sí. En particular, los m atem á­ ticos que definen semejanza de figuras dicen, de m odo más general, que son figuras con declinaciones semejantes y los ángulos respectivos iguales entre sí. D e lo cual juzgo ser manifiesto que en la esfera los triángulos que son equiláteros son semejantes, como sucede en los triángulos planos.

Cada triángulo que tiene dados dos lados y un ángulo, tendrá dado3 también sus restantes lados y ángulos. Porque si los dos lados dados son iguales, I03 ángulos en la base serán iguales, y al dibüjar un arco desde el vértice perpendicular a la base, se encontrará fácilmente lo buscado, por el corolario del noveno teorema. Sin embargo, si los dos lados da­ dos fueran desiguales, como en el triángulo ABC, donde se d a el án­ gulo A junto con dos lados, que comprenden o no dicho ángulo. Pri­ mero, tomemos como dados los lados AB y AC que lo comprenden y con C como polo dibujemos el arco de círculo máximo D E F y completemos los cuadrantes CAD y CBE. Prolon­ guemos además A B 'hasta que corte a DE en el punto F. Así también en el triángulo ADF, el lado AD es complementario de AC y el ángulo BAD suplementario del CAB. Porque las relaciones y dimensiones de esos ángulos son las mismas que las de los ángulos de intersecciones de rectas y planos, y el ángulo D es recto. Por consiguiente, en virtud del cuarto teorema, el triángulo ADF tendrá dados sus lados y ángulos. Y de nuevo en el triángulo BEF, se h a encontrado el ángulo F y el ángulo E es recto, por la intersección de círculos que pasa cada uno por el polo del otro. Además, el lado BF es la diferencia de los arcos ABF y AB. De donde por el mismo teorema, el triángulo BEF tiene también dados los ángulos y lados. O sea, BC el lado buscado, será el resto del cuadrante de BE. Además, el arco D E es la diferencia de los arcos D EF y EF, es decir, se ha determinado el ángulo C, y por medio del ángulo EBF se encuentra su opuesto por el vértice ABC, que buscábamos. Pero si en lugar del lado AB, se supone dado el CB opuesto al ángulo dado, sucederá lo mismo, porque están dados AD y BE, los restos de los cuadrantes y por el mismo argumento, los dos triángulos ADF y BEF tendrán ángulos y lados dados, como antes. Por consiguiente, el triángulo ABC propuesto tendrá lados y ángulos dados, como afirmamos.

M ás todavía, si dos ángulos cualesquiera fueran dados con un lado, obtendremos el mismo resultado. Pues conservando la figura ante­ rior, sea primero el triángulo ABC con dos ángulos dados ACB y BAC, junto con el lado AC, adyacente a ambos. Además si uno de los ángulos dados fuera recto, todo lo demás se deduciría de los razonamientos del cuarto teorem a precedente. Pero que­ remos un teorema distinto y que nin­ guno de los ángulos sea recto. Así, será AD el resto del cuadrante CAD, el ángulo BAD suplemen­ tario del BAC, y el ángulo D recto. Es decir, por el cuarto teorema, el triángulo AFD tendrá dados sus ángulos y lados. Y por el ángulo dado C, conocemos el arco D E y el arco EF resto de su cuadrante. Además, el ángulo BEF es recto y el ángulo F es común a ambos triángulos. Del mismo modo, por el cuarto teorema están dados BE y BF, y por medio de ellos determinamos los lados AB y BC que buscábamos. Además, si uno de los ángulos dados es opuesto al lado dado, es decir, si el ángulo ABC se da en lugar del ACB, .sin variarles otras condiciones, se puede demostrar de modo similar, que iodo el triángulo A D F tendrá dados sus ángulos y lados. Lo mismo que su parte, el triángulo BEF, por tener común el ángulo F, el ángulo EBF opuesto por el vértice a uno dado y el ángulo E recto, lo que demuestra, como antes, que son conocidos todos los lados, de lo cual se deduce lo que dijimos. Porque todo está ligado siempre entre sí y con nexo perpetuo, como corresponde a la form a de globo. X III Dados en fin todos los lados de u n triángulo, estarán dados los ángulos. Si están dados todos los lados del triángulo ABC, digo que estarán de­ terminados todos los ángulos. El triángulo puede tener o no lados igua­ les. Sean primero ¡guales AB y AC. E3tá claro que también serán iguales las mitades de las cuerdas que subtienden el doble de esos lados. Sien­ do esas mitades BE y CE, que por estar a la misma distancia del cen-

tro de la esfera, se cortarán entre sí en el punto E sobre DE, la sección A com ún de los círculos; según la defi­ nición 4 del libro I I I de Euclides y su inversa. Pero de acuerdo con la 3 del mis^ m o libro, en el plano ABD el ángulo DEB es recto, y en el plano ACD ocu­ rre lo mismo con el ángulo DEC. Por tanto, tom ando en cuenta la defi­ nición 3 del libro X I de Euclides, BEC es el ángulo de inclinación de los planos y lo encontraremos como sigue: como hay una recta que sub­ tiende el arco BC, tendremos un triángulo rectilíneo BEC, con sus lados da­ dos porque lo están los arcos, y como podemos encontrar sus ángulos, ob­ tendremos el ángulo BEC buscado, es decir, el ángulo esférico BAC, y en­ contraremos los demás como anteriormente. Pero si el triángulo es escaleno como en la segunda figura, es eviden­ te que las mitades de las cuerdas que subtienden el doble de los lados, de ningún modo se tocan. Porque si el arco AC es mayor que el AB, como C F es la m itad de la subtensa del doble de AC, C F cae más abajo. Pero si AC es m enor que AB, C F cae más arriba., como acon­ tece con tales líneas, según están más cerca o más lejos del centro, de acuer­ do con el 15 de! libro I I I de Euclides. Luego, hágase FG paralela a BE, y en el punto G corta a BD, la sección común de los círculos, y añadamos GC. Por tanto es m ani­ fiesto que los ángulos EFG y AEB son rectos y también lo es el ángulo EFC , porque C F es la m itad de la cuerda del doble de AC. Es decir, el ángulo CFG será el ángulo de la sección de los círculos AB y AC y podemos encontrarlo újmbién. Porque D F es a FG como DE es a EB, ya que los triángulos D FG y DEB son semejantes. O sea, FG está dado en las mismas partes que FC.

Y en la ínisma relación están DG y DB, por lo que DG estará dado en partea de las cuales DG tiene 100,000. Pero como el ángulo GDG está dado por el arco BG, por el segundo teorema de los triángulos planos, el lado GG está dado en las mismas partes en que se dan los lados restan­ tes del triángulo plano GFC. Por consiguiente, según el último teorema de los triángulos planos, obtendremos el ángulo GFC, es decir, el ángulo esférico BAC, que estábamos buscando. Y los ángulos restantes los deter­ minaremos por el undécimo teorema de los triángulos esféricos. x rv Si un arco dado del círculo se corta de modo que ambos segmentos sean menos que un semicírculo, y conocemos la razón de la semicuerda que subtiende el doble de un segmento y la que subtiende el doble del otro, podemos determ inar los arcos de esos segmentos. Sea ABC el arco dado alrededor del centro D , que se corta en alguna parte, en el punto E, pero de modo que los segmentos sean menores que un semicírculo. Si conocemos la longitud de la proporción de las mi­ tades de las subtensas del doble de AB y BC, digo que estos arcos podrán determinarse. Dibujemos la recta AC, que cor­ ta al diámetro en el punto E, y de los extremos A y C, bajemos perpen­ diculares AF y CG al diámetro, que son necesariamente las semicuerda»! del doble de AB y BC. Por tanto, en los triángulos rectángulos AEF y CEG, los ángulos AEF y CEG son iguales por opuestos en el vértice E. Y como en los triángulos equiángu­ los y semejantes, los lados opuestos a ángulos iguales son proporcionales, AF es a CG como AE es a EC. Por tanto, obtendremos AE y EC en las mismas partes con que se dieron AF o GG. Pero la subtensa del arco ABC .está fijada en las mismas partes con que se dio PD. D K será la semicuerda que subtiende subtensa AC, y el resto EK . Juntem os DA y DK, y los daremos en las mismas partes con que se dio BD. D K será la semicuerda que subtiende el segmento remanente que es suplementario del arco ABC, y está com­ prendido por el ángulo DAK, y por consiguiente está dado el ángulo

A D K que comprende la m itad del arco ABC. Pero en el triángulo EDK con dos lados conocidos y el ángulo E D K recto, determinaremos también el ángulo E D K . D e donde deduciremos todo el ángulo EDA, que comprende el arco AB; por lo cual conoceremos también el arco restante CB. Y esto es lo que intentábamos demostrar. XV Si están dados todos los ángulos de un triángulo, aunque ninguno sea recto, se nos darán todos los lados. Sea el triángulo ABC con todos sus ángulos dados, de los cuales mn-> guno es recto. Digo que también se nos darán todos los lados. Desde uno de los ángulos, como A, baje el arco AD a través de los polos de CB. AD cortará a BC en ángulos rectos y caerá dentro del triángulo, a no ser que alguno de los ángulos B o C de la base, fuere obtuso y el otro agu­ do. Si esto sucediera, el arco se de­ bería trazar desde el ángulo obtu­ so hasta la base. Con los cuadrantes BAF, CAG y DAE completados y con B y C como polos, se dibujan los arcos EF y EG. P or tanto, los ángulos F y G serán rectos. Además, en el triángulo rectángulo EAF, la razón de las semicuerdas del doble de AE y de EF es igual a la de la mitad del diám etro de la esfera y la m itad de la sub­ tensa del doble del ángulo EAF. Sirailarmente, en el triángulo rectángulo AEG, la razón de las semicuerdas del'doble de AE y de EB es igual a la de la mitad del diám etro de la esfera y lá m itad de la subtensa del doble del ángulo EAG. Y por el mismo motivo, la razón de las semicuerdas del doble de E F y de EG es igual a las del doble del ángulo EAF y del ángu­ lo EAG. Y como los arcos FE y EG están dados como complementarios de los ángulos B y C, será conocida la razón entre los ángulos EAF y EAG, es d e d r. entre BAD y CAD, que son sus ángulos opuestos por el vértice. Ahora, ha sido obtenido el ángulo completo BAC, y por el teo­ rema precedente, podemos deducir también los ángulos BAD y CAD. Entonces, con el quinto teorema, obtendremos los lados AB, BD, AC, CD, y todo el arco BC.

Lo que hemos expuesro de los triángulos, basta por ahora .para cubrir nuestras necesidades. T ratarlos con más detalle, exigiría u n a obra más voluminosa.

T o n e d e C o p i n ó t e , d o n d e tra b a jó en la redacción d i :u obra R evo lu cio n es de las O r b ita í C*l*>le>

LIBRO SEGUNDO

P R O E M IO Expusimos ya un resumen de los tres movimientos terrestres, por me­ dio de los cuales prometimos dem ostrar todas las apariencias de los as­ tros. Ahora cumpliremos nuestra promesa examinando e investigando por panes cada problema según nuestras posibilidades. Comenzaremos por el movimiento m ejor conocido de todos, la revolución del tiempo diurno o nocturno, que ya dijimos llam an los griegos movimiento equidial dado que la referimos total y directamente al globo terráqueo, ya que de ese movimiento surgen los meses, los años y otros períodos de tiempo con distintos nombres, como números procedentes de una unidad. Por tanto, diremos sólo unas pocas palabras sobre la desigualdad de los días y las noches, de la salida y puesta del Sol, de las partes del zo­ díaco y de los signos, y de las consecuencias de este tipo de revolución; porque sobre esto, muchos escribieron con bastante abundancia y lo que dicen está en arm onía y acuerdo con nuestras concepciones. N ada se altera si lo que otros han dem ostrado con u n a T ierra quieta y un mundo vertiginoso, nosotros lo conseguimos de una m anera opuesta y llega­ mos a la misma m eta, porque cosas recíprocas, armonizan inversamente entre sí. Sin embargo, no omitiremos n ada de lo necesario indicado por nues­ tros predecesores. Q ue nadie se admire si hablamos aún del orto y del ocaso del Sol y de las estrellas, y de cosas semejantes a éstas. Pero emplearemos el lenguaje corriente que puede ser entendido por todos, siempre teniendo en-cuenta que: “ Para nosotros, transportados por la Tierra, el Sol y la L una parecen pasar por encima; y las estrellas vuelven a sus antiguos lugares y de nuevo se alejan.”

C a p ít u l o

I

DE LOS C IR C U L O S Y SUS NOM BRES Ya indicamos que el círculo equinoccial o ecuador, es el mayor de los paralelos del globo terrestre descrito alrededor de los polos en su diaria revolución, y la eclíptica o círculo de los signos está en medio de la zona circular del zodíaco, bajo la cual el centro de la Tierra recorre su circuito anual. Pero la eclíptica es oblicua al ecuador, debido a la inclinación del eje terrestre, y describe durante la revolución cotidiana, dos círculos que la tocan de cada lado del ecuador, como límites máxi­ mos de su oblicuidad, y que se llaman trópicos. En ellos el Sol parree realizar sus vueltas, es decir, sus cambios de dirección de verano e invierno. De ahí, que el círculo boreal se llama tró­ pico del solsticio de verano y el austral, trópico del solsticio de invierno o hiemal, como fue indicado en nuestra narración sumaria anterior de las revoluciones terrestres. Después sigue el llamado horizonte, o círculo límite según los latinos (porque separa la parte visible del m undo de la que está oculta). Allí se ven nacer todos los astros que se ponen, tiene su centro en la superficie terrestre y su polo en nuestro vértice directa­ mente arriba. Pero ya que es imposible com parar la T ierra con la in­ mensidad del cielo, en relación con cuya m agnitud es incluso indiscer­ nible la distancia total entre el Sol y la L una (según nuestra hipótesis, el círculo del horizonte parece bisecar el firmamento, como si pasase por el centro del mundo, como se demostró al principio, pero cuando el horizonte es oblicuo al ecuador, toca también de cada lado de éste a círculos paralelos gemelos, o sea, el círculo norte de las estrellas siempre visibles y el sur de las siempre ocultas. El primero fue llamado ártico y el segundo antártico por Proclo y los griegos, y resultan mayores o menores según la oblicuidad det hori­ zonte y la elevación del polo del ecuador. Q ueda el círculo meridiano que pasa por los polos del horizonte y también por los polos del ecuador, por tanto, es perpendicular a estos dos círculos. Cuando el Sol lo alcanza m ar­ ca medio día y media noche. Pero esos dos círculos que tienen sus

centros en la superficie terrestre, el horizonte y el meridiano, siguen sin duda, el movimiento de la Tierra tal como aparece a nuestra vista. Por­ que el ojo está siempre en el centio da la esfera de todo lo visible que lo rodea. Además, todos las círculos supuestos sobre la T ierra producen círculos en el cielo a imagen y semejanza, como se demuestra en Cosmo­ grafía y al tratar de las dimensiones de la Tierra. Y esos círculos, de todos modos son los únicos con nombres propios, aunque hay infinitas maneras de designar los otros. C a p ít u l o

II

D E LA OBLICUIDAD DE LA ECLIPTIC A Y LA DISTANCIA DE LOS T R O PIC O S Y C O M O SE D ETERM IN A N Puesto que el círculo de la eclíptica está entre los trópicos y cruza el ecuador oblicuamente, creo necesario tratar ahora de observar la dis­ tancia entre los trópicos y de ahí, cual sea el ángulo de la sección éntre el ecuador y la eclíptica. Porque para percibir esto por los sentidos con ayuda de instrumentos artificiales, por medio de los cuales puede reali­ z a re mejor el trabajo, es necesario tener preparado un cuadro de m a­ dera, o mejor de otro material más sólido, como piedra o metal, porque la madera puede inducir a error al observador al variar su consistencia por alguna alteración del aire. Luego, una superficie ha de aplanarse muy cuidadosamente, y su an­ chura debe ser suficiente para adm itir división en secciones, es decir, de unos tres o cuatro codos. Luego, con uno de los ángulos como centro y con un lado como radio, se traza un cuadrante de círculo y se divide en 90 grados iguales y cada uno de éstos se subdivide en 60 minutos o en las fracciones que puedan caber. Después, un gnomon (estilo) 'o varilla cilindrica bien torneada se fija perpendicular en dicho centro a la superficie, de la que sobresale un poco, digamos el grueso de un dedo o menos. Cuando el instrumento ha sido preparado de este modo, lo siguiente es trazar la línea del meridiano sobre la capa del pavimento, en el plano del horizonte, que ha sido igualado diligentemente con el hidroscopio o corobate, para que no se incline en alguna parte. En el pavimento se describe un círculo y se erige un gnomon en el centro. Se observa algún tiempo antes del mediodía donde toca la sombra de circunferencia del círculo, y se marca una señal. Se hace lo mismo por la tarde y el arco

entre las dos señales se divide por la m itad. L a línea recta dibujada por el centro del círculo y el punto de la sección nos indica, infaliblemente, la dirección meridional y septentrional. Sobre el piso tomado como base, levántese perpendicular el plano del instrumento con el centro del cuadrante hacia el sur, de modo que la vertical bajada desde ese centro, forme ángulos rectos con la linea del meridiano, y resultará así que la superficie del instrum ento tendrá el círculo meridiano. En adelante se observará durante los días del solsticio de verano e invierno, las sombras del Sol al mediodía, al ser arrojadas por el índice o cilindro desde el centro del cuadrante, sobre cuyo arco, una m arca sujeta indica con más certeza el lugar de la sombra, el centro de la cual se anota en grados y minutos con la mayor precisión posible; porque si hacemos esto, el arco entre las dos sombras señaladas de los solsticios, puede determinarse y nos d ará la distancia entre los trópicos y la obli­ cuidad total de la eclíptica. Tom ando la m itad del arco, tendremos la distancia de los trópicos al ecuador, y estará determinado el ángulo de inclinación entre la eclíptica y el ecuador. D e este modo, Ptolomeo tomó el intervalo entre los límites arriba indicados, el boreal y el austral, rom o 47 grados, 42 m inutos y 40 segun­ dos, teniendo el círculo 360 grados; observado antes por H iparco y Eratóstencs como de 11 partes, p ara u n círculo total de 83. L a mitad de ese arco, 23 grados, 51 minutos, 20 segundos, p ara un círculo de 360 gra­ dos, muestra la distancia de los trópicos al ecuador y cual es el ángulo de éste con la eclíptica. Y pensaba Ptolomeo, que así era y así permane­ cería siempre sin variar. Pero se h a encontrado que esas distancias lian disminuido continuamente desde esa época hasta la nuestra. Ya ha sido descubierto por nosotros y algunos de nuestros contemporáneos, que la distancia entre los trópicos no es más de unos 46 grados, 58 minutos, y el ángulo de la sección 23 grados, 29 minutos. De aqui resulta bastante patente que varia la oblicuidad de la eclíptica. Mas adelante aclararemos m ucho una conjetura bastante probable de que ese ángulo no es nunca mayor de 23 grados, 52 minutos y nunca m enor de 23 grados, 28 m i­ nutos.

