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• Ruben Alvarez Ventura

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Coordenadas polares En un sistema de coordenadas rectangulares o cartesiano se puede localizar un punto con una sola pareja de puntos (x,y) estos valores son las distanicas dirigidas, partiendo del origen, desde los ejes x e y respectivamente. El origen es el punto donde se intersectan los dos ejes coordenados.

Otra forma de representar puntos en el plano es empleando coordenadas polares, en este sistema se necesitan un ángulo (q) y una distancia (r). Para medir q, en radianes, necesitamos una semirrecta dirigida llamada eje polar y para medir r, un punto fijo llamado polo.

Si queremos localizar un punto (r,q) en este sistema de coordenadas, lo primero que tenemos que hacer es trazar una circunferencia de radio r, después trazar una línea con un ángulo de inclinación q y, por último, localizamos el punto de intersección entre la circunferencia y la recta; este punto será el que queríamos localizar. A continuación localizamos varios puntos en el plano polar.

Observa que hay tres circunferencias, todos los puntos sobre estas circunferencias tienen una distancia al polo igual al radio de ella. Lo único que hace falta es encontrar el ángulo de inclinación. Para medir el ángulo es necesario tomar en cuenta si este es positivo o negativo. Si es positivo hay que medirlo en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj y si es negativo, a favor del movimiento de las manecillas del reloj.

Como ves los ángulos pueden ser negativos dependiendo de cómo se midan a partir del eje polar,

también podemos tener distancias "negativas": ya que hayamos localizado el ángulo, la recta que parte del polo en esa dirección tendrán un radio positivo

y los puntos que estén sobre la prolongación de esta recta en sentido contrario al polo tendrán un radio negativo. Por ejemplo:

Con estos conceptos básicos de localización de puntos en el sistema de coordendas polares, podemos graficar funciones y no solo puntos. En este tipo de funciones la variable independiente es q y la dependiente es r, así que las funciones son del tipo r = r(q). El método para graficar estas funciones es el siguiente, primero graficamos la función r = r(q) en coordenadas rectangulares y apartir de esa gráfica trazamos la correspondiente en polares. Guiándonos con la dependencia de r con respecto a q. Recordemos que q es la variable independiente y va de 0 a 2p generalmente. Por ejemplo la función r = q tiene como gráfica en rectangulares

A la izquierda vemos que el radio depende linealmente con el ángulo, es decir que el radio crecerá y tomará los mismos valores que el ángulo. Y a la derecha tenemos esta gráfica en coordenadas polares se ve claro esta dependencia del radio con el ángulo. A esta gráfica se le llama Espiral de Arquímedes Mostraremos a continuación algunas gráficas en coordenadas polares.

r = sen (4q)

r = sen (5q)

Hasta aqui hemos visto que las funciones del tipo r = sen(aq) son rosas o rosetas. El número de pétalos depende del valor de a, si a es par, el número de pétalos es 2a; y si a es impar el número de pétalos es a. Para graficar estas funciones en el cuaderno o en el pizarrón se puede hacer una tabulación sólo con algunos valores de q que casi siempre son: 0, p/2, p, 3p/2, 2p. y ver cómo cambia el valor de r. r = 1- sen (q) Aquí observamo s que el radio siempre es positivo y va de 1 a 2.

Si quieres ver más detalle cómo graficar este tipo funciones, mándanos un correo a la dirección y con gusto te mandaremos más información. De todas formas visítanos constantemente ya que estamos en un periodo de actualizaciones.

4.1 EL SISTEMA POLAR El plano cartesiano es un sistema rectangular, debido a que las coordenadas de un punto geométricamente describen un rectángulo. Si hacemos que este punto represente un vector de magnitud r que parte desde el origen y que tiene ángulo de giro θ , tendríamos otra forma de definir un punto.

Sería suficiente, para denotar al punto de esta manera, Mencionar el valor de r y el valor de θ. Esto se lo va a hacer indicando el par ordenado (r,θ ), en este caso se dice que son las coordenada Polares del punto Se deducen las siguientes transformaciones De rectangulares a polares [r = x2

2 +Y ]

De polares a rectangulares:[ X= rcos θ

ECUACIONES EN COORDENADAS POLARES Una ecuación en coordenadas polares la presentaremos de la Forma r = f (θ) . Por tanto para obtener la gráfica, en primera instancia, podemos obtener una tabla de valores para ciertos puntos y luego representarlos en el sistema polar; luego sería cuestión de trazar la gráfica siguiendo estos puntos.

