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Cap´ıtulo 5

COORDENADAS CELESTES Para especificar con exactitud y de forma un´ıvoca la posici´ on de los astros en la b´oveda celeste los astr´onomos utilizan varios sistemas de coordenadas. De uso com´ un existen los siguientes sistemas: 1. 2. 3. 4. 5.

Coordenadas Coordenadas Coordenadas Coordenadas Coordenadas

horizontales, ecuatoriales horarias, ecuatoriales (o ecuatoriales absolutas), ecl´ıpticas, gal´acticas.

Pasaremos a continuaci´on a examinar con detalle cada uno de estos sistemas.

5.1

Coordenadas horizontales

Las coordenadas horizontales tienen como plano de referencia el horizonte matem´atico del observador. Tales coordenadas permiten ubicar la posici´ on aparente de un astro para un observador cualquiera situado a una latitud y longitud dadas para un instante de tiempo especificado. Las coordenadas son (ver figura 5.1): A = azimut (o acimut), h = altura. El azimut A de un astro es el a´ngulo contado sobre el horizonte que comienza a medirse desde el punto cardinal norte en direcci´ on hacia el este (oriente) hasta la vertical del astro correspondiente.

69

CAP´ITULO 5. COORDENADAS CELESTES

70

C

∗ h W S

O HORIZONTE

N A

E

VERTICAL

C’ Figura 5.1:

Coordenadas horizontales

El azimut tiene valores comprendidos entre el siguiente intervalo: 0o ≤ A < 360o . La altura h de un astro es el a´ngulo contado sobre la vertical del astro que comienza a medirse desde el horizonte hasta el astro correspondiente. Tenemos que el signo de la altura h de un astro relativo a un observador constituye un criterio de visibilidad del mismo. Si el astro est´ a por encima del horizonte (visible para el observador) tendremos h > 0; pero si est´a por debajo del horizonte (invisible para el observador) obtenemos h < 0. La altura tiene valores comprendidos entre el siguiente intervalo: −90o ≤ h ≤ 90o . N´ otese que: h(cenit) = 90o ,

h(nadir) = −90o ,

h(horizonte) = 0o .

El complemento de la altura es llamado distancia cenital, denotado por z, de tal forma que:

5.2. COORDENADAS ECUATORIALES HORARIAS

z = 90 − h.

71

(5.1)

Es importante recalcar el hecho de que a causa del movimiento diurno las coordenadas horizontales de un astro est´an cambiando permanentemente por lo que es necesario especificar el tiempo de la observaci´on con la mayor exactitud. De igual forma, para el mismo instante de tiempo, las coordenadas horizontales de dos observadores con distintas latitudes y/o longitudes difieren tambi´en. NOTA: El lector ha de tener presente que en muchos libros de astronom´ıa esf´erica definen el azimut de tal forma que comienza a medirse desde el punto cardinal sur en direcci´ on on: A0 = A + 180. hacia el oeste. Al llamar A0 al azimut as´ı definido tendremos la relaci´

5.2

Coordenadas ecuatoriales horarias

Las coordenadas ecuatoriales horarias tienen como plano de referencia el ecuador celeste. Las coordenadas son (ver figura 5.2): H = ´angulo horario, δ = declinaci´ on. El a´ngulo horario H de un astro es el a´ngulo contado sobre el ecuador celeste que comienza a medirse desde el meridiano del observador en direcci´ on hacia el oeste (occidente) hasta el c´ırculo de declinaci´ on del astro correspondiente. Es de uso muy frecuente especificar el ´angulo horario en unidades de tiempo. Puesto que la b´ oveda celeste describe una circunferencia completa (360 grados) en 24 horas, tendremos que: 15o = 1 hora. Por ejemplo, H = 35o 25’ 36” (en unidades de grados) equivale a 35o 25’ 36” = 35.4266666o /15 = 2.36177777h = 2h 21m 42.4s .