C a p ít u l o

III

D E LO S ARCOS Y A N GULOS EN Q U E SE CO RTA N LOS C IR C U L O S D EL ECUADOR, D E LA E C L IPT IC A Y D EL M E R ID IA N O , Y C O M O SE CALCULAN CON ELLOS D E C LIN A C IO N ES Y ASCENSIONES R ECTAS De acuerdo con lo dicho en el caso del horizonte, que por él nacen y se ocultan las partes del mundo, decimos que el círculo meridiano divide por la mitad al cielo. D urante 24 horas esta linca es cruzada tanto por la eclíptica como por el ecuador, cuyas circunferencias divide cor­ tándolas en la intersección de primavera y otoño, y a su vez, tiene su circunferencia dividida por el arco interceptado por los otros dos círculos. Como todos son círculos máximos, form an un triángulo esférico rec­ tángulo porque el ángulo es recto, por definición, donde el círculo m eri­ diano corta el ecuador descrito a través de sus polos. A hora, el arco del círculo meridiano, o cualquier arco de círculo que pase por los polos del ecuador e interceptado como se h a dicho, se denom ina la declinación de un segmento del zodíaco, y el arco correspondiente sobre el ecuador es llamado la ascensión recta, que se establece simultáneamente con el arco similar del zodíaco. Todo esto se dem uestra fácilmente en un triángulo convexo. Sea ABCD un círculo que pasa a la vez por los polos del zodíaco y del ecuador, que muchos llaman co­ luro. Sean además, AEC la m itad de la eclíptica, BED la m itad del ecua­ dor, el punto E el equinoccio de pri­ mavera, el A el solsticio de verano y C el solsticio de invierno. Tomemos ahora F como polo de la revolución diaria y sobre la eclíptica el arco EG con 30 grados. Por ejemplo, al que corta el cuadrante de circulo FGH. Entonces está claro que en el triángulo EG H están dados el lado EG igual a 30 grados, el ángulo G EH , que de acuerdo con la declinación m áxima es igual a 23 grados 28 minutos; siendo cuatro ángulos rectos iguales a 360 grados, y el ángulo GHF. es recto. Por tanto, según el

cuarto teorema de los triángulos esféricos, el triángulo EGH tiene todos sus ángulos y lados conocidos. Porque fue demostrado que la razón de las cuerdas del doble de EG y G H , es igual a la razón de las cuerdas del doble de AGE, o diám etro de la esfera, y el doble de AB, estando las semicuerdas en la misma relación. L a m itad de la cuerda del doble de AGE es igual al radio y a 100,000 partes, la semicuerda del doble de AB tiene 39,822 partes, y la del doble de EG, 50,000 partes. Además, si cuatro números son proporcionales, el producto de los medios es igual al producto de los extremos. De donde la m itad de la subtensa del doble del arco G il, vale 19,911, y por la Tabla, dicho arco tiene 11 grados 29 minutos, que es la declinación del segmento EG. Por lo cual, también en el triángulo AFG se nos dan el lado FG igual a 78 grados, 31 minutos, y el lado AG de 60 grado?, como restos de cuadrantes, y el ángulo FAG es recto. D el mismo modo son proporcionales las semicuerdas del doble de FG , AG, F G H y BH. Como tres de estas subtensas están dadas, puede determinarse la cuarta que es BH igual a 62 grados 6 minutos, que es la ascensión recta del solsticio de verano, y H E 27 grados 54 minutos, del equinoccio de primavera. D e modo análogo, dados los lados FG con 78 grados 31 minutos, AF con 64 grados 30 minutos, y AGE cuadrante de círculo, el ángulo AGF tiene 69 grados 23>/a minutos, y es igual a su opuesto por el vértice IIG E . Procederemos en lo demás como en este ejemplo. No debemos ignorar el hecho de que el círculo meridiano corta a la eclíptica a ángulos rectos en los puntos donde esta toca a los trópicos, porque entonces el m eridiano le corta pasando por sus polos. Pero en los puntos equinocciales, el meridiano form a un ángulo menor que un recto por la inclinación de la eclíptica, y cuyo valor es de 66 gra­ dos 32 minutos de acuerdo con el menor valor de dicha inclinación. Además, señalaremos que lados y ángulos iguales de los triángulos se deducen de arcos iguales de la eclíp­ tica tomados desde los puntos de solsticio o equinoccio. D e este modo dibujemos el arco ecuatorial ABC y el de la eclíptica DBE, que se cortan en el punto B donde está el equinoccio, y si tomamos como iguales los arcos FB y BG, y también los arcos K FL y K M G , dos cuadrantes de círculo que pasan

por el polo K de la revolución diaria, tendremos dos triángulos: FLB y BMG, cuyos lados BF y BG son iguales, los ángulos en B opuestos por el vértice también iguales, y los ángulos en L y M rectos. Poi tanto, según el sexto teorema de los triángulos esféricos, los lados y ángulos son iguales. O sea, son iguales las declinaciones FL y MG, las ascensiones rectas LB y BM y los ángulos restantes F y G. Esto mismo se manifiesta al suponer arcos iguales tomados desde un punto de solsticio, por ejemplo, cuando AB y BC a los dos lados del pun­ to de contacto B, están a la misma distancia de éste. Porque cuando los arcos DA y DB han sido trazados desde el polo al ecuador, son semejantes los dos triángulos ABD y DBC cuyas bases AB y BC son iguales, el lado BD es común y los ángulos en B son rectos. De acuerdo con el octavo teorema de los triángulos esféricos, tendrán pues iguales sus ángulos y lados res­ pectivos. Lo que pone de manifiesto que ángulos y lados de un cuadrante de la eclíptica están de acuerdo con los restantes cuadrantes de todo el círculo. Agregaremos un ejemplo de esto en la descripción de las Tablas. En la prim era columna están colocados los grados del zodiaco; en la siguiente, las declinaciones correspondientes a esos grados; y en la tercera los minutos, que son las diferencias entre declinaciones particulares y las que ocurren cuando la eclíptica tiene oblicuidad máxima, la mayor de estas diferencias vale 24 minutos. Haremos lo mismo con las Tablas de ascensiones rectas y ángulos meridianos. Porque es necesario cambial todo lo que es consecuencia de la oblicuidad del zodíaco, al variar ésta. Además, en las ascensiones rectas se ha encontrado una diferencia extre­ madamente pequeña que no excede un décimo de ‘‘tiempo” y que en el espacio de una hora representa solo 1/150 de “ tiempo” . Los antiguos dieron el nombre de tiempos a las partes del ecuador, que se levantan junto con las de la eclíptica. Ambos círculos, como se ha repetido a menudo, tienen 360 parles, pero para distinguirlas, la mayoría de nuestros predecesores llaman "gra­ dos” a las partes de la eclíptica y “tiempos” a las del ecuador, y los imitaremos en- el resto de la obra. Y aunque es tan pequeña esta diferen­ cia, que puede despreciarse, no dudo también aquí ponerla Estas Tablas pueden aplicarse a cualquier otra oblicuidad de la eclíptica, s: de acuer­

do con la relación de diferencia entre la menor y la mayor oblicuidad de la eclíptica, hacemos las correcciones pertinentes. Por ejemplo, si con una oblicuidad de 23 grados 34 minutos deseamos conocer cual es la decli­ nación obtenida al tom ar u n a distancia de 30 grados desde el ecuador sobre la eclíptica, encontramos en la columna de declinaciones 11 grados 29 minutos y en la colum na de diferencias 11 minutos. Esos 11 minutos deberán añadirse en el caso de la mayor oblicuidad de la eclíptica, que dijimos es 23 grados 52 minutos. Pero como ya hemos indicado que la oblicuidad es 23 grados 34 minu­ tos, 6 m inutos mayor que la menor oblicuidad, lo que es la cuarta parte de 24 minutos, exceso de la mayor oblicuidad sobre la menor. Luego 3 mi­ nutos es a 11 minutos inás o menos como 6 minutos es a 24 minutos. Cuando añado 3 minutos a los 11 grados 29 minutos tendremos 11 grados 32 minutos, que m edirá entonces la declinación del arco de 30 grados en la eclíptica desde el ecuador. Lo mismo sucede en las Tablas de ángulos meridianos y de ascensiones rectas, excepto que debemos siempre sumar las diferencias en las segundas y restarlas en los primeros, para que todo se deduzca de acuerdo con el tiempo. C a p ít u l o

IV

C O M O D E T E R M IN A R LA D E C L IN A C IO N Y ASCENSION R EC TA D E U N A STRO SIT U A D O FU ER A D EL C IR C U L O Q U E PASA PO R EN M E D IO D E L O S SIGNOS, PE R O CUYA L O N G IT U D Y L A T IT U D HA S ID O ESTABLECIDA, Y C O N Q U E G RA D O DEL ZO D IA CO D IV ID E PO R LA M IT A D EL CIELO Ya expusimos lo relativo a la eclíptica, al ecuador y a sus intersec­ ciones. Pero en relación con la revolución diaria, es interesante conocer no sólo que partes aparecen, por medio de las cuales se descubren las causas de que el Sol salga donde lo hace, sino también saber que hay una demostración similar de la declinación desde el ecuador y la ascen­ sión recta en el caso de las estrellas fijas o errantes que están fuera de la eclíptica, pero cuya longitud y latitud h a sido dada. Describamos el círculo ABCD por los polos del ecuador y de la eclíp­ tica. Sean AEC el semicírculo ecuatorial con el polo F, BED el semi­ círculo de la eclíptica con el polo G, y su intersección con el ccuador en el punto E. Luego, desde el polo G se traza el arco G H K L , a través de una estrella, cuya posición está en el punto H , y desde el polo del mo­ vimiento diurno desciende un cuadrante FHN.Vf.

Zodiaco

D ifttencías

Grad. Grad. M in . 0 24 1 2 0 48 3 1 12 4 88 1 2 0 5 6 2 23 7 2 47 8 3 11 9 3 35 10 3 58 4 22 11 4 12 45 13 5 9 14 5 32 15 5 55 16 6 19 17 6 41 18 7 4 10 7 27 20 7 49 21 8 12 22 8 34 23 8 57 24 9 19 25 9 41 26 10 a 27 10 25 28 10 46 29 11 8 30 29 11

M in . 0 1 1 2 2 2 8 3 4 4 4 4 5 5 5 6 6 7 7 8 8 8 9 9 9 10 10 10 10 11

Zodíaco

D ifeItcliiw cionts nncias Grad. G rad. M in . J im . 81 11 £0 11 32 12 13 11 12 32 12 33 34 12 52 13 35 13 12 13 36 32 13 14 37 13 52 14 38 14 12 14 14 39 31 14 14 40 50 14 41 15 9 15 42 15 27 15 43 15 46 16 44 16 4 16 16 22 45 16 46 16 39 17 47 16 56 17 17 48 13 17 49 17 30 18 50 17 48 18 51 18 1 18 62 18 17 18 53 18 32 19 54 18 47 19 19 2 19 55 19 19 56 16 30 57 19 20 58 19 44 20 19 57 20 59 60 20 10 20

Zodíaco

D if t. Declinaciones reacias G rad. Grad. M in . M in. 61 20 23 20 62 20 35 21 63 47 20 21 64 58 20 21 65 21 9 21 66 21 20 22 21 67 30 22 68 21 40 22 69 21 49 22 21 58 70 22 71 22 7 22 72 22 15 23 73 22 23 23 74 22 30 23 22 37 75 23 22 44 76 23 77 22 50 23 78 22 55 23 79 23 24 1 80 23 5 24 81 23 10 24 82 13 23 24 83 17 23 24 84 23 20 24 22 23 24 85 24 86 23 24 26 87 23 24 88 23 27 24 89 23 28 24 80 23 28 24

D ife­ Ecuador rencias Grad. T iem p . M in. M in . 0 55 0 1 2 1 50 0 3 2 45 0 4 3 40 0 5 4 35 0 6 5 30 0 7 6 25 1 8 7 20 1 9 8 15 1 9 10 11 1 10 6 11 1 12 11 0 2 13 57 2 11 12 14 52 2 15 13 48 2 14 2 16 43 2 17 15 39 18 16 34 3 17 19 31 3 20 18 27 3 21 19 23 3 22 20 19 3 23 21 15 3 24 22 10 4 4 25 23 9 26 24 4 6 27 25 3 4 28 28 0 4 29 67 4 26 4 30 27 54

Zodiaco

Dife­ Ecuador rencias Grad. T iem p. M in. M in. 31 28 54 4 29 32 51 4 30 50 33 4 34 31 46 4 32 35 45 4 36 33 43 5 37 34 41 5 40 38 35 5 39 36 38 5 37 37 40 5 41 38 36 5 39 42 35 5 40 34 43 5 44 41 33 6 42 32 45 6 43 46 31 6 44 32 47 5 48 45 32 5 46 32 49 5 47 60 33 5 48 34 51 5 49 52 35 5 50 36 53 5 51 37 5-1 5 52 38 4 55 56 53 41 4 57 54 43 4 58 55 45 4 56 46 59 4 57 48 60 4

Zodiaco

Zodiaco

D ife­ Eeuador rencias Grad. T iem p. M in. M in. 61 58 51 4 62 59 54 4 63 57 60 4 64 62 0 4 65 63 4 3 66 64 6 3 67 65 9 3 68 66 13 3 69 67 17 3 70 68 21 3 71 69 25 3 72 29 70 3 73 71 33 3 74 72 38 2 75 73 43 2 76 74 47 2 77 75 52 2 78 76 57 2 79 78 2 2 8G 79 7 2 81 80 12 1 82 81 17 1 83 82 22 1 84 27 83 1 85 84 33 1 86 85 38 0 87 86 43 0 88 87 48 0 89 88 54 0 90 90 0 0

Dife*rendes Crad. Crad. M in. M in . 32 24 66 1 24 2 66 33 24 8 66 34 66 24 4 35 66 37 24 5 6 66 39 24 42 24 7 66 66 44 24 8 24 66 47 9 24 66 51 10 24 66 55 11 59 24 12 66 67 4 23 13 67 10 23 14 67 23 15 15 67 21 23 16 67 23 17 27 34 23 67 18 23 19 67 41 67 49 23 20 21 67 56 23 22 22 68 4 22 23 68 13 22 68 22 24 22 68 32 25 68 22 26 41 68 22 61 27 60 2 21 28 29 69 13 21 SO 69 24 21

Zodiaco

Angulos

D ife­ rencias Crad. Crad. M in. M in. 31 21 09 35 32 21 69 48 70 0 20 33 34 20 70 13 20 35 70 26 20 36 70 39 37 20 70 53 38 19 71 7 71 22 19 39 19 40 71 36 19 41 71 52 18 42 72 8 18 43 72 24 72 39 18 44 17 45 72 55 17 46 73 11 17 47 73 28 17 48 73 47 16 74 6 49 16 50 74 24 16 51 74 42 52 75 1 15 15 53 75 21 15 54 75 40 14 76 1 55 56 14 76 21 57 14 76 42 58 13 77 3 59 13 77 24 60 13 77 45

Zodiaco

Angulos

Zodíaco Crad. 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

Angulo: C iad. 78 78 78 79 79 79 80 80 81 81 81 82 82 83 83 84 84 84 85 85 86 86 86 87 87 88 88 89 89 90

M in. 7 29 51 14 36 59 22 45 9 33 58 22 46 11 35 0 25 50 15 40 5 30 55 19 53 17 41 6 33 0

D ift. rendas M in . 12 12 11 11 11 10 10 10 9 9 8 8 7 7 6 6 6 5 5 4 4 3 3 3 2 2 1 1 0 0