Ejercicio Propuesto 4.2 1. Encuentre la ecuación cartesiana de la curva descrita por la ecuación polar dada. a. r sen(θ) = 2 b. r = 2sen(θ) c. 1 cos( ) 1 −θ r = d. r 2 = sen(2θ) e. r 2 = θ f. 2 4cos( ) 3 −θ r=

Definición de coordenadas cilíndricas Las coordenadas cilíndricas constituyen una generalización de las coordenadas polares del plano, a base de extenderlas al espacio paralelamente a una recta (el eje ), perpendicular al plano , como sigue:   

La coordenada radial, , es la distancia (en valor absoluto) del punto al eje . La coordenada acimutal, , es el ángulo que la proyección del vector de posición sobre el plano forma con el eje . La coordenada vertical, , es la distancia (con signo) al plano .

Los rangos de variación de estas coordenadas son:

El ángulo también puede variar en el intervalo [0,2π). 1.1 ρ es siempre una cantidad positiva

A diferencia de las distancias en cartesianas, que tienen un signo indicando a qué lado del plano se encuentran, la coordenada radial cilíndrica es siempre positiva. Si nos encontramos en un punto y, sin cambiar ni , vamos reduciendo ρ lo que hacemos es acercarnos al eje en línea recta. ¿Qué ocurre cuando atravesamos el eje? Que a partir de ahí vuelve a aumentar, pero cambia a oa . 1.2 Discos duros

La ubicación de los datos en los discos duros mediante el sistema CHS se realiza indicando tres cantidades: el cilindro (C), la cabeza (H) y el sector (S). Para ver qué tiene que ver esto con las coordenadas cilíndricas conviene describir cómo son los discos duros. Un disco duro en realidad es una pila de discos (por ejemplo, 4 discos) separados una distancia fija y grabados por sus dos caras. A cada lado de cada disco hay una cabeza lectora/escritora identificado por el número H, que equivale a la coordenada cilíndrica . La distancia al eje de cada disco la da el número C, ya que un cilindro lo constituyen los puntos a la misma distancia del eje, en los distintos discos. Por tanto, C equivale a la coordenada radial .

Por último, dados la cabeza y el cilindro, la posición a lo largo de una circunferencia (lo que se denomina una pista) se indica mediante el sector S, que corresponde a la coordenada cilíndrica .

Relación con las coordenadas cilíndricas Como sistema intermedio entre las coordenadas cartesianas y las esféricas, está el de las coordenadas cilíndricas, que se relaciona con el de las esféricas por las relaciones

y sus inversas

Coordenadas Cilíndricas En el sistemas de coordenadas cilíndricas un punto P del espacio tridimensional está representado por la terna ordenada (r,θ,z), donde r y el θ son las coordenadas polares de la proyección de P en el plano xy y z es la distancia dirigida del plano xy a P. Ecuaciones para transformar de Cilíndricas a Rectangulares   

Las coordenadas cilíndricas son útiles en problemas que tienen simetría alrededor de un eje, en ese caso se selecciona el eje z de manera que coincida con el eje de simetría Ecuaciones para transformar de Rectangulares a Cilíndricas   

Ecuaciones para transformar de Cilíndricas a Esféricas   

coordenadas cilíndricas son un sistema de coordenadas para definir la posición de un punto del espacio mediante un ángulo, una distancia con respecto a un eje y una altura en la dirección del eje. El sistema de coordenadas cilíndricas es muy conveniente en aquellos casos en que se tratan problemas que tienen simetría de tipo cilíndrico o acimutal. Se trata de una versión en tres dimensiones de las coordenadas polares de la geometría analítica plana.

Un punto   

en coordenadas cilíndricas se representa por (ρ,φ, ), donde:

ρ: Coordenada radial, definida como la distancia del punto al eje , o bien la longitud de la proyección del radiovector sobre el plano φ: Coordenada acimutal, definida como el ángulo que forma con el eje la proyección del radiovector sobre el plano . : Coordenada vertical o altura, definida como la distancia, con signo, desde el punto P al plano .

Coordenadas esféricas

El sistema de coordenadas esféricas se basa en la misma idea que las coordenadas polares y se utiliza para determinar la posición espacial de un punto mediante una distancia y dos ángulos. En consecuencia, un punto P queda representado por un conjunto de tres magnitudes: el radio , el ángulo polar o colatitud θ y el azimut φ. Algunos autores utilizan la latitud, en lugar de colatitud, en cuyo caso su margen es de -90º a 90º (de -π/2 a π/2 radianes), siendo el cero el plano XY. También puede variar la medida del acimut, según se mida el ángulo en sentido reloj o contrarreloj, y de 0º a 360º (0 a 2π en radianes) o de -180º a +180º (-π a π). Se debe tener en cuenta qué convención utiliza un autor determina

.