El ´ angulo horario tiene valores comprendidos entre el siguiente intervalo: 0o ≤ H < 360o ,

o

mejor :

0h ≤ H < 24h .

La declinaci´on δ de un astro es el a´ngulo medido sobre el c´ırculo de declinaci´ on de ´este que comienza a contarse desde el ecuador celeste hasta el astro correspondiente. La declinaci´on es positiva si la estrella est´a ubicada en el hemisferio norte celeste, de lo contrario es negativa. N´otese que:

CAP´ITULO 5. COORDENADAS CELESTES

72

C

MERIDIANO DEL OBSERVADOR

PNC

*

δ H

E N

S

O HORIZONTE

W CIRCULO DE DECLINACION ECUADOR CELESTE

PSC

C’ Figura 5.2:

δ(P N C) = 90o ,

Coordenadas ecuatoriales horarias

δ(P SC) = −90o ,

δ(E. C.) = 0o .

Las coordenadas ecuatoriales horarias son parcialmente absolutas. Con ello queremos decir que aunque la declinaci´ on de un astro es la misma para un observador independientemente de su posici´on geogr´afica y de la hora de observaci´on, el a´ngulo horario no lo es.

5.3

Coordenadas ecuatoriales (ecuatoriales absolutas)

Al igual que las coordenadas ecuatoriales horarias, las coordenadas ecuatoriales absolutas tienen como plano de referencia el ecuador celeste. Las coordenadas son (ver figura 5.3): α = ascensi´on recta, δ = declinaci´ on. La declinaci´on es el mismo ´angulo que definimos al introducir las coordenadas ecuatoriales horarias.

5.4. COORDENADAS ECL´IPTICAS

73

C PNC

MERIDIANO DEL OBSERVADOR

*

δ

E N

O HORIZONTE

α

S

W CIRCULO DE DECLINACION ECUADOR CELESTE

PSC C’

Figura 5.3:

Coordenadas ecuatoriales absolutas

La ascensi´on recta α de un astro es el a´ngulo medido sobre el ecuador celeste contado desde el punto vernal en direcci´ on contraria a la de las agujas del reloj, visto desde el PNC, hasta el c´ırculo de declinaci´ on del astro. Al igual que el ´angulo horario, la ascensi´ on recta de un astro se acostumbra expresar en unidades de tiempo. La ascensi´on recta tiene valores comprendidos entre el siguiente intervalo: 0o ≤ α < 360o ,

o

mejor :

0h ≤ α < 24h .

Las coordenadas ecuatoriales son absolutas, esto es, son v´alidas para cualquier observador independiente de su latitud y longitud geogr´ afica. Por tal raz´on, los almanaques astron´ omicos expresan la posici´on de las estrellas, planetas, Luna, Sol y otros cuerpos celestes en t´erminos de las coordenadas ecuatoriales.

5.4

Coordenadas ecl´ıpticas

Las coordenadas ecl´ıpticas tienen como plano de referencia a la ecl´ıptica, esto es, a la trayectoria aparente del Sol en la b´ oveda celeste.

CAP´ITULO 5. COORDENADAS CELESTES

74 Las coordenadas son (ver figura 5.4):

λ = longitud ecl´ıptica, β = latitud ecl´ıptica.

ε

PNC

Π

∗ β ε λ

O

ε

ECUADOR CELESTE

ECLIPTICA

PSC Figura 5.4:

Π’

Coordenadas ecl´ıpticas

N´ otese que estamos utilizando el mismo s´ımbolo (λ) para designar tanto la longitud geogr´ afica como la longitud ecl´ıptica. El lector debe estar atento para evitar confusiones. La longitud ecl´ıptica λ de un astro es el a´ngulo medido sobre la ecl´ıptica que se cuenta a partir del punto vernal en direcci´ on contraria de las agujas del reloj, visto desde el PNC, on. hasta la semicircunferencia que pasa por los polos ecl´ıpticos (Π y Π0 ) y el astro en cuesti´ La longitud ecl´ıptica tiene valores comprendidos entre el siguiente intervalo: 0o ≤ λ < 360o . La latitud ecl´ıptica β de un astro es el a´ngulo medido sobre la semicircunferencia que pasa por los polos ecl´ıpticos y el astro en cuesti´ on que comienza a contarse desde la ecl´ıptica hasta el astro correspondiente. N´ otese que: β(Π) = 90o ,

β(Π0 ) = −90o ,

β(ecl.) = 0o .