Es evidente que la estrella situa­ da en H cae sobre el m eridiano al mismo tiempo que lo hacen los pun­ tos M y N , que el arco H M N es la declinación de la estrella respecto del ecuador, y que EN es la ascen­ sión recta en la esfera recta: lo que estábamos buscando. En este caso, en el triángulo KEL, están dados el lado K E y el ángulo K E L y el ángulo E K L es recto. Por tanto, según el cuarto teorema de los triángulos esféricos son conocidos los lados K L y EL, además del ángulo K LE. D e donde, por adición determinamos todo el arco H K L. Y por lo mismo, en el triángulo H L N están dados dos ángulos, el H L N y el recto LN H , y el lado HL. E n consecuencia, por el mismo cuarto teorem a de los triángulos esféricos serán conocidos los lados restantes: H N , declinación de la estrella, LN y la distancia restante N E, ascensión recta, que m ide la m agnitud del cambio de la esfera desde el equinoccio a la estrella. D e otro modo, si en lo anterior se toma K E, el arco de la eclíptica como la asctnsión recta de L E, la tabla de ascensiones rectas nos dará inversamente LE, de donde deduciremos LK como la declinación corres­ pondiente a LE y el ángulo K L E por la tabla de ángulos meridianos. Por cual, conoceremos todos los restantes lados y ángulos. Entonces, por me­ dio de la ascensión recta EN, obtendremos el número de grados de EM , el arco del zodíaco, y la estrella con el punto M divide por la m itad el cielo. C

apítulo

V

SOBRE LAS SEC C IO N ES D E L H O R IZ O N T E El horizonte de una esfera recta es diferente del de una esfera oblicua. Por eso, el horizonte al cual es perpendicular el ecuador, o que pasa por los polos de éste, se llam a horizonte recto. El horizonte que tiene alguna inclinación con el -ícuador se denomina horizonte de una esfera oblicua. Por consiguiente, ¿n u n horizonte recto, todas las estrellas salen y se ponen, y los días s o i siempre iguales a las noches. Porque este horizonte biseca todos los paralelos descritos por el movimiento diurno

y pasa por sus polos, y ocurre aquí lo que ya explicamos en el círculo meridiano. M as aquí el día lo formamos desde el orto al ocaso del Sol, no desde la luz a las tinieblas, como supone el vulgo; ea decir, desde el am anecer a la prim era antorcha. Pero diremos algo m ás a este respecto al hablar de la salida y la puesta de los signos. P or el contrario, cuando el eje de la T ierra es perpendicular al hori­ zonte, no hay ortos ni ocasos, pero todas las estrellas están siempre visi­ bles u ocultas en su vuelta, m ientras no sean afectadas por otro movimien­ to como el anual alrededor del Sol. Por consiguiente, el día dura aquí siempre medio año y la noche el otro m edio; y no hay n ada que diferencíe el invierno y el estío, ya que el horizonte coincide con el ecuador. Por otro lado, en una esfera oblicua, ciertas estrellas nacen y se ponen, y otras están siempre visibles o siempre ocultas; y mientras tanto, los días y las noches son iguales, ahí donde u n horizonte oblicuo toca dos círculos paralelos, según su inclinación. Y de esos círculos, el más próximo al polo visible es el límite de las estrellas que están siempre a la vista, y a la inversa, el círculo más próximo al polo que no se ve, es el lím ite de las estrellas siempre ocultas. Por tanto, el horizonte situado p o r completo entre esos límites, corta a todos los paralelos intermedios en arcos desiguales, excepto al ecuador, el más grande de .los paralelos y los círculos máximos se bisecan entre sí. Por tanto, u n horizonte oblicuo en el hemisferio superior corta arcos de paralelos hacia el polo visible mayores que h a d a el polo austral oculto, y lo inverso sucede en el hemisferio escondido. El Sol se hace visible en esos horizontes por razón del movimiento diurno y causa la desigualdad de los días y las noches. C a p it u l o

VI

CU A LES SO N LAS D IFE R E N C IA S E N T R E LAS SOMBRAS D EL M E D IO D IA H ay diferencias entre las sombras del mediodía, oor lo que unos pue­ blos se denominan pensóos, otros anfiscios, y oíros más heteroscios. Los periscios pueden llamarse circumunbrátilcs, porque arrojan la sombra por todos lados. Viven donde la distancia entre el vértice o el polo del horizonte y el polo terrestre es m enor o no mayor que entre el trópico y el ecuador. Porque allí los paralelos que el horizonte toca en los límites de las estrellas siempre visibles o siempre ocultas, son mayores o iguales que los trópicos. Y en el verano, el Sol arriba en lo alto entre las estrellas siempre visibles y lanza la sombra del gnomon en cada dirección. Pero

donde el horizonte toca los trópicos, estos son los límites entre estrellas siempre visibles y siempre ocultas. Por lo cual, en lugar de ser media­ noche en el solsticio, el Sol parece rozar la tierra, y en ese momento todo el círculo de la eclíptica coincide con el horizonte. Seis signos salen do un lado, seis se ponen por el opuesto y el polo del zodíaco coincide con el polo del horizonte. Los anfiscios, que viven entre los trópicos, lanzan la sombra del me­ diodía a ambos lados. Es el espacio que los antiguos llamaban zona media, y como por toda ella el zodíaco pasa directo dos veces por encima, como se demuestra en el segundo teorem a de los Fenómenos de Euclides, la sombra del gnomon se arro ja allí en dos direcciones. Como el Sol se mueve a u n lado y otro, la sombra del indicador apunta a veces al sur y a veces al norte. El resto de nosotros que habitamos la región entre las otras dos, somos heteroscios, porque arrojam os nuestra sombra del m ediodía en una sola dirección, hacia el septentrión. Los antiguos matemáticos estaban acostumbrados a dividir el mundo en siete climas a través de Meroe, Siena, Alejandría, Rodas, el Helesponto, la m itad del Pom o, Boristene, Bizancio, y los demás, con simples círculos paralelos según las diferencias entre los días más largos y la longitud de las sombras, que observaban por medio de gnomones al me­ diodía en los días de equinoccios y solsticios y de acuerdo con la elevación del polo o la latitud de algún segmento. Como todo esto h a cambiado en parte con el tiempo, no son exactam ente las mismas que fueron antes, al tom ar en cuenta la oblicuidad variable de la eclíptica, que, como indi­ camos, no era conocida por los antiguos, o de modo más correcto, tomando en cuenta la inclinación variable del ecuador respecto del plano de la eclíptica, de la que aquellas relaciones dependen. Pero las elevaciones del polo o la latitud de los lugares, y las sombras equinocciales, concuerdan con las descubiertas y anotadas en la antigüedad. Esto tenía que suceder porque el ecuador depende del polo del globo terrestre. Por tanto, aque­ llos segmentos no se designan y definen con bastante precisión por las sombras observadas en días especiales, sino más correctamente por sus distancias al ecuador, que perm anecen fijas a perpetuidad. Sin embargo, aunque esta variabilidad de los trópicos al ser muy ligera, adm ite sólo pe­ queña diversidad de días y de sombras en el sur, se hace más patente para los que se mueven hacia el norte. E n lo que se refiere a la sombra de los indicadores, está claro que p a ra cierta altitud dada del Sol, puede deducirse la longitud de la sombra, y viceversa.

D e este modo, si el gnomon AB arroja una sombra BC, como el in­ dicador es perpendicular al plano del horizonte, el ángulo ABC debe ser siempre recto, por definición de lí­ neas perpendiculares a un plano. Por tanto, si añadimos AC, tendremos un triángulo rectángulo ABC, y para determ inada altitud del Sol, conoce­ remos el ángulo ACB, y por el pri­ m er precepto de los triángulos pla­ nos, estará dada la razón del indi­ cador AB a su sombra BC y pode­ mos conseguir la longitud de BC. Al contrario, cuando se dan AB y BC, constatamos por el tercer teorema de los triángulos planos, cuál es el ángulo ACB y qué elevación del Sol produce esa sombra en ese tiempo. Por eso losantiguos, al des­ cribir las regiones del globo terráqueo, daban la longitud de lassombras del mediodía, unas veces en los equinoccios y otras en los solsticios. C a p it u l o

V II

D E Q U E M O D O E L D IA MAS LARGO, LA L A T IT U D D EL O R T O Y LA IN C L IN A C IO N D E LA ESFERA, SE D E R IV A N E N T R E SI, Y SOBRE LA D IF E R E N C IA D E LO S DIAS Así también demostraremos a la vez p ara cualquier oblicuidad de la esfera o inclinación del horizonte, cuáles son el día más largo y el más corto, junto con la latitud del orto solar y la diferencia de los días res­ tantes. Esa latitud es el arco del hori­ zonte interceptado entre las salidas del Sol en los solsticios de verano e invierno, o la suma de las distancias B del orto solsticial desde el equi­ noccial. Sean ABCD el círculo meridiano, BED el semicírculo del horizonte en el hemisferio oriental y AEC el semi-

círculo similar del ecuador con F como polo norte. Tomemos el punto G como la salida del Sol en el solsticio de verano y dibujemos el arco FG H de círculo máximo. Puesto que el movimiento de la esfera terrestre se realiza alrededor del polo F del ecuador, necesariamente los puntos G y H alcanzan el meridiano ABCD al mismo tiempo, porque los círculos pa­ ralelos están alrededor de los mismos polos por donde pasan los círculos máximos, que interceptan arcos iguales en aquellos paralelos. Por lo cual, el mismo tiem po del orto en G al mediodía mide también el arco A E H ; y el tiem po desde la medianoche a la salida del Sol mide C H el arco restante y subterráneo del semicírculo, y AE y E C son cua­ drantes de circulo, porque fueron trazados a través del polo ABCD. Por tanto, E H será la m itad de la diferencia entre el día más largo y el equinoccio, y EG la distancia entre el orto solar equinoccial y solsticial. Y a que en el triángulo E H G , el ángulo G E H , oblicuidad de la esfera, es establecido por medio del arco A B; el ángulo G H E es recto y el lado G H está dado como la distancia del trópico estival al ecuador; los lados restantes serán determinados por el cuarto teorem a de los triángulos esféricos, o sea, el lado E H como la mitad de la diferencia entre el día más largo y el equinoccio, y el lado G E como la latitud del orto solar. Además, si junto con el lado G H se d a E H , m itad de la diferencia entre el día más largo y el equinoccio, o bien EG, será conocido el ángulo E de inclinación de la esfera, y de ahí FD la elevación del polo sobre el horizonte. Pero aunque n o se tom e el trópico, sino algún punto G en la eclíptica, los arcos EG y E H pueden determinarse, porque la T abla de declinaciones arriba expuesta nos dice que el arco G H de declinación corresponde a ese grado del zodíaco, y lo dem ás puede demostrarse del mismo modo. D e aquí se deduce que los grados de la eclíptica que están a igual distan­ cia del trópico, cortan arcos iguales del horizonte entre la salida del Sol equinoccial y los propios grados, y hacen inversamente iguales la longitud de los días y las noches. Y esto es porque los paralelos que pasan por esos grados de la eclíptica son iguales, ya que dichos grados tienen la misma declinación. Pero cuando arcos iguales se tom an entre la intersección equinoccial y los 2 grados zodiacales, d e nuevo las latitudes del o rto son iguales pero en diversas direcciones, y las duraciones de los días y las noches son inversamente iguales, porque en los dos lados del equinoccio, esas d u ra­ ciones describen arcos iguales de paralelos, de acuerdo como los propios signos, que están a la misma distancia del equinoccio tienen iguales de­ clinaciones desde el ecuador.

Dibujemos en la misma figura GM y KN, los arcos de paralelos que cortan el horizonte BED en los puntos G y K y sea L K O un cuadrante de circulo máximo que pasa por el polo austral L. Como las declinaciones H G y K O son iguales, los dos triángulos DFG y BLK tendrán dos lados de uno iguales a dos lados del otro: FG y LK , y las elevaciones de polo FD y LB.: Además los ángulos D y B son 15 rectos, por lo que los terceros lados DG y BK serán iguales, y de ahí, co­ mo las latitudes del orto son los res­ tos de los cuadrantes, GE será igual a EK. Como también los lados EG y G H son iguales, respectivamente, a los lados E K y K O , los ángulos en E son iguales por opuestos por el vértice y los lados restantes EH y E O son iguales, sumando un cuadrante a estos últimos, tendremos que los arcos D EC y AEH serán también iguales, pero como círculos máximos descritos por los polos de círculos paralelos les cortan en arcos similares, G M y K N serán similares e iguales. Como debíamos demostrar. Pero todo esto puede demostrarse de modo diferente. Tracemos del mismo modo el cír­ culo meridiano ABCD con centro en E. Sean AEC el diámetro del ecua­ dor y la sección común de ambos círculos, BED el diám etro del hori­ zonte y la línea meridiana, L E M el eje de la esfera y L el polo visible y M el oculto. Tomemos AF como la distancia del solsticio de verano o como alguna otra declinación, y ha­ cia AF dibujemos FG como diámetro de un paralelo y su sección común con el meridiano que cortará al eje en K y al meridiano en N. Por tanto, de acuerdo con la definición de Posidonio, esas lineas son paralelas, ya que no se acercan ni se alejan entre sí y las perpendiculares entre ellas son iguales, es decir, K E es igual a la mitad de la subtensa del doble del arco AF. Análogamente, K N será la m itad de la cuerda que subtiende el doble del arco del círculo paralelo cuyo radio es FK . Y el

doble de ese arco es la diferencia entre el día equinoccial y el otro día. Y esto es verdad porque todos los semicírculos de los que esas rectas son diámetros y secciones comunes, es decir, BED del horizonte oblicuo, LE M del horizonte recto, AEC del ecuador y FK G del paralelo, son perpen­ diculares al plano del círculo ABCD, y por el 19 del libro X I de los elementos de Euclides, las secciones comunes que form an entre sí son perpendiculares al mismo plano en los puntos E, K y N ; y por el 6 del libro X I esas secciones comunes son normales entre sí. Y K , es el centro del paralelo y E el centro de la esfera. De donde EN es la m itad de la subtensa del doble del arco del horizonte que es la diferencia entre la salida del Sol en el paralelo y en el equinoccio. Como fueron da­ das la declinación A F y el resto FL del cuadrante KE, la semicuerda que subtiende el doble del arco AF y F K la semicuerda del doble de FL serán establecidas en partes, de las cuales AE tiene 100 mil. Pero en el triángulo rectángulo EK N está dado el ángulo K EN por ser D L la elevación del polo y el ángulo restante K N E es igual a AEB porque en la esfera oblicua los paralelos están igualmente inclinados hacia el ho­ rizonte, y los lados están dados en las mismas partes de las que el radio de la esfera tiene 100 mil. Por tanto, KN será dado en partes, de las que el radio K F del paralelo tiene 100 mil, porque K N es la semicuerda que subtiende el arco que mide la distancia entre el día equi­ noccial y el día en el paralelo; y este arco es dado en grados, teniendo todo el círculo paralelo 360 grados. De esto se deduce claramente que la razón de FK y K N consta de otras dos, la de la subtensa del doble de FL y la del doble de AF, o sea FK j K E, y la de la subtensa del doble de AB y la del doble de D L o sea EK v KN. Es decir, EK se tom a como m edia entre FK y KN. De modo similar, la razón de BE y EN se compo­ ne de las de BE y EK , y de K E y EN. Así, juzgo que no sólo puede determinarse la desigualdad de los días y las noches, sino también que en el caso de la L u n a y las estrellas, cuyas declinaciones sobre los para­ lelos descritos por el movimiento diurno han sido dadas, los segmentos de dichos paralelos que están encima del horizonte pueden distinguir­ se de ios que se encuentran debajo, y en consecuencia, los ortos y ocasos de dichos astros se pueden fácilmente comprender. C a p ít u l o

V III

DE LAS HORAS Y PA RTES D EL D IA Y D E LA N O C H E Por lo dicho, quede claro que si en la T abla tomamos la diferencia

Elevación del Polo

D tch 36* Sí • sr 53° SV 56" r.acion Crad. T iem p . M í* . T iem p . M in. T iem p . Afin . T iem p . M in . T iem p . M in . T iem p . M in . 1 2 3

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10 11 12

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7 8 8

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8 8 9

18 58 38 .

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16 17 18

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10 11 12

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11 11 12

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D«cUnación Grad.

1

Elevación del Polo O S9° 38* 40a 41 ¡X T iem p . M in. T iem p . M in . T iem p . M in . T iem p . M in . T iem p . M in . T iem p . M iti.

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Elevación del Polo

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Elevación del Polo

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1 2 3

1 2 3

9 18 27

1 2 3

12 23 35

1 2 3

14 28 43

1 2 3

17 34 61

1 2 3

20 39 59

1 2 4

4 5 8

4 5 6

37 47 57

4 5 7

47 60 12

4 6 7

67 12 27

5 6 7

8 28 44

5 6 8

19 40 1

5 • 31 6 55 8 19

7 3 9

8 9 10

7 18 30

8 0 10

25 38 53

8 10 11

43 0 17

9 10 11

2 22 42

9 10 12

23 45 8

9 11 12

44 9 35

10 11 12

11 12 14

42 55 9

12 13 14

8 24 40

12 13 15

35 53 13

13 14 15

3 24 47

13 14 16

32 57 23

14 15 17

3 31 0

13 14 15

15 16 17

24 40 57

15 17 18

53 17 39

16 17 19

31 50 19

17 18 20

11 37 4

17 19 20

50 19 50

18 20 21

32 4 38

16 17 18

19 20 21

16 33 57

19 21 22

59 22 47

20 22 23

44 11 39

21 23 24

32 2 34

22 23 25

22 56 33

23 24 26

15 53 34

19 20 21

23 24 26

23 45 12

24 25 27

14 42 14

25 26 28

10 43 18

26 27 29

9 46 26

27 28 30

11 63 37

28 30 31

17 A. 54

22 23 24

27 29 31

42 14 4

28 30 32

47 23 3

29 31 33

66 37 21

31 32 34

8 54 44

32 34 36

25 17 13

33 35 37

47 45 48

25 26 27

32 34 35

26 8 53

33 35 37

46 32 23

35 37 39

10 2 0

36 38 40

39 38 42

38 40 42

14 20 33

39 42 44

59 10 32

28 29 30

37 39 41

43 37 37

39 41 43

19 21 29

41 43 45

2 12 29

42 45 47

53 12 39

44 47 50

53 21 1

47 49 52

2 44 37

31 32 33

43 45 48

44 67 19

45 48 60

44 8 44

47 SO 53

54 30 20

50 53 56

16 -7 13

52 56 59

53 1 28

55 59 63

48 19 21

34 35 36

50 53 66

54 40 42

53 56 59

30 34 59

56 59 63

20 58 47

59 63 68

42 40 26

63 68 74

31 18 36

68 74 90

11 32 0

23 45 8

Elevación d e l

Dam­

P o lo

sr nación 65a 66 • 68a 68? ecr Crad. T iem p . M in. T iem p. ¡ fin . T iem p . M in . T iem p . M in . T iem p . M in. T iem p . M in . 1 2 3