´ 5.5. COORDENADAS GALACTICAS

5.5

75

Coordenadas gal´ acticas

Las coordenadas gal´acticas tienen como plano de referencia al plano de la galaxia en la que se encuentra el Sol, esto es, la V´ıa L´ actea. En una noche despejada, oscura y lejos de la luz de la ciudad, es posible observar un gran manch´ on neblinoso que se extiende por el cielo. Dicho manch´ on resulta de la acumulaci´ on de miles de millones de estrellas situadas en su mayor´ıa a cientos y miles de a˜ nos luz de distancia. Puesto que nuestra galaxia es de tipo espiral, su forma, para un observador exterior a ella, ser´ a similar a la de una lente muy delgada. Nosotros, por estar ubicados muy cerca al plano central de dicha lente e inmersos en ella, contemplamos la V´ıa L´ actea como un anillo luminoso que circunda la b´ oveda celeste. En estudios de la galaxia e incluso de objetos extragal´ acticos es frecuente designar las posiciones de ciertos objetos utilizando las coordenadas gal´ acticas.

PNC PG

∗

b

O

l

CO

ECUADOR CELESTE

PL A

NO

GA L

AC

TI

CG

P´G PSC

Figura 5.5:

Coordenadas gal´ acticas

Las coordenadas son (ver figura 5.5): l = longitud gal´ actica, b = latitud gal´ actica.

CAP´ITULO 5. COORDENADAS CELESTES

76

La longitud gal´ actica l de un astro es el a´ngulo medido sobre el plano gal´ actico, que comienza a contarse desde un punto pr´ oximo al centro de la galaxia (CG), en la misma direcci´ on en que se cuentan la ascension recta y la longitud ecl´ıptica, hasta la semicircunferencia que pasa por el astro y los polos gal´ acticos. La longitud gal´ actica tiene valores comprendidos entre el siguiente intervalo: 0o ≤ l < 360o . La latitud gal´ actica b de un astro es el a´ngulo medido sobre aquella semicircunferencia que pasa por los polos gal´acticos y el astro en cuesti´on que comienza a contarse desde el plano gal´ actico hasta el astro correspondiente. Designando como PG y PG0 a los polos gal´acticos norte y sur respectivamente tenemos: bPG = 90o ,

bPG0 = −90o ,

b(plano gal.) = 0o .

La posici´on del cero de la longitud gal´actica (el centro gal´actico nominal) fue acordado en 1959 por la Uni´on Astron´omica Internacional y est´a situado en las siguientes coordenadas ecuatoriales (2000.0): α = 17h 45.6m ,

δ = −28o 56.30 .

Observaciones recientes han mostrado que el centro gal´actico real coincide con una fuente de radio e infrarroja (Sagitario A) la cual est´ a situada unos pocos minutos de arco de su posici´on nominal; sin embargo, el centro nominal se sigue usando como punto cero para la longitud gal´ actica. De ello resulta que la posici´ on del verdadero centro gal´actico est´e situado a: l = −3.340 ,

5.6

b = −2.750 .

Transformaci´ on entre los sistemas de coordenadas

Para encontrar relaciones entre los distintos tipos de coordenadas necesitamos de los conceptos de trigonometr´ıa esf´erica vistos en la secci´on 2.1. El caso cl´asico de transformaci´on entre coordenadas celestes es el paso entre las horizontales a ecuatoriales horarias o viceversa.

5.6.1

De horizontales a ecuatoriales horarias y viceversa

Consid´erese la figura 5.6 en donde est´ an representadas las coordenadas horizontales y las ecuatoriales horarias de un astro cualquiera. Concentremos nuestra atenci´on en el tri´angulo esf´erico resaltado en la figura. Es evidente que tenemos los siguientes valores como lados y ´angulos de dicho tri´ angulo:

´ ENTRE LOS SISTEMAS DE COORDENADAS 5.6. TRANSFORMACION Lados

´ Angulos

90 − φ 90 − δ 90 − h

Ξ 360 − A H

77

C

PNC

Ξ ∗

φ

δ h

H

E N

S

O HORIZONTE

W

A

TE LES

E

RC

DO

A ECU

PSC C’ Figura 5.6:

Relaci´ on entre coordenadas horizontales y ecuatoriales horarias

Utilizando el teorema del seno (ecuaci´on 2.13) obtenemos: sen (90 − δ) sen (90 − h) = , sen (360 − A) sen H puesto que sen (90 − x) = cos x, y sen (360 − x) = − sen x (siendo x cualquier a´ngulo) se deduce: cos δ sen H = − cos h sen A. (5.2) De igual forma, al aplicar el teorema del coseno (ecuaci´on 2.14) obtenemos: cos(90 − δ) = cos(90 − φ) cos(90 − h) + sen (90 − φ) sen (90 − h) cos(360 − A), y como cos(90 − x) = sen x, y cos(360 − x) = cos x, se obtiene:

CAP´ITULO 5. COORDENADAS CELESTES

78

sen δ = sen φ sen h + cos φ cos h cos A.

(5.3)

Aplicando el teorema del coseno con otro de los lados: cos(90 − h) = cos(90 − δ) cos(90 − φ) + sen (90 − δ) sen (90 − φ) cos H, que se covierte en: sen h = sen δ sen φ + cos δ cos φ cos H.

(5.4)

Las ecuaciones (5.2), (5.3) y (5.4) son suficientes para pasar del sistema horizontal al ecuatorial horario o viceversa. De horizontales a ecuatoriales horarias : Conocidos φ, h y A determinar δ y H. Mediante la ecuaci´on (5.3) se halla inmediatamente la declinaci´ on δ : δ = sen −1 ( sen φ sen h + cos φ cos h cos A). Habiendo determinado δ y con la ecuaci´on (5.2) calculamos H: ¶ µ − cos h sen A , H = sen −1 cos δ es evidente que de la ecuaci´ on (5.4) encontramos otra expresi´on para H: ¶ µ sen h − sen δ sen φ . H = cos−1 cos δ cos φ

(5.5)

(5.6)

(5.7)

NOTA: En el c´alculo de H se ha de tener mucho cuidado con el verdadero cuadrante en el que est´ a situado el astro. Puesto que H va de 0 a 360 grados al tomar las funciones inversas de los valores entre par´entesis de la ecuaciones (5.6) y (5.7) las calculadoras y computadoras s´olo muestran uno de los dos valores que satisfacen la ecuaci´ on. Una manera inmediata de determinar el correcto cuadrante de H es utilizando la siguiente regla, donde H es el valor calculado con la f´ ormula del coseno inverso (5.7): Si Si

A < 180 entonces H = 360 − H, A > 180 entonces H = H.

Ejemplo 1 Calcular H y δ de una estrella si sus cordenadas horizontales son: A = 210o 340 , h = 35 430 para un observador situado a φ = 3o 250 N. o

Soluci´ on Utilizamos la ecuaci´on (5.5) para calcular la declinaci´on:

´ ENTRE LOS SISTEMAS DE COORDENADAS 5.6. TRANSFORMACION

79

δ = sen −1 [ sen (3o 250 ) sen (35o 430 ) + cos(3o 250 ) cos(35o 430 ) cos(210o 340 )] , δ = sen −1 (−0.6630548) = −41o 320 . Hacemos uso ahora de la ecuaci´on (5.6) para determinar el ´angulo horario: ³ ´ o 430 ) sen (210o 340 ) , H = sen −1 − cos(35 o 0 cos(−41 32 ) H = sen −1 (0.5515730) = 33o 28.50 = 2h 13.9m . Hagamos el mismo c´alculo con la ecuaci´on (5.7): ³ ´ o 430 )− sen (−41o 320 ) sen (3o 250 ) , H = cos−1 sen (35 cos(−41 o 320 ) cos(3o 250 ) H = cos−1 (0.8341279) = 33o 28.50 = 2h 13.9m . En este caso no existe problema con determinar el verdadero cuadrante de H. Con el valor del ´angulo H hallado con (5.7) y puesto que en nuestro caso A > 180 es claro que el valor de H permanece inalterado. Ejemplo 2 Calcular H y δ de una estrella si sus cordenadas horizontales son: A = 47o 340 , h = 67o 450 para un observador situado a φ = 17o 360 S. Soluci´ on Antes de proceder con el c´alculo hay que tener en cuenta que a φ debe antepon´ersele el signo negativo a causa de que es una latitud sur. Calculamos la declinaci´on: δ = sen −1 [ sen (−17o 360 ) sen (67o 450 ) + cos(−17o 360 ) cos(67o 450 ) cos(47o 340 )] , δ = sen −1 (−0.0363284) = −2o 50 . Calculamos el ´angulo horario con (5.6): ³ ´ o 450 ) sen (47o 340 ) , H = sen −1 − cos(67cos(−2 o 50 ) H = sen −1 (−0.2796513) = −16o 14.30 = 343o 45.70 = 22h 55m . Hagamos el mismo c´alculo con la ecuaci´on (5.7):

CAP´ITULO 5. COORDENADAS CELESTES

80 H = cos−1

³

sen (67o 450 )− sen (−2o 50 ) sen (−17o 360 ) cos(−2o 50 ) cos(−17o 360 )

´ ,

H = cos−1 (0.9600947) = 16o 14.30 = 1h 5m . En este caso tenemos dos valores para H : 343o 45.70 y 16o 14.30 . ¿Cu´al es el correcto? Con el valor del ´angulo H hallado con el coseno inverso (16o 14.30 ) y dado que A < 180 entonces: H = 360 − H = 343o 45.70 = 22h 55m . De ecuatoriales horarias a horizontales: Conocidos φ, δ y H, determinar h y A. Antes de comenzar a reemplazar en las f´ormulas se ha de tener cuidado en convertir el ´angulo horario H (que usualmente viene en unidades de tiempo) en unidades de grados. Mediante la ecuaci´on (5.4) se halla inmediatamente la altura h : h = sen −1 ( sen δ sen φ + cos δ cos φ cos H). Habiendo determinado h y con la ecuaci´on (5.2) calculamos A: ¶ µ − cos δ sen H −1 A = sen . cos h De la ecuaci´ on (5.3) encontramos otra expresi´on para A: ¶ µ sen δ − sen φ sen h −1 A = cos . cos φ cos h

(5.8)

(5.9)

(5.10)

NOTA: Al igual que en el c´alculo de H para determinar A se ha de tener cuidado con el verdadero cuadrante en el que est´ a situado el astro. Como antes, una manera segura de determinar el correcto cuadrante de A es utilizando la siguiente regla, donde A es el valor calculado con la f´ ormula del coseno inverso (5.10): Si

H < 180 (12h ) entonces A = 360 − A, A = A. Si H > 180 (12h ) entonces

Ejemplo 1 Calcular el azimut y la altura de una estrella para un observador ubicado en Mocoa (Putumayo) si las coordenadas ecuatoriales horarias de dicha estrella en ese instante son: δ = 34o 140 y H = 5h 35.3m . Soluci´ on En el ap´endice B encontramos la latitud de Mocoa: 1o 90 . Convertimos el ´angulo horario en unidades de grados: H = 5h 35.3m × 15 = 83o 49.50 . Reemplazando en la ecuaci´on (5.8) hallamos la altura h:

´ ENTRE LOS SISTEMAS DE COORDENADAS 5.6. TRANSFORMACION

81

h = sen −1 [ sen (34o 140 ) sen (1o 90 ) + cos(34o 140 ) cos(1o 90 ) cos(83o 49.50 )] , h = sen −1 (0.1002029) = 5o 450 . Calculado h determinamos ahora el azimut con ayuda de la ecuaci´ on (5.10): ³ ´ o 140 )− sen (1o 90 ) sen (5o 450 ) A = cos−1 sen (34 cos(1 , o 90 ) cos(5o 450 ) A = cos−1 (0.5635018) = 55o 420 , pero, puesto que H < 180, entonces el verdadero ´angulo de A es: A = 360 − 55o 420 = 304o 180 . Ejemplo 2 Determinar la altura y el azimut de la estrella Rigel para un observador situado en Cartagena si su ´angulo horario para ese instante es H = 20h 45.1m . Soluci´ on Del ap´endice E extraemos la declinaci´ on aproximada al minuto de arco de la estrella Rigel (δ = −8o 120 ). As´ı mismo, del ap´endice B encontramos la latitud de Cartagena: 10o 270 . El ´angulo horario es, en unidades de grados: 311o 16.50 . Calculamos la altura: h = sen −1 [ sen (−8o 120 ) sen (10o 270 ) + cos(−8o 120 ) cos(10o 270 ) cos(311o 16.50 )] , h = sen −1 (0.6162300) = 38o 2.50 . Luego calculamos el azimut con (5.10): ³ ´ o 120 )− sen (10o 270 ) sen (38o 2.50 ) A = cos−1 sen (−8 cos(38 , o 2.50 ) cos(10o 270 ) A = cos−1 (−0.3284699) = 109o 10.50 , y dado que H > 180, entonces el ´angulo A que acabamos de hallar es el valor buscado.

5.6.2

Ecuatoriales horarias a ecuatoriales absolutas y viceversa

Puesto que la declinaci´ on δ es com´ un a ambos sistemas lo u ´ nico que hay que considerar aqu´ı es la relaci´ on entre la ascensi´on recta α y el ´angulo horario H. La conexi´ on se establece a trav´es de algo que nos indique la posici´ on del punto vernal. Y este algo se llama tiempo sideral local , T SL. El tiempo sideral local de un observador en un instante dado se define como el ´angulo horario del punto vernal: T SL = Hg .

(5.11)

CAP´ITULO 5. COORDENADAS CELESTES

82

C

MERIDIANO DEL OBSERVADOR

PNC

* H TSL E N

α

O HORIZONTE

S

W

ECUADOR CELESTE

PSC C’

Figura 5.7:

Relaci´ on entre α, H y T SL (Hg )

En la figura 5.7 podemos apreciar la relaci´ on entre α, H y T SL y deducir una ecuaci´ on supremamente importante: T SL = Hg = α + H.

(5.12)

La obtenci´ on del T SL para cualquier observador y para cualquier instante de tiempo se ver´ a con detalle en la secci´on 7.9. Ejemplo 1 Determinar el a´ngulo horario de la estrella Sirius para un observador cuyo tiempo sideral local en ese instante es de T SL = 3h 51.8m . Soluci´ on En el ap´endice E encontramos la ascensi´on recta de Sirius: α = 6h 45m . Entonces: H = T SL − α = 3h 51.8m − 6h 45m = −2h 53.2m , como el ´angulo es negativo sumamos en tal caso 24 horas: H = −2h 53.3m + 24h = 21h 6.8m .