1 2 4

26 52 17

1 2 4

29 58 27

1 3 4

32 5 38

1 3 4

36 12 49

1 3 5

40 20 0

1 3 5

44 28 12

4 6 6

5 7 8

44 11 S8

5 7 8

57 27 58

6 7 9

11 44 19

6 8 9

25 3 41

6 8 10

41 22 4

6 8 10

57 43 29

7

5 0

10 11 13

6 35 4

10 12 13

29 1 35

10 12 14

54 30 7

11 13 14

20 0 41

11 13 15

47 32 17

12 14 15

17 5 55

10 11 12

14 16 17

35 7 40

15 16 18

9 45 22

15 17 19

45 25 6

16 18 19

23 8 53

17 18 20

4 53 43

17 19 21

47 41 36

18 14 15

19 20 22

15 52 30

20 21 23

1 42 24

20 22 24

50 35 22

21 23 25

41 31 23

22 24 26

36 31 29

23 25 27

34 35 39

16 17 18

24 25 27

10 53 39

25 26 28

9 57 48

26 28 30

12 5

1

27 29 31

19 18 20

28 30 32

30 35 44

29 31 34

47 59 19

19 20 21

29 31 33

27 19 15

30 32. 34

41 39 41

32 34 36

1 5 14

33 35 37

20 37 54

34 37 39

58 17 42

36 39 41

37 5 40

22 23 24

35 37 39

14 19 29

36 39 41

48 0 18

38 40 43

28 49 17

40 42 45

17 47 26

42 44 47

15 57 49

44 47 50

25 20 27

25 26 27

41 44 46

45 9 41

43 46 .4 9

44 18 4

45 48 31

54 41 41

48 51 54

16 19 38

50 54 58

54 16 0

53 57 61

52 39 57

28 29 30

49 52 55

24 2U 32

52 55 58

1 16 52

54 58 62

58 36 45

58 62 67

19 31 31

62 67 73

14 18 55

67 73 90

4 46 0

31 32 33

59 63 68

6 10 .1

62 67 74

58 53 19

67 74 90

42 12 0

74 90

4 0

90

0

34 35 36

74 00

33 0

90

0

de días que corresponde a la declinación de el Sol bajo la propuesta ele­ vación del polo, y la añadimos a un cuadrante de círculo en las declinasioncs boreales, la restamos en las australes, y doblamos el resultado, tendremos la longitud de aquel día y la duración de la noche que es el resto del círculo. Y cada uno de esos segmentos divididos por quince “tiempos” nos mostrará cuantas horas iguales contienen. Pero tomando la doceava parte tendremos la duración de una hora estacional. Estas horas toman su nombre de su día, del cual cada hora es siempre la do­ ceava parte. Por lo que laá horas encontradas fueron llamadas por los antiguos solstidales-estivales, equinocciales y solsticiales-invemales. Pero no hubo otras horas al principio que las doce desde la luz a la oscuridad y dividían la noche en cuatro vigilias. Este uso de las horas duró largo tiempo con el tácito consentimiento de las gentes, para lo cual inventaron las clepsidras en las que por adi­ ción o substracción del agua que goteaba ajustaban las horas' a las dife­ rentes duraciones de los días, y también para que el cielo nublado no ocultara las distinciones de los tiempos. Pero después, cuando horas iguales comunes al día y a la noche entraron en uso general, por ser más fáciles de observar, las horas estacionales vinieron en desuso, de modo que si preguntan a alguien si es la hora prima, la tercia, la sexta, la nona o la undécima del día, no sabrá que responder o lo hará con algo que no viene al caso. Ahora algunos miden dicho número de horas igua­ les desde el mediodía, otros desde la puesta del Sol, la media noche o la salida del Sol, según para cada ciudad estuviere establecido. C a p ít u l o

IX

D E LA ASCENSION O BLICU A DE LAS PARTES D EL ZODIACO Y D E Q U E M O D O PARA C U A L Q U IE R GRADO DEL O R T O D E T E R M IN A R E M O S EL GRADO Q U E ESTA EN M E D IO DEL C IE L O Ahora que han sido expuestas las longitudes y diferencias de días y noel íes, sigue en su orden oportuno, la presentación de las ascensiones oblicuas, es decir junto con que “ tiempos” del ecuador, la dodecatemoria, o sea las doceavas partes del zodíaco, o algunos otros arcos suyos cruzan el horizonte. Porque las diferencias entre ascensiones oblicuas y rectas, son las mismas que entre el equinoccio y un día diferente como ya in­ dicamos. Además, los antiguos asignaron nombres de seres animados a las doce constelaciones de estrellas fijas, y a partir del equinoccio de prima­

vera las denom inaron: Aries, Tauro, Géminis, Cáncer, y las restantes en orden. Repetimos para mayor evidencia, el circulo meridiano ABCD, el semi­ círculo ecuatorial AEC y el horizon­ te BED que se cortan entre sí en el punto E. Tomemos ahora el punto H como el equinoccio. Por este punto pasa la eclíptica F H I y corta el ho­ rizonte en L , y por esta intersección tracemos K LM , cuadrante de círcu­ lo máximo que baja desde K , el polo del ecuador. Así no hay d u d a que el arco H L del zodíaco y el H E del ecuador cruzan juntos el horizonte, pero en la esfera recta aquel arco se levanta junto con el arco H E M . El arco EM es la diferencia entre esas ascensio­ nes y ya hemos dem ostrado que es. la m itad de la diferencia entre el equi-1 noccio .y el día diferente. Sin embargo, en una declinación boreal, lo que fue allí añadido es aquí substraído, pero en una declinación austral es adicionado a la ascensión recta que puede volverse oblicua. Y ' de aquí, la extensión en que ha emergido todo un signo o algún otro arco del zodíaco, puede ponerse de manifiesto por las ascensiones num eradas desde el principio al final. De esto sigue que cuando se d an algunos grados de la eclíptica, la salida de los cuales ha sido m edida desde el equinoccio, es conocido tam bién el grado que está en medio del cielo. Porque cuando h a sido dada la declinación de un grado que sale en L , como correspondiente a H L , la distancia desde el equinoccio, el arco H E M es la ascensión rec­ ta y todo el A H E M es el arco semidiurno. Es conocido entonces el arco restante AH, y este arco es la ascensión recta del FH , determ inado por la Tabla, o porque están dados AFH, ángulo de sección y A H F junto con el lado AH y el ángulo F A H es recto. D e ese modo, conocemos FH L , todo el arco de la eclíptica entre el grado del orto y el grado medio del cielo. Viceversa, si está dado prim ero el grado en medio del cielo, o sea el arco FH , conoceremos también el signo que está saliendo. Se sabe cual es la declinación del arco AF y por medio del ángulo de oblicuidad de la esfera, determinaremos el arco AFB y el resto FB. A hora en el triángulo BFL, están dados el ángulo BFL por lo anterior, y el lado FB; además el ángulo FBL es recto. Por tanto, se h a encontra­ do el lado F H L buscado, que deduciremos abajo por otro método.

C a p ít u l o

X

SO BRE EL A N G U LO D E SECC IO N D E LA E C L IP T IC A C O N EL H O R IZ O N T E Además, como la eclíptica es oblicua al eje de la esfera, form a varios ángulos con el horizonte. Porque ya hemos dicho en el caso de la dife­ rencia de las sombras, que dos grados opuestos del zodíaco pasan a través del eje del horizonte de aquellos que viven entre los trópicos. Pero pienso que para nuestro propósito será suficiente dem ostrar los ángulos que encuentran los habitantes lieteroscios. Por medio de esos ángulos, puede comprenderse la relación universal de los mismos. Según esto, creo que es bastante claro, que en la esfera oblicua, cuando sale el equinoccio o el comienzo de Aries, tanto más aum enta la mayor declinación austral me­ dida desde el principio de Capricornio que está entonces en medio del cielo cuanto más la eclíptica se mclina y se acerca al horizonte. Y al con­ trario cuando la eclíptica tiene una mayor elevación, -forma un ángulo oriental mayor, cuando el comienzo de L ibra está emergiendo y el prin­ cipio de Cáncer está en medio del cielo. Porque esos tres círculos, el ecuador, la eclíptica y el horizonte coinciden con una sección com ún en los polos del círculo meridiano, cuyos arcos irfterceptados por aquellos muestran que valor debe tener el ángulo oriental. Pero para poner de manifiesto como realizar las medidas de otras partes del zodíaco, sean de nuevo, ABCD el círculo meridiano, BED el semicírculo del horizonte, AEC el semicírculo de la eclíptica y E el pun'to 'd o n d e sale un grado d e la eclíptica Nuestro problema es encontrar el valor del ángulo AEB si cuatro rectos tienen 360 grados. Y a que E es el grado del orto, están dados, por lo anterior, el grado .que está en medio del cielo y el arco AE. Y como el ángulo ABE es recto, la razón de las cuerdas del doble de AE y del doble de AB es igual a la del diám etro de la esfera y la subtensa del doble de AEB, por tanto, este ángulo será también conocido. Pero si el grado dado no es de orto sino el grado en medio del cielo, o sea A, puede determinarse el án­ gulo AEB a partir del ángulo oriental o ángulo de orto. Porque con el polo en E describamos F G H cuadrante de

i

I

Elevación d el Polo =3 48° sr 59° sr vr i r iS N Atotntion Atcention Atcensvm Ascensión A iccnñon Ascmrüm Vir,.:f;J,í¡ Tirmpjrfir.^ TUmpíMia. ir: Sign. TirmpMin. T 6 12 18 34 30

3 7 10 14 18

34 10 50 32 26

3 6 10 13 17

20 44 10 39 21

3 6 9 12 16

6 15 27 43 11

2 5 8 11 14

50 44 39 40 51

2 5 7 10 13

32 8 47 28 26

2 4 6 9 11

12 27 44 7 40

1 3 5 7 9

49 40 34 32 40

v

30

22 28 31 35 40

30 39 0 38 30

21 25 29 33 38

12 10 20 47 30

19 23 27 31 36

46 32 29 43 15

18 21 25 29 33

14 42 24 25 41

16 19 23 26 30

25 38 2 47 49

14 17 20 23 27

22 13 17 42 26

11 14 17 20 23

57 23 2 2 23

X 6 12 18 24 90

45 51 56 63 69

39 8 56 0 25

43 48 54 60 66

31 ’ 41 46 52 35 51 36 57 64 59

7 20 56 54 16

38 43 48 54 61

23 27 56 49 10

35 40 45 51 57

15 8 28 15 34

31 36 41 47 53

34 13 22 1 28

27 31 36 41 48

7 26 20 49 3

@ 6 76 12 83 18 90 24 97 30 104

6 2 10 27 54

73 80 87 95 102

42 41 54 19 54

71 78 85 92 100

0 2 22 55 39

67 75 82 90 98

55 2 29 11 5

64 71 79 87 95

21 34 10 3 .13

60 67 75 83 91

7 28 16 22 50

54 55 62 ‘ 26 70 28 78 55 87 46

6 12 18 24 30

112 119 127 135 145

24 56 29 4 38

110 118 126 133 141

33 16 0 46 33

108 116 124 132 140

30 25 23 21 23

106 114 122 130 139

11 20 32 48 3

103 111 120 128 137

33 58 28 59 38

100 109 118 126 135

28 13 3 56 52

96 105 115 124 133

48 58 13 31 52

fl

150 157 165 172 180

11 41 7 34 0

149 157 164 172 180

19 1 40 21 0

148 156 164 172 180

23 19 12 6 0

147 155 163 171 180

20 29 41 51 0

146 154 163 171 180

8 38 5 33 0

144 153 162 171 180

47 36 24 12 0

143 153 162 170 180

13 24 47 49 0

6 12 u

M

0

H7

12 18 24 30l

Elevación del Polo M S3° 4JT 4T Bí • 57* 5? V o N Ascensión Ascensión Ascensión Ascensión Ascensión Ascensión Atctmion Tiemp. Min Tiemp.Min. Tiemp.Min TUmpMin. Tiemp.Min. SIgn. Tiemp.Min. 6 12 18 24 30

187 194 202 209 217

26 53 21 49 22

187 195 203 210 218

39 19 0 41 27

187 195 203 211 219

54 48 41 37 37

188 196 204 212 220

9 19 30 40 67

188 196 205 213 222

27 55 24 52 22

188 197 206 215 224

48 36 25 13 8

189 198 207 216 226

11 23 36 48 8

m 6 12 18 24 30

224 232 240 247 255

56 56 31 36 36

226 234 241 249 257

14 0 44 27 6

227 235 243 251 259

38 37 35 30 21

229 237 245 253 261

12 28 40 49 52

231 239 248 256 264

1 32 2 27 47

233 241 250 259 268

4 235 57 244 47 254 32 263 10 272

29 47 2 12 14

*

6 12 18 24 30

262 269 276 283 290

8 50 58 54 75

264 272 279 286 293

41 6 19 18 1

267 274 281 289 295

5 38 58 0 45

269 277 248 292 298

49 31 58 5 50

272 280 288 295 302

57 50 26 39 26

276 284 292 299 306

38 45 32 53 42

281 289 297 305 311

5 32 34 5 58

•C 6 12 18 24 30

297 303 308 314 319

0 4 63 21 30

299 305 311 316 321

24 25 8 29 30

302 305 313 318 323

6 4 40 63 45

305 311 316 321 326

11 4 33 37 19

308 314 319 324 329

45 32 52 45 XI

312 318 323 328 332

59 38 17 26 34

318 323 328 332 338

11 40 31 53 38

■ 6 12 18 24 30

324 330 333 337 341

21 0 21 30 34

326 330 334 338 342

13 40 50 48 39

328 332 336 340 343

16 31 27 3 49

330 334 338 341 345

35 36 18 46 9

333 336 340 343 346

13 68 22 35 34

336 339 342 345 948

18 43 47 38 20

339 342 345 348 350

58 58 37 3 20

X 6 12 IS 24 30

345 349 352 356 360

29 11 50 26 0

346 349 353 356 360

21 347 51 350 16 353 40 356 0 360

17 33 45 23 0

348 351 354 367 360

20 21 16 10 0

349 352 354 357 360

32 14 62 53 0

350 353 355 357 360

63 16 33 48 0

352 354 356 358 360

28 26 20 11 0

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26 20 42 18 61 59 49 20 28

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33 36 47 3 53

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6 48 41

17 18 19

JR5 31 33 21 9 46 6 17 9 37 53 46 18 28

45

14 42 25 25 37

6

50 43 40 43 43 37 19 47 7 50 27 50 45 17 28

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9

0 9 O

30

10 1Z 11 12

32 35 41 53 13 31

2 40 26

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20

14 15 17 19 21 23 26 £9 22 35 33 41 44 4 7 ’. 49 52 53 54 55 56 56

26 48 23 16 26 52 38 34 39 60 56 57 48 24 47

33 16 46 44 16 28

T a b l a d e l a s A s c e n s io n e s d e i o s S io n o s e n l a R e v o l u c ió n d e l a E s f e k a R e c t a

Zodiaco Ajcensionts Un grado Signo: Grad. Ti-mf\Mi;i. TUrup. Aíin

Zodiaco Ascensiones lln grado Signos Grad. Tiemp.Min Tum p. Min.

Arica T

6 12 18 24 30

5 11 16 22 27

30 0 34 10 54

0 0 0 0 • 0

55 55 56 56 57

Libra

6 12 18 24 30

185 191 196 202 207

80 0 34 10 54

0 0 0 0 0

55 55 56 56 57

Taurua 'ti

6 12 18 24 30

33 39 45 51 57

43 35 32 37 48

0 0 1 1 1

58 59 0 1 2

Scoipio m

6 12 18 24 30

213 219 225 231 237

43 35 32 37 48

0 0 1 1 1

58 59 0 1 2

Gtmini X

6 12 18 24 30

64 70 76 83 90

6 29 57 27 0

1 1 1 1 1

3 4 5 5 5

Sagittariu* *

6 12 18 24 30

244 250 256 263 270

6 29 57 27 a

1 1 1 1 1

3 4 5 5 5

Cancel 0

6 12 18 24 30

96 103 109 115 122

33 3 31 54 12

1 1 1 1 1

5 5 5 4 3

Capricorras 6 12 *C 18 24 30

276 283 289 295 302

33 3 31 54 12

1 1 1 1 1

6 5 5 4 3

Leo

6 12 18 24

128 134 140 146 152

23 28 25 17 6

1 1 1

2 1 0 59 58

Aquariua

6 12 18 24 30

308 314 320 326 332

23 28 25 17 6

1 1 1 0 0

2 1 0 59 58

157 163 169 174 180

50

57 66 56 55 55

Paces X

6 12 18 24 30

337 343 349 354 360

50 26 0 30 0

0 0 0 0 0

57 56 56 55 56

fí

30

Virgo HP

6 12 18 24 30

0 0

0 30

0 0 0 0

0

0

28

m

círculo máximo, y completemos los cuadrantes EAG y EBH. Por tanto, estando d ad a la altitud AB del meridiano, A F será el resto de su cuadran­ te. Y conocido por lo anterior el ángulo FA G y siendo el ángulo FGA recto, se obtendrá el arco FG y el resto de su cuadrante G H , que miden el ángulo de orto buscado. D e modo similar, es tam bién evidente que para el grado que está en m edio del ciclo, está dado el grado que está saliendo, porque la razón de las cuerdas del doble de G H y del doble de AB es igual a la del diám etro de la esfera y la cuerda del doble de AE como en los triángulos esféricos. Tam bién de estas cosas adjuntam os tres ejemplos de Tablas. L a pri­ m era será la T abla de ascensiones rectas en la esfera recta, comenzando con Aries con incrementos de 6 grados del zodíaco. L a segunda in­ cluirá las ascensiones en la esfera oblicua, por pasos tam bién de 6 grados, desde el paralelo de elevación polar de 39 grados al paralelo de 57 grados, con incrementos de la elevación de 3 grados. L a T abla restan­ te contiene los ángulos formados con el horizonte y procede en el zodíaco con incrementos de 6 grados y los mismos siete segmentos. Esas Tablas han sido confeccionadas de acuerdo con la m enor oblicuidad de la eclíptica o sea 23 grados 28 minutos, aproxim adam ente correcta para nuestro siglo. C a p ít u l o X I

D EL U SO D E ESTAS TABLAS El uso de estas Tablas está aclarado por las demostraciones, ya que si tomamos la ascensión recta correspondiente a u n grado conocido del Sol, y si para cada hora igualmente medida desde el m edio día le añadi­ mos 15 “tiempos”, no contando los 360 de todo el círculo si excede de ese valor, la suma de las ascensiones rectas d ará el grado del zodíaco en medio del cielo a la hora propuesta. Similarmente si hace lo mismo en el caso de la ascensión oblicua de su región, tendrá el grado del orto de la edíptica p ara la hora medida desde la salida el Sol. Además, en el caso de ciertas estrellas que están fuera de la eclíptica, pero cuya ascensión recta h a sido establecida (como arriba indicam os), los grados del zodíaco que están en medio del cielo junto con ellas, están dados según la tabla por su ascensión recta desde el comienzo de Aries; y los grados de la eclíptica que salen con ellas están dados por su ascensión oblicua, de acuerdo como las ascensiones y partes de la eclíptica están colocadas en las regiones correspondientes de las Tablas.