´ ENTRE LOS SISTEMAS DE COORDENADAS 5.6. TRANSFORMACION

83

Ejemplo 2 Calcular el ´angulo horario del punto vernal para un observador cuyo a´ngulo horario de la estrella Procyon es de 22h 7.4m . Soluci´ on Del ap´endice E extraemos el valor de la ascensi´on recta para Procyon: 7h 39s . Por lo tanto: Hg = α + H = 7h 39s + 22h 7.4m = 29h 46.4m , y puesto que el valor excede las 24 horas sencillamente le restamos 24: Hg = T SL = 29h 46.4m − 24h = 5h 46.4m . Ejemplo 3 Se desea conocer la altura y el azimut de una estrella en el instante 4h 55m 36s de Tiempo Oficial de la Rep´ ublica de Colombia del 4 de marzo de 2000 para un observador situado en las siguientes coordenadas: φ = 4o 580 1700 N, λ = 75o 30 4500 W. Las coordenadas ecuatoriales de la estrella son: α = 23h 34m 34.5s y δ = 45o 230 4500 . Soluci´ on La resoluci´on de este ejercicio implica el conocimiento de varios conceptos que a´ un no se han visto, pero que se estudiar´ an a su debido tiempo. El asunto clave es la determinaci´ on del T SL. El lector puede ver con detalle el c´alculo de este valor en la secci´on 7.9. Supondremos en este ejemplo que el lector ya conoce el concepto de hora local, tiempo universal, fecha juliana y T SG0. El tiempo universal T U en el instante dado es, de acuerdo con la ecuaci´on (7.8): T U = (T L)Colombia + 5, donde T L es la hora oficial en Colombia. Entonces: T U = 9h 55m 36s . Con ayuda del ap´endice F o con la ecuaci´on (7.15) determinamos la fecha juliana del 4 de marzo de 2000: 2 451 607.5. Con la fecha juliana calculamos el valor T dado en (7.17), el cual para nuestro caso da: T = 0.001711157. Con la f´ormula (7.16) calculamos el T SG0, esto es, el tiempo sideral local para un observador en el meridiano de Greenwich a las cero horas de T U . Al hacer el c´alculo da: T SG0 = 10h 48m 15.26s . Pero la ecuaci´on (7.16) permite s´olo calcular el T SG0 medio, sin correcci´ on por nutaci´on. Hallar el valor verdadero del T SG0 implica una correcci´ on en el valor medio que puede llegar a ser tanto como un segundo de tiempo, lo cual ya representa un error de 15 segundos de arco en la determinaci´on del ´angulo horario del astro. El inconveniente es que calcular el T SG0 verdadero exige determinar, para el instante dado, la nutaci´ on en oblicuidad (∆²) y la nutaci´ on en longitud (∆ψ) (ver p´ agina 183) constituidas de numerosos t´erminos trigonom´etricos que son funciones de a´ngulos que ayudan a determinar la posici´ on de la Luna y el Sol. En este ejercicio nos conformaremos ´ se calcula con la ecuaci´on con el T SG0 medio. El paso siguiente es calcular el T SGt . Este (7.12):

CAP´ITULO 5. COORDENADAS CELESTES

84

T SGt = 10h 48m 15.26s + (9h 55m 36s ) × 1.0027379 = 20h 45m 29.1s . Luego calculamos el tiempo sideral local para nuestro observador a una longitud λ al oeste de Greenwich (ecuaci´on (7.13)): T SL = 20h 45m 29.1s − (75o 30 4500 )/15 = 15h 45m 14.1s . Con el T SL calculamos el ´angulo horario H: H = T SL − α = 15h 45m 14.1s − 23h 34m 34.5s = −7h 49m 20.4s = 16h 10m 39.6s . En unidades de grados H es: 242o 390 5400 . Aplicando la ecuaci´ on (5.8) hallamos la altura: h = sen −1 [ sen (45o 230 4500 ) sen (4o 580 1700 ) + cos(45o 230 4500 ) cos(4o 580 1700 ) cos(242o 390 5400 )] , h = sen −1 (−0.2595355) = −15o 20 3300 . Luego calculamos el azimut con (5.10): ³ ´ o 0 4500 )− sen (−15o 20 3300 ) sen (4o 580 1700 ) A = cos−1 sen (45 23cos(−15 , o 20 3300 ) cos(4o 580 1700 ) A = cos−1 (0.7633982) = 40o 140 700 , y dado que H > 180, entonces el ´angulo A que acabamos de hallar es el valor buscado.