Igualm ente, es posible operar con el ocaso, por el lugar opuesto. Por lo cual, si a la ascensión recta en medio del cielo se le añade un cuadrante de círculo, la suma es la ascensión oblicua del grado del orto. O sea, por el grado en m edio del cielo se conoce él grado del orto y viceversa. Sigue la T ab la de los ángulos de la eclíptica con el horizonte, que se m iden en el grado del orto del zodíaco. D e aquí se comprende cual es la elevación del grado 90 de la eclíptica sobre el horizonte, dato que eá muy necesario saber en los eclipses solares. C a p ít u l o

X II

D E L O S A N G U LO S Y D E LO S A RC O S D E C IR C U L O S Q U E PASAN PO R LO S P O L O S D EL H O R IZ O N T E Y C O R T A N EL M IS M O C IR C U L O DE LA E C L IPT IC A Expondremos ahora la relación de ángulos y arcos formados por la intersección de la eclíptica con los círculos que pasan por el vértice del horizonte, cuando los cruzamientos tienen alguna altitud sobre éste. Pero hablamos antes de la altitud m eridiana del Sol o de cualquier grado del zodíaco que está en medio del cielo, y del ángulo de sección con el meridiano ya que el círculo, meridiano es también uno de los que pasan por el polo del horizonte. Además, hemos tratado ya el ángulo del signo que sale, complementario del ángulo comprendido por un círculo m áxi­ mo que pasa por el vértice del horizonte y por el orto del zodíaco. Por tanto, falta considerar las secciones medias, es decir, las del círcu­ lo m eridiano con los semicírculos de la eclíptica y del horizonte. Repitamos la figura anterior. Tomemos G como un punto so­ bre la eclíptica entre el medio d ía y el punto de orto u ocaso. Por G, hagamos descender desde F, polo del horizonte, un cuadrante de círculo FG H . Está d ada la hora AGE como el arco total de la eclíptica entre el merdiiano y el horizonte, y por hi­ pótesis se conoce AG. De modo análogo, como están da­ das la altitud del meridiano AB y el ángulo del meridiano FAG, se determ ina AF. Y por lo indicado en los triángulos esféricos, está dado el arco FG , y el arco G H resto del cua­

drante, que es la altitud de G, y como el ángulo FAG es conocido, he­ mos encontrado lo que queríamos. Aprovechamos de Ptolomeo todo esto de ángulos e intersecciones de la eclíptica y hemos recurrido a las ense­ ñanzas generales de los triángulos esféricos. Si alguien desea ejercitarse en este estudio, puede encontrar para sí más utilidades que las dadas en nuestros ejemplos. C

a p ít u l o

X III

D E L O R T O Y O C A SO D E LOS A STRO S El orto y ocaso de los astros parece depender de la revolución diaria, no sólo las simples salidas y puestas que acabamos de tratar, sino también las m atutinas o vespertinas, porque a pesar de estar afectada su aparición por el curso de la revolución anual, será m ejor hablar de ellas ahora. Los matemáticos distinguían los ortos y ocasos reales de los aparentes. L a salida m atutina de un astro es verdadera cuando emerge a la vez que el Sol, y el ocaso m atutino es verdadero cuando la puesta del astro coin­ cide con el orto solar, cuyo tiempo medio todos llam an m atutino. L a sa­ lida vespertina es verdadera cuando el Sol se pone al emerger el astro, y el ocaso vespertino es verdadero cuando se ponen a la vez el Sol y el astro; cuyo tiempo medio llam an vespertino. Sin embargo, la salida m atutina de u n astro es aparente cuando emerge primero en el am anecer y comienza a verse antes del orto solar, y el ocaso m atutino es aparente cuando el astro se pone muy pronto, antes de que salga el Sol. L a salida vespertina es aparente cuando se ve nacer el astro al atardecer, y el ocaso vespertino es aparente cuando el astro deja de ser visible algún tiem po después del ocaso solar, y está oculto p o r la proxim idad del Sol, hasta que vuelven a surgir en el orden anterior en el orto m atutino. Esto es verdad p ara las estrellas fijas y para los planetas Saturno, Júpiter y M arte. Pero Venus y M ercurio nacen y se ponen de m odo distinto. Porque no son ocultados por el acercamiento del Sol, ni se descubren de nuevo por su alejamiento, sino viniendo de frente, el brillo del Sol los confunde y hace desaparecer. C uando los planetas superiores tienen un orto vespertino y un ocaso m atutino no se obscurecen en algún momento dejando de ilum inar p o r la noche, mien­ tras los planetas inferiores perm anecen escondidos sin diferencia del ocaso al orto y no pueden verse en parte alguna. H ay todavía otra difeiencia, en los planetas más elevados los ortos y ocasos matutinos verdaderos son anteriores a los aparentes, y los ortos

y ocasos vespertinos son posteriores a los aparentes, porque en la m añana preceden a la salida del Sol y en la taide siguen.a su puesta. Sin embar­ go, en los planetas más bajos los ortos aparentes matutinos y vespertinos son posteriores a los verdaderos, m ientras los ocasos aparentes son ante­ riores a los verdaderos. Ahora podemos comprobar de lo anterior, donde expusimos la ascen­ sión oblicua de una estrella que tiene una posición conocida, como pueden distinguirse los ortos y ocasos, y junto con qué grado de .la eclíp­ tica, la estrella sale y se pone, y en qué posición o grado opuesto, si el Sol se h a hecho visible en ese tiempo, la estrella tiene sus verdaderos orto y ocaso, m atutino o vespertino. Las salidas y puestas aparentes difieren de las verdaderas de acuerdo con la claridad y m agnitud del astro, ya que ias de luz más potente están meneo obscurecidas por los rayos solares, que las menos luminosas. Y los límites de aparición y ocultación están determinados en el hemisferio inferior, entre el horizonte y el Sol, por arcos de círculos subterráneos que pasan por los polos del horizonte. , Los limites son 12 grados p ara las estrellas fijas primarias, 11 grados p ara Saturno, 10 grados para Júpiter, 11/ 2 grados para M arte, 5 gra­ dos para V e n n y 10 grados p ara Mercurio. Pero en todo este periodo durante el cual lo que resta de luz diurna cede a la noche que completa el crepúsculo o el amanecer, hay 18 grados de dicho círculo. Cuando el Sol ha atravesado esos grados, las estrellas más pequeñas comienzan tam ­ bién a ser visibles. Con esta distancia, determ inan los matemáticos un paralelo bajo el horizonte en el hemisferio inferior y dicen que cuando el Sol alcanza ese paralelo, term ina el día y comienza la noche. Por tanto, cuando hemos determ inado con qué grado del zodíaco sale o se pone el astro y cual es el ángulo de sección de la eclíptica con el horizonte en ese punto, y si también encontramos cuantos grados de la eclíptica entre el grado del orto y el Sol son suficientes para d a r a éste una altitud bajo el horizonte de acuerdo con los límites prescritos del astro en cuestión, podremos anunciar si este primero va a emerger o a ocultarse. Pero lo indicado en la explicación anterior sobre la altitud del Sol sobre la 'fierra, concuerda por completo con su descenso bajo la misma. Porque no hay diferencia en las correspondientes posiciones, y en consecuencia, aquellas estrellas que se ponen en el hemisferio visi­ ble están saliendo en el hemisferio oculto y todo es a la inversa como es fácil de comprender. Y es suficiente lo dicho acerca del orto y ocaso de los astros y de la revolución cotidiana del globo terrestre.

C a p ít u l o

X IV

D E LA B U SQ U ED A D E LOS LUGARES D E LAS ESTRELLAS Y DEL CA TA LO G O D E LAS ESTRELLAS FIJAS Después de haber expuesto la revolución diaria del globo terrestre y de sus consecuencias, debemos continuar con la demostración del circuito anual. Pero como algunos de los antiguos matemáticos indicaron que debe preceder el estudio de los fenómenos de las estrellas no errantes, por sor primordial en este arte, decidimos seguir esta opinión, por que entre nuestros principios e hipótesis habíamos supuesto que la esfera de las estrellas fijas, a la que se refieren los movimientos erráticos de los plane­ tas, está completamente inmóvil. Pero nadie debería sorprenderse que sigamos este orden, aunque Ptolomeo en su Almagesto o M agna Cons­ trucción señala que no puede darse una explicación de las estrellas fijas, si antes no precediere el conocimiento de las posiciones del Sol y de la L una, y por esto decidió diferir lo relativo a las estrellas fijas. Pero estamos contra esta opinión. Porque si se entiende por los núme­ ros que calculan el movimiento aparente del Sol y de la Luna, quizás la opinión se m antenga, ya que así, Menelao, el geométra descubrió la posición de muchas estrellas por medio de los números de sus conjun­ ciones con la' Lima. Pero haremos mucho mejor si determinamos u n a estrella con ayuda de instrumentos, después de exam inar con cuidado las posiciones del Sol y de la Luna, como ahora enseñaremos. Y nos aconseja esto también la nulidad de los intentos de los que pensaban, que la m agnitud del año solar podía definirse sólo con ayuda de los equinoccios y solsticios, sin las estrellas fijas. Nos advirtió sobre esto Ptolomeo, que había evaluado el año solar en su época, no sin sospecha de error, que con el tiempo pudiera pre­ sentarse, y aconsejó a la posteridad, se examinase la certeza ulterior de este asunto. Por lo tanto, nos parece valioso ese esfuerzo, como en este libro presentaremos, para m ostrar „como, con instrumentos artificiales, pueden establecerse las posiciones del Sol y de la Luna, esto es, a que distancia están del equinoccio de prim avera o de algún otro punto car­ dinal del mundo. El conocimiento de esas posiciones nos dará facilidades para investigar los otros astros, y así podremos poner ante sus ojos la esfera de las estrellas fijas, entretejidas de constelaciones.

Ya hemos expuesto antes con que instrumentos puede determinarse la distancia de los trópicos, la oblicuidad del zodíaco y la inclinación de la esfera, o la altitud del polo del ecuador. Del mismo modo podemos establecer cualquier otra altitud del Sol al mediodía. Esta altitud, por medio de su diferencia con la inclinación de la esfera, nos indicará cuál es la declinación del Sol respecto del ecuador. Por medio de esta decli­ nación, la posición del Sol a mediodía quedará clara al ser medida en el equinoccio o en el solsticio. Vemos que el Sol parece recorrer apro­ ximadamente 1 grado en el transcurso de 24 horas, o sea, 2 / i minutos por hora. De donde, podemos determ inar su lugar con facilidad en cual­ quier otra hora indicada. Pero para observar las posiciones de la Luna y de las estrellas se construyó otro instrumento, que Ptolomeo llamó astrolabio. Se fabrica con dos círculos, o m ejor con aros de un cuarto de círculo, con sus super­ ficies cóncavas y convexas perpendiculares a los lados planos. Esos aros serán iguales y similares en todo y de tam año adecuado, para que no sean de manejo difícil por sus grandes dimensiones, pero, por otro lado, necesitan tener suficiente am plitud para dividirse en grados y minutos. A nchura y grosor deben ser, al menos, la trigésima parte de su diámetro. Luego deben ajustarse juntos form ando ángulos rectos entre sí, de modo que coincidan sus lados cóncavos y convexos, como en la redondez de un globo. U no de los círculos tendría lo posición relativa del zodíaco, y el otro, la del círculo que pasa por los polos del ecuador y de la eclíptica. Por tanto, el círculo del zodíaco se dividirá en el número convenido de 360 grados, que se subdivirán según la capacidad del instrumento. Ade­ más, cuando los cuadrantes del otro círculo han sido medidos desde la eclíptica, los polos de ésta se m arcarán sobre él; y cuando una distancia correspondiente á la oblicuidad del zodíaco h a sido señalada desde esos puntos, se anotarán también los polos del ecuador. Cuando estos círculos estén listos, se prepararán otros dos círculos y se m ontarán por los mismos polos de la eclíptica, y se moverán sobre esos polos, u n círculo exterior y otro interior. Deben tener el mismo grueso entre sus superficies planas y la anchura de ésta será igual a la de los otros círculos; estarán construidos de modo que la superficie cóncava del mayor coincida en todos los puntos con la superficie convexa del zodíaco, y la superficie convexa del m enor con la superficie cóncava del zodíaco. Sin embargo, no deben im pedir el giro, de m odo que la eclíptica con su meridiano y entre sí puedan pasar libre y fácilmente. Perforaremos orificios en esos círculos según el diám etro en los polos del zodiaco y en esos orificios fijaremos ejes para unir los círculos y moverlos.

El círculo interior será dividido en 360 grados, de tal m anera que loe cua­ drantes desde los polos tengan 90 grados. Además, en su concavidad se co­ locará un quinto círculo, que pueda girar en el mismo plano, y con un aparato fijado a sus superficies planas, que tiene orificios en un diá­ m etro y reflectores u oculares, por donde la luz del astro, como en u n a dioptra, pueda irrum pir y salir a lo largo de dicho diámetro. Y ciertos dispositivos o índices p ara números se m ontan en este quinto círculo en puntos opuestos p ara poder observar las latitudes del circulo continente. Finalmente, se añade un sexto círculo que rodea y sostiene todo el astrolabio, suspendido por medio de uniones firmes en los polos del ecuador y fijado sobre una columna o soporte, donde se apoya per­ pendicular al plano del horizonte. Además esos polos serán ajustados a la inclinación de la esfera, de form a que el ángulo exterior tendrá u n a posición similar al meridiano y cuidaremos que no se mueva lo más mínimo. Después de haber preparado así este instrumento, cuando deseemos hallar la posición de alguna estrella, por la tarde o al aproximarse la puesta de Sol, y al mismo tiempo que la L una es también visible, ajus­ taremos el círculo exterior al grado de la eclíptica, donde hemos deter­ m inado por los métodos anteriores, que el Sol está en ese tiempo. D are­ mos la vuelta después a la intersección del zodíaco con el círculo exterior h a d a el mismo Sol, hasta que ambos círculos que pasan por sus polos, se cubran a la vez a sí mismos con sombras. Entonces giraremos el círculo interno hacia la Luna, y con el ojo colocado en su plano, marcaremos su posición sobre la parte zodiacal del instrumento, donde vemos la L una como opuesta, o donde está bisecada por el mismo plano. Esa será la posición de la Luna vista en longitud. Porque sin la L u n a no hay m anera de descubrir los lugares de las estrellas, que sólo ella, entre todas, participa del día y de la noche. Luego, llegada la noche, cuando es visible la estrella cuya posición buscamos, adaptarem os el círculo exte­ rior al lugar ocupado por la Luna, en relación con la cual establecemos la posición del astrolabio, como hicimos en el caso del Sol. Entonces, también volveremos el círculo interior hacia la estrella, hasta que ésta parezca estar en contacto con las superficies planas del círculo y sea vista a través de los oculares, que están en el círculo contenido. D e este modo habremos determ inado la longitud y la latitud de la estrella. Cuando esto se hace, el grado del zodíaco en medio del ciclo se encuentra ante nuestros ojos, y estará clara la hora en que se realizó la operación. Por ejemplo, en el año segundo del em perador Antonio Pío. Ptolomeo, el noveno día de Farm utí octavo mes de los egipcios, en Alejandría,

queriendo observar cerca del ocaso del Sol, el lugar de la estrella Basi­ lisco o Régulo, en el pecho de Leo, dirigió su astrolabio hacia el Sol que ya se ponía a 5 horas ecuatoriales después del mediodía. E n este tiempo, el Sol se encontraba a 3 1/2 4 grados de Piscis, y al mover el círculo inte­ rior comprobo que la L u n a estaba a 92 yí grados al éste del Sol por lo cual se vio que la Luna se situaba entonces a 5 1/6 grados de Géminis. Des­ pués de media hora, cuando se cumplían 6 horas desde el mediodía y la estrella comenzaba a aparecer y \ grados de Géminis estaban en medio del cielo, giró el círculo exterior del instrumento al sitio ya determinado de la Luna. Continuando con el círculo interior, tomó la distancia a la estrella desde la Luna como 57 1/10 grados al este. Según se dijo, la Luna había sido encontrada a 92j^ grados del Sol poniente, lo que la colocaba a 5 1/6 de Géminis; pero era correcto p ara la L una avanzar ]A grado en el espacio durante m edia hora, puesto que la porción horaria de su movimiento.es más o m e n o s de Z¡ g T a d o ; pero te n ie n d o en c u e n t a la paralaje substractiva de la Luna debe haber sido ligeramente menor de Y* de grado, lo que es decir, alrededor de 1/6 de grado, por tanto, la L una se encontraba a 5 1/3 grados de Géminis. Pero cuando hemos dis­ cutido las paralajes de la Luna, la diferencia no parece haber sido tan grande, de donde será- bastante evidente que la posición observada de la Luna era m ayor de 5 1/3 grados, pero algo m enor de 5 2 /5 grados. La adición a esto de 57 1/10 grados localiza la estrella a 2 grados 30 m inu­ tos de Leo, a una distancia de unos 32/ i grados del solsticio vernal del Sol y con una latitud norte de 1/6 de grado. Esta era la posición de Basilisco y, en consecuencia, el camino estaba abierto para otras estrellas no errantes. Esta observación de Ptolomeo fue realizada el 24 de febrero del año 139 de Nuestro Señor según el calendario romano, primer año de la 229 Olimpiada. Así, aquel eminentísimo matemático anotó la posición, que cada una de las estrellas tenía en ese tiempo en relación con el equinoccio de prim avera, y catalogó las constelaciones de animales celestes. D e ese modo, nos ayudó no poco en nuestro estudio, relevándonos de un trabajo bastan­ te arduo, para que quienes pensamos que los lugares de las estrellas no deberían referirse a los equinoccios variables con el tiempo, sino estos relacionarlos con la esfera de las estrellas fijas, y podamos con facilidad deducir la descripción de los astros de algún otro inmutable principio. Decidimos comenzar esa enumeración con Aries como prim er signo y la prim era de sus estrellas que está en su cabeza, de manera que tendremos u n a configuración absoluta y siempre la misma para aquellas estrellas que lucen juntas como fija» y unidas perpetuamente, una vez que ocupa­

ron su sede. Y son admirables el cuidado y diligencia de los antiguos que clasificaron las estrellas en cuarenta y ocho constelaciones, excepto aquellas que el círculo de las estrellas siempre ocultas separaba, y así estas estrellas fuera de constelaciones perm anecieron ignoradas para ellos. D e acuerdo con la exposición de Teón el Joven en su Arataea, las estrellas se ordenaban en form a de imágenes sólo por su gran m ultitud, que puede dividirse en partes, designadas separadam ente por ciertas denominaciones de acuerdo con u n a costumbre bastante antigua, puesto que ya en Hcsíodo y Hom ero leemos Pléyades, H íadas, A rturo y Orión. Y en la descripción de las estrellas de acuerdo con su longitud no deja­ mos doceavas partes o dodccatemorias, medidas de los equinoccios a los solsticios, sino el simple y acostumbrado núm ero de grados. En lo demás, seguiremos a Ptolomeo con poras excepciones de lo que se h a viciado, o que es de otro modo según comprobamos. Y en el siguiente libro ense­ ñaremos como encontrar sus distancias desde aquellos puntos cardinales (los equinoccios).

CATALOGO D E LOS SIGNOS Y ESTRELLAS Y PRIM ERAM EN TE D E I>AS Q U E ESTAN EN LA REG IO N SEPTEN TR IO N A L

Forma de las Estrellas

Longitud Grados M in .

Latitud Grados M in.

M agnitud

D Z LA O SA M ENOR O CINOSURA

En el extremo de la cauda 53 L a que sigue en la cauda 55 69 E n la salida de la cauda L a más austral en el lado precedente del 83 cuadrángulo L a m ás boreal en el 87 mismo lado L a m ás austral en el 100 lado siguiente L a más boreal en el mismo lado 109

30 50 20

c/3 w lJ < £ O

66 70 74

0 0 0

3 4 4

75

20

4

£

77

40

4

H r\h. M w

72

40

2

74

50

2

0 0 30 30

7 estrellas, de las cuales son de segunda m agnitud 2, de tercera 1, de cuarta 4 L a m ás austral no cons­ telada ccrca de Cinosu­ ra , en linea recta con 103 el lado siguiente

20

DK LA OSA MAYOR,

L a que está en el rostro L a precedente en los dos ojos L a que sigue a ésta L a precedente de las dos en la frente L a que sigue en la frente L a precedente en la ore­ ja derecha La que antecede de las dos en el cuello L a que sigue L a más boreal de las dos en el pecho L a más austral En la rodilla siniestra anterior L a más boreal de las dos en el pie siniestro de­ lantero

71 QUE

10

4

LLAMAN JI& U C B

78

40

39

50

4

79 79

10 40

43 43

0 0

5 5

79 81

30 0

47 47

10 0

5 5

81

30

50

30

5

85 92

50 50

43 44

50 20

4 4

94 93

20 20

44 42

0 0

4 4

89

0

35

0

3

89

50

29

0

3

C/3

O k—J

tí E tí

F o rm a d e ¡as E strella s

L o n g itu d G rados M in .

L a titu d G rados M in .

M a g n itu d

DE L A OSA MAYOR Q UE LLAMAN H ÉLIC E

La más austral En la rodilla diestra delantera L a que está bajo la mis­ ma rodilla En el hombro E n el flanco En la salida de la. cauda E n la pierna posterior izquierda La precedente de las dos en el pie izquierdo posterior L a que sigue En la cavidad izquierda L a más boreal de las dos en el pie diestro posterior L a más austral L a primera de las tres, en la cauda, después de la salida L a de en medio L a última en el extremo de la cauda

88

40

89

0

28

30

3

36

0

4

33 49 44 51

30 0 30 0

4 2 2 3

46

30

2

29 28 35

38 15 15

3 3 4

25 25

50 0

3 3

53 55

30 40

2 2

54

0

2

< 101 104 105 116

10 0 30 30

117

20

106 107 115

0 30 0

£ O i-*

H £ w

123 123

10 40 p*

125 131

30 20

143

10

C/3

27 estrellas, de las cuales son d r segunda magnitud 6, de tercera 8, de cuarta 8 de quinta 5. LAS QUE ESTÁ N CERCA DE H É L IC E , FUERA n E CO NSTELA C IO N ES

AI sur de la cauda 141 L a que antecede m is obscura 133 Entre los pie» delante­ ros de Osa y la cabeza de Leo 98 L a que está másboreal 96

10 30

H

O*

39

45

3

41

20

5

17

15

4

til

c/> 20

F o rm a d i las E strella s

Latitud Grados Min.

L o n g itu d G rados M in .

Magnitud

LAS Q UE «ESTÁN CERCA DE H É L IC E , EUERA DE CONSTELACIONES

La última de las tres obscuras 99 La que antecede a ésta 95 La que antecede aún más 94 La que entre los pies de* lanteros y Géminis 100

30 30 30 20

H a* a i■s>

20 22 23

0 45 15

obscura obscura obscura

22

15

obscura

N o consteladas 8, cuyas magnitudes son: de tercera 1, de cuarta 2, de quinta 1, obscuras 4. DEL DRAGÓN

La que está en la lengua En la boca Arriba del ojoEn la mejilla Sobre la cabeza La más boreal en la pri­ mera inflexión» del cue­ llo La más austral Entre ella* La que sigue a éstas al oriente en la segunda cvrya La más austral del Jado precedente del cuadri­ látero Al norte del mismo lado Al norte en el lado si­ guiente AI sur de! mismo lado Austral en el triángulo de la tercera curva L a precedente de las res­ tantes del triángulo La que sigue La antecedente de las tres en el triángulo L a más austral de las restantes del mismo triángulo

200 215 216 229 233

0 10 30 40 30

76 78 75 75 75

30 30 40 20 30

4 4 3 4 3

82 78 80

20 15 20

4 4 4

81

10

4

81 83

40 0

4 4

78 77

50 50

4 4

80

30

4

w

81 80

40 15

5 5

C/3

83

30

4

83

30

4

< 258 295 262

40 50 10

282

50

331 343

20 50

1 346

0 10

4

0

55

O ► —
t c b f x o

E n el brazo izquierdo 1 La más austral de las 339 tres en la liara L a que está en medio de ellas 340 L a más boreal de las tres 342

0 40 40

H fr. w m

20

62

30

4

60

15

5

61

15

4

61

30

5

11 estrellas, de las cuales son: de tercera magnitud 1, de cuarta 7, de quinta 3. De dos no consteladas la que precede a la tiara 337 La que la sigue 344

0 40

r* q* W

CO

64 59

0 30

5 4

D EI. BOYERO O AKTOFILAX

La que precede de Jas tres en la mano izquier­ da L a que está en medio más austral de las tres L a que sigue de las tres E n la articulación izquierd a de la cadera En el hombro izquierdo En la cabeza En el hombro derecho L a m is austral de las dos en el gancho La más al norte, en el extremo del gancho La más boreal de las dos bajo el hombro en el venablo L a más austral E n el extremo de la mano derecha La que precede de las dos en la palm a

145

40

58

40

5

147 149

30 0

58 60

20 10

5 5

143 163 170 179

0 0 0 0

54 49 53 48

40 0 50 40

5 3 4 4

^ 53 50 4 mayo Q

179

0

53

15

4

^

57

30

4

uq

^ £d

^ 178

20 FH £3

181 181

0 50

46 45

10 30

4 5

181

35

41

20

5

180

0

41

40

5

c/D

46 104 mayor

F o rm a d e las E strellas

L o n g itu d G rados M in .

L a titu d G rados M in .

M agnitud

DEL BOYERO O ARTOFÍLAX

La que sigue de ésta En el exfremo del mango del gancho E n la pier-ia. derecha La que sigue de dos, en el cíngulo La que antecede En el talón derecho L a m is boreal de tres en la pierna izquierda En medio de las tres L a m ás austral

180

20

42

30

5

40 40

20 15

5 3

41 42 28

40 10 0

4 4 3

28 26 25

0 30 0

3 4 4

>J 181 173

0 20

169 168 178

0 20 40

164 163 164

40 :»o 50

M ow ► —4 t™1 id H fx. U3 c/3

mayor

22 estrellas, de las cuales son: de tercera magnitud 4, de cuarta 9, de quinta 9. No constelada entre las piernas, que llaman Arturo 170 i>r. 1.a que brilla en la corona La que precede a todas La que sigue en el norte La que sigue m is al norte L a que sigue y brilla hacia el sur L a que sigue más de cerca La que sigue después m is Tejos L a que sigue a todas en la corona

20

31

30

1

44 46 48 50

30 10 0 30

2 4 5 6

44

45

4

I.A CORONA BOREAL

188 185 185 193

0 0 10 0

191

30

190

30

§

44

50

4

194

40

£ w

46

10

4

195

0

49

20

4

J < § w M £ r*

mayor mayor

8 enrollas, de las cuales son: de segunda magnitud 1, de cuarta 5, de quinta 1, de sexta 1. DP. P N C O N A St O D P I. H OM BRE ARRODILLADO

En !a cabera

221

0

37

30

3

L o n g itu d G rados M in .

L a titu d G rados M in .

DE E K C O K ftSI O DEL HOMBRE. ARRODILLADO

En Ja axila derecha, E n el brazo derecho En el flanco derecho E n el hombro izquierdo E n el brazo izquierdo En d flanco izquierdo La más al este de las tres en la palma izquierda L a más boreal de las otras dns L a más austral E n el lado derecho E n el lado izquierdo ,-.n la parte baja de la nalga izquierda Al comienzo de la pierna La que precede de las tres en la pierna iz­ quierda La que sigue a ésta L a tercera siguiente En la rodilla izquierda En la parte superior de la nalga izquierda I j í precedente de las tres del pie izquierdo En medio de ellas La siguiente de las tres L n el comienzo de la pierna derecha En la misma pierna, más al norte . En la rodilla derecha I-a más austral de las dos bajo la misma ro­ dilla La más al norte En la tibia derecha

207 205 201 220 225 231

0 0 20 0 20 0

238

50

235 234 207 213

0 30 10 30

213 214

20 30

217 218 219 237

20 40 40 10

225

30

J88 220 223

40 10 0

207

0

43 40 37 48 49 42

0 10 10 0 30 0

52

50

mayor

54 53 56 53

0 0 10 30

mayor

56 58

10 30

£

59 60 61 61

50 20 15 0

tí

69

20

4

70 71 72

15 15 0

6 6 6

60

15

4

mayor

mayor

E

L a brillante, que se llama L ira o Fidlcula La más boreal de las dos adyacentes La más austral En medio del nacimien­ to de los cuernos L a más boreal de las dos que siguen hacia el oriente L a más austral L a más boreal de las dos que preceden en la juntura L a más austral L a más boreal de las dos que siguen en el mis­ mo yugo L a más austral

l ir a

250

:o

62

0

1

253 253

40

62 61

40 0

* 4

262

0

60

0

4

265 265

20 0

61 60

20 20

4 4

254 254

2° i°

56 55

10 0

3 4

menor

257 258

30 20

55 54

20 45 '

3 4

menor

a ^ £ O £ H EÜ £ s co

mayor mayor

10 estrellas, de las cuales son: de prim era magnitud 1, de tercera 2, de cuarta 7. D E L C IS N E O AVE

En En En En La

la boca la cabeza medio del cuello el pecho brillante en la cola

•267 272 279 291 302

50 20 20 50 30

C-i

tí /i

49 50 54 56 60

20 30 30 20 0

3 5 4 3 2

mayor

F o rm a d t la s E stre lla s

L o n g itu d G ra d o s M in . oxt

E n el codo del ala derecha L a m ás austral de las tres en la parte plana del ala derecha' L a que está en medio L a últim a de las tres en el extremo del ala E n el codo del ala izquierda En medio de la misma ala E n el extremo de la misma E n el pie izquierdo E n la rodilla izquierda L a que precede de las dos en el pie derecho U na que sigue Nebulosa en la rodilla derecha

c is n e

L a titu d G rados M in .

M a g n itu d

o AVE

282

40

64

40

3

285 284

50 30

69 71

40 30

4 4

mayor

74

0

4

mayor

P4

49

30

3

Z

52 74 55 57

10 0 10 0

4 3 4 4

< 310

0 O

294

10

M H

298 300 303 307

10 •0 20 50

294 296

30 0

64 64

0 30

4 4

303

30

63

45

5

W r ■

P1 Ph

«

mayor mayor

co

17 estrellas, de las cuales son: de secunda m agnitud 1, de tercera 5, de cuarta 9,

de quinta 2. Y DK DOS CKKCA DEL C IS N E , t V ERA DE CO NSTELA CIO N ES

La más austral de dos b aja el ala izquierda 306 La más boreal 307

0 10

49 51

40 40

4 4

45 46 47

20 45 50

4 3 4

49 45 47 48 44

0 30 45 20 20

3 3 4 4 4

D E CASIOTEA

E n la cabeza En el pecho E n el cingulo Sobre el asiento hacia las caderas E n las rodillas E n la pierna E n el extremo del pie E n el brazo izquierdo

1 4 6 10 13 20 355 8

10 10 20 o

40 20 0 0

nJ £a 00

mayor

mayor

L o n g itu d G rados M in .

L a titu d G rados M in .

DE CASIOPEA

En En En En En

el codo izquierdo el codo derecho el pie del atiento medio de la subida el extremo

7 357 8 1 27

40 40 20 10 10

tí C/3

45 50 52 51 51

0 0 40 40 40

5 6 4 3 6

me ñor

13 estrellas, de las cuales son: do tercera m agnitud 4, de cuarta 6, de sexta 2. DE PERSEO Nebulosa en el extremo de la mano derecha En el codo derecho En el hombro derecho En el hombro izquierdo En la cabeza o nébula E n las espaldas L a que brilla en el lado derecho L a que precede de tres en el mismo lado L a que está en medio L a restante de las tres En el codo izquierdo L a que brilla en la mano izquierda y en la cabe­ za de Medusa' L a que sigue en la mis* m a cabeza L a que precede en la misma cabeza La que precede a ésta E n la rodilla derecha La que precede a ésta en la rodilla La quq precede a dos en el vientre L a que sigue En la cadera derecha

21 24 26 20 24 24

0 30 0 50 0 50

28

10

28 30 31 24

40 20 0 0


—< .

40 37 34 32 34 31

30 30 30 20 30 10

4 4 4 4 4

30

0

2

27 27 27 27

30 40 30 0

4 4 3 4

23

0

2

21

0

4

21 22 28

0 15 15

4 4 4

nebulón

r .

H 23

0 £

22

30

21 20 38

0 10 10

r , H

37

10

tí

28

10

4

35 37 37

40 20 30

CO

25 26 24

10 15 30

4 4 5

tí

HH. A

menor.

Forma de las Estrellas

Longitud Grados M in.

Latitud Grados M in.

Magnitud

DE PER8KO

En la En la En la En la En el En lo do

pantorrilla derecha cadera izquierda rodilla izquierda pierna izquierda talón izquierdo alto del pie izquier­

39 30 32 31 24

40 10 0 40 30

29

40

.

w 00

28 21 19 14 12

45 40 50 45 0

5 4 3 3 3

mayor menor

11

0

3

mayor

mayor

26 estrellas, de Iai cuales son: de segunda magnitud 2, de tercera 5, de cuarta 16, de quinta 2, nebulosa 1. DE LAS

que

ESTÁ N CERCA DK PKRSLO , FUERA DK CONSTELACIONES

La que está x oriente de la rodilla izquierda En el norte de la rodilla derecha La que antecede a la cabeza de Medusa

34 38 18

10

20 0

31

0

5

31

0

5

20

40

£*
O E L TORO

L a m ás b o re a l de la s c u a ­ tr o e n la sección

19

40

A ust.

6

0

4

F o rm a d e la t E strellar

L o n g itu d G rados M in .

L a titu d G rados M in .

M a g n itu d

DE TAURO O EL TORO L a o tr a d e sp u é s d e la a n te r io r

19

20

A ust..

7

15

4

L a te rc e ra

18

0

A ust.

8

30

L a c u a r ta m i s a u s tra l

17

50

A ust.

9

4 4

E n el Iton tb ro d erech o

23 27

0 0 0 20

5

E n el p e c h o

A ust.

9

JS 30

A ust.

8

0

3 4 4

A ust.

12

40

A ust.

14

50

E n l a ro d illa d erech a

30

E n e l ja r re te d erech o E n la ro d illa izq u ierd a

26

33

30

A ust.

10

0

4

E n e l j a r r e te izq u ierd o

36

20

A ust.

13

30

4

32 33 34

0 40

5 4

10

A ust. A ust. A ust.

0

45 15 50

3 3 3

L a d e las n arices d e las cin co d el ro stro llam a* d a s S ú c u la s liia d c a E n tr e é sta y el o jo b o real E n tr e é sta y el o jo a u s tra l

m enor m enor m enor

E n e l m ism o o jo , la b r i ­ lla n te , q u e los R o m a ­ n o s lla m a n P alilicius E n el o jo b o real

35

0 10

A ust. A ust.