5.6.3

Ecuatoriales absolutas a ecl´ıpticas y viceversa

Consideremos la figura 5.8 en la cual se muestran las coordenadas ecuatoriales (α, δ) y ecl´ıpticas (λ, β) de un astro cualquiera. El punto vernal g est´a ubicado exactamente a medio angulo esf´erico resaltado en la figura obtenemos como camino entre los puntos D y D0 . Del tri´ ´angulos y lados correspondientes los siguientes: Lados

´ Angulos

90 − β 90 − δ ²

90 + α 90 − λ Ψ

Aplicando el teorema del seno: sen (90 − β) sen (90 − δ) = , sen (90 − λ) sen (90 + α) y puesto que sen (90 − x) = cos x, y sen (90 + x) = cos x, se deduce: cos δ cos α = cos λ cos β. Al aplicar el teorema del coseno: cos(90 − δ) = cos(90 − β) cos ² + sen (90 − β) sen ² cos(90 − λ),

(5.13)

´ ENTRE LOS SISTEMAS DE COORDENADAS 5.6. TRANSFORMACION

Π

ε

85

PNC Ψ

∗

β δ ε

D

O ECUADOR

λ D’

α

ECLIPTICA

PSC

Figura 5.8:

Π’

Relaci´ on entre coordenadas ecuatoriales absolutas y ecl´ıpticas

y como cos(90 − x) = sen x se obtiene: sen δ = sen β cos ² + cos β sen ² sen λ.

(5.14)

Aplicando el teorema del coseno con otro de los lados: cos(90 − β) = cos(90 − δ) cos ² + sen (90 − δ) sen ² cos(90 + α), y como cos(90 + x) = − sen x se obtiene: sen β = sen δ cos ² − cos δ sen ² sen α.

(5.15)

Podemos encontrar otras dos relaciones utilizando el teorema del seno por el coseno, ecuaciones (2.15). No nos interesan expresiones en donde aparezca el ´angulo ubicado en el astro (Ψ). Ello significa que tendremos s´ olo dos ecuaciones del seno por el coseno. Estas son: cos(90 − λ) sen (90 − β) = − cos(90 + α) sen (90 − δ) cos ² + cos(90 − δ) sen ², cos(90 + α) sen (90 − δ) = − cos(90 − λ) sen (90 − β) cos ² + cos(90 − β) sen ², o mejor: sen λ cos β = sen δ sen ² + cos δ cos ² sen α,

(5.16)

sen α cos δ = − sen β sen ² + cos β cos ² sen λ.

(5.17)

CAP´ITULO 5. COORDENADAS CELESTES

86

De ecl´ıpticas a ecuatoriales: Conocidos λ y β determinar α y δ. De la ecuaci´ on (5.14) se obtiene la declinaci´ on: δ = sen −1 ( sen β cos ² + cos β sen ² sen λ) .

(5.18)

Para evitar confusiones con la verdadera ubicaci´ on del cuadrante evitaremos utilizar ecuaciones simples que pueden dar el valor de α. En su lugar trabajaremos con una expresi´ on un poco m´as complicada y seguiremos unas reglas espec´ıficas que ayudar´ an a erradicar los dolores de cabeza que surgen con el c´alculo de los cuadrantes verdaderos. Al dividir la ecuaci´ on (5.17) por (5.13) obtenemos una expresi´on para hallar α sin tener que haber calculado previamente δ: ¶ µ − sen β sen ² + cos β cos ² sen λ . (5.19) α = tan−1 cos λ cos β La ecuaci´on (5.19) es de la forma: −1

α = tan

µ ¶ p , q

(5.20)

donde p y q representan los t´erminos que conforman el numerador y el denominador respectivamente en la ecuaci´on (5.19). El ´angulo verdadero se encuentra sometiendo el a´ngulo α hallado directamente en (5.20) a las siguientes reglas: Si

p·q