5 3

10 0

3

E n el c u e m o a u s tra l e n ­ tr e l a b ase y la o reja

40

30

A ust.

4

0

4

43 43 50

40

5 3 2

0 30 30

4 5

30

A ust. A ust. A ust.

49

0

A ust.

4

0

4

36

1 m enor

L a m is a u s tra l d e las d o s d e l m ism o cu ern o L a m ás a l n o rte E n el e x tre m o d el m ism o E n el o rig e n d el c u ern o se p te n trio n a l

E n e l ex trem o del m ism o h a c ia el p ie d e re c h o d e H en io co L a m á s a l n o rte d e las d o s e n la o r e ja b o real I a m i s a u s tra l d e ellas L a p re c e d e n te d e dos o e q u e ñ a s e n la cerviz I-a q u e sigue

20

3

49

0

B or.

5

0

3

35 35

20

B or. Bor.

4

30

5

0

4

0

5

30

20 20

B or. Bor.

0 1

40

5

0

6

32

V enus e n su ap o g eo 4 8 ° 20’

F o rm a d e las E strellas

L o n g itu d G rados M in .

L a titu d G rados M in .

M a g n itu d

DE TAURO O RL TORO

L a m ás a u s tra l d e ! la d o p re c e d e n te del c u a d riIá te ro e n el cuello L a m á s b o real d el m ism o

31

20

Bor.

5

0

5

lad o L a m ás au stral d e l lad o

32

10

Bor.

7

10

5

35

20

Bor.

3

0

5

35

0

Bor.

5

0

5

25

30

Bor.

♦

30

5

25

50

Bor.

4

40

5

27

0

Bor.

5

20

5

26

0

Bor.

3

0

5

q u e sigue L a m is b o real d e este lad o E n el lím ite n o rte del la d o p re c e d e n te d e las P léyades, V eig ilia D el m ism o lad o , e n el lím ite au stral E n el lím ite m uy an g o sto sig u ien te d e las P léy a­ des U n a p eq u e ñ a d e las P lé ­ yades se p ara d a d e los lím ites

3 2 estrellas, sin las q u e están en el ex trem o ^septentrional d el cu ern o , io n d e p rim e ra m a g n itu d 1, d e te rc e ra 6, d e c u a rta 11, d e q u in ta 13, d e se x ta 1. CERCA DE TAURO, FUERA DE CONSTELACION ES

E n tre el p ie y b a jo el h o m b ro L a q u e p reced e d e tres al su r ■del c u ern o L a d e en m ed io d e las tres L a q u e sigue d e las tres L a m ás b o real d e do s b a jo el ex trem o d el m ism o cuerno L a m ás au stral L a q u e p reced e d e cinco b a jo e l cu e rn o b o real L a o tr a q u e sigue

18

20

A ust.

17

30

4

43 47 49

20 20 20

A ust. A ust A ust

2 1 2

0 45

5 5 5

52 52

20 20

A ust. A ust.

6

20

7

40

50 52

20 20

Bor. Bor.

2 1

40

0

0

5 5 5 5

F o rm a de la s E strelles

L o n g itu d G rados M i n .

L a titu d G rados M in .

M a g n itu d

CURCA DE TA U RO , FUERA DE CO NSTELA CIO N ES

L a te rc e ra q u e sigue L a m ás b o re a l d e la* re a ­ ta n te s,

34 55

L a m i» a u s tra l

56

20

Bor.

1

20

40

B or.

3

20

5

40

B or.

1

15

5

5

D e 11 estrella* n o co n stelada», t o n 'd e cu arta, m a g n itu d 1, y d e q u in ta 10. DE C ÉM IN IS O LO S C EM EL O S

E n la cab eza d el gem elo p re c e d e n te , C is to r E n la cab ez a d e l gem elo q u e sigue, b a jo l a r o ja a m a rille n ta , P óleux E n el co d o iz q u ierd o del gem elo q u e p reced e E n el m ism o b razo Er. la e sp a ld a d el m ism o g em elo E n el h o m b ro d e re c h o d el m ism o E n el h o m b ro izq u ierd o d e l sig u ien te gem elo E n el la d o d e re c h o del gem elo p re c e d e n te E n el la d o iz q u ie rd o d el « ¡guíente gem elo

76

40

Bor.

9

30

2

79

50

B or. .

6

15

2

70

0 0

Bor. Bor.

10

72

7

0 20

4 4

75

20

B or.

5

30

4

77

20

B or.

4

50

4

80

0

B or.

2

40

4

75

0

B or.

2

40

5

76

30

B or.

3

0

5

E n la r o d illa izq u ierd a d e l g em elo p re c e d e n te

66

30

B or.

1

30

3

E n la r o d illa izq u ierd a d e l q u e sig u e

71

35

A u*t

2

30

3

E n l a in g le iz q u ie rd a del m ism o

75

0

A m t.

0

30

3

E n la c a v id a d d e la ro ­ d illa d e re c h a d el m ism o L a m ás a l o este e n el d e l g em elo p re c e d e n te E n el m ism o p ie , la q u e sigue

74

40

Au»t.

0

40

5

60

0

Au*t.

1

30

4

61

30

A u st.

1

15

4

F o rm a d e las E strelles

L o n g itu d G rados M in .

L a titu d G rados M in .

M a g n itu d

DE G EM INIS O LOS OBVÍELOS

E n e l ex trem o d el pie d el gem elo p reced en te L a q u e sigue e n el d o rso d el p ie E n la p la n ta d e l m ism o p ie

63

30

A ust.

3

30

4

65

20

A ust

7

30

3

68

0

A ust.

10

30

4

18 estrella», d e se g u n d a m a g n itu d 2, d e te rc e ra 5 , d e c u a rta 9 , d e q u in ta 2. CERCA D E o i u t N I S , JU E R A DE CONSTELACIONES

L a q u e p reced e a l ex­ tre m o d e l p ie d e l g e ­ m elo p re c e d e n te L a b rilla n te a n te l a r o ­ d illa d el m ism o L a q u e a n te c e d e e n la ro d illa izq u ierd a del sig u ien te 8« n e lo L a m i» b o real d e la s trt» sigu ien tes e n la m an o d e re c h a del sig u ien te gem elo L a q u e e stá e n m ed io L a m ás a u s tra l d e la» tre» cerca d el b razo d erech o L a b rilla n te q u e sigue a la» tre s

57

30

A ust.

0

40

59

50

Bor.

5

50

68

30

A ust.

2

15

81 79

40 40

A ust. A ust

20

79

20

A ust

30

84

0

A ust

40

m ayor

20

D e 7 estrellas n o co n steladas, son d e c u a r ta m a g n itu d 3 , d e q u in ta 4. DE CÁNCER o EL CA NO REJO

L a n eb u lo sa e n m ed io d el p ech o , q u e se llam a P esebre L a m á s b o re a l d e dos p reced en tes e n el cu a ­ d rilá te ro

93

91 0

40

• Bor.

B or.

0

40

1

15

n ebulosa

4

m enor

F o rm a de las EitreU as

lo n g itu d G rados M in .

L a titu d G rados M in .

M a g n itu d

D E CANCER O Z L CA NG REJO

L a m i s a u s tra l L a m i s b o real d e l á i do s sig u ien tes, q u e lla m a n A snos E l A sno a u s tra l L a q u e la d e la p a ta a u s tra l E n el b razo se p te n trio ­ n al E n el ex trem o d el p ie b o real E n e l e x tre m o del pie a u s tra l

91

20

A ust.

1

10

4

menor

93 94

40 40

B or. A usL

2 0

40

10

4 4

mayor

99

50

A ust.

5

30

4

91

40

Bor.

11

50

4

86

0

B or.

1

0

5

90

30

AusL

7

30

4

mayor

m ayor

9 estrellas, d e c u a r ta m a g n itu d 7, d e q u i n t a 1, n eb u lo sa 1. CERCA DE CÁNCER, FUBRA DE CONSTELACIONES

E n c im a q u e la L a que d e la L a que sc b re L a que

del codo d e la 103 a u s tra l sig u e a l ex trem o m ism a q u ela 105 p re c e d e d e dos la n u b ecilla 97 sig u e a ésta 100

0

A ust.

2

40

4

m enor

0

A ust.

5

40

4

m enor

20 20

B or. B or.

4 7

' 50 15

5 5

D e c u a tro n o co n stelad as, son d e .c u arta m a g n itu d 2, d e q u in ta 2. DE LEO O E L LEÓN

E n la n ariz E n la a b e r tu ra d e la bo ca L a m i s b o real d e d o s en la c a b era L a m i s a u s tra l L a m i s b o real de tre s en la cerviz L a q u e e s t i e n m edio L a m i s a u s tra l d e las tres

40 30

B or. Bor.

10

0

104

101

7

30

107 107

40 30

Bor. B or.

12

0

9

30

113 115

30 30

Bor. Bor.

11 8

0

3

30

2

114

0

Bor.

4

30

3

4 4 3 3

m ay o r A pogeo d e M a rte 109® 5 0 '

F o rm a d e las E strella s

L o n g itu d G rados M i n .

L a titu d G rados M in .

M a g n itu d

DE LEO O E L LEÓN

E n el co ra z ó n , l a q u e lla m a n Basilisco o R é g u lo L a m i s a u s tra l d e d o s en e l p e ch o U n p o c o a l o este d e la d e l co razó n E n la ro d illa d e re c h a a n te r io r E n la g a rra d e re c h a E n la r o d illa izq u ierd a a n te r io r

115

50

A ust.

0

10

1

116

50

A ust.

, 1

50

4

113

20

Á ust

0

15

5

110

40

B or.

0

0

5

117

30

A ust.

3

40

6

12 2

30

A u st.

4

10

4

E n la g a r ra iz q u ie rd a

115

50

A ust.

4

15

4

E n la a x ila izq u ierd a L a q u e p re c e d e d e tres e n e l v ie n tre L a m i s b o re a l d e do s q u e siguen L a m i s a u s tra l L a q u e p re c e d e d e d o s en e l lo m o L a q u e sigue L a m i s b o re a l d e d o s e n la g ru p a L a m i s a u s tra l E n l a c a d e r a p o ste rio r E n l a c a v id a d E n e l c o d o p o ste rio r E n el p ie p o s te rio r E n e l e x tre m o d e l a co la

12 2

30

A ust.

0

10

4

120

20

B o r.

4

0

6

126 125

20

B or. B or.

5

20 20

6 6

40

2

124

40

B or.

12

15

5

127

30

B or.

13

40

2

.127

40

B o r,

11

30

5

129 133 135 135

40 40

B or. B or. B o r. A ust A ust. Bor.

9 5

40 50 15 50

134 137

0 0 0 50

3

0

3 3 4 4 5

11

50

1

1 0

2 7 estrellas, so n d e p r im e ra m a g n itu d 2 , d e s e g u n d a 2 , d e te r c e r a 6, d e c u a r ta 8, d e q u in ta 5 , d e se x ta 4 . C U IC A DE L E O , FUERA D E CO NSTELA CIO N ES

L a p re c e d e n te d e doa so ­ b r e el d o rso L a q u e sigue

119 121

20 30

B or. B or.

13 15

20 30

5 5

F o rm a d e las E strellas

L o n g itu d G ra d o t M in .

L a titu d G rados M in .

M a g n itu d

CERCA DK I.F.O, TUKRA DK CON3TKLACIONKS

La

m á s b o real d e b a jo e l v ie n tre

tres 129 130

50

Bor.

4

30

A ust.

1 0

10

L a d e e n m e d io

30

5

L a m á s a u itr a l d e las tres

132

20

Aust.

2

40

5

138

10

Bor.

30

0

lu m in o sa

133

30

Bor.

25

0

obscura

141

50

Bor.

25

30

o b sc u ra

L a m i s a le ja d a a l n o rte e n tro los ex trem o s d e L e o y el e n ja m b re d e n eb u lo sas llam ad o C a ­ b e lle ra d e B cren ice L a q u e p re c e d e d e dos a u s tra le s L a q u e sig u e, e n fig u ra d e h o ja d e h ie d ra

D e 8 n o c o n stelad as son: d e c u a r ta m a g n itu d 1, d e q u in ta 4 , lu m in o sa 1>E VIRGO O LA VIROKN

La

p re c e d e n te m ás a u s ­ tr a l d e do s e n lo a lto d e la cab ez a 139 L a q u e sigue, m ás sep­

40

B or.

4

15

5

40

5

140

20

B o r.

5

L a m ás b o re a l de; d o s e n el ro stro 144 U n a m istral 143

0

B or. Bor.

8

0

30

5

30

5 5

E n el e x tre m o d el b ra z o iz q u ie rd a y a u s tra l

142

20

Bor.

6

0

3

te n trio n a l

L a q u e p re c e d e a c u a tro e n el b razo iz q u ie rd o O tr a q u e sigue L a te rc e ra La

ú ltim a q u e sigue d e las c u a tro

E n el la d o d e re c h o , b a jo el c in g u lo

151

35

Bor.

3

30

B or.

1 2

10

156 160

50

3

30

B or.

2

50

5

164

20

Bor.

1

40

4

137

40

Bor.

8

30

3

m enor

F o rm a de la s E strellas

L o n g itu d G rados M in .

L a titu d G rados M in .

M a g n itu d

DE VIROO O LA VIRGEN

L a p re c e d e n te d e tres e n La

el a la d e re c h a y b o real

151

30

Bor.

13

50

5

m á s a u s tra l do» re sta n te s

153

30

Bor.

11

40

6

de

las A pogeo de J ú p ite r 154* 20'

D e la s m ism as, la m ás b o real lla m a d a V en d i­ m iad o r E n la m a n o izq u ierd a,

155

30

Bor.

170

0

n a lg a d e re c h a 168 L a m ás b o real d e do s p re­ c e d e n te s d el c u a d rilá ­ te ro d e la c a d e ra iz­ q u ie rd a 169

l a q u e se llam a E sp ig a

15

10

3

A ust.

2

0

1

10

Bor.

8

40

3

40 20

Bor.

170

Bor.

2 0

20 10

5 6

173 171 175

20 20 0

Bor. Bor. Bor.

1 0 1

30 20 30

4 5 5

171 180 180 181

20 0 40 40

Bor. Bor. B or. Bor.

8 7 2 11

30 30 40 40

5 4 4 4

183

20

Bor.

0

30

4

m ayor

B a jo el ceñ id o r e n la

L a m is a u s tra l L a m ás b o real q u e siguen

de

dos

U n a a u s tra l E n la ro d illa izq u ierd a E n el la d o p o ste rio r d e la c a d e ra d e re c h a ' E n la tú n ic a , e n m ed io L a m ás a u s tra l L a m ás b o real E n el p ie izq u ierd o y a u s tra l

A pogeo de M e rcu rio

183° 20' E n el p ie d ere c h o y boreal

186

o.

Bor.

9

50

3

26 estrella*, son de p rim e ra m a g n itu d 1, d e te rc e ra 7, d e c u a r ta 6 , d e q u in ta 10 . d e sexta 3.

F o n n a de las E strellas

L o n g itu d G rados M in .

L a titu d G rados M in .

M a g n itu d

CERCA DE VIRGO, FUERA DE CONSTELACIONES

L a p re c e d e n te d e tre s en lín e a r e c ta b a jo el bra» 158 zo izq u ierd o L a q u e e s tá e n rced io 162 L a q u e sigue 165 L f. p re c e d e n te d e tre s en lin e a r e c ta b a jo la 170 E sp ig * L a d e e n m e d io d e ellas, q u e es d o b le L a q u e sig u e d e la s tres

171 173

0 20

3 3 3

30 30

35

A ust. A ust. A ust.

20

5 5 5

30

A ust.

7

20

6

30 30

A ust. A ust.

8

20

5

7

50

6

S o n 6 n o co n stelad as, d e q u in ta m a g n itu d 4 y d e sexta 2 D E LAS QUELAS

L a b r illa n te d e las d o s en el e x tre m o d e la q u e la a u s tra l M á s o b sc u ra h a c ia e l n o r te L a b rilla n te d e la s do s e n el ex trem o , d e la q u e la n o rte M á s o b sc u ra q u e p re c e d e a éstas E n m ed io d e l a q u e la a u s tra l E n la m ism a, l a q u e p re c e d e E n m e d io d $ la q u e la b o real E n !a m ism a, la q u e sig u e

2

191 190

20

20

Bor. Bor.

0 2

40 30

5

195

30

B or.

8

30

2

191

0

B or.

8

30

5

197

20

B or.

I

4

194

40

B o r.

1

15

4

200

50

206

20

B or. B or.

3 4

45 30

4

4

8 estrellas, io n d e s e g u n d a m a g n itu d 2 , d e cu a rta - 4 , d e q u in ta 2 . CERCA DE LAS Q U E LA S, FU E R A D E CONSTELACIONES

L a p re c e d e n te d e las tres a l n o rte d e 1? q u e la b o real 199

30

B o r.

9

0

5

F o rm a d e las E strellas

L o n g itu d G rados M in .

L a titu d Grados M in .

M a g n itu d

CERCA DE LAS QUELA S, FUERA DE CONSTELACIONES

L a m ás a u s tra l d e las dos q u e siguen

207

0

Bor.

6

40

D e ellas, la boreal

207

40

Bor.

9

15

4 4

L a sig u ien te d e las tres e n tre las q u elas L a m i s b o real d e la s d o s

205

50

Bor.

5

30

6

p reced en tes 203

40

B or.

4

30

Bor.

2 1

0

L a a u s tra l 204 L a p re c e d e n te d e las L e í, b a jo la q u e la A ustral 196

30

5

20

A ust.

7

30

3

L as d o s re sta n te s que siguen

30

A ust. A ust.

8

10

9

40

4 4

re sta n te s

l a a u s tra l

204 205

20

D e 9 n o co n stelad as son d e te rc e ra m a g n itu d 1, d e c u a r ta 5 , d e q u in ta 2 , d e sexta I. DEL ESCORPIÓN

E n la fre n te , la m is b o re a l d e tres q u e b rilla n 209 L a d e e n m ed io 209 L a m ás a u s tra l d e las tres 209

B or.

I

20

3

0 0

A ust. A ust.

1

40

5

0

3 3

20

A ust.

7

50

3

20 40

Bor. Bor.

1 0

40 30

4 4

214

0

A ust.

3

45

3

216 217

0

A ust A ust.

4 5

0

2

50

30

3

40 50

A ust. AusL

6 6

10 40

5 5

50

A ust. A ust

11

0 0

3 4

L a m ás a u s tra l y e n el p ie

209 L a m is» b o re a l d e dos a d e c e n te s b rillan tes 210 L a au stral 210 L a p re c e d e n te d e tres b r i­ llan tes e n e l ry e rp o l a r u tila n te e n m edio lla m a d a A n tarcs L a q u e sigue d e la s tres L a q u e p re c e d e d e las d o s en el ú ltim o a c e tib u lo L a siguiente E n la p rim e ra v érteb ra del cu erp o E n la se g u n d a v érteb ra

2 12 213

221 222

40

10

15

F o rm a d e las E strellas

L o n g itu d G rados M in .

L a titu d G rados M in .

M a g n itu d

D EL ESCORPIÓN

L a m á s b o real d e la do* b le e n la te rc e ra

223

L a m i t a u s tra l d e la 223 d o b le E n la c u a r ta v e rte b ra 226 231 E n la q u in ta 233 E n la se x ta v é rte b ra E n la s é p tim a q u e está 232 p ró x im a a l a g u ijó n L a q u e sig u e d e do s en 23 0 el a g u ijó n 230 L a a n te c e d e n te

20

A pogeo de S a tu rn o 22 6 ° 3 0 '

A ust.

18

40

30 30 30 50

A ust. A ust AusL A ust.

18 19 18 16

30 50 40

3 9 3 3

20

A ust.

15

10

3

50

A ust. A ust.

13 13

20

3 4

20

0

30

21 estrellas, so n d e se g u n d a m a g n itu d 1, d e te r c e r a 13, d e c u a r ta 5 , d e q u in ta 2. CURCA DEL ESC O R P IÓ N , FUERA DE CO NSTELA CION ES

L a n eb u lo sa q u e sig u e al a g u ijó n L a p re c e d e n te d e d o s a l n o rte d el a g u ijó n L a q u e sigue

23 4

30

A ust.

13

15

228 232

50 50

A u st. A ust.

6 4

10 10

n ebulosa 5 5

D e tres n o co n stelad as, to n d e q u in ta m a g n itu d 2 , n eb u lo sa 1. DE ¡SAGITARIO

E n la p u n t a de la sa eta 237 E n el p u ñ o d e la m a n o izq u ierd a 241 E n la p a r t e a u s tra l del a rc o 241 L a m i s a u s tra l d e dos en el n o rte 242 L a m ás Iw rcal e n la ex tre m id a d d e l a rc o 240 E n el h o m b ro izq u ierd o 248

50

A ust.

6

30

3

0

A ust.

6

30

3

20

A ust.

10

50

3

20

A ust.

1

30

3

0

Bor. A ust.

2

50

3

10

4 3

40

F o rm a d e las Estrellas

L o n g itu d G rados M in .

L a titu d G rados M in .

M a g n itu d

X>* SA GITARIO

L a q u e an teced e a esa e n el d a rd o E n el o jo, u n a nebulosa doble

20

A ust

3

50

248

30

B or.

0

45

Bor. Bor. Bor.

2 1 2

30

4 4

0

4

4

6

50 30 30

4 ♦ 4

5

30

6

5

50

5

2 1 2 2

0

6

50 50

3 5

30

5

L a q u e a n te c e d e d e tres e n la cabeza 249 L a d e e n m ed io 251 L a q u e sigue L a ruí» a u s tra l d e la» tre» en la p a rte n o n e d e l m a n to L a d e e n m ed io L a m ás b o real de la» tres L a o b scu ra q u e sigue a las trea L a m ¿» b o re a l d e d o s en la p a r te s u r d el m a n to L a m ás a u s tra l E n e l h o m b ro d e re c h o E n el co d o derecho. E n l a esp ald a E n la articu lació n del h o m b ro B a jo la a x ila E n e l ja rre te izquierdo d e la n te ro E n la ro d illa d e la m is­ m a p ie rn a

> */

246

0 0

252

30

254 255 256

40 40

10

Bor. ' Bor. Bor.

259

0

Bor.

262 261 255 258 253

50

0 40

10 20 0

Bor. Bor. Au»t. A ust. A ust.

2

10

nebulosa

251 249

A ust A ust.

4

6

30 45

4

40

251

0

A ust.

23

0

2

250

20

A ust.

18

0

2

E n el ja rre te d ere c h o d e ­ la n te ro 240 E n el o m o p lato izq u ierd o 260 E n la ro d illa d erech a a n te rio r 260 L a q u e p reced e en e l lad o n o rte del c u a d rilá te ro a l com ienzo 261 L a q u e sigue en el m ism o la d o 261 L a q u e p reced e e n el la d o au stral 261

3

0

A ust.

13

0

40

A ust.

13

30

3 3

0

A ust.

20

10

3

0

A ust

4

50

5

4

50

5

5

50

5

10 50

A ust A ust

m ayor

m ay o r

F o rm a d e la s E s tu lla s

L o n g itu d G ra d o s M in .

263

M a g n itu d

SAGITARIO

DE

L a q u e lig u e cu el m ú m o la d o

L a titu d G rados M in .

0

A u st.

6

30

5

31 estrellas, sor de segunda m agnitud 2, de tercera 9, de cuarta 9, de quinta 8, de sexta 2, nebulosa 1. DE CAPRICORNIO

L a más b o re a l d e las tres e n e l c u e rn o q u e p re270 c ed e L a d e e n m e d io 271 L a m á s a u s tra l d e la s tres 27 0 E n e l e x tre m o d e l sig u ie n te c u e rn o 27 2 L a m á s a u s tra l d e tre s en la a b e r tu r a d e la b o ca 27 2 L a q u e p re c e d e d e la s d o s 272 re sta n te s L a q u e sig u e B a jo el o jo d e re c h o L a m á s b o re a l d e d o s e n l a cerviz L a m á s a u s tra l E n la ro d illa d e r e c h a E n la r o d illa iz q u ie rd a d o b la d a E n e l h o m b ro izq u ierd o L a p re c e d e n te d e dos c o n tig u a s b a jo e l v ien ir é L a q u e sigue L a q u e sig u e d e tre s e n m e d io d e l c u e rp o L a m á s a u s tra l d e ü s d o s re s ta n te s precede- ites L a m á s se p te n trio n a l d e ellas L a q u e p re c e d e d e os e n el d o rso

272 270

40

7

40

Bor. B or. B or.

20 20

0

0 10 30

30 40

3

6 5

0

3

B or.

8

0

6

Bor.

0

45

6

Bor.

1 1 0

45

6 6

4

50 50

6

30

4

40 40

4 4

Bor. B or.

30 40

6

5

Bor. A ust.

274

0 10 10

A ust.

0 6

275 280

0 0

A ust.

8

A ust.

7

283 283

30 40

A ust. A ust.

6 6

50

0

4 5

282

0

A ust.

4

15

5

28 0

0

A ust.

4

0

5

280

0

2

50

5

280

0

0

0

4

275 275

A ust.

5

F o rm a de ta i E strellas

L o n g itu d G rados M in .

L a titu d G rados M in .

M a g n itu d

DE CAPRICORNIO

284 L a q u e sig u e L a q u e p reced e d e d o s en la p a rte su r d e l es286 p iru z o 288 L a sig u ien te L a q u e p reced e d e d o s e n e l n acim ien to d e la 288 co la L a q u e sigue 289 I-* q u e p reced e d e c u a ­ tr o e n lam p arte b o real d e la cola 290 m ás a u s tra l d e las tres restan tes 292 L a d e e n m edio 291 L a m á s b o real e n el e x ­ tre m o de la cola 292

20

A ust.

0

50

4

40

A ust

4

45

4

20

A ust

4

30

4

40

A ust A ust

2 2

10 0

3

40

10

A ust.

2

20

4

0 0

A ust

5

0

5

A ust

2

50

5

0

Bor.

4

20

5

3

La

28 estrellas, son d e te rc e ra m a g n itu d 4 , d e c u a r ta 9 , d e q u in ta 9 , < DE ACUARIO

l a cabeza el h o m b ro d erecho, m ás clara m ás obscura el h o m b ro izquierdo

■¿93

40

B or.

15

299 298 290

40 30

0

Bor. Bor. Bor.

B ajo la ax ila L a q u e sig u e d e tres b a jo l a m a n o d e re c h a e n la v estid u ra L a d e e n m edio L a p rc c e d e n ta d e las tres E n e l codo derech o L a m ás b o real e n la m an o d erech a L a q u e p reced e d e las do s restan tes au strales L a q u e s ig u e

290

40

Bor.

0

En En La La En

45

5

11

0

9

40 50

3 5 3

15

5

3

30

8 8 8

0 30 45

3 4 3 3

45

3 3 3

8 6

280 279 278 302

50

Bor. Bor. Bor. Bor.

303

0

Bor.

10

305 306

20

Bor. Bor.

9

0

40

8

30

30

0

F o rm a d e ta i E strella s

L o n g itu d G rados M in .

L a titu d G rados M in .

M a g n itu d

DE A C U A R IO

L a sig u ien te, m ás a u s­ tra l L a q u e sig u e, en la p r i­ m e ra o n d a d el a g u a L a q u e sigue a é sta E n la o tr a o n d a a u s tra l L a m á s b o real d e dos q u e siguen U n a a u s tra l E n el a u s tro , se p a ra d a D esp u és d e éstas, la q u e p re c e d e d e do s j u n t a ' L a q u e sigue L a m ás b o real d e tre s en l a te rc e ra o n d a d e a g u a L a d e e n m ed io L a q u e sig u e d e la s tres L a m á s b o real d e tres q u e siguen, e n u n a fi­ g u r a sim ilar l a d e e n m edio L a m á s a u s tra l d e las tres

299 300 302

20 0

30

295 295

30

0

Bor. B or. A ust.

3

0

2 0

10

50

4 5 4

A ust. B or.

1

40

4

4

0

7 5 5

30

305

0

304 301

40

0

A ust. A ust. A ust.

300

40

A ust.

302

10

303 308

6

0

3 4

40

5

10

0

5

A ust.

9

0

5

20

Bor.

2

0

4

10

B or.

0

10

4

311

0

A ust.

1

10

4

313

20

A ust.

0

30

4

313

50

A ust.

I

40

4

312 3 J2 314

30 50

A ust. A ust. A ust.

3 4

30

8

15

4 4 5

A ust. A ust.

11

0

10

50

A ust A ust. A ust.

14 14 15

45 40

A ust A ust. A ust

14 15 '5

316 316

10 0

30

315 316 316

30

310 310 311

50 40

0 0

20

10

0

10

0 45

5 5

WWW

L a q u e p reced e de d o s c e r­ c a n a s e n la cad era d e re c h a L a q u e sigue E n la n a lg a d erech a L a m i s a u s tra l d e dos e n la n a lg a iz q u ie rd a L a m á s se p ten trio n al L a aaás a u s tra l e n la tib ia d e re c h a L a m&s boreal E n la c a d e ra iz q u ie rd a L a m á s a u s tra l d e d o s e n la tib ia izq u ierd a L a se p ten trio n al b a jo la ro d illa L a p rim e ra e n la c a íd a d e l a g u a desde la m an o

F orm a d e las Estrellas

E n la ú ltim a o n d a , la q u e p reced e de tres L a m i s a u s tra l d e dos q u e siguen L a m is horca! L a ú ltim a d el a g u a en la b o ca del pe* au stral

L o n g itu d Grados M in .

L a titu d G rados M in.

M a g n itu d

DE

ACUARIO

305

10

Aust.

14

50

4

306 306

0 30

A ust. A ust

15 14

20 0

4 4

300

20

A ust.

23

0

1

42 estrellas, d e las cuales son d e p rim e ra m a g n itu d 1, d e te rc e ra 9 , d e c u a rta 18, de q u in ta 13 y d e se x ta 1. CERCA D i ACUARIO, FUE*A DE CONSTELACIONES

L a q u e precede d e tres siguientes a la o n d a 320 del ag u a L a m ás b o real d e las dos restante* 323 L a m ás a u s tra l d e ellas 322

0

Aust.

15

30

4

0 20

A ust. A ust.

14 18

20

4 4

15

T re s estrellas d e c u a rta m a g n itu d , m ayores. DE Fl-SCIS O LOS E n la bo ca d el p er q u e an teced e L a m ás a u s tra l de la s do* e n el occipucio L a boreal D e do s e n e l dorso, la q u e an teced e L a q u e sigue E n el v ie n tre la q u e p reced e L a siguiente E n la cola d el m ism o p ez E n su sedal la p rim e ra desde la cola L a q u e sigue

pec.e s

315

0

Bor.

9

15

4

317 321

30 30

Bor. Bor.

7 9

30 30

4 4

319 324

20 0

Bor. Bor.

9 7

20 30

4 4

319 323 329

20 0 20

Bor. B or. Bor.

4

2 6

20

4 4 4

334 336

20 20

B or. Bor.

5 o

45 45

6 6

30 30

m ayor

F o rm a d e las E strellas

L o n g itu d G rados M i n .

L a titu d G rados M in .

M a g n itu d

DE P ISC IS O LO S P IC E S

D e sp u é s d e éstas, d e tre s b rilla n te s, la q u e p reced e 340 L a d e en m ed io 343 L a sig u ien te 346 L a m ás b o re a l d e d o s p e ­ q u e ñ a s e n la c u rv a 345 L a a u s tra l L a q u e p re c e d e d e tres d esp u é s d e la c u rv a L a d e e n m ed io L a sig u ien te E n la u n ió n d e am bos sed ales E n el sed al b o re a l, la q u e p re c e d e a la u n 'ó n L a m ás a u s tra l d e tres q u e sig u en L a d e e n m ed io L a m á s b o re a l d e las tres y ú ltim a e n el sed al

30 50

20

B or. B or. A ust.

2 1 1

10 20

4 4 4

0 0

6 6

15

40

A ust

2

346

20

A ust.

5

350 352 354

20 0 0

A ust. A ust. A u$t

2

20

4 7

40 45

4 4 4

356

0

A ust

8

30

3

354

0

A ust

4

20

4

353

30

Bor.

1

30

353

‘ 40

B or.

5

20

5 3

353

50

Bor.

9

0

4

45. 30

5 5

D E L P E Z Q U E SIGUE

L a m a s b o re a l d e do s en la b o c a L a a u s tra l L a q u e sig u e d e tres p e ­ q u e ñ a s e n la cab ez a , L a d e e n m e d io L a q u e p re c e d e a las tre s L a q u e p re c e d e d e tres e n la a le ta a u s tra l, c e rc a d el co d o iz q u ie rd o d e A n d ró m e d a L a d e en. m e d io L a .q u e sig u e d e las tres L a m ás b o re a l d e d o s e n la trip a

355 355

20 0

Bor. Bor.

21 21

352 351

0 0

B or. Bor.

20

0

6

19

50

6

350

20

Bor.

23

0

6

349 349 351

0 40

14 13

0

Bor. Bor. Bor.

12

20 0 0

4 4 4

355

30

B or.

17

0

F o rm a d e la s E stre lla s

L o n g itu d G rados M in . D EL n Z

L a q u e e s tá m á* a l s u r 352 E n la a le ta o rie n ta l cerca d e la co la 353

L a titu d G rados M in .

M q g n itu d

Q U E MOUF.

40

B or.

15

20

4

20

B or.

II

45

4

3 4 estrellas, so n d e te r c e r a m a g n itu d 2, d e c u a r ta 2 2 , d e q u in ta 3 y d e se x ta 7. CFJtCA DE P IS C IS , FUERA DE CO NSTELA CION ES

L a q u e p re c e d e e n e l la d o n o rte d e l c u a d rilá te ro b a jo el p ea del o este L a q u e sigu e L a q u e a n te c e d e d e l la d o a u s tra l L a q u e sig u e

324 325 324 325

30 35

0 40

A ust. A ust.

2 2

40 30

4 4

A ust A ust

5 5

50 30

4 4

4 n o c o n ste la d a s, to d a s d e c u a r ta m a g n itu d . P o r ta n to , to d a s la s e strellas q u e e s tá n e n el zo d íaco son 348. A s a b e r: d e p rim e ra m a g n itu d 5 , d e se g u n d a 9 , d e te rc e ra 65, d e c u a r ta 132, d e q u in ta 105, d e sexta 27 , n eb u lo sas 3 y o b scu ras 2. Y ad e m á s las in n u m e ra b le s d e l a y a c ita d a C a b e lle ra d e B eren ice, d e n o m in a d a a s í p o r C o n ó n , el m a tem ático .

F o rm a d e l a t E strellas

L o n g itu d G rados M in .

L a titu d G rados M in .

M a g n itu d

DE CE T U S O LA BALLENA

E n ¡a e x tre m id a d d e la n ariz

11

0

7

45

4

11

0

11

20

3

6

0

11

30

3

14

E n la m a n d íb u la , la si­ g u ie n te d e tres L a m e d ia e n m ita d d e la b o ca L a q u e p rc c c d c d e (reí

3

50

E n el o jo

4

0

E n la c a b e lle ra , b o real L a q u e p re c e d e e n la m elen a I.a m ás b o re a l d el lad o p re c e d e n te e n e l c u a ­ d r ilá te ro d el p ech o I-a a u s tra l L a m i s b o re a l d e la s d o s q u e siguen

5

30

1

0

en la m ejilla

L a a u s tra l D e tre s e n el cu erp o , la d e en m e d io L a a u s tra l L a m ás b o re a l d e tres L a q u e sig u e d e d o s en la c a u d a L a p re c e d e n te L a m ás b o re a l d el lad o

00

tí

8 6

0 10

3 4

20

4

4

10

4

tí 353 356

20

24

30

40

28

0

4 4

0 0

0 20

25

10

4

27

30

3

25

20

3

30

30

20

0

4 3